2025年辽宁高考数学答案
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06:50查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好啊，我们的终极考试马上就要来临了啊，最近呢，我们这个模拟卷做的也是满天飞啊，那么在最后的这段时间，我们应该回归到我们的终极考试的真题上来啊， 通过这些试卷呢，然后我们发现啊，去总结高考是怎么考的是吧，考的哪些知识点，题型对吧，然后查缺补漏，然后把我们这个遗忘的知识点或者遗漏的题型把它整会好， 废话不多说，我们开始开整啊，我们今天呢，先看看这个二零二五年啊，新高考二卷的主题分析啊。首先这个视频是单选择题啊，那么这个卷上面的单选择题呢，实在是太简单了啊，估计同学们也感觉到了啊，那我们今年的高考呢，可能跟这个的难度也就差不多，或者稍微高一点点啊。好，我们先来看。 呃，那第一题呢，他说样本数据的平均数啊，是多少是吧，那这很简单嘛，你就二加八加十四是吧，加十六完了，加二十完了，你就除以几个数呗，一共五个数是吧，等于十二，所以选 c 啊，就完事一个。 然后再看第二题，第二题考察的是负数啊，那就把它 z 都告诉你了是吧，是一加 i 就 把它带进去呗，那所以变成了 z 减一分之一，就等于一加 i 减一分之一，对吧？嗯，所以它变成了 i 分 之一，你上下都成的 i， 那 下面变成了 i， 方分之 i 下面是负一，那就是负 i 呗，是吧，就负 i 选 a 啊，就完事了。 第三题是一个集合啊，呃，这个位置呢，有一点，这个题啊，有个小陷阱啊，比如说 b 集合，有的同学会怎么做呢？有的同学会把这个两边这个 x 给约下去啊，比如说他，他这么写 x 方等于一，那这就不对了啊，这就这就不对了。呃，正确的我们应该怎么做呢？呃， x 的 立方减 x 等于零，是吧？哎，你提出来个 x， 那 变成了 x 方减一等于零，那所以说你这个 x 等于零，或者是一，或者是负一呗，是吧？就这三个数啊，完了，让你求 a 交 b 是 吧？那 a 里边有零和一，这里边也有零和一，所以就选零和一选对儿， 这里面有一个。呃，我们比较容易错的地方，就是这个 x 立方等于 x， 你 把 x 约掉去解，这是不对的啊。第四题啊，是我们这个，呃，解分式不等式啊，那么解分式不等式这样的呢？如果你这边它不是零的话，你要把它一向通分啊。好了，那我们先来搞一下，那就是 x 减四比上 x 减一，完了，它大于等于零，是吧？完了，给它通分一下，它变成 x 减一分之二倍的括号 x 减一，那它就变成了，它变成了 x 减一分之。上面是 x 减四减二 x， 呃，加二呗，是吧？嗯，所以它就变成了负 x 减二啊。上面是负 x 减二，它大于等于零，对吧？然后呢？呃， 由商化积呗，是吧？你说负 x 减二乘以 x 减一，它应该大于等于零，但是我们要注意一下，转化的时候，你这个 x 减一是不能等于零的，对吧？来转化成这样，然后呢？呃，我就画一个图啊，它应该是一根是一， 一根是负二，是吧？哎，画这个图的时候要注意它的开口向下的啊。所以说我们要的是大于等于零的部分，那所以就是 x 大 于等于负二小于一，对吧？这个 x 是 不能等于一的，所以就选 c 选项啊。那么这个位置啊，呃，我们同学是容易忘的啊。啊，再看下一个第五题，第五题是一个减三角形啊，那我先画个图呗。 啊，那比如说这是 a b c 是 吧，那他说 b c 等于二，完了， c 等于一加根号三， 呃， ab 等于根号六啊。哎呀，那这三个边都给我了是吧，让我算角 a， 那 就余弦定里呗，对吧。那口在 a 就 等于呃，根号六的平方六加上一加根号三的平方，减去四，比上二乘根号六，再乘以一个一加根号三啊。 哎，这个数啊，他这个不怎么好算啊。就是六加一加三加上二倍根号三减四，这是上面的对吧？那就上面是六加二倍根号三，那我提出了一个二出来，应该是二倍的三加根号三，然后下边这个， 呃，下面这个呢？我乘一个根号三进去啊，二倍根号二啊，乘个根号三进去是三加根号三，这样的话他这个三加根号三就约掉了，他变成了二分之根号二啊，那么所以这个角 a 就是 四十五啊，就完事了。有些同学在算这个地方的时候啊，在算这个位置的时候会觉得有点疑惑，是吧，哎，但是其实你好那个具体看一看啊，就能约掉了啊。 好，第六题那有个抛物线是吧，那画图呗，它的焦点是 f， 呃，焦点是 f 点 a 在 抛物线上不点 a 就 准线的啊，再画个准线，那我就随便呃，再来个 a 吧，向它做个垂线啊。呃，没画好， 行，然后这有一个 f 点啊，做垂线啊，垂足式点 b 啊，然后说 b f 的 直线方程告诉我了啊， b f 之间方程是负二 x 加二，问我 a f 是 多少？呃，那我们得用一个到焦点距离到准线的距离呗，对吧？所以其实你求的就是什么呢？ a f 就是 x， a 加二分之 p， 对 吧？啊，这用的是抛物线的性质啊，那就整一整呗。 那我先求一下 f 点坐标呗。呃，我就另外等于零时，是吧？另外等于零的时候，那把 x 等于一呗，就等于二分之 p 呗，对吧？呃，那所以 p 我 就知道了，就等于二 啊，其实算 p 没啥用，是吧？那我再把 b 点坐标求一下。我令 x 等于负一呗，那就准线吧，对吧？令 x 等于负一，所以 y 等于四，所以 b 点坐标就是负一。都四，那么所以 a 点的纵坐标啊，就就也是四啊。 那你把它带到这个 y 方，等于四 x 里边去，那么 a 点横坐标也是四啊，那所以就是四加 x， a 是 四加二分之 p 加一就等于五呗，是吧。就选 c 啊， 用了一个抛物线的定义啊。第七题啊，是考察的是一个等差竖列啊。呃，他给了我 s 三等六啊，那 s 三那就等于。呃，这个三 a 二呗，对吧？哎，他等于六，所以 a 二就等于二。 那再来个 s 五， s 五应该是五倍的。 a 三等于负五，所以 a 三就等于负一，对吧。那么 a 三减 a 二是不就是 d， 对 吧？ a 三减 a 二，负一减二，那就 d 是 负三啊。呃，那 d 有 了，你求下 a 一 呗，是吧？ a 一 是不等于 a 二减 d 减负三就加三呗。 a 一 等于五啊，他让你求 s 六， s 六就是六倍的 a 一 加上二分之六乘五倍的个呗，对吧？哎，那这前面就是五六三十，是吧？呃，加上，呃，负的四十五啊，负十五啊，完事了，那就选 b 啊。 呃，其实，呃，我们这个，我们看着 s s s， 我 们会想到一个等差数的性质啊，但是它下面这个三五六，它不是那个等差的啊，所以用不了第八题啊。 呃，第八题他给了我们一个头三头三二分之 r 等于多少啊？然后让我求三幺二减四分之 pi， 那 我就得生角呗，就是把角扩大呗，是吧？那我就用二角公式，那么就是头三幺二角方减一吧，对吧？二头方减一啊，那就是二乘以，呃，五分之一减一呗， 那所以说就等于负五分之三，对吧？哎，那我还得求三幺二，那三幺二就应该是五分之三，对吧？哎，那我还得求三幺二，三幺二有了，那就直接来呗，是吧？三幺二减四分之 pi， 塞，口减口塞啊，塞 r 乘以口塞四分之派，塞口减口塞 r 乘以塞四分之派啊，那么结果呢？等于十分之七倍杠二啊，这就选对啊，那么这几个单选择题啊，这个是非常简单的啊，基本上都是我们的常考题型啊。好，下一个视频呢，我们去看，多选加填空。
142冯老师讲辽宁高中数学
17:32查看AI文稿AI文稿呃，二零二五高考数学压轴题，我看百分之九十九的人都在说这个出题老师出这个题难的离谱，但其实这个题是一个非常好的题，他相对于去年就二十四年那个可分数列的那个压轴题，难度其实是略降的，但为什么说他是一个好题？ 因为这个题他的计算量是很小的，但是他的思维量是很大的，所以从这个角度来说，他可以称之为一个好题，当然也有一些其他的一些原因。呃，那么对于这样的一个大家都吐槽说难的题，有没有什么比较简单和好理解的办法去把这个三问都搞出来呢？我们来看一下啊。 比如说这个第一问，首先给了函数 f x， 它是一个这个三角函数的一个形式，然后给了你一个 b 区间零到四分之派求最大值，它是一个标准的 b 区间求最大值的问题。那么你很容易想到，就说啊，这样的问题我不就求导就可以了吗？于是你去求你看看后面会发生什么事。比如说第一问，那我当然就开始考虑考虑 e 阶导数 f p x 是 等于，那么就是负五倍的 sine x 再加上五倍的 sign 五 x， 当然这里第一步你可能就化简说把五千提出来，对吧？那就是五倍的 sign 五 x 减去一个 sign x 啊，就成这东西。所以这个时候，其实你为什么要求一阶导，你是为了了解一阶导等于零的那些点，也就是所谓的注点。当然这里可能要用到一个技巧，就叫做核差画机。 那这个东西是这样的，很多省份其实也学，但是呢，很多考生是记不住的，所以这里有个技巧，就是说哪怕你不记得核差画机的公式，也有办法去做成功核差画机。那么怎么做呢？ 就是你每一次的只需要找两个角，通过一加一减的方式能把五 x 和 x 表达出来，然后你就总能做成功啊，你可以试试看，比如说在这个地方啊，它这里不是五倍的吗？然后你像五 x， 你 可以做成三 x 加二 x， 然后这个 x 你 可以做成三 x 减二 x， 然后你会发现你会成功，比如这里就是三 三 x 加两 x， 再减去后面的这个是三 x 减二 x， ok， 那 就这样一个东西，所以接着你去用你的和角公式和差角公式去把这个东西打开，你发现它自动就和差化积了啊，也就说你算出来它会是十倍的这个 cosine 三 x 乘以 sine 两 x 啊，所以你就做成功和优化机了。那当然你求这个一阶导的最终目的还是为了考虑啊，一阶导等于零的那些点，当然它是有两个这样的因素，所以后面你找分类讨论就可以了。第一类就是 size 两 x 等于零的时候，但这个时候它 x 不是 给了你一个区间零到四分之 pi 吗？所以考虑到有这样的一个范围 啊， x 是 属于零到四分之派的，那么二 x 也就是在零到二分之派嘛，所以它等于零，只有可能是 x 等于零。哎，你找到了第一个注点啊，第二个就是 cosine 三 x 等于零的时候，那就老一套嘛，还是考虑到这个 x 的 范围，对吧，你照做。那么考虑到 x 是 属于零到四分之派， 那么这样的三 x 其实是零到四分之派，那么只有可能是三 x 是 二分之派的时候能成功，也就是 x 等于六分之派，这是第二个注点。 那么这个题做到这里，其实有的人就开始已经在考虑单调性了，就比如说这个六分之派啊，他左边是单增的，右边是单减的，然后就说这个地方就是他最大值其实有问题的，因为在 b 区间上，这个连续函数的最大值啊，一定存在，而且这样的一个最大值只会在注点和端点取到，但是你不要忘记去考虑那个端点啊，因为什么意思？ 比如说在一个 b 区间上，它的图像是这样的，对，你会看到极值点，这个是极大值点，这个是极小值点，但是当你去看他的最值点的时候，你会发现其实最大值点在这里，最小值点在这里， 所以注点啊，也就一阶导为零的点，未必是对值点，你一定是要考虑端点的。所以接下来你还有一步叫做由你要考虑两个端点，也就是 f 零，那 f 零你去算一算，其实是五减一等于四， ok， 那 按顺序第二个就是 f 六分之派，它你算出来会是二分之五倍的根号三，减去一个负的二分之根号三， ok， 你 算出来是三倍的根号三，这第二个当然还有一个短点，就四分之派，那个点你不要忘记去考虑，就是 f 四分之派是等于这个二分之五倍的根号二，减去负的二分之根号二， 是等于三倍的根号二。所以当你考虑了所有的注点和端点以后，你发现最大的这个是这个啊，于是你才可以说，哦，那这样的 f x 在 b 虚线零到四分之派上面，它的最大值也就是 f x maximum 是 等于三倍的根号三，所以看到没有，即便是第一问这个我们所谓的讲叫送分题，希望让绝大多数人得到分数的题目，它里面依旧会有合照、画机这样的技巧的考察。包括啊，像考虑最大值的时候，你不要忘记去看一看端点， ok， 那 么第一问，这样你就已经做出来了啊，挺高兴，然后你低头看了一眼第二问， 可能瞬间就情转多云，为什么？因为你看第二问这个形式，你觉得哇，这一看就是很复杂的题，所以有的人做到这一步，首先心态就崩了，然后后面他就没法做了。 我也一直跟我的学生讲，就是解题，它其实不是一个纯智力活动，它其实也是考验你的情绪状态，因为如果你心态崩了，你就没有以后了。但是如果你能沉着冷静的去分析啊，你还有机会，我没说一定做的出来，但是你沉着冷静去分析一个题目，它是你成功的必要条件。当然对于这样的一个问题来讲，它是复杂一点，但它真的难道不可做吗？其实也不是啊， 其实画画图就是出来的东西啊。那么怎么搞？我们可以看一下，他说给定 c 是 在零到派开区间上面啊，然后呢？ a 还是在负无穷到正无穷之间变， 他现在让你干嘛？证明存在 y 属于啊，这样一个区间，使得 cosine y 小 一点， cosine theta 啊，这个时候你是会觉得很恶心，为什么？首先第一个，这个问题里的变量特别多，它有三个变量，你就像一个那个小丑在玩三个球一样天上飞，对吧？你好像掌控不住的感觉，因为都在变。那么这个时候我们就要讲一点，对于复杂的题目，其实你往往要对它进行必要的化解，或者正推。什么意思？ 比如在这个问题里，你看 set 其实是在有限范围里头的 a， 你 觉得是在整个指数范围里面去取，但实际上 cosine 的 周期是最小，正周期是二派，那么其实在这个区间里面，前面加个二派，后面加个二派，其实对于你最后的这个不等式其实是没有变化的。换句话说，这个二派不可能加在 set 里 啊，因为 set 已经定了范围，其实加在 a 里面，你能看出来， a 虽然是在指数范围取，但是它有一个二派周期。于是啊，对于这个第二问啊，你总可以干嘛？不妨设 a 是 在零到二派的这样的范围，当然零和二派你只取一个就行了，这里我就零给他包上 b 区间，零到二派。 所以至此，对于这样的一个问题，你已经做了一步啊，必要的化解，你看挺好的， c 塔也是在有限的范围里，现在 a 也是在有限的范围里啊。然后就是你要证明的这个东西，其实证明这个东西也有点恶心，为什么你不适应？因为 它是一个存在性的一个证明，它证明存在啊，有这样的外，使得这个不等式能成立。那么一般对于存在性的这样的证明，其实你本质上啊，两种路，一种就是你正着来，就是你真的找到了这样的外在，可能的每种情况下，你把它找出来，那它当然存在。另一种就是你去考虑这个问题的反面，但在这个问题里啊，其实它没有你想象那么难，你每次都可以找到这样的外，但是啊，你怎么去画这个图呢？怎么开始了解这个问题呢？ 其实你会看到，你比如说 y 的 范围啊，你比如说这个不等式，在几何上都是有它相应的背景的，比方说像 cosine y 小 一点， cosine theta， 因为 theta 是 一个定范围的，你比如如果把它画出来，那么有一个单位圆，那么如果你的 theta 是 这个是 theta 角啊，那么这边就是负 theta， 所以 你会看到啊，如果有 cosine y 小 一点， cosine theta 这样的 y 会存在于什么样的区域上呢？这样的 y 的 中边一定是在这个区域里的，所以你看到没有，因为如果是在这个区域的中边，它的 cosine 一定是比 cosine theta 要大的 啊。于是它的几何解释其实就是，哦，你就证明存在这样的 y， 在 这个区域里就搞定了。那这句话其实就翻译过来了，那第二个，因为 y 水的这个区间，这个区间是由 a 和 c 塔共同组合而来的，但它也不是杂乱的组合，它其实是以 a 为中轴， c 塔为那个宽度去组合出一个区间。如果你希望去把 y 的 中边画出来，其实也是有的画的，你也去画这个是 a， 好， 那如果 c 塔是这么大的话，这个是 c 塔的话，那么其实这个中边就是 a 加 c 塔， 把它对应的这边就是 a 减 c 塔，所以这个区间的几何解释是什么？就是以 a 为中心， c 塔为宽度的这样的一个区域啊，它其实就是一个有宽度的这样的一个区间啊，它就这点东西 啊。然后你说那这些东西都化了，我怎么去证明存在这样的外，使得这个式子成立好像还是很难呀，即便我看到了这件事情没关系，对吧？我们其实可以从 a 最简单的情况去出发考虑，因为像我做了这一步化简以后，其实 a 是 在一个有限的范围内，比方说啊，呃，再画一个图，在这样的情况下 啊，你比如你的 c 已经在这里了，如果 a 是 它最简单的情况就零嘛，如果 a 是 零的话，其实很简单。为什么？因为 a 如果是零的话， a 加 c 就是 c， a 减 c 就是 负 c， 那 y 其实就是在 这样的一个区域里，那这种时候存不存在这样的 y 满足 cosine 这个 y 小 于等于 cosine c 呢？其实是满足的，因为这个时候是包括这个边界的，所以你的 y 直接取 c 就 可以了。那所以至少啊，最简单的一种情况，那你去分类讨论，你是可以做出来说存在这样的 y， 那 当然从解析和拿分的角度上来说，你写的这句话，其实你可能也拿到一部分分数嘛。于是你想到第一种情况， 那么 a 等于零的时候，其实你总存在这样的 y 啊，这样的 y 你 取成什么呢？ c， 它也就这样可以使得你的这个不等式成立，就是 cosine y 小 于等于 cosine c 啊，因为这种情况是平凡的。当然我说明一下，就这里的符号就是这个，其实是表示存在，对吧？因为存在在英文里面是这个 exist 呢 啊，是 e 打头的，你把这个 e 倒一倒，它其实就是这个存在的，当然因因为你这个任意也是一样，对吧？任意其实是这个 for any， 然后你把这个 a 倒一倒啊，这就任意的符号，所以这个做一个说明， s 点 t 点其实就是使得的意思啊，英文是 such that 啊，就是这样写会方便一点。那所以第一种情况你已经考虑清楚了，那就说这也不行啊，这个 a 其实还会动啊，那你接下来就让这个 a 动起来就行了。 你比如说这个 a 再大一点的时候啊，会不会出问题？比如说啊，这个 a 如果是在这里的话，可以吧？那按照刚才的这个说法，你是不是这个区间，它其实也是有一个几何解释啊？那么 a 加 c， 它就会在哪啊？ a 加 c， 它可能就会在这里啊，可能就会在这里，然后呢，这个 a 减 c， 它可能就会在这里，所以你说在这种状态下， 还存不存在这样的 y， 使得这个不等式能够满足呢？所以你看了看，根据上面的启发，你觉得其实也可以，为什么呢？因为现在以 a 为中心， c 塔为宽度的啊，这一个区域其实也是把这个 c 塔这个点啊，就是把 c 塔这个中边包进去的，你只要把 c 塔这个中边包进去， y 就 取 c 塔，那 cosine 以外就小于等于 cosine， c 塔就能成立，它就就这个逻辑，那么到什么地方才会出问题啊？ 就随着你这个 a 慢慢的大，是吧？然后你这个这个 c 塔，呃，你的 a 减 c 塔这条边它往上挪，它要是超过了这个 c 塔，那你这个 y 取 c 塔就没得取了，所以那种情况会出问题， 所以至此啊，这个问题分析到这里，你开始意识到 a 减 c 塔和 c 塔的关系直观重要，于是它使你想到要以这个为分类标准去分你后面的类，所以你第二类，你想到什么？就是当这个 a 减 c 塔它小于 c 塔的时候， 就这种时候当然说一嘴，你那个 a 其实也有一个天然的范围嘛，对吧？你的这个 a 其实是大于等于零的，因为等于零你已经讨论过了，所以你这个地方是 a 大 于零。那么在几何上其实你也看到了，在这种状态下，你的这个 c 塔是可以被 a 加 c 塔和 a 减 c 夹住的，所以这个时候你也很容易推出 c 塔是属于 这个 a 减 c 到 a 加 c 之间的。这个证明很容易。因为 c 为什么大于 a 减 c？ 因为这句话说了，那么 c 为什么小于 a 加 c？ 因为这句话说了，所以 c 已经在里面。那么这时候跟上面一样老一套嘛，那当然存在这样的 y， 为什么？因为你还是可以取这样的 y， 是 c 使得你的 cosine y 小 于等于 cosine c， 所以 做到这个地方其实你还蛮有信心的。这个题目好像已经做 出来一大半了，其实你也就画画图了吧，对吧？然后因为你发现了这个关键点， a 减 c 和 c 它的关系，你就关系你就第三类。那么当 a 减 c， 它 大于等于 theta 十，所以这种情况它是什么意思呢？就是说我比如画个图，在这里还是单位元，然后这里是 theta， 这是负 theta， 只不过这种时候你的 a 就 跑的比较远了，对不对？可能你的 a 就 跑到这里了，然后你的 a 减 theta 呢，也超出去了， a 减 theta 在 这，然后你的 a 加 theta 呢？可能会在这里。好，这个时候你还是要证明那样的 y 存在，所以有的人一看这个他就很高兴，他说，那我总取这个 y 是 a 加 theta 不 就可以了吗？啊？因为他不是在 前面的那个区域里面吗？对不对？但其实不然，因为如果你取那个大的这个中边啊， a 加 c 塔，你会知道天然的 a 加 c 塔是有机会超过这个负 c 塔，甚至超过二 pad 的， 这个点的 a 是 可以无限接近二 pad 的， c 塔也会无限接近于 pad， 那 它俩一家其实可以无限接近三 pad， 你 超出这个二 pad 这个中边妥妥的， 所以取 a 加 c 塔不保险。所以在这个时候，同志们，你注意啊，你总能够得到的一个结论其实是，你的 a 减 c 塔是超过你的 c 塔的，但是这个时候你总存在你的 y 可以等于 a 减 c， 它你这么取，就你取前面这个总不会出问题，因为 a 减 c， 它总不会超过它啊。这个地方其实你可以证明的就是 a 减 c 它，你会证明它的范围一定是在这个 c， 它到 这个是二派减 c 之间啊，你觉得这个难吗？很容易。为什么？因为 a 减 c， 它为什么大于等于 c？ 它这句话说了，那么 a 减 c， 它为什么小于二派减 c， 它因为 a 小 于等于二， a 小 于二派之前那个 a 的 不防射还记得吗？它里面说明了，所以这时候你总能取啊，总能取外是 a 减 c， 它使得题目要求的那个不等式可算以外小于等于 for instance。 所以 你看画画图，你找到了题眼，然后经过这一通分析，一二三类分清楚，最后你干嘛？综上这个问题你就挣出来了。所以这个就是第二问啊，你画画图找到了突破口啊，理解了它，其实你看计算量其实并不大，很舒服，但是思维量是不小， ok， 于是第二问，你画画图，你弄出来了，现在来到了第三问，那么一个压轴题出的难不难要看第三问，但是出的好不好，其实是看第一问和第二问，因为往往第一问和第二问会给出去做第三问的这样的一个阶梯。当然在这个题也一样，就简单来说就用的上，但是虽然用的上，你说那我怎么去想出第三问的这个思路，也使得他能用的上呢？这其实也也是一个问题， 所以我们可以来看一下。呃，首先第三问说，他说若存在这样的 x， 都有这样的一个东西，不等于 x， 其实就是一个很成立的一个东西，但他要求的是什么？ 求这样的 b 的 一个最小值。所以你你这样一分析，觉得，哎，也有点复杂，对吧？所以首先第一步还是那句话，要对问题进行必要的简化，或者说去正推，那他这里什么意思？就说给你一个 f 啊，然后呢，对任意的 s 这个东西都能横成力，这个横成力其实是说明在 f 给定某一个值的情况下， b 要大于等于左边这坨东西的最大值，那么每给一个 一个一堆最大值的集合，但他题目要的是什么？要的是 b 的 最小值，所以你这样的 b 一定是在左边这坨东西当给不同 f 的 时候形成的一堆最大值的最小值 就是你要找的这样的弊，这是一个啊，你对这个问题提一进行的理解，并且做了一步化解和正推，那你说那这么好像也没什么办法呀，是废话呀，因为我左边这个东西的最大值的最小值，我怎么去找，怎么去思考呀？所以这就是这个题出的好的另一个原因。这个题里面其实这些东西是有明显的物理背景啊。 换句话说，你比如题目原来给出那个函数啊，什么五倍 cosine x 和负的 cosine 五 x， 在 物理里面，你可以把它看成两个波的叠加啊，可以是声波，可以是机械波这样的东西，因为整个问题里啊，是没有这个损耗的，它是有能量守恒的概念，从而使得你能够想到什么时候左边这坨东西它的最大值的最小值啊，在什么样的 f 的 情况下可以取到啊？它是这样一个逻辑，但无论如何，首先我们先把波形画出来看看。 好，所以你把这两个函数的几何图像画出来，那这个比较大的这样一个波是 y 等于五倍的 cosine x， 它是确定的，那么这个比较小的这样的一个波，呃，是 y 等于负的 cosine x 加 f 啊，当然，因为有了这样的一个 f 的 存在，它其实可以左右平移的，这里画出来的刚好是 y 等于零，就出项等于零的情况，当然在外等于零的时候，它也刚好是第一问给出的这个函数 好，所以了解了这样一个问题的几何背景，那对于我们要求的东西有什么帮助呢？所以你看啊，他现在要求这个东西所有最大值里最小的一个。当你不仅有了几何的观点，你还有了一些物理的观点以后，你把它看成两个波的叠加，那你就会去想，对吧？那这个他叠加以后的这个波，哎，什么时候他会有这个所谓的最小的最大值？但是叠加以后的这个波可能会很奇怪，你比如说长这个样子 啊，可能是这种波，那怎么办？不管叠加以后他是一个这个多么丑的样子，他的叠加以后的这个最大值只取决于这个波的正负。而我们知道在物理上他正负的平方是和能量成正比的， 那如果他能量守恒的话，其实在叠加以后这个波形，你只要找到一个点去分析，对了，其实对于所有的点其实都是对的。换句话来说，你希望找到他叠加以后这两个波叠加以后所有最大值的最小值，也就是希望找到叠加以后所有的正负里面最小的那个正负，所有的能量里面最小的那个能量。 问题来了，两个波叠加什么时候能量最低啊？其实对吧？为什么我说第一问前两问对他有帮助？第一问给出的那个范围零的那个情况，其实已经给你启发了，为什么？因为在这种情况下，第一个大波的最高点在这，他刚好和这个小波的最低点 啊，是同一个位置，这就说明这两个波按照这种形式去叠加，他们得到的能量是最小的，因为一定是你一个波其中一个能量高的时候最高的时候和另一个波能量最低的时候一叠加，总能量最小，所以你要的其实刚好是这样的一个状态， 那于是第一问你已经做过一次了，你就很容易就会去猜，哎，那第一问求的那个最大值三倍根号三，那不就是他所有最大值里的最小的一个吗？于是像在这个问题里面，为什么我说他出的好，因为第一问 给了你猜的勇气，但其实更好的是第二问他给了你证明的底气，那么怎么来干？我们可以看一看。好，所以那先对于你想要研究的这个东西，先给一个记号，就令他为 g x。 那 么由第一问你做过的事情，你已经 知道，当 f 等于零的时候，其实 g x 和 f x 这个时候是同一个东西，那所以 g x maximum 是 等于 f x maximum 最大值相等都是三倍根号三啊。然后你就说根据刚才的这个物理背景的分析，对吧？这个波特叠加你就猜到了，说，哦，那这样的 b 的 最小值其实就是三倍根号三，你就做了先猜这样一个动作，然后 那当然你后面就紧跟的就是后正。你要证明的就是当 f 不是 零的时候，也就其他的情况啊，你的这个 g x 的 最大值总会大于等于三倍根号三，那这样的话，那个三倍根号三不就成为了 g x 所有最大值里的最小的那一个吗？所以你需要证这个东西，那么要证这个就是要证明什么呢？对于每一个 five 等于零存在这样的 x， 使得什么呢？使得你 g x 的 这个内容就是你要研究的这坨东西是大于等于三倍刚好三的，为什么？因为 b 是 大于等于这个东西的，它又要大于等于三倍刚好三，那 b 肯定就大于等于三倍刚好三，所以 b 的 最小值肯定就不会想过三倍刚好三它这个逻辑。那么你要证这个式子，其实就是要证什么呢？ 其实由第一问求那个最值的过程，你其实受到启发，因为当时那个也是三倍根号三啊。你去看那个，你会看到当时的那个三倍根号三，其实是变成二分之五倍的根号三，它减去一个负二分之根号三的，因为你要挣这个式子，其实你只要给出它一个充分条件就可以了，包括这个项位为零的这个点其实是个特殊点。你看到这两个数，其实你说它的一个充分条件是什么呢？是 五倍的 cosine x 大 于等于二分之五倍的括号三，并且后面的这一段负的 cosine x 加 f 大 于等于负的二倍 cosine 三。当然你再把这两个分别化简一下，你就会发现了，这个第一行其实就是 cosine x 要大于等于二倍 cosine 三，二倍 cosine 三，不是刚好就是你的那个 cosine 六分之派吗？那么第二行也一样化简一下 cosine 五 x 加 f， 它是要小于等于什么负二分之三的，那其实也就是小于等于 cosine 六分之五派， 那都写成这种括在内的形式，其实是为了你，后一步你会发现哦，既然要证明存在这样的 x， 那 我其实找一个范围嘛，那存在 x 属于负六分之派，到六分之派里面，你去考虑后面的这个事情还能成立，那这个事就证证明好了。那怎么来说明呢？其实这个时候第二问就会开始发挥作用。你看这里，当 x 是 属于负六分之派，到六分之派的时候，这个时候五 x 加 f 的 范围其实容易表达的，表达出来就是 f 减六分之五派， 然后 f 加六分之五派，这个之间。其实你看啊，到了这个时候你会发现这一坨东西不就是 f 减六分之五派，然后 f 加六分之五派，这个之间，其实你看啊，到了这个时候你看啊，到了这个时候你会发现这一坨东西不就是你第二问题里面的那个 a， 你的这个六分之五派不就是对应你第二问里面的那个 c 塔吗？所以由第二问你可以马上知道哦，一定存在这样的 y， 也就是一定存在这样的五 x 加 f， 使得 cosine 五 x 加 f 是 小于等于 cosine 六分之五派，那到这个地方你不就推出来了吗？不就连上了吗？所以这样你一路挣回去。这样的一个问题里面的第三问，为什么说这个题出的好？因为第一问和第二问是给第三问做铺垫的，第一问给了你先猜的勇气，第二问给了你后正的底。 所以这个题设计其实很精巧，包括他不仅考察了数学问题几何背景的理解，他还涉及到了物理背景，我觉得这个是特别好和特别新颖的一个点。呃，那么至此啊，三角函数也是第一次放在这样的压轴大题里面去出现，到目前为止，你这个什么竖列呀，圆锥曲线呀，这个 概率啊，包括三角什么东西都有可能放在这个压轴题里面，所以以后的这种压轴题可能就不设限了，它是要求你真正的有能力，有分析能力，有解决问题的能力，所以我想这可能是以后的一个方向。而这个题为什么出的好？它里面不仅考察了几何值观、物理值观，其实也渗透了在数学中非常重要的一种想法， 先猜后正。但是出题的人其实也很温柔，因为他前面给你垫了第一问和第二问，如果没有垫第一问，第二问只给你第三问，他可能真的就是一个竞赛题了，但是给你垫了前两问，而他也成为一个非常好的压轴题。
602陈珂讲数学
10:22查看AI文稿AI文稿好，同学们，今天这个视频我们继续来看啊，新二零二五年新高考二卷啊，十五到十七题啊。嗯，首先看一下十五题啊，他说 f x 等于 cos 二 x 加 f 啊，然后 f 的 范围给我们了，然后 f 零等于二分之一啊，那就直接代数呗，是吧？那第一遍直接来 f 零啊，就等于 cos 在 f 呗，它等于二分之一，是吧？那所以 f 就 等于三分之一呗。 呃，然后三分之派正好在这个范围内，是吧？哎，所以呢，这就完事了。第一个问就完事了。第二个问，呃，他说 g x 等于 f x， 那 就往里带呗，是吧？那就口在二 x 加三分之派，完了你再加一个啊，这个啊，那就搁这边写一下啊。二的口在 x 减六分之派，完了再加个三分之派，那就是口在二 x， 对 吧？就是口在二 x， 那你得他让我们求他的值域和单调区间啊，那很明显我们得给他合一公式呗，对吧？那就口口减差差啊，变成口差二 x 乘以口差三分之派，口口减塞二 x 乘以一个塞三分之派，然后再加上口差二 x， 呃，那就往里带带数，是吧？哎，那这个位置是二分之一，这个位置是二分之根号三，呃，那就变成了二分之三倍的口差二 x 啊，然后再减去二分之根号三倍的塞二 x 啊， 呃，然后呢？我们提个杠三出去，是吧？提个杠三出去，那变成了二分之一，口在二 x， 呃，加上减去，呃，不对，这是二分之一杠三啊，这是二分之一，对的三以二 x 啊。 然后我们想，那个口在多少等于口在六分之 pi， 是 吧？那就变成了杠三倍的口在二 x 加六分之 pi 啊，那么他让你算他的值域，因为这个 x 的 范围他没给，是吧？所以，那么 g x， 呃，他就属于负幺三到杠三啊， 这个很简单，没有什么问题。他要求单调区间啊，那我就求呗，对吧？二 x 加六分之派，比如说我先求递增区间啊，大于等于负派加上二 k 派，是吧？哎，小于等于零加 二 k 派啊，然后你就解 x 呗，对吧？那就是二 x 大 于等于负的六分之七派啊，加上二 k 派，小于等于六分之派加上二 k 派， 都除以个二，是吧？哎，那所以解得 x 大 于等于负的十二分之七派加上 k 派啊，小于等于十二分之派啊，加上 k 派啊，那我们的 d 增区间， g x 的 增区间我们就有了 g x 的 增区间就是，呃，负的，呃，单调区间，我们一般都写成开区间就可以啊， 区间就是负的十二分之七派加 k 派到十二分之派加上 k 派啊，好， d 点起点还是用同样的办法来做就可以了啊。好了，这十五题啊，很简单啊，我们再看看十六题， 呃，十六题呢，是一个圆曲线啊，椭圆啊，然后它给离心率是二乘以二，长轴长是这个四啊，那注意一下啊，注意一下，同学们，长轴长是二 a 啊，有的同学会搞成 a 啊，那我上来就二 a 等于四呗，那就 a 等于二，对吧？ 离心率 e 等于 a 分 之， c 等于二分之根号二，那么所以 c 就 等于根号二，那同样道理， b 也应该等于根号二，对吧？所以第一问，它方程就出来了，四分之 x 方加上二分之 y 方就等于一啊。第二问啊，他说过点零动负二的直线 l 与椭圆交于 a b 两点， o 是 圆点，给了我们 o a b 的 面积，是根号二，让你求 a b 啊，那我先画个图呗，对吧？ 然后画一个啊， 好，那比如说我认为这就是 a， 这就是 b， 是 吧？这是 o 啊。然后他给了我这个 o a b 的 面积啊，是根号二啊，让我们求 a b 的 弦长是多少啊？那么，呃，这个问题也很简单，是吧？嗯， 这个位置是零动负二啊，那我们怎么搞呢？呃，那我设 a、 b 之间方程呗，对吧？哎，其实你一设 a、 b 之间方程的时候，你要考虑一下这个斜率是否存在啊。那么第一种情况，斜率存斜率，如果不存在的话，它就没有 o a b 了，对吧？所以说我们先说一下啊，这个 a b 的 斜率啊，不存在，显然不成立，是吧？显然不成立。 那么第二个就是斜 a b 斜率存在的时候啊，斜率存在的时候 啊，那如果奇律存在的话，那我就设 y 等于 k x 减二呗，是吧？这是 a、 b 的 之间方程。然后呢，我跟四分之 x 方加上二分之 y 方等于一，他俩连立一下呗，对吧？哎，他俩连立一下，呃，那么连立完了之后变成了一加二， k 方被打， x 方减去八 k， x 加四，是吧？等于零啊。 呃，其实在这里边呢，我们并没有涉及到取值范围的问题，所以你求不求得他都行啊。呃，如果你分不清楚什么时候用求，什么时候不用求，那你就每次都求啊。呃，三十二 k 方减十六啊，他应该是大于零的，所以我们这个 k 的 范围是小于负的二分之根号二，或者是 k 大 于二分之根号二啊，那么这个其实，呃， 对于我们最后算的那个 k 的 值啊，是有点用的啊。好了，那嗯，我就委曲立理呗，是吧？ x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b 啊，那就八 k 比上一加二 k 方啊，八 k 比上一加二 k 方， x 乘以 x 二呢，等于 a 分 之 c 是 吧？就是一加二 k 方分之四啊 啊，呃，然后呢，就表示一下 oab 的 面积啊，是吧，那么我们有这样几个方式啊，一个是，呃，就是呃这个 o 点啊，到 ab 的 距离啊，再乘以 ab 乘以二分之一啊，可以表示面积，也可以用水水平底牵制高啊，那我求一下点 m 的 坐标，比如说我另外等于零十，是吧？ 另外等于零十，那么这个 x m 应该等于 k 一 分之二，是吧？那么所以这个三角形 o ab， 它的面积就等于二分之一，是我们的 y 减 y 二啊， 好，那就变成了二分之一乘 k 分 之二的绝对值，其实变成了 k 分 之一的绝对值了，对吧？啊，这个 y 减 y 二的绝对值，带到直线里面去，那就变成了 k x 一 减二，减去 k x 二加二 啊，那其实这里面是不是剩了一个 k x 一 减 k x 二，你把 k 分 之一乘起来啊，所以它变成了 x 一 减 x 二的绝对值啊，那 x 一 减 x 二的绝对值呢？它等于根号下是吧？ x 一 加上 x 二的平方，减去四倍的 x 一 乘以 x 二，那就把这个 x 乘以 x 二 x 一 加 x 二，把它带进来，是吧？带进来整理一下，那么整理完呢，是四比上一加二 k 方啊，再乘以一个根号下 二 k 方减一啊，它应该等于根号二，那么我们解得的 k 是 正负二分之根号六，那么我们发现这个，呃，正负二分之根号六正好在这里面，是吧？那么 ab 啊，就是弦长公式呗，是吧？就根号下一加 k 方啊，乘以一个 x 一 减 x 二是不就可以了，是吧？所以你知道了这个 x 一 减 x 二角值等于根号二，是吧，这样就能算了，对，那根号五啊，这就解决了啊， 在这里边呢，闲谈中事啊，有些同学得忘了的，是吧，那你就记一记，再有一个呢，我们需要注意的，你设时间方程的时候，是吧，你要保证这个斜率存在的啊。好，我们再看一下第十七题啊，十七题是个立体几何啊，呃，是一个折叠问题啊，他说首先有个四边形 a， b， c， d 中 a， b 平行于 x 啊，然后 d 等于九十度啊，那就这是九十度呗， 对， ab 等于九十度，然后 f 是 c 对 的中点啊，然后点 e 在 这个 a b 上， e f 啊，还平行于 a， 对 啊，那其实我们就应该知道这段的长跟这段的长应该是一样的，是吧？哎，他这个 a e f 对， 他现在应该是一个矩形啊。呃，然后 ab 等于三倍的 a 对， ab 等于三倍的 a， 对 啊，然后 c 对 等于二倍的 a， 对 啊，那所以说这点应该是两份，是吧？这点是两份， 两份，这是一份，其实这是一份，是吧？哎，然后他说将四边形啊， e f 对 沿 e f 折叠啊，成了这个四边形，使得这个面和这两个面的夹角是六十度啊，好，那读完了是吧？然后看看第一问，他说 a 撇 b 啊， a 撇 b 的 角线， a 撇 b 的 角线和这个 e f， c， d 啊， e i 不 对，串 r 了啊， a 撇 e 这个线啊，它跟 c 得撇 f 啊， c 得撇 f 这个平面啊，它俩平行。那么我们证明线面平行的想法就两种啊，就两种啊，一种是线线平行，线平行于线，另外一种是由线平行，线推出来线平行于面，去推出来线平行于面啊， 啊，就我们这个想法啊，好了，那我们想一想，那我们一看到你这个 a 撇 e 啊， 这个 a 撇 e， 它应该平行于对儿撇 f 啊，平行于对儿撇 f， 因为你原来那个 a、 e 跟对儿 f 就是 平行的，对吧？ 哎，呃，然后另外一个呢？是有这个，呃， d e 啊，它是平行于 c、 f 的 啊，那么通过这两个条件呢，我们就能知道这个面儿啊， a 撇 b e 啊，它应该是平行于面儿， 嗯， c 个撇 f 的 啊，这两面是平行的。又因为呢，这个 a 撇 a 撇 b 啊，它在这个平面内啊，那么所以说我们就能知道了，这个 a 撇 b 啊，它是 a 撇 b， 它是平行于面，这个 c 个撇 f 的 啊，我就写了一个这个大体的思路啊， 好，第二问，呃，他说这个 b、 c、 d 撇和什么 b c、 d 撇啊，这个平面呗，是吧？和这个 e、 f、 d 撇一撇啊， e、 f、 d 撇一撇啊，这两个平面所成角的二面角的正弦值。注意啊，我们正常用公式算的是余弦啊，你得 还得用一个塞方加括号的一去把正弦求出来啊。那么这样的主要的问题呢，是在于间隙是吧？哎，那么我们通过刚才的分析呢，我们知道这个点九十度，呃， a、 e、 f 点，它是个矩形，对吧？呃，如果你看不明白的话啊，或者说你觉得看起来有点费劲，那你就把这个图啊，你重新给他画一下啊。哎，就是把这个底面啊，这个图给他拿出来啊。 呃，那我就这么这么画一个啊。呃，然后这是 a， 这是 b， 这是 d 啊，这是 c， 然后它的终点是 f， 然后你向下做了一个这个，这个点是点 e 呗，是吧？那这个间隙的方式我们就这么选择呗，这是 x， 是 吧？这是 y 呗，是吧？啊？那其实主要的问题呢，在于这个 d 撇的坐标怎么算啊？这个 题目当中还给了我们一个条件，说这两个二面角啊，这两个二面角，他的这个假角是六十度啊，那么这个给我六十度，我怎么咋办呢？那我们先去观察呗，是吧，那我们会发现呢？呃，这个 a 撇 e 啊， 这个 a 撇 e 啊，它是垂直于 e f 的 啊，然后呢，你的 b e 也垂直于 e f 啊， b e 也垂直于 e f， 那 么其实就这个角啊，就是这个角 a 撇 e b 啊，它就是六十度啊， 同样的道理啊，你这个角的撇 f c 啊，它也是六十度啊，这是根据我们这个二面角定义的来的啊，那所以我们就知道了，那你这个的撇啊，在底面的投影，是吧？我们先解决这个问题啊，它在底面投影应该投到哪呢？ 他应该投在这个 c f 这根线上。呃，我们设这个 c f、 d f 什么都是一吧。啊？那 d 撇 f 就是 一，是吧？哎，那你这个这个角是六十度，那么所以说 d 撇点的坐标啊，它的 x 方向是零，它的 y 方向是一乘口，在六十度啊，就是二分之一。 呃，他的 z 方向啊，是一乘三，六十就是二乘六等于三啊，那么这个豆皮点坐标出来了啊，其实就完事了啊，因为其他点的坐标都很好算啊。然后呢，唯一需要注意的就是我们最后是吧，他搞的是正弦值啊。再说一个，最后呢，我们这两个这个面与这个面所成角的二面角的公式啊，是这样的啊，一定要规范些啊， 等于头在 n 一 向量， n 二向量，它俩夹角等于弦值的绝对值是吧？然后再往后写， n 一 向量乘 n 二向量，但绝对值比上 n 一 向量的模乘 n 二向量的模啊，有些同学直接头在贼的等于啊，这样的话是不对的啊。好，那么我们这几个啊，十五到十七啊，我就都讲了一遍啊。
172冯老师讲辽宁高中数学
07:43查看AI文稿AI文稿挑战二零二六年新高考一卷数学试题，我的用时是一小时五十分钟，做完了最后一个题第三问之外的所有题目，然后错了一个多选择题。 下面我来跟大家分享一下我的这套试卷的看法。呃，首先前六个选择题，这个都是送分题， 然后第七题的话，第七题这里我是用了一个代入选项的方法。呃，首先根据这里啊，相除为六，公差为 d， 我 们设这个竖列为 b， 也就 b 一 到 b 六，那么可以得到 b 一 加 b 六等于三十六，因为 b 一 加一直加到 b 六的和还是等于一百零八， 那么就接近不可以得到两倍的 b 一 加上五倍的 d 等于三十六，这时候我们就可以直接代入选项。首先 a 选项和 c 选项代入之后算出来的 b 一 都是等于基础， 那我们看这里的 a 一 到 a 十二都是基础，那么 b 又是两个 a 的 和，也就是说 b 一定是偶数，所以 a c 就 可以排除四 d 选项算出来 b 等于负二是个负数，这个肯定是不对的，所以这个题只能选二 b。 呃，实际上我觉得这个第七题大家要明白，我们在考场上做题的时候就一定要灵活，不要说我们这个题一定要去正着去解他，有时候你看像高考题，我们也是可以通过代入选项这种方法，可以在其他程度上的简化我们的做题。 然后第八题呢？第八题我认为这也真的不是一个难题啊，唯一用到一个点就是零等于这 x p 的 期望值加上 x 的 期望值。为什么是这个地方是零？是因为这里 x i 是 属于负二，负一、一二这四个数加起来是零， 因为每个点的坐标都取自于这四个点，然后它又是每个点的加和，所以说如果说算六十四个点的话， 这个数值应该等于零，但是它这里只算了六十三个点，也就是这个 x 只要求六十三个点，那么就是再加上 p 的 x， 那 么 p 的 x 我 们就很好求了，对吧？ p 的 x， p 是 一一一，那它 x 应该就是呃，六十三分之三，就是二十一分之一， 那么也就是说最后答案就是 a 了，然后第十题做错了，因为我这个当时没有画图，这也警告大家，真正在考试的时候，最好能画图还是要画出来，我没有画出图来，然后就能在大脑里边空想，所以就很容易犯错，就导致这个做错了。 十一题呢，我主要是想跟大家说 c 选项，而且是如何在 d 选项没有选出来的情况下选出 c 选项。 这里有一个技巧，就是我们在做多选择题，尤其是压轴题的情况下，我们可以先把四个选项都看完，然后综合来分析，有时候可能会对我们的思考有所帮助。 我这里呢，我就是看了 d 选项之后，我先假设 d 选项是对的，而且我把 b 就 设为零， 那么这个时候，也就是我们看到之前就是 y 等于 k， x 有 已知呢， l 被 c 一 c 二 c 三都要截到，那么也就是说这条直线就应该在我这里的 l 二到 l 四之间，这个小范围之间， l 二和 l 四都是与圆 c 三相切的。 那么由于对称性呢，因为这块区域关于外轴对称，所以我们又只需要研究从 l 二到 l 三这个范围，我们假设 d 是 对的了，那么所以在这个范围之内一定是有最大值三分之二，根号二十一的。 那么经过计算，当这条直线是 l 二的时候， s 三等于零， s 一 加 s 二等于二，根二小于三。那么当这条直线是 l 三的时候， s 一 和 s 二都是零， s 三呢，是等于二的，也是小于三。我们又已知， 当这条直线为蓝色 l 一 的时候， s 一 加 s 二加 s 三等于三，也就是二 b 的 一条。也就是说呢，从 l 二到 l 三，一定是经历了二根二三，三分之二刚好二十一三二这一个过程， 那我们不需要管到底哪个三是二 b 选项中的这个三，但是我们就是又找到了一条直线，它 s 一 加 s 二加 s 三是等于三的， 那么这个就是我们假设四 g 如果对了的情况下，我们找到了四条 l， 使这个 s 一 加 s 二， s 三等于三，所以说这个 c 就是 对的。好，那么如果假设四 g 是 错的呢？ 那么假设四 g 是 错的，我们又知道 a 肯定是错了，这是个多选题，所以肯定是 bc 都对了，所以这个时候呢，我们这个 c 选项就一定能选出来了。 我讲这个呢，就是想让大家知道，其实有的时候根据这个多选题的性质，还有我们综合去看，这一道题目的确实可能会给我们带来一些帮助， 帮助我们能拿到更多的分数，也是一点应试技巧吧。然后填空题、十二十三题都是省分题，十四题的话，确实有一定的难度啊，但是如果说你把这个题读明白了，其实也就能够做出来了，我们就是关键要明白它为什么给我们九项， 给我们九项呢？其实就是因为这九项里边呢，能够至少包含从三减二到三这样的两组，也就是比如说一二三呃，四五六这种两组，因为这种的两组它能够用到这里的公式进行相减， 然后再做一个比，做一个比，再进行讨论，这题就能做出来了啊。十五、十六题都是送分题。十七题呢，其实你只要第二问，你把它这个 k x 大 于 k 是 什么含义给想明白，真的就非常简单 啊。 x 大 于 k， 那 实际上你看 x 是 停止练习时投篮次数，那么 x 大 于 k 意思就是说我投到 d case 的 时候，我还没有停止，对吧？为什么没有停止呢？就是因为都没投进，那么也就是说前 case 全部都没有投进的概率， 那么就是一减 p 的 case 方。如果说这个能想明白的话，那这第二问也是非常好做的 啊。十八题呢，我觉得这个题目放在这里难度确实不是很大，跟我们去年的那个题目难度应该差不太多。第二问呢？这个第一小问和第二小问。 第一小问我就是正常做的，只不过是利用一个面积转化，然后转化成坐标的比值，是 p 和 q 的 坐标比，然后能求出来它的斜率 m 就 能做了。那么第二小问呢，是求 tan 的 p q 二，这个就是用一个倒角公式嘛。 倒角公式其实我觉得现在也不算是一个二级结论了，我们正常推的话也是非常好推的， 所以说这个题难，感觉难度也不是很大啊。十九题，我的第三问就是直接没有做，因为我知道这个我第三问我肯定也做不出来，也没有必要浪费时间。但是一二问其实真的还是比较好做的。第一问，只要你能把这个题干啊，读明白了， 第二问题需要分类讨论就行。以上就是我对二零二六年新高考一卷数学题目的一个看法。哦，我个人认为这套卷子难度确实要比二零二五年大一些，但是并没有难太多，更没有像网上说的那样夸张。 呃，不过可以肯定的一点是，数学题确实是在变得越来越具有创新性，反套路化。不管怎么说呢，高考已经过去了，那么希望二六年的高考生你们都能够取得一个自己满意的成绩。
724罗纳尔郭
12:36查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们继续来看啊，二零二五年啊，新高考二卷的多选和填空啊。好，我们先看第九题啊，他告诉我是一个等比数列啊， q 是 公比， q 大 于零，然后 s 三得七， a 三得一啊，那我就得想一想呗，是吧？哎，到时你做的时候，你得先考虑一下 q 等于一的时候行不行，是吧？如果 q 得一的话， a 三等于一， 那你的每一项就都是一了，那 s 三就该等于三了，对吧？那么很显然，这种情况是不行的，是吧？这种情况是不行的。那第二种情况呢，就是 q 不 等于一时， q 不 等一的时候，我这个 s 三我不就能写了吗，对吧？就是一减 q 分 之 a 一 乘以一减 q 的 立方呗，是吧？这是七呗啊， 然后呢，那个他告我 a 三等于一了啊，呃，那我 a 三就是 a 一 乘 q 方等于一呗，是吧？两方乘两位数，但是注意一下，这里面我们有一个立方差公式啊，那这个公式大家可得记住了啊，比如说 a 的 立方， a 的 立方减去 b 的 立方啊，等于 a 减 b 啊，再乘以个 a 方加上 a b 啊，然后加上 b 方， 那么另外一个 a 的 立方加上 b 的 立方，等于 a 加 b 啊，乘以 a 方减 a， b 加 b 方啊，那我们一般这个等比数列里边啊，一般他就爱考这个啊。好了，那么我们用一下看看，是吧？那这个地方就是 a 一 乘以一减 q 呗，再乘以一加 q 加 q 方， 完了，比上一减 q 啊，就等于七，是吧？那你那一减 q 是 不是约掉了，对吧？然后你把一换成 q 方分之一，对吧？一加 q 加上 q 方啊，它等于七，那这样的话，我们其实就能算出来，是吧？哎， 应该是，呃，把这个 q 方乘过去，那么就是七 q 方减 q 方，六 q 方减 q 减一等于零，那么所以说呢，我们就可以算出来这个 q 啊，那这个 q 就 等于二分之一啊， q 就 等于二分之一，那 q 等于二分之一。知道了，那我们 a 一 也知道了， a 一 就等于四啊。好了，那所以说 a 就是 对的呗，是吧？那你 a 五啊，咱们咱们也能算，对吧？那么 a 五就等于 a 一 乘 q 的 四次幂啊，那 a 一 是多少啊？ a 是 四，是吧，再乘以二分之一的四次幂， 呃，十六分之一乘四四分之一呗，是吧？九分之一，不对， s 五啊，我们也能算 s 五就是一减二分之一分之手相 是四乘一减二分之一的五次密呗，对吧？那一减二分之一，二分之一上面有个八，是吧？一减去三十二分之一，这很显然不等于八，是吧？那所以 b 也不对， c 也不对，然后再看看，对啊，他说 a n 加 b， a n 加 s n， 那 就整 a n 呗。 a n 是 四乘二分之一的 n 减一次密，对吧？嗯，那其实就应该是二的一减 n 次密呗。 呃，这是二的平方乘以二的一减 n 次密，正好是二的三减 n 次密，对吧？哎，这是 a n 啊，然后你再搞一下 s n 呗。 s n 等于一减二分之一，是吧？分之四乘一减二分之一的 n 次幂啊，就这样，那么这么一整完是八倍的一减二的负 n 次幂 啊，那等于八减二的三减 n 次幂，那所以 a n 加上 s n， 它就等于，呃，八呗，是不？哎，这一对对了啊。呃，它其实就考察的是这个等比数列的计算啊。然后呢，同学们把这个公式记住了啊，没记住的赶紧记啊。 第十题啊，第十题呢，是函数和导数的一个综合题啊，那么先看个题干啊，他说 f x 是 定义在 r 的 极函数，那马上我就反应出来了，是吧？马上就反应出来了， f 零等于零呗。啊， 当 x 大 于零的时候，给了一个解释啊，那所以这 a 选项马上对了，对吧？ b 选项，他说当 x 小 于零时， f x 是 这些，那这不就是 b 选项主要考察的是利用奇偶性来求解释啊，对吧？利用奇偶性求解释， 好，那即有幸。那我这么的呗，我先令负 x 大 于零好不好？令负 x 大 于零，那么 f 负 x， 它就等于，呃， x 方减三乘以一个 e 的 负 x， 米完，再加个二呗，对吧？然后你负 x 大 于零，其实 x 就是 小于零了，对吧？哎，你是奇函数，所以 f x 等于负的 f 负 x 把符号整进去，是吧？不用整进去也行，就这么写吧， e 的 负 x 减二，是吧，所以这个 b 选项也是可以的啊。 然后看了 c 选项， c 选项它说 f s 大 于二，当前你当 x 大 于等于三的时候，那么那我就搞一下呗，那就是 x 方减三乘以一个 e 的 s 倍，呃，加二它大于等于二，呃， 它大于等于二，那你这个和这个不就没了吗？其实你搞的就是它大于等于零，是吧？哎，那我就重新设一个函数， x 方减三乘以的 e 的 s 米，它大于等于零啊。那有的同学呢，他直接这么的了， x 方减三，它大于 x 方减，因为 e 的 s 大 于零，它就算这个了啊，那其实不行的啊，因为你是一个奇函数，你在这个呃负无穷大道零上其实还有图像呢啊， 所以说呢，我们画一下它的图像啊，注意，这个时候呢，我们要的是 x 大 于零的时候啊。好了，呃，先不 好，我们再来看 c 选项啊。 c 选项他说 f x 大 于等于二，那 f x 就是 x 方减三，再乘以一个 e 的 s 密加二，它大于等于二呗，是吧。哎，最好别直接解啊，因为你这是一个奇函数，你在大于零的时候可以解释这个。 呃，你小于零的时候有没有解集我不知道啊。所以说呢，我画一下它图像。那你想画的图像就得求导数呗，对吧？前导乘后二， x 乘 e 的 s 密加上后导乘前 x 方减三，再乘一个 e 的 s 密等于 e 的 x 方加二， x 减三 啊，就这样式的。那你就是十字相乘一下呗，是吧，一，这么的吧，一根是乙，一根是负三是吧。一根是乙，一根是负三啊，那我画一下它图像 开始向上，一根是乙，一根是负三，这样好，呃，那我们就知道了，我们这个 f x 啊，它应该在零到一上是单调递减的，在一到正无穷大上是单调递增的。注意，我的定律是大于零啊， 那就求下 f 一 呗，往圆函数里带。呃，应该是二减二 e， 是 吧，所以我们就可以画一个 f x 的 图像啊。呃， i 等于零的时候它是零，对吧？咱就这样，零到一是得到递减，一到正二得到递增，就这么画呗，对吧，那一对应的这个数啊，一对应的这个数是二减二 e 啊，又因为你是一个奇函数，所以呢，它就这么画，是吧。呃就画成直的了 啊啊，就这样啊，那所以这个位置对应的这个位置对应的应该是负一，是吧？哎，他对应的数应该是二一减二啊，那 二一减二比二大不一是二点七，是吧？比二大，那就这样，这是这个 y 等于二的那条线，对吧？那这个位置应该是这个根号三啊，但是那你看这这部分是不是还有啊，是吧，它不光光是只有 a 大 于等于三，所以 c 不 对啊，对， x 等于负一是极大之点就对了啊，因为先增后减吧，对吧，所以这个题选 ab 段啊， 第十题啊，呃，考察函数和导数的综合问题啊，这个 c 选项我们一般比较容易错，有有些同学直接就解了啊，直接就直接了，完了就变成了 x 方减三大于等于零了，那就 x 小 于等于负的杠三，或者是 x 大 于等于杠三，那他因为他要大于零，他直接选直接就选了，是吧，所以得画图啊。 好，我们再看十一题啊，十一题是双曲线啊，它左右焦点分别是 i b， f 二，那我们先画一个图， 然后以 f 一 f 二为直径的圆啊，那再画一个圆，它跟这个双曲线呢，交于交于两点 m n 啊，那我就再画画个双曲线那个间接线啊， 那比如说这点是 m， 这点是 n 啊，然后这个位置是 a 一， 这个位置是 a 二啊，在题里边告诉我的呃，然后他说这个 n a 一 m 啊，这个角是六分之五拍啊，好了，然后他就这个 abc 的 四个选项啊，那么我们看到这样的问题呢，我们首先呢，应该把这个 n m a 二和 n a 二都连上啊啊， 这点是点 o 啊，因为你 o a e 等于 o a 二 o m 等于 o n， 所以 这应该是一个平行四边形啊。呃，然后其实我们跟焦点其中有一个双曲线上有一个点啊，跟其中一个焦点连完，你跟第二个焦点应该连上啊，好了，那么第一那就完事了，是吧？你这是六分之五拍，你是平行四边，你跟第二个焦点应该连上啊，好了，那么第一那就完事了。是三十公分，所以 a 对 了啊， 然后 b 选项，他说 m a 等于二倍的 m a 二啊，我们一般这个，呃，客观题的圆曲线一般玩的都是这个几何图形的问题啊。好，呃，这里边要注意一下，我们有一个，其实我们这个渐变线啊，是怎么画出来的啊？就是，呃，就是这么垂直画出来的，我们正常画双那个画这个 它的间歇线的时候是是这样的啊，就你先搞一个这样的图啊，完了，你这么画了一下，对吧？这就是你的间歇线，是吧？那你看，其实跟我这个图里边这个是不一样的，所以它这个位置它应该是垂直的啊，它应该是垂直的，所以你要知道这个小性质的话，那我们就隐藏的条件我就知道了。那这个点就是九十度呗，对吧？你这是三十度， 那三十度所对的边是斜边的一半，那所以它就不对了。然后那个 c 选项想求离心率啊。 嗯，那你这要是垂直的了，你这个小角不应该是六十度吗？对吧？嗯，然后呢，那就 c 选项啊，那我们就弹进了六十度， 弹进了六十度，它就等于 m a 二 m a 二就是 b 呗啊， a 二就是二， a 是 吧？弹进六十度等于刚好三，那所以 a 分 之 b 等于二， a 刚好三，我们的离心率 e 等于根号下一加上 a 方分之 b 方，是吧？哎，那就刚好十三，那就对了，是吧？各选项啊。他说 a 等于钢化二，这个四边形它的它的面积啊， 这个 s 四边形它的面积其实呢，就是二倍的 s 三角形 m a 一 a 二，对吧？哎，那，呃，就是这个 a 一 a 二 的长度再乘以个 m a 二，这就是最后的面积，那其实就是二 a 乘 b 呗，对吧？哎，呃， a 是 根号二的，那就二倍根号乘以 b， b 是 二倍根号六呗，对吧？啊，那就是四 四倍根号十二啊，等于八倍根号三啊，你看对了啊，所以这个它的关键点在哪呢？你要知道这个角是直角啊，这是垂直的，你要不知道这个，嗯，那个是一题，你就做不上来啊，你可能只能选一个 a 选项啊。 好，我们再看看填空题啊，填空题第一个向量的计算啊。呃，这个很简单啊，那就来呗， a 向量减 b 向量是吧？ x 减括号 x 减一是吧，所以它变成一逗一减二 x， 呃， a 向量跟 a 向量减 b 向量垂直的，那就是相乘呗，是吧？ x 加上一减二， x 等于零，对吧？ x 等于一呗， x 等于一是吧，啊，但是让我求的不是 x 啊，但我求的是 a 向量的模啊， a 向量是一，对吧，哎，你来个模就跟二呗，对吧。哎，这就完事了。 十三题啊，十三题导数啊，极值点的问题。呃，他说 s 等于二啊， s 等于二是这个函数的极值点啊，注意一下啊，同学们注意一下，极值点是导数的编号零点啊，要记住这句话啊极值点啊为导数的编号零点注意强调编号啊导数的编号零点。 好。那其实呢就是呃我们应该怎么做呢我先求个导数呗对吧。但是呃这个三项相乘的这样的导数其实我不会乘是吧那其实你就那你就把它都乘开对吧。哎把它乘开整理一下乘完了之后是 s 立方减去三加 a 倍的 x 的 平方加上三 a 加二倍的 x 再减去二啊然后你对它求个导数啊 第二求导数它变成了三 x 方减去二倍的括号三加 a 倍的 x 加上三加二啊这它导数二处是极值点那么所以 f 二导就等于零呗对吧。啊那你往里头一带 f 二导等于零那么就能求出来 a 就是 等于二的这个时候你求出来 a 的 值啊。 呃是一个数啊我们正常呢他考的时候他可能会有两个数啊我们要带回去验证一下是不是编号啊是编号的那个我们才要啊。那所以这个题呢就不涉及到这个问题啊。 a 等于二那你 a 等于二知道了把 f 零一带就行了呗是吧那就得负四啊就完事了。 呃我再看一下第十四题啊作为我们填空的压轴题啊他出了一个立体几何这样的题呃这样的题呃在考试当中他没有什么这个具体的办法啊就凭借我们自己的能力去做了啊。他说一个半径是四高为九的封闭的圆柱形啊那有两个半径相等的铁球啊。铁球半径的最大值 是多少啊。嗯那我就先画一个他的洁面图呗啊啊比如说这有一个这个圆柱是吧？嗯 放两个半径相等的铁球啊。那怎么放呢？是吧？那你要是这么就比如说这画一个，这画一个，是吧？那你这一共是九，是吧？那你这个四 r 等于九呗。所以你 r 等于四分之九呗。但是它是不是最大的？其实我不知道，是吧？哎。其实我不知道。那我那我再画一个，我再换一种方式，我往里放一放看看。 呃，那还可以怎么放呢？呃。还可以。你，你让他充满呗。比如说你这充满，是吧？那你那个球是不是就出去了，对吧？那是这种情况指定也不行，对吧？那你还可以怎么放呢？你还可以斜着放，是吧？你看斜着放。呃，比如说这有这点，有一个球是吧？呃。然后这个位置也有一个球， 嗯，就大概这样式的吧。完了你算算这个时候看看是怎么样的。比如说我认为这是 o 一， 是吧？这是 o 二，嗯，呃。整个这么长是八，这么长是九，是吧？嗯。他让我算半径，那我算一算呗。呃。那我就这么做一下，这么做一下，那这个点就是 m， 对 吧？嗯，那所以这个 m o 一， 它的长度就应该是八减二二， m o 二它的长度就应该是。呃。九减二二，然后 o 一 o 二它的长度就是二二。那这不可以构成一个勾股定律吗？对吧？八减二二的平方加上九减二二的平方，它就等于四二方呗， 对吧？哎。那你就解这个 r 就 行了。解完这个 r 一个是二分之五啊，或者是这个二分之二十九啊，那这个这个肯定是不行了，折掉了，是吧？那你看二分之五，四分之十比四分之九大，是吧？这就二分之五啊，就完事了啊。好。呃，这个多选题啊和填空题整体来看也不难啊。
00:47查看AI文稿AI文稿ai 要考清北了！今年高考数学全国一卷备受关注，连续多日冲上热搜，媒体和网友纷纷用多款 ai 测试答题，一较高下。红星新闻邀请资深高中数学老师进行评分，发现豆包化身隐藏学霸，不仅做对了所有选择题和填空题，且答题的步骤也完整规范， 顺利获得一百五十分满分成绩，展现出较强的数理解题实力。阅卷老师评价，豆包作答步骤详尽，环环相扣，论证过程严谨规范，完全符合高考答题要求，几乎可当做标准答案用。 高考不仅是对人类考生的考验选拔，同样也是对大模型语言理解、知识记忆、逻辑推理、计算等各项能力的综合测试。有趣的是，二零二五年，豆包高考数学考了一百四十四分。随着技术持续迭代， ai 正在逐步补齐短板，成为实用的工作学习搭子。
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43:34查看AI文稿AI文稿同学们讲一下辽宁名校十二月份联考压轴十九题，这是一个导数题。呃，第一问呢，比较简单呃，我就给同学们说一下过程的思路就行了啊， a 得一呢带进去，然后呢，我们求导，求完导数以后呢，我们再求一次导，我们说明呢，一节导函数啊，应该是横大于等于零。 呃，所以说呢，这个圆二数啊，单调递增，在零到正无穷上，单调递增， 它给的这个区间呢，正好是零到正无穷这个区间的子区间。所以说呢，这个圆二数在这个区间上也是单调递增的，因此呢，它的极小值点呢，就是一分之一，把一分之一带进去以后，经过计算，最小值是它。 这个我就不说了啊，我们重点呢，看一下这个第二位，第二位呢是已知 g x， 然后呢，定义了一个新的 h x 是 等于 f x 的 导数与 g x 的 导数之和， 说，如果这个函数要是有三个零点的话，切 x 一， 小 x 二，小 x 三一，让你求 a 的 取之范围。 这个题啊，主要就是我们如何利用零点存在定力，说明他有三个零点， 这是啊，这个题的难点。呃，这个评分标准当中呢，给出的答案 和我今天讲的如何找这个点呢，是有所不同，我今天主要是采用啊，这个放错的办法，如何找这个点？ 呃，我们首先呢，先对这个函数求导，对吧？首先我们把 h x 写出来，这个 h x 啊，结果是计算的结果呢，也不难得到是这个式子啊， 这个 x 大 于零。这里啊，我主要给出分析过程啊，这个详细的证明书写过程啊，我就不给同学们写了，主要是给分析过程啊，这个 h x 的 导数， 然后呢，我们把它给通分了， 这个通分以后啊，我们只考虑分子就可以了，对吧？分子的正负就可以了。分子是一个二次函数，我们设分子这个函数是 m x， 这里的 x 呢？大于零，我们如何讨论？对参数 a 如何讨论呢？ 我们主要考虑啊，他这个导函数，也就是这个函数啊，他有有没有零点， 有零点有几个啊？如果有零点的话呢？这个零点呢？还得是不是在这个范围内，对吧？我们是不是围绕着这个去进行讨论呢？我们首先考虑呢，他有没有零点，那就看判别式 判断式的它，如果当它小于或等于零的时候，也就是 g a 呢？小于等于二，大于等于负二的时候， 那么这个是大于等于零，横成力，对吧？ 也就是导函数大于等于零，横乘以并不横等于零啊，在某一点处等于零，那么也就是说呢，这个函数单调递增，对吧？我就简单写了， 那么单调递增，它至多有一个零点，它不可能有三个零点，对吧？所以说呢， h x 啊，至多有一个零点， 因此呢， a 在 这个范围内肯定是不合提议的，对吧？所以这种情况呢，是不合提议。 那么我们再看第二种情况，第二种情况呢，如果判别式要是大于零呢？ 也就是说，如果 a 小 于负二，或者是 a 大 于二的时候，在这种情况之下，这个函数有两个不同的零点， 我们还得考虑这两个不同的零点，有几个零点在大于零这个范围内看，对吧？我们现在看第一种情况，如果 a 要是小于负二， 如果 a 要小于负二的话呢？我们看，这种情况之下，我们通过这个图像看吧，通过图像看，这更直观一些啊， 如果 a 要是小于负二，这个开口向上，它有两个不同的零点，对吧？而且 a 要小于负二的话呢，这个函数的对称轴， 这个对称轴是不是在 y 轴的左边？而且呢， x 取零的时候， y 等于一，也就是说这个函数与 y 轴交点的纵轴都是一，那么 y 轴应该在这个位置大致啊， 那么你看，根据图像看，当 a 小 于负二的时候，这个函数在这个区间上仍然是大于零横成力的，对吧？那这个时候呢，它的导函数啊，还是大于零横成力， 就非常直观，很明显，对吧？所以说，当 a 小 数二的时候，这个函数至多有一个零点，还是不合题，对吧？ 那这种情况呢，还是舍掉 详细过程不给写了啊，我们就给出思路就行了。那我们再看第二种情况，第二种情况呢，那 a 大 于二的时候， a 大 于二的时候呢？我们借助图像看一下，那么还是它有两个不同的焦点，那对吧，有两个不同的焦点呢？这个 y 轴呢，对准轴是在 y 轴的右侧， a 要是大于二的话，这只轴不是二分之 a 吗？对不对？它在 y 轴右侧，而且呢，与 y 轴交点的纵轴是一， 这这点的纵轴是一，对吧？那么根据图像我们看啊，这是导函数图像，是吧？导函数的大致图像啊， 那么这个时候啊，这个导函数有两个正零点，有两个正零点，我们不妨设小的那个正零点是 m 一， 大的那个正零点是 m 二， 那这样一来呢，根据导函数图像看，那么这个时候它的原函数呢，它的情况应该是先增，对吧？ 然后是后减，然后再增。 那么在 a 大 于二的情况下，就说呀，这个 h x 的 这个函数呢，有可能有三个不同的零点，也就是说 a 大 于二，是这个函数有三个零点的必要条件， 我们猜想 a 的 范围就是 a 大 于二，对吧？那么我们看再详细看一下，那么根据这个函数解析式看呢，这个当 x 取一的时候，正好得零，一是它的一个零点， 一呢，是它一个零点呢，我们看这个极大值点呢，是 m 一， 这个极小值点呢，是 m 二。 那么这个一啊，跟 m 一 m 二之间的大小关系如何呢？我们看，首先呢， m 一 大于零， m 二大于零，而且 m 一 还不等于 m 二，对吧？ m 一 不等于 m 二，而且 m 一 m 二还都大于零， m 一 乘上 m 二等于一，根据伟大定律看，对吧？ 那这就说明啥呢？说明啊，这个 m 一 和 m 二不可能同时大于一，如果同时大于一的话呢，相乘就大于一了，这不合题， 也不可能都小于一，如果都小于一大零的话，相乘是小于一了，那也是不成立了。因此，这 m 一 和 m 二呢，肯定是有一个比一大，另一个比一小，我们不妨另 m 一 比一小， m 二比一大， 对吧？那这样一来的话，这个一呢，就介于 m 一 和 m 二之间，而且呢， h 一 还等于零， 对吧？所以说呢，我们就得到啥呢？得到这个 h m 一 肯定是大二零， h m 二肯定是小二零，为什么呢？因为这个 h x 啊，在 m 一 m 二这个区间上单调的点， 而且一呢在他俩之间，对吧？所以说呢，这点的函数值肯定是正的，这点的函数值肯定是负的，而且其中有一个零点呢，是一，根据已知看呢， x 二就是一，对不对， 但是 a 大 于二，他是不是就是最终的答案呢？我们还不能这么说，因为我们还得需要说明啥呢？在 m 一 到零这个区间上，我们还得找到一个自变量，说明这个函数值比零小。 在 m 二到正无穷这个区间上，我们还得需要找一个数，说明他比零大，只有这样我们才断定 a 是 大于二的，对吧？ 那么我们如何用零点存在定理来说明这个问题呢？ 我们采用啊放松取点的办法来解决这个问题啊。下面呢，我们就重点呢，我们来说一说，这两个点我们如何找到啊？刚才我们说到了，当 a 大 于二的时候，对吧？ 当 a 大 于二的时候呢，这个函数 h x 是 先增后减又增，它的极大值点呢是 m 一， 极小值点呢 是 m 二，而且呢，这个一呢，正好是 h x 的 一个零点，它介于 m 一 和 m 二之间， 这个一呢，实际上就是这里的 x 二，对吧？那么现在我们要证明，当 a 大 于二的时候，这个函数啊，确实是有三个零点， 这样呢，我们就得到 a 的 范围就是 a 大 于二，那么如何说明呢？ a 大 于二时，它有三个零点呢？现在呢，我们已经说明了 h m 一 是大于零的，对吧？刚才已经说了， h m 二一定是小于零， 那么现在呢，我们要分析什么呢？我们要在零到 m 一 这个范围内找到一个数 来说明呢？这个数的函数值呢？是负的，其实啊，我们在零到一之间找就可以了，对吧？不用在 m 一 和零之间找了，在一和零之间找就可以了， 我们在零和一之间在这个范围内找一个点， 我们设它为 delta 一， 来说什么呢？来说明啊，这个 h delta 一 呢，是小一点， 因为你在零和一之间呢，他到这里肯定都是正的了，对吧？在零和一之间找一个点是负的的话，那么这个点呢，肯定就介于 m 一 和零之间了，那对吧？ 然后呢，我在一到正无穷内找一个点，我设这个点为得二十，得 这个数呢，应该是大一点，对吧？我们假设这就是得他二，然后呢，这个假设呢，就是得他一，你能不能找到这样两个点，找到就可以，对不对？ 那么我们再分析一下，那就说我们想找个啥呢？找一个，我们想找一个 h x， h x 刚才已经说它等于是，对吧？ 我们先在零和一之间找啊，当 x 在 零和一之间的时候，当 x 在 零和一之间的时候啊，我想找一个 得的一，使它的值小于零，那么我们也就是说我小于零，我们能不能解这个不等式啊？就是你能不能找到一个它小零时的一个值啊？ 如果直接猜想啊，这很难找到，对吧？另外这还有含有参数 a， 对 不对啊？ 那么这个时候呢，我们采用放松的办法，我们采用当他小于什么的时候，然后呢？我看小于等于零呢，然后把这个能解出来，这个解呢，正好是在零一之内 找到一个这个不等式的一个结在零基之内，你这个数不就找到了，找到这个值值在一了，对吧？然后这个呢我们看，那就是说 我们通过放错大于一个什么然后呢？我们 我们直接找大零，不太容易找，对吧？我们通过放错放错到这，然后我们看如果能够把这个能够解出来的话，我们通过放错呢？把不能解变成能解， 然后能找到这个不等式的一个解集，他在一到正无穷的范围内是不是就可以了？之所以通过放错这种办法去找，目的就是什么呢？就是把不能解的不等式变成我能解的不等式， 对吧？也就是说呢，我通过放大或者是缩小，我把这个对数式啊，想办法给它去掉，把超越不等式变成了多项不等式，然后呢，我能够把它解出来就可以了。 那么这里呢，需要用到一个啥呢？一个对数放缩的问题。那么关于对数放缩呀，我们有如下的结论啊， 你可能知道这个以一为底， x 的 对数小于等于 x 减一啊，这个大家都非常熟悉，切线放多，对吧？ 那么你还知道啥？它是不是小于 x 啊？这地方，那么它小于 x 呢？我们可以根据这个不等式啊，我们可以得到无数个对数放缩的不等式，一个是放大，一个是缩小，你看我们怎么来哈，那么 x 这里是大一点，对吧？ 那么如果我令这个 x 是 x 的 阿尔法次密的话，是不是也有这个式的成立啊？ 为什么呢？因为你 x 大 于零了，那么 x 的 阿勒巴次幂是不是也大于零？这个不等式对于 x 大 于零的每一个值它都成立，那对，这个自然它也成立了，那对吧？那么它你看等于什么呢？它是不是等于阿勒贝呢？ 对吧？如果阿勒巴大于零，那这个不等式我们就变成什么了， 你看是不是这个式子？这个是阿拉伯大的，对吧？ 你比如说你阿拉伯取一啊，取二分之一，取二等等等，我们是不是可以得到若干个放缩不等式， 对吧？这是阿拉伯小于零呢？我两边除以阿拉伯，是不是得编号啊？ 这里的阿根廷小一点，对吧？ 比如说你阿根廷取负一，是不是取负二分之一吧，取负二分之一，取负一，取负二等等等，我们是不是又得到若干个缩小不等式， 那这两个不就是对数放缩了？那么现在我想再把它给放缩到这里，然后把对数符号去掉，把超越不等式变成多项不等式，然后呢？我，我去把这个解出来，那我是不是需要用到这两个？ 这两个式子我从中选一个，我看如何放松解出来的，这个解有一个解，是吧？在这个范围内，有一个解在这个范围内，那这样一来，这个嘚嘚一和嘚嘚二我不就找到了，能明白我的意思吧？ 那你看我怎么找啊？我们先找这个吧，先找这个，你看啊，这个呢，就是在 a 大 于二的情况下， 并且呢 x 在 零和一之间，对吧？在零和一之间找吗？那你看 x 减去 x 分 之一，减去 a 倍的，以 e 的 比 x 的 数，我们尝试一下放松，那么这个时候我们先小于它，对不对？小于它我用它俩谁啊？两边乘上负 a 吗？ a 是 大于二的，对不对？ 那我应该是用这个，对吧？两边乘上负一，正好是变过来了，那么我看我取哪一个呢？如果我要取负一行不行？阿法取负一的话呢？那它实际上应该是小于 x， 减去 x 分 之一，对吧？减去 a 在 乘上， 你看是不是放松成这个式子了？ 这能明白我的意思吧？放错这个式子，然后我小也等于零，我看我这个不等式，我能不能解，对不对？ 这个不等式的解在不在这个范围内？实际上是这么个意思，如果在这个范围内有一个解，那噔噔一我就找到了，这个能解吗？你看看这个就是 x 减去 x 分 之一，然后是加上吧，加上是 x 分 之 a 了吧？ 小 a 等于零，对吧？两边乘 x 呢？那就 x 方减一加 a， 小 a 等于零， 那也是 x 方小 a 等于一减 a， 对 不对？但是 a 大 于二，这个不等式有没有解？这个不等式没有解呢？说明你这个放缩 那是不放大了，对不对？放大的话呢，我可以再调整一下，说这这个，这种放松不行，我尝试嘛，对不对？那这种情况不行，不行，我要进行尝试，那么我还怎么放松呢？你看 那这种情况不行，对不对？不行的话呢？那么我们把这个擦掉吧， 我们擦掉的话呢？那个这个也得擦掉啊，这个方式不行啊， 不行，那就我们再调整一下，对吧？ 那么这个怀疑呢？我放放的太大了，对吧？那放下，我们再调整一下，我们取个 r 的 话，得负二分之一吧，你看它小于什么呢？它小于 x， 减去 x 分 之一，然后再减去 a， 再乘上 负二分之一 r x 的 负负二分之一四方，对吧？他肯定也小于他，利用这个的话， 它小于它，我们看能不能解出来，让它小点零，是吧？我们看看我们解它这个不等式能不能解出来，那这个不等式呢？就是 x 减去 x 分 之一，再减去二倍的了吧？ 二 a 了吧？再加了，对吧？再乘上根号 x 分 之一，对不对？小于等于零吧，小于等于零的话，这个能减吗？ 这个呢，我们两边要是乘上 x 的 话，我们能不能变成一次不等式或者是二次不等式呢？ 这个好像也不行，对吧？对不对？变不成二次不等式和一次不等式，我们的最终目标呢，想通过二次不等式或一次不等式来提，那这说明啊，他呢？现在呢， 这个式子是小于它的，对吧？那这个时候我们再想一想，这是在这个范围内考的，这对吧？ x 小 一啊，所以说我再给它放算一下呢， 你看，我再给他放错一下，放错一，减去 x 分 之一，加上二 a， 再乘上根号 x 分 之一，我解下这个不等式，看看这个能不能变成二次不等式。两边乘 x 以后， 这个可以变成二次不等式了吧？可以变成根号 x 的 二次不等式，这对吧？好，我们现在就解这个不等式，我们看这个两边乘上 x 呢，那就变成什么了， 我们就变成了 x， 对 吧？减去一， 然后呢？再加上二 a， 根号 x 吧，小一点也聊了吧，这对吧？这个 x 我 可以看成是根号 x 的 什么平方， 那你看这是不是关于根号 x 的 二次不等式了，这我就可以解出来了，我们就解完之后是什么根号 x， 应该是小于等于判定式是四 a 方加四吧，对吧？这肯定是个正的，那就是变成了 二分之了吧？负二 a， 对 吧？我们取那个正根，对不对？转一下是多少四？ a 方加四吧， 四 a 方加四对不对？你看是不是图案，它等于什么呢？它等于是根号下 a 方加一，再减一吧，对吧？ 然后呢，我可以两边平方吧，两边平方之后呢，那不就变成 x 小 于等于什么？ 是不是减出它来了？而这个式子的值啊，肯定是比一小啊， 能看出它比一小吗？因为什么？因为根号下 a 方加一，这个，是啊，这不是减一，这是减 a， 是 吧？这是减 a 再减去 a 呀，它等于什么呢？是不是等于根号下 a 方 加一，再加上 a 呀？分之一呀，对吧？那这个 a 大 于二啊，它肯定是比一小，所以这是比一小的， 因此啊，当然这还 s 还得大零，是不是？所以说呢，我们通过这样的放松，我们就把这个不等式给解出来，解出来的结果呢，是啥呢？正好他的每一个结都在哪里啊？都在零一之间，这对吧？都在零一之间， 所以说，这个得得一，我们是不是找到了这个得得一，就是这个不等式的每一个节都可以作为得得一，对不对，那么我就不妨呢，我就取什么，我就取 得得一，等于什么就可以了，等于这个式子就等于这个数就可以了，对吧？ 它肯定是比一小啊，所以说呢，这个 h 得 x 一 啊， 这不正好是小于零了吗？因此这个我们就找到了，这对吧，所以说，在 m 一 到零六区间上，肯定还有一个零点，那这个零点肯定就是 x 一 了，对吧？那么现在我们再找这个得 x 二，我们看怎么找， 那么这个得乘二怎么找啊？也是在 a 大 于型二的情况下，但是我们这个时候 x 是 什么呢？ x 大 于一了吧，我们在这个范围内找，对吧？ x 大 于一的情况下，然后呢，我们就得是考虑大于啥？对不对？大于什么？然后我这个不等式能解，变成一次不等式或二次不等式能解，它大于什么呢？ 我们把对数给它，通过对数放松，把对数符号给它去掉，那么大于 我们用这个了，对不对？两边乘负一，它正好是大于了吗？对不对？那么我阿勒法取谁呢？我阿勒法取二分之一吧，是不是？我看取个取，取个二分之一看看啊？取二分之一的话，那就变成什么？变成的是 二分之一 x 的 二分之一次方，对不对？肯定是小，肯定是大于它呀，对不对？就这个肯定是大于它， 它等于什么呢？等于 x 减去 x 分 之一，然后是再减去二 a 根号 x 吧，那么它大于等于零，大于等于零的话，这个不等式能化成二次不等式吗？ 化不了，对不对啊？所以说呢，我们看来化不了的原因呢？就说你两边乘 s 以后，这是根号 x 乘 x 了，对不对啊？ 那么我们再放缩谁呢？我们再把 x 分 之一给它放放缩掉，它大于谁呢？在在 x 大 一的情况下，它还大于谁啊？ x 如果大一的话，负的 x 分 之一是不大于负一啊？你看是不是这个 x 大 一，负 x 分 之一就大于负一，这对不对？ 负 x 分 之一肯定是大于负一的，当 x 大 于一的时候，对吧？两边乘负一，对不对？ x 大 于一， 所以说呢，我们把 x 分 之一给它放缩掉，然后放缩之后，这是个二次不等式吧，不让它大于等于零吗？我就解它就可以了，对不对？这个显然是关于 x 的 二次不等式吗？ 那么这个和刚才差不多了，是吧？这个就变成了 x， 写成根号 x 平方，然后是减去二 a 倍的根号 x， 对 吧？ 然后再减去 e 二倍，也能判定是大于零，肯定是有根，那这个我们就得到啥呢？根号 x 大 于等于什么呢？二分之二， a 吧 加上，对吧？取那个大根吧，根号下四， a 方加四， b 方减四，也可以用，它等于什么呢？它等于 a， 加上根号下 a 方加一，对不对？那这个数显然是比一大呀，是不是比一大？两边乘上两边平方，我们就得到这个式子了， 而且这个数肯定是比一大，那这就说明啥呢？说明啊， x 大 于等于它，对吧？ x 大 于等于这个数，这个数，这啊有个平方啊，那么这个数的话呢， 这个范围都在零一之间，都不是，都在一到一到正无穷之间，所以说它的每一个节都可以作为得得二，对不对？那么我们不妨就取 得得二，就等于它就可以了， 那么这个时候啊，肯定是大圆，这样我们是不是又把端圈给找到了？ 所以说呀，我们通过放缩取点这样一个思路，把超越不等式变成一次不等式或二次不等式来找这个点，是这样一个过程。 如果有的同学对这个方面要感兴趣的话呢，我最近录制了一个导数合集啊，导数合集其中有一个专题啊，就是如何通过放缩去取点啊，有需要同学可以关注啊。 b 站我的课堂。 呃，往下我就不详细写过程了。总之呢，就说这两个点我找到了，那就说明呢，当 a 大 于二的时候，这个函数确实有三个不同的零点，因此最后的 a 的 范围呢，那就是 百二就解决了，对吧？那我们再看一下第三问啊，第三问，第三问啊，第三问呢？根据第二问呢，我们知道这个函数 h x 呢，是先减，先增后减再等说， 而且呢，这个一是它的一个零点， 然后是 x 一， 这是 x 三，对吧？让我们证明啊，这个是不是成立的。呃，这个第二问呢，主要就是看啥呢？这个 x 一 和 x 三呢？它所对应的这个函数值啊， 它所对应的函数值还是个 h x 一， 是吧？ h x 是 等于 x 减去 x 分 之一，再减去 a 倍呢，也意味着 x 对 数，对吧？那么你看这个 h 负 x， h 负 x 等于什么呢？等于负 x 再加上 x 分 之一，对吧？啊，不是 h 负 x， 说错了，是 h x 分 之一啊， h x 分 之一呢，等于 x 分 之一，再减去 x 再加上 a 倍呢，也意味着 x 负一。这边切到前面吧，你看 它和 h s 什么关系啊？正好等于负的 h x， 这俩函数具有这样的关系。那所以说呢，这个 h x 三分之一，那就应该是等于负的 h x 三不等于零吗？ 那这说明啥呢？说明它也等于零，对不对？它等于零呢？又因为啊，这个 h x 一 不也等于零嘛。哎，所以说， h x 三分之一 和 h x 一 这两个是不是相等？然后又因为呢，这个 x 三分之一和 x 一 啊，他都属于零一之间嘛，对不对？都属于零一之间，因为 x 三不比一大吗？ 都属于零一之间，在零和一之间呢，这个函数只有 v 的 零点呢？只有 v 的 零点呢？说明他俩肯定相等，对吧？ 那这样一来呢，我们就得到啥？得到了这个 x 一 乘上 x 三呢？ x 一 乘上 x 三，等于一，对不对？ x 一 乘上 x 三那个一，那么这个呢，我们就可以把 x 一 或者是 x 三呢两个变量化成一个变量，然后把这 a 呢，我又通过这个零点呢，也可以把它化成一个变量，对吧？所以说，那么要正的这个式子就变成啥了？ 要正的式子， 那就为什么了呢？那就是 x 一 对不对？再加上 x 一 分之一，都给它换成 x 一 了，然后再加上五， 对不对？ x 乘 l 得一， x 乘 s m 得一了吗？然后是大于三，我把这 a 呢换成谁啊？换成以一为底 x 一 的对数吧。上面是 x 一 减去 x 一 分之一，对吧？ 然后再加个一吧，是不是变成它了？要这么整是不是就变成它了？这个肯定不能等于零，对不对？哎，那这样一来，这不就是把两个变量问题换成一个变量，然后构造函数一证明不就可以了？那么这个我们整理整理吧，对吧？整理得 整理呢，两边同时乘上这个式子，这个式，这个 x 一 啊，是在零和一之间，对不对？所以说我们要注意编号啊，那么再乘个 x 一， 那么再乘个 x 一， 再乘上以意味着 x 的 数，我们整理完，结果呢？是变成什么了呢？就变成了这个式子， x 一 的平方，再加上四倍的 x 一， 再加上一，再乘上一，意味着 x， 最后这应该是小于三倍的 x 一 的平方，再减一，只要证明这个式的成立就可以了，对吧？ 那证明这个式成立呢？我们构造函数，对吧？我们现在是直接构造呢？还是把它除去？构造就这么两种可能是吧？除去构造的话，虽然说把对数给它分离开了，但是问题右边这个导函数啊，它的计算量也比较大， 所以说我们看看能不能直接入道就直接入道得了。令令三 x 吧，等于 x 方加上四 x 再加上一， 然后减去三倍的 x 方再减去一，是吧？这个 x 呢，是在零乘一之间，因为这个 s 就是 x 一 嘛，对不对？ x 一 就是在零乘一之间，我们只要证明它小于零的乘成力就可以了吧，对吧？我们看如何说明它小于零呢？ 我们求一的时候正好等于零啊，你发现这个问题啊，我们求一下导， 求一下倒之后呢？我们看是二 x 加四，是吧？ 然后再加上 x 分 之一呢？那就是 x 加上四，再加上 x 分 之一，对吧？然后再减去六 x 吧， 我们再看大 x 取一的时候，这个还是得零吧，对不对？还是得零，那么我们现在无法判断他的正负啊，判断不了，我们就不另外设字母了啊，我们再求二十道， 呃，求二阶导的话呢，那就是这个导数二百二倍的以一倍底 x 的 时候，是不是加上二，加上 x 分 之四，然后再加上一，再减去 x 方分之一，再减去六啊？ 我们看这个时候 x 取一的时候零，这六还是零，对吧？那么我们也不能说明它正负，也说明不了，对不对？那么我们再求一下倒 x 分 之二，然后再减去 x 方分之四，对吧？这个呢？再加上了吧？加上是 是不是这个？对，是它，它等于什么呢？我们通下分 x 的 立方应该是二 x 方，减去四 x 再加二吧。 这个分母提出二以后，他是一个完全平方，对不对啊？我们就不详细写了啊，他肯定是个大零分子，提出以后这是二倍的 x 减一的平方，那显然是大的，你看 他大零说明啥？大零就说明这是递增的吗？对不对？他递增的话呢， s 取一的时候呢，正好等于零，对不对？那就说明啥呢？说明他递增取一等于零，说明他小零合成力，对不对？他小零合成力的话，那说明这个是递减的， 这不是地点吗？这个地点呢？当 s 取一的时候，它还是等于零啊，那就说明啥呢？说明它大于零横成力，对吧？它大于零横成力的话，那就说明这是单调递增的， 对吧？它单调递增的话，那么 x 取一的时候呢，我们看它还是等于零啊，那就说明它小于零是横成力的，对不对？它小于零横成力，那这个不就证明完了吗？ 过程我就不详细写了，我借助这个导函数的符号了，一撇、两撇和三贴啊，那么考试的时候可能不这样，不让你这样用这个设新的这个函数减一十。我不知道为什么有这样的规定啊，实际上简单写也可以这样写，对不对？ 呃，这就是今天呢，我对这个问题的解析，我重点主要说明的是这个如何通过放松的办法取点啊，这是我认为这个题的难点，当然你通过极限的方法呢来说明的话呢？那可能可能要给你扣分了，对不对？哎，好，今天的这个课我就给同学们说到这里。
237伯麟数学
00:13
03:32查看AI文稿AI文稿今天这个视频我们对二零二六年新考好二卷的这个数学试卷进行一个简单的预测。首先第一步呢，我们先说小题，我觉得小题部分还是延续我们去年和前年的这个考题的难度，以基础题为主，所以我们小题其实是很难拉开差距的。 除了我们单选最后一道，多选最后一道以及填空最后一道比较难以外，其他题的应该都属于比较基础题或者中档题，所以这个分数大家都会拿的比较高，所以这块我就不给大家预测了。那我们主要是说一下大体的这个部分。 大体的部分我们都知道我们高考数学是有六大模块的，那么这六大模块基本上大体都会有涉及。比如说第一个重要的模块就是三角函数于减三角形， 第二个重大模块就是我们的数列，第三个模块就是我们的函数跟导数，第四个模块是我们的空间向量极力几何，第五个模块就是我们的概率统计，第六个模块是我们的圆锥曲线。我们按照这个题型的重要程度，以及我们去年跟前年考过的题 这个形式去预测，我觉得可能性会比较高。第一个大题我认为今年该考数列了， 因为我们去年跟前年都没有考数列，前年考的是解三角形，去年考的三角函数，我觉得今年应该会考数列，所以大家一定要把数列的各种的这些求同向以及我们求和的方法再好好复习。 那第二个大体我觉得他可能会考概率与统计，因为我们的概率统计去年跟前年都放在压轴题的位置， 今年我觉得应该会把它往前放一放，那我觉得第二道题应该会考概率统计，这个考题型我觉得可能会考现金回归方程，因为这个题型已经很多年没考了。现金回归大家重视一下。第三个题型，我觉得还是考我们的空间向量及离地结合，这个位置 最近这几年都没有变过，那几科基本上都是前三道大题，他的出题的方向还是考我们的计算，那他想出的有点新意，那可能他就会跟我们的求体积，比如说锥体啊台体结合一下， 那再可能他可能会求距离，稍微再变换一下，比如说求点到线的距离，或者是点到面的距离， 大概是这两个方向。基本上我们数学如果想考到一百分以上，你前三个大题是一定要做对的才有机会，所以我大家一定要把前三个大题好好复习，特别是我刚才所讲到的这些方向。 后两个大题我觉得今年还是压轴的题，就是导数跟我们的原理曲线。第四个题我觉得还是会考原理曲线 这个大题，去年我们是放到了第二道大题，所以难度比较简单。今年我觉得可能会回归到压轴题的位置。圆锥它主要是考我们的计算能力，特别是我们常见的那些求什么弦长，求面积横过定点，求一些定值，那再像比较复杂一点的什么点成双根 这种。如果大家想考到更高的分数，一百二十加，那你可能要把圆曲线再认真看一看。这个题我觉得今年可能会压轴。最后一道题，我觉得今年导数压轴导数这个题可能会跟三角函数去结合， 因为三角函数我觉得前四道大题都会涉及不到导数，会把这个模块合到一起来考察，这样也是比较综合一点。所以大家如果想挂钩，你可以看一下导数三角数相结合的题目。
1卓然
09:47查看AI文稿AI文稿小尚同学专题视频讲解现在我们讲解二零二五年辽宁卷物理第十五题。 如图，在 x o y 平面第一次象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 b。 一带正电的粒子从 m 零负外零点射入磁场，速度方向与外轴正方向加角 c， 它等于三十度。从 n 零外零点射出磁场，已知粒子的电赫量为 q， q 是 大于零的， 质量为 m， 忽略粒子重力及磁场边缘效应。一、求粒子射入磁场的速度 v e 和在磁场中运动的时间 t e 要求速度 v 我 们肯定是要根据洛伦兹力提供向心力来算啊。这里我们就需要先求出半径，然后第一问。 我们知道粒子在磁场中做的是匀速圆周运动，他经过了 m n 两点，所以 m n 是 一条弦，那么圆心一定在这条弦的中垂线上。我们把中垂线画出来，他是与 x 轴重合的， 并且圆心也一定在速度的垂线上，所以我们在 m 点画出速度的垂线， 这个角度是 theta 的 话，那这个角度就是 theta， 并且 theta 等于三十度，那我们就可以得出这里 r r 乘以三三十度就等于 y 零，所以得出 r 就 等于二 y 零， 那么根据 q v e b 等于 m， v e 的 平方比上 r， 就 可以算出 v e 就 等于二 q b y 除以 m， 紧接着算粒子在磁场中运动的时间 t 一， 我们再把圆心与 n 点连起来，因为下面这个角度是 c 塔，根据对称线，上面这个角度也是 c 塔，也就是说粒子在磁场中运动的圆心角为二 c 塔， 那么 c 它等于三十度，那二 c 它就是六十度，那么 t 一 就等于六十度，除以三百六十度，再乘以一个运动的周期就是二。 pi r 除以 v 一 代入就可以算出来 t 一 等于 pi， m 除以三 q b。 第二问，若在 x o y 平面内固定一个负点电赫啊，电赫量为四十八 q， 粒子质量取 m 等于 b 方外邻的三次方除以 k， k 为静电力常量，粒子仍沿一中轨迹从 m 点运动到 n 点，求射入磁场的速度大小为二。 粒子仍然沿一中轨迹从 m 点运动到 n 点，也就是说粒子仍然做圆周运动，那么这个负点电赫一定在圆心的位置。通过负点电赫的电场力以及洛伦兹力的合力提供向心力，我们就可以算出速度大小 v 二， 那我们列式就是 k 四十八， q 乘以 q 除以 r 的 平方，加上一个 q v 二， b 就 等于 m v 二的平方比上 r， 把 r 等于二外零代入进去，然后解这个方程就可以算出 v 二就等于六 k， q 除以 b y 零的平方。 第三问，在二问条件下，粒子从 n 点射出磁场开始经时间 t 二速度方向首次与 n 点速度方向相反，求 t 二。 然后他给出了一个电赫量为 q 的 点，电赫产生的电场中取无限远处电势为零，与该点电赫距离为 r 处的电势是斐，等于 k， q 除以 r。 我 们先把第一问和第二问的板数擦一下来算第三问。 我们分析一下，粒子从这里射出的时候， 洛伦兹力因为离开磁场了，所以消失了，就只剩下了电场力，那么他的速度在射出那一瞬间是没有变化的，那我们就知道那个时候他的一个向心力是不足的，也就是说他会做离心运动， 而电场力是 k 四十八， q 乘以 q 除以 r 的 平方， 上面这一部分在运动过程中是不变的，是一个定值，下面这一部分也就说距离 r 会改变。 我们类比天体运动，天体运动在运动过程中受到万有引力是 g m 一 m 二比上 r 的 平方，在运动过程中，它上面这部分也是个定值，是不变的，下面也是 r 方。 而天体运动，在天体做离心运动之后，他会做一个椭圆运动，所以这个例子他其实也会做一个椭圆运动，那么他的椭圆运动就是这样， 他说首次与 n 点速度方向相反，也就是说他运动了半个周期，他到了这里，他的速度方向是相反的。 而在 n 点的时候啊，他因为做的是一个离心运动，那么相当于是在天体运动中，他处于一个近地点，那么运动半圈之后，他这个位置相当于是个远地点。 我们首先根据开普勒第二定律来建立这两个点之间速度的关系，它在 n 点的速度是 v 二，我们设它运动到一半个周期之后，它的速度是 v 三，那我们先画一个矢图， 比如说这是中心天体，这是近地点，这是远地点，这是 v 二，这是 v 三。 然后这是 r， 这是 r 片。我们在这个近地点取一段很小的弧，很小很小的弧，然后把中心天体给他连过来， 这这块的面积我们给他表示一下，就是说，呃，因为这个弧很小，说明他的运动时间极短，我们可以认为它是个匀速运动，并且这一段弧所谓的面积，我们近似认为是个扇形，那么根据扇形面积公式， 就是二分之一的弧长乘以一个半径，那就是 r 乘以 v， 二乘以单调 t。 同理在左边也取一个很小的弧，也就是单调 t 时间内它的运动的一个弧长， 那么在左边它可以列出一个公式，就是二分之一乘以 r 片乘以 v 三乘以单调 t。 因为单叉 t 相同，所以这两片区域的面积根据开普了第二定律是相同的，所以我们可以让它等号两边单叉 t 可以 约掉，我们就可以建立 v 二 v 三 r r 片的一个关系。 题上又给了一个电式的公式，我们可以根据能量守恒定律来利用这个公式，嗯，它在 n 点的时候，我们可以算出它的能量是二分之一 m v 二的平方，这是动能，再加上它的电式呢？也就是说加上 k， 然后负四十八， q 除以 r 再乘以一个 q， 就等于呃，它在呃运动半圈之后，它的一个总能量，那就是二分之一 m v 三的平方，加上 k 乘以负四十八， q 除以 r 片，再乘以一个 q， 然后这两个式子进行连立，我们就可以算出 r 片就等于六倍的 y 零，那么半长轴 a 就 等于 r， 加上 r 片除以二，就等于四倍的 y 零。 我们算出半长轴之后，就可以根据开普勒第三定律来求它的周期。我们假设有一个运动半径为四百零的一个粒子在做圆周运动啊，我们就可以根据牛顿第二定律，也就是说 k 乘以四十八， q 乘以 q 除以这个四 y 零的平方就等于 m。 四派的平方比上一个 t 方，再乘以一个四 y 零， 就可以把这个 t 算出来。最终算出来 t 就 等于四倍根号三派 b y 零的三次方除以三 k q。 而椭圆运动的半长轴也是四外零。所以根据开普勒第三定律，我们知道他们两个周期是相同的，也就是说我们 粒子在做椭圆运动的周期也是 t， 那 么粒子经过时间 t 二速度方向首次与 n 点速度相反， 说明这个 t 二就等于二分之 t 就 等于二倍根号三派 b 外零的三次方除以三 k q。
0小尚同学
06:15查看AI文稿AI文稿小尚同学真题视频讲解现在我们讲解二零二五年辽宁卷物理第十四题。 如图甲，固定在光滑绝缘水平面上的单杂正方形导体框 a、 b、 c、 d。 至于始终数值向下的匀强磁场中， a、 d 边与磁场边界平行， a、 b 边中点位于磁场边界。导体光的质量 m 等于一千克电阻 r 等于零点五 o 边长 l 等于一米磁感应强度 b。 随时间 t 连续变化零到一秒内 b t 图像如图一所示。 导体框中的感应电流 i 与时间 t 关系图像如图饼所示，其中零到一秒内的图像未画出规定顺时针方向为电流正方向。第一问，求 t 等于零点五秒时， a、 d 边受到的安培力大小 f。 我们根据题图已知道零到零点五秒内它的磁感强度是变化的，它会产生啊，感声电动势。那我们先把这个感声电动势算出来。 第一问， e 就 等于得它 b 比上得它 t 的 绝对值，再乘以线框中磁场的面积，也就是二分之 l 的 平方，就等于 根据图以 d 它 b 比 d， 它 t 的 绝对值就是零点二减零点一除以一，那就是零点一。再乘以二分之 l 方就是二分之一伏，等于零点零五伏。 那么 t 等于零点五秒时， a、 d 边受到的安培力 f 就 等于 b 零点五乘以 a， 那 就是 e 比上 r 再乘以一个 l 就等于零点五秒的时候他的磁感应强度 b。 根据图以我们知道是零点一五， 再乘以 e 比上 r， e 是 零点零五， r 是 零点五，再乘以一牛就等于零点零一五牛。 第二问，在图乙中画出一到两秒内的 b t 图像，无需写出计算过程，那我们先把第一问的板数擦一下。 根据图柄，我们知道电流的方向是负值。题干中规定顺时针方向为电流的正方向，那我们负的电流就指的是逆时针方向，也就是这样一个方向。 然后我们根据右手螺旋定则，就可以判断出感应出来的磁场方向是向上的， 而原本的磁场方向是垂直纸面向下的。我们再根据楞次定律增反减铜，他是反的，说明是增，也就是说垂直纸面向下的磁场他在增大。 因此我们可以判断出一到两秒内的磁场是增大的。再根据感应电流的大小是零点二安，我们就可以算出感应电动式的大小。 e 片就等于 i r 就 等于这个零点二，乘以零点五就等于零点一伏， 而这个感应电动式的大小又等于得它 b 除以得它 t， 再乘于二分之 l 的 平方，我们就可以把得它 b 比上得它 t 给它算出来是零点二特斯拉每秒， 也就是说 bt 图像的斜率是零点二。因此我们画出一到两秒内的图像，从一到二，它 t 增大了一，那么 b 就 增大零点二，所以它应该变到零点三，这样一连，这就是一到二秒内的 b t 图像。第三问，从 t 等于两秒开始，磁场不再随时间变化，之后导体框解除固定，给导体光一个向右的出速度 v 零等于零点一米每秒，求 a d 边离开磁场时的速度大小 v 一。 我们先把第二问的板数擦一下来算第三问。 第三位是一个切割磁感线，产生感应电动势，然后再产生安培力，在磁场中减速运动的一个模型，然后它运动的距离是二分之 l。 我 们已经知道，所以这个问题应该用动量定力来求解。 那么动量定力就是 m v 一 减去 m v， 零等于负的 f i n， 然后的平均值乘以得它 t 之后就是算 f i， f i 就 等于啊 b 二，也就说两秒之后的磁感应强度大小乘以矮，再乘以 l 就 等于 b 二乘以 l， 那 e 又等于 b 二。 l v 除以 r， 再乘以 l， 就 等于 b 二的平方 l 的 平方 v 除以 r， 那 么 f i 的 平均值就等于 b 二的平方 l 的 平方 v 的 平均值除以 r。 那 么这个式子我们就可以变为 m v 一 减去 m v， 零等于负的 b 二的平方 l 的 平方 v 的 一个平均值除以 r 乘以它的 t， 而 v 的 平均值乘以得啦 t 就是 它移动的距离。我们知道是二分之 l， 所以 我们把这些数带进去之后，就可以算出 v 一 的大小， v 一 就等于零点零一米每秒。
1小尚同学
07:27查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，今天呢，给大家讲一道啊，呃，最近同学们呼声比较高的一道题哈，是什么题呢？是二六二六年哈，高考全国二卷，也就是咱们辽宁卷的一道啊，第十七题，三角函数的道题哈， 好，我们一起看这道题哈。很多学生说啊，就是高三同学啊，考完之后反应啊，就是做到这道题啊，就卡住了，跟我们常见的三角函数不太一样啊，我们具体看他哪不一样哈，他说在三角形 a、 b、 c 当中啊， 已知 cosine b 等于四分之三，然后问你， cosine 平方 a 加 c 加上 cosine c 等于一。第一问，让人证明三角形 a、 b、 c 为钝角三角形。 首先呢，我们要想证明一个三角形，按钝角的话，我们常常用的思路是不是正？其中有一个角的 cosine 值是一个负值啊，对不对？但是这道题啊，已经给你 cosine b 啊等于四分之三了， 所以是不是一定是不是正，这个 b 角是钝角对不对哈？好，很多学生说啊，做到这道题卡住了哈，就是没有什么思路， 什么叫思路呢？思路啊，就是看到已知条件呢，需要往哪个方向想，对吧。哎，那我到底需要往哪个方向想呢？就往我们常见的公式上靠，或者是老师告诉你的常见思路上靠，是不是就可以了？ 好，这是已知条件啊，口算平方 a 加 c 加上算 a， 乘算 c 等于一。 哎，我们这道题看，拿到这个已知条件上往哪靠呢？哎，我们可能很少用 cosine a 加 c， 但是我们是不是很就是很常用 sine a 加 c 等于 sine b 啊，对不对？哎，所以那遇到 cosine a 加 c 等于什么呀？是不是等于负的 cosine b 啊？ 所以 cosine 平方 a 加 c， 哎，我们是不是可以变成了 cosine 平方 b 啊？因为 cosine a 加 c 等于负的 cosine b， 然后一平方是不是就 cosine 平方 b 啊，对不对？哎，所以这个从这个地方就可以打开这道题的思路了，对不对？哎，我再重复一遍它的思路哈，就是我们 遇到了 a 加 c， 是 不是一般都想到塞引 a 加 c 等于塞引 b 啊，对吧？啊，然后呢？但是这道题是不是给你的是口塞啊？口塞 a 加 c 是 不是也等于负口塞引 b 啊，对吧？哈，虽然不怎么常用，对吧？ 好，继续看哈，所以带入进去，是不是口塞平方 b 加上塞引 a 乘塞引 c 啊？哎，接下来的思路是不是比较明显了，是不是把这个移项啊？ 这边等式右边是变成了一减去 cos 平方 b， 对 吧？那一减 cos 平方 b 是 不是很明显就是 cos 平方 b 了，对吧？所以化简之后就得到 sin a 乘 sin c 等于 sin 平方 b， 我 们观察一下他啊，这个是不很明显他都是 正弦函数啊，对不对？全都是正弦函数，我们是不是要想到正弦定律啊，对不对？所以得的是不是 b 方等于 a 乘 c 了，对吧？哎，非常简单哈，好，做到这呢，我们继续往下看哈， 因为余弦定律是 b 方等于 a 方加 c 方减二 a c 乘以 cosine b， 为什么能想到余弦定律呢？因为这里面 我们化解完的这个式子里面又含 b 方，又含 a 乘 c， 哎，哪个式子里面又含 b 方又成又含 a 乘 c 啊，是不很明显？余弦定律啊，对不对？哎，把余弦定律写上，然后 b 方等于什么呢？等于 a 乘 c， 然后口在 b 是 不是代入啊，对不对？就会得出 a 方加 c 方减去二分之五， a， c 等于零，然后通分之后啊，约分之后是不是变成了 二 a 方减五 a， c 加二 c 方等于零啊，对不对？哎，大家初中的知识如果扎实的话，是不是很明显这个式子可以十字相乘啊，对不对？变成 a 减二 c 乘以乘以二 a 减 c 等于零，对吧？ 也就是 a 等于二 c， 或者 a 等于二分之 c， 是 不是算到这了啊，对不对？好，那然后呢，大家想想啊，这是两种情况吧，对吧？第一个是 a 等于二 c， 第二个是 a 等于二分之 c， 第一种情况，当 a 等于二 c 的 时候， 然后因为 b 方啊，我们刚才化简这个式子，是不是得出 b 方等于 a 乘 c 啊，对吧？ a 等于二 c 代入 b 是 不是就等于根号二 c 啊 吧？那 a 等于二 c， b 等于根号二 c， 是 不是？这个里面是不是 a 是 最大的 a 边是最大的，那最大的边是不是对应最大的角啊？所以是不是只有可能 什么？ a 角是个钝角，对吧？那我们看 a 角是不是钝角，然后 cosine a 等于什么呢？等于 b 方加 c 方减 a 方， b 上二 b c。 那 为什么要选 cosine a 呢？因为老师刚才说了，如果想证明一个三角形为钝角三角形，是不是要看它的 cosine 值啊， 对吧？所以口在 a 等于 b 方加 c 方减 a 方比上二 b c， 因为 a、 b、 c 三条边是不是都可以用 c 来表示啊？是吧？往后代入 就会得出一个负 c 方比上二 b， c， 是 不是？下面是两条边相乘，明显是个正值，上面是负 c 方，明显是个负值， 所以 q 乘 a 是 不是小于零的，对不对哈？哎，所以 a 为钝角哈，好。第二种情况就是 a 等于二分之 c， 然后呢？ b 哈，还是 b 方等于 a？ c 把这个二分之 c 代入 b 还等于二分之 b 等于二分之根号二 c， 对 吧？ 然后这里面可以算 c 比二等于 a， 然后 b 还等于二分之根号二 c 明显是什么？是不是 c 大 于 a 大 于 b 啊，对不对？所以 c 才是可能是什么钝角，然后 q 乘以 c， 再用一些典例表示一下，然后一验证，发现它小于零，所以这个时候 c 为钝角，对吧？所以两种情况，一个是 a 为钝角，一个是 c 为钝角，是不是就可以证明是吧？三角形 a， b， c， d 钝角三角形啊，是吧？哈？哎，这道题啊，有好几种做法，第一个问哈，我还有别的做法哈，大家可以在评论区啊交流互动一下哈。 好，第一问完事了，然后呢，他又说。第二问，他说三角形 abc 的 面积为四分之根号七哎，那你知道 b 角是不是？咱们说三角形面积有三个公式， 以哪个为决定呢？是不是以角为决定的呀，对不对？所以用的是二分之一 a， c 乘以 b， 对 吧哈？哎，口乘以 b 等于四分之三乘以 b 是 不等于四分之根号七啊，对吧？代入哎，代入呢， 就会得到二分之一 a， c 乘以四分之根号七等于几啊？是不是等于四分之根号七啊？那 bc 又等于什么？是不等于 b 方啊？所以八分之根号七 b 方是不等于四分之根号七啊， 对不对？哎，所以 b 方大家就会算出来等于多少啊？等于根号二，对不对哈？好，那 b 方 b 等于根号二之后，之后那个 b 还和 c 有关系， c 还和 a 有 关系，所以三条边是不是都算出来了，对不对哈？哎，这个周长自然迎刃迎刃而解了哎，答案都是三加根号二，对不对哈？哎，好，我们总结一下哈， 就很多学生啊，在考试可能紧张的范围内啊，做这道题啊，没有什么思路哈，所以大家一定要对基础知识啊，常见的思路非常非常扎实，基础知识非常扎实，非常熟悉才可以，所以这道题的就是从这个就是，怎么说呢， 能把这道题打开，是不是从 cosine a 加 c 等于负 cosine b 啊，对不对？这个用的比较少，我们大部分情况用的是 cosine a 加 c 等于 cosine b， 是 不是？所以这些东西啊，大家一定一定要熟悉，只要基础知识熟悉了，做题啊，又快又稳是吧？好，这道题讲完了。
34丹东数学
04:28查看AI文稿AI文稿早上同学真题视频讲解，现在我们讲解二零二五年辽宁卷物理第十二题。 某兴趣小组设计了一个可以测量质量的装置，如图，甲细绳一二和橡皮筋连于一点， 绳一上端固定在 a 点，绳二下端与水杯相连，橡皮筋的另一端与绳套相连， 未确定杯中物体质量 m 与橡皮筋长度 x 的 关系。该小组逐次加入等质量的水，拉动绳套，使绳一每次与数值方向夹角均为三十度，且橡皮筋与绳一垂直， 等待装置稳定后，测量对应橡皮筋长度，根据测得数据作出 x m 关系图示如图一所示。 回答下列问题。第一问，将一芒果放入此空杯，按上述操作测得 x 等于十一点六零厘米，由图以可知该芒果的质量 m 零等于多少克。 我们知道在杯中加水，它会使得橡皮筋的长度增加， 那我们在杯中放芒果跟放水效果是一样的，都是增加质量，那么他的橡皮筋的长度也会变化，那我们只需要找出十一点六厘米对应的质量就行了。那就先把这个图放大，再读数。 十一点六厘米对应的是这里， 那么就是这个点。我们知道下面这一小格代表的是五克，那么这里就是一百，加上五，再加上大概二克，那就是一百零七克， 所以第二空填一百零七。若杯中放入芒果后，绳一与数值方向夹角为三十度，但与橡皮筋不垂直。由图像读出，芒果质量 与 m 零相比偏大还是偏小。那我们对这个节点进行受力分析，他受到一个绳一的拉力，然后他受到一个重力，我们把它平移过来，就是这里， 然后绳套的一个拉力是这里。刚开始他是垂直的，我们知道这个垂直是最小的，如果他斜了一点，比如到这里，到这里，他这个力都会变大， 那么他变大之后测得芒果的质量就会偏大，所以这个空应该填偏大。 第二问，另一组同学利用同样方法得到的 x m 图像在后半部分弯曲，下列原因可能是 在后半部分弯曲指的就是他在 m， 也就是质量较大的地方，他的曲线出现了弯曲。 呃，主要原因就是当质量较大的时候，橡皮筋的呃伸长量过大，他就会超出他的弹性限度，那么他就不满足胡克定律了，也就是弹力与其伸长量不成正比了。所以这个原因是 c ab 是 不太影响的， 所以这个空填 c。 第三问，写出一条可以使上述装置测量范围增大的措施。那我们根据刚才的受力分析，它是一个重力 m g， 然后一个绳子的拉力，然后一个橡皮筋的拉力， 然后他会发现这个橡皮筋的一个拉力其实就等于重力乘以这个 sin theta， 就是 这个绳一与竖直方向的夹角。我们想要呃测量的质量范围 增大，也就是说这个 m g 要增大，那我们可以通过降低这个 sine theta， 也就是说减小这个 theta 角的方式就可以实现。所以这个措施应该是减小 乘一与数值 的夹角。
0小尚同学
