河北省2025高考数学最后一题
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00:11查看AI文稿AI文稿最后一道大题他考的是，那么题型呢？很复杂很复杂。因为一般之前不都是第一道大题会减三角函数吗？啊，对对，今年是统计。
15.2万潮新闻
03:00查看AI文稿AI文稿这是二零二五年全国一卷的压轴十九题。三角函数融合导数，让无数同学无从下手，今天用最通俗的讲解，让你三分钟彻底弄懂这个题。首先看第一问， 求函数在某一区间的最大值，对 f x 求导，得到 f p x 等于五 sin， 五 x 减五 sin x， 此时令导函数为零，得到一个三角方程解得有且只有一个变号零点对极值与端点值比大小，即可得到最大值。第二问叠加了许多逻辑用语，题目要求证明存在 cosine y 小 于等于 cosine 塔。不难想到，用单位圆将三角函数转为点的横坐标 作与 x 轴正半轴夹角为西塔的射线交 a， 那 么 cosine 西塔就是 a 点横坐标同理作夹角为 a 的 射线交 b， cosine a 就是 b 点横坐标， b 点坐标随 a 增加具有周期性， 考虑零到二派即可。当 a 大 于西塔，小于二派减西塔时， cosine a 本身就比 cosine 西塔小，故取 y 等于 a 得到 cosine y 小 于等于 cosine 西塔即可。当 a 等于零时， y 大 于等于负西塔，小于等于西塔，取 y 等于 a 加西塔就满足。 当 a 在 零与西塔间时，无论 a 多小，西塔多大，西塔与 a 加西塔间必存在比西塔大的点， 所以在这之间存在外满足提议。当 a 在 派加西塔到二派范围内，则与前面类似， a 等于二派时取西塔即可。而 a 在 派加西塔与二派间时， 注意到 a 杠西塔此时与派加西塔间始终存在满足提议的点，所以说存在外属于 a 减西塔到派加西塔内满足提议。 来到第三问，要求 b 的 最小值，而 b 是 这个函数的最大值。这个函数的最大值同时受派的影响。 也就是说，当斐变化过程中，这个函数的最大值会不停变化，我们要做的就是找出这个最大值的最小值，就是最终要求的 b。 仿照第一问的思路，我们对这个函数求导解出的极值点是含 k 的 式子，将这些点代入，可得该函数的极值， 前者显然小于第一问给出的三倍根号三，我们不考虑将后者的极值通过诱导公式化简，得到只含一个余弦的值。考虑到余弦函数周期为二，派取 k 等于一、二三、四、 五六。当 f i 变化时，这六个极值中的最大值就是整个函数最大值。这里我们再次考虑用单位元，当 f i 等于零时，显然有 a、 e 与 a 六的横坐标最大，此时最大值为六倍的 cosine 三十度等于三倍根号三。 而当 f 增加时，等价于所有射线顺时针旋转，又由于旋转的弧度小于六分之派， a 一 点的横坐标必然增加，所以当 f 不 等于二 k 派时，函数最大值必然高于三倍根号三。综上所述， b 的 最小值为三倍根号三。
328学完高数后转生为小φ💤💤
00:14查看AI文稿AI文稿那一年，估计谁也没想到，高考单选压轴题做起来竟会如此简单吧！
913逢考必过君
03:08查看AI文稿AI文稿好，今天给大家讲的是二零二五年全国一卷填空题的最后一题，这道题相比较二四年来说，填空题最后一题来说，难度还是下降了不少。但是同样在考场上，很多同学没做出来这道题，有一个重要的原因就在于审题不够仔细。好， 那我们来看到这道题目，题目说有五个相同的球，分别标有数字，一、二、三、四、五。好，有放回啊，注意，有放回的随机取三次，有放回就说明你每一次取。哎，面临的都是这五种情况。好，每次取一个球， g， x 为这五个球中至少被取出一次的球的个数。 那很多同学这句话没有读懂什么叫做五个球中至少被取出一次的球的个数。好，那我们就来理解一下这句话。如果说 x 等于一， 如果说 x 等于一，也就意味着这五个球中至少被取出一次的球只有一个，那说明他对应的是哪些情况？可以是我取了三次一，可以是我取了三次二，可以是三次三，等等，等等，对吧？啊？至少被取出一次的球只有一个，说明你三次取的都是同一个球。 好，同样 x 等于二，那它代表的是什么情况呢？啊？可以是两次一加上一次其他， 对吧？也可以是两次二加上一次其他，两次三加上一次其他，对不对？总而言之，你一共要取三次球，其中的两次得是同一个数字。好， x 等于三啊，它代表的则是三次均不相同啊，三次均不相同， 那在这里呢，我们就理解了 x 它一共会出现的情况，并且了解了这个事情的大致脉络。好，接下来我们只需要把它的概率分别对应的写出来就行。那在这里可以发现，如果当 p x 等于一的时候， 好，一共要取三次，每一次有五种选择。在这里我们知道分母就应该是五乘五乘五，当 x 等于一的时候，就代表你可以是三次一，三次二，三次三，三次四、三次五，总共是不是就是这五种情况啊？那我们算出来它的概率应该等于二十五分之一， 好。再来看到当 p x 等于二的时候，他应该等于这个时候，你要知道我们的分母是保持不变的，仍然是五乘五乘五，好，那 s 等于二，意味着你要取到两次是相同的数字，一次是其他的数字，对不对？也就意味着我要从这五个数当中一共要取出两个数吧，对吧？啊？五个数当中我先取两个数出来， 好，那同样这两个数字可以是假设我取的是一和二，可以是取了两次一，也可以是取了两次二，对不对？啊？那在这个情况下又有两种情况，好，那我取，假设我已经取了两次一，一次二，那对于它的分布，我到底是第一次取了二，第二次取了二，还是第三次取了二呢？这里是不是还需要对它进行一次排列啊？也就说可能是 一一二，也可能是一二一，也可能是二一一一，对不对？一共。这里我们可以算到概率应该是二十五分之十二， 好。最后一步， p x 等于三，好，那在这里同样分母保持不变，五乘五乘五，好。至于分子呢？啊？三个完全不一样的数，对不对？啊？那就应该是多少啊？就是 a 五三，也就是五个数当中我取三个出来进行排列好，那可以得到它的概率也是二十五分之十二。 那每一种可能性对应的概率全部都算完，可以得到数学期望 e x 就 应该等于情况一乘概率二十五分之一， 情况二乘二十五分之十二，情况三乘二十五分之十二。最终可以得到他的期望应该等于二十五分之六十一，所以这道题答案就应该是二十五分之六十一。
02:26查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天我们来讲解高考全国二卷的第十八题，这是一道关于导数的题目。我们先来看第一问，他让我们证明函数 f x 在 区间零到正无穷上存在唯一的极值点和唯一的零点， 因为这里他只讨论区间零到正无穷，我们就不妨令 x 属于零到正无穷，因为要求它的极值点和零点要对函数 f x 进行求导。 首先，如果一加 x 求导等于一加 x 四分之一乘上一加 x 的 导数一，再减一加上 x 四减去三 k 倍 x 的 平方。因为这里 x 是 属于零到正无穷的，所以 x 加一也是大于零的。这里呢，我们把它通分，它的导函数 等于 x 加一分之 x 的 平方，乘上一减三 k 倍 x 加一。因为 x 是 属于零到正无穷的，所以我们可以知道， x 加一分之 x 的 平方，它肯定是大于零的，所以这个导函数的正负呢，就完全由一减三 k 倍 x 加一来决定。 又因为 k 呢是属于零到三分之一的，所以这个整体是一个单调递减的一个函数。所以我们就可以得到，当 ak 四属于零到三 k 分 之一减三 k 的 时候，导函数是大于零的，那么原函数就单调递增。当 ak 四属于三 k 分 之一减三 k 到正无穷的时候， 导函数是小于零的，那么 f x 就 在这里单调递减。因为 f x 在 零斗正无穷上是先增后减的，所以它就存在唯一的一个极值，并且是极大值点。因为呢， f 零是等于零的， 所以 f x 在 零斗正无穷的图像呢，先增后减，那减是减到哪里停止呢？当 x 趋近于正无穷的时候，零 x 加一单调递增，但是没有 x 增的快，所以零 x 加一减去 x 这一块呢，它是始终是小于零的。 二分之一 x 平方减 k 被 x 的 三次方，就等于二分之 x 的 平方乘上一减二 k x， 因为 k 属于零到三分之一，当 x 趋近于正无穷的时候，这一块绝对为负数，所以这一个整体呢，它也是一个负数小于零的，所以这个时候 f x 呢，它是小于零的。也就是说，我们原函数的图像从零到我们的极大值点，三 k 分 之一减，三 k 单调递增，然后三 k 到正无穷单调递减，并且 要减到 x 下方来，所以它存在一个唯一的零点，为这个零 x 加一减去 x 小 于零呢？大家可以去单独另一个新函数，用 g x 等于零， x 加一减去 x， 定义域为零的正无穷。把这个函数进行一个求导，就可以发现它是掉递减的，并且 g 零呢，它是刚好等于零的，所以就可以证到它是很小于零的。
46小羊的数学解题本
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06:38查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们，今天我们一起来讲一下二零二五年新高考二卷的第十六题。好，那么这道题也是一个非常经典的解析几何的大题。好，那我们来一起来看一下这道题具体应该怎么操作。首先我们来看第一小问，他说一个椭圆 a 大 于 b， 那 意味着焦点在 x 处上，离心率等于二分之二，那么给我们离心率，我们要想到 e 等于 a 分 之 c 等于根号下 一减 a 方分是 b 方。好，那么继续看条线，他要告诉你长周长，那么长周长是啥呢？是不是二一，那么二一等于四，那意味着 a 就 等于二，所以 c 我 们就知道了，那是不是等于根二， c 等于根二，那么 b 方我们就知道了它是不是等于 四减二就是二。好，那么我们的椭圆的方程。第一小问非常的简单啊，直接给他写答案，也就是四分之 x 方加上二分之 y 方等于一。好。那么第一小问啊，我们干掉之后，我们接下来看一下第二小问，那么第二小问他说 过点零分。好的，像我们这样的一个图啊，他说直线 l 交 c 与 ab 两点。好，我们先思考一下这个直线 l 它有几条呢？那是不是最少两条，因为它是个对称的，我们现在画的是不是右侧？好，那么我们把 a 点设成 s 二 y 二， b 点设成 x 一 y， 然后 o 点为交角圆点，三角形 o， a， b 的 面积等于这样求 ab 的 长度，很多同学一看到弦长，给它当成一个量，然后用 o 点到直线的距离， 哎，设一个位置往里面带，其实你会发现，如果这样带的话，你的计算量还是比较大的，咱很多同学就算不出来，那么接下来邵哥，哎，给大家一个新的方法，就是切割的方式，我们把这个三角形 oab 的 面积，咱能不能给它写成三角形 o p b 减去三角形 o p a， 可以 吧？好，因为我们会发现 o p 的 长度是不是固定的，所以你这个时候你会发现它的面积刚好就等于二分之一乘以负二的角值，也就是二。 好，然后我们用 x 一 减 x 二的绝对值。好，那这样写的话，好处是啥呢？就是我们接下来的计算啊，就会非常的方便。那么在这一块还有一个小小的结论啊， 就是我们知道把一条直线与曲线连累了之后，一定会得到一个一二方程，我们记为 a x 平方加 b， x 加 c 等于零。好，那么 x 一 减 x 二的绝对值，它又等于啥呢？ 他是不是可以写成根号下 x 一 加 x 二的平方，减去四倍的 x 一 乘 x 二。好，那么接下来我们继续给它操作一下，那 x 一 加 x 二 是轮负的， a 分 之 b， 它的平方就是 a 方分之 b 方，减去四倍的 x 一 乘 x 二， x 一 乘 x 二，我用伟大定律它是不是 a 分 之 c， 所以 就是减去 a 分 之四 c， 好， 下面给它稍微整理一下， 就写成 a 方分之 b 方减四 a c。 哎， b 方减四 a c， 不 就是嘚他吗？所以我们上面就写成根号下嘚他，下面就是 a 的 绝对值。好，那么这样这个式子的话，就会让我们这个题更加的简单啊，那么正常的操作就是我们给他连立啊，那么直线方程我们就写成 y 等于 k， x 减二， 好，直线方程，那么曲线的话，我们稍微给他改一下，连立的时候把分式改成 x 方加上二， y 方减四等于零。好，带进去 我们就会得到 x 方加上二倍的括号， k 方， x 方减四， k x 加四，减四等于零。好，整理一下，我们先把平方向放在一块， 也就是二 k 方加一倍的 x 方，然后减八 k， x 加八，减四就加四等于零。好，现在我们要用的啥呢？是不是根号下的和 a 的 值？因为我们知道它面积不是给你了吗？不是根二吗？所以我们先搞一个的它， 那第二它等于 b 方减 c， c 啊，也就是六十四 k 方减去 c， c， 也就是十六倍的括号，二 k 方加一，好，整理一下，就等于三十二 k 方 减十六，好，我们让得它大于零，那得它大于零，意味着这个 k 它就是大于二分之二， k 小 于负的二分之二。好，无所谓，我们先扔着啊，来继续。那么我们刚才说了，它是不是等于根号加得它除以 a 的 角值， 那这个 a 是 多少呢？ a 是 不是二 k 方加一，所以我们给它稍微整理一下，也就是二 k 方加一分之根号下都是它三十六十六。我们提一个四啊，就是四倍的根号下 二 k 方减一，好，让它等于多少呢？是不是让它等于根二先给它挪过去啊？也就是四倍的根号下 二 k 方减一，就等于根二倍的括号，二 k 方加一。好，那么计算的时候，因为这里面有个 k 方啊，我们可以把 k 方给它换一下，因为两边接下来要平方啊，所以我们给它写成十六倍的 二 k 方，我们把 k 方给换成 t， 为了方便令 k 方等于 t。 好， 所以我们就会有二 t 减一等于二倍的括号， 它一平方啊，那就变成四 t 方加四 t 加一，好，整理一下。好，二给它约一下，这是不是等于八了？所以我们这边给它整一下啊，它就变成四 t 方， 然后四 t 减十六 t 就是 减十二 t， 然后一减负八就加去， 好，等于零，所以你会得到，哎，这个 t 减三的二 t 减三的平方，是不是刚好等于零？所以 t 就 等于啥？是不是二分之三，那么 t 等于二分之三，那 k 方 等于二分之三， k 方等于二分之三， k 就 等于正负二分之六。好，那意味着我们的现在的 k 是 不是解决了？那么 k 解决了之后，我们很多同学说，老师，你 k 解决出来之后，你这个弦长怎么弄啊？好，那么 k 只要解决出来，这个弦长其实也非常简单， 因为我们要的 ab 的 弦长公式，它是不等于根号下一加 k 方， x 一 减 x 二的绝对值。好，因为后面那坨咱已经算过了嘛，它是不是就是 x 一 减 x 二的绝对值呢？所以咱算的时候啊，那就非常的方便了，就等于根号下 一加 k 方二分之三乘以根号下二，所以扔进去了之后，它就变成根号下五了，我们这道题啊，也就解决了，记得点赞关注哦！
30邵哥带你学数学![2025新高考一卷导数压轴题，咱很多同学看到答案，第一小问还是不会的小伙伴，赶紧看看邵哥这种不用和差化积的方法绝对轻松拿捏[勾引][勾引][勾引]#新高考导数压轴题#邵哥带你学数学#高中数学](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/tos-cn-p-0015/oQ4yBeVXGB0TLqhBTeI3bwIMPCaQaOfAxl7IlA~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2108944800&x-signature=kNGQLAnKGLzRnwbUWerqYoyAGPk%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20261102103230A50765C1FE688A6B44CF)
03:31查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们，今天我们一起来看一下二零二五年新高考一这的导数压轴题，那么这个导数压轴题有很多同学啊，第一小问就已经牺牲了， 那么后面有很多同学问我，他说，哎，这个网上有很多老师讲用这个核察化机，嗯，他说，老师啊，那我平时这个核察化机这个公式用的特别少，我考试的时候我就没想起来吗？ 有没有什么其他的方式啊？我们来解决一下这道题呢？好，那么今天的话，少哥啊，就用一个非常基础的思维给大家去解决一下我们导数压轴的第一小问 好。那么首先遇到这样的一个题目，他让你求区间零到四分之派的最大值，那么遇到这种最值问题，想都不用想，我们就要研究单调性嘛，所以第一步咱直接求导 好，那么求完导之后，就变成负的五倍的 c x 加上五倍的 c 五 x， 好， 那么提取公式啊，也就是五倍的括号 c 五 x 减去 c x 好，那么这个时候我们稍微注意一下他给的这个范围，那他给的这个范围是零到四分之派啊，那么因为有这个范围的限制，那我们就直接去考虑这个导函数的零点到底是多少，那么如果导函数等于零，那我们是不是就得到 c 五 x 等于 c x 好，那么 c 五 x 等于 c x 什么时候会成立呢？哎，是不是有两种情况，第一种情况，也就是五 x 等于 x 的 数，第二个五 x 加 x 等于 pi， 就是 互补的数，所以第一种情况我们搞出来 x 等于零，因为它的端点是零，那这个时候我们肯定不考虑舍去， 那么第二种情况的话，我们搞出来这个 x 刚好等于多少呢？是不是六分之 pi 好？那么有很多人说，老师，为什么你就觉得他一定是互补的？他有没有可能超周期呢？你看刚才我提到了，他是不是有一个零到四分之派的范围，你想一下，他俩加起来也就是六 x 的 范围是多少呢？六 x 的 范围是不是零到二分之三派？ 所以你到派已经把你卡死了，是不是？哎，所以这个时候我们来操作，那直接给他分两段，第一段，当 x 在 零到六分之派 好，那么我们现在要干啥呢？我们是不是要判断在零到六分之派的时候，这个导函数是正的还是负的？ 是不是？ ok， 那 咋判断呢？咱很多朋友说，哎，老师，这个范范围我无法确定，这个值我也算不了，无所谓嘛，你在这中间，你在草稿纸上随便找一个中间的值，比如说我们找一个十二分之派，也就十五度，那这个时候你会发现， c 五 x 减去 c 七十五度，减去 c 十五度， 这啥值是不肯定大于零的，那意味着 x 在 六分之派到四分之派的时候，他肯定是啥是小于零的？ a 导函数是不是肯定小于零？所以我们现在可以画个小小的草图， a 六分之派的时候先正后负，那么放到函数图像里面，他是不是先增后减？那么此时我们的最大值有了没有？是不是 f 六分之派给它扔进去就行了吗？就是五 乘以 cosine 六分之 pi 减去 cosine 六分之五 pi。 好， 我们直接写答案啊，也就是五乘以二分之根三加上二分之根三， 就等于六倍的二分之根三，也就三倍的根三，所以它最大值我们就解决了啊！不知道这种方法对大家有没有帮助，记得点赞关注哦！
51邵哥带你学数学
