高考数学第一题虚数

虚数到底是个啥呢？这个问题困扰的不仅仅是学生，更是无数的科学家。法国物理学家达朗贝尔实在被这种问题搞得不胜其烦，最后干脆提议，要不咱把所有副书姐的方程都当成出错题了吧，以后禁止使用复数 呀，复数没了，虚数也就没了，代数从此就纯洁起来了。这些被折磨头图的数学家，搞得数学场上满是唇枪舌剑，但最终成功破局的人居然是个丹麦搞测绘的，他的名字叫维塞尔 雷赛尔，是怎么解读虚数的呢？他先简单定义了一堆有方向的箭头，这堆箭头名叫项链。没错，项链最早就是为了研究虚数才搞出来的。然后他就开始问，项链是怎么做加法的呢？这个咱能熟平行四边形法则吗？接着他又问，那项链是怎么做乘法的呢？这可给大家伙问住了。 首先呀，咱先来猜一猜，这也是目前网上最流行的一种解释方法。咱都知道，爱的零字方应该等于一，而且根据定义啊，爱的平方应该等于负一，那么爱的四字 就应该等于挨的平方乘上挨的平方。所以吧，虚数的操作就应该是啥也不干的时候，再一呆着，成自己两次就跑到负一去了，再成自己两次就跑回来了。所以是啥样的操作呢？这个小线段来回转圈跑呢？没错，最合理的解释方式就是旋转，旋转两次，到了左边 细转两次就转回来了。假如虚转一次，这个长度就应该是，哎。所以这里应该有一个虚轴，垂直于我们熟悉的实数轴的部分，而任意一个虚数，他的实数部分都反映在横轴上，我们叫他实部。他的虚数部分都反映在纵轴上，我们叫他虚部。这个方法非常巧妙。唯一的问题是，这是咱猜的数学要是靠猜就行的话，那我数学早达满分了，还做还运算呢。 美赛尔作为数学家，想要严谨的多，那他是怎么搞虚数的呢？他先让咱们回忆一下时数该怎么做惩罚呢？比方说三乘上负二，这些难度非常大哈，结果是负六，也就是说时数乘积的结果应该等于这点长度的乘积。那咱要是把这个迁移到虚数的平 上去，理论上讲，最终结果的长度也该是这俩下降长度的成绩。比如这个一加 a 乘上负一加 a， 俩长度都是跟后二，最后乘积的长度就应该等于跟后二乘上，跟后二，结果得二，这个非常符合直觉。可问题来了，虚数乘积的结果不是只知道长度就行的，要不然这一圈上的点每数都是结果了吗？咱呀，必须还得知道最 后的结果是朝哪个方向的。梅赛尔又拿数学语言解释的一堆，我给大家发一个好理解的。还是刚才的一加 i 产生个负一加 a 最后结果的方向应该会有个特点，它应该和这俩项链形成一个奇妙的角度。比如说一加 a 和 s 轴的夹角是四十五度， b 加 i 和 s 之后，加角是一百三十五度，那最后这个结果和一加 i 之间的加角就应该等于另一个加角一百三十五度，而和非加 a 的加角就应该等于另一个加角四十五度。我估计你们已经听蒙了，这咋还说上绕口令了呢？实际上结论特别简单，最后击的角度应该正好等于这俩加角的。和比方说这俩的成绩加角就应该 等于四十五度，加上一百三十五度等于一百八十度。最后咱来验证一下，还是这个一加癌，省上负一加癌。但从几何意义上看，结果应该等于长度相乘，角度相加，长度相乘等于二，角度相加等于一百八十度，那结果就是负二。你把这个柿子拆开算一遍，就会发现结果还真是负二。所以说虚数的乘法法则才算是找着了。 那好了，咱现在不知道的其实是根号负一这个东西在叙述平面里是个咱不知道的长度 l， 那个咱不知道的角度 c 塔，咱只知道 i 的平方，也就是 l 角， c 乘乘 l 叫 c 塔，结果应该等于负一。咱根据刚才的叙述乘法法则，长度相乘得 l 方，角度相乘得角二 c 塔。但是咱恰好还知道 负一这个项链，结果应该长度是一，角度是一百八十度，于是咱就可以写出 l 方角二菲塔等于一倍的角一百八十度，两边减个方程，最后 l 等于一，最大等于九十度。所以说这个小爱表示的应该就是把一旋转九十度之后呢，结果就是这个虚轴啊！我们终于证明出来 虚数在几和上到底是什么了，太激动了，撒花撒花！所以从此之后，我们从几和上理解的话，一个数乘上 i， 本质上就是给他在副平面上旋转的九十度。任何一个虚数也都既可以写成 a 加 b i 的形式，又可以写成这个虚数的长度，带上这个虚数角度的形式 比赛啊，这个名不见经传的小卒突然跑过了。定义虚数，按理来说一定会招致激烈的反对，但有一个人的赞同让一切非议都无话可说。这个人名叫高斯。实际上，安高斯自己的回忆在一七九六年在梅赛尔之前就已经发现了复述的几何意义。但高斯这个人吧，非常积贼，他知道这东西一旦发表了就会受争议，所以他坚决不当。出鸵鸟 这事也不是第一次了，比如高斯早就有飞欧几何的设想，但他就是不主动发表。于是当出头鸟的罗巴谢福，自己果然被判的怀疑人生，郁郁而终。 后边高斯再培养个学生尼曼，贯彻自己的想法，搞出个黎曼几何，这个时候他再进去整几个经理啥的。与高斯在叙述几何意义上的保守相比，高斯的姐妹欧拉在叙述的代数预算方面就要比高斯激进很多了，欧拉也将因此缔造出也许是数学史上最美的公式。

第三题是负数，这个一减 i 的平方乘以 z 等于三加二倍的 i。 一减二的平方呢？我们可以给他展开一减二倍的爱，加上爱方。 那么 iphone 等于负一，所以和前面的一抵消掉，就等于负二 i， 所以负二 i 乘以 z 等于三加二 i。 我们把左边的负二 i 除过去，可以得到 c 等于三加二 i 除以负二 i 可以上下同乘以 i。 分母上就是负二 i 方上面是三加二 i 乘以 i 归 i 方，等于负一，所以分母是二。上面展开三 i 加二 i 方，那也就等于了二分之负二加三 i。 二 二分之负二就是负一，所以是负一加上二分之三倍的 i 选 b。