河北省2025高考数学最后一题
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00:11查看AI文稿AI文稿最后一道大题他考的是，那么题型呢？很复杂很复杂。因为一般之前不都是第一道大题会减三角函数吗？啊，对对，今年是统计。
15.2万潮新闻
03:00查看AI文稿AI文稿这是二零二五年全国一卷的压轴十九题。三角函数融合导数，让无数同学无从下手，今天用最通俗的讲解，让你三分钟彻底弄懂这个题。首先看第一问， 求函数在某一区间的最大值，对 f x 求导，得到 f p x 等于五 sin， 五 x 减五 sin x， 此时令导函数为零，得到一个三角方程解得有且只有一个变号零点对极值与端点值比大小，即可得到最大值。第二问叠加了许多逻辑用语，题目要求证明存在 cosine y 小 于等于 cosine 塔。不难想到，用单位圆将三角函数转为点的横坐标 作与 x 轴正半轴夹角为西塔的射线交 a， 那 么 cosine 西塔就是 a 点横坐标同理作夹角为 a 的 射线交 b， cosine a 就是 b 点横坐标， b 点坐标随 a 增加具有周期性， 考虑零到二派即可。当 a 大 于西塔，小于二派减西塔时， cosine a 本身就比 cosine 西塔小，故取 y 等于 a 得到 cosine y 小 于等于 cosine 西塔即可。当 a 等于零时， y 大 于等于负西塔，小于等于西塔，取 y 等于 a 加西塔就满足。 当 a 在 零与西塔间时，无论 a 多小，西塔多大，西塔与 a 加西塔间必存在比西塔大的点， 所以在这之间存在外满足提议。当 a 在 派加西塔到二派范围内，则与前面类似， a 等于二派时取西塔即可。而 a 在 派加西塔与二派间时， 注意到 a 杠西塔此时与派加西塔间始终存在满足提议的点，所以说存在外属于 a 减西塔到派加西塔内满足提议。 来到第三问，要求 b 的 最小值，而 b 是 这个函数的最大值。这个函数的最大值同时受派的影响。 也就是说，当斐变化过程中，这个函数的最大值会不停变化，我们要做的就是找出这个最大值的最小值，就是最终要求的 b。 仿照第一问的思路，我们对这个函数求导解出的极值点是含 k 的 式子，将这些点代入，可得该函数的极值， 前者显然小于第一问给出的三倍根号三，我们不考虑将后者的极值通过诱导公式化简，得到只含一个余弦的值。考虑到余弦函数周期为二，派取 k 等于一、二三、四、 五六。当 f i 变化时，这六个极值中的最大值就是整个函数最大值。这里我们再次考虑用单位元，当 f i 等于零时，显然有 a、 e 与 a 六的横坐标最大，此时最大值为六倍的 cosine 三十度等于三倍根号三。 而当 f 增加时，等价于所有射线顺时针旋转，又由于旋转的弧度小于六分之派， a 一 点的横坐标必然增加，所以当 f 不 等于二 k 派时，函数最大值必然高于三倍根号三。综上所述， b 的 最小值为三倍根号三。
331学完高数后转生为小φ💤💤
00:14查看AI文稿AI文稿那一年，估计谁也没想到，高考单选压轴题做起来竟会如此简单吧！
915高校科普站
03:08查看AI文稿AI文稿好，今天给大家讲的是二零二五年全国一卷填空题的最后一题，这道题相比较二四年来说，填空题最后一题来说，难度还是下降了不少。但是同样在考场上，很多同学没做出来这道题，有一个重要的原因就在于审题不够仔细。好， 那我们来看到这道题目，题目说有五个相同的球，分别标有数字，一、二、三、四、五。好，有放回啊，注意，有放回的随机取三次，有放回就说明你每一次取。哎，面临的都是这五种情况。好，每次取一个球， g， x 为这五个球中至少被取出一次的球的个数。 那很多同学这句话没有读懂什么叫做五个球中至少被取出一次的球的个数。好，那我们就来理解一下这句话。如果说 x 等于一， 如果说 x 等于一，也就意味着这五个球中至少被取出一次的球只有一个，那说明他对应的是哪些情况？可以是我取了三次一，可以是我取了三次二，可以是三次三，等等，等等，对吧？啊？至少被取出一次的球只有一个，说明你三次取的都是同一个球。 好，同样 x 等于二，那它代表的是什么情况呢？啊？可以是两次一加上一次其他， 对吧？也可以是两次二加上一次其他，两次三加上一次其他，对不对？总而言之，你一共要取三次球，其中的两次得是同一个数字。好， x 等于三啊，它代表的则是三次均不相同啊，三次均不相同， 那在这里呢，我们就理解了 x 它一共会出现的情况，并且了解了这个事情的大致脉络。好，接下来我们只需要把它的概率分别对应的写出来就行。那在这里可以发现，如果当 p x 等于一的时候， 好，一共要取三次，每一次有五种选择。在这里我们知道分母就应该是五乘五乘五，当 x 等于一的时候，就代表你可以是三次一，三次二，三次三，三次四、三次五，总共是不是就是这五种情况啊？那我们算出来它的概率应该等于二十五分之一， 好。再来看到当 p x 等于二的时候，他应该等于这个时候，你要知道我们的分母是保持不变的，仍然是五乘五乘五，好，那 s 等于二，意味着你要取到两次是相同的数字，一次是其他的数字，对不对？也就意味着我要从这五个数当中一共要取出两个数吧，对吧？啊？五个数当中我先取两个数出来， 好，那同样这两个数字可以是假设我取的是一和二，可以是取了两次一，也可以是取了两次二，对不对？啊？那在这个情况下又有两种情况，好，那我取，假设我已经取了两次一，一次二，那对于它的分布，我到底是第一次取了二，第二次取了二，还是第三次取了二呢？这里是不是还需要对它进行一次排列啊？也就说可能是 一一二，也可能是一二一，也可能是二一一一，对不对？一共。这里我们可以算到概率应该是二十五分之十二， 好。最后一步， p x 等于三，好，那在这里同样分母保持不变，五乘五乘五，好。至于分子呢？啊？三个完全不一样的数，对不对？啊？那就应该是多少啊？就是 a 五三，也就是五个数当中我取三个出来进行排列好，那可以得到它的概率也是二十五分之十二。 那每一种可能性对应的概率全部都算完，可以得到数学期望 e x 就 应该等于情况一乘概率二十五分之一， 情况二乘二十五分之十二，情况三乘二十五分之十二。最终可以得到他的期望应该等于二十五分之六十一，所以这道题答案就应该是二十五分之六十一。
33:50查看AI文稿AI文稿检查结果不正常并且病变的在表格中是一百八十，比上超声波检查结果不正常的，那它就是两百，二者的比值即可。 第一个 p 等于一百八十，二者都满足比上超声波检查结果不正常的两百，所以它是十分之九的形式。下一个独立性检验是否有关，那我们需要做的代入对应的数值算一下。卡方，他已经给了公式， 对应的是 a， 它是 a 的 数值，它是 b c d， 剩下是合计 n 的 数值是等于一千的， 只需要代入之后，它想要小概率事件零点零零一找一下，它所对应的是十点八二八，如果大于十点八二八，代入公式之后计算的结果，那么就是有关的， 其他的为五官。第二个来计算一下卡方的数值，他应该等于 n 是 一千 二十乘二十，减去一百八十乘七百八十整体的平方。剩下的四个就是合计的结果，那他就是两百乘八百乘八百，再乘一个两百。 这会儿我们就可以算出它的结果是等于七百六十五点六二五，它的数值显然是要大于十点八二八，算得的结果比它给的要大。所以下结论或 所对应的超声波检查它所得到的结果是否，那就是有与 患该疾病，该疾病是有关的。 我们来总结一下此类题。首先第一个一定要读出它是条件概率，它是在 b 的 条件下发生的概率， 上边是 ab 同时发生的概率。第二问卡方，我们代入数值得到结果之后，比较一下大小，他会特定对应的结果是多少。然后如果是大于，确定有关。这道题就讲解到这里，同学再见， 他说，设向量 a n 满足 a 一 等于三， n 分 之 a， n 加一等于 n 加一分之 a， n 加 n 乘 n 加一分之一。第一题证明 n 倍 a n 为等差向量。第二题设 f x 等于 a e x 加 a r x， 方一直加到 a m x 的 m 次求 f 撇 负二。那么首先我们先来分析一下，对于本道题来说，我们应该知道什么是等差数列。就说如果数列 b n， 它满足 b n 加一减 b n 等于 d， 那 么我们 d 为常数，则我们就说明我们的 b n， 它就为 等差竖列。那么对等差竖列来说，它的通项公式 b n 就 等于 b 一 加上 n 减一乘公差 d。 那 么现在我们来正式求解一下。第一题证明。 首先我们来整理一下它给出的递推关系。那么对于原式来说， a n 加一除以 n 等于 a， n 除以 n 加一，加上 n 乘 n 加一分之一，我们两边同时乘 n 乘 n 加一，消除分母，也就是 n 加一乘 a， n 加一就等于 n 倍 a n 加一，那么此时我们可以记 我们的 b n， 它就等于 n 倍 a n， 那 么此时我们的递推式就变为 b n 加一等于 b n 加一，那么所以此时我们的 b n 加一减去 b n 就 等于一。由此我们可以知道 b n， 它就是 公差为一的等差向量。 那么此时我们来求一下手项，我们知道 a 一 等于三，那么此时我们的 b 一 就等于一。乘 a 一 也就等于三。那么我们的 b n 的 通项公式，它就等于 b 一 加上 n 减一乘一也就等于三。加 n 减一，也就等于 n 加二，那么也就意味着 b n， 它就是 n 倍 a n 就 等于 n 加二，所以此时我们可以求出来，我们的 a n， 它就等于一加 n 分 之二，那么此时我们就知道 n 倍 a n， 它就是首项为三，公差为一的等差数列。 那么第一题我们就证明完了，现在我们来看第二题，它想让我们求 f p 负二，那么此时我们先写出 f x 的 表达式。首先由一，我们可以知道我们的 a n， 它是等于一加 n 分 之二的，所以此时我们的 f x， 它就等于 sigma， 可以 从一到 m a k x 的 k 次，那么也就等于 sigma 可以 从一到 m 一 加 k 分 之二 乘 x 的 k 次。那么我们可以把它写成 sigma， 可以 从一到 m x 的 k 次加上两倍的 sigma， 可以 从一到 m k 分 之 x k 次。那么现在我们来逐项求导，对 f x 求导 f 撇 x， 它就等于 sigma， 可以 从一到 m k 乘 x 的 k 减一次，加上两倍的 k， 从一到 m x 的 k 减一次。那么也就等于 sigma 可以 从一到 m k 加二，乘上 x 的 k 减一次。 那么此时我们来代入 x 等于负二， f 撇负二，它就等于 sigma， 可以 从一到 m 的 k 加二，乘负二的 k 减一次。现在我们来计算求和，我们可以记 我们的 s 等于 sigma， 可以 从一到 m k 加二乘上负二的 k 减一次。那么现在我们可以先对它进行拆分求和，那么我们把它拆为 sigma， 可以 从一到 m k 乘上负二的可以减一次，加上两倍 sigma 可以 从一到 m 负二的可以减一次。 那么首先我们先计算第二部分，我们会发现第二部分两倍的 sigma 可以 从一到 m 负二的 k 减一次，它是等比数列求和，也就等于二乘上 一减负二分之一减负二的 m 次，也就等于三分之二乘一减负二的 m。 现在我们来计算第一部分，我们就可以记 t 等于 c 码，可以从一到 m k 乘负二的 k 减一次。我们可以利用错位相减法，那么我们首先先写出来 t， 它是等于一加二乘负二加三乘负二的平方，一直加到 m 乘负二的 m 减一次。那么现在我们用负二乘 t， 它就等于负二加上二乘二的平方，一直加到 m 减一乘上 负二的 m 减一次，再加上 m 乘负二的 m 次。现在我们两式相减，也就是三 t 等于一加负二加负二的平方一直加到 负二的 m 减一次，再减去 m 的 负二 m 次。此时我们的 t 也就等于 九分之一减负二的 m 次，减去三分之 m 的 负二 m 次。那么现在我们来合并一下我们的结果， s， 它等于 t 加三分之二乘一减负二的 m 次，那么也就等于 九分之一减负二的 m 四，减去三分之 m 乘负二的 m 四，再加三分之二减去三分之二乘负二的 m 四。那么现在我们化减一下，它就等于九分之七减 九分之三 m 加七乘负二的 m 次。那么也就意味着我们 f 撇负二，它就等于九分之七减九分之三 m 加七乘负二的 m 次。那么现在我们来总结一下。首先本题中如果我们想到证明 我们的 b n 它为等差竖列，那么也就是说就需要我们证明 b n 加一减去 b n 为常数， 那么除此之外，我们还应该知道，对于等差数列来说，它通向公式 b， n 等于 b， 一 加上 n 减一乘公差 d。 那 么除此之外，对于我们数列求和，我们会用到错位相减， 它适用于形如 sigma k 从一到 n， k 乘 r 的 k 减一次的求和，那么此时我们可以写出 s 和 r 倍的 s 相减后，我们再来化解。那么除了错位相减法，我们还有分类讨论， 也就是说我们可以将复杂的求和拆分成简单的竖列，比如说等差或者等比的组合。好了，这道题就大家讲解到这里，谢谢观看，再见。 如同呢，在四面锥 a， b， c， d 中呢， a， b 呢是平行于 c， d， 然后呢，我们这两个角呢是九十度。第一个让我们证明平面 p a， b 垂直平面 p a， d。 第二个的话，我们呢这个四条线段长度相等，比如说我们这个线这个线以及呢这个线这个线长度相等，而且呢我们这个角呢也是九十度， 呃，十分之 a 的 体积为九，要问求十分之 a 的 侧面积为多少？呃，这里呢，我们首先第一个小问题呢，我们是正面，我们要正面面垂直，那当然我们想到呢，面面垂直的判定点里也说一个平面经过另一个平面的垂线，这个时候呢，我们就在一个平面里找一条直线垂直另一个平面。呃，这里的话，应该是我们可以通过 a b 垂直于这边的 p a， 同样呢， a， d 呢是垂直于呢这边的 p d， 由此呢就垂直平面呢 p a， d 就 可以了。这第一个小问，第二个小问的话呢，我们应该说我们可以设这些边长呢为 a， 然后呢我们由这个体积说，由这个体积呢求我们这边的 a， 然后呢我们再求呢侧面起就可以了，再求呢 s 侧面起，那么下面呢，我们求具体来解决这小题啊，所以我们在这边的第一个是叫正名 证明的话，我们通过这个上面的两个角为九十度角 b， a， p 等于角 c， d， p 等于九十度，这个时候呢，所以呢 ab 是 平行于 pa 的 cd 呢，也平垂直于 p d， 我 们有 ab 呢是平行于 cd， 所以呢这个时候呢， a， b 也垂直于 p d， 然后这边的 p d 加上 p a 等于 p 啊，然后呢且 p d 呢 p a 是 含于面 p a， d。 接着往下面的话呢，所以我们这个时候 a， b 也就垂直于面 p a， d 了，所以这边来的话，我们第一个呢，就这边的 a， b 呢是垂直于面 p a， d， 然后呢 a， b 又是含于面 p a， b， 所以这两个面角相互垂直的面 p a， b 角垂直于面呢 p a， d 第一个角呢，我们在这边好了，接着往下面的第二个角呢，我们解， 求侧面解，我们这边呢是 p a 等于 p， d 等于 ab 等于 dc 等于 a， 我 们呢由角呢 a， p d 等于九十度，那这个就是个等腰直角三角形，所以的话我们这个时候呢， a， d， 那 就等于根号二 a 了啊，现在我们呢过 p 呢做 p o 垂直于 a， d， 我 们呢由这边的刚才 a， b 垂直于面 p a， d， 我们要呢 a， b 是 含于面 a， b， c， d 这两个面的交线呢，面 p a， d 交呢面 a， b， c， d， 我 们要等于 a d， 所以 的话我们这个时候那我们就得到的是呢，先我们有时候得到这两个面垂直啊，所以呢面 p a， d 垂直于面 a， b， c， d， 同样一个平面呢，经过了一个平面的垂线，然后呢 p o 也就垂直于这边的面 a， b， c， d， 显然这个 p o 的 长度呢，应该说就等于 a d 长度的一半二分之根号二， 因为这是个直角三角形，斜边上的中线斜边的一半，然后呢有为我们就等于三分之一底面积，那也就说一个是 a， 一个是钢化 a， a 再乘以根号二 a， 再乘高二分之根号二 a， 然后呢我们这边应该说是等于九，等于九的话呢，我们这个时候因为根号这个约到了以后得到 a 呢，就等于三， a 等于三的话呢，有齿的话，我们就可以求这个表面积了，表面积呢，我们先呢把这边的呃 p c， p c 的 话，因为这齿角三角形等于根号 i， 同样在这边的话呢， p b 呢也等于根号 i， 然后呢 b， c 也等于根号 i i。 其他的三角形呢，都是直角三角形，而且呢这个都是一样的表面积，面积是一样的，那我们在这边呢 s 呢次面积，那就等于 s 三角形，一个是 p a， d， 就是 a， d， p 吧，加上呢 s 三角形 p c， d， 再加呢 s 三角形 p a， b， 再加呢是三角形 p， b， c。 其实我们这三个三角形的面积是一样的，因为我们都是直角三角形，而且呢这个直角边都是 a， 那 叫三倍二分之一 a 方，然后呢这个呢是一个等，刚才我们求出来都是根号二 等边三角形，那就等于二分之一根号二 a 方，再乘以呢三一六十度，那就乘以二分之 根号三了啊。最终呢，我们就求出来等于二分之二十七，再加上一个呢九倍，根号三。那这就是我们这道题的这个整个解析过程啊。接这一小节的话呢，难度倒不是很大，我们总结一下，简单的， 第一个的话，我们就涉及到呢面面垂直的判定点，说一个平面经过另一个平面的垂线，第一个 a 垂直于 r， 然后呢 a 又是韩语，被它，则 r 就 垂直被它了，就是一个平面经过另一个平面的垂线。第二个的话呢，我们先用体积求出这边的垂线。第二个的话呢，我们先求 s 乘面积就可以了。呃，这道题呢，就到这里写到手听再见。 已知椭圆 c， 其离心率是三分之二倍，根号下顶点是 a， 右顶点是 b， a， b 长是根号十，这可用勾股定力。 d 问，求椭圆的标准方程，这里写一下， 其中 a 方等于 b 方加 c 方， e 等于 a 分 之 c， 通过这个来列式， 所以 d 问，那首先这个 a 点坐标是零对负， b 点坐标是 d 对 零，那这个 a b 的 距离 它是等于根号下， a 方加 b 方要等于根号十，即 a 方加 b 方等于十， 即 a 方加 b 方，化为 a 方减 c 方等于十，而 e 等于 a 分 之， c 等于三分之二倍的根号二，可以得到， c 方是等于九分之八 a 方，那这个代入进去， 所以是等于九分之十， a 方等于十，即 a 方等于九， c 方等于八， b 方等于一。椭圆是 x 方，除以九加 y 方等于一， 这是第一位，第二位设 p 点，以至于动点 p 不 在 y 轴上，点 r 在 射线 a p 上，这就画一下， 假设这是 r， 这是 p， 它们三点共线满足 ar 乘 a p 是 等于三之长度。第一位，设 p 点，坐标为 m n， 求 r 点坐标用 m n 表示，那这里需要用到向量共。向量 a 与向量 b 共线，则存在式数，那么使得向量 e 等于，那么向量 b， 向量 b 分 零向量，由此可以用这个向量法来求解。第二位，可以设 向量 ar 等于那么的向量 a p， 其中向量 a p 这个坐标可以写下，那是 m， 然后 n 加一，因此 ar 乘 a p， 它就等于那么的 a p 的 平方就是，那么再乘， 那这里就是 m 方加 n 加一的平方，它要等于三。由此可以把这个 num 解出来，是三除以 m 方加 n 加一的平方。把 num 表示出来之后，向量 ar， 它是等于向量向量 a p 即向量 m n 加一， 即使，那就把这个 num 带进去，而向量 a r， 它是 x r， 然后 y r 加一，因此可以求得 x r 是 三 m 除以 m 方加 n 加一的平方 y r， 那 就是 三 n 加一，下面 m 方加 n 加一的平方，再减一，这个通分 g， m 方加 n 加一的平方，上面是 n 加二，减 m 方减 n 方，所以把这个 r 点坐标写出来。然后第二个问题 说是 o 是 坐标原点 m 是 椭圆上的一个动点，这是 m 直线 o r 的 斜率为直线 o p 斜率的三倍，这个 r 点坐标又表示出来了，那 k o p 也可以表示出来，所以根据斜率为三倍来列式求 pm 的 最大值。这里要找到 p 点的轨迹方程。所以这个第二问 k o r， 那 就是 y r 比 x r， 那 这样破减直接得到 n 加二减 m 方减 n 方，那下面是三 m， m 不 等于零， 然后这个 k o p 是 等于 m 分 之 n， 那 再由 k o r 等于三倍的 k o p， 那 可以得到三 m 分 之 n 加二减 m 方减 n 方要等于三 n 除以 m， 那 把左边的三 m 除乘过来， 因此 n 加二减 m 方减 n 方要等于九 n 再进行整理一下，即得到 m 方加上 n 加四的平方等于十八，这个 m 不 为零。因此可以知道 p 点的轨迹。 p 点，它在以 n 零度负四为圆心， 然后以半径 r 等于三倍的根号的圆上，因为 m 不 为零，所以去掉两点， 那在这里去掉的是与 y 轴的两个交点。那接下来再来看一下这个图， m 点在椭圆上， p 点在这个圆上，那相当于是圆外一点，和圆上一点距离要最大，那肯定把圆心连接起来，因此这个连接一下，比如说， 对啊，那当它们三点共线的时候，能够取到最大值，所以 pm 最大的时候，应该是等于 m n， 再加上它的半径 r。 所以这里说明一下，这个 pm 一定小于等于 m n， 再加上这个 r， 那 这个 m n。 现在要算一下， n 点是零度负四， m 点在这个椭圆上，所以需要 设 m y m， 则 x m 的 平方除以九加 y m 的 平方等于一。然后再来看这个 m n 的 平方， 那就是 x m 的 平方，再加上 y m 加四的平方，即 x m 平方，那就九减去九， y m 方，再加 y m 方加八， y m 加十六， 所以整体就是负八倍的 y m 平方，再加上八， y m 加二十五，所以是负八倍的 y m 减二分之一的平方加二十七， 而这个 y m 的 范围是负一到一的 d 且减。所以当且仅当 y m 等于二分之一时，这个 m n 取到最大， 那就是根号二十七，三倍根号三，它就开个根号，所以之后 pm 的 最大值应该是三倍根号三，再加上三倍根号二，那当前仅当 m n p 依次共线，且 y m 等于二分之一的时候，可以取到这个最大值。小节。 那首先是考察这个计算，同时这里不需要将直线和椭圆方程连立，那属于不连立问题。 其次需要用到这个三点共线， 通过三点共线去找这个最值， 需要找到这个点的轨迹，这是这个所有的。这道题目就讲到这里再见。 接下来我们一起来看这道题。设函数 f x 等于五倍 cos x 减去 cos x， 让我们来对下面三个问题进行求解。这道题目考察我们的知识点就是函数的分析，我们具体的来看这道题目第一个问，当我们求 f x 在 零到四分之派的 b 锥尖上的最大值，那么我们就要知道导数与单调性的关系。我们说如果在 a 到 b 的 开区间上有这个 f 一 撇 x 大 于零，而我们就可以得到 y 等于 f x 在 这个区间上是单调递减的。而如果有 f 一 撇 x 小 于零，就我们说函数 y 等于 f x 在 这个区间上它是单调递减的。于是 我们在这里要求 f x 在 零到四分之 pi 的 b 区间上的单调性，我们就要来对这个 f 一 撇 x 进行求导。所以我们可以知道这里 f 一 撇 x， 它是等于 负五倍散影 x 来减去负五乘以 散影五 x 的。 这里我们要注意，因为我们知道对这个括散影 x 进行求到，它是等于负的散影 x 的， 于是我们整理一下，可以知道它等于 负。五倍散影 x 来加上五倍散影五 x 减去散影 x 的 时， 这里我们要注意。我们由和差化极公式知道这个塞引 r 减去塞引贝塔，它是等于二倍可塞引二分之 r 加贝塔乘以塞引二分之 r 减贝塔的。于是我们对这里进行整理，它就有它等于五来乘以二倍可塞引 二分之五 x 加 x， 再乘以 sine 二分之五 x 减 x 的 这个整体的，仅我们可以知道它是等于十倍 cosine 三 x 来乘以 cosine 二 x。 而又因为这里这个 x 它属于 零到四分之 pi 的 b 区间，所以我们可以知道 sine 二 x， 它是大于等于零横成立的。 因为这里我们可以知道这个二 x， 它是属于零到二分之 pi 的 b 区间的。然后我们也可以知道这个三 x 它是属于零到 四分之三 pi 的 b 区间的。然后我们结合 y 等于或三 x 的 函数图像，从这个函数图像当中我们可以看出，当 这个三 x 等于二分之派，即 x 等于六分之派的时候，国下引三 x， 它是等于零的。并且我们可以发现，当这个 x 大 于零而小于六分之派的时候， 括号引三 x， 它是大于零的集。我们可以知道此时这个 f 一 撇 x， 它是大于零的。而当 x 大 于六分之派而小于四分之派时， 我们可以知道括号引三 x， 它是小于零的集。我们可以知道这个时候有这个 f 一 撇 x， 它是小于零的，所以我们就可以知道 f x 在 这个零到四分之派的 b 区间上的单调性为 f x 在 零到六分之派的 b 区间上单调递增，而在六分之派到四分之派的 b 区间上单调递减。 所以我们就可以知道 f x 在 零到四分之派的 b 区间上的最大值， 它为 f 六分之 pi， 那 么我们可以计算出来，它是等于五乘以 cosine 六分之 pi， 再减去 cosine 六分之五 pi， 它是等于 三倍根号三的。于是我们就求出了第一问，然后我们再来看第二问，第二问，他说给定 c 大 于零到派的开区间，设 a 为实数，让我们证明存在 y 属于 a 减 c 到 a 加 c， 它的开区间，使得 y 使得括号以内小于等于括号以内 c 它。那么这个时候我们可以考虑利用反证法来证明。我们具体来看它的解析过程。 首先根据反证法的步骤，我们应该先假设原命题不成立，即假设对任意的 y 属于 a 减 c， 幺到 a 加 c 幺的 b 区间都有 括上引外大于括上引塞它。然后我们来看因为括上引外大于括上引塞它。结合 y 等于上引 x 的 函数图像，我们可以知道这个时候有这个 y， 它应该是属于负塞，它加二 k pi 到塞它加二 k pi 的 它区间，其中 k 属于整数 z 的。 于是我们就可以知道这个时候应该有这个 a 减 c， 它到 a 加 c， 它的 b 区间是包含于 负 c， 它加二 k 派到 c， 它加二 k 派的开区间，其中 k 属于整数 g 的。 这个时候我们来分析这个区间长度，可以发现这里左边它是为区间长度 为二 c 它的 b 区间的，而右边它是为一系列区间长度为二 c 它的开区间的并集。所以我们就可以知道这个时候 a 减 c， 它到 a 加 c， 它的 b 区间包含于 负 c， 它加二 k pi 到 c， 它加二 k pi 的 开区间，其中 k 属于整数 z 是 不成立的，所以我们就可以知道这里假设错误原命题成立，即我们可以知道给定 c， 它属于零到派的开区间， a 属于时数 r 是 存在， y 属于 a 减 c 到 a 加 c， 它的开区间，使得 cosine y 小 于等于 cosine sine theta。 于是解出第二问，再来看第三问，第三问，他说若存在 f， 使得对任意 x 都有五倍 cosine x 减去 cosine 五 x 加 f 小 于等于 b， 求 b 的 最小值。那么这里 我们记这个 h x 等于五倍扩散引 x 来减去扩散引五 x 加派。然后我们来看，因为我们可以知道 h x 加二派，它是等于五乘以扩散引 x 加二 pi 来减去，不再引五 x 加十 pi 再加 five， 那 么我们可以知道它是等于 h x 的， 所以我们可以知道 h x 它为周期函数，且周期为二 pi。 所以 这个时候我们只需来讨论 x 属于零到二 pi 的 b 区间上 five 属于零到 pi 的 b 区间的情况。 我们来看，当 far 等于 pi 的 时候，可以知道 h x 等于五倍角下影 x 来减去角下影五 x 加 pi， 即等于 五倍角下影 x 加上角下影五 x， 那 么它是小于等于六的，因为我们知道角下影 r 的 曲值范围是负一到一的 b 区间。然后我们再来看当 far 等于零的时候， h x 等于五倍 cosine x 来减去 cosine 五 x， 那 么这时我们由第一问知道， 这个 h 撇 x， 它是等于十倍 cosine 三 x 乘以 cosine 二 x 的， 而 x 属于零到二派的开区间。 那么这里我们令 h five 等于零，则我们可以知道 x 等于六分之派，或者二分之派，或六分之五派，或派或六分之七派，或二分之三派或 六分之十一派。而且我们知道这个 h 六分之派，它等于 h 六分之十一派，等于三倍根号三。同样是由第一个位知道的，而这个 h 二分之派等于 h 二分之三派 等于零，而 h 六分之五派，它等于 h 六分之七派，等于负的三倍根号三，而这个 h 派 等于负四 h 零等于 h 二， pi 等于四，所以我们就可以知道这个时候 h x 它的最大值，它就等于 h 六分之 pi 等于 h 六分之十一， pi 等于三倍根号三。所以 我们再来看当 pi 属于零到 pi 的 开区间的时候，我们由第二问值 这里取 five 等于 t， 则是存在 y 属于 five 减 theta 到 five 加 theta 的 开区间，使得 括号以内小于等于括号以内 theta 的， 那么我们这里取这个 theta 等于六分之五派，五分之外减零，五分之外减 theta 去 x 等于五分之 y 减 t， 那 么它属于负五分之 theta 到五分之 theta 的 开区间，则我们可以知道 x 等于五分之 y 减 t， 它是属于 负六分之派到六分之派的开区间。所以我们就可以知道这个时候有这个五倍扩散引 x， 它是大于等于二分之五倍根号三，所以我们就可以知道五倍扩散引 x 减去 扩散引五 x 加 five， 它是大于等于三倍根号三的。所以综合上述分析，我们可以知道这里 b 它是大于等于三倍根号三的。可取 x 等于六分之派 f 等于零使等号成立，所以我们就可以知道，综合上述分析， b 的 最小值它是等于三倍根号三的，所以我们就解出了这道题目。中间在这道题目当中，第一点我们要知道 y 等于 cos x， y 等于 cos x， y 等于 tangent x 的 函数图像以及它们的性质。第二点，在这里我们要注意和差化极公式有， sine 阿尔法来加上 sine 贝塔，它是等于二倍。 sine 二分之阿尔法加贝塔来乘以过阿尔法，而这个 阿尔法减去阿尔法，而它是等于二倍过阿尔法加贝塔来乘以阿尔法减贝塔。而 cosine 阿尔法加上 cosine 比特，它是等于二倍。 cosine 二分之阿尔法加上比特来乘以 cosine 二分之阿尔法减去比特，而这个 cosine 阿尔法减去 cosine 比特， 它是等于等于负二倍。塞引二分之阿尔法加比特来乘以塞引二分之阿尔法减比特。好了，这道题目就为你讲解到这，谢谢观看，再见！
120翟海涛0037a考
46:02查看AI文稿AI文稿这里他说，哎，对于这个样本数据啊，十四，十六，二十，它的平均数为多少？那么首先呢，我们先来分析下这道题目，哎，那么这道题他考察到呢，就关于平均数的计算公式， 那这里呢，你看是不是样本数据总共有五个数呀，它的平均数呢，就是 m 差的公式叫 x 一， x 二， x 三， x 四， x 五， m 平均数呢，哎，它等于什么呢？数值五分之一，再算一个 x 一， 再是 x 三，再加上 x 四，再加上 x 五，哎，那这个等于是平均数计算公式。 下面呢，根据我们的分析，我们先看这道题目，那是不是我们先看看啊，那这里面呢，二加八加十四，再加上十六，再加上二十，哎，他是不是就等于二加八是十，然后四四加十六是三十，然后再加上二十，那是就等于六十，哎，是不是算上的平均数是多少呀？是不是就是五分之一，再乘以六十，结果呢是十二，所以这道题答案呢，就是这个 c 选项。 好，那么这道题的这就完了，最后呢，再总结下道题目，那么这道题目呢，是一道题向基选，题目就是给的，我们最后讲不出去，我们就要会算他的平均数，那么公式呢，就是这样的一个公式，那么说他除了会考平均数之外，还可能会考什么呢？我们说还有两位是特别常考的，那就是中位数，哎，中位数和这个极差， 那么还是假设是五个数吧，那这里呢，我们说我们要算中位数和极差的话，我们一定要记住一点，就是呢，哎，我们一定要是先要排序，那假设这里呢，就 x 一 小于 x 二小于等于 x 三小于等于 x 四小于 x 五，那么中位数，那是不是就表示中间的那个数呀？就我表去之后，中位数呢？就 x 三。那比如这道题里面，哎，它的中位数是多少？哎，这个五样本数据，它的中位数， 那是不是就中间的这个十四呀？哎，这道题它如果中位数的话，那就十四，那下面我们来看极差，那什么是极差呀？哎，比如说这五个数，那是不是最大的，最小的也就是 x 五，哎，减去 x 一， 那这道题里面是不是就是二十减去二呀？也就是二十减二就是等于十八，哎，比如说四 d 选项呢？哎，其实并不是平均数啊，而是极差，是极差。 好，那么这道题就到这里，同学们见 已知 z 等于一加 i， 则 z 减一分之一等于多少？那首先这道题考察的就是负数，那首先我们来回顾一下什么是负数？负数指的就是 z 等于 a 加 b i 的 形式， 其中 a 跟 b 属于全体实数啊， i 的 平方是等于负一，负数 z 的 共格负数等于 a 减 b i， 负数 z 的 某场等于根号下 a 方加上 b 方。负数 z 在 负平面内所对应的点的坐标就是 a， 逗号 b， 然后 z 一 是等于 a 加 b i z， 二是等于 c， e 加 d i， z 除以 z 二。那在这里边就是两个负数相处，分子分母的同时乘以分母的共额负数， 然后分母的共额负数在这里边就是 c e 减 d i， 所以 就是 c e 加 d i 乘以括号 c e 减 d i 上面是 a 加 b i 括号再乘以 c 点 d i。 然后我们在这里边就是 c 方减去 d i 括号的平方 a 方等于负一，所以就是 c 方加上地方，然后是 a， c 减去 b， d， i 方，然后 i 方等于负一，所以就是加上 b， d， 然后再加上 b， c 减去 a， d， 括号乘以 i， 然后分母在这里边不能等于零， c 方加地方是不能等于零。 那下面我们来看一下本道题。那现在告诉我们自己在这里边是等于一加 i， 那 所以我们可以得到这一减一，是不是应该就是一加上 i 再减去一，那进而我们在这里边就可以得到它是等于 i， 然后我们在这里边就得到 z 减一分之一，它就等于 i 分 之一，然后分子分母同时乘以它的共额负数，它的共额负数在这里边就是负 i， i 乘以括号负 i 上面是负 i， a 方等于负一，所以这个下面就是正一，所以它等于负 i， 所以 本道题大答案在这里边就是 a 选项。 那下面我们来总结一下本道题。本道题在这里边重点考察的就是两个负数相除，分子分母需要同时乘以分母的共额负数。另外负数的模长以及负数自己在负平面内所对应点的坐标，希望同学们记一下。好，本期题我就讲解到这里，同学们再见。 已知集合 a 是 x 轴 x， 求集合 a 交集合 b。 好 分析， 那我看你做题的一个规律，主要这里这个题考察的明显就是我们对交集的一个理解和应用。那呃，对于这类题目我们怎样求解呢？首先我们求集合 a 和集合 b 集合已经给出了，那我们就是要先求集合 b， 之后再求 a 啊，集合 a 与集合 b 它的一个交集，那交集定义的理解，我们用文图理解，其实是更啊这个快速的，这是集合 a， 这是集合 b。 交集表示的是它之间共有的一个部分，那么先求解集合 b， 然后 x 立方等于 x 变形，得到 x 立方，减 x 等于零，这边填 x 里面是 x 平方，减一等于零，然后记得 x 等于这边是零，可以，然后 x 平方等于挪过去，就是 x 平方，减一等于挪过去，就是 x 平方。一求一都正，负一就是一个是一，一个是负一啊，故集合 b， 它等于集合 a 和集合 b， 它一个交集的一个部分，我们才共有的。零有没有 e 有 没有，负 e 没有，所以说这里是零和一。那看一下正确答案是选择四 d。 好， 我们就求出来了。 总结，这道题呢，考察的是啊，比较简单的，但是这是一个经典的一个题目，就是让我们理解怎样去求解这一类题目，怎样去思考这一类问题的一个解决啊思路，那总体的一个思路是，我们要把所有集合求出来，然后确定它的元素之后，我们来求它的一应交集。这里考察的 重点是我们对交集的一个理解与应用。好，那这题就讲到这里，友们再见。 在三角形 a、 b、 c 中， bc 等于二， a， c 等于一加根号三， ab 等于根号六，则角 a 等于多少？我们先来分析这道题，三角形 abc 呢，已经知道它的三边的长度，然后求其中一个角的度数， 可作辅助线。根据勾股定律求出 a、 d 或者 b、 d 的 长度，然后利用三角函数求出角 a 的 度数。 先做辅助线过点 c 做塞， d 垂直于 ab 于点 d。 那 么三角形 a、 c、 d 和三角形 b、 c、 d 都是直角三角形 c、 d 是 这两个直角三角形的直角边， 所以可得 c、 d 的 平方，它是等于 a、 c 的 平方，减 a、 d 的 平方，减去 b、 d 的 平方。设 a、 d 等于 x， 因为 a、 b 等于根号六，所以 b、 d 就 等于根号六减 x。 又因为 a、 c 等于一加根号三， b、 c 等于二二，所以都代入到上面的等式当中。一加根号三括起来的平方，减去 x 平方等于二的平方。减括号里根号六减 s 括起来的平方。我们把这个含 x 的 方程进行整理，先去括号 一加根号三括起来的平方，它是一个完全平方式，把它展开以后等于四加二倍的根号三减 x 方，等于四减括号里的根号六减 x 括起来的平方，也是一个完全平方式，把它展开以后，等于六减二倍的根号六。 x 加上 x 平方， 然后等于四加二倍的根号三减 x 方，等于四减六加二倍的根号六。 x 减 x 方。 这个等式的两边都含有四和减四减 x 方，所以两边都同时减去四减 x 方以后剩下的一项。二倍的根号三加上六，就等于二倍的根号六。 x 把 x 的 系数化为一等于 二倍的根号六分之二倍的根号三加六化简二次根式呢？这个式子呢，进行分母右力化分子分母同时乘根号六化简后等于二分之根号二加根号六。 在三角形 a、 c、 d 当中，已知角 a 的 邻边是二分之根号二加根号六，还有直角三角形的斜边，所以我们可求出角 a 的 余弦 cosine a， 它呢等于 a d 比上 a c， 我 们代入计算二分之根号二加根号六，除以一加根号三。 化解这个式子，先让分子分母都同时乘二分母上二乘一加根号三，分子上是二加根号六。然后分母有理化分子分母同时乘根号三减一，二乘一加根号三，再乘根号三减一。 分子上根号二加根号六乘根号三减一，分母上呢，就是一个三张差公式，一加本号三乘根号三减一，它等于三减一是二，二乘二是四。分子上 把它展开以后，等于根号六，加上三倍的根号二，减去根号二，再减去根号六， 合并同类二次根式以后，等于四分之二分倍的根号二，再次约分等于二分之编号二。那么因又因为 cosine 四十五度等于二分之编号二，所以可得角 a 就 等于四十五度，所以这个题选 n。 这道题涉及到的知识点有，直角三角形的勾股定律，斜边的平方等于两条直角边的平方的和。第二个知识点是关于二次根式的化简，在计算结果当中，最后的结果二次根式要化成最简二次个根式。 如果我们计算的结果分母上呢，是一个含二次根式的一个单项式，那么它它的化简就是分子分都同时乘这个二次根式。根号 m 分 之 a 就 等于根号 m 乘根号 m 分 之 a 乘根号 m 等于 m 分 之 a 倍的根号 m。 如果计算结果分母的二次根式呢，它是一个多项式，那么就分子和分母都同时乘 分母的行方差公式的另一半。因为这是分母上的，是两个根式之合，所以我们就分子分母同时乘两个根式之差，然后呢，利用平方差公式把分母上的根号去掉，所以化解以后等于 m 减 n 分 之 a 倍的根号 m 减去根号 n， 其中 m 是 大于零的，这就叫做分母有理化。第三个知识点就是已知任意一个三角形的三条边，那么根据做垂线做高，根据勾股定律列式子，我们可以求出任意一边上的高。 同学，这道题就为你讲解到这里，感谢你的观看，再见！ 设炮线 c 外方等于二 p x p 大 于它的交点为 f， 点 a 在 c 上过 a 做 c， 准线的一个垂线垂足为 b， 若直线 b f， 一个方程是 y 等于负二 x 加二，则 a f 啊，下面它一个长度是多少？分析，那对于我们的炮线外方等于二 p x， p 大 于 r， p 大 于 a， 说 它的焦点 f， 它的一个坐标为二分之 p 零，它的准线方程是 x 等于负的二分之样，那因为点 a， 在 这个抛物线 c 上，我们不妨设 a， 它的一个坐标是 x a y， 因为它在点 c 上，它满足我们这个呃 c， 它这个方程代入就是 y a， 它的平方等于二 p s a 过为 a 做 c 的 以准线的一个垂线，那 c 它是开口向右的 s 等于，然后它的一个垂足为 b， 所以 说 b， 它的这个纵坐标和 a 的 纵坐标是一致的， 因为又因为它这个呃准线，它的准线是 x a 负二分之 p， 所以 是这个垂足，它的一个横坐标我们也有了，所以它是负二分之 p y y 继续好，我们来看一下直线 b f b 又没有了 f， 焦点 f， 哎，它的一个坐标是二分之屁，哎，二分之二分之屁零，所以说我们有了两点，然后这个直线的话，那我们分别将两点进行代入，有直线 b， f 啊， y 等于负二， x 加二，则我们把 f 点代入，那这里就是负二，乘以二分之 p， 呃，得到负 p 加二等于零， 解得 p 等于二， p 等二，然后这里的话就是 b 点丢失，这就是负一了，然后我们再加 b 点代入，这样 b 点代动，这加 y 等于负一，这里是二加二等于四，然后说把 y y 等于四代入 二，这个屁是二，二得四四， x a 等于四啊，四的平放，四的平放，所以 fa 等于四，那 a 点它是四四， 那么 f 点这也是一零，所以 a f 线段的一个长度，这个线段长度的一个公式。呃， a 是 x 一 y 一 b 是 x 二 y 则 ab， 它的一个线段长度是等于 x e， 哦，二三减 x， 一 扩起来的平方，加上 y， 二减 y， y 一 扩起来的一个平方，然后再开根号， 那这里呢？它就等于根号下四减一，括括起了一个平方，加上四减零，括起了一个平方， 等于这里是三的平方九，这里是四的平方十六，所以是根二十五等于五，那线段长度是五，正确答案是 c， 然后我们就求出来了，那总结我们看下这道题，它考察什么呢？考察我们对于抛物线它的一个认识啊，对于抛物线它基础知识的一个掌握是非常重要的。 好，那其次在解析的一个过程中啊，运用到了我们对于这个方程啊，与直线这个函数与直线的一个啊啊思考，那这道题总归来说是一个中等题哈，是有一定的难度的好战略。到这里，同学再见， 我们一起来看一下题。即 sn 为等差竖列的前 n 向和，若 s 三等于六， s 五等于负五。让我们一起来分析一下这个题。我们知道等差竖列的前 n 向和公式， s n 就 等于 二分之 n 乘括号 a 一 加 a， n 还等于 n 倍的 a 一 加二分之 n 乘括号 n 减一，然后再乘 d。 根据这个公式，我们来求解一下这个题。 题目中告诉我们， s 三等于六，也就是 s 三等于三倍的 a， 一 加二分之三乘括号三减一，然后再乘 d 就 等于六，也就是三倍的 a 一 加二分之三乘二，然后再乘 d 等于六。 三倍的 a 一 加单， d 就 等于六。化简，我们可以得到 a 一 加 d 就 等于二。题目中还告诉我们， s 五乘 s 五，也就等于五倍的 a 一 加二分之五乘括号五减一，然后再乘一 等于负五，所以也就是五倍的 a 一 加二分之五乘四倍的勾差 d 等于负五，也就是五倍的 a 一 加十， d 等于负五。化简，我们可以得到 a 一 加二， d 就 等于负一。 令 a 一 加 d 等于二，这个式子为一， a 一 加二， d 等于负一，这个式子为二。我们用二减去一就能得到 d 就 等于负三。将 d 等于负三。代入式子一，我们就能得到 a 一 减三就等于二，所以 a 一 就等于五，那么 s 六就等于六倍的 a 一 加二分之六乘五，然后再乘 e， 也就等于六。乘五加 二分之六乘五，然后再乘负三，也就等于三十。减去四十五，也就等于负十五。所以这个题选的是 b 选项。最后我们一起来总结一下这个题。这道题考察的是等差数列的相关知识，我们知道等差数列的通项公式为， a， n 等于 a， 一 加括号 n 减一倍的公差 d。 等差竖列的前 n 项和公式为， s， n 等于二分之 n 乘括号 a 一 加 a， n 还等于 n 倍的 a 一 加二分之 n 乘括号 n 减一倍的公差 d。 我们要根据题目要求灵活的选择公式。好，这道题就讲解到这儿，同学再见，他说已知零小于阿尔法小于 pi， cos 二分之阿尔法等于五分之根号五，则 cos 阿尔法减四分之 pi 等于多少？那么我们首先来分析一下。 对于本道题来说，首先我们需要掌握二倍角公式， cosine r 法等于两倍的 cosine 二分之 r 法的平方减一。那么除此之外，我们还应知道平方关系， cosine r 法的平方加 cosine r 法的平方等于一，以及 我们两角差的正弦公式， sine a 减 b 等于 sine a， cosine a， sine b。 以及我们应该知道一些特殊角的三角函数的值，比如说 sine 四分之 pi 也是等于二三，四分之 pi 也是等于二分之根号二的。那么现在我们来正式求证一下。 首先我们可以用二倍角公式先求 cosine alpha， 我 们知道 cosine 二分之阿尔法等于五分之根号五，所以 cosine alpha 它是等于两倍。 cosine 二分之阿尔法的平方减一就等于两倍五分之根号五的平方减一，那么也就等于五乘二十 五分之二减一也等于负的五分之三。那么现在我们再来求 cosine alpha， 根据我们平方关系，我们三 n r 法的平方，它是等于一减扣三 n r 法的平方，也就等于一减负的五分之三的平方，也就等于一减二十五分之九，那么就等于二十五分之十六。那么此时我们到哪儿法是在零到派的，所以我们的三 n r 为正，那么塞而法 就等于五分之四。现在我们再来求 sine 尔法减四分之派。现在我们根据两角叉的正弦公式，就得等于 sine 尔法乘 cosine 四分之派减 cosine 尔法乘 sine 四分之派，那么代入也就等于 五分之四乘二分之根号二。减负五分之三乘二分之根号二，那么也就等于十分之四倍根号二。加上十分之三倍根号二预出，我们选出来就是十分之七倍根号二，因此我们就可以选出来，答案就为 d。 那 么现在我们就来总结一下。首先本道题我们用到了二倍小公式求出了 cos 二法，那么它就等于二 cos 二分之二法的平方减一。以及我们还知道 sin 尔法的平方加 cosine 尔法的平方等于一，我们用于求 sine 尔法，此时我们要注意符号，它是由角度范围决定的。那么本道题我们还用到了两角叉的正形公式， sine a 减 b， 它是等于 sine a 乘 cosine b 减 cosine a 乘 sine b。 那么本道题我们用于展开 sine alpha 减四分之派。那么除此之外，我们还应该知道特殊角的三角函数值， sine 四分之派等于 cosine 四分之派，等于二分之根号二。好了，这道题就为大家讲解到这里，谢谢观看，再见！ s 是 等比竖列 a 的 前项和 q 是 公比， q 大 于零， s 三等于七， a 三等于一，那这里来列示。把这个 a e q 解一下，等比竖列 s 是 等于一减 q 分 之 a 一 乘一减 q 的 n 次方， q 不 等于一， 若 q 等于一， s 等于 n 倍的 a 一， 且 n 是 等于 a e q 的 n 减一次方，这里来解一下 这个 s 三，这等于 a 一 加 a， 二加 a 三等于七， a 三等于一，则 a 一 加 a 二就等于六，那比一下 a 三比 a 一 加 a 二， a 三是 a 一 q 方，下面 a 一 提出来，一下去，那等于一比上六，那 a 一 消去，所以就是六。 q 方减就减一等于零，那分解为二。 q 减一 乘三， q 加一等于零，因为这个 q 大 于零，所以 q 等于二分之一，那 a 三是等于 a 一 q 的 平方等于一，所以可以求出这个 a 一 是等于四， 且 a n， 它是等于 a 一， 再乘 q 的 n 减四方。化解一下，是二的 n 减三次分之一，那可以求出这个 a 五，那就是二的二次分之一，即等于四分之一，所以 b 不 对 c 选 s 五，那算一下 s n， 那 e 减 q 的 n 次，那就是八，再乘一减二分之一的 n 次， 所以 s 五，那就是八，再乘一减二分之一的五次方了。 d 等于，那这个也不用算了，它一定不等于八，所以这个 c 可以 排除 d 选项。 a n 加 s n， 这个 a n 是 二分之一的 n 减三次方， s n 是 等于八，再减去八乘二分之一的 n 次方，这个化简一下就是理应该，所以这里应该选 a 与 d 这两个小节。 考察等比数列通解公式前项和公式。那通过体积木条件需要求出 a e 和 q 作比值可以求解。这道题目就讲到这里，再见， 已知函数 f x 是 定义在耳上的基函数，且当 x 大 于零的时候， f x 等于 x 平方减三来乘以一亿的 x 四方加二。问，下列正确的有哪些？这道题目考察我们的支点，就是对函数的分析。 首先我们来看题目当中告诉我们 f x 是 定义在耳上的基函数，那么我们就要知道基偶性的定义，基偶性。首先如果函数 f x 的 它的定义域是关于原点对称的，那么我们就可以来考虑这个函数 f x 的 基偶性。如果对定义域内的任意一个 x 都有 f 负 x 等于 f x， 只要我们说函数 y 等于 f x， 它是为偶函数的。如果对定义域内的任意一个 x 有 f 负 x 等于负的 f x， 只要我们说 f x， 它是为奇函数的，并且我们还要注意 o 函数的函数图像关于 y 轴对称，奇函数的还是图像关于圆点对称，于是我们来看， 因为这里 f x 它是定义在耳上的奇函数的，于是我们就可以知道，首先 f x 它是等于 负的 f x， 其实我们可以知道这个 f x 它的图像关于原点对称。然后我们来看 a 选项， a 选项说 f 零是等于零的，于是我们来看，首先因为 f x 是 定义在耳上的基函数， 所以我们可以知道 f x 在 x 等于零处，它是有定义的，它有定义，我们就可以知道它的函数图像关于 原点对称于式，我们就可以得到这里 f 零，它应该是等于零的时候，以 a 选项正确。再来看 b 选项， b 选项说，当 x 小 于零的时候， f x 等于负的 x 平方减三来乘以 e 的 x 减二次方，再减去二。 那么我们来看，根据题，首先我们知道 f x 还是定义在二上的奇函数 r， b 选项当中告诉我们，有这个 x 小 于零时， f x 等于负的 x 平方减三来乘以一亿的 x 减二次方，再减二。如果 b 选项成立，那么根据奇函数的定义，由 f 负的 x 等于负的 f x， 于是 我们来分析。题目当中告诉我们，当 x 大 于零的时候，有 f x 等于 x 平方减三来乘以 e 的 x 方，再加上二进行分析，我们令这里 t 等于负 x， 其中 t 大 于零，于是我们可以知道这个二也负 t， 它是等于 t 平方减三来乘以 e 的 t 次方再加上二的。而这里我们令了这个 t 等于负 x， t 大 于零，于是我们特意知道此时这个 x 它是小于零的， 并且 x 等于负 t， 于是我们再结合 f x 式定义在 r 上的基函数可一知道，当 x 小 于零的时候，有这个 f x， 它是等于负的 f t 等于负 的 t 平方减三乘以一的第一次方，这个整体再加上二的这个整体的，即我们将它进行整理，它应该是等于负的 x 平方减三，乘以 e 的 负 x 次方， 再来加上二，这个整体的极等于负的 x 平方减三乘以 e 的 负 x 次方再减去二。于是我们可以发现这里这个 e 的 负 x 次方与 e 的 x 减二次方它是不相等的，所以我们可以判断这个 b 选项它是错误的。然后我们再来看 c 选项， c 选项说，当 这选项说 f x 大 于等于二，当前仅当 x 大 于等于根号三，这个时候，我们就可以先对 x 大 于零的时候， f x 大 于等于根号二来进行分析。 x 大 于零的时候，根据平移 f x， 它是等于 x 平方减三来乘以一的 x 次方，再加上二的，这时我们有这个 f x 大 于等于二极， 这个时候由 x 的 平方减三来乘以 e 的 x 次方加二大于等于二，要使得这个不等式成立，则我们可以知道，此时有这个 x 平方减三来乘以 e 的 x 次方，它一定是大于等于零的。 而我们又知道 x 大 于零的时候， e 的 x 次方，它一定是大于零的，所以要使得这个不等式成立，就有这个 x 平方减三，它一定大于等于零，即我们可一得到这个时候，在 x 大 于零的条件下，可以解出 x 它是大于等于根号三的。 而我们来分析，当 x 小 于零的时候，我们可以来看，如果我们取这个 f 等于负一，则我们可以知道 f 负一，它应该是等于 负的 f 一 的一内，我们知道这个 f x 它是为极函数，既按等于负的一减三来乘以一的一次方，再加上二的个整体，那么我们知道一下，它是等于二一来减去二的，而我们知道这个 e 它是大于二的，所以这里二一减二，它一定是大于 二乘以二再来减去二极等于二的，所以我们知道这个 f 负一，它是大于二的， 所以我们可以发现是存在 x 小 于零使得 f x 大 于等于二，所以我们可以判断这里 c 选项就是错误的。再来看 d 选项， d 选项说 x 等于 x 等于负一是 f x 的 极大值点，那么实际上是让我们来分析当 x 小 于零的时候， f x 的 单调性。而我们由 b 选项已经知道，当 x 小 于零时， f x， 它是等于负的， x 平方减三来乘以一的负 x 方再减二的。那么因为我们已经知道，当 x 小 于零时， f x 等于负的 x 平方减三来乘以一的负 x 次方，再减二，所以我们对它进行求导，我们可以知道， f 一 撇 x， 它应该是等于 负的二 x 来乘以 e e 的 负 x 次方，再来加上负的 x 平方减三这个乘题来乘以 负一乘以 e 的 负 x 次方，那么我们对它进行乘以的等于负等于负二， x 乘以一 e 的 负 x 次方，你再来减去 三减 x 平方就成题，乘以一的负 x 次方，于是我们再填一个负逆的负 x 次方出来，它就等于负一的负 x 次方，再来乘以二 x 再来加上三减 x 平方这个整体的。这个时候我们来看，当这个 x 等于负一的时候， 我们可以知道 m 一 撇负一，它等于负一的负负一次方来乘以二乘以负一来加上三减去负一的平方这个整体，那我们计算出来它是等于零的。然后我们来看，当 x 小 于负一这样的时候，即在 x 等于负一的右上， 我们通过 f 撇 x 来答题，那是我们可以知道，此时 f 一 撇 i x， 它是小于零的。而在 x 等于负一的左侧， 即 x 趋于 x 介于负一负的时候，我们可以知道 f 一 撇 x， 它是大于零的。所以我们可以知道这个时候 x 等于负一是 f s 的 一个，即倒值点， 所以我们可以判断这里 d 选项它是正确的。于是照题目我们就应该选择 i d 两个选项中间。在这道题目当中，第一点我们就是要知道导数的运算法则，它是指 f x 加减 g x 求导 等于 f 一 撇 x 加减 g 一 撇 x， 而 f 乘以 g x， 求导，它是等于 f 一 撇 x 乘以 g x， 再来加上 f x 乘以 g 一 撇 x， 而 f x 乘以 g x， 求导 它等于 g x 的 整体平方分之 f 一 撇 x 乘以 g x， 再来减去 f x 乘以 g 一 撇 x， 那 么这里我们要注意这个 g x 它是不等于零的。以及我们对 e 的 x 次方进行求导，等于 e 的 x 次方， 而对 x 的 a 次方进行求导，它等于 a 来乘以 x 的 a 减一次方。那么第二点我们就是要注意导数与极值的关系。我们说如果有 f 一 撇 x 的 零等于零，而在 x 零的左侧 附近有这个 f 一 撇 x 大 于零，在它的右侧附近有这个 f 一 撇 x 小 于零，只要我们说这个 x 零为极大值点， 对应的 f x 零诶极大。而如果在这个 f 零的左侧 附近有这个 f 一 撇 x 小 于零，而在它的右侧附近有这个 f 一 撇 x 大 于零，只要我们说这个时候 x 零为极小值点， 而对应的 f x 零为极小值。第三点我们就是要知道导数与单调性的关系。如果在 a 到 b 的 开区间上有这个 f 撇 x 大 于零，那么我们说函数 y 等于 f x， 在 这个区间上它是单调递增的。 而如果有 f 撇 x， 它是小于零的时候，我们说还是 y 等于 f i， 在 这个区间上它是单调递减的。 好了，这道题目就为你讲解到这些。愿看的见 已知双曲线 c 左右焦点是 f e f 二，左右顶点是 a e a 二。以 f e f 二为直径的圆，与相切的一条渐线交于 m， 那 如图所示，角 n a e m 是 六分之五派，则 a 选项角 a e m a 二是多少？ 这里需要看一下。 o 点是 a e a 二的中点，那同时也是 m 门的中点，所以连引起来是个平行四边形 m a e n a 二，既然平行四边形呢，这个角应该就是六分之派，这个 a 是 正确的， 这里写下。那后续研究离心率 e 等于 a 分 之 c， 然后 c 方是等于 a 方加 b 方的，这个需要了解。同时这条渐线是 y 等于 a 分 之 b s， 那 现在先来解 a 选项， 需要说明下，这个 o 为 a 一， a 二以及 m n 的 中点可以得哦。平行四边形 m a n a 二，因此角 a e m a 二，这应该是等于 六分之派，这个就直接写出来 b 选项 m a 一 和 m a 二的倍数关系，那这个地方需要进一步挖掘信息。告诉一个六分之五派， o a 二，这个是 a o m 是 c， 这个是 a c， 那 这个夹角它的正确值知道，所以可以找一下这这个 abc 的 关系。直线 m n 是 y 等于 a 分 之 b x， 那 可以知道，这个电记角 m o a 二是等于 a 分 之 b， 而这两边一个 a 一个 c， 所以 还需要找 a c 的 关系。可以找一下这个口算值添减值是等于 sum 除以 cosine， 而平方和它是等于一的，由此可以求出这个 cosine 角 mo a 二是等于 c 分 之 a， 而这个 c 分 之 a 正好，它就等于 o m 分 之 o a 二的，那这个也说明了 m a 二是垂直于 o a 二的，这是垂直关系，坚持垂直。因此可以知道 角 m a 一 a 二，它就应该是六分之五派，再减去二分之派，等于三分之派 m a 一， m a 二是斜边对边的关系。而 sine 三分之派是等于 m a 二，再比上 m a 一， 然后再以三分派是二分之根号散，所以最终到二倍的 m a 二的要等于根号三倍的 m a 一， 所以这个 b 不 对 c 选项求离心率找 a b c 的 关系，那这个 c 选项首先算出 m a 二， 它是等于。根据勾股定律，它是根号下 c 方，减 a 方是等于 b， 而探减三分之派是对边比零边，所以这个时候探减 三分之派式等于对边式 b， 那 零边边，这个零边是 a 一 a 二 a 一 二是二 a， 它是等于根号三，即 b 是 等于二倍的根号三 a， 所以 得到 b 方是等于十二 a 方， 那 c 方就等于 a 方加 b 方是十三 a 方，所以 a 方分之 c 方是十三，即一方等于十三。因为这个 e 大 于一，所以一等于根号十三， 所以这个 c 正确的选项 a 等于根号的时候，这个四边形的面积，那四边形面积拆成这两个 三角形面积之和转化一下，所以低选项，它是等于二倍的三角形 m a 一 a 二的面积啊，这是个直角三角形，那就二分之一底乘高，这就是二乘二分之一乘二 a 再乘 b， 所以 是等于二 ab 二倍是二倍，根号三 a， 所以 是二 a 再乘二倍根号三， a 是 四倍的根号三， a 方，即四倍的根号三，再乘 a 是 根号二，那这个算出来是八倍的根号三，所以这个 d 选项是正确的，选 a c、 d。 小 结下， 那这道题目需要找几何关系，同时用到同角三角函数关系，需要了解这公式，进而发现垂直关系，那这是垂直的话，就可以通过旋值和正值列式。而 d 选项的面积，四边形面积一般就是这个，分解为三星面积之和。然后再化解 c 方等于 a 方加 b 方， e 大 于 e。 这道题目就讲到这里，再见， 已知平面向量 a 和 b 的 坐标 a 垂直于 a 减 b， 则向量的幂等于多少？那这个题我们首先分析一下，考察的是向量的坐标运算。如果向量 a 的 坐标是 x 一 呀， y 一， 向量 b 的 坐标是 x 二 y 二，那么向量 a 加减向量 b 就 等于 x 一 加减 x 二。逗号 y 一 加减 y 二， lamb 的 乘向量 a 就 等于 lamb 的 被的 x 一， 逗号 lamb 的 y 一。 向量 a 点乘向量 b 就 等于 x 一 乘 x 二，加上 y 一 乘 y 二， 这是向量的运算，这个是平行和垂直与向量来标的关系。如果向量 a 平行于向量 b， 则重要条件是 x 一 y 二等于 x 二， y 向量 a 垂直于向量 b， 它的条件是，它重要条件是 x 一 x 二加 y 一， y 二等于零。那另外求模，向量 a 的 模就等于根号下 x 一 的平方加上 y 一 的平方。好，这是关于向量坐标的运算的知识点。那具体来看一下这个题，我们先计算一下， 先计算一下向量减向量 b， 向量 a 减去向量 b， 也就是等于坐标相减 x 减 x 减一， x 减 x 减一是一，一减去二， x， 向量 a 垂直于向量 a 减向量 b， 所以 说也就是向量 a 点成像，一点成像 b 等于零，也就是 x 乘一加一乘一减二， x 等于零，所以就是 x 加上一减二， x 等于零。 所以可以求出来， x 等于一，那 x 等于向量 a 的 坐标就是一逗号一。那么根据求模的公式，向量 a 的 的模等于根号下一的平方，加一的平方等于根号二，所以说结果是根号二好，这是这个题目好。那么总结一下这个题， 那么这个题考察的是向量那座低向量坐标。第一个是关于向量的坐标的运算，向量坐标的运算包括现行运算和双击运算。第二个向量坐标的一个应用，应用是平行与垂直，这个题考察的是垂直。 再一个使用向量的坐标求模求夹角，这个题是求模好，这是这个题目。这道题就讲到这里，同学再见。 若 x 等于二，是函数 f， x 等于 x 减一乘 x 减二乘 x 减 a 的 极值点，则 f 零等于多少？我们先来分析一下题干。 首先，因为 x 等于二是函数 f x 的 极值点，所以说 f 二的导数等于零，我们将 f x 展开，可以得到它等于 x 的 三次方减 a 加三乘 x 的 平方加三， a 加二乘 x 减二 a。 根据求导公式， x n 次方的导数等于 n 乘 x 的 n 减一次方，我们可以得到 f x 的 导数等于三， x 的 平方减二乘 a 加三乘 x， 五将三 a 加二 将 x 等于二，代入，我们就可以求出 a 的 值，然后得到函数 f x， 进而得到 f 零的值。好的，现在我们来开始正式解答这道题。 f x 等于 x 减一乘 x 减二乘 x 减 a 等于 x 的 平方减三， x 加二乘 x 减 a 等于 x 的 三次方减 a 加三乘 x， 平方加三， a 加二乘 x 减二， a 对 f x 的 导数等于三乘 x 的 平方 减二乘 a 加三乘 x 加三， a 加二。因为 x 等于二，是函数 f s 的 极值点， 所以 f 二的导数等于零，所以三乘二的平方减二乘 a 加三乘二。截三， a 加二等于零。解得 a 等于二， 所以 f x 等于 x 减一乘 x 减二乘 x 减二 等于 x 减一乘 x 减二的平方，所以 f 零等于负一乘负二的平方等于负四。所以这道题的答案就是负四。好的，现在我们来对这道题做一个总结。 本题主要使用到了极值点的性质，若 x 等于 x， 零是 f x 的 极值点，则 f x 零的导数等于零。好的，这道题目就讲到这里，同学们再见！ 母十四题，一个底面半径为四厘米，高为九厘米的圆柱形容器啊，它的厚度忽略不计，里面呢，有两个半径相等的铁球，则铁球半径最大值为多少？我们可以设这个铁球的半径是 r， 它的两个铁球呢，它的半径都是相同的，都是等于 r 啊！ 在分析这道题之前，跟大家回顾一下我们这道题主要考察了大家一个什么知识点呢？主要考察了啊，我们这个铁球半径最大值时，它与圆柱的一个位置关系。 我们将这个立体几何的这个位置关系，我们转化为平面的这种轴结面的式图更容易啊，帮助我们进行一个运算，第二个呢，结合了一些三角函数的相关知识点，得出一一些数量关系。好，那么我们根据我们这已知的这些图啊，我们画出它的这个结面示意图。 好，那么我们这个结面的这个示意图都给大家画出来了，我们这只它的高为九，那么这个边就是九，它的半径为四，所以它的直径就是为八，所以它的长这个结面的长是八。好，它的两个球它的半径都是二，所以 o 二。我们设这两个球的球形分别为 o 一、 o 二， 它们的这个半径是为 r 的， 半径为二。同时呢，设这个 o 一 o 二，它的所在的这个直线与水平面的这个夹角啊，为 c 塔。 当咱们这个轴结面如图所示时，咱们这个铁球的面积把半径 r 是 最大的，我们可以已知。哎，这个 o 一 o 二两个球的球心，它们之间的距离呢，是等于二二的。根据我们这个三角函数的关系式啊，我们可以列出二二呢，乘以 cosine 塔，也就是这个啊，二乘以 cosine 塔，加上二，二 等于多少？等于八。乘以 cosine 塔，是这条直线啊，加上这个是二，这边也是二，所以就是这个矩形的。哎，八是不是？ 好，接下来我们是二乘以 sin c， 它加上二等于九。我们看一下啊，这个二乘以 sin c 的 就是这条啊，加上两倍的二，底下这个也是二啊，刚好是咱们这个圆柱形的这个高就是等于九。我们再根据这两个不等式啊，两个等式，我们可以求出 cosine c 塔呢，它是等于二分之八减去一的 cosine c 塔是等于二分之九减一的，好，我们继续根据 由我们这个散吸塔方加 cosine 塔方是等于一的代入啊，那么就是二分之八减一的平方，加上二二分之九减一的平方等于一，此时我们可以解得呢，我们化简一下， 那就是什么呀？底下这个二或八约了，那就四而方分之十六减两倍的，那就是二分之八加一啊，再加上我们右边四而方分之八十一，减去两倍的，那就是而分之九加一是等于一的。 好，那么我们继续呢，就是二 r 的 平方啊，那这就六十四六十四，再加上一个八十一啊，再减去二分之十七，我们把这个右边等式右边的一挪到等式左边来呢，就是加一等于零。 好，我们继续化减，继续化减呢，这边就是四分之一百四十五倍的，这个二分之一的平方，减去十七倍的二分之一，加上一等于零，我们同时乘以一个二方，那就是四分之一四五减十七， r 加二方等于零。 好，我们继续化解，那就是多少呀，那就是 r 减去一个二分之十七的平方，是等于我们左等式左两边，同时啊，加上这个四分之十七的平方，减去四分之一四五， 好，我们这个十七的平方是四分之二八九啊，再减一个四分之一四五，等于四分之一四四，好，根据这个呢，我们可以算出二是等于二分之二十九啊，但是我们这个， 我们这个二儿肯定是要小于这个八和九啊，肯定是要小于八的，所以这个二分之二十九是大于八的，我们需要舍掉，这个是舍去， 所以这个二是等于二十五的，我们的这个半径的最大值呢，也就是二分之五，或者是我们可以说他是二点五厘米。好，接下来我们总结一下这道题呢，主要考察了大家关于立体几何的一个最值问题啊， 同时呢也考察了大家将这个空间问题转化为平面问题的一个能力，再将我们这个轴结面转化为矩形内两个内切圆的问题啊，再根据我们求的半径都为 r， 根据三角函数求的几何关系啊，这道题主要考察大家这个关于空间转换能力。好的，那么这道题呢，就给大家讲解到这里。
02:26查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天我们来讲解高考全国二卷的第十八题，这是一道关于导数的题目。我们先来看第一问，他让我们证明函数 f x 在 区间零到正无穷上存在唯一的极值点和唯一的零点， 因为这里他只讨论区间零到正无穷，我们就不妨令 x 属于零到正无穷，因为要求它的极值点和零点要对函数 f x 进行求导。 首先，如果一加 x 求导等于一加 x 四分之一乘上一加 x 的 导数一，再减一加上 x 四减去三 k 倍 x 的 平方。因为这里 x 是 属于零到正无穷的，所以 x 加一也是大于零的。这里呢，我们把它通分，它的导函数 等于 x 加一分之 x 的 平方，乘上一减三 k 倍 x 加一。因为 x 是 属于零到正无穷的，所以我们可以知道， x 加一分之 x 的 平方，它肯定是大于零的，所以这个导函数的正负呢，就完全由一减三 k 倍 x 加一来决定。 又因为 k 呢是属于零到三分之一的，所以这个整体是一个单调递减的一个函数。所以我们就可以得到，当 ak 四属于零到三 k 分 之一减三 k 的 时候，导函数是大于零的，那么原函数就单调递增。当 ak 四属于三 k 分 之一减三 k 到正无穷的时候， 导函数是小于零的，那么 f x 就 在这里单调递减。因为 f x 在 零斗正无穷上是先增后减的，所以它就存在唯一的一个极值，并且是极大值点。因为呢， f 零是等于零的， 所以 f x 在 零斗正无穷的图像呢，先增后减，那减是减到哪里停止呢？当 x 趋近于正无穷的时候，零 x 加一单调递增，但是没有 x 增的快，所以零 x 加一减去 x 这一块呢，它是始终是小于零的。 二分之一 x 平方减 k 被 x 的 三次方，就等于二分之 x 的 平方乘上一减二 k x， 因为 k 属于零到三分之一，当 x 趋近于正无穷的时候，这一块绝对为负数，所以这一个整体呢，它也是一个负数小于零的，所以这个时候 f x 呢，它是小于零的。也就是说，我们原函数的图像从零到我们的极大值点，三 k 分 之一减，三 k 单调递增，然后三 k 到正无穷单调递减，并且 要减到 x 下方来，所以它存在一个唯一的零点，为这个零 x 加一减去 x 小 于零呢？大家可以去单独另一个新函数，用 g x 等于零， x 加一减去 x， 定义域为零的正无穷。把这个函数进行一个求导，就可以发现它是掉递减的，并且 g 零呢，它是刚好等于零的，所以就可以证到它是很小于零的。
45小羊的数学解题本
09:41查看AI文稿AI文稿好，各位同学，今天我们一起来看一道关于三角函数的一道高考正题。 已知函数 f x 等于 cos 二倍 x 加上 f f 是 属于一个零到 pi 之间的一个角度，然后 f 零等于二分之一。第一题求 f 的 值，第一题应该是比较简单的，因为它说 f 零 f 零是等于二分之一的，我们把 f 零带进去，是不是等于 cosine phi 等于二分之一？然后我们求 phi 的 值，这里就要注意了，我们要判断这个 phi 的 一个呃是正的还是负的。 首先我们回忆一下，就是在一个圆里面，我们以这个角度 cosine phi， 我 们是 cosine theta， 是不是实际上是等于它的一个横坐标 x 除上这个圆的一个半径对不对来表示的？你想一下，如果它要是一个大于零的，并且它是在第一象限和第二象限之的角度，那说明是不是 x 一定要大于零？ x 大 于零的话，是不是说明这个角度应该是在第一象限，对不对？ 那也就是说这个 f 应该是在第一个第一象限的一个角度，那我们是不是可以拖一拖 f 应该是等于三分之派的？好，这是我们来判断这个上角函数的一个方法。 那第二题它要是这 g 等于 f x 加上 f x 减六分之派，求 g 的 一个值域和单调的一个区间，那我们首先是不是应该要先把它的一个表达式写出来， 那 g x 它是不是等于 cosine 二 x 加上三分之派，对不对？然后再加上 f x 减六分之派，我们是不是把它带进去，是不是就变成了 cosine 二倍 x 减六分之派， 再加上三分之派，对不对？然后我们把它化简一下，这边就变成了 cosine 二 x 加上三分之派， 好，里面的话，我们可以看它里面的话，实际上变成二 x 减去三分之派，然后加上三分之派，对不对？它实际上就变成了扩散引二 x， 好， 面对这种形式，我们是不是不太会求它的一个子域？那我们这里的话应该要怎么进行一个处理呢？是不是应该是要用和差公式？先把这个打开，是变成扩散引二 x 乘上扩散引三分之派，对不对？减去三引二 x 乘上 cosine 三分之派，然后再加上 cosine 二 x， 好， 我们这里化简一下，这里应该是 cosine， 是 不是等于二分之？ 应该是等于二分之二分之一，然后这里的话应该是加上它合并哈，应该是一个负的，应该是这 负的二分之根号三乘上 sine 二 x 加上二分之三 cosine 二 x， 那 这里是不是就变成了我们一个想要的形式？这是我们想要的一个用我们的辅助角公式进行进一步的处理，对不对？辅助角公式还记还记得吗？大家 辅助角公式是什么？是不是 a 倍的 sine a 倍的 sine sine theta 吧？ a 倍的 sine theta 加上 b 倍的 cosine theta， 它是不是等于根号下 a 平方加上 b 平方乘上 sine theta 加上 f， 这个 f 呢？ f 的 值是不是就由 a 和 b 来表示的？ a 就 代表它的横坐标， b 就 代表它的纵坐标，也是贪铅的 f 实际上等于 a 分 之 b， 这个很重要，我们因为我们要根据 a 和 b 的 一个符号来判断这个角说出于哪个象限，那我们对于这道题我们是不是接着写，是不是就等于根号下 a 的 话，是不是就等于负的 二分之？根号三应该是等于四分之三吧？加上这里 b 的 平方等于四分之九，是不是乘上 sine 二 x 加上这个 f， 是 不是？这个 f 应该是，是等于它加的 f 是 不是等于 负？负是不是等于负的根号三？二分之三，结果是不等于负的根号三？好，这个时候我们就要来判断这个 f 的 一个 f 的 一个嗯，象限，他 a 是 一个负的，代表 x 坐标为负的，是不是？那应该是在 二四二三象限，然后 b 是 一个正的，那说明这个角应该是在第二象限，对不对？这个 f 应该是在第二象限，那他这里等于负的根号三，那实际上我们可以推出这个 f 之上是不是就应该是等于 三分之二派啊？对不对？那这里是不是就等于三分之二派？好，我们进一步的写，是不是让实际上等于根号三 sin 二 x 加上三分之二 pi？ 好， 这这个函数的值域我们是不是可以很简单的写出来，因为你 sin 这里面这一坨，它的一个最值是不是负一到一啊？ 然后那你对应的 g x， 它实际上它的值域应该是负的根号三到根号三，对不对？ 那关键是我们的一个呃，函数的一个单调区间是怎么确定的呢？那我们是不是可以画一下这个 assign 的 图， 这里是负的二分之派，对不对？这是二分之派，然后这是二分之三派， 然后这是二派，那我们可以看出这个函数是不是在的负的二分之派到二分之派之间，它应该是一个单调递增的？二分之派到二分之三派之间是一个单调递减的，那我们是不是把它看作一个整体， 把这个看作一个整体，是不是二 x 加上三分之派，到二分之派的时候，二分之派 小于等于负的二分之派之间的时候，它是一个单调递增的，但因为它是一个周期函数，我们是不是要给他加上一个二 k 派加上二 k 派， k 应该是属于一个正整数， 好，属于一个整数。然后我们这里解的话，是不是二 x 小 于等于二分二 k 派，这里是不是减去六分之派大于等于二 k 派 减去六分之七派，对不对？然后 x 是 不是属于小于等于 k 派减去十二分之派，大于等于 k 派减去十二分之七派？好，这个区间是不是就是一个单调递增的一个区间？单调递增的区间 x 属于 k 派减去十二分之七派， k 派减去十二分之二派，十二分之派。然后那么同理的话，我们是不是单调地点区间？我们应该是怎么这样的？是不是令这整整个一坨三分之二派， 他应该是在什么？是不是在这个区间？他应该是等于二分之三派加上二 k 派，对不对？小于等于二 k 派加上二分之派，对不对？应该是这样一个区间，那同理我们是不是 l x 小 于等于二 k 派 加上六分之五派啊？六分之五派小于等于二 k 派 减去六分之派啊？那 x 是 不是就属于 k k 派加上十二分之五派小于等于 k 派减去十二分之派， k 是 属于整数的，那我们的单调递减区间是不是就写出来了？ 好，这道题我们是不是就把它完成了？ 那我们回过头来看，实际上这道题需要注意的注意的点啊。第一个就是我们要学会判断，就是他给出你一个三角函数值，你要学会去判断这个斐的一个，嗯，角度应该是第几区间，我们就根据它的一个原理，对不对？我们 sine 设它在一个圆里面，它是等于纵坐标外，除上 r 的 r 是 个圆，这是一个圆的半径吗？ r 四个圆的半径，它肯定是大于零的，那如果它大于零的话，这个值如果大于零的话，是不是说明 y 是 大于零的？ y 大 于零的话，那它只能是在一三区间喽？是不是？我们就这样来判断它的一个角度？ 同时我们要注意这个，这个公式还考了什么？考了我们的和差公式是一个比较简单的，然后在我们求这个值域区间里面，三角函数里面最喜欢考的就是我们的辅助角公式，辅助角公式一定要记好，它是 a 倍 sin theta 加上 b 倍 cos theta 啊。然后这个 a 实际上是代表我们这个单位圆里面的一个 x x 轴的一个值， b 的 话是代表一个 y 的 值。 我们同样的 tangent 等于 a 分 之 b 也同样的话呢？这样来判断，根据 a 和 b 的 一个符号来判断这个 far 的 一个曲值范围，或者是它所在的一个象限来判断它的一个大小。
26蔡博陪你学数学
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08:33查看AI文稿AI文稿我们今天看一下去年这一道全国一卷的一个选择题的一个亚洲题，这一道三角形我们怎么去解？ 然后我们读一下题目，已知三角形 abc 的 一个面积为四分之一，然后还给了我们一个三角关系式，然后两个三角关系式，我们去思考一下这道题怎么应该去解？ 这一道题就是一个很典型的一个新高考类型的题目，我们可以发现我们在题目中基本上已经用不上我们的背的一些 i d 结论帮助我们快速答题了。那今天我们以反命题的角度 去看一下这道题应该到底应该怎么解？然后反命题是什么意思呢？就是从命题的视角去做这一道题目，就你首先得明确命题他想考的是什么， 然后对于咱们三角形就是三角形怎么解？就是第一个步骤，就咱们有问题的可以看看本期视频的第一集，就是我们的一个解三角形的第一个步骤，就是找到咱们一个限制三角形的一个解。好，那咱们接着看这道题， 首先他说三角形面积为四分之一，我们可以得到什么？我们先把那个角给找出来，我们三角形等于 a b， 三角 c 等于二分之一 b， c， c， a 等于二分之一 a、 c， 三角 b， 是不是？我们如果三角形面积固定，那至少有一个角，起码有一个角，我们是一个定角对不对？然后我们怎么去找个这个定角呢？我们看这里有个等关系式， 然后我们注意这一个等关系式，我们注意到我们的 c， 我 们的 c 和前面的 ab 形式是不一样的， 在我们的一个三角函数的化解里，我们一样的形式一定是用来化解的，就我们前面两个是两个 a b 角形式，那这两个变化形式是一致的，那它一定和后面这个不一致。所以我们大概率是用这么一个关系去 找这么一个值，然后面积固定了，那我们的三角 c 固定，那就三角 c 是 定值。然后我们 可以发现我们的 a 选项， a 选项就是与我们的一个函数关系式得来的。我们 cos 我 们化解一下，一减二倍的 sin a 方， 加上一减二倍的 sin b 方，加上二倍的 sin c 等于二，然后这个就是一个 a 选项， sin a 方加上 sin b 方。 如果我们的 c 等于二分之二，那是不是 a 加 b 等于二分之二， 那么就我们就可以得到这么个东西， c a 加上 cosine a 的 平方等于。 然后我们思考一下，为什么就我们从上面能有，上面能得到下面这一个推导，那就是因为我们的面积为定值，然后我们还要去题目中找到我们的一个不动角，对不动角我们有不清楚同学可以看看咱们的一个 d 级的一个内容， 然后现在我们角是不是已经找到，我们角 c 一定是固定的，因为我们面积是一个定值，那接下来我们看平方，平方能得到一个什么关系式 平方是不是最容易想到的就是他们的平方和为一，然后当 a 加 b 等于二分之 pi 的 时候，然后我们可以找到这么个三角形能使它成立，然后 c 正好也为定值，所以说我们 c 那 就是一个二分之 pi， 如果你能想到这一步，那我们后面的问题就自然的迎刃而解了，那我们接着化解后面的一个关键是我们看这个是什么，我们把 cosa 换成 cosa， 然后 cosa 换成 cosa， 然后这里再换成 cosa 等于四分之一，然后我们看面积，面积等于二十等于二分之一 a b cosa， 然后我们之前说过我们解字的问题怎怎么解？我们是我们不需要做过多的一个思考，我们直接把我们的题目的相关量，位置量换成研究对象相关量，然后相关量就是我们说的一个不动角， 然后我们直接换，那这里就是 c 除以 c 等于 c， a， c 除以 sin c 乘以 sin b， 就 我们这一步是不需要做任何思考的，我们任何问题都可以像这样直接去换，换了之后我们再看，我们看得到一个什么东西， 我们可以发现 2 分 之一，这里，这里是一，这里是一，然后约掉了，然后 c 方在 a， 在 b 等于四分之一，那么 c 方就等于二，那我们 c c 就 等于根二，所以我们 b 选项是正确的。接下来我们看 c 选项，我们看 c 选项，它让我们求 c a 加 c b， 让我们发现我们上面有一个 c a 乘以 c b， 那 我们是不是 c a 加上一个 sin b 就 等于根号下， sin a 方加上 sin b 方加上二倍的 sin a， sin 乘以 sin b 就 等于根号下，然后这里是一加上啊，四分之一乘以二等于根号下，二分之三 等于二分之根号六，我们 c 选项是正确的，让我们 d 选项看一下啊， d 选项，这里是 b 方加 a 方啊，这里我们是 c， 是 直角三角形，然后这个直角三角形就等于 c 方，等于二， d 选项是错误的。 然后我们回过头来再整理一下它这道题，它的一个版命题，我们再重新捋一遍它这道题是怎么出的。 那接下来我们再从一个面前的视角去看一下这道题到底是怎么来的。我们先看一下，他第一个给了我们一个面积，我们面积等于两条边乘以一个角， 就假如说我们三个角都是动角，那我们的一个角肯定是不固定的，肯定是一个变化的范围，那肯定不可能有三角形的面积，肯定不可能有定值。 就说首先第一他想告诉我们的第一个点是他帮我们设计了一个角，这个角是个定值，然后这个定值在哪里？这个定值在这里，因为这是一个三角关系式，他能够化解，所以说这是他告诉我们的第一个信息，然后我们通过这个信息找出了这个角 c 等于 i 分 之 pi， 就它一定是符合咱们这一个三角形的一个命题设计的。然后第二个它告诉我们这样一个关键词，它这个目的是为了让我们化解，让我们得到一个 c， c 的 边长等于根号二，那这样下来我们的一个 i r， 我 们的一个 i 结圆 就固定了二幺等于 c， 所以 sin c， 那 角 c 等于 cos 派，那这样我们的一个三角形是怎么来的呢？那就是这样， 然后这里是直角，然后有这么一个外接圆， 现在这就是他，现在这就是咱们一个三角形，然后现在咱们的外接圆固定了下来，然后我们的角 c 也固定下来，然后角 a 和角 b 它们乘积有形式，然后这就是咱们一个 三角形他的一个处理思路。通过这道题我们发现我们其实已经几乎用不上我们的一个 i g 结论了，就至少 i g 结论在我们目前的这样一个题目中，他是起不到什么太好的一个效果的，他考察的是你的反命题能力， 就你能否通过这一道题，想到他背后的一个解析思路是什么，就并不是单纯的一味的去记 i g 结论，然后带进题目中算了。所以说他题目给的信息更简单了，但是考得更深入了。
06:38查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们，今天我们一起来讲一下二零二五年新高考二卷的第十六题。好，那么这道题也是一个非常经典的解析几何的大题。好，那我们来一起来看一下这道题具体应该怎么操作。首先我们来看第一小问，他说一个椭圆 a 大 于 b， 那 意味着焦点在 x 处上，离心率等于二分之二，那么给我们离心率，我们要想到 e 等于 a 分 之 c 等于根号下 一减 a 方分是 b 方。好，那么继续看条线，他要告诉你长周长，那么长周长是啥呢？是不是二一，那么二一等于四，那意味着 a 就 等于二，所以 c 我 们就知道了，那是不是等于根二， c 等于根二，那么 b 方我们就知道了它是不是等于 四减二就是二。好，那么我们的椭圆的方程。第一小问非常的简单啊，直接给他写答案，也就是四分之 x 方加上二分之 y 方等于一。好。那么第一小问啊，我们干掉之后，我们接下来看一下第二小问，那么第二小问他说 过点零分。好的，像我们这样的一个图啊，他说直线 l 交 c 与 ab 两点。好，我们先思考一下这个直线 l 它有几条呢？那是不是最少两条，因为它是个对称的，我们现在画的是不是右侧？好，那么我们把 a 点设成 s 二 y 二， b 点设成 x 一 y， 然后 o 点为交角圆点，三角形 o， a， b 的 面积等于这样求 ab 的 长度，很多同学一看到弦长，给它当成一个量，然后用 o 点到直线的距离， 哎，设一个位置往里面带，其实你会发现，如果这样带的话，你的计算量还是比较大的，咱很多同学就算不出来，那么接下来邵哥，哎，给大家一个新的方法，就是切割的方式，我们把这个三角形 oab 的 面积，咱能不能给它写成三角形 o p b 减去三角形 o p a， 可以 吧？好，因为我们会发现 o p 的 长度是不是固定的，所以你这个时候你会发现它的面积刚好就等于二分之一乘以负二的角值，也就是二。 好，然后我们用 x 一 减 x 二的绝对值。好，那这样写的话，好处是啥呢？就是我们接下来的计算啊，就会非常的方便。那么在这一块还有一个小小的结论啊， 就是我们知道把一条直线与曲线连累了之后，一定会得到一个一二方程，我们记为 a x 平方加 b， x 加 c 等于零。好，那么 x 一 减 x 二的绝对值，它又等于啥呢？ 他是不是可以写成根号下 x 一 加 x 二的平方，减去四倍的 x 一 乘 x 二。好，那么接下来我们继续给它操作一下，那 x 一 加 x 二 是轮负的， a 分 之 b， 它的平方就是 a 方分之 b 方，减去四倍的 x 一 乘 x 二， x 一 乘 x 二，我用伟大定律它是不是 a 分 之 c， 所以 就是减去 a 分 之四 c， 好， 下面给它稍微整理一下， 就写成 a 方分之 b 方减四 a c。 哎， b 方减四 a c， 不 就是嘚他吗？所以我们上面就写成根号下嘚他，下面就是 a 的 绝对值。好，那么这样这个式子的话，就会让我们这个题更加的简单啊，那么正常的操作就是我们给他连立啊，那么直线方程我们就写成 y 等于 k， x 减二， 好，直线方程，那么曲线的话，我们稍微给他改一下，连立的时候把分式改成 x 方加上二， y 方减四等于零。好，带进去 我们就会得到 x 方加上二倍的括号， k 方， x 方减四， k x 加四，减四等于零。好，整理一下，我们先把平方向放在一块， 也就是二 k 方加一倍的 x 方，然后减八 k， x 加八，减四就加四等于零。好，现在我们要用的啥呢？是不是根号下的和 a 的 值？因为我们知道它面积不是给你了吗？不是根二吗？所以我们先搞一个的它， 那第二它等于 b 方减 c， c 啊，也就是六十四 k 方减去 c， c， 也就是十六倍的括号，二 k 方加一，好，整理一下，就等于三十二 k 方 减十六，好，我们让得它大于零，那得它大于零，意味着这个 k 它就是大于二分之二， k 小 于负的二分之二。好，无所谓，我们先扔着啊，来继续。那么我们刚才说了，它是不是等于根号加得它除以 a 的 角值， 那这个 a 是 多少呢？ a 是 不是二 k 方加一，所以我们给它稍微整理一下，也就是二 k 方加一分之根号下都是它三十六十六。我们提一个四啊，就是四倍的根号下 二 k 方减一，好，让它等于多少呢？是不是让它等于根二先给它挪过去啊？也就是四倍的根号下 二 k 方减一，就等于根二倍的括号，二 k 方加一。好，那么计算的时候，因为这里面有个 k 方啊，我们可以把 k 方给它换一下，因为两边接下来要平方啊，所以我们给它写成十六倍的 二 k 方，我们把 k 方给换成 t， 为了方便令 k 方等于 t。 好， 所以我们就会有二 t 减一等于二倍的括号， 它一平方啊，那就变成四 t 方加四 t 加一，好，整理一下。好，二给它约一下，这是不是等于八了？所以我们这边给它整一下啊，它就变成四 t 方， 然后四 t 减十六 t 就是 减十二 t， 然后一减负八就加去， 好，等于零，所以你会得到，哎，这个 t 减三的二 t 减三的平方，是不是刚好等于零？所以 t 就 等于啥？是不是二分之三，那么 t 等于二分之三，那 k 方 等于二分之三， k 方等于二分之三， k 就 等于正负二分之六。好，那意味着我们的现在的 k 是 不是解决了？那么 k 解决了之后，我们很多同学说，老师，你 k 解决出来之后，你这个弦长怎么弄啊？好，那么 k 只要解决出来，这个弦长其实也非常简单， 因为我们要的 ab 的 弦长公式，它是不等于根号下一加 k 方， x 一 减 x 二的绝对值。好，因为后面那坨咱已经算过了嘛，它是不是就是 x 一 减 x 二的绝对值呢？所以咱算的时候啊，那就非常的方便了，就等于根号下 一加 k 方二分之三乘以根号下二，所以扔进去了之后，它就变成根号下五了，我们这道题啊，也就解决了，记得点赞关注哦！
28邵哥带你学数学![2025新高考一卷导数压轴题，咱很多同学看到答案，第一小问还是不会的小伙伴，赶紧看看邵哥这种不用和差化积的方法绝对轻松拿捏[勾引][勾引][勾引]#新高考导数压轴题#邵哥带你学数学#高中数学](https://p9-pc-sign.douyinpic.com/tos-cn-p-0015/oQ4yBeVXGB0TLqhBTeI3bwIMPCaQaOfAxl7IlA~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2102932800&x-signature=jNXWanJFpghuTAomsUWXZSS893Y%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20260824203210B70C9466E48E89663D4A)
03:31查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们，今天我们一起来看一下二零二五年新高考一这的导数压轴题，那么这个导数压轴题有很多同学啊，第一小问就已经牺牲了， 那么后面有很多同学问我，他说，哎，这个网上有很多老师讲用这个核察化机，嗯，他说，老师啊，那我平时这个核察化机这个公式用的特别少，我考试的时候我就没想起来吗？ 有没有什么其他的方式啊？我们来解决一下这道题呢？好，那么今天的话，少哥啊，就用一个非常基础的思维给大家去解决一下我们导数压轴的第一小问 好。那么首先遇到这样的一个题目，他让你求区间零到四分之派的最大值，那么遇到这种最值问题，想都不用想，我们就要研究单调性嘛，所以第一步咱直接求导 好，那么求完导之后，就变成负的五倍的 c x 加上五倍的 c 五 x， 好， 那么提取公式啊，也就是五倍的括号 c 五 x 减去 c x 好，那么这个时候我们稍微注意一下他给的这个范围，那他给的这个范围是零到四分之派啊，那么因为有这个范围的限制，那我们就直接去考虑这个导函数的零点到底是多少，那么如果导函数等于零，那我们是不是就得到 c 五 x 等于 c x 好，那么 c 五 x 等于 c x 什么时候会成立呢？哎，是不是有两种情况，第一种情况，也就是五 x 等于 x 的 数，第二个五 x 加 x 等于 pi， 就是 互补的数，所以第一种情况我们搞出来 x 等于零，因为它的端点是零，那这个时候我们肯定不考虑舍去， 那么第二种情况的话，我们搞出来这个 x 刚好等于多少呢？是不是六分之 pi 好？那么有很多人说，老师，为什么你就觉得他一定是互补的？他有没有可能超周期呢？你看刚才我提到了，他是不是有一个零到四分之派的范围，你想一下，他俩加起来也就是六 x 的 范围是多少呢？六 x 的 范围是不是零到二分之三派？ 所以你到派已经把你卡死了，是不是？哎，所以这个时候我们来操作，那直接给他分两段，第一段，当 x 在 零到六分之派 好，那么我们现在要干啥呢？我们是不是要判断在零到六分之派的时候，这个导函数是正的还是负的？ 是不是？ ok， 那 咋判断呢？咱很多朋友说，哎，老师，这个范范围我无法确定，这个值我也算不了，无所谓嘛，你在这中间，你在草稿纸上随便找一个中间的值，比如说我们找一个十二分之派，也就十五度，那这个时候你会发现， c 五 x 减去 c 七十五度，减去 c 十五度， 这啥值是不肯定大于零的，那意味着 x 在 六分之派到四分之派的时候，他肯定是啥是小于零的？ a 导函数是不是肯定小于零？所以我们现在可以画个小小的草图， a 六分之派的时候先正后负，那么放到函数图像里面，他是不是先增后减？那么此时我们的最大值有了没有？是不是 f 六分之派给它扔进去就行了吗？就是五 乘以 cosine 六分之 pi 减去 cosine 六分之五 pi。 好， 我们直接写答案啊，也就是五乘以二分之根三加上二分之根三， 就等于六倍的二分之根三，也就三倍的根三，所以它最大值我们就解决了啊！不知道这种方法对大家有没有帮助，记得点赞关注哦！
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