甲卷导数

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  #2023年全国甲卷文科数学21题#2023年全国甲卷文科数学导数大题 #导数#安鹏数学#端点效应
  导数和三角函数结合

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  我们看一下二零二三年甲卷文科数学的导出大题，已知 f x 等于 ax 减 cos x 除以 cos x 平方。 当 a 等于 e 的 时候，讨论 f x 单调性，那么 f x， 它就等于 x 减去 cos x 除以 cos x 平方啊。 然后我们对 f s 求导， f s 一 撇，它应该等于一减去分母的平方是 cosine x 的 四次方，上到是 cosine 四 乘以下不倒 cosine x 的 平方减去上不倒 cosine x， 然后乘以下。导是外函数导数二 cosine x 内函数导数是负 cosine x 是 吧？啊，我们来整理一下，那么它应该是一减去 cosine x 四次方分之 cosine x 一 方，是吧？再加上二倍的 cosine x 的 平方乘以 cosine x 上下约一个 cosine x， 它应该是 e 减去 cosine x 立方分之 cosine x 平方，加上二倍的 sin x 的 平方，然后它就等于啊，一减去 cos x 立方分之 cos x 平方加二减二 cos x 平方等于谁？一减 cosine x 的 立方分之二减去 cosine x 平方，然后对这个东西用通风，那么它应该是谁？ cosine x 的 立方分之。嗯， cosine x 立方，再加上 cosine x 平方减二啊。由于 x 属于零到二分之派啊，所以呢，令 cosine x 等于 t， 那 么 t 就 属于零到一啊。好，然后呢，这个式子我就可以把它写成是 t 立方 加 t 平方减二啊。来，咱们这样啊，写成 t 立方减一，加上 t 平方减一，我把这个负一就是负二乘成两个负一啊。哎，这是 t 立方， 然后根据立方差公式我写到这里啊，大家看一下立方差公式。嗯， a 立方减 b 立方等于谁？ a 减 b 乘以 a 方加 ab 加 b 方啊，它就等于是 t 减一啊，乘以 t 方加 t 加一，后面再加上 t 减一，乘 t 加一啊，一共除以 t 的 方，嗯，好， 那么它就等于是，嗯， t 的 立方分之啊，把 t 减一提出来，它一个是 t 方加二， t 加二，然后呢？ t 的 立方分之啊啊， t 减一，乘以 t 方加二， t 加二可以配方，它可以配成是 t 加一的平方加一。由于 t 属于零到一之间，那么 t 减一是小于零的，这个是横正的，这也是正的， 那这个整体是小于零，我们就说这个 f x 啊，在零到二分之 pi 当中递减， ok 啊，好，然后我们来看，嗯，第二本啊，我们把这个 带进去啊， f x 就是， 嗯， a x 减 c x 除以 cos 平方啊， 再加 sin x， 它小于零啊。利用 g x 等于 a x 减 sin x 除以 cosine x 的 平方， 再加 c x， 我 们来看一下啊，那么由于 g 零，它就等于零，对不对？注意啊，看，这个是 g x x 属零的二分之派。 还有 g 零等于零，那你想这个函数要小零的话，那么应该是 g 的 最大值为零，所以它在零处取的最大值意味着 g。 我 们把 g 想象成一个单调函数， g x 和单独递减啊， ok 啊，它单递减，那我们来看下 g s 一 撇，那么 g x 一 撇啊， 它就等于是 a 减去 cosine x 的 平方分之 cosine x 啊，它的导数，它的导数应该是看 这一部分的导数，应该是这里啊，我们来写一下，它是 cosine x 的 立方分之二，减 cosine 平方，我们再加一个 cosine x 啊， 然后呢，注意它是小于零的啊，我们看一下 g 零一撇，那么 g 零一撇，它刚好是 a 减一加一啊， a 减一加一 小于等于零，我们等会再带上啊， a 是 小于等于零的，其实这个 a 小 于等于零就是答案。我们来看一下第一种情况，如果 a 小 于等于零时啊， 我们 g x 一 撇，它就会小于等于，把 a 等于零带到函数里头啊，看 cos 减到前头来， cos 减去 cos 立方啊， 分之谁啊？二减 cos 平方，然后呢？把这个东西通分一下，它应该是谁？大家看一下啊， cosine x 立方，然后上面是 cosine x 四次方，再加上 cosine x 平方减二，是不是我们看啊，这个可以看作因式分解二次函数嘛，啊，一得一，然后 二负一，是不是这样的话，负一加二就是一啊，所以它就可以写成，哎， cos cos 平方加二是吧，再乘以 cos 平方减一，对不对？然后分母除以 cos 立方啊， 那么由此，由于 cos 在 零到一之间，这都是正的，零到一之间的数，减一肯定是小零的啊， 看到没有？也就是说，那么当 a 小 等零的时候， g x 一 撇横小于零，那么所以看大家可以这样说， g x 在 零到二分之二上单调递减，因此 g x 小 于 g 零等于零。 那么复合题看第二种情况，如果 a 大 于零时呢？ a 如果大于零的时候，你看清楚， a 如果大于零的时候， g 零撇，它是等于嗯，等于 a 的 啊， a 是 大于零的， 那么大家想一想， g x 撇这个函数啊，它是正常的，它是连续函数， 它是正常的连续函数啊，那么一定会，一定会，怎么存在？ x 零啊，属于零到二分派这个区间， 那么使得当 x 属于零到 x 零的时候，那么 则这个 g x 一 撇是大于零的啊，也就是说 g x 在 哪里？ 在零到 x 零上时单调递增的。那由此这个 g x 大 于 g 零，而 g 零等于零， 那么 g x 大 于 g 零，那么与 t 矛盾啊，它是矛盾的， 所以这个数不符合题。因此我们本题答案是 a 小 于等于零哦，那么这个题就将就到此。

  51安鹏高中数学
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  15:47

  高考数学｜24年全国甲卷｜函数与导数。高中数学持续更新～#高考数学真题讲解 #函数极值 #导数 #数学思维提升 #数学解题思路分享

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  来看一下啊，四年全国奖券的这个考考真题，已知函数给了我们。第一问告诉了 a 等于负二，对吧？求 f x 的 极值，那我们知道，如果说求极值的话，我们求的其实就是它的单调性，对吧？ 如果说他先增再减或再减再增，那他这会是不是积大值，积小值、积大值啊，那我们只要求单调性就知道了。那求单调性，那是不是就是求导数啊？如果说他的导数 大于零，他单调递增的，那倒数小一点是单调递减的，所以说我们只需要求他这个倒数就行，但是求倒数最重要的，我们得知道他的什么定域，对吧？这个是能落下的，我们不可能求负无穷，到中无穷，你看他 它的定域是不是只对它有限制啊？绕函数它是不是大于零啊？是不是一加 x 大 于零， x 大 于负一啊？所以说这道题呢，其实我们就是求从负一到正无穷 f x 函数的单调性，也就是说 f x 的 导数是怎么样的？那我们来看一下， 你告诉我们 a 等于负二，对吧？ a 等于负二，那我们把 a 等于负二代入 f x 中， 那八也换成负二，那 f x 是 不是就等于一加二， x 乘以 one， 一 加 x 减去 x， 对 吧？这个时候呢， x 呢，是属于负一到正无穷的， 那我们说了求极值就是求单调性，求单调性呢，就是求导数，它大于零小于零，那我们对它进行求导，那 f 撇 x 呢？就等于 它乘它的导数，是不是它导乘它加上它乘它导啊？那它它导数是不是二啊？那就是二倍的浪，一加 x， 它导乘它加上它乘它的导数，那就是加上 一加二 x， 乘以它的导数是 x 加一分之一，对吧？然后再减 s， 导数是一等于 二倍的 one 一 加 x， 再加上，这是一加二 s， 这是 s 加一，我们给他通一下分，我们是不是可以写成二加上二 x 减一，是不是就是 二加二？ x 减一，是不是就是一加二 x？ 我 们为什么要这么写呢？这么写的话，它这块是不是能约掉一个 x 加一，就剩一个二了，对吧？所以说我们给它写成这种形式，再减去一，对吧，它就等于二倍的 l 一 加 x， 再加上 二减去一加 x 分 之一，再减一对吧？就等于二倍的浪，一加 x 减去一加 x 分 之一，这是二减一，变成了加一，对吧？它就 f 撇 s， 等于它了。浪的图像 是不是是这样的？经过定点一零，对吧？ log x 图像经过定点一零，他是这样的，嗯，他是不是增函数？就算 一减是 log x 的 话，就代表他是上加下减，左加右减吗？对吧？向右平移了一个单位，那他就在这，对吧？那这个函数肯定是增函数的，对吧？因为二倍的 log x 再负一到正无穷为增函数，那我们再看它呢？看它是增的还是减的呢？那我们设 y 等于 负一加 s 分 之一加一，那我们看它是增减增函数还是减函数，是不是看它的导数？那我们对它进行求导，是不是负一导数乘以一加 x， 它导乘它加，减去它乘它到比上一加 s 的 平方啊？那负一导数是零，对吧？它导乘它，那减去负一，乘以它的导数，是一，对吧？乘以负一，那就是加一呗，那它导数没？所以说它就是它的导数，就是一大于零的，所以说 y 等于负的，一加 s 分 之一加一也为增函数。那你看 f 撇 x， 它等于的是它，对吧？然后它呢是增函数，它也是增函数，所以 f f f 撇 x 也为增函数， 在负一到正无穷在定域域上为增函数。又因为 f 零 f 撇零，就是把这个这里边的 x 换成零，对吧？它正好等于二倍的楞 n 一 减一加一，楞 n 一 呢，是不是等于零？减一加一它也等于零。那我们看一下这个 f x， 他在负一到正无穷是增函数，然后 f 撇零还等于零呢，他是不是是这样的呀？因为他一直是增的吗？然后还经过原点 f 撇零等于零， 那那这是 f x 的 图像，对吧？我们求出 f x 是 负一到正无穷，是增函数，然后在这块呢又是零，所以在负一到零这个区间内， 在这块他是不是负的？所以在 x 大 于负一小于零时， f 撇 x 是 小于零的，对吧？所以 f x 倒数小于零。所以说 f x 在 负一到零上是单调递减的，因为倒数小于零吗？ 那看这面， x 大 于零时，它是不是 f p s 都是大于零的？那 s 大 于零时， f p x 它都是大于零的，所以 f x 在 零到正无穷上是单调递增的，对吧？那这是 f p s 图像，那 f x 图像呢？它在负一到零是递减的，然后再 在零到众无穷上是递增的，那它是不是在 f x 在 零上为极小取得极小值啊？所以 f x 在 x 的 零时 为极小值，也就是说 f 零，对吧？极小值是 f 零，我们给它带入 f x 中，发现 f 零就是等于零， 然后什么无极大值，对吧？因为他只有两段图像，他只有两段图像，一个是减，一个是增，所以说他只有极小值，无极大值。 那第一道题呢？我们就整完了，我们来看一下。第二问，他给了，当 s 大 于等于零时，给了 f x 大 于等于零，让我们求三数 a 的 去值范围，他给了 f x 大 于等于零，我们发现呢？ f 零呢？正好，是不是把 x 换成零， 是不是小于一减零是不是正好等于零啊？那也就是说 f x 它是大于等于 f 零的，对吧？他给了，对吗？然后我们这个时候是不是肯定得看这个 f x 的 呃，单调性啊，因为 x 大 于等于零的时候，看零到正无穷它的单调性，如果说它是 单调递增的，还是它是单调递减的，对吧？然后我们能比较出这两个函数值，那我们看一下，先求一下这个导数， 那 f、 p、 x， 它等于什么呢？就是它导乘它加上它乘以它导啊，那就是负 a， l， n， e 加 x， 再加上 它乘以它倒，它倒是一加 s 分 之一，对吧？一加 s 分 之一减 a x 减一，它等于负 a 绕 n， 一 加 x， 加上，我们给他通一下分，都变成一加 s 分 之，这是一减 a x， 对 吧？这这负一写成一加 s 分 之一加 x， 那 就是减。一减 x， 它就等于负 a 绕 n， 一 加 x， 减去一加 x 分 之 a 加一乘一 x， 那 我们看它是大于零还是小于零，它是一还是我们没法判断，对吧？所以说我们对它进行二次求导，那二次求导，我们设 g x， 它等于 f p x 等于负 a 绕 x， 加一减去一加 s 分 之 a 加一倍到 x， 那 我们对它二次求导，那就是这片 x 就等于还是它倒乘，它等于零，对吧？加上它乘以它倒，那就是 x 加一分之负尾减去它，是它倒乘，它减去它乘，它倒比上一加 s 的 平方，对吧？那它就是它倒。 a 加一，乘以 a 加 s， 它倒乘它减去 它乘以一加 s， 倒数还是一，对吧？比上一加 x 的 平方，那这是一个 a 加一加上 x 倍的 a 加一，和它约掉了，对吧？那它就等于负 a 被 b 四加一，减去 一加 s 的 平方分之 a 加一，因为这是这个 s 倍的 a 加一，和它约掉了， 那给他通一下分，他等于负的一加 x 的 平方分之 ax 加二加一，这就是给他通一下分，把它换成 s 加一分之负 a 倍的 s 加一啊，这就省略了。你能求出它， 那我们六 ax 加二加一等于零，那我们得到 x， a x 就 等于负二， a 减一，对吧？ x 呢，就等于负二减去 a 分 之一 等于零，那这个时候呢？我们能求出 a 等于负二分之一，对吧？ a 等于负二分之一时，它等于零，那我们分段讨论一下，当 a 小 于等于负二分之一时， 那它是不是就是大于零了？所以说这个时候 g p x 大 于零，所以 g x 在 零到正无穷上是单调递增的，对吧？因为它是单调递增函数嘛。所以说 g x 肯定大于 g 零， g 零呢，就等于什么？把这个 x 换成零等于零， 那 g x 大 于零， g x 就是 fpx， 对 吧？所以 fpx 呢？大于零，所以 f x 在 零到正无穷上是单调递增的， 那 f x 在 零到正无穷单调递增，所以说 f x 呢，一定是大于 f 零的， f x 大 于等于 f 零， g f 零呢，就等于零， 所以说当 a 等于小于等于负二分之一，是满足题，对吧？那我们在讨论，当 a 大 于负二分之一小于零时，那这个时候呢？ x 呢？是大于零小于负 a 分 之二加一的，这个时候呢？ g x 是 小于零的，它小于零。那 g x 呢？ 它是在零到负 a 分 之二加一的时候，它小于零吗？所以，所以说它是单调递减的，对吧？ 那 g x 在 它上呢，是单调递减的，所以说 g x 呢，肯定小于 g 零， g 零呢，等于零，那 g x 在 这个范围内呢，是小于零的，所以 f g x 就是 fps， 对 吧？ 那 f 撇 x 呢？在零到负尾分之二加一上 也小于零，所以 f x 在 零负尾分之二加一上，是不是单调递减的？那 f x 在 它上单调递减，那是不是 f x 就 小于 f 零？ f 零是不是等于零？那 f x 这个时候 就是在 a 取这个范围的时候， f x 是 小于零的，那题干是要求 f x 大 于等于零，对吧？所以说它是不合提义的，那它就舍掉了，对吧？所以那也就是说 a 在 取这个值的范围的时候，它是不满足的。那我们再看 a 小 于等于负二分之一， 这是负二分之一，这是零。 a 小 于等于负二分之一这段的时候，我们满足 f x 大 于等于 f 零了，在负二分之一到零这个期间呢，他不满，他不满足。那我们看大于零的时候呢？那当 a 大 于零时，那这撇 x a 大 于零，这都是大于。大于零数，它也大于零数，它就有符号，这撇 x 是 不是小于零啊？它小于零，再零到中无穷上横乘以，那这撇 x 小 于零，这撇 x 是 不是？所以 g x 在零到正无穷上是不是单调递减的？单调递减的，那 g x 是 不是小于 g 零等于零，对吧？那 g x 呢？也小于零， g x 呢，就是 f x， 所以 说 f x 小 于零，那 f x 小 于零，那 f x 呢？ 在零到正无穷上是不是也是单调递减的？那同理，它也单调递减，所以说 f x 肯定小于 f s 就 肯定小于 f 零， f 零就等于零。那看，当 a 大 于零时呢？ f x 是 小于零的，所以说它也是不合提议的。 所以综上所述，当 x 大 于等于零时， f x 大 于等于零，使 a 的 取值范围就它满足，对吧？ 它就是 a 小 于等于负二分之一。嗯，这道题呢，我们是就是对它进行二次求导，我们把 f p s 求出来，设 g s 等于 f p x， 那 g p s 就 相当于 f p p x 二次求导。 然后我们看他是单调递增的还是递减的，因为他是递增的，所以说 g x 那 肯定是大于零，因为在零到正无穷上，他一直是增的。那 x 随便一个值是不是都比这个这这个值大呀？所以说 g x 大 于 g 零， 这零呢，正好等于零，所以说 g x 呢，就大于零， g x 呢，就是 f p s 大 于零，那导数大于零， f x 是 单调递增的，然后又用到这个 f x 单调递增的，它是递增的，所以它任何一个数都比这个 呃零大，所以说 f x 大 于零这块呢，也都是同理。然后我们发现只有它是满足的。这道题全按。

  902小冰高中数学
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  04:31

  高考数学｜21年全国甲卷｜导数 基础题型#高中数学题 #高中数学解题技巧 #备考数学

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  我们看一下这个二一年全国甲卷的高考正题，是函数 f x 给了我们，其中 a 呢大于零，让我们讨论它的单调性，单调性呢，也就是看导数呗，对吧？导数大于零，单调递增。 导数呢，小于零呢，是单调递减的，所以说我们来看一下，让我们对它进行求导呗。因为 f p x 呢，它就等于二， a 方 x 再加上 a 减去 绕 s 倒数 s 分 之一对八，那乘以三减去 s 分 之三，长向导数是零，他的定域域呢？绕 s 有 定域，对吧？是 x 大 于零，是 x 大 于零，所以说我们给他整理一下，他就等于 给他通一下分呢？他是 s 分 之二， a 方 x 方加上 a x 减去三，那我们再给他通一下分，他就等于 x 分 之，我们给他因式分解一下，他变成了二 a x 加三， 乘以一个 a x 减一，因为这样的话，因式分解之后，我们容易判断它的正负号，看它的，看它是大于零的还是小于零的，对吧？因为题干给了我们呢， a 是 大于零的，定域呢？ x 呢，也是大于零的，那所以 二 a x 是 不是也是大于零的？那 x 大 于零二， a x 大 于零加三呢，它也是大于零的，所以说我们就讨论 a x 减一的时候，对吧？那我们令 f p x 小 于零， 他俩都是大于零，如果我们想让这个导数小于零，那就让 a x 减一，就是小于零，对吧？所以说呢， x 呢，就是大于零， 小于 a 分 之一的，那我们再令 f p x 是 大于零的呢？他们都大于零，那就让 a x 减一呢，他是大于零的，那 x 呢，就是大于 a 分 之一的，对吧？所以说 f x， 那 它的单调递增递减我们是不知道，所以说 f x 的 单调 递减区间，那是不是就是 f 小 于零的时候，对吧？是零到 a 分 之一，那它的单调递增区间呢？就是 a 分 之一到上正无穷，对吧？ 那第一问呢？我们就求完了，我们看一下第二问。第二问，他说 y 等于 f x 的 图像与 x 轴没有公共点，那没有公共点，说明这个图像它都在 x 轴的上方，对吧？ 或者是在 x 轴的下方，所以说与 x 轴没有公共点，那我们怎么知道它是在上方就下方呢？那我们可以随便带入一个点，我们可以带一下最好算的，比如说 f 一 f 一 呢，它等于 a 方加 a 加一，这个带入 几都可以，但是因为 f 一 是最好算的，所以说我们代入它 f 一 呢，它等于 a 方加 a 加一。题干给了我们 a 大 于零，所以说它呢？ f 一 是大于零的，那他说了，因为 y 等于 f x， 它的图像与 x 轴 无公共点，对吧？我们说了无公共点，它就在上方或者是在下方，那都有一个数，它的值是大于零的，所以说这个图像肯定是在上方的，不可能在下方了，对吧？所以 y 等于 f x 的 图像，它就是在 x 轴的上方， 那如果说这个图像随便，但这最小值它都是大于零的，那是不是就可以了，对吧？ 所以说我们可以求一下最小值，求下最小值呢？我们还是利用它的导数，对吧？看它的极小值，那第一问呢，我们它的单调递增，递减去减，我们也知道了，先减再增，再分之一的时候取得极小值，对吧？所以说由一值 f x， 它的最小值，那也就是 f a 分 之一的时候取得最小值，对吧？那我们 f a 分 之一给它带入，那它就等于给它带入 a 分 之一和 a 方圆圆了，它等于一，对吧？ 一加上一减去三倍的绕 a 分 之一，再加上一，那他就等于三减三倍的绕 a 分 之一。绕 a 分 之一是不是等于绕 a 的 负一次幂啊？那负一给他提到前面就等于负的绕 a， 对 吧？那他就等于三加上三倍的绕 a， 那他的最小值我们知道说知道了，让他的他在图像在 s 轴上方，那我们让他的最小值都大于零，对吧？所以三加三倍的浪 a， 他 是大于零的，所以呢？ a 就 大于一分之一，这块是一分之一，不是 a 分 之一。 a 的 取值范围我们就求完了。

  551小冰高中数学
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  08:31

  高考数学导数压轴：幂指函数同构变形技巧 我是杨老师。今天为大家讲解一道改编自全国甲卷的数学导数压轴题，重点考查幂指函数和交点个数问题。遇到底数和指数都有变量的方程，千万不要直接硬求导！正确的解题思路是：两边取自然对数，将幂指函数降维，然后分离变量构造新函数，最后通过画出函数草图寻找交点。视频最后还留了一道同类思考题，欢迎同学们在评论区留下你的答案！
  #高考数学#导数压轴题#幂指函数#同构变形#分离变量

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  如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是改编自二零二一年全国甲卷理科第二十一题的导数压轴题。 很多同学看到秘制函数就头疼，想冲刺一百三十分以上这题咱们最好十分钟内拿下。这题真正值钱的地方，不是让你去硬算导数，而是要学会取对数，分离变量。咱们先来看看题目， 已知 a 大 于零，函数 f x 等于 x 的 a 次方。函数 g x 等于 a 的 x 次方，其中 x 大 于零。第一问，当 a 等于 e 的 时候，求曲线 y 等于 f， x 与 y 等于 g， x 的 公共点。第二问，讨论方程 x 的 a 次方等于 a 的 x 次方的正实根个数。 拿到这种秘制函数焦点问题，咱们先别急着求倒，先对原方程变形，再用构造函数法找焦点。咱们先来看第一问，题目说当 a 等于 e 的 时候，要求两条曲线的公共点，也就是要求解方程 x 的 e 次方，等于 e 的 x 次方。 很多同学在这里会犯错，盯着这个方程发呆，不知道怎么解，直接求导肯定非常麻烦。这里有个非常重要的技巧，遇到这种底数和指数都有变量的方程，咱们一定要两边同时取自然对数，也就是取以易为底的对数。 接下来咱们具体来操作一下，把 x 的 e 次方等于 e 的 x 次方，两边同时取以 e 为底的对数，左边就变成了以 e 为底 x 的 e 次方的对数。根据对数的运算性质，指数 e 可以 提到对数的前面，这就变成了 e 乘以 e 为底 x 的 对数， 右边是以 e 为底 e 的 x。 次方的对数。同样把指数 x 提出来，就变成了 x 乘以以 e 为底 e 的 对数。因为以 e 为底， e 的 对数等于一，所以右边就只剩下 x 了。那现在方程就变成了 e 乘以以 e 为底 x 的 对数等于 x。 接下来我们要做什么呢？我们要把含有 x 的 项放在一起，把常数项放在一起。咱们把方程两边同时除以 x， 再同时除以 e， 左边就变成了分子，是以 e 为底 x 的 对数。分母是 x， 也就是 x 分 之以 e 为底 x 的 对数，右边就变成了 e 分 之一。 你看，这样变形之后，方程左边是一个只和 x 有 关的函数，右边是一个常数。这步很关键，我们把复杂的方程变成了一个函数和一个常数的交点问题。 那我们接下来就构造一个新函数，咱们叫它 h x， 令 h x 等于 x 分 之以 e 为底 x 的 对数。我们只要研究这个 h x 的 图像和性质就可以了。怎么研究呢？当然是用导数这个工具。咱们对 h x 求导， 这是一个分数求导，分子除以分母的导数。怎么求？口诀是，子上倒，下不倒，减去上不倒下倒，最后除以分母的平方。 咱们一步步来先算分子的导数，以 e 为底 x 的 对数求导等于 x 分 之一，然后乘以分母 x， 结果就是一减去分子保留，也就是以 e 为底 x 的 对数乘以分母 x 的 导数， x 的 导数是一，所以分子整理完，就是一减去以 e 为底 x 的 对数， 分母就是原来分母 x 的 平方。所以 h x 的 导数就等于分子是 e， 减去以 e 为底， x 的 对数。分母是 x 的 平方，求出导数之后，咱们要判断它的正负，因为分母 x 的 平方永远是大于零的，所以导数的正负完全由分子决定。 咱们令导数等于零，也就是一减去以 e 为底， x 的 对数等于零。把对数移向到等式右边，得到以 e 为底， x 的 对数等于一解出来， x 等于 e， 那 当 x 在 零到 e 之间的时候，以 e 为底， x 的 对数是小于一的，所以分子大于零，导数大于零，这个时候 h x 是 单调递增的。 当 x 大 于 e 的 时候，以 e 为底， x 的 对数大于 e， 分 子小于零，倒数小于零，这个时候 h x 是 单调递减的，这就说明了什么。说明 h x 在 x 等于 e 的 时候取得最大值， 咱们把 x 等于 e 带入 h x， 算一下，最大值就等于 e 分 之以 e 为底， e 的 对数。因为 e 为底， e 的 对数是一，所以最大值就是一分之一。而我们要求解的方程就是 h x 等于一分之一。 既然 h x 的 最大值就是一分之一，而且只有在 x 等于 e 的 时候才能取到，这就说明方程有且只有一个解，那就是 x 等于 e。 找到了 x， 咱们还要找 y， 把 x 等于 e 带入原来的函数 f x， y 就 等于 e 的 e 次方。所以第一问的结论就出来了，这两条曲线有且只有一个公共点，坐标是，左括号， e 逗号， e 的 e 次方，右括号。 接下来咱们看第二问讨论方程， x 的 a 次方等于 a 的 x 次方的正实根个数。有了第一问的经验，咱们照葫芦画瓢，这题不是让你硬算，而是要利用第一问构造的函数。咱们先把方程 x 的 a 次方等于 a 的 x 次方两边同时取以 e 为底的对数， 左边变成 a 乘以以 e 为底 x 的 对数，右边变成 x 乘以以 e 为底 a 的 对数。接下来咱们要做什么？为什么 我们要把变量 x 和参数 a 彻底分开，这样才能利用已知函数。咱们把方程两边同时除以 x， 再同时除以 a， 方程左边就变成了 x， 分 之以 e 为底， x 的 对数，右边变成了 a 分 之以 e 为底 a 的 对数， 大家看出来了吗？等式左边就是我们第一问构造的函数 h x。 等式右边是一个常数，咱们仔细看这个常数，它其实就是把函数 h x 里的 x 换成了 a， 也就是 h a。 所以圆方程正十根的个数就等于函数 y 等于 h， x 的 图像与水平直线 y 等于 h a 的 交点个数。这个转化太重要了，咱们在第一问已经把 h x 的 脾气摸透了，它在零到 e 上递增，在 e 到正无穷上递减，在 x 等于 e 处取得最大值一分之一。 为了把焦点个数看得更清楚，咱们还需要补充两个极限情况，当 x 趋近于零的时候，以 e 为底， x 的 对数趋近于负无穷，分母趋近于零，所以整个函数值趋近于负无穷。当 x 趋近于正无穷的时候，对数函数的增长速度远远慢于一次函数，所以整个函数值趋近于零。 画在脑海里，这就是一座山峰，最高点在 x 等于 e， 这里高度是一分之一，左边是缓慢下降，无限贴近 x 轴，也就是 y 等于零这条水平线。 现在咱们就要拿水平直线 y 等于 h a 去切这座山峰了，这里到底是切出一个焦点还是两个焦点呢？咱们得根据 a 的 曲值来分类讨论。咱们先看第一种情况，如果直线在 x 轴的下方，或者正好在 x 轴上，也就是 h a 小 于零， 因为题目说 a 是 大于零的，要让 a 分 之，以 e 为底， a 的 对数小于等于零，也就是以 e 为底， a 的 对数小于等于零，解出来就是零小于 a 小 于等于一。 在这个范围内，水平直线在 x 轴下方或重合，而我们的山峰 h x 只有在零到一这一段是小于等于零的，并且是单调递增的。 所以直线和函数图像只有一个焦点，也就是说，当零小于 a 小 于等于一的时候，方程只有一个正实根，其实这个根就是 x 等于 a。 接下来看第二种情况，直线在 x 轴上方，也就是 h a 大 于零，这要求 a 大 于一。 当直线在 x 轴上方时，它会切到山峰的两个坡吗？咱们得看它的高度有没有达到山顶，如果它正好切在山顶，也就是 h， a 等于最大值一分之一，什么时候取得最大值？我们算过，当 a 等于 e 的 时候，这个时候水平直线正好和山顶相切，只有一个交点，也就是 x 等于 e。 所以当 a 等于一时，方程也只有一个正实根。那最后一种情况，如果直线在 x 轴上方，但又没到山顶呢？也就是零小于 h， a 小 于一分之一，这对应的是什么范围？除了 a 等于 e 之外的所有大于一的 a。 也就是说，当 a 大 于一且 a 不 等于 e 的 时候，这个时候水平直线从中间穿过山峰，因为左边坡度是从零上升到一分之一，右边坡度是从一分之一下降到零，直线一定会和左边的坡有一个焦点，和右边的坡也有一个焦点，所以这个时候直线和函数图像有两个焦点，方程就有两个正实根。 这里大家一定要注意，其中一个根肯定是 x 等于 a， 另一个根在 e 的 另一侧。到这里，所有的分类讨论就完成了， 咱们来做个最终的答案汇总。当零小于 a 小 于等于一或者 a 等于 e 的 时候，方程只有一个正实根，当 a 大 于一且 a 不 等于 e 的 时候，方程有两个正实根。 这道题真正要防的是直接对着圆方程死磕，遇到密值函数相等方法口诀大家记好，两边取对数，变量要分离，构造新函数，数形结合找焦点， 只要把未知数和参数分到等号两边，画出函数图像，用水平直线去扫交点个数就一目了然了。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x， 分 之以 e 为底 x 的 对数。若方程 f x 等于常数 k， 有 两个不同的正实数根，求实数 k 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！

  96杨老师高考数学秒杀技巧
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  04:46

  2024甲卷压轴 导数隐零点学了，端点效应你会吗？不会赶紧来学#2024甲卷导数压轴#端点效应 #邵哥带你学数学 #潜力出圈

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  那么结合渭南市二模考到引零点之后一片哀嚎，那么今天的话，少哥给大家去讲我们导数里面非常经典的第二类思想，叫做端点效应，那么我们用到的例题是二零二四年全国甲卷的导数压轴题， 好，那么这一类题我觉得如果引零点你都在学，那么端点效应一定也要学会， ok， 那 我们直接来看一下这道题目，首先他说已知函数 f x 等于这一坨，若 a 等于负二， f x 的 极值，好，那么首先的话 a 等于负二，我们先把这个函数给它换进去，变成一加二 x 乘以任意括号一加 x 减 x。 好，那么研究函数的单调性或者极值，我们肯定是要先搞定域，那定域就是负一到正无穷。好，接下来我们开始求导，那么前导后不导，二乘以任意符号一加 x， 加上后导前不导，也就是 x 加一分之一加二 x， 然后减一。 好，遇到这样的导函数，我们先不要着急啊，先化解一下，加一分之二 x 加一减 x 减一好，整理一下，上面就变成 x， 好， 这个时候我们发现导函数单调性是不是还是研究不出来？哎，我们继续给他配凑化简。 好，然后我们再整理，就变成二倍的令括号一加 x 加上一减去 x 加一分之一，好，这下啊，我们感觉就比较爽了，因为你会发现这一坨是递增的，那么这一整坨 是不是也是递增的，所以增加，增加长数就是增，所以我们发现导函数竟然是一个单调的函数，那就非常开心，导函数竟然是一个单调函数，我们画这样的个草图，那么定域从负一开始， 我们开始是不是搞零点，那零点这种情况就给他试谁呢？是不是让 x 等于零？你会发现让 x 等于零了之后，哎，这个式子整体刚好等于零。 ok， 零点是出来，那意味着我们的单调性， x 在 负一到零的时候， f x 撇小于零，那么 f x 是不低减的，那么 x 在 零到正无穷的时候， f x 撇是大于零，那么 f x 是 不低增的，那么先减后增，我们就会有极差值呢？先减后增是不是有极小值？所以我们此时是不是只有极小值，有没有极大值呢？是没有极大值啊，所以我们说 x 等于零，是 f x 存在唯一极小值。好，那么它极小值也就是 f 零等于多少呢？我们往这个式子里面扔一下啊， 就零啊，对，我们直接写，那 f 零是不是就刚好等于零？ ok， 那 么第一小问，我们就干完了。好，那么接下来我们的重点啊，就来看一下。第二小问，那么第二小问，他告诉你，当 x 大 于等于零时， f x 大 于零。那咱很多同学一想到 f x 大 于零，哎，我直接 大于零，然后参面分离，哦，然后各种求导，各种分析啊，能不能干出来呢？可以，但是非常的难。但是如果说我们换一个词，那么 x 大 于等于零，也就是 x 向右走的时候， f x 大 于等于零，那你想一下，我们要保证这个 f x 必须是单调递差的，是不是必须是递增的， 因为你的临界值是不是在这呢？如果递减的话，就会出现它的值会小于零，因为我们前面不是，我们可以试一下这个断点啊，你会发现，当 f 零 他带进去了之后，他刚好这个式子是不等于零，那意味着这其实就是 f x 的 一个端点，也就是 x 等于零的数，那 f x 这个数我们是要保证人家单调递增的， ok， 所以 f x 单调递增，那意味着我们的导函数 是不是大于零？那导函数大于零，那意味着 f 零撇，他是不是也要大于零？给他求个导，哎，他就变成前导，也就是负 a 乘以棱块一加 x 加上后导，前导也就是 x 加一分之一减 a x， 哎，然后减一， 我们给他带一下，那么 f 零一撇，哎，带进去之后，我们发现，哎，又等于零，那这咋搞啊？好，那 f 零一撇如果大于等于等于零的话，那我们按照刚才那个思想，咱继续给他求导， 那意味着我们是不是要让 f x 两撇，他要大于等于零，那 f x 两撇大于零，那意味着 f x f 零两撇， 那意味着 f 零两撇是不是要大于等于零？好，那继续给它求个等，那 f x 两撇，它等于啥呢？它说等于负的 x 加一分之 a 加上后面这坨分母平方，就是 x 加一的平方，上到负 a 乘以 x 加一减，下到上不倒啊，也就是减一加 a x， 好，后面负一求导就是零。我们稍微整理一下 x 加一的平方分之负 a 减一。好，那我们来看一下 f 零两撇 a， 它等于啥呢？是不是等于负 a 减 a 减一，要求它大于等于零，所以我们此时解出来 a 是 不是小于等于负的二分之一，那遇到 a 的 范围，我们就解完了。 nice。

  198邵哥带你学数学
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  09:37

  2023全国甲卷导数压轴：端点效应秒杀 这道2023年全国甲卷理科导数压轴大题，如果一上来就硬求导很容易掉进陷阱！本期视频杨老师带你稳扎稳打，先用商的求导法则拿下第一问，再用“端点效应”秒杀第二问的参数范围，并教你如何做放缩验证。视频最后还有一道同类思考题，欢迎在评论区留下你的答案！需要免费数学摸底和提分规划的同学，请进群获取。
  #高考数学#导数压轴题#端点效应#2023全国甲卷

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  如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学模底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是二零二三年全国甲卷理科数学的第二十一题，一道非常经典的导数三角形压轴大题。想在导数大题上拿满分，这道题的第一问必须三分钟内拿下，第二问也要能快速找到突破口。 这题最容易踩的坑就是第二问，一上来就盲目求导，陷入死算。它真正考的是端点效应思维。咱们先来读题，已知函数 f x 等于 ax， 减去分子是 sine x， 分 母是 cosine x 的 三次方， x 属于区间零到二分之派。 第一问，当 a 等于八时，讨论 f x 的 单调性。第二问，如果 f x 小 于 sine 二 x 横成，力求 a 的 取之范围。咱们先通过第一问熟悉一下这个三角函数的求导法则，再用端点效应去突破第二问的参数范围。 好，咱们先看第一问，当 a 等于八十，把 a 带进去，函数 f x 就 变成了八 x， 减去分子式 sine x， 分 母式 cosine x 的 三次方。 讨论单调性，咱们第一步该干什么？没错，肯定是求导。这里有个非常重要的技巧，就是分式求导法则。很多同学在这里会犯错，符号容易搞混，咱们慢慢来。 f x 的 导数 b 向八 x 求导，就是八减号。照写，后面的分式求导分母要变成原来的平方，也就是 cosine x 的 六次方。 分子部分怎么算？咱们用口诀，子上导，下不导，减去子上不导，下导分子三 x。 求导是 cosine x 乘上分母 cosine x 的 三次方，这就得到了 cosine x 的 四次方。 减去分子三 x 不 动，乘上分母的导数。分母 cos 三 x 的 三次方。求导是多少？先按外层复合函数求导，变成三倍的 cos 小 于 x 的 平方，再乘上内层 cos 小 于 x 的 导数，也就是负的三 x， 所以 分母的导数是负的三倍 cos 乘 cos 小 于 x 的 平方。 把这两部分拼起来，减去一个负的，就变成了加上三倍的三 x 的 平方，乘 cosine x 的 平方。咱们把分子提取一个共音式 cosine x 的 平方，括号里就剩下 cosine x 的 平方加上三倍的三 x 的 平方。 注意这里 cos x 的 平方加上三 x 的 平方等于一，所以括号里可以写成一加上两倍的三 x 的 平方。分子分母同时约掉一个 cos x 的 平方，最后咱们得到的导数就是八，减去分子是一加上两倍的三 x 的 平方，分母是 cos x 的 四次方。接下来我们要找导数等于零的点， 令导数等于零，也就是让后面那个分式等于八。咱们把分母乘过去，得到八倍的 cosine x 的 四次方等于一加上两倍的三 x 的 平方。咱们把所有的三都换成 cosine 三 x 的 平方等于一减去 cosine x 的 平方。带进去，右边就变成了一加上二减去两倍的 cosine x 的 平方，也就是三减去两倍的 cosine x 的 平方。 咱们把右边的项全部移到左边，得到八倍的 q 三 x 的 四次方，加上两倍的 q 三 x 的 平方。减一整要括号两倍的 q 三 x 的 平方减一乘上括号四倍的 q 三 x 的 平方加三等于零。 因为 cos x 的 平方肯定是大于等于零的，所以四倍的 cos x 的 平方加三永远大于零，那只能是前面那个括号等于零，也就是两倍的 cos x 的 平方减一等于零，算出来 cos x 的 平方等于二分之一。因为题目给的区间是零到二分之派，在这个区间里， cos x 是 正的，所以 cos x 等于二分之根号二， 对应的角度 x 就是 四分之派。找到了关键点，咱们就可以划分区间了。当 x 在 零到四分之派之间时， cosine x 大 于二分之根号二，所以 cosine x 的 平方大于二分之一，这时候导数是大于零的，函数单调递增。 当 x 在 四分之派到二分之派之间时， cos 小 于二分之根号二。 cos 小 于 x 的 平方小于二分之一，这时候导数小于零，函数单调递减。所以第一问的结果就是函数在零到四分之派上单调递增，在四分之派到二分之派上单调递减。 接下来咱们看第二问，题目要求 f x 小 于三，二 x 横乘立求 a 的 取值范围。咱们先把 f x 的 表达式带进去，变成 a x， 减去分母是 cosine x 的 三次方，分子是 cosine x 小 于三二 x， 这里的三二 x 咱们可以用二倍角公式展开，变成两倍的三 x 乘 q 三 x。 遇到这种参数不等式，咱们最常用的思路就是分离参数。咱们把带 a 的 项留在左边，其他的移到右边，得到 a x。 小 于两倍的三 x 乘 q 三 x， 加上分母是 q， 三 x 的 三次方分子是三 x。 为了方便观察，咱们把右边提取一个共因式三 x， 括号里就是两倍的 q 三 x 加上 q 三 x 的 三次方分之一， 咱们通分一下，括号里就变成了分母是 q 三 x 的 三次方，分子是两倍的 q 三 x 的 四次方加一，所以不等式右边变成了一个新函数，咱们叫它 g x g x 等于分子是三 x 乘上括号一加两倍的 q 三 x 的 四次方，分母是 q 三 x 的 三次方。 现在题目变成了 a x 小 于 g x 横乘立。因为 x 属于零到二分之派， x 是 大于零的，所以咱们可以直接把 x 除过去，得到 a 小 于 x 分 之 g x 横乘立。 这里到底是在找上界还是找下界，显然是要求 a 的 最大可能值。咱们不要急着对 x 分 之 g x 求导，那个计算量太大了，咱们先看看当 x 趋近于零的时候，这个函数的值是多少，这就是非常经典的端点效应。 当 x 趋近于零时， cosine x 趋近于一，所以分子里的括号一加两倍的 cosine x 的 四次方趋近于三，分母 cosine x 的 三次方趋近于一。而外面的 x 分 之三 x， 根据重要极限，它趋近于一，所以整个式子在 x 趋近于零时的极限就是一乘三除以一等于三。 这就暗示我们 a 的 取值范围大概率是小于等于三。有了这个目标，咱们接下来的任务就是证明当 a 小 于等于三时，不等式确实成立，并且排除 a 大 于三的情况。咱们先看 a 小 于等于三的情况，咱们只需要证明当 a 等于三时，三 x 小 于 g x 就 可以了。 咱们构造一个新函数，大 f x 等于 g x 减去三 x， 咱们要证明它大于零。咱们对大 f x 求导 g x 的 导数化简后式，分子是一，加上两倍的三 x 的 平方，分母是 cosine x 的 四次方，再加上两倍的 cosine 二 x， 然后减去 cosine 的 导数，也就是减去三。 咱们把所有的三角函数都化成 cosine x， cosine x 的 平方， cosine 二 x 换成两倍的 cosine x 的 平方减一。 为了看着方便，咱们设 t 等于 q 三 x 的 平方，因为 x 在 零到二分之派，所以 t 在 零到一之间代入化简后，导数大 f 撇 x 就 变成了一个关于 t 的 式子。咱们通分整理得到，分母是 t 的 平方，分子是四倍的 t 的 三次方，减去五倍的 t 的 平方，减去两倍的 t 加上三。 你看这个分子，当 t 等于一的时候，四减五减二加三，正好等于零。所以咱们可以提取一个因式， t 减一。因式分解后，分子变成了 t 减一的平方，乘上括号四 t 加三。 因为 t 在 零到一之间，所以 t 减一的平方大于零，而且四 t 加三也肯定是大于零的。这就说明啊，咱们求出来的这个导数，大 f 撇 x 在 零到二分之派这个区间上是永远大于零的。 导数大于零意味着什么？意味着咱们构造的这个大 f x 是 一个单调递增的函数，你看，当 x 趋近于零的时候，大 f x 的 极限就是既零减去零，也就是零。 既然函数单调递增，起点又是零，那对于区间里任何一个大于零的 x， 大 f x 肯定都大于零。也就是说， g x 减去三 x 大 于零，三 x 永远小于 g x。 这也就证明了，当 a 等于三的时候，不等式是完美成立的。 那如果 a 比三小呢？因为 x 是 正数， ax 肯定小于等于三 x， 而三 x 又小于 g x， 所以 a 小 于等于三的时候，不等式全都成立。那接下来咱们还要做一件事，就是证明 a 不 能大于三。 很多同学写到这里就直接下结论了，这在高考里是要扣步骤分的，咱们必须严谨的排除掉 a 大 于三的情况。怎么排？还是利用导数，咱们对它求导，小 h x 等于 g， p x 减去 a。 刚才咱们算过，当 x 趋近于零的时候， g 撇是趋近于三的，那如果 a 大 于三，三减去 a 就是 一个负数。也就是说，当 x 非常非常靠近零的时候，小 h 撇 x 的 值是小于零的。 倒数小于零，说明在这个非常小的区间里，函数小 h x 是 单调递减的，它的起点小 h 零是零往下递减，那就变成负数了呀。 这就意味着，在这个小区间里， g x 减去 a x 会小于零，也就是 a x 会大于 g x。 这根题目要求的 a x 小 于 g x， 横乘力直接冲突了，所以 a 绝对不能大于三。两边一夹，咱们就得出了最终结论， a 的 取值范围就是负无穷到三，包括三。 咱们来总结一下这道题的最终答案是，第一问，函数在零到四分之派上单调递减。第二问， a 的 取值范围是负无穷到三，包含三。 这题真正值钱的地方不是算的多，而是先用端点效应找到临界值三，然后再去验证和排除。下次再遇到这种恒成力求参数范围的题，记住一个标准，先看端点极限所目标，再用单调性做验证。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题。刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 a x 减去分子是三 x， 分 母是 x， 当 x 属于零到二分之派时， f x 小 于 cosine x 横成，力求 a 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。

  61杨老师数学精讲
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  10:36

  高考数学｜24年全国甲卷｜导数大题。#函数单调性分析 #数学思维培养 #高考备考日常 #高中数学解题技巧 #高考数学真题讲解

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  今天我们来看一下这个二四年全国驾照的高考真题，给了一个函数 f x， 让我们求它的单调区间，那求一个函数的单调区间，我们只需要看它的导数的情况，导数大于零呢？这个函数是单调递增的， 那导数小于零呢？这个函数是单调递减的，所以说我们看一下它导数的，嗯， 与零的大小关系。那我们先求一下它的导数等于啥？它的是不是等于 a s 减 a 减绕 s 加一啊？就去一个括号，那它的导数 ax 的 导数是不是就是 a 呀？减去常数项， 它的导数是零，对吧？那绕 s 导数是 s 分 之一，那我们给它约下分，就是 s 分 之 ax 减一， 对吧？这个时候呢， s 是 属于零到正无穷的，因为绕 x 吗？让它存在的前提条件，它肯定是零到正无穷的。嗯，因为 s 属于零到正无穷，那它的分母 s 肯定大于零，我们只需要看 ax 减一 的范围就行，因为 a 是 一个参数嘛。所以说我们得讨论看 a 大 于零和小于零时的情况。那当 a 小 于等于零时呢？把 f p x x 是 正数，对吧？ a 小 于 a 是 负数，一个负数乘以一个正数，它也是一个负数，负数减去一个负数，但它肯定是小于零的，对吧？那所以 f x 是 小于零的，所以 f x 在 零到正无穷上肯定是单调递减的，对吧？ 那我们看一下第二种情况，那当 a 大 于零时， a 大 于零时，我们想要 f p x 大 于零的话，那么是不是就让 a x 减一大于零啊？那 a x 大 于一，对吧？ x 就 大于 a 分 之一，那 s 大 于 a 分 之一的时候， f p f p x 是 大于零的，那让 fa 大 于零，是 f p s 小 于零呢？是不是 ax 减一得小于零，它这个导数才能小于零啊？那 ax 就 小于一，那 x 就 小于 a 分 之一，对吧？ 那 x 等于还是零到中无穷的，所以说 x 得大于零，小于 a 分 之一，那它的导数才能小于零，对吧？所以说 a a 大 于零时， 克斯属于零，到 a 分 之一时， f x 才能小于零。那 f x 是 单调递减的，对吧？ x 属于 a 分 之一到正无穷时，这呢吗？ s 大 于分之一， f p x 才能大于零， f x 呢？是单调递增的， 所以综上所述，我给它总结一下就可以了，对吧？ 当 a 小 于等于零时， f x 的 让，因为它让求单调区间嘛？它的单调递减区间 是不是零到正无穷啊？是这个，对吧？那当 a 大 于零时，这块 f x 的 单调递减区间 是不是就是零 a 分 之一啊？ 然后单调递增区间字太多了，老是省略了，就是 a 分 之一到中午秋。那第一本呢？我们就看一下第二本。 说 a 小 于等于二，是证明 s 大 于一， f s 小 于它横成力，那证明它横成力的时候，我们是不是证明 e 的 s 减一减去 f x 让它大于零横成力，那它是不是就大于它呀？那它大于零 同乘以，那我们看一下，当 a 小 于等于二七， x 大 于一时，那 e x 减一减去 f x， 我 们给它代入，是不是 e 的 x 减一减去 a 被 x 减一，加上绕 x 减一，它是不是因为 a 小 于等于二吗？那 a 的 最大值是二，对吧？那减去一个最大值，那它肯定是不是大于等于等 a 等于二的时候啊， 这个 a 它是小于等于二的，然后这块呢，就相当于 a 等于二，对吧？ 那 a 是 一个小于二的数，那减去一个小于二的数和减去一个二的数，那肯定是不是减去一个小于二的数大呀？ 比如说 a 等于一，那他减，就假如说这是减一，那这是一个式子， x 减一，这是一 s 减二，那谁大？是不是 s 减一大呀？所以这块是大于等于，那我们只需要证， 那他我们已经知道了， a 小 于等于二，是他大于等于他，那我们要证明他大于零乘以，那我们只需要证明他大于零就可以了，对吧？那我们得对他进行求导。那我们利用 g x 等于 e 的 s 减一，减去二， x 加一，加上绕 x， 这个时候呢， x 呢，是属于一到正无穷的，因为 e 的 x 减一嘛， x 减一肯定大于零的， 那我们对它进行求导。 gps 是 不是等于一的 s 减一，减去二，加上 x 分 之一啊？ 那我们看它大于零小于零，我们是不是得看它这是单调递增的还是递减的？那它对它求导吧，还是一个函数，那我们是不是得它对行二次求导啊？那这撇 p x 是不是就等于 e 的 x 减一，减去 x 方分之一啊？就是它的导数是 s 方分之一，对吧？然后这个时候呢，还是 s 属于一到正无穷的， 那我们看一下 e 的 x 的 图像是不是经过 s 的 零， y 等于一，是不是经过？这点是这样的呀？那 e 的 x 减一呢？是不是向右平一个单位啊？是不是就横横过定点一呀？那它这个图像是不是这样的？ 这是一的 x 减一，对吧？那在 s 等于一，一到正无穷的时候，它肯定是不是它是一个大于一的数，那 x 方 x 是 一个大于一的数，那 x 方分之一，它肯定小于一，那一个大于一减小于一，那它肯定是 大于零的，对吧？那这撇撇 x 它的 值是大于零的，所以 g x 在 一到正无穷上是不是单调递增的呀？那单调递增的话，那它的 g x 是 不是一定大于 g 撇一啊？ 一个函数，它在一到正无穷一直是增，一直是增的，那， 那这是一，那任何一个数是不是任何一个数的值是不是都都比这个一的函数值大呀？所以说这撇 x 大 于这撇一，那这撇一等于多少呢？我们把它换成一，那一的零次密 是不是等于一呀？减二，然后加上一，它是不是等于零啊？所以说这撇 x 我 们能求出来它大于零，那这撇 x 大 于零的话，所以说 g x 它在一道正无穷上，因为导数大于零嘛，所以说这个函数在一道正无穷上是单调递增的，对吧？那同理，它也是单调递增的，那是不是任何一个数都比 g 一 大呀？所以 g x 肯定大于 g 一 的，那 g 一 等于多少呢？我们给它代入，这是 g x， 对 吧？我们给它把 s 换成一， 那它就等于一零减二，加一，加上绕 n 一 又等于零，对吧？所以说我们求出 g x， 它是大于零的，那 g x 等于它，那是不是说明它大于零了？那它大于零，是不是就是 e x 减一减去 f x， 那 大于零了，那所以 f x 肯定要是小于 e s 减一横乘以。嗯，第二问呢，我们就做完了 这块呢，就是对它求了两次导，先对，先让它大于零，我们看它的导数，我们 对它求导呢，发现还是含参数没有，没法判断它是大于零或者是小于零，这个时候没法判断的时候，我们对它就再次求导，再次求导的话，我们发现它是一个大于零的，那它大于零，那 gps 是 不是增函数啊？就是如果说 f x 判断它是增的或者是减的，就看 fpx， 对 吧？它大于零就是增，它小于零呢，就是减， 那这也同理，那 gpx 它是大于零，所以说 gpx 是 增的，那 gpx 增的，那 gpx 任意一个值都比这个短点值大，对吧？因为它是增函数嘛。 然后这个端点值呢，正好是等于零，所以说 g p s 大 于零，同理， g p x 大 于零呢，所以说 g x 呢，也是增的， g x 也是增的，那任何一个数它都比它的端点值大，所以说我们又能求出 g x 大 于零， 那 g x 呢？就是它，所以说就它大于零，它大于零呢，就是证明它大于它就是恒成立了。

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  08:26

  幂指相连先取对数！高考导数大题同构法 遇到高考数学导数大题中的指数和幂函数混合方程，千万别强行求导！杨老师带你重温2021年全国甲卷理科经典导数题，教你用“取对数构造同构函数”的方法轻松破局。记住口诀“幂指相连先取对数，同构函数看极值”，理清思路，稳扎稳打拿下关键分数！视频最后还有同类思考题，欢迎在评论区交流。需要免费数学摸底和提分规划的同学，请看评论区。
  #高考数学 #导数 #同构函数 #高中数学 #解题技巧

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  如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是一道二零二一年全国甲卷理科的导数大题里的关键问，想冲一百三十分以上，这题最好在十分钟内拿下。 很多同学一看到指数和密函数混在一起就慌了。这题真正最容易踩的坑就是第二问，不知道怎么分离参数或者强行求导，算的满头大汗。咱们先来看题目， 已知 a 大 于零，且 a 不 等于一，函数 f x 等于分子是 x 的 a 次方，除以分母 a 的 x 次方，其中 x 大 于零。第一问，如果 a 等于二，求 f x 的 单调区间。第二问，如果曲线 y 等于 f， x 与直线 y 等于一，而且仅有两个焦点求 a 的 取值范围。 这道题看着吓人，其实咱们只要先稳扎稳打，做好第一问的求导，第二问，果断采用取对数构造同构函数的方法，就能轻松破解。 咱们先来解决第一问，当 a 等于二的时候，我们把 a 等于二代入圆函数，那么 f x 就 等于分子是 x 的 平方，除以分母二的 x 次方。 接下来我们要做什么呢？要求单调区间，当然是先求导，这里用到的是商的求导法则，也就是子导乘母，减去子乘母导，最后除以母的平方。 咱们具体来算一下， f x 的 导数等于分母是二的 x 次方的平方。分子部分呢，我们先对分子 x 的 平方求导，得到二 x 乘以分母二的 x 次方， 然后减去分子 x 的 平方，乘以二的 x 次方的导数。注意，这里很多同学在这里会犯错，容易把指数函数的求导和逆函数搞混。二的 x 次方的导数是二的 x 次方，乘以以 e 为底二的对数。千万别忘了乘以后面的对数项， 那到现在导函数就算出来了。但是这个式子太长了，咱们必须对它进行因式分解来判断正负。你看，分子这两项都有 x 乘以二的 x 次方，我们把这个公因式提出来 提取之后，分子就变成了 x 乘以二的 x 次方，再乘以括号里面剩下的二减去 x 乘以以 e 为底二的对数。分母依然是二的 x 次方的平方。 接着我们可以约分分子分母同时约掉一个二的 x 次方，最后整理得到 f， x 的 导数等于分子是 x 乘以括号，二减去 x 乘以以一为底，二的对数除以分母二的 x 次方。 这步很关键，化简到这里，结构就非常清晰了。因为题目已知 x 大 于零，所以分母二的 x 次方一定是大于零的，分子外面的 x 也是大于零的。这里的导数符号到底由谁决定？显然，整个导数的正负完全取决于括号里的这一项，也就是二减去 x 乘以以一为底二的对数。 接下来我们令导数等于零。解出注点，二减去 x 乘以以 e 为底，二的对数等于零。一向过去就是 x 乘以以 e 为底二的对数，得到 x 等于分子是二除以分母以 e 为底二的对数。这就找到了临界点。 那最后我们来划分单调区间，当 x 大 于零，并且小于分子是二除以分母以 e 为底二的对数的时候，括号里的值是正的，导数是大于零的，所以原函数在这个区间上单调递增。 当 x 大 于分子是二除以分母以 e 为底二的对数的时候，括号里的值变成负的，导数小于零，原函数在这个区间上单调递减。所以第一问的答案就出来了，单调递增区间是零到分子是二除以分母以 e 为底二的对数。单调递减区间是分子是二除以分母以 e 为底，二的对数到正无穷。 接下来咱们看第二问，这才是这道题真正值钱的地方。题目说，曲线 y 等于 f， x 与直线 y 等于一，有且仅有两个交点。这句话翻译过来就是方程 f x 等于一，有两个不同的正数解， 我们把 f x 的 表达式带进去，也就是分子式 x 的 a 次方除以分母 a 的 x 次方等于一。 这个时候如果直接求导参数 a 和变量 x 混在一起，计算量会非常恐怖，基本就掉进出题人的坑里了。这里有个非常重要的技巧，遇到密值函数相等，咱们先别急着算，两边同时取自然对数。 具体怎么做呢？我们先把等式变形两边同时乘以 a 的 次方，写成 x 的 a 次方，等于 a 的 x 次方。因为 x 和 a 都是大于零的，我们对等式两边同时取以 e 为底的对数， 左边就变成了以 e 为底 x 的 a 次方的对数。根据对数的性质，把指数 a 提到前面，就是 a 乘以以 e 为底 x 的 对数，右边同理，把 x 提出来，变成了 x 乘以以 e 为底 a 的 对数，我们就得到了 a 乘以以 e 为底， x 的 对数等于 x 乘以以 e 为底， a 的 对数。 接下来我们要分离变量，把 x 都放到一边， a 都放到另一边。等式，两边同时除以 x 乘以 a， 整理后得到分子是以 e 为底， x 的 对数除以分母 x 等于分子是以 e 为底， a 的 对数除以分母 a。 你 看等号两边的结构是不是完全一样？这就是我们常说的同构。 为了研究这个方程，我们构造一个新的函数 g x， 令 g x 等于分子是以 e 为底， x 的 对数除以分母 x。 定义域是 x 大 于零。那么原问题就转化成了方程， g x 等于 ga， 有 两个不同的正实数解。 因为 x 等于 a 显然是方程的一个解，所以题目要求有且仅有两个焦点，就意味着除了 x 等于 a 之外，必须还有另外一个解。 那我们要怎么找这个解呢？必须画出 g x 的 图像趋势。我们先对 g x 求导， g x 的 导数等于分母是 x 的 平方分子式对以 e 为底， x 的 对数求导，也就是 x 分 之一，乘以分母 x， 减去以 e 为底， x 的 对数乘以分母 x 的 导数。一 化简，得到分子是一，减去以 e 为底， x 的 对数除以分母 x 的 平方，令导数等于零。得到 e 减去以 e 为底， x 的 对数等于零。解得 x 等于自然对数的底数 e。 当 x 大 于零小于 e 的 时候，导数大于零，函数 g x 单调递增。当 x 大 于 e 的 时候，导数小于零，函数 g x 单调递减。所以 g x 在 x 等于 e 处取得最大值，把 e 带入函数最大值。 g e 等于分子是一，除以分母 e。 为了把图像画准确，我们还要看看极端的边界情况，当 x 无限趋近于零的时候，以 e 为底， x 的 对数趋近于负无穷，分母 x 趋近于零正，所以 g x 趋近于负无穷。当 x 趋近于正无穷的时候，对数函数的增长速度远慢于一次函数，所以 g x 趋近于零正。 现在我们在脑海里描写一下 g x 的 图像，它从 y 轴右侧极深的地方出发，穿过 x 轴，在 x 等于 e 的 时候达到最高点，高度是一，然后慢慢向右边下降，无限贴近 x 轴，但永远在 x 轴上方。 题目要求方程 g x 等于 g， a 有 两个解，也就是要求水平直线 y 等于 g a 和 g x 的 图像有两个交点。从图像上我们可以非常直观的看出，这条水平直线的高度必须在零和最大值一分之一之间，也就是说 g a 必须大于零，并且小于。分子是一，除以分母一。 我们把 g a 的 表达式代入，也就是要求分子是以 e 为底， a 的 对数除以分母 a 大 于零且小于一分之一， 看大于零这个条件。因为 a 是 大于零的，所以分子以 e 为底， a 的 对数必须大于零。解得 a 大 于一，再看小于一分之一这个条件。 因为 a 大 于一，所以 g a 必定是在零到一分之一这个范围内。但是要注意一个极端情况，如果 a 恰好等于 e， 那 么 g a 就 等于最大值一分之一。这时候水平直线和函数图像只有一个切点，也就是只有一个解，这就不能满足题目要求的两个焦点了，所以 a 绝对不能等于 e， 综合起来， a 必须大于一，并且 a 不 能等于 e， 这样我们就得到了 a 的 取值范围是大于一且小于 e 或者大于 e。 好， 咱们来汇总一下这道题的最终答案。第一问，函数 f x 的 单调递增区间是零到分子是二，除以分母以 e 为底，二的对数单调递减区间是分子是二，除以分母以 e 为底，二的对数到正无穷。第二问，参数 a 的 取值范围是一到 e 的 开区间，并上 e 到正无穷的开区间。 这道题真正要防的是直接硬算，遇到指数和密函数交织的方程，大家一定要记住这个口诀，密指相连，先取对数，同构函数看极值，只要分离出相同结构的函数，利用导数画出草图，看水平线和图像的焦点个数，一切就迎刃而解了。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知，函数 h x 等于分子是以 e 为底， x 的 对数除以分母 x。 如果关于 x 的 方程 h x 等于实数 m， 有 且仅有两个不同的正实数根，请问实数 m 的 取值范围是多少？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一、高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群。

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  08:06

  2021高考甲卷导数压轴#2021高考 #高中数学 #导数

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  素质提升时间又到了啊。二一年甲醛这个导数压轴题啊。呃这道题的话呢还挺有意思的啊，你看它的话这个函数是一个什么组成的呢？哎分子是一个密函数啊，分母的话是一个指数函数啊，他俩相除第一问他说 a 等于二的时候，然后求单调区间哈，他送你个分数哈。 呃然后的话同时杨杨你对这个题的话呢有个热身理解啊，我们带进去哈， a 零二的时候的话是这这个结果哈。呃，让你求单带圈去求导呗哈。那我们还是稍微说一下啊。为什么稍微说一下呢？并不说因为他有多难啊，主要的话呢你看他罕见的考了什么东西啊？考了这个东西的一个导数啊， 我们说指数函数倒数或者对数一般都是什么呀？一亿为底的啊，或者说这种的啊，像这个的话比较少见啊，以至于很多东西都忘了，甚至啊，所以我们说一下啊，分子求到二 x 乘以这个分母啊，减去的话呢，我们说分子不变，对分母 求导啊，分母求导是这个指数哈，他先不变再乘以论二啊，是这样子的，然后再除以这个东西的一个平方啊， 然后该约的约掉啊，约掉之后我们得到这一个式子啊，注意的话这个题上是定于他 s 大于零哈，就是非常好的哈。所以这个地方是正数，不用管这也是正数啊，只用看这个，这个就是依次吗？所以的话呢我们说可以得到说啊，简单写一下零到这个二，零到这个二除以乱二啊，乱二这个上面的话它是一个这个增函数， 然后我们二除以这个乱，二到这个正无穷，它是一个解函数啊，第一问啊，再看这个第二问啊，第二问的话它是这个 y 等于，呃， fs 跟这个 y 等于有这个两个交点啊。呃，这个的话也很好理解啊，那就是这个东西 等于一有两个交点，那个我们正常肯定会是把它写成是说 s 的 a 次方等于 a 的 s 次方啊，就这么一个题， 呃，感觉啊，那这感觉接下来怎么去做的呢？啊？有的人会说这个画图哈，画图怎么画的呢？啊？可能如果说你看你如果学过这个的话哈，就是我们在这个像这种密函数哈，跟我们指示函数当中一个非常经典的图形啊，就谁呢？是二的 s 四方这个图像啊，跟那个什么呢？跟孩子方与这个焦点这个问题啊。 啊，这个的话呢，我们说，哎，你要是这个你看不注意的话，会会认为是两个啊，但实际上来讲他是几他几个，他身上是三个，对吧？他就是我们说指数函数 增长是无敌的哈，你画的话能先画两个两个的话，这是不对的，因为我们说指数会很快超越这个二次函数，不可能说永远被二次所超越的，对吧？甚至的话我们说啊，就是对于这个 y 等于 s 平方和这个呃， y 等于这个二的 s 次方来讲 啊，这个地方的话，我们都可以猜出来这是二嘛，从左边是四，这个地方是是横左边是四，从左边是十六啊，这是我们说这两个之间， 你看就当 a 等于二的时候，第一问哈，有这么一个问题啊，他们写上是如果包含这个负的话，他们有三个这个焦点，好吧，只是这个哈，那什么时候他在 s 大点的时候有两个焦点呢？那有的人说，哎，那这个东西是不是相切的时候，对吧？是这种这种这种感觉啊，相切的时候呢，我把这个 a 求出来，然后再去写法不就可以了吗？能不能求呢？答案可以求， 但是他只不过可能不太方便去写这个过程，而且你求来之后也非常容易写错啊，所以我们这道题不用这个方法去做，但是的话呢，待会我们用其他方式做完之后，再回过头来再感受一下这种方法，好吧，最后感受一下啊 啊，然后。呃，我们那接下来应该怎么去做这件事情呢？接下来非常重要的一个方法啊，就是说遇到有次数啊，这些东西的时候啊，或者有复杂的次数，我们经常用的一个方法叫什么？哎，同取对数，两边同取对数，所以你这个同取对数给他啊，比如说我们同取谁啊？ 当然是同取这个以 lown 这些啊，以一为底的，这样的话你看你得到是 a 倍的，根据数乘公式啊，把 a 呢四手拿出来这么一个问题。那到这你看就非常简单了嘛，我们就写成了 low s 除以 s 等于什么呀？ low h 除以 a， 哎，你让它这个等于指，哎，这个写错了啊， 它是一个什么情况呢？就是这个右边这个 low h h e， 哈，这个虽然形式是一样的，但是它是一个长数，这个是长数啊，它就相当于是什么什么一杆它等于 m， 一样的等于它有什么呀？两个交点不就可以了吗？那你把左边研究清楚不就可以了，非常简单的，对不对？所以我们接下来的话，哎，假设说 g x 等于这个 low s 除以 x 啊，这个非常简单哈，所以我们这个 g s 的话呢？呃，求完导的结果直接写啊，一减去 low s 除以，这个是 s 平方，所以的话，你这个图像的话，你可以都大大概画一下啊，它是一个什么情况呢？它是一个这个先增后减的这么一个这个 情况啊，现在复检，现在复检的话这个在极大值是在什么呢？你让它等于零吗？大概等于一是吧。啊？那图像画出来注意的是什么情况呢？现在复检并不是说一下就这样就就完了啊，注意渐进线啊这些的，是吧？所以我们说 s 趋向于零的时候，你可以看一下这个 gs 趋向于谁， 这个时候的话，他这个地方取向于这个负无穷，这里取向于还是零嘛？负五星除以零还是负无穷啊？当 s 趋向于这个正无穷的时候啊，然后你会发现的话呢，你看这个 gs 的话，这是趋向于正无穷，这也趋向于正无穷啊，就 low s 趋向于正无穷，这个 s 也是趋向于正无穷。 呃，但是的话呢， low x 我们讲啊，你是一个对数啊，你是远远小于这个 s 的，就在他正无穷的时候能明白这个问题吧。啊，所以我们说啊，因为我们说指数增长最快的嘛，反过来啊， low x 增长最慢，这样的话呢，我们说 g x 这个数 我就会趋向于零，所以它图像它实际上有这个，呃， i 就是它渐进线了，你图像画出来的话，它应该这种感觉啊，这种感觉，然后的话，你可以把这个什么呢？把这个记忆我们算一下啊，记忆带进去哈，你会发现它是个一分之一哈，所以它是这么一个感觉。 这是啊，这写错，这是，哎，这是，哎，等于一的时候，好吧，然后的话呢，我们不是说要什么样吗？要这个有两个焦点吗？对吧？两个焦点，两个焦点的话，我们只需要什么的呢？只需要说个乱， a 除以 a 啊，你看这个图哈，他应该在哪里啊？他应该是在这， 这个是 low on h a 的感觉啊，这两个交点呢？它大于零啊，然后的话小于谁啊？小于这个，呃，一分之一就可以了哈。 好，接下来怎么解这个东西哈？怎么解？怎么解？这个题还挺有意思的哈，由于它的形式的话呢，这个结构哈，你看就就这个地方哈，它其实就是什么 呀？ los 除以 x 嘛，所以这里的话，我们这样就草稿本上的话，你不用去写，你要你写的话，你直接写所有 a 的范围就可以了哈，我们是草稿本上的话，写成一个 a ga， 这是 ga 吗？能理解吗？然后就相当于是 ga 大于零，小于这个一分之一哈啊，我们解这个时候你不要跟前面的这些什么这个乱在一起了，我们就单独看看他就可以了，就相当于是说什么呢？你看，你让你这个，呃，当这边的是 a 的时候，你的函数值要大于零且小于一分之一，那不就是对应的这一段图像吗？ 对不对？对应这段图像啊，所以我们要找到什么时候他是这个什么一呃，什么时候他他是零哈，所以这里面的话，我们可以算得出来是积一，实际上是等于零的， 这个地方是一，所以你的 a 的范围的话怎么样啊？哎，是大于这个一的哈，然后要怎么样呢？哎，你这个都可以啊，但是我们注意你不仅需要这个范围，还得有两个焦点，所以你是不能取这个点的啊，所以这个点的横坐标是一，所以它其上来讲是不能等于一的啊，就是 这个范围或者是说 a 大于一点，所以最终 a 的范围的话呢，我们就出来了啊，比如说它是一个什么呢？ 是一到这个一啊，再并上一个一到这个正无穷，好吧，这是我们用这种方法，这种方法来做其实，呃，并不难，对吧？还挺简单的啊。然后，然后我们再回头看一下刚才这种方式，刚才这种方式的话呢，就是我们画图哈，就是首先到这个地方的时候画图，我们再理解理解这道题啊， 那么画图的话呢，实际上来讲，你是这么一个理解啊，比如说当底数是这个大于一的时候，你画出来那个 情况的话，是这样子，我们先找个相切嘛，肯定是，对吧？相切也可以求出来，但是他肯定求也有一定的这个计算量啊，就当他们相切的时候的话呢，你会发现你可以求出来这个谁啊？选这个 a 是等于 e 的哈，这是可以求出来的。但是的话，你看，其实如果你用这种方法来做的话啊，比如这是个填空题、选择题，那你说这个 a 的范围怎么样的呢？ 啊？很容易可能写成 a 大于一，或者说 a 这个是小于一的啊，其实你看真正的范围是什么？刚才我们写了真正范围是一到这个一啊并上一到正不穷，你说只要不是相切就可以了，这个怎么理解这件事情啊？啊？如果你要画图的话，那我们的理解是说，呃，当你 a 如果大于一的时候 啊，你会发现这个东西的话，肯定是在在这个香气的位置上，你肯定要这样子变再高一点，但是这个他的话呢，也会变高，所以他俩之间有没有这个香蕉不好讲对不对？用用图案讲不好讲啊，如果说他 a 小于也是一样，他都降低，那有没有香蕉也不好讲？哎，所以我们说用这种方法是最合适的啊。只知道题的一个理解啊。

  138孟见数学
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  10:35

  高考数学｜23年全国甲卷｜函数与导数。高考倒计时了，基础弱的同学争取拿下第一问#高考数学解题技巧 #导数 #高三加油

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  我们来看一下二三年全国卷卷的高考真题，已知函数给了我们一个函数，对吧？第一问，当 a 等于一时，让我们判断它的单调性，那也就是求它的导数呗，对吧？导数大于零，单调递增， 导数小于零，是单调递减的。那我们来看一下，当 a 等于一时， 这个函数 f x 是 不是等于 x 减去三 x 比上口三 x 的 平方了，这时候呢，给了 x 属于零到二分之派， 那我们对它求一下导呢？ f x 呢，是不是就等于一减去它的导数，它的导数是不是它导乘它减去它乘它导比上它的平方了，那它导乘它三 s。 导数是 q 三 s 乘以 q 三 s 的 平方， 它导乘它减去它三 s 平方的导数。 q 三 s 平方的导数 是不等于口三 x， 导数是负的三 x 再乘以二倍的口三 x， 对 吧？它的导数是它三 x 乘以它的导数，是它，对吧？乘以负的三 x， 乘二倍的 q 三 x， 对 吧？它倒乘它减，它乘它倒比上 q 三 x 方的平方，那也就是 q 三 x 的 四次方，那么它约一下分， 它等于一减去 q 三 x 的 三次方， 加上二倍的 q 三 x， 三 x 的 平方比上 q 三 x 的 四次方，那我们是不是能约掉一个 q 三 x 啊？那它就等于一减 q 三 x 的 三次方， 这约掉一个 q 三 x， 就 变成了 q 三 x 的 平方，加上二倍的三 x 的 平方，对吧？ fps 等于它， 那我们再再约一下，分给它，通一下分，它变成也都变成扣三 s 的 立方， 这是扣三 s 的 立方。减扣三 s 的 平，减去二倍的三 s 方，三 s 方呢，就是一减扣三 x 方，那它就等于扣三 x 的 立方，这是扣三 x 的 立方 减 q 三 s 方减二，减二倍的 q 三 s 方，那它就等于 q 三 s 的 立方分之 q 三 x 的 立方加上 q 三 x 方减二，那我们令 t 等于 q 三 x， 因为 x 呢，是属于零到二分之派的，对吧？那 t 等于 q 三 x， 它就是属于零到一的， 因为 q 三函数的图像嘛，它在零到二分之派是在零到一，对吧？所以 t 是 属于零到一的。 fpx 是 不是就 t 的 立方分之 t 的 立方加 t 方减二啊？ 那因为 t 是 属于零到一的，那 t 的 立方是不是一定是大于零的？那我们就看 t， 因为 t 的 立方加 t 方减二，我们看一下它的它的正负号，对吧？我们来它构造一下那 t 方 t 的 立方加 t 方减二，是不是就是相当于 t 的 立方减去 t 方 加上二，提方，是不是也相当于加提方，对吧？减去二，那他就等于我们提出个提方倍的提减一，加上二倍的提加一，乘以提减一啊。 因为他就相当于提出个提方嘛。提方倍的提减一，那他呢？是不是提出个二倍的就变成了提方减一啊？提方减一就是提加一，乘以提减一，对吧？那他就等于 提出个提减一，提减一。提出来，那这块成提方加上二，提加二了，对吧？ 那我们看一下，因为，呃， t 是 属于零到一吗？因为 t 属于零到一的，那 t 方加二， t 加二，它肯定是大于零的，对吧？ t 减一呢，是小于零的，然后那所以 t 的 立方加 t 方减二，那它一个小于零的，一个大于零的，对吧？它是小于零的，又因为 t 三呢，它肯 t 的 立方肯定是大于零的，所以 一个小于零除以一个大于零的数，对吧？这呢，它大于零，它小于零，所以说 fpx 呢，是小于零的，在零到二分之派上横乘以， 所以 f x 在 零到二分之派上是单调递减的。 那第一问呢，我们就做完了，我们看一下第二问。第二问呢，他给了 f x 加 c x 小 于零，对吧？那我们令 g x 等于 f x 加上三 x， 那 也就是 a x 减去三 s 比上扣三 s 的 平方，加上三 x x 属于零到二分之派的，对吧？我们观察，是不是这零等于零啊？那我们用 j 零等于零，然后它小于零，那想让 j x 小 于零，也就是等价于让 j x 小 于 j 零，对吧？那如果想让 j x 小 于 j 零，我们是不是得看 j x 的 单调性啊？对吧？看 a 取什么时候，它是单调递增的， 看 g s a 取什么时候， g s 是 单就递减的，对吧？看，如果说 a 取一个一个范围的时候，他是单就递增的，是不是不符合定义啊？所以说 a 就 不能要，那看这个 a 取一个范围的时候， g s 是 单就递减的，那就是不能留下这个 a 的 取的范围了，所以说我们得看一下。 呃， g s 的 单调性，那看 g s 的 单调性，我们是不是得对 g s 进行求导啊？那 g x 是 不是就等于 a 减去它的导数，对吧？它导乘它减去，它乘它倒比上它的平方，那这块省略了，因为第一个我们做过了，等于一加三 s 方比上口三 x 的 立方，然后再加上三 s 导数是口三 x x 呢，属于零到二分之派的。 那 g 撇 s 我 们求出来了，因为 g 零等于 f 零加上塞零等于零，对吧？ t 杠呢，又给了我们 g x， 也就是 f x 加上 c x 是 小于零的，那 g x 呢，正好是等于零，所以说 g x 呢，肯定是小于 g x 的， 对吧？那 g x 小 于 g x x 呢？它还是属于零到二分之派的， x 呢？还大于零，又因为 x x 大 于零，小于二分之派，那 g x 又小于零，所以 g x 肯定是 单调递减的，对吧？那它单调递减，那它的导数是小于零，那是不是这撇零它也小于 小于等于零，对吧？ v g s 是 单调递减的嘛，所以说它的导数是小于等于零的，那导数小于等于零，它任意一点的导数值，它都小于等于零，所以这撇零小于等于零，因为这撇零呢， 给它代入，它是等于 a 减一加一等于 a， 对 吧？所以我们能得到 a 小 于等于零，代入一下，当 a 等于零时， 三 x 减去三 x 比上扣三 x 方，是不是就等于提出个三 x 一 减去扣三 x 方分之一啊？ 因为 x 是 属于零到二分之派的，那所以三 x 呢，是不是大于零小于一的 q 三 x 也是大于零小于一的，那 q 三 s 方分之一是不是就是大于一的？那所以 f x 加上三 x， 它是等于三 x 减三 x 比上扣三 x 方的，对吧？它是大于零小于一的，它是大于一的，所以一减去大于一，就是它小于零，对吧？所以它也就是 f x 加上三 x， 它那是小于零的。 那根梯杠给我们的一致，对吧？所以说满足题，那我们再看到 a 小 于零时， 还是 x 是 大于零小于二分之 pi 的， 对吧？ a x 呢？所以 a x 它肯定是小于零的， 所以 f x 加上三 x， 它是等于 a x 减去三 x 比上 q 三 s 方，加上三 x 减三比上 q 三 s 上边我们求着它，对吧？ 他是小于零的， ax 呢，也是一个小于零的，所以说他呢，肯定也是小于零的，对吧？那他小于零也是和题干给的一样，对吧？所以说他也是满足提议的。所以若 f x 加上 c x 小 于零，那就相当于 a 小 于等于零，对吧？所以 a 的 取值范围我们就求出来了。

  372小冰高中数学
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  07:40

  导数压轴题别硬算！取对数造同构 这是一道改编自2021年全国甲卷的导数压轴题。遇到底数和指数都有未知数的幂指方程，千万别硬求导！杨老师带你通过两边取自然对数、分离参数，将复杂方程转化为单变量函数与常数直线的交点问题。
  #高考数学 #导数 #压轴题 #分离参数 #构造函数

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  如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路，更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以。 这是一道改编自二零二一年全国甲卷理科第二十一题的导数压轴答题。想冲一百分，这道题最好三分钟内拿下。 这题最容易踩坑的地方就是，很多同学一上来直接对原来的秘制函数求导，算的满头大汗还出不来。其实真正的突破口在于取对数，分离变量。咱们来看，题目 设 a 大 于零，函数 f x 等于 x 的 a 次方， g x 等于 a 的 x 次方，其中 x 大 于零。第一问，当 a 等于 e 时，求曲线 y 等于 f， x 与 y 等于 g， x 的 公共点。第二问，讨论方程 x 的 a 次方等于 a 的 x 次方的正实根个数。 遇到这种底数和指数都有未知数的方程，咱们先别急着硬算，大方向肯定是先两边取自然对数，构造出一个新函数，然后画出它的草图，用数形结合来秒杀。右边取对数就是以 e 为底， e 的 x 次方的对数。值数 x 提出来就变成了 x 乘以以 e 为底， e 的 对数等于一，所以右边就只剩下 x 了。现在等式变成了 e 乘以以 e 为底， x 的 对数等于 x。 接下来我们要做什么呢？我们要把变量 x 和常数 e 完全分离开。具体怎么做呢？咱们把等式两边同时除以 e， 再同时除以 x。 左边的 e 消掉了分母，多了一个 x， 变成了 x 分 之以 e 为底， x 的 对数，右边的 x 消掉了分母，多了一个 e， 变成了 e 分 之一。 整理之后，我们就得到了一个非常清爽的等式， x 分 之以 e 为底， x 的 对数等于一分之一。很多同学在这里会犯错，算到这里就不知道怎么办了。其实你看等式，左边是一个关于 x 的 函数，右边是一个常数，咱们只需要研究左边这个函数的单调性和最值就可以了。咱们令 h x 等于 x， 分 之以 e 为底， x 的 对数， 接下来对它求导。这是一个商的导数，分子除以分母的形式，公式是，分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，最后除以分母的平方。具体怎么做呢？分子是以 e 为底， x 的 对数，它的导数是 x 分 之一，乘以分母 x 就 等于一 减去分子，也就是以 e 为底， x 的 对数乘以分母 x 的 导数，也就是乘以一。结果还是以 e 为底， x 的 对数， 最后除以分母 x 的 平方，所以 h x 的 导数就等于一减去以 e 为底， x 的 对数，整体除以 x 的 平方。 导数算出来了，接下来咱们看它的正负。因为 x 大 于零，所以分母 x 的 平方恒大于零。导数的符号完全由分子决定，也就是一减去以 e 为底， x 的 对数，令分子等于零，解得 x 等于 e， 当 x 在 零到 e 之间时，以 e 为底， x 的 对数小于一，分子大于零，导数大于零，所以函数 h x 在 这个区间单调递增。 当 x 大 于 e 时，以 e 为底， x 的 对数大于一，分子小于零，导数小于零，所以函数 h x 在 这个区间单调递减。既然先递增再递减，那在 x 等于 e 的 时候，函数就取得了最大值。 最大值是多少呢？把 x 等于 e 代入圆函数 h， e 就 等于一分之以 e 为底， e 的 对数也就是一分之一。 你看，这不正好等于咱们等式右边的那个常数吗？这就意味着函数 h x 的 最大值就是一分之一，而且只有在 x 等于 e 这一个点，才能取到这个最大值。 所以方程 x 分 之以 e 为底， x 的 对数等于 e 分 之一。有且只有一个解，那就是 x 等于 e。 最后别忘了，题目问的是公共点的坐标，咱们还得把纵坐标算出来。把 x 等于 e 代入原来的函数 f， x， 就 得到 y 等于 e 的 e 次方。 所以第一问的答案就是，他们有唯一的一个公共点，坐标是 e， 逗号 e 的 e 次方。接下来咱们看第二问讨论方程 x 的 a 次方等于 a 的 x 次方的正十根个数。 这一问其实就是第一问的升级版。有了第一问的经验，咱们照葫芦画瓢。第一步，先对等式两边同时取以 e 为底的对数， 左边变成 a， 乘以以 e 为底 x 的 对数，右边变成 x， 乘以以 e 为底 a 的 对数。然后咱们把变量 x 和参数 a 分 离开，两边同时除以 a， 再除以 x， 等式就变成了 x 分 之以 e 为底， x 的 对数等于 a 分 之以 e 为底 a 的 对数。 这步很关键，你看，等式左边还是咱们第一问研究过的那个函数 h x， 而等式右边是一个常数，咱们把它记为常数 c， 也就是 c 等于 a 分 之以 e 为底， a 的 对数。 注意，这里等式右边其实就是函数 h x 在 x 等于 a 时的函数值。所以求圆方程的根的个数就转化成了求函数 y 等于 h， x 的 图像跟水平直线 y 等于 c 的 交点个数。问题， 这里到底是在找什么？就是在找这条水平直线上下移动时，跟咱们画好的函数曲线能碰上几次。咱们回忆一下第一问得出的 h x 的 性质，它在零到一上单调递增，在一到正无穷上单调递减，在 x 等于一处取得最大值一分之一。 为了把图像画得更准确，咱们还得看看极端情况。当 x 无限趋近于零的时候，以 e 为底， x 的 对数趋近于负无穷，同时乘以趋近于正无穷的 x 分 之一，所以整个函数值趋近于负无穷。 当 x 趋近于正无穷的时候，对数函数的增长速度远慢于一次函数，所以 x 分 之以 e 为底， x 的 对数会趋近于零。也就是说，函数图像在 x 轴的右侧会无限贴近 x 轴，但永远在 x 轴上方。 好，现在咱们的脑海里应该有一幅清晰的图像了，从 y 轴负半轴上来，穿过点一逗号零，爬坡到最高点一逗号一分之一，然后缓慢下坡，无限贴近 x 轴。 接下来，咱们就要根据参数 a 的 曲值，也就是常数 c 的 高度来分类讨论焦点个数了。咱们先看最特殊的一点，也就是最高点。当 a 等于 e 的 时候，常数 c 等于一分之一，正好是最大值。 这时候水平直线和函数曲线刚好在最高点相切，只有一个交点。所以当 a 等于一时，方程有一个正十根。那如果常数 c 小 于零呢？你看图像函数在零到一这个区间里，函数值是从富无穷到零的，而且是单调递增的，只要 c 小 于零，水平直线就一定会在零到一之间跟曲线有一个交点。 什么时候 c 小 于零呢？因为 a 大 于零，所以只要以 e 为底， a 的 对数小于零，也就是 a 在 零到一之间的时候， c 就 小于零，这个时候方程只有一个正十根。那如果 c 等于零呢？也就是 a 等于一的时候，水平直线正好是 x 轴跟曲线在 x 等于一的地方有一个交点，所以当 a 等于一时，方程也只有一个正十根。 咱们把刚才这三种情况合并一下，当 a 大 于零且小于等于一或者 a 等于 e 的 时候，方程都只有一个正实根。那最后，如果常数 c 大 于零且小于最大值一分之一呢？你看图像，水平直线在 x 轴和最高点之间穿过，一定会跟曲线有两个交点， 什么时候会出现这种情况呢？只要 a 大 于一且不等于一，那么常数 c 就 会大于零且小于一分之一。所以当 a 大 于一且小于 e 或者 a 大 于 e 的 时候，方程有两个正实根。到这里，所有的分类讨论就都完成了。 推导过程看似复杂，但只要你把函数图像的走势摸透了，跟着水平直线上下移动，焦点个数自然就出来了。 咱们来做个答案汇总。当 a 大 于零且小于等于一或者 a 等于一时，方程有一个正实根。当 a 大 于一且小于 e， 或者 a 大 于一时，方程有两个正实根。 遇到这种两边都有未知数在指数上的方程，咱们记住一个标准动作，取对数分变量，画出图像，找焦点，只要把变量和参数彻底分开，再复杂的方程也能变成看图说话。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。设 a 大 于零，讨论方程 x 的 平方等于 a 的 x 次方的正十根个数，你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。

  106杨老师数学精讲
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  12:13

  高考数学真题｜23年全国甲卷｜导数#高考数学真题解析 #高中数学解题技巧 #函数单调性分析 #高三复习干货 #高中数学知识点梳理

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  来看一下三年全国甲卷的这个泡泡真体已知函数 f x 给了我们定域，对吧？ x 就 属于零到二分之派的。第一问告诉我们，当 a 等于八十，讨论 f s 单调性， 那还是看单调性，就是求它的导数，对吧？看它的导数的大小，导数大于零，它是增函数，导数呢？小于零，它是减函数。那我们写下，当 a 等于八十， 这个时候 f x 呢？就等于八 x 减去三 x 比上扣三 x 的 地方， 那我们对它求导呢？ f p x 呢，就等于八减去，是不是它导乘以它减去，它乘以它导比上它的平方啊？那也就是三 s 导数是 q 三 x 乘以 q 三 x 的 立方， 减去三 x 乘以口三 s 地方的导数，就是三倍的口三 x 方。然后再对口三 x 求导，就是负的三 x 比上口三 x 的 六次方，对吧？嗯，它就等于八减去口三 x 的 六次方分之 q q 三 x 的 四次方减去，这变成加了，对吧？这是减号，这个减号加上三倍的三 x 方， q 三 x 方 等于八减去，是不是都能约掉一个 q 三 x 方啊？对吧？那底下变成了 q 三 x 四次方，它变成了 q 三 x 方，加上三倍的三 x 的 平方。 那接着给他化解，因为都是口三 x 吗？我们把它写成口三的形式，那他是不是等于口三 x 方，加上三倍的三 s 方，就是一减去口三 x 方，那我们再给他去括号， 那就是加三加减去三倍的 q 三 x 方，对吧？它就等于八减去 q 三 x 的 四次方分值。把 q 三 x 方合并一下，就是三减二倍的 q 三 x 的 平方，零 t 呢，等于 q 三 x 方，因为 x 是 属于零到二分之派的，对吧？那 q 三 x 是 不是零到一？那 q 三 x 方是不是属于零到一？那也就是说 t 呢，是属于零到一的， 那这个时候呢？ fpx 呢？我们把 cos 方换成 t， fps 就 等于八减去 t 方分之三减二， t 等于约下分等于 t 方分之八， t 方减三 加上二 t， 对 吧？等于 t 方分之，是不是就是二 t 减一乘以四， t 加三呀？ 那我们求它的单调性，我们是不是就令它大于零啊？对吧？令它大于零，小于零，那我们观察， t 是 属于零到一的，那 t 方呢？ t 方肯定是大于零的，对吧？ t 是 零到一，那四 t 加三肯定也是大于零，那我们想让这个 fps 大 于零，他已经大于零了，他也大于零了，那我们是不是就让二 t 减一大于零就行了，对吧？二 t 减一大于零，那就 t 大 于二分之一十， f p x 呢，就大于零，这个时候呢？ t 大 于二分之一， t 是 cos x 方，对吧？这个时候 x 呢，是属于零到四分之派的，因为 t 大 于二分之一，那也就是 cos x 方大于二分之一嘛。 那口三 x 呢，是不是就是大于零，小于二分之根号二啊？那 x 是 不是取零到四分之派呀？那当 t 小 于二分之一时，是不是 fps 就 小于零啊？这个时候呢， x 呢，是属于四分之派到二分之派的，对吧？ 那所以 f x 在 零到四分之派，导数大于零是单调递增的，对吧？在零到四分之派上是单调递增， 在四分之派到二分之派，是不是单调递减啊？嗯，第一个我们去完了，我们看一下第二位。 第二问呢？他说若 f x 小 于三，二 x 横成力，让我们求其的曲值范围，那 f x 小 于三二 x， 是 不是就是 f x 减去三二 x 小 于零横成力啊？那我们令 g x 等于 f x 减去三二 x， 那 题干说让它横成立，那也就是说让 g x 是 小于零横成立的，对吧？那 g p x 呢？是不是等于 f p x 减去二倍的口塞二 x， 对 吧？那 f p x 我 第一问的时候，我们求出来的等于 f p s 等于他，对吧？但是等于他是 a 等于八的时候，对吧？ a 等于八只能适用第一问，第二问， a 就 不等于等于八了， a 就是 a 了，对吧？那我们把八改成 a， 那 就是梯方分之 a， t 方减，就把这块的八换成 a， 因为第一问是 a 等于八，第二问就不是了。 a t 方减三，加上二 t， 对 吧？ 然后再减去二倍的。呃， q 三二 x 是 不是就等于 q 二倍的 q 三 s 方减一啊？ 这是一个公式。 q 三 s 的 二倍的 q 三方减一，那它就等于给它约下分等于 t 方分之 a， t 方加二， t 减三，再减去二倍的二 t 减一， 对吧？我们把 q 三 s 方换成 t 吗？另听 t 等于 q 三 s 方，那这片 s 呢？它就等于 a 加上 t 分 之二，减去 t 方分之三减四， t 加二，对吧？这个时候呢，就属于零到一的，那我们判断它的单调性是不是没法判断？那没法判断它的大小的话，我们是不是就 求二次求到啊？那就是利用 h s 等于 g p x 是 不是就等于它呀？等于 a 加二减四， t 就 换一下位置啊？加上 t 分 之二，减去 t 的 平方分之三，那我们对它求到 h p x 呢？它就等于负， a 加二是常数呗，对吧？常数没了，那是负四，加上它倒乘它减去它乘它倒比上它的平方，那就是变成了负的二。比上 t 方 加上六，比上 t 的 立方，那给他约一下分，他就等于 t 的 立方分之负四， t 的 立方减二， t 加六，我们给他因式分解，他等于负的 t 的 立方，提出个符号，对吧？然后他提出一个二倍的 t 减一，他就变成了二 t 方加二， t 加三， 这个时候呢， t 是 属于零到一的，对吧？那 t 的 立方呢？一定是大于零的。二 t 方加二， t 加三呢，也都是大于零的。 呃， t 减一呢， t 属于零到一， t 减一的小于零，那前面还有个符号，所以说 h x 是 大于零的，对吧？因为它是小于零的。前面还有个符号，所以说 h x 是 大于零的，那 h x 大 于零， 这是 t 啊，因为他这个，嗯，参数未知数是 t， 这都是 t， 因为是什么？ t 什么吗？对吧？这是 t， 这是 t， 那 h 撇 t 大 于零，那说明什么？ h t 是 不是在零到一上导数大于零，对吧？是单调递增的呀？ 一，我们给他带入，是不是等于 a 加上二，这呢？ a 加上二减四，加二减三，是不是等于 a 减三呢？对吧？因为 h t 在 零到一上，这是零，这是一，这是最大值，对吧？是单调递增的，那这个 h t h t 是 不是就小于 h 一 呀？ h 一 呢，等于一减三，所以 h t 是 小于 a 减三的，对吧？那我们看这个 h t 的 这个大小关系，嗯，那当 a 小 于等于三十，那 a 减三，也就是这个 h t 是 不是小于零的？那 h t 小 于零， h t 是 等于这撇 t 啊，那也就是说这撇 t 是 小于等于零的， 那所以这题在这个定域零到二派上是不是单调递减的？ 那这题是单调递减的，那所以这题是不是就小于这零啊？那这零呢？这零就等于零，对吧？所以说这题是小于零的，那也就是 g s 等于 f x 减去塞二 x， 对 吧？ 因为这是 g s 吗？是 x， 但是我们这块是就是 t 了，就是，是因为利用 t 等于 q 三 s 方了吗？对吧？那我们这是给他写成 g s g s 等于他，那他就是小于零了，对吧？那所以 f x 呢？就小于三二 x 了，所以他就是满足 t e 的， 对吧？ 那我们看，当 a 大 于三时呢？是。当 t 趋近于零时，是不是 t 分 之二减去 t 方分之三，它是趋近于负无穷的， 它趋近于负无穷，因为 h t 呢，它等于 a 加二减四， t 加上 t 分 之二减去 t 方分之三，对吧？搁这呢， h t 搁这呢，它是趋近于负无穷的， t 呢？趋近于零，然后这是一个函数，对吧？那它呢？是不是也是趋近于这个负无穷的？又因为 h 一， 它是不是算出来了？等于 a 减三，它是大于零的，所以存在 t 零属于零到一，是不是有一个零到一，使得 h t 零是等于零的，那 t 属于零到一，使得 h t 零等于零，是不是就相当于 s 零是属于零到，等加于 s， 零属于零到二分之派， 使得 g p s 零等于零了。所以当 t 属于 t 零到一时，是不是 h t 它是大于零的， h t 呢？也就是说 g p x 它大于零的，所以 g x 呢？是单调递增函数， 所以当 x 属于 t， 是 属于 t 零到一，那 s 呢？是属于零到 s 零时， 是不是 g s 就 大于 g， 零等于零啊？因为题刚告诉我们是 g g x 是 小于零，对吧？它是 g s 大 于零，所以说它呢，是不合提的。所以 综上所述， a 的 取值范围是不是能只能取它呀？也就是说 a 小 于等于三呢？所以综上所述， a 是 小于等于三的。 这道题，我们求完这道题，还是题告诉了我们一个函数，对吧？他小于零乘以立，那我们就对他求到。求到之后呢，看他是单调递增还是递减函数。然后我们探讨 a 的 取值范围分，分布不同。

  579小冰高中数学
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  07:05

  22年高考甲卷的导数大题 ，方法：极值点偏移。 只是提供了一种解题思路，希望对大家有启发，不同的解法的可以写在评论区#高考数学重难点解析 #数学思维 #导数 @抖音媒体内容优推官 @抖音小助手

  50满分数学
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  09:45

  2023年全国甲卷导数压轴题 #艺术在抖音 #数学思维 #新高考数学 #射洪中学 #高考数学

  24林海雪原（数学版）
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  05:47

  2023年高考数学全国甲卷理科解答第21题第1问 导数与单调性#高考数学 #高中数学 #导数 #单调性 #三角函数 #高考数学真题 #高考数学讲解 #知识前沿派对 #函数 #因式分解

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  二十一题是倒数，已知 f x 等于这个式子，定义域是 x 属于零到二分之派。第一问，当 a 等于八十，让我们讨论 f x 的单调性。 首先我们把 a 等于八带入进去， f x 等于八 x 减去后面的这个分式。 要判断单调性呢，我们对 f x 进行求导， f x 撇等于这个八 x 的导呢，就会只剩一个他的系数八减去后面分式的求导，应该是分母平方，变成抠散 x 的六侧方， 上倒下不倒，那就是散 x 求倒是 cosinex， 再乘以下面不 不倒就是 q 三 x 的三次方，那他们两个一乘，就会变成 q 三 x 的四次方， 减去下到上不倒。下面这个求导的时候，它是一个复合函数，它相当于是 t 等于 q 三 x 与 y 等于 t 的三次方。他们两个的复合复合函数求导呢，就是内导乘外导， 内导就上面这个函数的导，他的导等于负三 x， 下面外导是 t 的三次方的导等于三 t 方，然后我们再把这个 t 给他带回去，就是三倍的抠三 x 的平方， 再乘以那个内岛负三 x， 这是下面分母岛最终的结果。 由于这有个负号和前面的减号，他们两个负负得正了，所以实际上就相当于加上三倍的散 x 乘扣散 x 的平方， 那下倒了以后，还要再乘以上不倒，所以在这个基础上再乘以三 x， 他就会变成三 x 啊方，这就是求完倒以后他的结果。那么求完这个倒以后，会发现他的上面和下面都有抠散 x 的平方， 所以我们可以先约掉一个 q 三 x 的平方，就等于八，减去 q 三 x 的四次方，分之 q 三 x 方，加上三倍的三 x 的平方。这个时候我们发现 这个分式当中其他两项都是扣散，只有这一个是散。于是呢，为了统一，我们可以把这个散 x 方换成一减扣散 x 方，那就等于八减去扣散 x 方， 加三倍的一减 q 三 x 方，然后把它展开合并一下，等于三减二倍的 q 三 x 方，除以 q 三 x 的四次方。 我们要判断原函数的单调性，就要判断导函数的正负，那么接下来对他的处理呢？有两种方式，一种方式是直接把这个分式给他拆开，变成八减 q 三 x 的四次方分之三，再加上 q 三 x 的平 方分之二。然后根据这样一个形式，可以对他进行因式分解，那就是把抠散 x 方分之一看成是一个整体，上面这个式子就可以当做一个二次的类型，进行十字相乘。 第二种处理方式就是对它进行通分，因为八和后面这个分是分开考虑，不好考虑，可以通常是以 q 三 x 的四次方做分母，上面就变成了八倍的 q 三 x 的四次方， 加两倍的扣三 x 方，再减三。那么对分子进行十字相乘八倍的扣三四次方，可以写成二倍的扣三方乘以四倍的扣三方， 后面的负三可以写成，是啊，负一乘以三。这样验证一下，会发现恰好等于中间的两倍的 q 三 x 方，于是十字相乘可以写成二倍的 q 三 x 方减一 乘以四倍抠三 x 方加三。后面这个四倍的抠三方加三，一定是大于零的，分母也一定是大于零的，所以决定整个正负的其实就是二倍的抠三 x 方减一， 我们另 f x 撇等于零，就得到了二倍的抠三 x 方减一等于零，所以抠三 x 方等于二分之一，抠三 x 就等于正负二分之根号二。在零到二分之派范围内， q 三 x 一定是大于零的，而能使得它等于二分之根号二的只有一个四分之派。由于 q 三 x 在零到二分之派单调递减，所以当 x 属于零到四分之派范围内的时候， q 三 x 是大于二分之根号二的， 那么二倍的扣三 x 方减一也就大于零。于是 x 属于零到四分之派时， fx 撇大于零， fx 也就单调递增。那么还有一个区间，就是当 x 属于四分之派到二分之派的时候， 此时 fx 撇小于零，那 fx 也就单调递减，这样我们就得到了 fx 的单调性。

  470袁来有数(高中数学)
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  2023全国甲卷导数压轴：端点效应秒杀 这道2023年全国甲卷理科导数压轴大题，如果一上来就硬求导很容易掉进陷阱！本期视频杨老师带你稳扎稳打，先用商的求导法则拿下第一问，再用“端点效应”秒杀第二问的参数范围，并教你如何做放缩验证。视频最后还有一道同类思考题，欢迎在评论区留下你的答案！需要免费数学摸底和提分规划的同学，请进群获取。
  #高考数学#导数压轴题#端点效应#2023全国甲卷

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  如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！ 这是二零二三年全国甲卷理科数学的第二十一题，也是一道非常经典的导数三角形压轴大题。想冲一百三十分以上的同学，这道题咱们必须得在十五分钟内拿下。这题最容易踩坑的地方就是很多同学一看到这么多三角函数，直接就蒙了，硬算导数越算越复杂。 其实这题真正值钱的地方在于巧妙地把三角函数转化成正切函数，用换元法来实现降维打击。咱们先来看题，已知函数 f x 等于 a， 乘以 x 减去分子是 sine x， 分 母是 cosine x 的 三次方， x 属于零到二分之派的开区间。 第一问，当 a 等于八的时候，讨论 f x 的 单调性。第二问，如果 f x 横小于 sin 二 x 求 a 的 取值范围。咱们先从第一问入手，把求导化简的底子打好。第二问的横乘力问题自然就迎刃而解了。 咱们先看第一问，当 a 等于八的时候， f x 就 等于八， x 减去分子是 sin x， 分 母是 cosine x 的 三次方。接下来我们要干嘛？研究单调性？第一步必定是求导， 这里有个非常重要的技巧，大家注意听后面这个分式求导，很多同学在这里会犯错，算的头晕眼花，咱们稳住，一步一步来。根据商的求导法则，分母直接平方变成 cosine x 的 六次方，那分子呢？分子等于上面求导，乘以下面减去上面乘以下面求导， 也就是 sine x 的 导数。 cosine x 乘以 cosine x 的 三次方，减去 sine x 乘以 cosine x 的 三次方的导数。那 cosine x 的 三次方的导数是什么？用复合函数求导等于三倍的 cosine x 的 平方，再乘以负的 sine x。 大家千万别漏了这个符号。 咱们把分子整理一下，前面是 cosine x 的 四次方，后面负负得正，变成加上三倍的 cosine x 的 平方，乘以 cosine x 的 平方。咱们提取一个公因式， cosine x 的 平方，括号里就剩下 cosine x 的 平方加上三倍的 cosine x 的 平方。 你看 cos x 的 平方加上一个 cos x 的 平方就是一，所以括号里变成了一加上两倍的 cos x 的 平方。再把分子分母约掉一个 cos x 的 平方，导数后面的部分就化简成了分子是一加上两倍的 cos x 的 平方，分母是 cos x 的 四次方。 到了这一步，咱们的 f 撇 x 就 等于八减去这个分式看着还是很复杂，对不对？别急，接下来就是见证奇迹的时刻，咱们要把所有的正弦与弦全部转化成正切，也就是贪 x 怎么转。我们把分母的 cos x 的 四次方拆开，变成 cos x 的 平方分之一乘以分子是一加上两倍的三 x 的 平方，分母是 cos x 的 平方。你看前面的 cos x 的 平方分之一，根据同角三角函数关系，它就等于一加上 tan x 的 平方。 后面的分式，我们把分子的一换成 cos x 的 平方加 cos x 的 平方，那么分子就变成了一加上三倍的 tan x 的 平方。 现在变成了两个括号相乘，第一个括号是一加上 tan x 的 平方，第二个括号是一加上三倍的 tan x 的 平方。咱们把它们展开一乘，一是一加上三个 tan x 的 平方，再加上一个 tan x 的 平方，就是四个 tan x 的 平方，最后加上三倍的 tan x 的 次方， 太漂亮了。所以当 a 等于八的时候，导数 fpx 就 等于八，减去括号里的这一大串，合并同类项，八减一等于七，最终 fpx 等于负的三倍的 tan x 的 四次方减去四倍的 tan x 的 平方，再加上七。 这是一个关于 tan x 的 平方的二次函数，咱们用十字相乘法给它因式分解。提取一个负号，里面可以分解成，第一个括号是三倍的 tan x 的 平方加上七，第二个括号是 tan x 的 平方减去一。 接下来我们要判断导数的符号了，因为 x 是 在零到二分之派之间，所以前面那个三倍的贪 x 的 平方加上七绝对是大于零的，那导数的正负就完全取决于后面那个贪 x 的 平方减去一了。 因为外面还有个符号，所以当贪 x 小 于一，也就是 x 在 零到四分之派之间的时候，导数大于零，原函数单调递减。这就是第一问的完整推导。 接下来咱们看第二问，题目要求 f x 横小于 sine 二 x。 遇到这种横乘立问题，咱们先别急着算，先问自己，这个不等号限制的是最高值还是最低值。显然我们要找的是参数 a 的 上限。 我们构造一个新的函数 h x 等于 f x 减去 sine 二 x。 题目就变成了要求 h x 在 零到二分之派上横小于零。你看，当 x 趋近于零的时候， h 零正好等于零。 这就意味着我们的新函数 h x 必须是一上来就往下走的，也就是单调递减的，否则只要它稍微往上翘一点，就会大于零，就不符合提一了。这就是端点效应，这步很关键。 那怎么保证它往下走呢？当然还是看导数。咱们对 h x 求导， h p x 等于 a 减去咱们第一问算出来的那个分式，再减去 sine 二 x 的 导数，也就是两倍的 cosine 二 x。 现在式子里有正切，也有余弦，太乱了，咱们继续用第一问的绝招，全部统一成贪 x， 咱们令 t 等于贪 x， 因为 x 在 零到二分之派，所以 t 是 大于零的。第一问。咱们算过那个分式化简后，是三倍的 t 的 次方加上四倍的 t 的 平方，加上一， 那后面的两倍的 cosine 二 x 怎么换成 t 呢？用万能公式， cosine 二 x 等于分子是一，减去 t 的 平方，乘以二，就是分子是二，减去两倍的 t 的 平方，分母是一，加上 t 的 平方， 所以 h p x 就 等于 a 减去一个大括号。大括号里面是三倍的 t 的 四次方，加上四倍的 t 的 平方加上一，再加上分子是二，减去两倍的 t 的 平方，分母是一，加上 t 的 平方。咱们把大括号里的式子设为一个新函数，叫 k t。 我 们要找 a 的 范围，其实就是要研究这个 k t 的 最小值。 咱们给后面那个分式变个魔术，把分子凑出分母的倍数，二是四减去二，所以分子里的二减去两倍的 t 的 平方，可以提取一个负二，写成四减去两倍的括号，一加 t 的 平方 除以分母后，就变成了分子是四分母，是一加 t 的 平方，再减去二，把这个减二和前面的加一合并， k t 就 变成了三倍的 t 的 四次方，加上四倍的 t 的 平方，减去一，再加上分子是四分母，是一加 t 的 平方。接下来我们要做什么？我们要看这个 k t 是 增函数还是减函数。 咱们对 k t 求导， k 撇 t 等于十二倍的 t 的 三次方，加上八 t， 减去分子是八 t， 分 母是一加 t 的 平方的完全平方。 咱们提取一个公因式，四 t 括号里就剩下三倍的 t 的 平方，加上二，减去分子是二，分母是一加 t 的 平方的完全平方。大家注意看括号里最后这一项。因为 t 大 于零，所以一加 t 的 平方大于一，它的完全平方也大于一， 那么二除以一个大于一的数，结果肯定小于二。前面的二减去一个小于二的数，结果肯定大于零，再加上三倍的 t 的 平方，绝对是正数，这就说明 k 撇 t 横大于零， k t 是 一个单调递增的函数，既然 k t 单调递增，那当 t 趋近于零的时候， k t 的 极限值是多少呢？ 把 t 等于零带进去，零加零减一加四等于三。也就是说在 t 大 于零的区间里， k t 永远大于三。现在咱们回到导数 h p x， 它等于 a 减去 k t， 如果 a 小 于等于三，因为 k t 永远大于三，所以 a 减去 k t 永远小于零。这意味着 h p x 小 于零， h x 全程单调递减，又因为 h 零等于零，所以 h x 永远小于零，完美符合提议。 那如果 a 大 于三呢？很多同学在这里会犯错，觉得直接写答案就行了，不行，必须严谨。如果 a 大 于三，因为 k t 是 从三开始连续递增的，所以必然存在一个极小的区间里， k t 是 小于 a 的， 所以 h p x 就 大于零了。 小数大于零，函数就往上翘， h x 就 会大于零。这根题目要求横小于零就矛盾了，所以 a 大 于三的情况被彻底排除。最终咱们得出结论， a 的 取值范围就是富无穷，到三包含三。 咱们做个总结，这道题第一问的单调区间是零到四分之派递增，四分之派到二分之派递减。第二问， a 的 取值范围是 a 小 于等于三。 这道题看着吓人，其实核心策略就两步，第一步，遇到复杂的三角分式，果断用同角关系和万能公式全部转化为正切函数 tan x， 实现降维打击。第二步，在处理横乘力问题时，利用端点效应先猜出临界值，再通过求导证明单调性来锁定答案。记住这句口诀， 三角复杂转正切，端点探路定乾坤。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下，数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题。刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划， 高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群。最后留一道同类思考题给大家。 已知函数 f x 等于 a 乘以 x， 加上分子式 cosine x， 分 母是 sine x 的 三次方， x 的 定义域是零到二分之派。如果 f x 恒大于 cosine 二 x 求 a 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。

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