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01:36查看AI文稿AI文稿很多人对这个新课标一卷的数学压根还是没有概念，我反复说过，现在这个新课标一卷你能考到一百二十分以上，高考已经非常厉害了，但是总有人跟我死抬杠，说他们你可以去问任何一个老师能考到考到一百二十分是什么概念，说他总有人跟我死抬杠 说他们办均分能考到一百四十分，我有点不太相信，我觉得就算是你们省最牛的学校，最贱的那个办也很难做到，我没见过，所以我不相信，人多少都有点偏激。我说我有很多题不会，这也不是谦虚，大概是老高考时代的时候，六年前的时候， 我那时候就膨胀了，我觉得自己是可以把所有题全部都会做的，有这个信心。到了二零二三年九省联考， 那年的九省联考改成十九道题型了，最后一题连看都看不懂，到了高考发展也变掉了，就出现了一种无力感，把我整的自信心全无，再也不敢说自己所有的卷子，所有的题型全能搞定了。我跟你们说以前老高考文理科的时候，因为总有人说以前自己高考数学一百四十分以上， 以前老高考分文理课的时候，我做文科数学一个小时以内能搞定，达到一百四十五分以上，这不是瞎吹的，以前理科卷子两个小时稳稳拿下一百三十五分，如果出现如果没拿到，说明事故了。但现在改成这个十九道题，我是完全没有这个底气。这个卷子每年一道特别难的大题，一道特别难的小题， 把我拿捏的死死的。我是大胆的承认自己的不足，但有人天外有天，要是有人说自己的老师那啥都会，什么题型都行，我估计肯定有这样的大神，但是如果说你在网上遇到的，那基本胡扯八道，怎么可能？
1289数学陈陈陈陈老西
09:35查看AI文稿AI文稿今天给大家带来一道二三年新课标全国一卷的数学真题。首先我们来看这道题，给出 a 加 b 等于三 c， 哎，这里面敏感的同学已经出现答案了， 因为什么？因为 a 加 b 加 c 得的是 pi， 然后这是三 c， 那 四 c 就 得 pi， 所以 c 就 等于四分之 pi。 这几门直接读完题，有的同学已经出答案了，然后再加上后边的二倍的三 a 减 c 等于三 b， 那 根据我们昨天的视频，我们知道三根 b 可能会直接化成三根 a 加 c a， 这 a 加 c 啊，还一拆开完了你 c， 刚才你还推出来了四分之派，哎，可能就能求出了三 a 了，所以这就是第一问的思路。那么好，我们来看这道题。首先 第一问， a 加 b 加 c， 这是三角形的内角和是派，而前面的 a 加 b， 我 可以写成三 c 加上 c 就 等于派，那这样的话 c 等于四，而这个 a 加 b 加 c 等于派。这时候我们还能推出了塞音 b， 可以 写成塞音 a 加 c， 因为诱导公式嘛，三眼加 c 就是 三眼拍减 b 嘛，三眼拍减 b， 然后它俩就相等，那把这个三眼 b 可以 结合题中的三眼 b 它俩，那则就能产生了什么呢？ 二倍的三眼 a 减 c 就 等于三眼 a 加 c。 那有同学到这已经出现答案了，为什么老是 c 是 四分之派呀？那前面这个 a 减 c 和 e 加 c， 我 拆开就行，他就二倍的三 a 扣三 c， 二倍的扣三 a， 三扣扣三等于三 a 扣三 c 加上扣三 a 三 c， 那 这样的话，我们会发现里面二倍的三 塞这俩能合并，所以变成了什么？剩一个塞 a 口塞塞，而这个二倍的和这个能合并成三倍的口塞 a， 塞塞， 你刚才知道 c 角是四分之派， c 角是四分之派的话，那塞塞跟口塞塞就可以消掉了，因为它俩相等，那这样的话，塞 a 等于三倍的口塞 a， 则你终于有了一个关于 sin 的 和 cosine 的 关于 a 角的一个纯粹的式子，再结合本身一个平方和的关系，塞方加扣方等于一，那这样的话，我们就能解出来，塞 a 得上， 塞 a 就 等于什么呢？结的是三倍根号式比式 这块啊，我特意强调一下，有同学想到的是平方和，有同学老师，这个我能算出来，弹进的 a 等于三，老师，弹进的 a 得三之后，我可以画三角形， 画三角形的我让这个角是 a 角的话，那这是三，这是一，这就是根号十， 那结合正弦的那个公式三， a 等于对边比斜边，也就是三比根号式，所以是是不是三倍根号式，这里面你要注意，这个 a 角一定是锐角，因为它念的 a 已经得三了， 他不，他不是负数，在三角形中弹进，他要是负的话，他是顿减，所以这里面我们注意这一点就行。这就是这个高考真题的第一问，那接下来我们看第二问， 那第二问，人给出 ab 等于五， ab 得五，让你求出 ab 边的高， 这个我上来，我必须得设这个高为 h， 这是必须的，那既然要高了，那高我们学的最多的跟高有关系的就是面积公式啊， 那 s 就 等于二分之一， ab 这个当成底乘以 ab 这个边的高 h， 那 我现在我得捋下题了。这个题里面我们第一问有 c 角四分之派， sin a 等于三倍，根号十比十。然后第二问，这个 ab 边等于五，也就是所谓的什么 c 边是五，那你现在有 c 边， 有 c 角，有 sin a， 那 你这一下子肯定是正弦定理了， 正弦定里，正弦定里呢？嗯， a 比上三 a 等于 c 比上三 c 呗。这样的话，我们把这个 c 边三 c， 三 a 往里一带就能得出了。 a 边等于什么？ 算一下 a 边应该得的是。嗯，算一下这个 a 边得的是。就是 a 乘上二分之二乘 c 嘛，等于 c， 嗯， c 是 五乘上三倍，根号十比十， 这样的话，他俩一约是二分之根号十，这个二跟这个二约，这个是约完剩根号五，所以 a 边等于三倍，根号五。 那这样的话， a 边你算完了，那你现在又多了一个元素，谁呢？ a 边，那现在四个元素了， 那我想求面积肯定要跟面积挂钩，因为这个 h 在 面积公式里，那我用 a， c 塞进 b 也可以，用 bc 塞进 a 也可以，用哪一个？都可以，因为我们知道的太多了。 但是你现在要用 a， c 塞进 b 的 话，你得求塞进 b， 你 要 ab 塞进 c 呢？你得求 b 边，所以老师选择求 b 边。鱼线定住 余弦定律里面，我要求 b 变的话，我现在唯一知道的角是 c 角，这是已知角。有同学说，老师我还知道三 a， 那 你求 q 三 a， 是 不是还得求一下这个求这个 c 角的话，知道，那我们直接用 c 方 等于 a 方加 b 方减去二 ab 口算 c， 这个往里面代数就好了。 c 方得的是二十五，而 a 方得的是五九四十五。三倍根号五的平方加上 b 方 减去这个口算 c 是 二分之。根号二乘二的话是根号二，是根号二乘 ab， 那 就是根号二 乘三倍，根号五再乘上 b， 把这个式子整理一下，变成啥呢？ b 方， b 方吗？这是减去三倍根号十的 b， 二十五挪过去是加二十等于零，这想都不用想，这 b 边肯定跟根号十有关，不然这块他永远会出根号，懂吧？他跟根号十有关， 那你恰好你自己带一下子 b 的 根号十的时候， b 方恰好是十十减三十，加二十得零，所以直接就 b 的 根号十，想都不用想。现在太好了，又多一个元素， 那 b 的 根号十了，你往下求，太简单了。那 s 我 就可以用二分之一 ab 三 c， 所以就等于啥了？二分之一 ab 这个边乘上它们的 h， 你 现在是不是才建立起一个关于 h 的 一个方程？那现在其他数都知道，往里带数就行了。这二分之一就直接约掉了。这个 a 得的是三倍根号五， b 得的是根号十三， c 是 二分之一，二分之一约掉了， 那就等于 ab 是 五乘 h， 现在接着再约就行了。嗯？怎么约呀？ 这个根号五和这个根号十约出来。不是根号十和根号五，就是把根号十拆成根号五和根号二， 这个根号二和他没的，这根号五和根号五约个五，他俩没，所以直接 h 就 等于三。这样一道题，赚了。这是二十三年的新课标一卷的数学真题，很简单， 希望所有同学都能学会。
127张鱼数学🐙
02:44查看AI文稿AI文稿这是二零二三年新课标全国议卷中的一道题目。看到这个题目，我们不要慌，读一读题目，发现这是诗歌鉴赏中常考的一类题目。主旨题。这类题目要求我们结合本市主题，谈一谈对未了翁名言的理解。答题思路可以分为以下四步，第一步，理解名言的字面含义和文化内涵。 不欲于卖花蛋上看桃李，须树头知底方见活精神眼可意为不想带卖花人的蛋子上看桃李，必须带树头知底，才能见到活的精神。 这句话运用了比喻的修图手法，以观赏桃李为玉，说明治学的道理。同时，麦花诞生的桃李与赤途的桃李形成对比，突出了活精神的重要性。实际上，魏了翁说这句话的背景和意图是批判读书剁学问上的两种毛病，不愿看远点著作和不愿亲身实践端严。 第二部分析名言在诗歌与镜中的具体含义。未了翁的名言在诗歌中处于委联而委联。麦花旦上看桃李，虽与吴京议鹤山，是对前文的总结和升华。麦花旦上看桃李，比喻依靠前人解说他人传授的进阶学习方式，树头知底方见火精神。 比喻直接阅读原点，亲身实践的学习方式。世人通过意鹤山三字表达了对未了翁观点的认同和推崇，以及对当时不良学风的批判。第三部树立诗歌的主题思想。 题目打有人论学，直接点名了诗歌的主题是讨论治学方法。这是一首以诗论学的作品，首联意为逐字逐句的研读经典，学习反而变得困难重重。与 人相逢，个个都在谈论曾参合研回的学说，这里批判了当时机械的学习方法，汗脸哪知剥落皮毛处，不再流传口耳尖 指出真正的学问不再口耳相传。见谅禅要自参，求应可先须亲练，待丹还用贪禅炼丹。类比治学需要亲身实践诗歌了主题即为批判当时脱离原点、空谈义理的不良学风，主张治学要回归原点，亲身实践，独立思考， 才能真正领悟学问的精髓。第四步，建立名言与主题的关联。麦花诞生了桃李，脱离根基，失去活力，就像读书依赖他人解说，缺乏真知， 树头知底的桃李扎根生长，充满生机，类似于读书回归原点，亲身体悟未了翁的名言，与诗歌主题在反对间接学习、主张直接阅读上完全一致，为诗歌主题提供了理论支撑和形象说明。 两者共同批判了当时树书不官、有谈无根的学风。世人引用未了翁的名言，既增强了诗歌的权威性和说服力， 又使抽上的哲学道理变得生动形象，溢于理解，为辽翁的名言与林夕翼的诗歌主题形成了完美的呼应。漫花诞生了桃李，虽然美丽，却已然失去了生命的活力。这就像那些只会背诵，先如解说了，学者虽然能够说了头头是道，却缺乏对学问本质的理解。而 树头知底的桃李则象征着回归原点、亲身实践的哲学方法，只有这样才能获得学问的活精神，那种充满生命力、能够指导实践的真知灼见。
212看到题目不要慌
28:55【逐题精讲】2024年新课标一卷新高考一卷数学真题（15-17题）15. 解三角形；16. 圆锥曲线；17. 立体几何#高考真题 #新高考一卷数学 #2026高考 #高考守护者 #抖音精选高考应援联盟查看AI文稿AI文稿来试卷足力精讲系列啊，咱们今天讲讲二零二四年新一卷啊，也是新格标一卷，它的十五题到十七题啊， 这几道题啊，出的非常好，而且计算量呢，都不小啊，所以说咱们来看一看啊，开始啊， 十五题啊，解三角形，咱们看看这两个式子，那么很明显，这个式子特别好整，这是一个余弦定律，太明显了是不是？所以说这第一问，咱们先从这个余弦定律开始呗。那是谁的余弦定律啊？是 q 三 c 的 余弦定律，对不对？所以说 q 三 c 啊，它就应该等于啊， a 方加 b 方减 c 方比上二 ab， 是吧？哎，二 a b， 所以 说这道题啊， a 方加 b 方减 c 方，它说等于根号二倍的 a b， 所以 说换一下呗。 啊，所以说应该是根号二倍的 a b 啊，比上二 a b， 那 么 a b 和 a b 约调，所以说应该等于二分之根号二。那么又因为三角形内角啊， c 角是，所以说 c 角一定是等于四分之派 啊，完事，然后呢？四分之派，然后我们再看这个前面的，因为 c 角等于四分之派呢，因此 sin c 等于二分之根号二，对吧？那么 sin c 啊， 等于根号二位的 cosine b， 所以 说 cosine b 啊，就应该等于二分之根号二，除以根号二，是吧，所以说就应该等于二分之一啊，所以说 b 角呢，应该等于三分之派。嗯， 这是第一问啊，比较简单。然后咱们再看这个第二问，第二问，他告诉你面积了，因为这道题啊，第一问啊，他告诉你面等于三加根号三，让你求 c 边。因为这道题第一问呢， b 角 c 角全求完了，那 a 角自然而然就能得到啊。 那 a 角应该等于派，减去 b 再减 c 呗，这就应该是十二分之七派，那就是十二分之五派呗啊， e 角等于十二分之五派，因为这个 三角形啊，三边全都知道了，三不，三个角全都知道了，那么让你求面积，那么面积随便表达呀，是吧？你愿意用二分之 a b 三 c a c 三 b b c 三 a 都可以，对吧？那么因为这个 a 角不好算 啊， a 角不好算，那么如果你用正弦定理去算它的话，反而更难，还不如用啊，这个 s 等于二分之一倍的 b c 三来算呢。 哎， b c 在 那，这老师让我求 c 边，因此呢，我只要能知道 b 边跟 c 边之间的关系就可以了。那既然要求 b 边与 c 边的关系角都知道，那肯定用正弦定理啊，对吧？所以说，通过啊，正弦定理啊，我简写了正弦定理，可以得到啥？得到 b 比上三 b 啊，一定是等于 c 比 c 的 呀，对不对？所以说 b 边呐，就应该等于啊，这个塞音啊，这是 b 啊，写错了， b 比三 b 啊，那就是三 b 比上三 c 啊倍的 c 啊，那三 b 等于多少啊？三 b 等于二分之根号三，那三 c 呢？三 c 等于二分之根号二，那么这两个分母二都约掉了啊，等于 c， 那 就应该等于这乘个根号二，那就是二分之根号六倍的 c， 是吧？哎，因此我们把这个面往带面筋公式里，应该等于二分之一啊，乘以二分之根号六的 c， 然后再乘以一个 c， 再乘以个 sin a， 那 sin a 得多少啊？那 sin a 呢，就相当于是 sin 十二分之五派，那十二分之五派，我们直接我们没背过，那怎么办？哎，给它拆成两个认识的角呗， 那就相当于是三六分之派，再加个四分之派呗，这不就完了吗？对不对？哎，那应该等于塞口加口塞，算一下，那就是二分之一乘以二分之根号二，再加上口塞六，二分之根号三，再乘以个二分之根号二，所以它应该等于四分之根号二加根号六， 嗯，对吧？所以说我们把这个 c 带啊，把这个三 a 带进去，那么三 a 就 应该等于 四分之根号二，加上根号六，就等于它，那么我们一算，它应该等于这分母是十六分之，是吧？十六分之根号六乘以根号二，那就是二倍根号三，再加个六，这么多倍的 c 方， 那么再约一下，那就应该是八分之根号三啊，再加三倍的 c 方，他说这个数啊，啊，题里告诉我的啊，等于三加根号三啊，等于三加根号三，所以说三加根号三，三加根号三，约掉了，所以说 c 方啊，就等于八， 所以说 c 啊，就等于二倍根号二，所以说这道题啊，思路还是非常简单的啊，计算量呢，有一些是吧？ ok 啊，咱们再看这个第十六题，这个圆锥曲线呢，放十六了啊， 那么今年呢，圆中水线应该不会放在这么扣钱的位置啊。啊，我觉得十八题的位置还是比较可能的啊，那咱们也是看一看啊， 他说这两个点呢，在椭圆上，而且这个椭圆都已经给你写好了，就是已经是焦点在 a 轴上的了，那不，那么这里边的 a 豆三，那不 a 零豆三呢？那个三肯定就是 b 呗，对不对？所以说第一个啊， b 就 等于三了， 那么 b 如果等于三的话，那么把这个三斗二分之三往这个式子里带，那就应该是 a 一 方分之九， 是吧？加上这是 b， 是 三九分之啊，四分之九啊，就应该等于一九分之四分之九是四分之一，一减四分之四，所以说 a 一 方啊，应该等于 这个九，乘以个三分之四呗，是不？所以说它应该等于十二啊，所以说这个椭圆方程能写了。椭圆方程是不是啊，十二分之 x 方加上 九分之 y 方等于一啊，这就是这个椭圆的方程，那么这道题让你算什么呀？算 e， 所以 e 啊，应该等于根号下 一减 a 方分之 b 方啊，对吧？那就应该等于四分之三，四分之一，开个号二分之一啊，所以说这个第一问非常简单啊，咱们再看这个第二问 啊，第二问，他说啥呀？他说过这个点 p p 点就是这个坐标啊，带进去，带进去了之后呢，做一条直线啊，跟这个椭圆交于点 b 交于点 b 之后呢？把 a 点 a 点也提列给你了，也就是说这个三角形里面已经有两个点是已知的了啊， a 点和 p 点，然后让告诉你了，三角形的面积等于九，让你把这个 l 值算出来， ok， 那 这道题其实有很多种方法算，因为这道题太简单了，三个点里边有已经有两个点知道了，而且还知道三角形面积，那么就可以通过这个就求另外一个点嘛， 那这三个点都知道了，那你 b p 的 直线，你 b 点坐标知道了， b p 不 就写出来了？就这么点事儿。那么所以说这道题我可以怎么做呀？哎，你 a p， 既然这两点都知道，那我就用 a p 的 直线呗， 对吧？然后呢， b 点向这个，对吧？做投影，对吧？做做垂线，然后呢，这个 b 就 能表达了，用 a p 的 膜长，对吧？ a p 的 线段长，再乘以这个 b 点到 a p 的 距离，这么算，那这是可以的，没有问题。所以说我们先表达出来这个 a p 的 直线方程 啊，那么 a p 的 直线方程，那首先它是过零到三，所以说它是 b 已经有了， b 就 等于三。 然后的斜率算一下呗，斜率应该是负的二分之一啊，所以说它应该是 y 等于负二分之一， i 加三 啊，这个直线方程就长这样啊。那么现在 b 点坐标不知道，那我就先设这个 b 点坐标啊，为 m 勾 n 呢，对不对？那么接下来点到直线距离，那因此我可以把这个直线呢写成这个一般式，那一般式就是先乘个二， 那就是 x 再挪过来，是吧？那就是 x 加二， y 再减个六等于零啊，这个是直线方程的一般式。然后呢，我们先算 a p 的 啊，先算，先算这个 h 吧，那 h 就是 高嘛？高就是把这个点 m 到 n， 往这个到这条直线方程，那就应该是 m 加上二 n 再减六的绝对值比上一个二方加一方啊，根号五，这就是 h。 然后呢，我们再算 ap， 是 吧？ a p 的 线段长，那这两点之间距离公式呗，对吧？这多简单，是吧？这算这个圆圈曲线，很少有这么简单的题了啊， 哈哈，对吧。然后这算完，这是四分之九加九，四分之四十五啊，二分之三倍根号五，对吧？二分之三倍根号五啊， 这就是 a p 的 线段长，因此啊，这个 s 现在就可以表达了，它应该等于二分之一啊，乘以弦长二分之三倍根号五，再乘一个根号五分之 啊， m 加二 n 减六的绝对值，根号五，根号五约掉了，对吧？所以说它应该等于，呃，四分之三 倍的啊， m 加二 n 减六，这道题告诉我，它的面积等于九啊，因此啊，这个 m 加二 n 减六的绝对值就应该等于九，乘以三分之四等于十二。 ok， 算到这了之后，我们就该表达这个 m 与 n 了，那 m 与 n 它俩之间有啥关系呢？因为这个点 b 啊，也在椭圆方程里，虽说其实我是可以把这个 m 和 n 直接带到椭圆方程里的，但是你不管你把 m 换成 n， 还是把 n 换成 m， 是 不是都会带根号啊？ 所以说，一旦出现了带根号的情况，怎么办呢？对吧？就是在我们处理这种那个圆锥曲线的计算题的时候怎么办？哎，就得用三角换圆。 那同学说了，老师，那大体三角还原能直接用吗？反正标准答案里边有这种方法啊，那你自己看，你看用不用啊？当然了，如果你不想用，你可以正常做啊，那么我这里边就说一个这个这个这个三角还原的方法，那么三角还原怎么用？你就记住， x 这边对应的是口方啊， y 这边对应的就是塞方啊，那么这样的话，塞方加口方，口方加塞方等于一，那么因此口占平方啊啊，口占平方，谁的就应该等于十二分之 f 平方。所以说，你把这十二挪过去， x 就 应该等于二倍根号三的口占谁的 啊？当然了， y 呢，就应该等于一二啊，三倍的散谁的啊？就等于这个啊。这个东西你是可以不用写的，你就直接设 b 点坐标就可以啊，那么我可以设这个 b 点坐标，就是二倍根号三 cos 谁的啊？到三倍的散谁的 啊？ b 点的坐标就可以是这个。那么既然 b 点的坐标是这个，那我就可以把 m 和 n 呢都用这个方程来表达了，所以说这个式就变成啥了？就变成啊，二倍根号三 cosine theta， 然后呢，再加上二倍的三，那就是六，对吧？六倍的 sine theta 啊，减六的绝对值等于十二，是不是那么合并同类项？不不不不，那个这个辅助公式啊，四倍根号三 sin， 这是多少啊？四倍根号三，那就是二分之一，二分之一那是六十度，是吧？六十不，三十度，那就是谁再加六分之派。 嗯，这么个玩意，减六应该等于十二，那接下来就可以去绝对值了，因为这个时候啊，它这个式子的绝对值，三角函数的绝对值是负根号三到负四倍根号三到正四倍根号三之间， 对吧？那么减去六了之后，哎，他等于十二，也就是说要么就是把绝对值直接去掉啊，这个玩意就等于十二，那也就说明这个东西得等于十八。 这个东西等于十八的话，那算这个角上不都大于一了吗？那咋可能啊，所以说你想去绝对值，肯定是要那个这个这个 加个负号的，对吧？所以说就变成六减去啊，四倍根号三塞啊，塞特加上六分之派啊，等于十二，因此啊，我们算这个塞塞特加六分之派就得等于多少啊，这应该是负六再除以一个四四倍根号三，对吧，那就是二分，负的二分之根号三。 当然了，那这个谁的角在哪个范围内啊？啊，谁的角一定是在啊，零度到二 pi 之间的啊，就它只能就是在一圈之内啊，都可以，是不是？那么，因此，那么 sin 多少度等于负的这个二分之高三呢？是不是当 theta 加六分之 pi 啊？ 啊，等于负二分之高三，第一个是二百四十度，二百四十度是三分之四拍啊，三分之四拍，然后呢，还可以这个再做个对称，那就是三分之五拍啊，三分之五拍， 因此啊，这个谁的角应该多少啊？三分之四派就是六分之八派，减去六分之派，六分之七派，这是第一个啊，第二个在这个谁的角还有等于多少？这是六分之十派，减去一派，那就是六分之九派，二分之三派。因为谁的角要么等于六分之七派，要么就等于二分之三派， 那么在这两个角的情况下，那是不是我就可以把 b 点的坐标写出来了？哎，因此啊， b 点的坐标，那如果是六分之七派的话，那么大家觉得 q 三六分之七派， q 三六分之七派应该是 是负的二分之根号三，那么一算完之后等于负三，是吧？所以说， b 点的横坐标呢，就是负三 啊，重坐标呢？六分之七派是负的，二分之几的负二分之三啊，所以说， b 点的坐标，一个是负三到负二分之三，或者把二分之三派带进去，二分之三派带进去，那就应该是啊， 这是零呗，对吧？这边是负三啊，所以说 b 点有两个坐标，那么又因为这道题让我求的啥 b p 的 直线方程，那么你知道点 b 的 坐标了，然后呢，你再把点 p 的 点这两个点啊，算直线方程就行了。那么这个直线方程有两条， 第一条就是三， x 减二， y 减六等于零啊，第二个间方程就是 x 减去二， y 等于零啊，就这两条线， ok 啊，这就是十六题，这十六题其实很简单，当然你不用这种方法，没有问题啊，没有问题， ok 啊，咱们再看这个第十七题啊，第十七题， 这个题啊，看这个图形还是比较简单的啊，那咱们还得看具体的这个给你的条件啊，他说 p a 啊，垂直于底面，这点非常重要啊， p a 是 垂直于底面的，然后呢， p a 等于二， a c 呢，也等于二 啊， b c 等于以 ab 等于根号三，那我们知道这个的话，我们现在已经知道这个三角形也是一个直角三角形，这三角 a b c 是 吧？这不一比二比根号三吗？嗯， 然后他说啊，第一问，他说弱啊，这是弱啊，要注意弱， a d 垂直于 p b， 那 么 a d 也能垂直于 p b 的 话，那你说这个他给你两个异面直线的垂直，他让你干啥呀？是不？肯定是让你倒啊，就是倒这个垂直的时候，哎，用到的。然后呢，接下来你看他说证明啥呀？ a d 垂直于平面， p b c， ok， 那 你想正线面平行，你是不是就得正啊？一条线平行于这个平面里的一条直线呢？那你说看起来哪条现象啊？那很明显就是 b c 嘛，而 b c 呢，又垂直于 ab， 因此呢，我只要能证明 a 得呢，也能垂直于 ab， 那 么 bc 也垂直于 ab， a 得也垂直于 ab， 不 就完活了吗？所以说， a 得它能不能垂直于 ab 呢？你看这题，人家给你条件，这不就用上了吗？人家说了， a 得是垂直于 pb 的， 那而且呢， a 得肯定还垂直于 pa 啊，因为 pa 垂直于底面。所以说，你看 a 得啊，又垂直于 pa， 又垂直于 pb， 那 a、 d 不 就垂直于这平面吗？ a、 d 垂直于这平面， a、 d 就 垂直于 ab， 就 完活了，闭环了吗？对不对？所以说，这道题第一问还是非常简单的啊，我简单写个思维导图吧，是吧？第一个啊，因为啊，首先是 p a 啊，垂直于面 a、 b、 c、 d， 因此我一定能有啥呀，我一定能有 p a 就 垂直于这个 a、 d 啊，对吧？又因为题里告诉我了，谁还垂直于 p a、 d 啊， p、 b 还垂直于 a、 d， 那么一条线垂直于这平面的两条相交直线，那它就垂直于这个平面啊，所以说， a、 d 啊，就垂直于面 p a， b 啊， a、 d 垂直于面 p a、 b， 那 么 a、 d 垂直于平面， p a、 b 就 垂直于这平面的任何一条直线，所以说， a、 d 啊，就一定是垂直于 a、 b 的。 而刚才我们算了，这是一比根号三比二，这是一个典型的直角三角形，你用勾股定律正一下啊，你就会说，就会发现，哎， b、 c 也垂直于 a、 b 啊，你说两条线都垂直于同一条线，而且这两个这两条线， a、 d 和 b、 c 都在同一个平面上，那只能是平行了。所以说， a、 d 啊，就平行于 b、 c， 而 a、 d 又平行于 b c， b、 c 呢，又在这个三平面 p b c 里，而且 a d 不 在，所以说 a d 就 平行于面啊。 p b c 完活了啊，这就是第一个问啊，就非常简单哎，第二问，第二问呢？那么现在没有这个 a d 垂直于 p b 这个条件了啊，那换了一个条件，换什么呢？换成 a d 垂直于 d c 了啊，也就是说这个角是直角， 是吧？哎，这个角是直角，而他让你求啥二面角， a c p a c p， 就是 这个啊，大的这个，哎，大的这个面是吧？跟谁啊？跟 c p d c p d 就是 这个平面，这两个平面的假角。 ok， 那 么这道题我们看，那么正常来说的话呢，我们看这种题肯定是间隙，但是对于这道题来说，你不知道这角有多少啊？ 当然这个是一比根号三比二。虽说你 b a c 这个角你是知道的，但是这个角没有任何条件，而且这个点它只是说 a d 垂直于 d c 了，也就是相当于这个点 d 在 哪呀？在 a c 的 一个单位圆不在它一个 a c 的 直径圆上， 那因此啊，这点 d 可以 在任何一个位置，那比如说点 d 搁这儿，搁这儿也行啊，这也是垂直的。因此啊，这个角是一直在变的 啊，这个角一直在变，你知道吧？它不是定值。当然你说老师，我就想间隙，我设这个角为角，谁的能不能做？ 能做啊，那就间隙呗啊，你就比如说你可以拿这个 a b 去间隙，是吧？ a b， 然后呢，你垂直的这个， 这个呢，就是 y y y， 但是你不知道这个 y 指向哪，特点是不是在 y 轴上，这都不知道啊，然后这个是 z 轴，因此啊，你再去表达这个特点 c 点的坐标的时候，会会极其极其的困难，你得倒那个角的角度，当然也是可以做啊，不是说不能做 啊，但是呢，你会发现，如果这道题你间隙啊，计算量会这么大，那么你是不是应该想一想，哎，我能不能直接找到这个角呢？对不对？找到这个角，那你说这两个平面的夹角怎么找呢？对不对？哎，你看， 一个是这个平面啊，一个是 p d c 这个平面，因此啊，我是不是就可以过点这个，你先做这个 p a c 的 啊， p a c 这个 平面的这个垂线呢？那么这个垂足其实就是得撇，对吧？就是它的投影，然后呢，我再过得撇，再做这个 p c 的 垂线，我再连接这个线，这不就完活了吗？对不对？所以说我可以怎么呢？先过得点，做 a c 的 投影点， 比如说这个点叫 abc 的 e 吧，是不？然后呢，我再过点 e 去做 p c 的 垂直啊垂线，那么这点是 f， 然后呢，我再连接的 f， 其实这个角啊，就是这个二面角， 有的人说，你说老师这个邪不愣登的图啊，我不好看，那咱们我简单画个示意图啊，对吧？就比如说，我要求一个这样的一个斜平面和 这样的一个平面，这两个平面间的夹角，我看，那我可以怎么怎么做呢？这两个平面，比如说这个交线呢，就是 l 这个平面叫阿尔法啊，上面这个平面叫贝特啊，那么我是不是可以相当于过这个贝特啊，在贝特贝特内部找一个点，比如说这点要点 a， 然后呢，我过点 a 做它的投影点叫 a 撇， 哎，然后呢，我再过 a 撇做这个交线 l 的 垂线啊，比如说这个点要点 b， 然后呢，我连接 ab， 哎，那么 ab a 撇这个角，这就是我要表达的这个二面角，叫谁呢？ 于老师，正常来说的话，不应该是都垂直于交线吗？那你呢，怎么能保证 ab 这条线也垂直于 l 呢？当然能了，为什么？因为这个平面交线是垂直于这平面的。 你看啊，首先你 a 撇啊，过去做的垂直，对吧？所以说这个交线 l 啊，一定垂直于 a 撇 b。 然后呢，又因为你是做的 a a 撇垂直于 r 法，所以说 a a 撇也一定垂直于交线 l， 那么 a a 撇，那么交线 l 又垂直于 a 撇 b 又垂直于 a a l， 因此交线 l 一定垂直于这平面，因此这个交线呢，就一定垂直于 a b， 所以 说这儿也是垂直的，这也是垂直的，所以说这个角就是这个 r 边角啊，就是这么看的，所以说这道题，你看我不一样的路子吗？哎，我先过这个平面里边的一个点，得，对吧？向这个 平面，向这个 p a c 这个平面做投影，对吧？那么特点直接做垂直啊，到点 e。 那 你说老师，你做的不是过特点做 a c 的 垂线吗？那你怎么能保证 d e 就 垂直于平面 p a c 呢？ 那一定的，因为我做的 d e 垂直于 a c， 而 pa 是 垂直于底面的，所以说 pa 肯定垂直于 d e 啊，对不对？所以说 d e 一定垂直于这个平面 p a c 啊，对吧？所以说我做这个的 e 啊垂足。然后呢，我再做，你看过这个垂足，我在做这个交线的垂线，这不刚才我画那个示意图一样吗？然后再连接的 f， 所以 说这个角啊，就是它的二面角。当然你在做题的时候，你要想用找这个角的话，你得正啊，你得正啊，不能直接写啊，那么这因为我刚才已经说过了，所以大家写一下就可以了。那么也就是说什么呀，这个角的 f e 啊，既为 这个 a 杠 c p 杠的二边角。哎，我们得先说出来啊，这个角就它的二边角，因此啊，他说这个二边角的正弦值是七分之，根号四十二，就是这个角 啊，它的这个正弦值就是七分之，那个根号四十二。那么接下来啊，那么这个点是这个是垂直的，对吧？画一下啊， 这个角垂直的，所以说呢，我只要能知道这个三角形，我能算两个别的边长，然后就可以了。由于这道题啊，他让我求的是 a d， 那 我就设 a d 为 x 呗。啊，我把它解出来啊，我把 d e 啊，这条线，这 d e 这条线是好表达的，所以说 d e 是 肯定得表达， 那么在这个三角，就是在这个立体图形当中看吧，可能不好看，那我就给他画一个这个平面示意图呗， 就长这样，对吧，这个角就是垂直的啊，这点点得这点点 a， 这点点 c， 是 吧，相当于是我过得点做 a c 的 垂线啊，这个点呢，点 e 是 吧，那整个这个边长呢，是二， 对吧？ a c， 然后呢，我设 a 得为 x， 那 你看能不能你用 x 去表达这个得 e 啊？ 当然能了，因为这是直角，对吧，所以说这个边是多少啊，是不就应该是四减去 i 平方啊？ ok， 那 么我怎么表达这个得 e 啊？这得 e 相当于这三角形的高，那么等等面积法呗，对吧？所以说三角形啊， a c 得 它的面积等于啥呀？等于二分之一底乘以高，那底就是二，高呢？就是这个 a 得 e 啊，高就是得 e 啊， 不是 x， x 是 a， d， 是 吧？那它应该等于啥呀？是不还等于二分之一，两个直角边相乘啊？那等于 x， 再乘以个根号下 啊，四减 a 平方，这个，这个，那么这二分之一，二分啊，这个二分之一跟二约掉了，所以说 d e 啊，哎，它就应该等于啊，二分之 x， 再乘以个根号下四减 x 的 平方，这就是 d e 啊。那么 d e 表达完了之后，那我还能算哪条边呢？ 对吧？哎，我还可以算 e f 啊，为啥呀？因为这整个这个三角形 p a c， 它是一个等腰直角三角形，这个角是四十五度啊，所以说，我想算 e f 的 话，我只需要知道 e c 的 长就行了。 那你说这个 e c 的 长不就是这长吗？那 e c 的 长咋求啊？是不就可以用刚才我求的这个的 e， 我 用这个 c 的 平方减去的 e 的 平方，那不就是 c e 吗？对不对？这不就完事了吗？所以说 c e 啊，怎么求啊？就是计算量，但是你这么算吧，也比你间隙那么算的计算量少很多了。 应该等于 c 的 平方减去 d e 的 平方， d e 的 平方搁这呢啊， d e 搁这呢，那因此应该是啥呀？这就是四减去 x 方，对吧？然后呢，再减去这是一平方，就变成四分之 x 方，再乘以个四减 x 的 平方， 那么打开算呗，对，不？同个小分啊，这就是四分之，这上面应该是十六减去 x 四 x， 对吧？减去四 x 的 平方啊，再减去这是四 x 的 平方，再加上一个 x 的 四次方， 那就相当于 x 次方。减去八 a 平方加十六，这是完全平方公式，正好能合上啊，所以说它应该等于根号下，这是 x 方减四的平方，再比上四，所以说一开根号，这不就全没了？但是你开根号注意正负，因为我这个 x 啊，它肯定是不能超过这个二的， 对不对？所以说 x 小 于二的，所以说，你一开方之后变成啥了，变成四减 x 方了啊，不是 x 减四啊，四减 x 方分之啊，比上二，这就是 c e， ok， 那 c e 求出来了，那么 ef 是 多少啊？ ef 对 吧，这是直角啊，那么 c e 知道了，那 ef 多少啊？是不二分之根号二倍的，对吧？哎，所以说 ef 就 应该等于二分之根号二倍的 c e 啊， 所以说带进去，那就应该等于这是四分之二倍，是不，四分之二倍的四减 x 的 平方， ok， 那 么你看，这个三角形里边，我 e f 有 了，然后呢，我还知道谁？我还知道 d e 这个角还是直角， 对吧？我还知道这个角啊，这个角的正弦值啊，这个角的正弦值是七分之啊，七分之根号四十二， ok， 但是呢，你看啊，这个角应该是啥边呢？这应该是对边比邻边那是弹进的，是吧？所以说我得把上值啊，变成弹进的值啊。那么 sin 角的 f e 啊，等于七分之根号四十二，那它的 int 的 值呢？那么得可以先算一下这个啊，它等于多少？算一下， 那么他的三元值应该等于四十九，对吧？四十九减四十二，应该等于四十九分之七，开根号呢，就是七分之根号七啊，三元值啊，口三值，那不应该用它除以它七，七约掉了，那等于根号六，是不？哎，说弹进的谁，他就等于根号六，别写谁他了， 就老老实实写角吧，是吧？哎，那弹进它角的 f e 就 应该等于根号六，哎，那这个根号六等于啥？等于对边比上邻边，那对边就是的 e 比上邻边 e f 啊，就等于它， ok， 那 么咱继续算，那么的 e 呢？带进去吧，把值带进去挨个算，是吧。的 e， 的 e 的 e 啊，的 e 在 这呢，是吧？的 e 啊，那么就抄下来，那就是啊， 二分之 x 乘以根号下四减 x 的 平方啊，再除以这个 e f， 那 相当于乘以 e f 分 之一，那就应该等于根号二倍的四减 x 的 平方，再分之四啊，它这个在这呢， 等于这个就。哎，抄下来， ok， 然后呢，接下来这一，这是二，对吧？根号二分之二就变成根号二倍的了，然后这个呢，约掉了一个，是吧？约到了一半，所以这个式子就变成啥了，就应该等于根号二 x 再比上一个根号下 啊，四减 x 的 平方啊，就等于它，他说这个玩意啊，应该等于根号六，那你说咋算呢？是不肯定就是一个平方了，对吧？平方一算就完事了，那就变成二 x 的 平方 比上四减 x 的 平方应该等于六，所以说二 x 的 平方等于二十四减去六 x 的 平方，因此 x 的 平方应该等于就是八三，因此 x 应该等于根号三， 那么 x 等于根号三。我设的就是 a d x， 那 么 a d 就 等于根号三啊，所以说 a d 啊，等于根号三，所以说这种题啊， 哎，间隙很困难啊，甚至有的角我都不知道。那这种题怎么办？没有办法间隙，没有办法间隙我就得知道。哎，几何法我怎么能够做出这个角啊？这点很关键啊。 ok 啊，那咱们下个视频见。拜拜。
241老林搞数学
02:47查看AI文稿AI文稿我们来看这道二零一八年新课要一卷的题目，已知函数 f x 等于 d 的 x 小 于等于零， l x x 大 于零，然后 g x 等于 f x 加 x 减 a， 若 g x 存在两个零点，则 a 的 取的范围为多少？那么首先根据 这个分段函数的解析式，我们可以画出这个分段函数的图像。由于两段都是非常规整的，所以我们可以通过画图来解决这个问题。 这个地方，当 x 等于，当 x 等于零的时候， e 的 x 次幂等于一，然后当 x 等于一的时候，让 x 等于零，所以我们可以画大致画出这个图像 f x 的 图像，那么根据这个条件，我们可以将它等价于 f x 与 y 等于负 x 减 a 有 两个交点， 那么我们就可以将 y 等于负 x 减 a， 这个图像画进这个图里， 画质画出，当它有两个交点的时候，比如说因为斜率固定，这样的是两个交点，然后一直到这个位置的时候， 依旧有两个焦点，当他在这个位置的时候，就出现了只有一个焦点的情况，所以我们发现端点处就在 当 a 等于负一时，也就是负 a 等于一的时候，那么由于它是在这个下面，由于下方是 有两个焦点的情况，那么也就是 a 大 于等于负一， 我们也可以通过代数去解决这个问题，比如说当 a 等于零的时候， 当 a 等于零的时候， y 等于负 x 是 有两个焦点的，然后发现我们发现 a 等于零的时候， a 是 大于等于负一的，所以我们可以确定 a 是 大于等于负一的。
52:15查看AI文稿AI文稿今天要讲的是二零二五年数学新课标一卷。 ok， 大家好，我是小迪同学，今天学长选的试卷是二五年的全国的新课标一卷。 这套试卷呢，虽然个人认为是比二六年新课标一卷是简单一些的，他的创新题呢，并不像二六年一样看起来特别的吓人，让人看一眼就失去做起了欲望。这套试卷的难题呢，第八题算一道， 第十一题很难，第十四题也算一道。第十八题的第二问和第十九题的第三问，就是给一些特别有天赋的孩子在考场上才能做出来。 我觉得大部分人在考场上能做到。第十八题的第一问，第二问的第一小问，做完十九题，做完第二问，就已经是极大的成功了。 ok， 让我们来讲解一下。 单选择题呢，其实都还好，第一题是一个特别简单的复述计算， 虚部直接看出来是一选 c。 第二题呢，这种题很简单，但是大家如果怕错的话，完全可以把全集这个右直接写出来， 这也不会花费大太多的时间求 a 的 补集，就直接把 a 在 全集里消去化掉一数五个选 c。 第三题，这道 选择题的话，可以直接把实轴设成一，就把虚轴 b 设成根号七，那么它的离 它的 c 不 就等于 a 方加 b 方开根就等于二倍根号二吗？它离心率 e 就 等于 a 分 之， c 就 等于二倍的根号二就选 d。 最后第四题呢，它给了 a 勾零，这个点是函数 y 等于二倍的 tangent x 减三派图像的一个对称中心。我们知道 tangent 函数大概的图像是长这个样子的， 它的对称中心是这几个点。 嗯，我们老师在尤伦复习的时候一般都会讲这个 tangent 的 对称中心的同时是二 k pi 度零， 其中 k 属于一个整数，那么完全可以把这个 a 带进去，让 a 减三分之 pi， 就 直接等于这个二 k pi 之后 a 不 就等于二 kpi 加上三分之 pi 了吗？之后对 k 进行赋值。呃，先对 k 负一个零， k 等于零的时候， a 是 等于三分之 pi 的， k 等于负一的时候， a 是 等于负的六分之派，这是小于零的，不符合他给的已知。之后，如果 k 小 于负一的时候， a 的 值会小于这个负六分之派，所以说 k 肯定是大于这个负一的。那往上负 k 等于一的时候， a 就 等于六分之五派，是大于三分之派的。 k 大 于一的时候，肯定 a 的 取值也是大于六分之五派的，所以说 a 最小的时候就是 k 等于零的时候， a 等于三分之派。选 b。 呃，第五题的告诉我们， f x 是 定域在二上且周期为二的偶函数，它给了 x 去大于等于二小于等于三的时候， f x 的 函数表达式， 我们可以直接对它让求的这个函数下手。 f 负的四分之三， 因为它是偶函数，所以说它等于 f 四分之三，它的周期又等于二，所以说它又等于四分之三。加二，它等于四分之 十一。这时候我们发现四分之十一，它好像就是大于二小于三的，所以说可以直接把 f 四分之一带进去，就等于五。减二倍的四分之十一 就等于负的二分之一，那负的 f 负的四分之三不就等于负二分之一吗？选 a 第六题是一个情境题，它的情境给了很长一大段，但它其实就告诉我们三个，就是失峰峰速是真峰峰速和船行风速的向量之合，而船行风速它对应的向量是船速的相反向量。 他给出他图一，给出了部分风力等级和名称及风速大小之间的对应关系。呃，他给出了施工风速是这一坨，之后，船速是这一坨，那船型，那对应的船型风速是不是就这一坨？ 就是它的相反向量？让我们求它的针峰峰速通过向量的三角夹合，就是 如果 a 加 b， 它们是首尾相连，那么 a 加 b 的 结果， c 向量就是 a 的 初矢位置，指向 b 的 末位值的向量就等于 c。 那所以说船形项链，船形项链加上针锋项链就等于它的石缝项链，所以说它的石缝项链，它的针锋项链就是这一个。 油图可以直接算出二二，那这个长度就是二倍根号二，二倍根号二约等于一点四，乘以二嘛，就等于二点八，约等于二点八，二点八大小在晴风里。所以说选晴风选 a 第七题呢，可以用纯代数法，就是这个圆心，它这个圆心是零度负二，用点到直线的距离公式 之后来卡这个距离为一点到直线的距离公式算出来这个点，这个圆心到这条直线的距离，就来卡这个距离为一的点。但是我个人觉得 几何法也是一个很好而且很直观很快的方法。 它的圆形坐标是零度负二，稍微一点的话，珠子要直线画出来 它与外轴的交点，它与外轴的交点是零度 二之后我们发现这个直线他的倾斜角是六十度， 这个地方是六十度，那么他所对应的这个角不就是三十度了吗？之后这个角也是三十度。那倘若我们由 a 点向这条直线做一个垂直，设垂直为 d 点的话， 那 a、 d 的 长度不就等于二分之一？设这个直线与外轴的交点为 ab 的 话，不等于二分之一， ab 的 长度不就等于二了吗？ 那这个点到直线的距离公式没有用，我们也求出了这个点到这条直线的距离是二，那之后他问这个圆上的点到这个直线距离为一的点仅有两个，那就很好很好求出来了， 就是把两种极限情况画出来。一种极限情况是半径二等于一的时候，只有这一个点 到这小直线的距离为一。之后第二种情况是二等于三的时候，有这三个点 是到这个直线的距离为一。倘若二大于三的时候，就有四个点，就存在四个点到这个直线的距离为一。小于二小于一的时候，不存在 到这条距线距离为一的点。所以说这个题答案就选择 b。 第八题呢？第八题是一个比较典型的函数等高问题，这个题说难也不难，但是你要说它不难吧，它确实会挡住一部分人做题的脚步。 这个题的作法就是令他们同时等于一个 t。 可以， 它不是二加 log 二 x 等于 t 吗？之后移项 log 二 x 等于 t 减二，同时给一个底数二， 同理， y 不 就等于三倍的 t 减三，之后 z 就 等于五倍的 t 减五。其实到这一步就可以直接把这三个，把这三个函数的图像画出来， 嗯，其实也可以，如果想更直观的看出来的话，可以直接把它们画成直线形式再画出来。但是我个人觉得没有必要 到这一步，我们发现它就是 y 等于 ab 的， x 就是 一个指数函数， 它的函数图像大概，呃，这个可能画的不是很明显，我们把它画的大一些。 哎呀， 指数函数有一个性质，就是在 x 等于零的时候， y 是 等于一的，所以说正常指数函数应该是大概是这个样子的，这个点是零逗一这个点，但它的指数并不是单纯的指数， 所以说它的它们的图像大概都是这个样子的，就是一定存在一个 t 点，使得这个使得 x、 y、 z 分 别等于一，这个 t 是 等于二，这个 t 是 等于三，这个 t 是 等于五的时候。 之后指数函数其实还有一个性质，就是他的底数 a 大 于一的情况下，底数越大，他的递增速度越快。就比如说如果一个是 a 等于 a 等于二，一个是 a 等于十， 他最开始图像是这样的，但到后边 a 等于十，这个会递增的越来越快，越来越快。 所以说这三个函数最后在最上面的一定是 z 等于五的 t 减五次方，其次是 y 等于 t 的 y 等于三， y 等于三的 t 减三次方。 他们三个函数一定有三个焦点，这个图像就是说把这三个函数放在一个图像里，最后一定会出现三个焦点。我们现在的需要做的就是区分这三个焦点到底是谁在前谁在后。 我们其实可以带数进去试一试， t 等于二的时候， x 是 等于一的， y 是 等于三分之一，最后 z 是 最小的， 就不用计算了。 t 等于三的时候， x 是 等于二， y 等于一， z 还是最小的。 t 等于四的时候， x 是 等于四的， y 这个时候就变成了三， z 还是最小的。 t 等于五的时候， x 变成了八， y 这个时候就变成了九了，它是比 x 就 大了。之前一直是 x 大 于 y， z 还是最小的， z 此时是等于一。 但由刚才我们分析可知， z 的 z 等于 y， t 的 五的 t 减五次方，这个函数它递增速度率是最快的，所以说它最后一定是在最上面的， 所以它这个函数，大概这几个函数大概就是这个样子。 这个图好难画，其实 就大概是这个样子的。 嗯，再画一下，真的很难画这个图， 而且因为指数的性质，它一定是这个 z， 这个 z 函数一定是先与 x 函数交于一个点，再由 y 函数交于一个点了，就大概是这个样子 之后，我们就可以取 x、 y、 z 的 取值了。 一种情况是，应该是同一个 t 取不同的 x， y、 z 大 概就这样，就这样吧，就是第一个在焦点之下，是这样的，此时是 x 大 于 y 大 于 z 的 第二个。第二种情况是第一个焦点之后，第二个焦点之前， 此时 y 是 最大的，就是 y 大 于 x 大 于 z。 第三个情况是第二个焦点和第三个焦点之间，此时 y 还是最大的，就是 y 大 于 z 大 于 x。 最后一个焦点之后是 z 最大大于 y 大 于 x 来对应， x 大 y 大 于 z， 这个是对的。 y 大 于 x 大 于 z， 这个也是对的。 y 大 于 z 大 于 x， 这个也是对的。 x 大 于 z 大 于 y 是 不存在的，所以说 b 是 不可能的，这个题就选 b。 其实单选择题看起来是真的没有太多的拦路虎，相较于今年二六年的全国一卷，二五年这道题单选哪满分是比较简单的，是相较于比较简单的注来看多选择题， 它告诉我们，在三龙柱， a、 b、 c， a 一 b 一 c 一 中， d 为 bc 的 终点， a、 d 垂直于 a、 c 这个其实怎么说，就是看一眼就能看出这是不对的，这是肯定不对的。 因为 a、 e、 d 它是一个正三楞柱嘛，所以说 a、 e、 d 肯定垂直于 b， bc 又在三楞柱中，所以说 b、 b、 b、 e 也垂直于 a、 d， 所以 说 a、 d 就 垂直于 b， 就垂直于 b， b， e、 c、 e、 c 这这个平面，它如果 ad 垂直于 a、 e、 c 了，那 ad 不 就垂直于 c、 e、 c 和 a、 e、 c、 e 这个这两条边了吗？那垂直于 ad 就 垂直于 a， c、 c、 e、 a、 e 这个平面它显然不成立。 其实也刚才证明的时候也有点问题，可以不用证明 a、 d 垂直于这个平面，因为在三在正三棱柱中， c、 e、 c 肯定垂直于 a、 d。 直接用就可以了。看 b 选项， bc 垂直于 a， a、 e， d， b， c 垂直于 a， a、 e、 d 啊，这个就也是显然这个是显然正确的，因为你如果连接 d、 d、 d 一 的话，这个 d 一 是 b 一 c 一 的中点，这条线 是一个三，一个正方形的中点和中点连线肯定平行于两个两个边，平行于这两个边，那就有跟这两个边一样的性质，就是 垂直于上下两个平面。 bc 在 哪里？ bc， 那 bc 不 就垂直于 d、 d 一 吗？ 之后 bc， 呃，讲解 a 的 时候就说了， ad 是 垂直于 bc 的， 那 bc 也垂直于下面这个 a 一 第一，因为 a 一 第一和 ad 是 垂直的，所以说 bc 垂直于这个平面，显然可正。 呃， c 选项是 c c 一 平行于平面， a a、 e、 d 这个也是显然的，这不刚才正了 d、 d 一 平行于这两条边吗？那平行于这两条边呢？ c 一 就平行于 c， c 一 就是平行于 d， d 一 之后 c c 一 又不在这个平面里，所以说 c、 c 一 平行于这个平面， b 是 对， b， c 是 对的。看 d， a、 d 平行于 a 一 b 一， 这个就显然不对了。因为 a、 d 是 平行于 a 一 d 一 的，之后 a、 d 又和 a 一、 b 一 相交。 那倘若 a、 d 垂直平行于 a 一、 b 一 之后， a、 d 又平行于 a、 d 一， 那这两条线都平行于 a、 d， 那 这是一个基本的错误，所以说 d 是 错误的。 第十题呢，其实是一个结论题， 其实真就是一个结论题。看过这个结论的就应该立马能做出来，就是一个阿基米德三角形的结论。 嗯，先看吧，他说 a、 d 等于 af， a d， a d 等于 af， 这个其实就是椭圆的，不是呸，双曲，呸！抛物线，抛物线的性质一个定义，既是它的性质，也是它的定义， 到角点和到准线的距离相等，这个 a 是 对的。这个直接选上 之后，高考的时候，其实如果不是高考，换成模拟考试，选再蒙一个，这样拿个四分或是 幸运了，选个六分，其实也就跑了这道题。但这道题真的要自己做的话，也也比较简单。如果看到过这个阿基米德三角形这个结论的话， 说 a、 e 等于 a、 d 其实知道阿基米的三角形的话，这个就其实是一个垂直， a、 e、 b 这个三角形是一个直角三角形， a、 e 这个直角边肯定不可能跟斜边相等，所以说 b 是 错的。 之后 ab 大 于等于六，这个 ab 其实高中生都知道，就是它最短的时候是通径，通径的长度， 而通径的长度呢，在抛物线里直接是二 p， 所以 说 ab 最短，其实就是二 p 就 等于六。或者你可以从焦点线长公式来理解， ab 它是等于二 p 比上三 c 它的平方的， 而这个是 c 倾斜角， c 等于九十度，即三 c 等于一的时候，这个 ab 是 最大的，就等于二 p 依旧等于六， 所以说 c 是 c 是 对的。 这我来看 d 选项， d 选项，他说 a e 乘以 b， e， a， e 乘以 b， e， 这个其实就是 a、 b、 e 这个三角形面积的两倍，它的面积既可以用 a、 e 乘以 b， e 乘以二分之一来计算，也可以用 a、 b 乘以 e， f 乘以二分之一来计算。所以说这个式子其实就等于 a、 b 乘以 e、 f 跟着变化。 那我们就猜想，那 ab 最小和 e、 f 最小的时候会不会是一样的，就是同时取到最小，那相乘肯定是最小嘛？ ab 最小是通径，就是它垂直的时候， 周五我们发现这时候 e f 是 这样的，他发现也是最小的，因为 e f 它构成了一个直角三角形，它的它是一个斜边，它是永远小于这个直角边的，所以说 e f 就是 大于等于这个长度， 而这个长度呢，是 p 长度，是 p 等于三。之后 ab 最小是六，它正好又能同时取到这个垂直这个，取到这个， 那它的最大，它的最小，不就是三乘以六就等于十八吗？所以这个是对的，那这个题就选 a、 c、 d、 a、 c、 d， 这样六分就拿下了。 那回头来看，做出这道题之后，回头再来看这道题，它其实就是什么？你其实判断 b 错误之后，缩划选 a、 c、 d 也就全对了，也就不用再花时间再花精力来做这道题了。 之后第十一题，第十一题，这个题呢，我个人感觉它真是一道难题， 因为他是一道三角函数的拓展学长，个人呢，三角函数学的并不是很好， 之后碰到这样的创新题，真的说心有余力而力不足，心有余而力不足。 但其实这道题啊，其实可以是蒙的，你看他这个 它这样的三 a 加三 b 的 表达，它等于二倍的根号六，那我们应该就猜测三 a， 其就等于四分之根号六加根号二幺三 b 是 四分之根号六，减根号二， 你就猜到它是一个十五度、七十五度的直角三角形。如果这样猜呢？那这道题就简单了，如果能这样猜出来， 往这边的写的话，其实这两个是等价的，可以互换，因为它在已知条件里并它的 a 和 b 的 地位是完全等价的。 你可以是三 a 等于四分之根号六加根号二，也可以是三 b 等于四分之根号六加根号二。 那如果好好做，应该怎么做呢？其实好好做也就 a 选项好做，靠三 二 a 其实等于二倍的考三 a 的 平方减一之后， b 也一样。所以说我们令这一坨等于一个一式一式可以化简为二倍的考三 就等于四嘛，之后把二都除掉，同时除以一个二 就等于二，之后考三 a 方，加考加三 a 方又等于一，那考三 a 方不就等于一减去三 a 方吗？那么一是又可以化减 三 a， 三 c 就 等于三 a 方加三 b 方， 这个就是 a 的 表达式。表达式 a 是 对的，其实算到这选一个 a， 接下来就不好算的。如果你不猜的话， 嗯，就可以在考场上就可以去做选填了，就去做填空题了，没必要在这一道题上死磕，因为这道题最多也就给你扣四分， 要因为因为这一个四分耽误了你后面大题的做题，这是得不偿失的。 之后如果想继续做的话，需要对 a 这个式子进行一个再次化简，用正弦定理，他不就把它们化成了。 有没有同学对这个式子感到比较熟悉的？ 有没有感觉比较眼熟？它的表达式是不是就跟这个式子摄影定律 它是比较类似的？所以说我们猜测它有没有可能就是散 a 就 等于靠散 b， 之后散 b 就 等于靠散 a， 有没有这个猜测？这样猜测来起来，最后得出的结论其实就是正确的，跟我们猜测三 a 和三 b 的 曲值是一样的，这样猜出来它就是一个直角三角形，而本题的正解也就是一个直角三角形， 那是怎么正这个直角三角形呢？ 其实依旧是对这个式子进行一个化简， 大家可以想一想怎么对这个式子进行化简。 我们现在直接用这个 a 选项这个式子来化简三 c 是 不是等于三派？减 a 减 b 不 就等于三 a 考三 b 加上考三 a 三 b， 它就等于三 a 方加三 b 方一项， 就化简化简成了这个式子， 它都等于零。而我们根据它的已知条件 得知三，因为它是一，在一个三角形之中，三 a 三 c， 它肯定是大于零的。那么考三 a 考三 b， 要么同时大于零，要么同时小于零。同时小于零的话，那 a 和 b 都是钝角，是不成立的， 所以 a 和 b 是 同时大于零的，你说它们都是锐角，这样的话，这个三角形其实有三种情况。第一种情况呢，就是 它是一个锐角三角形， g、 c 是 一个锐角。 那在锐角三角形里，我们有一个结论，就是锐角三角形的角的正弦值一定大于任意角的余弦值，就是三 a， 它肯定是大于考三 a、 b、 c 的。 同理，散 b 也一定是大于考散 a、 b、 c 的。 那我们回来回头看这个式子，它如果散 a 大 于考散 a 大 于考散 b 的 话，那这个式子不就是小于零的吗？ 之后三 b 是 大于考三 a 的， 那这个式得小于零。一个小于零的式，再加上一个小于零的式，它可以等，它可能等于零吗？是不可能的，所以说这个情况是错的。之后看第二种情况， c 是 一个钝角。 其实在钝角三角形里也是有一个结论的，就是 在一个锐角三角形里，它一个锐角的余弦是一定比另一个锐角的正弦是要大的，即考三 b， 它是一定大于三 a 的， 考三 a 也是一定大于三 b 的。 带回原式，我们会发现这两个数又同时大于零了，两个正数相加是不可能等于零的，所以说它只可能是这种情况，也是不成立的，那只能是第三种情况。 c 是 一个直角， 就是这种情况。那考三 b 减就等于三 a， 考三 a 也等于三 b， 那 其实就是我们最开始猜测的那种情况。 c 是 一个直角，这也是我们用射影定律猜出来的情况，这是个直角三角形。 之后我们就可以看他给我们的第二个条件是考三 a， 考三 b 之后，三 c 就 等于一，就等于四分之一，最后考三 b 又等于三 a。 所以 说 考三 a 乘以三 a 是 等于四分之一，同时乘一个二二倍的，考三就等于二分之一，这个又是二倍角公式，就等于三，二 a 就 等于二分之一。 这有两种情况，第一种情况，这个二 a 是 二 a 是 等于三十度，或者二 a 是 等于一百五十度，都等于二分之一。 但我最开始就说了，这个 a 和 b 是 完全等价的，而且他在 b、 c、 d 这个摄像里，也没有让你单独求 a 和 b 的 角的大小，也没有让你求这个小 b 和小一边长度，所以说无所谓，我们不妨零二， a 等于三十度， a 就 等于十五度，那么 b 就 等于七十五度， 那三 a 加三 b 就 等于二倍的二分之根号六，这个 c 就是 对的。 之后就看 b、 c、 b、 d 了。其实 b、 d 就是 一个选项， a、 d， a、 b 是 斜边，之后 a、 c 方加 bc 方，它是根据勾股定律，也就等于 ab 方，也就等于斜边的平方， 就是 b。 如果对 d 肯定错，如果 d 都 d 对 b 肯定错，二者只能对其一嘛。之后 我们就可以对它们进行直接计算了，它给了这个三角形的面积，三角形面积共是二分之一， ab 乘以三 c， 三 c， 三 c 等于一，所以说就等于二分之 a， b 就 等于四分之一， a， b 就 等于二分之一。这会根据余弦正弦定律 可以推导出 a 比上 b 就 等于三 a 比三 b， 其中三 a 我 们假设它是四分之，根号六减根号二，三 b 就是 四分之根号六加根号二 就等于三， a 比上三 b 就等于。呃，先上下同时乘一个四的话，就变成了根号六减根号二比上根号六加根号，再同时除以一个根二 等于根号三减一比上根号三加一化简就等于二减根号三。 那 a 乘 b 不就等于根号三？不对，二减根号三倍的 b 方就等于二分之一吗？ 求解。 b 方不就变成了二分之根二减根号三吗？那 a 方不就等于 二减根号三嘛。那之后这样你把它们相加，可以先把 b 化简一下， b 方其实就等于上下同乘一个二加根号三等于二分之二加根号三。 a 方加 b 方就等于二嘛。 他说 a 方加 b 方等于三，这个是错的。那 a 方加 b 方等于 a 一， b 方 ab 方就等于二， ab 就 等于根号二。所以说 b 是 对的，那这道题就选 abc。 这个题确实很难，但是如果你从最开始就猜就敢猜的话，在高考那种考场环境下，你敢猜的话，这个题其实也能做，也是能做对的。 ok， 讲完选择，讲完多选，就到了填空了。其实今年填空比二五年要难多了， 他今年二六年的第一个空，他最后算出来的数就让你很不自信，因为那个数太奇怪了。但是二五年并没有这个情况，二五年这个第一个空答案很正常， 他告诉我们这个是直线，是这个这一坨这个曲线的一个切线，那就对他进行求导， 这个导数是等于它的斜率的，那这一坨就等于二，那 x 其实就等于零。 那 x 取零的时候， y 是 等于 a 加一的，那这个也取零， x 取零的话， y 是 等于五的，那所以说这两个是相等的， 所以说 a 就 等于四。这个很简单。 这第十三题呢，也是一个简单题。他说一个等比数列，前四项和是 a 四，那就是 a 一 加 a 二加 a 三加 a 四是等于四，前八项和 是等于六十八，那我们不妨前四项是 a 一 吧，就设为圈一，那圈一就加上圈四，圈五加上圈五加上圈六加上 a 五， a 五 a 六 a 七加上 a 八，就等于六十四。六十八， 那我们让它等于二十，那二十减一十，不就是后边这一坨，它就等于六十四。 那我们又知道， a 五是等于 q 四倍的， q 的 四次方乘以 a 一， a 六也是 q 的 四次方 乘以 a 二，同理，那二减一，这个不就等于一倍的就是一式乘以 q 的 四次方吗？ 它等于六十四，它就也等于四乘以 q 的 四次方，那 q 的 四次方不就等于十六了吗？求解，那 q 不 就等于正负二了吗？之后这个题目其实并不完全 是一个不完整的题目，它原题里是有一句话，有一有两个字吧，是正向， 那所以说 q 它的公比就只能是一个正向正数，那就等于正二。 嗯，第十四题呢，其实你说它难吧，它也算一个难题，你说它好做吧，它也确实好做。 今年把这道题其实放在了第八题这个位置，是选择题的压轴，跟这个题的做题速度其实很像。 不能说很像，其实就是一模一样，就是把这个题改了一下之后，直接套在了第八题上。 这个题比今年呃填空的压轴是要简单多了的。二六年那个填空的压轴确实不好做，确实看着就挺吓人的。 这个题其实有两个主流的方法，第一个就是直接硬算嘛，这 x 的 可能取值， 他们我有五个相同的球，这我每取一颗又放回的取三次，至少取一次球的个数， 那有有三种可能吗？就是取两个一样的，之后取一个不一样的，就是两个球，之后取两个，三个都一样的就只有一个球，那取三个都不一样，那就三个球。那 x 的 一二三 你是有放回的取球，所以说它一共的情况就是五乘五乘五，一共一百二十五种。 只有一个球，那就是三个球都一样，就是五种情况。就是一百二十五分之五之后两个球，那这种情况就是前后两个一样， 后两个一样或是前两个一样，就这样的。就有三种情况嘛。 其实这三种情况他的次项数就是可能数是一样多的。 看这种情况，他第一次抽取是五种之后后两个是四乘一吗？是取一个，第二次抽抽出一个与第三次抽出一个与第二次相同的，就是四乘一种，这个是 五乘一乘四，这个是五乘四乘一，最后合起来是六十，就是一百二十五分之六十之后， 那这个也就这个也就好好算。第三次都不一样，那就是第一次抽五种可能，第二次有四种可能，第三次有三种可能，也是六十之后把这三个先加， 发现它正好就等于一。所以说大概率算的是正确的。你要算一 x 一 乘以 p x 等于一，加上二乘以 p x 等于二， 加上三乘以 p x 等于三，最后算出来是 加上 二十五分之六十一。答案是这个。其实这样直接算也并不是很困难，只要把 这三个概率算的都对，最后最后一加其实也挺快的，可能思维含量稍微大一些吧。只有第二种就是一个扩展的解法了， 就是线圈加核， e x 等于 e x 一 加加加，加到 n， 它就等于 加到 e x n。 这个解法对这道题其实来说挺好用的，因为它是五个球嘛，我们不妨把它们设为 一二三四，他不给射了吗？一二三四不妨就用 x 一 来代表一号球， x， 二对代表二号球，一对应那一 x， 他的 取出球数的期望是不是就等于他们每个球的期望相加， 那是不是就等于分别相加 之后一到五这个球是完全一样的，除了标号不一样，是完全一样的，所以说每个球是等价的。所以说 ex 一 它是等于 x， 二等于后边一堆等于 ex 五的。 那我们只需要求出 e x 一 的大小，就之后再乘以 e x， 那 不就等于 e x 一 乘以五。 e x 一 怎么计算呢？我们算它取出去三次，取出来也不好算。那我们可以算它取三次都没有取出的概率吗？ 都没有取出的概率，因为它是有放回的取出吗？取出是五分之一，那取不中不就成了五分之四了吗？三次都没取出，那不就是五分之四的三次方吗？之后那就有一次取出， 取出一次的概率不是取出一次的概率，被取出概率不就是一减去这个五分之四的三次方吗？ 这个我直接用 x 一 表示 x 一 被取出的概率了，被取出的这个是时间了。 六十四，一百二十五减六十四，六十一嘛。之后因为我们设的 x 一 的取值其实就是零和一嘛， 那一 x 一 不就是一乘以 p 就 等于一百二十五分之六十一吗？ 那一 x 不 就等于一百二十五乘以五就等于二十五分之六十一。这个答案跟这个答案算出来是一样的。 你这样讲其实有些混乱，其实最核心的就是什么？我们把这个 x 一 x 一 被取出看成了一个二项分布，就是它只有一和零这种这两种可能，要么是被取出，要么是不被取出的。零被取出的一之后，它被取出的概率，不被取出概率是 三次都没有被取到，就是一百二十五分之六十四吗？他被取出的概率，你不管是取出几次，一次、两次、三次也好，这都是这一个一减去 等于六十一之后，那他被取出的概率不就是概率？是这一个之后，期望值不就是等于这个了吗？之后乘以五就等于要算出来的结果。 ok。
