全国卷19题
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09:44查看AI文稿AI文稿好，同学们好，今天我们继续来看一下高考已卷理科的第十九题。如图，在三轮锥 p、 a、 b、 c 中， a、 b 垂直于 b c， a、 b 等于二， b， c 等于二倍根号二， p、 b 等于 p， c 等于根号六、 b、 p、 a、 p、 b、 c 的终点分别为 d、 e、 o、 a、 d 等于根号五倍的 d、 o 点 f 在 a、 c 上， b、 f 垂直于 a、 o、 d。 问，证明 e、 f 平行于 a、 d、 o 平面。好，我们先来看图 d 问，要证明呢，是这条红色的线平行于这个 a、 d、 o 平面，那根据线面平行的判定定理，我们要在 a、 d、 o 中找到一条线和 e、 f 平行就可以了。那根据图来观察， 好像这个 d、 o 是和 e、 f 是平行的 d、 o 呢？它又分别是 b、 p 和 b、 c 的终点所连线得到的线段。那根据中位线定理， d、 o 应该是平行且等于二分之一的 p、 c 的， 而 e 也是这个 ap 的终点。如果 f 是 ac 的终点，那么 ef 在三角形 apc 中也是中位线， ef 就平行且等于二分之一的 pc， 那就可以得到 ef 和 do 是平行的，那是不是呢？终点呢？我们要去证明， 我们可以把这个底面三角形 a、 b、 c 给它单独的拎出来，是这样的一个图形， 首先这两个角的正切值我们可以直接求出来，贪根的角 b、 a、 c 是等于根号二角贪根的角 b、 o、 a 也是等于根号二， 这两个角是相等的，那么因为 bf 和 ao 垂直，那么 boa 加角 obf， 也就是这个蓝色加这个红色角是等于九十度的。然后整个的 abc 是一个直角三角形，那么角 bac 加角 c 也是九十度， 这个蓝色角加这个红色角也是九入，而蓝色角我们也证明是相等，那这两个红色角也是相等的， 那同样的，这个蓝色加这个红色也是九十度，那么这个蓝色角也是相等的。由这几个角相等，我们就可以得到的是 c f 等于 b， f 等于 a f， 那么 a f 也就是 a c 的终点。 那下一步就是在这个立体图形中，我们就可以说明 e、 f 是三角形 a、 p、 c 的一个中位线，那么 e、 f 平行于 p c， 而 d、 o 在三角形 b、 p c 中它也是重线， d、 o 也平行于 p c， 那而平行的传递性 e、 f 和 d o 就平行了。然后 e、 f 是不包含于平面 a d o、 d、 o 是包含于平面 a、 d、 o 的。由线面平行的判定定理就可以得到 e、 f 是平行于平面 a、 d、 o 的。 我们继续来看。第二个是证明平面 a、 d、 o 垂直于平面 b、 e、 f 也就是图中这两个平面互相垂直。 题目已经给的是 a o 垂直于 b f。 根据面面垂直啊，面面垂直，其实我们它的本质还是要去证明线面垂直， 然后由线面垂直得到面面垂直。而线面垂直的判定呢，是一个直线垂直于另一个平面的两条相交直线， 也就是我们要在一个平面中找到两条相交直线和另一个平面中的某一条直线垂直就可以了。 那根据这个思路我们来看，首先 a、 o 是等于根号下 a b 加 o b， a， b 是二 o， b 是 b c 的一半，也就是根号二，那么 a、 o 是等于根号六。 由低问低问知道 d、 o 是二分之一的 p c 求是二分之根号六，那么 a d 由这个条件 a d 等于根号五倍的 d o 得到 a d 是二分之根号三十 好，这三条边就是三角形， a d o 的三条边都求出来了。我们可以利用勾股定理发现这个 a o 和 d o 是互相垂直的，而由第一问，我们得到这两条线 是互相平行，那么 a o 也垂直于 e f， 这样就得到了 a o 垂直于 b f， a o 垂直于 e f， 并且 b f 和 e f 是相交于 o 点的， 而且他们都包含于平面 bef， 那由线面垂直的判定定理就可以得到 ao 是垂直于平面 bef， 而 ao 又包含于平面 ado。 由面面垂直的判定定理就可以得到平面 ado 垂直于平面 bef， 这个是第二位。再来看第三位，第三位要求的是二面角 d a o， c 的正弦值，就是图中的这两个面所成的二面角的正弦值。那这道题目啊，我们看一下这个图啊，因为后面的这个面 p b c， 它和底面 a b c 并不是互相垂直的，所以我们直接去建立空间直角坐标系比较麻烦，不太好去 算这个点的坐标。那么我们就可以直接用定义法，也就是在这条公共轮 ao 上找一点，然后向两个平面做两条垂线，这两条垂线所成的角就是这个二面角的平面角。 那 a o 和 d o 我们已经证明了它是垂直的啊，那只要在过 o 点向平面 a o c 这个面做一个垂线就可以了。那观察图， b f 和 a o 是垂直的，那我们只需要 过 o 做一个 o h 平行于 b f， 那么 o h 就肯定和 a o 是垂直，那由二面角的定义就可以得到角， d、 o、 h 就是我们要求的这个二面角的平面角，那接下来就是要求这个角的正弦值。怎么求呢？首先 o 是 b、 c 的终点， h 呢？又是 c， f 的终点， f 又是 a、 c 的终点，那根据这个关系可以得到 f， h 是等于三分之一的 a、 h 啊，也就 f 是 a、 h 的三等分点。而这个图中，在三角形 a、 b、 p、 a 中， 这两个 d 和 e 都是终点，那么我们设这个两 b， e 和 a、 d 的交点是 g， 那这个 g 点就应该是三角形 p b、 a 的一个重心， 重心的性质呢，就是把这个中线给他了三等分了，那就是 g、 d 等于三分之一的 a、 d， g、 e 等于三分之一的 b、 e， 那么在三角形 a、 d、 h 中，根据这个边的比例关系就可以得到 d、 h 是等于二分之三倍的 g、 f， 因为 g 和 f 分别都是 a、 d、 a、 h 的三的分点，这个是初中的呃线段等比例的关系， 那么我们只需要把 g、 f 的长度给它求出来就可以了。怎么求？首先在这个三角形 b、 p、 a 中，用余弦定理角 a、 b、 d 这个角， 这个角的余弦值呢？它可以是在三角形 a、 b、 d 中，也可以在三角形 a、 b、 p 中去建立这样的一个等式，在 a、 b、 d 中，就是 a、 b 的平方加 d， b 的平方减 a， d 的平方除以二。乘 a， b 乘 a， d 啊，乘 b， d。 在三角形 a、 b、 p 中，同样的，用余弦定理就可以列入这样的一个式子，那么这其中呢？只有 ap 是未知量，我们就可以把 ap 解出来，是根号十四。 同样的，在三角形 b、 a、 p 这个大的三角形中也用由这个角的余弦直。他的余弦定理呢，可以放到三角形 a、 b、 e 和 a、 b、 p 这两个大三角形中，可以列出这样的两个式子， 这样两个式子中也只有 b、 e 是位置量，我们就可以把 b、 e 给它减出来，是二分之根号六。 a、 c 长度是在底面，是一个直角三角形 a、 c 可以求出来是二倍根号三。 而 b、 f 是斜边的中线，它等于斜边的一半，也就是根号三。 e、 f、 e、 f 呢，是刚刚我们前面已经求过了，是等于 d、 o 的，等于二分之根号六， 那就可以得到 b、 e 加 e、 f 等于 b、 f 的平方，所以这里也是一个垂直直角，那么也就是说三角形 e、 g、 f 是一个直角三角形，那就可以求出 g、 f 是等于三分之一的 b、 e。 刚刚说 g、 e 是三分之一的 b、 e 三分之一 b、 e 的平方加 e、 f 的平方，算出来是三分之根号十五。 d、 h、 d、 h 说了是等于二分之三倍的 g、 f， 那么 d、 h 就等于二分之根号十五。然后 o、 h、 o、 h 呢，是 等于二分之一的 b、 f、 c、 b、 f 这个三角形中， o、 h 就是它的中位线，是二分之根号三。那么这三条边都求出来了，我们就可以再次用余弦定理求出角 d、 o、 h 的余弦值是等于负二分之根号二。 然后题目要求的是这个二面角的正弦值，再利用同角三角函数的关系，求出三角 d、 o、 h 等于二分之根号二，也就是二面角 d、 a、 o、 c 的正弦值是二分之根号二。
58钻研数学的打工人
21:17查看AI文稿AI文稿今天我们再看一道二零二三年全国乙卷第十九题，呃，反应这个题也比较难。呃，他是倒数第三题，题的意思是三轮锥 pabc。 a， b 呢，垂直于 b c， a， b 呢，等于二 a， b 等于二 b， c 等于二 b 的根号二，这个 b、 c 呀，等于二 b， 根号二， p、 b 和 p c 呢，都等于根号六。 而且 p、 b、 a， p、 b、 c 的终点分别为， b、 e、 o， a， d 等于根号五倍的 d o， a， d 等于根号五倍的 d o。 若 f 在 a、 c 上， b， f 和 a、 o 垂直啊，这个是垂直 一，证明 e、 f 和面 a， d、 o 平行 啊，我们先看这个第一问吧，是吧，那么这个题啊，为什么反应难呢？可能啊，有些同学啊，就是不会思考，也不会合理的猜想，不知啊，如何入手？ 我们首先应该从已知入手啊，对吧？已知呢，这已知条件呢，都没有什么更多的解释，这里需要解释的是 ad 和 do 的关系， 那么 a、 b、 b、 c 也已经知道， a、 b 知道， b、 o 也知道。而且呢，角 a、 b、 o 是直角，说明 o 也可以求 o， a 可以求出，那么 o a 求出以后呢， a、 d 和 d o 的关系，我们也可以求出呢？ a、 d 对吧，因为 o、 d 呢，是 p、 c 的一半这样的三角形啊， d， a、 o 这三个边长，我们都可以讲它求出。求出以后呢，我们不难发现， 这个 a、 o、 d 啊，是一个直角三角形六，勾股定理的逆定理，其中呢，这个角是个直角， 所以说他给的这个已知条件呢，我们挖掘出 a、 o 和 o、 b 是垂直的啊，这个条件实际上就告诉你这样一件事。然后呢，让我们来证明 e、 f 和面 a， d o 平行，那么 e f 和面 a d o 平行啊，我们可以猜想，这个 e f 呢和 d o 可不可以证明它俩平行呢？如果它俩平行的话， 那么这个点 f 呢，得需要说明它是 a c 的终点，因为题容呢，并没有指出它是终点，因此我们需要证明，假设 f 是 a c 的终点，那么 e f 呢？和 p c 平行， o d 呢？和 p c 平行，那么 e f 和 o d 平行，这个问题不就证明完了吗？所以说，这第一问不就出来了吗？假如 f 是 是终点，那么第二问也就出来了，为什么呢？因为 f 要是终点的话，那么我们就得到 e f 呢？和 od 不平行了吗？那么 ao 呢？和 od 垂直， od 呢？又和 pc 平行， pc 呢又跟 ef 平行，那不就说明 ao 和 ef 垂直了，对吧？又因为 ao 呢和 bf 垂直了，所以说 ao 不就和这个面整个这个面垂直了吗？对吧？ 那第二问不也就有了吗？因此啊，关键的问题呢是先说明点 f 为什么是 ac 的终点，这是问题的关键。那么有的同学 反应这个题难的原因可能就是在说明 f 是 a c d 终点的时候遇到了困难，我们为了方便起见，把 a b c 这个图啊，我们画出来啊，画到这， 这是 o， 你看你如何在这个醋当中， 如何说明 f 是 a c 的终点呢？ a b 等于二 o， b 呢？和 o c 都等于刚好二 b， f 和 a o 还垂直，那么说明点 f 啊，是 a c 的终点啊。这里最简单的 一种方法，那就是利用相似，你能不能看出直角三角形 abo 和直角三角形 a b o 和 a b c， 你能看出什么了？直角三角形 c b a， 能不能看出它俩是相似呢？你能不 能看出来 这两个直角三角形，他的两条直角边对应成比例， 对吧？所以说我们就得到了啊，这个角等于这个角，这是对应角吧， 而且呢，这个角呢，和这个角也相等，这样我们不就说明了 b f 和 f c 相等吗？ 那么这又是一个直角三角形，那不就说明 f 是 a c 的终点吗？这能明白吗？这是最简单的证明 f 是 a c 的终点， 那么说明 f 是 a c 的终点，还有没有其他的办法呢？还有你比如说你可以建立最高系，对吧？用最高法也可以啊， 用做方法，我们得到直线 b m 方程和 a c 方程连力求解以后，我们发现 f 恰好是 a c 的终点，但这样做是不是计算量有点大呀？ 那么还有没有别的办法呢？我们还可以通过项链的办法来说明啊， f 是 a c 的终点， 由于向量 b f 可以写成七倍的 向量 b a， 加上一减七，再乘上向量 b c 吧，这对吧， 向量 b f f a c 这条线上吧，我们可以把向量 b f 啊，用这两个向量去表示，表示成这个形式，这是在向量当中啊，我们熟知的一个结论，又因为 ao 等于二分之一， a b 加上 a c 啊， 那么由于这两个项量的数量级等于零，我们就可以得出这个 t 的值呢，可以计算出啊，他等于二分之一， 这样我们也可以说明 f 是 a c 的终点，总有颜值啊。在说明 f 是 a c 终点的时候，我们可以用几何法，也可以用向量法，还可以用坐标法，都可以， 那么当 f 是 a c 终点的时候啊，那么这两问呢，自然就问题就解决了，刚才啊，我已经给同学们说了，这里啊，我就不再坠数， 那么现在我们再看这个第三问，求二面角 daoc 它的正弦值， 那么二面角呢？这球法，首先我们要是用几何法做的话，我们首先要把这个二面角要找到， 找二面角的方法呢，一是利用定义，再一个呢是利用三垂线定理，这里头我们不难发现 ao 是这个二面角的棱，而且呢，我们设这个点呢，假如说是 m， 那么很显然 m f 和这个棱是垂直的，这是已知对不对？那么在这个面上呢，我们再找一条线和这个棱垂直，这条线呢，根据 第一问和第二问呢，我们不难发现，应该是这条线， 我们设这条线是 n， 我们设这个交点是 n， 设 b e 和 a d 的交点是 n， 那 连接 n m， n m 和 a o 也是垂直的，为什么呢？因为啊，这个由于第一问， n m 不和 e f 平行吗？ 这能看出来吗？因为线面平行的性质定理嘛，说 e f 和 n f 是平行的，我们还可以怎么说明 n n m 和 e f 平行呢？也可以说明 b n 比 n， e 等于 b， m 比 m f 都等于二比一，对吧，因为这个 n 和 m 啊，分别是重心嘛， 这能看出来吧，是这个三角形的， n 是这个三角形的重心吧， m 不是下边这个三角形的重心吧，根据正心性质，也可以说明 n m 和 e f 是平行， 那么 n， n m 和 e f 平行，对吧？而且呢，这个由第二问呢， n n m 显然和 a o 是垂直了，因为 a o 啊，和这个面是垂直了，刚才已经正了，对吧？ 哎呦，把这个面去，这样，我们是不是就找到了这个二面角的平面角，应该是这个角啊，对吧， 也就是角 n m f， 对吧？ 角 n m f， 那就是这个二面角的平面角，这样我们就把它找到，但这里啊，我们如何是求 n m f 的余弦值呢？ 这正前值呢？那么我们应该把 nf 连上，放到一个三角形内，但是这 nf 怎么去求呢？ 这里呀，我们还可以看到 n m 和 e f 是平行的，所以说这个角呢，和这个角和角 e f m， 它俩是互补啊，对吧？ 那么我们也可以求出啊，这个角的正前，这个角的正 弦呢，也是答案，因为两个角互补，正弦之相等啊，所以说呢，我们就求这个角的正弦，我为什么把这个角改成求这个角正弦呢？这个角呢，我可以放到这个三角形里，你看见了吗？ bfe 这个三角形， 那么 b f e 这个三角形，我们怎么去求呢？我们看 e f 二分之刚好六， b f 也可求，因为 f 是终点了吗？ 现在的问题是如何求出这个 b e 呢？这是问题的关键。那么我们看这个 b e 啊，他的求法呢？ 其中比较简单的，我们可以通过向量的求法，这个 be 等于什么呢？向量 be 等于二分之一向量 ba， 加上向量 bp， 我们可以这样来求，我们可以通过两边平方，我们就可以求出啊，限量 b e 的膜。 这种求法比较简单，而有些题的，而有些答案，我看求 pa 了啊，这大可不必，直接求 be 就可以了。求 be 的话呢，那么要想利用限量啊去求这个 be 呢，我们首先得知道这个角的于天志 啊，这个角鱼旋直 叫 pba 的鱼旋直角， pbad 旋直，因为涉及到 ba 和 bp 这两个相应的夹角鱼旋，对吧，而这个角的鱼旋值啊，也很容易求， 你看你会求吗？ a d 你不已经知道了吧，对吧？在这条件当中， a b 不也知道了吗？ b b b d 不也是知道吗？那你这个角流圈值不很容易求吗？这三个边长都知道这个角流圈值有了，所以说呢，我们通过对他两边平方以后呢，我们就直接可以求出啊， b e 的长， 那么 b e 的长知道， e f 的长知道， b f 的长也知道，那这个角位余弦不就知道了，从而不就知道了这个角的正弦吗？那 这个角的正弦也就是这个角的正弦，那问题不就解决了，详细的计算呢，我就不给同学们说了啊， 那么这是一种办法，有的同学说能不能用坐标法去做这个题呢，也是可以的，下面呢，我们把用坐标法求这个问题啊，再给同学们说一下啊，首先呢，我们建立坐标系啊，建立坐标系呢，我们考虑应该是以 b a v x 轴， 以 b c 为温柔，然后呢，借力制作起， 那建立坐标系之后啊，我们看只要能求出点 p 的坐标就 ok 啊，点 f 的坐标呢，我们可以通过坐标法呢，把这 f 最高求数也可以，对吧，因为 afc 是吧，这个在一条线上吧，我们可以令向量 af 等于 lamtab 的向量 ac， 这样的话，我们可以把栏目的算出得二分之一啊， 那么这里呢，我们来说明一下如何求批点坐标呢？这个批点坐标能不能求出来呢？我们看这个问题， 这样建立制标器以后啊，我们就得到啥呢？得到点 a 的坐标， 知道点 b， 说点 c 的坐标，也知道 f 的坐标，也可以把它求出 e 的坐标，我们可以用 p 坐标去表示，我们设 p 的坐标是 x y， z 啊， 那么这里啊，根据已知条件， p 到 b 的距离呢，是根号六，它叫 x 方，加上 y 方再加上 z 方等于六啊，这是不是一个方程啊？ p 呢，到 c 的距离， c 点的坐标呢，应该是零二倍，杠二零，对吧？那么这就是 x 的平方，加上 y 减去二倍，根号零平方，再加上 c 方 也等于六啊，啊，二 b 的根号二啊，二 b 的根号二， 那么由这两个方程，我们嗯显然就得到 y 减二 b， 杠二平方不等于 y 平方，因为其他项都一样的，而且呢，我们立即可以得到 y 等于杠二， y 方等于 y 点二比零二平方吧，这样的话， y 和 y 点二比零二不相等或互为相反数吗？相等不可能了，互为相反数，那就得出 y 点这二，你看，我们直接得出 p 点的第二个坐标，对吧？ 然后我们再看还有什么条件，用一下子，我们可以利用这一个条件， ao 呢和 pc 不垂直吗？对吧？ ao 和 pc 垂直，这能清楚吗？因为 ao 啊，和 ef 垂直了，不和这个面垂直了，根据第二个，对吧？所以说呢，根据 ao 呢 和 p c 垂直，那么我们再把这两个向量求出，根据数量机得零，我们 是不是又得到一个柿子，这个柿子就是我就不详细说了啊，就等于这二倍的， 所以说呢，根据他呢，我们又得到了一个啥呢？ x x 等于负一，把负一和根号二带入一式，我们是不是又得到了 z 了？我们不妨令 z 等于正根号三， 这样一来，我们是不是得到了 p 点的坐标啊？ 那么 p 点的坐标知道啊，是不是所有点的坐标都已经知道了？那这三个问题是不是我们一次性都给解决了？ e f 和它平行，我们只要说明向量 e， f 和面 a， d， o 的发向量垂直不就行了吗？这个 a， d， o 反向量和 b e， l 反向量互相垂直不就可以了吗？对吧，那都出来了，对吧？第三个都出来了， 所以说呢，我们呢，就是先把批点坐标求出，然后利用坐标法啊，我们可以同时把这三个问题都进行了解决，而且呢，这个计算量也不是特别大。 总而言之呢，这个题啊，我们既可以考虑用几何法，也可以用坐标法，还可以通过向量去进行证明和求证。 之所以啊，有的同学对这个题啊说感觉到难，呃，可能就是在说明点 f 时，终点这个问题上，呃，没有搞清楚啊，特别是几何法， 这说明啊，对平面几何呢这个认知啊，还是存在一定的问题，总而言之，还是基础有问题啊。好，今天呢，我就给同学们分享到这里。
1147伯麟数学
19:31查看AI文稿AI文稿同学们好，今天呢，我再给同学们分享一道二零二一年全国一卷第十九题，我们看解答这道题啊，如何去思考，他都有哪些个方法？首先呢，我们看题三角形 abc 角 a 角 b 角 c 所对的边分别为小 a、 小 b 和小 c。 已知 b 方等于 ac 点四， d 在边 ac 上 b、 d 等乘上三因 a， b、 c 等于 b， r， a 乘三 a、 c 第一问证明啊， b、 d 等于 b， 这个长度啊，等于 b， 那么我们看一下这 这个题我们如何去思考啊？飞机 要证明 b、 d 等于 b， 根据已知，只要证明 a、 c、 n、 c 除以 c， n 角 a， b、 c 等于 b 不就可以了吗？对吧？要证明 b、 d 等于 b， 指证它成立就可以了。 根据正前定理，赛音 c 比上赛音角 a， b、 c 指正 a， c 比上 b 等于 b 不就可以了吗？你把这个 c， a、 c 比上 c， a 角与 b， c 不等于 c 边比上 b 边吗？对吧？那也就是说，只要证明 b 方等于 a、 c 就可以， 那么根据已知 b 方得 a、 c， 所以说第一问证明就完了。呃，这是用分析法啊，写的过程，当然你用综合法呢，再把它过程写一下， 那用中法怎么入，怎么行过程啊，那就从后往前推呗，对吧？因为 b 方等于 ac， 所以 a、 c 除以 b 就等于 b 呗，对吧？然后利用正前定理，我们把它换一下 c 比上 b， 哎哎，不动呗。 d、 r、 b 所对的角是角里 b、 c 吧， 又因为 b、 d 秤赛的角， a、 b、 c 在 a 秤赛的， 所以 b、 d 不就等于 b 吗？ 这是不是他的证明过程啊？所以说啊，这个思路呢，应该是用分析法，把思路分析一下，然后再用综合法呢，把过程写出来就可以了。 呃，这个呢，你可以在草纸上不用体验了，对吧？那么你在这个试卷上，你就这样来书写过程就可以了，这是不是 是就是第一问呢？那么第一问，有的同学可能也会遇到困难啊，不知道如何去下手，对吧？那么我们再看这个第二问啊。 第二个呢，又增加了一个条件，说，若 a、 d 等于二 b 的 d、 c， 求口塞音角尾 b c。 呃，在做第二份球口才一角 a、 b、 c 的时候，现在我们看他都有哪些已知条件了呢？我们先分析一下啊。 首先有 b 方等于 a、 c 了，这是个已知条件。那么第一问啊，这个条件啊，这个条件实际上就 推证出 b、 d 的 b， 那么 b、 d 的 b 呢，也是一个已知条件。在做第二个的时候，可以用第一问结论，对吧？因为第一问的结论是在大前提下推出来的。那么还有一个条件啥呢？就是 ad 得二 dc。 那么在这个条件下，现在呢，让我们去证明什么？让我们去求什么呢？去求口才 加二 b、 c， 对吧？这是不是这样一个过程啊，对吧？那么我们如何去分析这个问题？ 首先我们看 bd 等于 b 啊，这没有什么说道， ad 的二 dc， 说明 d 点呢，是 ac 的三等分点，那你说 ad 呢，应该是等于三分之二， bdc 呢，应该是三分之一 b。 那么 b 方等于 a、 c 是什么意思？ b 方等于 a、 c 的意思就是说 a、 b、 c 成等比， 也就是说这三个边啊成等比，那么三个边成等比 啊，为了减少计算量，在三个数成等比的时候呢，我们不妨 力 a 呢，等于是 b 比上 k， c 呢，等于 b 乘上 k， 这里的 k 呢，是大于零的， 那么你想一想，这三个边是不是我可以分别看成是啊， b 比 k， b 和 b k 啊？那么这 a 呢，我们可以看成是 b 比上 k， c 呢，我们可以看成是 b 乘上 k， 那这样一来呢，我们就得到啥呢？得到 cosin 角 a， b、 c， 根据余弦定理，我们不难得到它是 b 方， k 方加上 b 方在乘上 k 方分之一，再减去 b 方再除以二 b 方， 对吧？二 a， c 吗？把 b 方约掉以后，我们就得到了 k 方加上 k 方分之一，再减一除以二。所以说呢，我们要想求抠菜音减二 a、 b， 我们只要 求出 k 方就 ok， 那么这个 k 方怎么去求呢？我们就要想到用列方程的思想啊，方程的思想，我们来求这个 k 方，那么这个方程我们怎么去列呢？ 我们首先看这个问题，我们首先看一下法医 怎么列房产，列出关于 k 方的房产，然后把 k 方求出就可以了。首先我们看这两个角应该是互补， 互补的两个角，他的余弦值互为相反数，那么法医就我们利用这个条件，我们就可以得到啥得到？利用他利用抠塞音角 b， d， a 加上口太音角 b， d， c 等于零这个条件，我们就可以列出一个方程。 那么口才 a， b， d， a 呀，这个方程很容易列，对吧？咱们把它列一下，那是多少啊？根据余弦定理，那就是 b 方加上 九分之四 b 法，再减去 b 方， k 方再除以二乘上三分之二地方，对吧？ 然后加上头在于 b、 d、 c 呢，那就应该是 b 方加上九分之 b 方，减去 k 方分之 b 方，除以二乘 b， 再乘三分之一 b， 对吧？那么这个 b 方啊，很显然都给约掉了，这个方程呢，只含有配方，那么 我们很容易把它整理，整理，整理得呢，我们得到三 k 的四次方，减去十一 k 方，再加上六 慢一点，我们得到这个式，那么这个方程呢，很容易结，也很容易分解因式，对吧？分解因式之后呢，实际上就是三配方减二，乘上配方减三， 可以的看，对吧？我们就得到这个关系，然后呢，我们就得到 k 方，我写到这里了啊， k 方等于三分之二， 如果 k 方得三分之二的时候呢，我们可以求出啊，抠塞引角 a、 b、 c 正好等于十二分之七， 那么如果 k 方等山的时候呢， 抠在角角与 b、 c 等于六分之七啊，六分之七比一档，所以这个要舍掉， 因此第二个答案是不是是十二分之七啊，这不就出来了吗？对吧？ 这是第一个方法，那么我们看在列方程，从列方程的角度 看，还有没有其他别的办法呢？ 反而呢，我在三角形 a、 b、 d 当中可以写出，用鱼片定理可以写出口才音 a， 然后在三角形 b、 a、 c 当中，我还可以写出口在角 b、 a、 c， 那么这个是角 b、 a、 d 啊， 它俩相等，那么在三角形 a、 b、 d 中，用预言定笔写出一个， 在三角形 a、 b、 c 中，用鉴定里再写出一个式子，我们同样可以得到关于 k 方的方程，这是第二个方法，那么我们再看一下第三个方法。 第三个方法呢，我们从列方程的角度看，还可以怎么列呢？我们可以得到 a、 d 比上 d、 c 是不得二啊，对吧？那么他呢，应该等于什么呢？我们看 我上下 同时乘上 b、 d， 然后呢，我再称上一个 a、 d， 再乘上一个口塞音角 b、 d、 a， 我们在底下再唱上一个角 b、 d、 c， 这两个角的余弦直互相反数，因此呢，我放一个数号， 然后再配个二，你看他右边这个等于，他是不是等于负的 余弦定底，他应该等什么呢？是不是等于 b 方加上三分之二 b 方，再减去 b 方， k 方分母，这个呢，应该是 b 方 加上三分之一 b 方，再减去 k 方分之 b 方啊，对吧？然后呢，这个得二， 你看我们是不是又列出一个方程啊，然后把 k 方解除， b 方约掉了，对吧？这是第三个办法。 那么还有没有办法？我们再看第四个方法呢？我们可以考虑用项链的办法，你看项链 bd 等于什么呢？项量 b、 d 应该是等于三分之一，项量 b、 a 加上三分之二，签了 b、 c、 u， 这对吧？然后呢，我们把两边给他平方， 两边平方以后， b、 d 方就是 b 方，九分之一 b、 a 方，那就是 b 方， k 方加上九分之四， k 方分是 b 方，然后再加上只鸡的二倍 九分之四，它俩模相乘， b、 a、 b、 c 的模相乘，是不是就 b 方啊？ 然后在乘上口塞音 b、 a 和 b、 c 的夹角，对吧？ b、 a 和 b、 c 的夹角就是口塞音角 a、 b、 c 是不走到 这样就湿了。然后呢，我们再利用鱼弦定理抠在角与 bc 和三角， a、 b、 c 等于 b 方， k 方加上 k 方分之 b 方减去 b 方，再除以二 b 方， 这对吧？然后把它用右边式的换掉，我们是不是又得到一个关于配方的方程啊？ 放下我就不给同学们写了，法五，用向上法呢，我们还可以这样，向量 b d 等于向量 b a 加上向量 a b， 那么向量 b a 不动向量 b d 呢？ 向量 b a 加 a d 对吧？ a d 呢？等于三分之二向量 a c， 对吧？我们是不是也可以两边平方呢？和刚才一样，再利用一篇定理呢？我写出谁的写手写出口塞音角 a， 因为这 b 和 b c 啊，这个这两个项链所夹的角 和角 a 有关。我再写出图三 a， 然后我再列出关于 k 方的房产，这是不是又是一种方法？总之呢，我们就是通过列方程的思想，我们来求出 k 方， 那么还有没有其他的方法啊？同学们课后可以思考啊！今天呢，我就给同学们说到这里。
334伯麟数学
11:14查看AI文稿AI文稿二二年高考物理全国已卷的第十九题，如图，两对等量一号电鹤，正 q 和 fq， 它固定于正方形的四个顶点上， l 和 n 这两点呢，是该正方形两条对角线与其内切圆的交点， 而 o 为内切圆的圆心， m 为切点，则以下设法，正确的是，注意是多选。我们看 a， 他们 l 和 n 两点处的电场方向相互垂直，实际上考察的是一个电场的叠加问题。 我们这里边有四个等量的点，点河有镇点河，也有负点河，而这每一点 形成的厂墙应该是在四个电鹤他们厂墙各自厂墙的矢量河。我们知道正点电鹤的电厂是这样的，就发散状的，而附点电鹤的电厂线呢，是这样的， 是这样的辐射状的，就往往里回收的这个状态。然后我们看 l 点，这个 l 点呢？首先这个 q， 我把它分 abcd， 往 a、 b， c、 d， 我们先看这个 d 离这个 l 点是最近的，而地点是负点荷，所以地点产生的场桥一定是往这的，而这个 b 他负点荷，在看 b 啊， b 是负点荷， 他曾逞强，应该是只要自己的，但是由于币要远一些，而这个地要近一些，所以这两个逞强的和 那一定指向 d。 因此这个时候两个负电盒的合，我就可以画成一个了。再看这个就是负电盒的合场墙。好，负电盒的合场墙我再看。同理，再看 a， 这个 a 是不是在这个 l 点也产生一个场墙？应该指向外的， 但画的有点长了啊，而这个 n， 这个是 q 啊，这个 c， 他在这个点也产生一个长腔，也是向外的， 就这样画了。而这两个呢，关于这个中间这个中轴线对称，就中轴线对称的，所以这个时候他的河呢，一定沿这个方向，一定沿这个对角线方向，即呢，好，就两个正电鹤在 l 点形成的长墙和两个副电鹤在 l 点形成的长墙，都是指向从欧 指向负 q， 就是 o 指向 d 的，因此这个方向呢， q l 点的逞强是沿这个方向的，及 o 这个负 q 的方向。同理，我们看 n 点，我还看这个最近的 c， 这个 c 这个正点和产生的是相 这个方向的，而这个 a 这个正点河在 n 点产生，是这个方向，而他的河呢，显然是指向 a 点的，指向 a 点的。所以这个核啊，我们滑下来，他应该是指向 a 点，就是这个意思，这是两个正点核的。同理，那两个负点核，我们看这个负点核在产生的，是往这个方向 连线。呐，把负离合跟 n 点连起来，这个方向，他来河南也沿这个对角线，所以往这个方向。因此呢，我们判断 n 点就四个电场的合场墙，是指向 从 a 指向 o 的。好，就画一个，我们看四个合合场墙就画成一个了， 我们把这个线延长，我们发现，哎，他沿这个对角线，而他沿这个对角线，而两个对角线是垂直的。极难 a 选项是正确的，极难 l 和 n 两点电场方向相互垂直。 好，我们再看选项 b， 他的 m 点的电场方向平行于该点的切线，切方向相准。 当这个呢， m 点呢，我们可以用刚才同样的方法，同样的方法，当然还可以用其他方法，比如说，我们用同样的方法来做一做，试试对比 m 点的逞强。首先呢，这个 q 他形成 的正 q 形成的是往这的，而这个副 q 形成的也是往这的，所以这个两个啊，这个 a， 这是 b， 这是 c， 这是 d， 而 c 和 d 产生的厂商都是相，都是相左的，都是相左的。然后再看这个正点和 a， 这个正点和他产生的一定是沿这个方向的，看他产生的一定是直向背向他的，好像有点大了啊， 是变向他的，而这个 q 产生的呢，还是指向他自己的，指向他自己的好，而这两个大小是一样的，我发现呢，他俩的合，这两个合有夹角，而且他距离还远， 还有夹角，所以他俩的核呢，就这个核一定小于这两个直接相加的核。所以这个 m 点的逞强一定是指向这个 方向的水平相左的，因为这两个他要大一些，而这两个之和呢，我们的对角线呢，要小一些，所以这和一定是水平切相左，即呢沿该点的切线相左，所以选项 b 是正确的。同理，我们还可以用另一种方法， 我们这里边有等量的一种电盒，我们知道等量的一种电盒，他的电长线是这样分布的，一个正电盒，一个副电盒，电长线的分布，我画一下是从正电盒出发终止一副电盒的啊，打算画几个 啊？这是我们等量一种电鹤，而这个面我们看，哎，他都跟这个电草线的方向 垂直的，我做切线都垂直的，因为这个中垂，这个面的中垂面是跟电厂线垂直的，所以我们说这个面呢，是等市面， 由于这个面可以延伸到无群远，我们规定无群远的地方是电视是零，所以这个面呢，也是零，四面也是零四面，既然每两个等量一种电鹤在这个面上就中垂，线上形成的电场方向都是水平的， 而且呢指向复联合。我们根据这个结论我们看，如果是这个题，我们来看这个啊，首先 我看是这里了，他两个呢产生的合场枪水平，而指向负点河，而他两个产生的水平也指向 负点河，但是哪个大一些呢？现在我们看越近这个他近一些，而这个远一些，这个就小一些，远的小而近的大，所以呢，还是只想想水平相左的， 也能判断出来，也能判断出来好，这是我们选项 b， 我们再看选项 c， 选项 c， c 选项是将一个带正电的点电鹤从 m 点移到偶点，从 m 点移到偶点，电场里做正宫，我们看的清楚，再画一个图，从 m 点移到偶点。 哎，根据刚才我的分析，实验的这个答案呢，一行就选出来了，为什么呢？我们看这个面呢，是一个正点和 和一个复电鹤的中锤面，所以这个面叫什么面，叫零式面，也叫等式面， 也等四面，因为他叫等四面。这个这个面呢，我们再看，他要从 m 点到 o 点，而 m 点和 o 点在同一个面上，所以你移动中间这条这条线上，电厂里都不做工，而不是做正工，是不做工， 所以选项 c 是错误的。再看 d， 将一代镇店的电鹤从 l 点移到 n 点，从 l 点到 n 点，电场离做工还是零。所以这个题我们大致一观察就可以 观察出来。你看我拿一个正电盒，这个正电盒要远离负电盒，靠近正电盒，我们这里面有四个电盒， 他两个和他两个，但看起关键作用的一定是这两个。为什么呢？因为你是 l 和 mn 呢，力，下面这两个要近一些，所以他两个起次要作用， 而这个要起主要作用，因为他起主要作用。我们看正电鹤，远离负电荷，靠近正电鹤，显然呢，是做复工的，所以答案呢，肯定不是零，应该是做复工 到。这个题，我更准确的说法呢，我们可以啊，这样分析一遍，也可以，比如说往上这样走，我拿一个正点和让他从 l 到 o， 我看走这一条路啊，先从 l 走到 o， 我分两段，然后再从 o 走到 n， 这个时候呢，就是从 l 到 n 了，就 l 先到 o 再到 n， 我们先看，他说 l 到 o， 这个是联合。先看这两个副联合，你是在这个欧的这一侧，欧的左侧。显然呢，这个时候呢，这个副联合，他起作用要小一些，他就要大一些。因此呢，你要从我先看这两个副联合啊，就是 a、 b、 c、 d， 我先看的是这个 b 和 d 这两个复联合，而这个正联合呢，他要往这边走，显然是远离这个复联合，而他的合力呢，是这个起作用，因此呢，是做复工的 这一段，两个复电盒是做复古的。同理，我们再看两个正电盒， a 和 c 的他，哎，你看 他俩的什什么力呢？都是赤力，就你往他俩靠近的中间这个力呢，始终是赤力，就他俩都排斥力，所以他俩都做富功，因此也做富功。就两个正电盒对你做富功，而两个负电盒呢，也对你做富功，所以从 l 到 o 是做富功。 同理，我们看他从 o 到 n， 他从 o 到 n， o 的一点，合理是零，合理是零。我们先看两个正联合吧，你看你要靠近这个正联合，因为这个正联合越来越近了，所以这个正联合起作用，他， 他的智力大一些，所以做复工，就两个正电盒做复工。同理呢，我们看，因为这两个复电盒呢，都吸引他，因为你要远离这个复电盒，他要吸引他，所以复电盒还做复工，因此呢，整体还是做复工的，所以 这样判断呢，也能做出来。答案呢， d 应该是做复古，所以本题的正确选项为 a 和 b。 好哎，该题就讲到这里，可能很很多同学有更好的方法啊，也欢迎同学们呐，提出更好的方法。 哎，讲的不到的地方呢，欢迎同学们留言。我们呢啊，共同进步。好，同学们再见！
103庆威物理
02:34查看AI文稿AI文稿我们说一下第十九题的步骤规范。第一问，我们选择的是建立空间直角坐标系，用向量法来解决，那么在间隙之前就要先正，两两互相垂直， 然后正完了他们垂直间隙写坐标 d， b 一的长度不知道可以设为 m， 不要忘记写 m 的取值范围，然后写出向量的坐标，证明数量积等于零就可以了。 如果你想用几何法也是可以的，我们可以取 b c 的终点 p 连接 d p， e p， 证明 b f 这条直线垂直于平面 d e p， 那只需要证明这条直线垂直于这个平面内的 两条相交直线 ep 和 dp 就可以了。第二问，要求二面角的正弦值最小，那么我们首先还是要求出这两个平面的发向量， 注意，这个平面他的发向量是现成的，如果他占据了一个坐标平面，那么他的一个发向量就是和这个平面垂直的那条轴上的向量。 所以我们可以取一个一豆零，豆零，另外一个平面的发项量就要正儿八经的求了。注意，这个两个数量积等于零，一定要写 两个法项量都求出来以后，求他的抠散值，然后利用散方加抠散方等于一把散 c， 他 表示出来。这里面呢，我们进行了配方，这是为了方便看他什么时候取得最值。我们判断出来，当 m 等于二分之一的时候，三岁他取得最小值， 这个时候就可以求出 b e， d 的长度就是二分之一。如果你没有选择配方的话，那么在这里也可以去求这个二次函数，它的对称轴以及开口方向， 来确定他什么时候取得最小值，那么他取得最小值的时候，他开了根号以后又取倒数 就会取得最大值。扣三取最大的时候三就会取得最小值，这样也是可以的。要把步骤写清楚，要么配方，要么利用对称轴和开口方向。
114袁来有数(高中数学)
