2025高考数学150
粉丝58.7万获赞391.2万
相关视频
04:10查看AI文稿AI文稿大家好，我是王思雨，二零二五年从恒中考入清华大学，高考总分六百九十四分。今天呢，我想跟大家分享一下数学学习中非常容易出现的几个错误做法。 数学作为三大主课之一，一百五十分的分值和动辄十几几十分的分差更让数学显得格外重要。 一方面，学好数学是学好理化生等理科的基础。另一方面，数学题的分值大，而且大题的每个小题之间是环环相扣的状态，很容易出现一步做错，后面步骤全部没分的情况。那么，在数学中，有哪些自以为正确，实际却是踩坑的错误做法，又该怎么避免呢？ 第一个错误做法就是很多同学遇到做不出来的题，会花很多时间死磕这道题， 这种情况在中高分段尤其容易出现，会严重拉低你的学习效率。且不说死磕了很长时间也不见得做出来，即使最终真的自己做出来了，从他所花费的时间上来说，也是得不偿失的。同样的时间换一种做法，你会有翻几倍的收获。 正确的做法是，首先，如果是日常练习，最多思考五分钟，还没有思路就要直接看答案了，研究答案是怎么找到且题方向的，自己的难点在哪里，答案又是怎么突破这个难点的。 研究明白答案之后，再不看答案，把这道题独立做出来。很多时候，我们的学习就是从模仿到理解再到掌握的过程。 其次是考试的时候，如果遇到不会做的题，也是最多研究五分钟，如果还做不出来，就要先放过他，等做完所有的题，最后再回来做， 做到这一点，其实是很需要魄力的，因为最难的是转变考试心态。看着这道数学题这么大的分值，自己又已经研究几分钟了，总是舍不得放手，就好像杀红了眼之后都不愿意战术撤退一样。 其实越不放手，越容易钻进死胡同，浪费更多宝贵的考试时间。我有一个自己常用的转变死磕心态的方法，分享给大家。 当我考试想死磕一道题的时候，我就告诉自己，做题呢，也是要讲究良辰吉日的，现在做不出来，说明做这道题的及时未到，先往后写，过一会儿及时就到了。实际上也确实做做后面的题，换换脑子，往往能带来新的思路，就好像真的吉时已到，就更容易能做出来。 第二个错误做法就是过于看重压轴题，而忽视了基础题和低级错误。分数是等值的，基础题的十分和压轴题的十分在分值上是一样的，但很明显，基础题更容易得分。 很多同学苦恼于十八十九题最后两问做不出来，花了大量的时间精力想把压轴题练好。但实际上其他都是同学，真正的题分点都不在压轴题，尤其是一百二十分以下的同学，甚至也包括一些尖子生。 亚洲题辛苦得来的分数，前面基础题又一疏忽一错就又丢了。而且亚洲题会不会做，有时真的是看缘分，班级前几名也并不能保证每次都会，但是他们前面低错少。所以分数高， 考试不是看谁会的多，而是看谁错的少。我们最重要的是要保证把会的题都做对。高考时更是这样，我自己在高考中就是因为十七题的第一问，一个很简单的计算，算错了这道题，减了十多分，非常遗憾的错失了省状元。 第三个错误做法就是积累本上给答案留的空间不够，解析伸展不开。我初中的数学积累本都是每页对折的折痕，左边写题目，右边写解析，这样复习的时候把解析折起来，就可以不受影响的重做一遍，非常方便好用。 但是高中数学就不是这样了，他的解析和题干长度严重不平衡，尤其是答案要想写的细致一些，会写特别长折叠的方法就不适用了。所以大家高中写积累本一定要留够写答案和收获的空间，自己用着舒服，在翻看补充的时候也有地方写。 以上就是数学学习中常见的一些错误方法和避坑方法了，祝学弟学妹们都能完美避坑，数学取得理想的成绩！
6144你清我羽
00:20查看AI文稿AI文稿二零二五高考数学出题人在最后给万千考生留下一个浪漫彩蛋，难怪大家出考场脸蛋红通通的。
29.7万高校之星（橱窗提分版）
59:45查看AI文稿AI文稿这个二零二五新高考爱卷的完整解析视频，最值得看的地方不是答案，而是每道题第一步该怎么想。很多同学数学题不上去，不是题完全不会，而是一上来就硬算方法选错时间花了分还丢了。 前面的单选看着基础，其实在考观察中间的多选最容易漏选，第十八题和第十九题更是第一步错，后面全白算。这套讲解我带你看哪些题必须稳拿，哪些地方最容易丢分，以及考场上怎么用更快更稳的方法做。 我是杨老师，专讲高考数学提分，关注我，带你把这套卷真正讲透。咱们来看第一题，题目说一加五 i 的 整体再乘以 i， 它的虚部为多少？选项 a， 负一选项 b， 零选项 c， 一 选项 d 六。 这是一道复数基本运算题，核心定位是先做乘法，再看结果中 i 前面的系数。关键观察点是，题目问的是虚部，不是整个含有 i 的 项。复数写成实部加虚部乘 i 的 形式时，虚部指的是 i 前面的那个实数系数。 现在计算，一加五， i 的 整体乘以 i 就 等于一乘以 i， 再加上五 i 乘以 i， 也就是 i 加五 i 的 平方。因为 i 的 平方等于负一，所以五 i 的 平方等于负五，于是结果就是负五加 i， 这个负数的实部是负五， i 前面的系数是一，所以虚部是一，所以本题答案选 c。 一、 方法总结一下，负数乘到 i 时，一定要把 i 的 平方换成负一。最后判断虚部时，只看 i 前面的系数，不要把 i 本身也算进去。 咱们来看第二题，题目说已知集合大写 u 是 所有小于九的正整数集合，大写 a 等于由一、三、五组成的集合。求大写 a 在 全集大写 u 中的补集里元素的个数。选项 a、 零选项 b， 三选项 c， 五选项 d 八。 这道题的关键观察点是，小于九的正整数不包括九，只包括一到八。另外，补集不是数集合大写 a 里有几个元素，而是数全集大写 u 里面不属于大写 a 的 元素有几个。为什么这样做呢？因为补集一定要在指定的全集里面看， 这里全集大写 u 是 一、二、三、四、五、六、七、八，一共有八个元素。集合大写 a 是 一、三、五，一共有三个元素。 现在要求大写 a 在 全集大写 u 中的补集，也就是从一、二、三、四、五、六、七、八里面把一、三、五去掉，剩下的是二、四、六、七、八，一共有五个元素，所以补集里元素的个数是八减三等于五。 本题答案选 c。 五。方法总结一下，做集合补集题第一步，先看清全集是什么，尤其注意不超过和小于这类边界词。第二部，数出全集元素个数。第三部，去掉集合大写 a 里的元素，剩下的就是补集。这里全集有八个元素，大写 a 有 三个元素，所以补集有五个元素。咱们来看第三题， 已知双曲线大写 c 的 虚周长是十周长的根号七倍，求双曲线大写 c 的 离心率。选项 a， 根号二。选项 b， 二选项 c， 根号七。选项 d， 二倍根号二。 这道题的关键观察点是，题目说的是虚周长和十周长的关系。双曲线里十周长是二倍 a， 虚周长是二倍 b， 所以 意思就是二倍 b 等于根号七倍的二倍 a， 因此 b 等于根号七倍的 a。 这里容易错在两点，第一，不要把轴长直接和 a、 b 混淆，但因为两边都有二倍，所以最后比例仍然是 b b， a 等于根号七。第二，双曲线中焦距参数 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方不是相减， 现在代入计算，因为 b 等于根号七倍的 a， 所以 b 的 平方等于七倍 a 的 平方。又因为双曲线满足 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方，所以 c 的 平方等于 a 的 平方加七倍 a 的 平方，也就是八倍 a 的 平方，于是 c 等于根号八倍的 a， 也就是二倍根号二倍的 a。 离心率 e 等于 c 除以 a， 所以 e 等于二倍根号二。本题答案选 d。 二倍根号二。方法总结一下，遇到双曲线离心率，先把题目中的轴长关系转成 a 和 b 的 关系，再用双曲线的基本关系 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方，最后用离心率 e 等于 c 除以 a 来求。 咱们来看第四题已知点，小括号 a 逗号零小括号，其中 a 大 于零是函数 y 等于两倍正切小括号 x 减三分之派。小括号的图像的一个对称中心。求 a 的 最小值。选项 a、 六分之派，选项 b， 三分之派选项 c， 二分之派选项 d、 三分之四派。 这道题的关键观察点是正切函数的对称中心由括号里面的整体角决定，前面的系数二只是纵向拉伸，不改变对称中心的位置。易错点是把正切函数的渐近线位置当成对称中心。 对于函数 y 等于正切 u， 它的对称中心满足 u 等于 k 被派，其中 k 是 整数，这里 u 就是 x 减三分之派。所以要让点小括号 a 逗号零小括号成为对称中心，就需要 a 减三分之派等于 k 被派， 于是 a 等于三分之派加 k 背派。因为题目要求 a 大 于零，并且求 a 的 最小值取 k 等于零时， a 等于三分之派，取 k 等于负一时， a 等于负三分之二派已经小于零，不符合条件，所以 a 的 最小正值就是三分之派。 因此本题答案选 b 三分之派。方法总结是，遇到正切型函数的对称中心，先看括号内整体角，让整体角等于 k 背派，再结合题目对横坐标的范围要求，选出满足条件的最小值。 咱们来看第五题。题目说已知函数 f 括号 x 括号是定义在实数集上且周期为二的偶函数。当二小于等于 x 小 于等于三时， f 括号 x 括号等于五减二 x 求 f 括号负四分之三括号。 选项 a， 负二分之一，选项 b， 负四分之一选项 c， 四分之一选项 d 二分之一。本题考察偶函数和周期函数的综合使用，核心是把负四分之三这个自变量转化到已知表达式所在的区间二到三里面去。 关键观察点是，题目只告诉了二到三这个区间上的函数表达式，所以不能直接把负四十三带入五减二 x。 易错点是利用周期平移时，四分之三加二等于四分之十一，不是十一分之四。 因为 f 括号 x 括号是偶函数，所以 f 括号负四分之三括号等于 f 括号四分之三括号。这样先把负数自变量变成正数自变量，又因为函数的周期是二，所以自变量加二，函数值不变，于是 f 括号四分之三括号等于 f 括号四分之三加二括号，也就是 f 括号四分之十一，括号 现在四分之十一等于二点七五，落在二到三之间，可以使用题目给出的表达式。于是 f 括号四分之一，括号等于五减二乘以四分之十一，二乘以四分之一等于二分之十一，五等于二分之十，所以五减二分之十一等于负二分之一。 因此 f 括号负四分之三，括号等于负二分之一。本题答案选 a。 负二分之一。方法总结一下，遇到这类题，先看已知解析式在哪个区间成立，再利用偶函数把负自变量变成正自变量，利用周期把自变量平移到已知区间，最后再代入计算。 这里的关键一步是，四分之三加二等于四分之十一，落在二到三之间，所以答案是负二分之一。咱们来看第六题。 题目说帆船比赛中试风，风速对应的向量是真风，风速对应的向量与船型风风速对应的向量之合，其中船型风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。 途中给出部分风力等级，清风是一点六到三点三，微风是三点四到五点四，核风是五点五到七点九，净风是八点零到十点七。 根据给出的式风风速向量和船速向量，判断该时刻的真风选项 a、 轻风选项 b、 微风选项 c、 和风选项 d。 静风。 这道题的关键观察点是，船型风风速向量不是船速向量本身，而是和船速向量大小相等，方向相反，易错点就在这里。不能直接把式风向量和船速向量相减来当做真风。 式风风速向量是左括号，负三负一、右括号。传速向量是左括号、一三右括号。题目给出的关系是，式风等于真风加传行风。 又因为传行风和传速方向相反，所以传行风等于传速的相反向量，也就是说式风等于真风减传速，因此真风就等于式风加传速。 现在计算真风向量，左括号、负三负一，右括号加左括号一三右括号，得到左括号、负二二右括号。接下来求真风风速的大小， 左括号、负二二右括号的长度等于根号下负二的平方，加二的平方也就是根号下八等于二倍，根号二约等于二点八三，二点八三落在一点六到三点三之间，所以该时刻的真风属于清风。 本题答案选 a。 清风。方法上要抓住两个关系，第一是风等于真风加船形风。第二船形风是船速的相反向量，所以真风等于是风加船速。 算出真风向量左括号、负二二右括号后，再求它的长度二倍，根号二约为二点八三，对照风力等级表属于清风。 咱们来看第七题，题目说已知圆 x 的 平方加上 y 加二的整体的平方等于 r 的 平方，其中 r 大 于零， 圆上到直线， y 等于根号三倍， x 加二的距离为一的点有且仅有两个，求 r 的 取值范围。选项 a， 零到一选项 b， 一 到三选项 c， 三到正无穷。选项 d， 零到正无穷。 这道题的关键观察点是，到一条直线，距离等于一的点不在原直线上，而是在这条直线两侧距离都为一的两条平行线上。所以题目问圆上满足条件的点有几个？本质上是在问这个圆和这两条平行线一共交出几个点。 先看圆 x 的 平方加上 y 加二的整体的平方等于 r 的 平方，所以圆心是零负二，半径是 r。 再把直线 y 等于根号三倍 x 加二，改写成根号三倍 x 减 y 加二等于零。与它距离为一的两条平行线，可以理解为在原直线两侧平移一段距离。现在我们只需要看圆心到这两条平行线的距离。 圆直线到圆心零负二的距离等于根号三乘零减负二，再加二的绝对值除以根号下三加一，也就是四除以二等于二。 因为两条目标平行线到圆直线的距离都是一，所以它们到圆心的距离分别是二减一和二加一，也就是一和三。 接下来判断交点个数圆和一条直线的位置关系，只看圆心到直线的距离 d 和半径 r。 若 r 小 于 d， 没有交点。若 r 等于 d 相切有一个交点。若 r 大 于 d， 相交有两个交点。 现在两条平行线到圆心的距离分别是一和三。要让圆上满足距离为一的点有且仅有两个，就必须总交点数正好是两个。 如果 r 小 于一，两条线都不相交零个点。如果 r 等于一近的那条线相切只有一个点。如果一小于 r 小 于三，近的那条线与圆相交有两个点，远的那条线还没有碰到圆，所以正好两个点。如果 r 等于三近的那条线，两个点，远的那条线相切一个点，一共三个点。 如果 r 大 于三，两条线都相交，一共四个点，所以符合条件的是一小于 r 小 于三。本题答案选 b 一 到三。方法总结一下，遇到到直线距离为定值的点，先把它转化为两条平行线，再求圆心到这两条平行线的距离，最后用半径和距离比较，判断相交相切还是相邻。 本题两条平行线到圆心的距离分别是一和三，要恰好两个点，只能让圆只穿过近的那条线，不能碰到远的那条线。因此 r 的 范围是一小于 r 小 于 r。 三。 咱们来看第八题。题目说已知二加以二为底， x 的 对数等于三加以三为底， y 的 对数等于五，加以五为底， z 的 对数。判断 x、 y、 z 的 大小关系不可能是哪一个 选项 a， x 大 于 y 大 于 z。 选项 b， x 大 于 z 大 于 y。 选项 c， y 大 于 x 大 于 z。 选项 d， y 大 于 z 大 于 x。 这题的关键观察点是 x、 y、 z 不是 固定数，而是随着这个公共值一起变化。易错点是只看底数二、三、五的大小，就直接判断谁大谁小。 这里真正要比较的是三个指数函数在不同 t 值下的相对位置，设这个公共值为 t， 也就是说，二加以二为底， x 的 对数等于 t。 三加以三为底， y 的 对数等于 t。 五加以五为底， z 的 对数等于 t 等于 t 减二，所以 x 等于二的 t 减二次方。以三为底， y 的 对数等于 t 减三，所以 y 等于三的 t 减五，所以 z 等于五的 t 减五次方。 接下来比较三条曲线的交叉顺序，先看 x 和 y， x 等于 y 时，就是二的 t 减二次方，等于三的 t 减三次方，两边取自然对数得到 t 大 约等于四点七一。也就是说，在 t 小 于四点七一时， x 大 于 y。 在 t 大 于四点七一时， y 大 于 x。 再看 x 和 z， x 等于 z， 就是 二的 t 减二次方，等于五的 t 减五次方，两边取自然对数得到 t 大 约等于七点二七。也就是说，在 t 小 于七点二七时， x 大 于 z。 在 t 大 于七点二七时， z 大 于 x。 再看 y 和 z， y 等于 z， 就是 三的 t 减三次方，等于五的 t 减五次方，两边取自然对数得到 t 大 约等于九点三一。也就是说，在 t 小 于九点三一时， z 大 于 y。 现在看选项 b 要出现 x 大 于 z 大 于 y， 需要同时满足 x 大 于 z 以及 z 大 于 y。 可是 x 大 于 z， 要求 t 小 于七点二七， z 大 于 y， 又要求 t 大 于九点三一。一个 t 不 可能同时小于七点二七，又大于九点三一，所以选项 b 这种顺序不可能出现。 为了排除其他选项，也顺便验证一下，取 t 等于零， x 等于四分之一， y 等于二十七分之一， z 等于三千一百二十五分之一，所以 x 大 于 y 大 于 z， 选项 a 可以 出现。 取 t 等于六， x 等于十六， y 等于二十七， z 等于五，所以 y 大 于 x 大 于 z， 选项 c 可以 出现。取 t 等于八， x 等于六十四， y 等于二百四十三， z 等于一百二十五，所以 y 大 于 z 大 于 x， 选项 d 可以 出现。因此，不可能出现的大小关系是选项 b x 大 于 z 大 于 y。 这题的方法总结是，遇到多个带对数的式子相等，先设公共值为 t， 把 x、 y、 z 分 别表示成关于 t 的 指数式，然后不要只凭底数大小猜结论，而是比较两两相等的临界点。 这里三个临界点依次大约是四点七一、七点二七、九点三一，所以顺序只会按这些临界点逐段变化。选项 b 要求的两个条件在 t 的 范围上互相冲突，因此不可能出现。咱们来看第九题。题目说在正三棱柱 a、 b、 c 到 a 一、 b 一、 c 一 中， d 是 bc 的 终点，判断哪些说法正确。 这道题考的是正三棱柱里的垂直和平行关系。大家注意，正三棱柱有两个关键信息，第一，底面 a、 b、 c 是 正三角形。第二，再楞 a、 a 一、 b、 b 一、 c、 c 一 都垂直于底面。 先看底面，因为 a、 b、 c 是 正三角形， d 是 bc 的 中点，所以 a、 d 是 底边 bc 上的高，也就是说 a、 d 垂直于 bc。 再看空间关系 b、 e、 c、 e 和 bc 是 平行的，所以 b、 e、 c、 e 也垂直于 ad。 同时 a、 a 一 是正三棱柱的蔡棱，垂直于底面 a、 b、 c、 b 一 方向平行于底面里的 bc， 所以 b 一、 c 一 也垂直于 a、 a 一。 你看这里 b 一、 c 一 同时垂直于平面 a、 a、 e、 d 里的两条相交直线分别是 a、 d 和 a、 a、 e， 因此 b 一、 c 一 垂直于平面。 a、 a、 e、 d 选项 b 正确。再看 c、 c 一、 c、 c 一 和 a、 a、 e、 d。 选项 b 正确。再看 c、 c 一、 c、 c 一 和 a、 a、 e、 d。 选项 b 正确。在平面 a、 a、 e、 d 内， 并且 c 点不在直线 a、 d 上，所以 c、 c 一 不在这个平面内，这样 c、 c 一 就平行于平面 a、 a、 e、 d 选项 d 正确。选项 a 说 a、 d 垂直于 a、 e、 c。 这里不能只看 a、 d 垂直于 bc 就 直接推到 a、 e、 c、 a、 e、 c 是 一条斜着穿过空间的线，它既有竖直方向，也有底面方向，不能和 a、 d 构成垂直关系，所以 a 错。 选项， c 说 a、 d 平行于 a 一 b 一 a 一 b 一 平行于底面的 ab， 而 a、 d 是 底面正三角形，从 a 到 bc 中点的高，它不平行于 ab， 所以 c 错。 所以这一题正确。选项是 b 和 d。 方法上咱们抓两个点就够了。第一，正三角形里中线也是高，所以 a、 d 垂直于 b、 c。 第二，正三棱柱的侧棱垂直于底面。用这两个条件就能判断出 b 一 c 一 平行于这个平面。 咱们继续看第十题。已知抛物线 c 方程是 y 的 平方等于六 x， 交点是 f 过 f 的 一条直线交。抛物线于 ab， 两点过 a 做直线 x 等于负二分之三的垂线垂足为 d 过 f， 且与直线 ab 垂直的直线交这条准线与点 e。 问，哪些说法正确？大家注意，这题的核心不是硬算坐标，而是交点弦。准线和抛物线定义， 先看抛物线 y 的 平方等于六 x， 标准形式是 y 的 平方等于四 p x， 所以 四 p 等于六 p 等于二分之三，因此焦点 f 是 二分之三，零准线就是 x 等于负二分之三。 a 点在抛物线上， d 是 a 到准线的垂足，所以 a、 d 的 长度就是 a 到准线的距离。根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以 a、 d 等于 af。 选项， a 正确。接着看焦点弦 ab 过交点的弦最短的时候是垂直于对称轴的通径，这里通径长是四 p， 也就是六。所以不管这条过交点的直线怎么转， a、 b 的 长度都大于等于六，选项 c 正确。再看 b 和 d， 需要判断 a、 e 的 关系，咱们设交点弦 a、 b 与 x 轴的夹角为西塔， 过 f 做 ab 的 垂线交准线于 e， 因为交点到准线的水平距离是三，而这段垂线方向的水平分量和正弦希塔有关，所以 f 一 的长度等于三除以正弦希塔的绝对值。 沿着交点弦方向去算， a、 f 和 b、 f 分 别可以表示成三除以一减于弦希塔，以及三除以一加于弦希塔。 于是 a、 e 和 b、 e 都在两个直角三角形里，直角点都是 f。 把 a、 e 的 平方看成 a， f 的 平方，把 b、 e 的 平方看成 b， f 的 平方加 f e 的 平方。这一步很关键，代入之后， a、 e 乘以 b， e 等于十八除以正弦西塔的绝对值的三次方。 因为正弦西塔的绝对值最大是一，所以这个乘积一定大于等于十八，选项 d 正确。最后看选项 b， 说 a、 e 等于 ab， 咱们用一个最简单的情况检验，取 ab 是 数值的交点弦，也就是直线 x 等于二分之三，此时 ab 的 长度等于六， e 点在准线上，又在过 f 的 水平线上，所以 e 是 负二分之三零 a 到 e 的 距离是三倍，根号下二不等于六，所以选项 b 错， 所以本题正确选项是 a、 c、 d。 这题的方法总结一下，遇到抛物线，先从 y 的 平方等于四 p， x 里读出 p， 再立刻写交点和准线， 涉及点到交点，点到准线，优先用抛物线定义涉及过交点的弦。记住，交点弦最短是通径，长度是四 p。 最后这种带垂线交准线的乘积问题可以设交点弦倾斜角，用正弦关系控制距离。关键结论就是 a、 e 乘以 b， e 大 于等于十八。 咱们继续看第十一题。题目说三角形 a、 b、 c 的 面积为四分之一，并且二倍角 a、 b、 c 的 余弦再加二倍的角 c 的 正弦等于二。 同时角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦再乘角 c 的 正弦等于四分之一。问，下面哪些说法正确？ a、 角 c 的 正弦等于角 a， 正弦的平方加角 b， 正弦的平方 b、 ab 等于根号下二 c 角 a 的 正弦加角 b 的 正弦等于二分之根号下六 d、 a、 c 的 平方加 bc 的 平方等于三。这道题的关键不是上来就算边长，而是先判断角 c。 它考的是二倍角于弦和插画机直角、三角形面积以及正弦于弦和边长的关系。 咱们先看条件，二倍角 a 的 于弦加二倍角 b 的 正弦等于二。 前两项用和差画积二倍角 a 的 余弦加二倍角 b 的 余弦等于二。乘角 a 加角 b 的 余弦。降藏角 a 减角 b 的 余弦。因为角 a、 加角 b 的 等于一百八十度减角 c， 所以 角 a、 加角 b 的 余弦等于负的角 c 的 余弦。 于是原式变成负二倍的角 c 的 余弦乘角 a 减角 b 的 余弦再加二倍的角 c 的 正弦等于二。 两边同时除以二，就得到角 c 的 余弦乘角 a 减角 b 的 余弦等于角 c 的 正弦减一。大家注意，这一步很关键， 右边是角 c 的 正弦减一，在三角形里，角 c 的 正弦最大就是一，所以右边不大于零。再看另一个条件，角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦乘角 c 的 正弦等于四分之一，大于零。 角 c 的 正弦本来就大于零，所以角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦大于零。三角形里， a 和 b 不 可能同时是钝角，因此 a 和 b 都是锐角。 如果角 c 是 锐角，那么角 c 的 余弦大于零，角 a 减角 b 的 余弦也大于零。左边就是正数，可右边角 c 的 正弦减一是负数。矛盾。 如果角 c 是 钝角，那么角 c 的 余弦小于零。又因为角 a 减角 b 的 绝对值小于角 a 加角 b， 也就是一百八十度减角 c， 所以 角 a 减角 b 的 余弦会大于负的角 c 的 余弦。 可是由刚才的等式，角 a 减角 b 的 余弦等于一，减角 c 的 正弦除以负的角 c 的 余弦，它会小于负的角 c 的 余弦。前后也矛盾，所以角 c 既不是锐角，也不是钝角，只能是直角，也就是角 c 等于九十度，角 c 的 正弦等于一。 这样 a 选项就好判断了。直角三角形里，角 a 和角 b 互余，所以角 b 的 正弦等于角 a 的 余弦，于是角 a 正弦的平方加角 b， 正弦的平方就等于角 a 正弦的平方加角 a， 余弦的平方等于一，正好等于角 c 的 正弦，所以 a 正确。 呃，下面看边长设 b c 等于 a， a、 c 等于 b， ab 等于 c， 因为角 c 是 直角，面积等于二分之一，乘 a 乘 b。 题目给面积四分之一，所以二分之一乘 a 乘 b 等于四分之一，也就是 a 乘 b 等于二分之一。 再用乘积条件，角 c 的 正弦等于一，所以角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦等于四分之一。在这个直角三角形里，角 a 的 余弦等于 b 除以 c， 角 b 的 余弦等于 a 除以 c， 所以 它们的乘积等于 a。 乘 b 除以 c 的 平方，也就是二分之一。除以 c 的 平方等于四分之一， 所以 c 的 平方等于二， c 等于根号下二，也就是 a， b 等于根号下二， b 正确。哎！接着看 c 选项，角 a 的 正弦等于 a 除以 c， 角 b 的 正弦等于 b 除以 c， 所以 角 a 的 正弦加角 b 的 正弦等于 a 加 b 的 正弦的平方等于 a 加 b 的 平方除以 c 的 平方，也就是 a 的 平方加 b 的 平方加二倍 a， b 再除以 c 的 平方， 因为这是直角三角形， a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方等于二。刚才又有 ab 等于二分之一，所以二倍 ab 等于一分子就是二加一等于三，分母是二， 所以这个平方等于二分之三。哎，角 a 的 正弦加角 b 的 正弦是正数，因此它等于根号下二分之三，也就是二分之根号下六，所以 c 正确。哎！最后看 d， a， c 的 平方加 bc 的 平方，就是 b 的 平方加 a 的 平方，由勾股定律，它等于 ab 的 平方，也就是二，不是三，所以 d 错。 所以本题正确选项是 abc。 这道题最核心的一步是先通过二倍角余弦的和差化积，把条件转成角 c 的 余弦，乘角 a 减角 b 的 余弦等于角 c 的 正弦减一， 再结合乘积为正，判断 ab 都是锐角，最后排除角 c 是 锐角和钝角，锁定角 c 是 九十度角 c 一 旦确定为直角后面的面积，余弦乘积正弦和都可以用直角三角形的边长关系顺着算出来。 咱们来看第十二题。题目是若直线 y 等于二， x 加五，是去线 y 等于 e 的 x， 次方加 x 加 a 的 一条切线求 a。 这是一道填空题，最后只填一个数。关键观察点是，切线不只是斜率相同，还要在切点处和取线取到同一个函数值，不能只算斜率就停下。 先看斜率条件，曲线 y 等于 e 的 x， 次方加 x 加 a， 它的导数是 e 的 x 次方加一。导数表示曲线在对应点处的切线斜率。题目给出的直线是 y 等于二， x 加五，所以它的斜率是二。既然这条直线是曲线的一条切线，那么在切点处，曲线的导数值必须等于二， 于是有 e 的 x 次方加一等于二，所以 e 的 x 次方等于一。因为 e 的 零次方等于一，所以切点的横坐标 x 等于零。接下来检查切点处的函数值， 把 x 等于零，带入曲线，曲线的 y 值是 e 的 零，次方加零加 a， 也就是一加 a， 把 x 等于零，带入直线 y 等于二， x 加五，直线的 y 值是五。同一个切点处曲线和直线的 y 值必须相等，所以一加 a 等于五，得到 a 等于四。 所以本题答案是四。方法上遇到某条直线是某条曲线的切线，要同时用两个条件，第一，切线斜率等于切点处导数。第二，切点处直线值等于曲线值。本题先由斜率二确定切点横坐标为零，再带入曲线和直线比较函数值，最后得到 a 等于四。 填空题这里要特别注意，答案只填四，并且要确认斜率条件和切点重合条件都已经满足。咱们来看第十三题。题目说若一个等比数列的各项均为正数，且前四项的和等于四，前八项的和等于六十八，求这个数列的公比。 这题的关键观察点是，前八项可以分成前四项和后四项，而等比数列中第五项到第四项乘以公比的四次方。 易错点是解出公比的四次方等于十六以后，不能把负二也当成最终答案。因为题目明确说各项均为正数，设这个等比数列的公比为 q， 因为各项均为正数，所以相邻两项的比值也是正数，也就是 q 大 于零。前四项的和等于四。 第五项、第六项、第七项、第八项分别是第一项、第二项、第三项、第四项乘以 q 的 四次方，所以后四项的和等于前四项的和乘以 q 的 四次方。因此前八项的和等于前四项的和乘以一加 q 的 四次方。代入题目条件，六，十八等于四乘以一加 q 的 四次方。 两边同时除以四，得到十七等于一加 q 的 四次方，所以 q 的 四次方等于十六。因为 q 大 于零，满足 q 的 四次方等于十六的正数只有二，所以公比 q 等于二。 本题答案是二。方法上要抓住前八项和与前四项和之间的倍数关系，后四项是前四项整体乘以公比的四次方，所以前八项和等于前四项和乘以一加公比的四次方。最后一定要检查条件，各项均为正数，推出公比大于零，因此负二不能作为答案。 咱们来看第十四题。题目说有五个相同的球，分别标有数字一、二、三、四、五，从中有放回的随机取三次，每次取一个球，即大写 x 为这五个球中至少被取出一次的球的个数，求大写 x 的 数学期望。 这道题的关键观察点是，大写 x 数的不是三次取到的数字之合，也不是每次取球的编号，而是五个球里面有多少个不同的球被取到过。因为是有放回的取，所以每一次取球互不影响。每个固定球在每一次中被取到的概率都是五分之一。 我们用指示变量来做对第挨个球设挨下标挨，表示这个球是否至少被取出一次。如果第挨个球至少被取出一次，那么挨下标挨等于一。如果他一次也没有被取到，那么挨下标挨等于零。 对的，这样做的原因是，大写 x 可以 拆成五个，求各自是否出现过的结果之合。也就是说，大写 x 等于挨下标一加挨下标二加挨下标三加挨下标四加挨下标五。求大写 x 的 数学期望就可以转化为分别求每个指示变量的期望再相加。 现在看某一个固定的球，比如标号为一的球，每取一次没有取到它的概率是五分之四。因为一共取三次，而且有放回，所以三次都没有取到它的概率是五分之四的三次方，也就是六十四除以一百二十五 呀。因此，这个固定球至少被取出一次的概率是一。减去六十四除以一百二十五等于六十一。除以一百二十五， 指示变量的期望就等于它取一的概率。所以每一个 i 下标 i 的 数学期望都是六十一除以一百二十五。由期望的限性性，大写 x 的 数学期望等于五乘以六十一，除以一百二十五，等于六十一，除以二十五。 这里再检查一下条件，因为题目明确是有放回随机取三次，所以可以把某个固定球三次都没有被取到的概率写成五分之四的三次方，如果误当成无放回计算就会变掉。另外，大写 x 最多只能是三，因为只取三次，但他的期望可以是六十一除以二十五。这个数在一到三之间，结果范围也是合理的。 本题答案是六十一除以二十五。方法上遇到至少被取出一次的个数。这类问题不必先列出所有不同取法，也不必求完整分布，可以把总个数拆成每个对象是否出现过的指示变量之合，再用期望限行性相加。 关键计算是先算反面事件，也就是某个固定球一次都没有被取到概率为五分之四的三次方，再用一减它，得到至少出现一次的概率。 咱们来看第十五题，这道题研究某疾病和超声波检查结果之间有没有关系。随机调查了一千人，患该疾病的有二百人，其中检查结果正常二十人，不正常一百八十人，未患该疾病的有八百人，其中检查结果正常七百八十人，不正常二十人。 按检查结果来看，正常合计八百人，不正常合计二百人。第一问要求估计检查结果不正常者患病的概率。第二问要求用小概率值阿尔法等于零点零零一的独立性检验，判断检查结果是否与患病有关。这道题的核心就是两个知识点，一个是用频率估计概率，另一个是二乘二列联表的卡方独立性检验。 先看第一问，题目说 p 是 超声波检查结果不正常者患该疾病的概率。既然要估计这个概率，咱们就用样本里对应的频率来估计。 大家注意，分母不是总人数一千人，而是检查结果不正常的人数。因为条件已经限定了，检查结果不正常者检查结果不正常的人一共有二百人，这里面患该疾病的人是一百八十人。所以 p 的 估计值等于一百八十除以二百， 一百八十除以二百等于十八除以二十，也就是十分之九等于零点九。所以第一问答案是 p 的 估计值为零点九。 再看第二问，这一问要判断超声波检查结果和病变之间有没有关系。做独立性检验的时候，咱们先假设它们相互独立，然后计算塔方统计量，再和阿尔法等于零点零零一对应的临界值比较。 咱把列联表里的四个格子对应好，第一行看成患该疾病，第二行看成未患该疾病。第一列看成检查结果正常，第二列看成检查结果不正常。这样， a 等于二十， b 等于一百八十， c 等于七百八十， d 等于二十。总人数 n 等于一千， 卡方统计量等于 n 乘以 a、 d 减 bc 的 平方，再除以 a 加 b， c 加 d 加 d。 这四项的乘积先算关键的交叉差。 a、 d 等于二十乘二十等于四百， bc 等于一百八十乘七百八十。先算十八乘七百八十等于一万四千零四十，所以一百八十乘七百八十等于十四万零四百。所以 a、 d 减 bc 等于四百，减十四万零四百等于负十四万，这里后面要平方，所以负号平方之后不影响结果。负十四万的平方就是一百九十六亿 分子等于一千，乘以一百九十六亿。再看分母， a 加 b 等于二十，加一百八十等于二百。 c 加 d 等于七百八十，加二十等于八百。 a 加 c 等于二十，加七百八十等于八百。 b 加 d 等于一百八十加二十等于二百。所以分母是二百乘八百乘八百乘二百。 把这些数带入计算，卡方统计量等于七百六十五点六二五。接下来比较临界值，题目给出，当概率为零点零零一时， k 等于十点八二八，现在七百六十五点六二五大于十点八二八，已经远远超过临界值。 这说明，在小概率值阿尔法等于零点零零一的独立性检验下，咱们要拒绝超声波检查结果与患该疾病相互独立这个假设， 所以可以认为超声波检查结果与患该疾病有关。这道题答案汇总一下。第一问，检查结果不正常者共有二百人，其中患该疾病者一百八十人，所以 p 的 估计值等于一百八十，除以二百等于零点九。 第二问，卡方统计量等于七百六十五点六二五，因为七百六十五点六二五大于阿尔法等于零点零零一十的临界值十点八二八，所以拒绝独立性假设，认为超声波检查结果与患该疾病有关。 方法上，大家记住两点，求条件概率的估计值，先找清楚条件对应的总人数，再找其中满足目标事件的人数做独立性检验，一定先把四个格子的 a、 b、 c、 d 对 准，再算卡方统计量。最后和题目给出的临界值比较， 咱们继续看第十六题。题目说已知数列 a 下标 n 中第一项 a 下标一等于三，并且 a 下标 n 加一除以 n 等于 a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再加上分母是 n 乘括号， n 加一括号分子是一的分式。 第一问，证明数列 n 乘 a 下标 n 是 等差数列。第二问给定正整数 m， 设函数 f， x 等于 a 下标一乘 x 加 a 下标二乘 x 的 平方一直加到 a 下标 m 乘 x 的 m 次方 求 f 撇在负二处的值。这道题的核心是把地推式改写成 n 乘 a 下标 n 的 形式。第一问看地推，第二问求导以后正好会用到第一问。 先看第一问，咱们为什么要两边同成分母？因为题目要证明的是 n 乘 a 下标 n， 这个数列是等差数列，所以我们要想办法让地推式里出现 n 乘 a 下标 n 以及 n 加一乘 a 下标 n 加一， 原式是 a 下标 n 加一除以 n 等于 a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再加上分母是 n 乘括号， n 加一括号分子是一 两边同时乘 n 乘括号， n 加一括号。左边 a 下标 n 加一除以 n 再乘 n 乘括号， n 加一括号，剩下 n 加一乘 a 下标 n 加一。右边第一项 a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再乘 n 乘括号， n 加一括号，剩下 n 乘 a 下标 n。 右边第二项分母是 n 乘括号， n 加一括号分子是一，再乘 n 乘括号， n 加一括号，结果就是一，所以得到 n 加一乘 a 下标 n 加一，等于 n 乘 a， 下标 n 再加一。 这一步很关键。现在令 b 下标 n 等于 n 乘 a 下标 n， 那 么左边 n 加一，乘 a 下标 n 加一，就是 b 下标 n 加一，右边 n 乘 a 下标 n， 就是 b 下标 n， 于是有 b 下标 n 加一，等于 b 下标 n 再加一。 也就是说竖列 b 下标 n， 每往后一项都比前一项多一，所以它是等差。竖列公差是一。再看首项 b 下标一等于一，乘 a 下标一等于三， 因此 n 乘 a 下标 n 是 首项为三，公差为一的等差竖列。顺便可以写出通项 n 乘 a 下标 n 等于三加括号 n 减一，括号乘一，也就是 n 加二。所以 a 下标 n 等于分子是 n 加二，分母是 n。 再看第二问这一问，先不要急着把 a 下标 n 一个一个带进去，因为求导以后，每一项 a 下标 n 乘 x 的 n 次方会变成 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 减一次方。你看，这里正好出现第一问里的 n 乘 a 下标 n， 所以 f 撇 x 等于从 n 等于一到 m， 把 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 减一次方加起来。由第一问 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 加二， 所以 f 撇 x 等于从 n 等于一到 m， 把 n 加二乘 x 的 n 减一次方加起来。把 x 等于负二，代入得到 f 撇在负二处，等于从 n 等于一到 m， 把 n 加二乘负二的 n 减一次方加起来。 接下来为什么要拆开？因为 n 加二里面有一个带 n 的 部分，还有一个长数部分。拆开以后，一个是加权等比求和，一个是普通等比求和，设大写 a 等于一加负，二加负，二加负二的 m 减一次方， 这是首项为一，公比为负二共 m 项的等比数列求和。所以大写 a 等于分子是一，减去负二的 m 次方，分母是三。 再设大写 b 等于一乘负二的零次方，加二乘负二的一次方，加三乘负二的平方，一直加到 m 乘负二的 m 减一次方，也就是带 n 的 那一部分求大写 b 的 时候，咱们用错位相减大写 b 等于一加二乘负二加三乘负二的平方，一直加到 m 乘负二的 m 减一次方。 负二乘大写 b 等于一乘负二加二乘负二的平方，加三乘负二的三次方，一直加到 m 乘负二的 m 次方。现在用大写 b 减去负二乘大写 b， 左边是三乘大写 b， 右边一项一项对其看， 第一项留下一个一，中间从负二的一次方到负二的 m 减一次方，每一项的系数都剩下一。最后负二乘大写 b 里多出来一个 m 乘负二的 m 次方，减的时候要减掉， 所以三乘大写 b 等于大写 a 减 m 乘负二的 m 次方，于是大写 b 等于大写 a 减 m 乘负二的 m 次方，再除以三， 把大写 a 带进去。大写 b 等于分子是一，减去括号，三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，分母是九。 原来的 f 撇在负二处，就是大写 b 加二倍大写 a， 二倍大写 a 等于分子是六，减去六乘负二的 m 次方，分母是九，所以 f 撇在负二处，等于分子是一，减去括号。三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，分母是九，再加上分子是六，减去六乘负二的 m 次方，分母是九。 分子合起来常数部分是一加六等于七，含有负二的 m 次方的部分是减去括号三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，再减去六乘负二的 m 次方，也就是减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方。 所以 f 撇在负二处等于分子是七，减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方，分母是九。 答案汇总一下，第一问，令 b 下标 n 等于 n 乘 a 下标 n， 可以 得到 b 下标 n 加一等于 b 下标 n 再加一。所以 n 乘 a 下标 n 是 首项为三公差为一的等差数列。进一步有， n 乘 a 下标 n 等于 n 加二， a 下标 n 等于分子 n 加二分母 n。 第二问， f 撇在负二处，等于分子是七，减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方分母是九。这题的方法要抓住两点，第一递推式，先乘掉分母，把它变成 n 乘 a 下标 n 的 相邻关系。第二求导后会自然出现 n 乘 a 下标 n。 这正是第一问的作用。 咱们继续看第十七题。题目说在四棱锥 p 到 a、 b、 c、 d 中， p、 a 垂直于底面 a、 b、 c、 d， a、 b 垂直于 ad。 第一问证明平面 p， a、 b 垂直于平面 p、 a、 d。 第二问给出 p a 等于 ab 等于根号下二， bc 等于二， a、 d 等于一，加根号下三。并且点 p、 b、 c、 d 都在求 o 的 球面上，要求先证明点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内，在求直线 a、 c 与 p、 o 所成角的余弦值。 这道题前半部分考空间垂直关系，后半部分用空间直角坐标系找球心，再用向量夹角公式求角。 先看第一问，咱们要证明两个平面垂直，常用办法是在一个平面里找到一条直线，证明它垂直另一个平面。这里要证明平面 p、 a、 d 垂直于平面 p a、 d。 大家注意， a、 d 本来就在平面 p a、 d 里面，所以咱们可以尝试证明 a、 d 垂直于平面 p a、 b、 c、 d。 为什么选 a、 d 呢？因为题目直接给了 a、 b、 c、 d， 又给了 pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d 内，那么 pi 垂直于 a、 d。 现在你看 pa 和 ab 都在平面 p a、 b 内，而且它们交于点 a， 我 们已经有了 a、 d 垂直于 pa， 也有 a、 d 垂直于 ab。 一 条直线如果垂直于一个平面内，两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面，所以 a、 d 垂直于平面 p a、 b。 又因为 a、 d 在 平面 p a、 d 内，一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，所以平面 p a、 d 垂直于平面 p a、 b。 第一问正完 再看第二问。这里有长度，有垂直，有平行，还要找球心和夹角。最直接的方法是建立空间直角坐标系。 为什么可以这么建呢？因为 p、 a 垂直于底面， ab 垂直于 ad， 等于说在 a 点附近有三条两两垂直的方向。咱们就以 a 为圆点，把 ad 所在直线作为 x 轴，把 ab 所在直线作为 y 轴，把 ap 所在直线作为 z 轴，方向取和图示一致。这样 a 的 坐标是零零零。 因为 ab 等于根号下二，所以 b 的 坐标是零，根号下二，零。因为 pa 等于根号下二，所以 p 的 坐标是零零，根号下二。 又因为 bc 平行于 a、 d， 且 bc 等于二，所以 c 是 从 b 沿 x 轴方向走，二，坐标是二，根号下二零。因为 a、 d 等于一，加根号下三，所以 d 的 坐标是一，加根号下三。零零 设球心， o 的 坐标是 x、 y、 z， 由于 p、 b、 c、 d 都在球面上，所以 o 到这四个点的距离相等。咱们先用 o、 b 等于 o、 c。 这样做的好处是， b 和 c 的 y 坐标、 z 坐标一样，只差 x 坐标算起来最干净。 o、 b 的 平方等于 x 的 平方，加上 y 减根号下二的平方，加上 z 的 平方。 o、 c 的 平方等于 x 减二的平方，加上 y 减根号下二的平方，加上 z 的 平方。两边相等后，后面两项完全相同，可以同时去掉剩下 x 的 平方等于 x 减二的平方。 展开右边得到 x 的 平方等于 x 的 平方。减四， x 加四，所以负四， x 加四等于零， x 等于一。 接着用 o、 c 等于 o、 d， 因为现在已经知道 x 等于一，带进去 o、 c 的 平方等于一减二的平方，加上 y 减根号下二的平方，加上 z 的 平方，也就是一加 y 减根号下二的平方加 z 的 平方。 o、 d 的 平方等于一减一减根号下三的平方。加 y 的 平方，加上 z 的 平方，也就是负根号下三的平方。加 y 的 平方加 z 的 平方，所以是三加 y 的 平方，加 z 的 平方， 两边相等，得到一加 y 减根号下二的平方，加 z 的 平方等于三加 y 的 平方加 z 的 平方 两边去掉 z 的 平方，再展开 y 减根号下二的平方，得到一加 y 的 平方，减二倍。根号下二乘 y 加二等于三加 y 的 平方。左边的一加二是三，所以三加 y 的 平方减二倍。根号下二乘 y 等于三加 y 的 平方， 两边同时去掉三和 y 的 平方，得到负二倍。根号下二乘 y 等于零，所以 y 等于零。最后用 o、 p 等于 o、 b 代入， x 等于一， y 等于零， o、 p 的 平方等于一的平方，加零的平方加 z 减根号下二的平方，也就是一加 z 减根号下二的平方。 o、 b 的 平方等于一的平方，加零减根号下二的平方加 z 的 平方，也就是一加二加 z 的 平方等于三加 z 的 平方。 两边相等，得到一加 z， 减根号下二的平方等于三加 z 的 平方。展开左边得到一加 z 的 平方，减二倍。根号下二乘 z 加二等于三加 z 的 平方， 左边的一加二也是三，所以三加 z 的 平方减二倍。根号下二乘 z 等于三加 z 的 平方。两边同时去掉三和 z 的 平方，得到负二倍，根号下二乘 z 等于零，所以 z 等于零。 因此球心 o 的 坐标是一零零，它的 z 坐标是零，说明它就在底面 a、 b、 c、 d 所在的平面内。第一小问正反 在求直线 ac 与 po 所成角的余弦值，两条直线所成角可以转化为它们方向向量夹角的锐角。向量 ac 等于 c 的 坐标减 a 的 坐标，所以向量 ac 是 二根号下二，零。向量 po 等于 o 的 坐标减 p 的 坐标，所以向量 po 是 一零。负根号下二。 先算点击向量 ac 点成像量 po 等于二乘以加根号下二乘零加零乘负，根号下二。结果是二 加角取锐角，所以用点积的绝对值还是二。再算两个向量的长度，向量 a、 c 的 长度等于根号下二的平方，加根号下二的平方加零的平方，也就是根号下四加二等于根号下六。向量 p、 o 的 长度等于根号下一的平方，加零的平方加负根号下二的平方，也就是根号下一加二等于根号下三。 所以直线 ac 与 p o 所成角的余弦值等于二，除以根号下六，乘根号下三分母是根号下十八，也就是三倍。根号下二，二除以三倍。根号下二，化简后等于根号下二，除以三。最后汇总一下，第一问，关键是抓住 a、 d， 因为 a、 d 同时垂直于 pa 和 ab， 而 pa 与 ab 是 平面 p a、 b 内的两条相交直线，所以 a、 d 垂直于平面 p a、 b。 进而推出平面 p a、 b 垂直于平面 p a、 d。 第二问，建立以 a 为圆点的空间直角坐标系，得到 a 是 零零零， b 是 零，根号下二零， p 是 零零。根号下二， c 是 二，根号下二零， d 是 一，加根号下三零零。 设 o 是 x， y、 z 利用 o， b 等于 oc， oc 等于 o， d， o、 p 等于 o， b 依次求出， x 等于一， y 等于零， z 等于零，所以 o 在 底面平面 abcd 内。 最后向量 a、 c 是 二根号下二零。向量 p、 o 是 一，零，负根号下二，点击绝对值是二。两个向量长度分别是根号下六和根号下三。所以直线 a、 c 与 p o 所成角的余弦值是根号下二除以三。 咱们继续看第十八题。题目说，已知椭圆 c、 x 的 平方除以 a 的 平方加 y 的 平方除以 b 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零， 椭圆的离心率为三分之二倍。根号下二，下顶点为 a， 右顶点为 b， 线段 a、 b 的 长度为根号下一。十、第一问，求椭圆 c 的 方程。第二问，已知动点 p 不 在 y 轴上，点二在射线 a p 上，并且满足 a， p 的 长度乘以 a 二的长度等于三。 第一小问，设 p 的 坐标为 m n， 求二的坐标用 m n 表示。第二小问，设 o 为坐标原点 q 是 椭圆 c 上的动点直线 o 二的斜率是直线 o p 的 斜率的三倍，求 p q 的 长度的最大值。 这道题的核心一个是椭圆基本量，一个是用向量参数表示点，最后把斜率条件转化成 p 的 轨迹，再做最值。 先看第一问，咱们为什么先找顶点坐标？因为椭圆已经是标准方程，长轴在 x 轴上，所以下顶点和右顶点可以直接写出来。下顶点 a 是 零负 b， 右顶点 b 是 a 零 线段。 ab 的 长度是根号下一十，所以 ab 的 平方就是 a。 零横向差是 a， 横向差是 b， 所以 ab 的 平方等于 a 的 平方。因此得到第一个关系， a 的 平方加 b 的 平方等于十。 再看离心率，椭圆的离心率等于 c 除以 a， 而 c 的 平方等于 a 的 平方减 b 的 平方。 题目给离心率是三分之二倍。根号下二，也就是二。乘根号下二除以三，所以 c 除以 a 等于二，乘根号下二除以三。两边平方得到 c 的 平方除以 a 的 平方等于九分之八， 也就是 a 的 平方减 b 的 平方再除以 a 的 平方等于九分之八。这一步很关键，它等价于一。减 b 的 平方除以 a 的 平方等于九分之八，所以 b 的 平方除以 a 的 平方等于九分之一。也就是说， b 的 平方等于 a 的 平方除以九。 把它带入刚才的 a 的 平方加 b 的 平方等于十。得到 a 的 平方加 a 的 平方除以九。等于十，也就是九分之十个。 a 的 平方等于十，所以 a 的 平方等于九，于是 b 的 平方等于一。所以椭圆 c 的 方程就是 x 的 平方除以九加 y 的 平方等于一。 接着看第二问，由第一问可知下顶点 a 是 零负一。先做第一小问，题目说二在射线 a p 上，这说明二可以用 a 到 p 的 方向来表示。咱们设二等于 a 加 lambda 倍的 p 减 a， 其中 lambda 大 于等于零， p 的 坐标是 m n， a 的 坐标是零负一，所以向量 a p 是 m， n 加一 a p 长度的平方就是 m 的 平方加 n 加一的平方。为了书写方便，设 s 等于 m 的 平方加 n 加一的平方。 因为二等于 a 加 lama 倍 ap， 所以 a 二的长度等于 lama 倍 ap 的 长度。题目给 ap 的 长度乘以 a， 二的长度等于三，也就是 ap 的 长度乘以 lama 倍。 ap 的 长度等于三， 所以 lambd 乘以 ap 长度的平方等于三，也就是 lambd 乘以 s 等于三，因此 lambd 等于三，除以 s 把 lambd 带回去。二的横坐标等于零加三除以 s 乘以 m， 也就是三。 m 除以 m 的 平方，加 n 加一的平方， 二的纵坐标等于负一加三除以 s 乘以 n 加一，也就是负一加三倍。 n 加一除以 m 的 平方，加 n 加一的平方，所以二的坐标是三。 m 除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。逗号负一加三倍。 n 加一除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。 再看第二小问，因为 p 不 在 y 轴上，所以 m 不 等于零。直线 o， p 的 斜率可以写成 n 除以 m， 直线 o 二的斜率需要用刚才二的坐标来算。二的横坐标是三 m 除以 s， 二的纵坐标是负一加三倍， n 加一除以 s， 所以 直线 o 二的斜率等于负一加三倍， n 加一除以 s， 再除以三 m。 题目说直线 o 二的斜率是直线 o p 的 斜率的三倍，所以负 s 加三倍， n 加一再除以三， m 等于三， n 除以 m。 因为 m 不 等于零，咱们两边同时乘以三 m， 得到负 s 加三倍， n 加一等于九 n 把右边移过来，得到负 s 加三倍， n 加三减九， n 等于零，也就是负 s 减六， n 加三等于零， 所以 s 加六， n 减三等于零。再把 s 换回 m 的 平方，加 n 加一的平方，得到 m 的 平方加 n 加一的平方加六， n 减三等于零。把 n 加一的平方展开，是 n 的 平方加二， n 加一， 所以得到 m 的 平方加 n 加一加六， n 减三等于零。配方 n 的 平方加八， n 等于 n 加四的平方减十六。 所以方程变成 m 的 平方加 n 加四的平方减十八等于零，也就是 m 的 平方加 n 加四的平方等于十八。 这说明 p 在 一个圆上，圆心 s 是 零，负四，半径是根号下一，十八，也就是三倍。根号下二。现在要求 p， q 的 最大值。 大家注意， q 在 椭圆上动， p 在 这个圆上动。对固定的 q 来看，圆上离 q 最远的点一定在从 q 指向圆心反方向的那条直线上。所以对固定的 q p， q 的 最大值等于 s， q 的 长度加圆的半径，圆的半径是三倍。根号下二。 接下来只要让 s q 的 长度最大，设 q 的 坐标为 x， y， 因为 q 在 椭圆上，所以 x 的 平方除以九加 y 的 平方等于一。 因此 x 的 平方等于九倍一减 y 的 平方， s 是 零。负四，所以 sq 的 平方等于 x 的 平方。加 y 加四的平方。把 x 的 平方带进去，得到 sq 的 平方等于九倍一减 y 的 平方。加 y 加四的平方。展开一下， 九倍一减 y 的 平方是九减九 y 的 平方。 y 加四的平方是 y 的 平方。加八， y 加十六，相加得到二十五加八， y 减八， y 的 平方。 为了看最大值，咱们配方二十五加八， y 减八， y 的 平方等于二十七减八倍， y 减二分之一的平方。因为平方向最小是零，所以当 y 等于二分之一时， s q 的 平方最大，最大是二十七，所以 s q 的 最大值是根号下二十七，也就是三倍，根号下二加三 倍，根号下三。并且 y 等于二分之一在椭圆上可以取到的，因此 p q 的 最大值等于三倍，括号，根号下二，加根号下三。 最后汇总一下，第一问，椭圆 c 的 方程是 x 的 平方，除以九加 y 的 平方等于一。第二问第一小问二的坐标是三， m 除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。逗号负一加三倍， n 加一除以 m 的 平方加 n 加一的平方。 第二问，第二小问， p q 的 长度最大值是三倍，括号，根号下二，加根号下三。这道题的方法线很清楚，第一步，用顶点距离和离心率求 a 的 平方， b 的 平方。 第二步，因为二在射线 a p 上，所以用参数 l d 表示二。第三步，把斜率条件代入，得到 p 的 轨迹是圆，最后把动点 p 到定点， q 的 最大距离转化成圆心到 q 的 距离加半径，再在椭圆上求 s q 的 最大值。关键是每一步都先把几何条件翻译成坐标关系，后面的计算就顺了， 咱们继续看第十九题。第一问要在几何条件翻译成坐标关系，后面的计算就顺了，咱们继续看第一问，要在零到四分之派这个 b 区间上求五倍余弦 x 减五 x 的 最大值。 第二问是一个余弦函数的存在性证明。第三问要给五倍余弦 x 减余弦五 x 加上一个平移量 f， 再让它对所有实数 x 都小于等于 b， 求 b 的 最小值。 大家注意，这道题的核心不是单纯算三角函数，而是把五倍角公式、区间长度以及最大值的下界和渠道连在一起用。先看第一问， 咱们为什么要还原？因为式子里同时有余弦 x 和余弦五 x， 而五倍角公式可以把余弦五 x 全部写成余弦 x 的 多项式。这样，问题就从三角函数最大值变成一个一元函数在 b 区间上的最大值，令 t 等于余弦 x。 当 x 从零到四分之派变化时，余弦 x 从一降到二分之根号下二，所以 t 属于 b 区间，二分之根号下二到一。 五倍角公式是，余弦五 x 等于十六倍余弦 x 的 五次方，减二十倍余弦 x 的 三次方加五倍余弦 x， 所以 五倍余弦 x 减余弦五 x 就 等于五 t 减去括号里十六 t 的 五次方，减二十 t 的 三次方加五 t， 把括号打开，五 t 和负五 t 抵消，剩下二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。咱们设 g t 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。 接下来求到 g 撇 t 等于六十 t 的 平方，减八十 t 的 四次方。提取二十 t 的 平方，得到二十 t 的 平方，乘以三减四 t 的 平方。 在这个区间里， t 是 正数，所以导数为零。只需要看三减四， t 的 平方等于零，于是 t 的 平方等于四分之三， t 等于二分之根号下三。这个点在二分之根号下二到一之间，所以要比较三个值，左端点，临界点，右端点。 当 t 等于二分之根号下二时 gt。 等于三倍根号下二，当 t 等于一时， gt。 等于二十减十六，也就是四。当 t 等于二分之根号下三时，二十 t 的 三次方减十六， t 的 五次方等于三倍根号下三。三个数比较，三倍根号下三最大，所以第一问的最大值是三倍根号下三， 再看第二问。这一问要证明给定 theta 在 零到派之间， a 是 任意实数，一定能在 a 减 theta 到 a 加 theta 这个区间里找到一个 y， 使得余弦 y 小 于等于余弦 theta。 咱们先想为什么要从反面证明，因为存在一个 y 不好直接找，但它的反面很清楚，如果找不到这样的 y， 那 就是整个区间里的每一个 y 都满足于弦 y 大 于于弦 theta。 关键是要看余弦 y 大 于余弦 c 叉的点都在哪里。因为 c 叉在零到派之间，在每一个周期里，余弦 y 大 于余弦 c 叉，恰好发生在 y 属于二 k 派减 c 叉到二 k 派加 c 叉的开区间里， 这里 k 是 整数。也就是说，所有让余弦 y 大 于余弦 c 叉的点分布在一段一段开区间中，每一段的长度都是二 c 叉， 现在反射不存在 y 属于 a 减 c 到 a 加 c， 使得余弦 y 小 于等于余弦 c。 那 就说明对于 b 区间 a 减 c 到 a 加 c 里的所有 y 都有余弦 y 大 于余弦 c， 所以 这个 b 区间必须完全落在某一个开区间二 k 派减 c 到二 k 派加 c 派加 c 里面。 大家注意，这一步很关键，因为 b 区间 a 减 c 到 a 加 c 派加 c， 它的长度也是二 c， 它 一个长度为二 cta 的 b 区间不可能完全包含在一个同样长度为二 cta 的 开区间里面，要完全放进去外面的开区间长度必须更大才行，这就产生矛盾，所以反射不成立，于是一定存在 y 属于 a 减 cta 到 a 加 cta， 使得余弦 y 小 于等于余弦 cta。 最后看第三问，题目说设 b 是 实数，如果存在某个 f， 使得五倍余弦 x 减余弦括号五 x 加 f。 对 所有实数 x 都小于等于 b， 求 b 的 最小值。咱们先证明 b 不 能小于三倍。根号下三。 为什么要用第二问？因为第三问里面有余弦括号五 x 加 f。 第二问刚好可以控制一个形容余弦 y 的 量，而且 y 可以 落在 f 附近的一个区间里， 任取一个 f。 在 第二问中，令 a 等于 f， c 等于六分之五派。因为六分之五派在零到派之间，所以可以使用第二问。于是存在 y 属于 f 减六分之五派到 f 加六分之五派，使得余弦 y 小 于等于余弦六分之五派，而余弦六分之五派等于负二分之根号下三。所以余弦 y 小 于等于负二分之根号下三。 接下来把 y 和五 x 加 f 对 上，令 x 等于 y 减 f， 再除以五。因为 y 在 f 减六分之五派到 f 加六分之五派之间，所以 y 减 f 在 负六分之五派到六分之五派之间， 再除以五，得到 x 属于负六分之派到六分之派。在这个区间里，余弦 x 大 于等于二分之根号下三。并且按照 x 的 定义，五 x 加 f 等于五倍余弦，括号五 x 减余弦 y。 刚才已经知道，余弦 x 大 于等于二分之根号下三，余弦 y 小 于等于负二分之根号下三。因此，五倍余弦 x 减余弦 y 大 于等于五，乘二分之根号下三，再加二分之根号下三， 这个值等于三倍根号下三。这说明什么？无论 f 怎么取，总能找到一个 x， 让这个表达式至少达到三倍根号下三。所以，如果他要对所有实数 x 都小于等于 b， 那 b 必须大于等于三倍根号下三。 下面还要证明三倍根号下三真的能做到取 f 等于零。这时表达式变成五倍余弦 x 减余弦五 x 令 t 等于余弦 x。 因为 x 是 任意实数，所以 t 属于 b 区间负一到一， 仍然用五倍角公式。五倍余弦 x 减余弦五， x 等于二十 t 的 三次方减十六 t 的 五次方。当 t 小 于等于零时，二十 t 的 三次方减十六 t 的 五次方，可以写成四 t 的 三次方乘以五减四 t 的 平方， 这里 t 的 三次方小于等于零，而五减四 t 的 平方大于等于一，所以整个乘积小于等于零，当然就小于等于三倍根号下三。 当 t 属于零到一时，咱们看函数 g， t 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方，它的导数是二十 t 的 平方，乘以三减四， t 的 平方，导数为零时， t 等于二分之根号下三。 端点和这个临界点比较，最大值还是三倍根号下三。所以对所有实数 x 都有五倍余弦， x 减余弦五 x 小 于等于三倍根号下三。这说明当 f 等于零时， b 取三倍根号下三就可以满足条件。 前面证明 b 不 能更小，这里证明 b 等于三倍根号下三可以取到。所以第三问中 b 的 最小值是三倍根号下三。 咱们把答案汇总一下，第一问，五倍余弦 x 减余弦五 x 在 b 区间零到四分之派上的最大值是三倍根号下三。 第二问，利用余弦 y 大 于余弦 theta， 对 应的开区间长度是二 theta， 而题目给出的 b 区间长度也是二 theta 反射整个 b 区间都落在同长度开区间里，会产生矛盾，所以一定存在所需的 y。 第三问，先用第二问证明任何费下表达式的全区上界至少要达到三倍根号下三，再取非等于零。用第一问同样的换元和求导方法证明三倍根号下三确实可以作为统一上界，因此 b 的 最小值是三倍根号下三。 这道题最关键的两步，一个是把余弦五 x 用五倍角公式变成关于余弦 x 的 多项式。另一个是第三问里用第二问制造出合适的 y， 再令五 x 加 f 等于 y， 前者负责算最大值，后者负责证明这个最大值就是不可突破的下界。
210杨老师数学精讲
00:42查看AI文稿AI文稿你是说为了找他，一个人喊了七百二十万人来陪考两小时吗？二零二六新高考数学一卷成绩一出，发现只有一人满分， 震惊的不仅仅是数学满分，而是一百多万人里居然只有他一个人满分，这才 是真正的立于百万人之上啊！高考刚考完数学的那天，热搜可是出现了很多关于一卷有多难的词条，还有考生说甚至比 二二年的还难考。要知道二二年可是零人满分的一年，今年考一卷的省份有十一个，大约得有七百二十万考生，而他就是那七百二十万分之一，真神般的存在。他可不是百里挑一，他是百万里挑一啊！我要是他的数学老师，路上见到一只蚂蚁，我都得趴地上来一句，那个满分是我教的。
42.3万麻花娱乐
26:53查看AI文稿AI文稿我敢说这期视频是全网最保姆级的高考数学压轴题讲解，不管你是八十分还是六十分，看完这期视频，你将拿下二五年新一卷十九问最后一题， 好，话不多说，我们直接来看一下第一问。第一问他告诉你 f x 是 这个东西，让去求他在区间零到四分之派中的最大值，那给函数求最值。问题是不是更普遍的，我们要去求到 第一问，对我们来说应该是松分体，直接给它求导， f 到 x 等于负三 x 加五倍的三五 x。 好， 我们会发现前面都有个五，我们把五提出来等于五倍的三五 x 减三 x 啊。其实有很多老师在这里就是说建议去用这个 转化机对这个公式来做，但是有的同学其实他并没有背过这个公式，那这里我们其实可以不用这个公式去做，直接我们令 f x 等于零，我们就有散五 x 等于散 x。 又因为 x 是 不属于零到四分之派， 所以五 x 属于零到四分之五派。我们会发现四分之五派，其实，呃，就是派往右边一点点啊，这是派，我们知道这个是派，我们假设这个是四分之五派， 这段其实就是 x 和五 x 所有的取值了，那我们会发现满足散引五 x 等于散 x 的 是不是只能在零到 pi 中我们去取到？我们假设这是 x， 这是五 x， 它们是不是关于二分之 pi 对 称，所以我们有 x 加五 x 乘二分之一 等于二分之派，是不是很轻易能够解得 x 等于六分之派？六分之派应该就是我们这个函数的极致点了。我们接着再去讨论它的单调性，当 x 大 于零，小于六分之派的时候，我们去想一下，这个 f 到 x 大 到底是大于零还是小于零呢？其实也比较好看，我们假设 这一点，刚才画的这一点就是六分之派的时候吧。我们知道 x 等于六分之派的时候，三 y 五 x 等于三 x， 那 当 x 小 于六分之派的时候呢？这个 x 是 不是就往左边移动了？那五 x 是 不是也相应的往左边移动？ 此时呢，我们会发现三 x 是 下降的，但是三 y 五 x 呢，会比刚才更大，这个时候我们就知道三 y 五 x 呢，会比刚才更大，这个时候我们的 f 到 x 就 应该是大于零的 啊。当然这段你在草稿纸上写就好了，我们答题卡上呢，只用去写。此时三五 x 大 于三 x， 有 f 到 x 大 于零单增。第二个情况是不就是 x 大 于六分之派小于四分之派啊？这里其实也是相应的，你会发现 x 是 不是和五 x 都往左侧移动， 此时三 x 上升，三五 x 下降，有三五 x 减，三 x 小 于零，这里是相对应的。一样的，三五 x 小 于三 x 有 f 导， x 小 于零单减，这里我们很轻易就能看到它这个函数趋势在零到四分之派上是先增后减 啊。这个最大值处应该就是六分之派，所以我们直接去算 f x 最大值等于 f 六分之派。这里我已经给你们算了，是三倍根号三。好事不宜迟，我们继续来看一下这个第二题。第二题他给定 c， 它属于零到派啊， a 属于 r， 让你去证明什么存在。外属于这个东西使得 cosine 外效等于 cosine theta， 这个一眼看上去其实不是特别容易理解，因为它是用数学语言去描述的，所以我们首先要做的事情就是去翻译一下它。首先它给了你什么 set 和 a 的 两个取值范围， set 的 定义域是零到派， a 是 属于 r， 让去证明存在一个 y 满足这个不等式，而且呢，它同时也要在这个区间内，我们会发现这个区间其实挺对称的， a 减 set 啊，还有一个 a 加 c 塔很轻易就能够得到这个区间的长度，其实是一个二 c 塔，对吧？ a 加 c 塔减去一个 a 减 c 塔，也就说要求你在这个树轴上随便给一个长度为二 c 塔的区间，你在这个二 c 塔中能够找到一个角度 y 满足 这个 cosine 以外，它的函数值一定要比 c 塔的函数值小。那么对于这个不等式，我们怎么样去考虑呢？ 我们去想一下，一般让我们去证明一个不等式，比如说 a 小 于等于二 x 加一，这个时候我们第一反应 是不是要先求出这个二 x 加一的最小值，只要我们能够证明 a 小 于等于二 x 加一的最小值，是不自然也就小于等于二 x 加一了。所以在这里我们其实也是一样的，在这里我们会发现 c 它是在零到派上来回跑的， 所以 cosine theta 它的值也是不固定的。那在这里我们是不是要先去找到 cosine theta 最小值，那我们顺理成章的就能推出 cosine 以外小于等于 cosine theta 了。那好，这里又有同学说了， cosine theta 既然是属于零到 pi 的， 我随随便便画一个草图，我就能够看出来，它的最小值应该就是 cosine pi 的 时候，此时 cosine 以外应该等于 cosine pi， 等于负一小于等于 cosine theta， 这个表面上看起来是没有啥问题，但其实啊，另外等于派的前提是不是就是我们的 y 能够取到这个派啊？那这个时候是不是就涉及到我们对于 y 的 区间的讨论？我们在题中给出来，我们的 y 的 区间应该是 a 减 c， 它 a 加 c， 它，这里又有我们的第二个问题了，我们会发现 a 它是属于 r 的， 那这个时候我们的 y 是 不是就不好讨论了？因为它也有可能取到任意的时数，那这个时候我们怎么办呢？这个时候啊，就是我们三角函数的魅力所在。 我们去想一下余弦函数它有什么特点呢？它是一个周期函数，而且呢，它的周期是多少？是不是二 pi？ 既然以二 pi 为周期，是不是同样满足 cosine x 加二 k pi 等于 cosine x， 那 这个时候啊，我们其实可以不用研究所有的 实数 a， 仅仅我们看一个周期内的零到二派是不就可以了？哎，那这个时候我们就可以顺理成章的在答题卡上写出一句很装的话，因为余弦函数以二派为周期，所以我们不妨设 a 属于零到二派， 那这个时候我们其实就可以呃，老老实实的对这个区间进行一个分类讨论了。我们回到刚才的问题上，当 y 等于派的时候，我们知道最小值在派处取得， 所以我们先去讨论一个最简单的情况，就是 y 能够取到派，也就是我们这个 y 的 区间包含派，这个时候无用指一派就应该是最小，所以我们去取 y 等于派，有 cosine y 等于 cosine pi 等于负一小于等于 cosine c 态，所以事实上我们刚才想到的只是一种情况， 我们还有另外一种情况，是不就是外不能取到派，也就是外的区间并不包含派，那这个时候就有意思了，这个时候我们再画一个图，这个图的区间就应该是零到二派。当我的区间不包含派的时候，它是有两种可能性，一种我在 派的左边，另一种呢，我可以在派的右边，所以这里我们依旧还是要继续分类讨论。第一个，当外区间位于派的左侧，是不一定是最右边这个端点 a 加 c 塔， 所以这个时候我们要取 y 等于 a 加 c 它，那要证明什么？是不是 cosine a 加 c， 它一定要小于等于 cosine c 怎么证？是不是还是利用单调性？因为 a 属于这个零到二派，所以它应该是大于零的，那 a 加 c， 它是不是就应该是大于等于 c 它？我们又因为这段是单调递减，所以 cosine a 加 c， 它自然而然就小于等于 cosine c 它 我们就证明完毕了。第二个呢，当 y 区间位于 pi 的 右侧的时候，同样的我们会发现右侧它是单调递增的，此时最小值应该在 a 减 theta 处取得，我们照样取 y 等于 a 减 theta， 我 们要证明 cosine a 减 theta 小 于等于 cosine， 哎，这里我们会发现 a 是 不是属于零的二 pi？ 也就是说 a 小 于等于二 pi， 所以 a 减 theta 是 不是一定小于等于二 pi 减 theta， 就因为 pi 到二 pi 这块单调递增的，所以我们有 cosine a 减 c， 也小于等于 cosine 二 pi 减 c， 哎，那 cosine 二 pi 减 c 是 不是就等于 cosine c？ 这个我们也证明完毕了，所以这道题呢，我们整体其实就已经证完了。这里呢，我其实想带着大家再多想一步。我们刚才呢，是通过余弦函数的这个周期的性质，我们去设 a 属于 零到二派，然后呢，我们在零到二派这个区间上对它进行了一个分类讨论，那这个时候我们如果不令 a 属于零到二派，如果我们令 a 属于 负派到派呢？是不是和上面这个其实是一样的？我们把图形补全，我们去观察一下，如果我们这样取 a 的 话，这是负派，这是派。题目中已经告诉我们，对于这个实数 a 存在一个 y 属于这个 a 减 c， 它 a 加 c， 它满足 cosine y 小 于等于 cosine c， 它，这个没问题吧？这是我抄的原题，假如说我的 y 在 这里，它是不是满足 y 大 于等于 a 减 c， 它 小于等于 a 加 c？ 假设我的 a 减 c， 它和 a 加 c， 它这个区间在这里，那如果我要对称过去，我要去求负外负外区间是不是相对应的，也就对称过来了。 我们计算其实就是给它不等号，两边同乘一个负一，负外小等于这个负一，是不是负 a 加 c， 它这是不是负 a 减 c， 它，这时候我们就知道负 a 减 c， 它应该在左边嘛？所以负 a 减 c， 它这是 负 a 加 c， 它。同样的，我们会发现，由于余弦函数的对称性，我们就能够得到 cosine 负外是不等于 cosine y， 你要证明它小于等于 cosine theta， 也就是说我们能够发现什么？如果我们的外在零到派这个区间上，我们已经证明了对于 a 而言，存在 y 能够满足 cosine y 小 于 cosine theta， 就 能够证明外在负派到零上，它同样能够满足这么一个等式，也就说你正了 a， 你 就能够正 b， 那 这能够告诉我们什么？ 是不是我们能够进一步的去缩小 a 的 范围，这个时候我们可以直接令 a 属于零到 pi， 所以 说这就是余弦函数的周期性和对称性两个东西加起来才能够告诉我们的东西。那这种其实我们的分类讨论就更简单 了，我们如果只留右半边，我们会发现是不是始终讨论两个情况，第一个 是 pi 是 这个外最小值的情况，还有一个呢， pi 是 外最小值的情况， 也就说一个是 y 去 pi， 一个是 y 去 a 加 theta， 就 没有 a 减 theta 那 个情况了。所以这样的话，我们只用讨论两种情况会比上面 三种情况分开讨论更简单一点，就说如果你已经想到了这块，你但凡再往后再多想一下对吧？想到它的这个对称性，或许我们的步骤就能够更加美观，更加简洁。 我们除了单纯的靠这种函数中的分类讨论去做整道题，我们其实还能够通过数形结合的思想来 解决一下这道题。在三个函数中，数形结合最直接应用的地方想必就是单位元了，所以说我想请同学们来使用单位元去思考一下这个题到底怎么样去解决。这是一个单位元，我们知道 c， 它属于领导派， a 属于 r， 让你去证明存在一个 y 属于等于 a 减 c， 它假设这是 a 减 c， 它 假设这段是 a 加 c， 它这点 a， 这点 b y 是 不就在这个 a b 这个圆弧上？而且这个弧长我们应该是能够求出来的。弧长 l 等于圆心角乘一个半径，而我们单位圆的半径基本上都是一嘛，所以说弧长就应该等于 圆形角，那这个时候弧长 a b 轻易就能够得到，是不是 a 加 theta 减 a 减 theta， 也就是我们刚才求得的区间的长度二倍的 theta 啊？这里的 y 其实应该是角度啊。我们假设，我们假设这个 p 吧，我们假设点 p， 我 没有写清楚，我们假设点 p， 它是不是应该就是 cosine y？ 多少 cosine y， 那 它的轨迹 是不是就应该是一个二倍的 theta？ 那 让我们证明什么？证明一定存在某一个点 y， 满足以下两个条件，第一个就是 y 要在这个弧长内移动，第二个呢是就是 cosine y 需要等于 theta a cosine theta 这个其实我们已经挖掘的差不多了，剩下的就是这个不等式。我们怎么样把这个不等式转化为我们的这个圆心角上的问题？我们知道点 p cosine y， cosine y 的 轨迹是单位圆上长度为二 c t 的 一个弧，剩下呢？我们要去挖掘的是不就是 cosine c t？ cosine c t 在 单位圆中，我们知道它是不是代表横坐标？我们既然要证明一个东西小于这个 cosine c t， 我们是不是可以反过来去找到所有小于 cosine theta 它满足的一个条件，然后呢，我们再去看 cosine y 是 不是在这个条件中， cosine theta 在 单位圆上代表 横坐标，也就是我们要找到所有小于 cosine theta 这个横坐标的其他的横坐标。我们假设这个角是 theta， 我 们把它对称过去，我们轻易能够得到这东西，是不是二拍减 theta， 二 pi 再减掉一个 theta 没有问题吧？那我们就能够得到所有小于这个横坐标的这个点是不是都在这个弧长内？哎，那我们就知道小于等于 cosine theta 的 角度区间应该是什么？是不是 theta 二 pi 减 theta， 这个时候我们能够求得它的弧长是什么？二 pi 减 theta， 再减去个 theta， 是 不是二 pi 减二 theta？ 我 们将它梳理一下，我们就能够得到这样的两个结论。我们进一步观察，我们会惊喜地发现， 一个是二 c 塔，一个是二派件二 c 塔，他们俩加起来是不是刚好就等于整个单元这个周长这块没有问题吧？也就是他们之间必然会有重叠的部分。什么意思？比如说，我就举一个最极端的例子， 他们刚好哎手尾相接了，这个时候，因为你发现这两者的端点其实它都是可以取到的，所以他们之间一定是有共点，两段弧长之间的交集一定不是共集。 所以说我总能够找到一个 y， 既满足这个关于 y 的 这个点，在这个长度为二 c 塔这个弧上，又能够满足横坐标小于等于 cosine c 塔，所以说我们的目标是不是就已经正完了？ 它们俩是必然会共存的，因为这两个弧长它是必然会有共用点的，只要有共用点，那它就必然存在一个 y， 同时满足 这两个东西。所以说这就是我们呃树形结合的一种思想，希望同学们以后再碰到这个三角函数相关导数题的时候，能够积极的去运用这个单元的思想，因为他有时候会比上面的这个分类讨论更快一些，也更好想一些啊。还会有同学会问这个方法，他在高考中到底能不能用， 其实是可以的。嗯，在我们二零二六年版的这个教育部教育考试院发布的这个标准答案中，这个树形结合思想是作为标准答案 出现的，所以说只要你把这个过程写得严谨一些，它大概率是不会扣分的，尤其是它作为最后一道题出现的情况下。讲完这个第二问呢，就来到了我们的第三问，第三问大家看我的板数也可以很容易的发现，我把第三问和第一问放在一块了，这也就代表它们之间肯定是有某种联系的， 这让你直接去看，你能够发现，哎。第三问是五倍的 cosine x 减 cosine 倍的五 x 加 f 是 不很眼熟，在第一问也出现过，那你会发现，如果我们令 f 等零的话，是不它就直接，哎，这个函数就变成了五倍的 cosine x 减 cosine 倍的五 x 了。那好，那你心里就要对这道题有一个大致的判断，有可能我们在一会的解题过程中会用到这个第一问的结论，或者说我们有可能会以这个第一问为着手点去解决这个题。我们先读一下这个第三问的题目，它告诉你 b 属于 r， 嗯，出现了一个新字母，若存在 f 属于 r， 使得这个函数小于等于 b， 对 x 属于 r 的 横乘力让求 b 的 垂直。这个时候啊，我会觉得 有点太复杂，因为这个 f 它是属于 r 的， 这个 x 也是属于 r 的。 如果你直接去判断呃这个函数，它会变得非常复杂， 那这样的话，不如我们直接从特殊情况去入手。我们先去看一下当 five 等于零的时候，有关于 b 和这个函数是一个什么样的情况。我们如果令 five 等于零，是不是原式就是第一问的 f x。 而第一问中我们已经有了一个结论， 当 x 属于零到四分之 pi 的 时候，这个区间 f x 最大值也就是五倍的 cosine x 减 cosine 五 x 小 于等于什么？三倍刚好三。这是不是第一问的这个结论？问题又来了，这里只是有限的区间，也就是说 x 属于零到四分之 pi 的 情况下，它 它是小于等于三倍高三的。但是咱们这里的 x 它是属于 r 的， 怎么办呢？如果 x 属于 r， 我 们要讨论剩下的情况的话，它会很复杂，因为三角函数它是有周期性的嘛，而就因为它有周期性，我们是不是可以根据之前的第二问一样？还记得吗？我们给第二问的 a 是 不是缩小了范围，缩小到 呃，零到二派这一步的，是不是我们多想了一点，给它缩小到零到派了，那这一问也是一样的，我们能不能去判断一下这个函数的周期性 以及对称性呢？首先我们知道 cosine x 和 cosine 五 x 这两个函数，它都是周期等于二派的偶函数。 这里大家需要另外知道一个知识点啊，就是说我们加减后的函数，它的周期是取各自周期的最小公倍数。在这里的话，呃，你像这个整个的是不是就取的是 cosine x， cosine 五 x 的 最小公倍数，所以说它的周期是不是也是二拍？同时呢？偶函数相加相减是不是还是偶函数不变的？ 所以说我们加减后的 f x 是 不是周期为二派的包含数，那这个时候我们同样能够把 x 范围缩小到零到派了啊，那这里这个缩小范围的原理大家一定要掌握， 这是三个函数里面非常好用的一种技巧，我们已经知道了，哎，当 x 属于零到四分之派的时候，它是这个东西。我们接下来是要讨论另外一种情况，也就是说当 x 属于，哎四分之派，我这个是开区间。四分之派到派的时候，那我们的函数它应该是什么样的一个情况呢？我们去想一下， 这里的三倍靠三，对于这种情况而言，它是最大值。所以说我们在这里是不是也要去求 x 属于四分之派到派的时候，它最大值是多少？ 这个就非常简单了，我们把它看成 a， 我 们把它看成 b， 我 们可以分开去看，如果你要让 a 减 b 最大的话，是不是你的 a 要尽可能大，你的 b 要尽可能的小？那这里的话，对于五倍的 cosine x 而言，在四分之派到派上，它是不是一个单调递减的一个区间？ 所以说我的 cosine x 是 不是一定要小于 cosine？ 呃，四分之派，这里是五倍的 cosine 四分之派，而这个 cosine 五 x 呢，我们要求它最小值是不是理应就是负一了？ 它最小值肯定是负一啊。所以说我们这 a 减 b， 它一定是小于等于五倍的 cosine 四分之派减负一的这个等式，它一定是小于等于 三倍刚好三。那这里我们能够证明什么？是不是已经证明完毕？当 x 属于零到派的时候，五倍的 cosine x 减 cosine 倍的 五， x 小 于等于三倍根号三是成立的。由此我们其实可以推导到整体的 x 属于 r 上，对吧？因为我们上面也其实已经把这个结论证明过了，也就是说我们有 f x 小 于等于三倍根号三，对于 x 属于 r 横成立。那这里啊，如果我们把它写成 符合这个第三问题这条件的格式的话，它应该是什么样的？是不是当 b 大 于等于三倍的 cosine x 减 cosine 五， x 加 f 小 于等于 b 对 x 属于 r 横成力呢？主要这个对应一定要对应好，它关乎着我们下一步的这个行动。对比来看，我们能够发现，当 b 大 于等于三倍根号三，也就是说当 b 的 最小值是三倍根号三的时候， 它是存在一个 f 等零能够使这个条件横成力的。那我们现在要继续证明了什么呢？是另外一种情况，当 b 小 于三倍根号三的时候， 还存不存在一个否能够使提这条件很成立呢？其实到这里啊，我们已经能够大概的察觉到答案，也许是 b 等于三倍杠三了。为什么呢？因为当 b 大 于等于三倍杠三的时候，你得到这个否等于零这个结论是你自己算出来的吗？当然不是了，是第一问 出题人直接给你的，他直接告诉你的。那如果你要去求这个斐的话，你要从何求起呢？是不是我们并没有什么思路？那相应的，当 b 小 于三倍刚好三的时候，没有人告诉你这个斐是怎么求的，那这个时候有可能它的最小值就真是三倍刚好三， 它是想让你证明 b 小 于三倍杠三的时候不存在一个 five 能够使提车条件成立的啊。当然这个是我们的一个感觉，我们具体肯定还是要严谨证明的。注意这里比较难想，一定要跟紧主播脚步。我们试想一下， 如果三倍杠三是答案的话， b 的 最小值就是三倍杠三，是不是就不存在一个 b 小 于三倍杠三满足存在一个 five 属于耳屎这个东西？ 横乘列，那如果存在 b 小 于三倍高三的话，那我们三倍高三其实就不是 b 的 最小值了。所以说，当我们要去探讨 b 小 于三倍高三的情况的时候，我们去找 find 是 不是并不好找？我们刚才说了 没有办法去直接求解这个 find， 那 我们就反过来我们去找一个 x， 如果我们找到这个 x 能够使五倍的 cosine x 减 cosine 倍的 五 x 加 f 小 于等于 b， 对 x 属于 r 不 成立，那也就说什么这个东西我们要它大于 b， 如果能找到这个 x， 那 就说明 b 小 于三倍靠三，这个情况它不存在，因为你有一个 x 能够使这个条件不成立， 也就说它不符合我们的提舍条件。问题是我们如何能够找到这个 x？ 首先我们先对这个函数说，画个减，这个五 x 加 f， 我 实在是看它不顺眼，我令它等于 y， y 等于 y 下边这样是不是好一些？那么原式是不是就变成了五倍的 cosine x 减 cosine 倍的 y？ 如果你想证明存在一个 x 使这个东西它大于 b， 那 你就应该去找到这个东西的 最大值。为什么？呃，我举个例子吧，比如说，比如说我们现在要给一个教室安一个门，我们想要知道安多高的门才合适， 我们是不是得去这个教室里面去找一个最高的人？比如这个最高的人一米八，就说明我们至少要安一个一米八的门，我们如果安一米七肯定是不够，那这里的话这个 b 就是 门的高度。而前面的函数我们令它等于 f， 这个函数的最大值 就应该是教室里最高的人的身高，这下懂了吧？所以我们就需要去找一下这个函数的最大值，现在又有问题了，怎么样去求最大值？因为你会发现这个函数里面既有 x 又有 y， 对 吧？你把 y 展开，其实也是有一个 x， 有 一个 f， 它一定是有两个位置量的，这两个位置量我们不好处理啊， 对不对？那我们怎么办呢？我们这个时候就要回头了，这里呢，其实会比较难想一些，事实上我们需要参考第二问的模型。是的，第二问其实给你的是一个模型，它给定了 c 塔属于零到派和一个 a 属于 r， 让你证明存在这个东西，使得他消停他。那么我们在第三问依旧可以借助第二问的模型去看。事实上第二问的 a 在 第三问就变成了否，我们把第二问换一下，就是给定 c， 他 属于零到派和否属于 r， 把替换一下，我们能够知道啊，这已经成结果了，因为我们已经挣出来了， 我们知道存在 y 属于斐减 si 它斐加 si 使得 cosine y 小 于等于 cosine si 它。我们这里呢，这个 y 是 不是就有一个区间了？既然 y 有 区间，怎么样把它引到 x 上，我们往上看， 是不是 y 等于五， x 加 f， 我 们知道 x 等于什么， y 减 f 比五，我们把 y 的 这个定域区间代入以后，我们会发现 x 实际上是属于负五分之派到五分之派的啊，那这样的话，我们是不是就回归到 x 的 范围了？那么兜兜转转，我们会发现我们现在有什么？有 x 关于 c 它的范围， 有 y 关于 c 它的范围，那我们就能够把这个五倍的 cosine x 减 cosine y 有 两个参数的这个函数转化为只剩一个参数 c 它的函数，这里就要要求我们对它进行放松了啊，很多同学听到放松就害怕，其实不要害怕，这个算函数的放松是非常基础的，放松 减 cosine y， 那 我们怎么放松呢？实际上还是取决于我们有什么，我们现在知道了 x 区间，还知道了 cosine y 实际上是小于等于 cosine c 它的， 哎，我们就能，是不是能够把 cosine y 放成 cosine theta， 对 吧？我们要都换成这个有关于 theta 参数的这个函数嘛， cosine x 呢？我们把 cosine y 放大，是不是 cosine x 就 要相应的放小，因为 theta 是 属于零到派的，所以负五分之 theta 和五分之 theta 这个区间内，它一定函数是往下降的，对吧？它一定单调递减的。 所以我们的 cosine x 是 不是一定要大于等于 cosine 五分之 theta？ 那 好，那这个整个函数是不是就被我们放小了？大于等于五倍的 cosine 五分之 theta 减 cosine theta。 哦，那我们就把两个参数变成了一个参数 theta。 现在呢，我们一切都非常简单了，我们如果令这个函数等于 g theta， 我 们的目标是什么？是不是就变为了 找到一个 c， 它使我们的 g c 它能够取得最大值，对吧？就是从这个目标变成了这个目标。那你要求 g c 它最大值还不简单吗？是不是直接对它求导 z 导 c， 它等于负五 sin sin 五分之 sin sin 加 sin sin， 令 g 导零等于零，有 sin sin 等于 sin 五分之 sin。 哎，这里能截两个值，一个是零，然后一个是六分之五派 零是最小值吗？零是极小值，所以我们把这个零舍掉，那这里的极大值其实就是 g c 它的最大值。 我们把六分之五拍带入 g c 塔，是不就这个东西展开五乘二分之根号三减负二分之根号三是不等于三倍根号三？嘿，三倍根号三是不是很眼熟？我们看一下这个情况，是不是 b 小 于三倍根号三的情况， 那这个时候是不是就知道，呃，三倍杠三是大于 b 的， 所以说我们是不是成功证明了这个东西它是大于 b 的， 也就是说不成立，不成立的话，是不是我们的三倍杠三就是最终的 b 的 最小值？那这个呢？其实就是我们第三问的 全部的思路了，你会发现它有点像套娃，就是一环套一环，然后它的思路其实是非常紧密的连接的， 就是你每一步都一定是要有原因的，有迹可循的。我们就是不断的去分析问题，然后不断的去拆解问题，把问题从一个特别大的问题再分散成几个特别小的问题，这样的话，其实一道难题他就变得不那么难。当然这个第三问如果是在考场上的话， 能想出来其实是非常厉害的。嗯，他确实是不太好想，因为他同时要关联第一问和第二问，尤其是第二问的那个固定模型这一块，你要想怎么样让第一问和第二问的结论无限靠近于第三问， 只有他们解密连接了这个第三问的答案和过程，你才能顺理成章，水到渠成的出来。那以上就是我们二五年十九题的所有的思考和解析过程。另外呢，我在这个教育局教育考试院发的那个高考试题分析中，找到了 二五年十九题出题的来源，它其实是来源于两个波叠加以后的正负最小的问题。那么相关的母题以及这个母题隐身出来的另外的两个问题，他们的几题过程和步骤我都放在这里了， 大家也可以根据这个来源去思考一下高考题究竟是怎么出出来的，就是它的底层逻辑和它的脉络到底是什么样子的一个走向。然后这一节课的笔记 以及我们这三道小问的标准过程，我会放在我主页的数学交流群里，感兴趣的同学呢，可以进群去保存一下相关的笔记。那么这期视频到这里就结束了，我们下期再见。
2653讨人厌的数学
05:59
00:47查看AI文稿AI文稿ai 要考清北了！今年高考数学全国一卷备受关注，连续多日冲上热搜，媒体和网友纷纷用多款 ai 测试答题，一较高下。红星新闻邀请资深高中数学老师进行评分，发现豆包化身隐藏学霸，不仅做对了所有选择题和填空题，且答题的步骤也完整规范， 顺利获得一百五十分满分成绩，展现出较强的数理解题实力。阅卷老师评价，豆包作答步骤详尽，环环相扣，论证过程严谨规范，完全符合高考答题要求，几乎可当做标准答案用。 高考不仅是对人类考生的考验选拔，同样也是对大模型语言理解、知识记忆、逻辑推理、计算等各项能力的综合测试。有趣的是，二零二五年，豆包高考数学考了一百四十四分。随着技术持续迭代， ai 正在逐步补齐短板，成为实用的工作学习搭子。
1048齐鲁频道
03:39查看AI文稿AI文稿高考数学满分学长来了，今天讲二零二五全国一卷单选择题，八道题四十分，白给的分，很多人单选丢分，太可惜，我一题一题给你讲透，跟上， 先摆清楚要用的基础，别慌。复数集合圆锥曲线送分，三角函数函数性质要熟。向量原值对数都有套路，套路记住，考试自然提速。第一题，复数分配率展开 一加五爱乘爱等于爱加五爱方爱方是负一，五爱方就是负五，结果负五加爱需不一，需不不带爱， 记牢，选 c。 第二题，集合补集直接数全集一到八，补集二四六七八五个元素。选 c。 不 纠结补集交集别混看清题。第三题，双曲线离心率 c 方等于 a 方加 b 方定义来的虚轴根号七倍十轴 b 方代入 c 方八 a 方 c 二根号二 a， e 等于 c 比 a， 二根号二，双曲线 e 大 于一，别搞错，选 d。 第四题，正切对称，中心横坐标满足 k 派比二令 x 减三分之派等于 k 派比二。解的 x 三分之派加 k 派比二要最小，正数 k 取零。 a。 三分之派间隔二分之派。选 b。 第五题，周期奇偶求值偶函数负变正周期二加二不变值变到 f， 四分之十一在区间里代入五减二乘四分之十一通分得负二分之一选。 第六题，向量风速理清关系，式风等于真风加船风，真风等于式风减船风， 式风负三负一传风负一负三相减的负二二魔长二根号二约二点八三清风。选 a。 第七题，圆与直线画图最稳，圆心零负二距直线二，半径一一个点半径三三个点恰两个而在一到三选 b。 第八题指对数比大小，设公共值 m 化成指数式 x 二 m 减二 y 三 m 减三 c 五 m 减五，负值 m 二五八覆盖各种可能排除后正确选 b， 赋值最快。 八道题讲完，总结套路前四题性质方法记通法 圆锥曲线记三量函数先移区间向量理清关系原画图指对数赋值每类通法考试提速 单选八道题，拿下方法，记牢你答案多少评论区见！关注我，满分学长带你冲，下期等你来！
04:30查看AI文稿AI文稿今天，我们以高考命题人的身份，聚焦这道二零二五高考数学一卷的三角函数真题，深度拆解正切函数对称中心题型的命题目的出题套路、解析方法和避错技巧，帮大家吃透考点，规避考场陷阱。 首先我们回顾原题已知点， a 零 a 大 于零是函数 y 等于两倍 tangent 括号 x 减三分之派括号图像的一个对称中心，求 a 的 最小值。 这道题看似简单，却是高考命题人专门用来分层筛选学生的经典题型，很多同学看似作对，实则完全踩中命题陷阱。首先我们来讲第一部分这道题的核心命题目的。高考出题人出这道题绝对不是单纯考，简单计算，核心有四个考察方向， 第一，考察正切函数的核心图像性质，重点是绝大多数同学的知识漏洞。对称中心区别于正弦余弦函数，正切函数对称中心不是可以被派逗号零，而是二分之可以被派逗号零，包含零点和渐近线与 x 轴的交点。 第二，考察三角函数图像平移变换，检验大家对函数图像平移规律的掌握。第三，考察高中数学核心的整体换元思想，能否整体处理正切复合函数。 第四，考察大家的严谨答题能力，能否根据取值范围筛选出符合条件的最优解。而这道题最关键的命题意图就是区分学生的学习层次，它是典型的伪错题，如果大家死记错误结论，依然能碰巧选对答案，蒙蔽自己的知识漏洞。 命题人精准抓住同学们只会死记公式，不理解图像本质的通病，筛选出真正懂知识点和单纯刷题蒙题的两类学生。接下来是第二部分，高考固定出题套路，所有同类题型通用。 首先是概念挖坑套路，命题人特意设计错解，巧合的正解的局面，让大家考场自我感觉良好，实则漏洞百出，只要题型参数微调，立刻丢分。 其次是变式包装套路，从不直接考察基础的 y 等于 t， a n x 一定会设置平移复合变换，强制大家使用整体换元，杜绝死记硬背套答案。 第三是条件限制，套路固定增加自变量、大于零求最值等限定条件，考察大家分类赋值筛选答案的严谨性。 最后是选项设置套路，四个选项全部来源于答题过程中的中间结果，每一个干扰项都是同学们计算失误公式记错会得出的答案，针对性极强。第三部分，给大家梳理高考标准答题流程，也是考场满分答题模板。 第一步，牢记核心公式， y 等于 tangent 整体， u 的 对称中心满足， u 等于二分之 k 被派， k 属于整数。第二步，整体换元。将解析式中 x 减三分之派看作整体列出等式， x 减三分之派等于二分之 k 被派。 第三步，整理求解得出通解， x 等于二分之 k 被派，加三分之派。第四步，结合题干 a 大 于零的条件，对整数 k 负值筛选， k 取零时， a 等于三分之派， k 取负一时，结果为负数，不符合条件舍去，最终得出 a 的 最小值为三分之派，锁定答案 b。 第四部分考场必考必错，总结三条铁律务必牢记。第一，正切函数对称中心绝对不是 k 被派逗号零，标准答案是二分之 k 被派逗号零，这是高考最高频易错点。 第二，正切函数的对称中心不一定在函数图像上，函数无定义的渐近线，焦点依然是有效对称中心。 第三，算出通解后，切勿直接默认 k 等于零，必须结合题干范围逐一复制筛选，杜绝惯性思维失分。第五部分同源高考变式训练帮大家巩固出题套路，同源真题变式 已知 m 大 于零点 m， 零是 y 等于 tangent 括号二 x 减四分之派括号的对称中心求 m 的 最小值， 沿用通用模板解析，令二 x 减四分之派等于二分之 k 被派解得 x 等于四分之 k 被派加八分之派。复制筛选后可得出最小正值 m 等于八分之派。 掌握套路，所有同类考题都能轻松破解。最后总结一下，这道高考基础题，考的从来不是计算，是概念，是套路，是严谨度。 希望大家通过本次讲解，彻底攻克政切函数对称中心的知识漏洞，摆脱死记硬背的误区，吃透高考命题逻辑，考场预题，稳拿满分！
09:47查看AI文稿AI文稿二零二五全国二卷解析几何压轴面积嫌长算到崩溃，别怕，一个割补法，转换思路，两步秒杀这道十二分大题。今天我们来讲解二零二五高考数学全国二卷的解析几个大题。首先看第一问，让我们求椭圆 c 的 方程， 已知椭圆 c 的 离心率为二分之根号三，长轴长为四。好，提问的话，让我们求出的方程已知的话，长轴的话就是二， a 二， a 等于四，所以呢， a 就 等于二离心率， e 呢就等于二分之根号二， e 又等于 a 分 之 c， 所以 c 呢，就是 a 乘以二分之根号二，就等于根号二。然后我们 b 方也知道， b 方就等于 a 方，减去 c 方就等于四，减去二就等于二，所以 c 的 方程我们就可以写出来。 好，我们看一下第二本， 画下草图先 好过点零负二，零负二，这边是根号二，所以负二在下边零负二，然后与直线过点，过零负二的直线 l 与椭圆 c 交于 a b 两点， a b 两点，然后 a o 为坐标原点，这是 o 下角形 o， a b 的 面积 o， a b 的 面积 s 型 o， a， b 的 面积为根号二。让我们求弦长 a b。 好， 我们看一下这道题的思路， 我们设，首先呢，这个斜率肯定是存在的，如果说这斜率不存在的话， o a b 就 重合了，就没有三角形 o a b 了，所以说肯定是存在斜率的，所以说我们可以设 l 的 斜率 a k， 这样的话，我们就可以写出方程， y 等于 k s， 因为过零负二是去减二， 同时角点 a b 呢， a 点坐标，我们可以写成 s 一 y 一 b 点呢？ s 二 y， 其实呢，这样的话，其实前长 a b 呢，有先乘公式，我们就可以带进去，就有根号下一加 k 方，然后绝对值呢， s 一 减去 s 二，这一块呢，我们可以用北大令替换了， 就是 s 一 加 s 二的平方，减去四倍的 s 一， s 二拆根号就是 就是根号，就是绝对里面 s 一 减 s 二，然后重点的话是求里面有配方嘛，所以重点是求 k， 怎么求 k 呢？我们有面积 s， 三角形 o， a， b 等于根号二，我们看一下这个三角形 o， a， b， 我 们可以切割一下，你看，因为这个点其实我们可以带进去，因为直线呢是 y 等于 k s， 我 们的零， y 等于零，然后就得到 s 呢，就等于 k 分 之二，所以说我们可以设这个点的话为 随便这个吧 n， 所以 说 n 点的坐标呢，就为二分之二零，所以说其实这个面积就可以转化成三角形 o n b 和三角形 o n a， 所以 说 a 三角形 o a， b 就 等于 o n b 加三角形 二分之一呢， k 分 之二，这是底高的话就是这是 y b， 这是 y a， 所以 就是 y b 减 y， 这块呢，也可以用 s b 减 s a， 其实也就是说 s 二减 s 一， k 分 之二， s 一 减 s 二吧。好，我们先把这个面积算一下， 面积呢就是 x l 型 o a b， 它等于两块，就等于二分之一，然后 k 分 底乘高，高的话就是 y， y 一 减 y 二， 这是 y 一 减 y 二， y 一 减 y 二等于二分之一。 k 分 之二的绝对值 y 一 呢，就是 k s 一 k s 一 减去二，再减去 k s 二减去二，就等于二分之一，然后乘以 k 分 之二， 然后再乘以，然后一个 k 可以 提出来 k 的 余值，然后里面剩 s 一 减去 s 二。好，它就等于二分之一。二分一消掉了 k， k 消掉了，就剩了 s 一 减 s 二，它就等于根号二。所以呢， s 一 减 s 二的平方呢，就等于 s 一 加 s 二的平方，减去四倍的 s 一， s 二就等于根号的平方就是二。所以说下面我们需要把 s 一 加 s 二和 s 一 乘 s 二用 k 表示出来，所以说我们需要连立 y 等于 k， s 减二， 然后同样的方程呢，四分之 s 方加上二分之外方就等于一，那我们需要连一这两个我们就可以得到。下面的话，同乘一个四就有 s 方加上二，外方减去四就等于 零。然后我们把外方带进去，就会有 s 方加上二倍的 k 方， s 方加四，减去四 k x， 然后减四就等于零。我们整理一下， s 方加二 k 方， s 方减去八 k x 加上八就等八，再减去个四就等于一加上 二 k 方， s 方减八 k s， 呃，加八减四就是加四等于零，所以我们就化简的，这样的话我们就会得到 s 一 加 s 二就等于负。一分之 b 就是 一加二 k 方分之八 k s 一 乘以 s 二呢，就会有一加二 k 方分之四。好，我们知道 s 一 减 s 二的平方就等于二，所以说就会有呃 s 一 加 s 二的平方就是一加二 k 方，八 k 的 平方减去四倍的 s 一 s 二， 四倍的 s 一 s 二就是四。四十六十六倍的一加二 k 方就等于二。我们整理一下，同一下分呀，一加二 k 方的平方， 十六的 k 方减去十还是六十四六十四的 k 平方，六十四 k 方，减去十六，乘以一加二 k 方就等于二， 好，分子上呢，就会有六十四 k 方，减去十六，减去三十二 k 方，就等于一加 一加二 k 方平方就等于二， 然后上面整理一下，就会有三十二 k 方，减去十六，然后一加二 k 方的平方就等于二，然后我们可以消去一个二除以二，就会有十六 k 方，减去八除以一加二 k 方平方就等于一。好， 然后把一加二 k 方的平方移过去，就会有十六 k 方，减八就会有一加四 k 的 四四方，加上啊二四 k 方， 然后我们可以移向下，就会有四 k 的 数字方啊，加四 k 方，然后减十个 k 方，就是减十二 k 方，然后加一加八，九加九等于零，然后我们可以再一分解一下二 k 方，二 k 方，二三得六，二三得六三 等于负负，然后所以就会有二 k 方，减三的平方就等于零，所以说 k 方呢，就等于二分之三，好，我们 k 方得到了，然后我们知道弦长呢，就是 减长 a， b 呢，就是根号下一加 k 方，然后乘以 s， 一 减 s， 二的绝对值就是一加上二分之三乘以根号二，就是根号下二分之五乘以根号二，就乘以根号五，好，所以说显然就是根号五。 所以说这道题呢，其实核心的话就是我们把这个面积做成切割的方式，就会极大的简化我们的整个过程。好，我们今天的讲解到此为止啦，谢谢大家。
01:03查看AI文稿AI文稿二零二五天津高考预测卷押中一百二十五分，是真的吗？马上要高考了，选对资料非常关键。我们把二零二五年高考真题和当年的天津领考预测卷作对比分析，发现天星卷的题型设置、考点分布、解析思想 和二十五年真题的契合度非常高。例如数学卷向导数解析几何这些大题，解析思路和考察方式都和真题很接近。我们详细看下。单选择题 真题四十分，预测卷契合四十分。多选择题真题十八分，预测卷契合十八分。填空题，真题十五分，预测卷契合十五分。解答题，真题七十七分，预测卷契合五十二分。这意味着什么？孩子做这两套卷子， 不是单纯刷题，而是提前熟悉高考的命题逻辑，练手感、练思路，上了考场更从容。距离高考还有时间，选一套高质量的预测卷，虽然不指望压中原题， 但是却能帮孩子查漏补缺，找准方向。天星预测卷很多往届考生都用过，口碑一直很稳，想给孩子多一重保障的家长，点击下方链接了解一下。
44高考信息差
