今天我们一起来看一下这个新高考一卷的压轴题，也是第十九题，考察的是一道集合的新定义性问题，那么这个题其实也是说把这个重思维轻计算考察的非常透彻的一道题。 第一问，其实读懂题目的话，真的要解出来不难，但很多同学读不懂题。这个题和我在账号下给大家分享的一九八四年那道解不等式的问题其实非常像， 我们一起读下题。已知函数 f x 的 定义域为实数，当 x 小 于零的时候，给定这个函数的解析式， f x 等于二的 x 次幂。对于任意的 x 零属于 r 定义集合 d x 零定义一个新的集合，那么这个集合里头的元素 d， 它首先是属于实数，那没有问题，这容易理解， 那么且要满足这个不等式。换个方式说，我们这个新定义的这个集合 dx 零，它里面的元素满足这个不等式，其实就是解这个不等式，解出这个不等式。关于 d 的 解集就是这个集合。 新定义的这个集合其实就是关于这个不等式， f x 零加 d 大 于 f x 零，关于这个不等式，解出这个 d 的 解集，这个 d 的 解集就是这个集合， 所以它俩是相等的。把这个等式找到，就是解这个不等式，解出关于 d 的 解集 d x 零，那么再看第一问，若 x 大 于等于零的时候， f x 等于一减 x， 求 d 负一，那么从上面的分析我们知道，求 d 负一就是 x 零等于负一的时候， 求 d 负一，就是这个意思。换个方式说，就是让我们解这个不等式呗， f 把 x 零用负一带进去，就是负一加 d 大 于 f 负一啊，就是解这个不等式啊。 那么解这个不等式，我们看看这个题目的条件，给定的这个函数的解析式条件其实已经给出来了， f x 它是个分段函数，等于当 x 小 于零的时候，它等于二的 x 是 m， 这是 x 小 于零的时候。那这里也说了， x 大 于等于零的时候，是等于一减 x， 这是 x 大 于等于零的时候， 这是题目的条件。给出了这个函数的解析式是分段函数，那我们看看这里头的 f 负一是属于这一段，所以 f 负一等于多少？ f 负一其实就等于二的负一次方，也就是等于二分之一。 那换一个方式说，就是让我们解这个不等式。 f d 减一大于二分之一，解这个不等式，那么要解这个不等式，我们看看这个 d 减一到底是小于零还是大于零，我们不知道，不知道就分类讨论啊，是吧？ 不知道你就分类讨论啊。第一种情况， d 减一小于零的时候， d 减一小于零的时候，那这个 f d 减一，是不是就在这个函数上，它就等于二的 d 减一次幂，它要大于二分之一，也就是二的负一吧。这样写， 那是不是就是这两个幂函数的比较嘛？二是大于一的，也就是 d 减一大于负一， 那么解得 d 只要大于零就行，这是第一种情况，那么第二种情况， d 减一如果是大于零的话， f d 减一就应该在这一段，那么 f d 减一就是等于一减去 d 减一大于二分之一的，那解这个不等式， 也就是二减 d 大 于二分之一，那 d 就 小于二分之三，综合一二， d 就 大于零。小于二分之三，我们就求出的这个 d 的 集合其实就是 d 负一啊，它就等于零。二分之三 就是 d 的 取值范围有些绕，和那个一九八四年这道题非常像，你只要读懂了这个题，分析出的题目之间的内在联系，解起来也不是很复杂。第一问相对来说比较简单。 十九题的第二位，先读下这个题。若 f x 是 奇函数，那么当这个 f x 一 小于等于 f x r 的 时候，且 x 一 x r， 它的乘积不为零，也就说这两个数都不为零的时候，这两个变量 x 一 x r 都不为零。让证明 dx 二这个集合是 dx 一 这个集合的子集， 那么这个题应该说第二问比第一问要复杂的多，但是它的解析思路还是一样的。你要证明这两个集合 dx 二是 dx 一 的子集的话，其实你就是要将这个 dx 一 和 dx 二把它们表示出来。这两个集合分别是什么？ 换个方式说，也就是先找到它的等式。我们看这两个集合是要满足 f x 一 小于等于 f x r 这个条件，那满足这个条件的前提是 f x。 在 原题干的基础上又增加了一个新的条件， f x 是 奇函数，根据这个我们就可以将 f x 的 解析式给它表示出来。 题目给的条件 f x 它是等于什么？第一个 x 小 于零的时候，它是等于二的， x 是 m， 这是 x 小 于零的时候， 那么 f x 是 奇函数， x 的 定义域又是 r， 我 们说如果一个奇函数过原点的话，它在原点处的值是多少？肯定是零，是不是？那么第二点， x 等于零的时候， f x 是 不等于零， 那么 x 大 于零的时候呢？它的图像也关于原点对称啊，那么这段是不是就是负的二的负 x？ 怎么样？结合这个条件，我们就将这个 f x 的 表达式给它表示出来了， 那么这个表示出来之后，其实借助图像我们来看一下这个 f x 这个函数图像，其实就是这么两段曲线， x 小 于零的时候是二的 x 次幂 就这么一段，这里到不了一，这里取不到一个空心点，那么 x 等于零的时候，它为零，当 x 大 于零的时候，关于原点对称，这个点取不到，就是这么一段， 这是这个函数的图像。关于原点对称，当 x 等于零的时候，它为零，那么我们就将这个集合当中满足这个变量取值范围的这个函数图像。我们现在表示出来了，接下来要做的工作是要表示 dx 一 和 dx 二这两个集合， 那么要表示它的集合，我们还是要回到这个题目当中对这个集合的定义，我们说这个新定义的问题。回到这个定义我们看，首先要明确 dx 零等于什么，我们就先将 dx 零表示出来，它等于什么？ d 属于 r， 满足这样一个不等式的有关于 d 的 解集，那么这样一个不等式当中，我们看它是不是需要分类讨论，这个 x 零是大于零啊？是小于零啊？这个 d 是 大于零还是小于零啊？ 对不对？我们看要想找到这个集合，首先要分类讨论。第一种情况，当这个 x 零大于零的时候，假如在这里 这是 x 零，那么 f x 零加 d 大 于 f x 零，它只需要在这个图像的右边，在这个点肯定比这个函数值大。这是第一种情况，当 x 零大于零的时候， 要满足这个不等式的话，只需要 x 零加 d 大 于 x 零，在这个 x 零这个点的右边的话，这个函数值肯定大于 f x 零，就是 d 大 于零， 这只是其中的一种情况。那么如果 x 零加 d 在 左边这个曲线上，是不是所有的点都满足 x 零加 d 小 于零的时候，这个是是满足的，对不对？ d 是 不是小于负 x 零？ 当 x 零加 d 小 于等于零，它在零这个点的时候也是满足的，就 f 零这个点肯定大于 f x 零，那么 d 就 小于等于负 x 零， 那么这个时候用集合表示的话，我们说这个时候的 d x 零，它是不是就是零到正无穷，这是大于零在并上 负无穷到负 x 零，这是一个 b 区间左开右闭，这是第一种情况，那么第二种情况，当 x 零小于零的时候，就是 x 零在这一块。假如这是 x 零的话，那么要使得 f x 零加 d 大 于 f x 零的话，它只需要在这个点的右边就行了。 其实小于零嘛，就是在这一段这个时候，也就是说当 x 零小于零的时候，只需要 x 零加上 d 大 于 x 零 且小于零就行了。那么这个 d 的 取值范围是什么？ d 是 不就是要小于负 x 零大于零， 就是这样一个范围，那么这个时候的 d x 零用集合表示出来，就是零到负 x 零。那么我们把 d x 零表示出来之后，其实就相当于我们说向数列当中找到了这个集合的通向，建一个通向的概念， 那么再来分析我们的 dx 二和 dx 一， 这里面的 x 一 和 x 二相乘都不为零，那么我们就可以忽略零这个点，那么我们现在要来证明 dx 二是 dx 一 的子集。回到这个条件， f x 一 小于等于 f x 二，因为 f x 一 小于等于 f x 二， 我们就来判断 x 一 和 x 二的取值范围。结合这个图像，我们来看第一种情况，当 x 一 小于等于 x 二小于零的时候，就是这一段， x 一 小于等于 x 二小于零这种情况是满足的。 或者 x 一 和 x 二都在右边，就是 x 一 小于等于 x 二大于零这种情况。再或者 x 一 大于零， x 一 在右边这个曲线，且 x 二小于零，就这三种情况，我们结合这个图像，只可能这三种情况， 那么这三种情况我们对应的上面这个集合的通向，把 dx 一 和 dx 二表示出来。我们首先看这第一种情况， x 一 小于等于 x 二小于零，那么它是不是满足 x 零小于零这种情况，那么它的集合 dx 零就是零到负 x 零这一段，那么 dx 一 是多少？ dx 一 是不是就是零到负 x 一， 那么 dx 二是不就等于零到负 x 二这一段？ 由于 x 一 小于等于 x 二，那么负 x 一 是不是大于等于负 x 二？换句方式说，这个集合是不是被这个集合包含，也就是 dx 二是 dx 一 的，是 dx 一 的子集，那么这种情况下， dx 二是属于 dx 一 的，是 dx 一 的子集， 那么这种情况我们讨论完了。第二种情况，大家照着去讨论，当 x 一 小于等于 x 二大于零的时候，那么 d x 一， 这里就是把它换成负 x 一， d x 二换成负 x 二依然是 x 一 小于等于 x 二，那么负的 x 一 就大于等于负的 x 二， d x 二属于它。第三种情况照样去讨论，这就不给大家去展开讨论了，那么综上就是有 dx 二属于 dx 一。 这个题其实就是把分类讨论，这几种情况一定要考虑清楚，然后把我们要证明的这两个集合表示出来，看他们之间的包含与被包含关系，从而来证明。像这样一道题，我们说它作为今年的真正的一道压轴题，很多同学在这里头拿不到分， 但是具体的我们这样解下来之后，预算量不是很大，需要同学们首先读懂题目的意思，要翻译出题目的条件出来。第二，这道题当中重点的考察其实是分类讨论，就像我们第十四题填空题的压轴题，重点的考察是约束条件的分析，那么这道题重点的考察是分类讨论的思想， 这就是我们反反复复都在说这份试卷，重思维轻计算，所以同学们在后续的学习过程中，一定要关注用数学的方法学数学，不要死刷题。好，这个题给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。
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2510王羽理论物理
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01:59查看AI文稿AI文稿今年新高考数学压轴题，很有可能高三的学生不会，高一的学生会做。大家好，我是专业批发。焦虑的热饭哥，千呼万唤等了一晚上，高考数学题终于拿到了， 整体感觉这个大小年还是很明显的，欧数年简单，基数年困难。最大的惊喜是第十九题就是压轴题，他考了一个高一的函数基础理论，函数性质以及集合的定义 怎么样？我一直跟大家说，高中数学最难的，高一上你要想初升高衔接班学函数，必须上难度，上强度，就把教材上那薄薄的几页读一遍，求嫌不占，没求的用。 他跟初中不一样，初中一进来，数学非常简单，让路正式提升。高中一进来，数学物理都是难度的天花板，后面越学越简单。你看我们连续三年的新高考啊，前年考的是数列啊，定义新匀算，去年三角函数加求导，今年太极端了， 考的是纯函数，定义什么概念？就是你不需要用到后期导数的技巧。相当于啊，你新高一入校期中考试的压轴题难度。也就是说，你进校学了两个月，你就有能力做今年新高考的压轴题。第十九题， 可以肯定的是，绝大多数的考生，他可能只做一下第一问，第二问，第三问就放弃了。但是我们很多现在高一的孩子，你现在让他去做这道题，我估计那些顶尖的娃子有相当一部分他是可以做出来。第二问，第三问，是可以尝试一下。 现在这个高考压轴题，出题没有任何规律而言，越来越诡异，啥都可能考。但是你要相信，高中数学就这么多东西，难点就集中在高一上学期的这些个函数领域，所以你要想高考取得好成绩，中考结束你就要开始努力，明天见。
222博士带娃
05:29查看AI文稿AI文稿我是着实没有想到，北京的天空压轴题竟然能这么出，这道题目只要你脑子不抽，没有把它空下，你就能得两分，但是如果你想要得满分，要对自己的基本功足够的自信。 大家一起来看一下这道题啊，他说这个函数是一个带绝对值的函数，问选项当中正确的有哪些？这道题拿到了之后呢，咱们先来观察这个绝对值里面的东西， 教给大家一个方法啊。我们在做函数题目的时候，如果解析式里面有正弦或者余弦，或者这个函数里面带有绝对值，咱们一定要先考虑它是不是具有奇偶性。那你看这个函数， 绝对值里面的余弦是个偶函数， x 方也是一个偶函数，那后边的 c 方是一个常数，那很明显绝对值里面是一个偶函数， 在整体加绝对值，他一定也是偶函数。有了偶函数这个性质，咱们在研究这个函数的时候呢，就可以只研究零到正无穷的部分就可以了。所以咱们来看一下啊这几个选项。他说 f x 在 这个范围内既有最大又有最小，所以咱们要研究一下绝对值里面这个函数。 这个函数呢，在研究单调性的时候，完全可以去求导，所以咱们把绝对值里面的这个函数当成一个新的函数， g x， 它就等于 x 方减去 cosine x， 再减去 c 方对它求一个导，就等于二 x 加上 sin x， 到这里千万不要着急的去算它的二阶导。咱们可以简单分析一下啊，这个函数在零到派的时候， sin x 也是正的，二 x 也是正的， 只要 x 大 于 pi 了，这个东西有可能是负的，但是它最小也就是负一。而前面的二， x 在 x 大 于 pi 的 时候，一定比 正一要大得多，所以整体上看，这个东西一定是大于零的，那说明原函数一定是增的， 那既然它是在零到正无穷上是增的，那又是一个偶函数，所以它的图像咱们就知道了。简单画一下，画好图之后，我们研究一下零对应的数值，把零代入，这是零减去一，再减 c 方，所以这就是负，一减去 c 方，然后再加绝对值，就是把下边的翻到上面去。 好，有了这个图形，咱们来开始分析。在负一到一上，既有最小又有最大，那我们只需要研究零到一上就可以了。零的时候对应的是这个数值， 然后如果这个点啊，他是在零到一之间的，那么这个点对应的就一定是最小，那一就在这个位置，那最大值要么就是一，要么就是零对应的数值，那如果这个点呢，他比 比一还要大一些，那一就跑到了这个位置上，那此时在零到一上肯定既有最大又有最小，所以一是正确的。接着再来看二，如果 c 等于零时，这个东西等于一有三个节，那 c 等于零，那下面这个最小值就变成了负一翻上去以后，这个最大值就变成了一， 所以 y 等于一，有三个焦点没问题，所以二也是正确的。再来看三，当 c 等于一的时候，在一到二上，它有最大值，还是这个问题啊，如果 c 是 一的话，这个最小值对应的就是负二，那翻上去以后，这个地方对应的就是二， 那么看图咱们就可以知道啊，你要想判断一到二上有没有最大值，主要就是看这个点到底是几，那咱们简单的来判断一下，那么对应的 c 呢？是一，所以 g x 就是 x 方减去 cosine， x 再减去一，那它等于零时候的解，我们来试一下啊，假设 x 等于一，代入以后就是一减去 cosine， 再减一等于负的 cosine 一， 那这很明显是一个负数， 所以一对应的应该是负数，那一就应该是在这个位置上，那再来判断一下， x 等于二，代入的话是四减 cos 二再减一，那也就是三减 cos 二， 那很明显它是一个正的，所以二就应该在这个位置上，那么一在这，二在这，那这个点呢，一定在一和二之间，所以把它翻上去以后，它有没有最大值，那就看二对应的数值和一对应的数值谁大谁小。 所以其实就是判断一下什么呢？它翻上去 cosine 一 和它本身三减 cosine 二，谁大谁小，那很明显三减 cosine 二要比 cosine 一 大，因为这 cosine 啊，最大最大也就是一，所以这个比它大，那么说明二对应的就是最大值， 三也是正确的。那咱们继续再看第四个选项，它说 c 大 于零的时候，这个函数与 y 等于 c 有 四个交点，我们把这个图重新画一下， 此时把 x 等于零对应的图呢，翻到上面去，就得到了这个图形，而这个点对应的就是一加 c 方， 那 y 等于 c， 它与这个图有几个交点，其实看的就是一加 c 方和 c 的 大小关系就可以了。在 c 大 于零的时候，一加 c 方是一定大于 c 的， 所以 c 呢，就应该在零到一加 c 方之间，那很明显图中有四个交点，所以四也是正确的。 那最终这道题的答案竟然是一二三四都对，所以我开头说，只要你没有空下，你只要选了一个就能得两分。但是你要想把四个都写出来的话，你应该对这道题的理解非常深，你才敢把四个选项都答对。
1476数学赵观察&高中号
08:30查看AI文稿AI文稿高考数学昨天已经考了，那么今天我们就来分析一下全国一卷最后一道压轴题的是怎么去做的，咱们一起来分析一下，好吧，函数 fx 等于这么多。 第一个讨论函数的单调性，那么讨论函数的单调性思路是很明确的，就是要对元函数进行怎么办？求导，如果说导函数大于零，单调递增，如果说导函数小于零，那么就是单调递减，所以说就是对他进行怎么办？求导，这是个乘机的形式，就是前倒乘以多少后不倒， 然后加上前不倒，乘以多少后倒，然后跟他一化减，一化减以后他就等于负的路稳。 x， 哎，这一看就是一道对数函数，然后加个符号， 本来对数函数他是这样的，这个符号是不是倒下来了，哎，是不是这样了？那么注意这里是多少一。还有同学们做这道题的时候，我们任何一道函数题都一定要注意， 低于优先，这个 x 一定是大于多少零的，因为他在那个位置，珍珠的位置。做函数题一定要注意低于优先，那么你看 零，零到多少一，零到一，他的 fxcp 是不是，是不是大于多少，是不是大于零的。所以元函数单调递增，也就说 x 属于多少？零到一，元函数就是单调递增， 那么 x 水多少呢？移到多少？移到政府穷，移到政府穷。你写成开区间，闭区间都可以，因为一个点对单调性不构成影响，那么是单调。第一简单，哎，那就好办了，那么语言函数的单调性我们就讨论完了。提高问，这样的话写上，我们可以简单的把它的草图给他画出来，画出来 你做第二个问有用？你看他是零到一，是单挑地，真的啊？单挑地，真的，但他娶不到零，对，对吧？娶不到零，为什么呢？因为 x 娶不到零，对吧？哎，到一的时候他是单挑 d， 真的说明取一的时候他取的什么值了？最大值，对吧？然后一到正负球呢？他是单调的减的，那么这个点是一的时候他取的什么值？最大值？最大的是可以算出来的。把 x 等于一个给他带进去，就是 f 几 f 一，那么 f 一给他带进去的话，就是一乘一减零还是等于多少？一元函数都是搞定。那 那么我们看第二个问 a， b 为不相等的正数，注意，一个是不相等，一个是正数啊。起 b 乘以多，问 a 减掉 a 乘以多，问 b 等于 a 减 b， 要证明这个不等式的成立。 哎，同学们，那么第二个问往往以第一个为为基础，对吧？以以第二个为基础，我们看到这个条件的时候，我们唯一能做的就是让他和我们的已知条件函数联系起来，对吧？进行转化，那么我们观察，我们观察就是 x， x 乘以一减多为 x， 对吧？那么如果说你把 好展开，就是 x 减掉 x 乘多少路文 x， 那么你看 xx x 三者对应，那么我们再看到等于这个已知条件，对吧？这里是 a， 这里是多少 b， 要用我们这个函数就必须是 xxx， 对吧？那么我们怎么才能把这个 b 跟他变成 a 呢？同样的道理，还要把这个 a 变成 b， 那怎么变呢？ 左思右想，我们可以采取两边同时除以多少 a 乘以 b， 对吧？那么 b 除以 a 乘以 b， 就变成了 a 分之几 a 分之一落尾 a 了，对吧？减掉同样的这个是 b 分之一，多少落尾 b 了，等于 a 除以 a， b 就是 b 分之一，减多少 b 一除以 a b， 那么就是 a 分之一了。 a a 分之一 a， b 分之一 b 还是不行，因为这两个是完全怎么办？一样的 xx， 这两个是不是相差个什么？ a 分之一 a 是不是互为倒数的？同学们，还有前面是多少？是不是 x， 那么不分，我就把这个跟上，怎么办？移过来，移过来就变成了 a 分之一减，加上 a 分之一位的路吻多少 a 等于这个刚移过来就是比分之一，加上比分之一乱比，任何一步操作都是为了给我们的已知函数，怎么办？建立联系，你看 x x， 你看 x x， 这是减号，这是加号，这这个是。这两个应该是完全一样的 a 分之一，但这也是 xx， 对吧？不行，说明这要把这个变成减号。实际上你对对比较熟悉的话，马上就可以写成减号了，是不是？减减的话，这里就应该写成 a， 是不是可以写成 a 分之一的？负几次方？负一次方，负一次方。打到前面来是不是就变成减号了？哎，现在跟他就怎么办？ x x x 是不是完全一模一样了？构造出了我们的已知函数了？那么同样的道理，这个 减的 b 减 b 分之一，论多少 b 分之一。哎，那么说白了，这个就是 f 多少 f f 分之一，对吧？那么等于多少 fb 分之一？ 哎，同学们，你看，变形了半天就给我们的已知条件函数是不是建立联系了？现在相当于就说 f a 分之一等于多少？ fb 分之一，那么同学们，我们考虑一下啊， a b 又不相等，而且为正数， 那么你看，要从这个函数上， fx 上出现两个函数的相等，那么除非他是对称的，哎，是不是这样？ 这里是一个啊，这里是一个。如果说我把 a 分之一看成是 m 的话，那么 b 分之一看成是 n 的话，哎，是不是这样会简单点，好使一点？那么也就是说这个对应的是 m， 这个 对应是多少 n， 当然可以互换位置，对吧？不影响，我们可以不妨设设。 m 是小的一个， n 是怎么办？大的一个，那么简单了啊，那么简单了。那么这个 a 蒙的 范围一定是多少？一定是现在 m 的范围一定是大于多少？大于零，小于几小于一没有问题吧？那么这个 n 的范围呢？ n 一定是大于多少的，一定是大于一的，必须一左一右才能使他们两个怎么办？相等。现在我们就知道 m 的范围和 n 的范围了。同学们， 好了，那么我们再观察他一下，求证的这个不等式到底是证明啥？我先查一下这个黑板好不好，哎，到底是证明啥？那么他要证明的是二小于 a 分之一加 b 分之小于一，我们可以分两面来证明，先证明这部分，对吧？相当于证明二小于他是等于 m 的，他是等于多少 n 的？我换了啊， m 加 n， 那么我们给他移过去，相当于就要证明二减 m 小于多少？小于 n。 那么同学们注意了啊，注意了，由于这个 m 是多少 m 是一，一零到减零到一的，那么二减 m， 他一定是大于多少？一定是大于一的， 没有问题吧？你就说二点一蒙，他一定在这个区间啊，大于多少？大于一的，哎，他是大于一的，嗯的话肯定是大于一的，我说了啊，他在这个位置，那么也就是说我们知道这两个都是怎么办？大于一的就是在这个区间内，是吧？在这个区间内，原来说是单价地减的，你就说要证明他比他小， 等加于证明，哎，等加于证明 f 二减 m 大于多少 f n， 能理解吧？同学们，是不是相当于？你看，由于他们 两个点二减一母和 n 都是在这个区间里，在这个区间里，那么要证明他比他小，是不是单元题减的，反过来是不是相当于证明函数值，他比他要怎么办？大，哎，目前我们只需要证明这个函数成立，是不是就解决问题了，哎，同学们，你要注意哈， 我们这里是不是还有个条件，这个 f n 他是等于多少 f m 的啊，那么是等于 f m 的，那么在变形，相当于就是要证明 f 二 且 m 要大于多少 fm， 哎，是不是这样了？是不是证明这个不等式的成立，那么这边就成立了，对吧？同样的道理，左边是不是用同样的原理去解决？那么怎么去证明呢？同学们， 这个我们就必须要构造函数了啊，构造函数了，那么这里是不是一个可以看成一个新的函数，我们可以是个 jm， 对吧？他等于 f 二减 a， 猛减掉 fm， 对吧？我把它移过来了，我构造了一个函数，那么我现在要求， 要求他的这个不等式的成绩，相当于就是证明这个 zm 的什么性？单调性，哎，单调性，那么这个 m 的范围是属于多少？零到一的？ 现在我们肯定唯一能做的就是要求 jm 的住址，那么肯定要对 jm 进进行，怎么办？求导，哎，求导的话，他就等于 f 二减 m， 一 p 求导，减掉 fm 求导， fm 求导不就是 fx 求导吗？是不是这么多？然后我们给他带进去，一化解就是落文 二减掉 m 乘以多少乘以 m， 一看到就是个什么函数，这里面是不是个二次函数？二次函数 m 是属于多少零到一的？是不是可以把它范围求出来，求出来以后刚好在里面这个范围呢？他使这个落位刚好怎么办？小于多少？小于零？ 六十个对数还是满，是不是小于零？那么也就是说这么一撇，他是很小于多少很小于零的，很小于零，说明他是单调地少，单调地减的，对吧？是不是单调地减，那么 你就说这个 m， 这 m 是单列递减的，单单递减的话，他的最小时就在哪里取得了，由于 m 是零到几，是不是一这里取得，对吧？那么我们就把这一根那怎么办？算出来，这一算出来以后，由于他 是开区间取不到一，刚好等于零，但是他只能怎么办？大于零，对吧？哎，他只能大于零就好办了，那么也就是说他的最小值是大于零的，那么就大于零， 那么你就说 f 二减一亩就大于多少了 fm 了，那么这个不等式就成立了，那么他就成立了，那么他就成立了。同学们用同样的原理也可以证明这边听懂没有。
9.7万听着，我再讲一遍
02:14查看AI文稿AI文稿今年新高考二卷的单选压轴题已经出炉了，这道题实际上是改编自二一年假卷单选压轴题，还是非常经典的。咱来看一下说 f x 为偶函数，满足这样一个式子，这个式子我们可以推导出它的周期等于四。经典的周期函数模型讲过无数次了， 又因为题目中说是偶函数，那么 f x 就 等于 f x， 所以 这个式子会变成它。 而这东西是啥？是中心对称，说明 f x 是 关于负一零对称的。又因为周期等于四， 所以 f 负一就等于 f 三，正好相差一个周期，而 f 负一就等于零，所以 f 三等于零。啊，那 f 三等于谁？我代入这个式子，就是九加三， a 加 b 等于零。 接下来我们再来分析，还需要一个条件，现在给了你这部分的解析式了，我们想要利用偶函数，我这么干， 我给他减去个二，那会变成负二分之一到一。所以我这样思考，我假设 x 属于负二分之一到一，这个时候 x 加二就属于 二分之三到三，然后我再利用它，我稍微一做变形，我能得到 f x 等于负的 f x 加二。这步你要反应过来啊，把它变下形，把 x 换成 x 加二， 现在 x 加二正好在这个范围内，可以代入这个式子，它就等于负的 x 加二，括起来的平方减去 a 倍的 x 加二，再减 b。 现在解析式出来了， 这时候我们思考，利用偶函数 f 负二分之一等于 f 二分之一， 把它带入这个式子，由这个我又能得到一个 a 和 b 的 关系式。那两个 a 和 b 的 关系式我都知道了，于是我就可以算出 a 和 b 来，我会算出 a 等于负四， b 等于三，于是本题出答案了，各位爱徒，你学会了吗？
1566展神数学思维提升
16:35查看AI文稿AI文稿小学生啊，挑战今年高考数学压轴题，比往年有一点难度。你看我们前年的高考数学压轴题，小学生直接做就可以，因为他并没有给你新的知识，考的是纯粹的数学。今年的话，有一部分知识他没学过， 需要我们家长啊，给他翻译成大白话，再让他来做啊，一样也能做。我们看今年的高考压轴题，好多人说特别难，读题都读不懂，实际上就是这个翻译这份的工作没做好。数学高考压轴题翻译的原则就两项， 第一项把所有抽象的概念转化成形象的图形，或者可以计算的式子。 第二个是把看起来特别复杂繁琐的数学表达式换成大白话来理解。这两点翻译能做好了，再难的亚洲题也没多难。我们来读题，发现里面从函数开始，孩子就不懂，我们就把函数类比成什么呢？爬山 告诉孩子，对吧？我往左的五米，我的山呢，高了十米，那这个高的这十米就是我们的 f x， 往左左这五米，就是我们的 x 的 微一 用这种方式来帮助小小朋友。有学过函数的小朋友来理解这题到底在考啥，那么这个题就变得很简单了，对吧？就是在 x 小 于零的时候，如果一个数小于零，哎，我他给了一个表达式，这个是他的山的高度， 那么地呢？地是这里面真正头疼的绝大多数孩子，晕就晕在地上了，地不是函数，就这段话可以完全屏蔽掉。换成这么一句话，我从原点出发，往两边走， 需要啊，我走的那个位置的高度比我现在站这个位置啊要高，那么他就符合条件，如果走的那个位置比我像这地低，他就不符合条件。 要换成这么一句话，最后要把所有符合条件的到底能走多少步找出来，把我们放在问题一里面来看， 对吧？问题一其实给的非常清晰了，整个函数都给了 s 轴，左半边是二的 x 次方，右半边是 e x， 我 们可以啊，大致给孩子画个图，就小学生不理解，我说我把图给你画出来，让你来做，然后呢，我们这么去画图，说我们画一个坐标轴 左边，对吧？这就是零二的 x 四方，这就是左边啊，当然这就是空的，当然右边的话，他给了一个数，叫一减 x， 这是一条直线往这边画，对吧？这是一，这是一，这就是我们第一张图里面的图。 然后呢，要求是什么呀？要求算的是，对吧？ d 负一的值， d 负一的值。好， d 负一的值。什么意思？就是我们从负一这个点出发，我们到底能走多远？往左边走，往右边走能走多远？ 这负一的位置，那我们找到负一这个位置。对，我们就从这出发看往左边走，往右边走能走多远，要求我走的位置必须比我现在出发的地方高，那我现在到底出发多高呢？因为已知啊，这的函数是二的 x 方，所以从负一这个点出发， 那我们呢，现在能走的高度就是二的负一次方，这是二分之一，所以这个高度是二分之一。从二分之一地方出发，我们呢，可以往左边走，往右边走，看哪个地方比我更高， 看到底能走多远，很简单的，往左边都走不了，往左边走一点都走不了，对吧？因为越往走走越矮嘛，所以不能往左边走，那要往更高的地方走。那往这走行不行？往这走行，往这走行，往这走行。走到哪不行了？ 走到他一样高的这个位置，这个位置不行了啊，这是一减 x， 一 减 x， 对 吧？ y 等于一减 x， 这边是一减 x， 走到哪他就有二分之一矮了呢，最多走到二分之一啊，对吧？ 当我走到二分之一的时候，再往前走就更矮了，所以我其实就是从负一走到二分之一这么个区间是允许我走的，看，我从这出发，往左走不让走，往右边走，越走越高，越走越高，但是走到这位置以后，后面不让走了，所以我第一问的答案就出来了，答案是为一啊，就是我往左边走能走多少走零， 往右边走能走多少？最多的从负一走到二分之一，走二分之三，所以答案是零到二分之三，这个就是我们能走的全部范围，于是我们第一问就求出来了，对吧？零到二分之三口算都可以，想要具体式子的话可以看这个。然后是第二问， 第二问里面啊，左边边没变，还是二的 x 方，右边边变了，变成了积函数。积函数又是一个孩子听不懂的东西，就要给他换成啊，他能懂的语言，还是画图告诉他什么叫积函数啊？ 函数的定义啊，是它围绕着原点对称，所以其实就是把左边边这个图啊，绕着原点旋转一百八十度转到下面来，于是它呈现了一个对称图形，这是新的函数，然后拿这个新的函数来算一下，我们画图的话就画成这个样子， 还是画一个草图，对吧？然后我们左边的话，还是刚才那个，当然就注意这是空心的。然后呢，这是二的 x 四方， 右边呢？因为是围绕着原点对称吗？所以是从这开始，然后再往上涨，这两边对称一下，对吧？这样子， 这就是新的一个图啊。当然了， x 等于零的时候，这得还得有一个点，这个位置要围绕原点对称吗？对，这个点点到了原点，这是新的这张图，小朋友就可以照着新图来做。画完图了以后，我们还要读懂题，仍然要把它翻译成啊，大白话， 他说一个人比另一个人矮， 然后呢？求证什么呢？求证啊， d x 二包含 d x 一。 再回来看这个题啊，仍然得转换成大白话 说， f x 一 小于等于 f x 二，什么意思啊？就想象有一对双胞胎，一个 f 一， 一个 f 二，他俩呢，站的高度不一样，一个高，一个低。要求证明啊， d x 二包含于 d x 一， 这啥意思？就是矮的那个 活动范围更大，往左往右走都可以，高的那个呢？活动范围小，高的那个能走的范围，比如他往右边走十步，允许，什么叫允许啊？就是变得更高了， 那么呢，另一个也走十步，也一定更高，哎，就这边走，他就得跟着走，但这边能走的，他都能走。哎，就是这么一道题，要证明的是更高的那个能走的范围，更低的那个全能走就行了。 然后我们就可以开始分类讨论了。这里面一定要教育孩子一个分类讨论的思维方式，他并没有给 s 一、 x 二大于零，小于零，所以就需要分三类情况讨论，第一种情况全都小于零，第二种情况全都大于零。第三种情况一个大一个小，对吧？我们来判断他是哪种，但是我们肯定知道他不等于零，为什么呢？因为给了条件， 两个数相乘不等于零，说明这俩数全都不等于零。好了，那我们开始算好。第一种情况，就是我们的在这取一个点， x 一 在这取一个点，比如说 x 二， 要求啊，是 x 二能走的范围， x 一 都能走，那 x 二到底能往哪走呢？往左走走不了，往右边走呢？只能走这么一个范围看， 就这么一个范围，对吧？从这到这就这段范围是他能走的，为什么呢？因为超过这个范围，他再往外边走更远的范围就到下面去了，下面是负的，肯定比上面要小，所以他只能走从这到这这一段。 那 x 一 能走多大呀？ x 一 能走从这到这这一段，对吧？同理啊，因为他走往左走不了，往右的话，他能走这么一大段，就他从这一直往往这走，能走这么远的位置他都可以。所以你说 s 二他能走这么长的距离，那 s 二这段范围肯定包含在这个范围里， 这是第一种。第二种他俩都大于零。刚才第一种是他俩都小于零。哈，这是他俩都大于零，那都大于零的时候，需要知道谁更高啊？ 我们知道的是 f x 二更高，所以这是 x 二，这是 x 一， 对吧？所以这是 x 二，这是 x 一。 他更高， 他更高。以后他能往哪走？他可以从这开始往正无穷随便走，对吧？他从这往右走，随便走，往左边走能走吗？走不了，但是他可以走到这边来，他走到这边来的时候，哎，这边也比他这边高，所以他只有这个范围不能走，剩的范围都能走。就他从这开始无限往这边走，他都会更高， 他呢？往这边走，只要超过了这段距离，到这边也都是他的范围，所以是除了这个不能走，他都能走。那 x 一 更简单了，就是除了这个范围不能走，剩下的我都能走， 就我往这边走，我也可以走。往这边走我也可以走，只有这个范围我不能走。好，那你说他俩谁能走的范围多？肯定是 x 一 能走的范围多， x 二能走的范围全都被包含在 x 一 里面了，对吧？这是第二个好，还有第三个，第三个的话就一个大一个小， 还是这个图再画一个，这就稍微的复杂一点，差不多就行了啊。 这一个点好，一个大一个小，对吧？这里面需要判断谁是 x 一， 谁是 x 二，我们已知啊。 f x 二更大，对吧？说一个是正的，一个是负的，谁是那大的？说 x 二是那大的更高的，那谁大呀？这个大，所以只能是这是 x 二，这是 x 一 啊，这是 x 二，这是 x 一。 好，那 x 二和 x 一 比的话，那看他俩谁能走的范围。那 x 二能走多大范围啊？他只允许从这， 对吧？走到这，只允许从这走到这。那 x 一 允许从哪走到哪啊？ x 一 允许啊，从这开始走，一路走，走到这， 整个这个范围他都允许走，注意这个范围，这是他的位宜啊，他允许从这边开始往右边走，走无数步，从零开始一直走，这么熊他都允许，他同时还允许往这边走，就是除了这段不能走，剩下他都能走，他可以一直往这边走， 那 x 二呢？只允许走这一块，那这个块到底包不放在这里面呢？注意位宜，就是他允许从 x 二这边往这边走， x 二绝对值这么大的一个范围， 就是他只允许从这边往右走，走这么多，注意是他走几步，他走几步，所以当他往这边走十步的时候，他这边也可以往这走十步，他俩都符合条件，所以 x 二的整个范围，你去一做判断就知道他这个小的范围就严格的被包含在了 x 一 里面，哎，他也都允许走详细的证明过程。 这个里面比较容易让人糊涂的，就是把我现在的绝对位置搞错了，就是明明是我允许往这边走多少步，他给继承了，是不是他能走的定义与我全能走 d 啊？不是函数，他就是一个定义，你把这个定义摘出来就好搞清楚，就是我允许往这边走多少步，他也允许往那边走多少步，按照这种方式去思考，就可以把这个题很清晰的想清楚。 好了，前两问做完了以后，就可以来挑战第三问了。挑战第三问之前一定要给孩子讲清楚，就所有高考数学压轴题要做出来最后一问的时候最需要注意的一句话， 如果搞不懂这句话，其实很难很难做出来最后一问就他难度确实很大，大家全网都说难，但他那句精髓的话是什么？叫做前面几问 一定是出题人怕你最后一问做不出来，拿来提醒你的，你要从里面读懂他在提醒你什么， 然后再开始做，看懂提醒才能做出来这个题。所以啊，他第三问啊，其实也包含了两个小问，一个呢，主要是用第一问的提醒，一个主要问的第二问的提醒什么呀？求 d 负一的值，他的暗示是什么？让你求来某个单点的值，他给的是 d 负一， 求的是零。所以那小学生家长啊，其实第三问后面题不用严格去推导，只需要训练孩子。什么呢？我根据提示去猜， 他最有可能用这个提示提示我什么，把这个猜想猜明白。哎，后面这个题到后面再去学知识补充进来，很好做。但就怕的是我猜不出来，我没有猜的勇气和能力， 这个猜绝对是要训练的，你像我就会猜。既然第一问求的是 d 负一，那么在这一问，很有可能让我们去求一下 d 零，那在这一问，既然给了 f 零小于等于一，那么很有可能是让我们去求 d 零。 你猜到它了，你会发现，这题其实就变简单了啊，有多种方法做。我目前能想到的最简单的肯定用反证法来做，因为你要求 d 零嘛， 你要算具体数，没有数字怎么办呢？我就会假设呀，他可能是让我去求第零，就求一个单点的数。那单点数是多少呢？继续读条件，第一次的条件呢，跟前几次就不太一样了，前两次都是给你完整的函数，第一问锁住左半边，一直是这个二点 x 方右半边。第一次是 e x， 第二次是它的一个奇函数对称。 第三次啥也没有，什么都没有的情况下，要你去求，对吧？那就只能用他的已知条件，他给了啥条件呢？还是第一个，如果我比你矮，那么我的行动范围严格大于你，并且包含你。然后第二个条件是什么呢？是在零到一的区间，对吧？ f 零最大， 剩的所有数都比 f 零小，这是两个条件，给了这两个条件，让你证明 f 零大于等于一， 你可以假设 f 零小于一去证明啊，第一个条件不存在，就相当于我用第二个条件，可我们第二个条件中的 f 零小于一去证明，第一问不存在。 为什么能这么想？就他这个条件给出来，他就是很容易证明他可以不成立的。所以基于这个原因，我们去想到了反证法。小小朋友在这会你要给他解释一下什么叫反证法？就是我先假设一个条件，假设这个东西不成立， 就一证明，发现矛盾了，于是对面的东西就成立了。就假设咱家有钱，那我应该能买得起冰棍啊，买不起冰棍说明咱家没钱。对啊，这次证明出来了，就这么一个证明过程，叫反证法。如果小朋友将来长大了去做高考压轴题，能想到反证法，那这会教这方法可就有用了。 好，那我们第三问呢，这个图怎么画？这图其实不好画，我们还是只能画在左半边的零到一，右半边画不出来，但是我们假设出来了一个说呀，我们假设了 f 零小于一，我们在这里面能取一个，这是零，这就是 f 零，就是它的高度低于这边。然后要求什么呢？ 要求证明啊，就是刚才我们第二份证明的那个东西，就是更矮的能走所有更高的的范围，这个东西不成立，那这个其实画完图以后很容易就证明出来了。怎么证明啊？我们在这里面比他更高的地方取一个点， 对吧？取一个点，那这个点啊，往右边走一个很小的范围，对吧？肯定是仍然成立的，为什么呢？因为他没到一吗？趋近于一，既然是零到一的数，他一定是可以无限趋近于一的，永远能找一个点比他也高，但比一要矮， 这个点仍然可以往右边走，但是没走到一，比如说射这个点呢？为谁啊？为 x 零，对吧？这个点是 x 零，那么走一个多大的距离呢？走一个负二分之 x 零的范围，对吧？他从这往这边走了这么一个范围，那这个点他就是可以更逼近于一， 他成立啊，这个区间他是能走的，那我们先要证明零不能走，零肯定不能走，为什么呢？因为你一旦能走了，就掉到了零到一的这个区间里了，我们条件里给了零到一的区间里面都小于 f 零，他只要往这边走，他一定是低于零的， 这就证明不成立。因为不成立，所以他不能小于一啊，就证明完了。你看第三问的压轴题，第一步也就是这么简单，当然小列式子的话，你确实可以设出来他走二分之 x 的 这个范围，然后我们去严格的去证明他走了一个二分之 x 零的这么一个范围， 这样的话就证明完毕了啊。对，具体代数式的话，大家可以详细去看前面几问，基本上口算都可以做啊。还有最后最后一小问，最后最后这一小问呢？其实证明起来确实比较复杂 啊，但是还是我们前面说的，前面的所有东西都是用来提示你的，如果你能读懂提示的话，这个题依然并不难。详细的证明过程对于小学生来说确实偏多了，我们在这里不详细展开，但是我们仍然可以训练小学生，来猜一下 最有可能是哪个条件在起作用，对吧？就比如我们看到了这里面所有条件中第二个大问里面，你会发现他那个对称的那个图就是单调递增的，而且他有一个非常鲜明的特征，就是他是严格于小于零轴的，就是他整体上都是负的，没有超过零。 那就是可以猜一下，是不是在最后一问中，也需要先证明右边这个曲线是严格小于零的， 证明完严格小于零的之后，再去证明他单调低增，哎，可能就会极大的简化他的难度，降到非压轴题的难度。就我们经常去说呀，说一个最难最难的题，也就是拆成了若干个简单的题，以及把一些话翻译成了大白话，大家真的如果愿意有信心的话，好好去拆， 好好去翻译成大白话，你会发现其实最难的题离我们从不遥远哦！大家喜欢的话点点赞，直播间比短视频更好看！
7991北大满哥-早6：50直播
04:52查看AI文稿AI文稿我认为数学竞赛对高考卷仍有很好的降维打击的效果。大家好，我是朱老师，本期视频呢，想跟大家聊一聊今年的全国高考数学一卷。首先，我们来聊一下这张试卷的难度。试卷的整体难度呢，不算小，但并没有那么大， 整体的难度比二零二二年的全国一卷呢，还是有一定差距的。很多人之所以会觉得这套卷特别难， 是因为题目的难度呢，他比较的两级分化，简单题不少，但是几个压轴题呢，难度又有一点超标，中档题相对来说偏少，所以导致这张试卷呢，对于中等生而言非常的不友好，因为他们会觉得自己能做出来的题目好像都是简单题， 而那些难题呢，又显得高不可攀，所以很难考出自己的水平。我认为这张试卷的区分度呢，实际上还可以做的更好一些，以便各个层次的学生呢，都能展现出自己的水平。 其次呢，我想聊聊大家关注热度比较高的压轴题。选择压轴题和填空压轴题都属于是比较新颖的问题，并且考的不是常规的考点，这两题出的很好，并且有一定的难度。 这两个反套路的问题，能够让真正有数学思维的学生脱颖而出，而不是那些习惯通过刷题来获取高分的优等生。关于选择压轴题，也就是第十一题，这道题中最难的是 c 选项， 我有一个非常简单的解法分享给大家， s 一 加 s， 二加 s 三的值受到 k 和 b 这两个因素的影响。并且呢，我们注意到，当这条直线经过 a、 b 这两个切点的时候呢，刚好会满足 s 一 加 s 二加 s 三等于三，那我们从这个特殊的位置出发，将直线呢， 旋转一个微小的角度，也就是改变 k 值，不管这个时候 s 一 加 s 二加 s 三的值是变大还是变小，这个时候呢，我们一定可以通过平移，也就是改变 b 值，来让 s 一 加 s 二加 s 三的值再次的变为三。这样的话呢，我们可以通过调整旋转 和平移的大小，让 s 一 加 s 二加 s 三的值有无限多种可能性变为三，所以这样的直线的条数呢，不仅不是三条，而且是无限条。这种调整的数学思想对于竞赛生同学而言想必是非常熟悉的。我们再来看看本次考试真正的大 boss， 也就是第十九题。这道题本身的形式非常的新颖，题目很抽象，非常考验同学们的抽象思维能力。有不少同学啊，直呼题目都看不懂。 其实这也是这道题目的最大挑战，因为只要你能够理解题意，其实前面三小问呢，是没有什么难度的，尤其是前面两小问，稍微困难一些，但区分度呢，也不是很大。 而第四小问呢，则是突破天际的，难说他是高考改革以来最难的题啊，可能一点也不为过，而且他大幅超越了以往的这个压轴题。这道题对于竞赛生而言，同样的困难啊，尤其是在考场这样的分秒必争的地方。 这道题难在啊， c 一 x 二以及 d 的 选择面非常的广，结合题目本身很抽象，所以导致切入点呢很难找到。我自己也是做一下这道题，尝试了很久时间才找到了切入点，个人认为这一小问和前面三小问的跨度呢，太大了， 所以这是一道基本上没有什么区分度的废题。如果能够通过改编第三小问，给第一次小问设置一个更合理的阶梯， 情绪渐进一些，而不是说一步登天，这道题呢可能就非常成功了。我们最后做个点评，整体而言呢，这张数学全国一卷在难度的把控上还可以做得更好一些， 不管是中档题偏少的问题，还是压轴题过难的问题，都导致这张试卷的区分度呢，可能不如往年的高考卷那么有效和精准。但是另外一方面呢，这张试卷的几道压轴题啊，都非常的新颖。反套路延续了近几年高考压轴题的风格特点。 我们不论这些题的难度如何，我认为从这几年的题目中所反映出高考命题的趋势是不容置疑的。 我非常喜欢这样的试卷风格，它能够较好的筛选出真正有思维能力的学生，这也非常符合国家的拔尖创新人才战略。最后呢，对各位竞赛生同学和准备参与竞赛的同学说几句话，在这个高考越来越反套路，难题越来越考察思维的时代， 我认为数学竞赛对高考卷仍有很好的降维打击的效果。或许数学竞赛并不能够在升学政策上给到你更多的利好， 但是他在内在的思维能力上，通过竞赛的锻炼，的确能够让你在高考以及往后的学习过程中更加的游刃有余。
383北大朱湘疆聊数竞
20:37查看AI文稿AI文稿大家好，我是高中数学陈老师，今天给大家带来一道往年的导数高考真题，我们来看这一题。这个第一问我们就不讲了，我们直接开始第二问， 这是一个零点问题，所以我们首先想看看能不能把这个函数给它改造一下，比如说令它等于零， 但是如果这么做的话，你就会发现这个 x e x e 负 x， 还有这个 long x 加一，这两个放在一起的话，你其实做起来也是不好做的，比如说你如果把它分摊的话， 就会变成这样的一个复杂的式子，如果你这个再进行求导的话，就会很麻烦，所以这里的话我们肯定是不分摊， 所以我们直接求导，因为这里求导之后啊，你这个路由 x 其实就没了， 这个是 e x 分 之 i x， 所以 最后导的话应该是上导 是 a 减去上不倒，因为 e x 约掉了，所以算出来是这个，然后我们再给它化简一下， 然后这个函数的定义域是 x 小 于啊， x 大 于负一， 然后这里让我们求这个负一到零，还有零到正无穷上面证明他各自有一个零点。所以我们先研究一下这个分子，我们可以先令 g x 等于这个分子， 然后我们先观察一下分子的特征，因为这个式子的话，我们直接求导你是做不了的，如果做不了的话我们就根据，而且因为你这个 a 的 范围不确定， 我们看看能不能得出他的一个正负，所以你要既要结合 x 的 范围，又要对 a 进行分类讨论来想办法确定这个 g x 的 正负。 这个哪一段好做一点呢？注意一下这个，这里面是一减 x 平方，在负一到零之间，它其实是一个正数，但是零到正无穷的话，我们还要分段来考虑，所以我们先从负一到零这一段来考虑这个式子， 这时候这是一个正数，这也是一个正数，所以我们可以首先要想对 a 分 类讨论的话，很显然我们可以令我们可以先分 a 大 于零， 因为这样能保证这个式子是正的啊，或者说你令他等这里 a 能不能等于零， 如果等于零的话，你可以检验一下，发现它肯定是不对的，这如果等于零，只剩这个，这个在这中间只有一个零点，所以是不可能的。 所以我们这里当然你可以先检验一下，就是 a 等于零的时候，然后你接着算一下，然后不合题， 然后我们再看第二种情况，就是 a 大 于零的时候，但是这时候啊，我们可以先讨论负一到零这一段，就是 x 属于是 这个 g， x 是 大于零的，所以也就是 f 一 撇 x 大 于零，也就是 f x 单调递增，然后我们来算一下 f 负一，还有 f 零的值， 其中这个 f 零好算一点，我们先算它带到圆函数里面去啊，零，零零 啊，那这里其实已经不用算了，因为 f x 单调递增，这个如果小于零的话，那这个必然是小于零的啊，当然这个这一步可以不写，有 f 零等于零就已经够了， 所以这时候是不是不存在零点，也就是在负一到零这一段啊，不存在零点， 前面要写仔细一点，就是 x 属于这个的时候不存在零点，或者说在这个，呃，就是在这个区间不存在零点，所以 a 大 于零， 就算零到正无穷上有零点，这已经也是不对了，所以 a 大 于零也是要舍掉的，所以接下来应该是分析 a 小 于零， 但是现在 a 小 于零的话，我们对这个式子直接算，我们其实是已经处理不了了。或者说我们看一下这个，因为我们刚才检测的是负一到零这一段，那零到正无穷这一段怎么样呢？ 啊？但是这时候对这个 a 讨论的话，我们也不知道怎么讨论，所以我们这个只能对它继续求导。 然后我们来看一看有没有哪一段可以确定这个单调性这个正负。 现在 a 已经小于零了，所以负二 a 是 一个正数，那所以只要 x 也是正数，那整个式子就能是正的。所以我们先考虑 x 属于零到正无穷时， 很显然这个 g 一 撇 x 应该是大于零的，因为有这个 e x 在， 肯定是大于零的，不会等于零的啊。当然这个等于零其实无所谓， 所以这时候说明 g x 单调递增，然后我们要看一下这个 g 零 一加 a， 所以 g x 也就是大于这个 g 零的，但是这个一加 a， 如果符号不确定的话，我们也不知道这个的单调性怎么样， 那自然我们肯定先讨论简单的，所以接下来应该是分 a 在 负一啊，可以把把负一带上， 就是负一到零这一段的话，因为这时候 g x 在 零到正无穷上全是正的，这样肯定比呃先负后正要简单一点，所以我们先考虑这个，然后我们再考虑第二种情况，也就是当 a 小 于负一时，也就是 g 零小于零时， 所以我们先看这呃前面这一种情况，在这种情况下， g x 是 g x 单调递增，所以这时候 g x 全是大于等于零。全是大于零，大于等于零吗？所以也就是 f x 单调递增，在零到正无穷上单调递增。然后我们算一下 f 零， 我们带进去会发现 f 零的话，还是仍然等于零的，所以这时候 f x 在 这里面全是大于零的，这也是不合提议的， 因为在零到正无穷上要有零点嘛，所以直接舍去，那最最后只剩这一种情况了，这时候你这个记一撇负一是记零是小于零的， 那这时候我们要在右边取值了，来随便找一个值，我们可以先找个 e g e， 我 们发现是等于 e 的， 这个是大于零好了，所以也就是存在一个，这中间应该存在一个零点。呃，我们设为 m 码， m 属于零到一， 使得 g m 等于零， 所以这 g m 也就是 f 一 撇 x 在 之前应该是小于零，后面是大于零啊。我这里就简写了， 零到 m 时，这个 f 一 撇 x 是 小于零的，后面是大于零的，所以 f x 先减后增，这里是零 到后面。我们要证明这后面有一个零点啊。首先我们知道记零是等于零的，所以这边肯定有负值的，比如说很简单，我们就取 m 点吧，这时候 fm 是 小于零的， 然后我们只要在右边取一个值就行了啊。当然我们现在可以写 x 接近正无穷时， 当 x 接近正无穷时，这里的 a 是 负值，但是你后面这个 e x 分 之 x 的 话是比较小的，但是这个论引 e 加 x 的 话，是可以趋近于正无穷的， 所以当 x 就是 接近正无穷时，很显然 f x 也是接近正无穷的， 这是毋庸置疑的，因为这个式子它是这你，你如果把它求倒算一下，应该能算出来，它是最大值，应该是一分之一，就算不是一分之一，反正也不大，所以这里肯定是 f x 接近正无穷， 那在这个 m 到正无穷这一段里面一定有一个零点， 这样我们就取出来了。呃，这是我们现在的写法，在几年之前的话，其实是不能这么写的，还需要在这个 m 到正无穷上面取一个点，让它大于零， 让这个 f 这个值大于零，这样我们才能就是利用零点存在性定，这样我们才能得出 m 到正无穷上面有一个零点。比如说这里可以怎么取值呢？我们从我们这里简单说一下， a x e x， 就是 你要想让这个大于零的话， 呃，其中我们可以算一下这个，这个求到之后，应该是这个式子在一的时候取到最大值， 所以确实是一分之一，这里是一分之 a， 所以 我们只要让前面的这个值大于一分之 a 就 行了。呃，注意，这个 a 是 负的，应该说负的一分之 a， 所以我们前面取值的话，可以取什么呢？呃，如果我们直接让这个等于 e 的 a 字方的话，那里面这个 x 应该取的是 e 的 一分之 a， 负一分之 a， 再给它减个 e， 这样的话，你再加 e 之后，这样得出来其实就是负的一分之 a。 嗯，但是这个 x 的 话，我们可以在，嗯，应该是可以在一的右边取吧。 啊，这里无所谓。嗯，那我们可以在这里取一个，不用取减一了，就这样吧，取一个这个数，然后 ln 这个里面就会变成 e 的， 负的 e 分 之 a 加 e， 所以这个很显然是大于负的一分之 a 的， 所以再加上后面这个值的话，一定是大于零就可以了。 所以也就是这里也就是要取 f e 的 负一分之 a， 证明这个式子带进去之后大于零，这样我们就可以在右边取到一个零点了，而且这个式子因为负的一分之 a 是 大于零的，所以这个肯定是超过一的， 那这我们没问题，因为我们刚才 m 只是在零到一之间。好，所以取点的这个我们就讲到这。 但是我们还有一种情况没算完，就是 x 属于这个负一到零时， 首先 a 已经确定范围了，现在我们证明就是证明这一段也成立。刚才我们已经写到这个 g 撇 x， 但是现在，嗯，虽然 a 小 于负一，但是在负一到零这个范围里面的话，这个 g 撇 x 其实还是无法确定正负的。所以那不行，我们试着再倒一次 啊。这里我们很容易发现， a 因为是小于负一的，所以这个横显然是大于零，所以 h x， 也就是 g 撇 x 一定是单调递增的。然后我们算一下两个端点 g 撇零， 零的话是一大于零啊。还有一个 g 撇负一， 一分之一加 a， 那 这个 g x 是先减后增，我这就不写那么仔细了。 然后 g 零 g 零，我们其实刚才已经算出来了， g 零是小于零， g 一 的话是等于 e 啊， g 一 不行，我们要看的是 g 负一，所以我们要把 g 负一算一遍， 既负一我来找一下，再拉好，既负一带到这里面，应该是一分之一就是一分之一， 然后记零啊，记零我们刚才算出来就是零，所以它这个图形图形的样子大概是这样，零在这，负一在这边，因为它是大于零的 啊，这里我们可以把这个零点给它，嗯，比如说这里的极值点，我们可以给它设设起来，设出来，比如说是 n， 所以 很显然这个 n 到零之间，这个 g x 肯定是小于零的， 然后在负一到 n 中间一定有一个零点， 这里我们给它设成 t 吧，所以这个 g 这里对我们算的是 g x， 也就是在 负一到 t 里面是大于零的，然后 t 到零之间是小于零的。所以那我们很自然可以得出， g x 应该是先增后减， g x 也就是 f 一 撇， x 是 先增后减， 这时候我们前面的 f 零应该已经算过了， f 零就是零， 那还有一个 f 负一啊，当然这里负一这里是算不了的，我们可以当 x 接近负一的时候，这个 lo in x 加一很明显是接近负无穷的，所以这整个式子肯定是 f x 肯定是接近负无穷的， 所以负一应该是一直画下去，然后我们这里是一个零，所以的话， 这个式子肯定是这样的，也就是 f t 处一定是大于零的，然后 x 接近负一的时候，这个是负无穷，是小于零的，所以那在负一到零中间，这里就存在一个零点，这样答案就出来了。 呃，当然这底下按说应该还是要取点的，不过我们现在已经可以这样写了，就是用极限处的值来写，这样我们最后就能证出来负一到零上面也有一个零点， 所以最后 a 的 范围就是什么呢？ a 小 于负一。 好了，这一题做完了，这一题我们是求导之后，根据 a 的 范围还有 x 的 范围，逐渐的来确定它的单调区间。先从最简单的开始，就是能判断正负的时候，先把这个情况给它算出来， 比如说我们前面算了 a 大 于零的时候，发现负一到零这一段，这个 g x 一定是大于零的， 这样的话我们就可以把这一段给它排除，然后 a 小 于零也是一样， 然后算不出来的时候再求到一次，然后根据它两侧的端点的正负来分类讨论。 然后仍然是先从简单的开始，不可提一啊，就能发现这个负一，在这中间的时候不可提一，最后我们就能得到 a 小 于负一的时候，然后再嗯，如果做不出来的话，还是一样 根据两个端点算出两个端点，然后来确定这里是隐零点了，然后再逐步分析它的端点的情况，就是正负情况来得到原来 f x 的 单调区间， 这样答案就出来了。这道题就讲到这，我们下课。
122数学尘老师（安徽合肥）
11:26查看AI文稿AI文稿各位同学，咱们今天讲一下二零二六年新高考一卷数学最后一道压轴题。往年压轴题都是考的原地曲线倒数或者是数列的新定义，而今年他考察的是函数与集合相结合的题目。大家可以看到这个题目 x 小 于零的时候，解析式是 f x 等于二， x 方给了你一个集合 dx， 零里面的元素是小 d， 这里大家要搞清楚 之后。第一问，当 x 大 于零时， f x 等于一减 x， 这里很明显，这是一个分段的函数，我先把分段函数给大家写下来， f x 等于小于零时，解析式是二到 x 方大于等于零时， 是一减 x， 之后求 d 负一，那现在就把 d 负一求一下， d 负一实际上就是 d 属于二，你元素是 d 吗？就是 f 负一加 d 大于 f 负一，大家看到 f 负一，自然能解出具体的数来，它满足第一个解析式，那带进去它就是二分之一。 到了这里之后，你要想求小 d， 那 么我得对负一加 d 对 它进行分类讨论，因为它不知道在哪个区间上。 第一种情况，当负一加 d 小 于零，记 d 小 于一时，我应该把负一加 d 带到第一个解析式里面，就是二的负一加 d 大于二分之一，这里很容易能解出来。负一加 d 是 大于负一的，解出来， d 大 于零，和前边去交集， 你能够解出来 d 是 属于零到一。第二种情况，当负一加 d 大 于等于零既 d 大 于等于一时，此时我应该带到第二个解析式里面，就是一减 x 里面带进去。再看一下，就是一减去括号里面负一加 d 大 于二分之一，解一下这个不等式， 解出来是 d 小 于二分之三， d 小 于二分之三，还得大于等于一，所以说 d 就 属于一到二分之三。 把这两种情况一合并，我就得到了 d 负一的取值范围，它应该是属于 零到二分之三都是开区间，所以说第一位并不是很难记住，但凡好一点的同学都能把这第一位能得到，能得到四五四到五分。 现在我们看一下第二问。第二问说 f x 是 奇函数， f x 一 始终小于等于 f x 二，并且 x 一 乘以 x 二不等于零，证明 d x 二是 d x 一 的子集。那在题目中已经知道了 x 小 于零的解集式是二的 s 方，那么我可以把它这一部分图像画出来， 二的 s 方， 二的零，次方是一，但是取不到。那 x 大 于零的图像，就关于上面这个小于零的图像要对称， 关于圆点，圆点对称，那么它是属全体实数的，所以说零这一块也是可以取到的。能取圆点 x 是 零的时候，它是零。现在对这个题目进行分类讨论，因为 x 一 可以在这里， x 二在这里就同时小于零。你看 x 一 x 二，这样的话，大家会发现 f x 一 小点， f x 二是成立的。 x 一 x 二还可以在这边， 就是这里， x 一 x 二它也是成立的。还有第三种情况，就是说 x 一 在大于零的部分， x 二呢？在小于零的部分，你看 f x 二，此时也是比 f x 一 要大的。 好。三、对这三种情况进行依次的反述一下。第一种情况，当 x 一 小于 x 二小于零，是咱先求一下 dx 一， dx 一 的话，此时就等于 f 符号里面 x 一 加 d 大 于 f x 一。 大家要看清楚，这是题目中给你的，给了你之后，那么对 f x 一 加 d 如果大于 f x 一， 那 x 一 加 d 必须得比 x 一 要大， x 一 加 d 必须得比 x 一 大， 并且还得都得比零小，等于说零得大于它，这样的话能够解出小 d 来，小 d 的 话，解出来是 d 大 于 零，小于负 x 一， 那 d x 一 的范围我们就有了。我现在在求 d x 二， d x 二，我就可以同理， d x 二的范围实际上就属于零到负 x 二。 大家看一下， x 一 比 x 二小，那负的 x 一 就一定比负的 x 二大，所以很明显， dx 二一定是 dx 一 的一个子集。看到第二种情况， 当 x 一 大于零，并且小于 x 二十，此时我求一下 d x 一， d x 一 还是等于 集合 d f x 一 加 d 大 于 f x 一， 我始终用心目中的这个条件， 那要想 f x 一 加 d 大 于 f x 一， 这里分的情况就比较多了，这里要分三类哈。第一小类，大家看到 x 一 加 d 就 比 x 一 大，我能够解出一个字来， x 一 加 d 大 于 x 一， 我能够解的 d 大 于零， 它是满足 f x 一 小点满足 f x 一 加 d 大 于 f x 一 的。第二种情况就是 x 一 加 d 正好 是零 x 一 x 二不等于零， x 一 加 d， 它是可以等于零的。 x 一 加 d 如果等于零，此时我就得到了 d 等于负的 x 一。 之后第三种情况，第三种情况就是 x 一 加 d， x 一 加 d 成了负数小于零， 你发现这个函数图像是比 x 一 这个图像要高的，也是满足条件的。就是第三种， x 一 加 d 小 于零，我能够得到 d 小 于负 x 一， 通过这三类合并起来，我就解除了 dx 一 的范围，它就属于 零到正无穷。一个负无穷到负 x 一， 一个区间负无穷到负 x 一 并上零到正无穷， 这个负 x 一 是可以取到的，那同理 d x 二我也可以取到 d x 二，同理 d x 二的范围也就有了，属于负无穷 到负的 x 二并上零到正无穷。 大家观察一下，零到真无穷，零到真无穷，它都是相同的了，但是 x 一 它是比 x 二小的，所以说负 x 一 就比负 x 二大，就说上边这个区间是包含了下边这个区间，满足 dx 二是 dx 一 的 自己。这是前两种情况，那第三种情况我写到这边吧，就是当 x 一 大于零， x 二小于零时，此时大家会发现它也是满足这个条件的，就是 f 一 确定 f 和 x 二，看到 x 一 大于零， f x 一 是负的， x 二小于零， f x 二是正的， 满足 f x 一 小点 f x 二，这是可以的。因为前面 x 一 大于零的区间范围我已经求了 x 一 大于零，好在这里 d x 一 的范围 我直接写下来，属于负无穷到负 x 一定上零到正无穷， x 二小于零的范围咱在第一问中也求了，第一种情况中， 小于零范围是零到负 x 一， 属于零到负 x 一。 大家观察一下，零到负 x 一， 它一定是零到正无穷的一个子集，那么 dx 二 显然是 dx 一 的子集东上。这三种情况合并到一起，你会发现 dx 二 一定是 dx 一 的子集，咱们就证明出来了，这是第二问的一个解析。
954临沂数学王老师
06:38查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到高考数学每日一题。本期的题目是二零二四年高考全国二卷的压轴题， 本张试卷的最后一道大题，大家可以暂停读一下题目。尽管是最后一道大题，第一问依然还是大部分都是送分题。 这道题我们只需要连立式子解出来就可以了。首先你来解出来，这个方程比较简单，就不在这里讲了，大家 可以自己做一做。这里去解方程，直接解出来，答案就做出来。大家可以做完直接来对一下答案。我们重点看第二问和第三问。这里简单画了一个草图，题上说 p n 的 坐标记作 x n y n， 在 这里我们也标上去了， 包括 n 减一的坐标。那么由于最后一步对称，我们其实也可以得到 q n 减一的坐标，它是根据 p n 来反推回去。好，现在我们来读题有什么条件？第一个条件是这个直线斜率是 k， 也就是这个直线，它的斜率为 k， 那 其实可以表示出来 y n 减 y n 减一，等于 k 倍的后面这个十字， 这个就是斜率的纵轴标志差，比横轴标志差嘛？好，这是第一个。还有什么条件呢？ 那也就是只剩一个条件了，就是这个点在抛物线上，那把这两个点带进去。我们学过非常一个非常经典的一个方法，叫做点差法，在这里仍然可以运用。什么叫点差法呢？点差法是探探索什么 弦中点和弦学律的关系。在这里我们为什么会想到这个方法呢？我可以研究 x n y n， x n 减一， y n 减一它们之间的关系。前面这个式子也是这样一个关系，我们要研究的这个式子还是这样一个关系，这就带给了我们这么去做的一个启发。利用点差法，其实就是下面的这个式子， 减去上面的一个式，左边减左边，右边减右边平方差公式。好，根据这样一个式子，我会发现我可以把刚刚所求的这个式子带进去。带进去有什么好处呢？我会发现这个式子 好像和他可以直接消掉，我们发现直接消掉了之后，这个式子就变得很简单了，我们保留这个式子，刚刚的这个式子一，这个式子标为二，我们要求的是什么？证明他是 等比数列，那也就是要求正这样一个式，等于它这里打一个问号，已有的就是刚刚我们推导的公式一和二，还有没有别的条件可以用呢？好像没有了。那么利用这两个式子 能不能化简得出这个式子，我们要考虑一下答案是可以的。这里有两种思路，一种是我们由一二能不能直接推，难度稍微大一点。当然还有另外一种思路，反正是吧，我能不能从结论先去推，如果能推到这个一二， 或者说能推到一个一二能够复合表达的一个式子，那不就证明我们做出来了？这个是比较好想的一个思路，我们就处理一下我们想要的这个式子，也就是即正，我们用交叉相乘写开处理这个式子， 我们有的是这两项的差，我发现这里有个一倍的他，这里有个一倍的他，我移向过去正好有一个差，这里是减 k 倍的，这里是加 k 倍的，我移过去正好又有一个和，这里有和，对于 y 的 处理也是一样的，把它移向移过去，也是存在有和 有差，这个大家就自己运算吧，运算的结果是正确的。也就是说由一式和二式是可以推出这个三式的。成立在卷子上怎么写？大家可以这么写，这上面的我们放在草稿纸上，我们说由一二得得什么就得了。这个式 抄到卷子上，然后化简得得什么得我们要的这个式，所以是等比处理。这第二问，第三问，证明面积 s n n 加一的关系。我们还是先把它的草图 画出来，要求红色的三角形和蓝色的三角形面积要相等。我们发现它们其实是共底的。 p n 加一， p n 加二这个底， 那是不是意味着我要满足什么条件呢？ p n 和 p n 加三这两个点要到 p n 加一， p n 加二， 这条直线的距离相等。换句话说，是不是要求这条直线要平行，而且只有这两条直线 能够平行的时候才满足这个条件？好，刚刚由第二问，我们得到了什么？得到它是等比数列，我们不妨设公比。这个太复杂了，我们就设为 t， 首项是第一问，求为 一，那么它的通项公式就可以写作。刚刚这个写错了，公比是 t， 这是它的通项公式。又知道了 x n 的 平方减 y n 的 平方 等于什么？等于九，这是它的双曲线吧，我的 p n 点在双曲线上，那由这两个式，这里依然可以用平方差公式。我们可以得到 x n 加 y n 等于 九，比 t 的 n 减一次密。好，其实你就可以求出来 x n 和 y n 了，相加除以二，相减除以二就可以得到，这得到了就已经很简单。这是什么？这其实就是 p 的 坐标，就是它的坐标，那我同样的，我对应的 p n 加一， n 加二， n 加三，这坐标我带到这个式子里完全都是可求的，这里我就不写了，求出来之后把斜率就算两边的斜率都算出来就可以了，你们会发现两边的式子算出来化简完之后，它的值是相等。 这里老师就不再带着大家来一步一步的算了，大家感兴趣，课后自己动笔算一下。那到这里这道题就解完了。这道十七分的大题解析几何作为压轴题来出现，第一问是送分题，第二问和第三问综合考察了 基础的运算能力和数列的基本知识，是一道总体难度均衡的，但是得分率是非常低的一道题可能平均得分只有一分，后面两两问三问 基本上是没有人能做出来，但我们通过分析它也是不难的。以上就是这道题的所有内容，欢迎点赞关注，我们下期再见！
38数学er成长日记
13:50查看AI文稿AI文稿我们来看一下这个第十九题，呃，他说已知函数 f x 的 定义为二，然后呢？ x 小 于零的时候， f x 是 等于二 x 这个已经给给我们了。 呃，定义集合呢？我们要明白这个定义集合 d x 零呢？它指的是 d 的 范围，所以说我们看第一问，他说 f x 等于减 x， 这个时候 x 是 大于等于零，我们可以把它的图像给 画出来。画出来之后的话，因为 d x 零指的是 d 的 范围，所以 d 负一的话，我们把负一给带进去，就是 f 负一加 d 大 于 f 负一， f 负一的话，我们是可以算出来是等于二分之一啊，这样负一加 d 的 话，它就是在负一和二分之一之间，这个时候 d 负一，我们就可以求出来是零到二分之三，这个是第一位。 然后我们来看这个第二问，第二问，他说 f x 是 奇函数，我们根据奇函数的性质可以画出来，当 x 大 于零的时候，他的图像那 x 等于零的时候，必然就是零了，因为他在零零处是有意义的嘛。 他说如果 f x 一 小于等于 f x 二啊，并且 x 一 啊， x 二都不等于零，那零这个情况我们就不考虑了。然后呢，就是 d x 二是包含于 d x 一 啊， 然后我们来看哈，就是因为它是一个等于说我们是分两部分，所以说我们要分类去讨论。第一种情况的话，就是说当 x 一 和 x 二都是小于零的时候，第二种情况是 x 一 和 x 二都是大于零的时候，那第三种情况就是说 x 一 是大于零，然后 x 二是小于零。我们先看第一种情况，第一种情况，如果 x 一 和 x 二是小于 零的情况之下，我们先去求 dx 一 啊，那 x 一 加 d 的 话，它得比 f x 一 的这个值是要， 所以这个 x 一 加 d 的 取值范围肯定是在 x 一 和零之间，这个时候 d x 一 我们能求出来它的范围是零到负 x 一 啊。那同理 d x 二的范围是这个 零到负 x 二，所以 d x 二它就是包含于 d x 一。 好，那第二种情况，就是说当它们两个都是大于零的时候， 我们还是以这个 x 一 为例，它如果 x 一 加 d 想要比这个 f x 一 是大，它得是在右边，那这个时候 x 这个时候呢？ x 一 加 d， 它得是大于 x 一。 还有另外一种情况就是在这半部分， x 一 加 d 是 小于等于零啊，这个时候算出来 d 是 大于零或 d 是 小于等于负 x 一， 那么 d x 一 啊， 这个集合呢？它就是负无穷到负 x 一， 再并上零到正无穷。同理的话， d x 二这个集合就是负无穷到负 x 二，再并上零到正无穷啊。因为那我们就可以去证明出来， d x 二这个集合是包含于 d x 一 这个集合的啊。然后第三种情况，就是说当 x 一 大于零，然后 x 二小于零的时候 啊，因为根据我们前两种情况， dx 一 这个集合，我们直接就能求出来它是负无穷到负 x 一 并上零到正无穷，然后 dx 二的话是零到 负二啊，那 dx 二的话，因为 dx 一 它已经有一有一半部分是零到正无穷了，然后 dx 二是零到负二嘛啊，因为 x 二也是小于零的，所以这个负 x 二是大于零的，所以说 d x 二这个几何肯定是包含于 d x 一 的啊，这是前两位。然后我们看第三问，再去证明第三问的第一问的话，他说让我们证明 f 零是大于等于一，那我们 可以去利用这个反证法，就假设 f 零小于一的时候，如果 f 零是小于一，假如说 f 零是在这个位置，那么我们在这半部分就说当 x 零小于零的时候， s 零小于零的时候，如果我们有一个 x 零，它是无限趋近于零的话，就 x 零就是在负一到零之间，它是无限趋近于零。我们肯定能找到一个 f x 零是大于 f 零的，因为给出了我们第一个条件，就是说 f x 一 如果小于 f x 二，那么 d x 二这个集合是包含于 d x 一 这个集合里边的，所以 d x 零是包含于 d 零啊。 好，那么 d 零这个集合表示的是什么呢？我们根据给的定义，它是 f 零加 d 大 于 f 零，那这个也就是说 f d 大 于 f 零， 那 d x 零表示的什么呢？就是 f x 零加 d 大 于 f x 零啊，然后因为 x 零加 d， 我 们 这个要比 f 零大，我们可以去取就是 x 零到零之间，就是 x 零加 d x 零 在零之间的这个部分，这个时候 d 是 小于负 x 零的，然后 d 的 范围就是零到一 d 的 范围。如果说是零到一，因为它条件二给我们呢，当 x 属于零到一的时候， f x 是 小于 f 零的，所以 f d 是 小于 f 零，就和我们这个 f d 大 于 f 零产生了矛盾。所以假设不成立 f 零就大于等于一，这是 第一问。然后我们再看这个第二问，他说要去证明 f x 在 区间零到正无穷是单调递增，那我们即要证明对于任意的 x 一 大于零小于 x 二的时候，哎，都有 f x 一 小于 f x 二啊，这个是我们课本上学的定义，去证明函数单调递增吧， 这个我们可以用分析法，分析法，然后这个我们要去证明它呢，即去证明我们可以把 f x 二去改写一下，可以改写成我们给出定义的这种形式， 那 f x 一 就小于 f x 一 加 x 二减 x 一， 这个 x 二减 x 一， 它就是 d 的 位置， 那只需要去证明那 x 二减 x 一 啊，它是在 d x 一 这个集合里边就可以了。好，因为 f x 一 减 x 二是小于 f 零的，这个我们根据条件二就可以知道。 然后把 f 零我们再改写成 x 一 减 x 二，加上 x 二减 x 一， 那 x 二减 x 一 又相当于 d 的 位置，只需要去证明它是在 d x 一 减 x 二这个范围里边就可以了。因为 x， 那 我们只需要去证明 d x 一 减 x 二这个集合是包含于 d x 一 这个集合就可以了啊。然后呢？ 因为我们由这个条件一知道，就是说 dx 一 减 x 二，如果包含于 dx 一， 那这个时候 f x 一 减 x 二是大于 f f 一 的。对，去证明它就可以了啊，去证明它就可以的话，因为 f x 一 减 x 二， x 一 减 x 二是小于零的，所以它的这个取值范围， 我们根据图像可以看出来，它是在零到一的范围之内啊，所以我们只需要去证明 f x 一 是小于等于零就可以了。既去证明对于任意的 x 大 于零的时候， f x 小 于等于零，这个到这一步我们就要证明这个就可以了。 那证明这一步的话，我们还是用这个分析法，因为给了我们零到一，所以的话，我们可以先看零到一之内是否有，对于任意的 x 大 于零都有 f x 小 于等于零成立， 那么当 x 大 于零小于一的时候，我们假设存在一个 x 二是在零到一范围之内，我们使 f x 二是 大于零啊，那么则必有 x 一， 就是在这半部分富无穷到零就是无限 逼近于这个 x 啊。 x 能够有一个是 f x 一 小于 f x 二 啊，因为我们由这个条件一知道啊， f x 一 如果小于 x f x 二的话，那么 d x 二这个集合是包含于 d x 一 这个集合里边的， 那么由二知道哈， f x 二是小于 f 零 f 零我们可以改写为 f x 二减 x 二，那负 x 二就相当于 d 的 位置，所以负 x 二啊，它是 属于 d x 二这个集合。好，这个的话，因为负 x 二，因为 d x 二是属于，是包含于 d x 一， 所以负 x 二也是在 d x 一 这个里边，因为 x 一 减 x 二，它是小于 x 一 小于零的 啊，那所以 f x 一 减 f x 二，它肯定是小于 f 一 f x 一 的， 因为单调的递增嘛，所以因为负 x 二，我们可以再根据这个定义去改写成 f x 一 减 x 二，它是大于 f x 一 的，那就和我们 f x 一 减 x 二小于 f x 一 产生了矛盾， 所以当 x 大 于零小于一的时候， f x 小 于等于零，我们是横乘立的，这个我们就证明了第一步， 然后我们再看第二步，对于任意的 x 大 于零都有 f x 小 于等于零，还是假设存在一个 x 二，就在这半部分啊？使 f f x 大 于零，那必有 x 一 小于零，使 f x 小 于 f x 二，那么这个 f x 二我们还是可以给它改写为 x 一 加 x 二减 x 一 的形式，那这个 x 二加 x 一 就相当于 d 的 位置，它就是属于 d x 一 这个集合。好，这个时候我们需要把我们所 知道的这些条件，知道的这些 x 的 取值，我们要限定在我们已经证明的这个范围之内零到一， 所以我们可以令一个 t 是 大于零，然后令 x 二减 t 是 在零到一方圆之内，然后这个时候 x 一 减 t 就是 小于 x 一 小于零，那么 f x 一 减 t 的 话啊，它是小于 f x 一 的，那这个时候的话， d x， 我 们根据这个二知道哈，根据这个一知道，然后 d x 一 这个集合就是包含于 d x 一 减 t 这个集合。 x 二减 x 一 呢，它就是属于 d x 一 减 t 的 这个集合。这个时候我们再去把 呃 x 二减 t 啊，去代入啊，还是按照这个形式，按照我们给的这个形式去写啊？给的形式去写，就是说 f x 一 减 t 加上 x 二减 f 一 是大于 f x 一 减 t， 我们是得到了这样的一种形式，也可以从这个反推过来嘛，反推过这个定义。好，那这个时候的话，我们 就是可以得到 f x 二减 t 是 大于 f x 一 减 t 的， 因为 x 一 减 t 是 小于零的啊，它是小于零，那 f x 一 减 t， 它的这个值啊，是大于零的。 在这半部分吧，它如果大于零的话，因为 f x 二减 t， 它也是大于零的 f x 二减 t， 因为 x 二减 t， 我 们已经陷正在零到一这个范围之内的，所以说它与当 x 带零小于的时候， f x 小 于等于等于 零恒成立是矛盾的，所以我们这个假设是不成立的。假设如果说不成立的，所以说我们对于任意的 x 大 于零都有 f x 小 于等于零恒成立， 如果 x 大 于零， f x 小 于等于零恒成立，那上面这一系列就成立了。所以对于任意的 x e 大 于零， 对于任意的零小于 x 一 小于 x 二的时候， f x 一 小于 f x 二都成立，那这个就是单调递增的定义，所以 f x 在 区间零到正无穷之内是单调递增的。 那么这道题的话，所以我们第一问的话，你一定要明白 dx 零指的是 d 的 范围。第二个的话，我们是要画出它的图像分类去讨论。第三的话，我们是用了反证法和分析法啊去证明， 因为我们在这个过程当中呢，其实我们是反复去利用了这个定义，还有给出了我们两个的这个条件，如果我们会发现 题给出了 f， 比如说 f x 小 于 f x 二， f x 二，我们想要用给的这个定义，我们得改写成 x 一 加 x 二减 x 一 的这种形式，这个时候才是利用题目给我们的这个条件去利用好这个定义，这个就是这道题的解析方法。
12焦作数学王老师
34:09查看AI文稿AI文稿这道题能做出来，你会原地飞升，因为这是 我会把这道题给大家掰开揉碎了去讲。当然不是全网最早，也不一定是全网最简单的一种方法，高等数学甚至数学分析里的一些思想，他已经正在下放到高考题里面。大家好，我是苏老师， 咱们二零二六年的高考呢，也是顺利结束了，这两天数学全国一卷的这个压轴题呢，在网上讨论的热度特别特别高。其实我之前就发过一些视频说过，现在的高考数学呢，出题角度越来越灵活，创新性呢越来越强，越来越去着重于考察学生的数学思维。 这是我之前待课的时候呢，一直在强调的一件事情，学数学不能只盯着题型和套路，一定要去培养数学思维，因为这个趋势已经很明显了。高中数学呢，正在出现一种现象， 就是高等数学甚至数学分析里的一些思想，他已经正在下放到高考题里面。当然这对于我们的教育体系来说，长远看是一件好事，他确实可以区分学生的理解能力和思维能力， 但是对于广大考生和家长来说，我们必须及时的调整学习方法，尽早的培养数学思维，然后呢，才能适应未来的考试体系。其这道题啊，前面的几个小问呢，他都不算太难 啊，如果你基础比较好的话，可能五六分钟哎，就差不多能做出来了。难度呢，主要是集中在第三个小问， 他是使用了我们典型的一个极限定义的思想，以及我们的反正法。这也是我为什么一直跟我的学生说啊，你学高中数学，你不能只局限于我们的这个，你必须得去稍微学一点高数或者数分的东西，不是为了炫技， 也不是为了直接套洛必达泰勒定律啊，以及情深不懂事这些东西啊，而是因为很多思想你都没有见过，你拿到题的话，就真的想不到 正确的学习路径应该是先理解极限，然后再去学微分积分啊，那我们的微分呢，就是我们所说的导数， 但是我们高中阶段一般来说都是从导数直接开始讲的，中间极限的思想呢，是断层的，这个断层就间接的导致我们很多的学生呢，他在学导数的时候，只会去机械的求导，真正遇到抽象函数的题目的时候呢，就是一点思路都没有，甚至无从下手。 而这道题非常有意思啊，他没有考诺必达，没有考泰勒定律，甚至都不用求导啊，就是我们所说的导数，所学的导数，他是一点都没有用到的，他只讲了一些最基础的东西，也就是极限，极限的定义可以说是极限的定义啊，但是待会他怎么用极限的定义，我们待会再讲， 也就是说出题老师的这个意向很明确，你别想靠那几个公式就去拿分去秒杀我们这种压轴题，你要真正的理解函数集合 极限，反正法之间的这种交互关系，甚至说我们可能得带点映射。那这道题是到底是怎么去使用函数的极限的呢？今天这期视频啊，我会把这道题给大家掰开揉碎了去讲，当然不是全网最早也不一定是全网最简单的一种方法，但是我尽量保证咱们屏幕前的同学呢和家长他都能听懂。 好，那我们看一下。呃，这个，他这个题设给了什么呢？他说这个函数的定义域呢？是 r， 这个就没什么用， 没什么有用的啊。当 x 小 于零的时候，他把这个函数的解析式已经给出来了，但对于任意的 x 零除以二定义集合，哎，你看这个集合，其实好多同学见到他之后可能开始头疼啊，这到底是一个什么东西，见的非常少对不对？但，其实，呃，你大家附近要是有大学生或者甚至是学，主要是学数学的 啊，主要是学数学的这些数学系的学生啊，你可以问下他，这个东西呢，在我们的数学分析中出现的非常非常多，等以后什么时分析，辅分析、泛函分析，他也会有。呃，他也会有很多应用啊。这个东西其实可以把它理解为 f x 零加 d 减 f x 零，它是大于零的嘛，就是一个有限差分。用人话讲啊，他就说了一个什么事呢？就说如果，如果我给我的自变量加一个不常，那这个不常就称为 d 啊，所谓不常，就是一个线段嘛，一个数嘛，加上去之后它能增大，这个函数值能增大，那我就说这个 d 是 属于这个集合的啊，就这么简单， 对吧？就是一个增长的一个趋势。好，那第一题他问了什么啊？当 x 大 于等于零的时候，哎， f x 等于减 x， 你 看在这个第一题里面把什么把我们正百轴的这个函数其实给出来了，让你求 d 负一，其实这就很简单，你看那么 d 负一，我们可以照着他这个题目中给它这个定义给它套进去， 那套进去变成这个样子了，你看就是 d 属于 r， f 一 负一加 d 是 大于 f 负一的，那么我们知道 f 负一，那么负一由于负一是小于零的呀，对吧？负一是小于零的，那我就直接可以套套到这个题目中所给的这个负半轴的这个函数里面，那么套进去我们就知道 f 负一是二分之一， 那么求 d 负一其实就相当于解一个不等式啊，解这个不等式呢，就是 f 负一加 d 大 于二分之一，那么这个就很简单了，对不对？我们就所说的函数与不等式， 函数与不等式的关系吗？这个在我们教材中是专门开了一节去讲的，所以说教材有多重要，对吧？在这里就体现出来了，那通过看图呢，直接就可以写出这个负一加 d 的 这个范围，然后给他解一下就行了。这个第一题就是送分题啊，呃，可能就看出来，甚至不用画图就看出来了，好，那么第二题呢？ 啊，如果 f x 是 奇函数，那这一句话给出来就有什么意思吗？是不是又说我们正半轴的那个图像它又能算出来了，对吧？所以说前两个题它其实图像都是全的，那怎么算呢？很简单啊， f x 是 奇函数， f 负 x 等于负的 f x 啊，那由这个我们就能得出我们这个 f f x 在 整个 定义于 r 上的解析式了，它是一个分段的函数，你看，其实你啊，这还是要算的啊，这个负二的负 x 还是要算，因为后面要用的， 那么画到图里面就这样，那这个题用图来说就比较好做，那你看画成这样来，我们再剖析一下我们的条件，它还可以出来了一个啊， f x 一 小于等于 f x 二，那这个可能不太直接去怎么用，那么我们就看后面这个 x 一 x 二，它是不等于零的，那这个我们就很明显能推出来。什么能推出来 x 一 不等于零，且 x 二不等于零，这是关键的啊，就证明我们待会讨论的时候，不用讨论在零这一点的这个函数值。好，那么 f x 一 小于 f x 二怎么用呢？ 其实在这个图里面啊，我们就能看出来了，就在这啊，这个图里面，我们能看出来了，你会发现 x 一 和 x 二，我如果全部让它落到我们的负半轴上面，那么这个 f x 一 小于等于 f x 二，它是天然成立的，当然 我们对称的和它落到这个正半轴上面，它也是成立的。然后呢，如果把 x 一 和 x 二分到两个半轴上面，比如说 x 一 在这， x 二在这，你会发现负 x 一 它是大于等于 f x 二的，所以说刚才的这种情况是不成立的，那么那么给他调换一下呢？把 x 二放到这啊， x 一 放到这，那这时候 f x 一 同样是小于等于 f x 二的，这时候也就成立了。 所以说什么意思呢？这个条件怎么用呢？其这个条件他一方面是为了给你提示，让你去分类讨论，第二个呢，他会删掉我们这四种讨论中的一个，就非常简单了，对不对？那你看那第一种情况吧。 第一种情况，你看我在这里写的，当 x 一 小于 x 二小于等于 x 二小于零的时候，就说什么 x 一 和 x 二全部都在负半轴上的时候，我们先看一下它符不符合我们的提射条件嘛？对不对？那么我们知道在负半轴的时候，这个函数它是一个二的 x 次方，它是一个指数函数，是一个递增的 啊，是一个递增的，那么我们肯定会有 f x 小 于等于 f x 二，对吧？这肯定是有的，那么就证明他是满足提车条件的，那这种情况就是存在的，那我们怎么去证明呢？你看他们要证明什么？ 哎，要证明两个集合有什么有包含关系啊？那这个东西我不知道一些，就屏幕前的各位同学，你们在学集合的时候有没有认真去学？大家可能觉着，哎，这集合对吧？以后可能 又简单，学起来又简单，后面可能不会去刻意用到，就大家可能会忽视这一个地方啊，因为什么？呃，去证明两个集合具有包含关系，我们是有一个非常好用的一个办法，也是非常基础的一个方法，就从定义出发，如果我们要证明什么？我们要证明集合 啊，要证明集合 a， 它是包含于集合 b 的， 那只需要用逻辑元。怎么去描述呢？就说任意的啊，任意的 x 属于 a， 我 们只能，如果能证明出来这个 x 属于 b 的， 那么就一定能推出 a 含于 b 啊，这个大家一定得知道，如果你知道这个的话，这道题就是送分题，非常简单了。 好，那我那我们看一下，哎，就刚才我说的吗？我这里是不是写了，哎，对任意的什么？对，任意的 d 是属于 dx 二的，对不对？我们要证明什么？我们要证明的是 dx 二，它是含于 dx 一 的嘛？就按照我们刚才那个定义，只需要找到任意的一个数，它是属于这个 dx 二这个集合的，那么它属于 dx 二。我们看一下这个 dx 二这个集合，就根据我们这个题目中的这个定义去写，就有什么哎，有 f x 二加 d 是 大于 f x 二的， 对不对？那好，现在问题来了，既然有这个成立，那我们是不是就能推出来什么了？这里的 x 二，注意它是小于零的。小于零，那我们的函数解析式是二的 x 次方， 对吧？那既然是这样的话，那么 x 二加 d， 它同样也得小于零啊，也得小于零，由这个就能推出二的 x 二加 d 次方，它一定是大于二的 x 次方的。那么由于二的 x 次方是一个递增的函数吗？刚才已经说了吗？对不对？所以说就能推出 d 大 于零，对吧？如果 d 是 小于零的话， 或者等于零的话，我们是推不出来这个的，所以说只能是 d 大 于零，那么 d 大 于零啊， d 大 于零啊，我们要做的是什么？我们要做的是通过 d 属于 dx 二去推出啊。 d 属于 dx 一， 即我们要推出什么？我们要推出 f x 一 加 d 是 大于 f x 一 的，那怎么做？ 很简单，这里 d 是 大于零的。已经知道了，那我们只需要带到这个式子里，把 x 一 加 d 和 x 一 带到我们的函数里面不就行了吗？对不对？ x 也是小于零的呀，对不对？那 x 一 又是小于 x 小 于等于 x 二的， 那么 x 一 加 d， 那 肯定也是小于 x 二加 d 也是小于零的嘛，对不对？所以说直接带到这个二的 x 方里面就行了，你看带到这个里面呢，就变成这样子了，那我们知道二的 x 方，它依旧是一个递增的函数， 对吧？这个就不用多说了，就是很简单啊，递增的一个函数，那么就肯定是满足这个的，这是我们的单要素的定义啊，所以说 f x 一 加 d， 它肯定是大于 f x 的， 这就导致了什么？这就导致了我们的这个 d 一定是属于 d x 一 这个区间的， 那么这时候我们通过我们通过设任意的 d 属于 d x 二，推出了什么？推出了 d 属于 d x 一， 那这里就直接可以断言我们的 d x 二这个区间呢，是包含于 d x 一 的 啊。这个题就这么简单，那后面的几个呢？其实就是招猫画虎，直接给它做下去了。好，那么对于呢，看第二种情况，就是说当 x 一 和 x 二它全部都在正半轴上的时候呢，同样的， 同样的，在正版轴上的时候，我们也可以写出这个吗？对不对？因为正版轴上这个函数啊，就是这个，他也是一个递增的函数吗？你看从这个图像里面就能看出他也是一个递增的函数， 所以说就有这个式子，那么就是符合我们的提射的。好，我们进一步的哎，依旧是对任意的 d 属于 d x 二吗？那么 d 既然属于 d x 二，也是有这个啊，也有这个，那么通过前面的那个同样的一个操作，我们就能得出来什么 啊？我们就能得出来我们的 d 是 属于 d x 一 的，那同样利用我们函数，用我们的集合的包含关系呢？我们就能知道 d x 二呢，它是含于 d x 一 的，包含于 d x 一 的，这是第二种情况。那么第三种情况呢，就是说我们已经讨论完了什么 把这个 x x 二放在同一个轴，同一个半轴里面，我们全部讨论完了，它是符合我们题题目中的这个的。那么 接下来一种情况我们就怎么样了啊？我们就要给它分开嘛，对不对？把 x 一 和 x 二给它分开到两个轴上面，我们看一下，当 x 一 大于零， x 二小于零的时候呢？那我这时候是不是得先验证我这个 提设，我这个假设它是是不是符合我们的提设呢？那当然是符合的呀，对吧？ x 一 大于零啊， x 一 大于零就在这， x 二小于零在这，那很明显， f x 一 它是小于等于 f x 二的，对吧？ f x 小 于等于 f x 二嘛，证明它是符合提设的，那么我们就可以继续讨论了呀。 同样的，对，任意的 d 属于 d x 二，它既然属于 d x 二，同样会有这个式子，那有这个式子把它带进去呢？注意这里， x 二呢，是小于零的，它带的依旧是二的 x 方正函数，那你还是不就有这个情况，那同样我们能推出 d 大 于零啊，这跟前面是一模一样的嘛。那么好， 我要去证明 d 是 属于 dx 一 的，那肯定是要往 x 里面带呀，是不是那么 x 一 在这里是大于零的呀？那肯定就得带什么了，跟前面不一样的地方了，这个，哎，当大于零的时候，正百轴的这个函数啊，那这个带进去呢， 又会发现没有前面那么简单，直接给他看出来了，咱们带进去呢，就变成这个样子了，那当然把这个括号去掉呢，就变成这样了。好，那么请问他跟我们的什么？跟我们的 f x 一， 它的大小怎么办呢？是不能直接函数的，所以说我这里可以什么给它构造一个函数，那这构造函数也很简单嘛，对不对？令 g x 等于负的二的 x 方，那我们知道二的 x 方，它是增函数，那么负的二的 x 方，它就是一个减函数，那么这时候呢？ 哎， f x 一 加 d， 你 会发现它怎么了？它正好等于负 x 一 减 d， 那 么它正好等于负 x 一 次方，它正好等于 f x 一 嘛， 这时候又证明了什么？又证明了 f x 一 加 d， 它是大于 f x 一 的嘛，对不对？就很自然。那这时候怎么了？ d 就是 属于 d x 一 的呢，对不对？所以说我这时候就又讨论出来，这一个情况下，它也是符合我们题中题目中所问的这个条件的。 ok， 这是第三个情况。那第四个情况其实是不满足的啊，不满足的，我刚才不是已经说了吗？ 当就是这个 x 一 和 x 二等于零的时候呢，我们的 f x 一 是大于 f x 二的，这没问题。但是 我们的提舍呢？要的是什么？是 f x 小 于等于 f x， 这正好就是一个相反的嘛，对不对？所以说这个就是不符合提议的，直接给它。呃，不符合提上嘛，直接给它舍掉就行了。那么综上呢，我们是 d x 二，是含有 d x 一 的，那这个题就做完了，其实很简单啊，思路是很顺的。 呃，我觉着如果你就是说是平时考试能考一百三、一百四的学生，我觉得这个题五分钟啊，第一题第二题五分钟就能拿下来了，好吧，所以说这个题呢，十七分吧，这个题的分值呢是十七分，你至少能拿个 六分七分，这样啊，也其实已经不亏了，已经不亏了，因为这个第三问是真的难啊。好，我们看下第三问，他首先是给出了两个条件，那么第一个呢，是当 f x 一 小于等于 f x 二的时候呢？ b x 二是韩语 d s e 的， 它正好是相反的一个关系。那么第二个条条件呢是什么？是当零在 x 在 零和一之间的时候呢？是 f x 小 于 f 零，其实这个条件很好用， 到后面呢，它是一个非常关键的一个条件，那你看他问的什么？第一个呢是 f 零大于等于一。第二个呢是 f x 在 零到正无穷内，它是单调递增的。其实你通过这里，你通过这两个题两个问题，它是单调递增的。其实我们属于高等数学的一个概念， 我们在副本中零到呃负无穷到零的时候，我们的函数是二的 x 四方，但是这个二的 x 四方，他在 x 等于零的时候是没有定义的，所以说在这里我们可以给他画一个空心的圆圈啊，就是这样，但是你看他怎么说的， 当零小于 x 小 于一的时候，这个 f x 得小于 f 零啊，这个 f 零我们不知道，但是我们提问的第一个呢，说是 f 零是大于等于一的，那证明我们的 f 零只能是在这个圈圈上面，或者在这个圈圈上面也行。这就意味着什么？这就意味着什么？ 这就意味着我们的 x 等于零，应当是一个跳跃点，是一个跳跃间断点，是我们这个函数的一个跳跃间断点啊。 啊？什么是跳跃间断点呢？这个其实就要扯到极限的定义了，就扯的有点远了，所以你，你只要给他知道，我们这两个函数如果中间有一个断层啊，有一个断层，这时候我们就说这个断层，这个点就是他的跳跃点，就是最简单的一个解释方法。好，我们看一下 第二个式子啊，你看这里，我就前面是不是要提到了，我们可能得用到我们极限的定义，为什么要用到极限的定义呢？因为这里你看，对于这个 f x 等于二的 x 方，这个是 x 小 于零的，它是有两个极限的啊。其一，就说 我们可以这样去想一下，当这个 x 慢慢的逼进零的时候，当然它是不能等于零的吗？对不对？在这零这一点没有定义啊，我们是不能说它是等于零的，那么它逼进零的时候呢？它无限逼进零的时候呢？它这个值呢？就会什么？当 x b 进零的时候， 当然是零负啊，零负，这是一个左极限，当 x b 进零负的时候，那么 f x 它是无限逼进于多少是无限逼进于一的？同样当 x 逼近于负无穷的时候呢？嗯， f x 它其实无限逼近于零的这个极限。虽然说咱们高中没有学过极限，但是，呃，咱们通过形式分析啊，通过形式分析 我们应该是能够理解的啊，应该是能够理解的。好，那么这两个极限怎么用呢？啊？我们看一下， 第一个说 f 零大于等于，刚才我们说它是跳跃点，我们一般用到的方法都是反正方啊，都是反正方， 那么怎么反证呢？当然是把这个写出它反面 f， 我 们就要假设什么假设 f 零是小于一的，然后通过这个 f 零小于一，试图看能不能给它推出一个矛盾，对不对？那刚才，刚才提到极限了呀，对不对？那么我们其实就可以把直接把这个左极限的定义给它写出来。那你还有，其实我写出来对任意的一匹大于零， 存在第二次大于零，当这个的时候，我们的函数值跟我们这个极限值的差呢？它是可控的啊，可控在这一个范围之内。这个我相信各位学过大学数学的同朋友呢，他其实其实就耳朵都起茧子了，一眼就看出来了。 那么这时候呢，我们其实可以给它更放松一点啊，你看先把这个绝对值给它打开，那打开之后，我们知道 f x 是 小于 f 零的，这是我们的假设，所以说我们直接可以给它弄一个更强的一个范围，写成这个 啊。行，这个，这就是待会的一个关键所在，这个式子好，那么你看这里，我们前面写的时候，一不形容他是一个任意的数啊，对吧？他是一个任意的数，只要他是一个正数就行了。那么由于一不形容的任意型，我一定可以找到合适的一不形容平， 使得 f 零小于 f 一 减一，不形容平小于一啊。大家在这一个地方， 你看我后面又令什么？令 a 等于一减一不行了平，那这时候什么意思？就能找到？就能找到一个 a， 使得 f 零小于 fa 小 于一啊？好多朋友可能去查一下答案，他们可能搜一下答案，他直接把这一步给出来了，为什么？难道就不问一个为什么吗？就是因为他的背景是极限啊，在这里讲极限的话，他不太好，因为我们高中没有学会极限吗？对不对？所以就只能去这么做了，就只能去这么讲了，他告诉你，哎，这他能找到一个， 能找到一个 a， 但是为什么能找到一个 a？ 你 都没有想过吗？对不对？好，那么能找到之后呢？我们就说什么 f 零是小于， fa 是 小于一的，对吧？那么你看， f 零小于 fa 小 于一的，那么进一步的，这是一个比较强的条件，我们可以推出一个弱的吗？对吧？推出一个弱的条件就更进一步， f 零能小于等于 fa 吗？对吧？他既然能小于，那肯定小于等于了，那这时候呢？出现了不等式啊，对不对？那我们这个题的提设啊，我们的提设有两个条件，他都是不等式，所以说我们就套在第一个里面 啊，套到这个第一个里面，你看，当这个 f x c 小 于等于 f x 二的时候，我们的包含关系正好是相反的，那这时候就怎么了呢？包含关系是相反的，那就是 d a， 它是含与 d 零的， d a 是 含与 d 零的啊，这就是我们怎么利用这个条件，就在这里咱们就已经给它用到了。好，那么这时候呢？ 这时候呢？他既然能包含，那么就可能用到什么集合的包包含关系的定义了，这是我们做数学。呃，我觉得第一步应该想到的一个东西啊，一定要用到定义啊，定义这个东西是非常重要的好，那么包含关系定义是什么呢？ 啊？就是前面已经做第二题的时候已经讲过了吗？对，任意的 d 属于 d， 它有 d 属于 d 零的啊，这是一个好，那么下面一步就直观的一步，我们要导出一个矛盾，那你看，我这里取了一个正数 d， 这个正数 d 的 取值，它是很有很有讲究的，就是取这个 d 是 在零和负 a 到一最小的这个里面， 就是零小于 d 小 于 minum 负 a 到一，这是非常讲究的。咱们这样取的话，一方面呢，能让 a 加 d 啊， a 加 d 是 小于零的， a 加 d 小 于零，就使我们能够利用到我们的二的 x 方这个函数。那么第二方面呢， 零还是小于 d 的 第二个条件了啊，就是这个条件好，怎么用呢？ 既然这么取出来了，那这时候你会发现我们的 fa 它是小于。什么是小于 fa 加 d 的 呀，对不对？为什么呢？ 就是因为我刚才说它用到二的 x 次方这个函数了呀，它是一个递增的函数，所以说有这个式子好，有这个式子呢 啊，你看这个式子，他很奇妙啊，对不对？他很灵活，他又套到什么了？他又套到我们题目中刚开始说的那个集合上面了，他，所以说，所以说我们就有什么有 d 是 属于 d a 的， 当然 d a 呢，是含于 d 零的吗？对不对？ d a 含于 d 零我们前面是推出来的好， 既然 d 是 属于 d 零的，那同样我们又用了一次我们这个定义，用了一次我们这个集合的定义，我们就能推出什么 f 零加定的是大于 f 零的，即什么？即 f d 是 大于 f 零的， f d 是 大于 f 零的，这是我们通过前面取了一个特殊的正数 d 啊，当然不是一个，是一个取了一个范围，咱们能得出这个， 能得出这个不等式。好，那么刚才说的第一个啊，第一个好处我们就用完了，那么第二个好处呢？就是零小于 d 小 于 e， 我 们没用呢，对不对？你看，这个好处就来了啊，因为零，又因为零小于 d 小 于 e 吗？那么是不是由第二个条件我们就推出什么了？ f d 是 小于 f 零的。哎，你看 f d 小 于 f 零，它跟我们第一个好处推出来那个结论，它恰恰是恰恰相反的嘛，对不对？那这不就是一个矛盾嘛，对不对？矛盾就出来了。好吧，那这时候呢，我们就证明我们的假设是不成立的啊，假设 f 零， 嗯，假设 f 零小于一，它是不成立的，那就只能是 f 零大于等于一，那这个题我们就做完了啊，它用到了我们函数的极限，极限的定义，如果不会的话，这个题是很难做出来的。当然，你在考场上面给他猜一下， 其实我觉得可能不太行啊，可能不太行，这就是我们这个题其实已经很难了。这个题好。呃，下面就是第二个小题，第二个小题其实更难啊，更难。怎么说呢，他是问你去证明 f x 在 这个区间内是单调递增的， 在这个区间内是单调递增的，那我们高中可以回忆一下我们高中学过的单调递增的那个证明方法有哪些？最基础的就从定义出发。嗯，任意的 x 一 x 二，然后让 x 一 小于 x 二去证明 f x 一 小于 f x 二，这就是一个最简单的 呃，一个最直接的一个方法，用定义去证，然后呢，就是导数了，那导数很明显这个题是不可能求导的，因为函数的解析式都不知道吗？零到正无穷之内，咱们是不知道它函数解析式的啊，这是一个，第二个 他可导还是不可导，我们都不知道呢，这是我们高中生很容易忽略的一个地方，给出一个函数，他不一定可导啊，他连他连连续都不能保证，对吧？可导是不一定的，所以呢，就只能通过定义了呀，对吧？那定义怎么做呢？ 定义怎么做呢？其实我写出来了，大家可以看一下，就说如果要证明 f x 在 这个零到正无穷内是递增的一个函数，那么就对任意的零小于 a， 小 于 b， 一定是要证明出 f a 是 小于 f b 的 啊，一定要证明出来 f a 是 小于 f b 的， 那么很多情学生可能在这里就 直接卡住了啊，直接就卡住了，就只能写这么一个东西了，没办法了呀，对不对？那这时候我们就从题目处去破一下，给他破一下，看这个，我们能不能从这两个这个提示中再压榨一些有用的条件出来呢？好，我们看一下啊，第一个其实没什么不好压榨的，他就是很明显的一个。那第二个呢？ 不等式啊，不等式啊， f x 小 于 f 零，这个不等式能怎么给他操作一下呢？我们知道，你看第一个条件里面，他就是一个不等式，能能推出一个包含的关系。那么第二个呢？ 能不能通过第二个不等式推一个包含的关系呢？能不能呢？当然啊，当然可以啊，对不对？那既然 f x 小 于 f 零的，那么就证明 d 零是含于 d x 的 呀，但是这个它不好用啊，它不好用，那么我们其实可以给它操作一下，就是说把这个 f x 小 于 f 零，给它变成 f x 小 于 x 减， 嗯， x 加负 x， x 加负 x， 你 如果能写成这样，那你看，就这里 啊， f x 小 于零呢，可以写成 f f x 小 于 f x 加负 x， 因为 x 加负 x 就 x 减 x 嘛，对不对？它就是等于零，那么既然能写出这个， ok， 那 你看这个 x 呢？是什么？ 就对应我们那个 d 啊，你看，我退回去看一下吧，就是这个 d d x 零，它代表元呢，就是里面怎么不等式里面这个不变的数啊？两个不等式里面都不变的这个数，那么就意味着什么？ 意味着什么？是不是就意味着我们可以套用一下我们那个套用线前面那个集合的定义，得出什么？得出我们的负 x， 它其实是属于 d x 的， 这是非常有用的一个条件，非常有用。如果你能看出这个，那其实你离做出这道题已经不远了。好，那么既然能得出这个，好，那我们继续来看一下。 在这里，当 t 小 于零的时候呢？当然这个 t 就是 一个自变量啊，我为了跟 x 区分开，让大家不要混淆，就写了一个 t， 那 么这时候呢，我们可以看到 ft 加负 x， 它怎么了？它等于二的 t 减 x 次方，为什么呢？因为什么 t 它怎么样？它是小于零的，那么减 x 更小于零了吗？对不对？所以说我们就用到我们在副本中那个函数的解析式，那么二的 t 减 x 次方呢？那么二的 t 次方又等于 f t 吗？那就意味着什么 啊？意味着什么？意味着 f t 加负 x， 它是小于 f t 的， 那你看，又是一个不等式，又是这个不等式，两边它这个自变量里面都有一个相同的数，那不就是又能套到我们题目中的那个几何了吗？对不对？那这时候是不是就意味着什么？ 它不是大于啊，它是小于啊，只有当这个大于的时候，我们就说 t 啊，我们就说负 x 属于 dt 的， 但它是小于，那就恰恰说明了我们的负 x 它并不属于 dt。 ok， 那 这时候经过我们的一同分析，我们得出了两个直观重要的一个条件，就是 负 x 它是属于 dx， 但是负 x 它不属于 dt， 这是非常重要的。好，那么这时候就说了，如果啊，如果我们能推出来 dx 包含于 dt， 那 是不是就产生矛盾了呀？对不对？为什么会产生矛盾啊？ dx 包含于 dt， 负 x 属于 dx， 那 不就能证明出来负 x 属于 dt 的 吗？对不对？但这里是不属于的呀，那就是一个矛盾，这就是一个矛盾。 好，那么我们由第一个，我们由第一个条件，我们知道 f t 是 小于 f x 的 啊， f t 是 小于 f x 的 好，那么能不能找到这样的 t 呢？对不对？如果能找到这样的 t， 你 看，如果能找到这样的 t， 我 们就会推出这个就能找到矛盾。好吧，能不能找到呢？ 那这里我们就得去做了，去给他找一下了。好，那我们就先假设 f x 大 于零，那至于为什么能想到 f x 大 于零呢？这个我相信是大家去搜一下答案，他这个第三题第一用就给你跳出来，让你先证明这个大于零。那么我还是那句话， 为什么啊？你是神仙吗？你为什么觉得我们第一步就得证明这个？谁告诉你了吗？还是你梦到了对不对？这就是我们前面为什么要去推推这个地方呢？他其实也是涉及到极限的思想，如果你对学过高数还学的挺好的，你能一下子想到先去证明这个癌，先去假设，去证明一下这个情况， 好吧，先去证明这个情况就是极限思想的一个应用啊，当然作为我们一个普通的高中生是不可能想到的嘛，对不对？好，那么假是 f x 大 于零，很明显我要用反正法的思想了，对不对？假是 f x 大 于零，那么 这是第二个极限，因为厘米的 t 属于负无穷， f t 它是等于零的，就是说什么二的 t 四方分之一嘛，那 t 越大， t 跑到无穷去了，那肯定是等于零嘛，那么怎么了？ 肯定也要用到我们函数的定义，那这里我就不写了，跟前面其实很像，大家可以查一下。所以说只需要什么，只需要 f x 大 于零的时候啊，为什么要设 f x 大 于零呢？是因为只需要 f x 大 于零的时候，我们结合我们这个极限的定义，就一定可以找到一个很靠左的复数 t， 使得什么零小于 f t 小 于 f x， 你 看 啊，零小于 f t 小 于 f x， 这跟前面的那个，呃，第三题啊，零小于 f， 零小于 a， 小 f， 零小于 f， a 小 于一，他是异曲同工的， 就是同一个思想，只是说他这个极限过程不同而已，就这么简单。好，那我们看一下，能找到这个啊，能找到这个，你看这是一个不等式啊，对不对？他是一个不等式啊，那由第一个条件，第一个条件是这 啊，是由这个，哦，不对，是这个 f x 一 小于等于 f x 二，那么可以找到一个包含的关系。那么我用刚才这个啊，我用刚才这个 啊， f t 小 于 f x， 我 就能推出什么了，我就能推出 d x 是 包含于 dt 的 啊， d x 包含于 dt 的， 那你看这是不是就产生矛盾了？ 因为我这里说，只要能证明 dx 包含于 dt， 它就产生矛盾了呀，对不对？所以说这个假设是不成立的呀，那假设不成立怎么了？是不是就 f x 必须得小于等于零啊，对不对？这就是我们证明这个 f x 小 于等于零的这个动机所在。 好吧，好多同学啊，看到答案，这就是看到答案发懵，就这个原因啊，没有学过极限吗？是吧？好，那这时候我们证明 f x 小 于零了，这是一个。好，那么接下来我们证明什么？是不是前面写了， 对，任意的零小于 a 小 于 b， 如果我们能证明 f a 小 于 b f b 的 话，证明这个单调性了，对不对？好，那么刚才正说什么？正说 f s 它是小于等于零的，对吧？好，那这时候就有个技巧啊，我们令 h 等于 b 减 a， 这个技巧呢，是简典型的在高数里面，或者在数分里面是很常见的。 h 等于 b 减 a， 它肯定是大于零的吗？对不对？因为我们的设的是 b 是 大于 a 的。 好，那这里就 h 大 于零，那么有前面是不是可以知道我们的 fa 是小于等于零的？为什么？因为我们刚才就证明了这件事吗？对不对？ f a 是 小于等于零的，那这时候呢？负 h 呢？也是小于零的呀，是吧？从而我们的 f 负 h 呢，是等于二的负 h 次方，它是大于零的， 因为负 h 小 于零，我们就怎么了？为什么要用负 h？ 我 们是不是正好又能起，又能利用到我们那个函数二的 x 次方了，对不对？这就是用负 h 的 这个原因了，对不对？好，那么负 h f h 大 于呢？那么我们就能知道 fa 它是小于等于零还是小于 f 负 h 的 啊？是小于这个的，那怎么用呢？不等式啊，就是给他又凑出来了一个不等式啊，我们只有我们这个题，只只要有不等式，我们就能凑到前面的那个那个条件里面。好，那么既然 f a 小 于 f h， 那 我们是不是就能证明出来什么？ d 负 h 它是包含于 d a 的， d 负 h 它是包含于 d a 的。 好吧，那么这个有什么用呢？其实你也会发现了，我既然能令 h 等于 b 减 a， 那 么 证明 f b 大 于 f a， 不 就当且紧当去证明什么，去证明 f h 大 于 f a 吗？那么 f 哦， f h 加 a 大 于 f a 吗？那么 f h 加 a 大 于 f a， 这是什么东西？这是不是又 凑到我们的那个题目中刚开始的那个集合了？那么这时候怎么了？是不就意味着 h 得属于 d a 啊，对不对？ h 得属于 d a 啊？那你看这里，我证明出来 d 负 h 它是含于包含有 d a 的， 那是不是只需要证明 h 是 含呃，属于 d 负 h， 就 能证明 h 是 属于 d a 的 了。所以说我们接下来的目标呢，就是去证明 h 它是属于 d 负 h 的， 那么 h 属于 d 负 h， 当且仅当什么？当且当 f 负 h 加 h， 它是大于 f 负 h 的， 这是什么？不就是定义吗？对不对？好，那么 f 负 h 加 h 变什么了？不就是要证明 f 零大于二的负 h 次方吗？ 那么负 h 又是小于零的呀？负 h 小 于零，那么它就能用到什么？用到我们的指数函数二的 x 方，对不对？那二的 x 方它是怎么样的？是小于一的？在这里，那么不就证明了二的负 h 次方是小于一的吗？ 二的负 h 次方是小于一的，而 f 零呢，又是大于等于一的二的负 x 次方小于一， f 零大于等于一，那我们就能推出什么，我们就能推出我们的 h 呢？就是属于 d h 的 啊， h 属于 d h 的， 那 d h 又含于 d a， 那 么就能推出 h。 是 啊，这是写错了啊，这是 h 属于 d a 的， 那这不就完事了吗？对不对？那么 h g 属于 d a 了，那不就证明了 f a 加 h 大 于 f a 吗？那么 f a 加 h 不 就是 f b 吗？ f b 大 于 f a 啊，那不就得证了吗？这个题啊，这就是这个问题啊。呃，第三问，第三问非常难。 好，那我们就总结一下这道题，那第一步呢，就考的是你能不能明白 dx 零这个几何的定义啊？这个，你如果这个都看不懂的话，那说实话， 呃，这个题就不用看了，好吧，那么第二题呢？呃，第二题也简单，就是考考一个分类讨论，你能把那个题目给他读懂，基本也能做出来。难度呢，主要是第三个题啊，真正想考的其实就是第三个题，他没有考计算，没有任何计算，对吧？就是一个数学思维，纯纯的数学思维， 呃，大家都说啊，竞赛难度，其实如果把这个题放在竞赛中去看的话，呃，放在竞赛中去看的话，也是属于一个中等啊，中等的题型啊，中等的题型，甚至我觉得这个题放到考研数学里面都是比较合适的。就是非常合适的啊，放到考研数学里面，呃，很多学生也不一定能做的出来 啊。就是这样，所以这道题真正想考的呢，不是复杂计算，而是数学思维。你能不能理解函数值的大小和集合 d 之间的包含关系呢？你能不能通过极限思想去找到合适的点呢？ 你能不能用反正法把未知的正半轴给他逼出来呢？这就是我们这道题的精髓所在，尤其是极限的定义，你没有极限的思想，你这个点你是不可能给他找出来的，就这么简单。好吧，一定要去学习，稍微的学习一点大学的知识， 这也是我一直跟学生说的，数学的学习呢，不能一直去刷套路。真正难题考的呢，我们往往不是你背了多少公式，而是你有没有把底层的概念给他学明白。如果你觉得这期对你有帮助的话，可以点赞收藏啊，也可以转发给正在学习高中数学的同学，我们就下期再见，拜拜！
155苏老师的数学课
07:39查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我就是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是一道零六年全国卷理科第二十一题改编的导数大题里的关键问。想冲一百三十分这种压轴大题的，第一问必须三分钟内拿下，第二问也要稳稳拿分。这题真正考的不是让你硬算不等式，而是看你能不能抓住端点值，把不等式转化为单调性问题。 咱们先来看看题目，已知函数 f x 等于分子是三加 x， 除以分母是三减 x， 再乘以 e 的 负 a x 次方，其中 x 大 于负，三小于三。第一问，设 a 大 于零，讨论函数 f x 的 单调性。第二问，若对任意 x 属于区间零到三横，有 f x 大 于一求 a 的 取值范围。 咱们先搞定第一问的求导，再利用端点效应秒杀第二问。先来看第一问，讨论单调性。看到这种带有指数函数的乘积形式，大家千万别慌，咱们老老实实套用乘积的求导法则， 前导后不导，加上前不导后导，这有个非常重要的技巧，求导的时候一定要仔细。很多同学在这里会犯错，正符号一弄错，后面全盘皆输。咱们一步一步来，先对前面那个分式求导，这是一个商的求导，分母直接平方变成三减 x 的 平方， 分子怎么算呢？上面倒，下面不倒，三加 x 的 倒数是一乘以分母三减 x 就是 三减 x， 减去上面不倒，下面倒，三加 x 不 动，三减 x 的 倒数是负一负，负得正就变成了加上三加 x， 前面的三减 x， 加上后面的三加 x， 负 x 和正 x， 抵消三加三等于六。所以前面分式的倒数就是分子是六除以分母是三减 x 的 平方。 这部分算完别忘了乘以原方不动的 e 的 负 a x 次方。接下来算后半部分前面的分式，三加 x 除以三减 x， 照抄后面 e 的 负 a x 次方求导。这是一个复合函数，先对外层求导还是 e 的 负 a x 次方，再对内层的负 a x 求导，得到一个负 a， 把负 a 乘到前面，就变成了减去 a 乘以分子是三加 x， 除以分母是三减 x， 再乘以 e 的 负 a x 次方。到现在导数就算出来了，但这么长一串，根本没法判断符号。 接下来我们要做什么？为什么我们要通分提取公因式，把复杂的式子变成能看出正负的乘积形式。具体怎么做呢？你看这两项都有 e 的 负 a x 次方，而且分母都含有三减 x， 我 们把 e 的 负 a x 次方除以三减 x 的 平方，整体提出来。第一项提走之后，就只剩下一个六， 第二项提走了 e 的 负 a x 次方。分母原本只有一个三减 x， 现在咱们强行提走了平方，所以分子必须补成一个三减 x。 原来的分子是 a 乘以三加 x， 再乘以补上的三减 x， 正好构成平方差。公式也就是 a 乘以九减去 x 的 平方，展开就是九 a 减去 a 乘以 x 的 平方。因为前面是减号，所以括号里就变成了加上 a 乘以 x 的 平方，再减去九 a。 整理一下，括号里就是 a 乘以 x 的 平方减去九， a 加上六， 得到了什么？我们得到了化简后的导函数 f p， x 等于分子式 e 的 负 a， x 次方除以分母是三减 x 的 平方，再乘以括号 a 乘以 x 的 平方减去九， a 加上六。 这步很关键，因为 e 的 指数函数永远大于零，分母是个完全平方，也永远大于零，所以导数的正负完全取决于括号里这个二次函数。我们给他起个名字叫 g， x 等于 a。 乘以 x 的 平方减去九， a 加上六。题目已知 a 大 于零，所以这是一个开口向上的抛物线，要判断它的正负，就得看它和 x 轴有没有交点。 咱们令 g x 等于零，也就是 a 乘以 x 的 平方等于九，减去 a 分 之六， 这里到底是在找什么？我们在找临界点，这个九减去 a 分 之六到底是不是正数呢？这就需要分类讨论了。第一种情况，如果九减去 a 分 之六小于等于零，也就是九 a 小 于等于六，解得 a 小 于等于三分之二。因为题目说 a 大 于零，所以咱们的范围是 a 大 于零且小于等于三分之二。 在这个范围里， x 的 平方等于一个非正数，这说明抛物线 g x 在 x 的 上方，或者刚好相切， g， x 永远大于等于零，所以导数 f p， x 横大于等于零，函数 f， x 在 负三到三上单调递增。第二种情况，如果九减去 a 分 之六大于零，也就是 a 大 于三分之二， 这时候 x 的 平方等于一个正数，就能解出两个根，一个是负的根号下九减去 a 分 之六，另一个是正的根号下九减去 a 分 之六，这两个根有没有超出负三到三的范围呢？你看，九减去一个，正数肯定小于九，所以开根号之后一定小于三。这两个根稳稳地落在我们的定义域内， 抛物线开口向上，两根之间是负的，两根之外是正的。所以当 x 属于负三到负的根号时，导数大于零，函数单调递增。当 x 属于负的根号到正的根号时，导数小于零，函数单调递减。当 x 属于正的根号到三时，导数大于零，函数单调递增。到这里，第一问的单调性就彻底讨论清楚了。 接下来看第二问，题目要求对任意 x 属于区间零到三，横有 f， x 大 于一。看到横乘律问题，先别急着算，先问他到底给的是上界还是下界，这里是找下界，也就是函数的最小值必须大于等于一。 这个数字一出来，很多同学就想去求导找最值，如果你一上来就硬算，基本就掉进出题人的坑里了。你看题目里给的数字非常巧妙，零到三， 咱们不妨先把端点值 x 等于零，带入圆函数试一试。把零带进去，分子是三加零等于三，分母是三减零等于三，三分之三就是一，再乘以一的零，次方也是一，所以 f 零等于一，这说明什么？这说明题目要求的 f x 大 于一，其实就是要求在零到三这个区间里， f x 必须永远大于 f 零。 这不就是咱们刚才讨论的单调性吗？只要函数在零到三上是单调递增的，那后面的值肯定都比 f 零大呀！咱们赶紧把 a 的 取值范围分情况梳理一下。刚才第一问我们只讨论了 a 大 于零的情况，但第二问求的是 a 的 整个取值范围，所以咱们得把 a 小 于等于零的情况也补上。 第一种情况，如果 a 小 于等于零，我们回到刚才化简的导数括号里的部分， g x 等于 a， 乘以 x 的 平方减去九，再加上六， 因为 x 属于零到三，所以 x 的 平方减九是小于零的，而 a 又小于等于负，负得正，所以 a 乘以括号 x 的 平方减九大于等于零，再加上六，那 g x 肯定严格大于零。这意味着导数 f 撇 x 大 于零，函数 f x 在 零到三上单调递增， 既然递增，那 f x 肯定大于 f， 零，也就是大于一，完全符合题。所以 a 小 于等于零是满足条件的。第二种情况，咱们直接拿第一问的结论来用。 当 a 大 于零且小于等于三分之二时，第一问咱们算过了，函数在整个负三到三上都是单调递增的，那在零到三上当然也是递增的，所以 f x 大 于 f， 零恒大于一，成立这个范围也满足那。最后第三种情况，当 a 大 于三分之二时， 第一问告诉我们，函数在负的根号到正的根号下，九减去 a 分 之六，这个区间内是单调递减的。注意这里零正好在这个递减区间的正中间，也就是说，从零开始往右走一小段，函数值是往下掉的，那 f x 就 会小于 f， 零也就是小于一了。这就违背了题目要求横大于一的条件，所以 a 大 于三分之二绝对不行。 综合以上三种情况， a 小 于等于零可以， a 在 零到三分之二之间也可以， a 大 于三分之二不行， 我们把前两个范围并起来，最终得到 a 的 取值范围，就是 a 小 于等于三分之二。这道题真正值钱的地方不是算的多，而是先排掉不可能的选项。通过端点值 f 零等于一，把横乘力问题巧妙的转化成了单调性问题。大家记住一个口诀，横乘力与端点，先猜单调再验证。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 最后留一道同类思考题给大家。已知，函数 h x 等于分子是一加 x 除以分母是一减 x， 再乘以 e 的 负 b x 次方，其中 x 大 于负，一小于一。 若对任意 x 属于区间零到一横有 h， x 大 于一，求 b 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
111杨老师高考数学秒杀技巧
01:30查看AI文稿AI文稿今年水命制的题目能够压中今年的高考数学葛军、北大胡媛讲数学、 小古数学课赵李显、派蒙知识家、数小文、讨厌数学家境学长汤尺、不是钥匙等互联网数学大咖 最近都拿出了绝技，要挑战押题。二零二六高考数学这九位大咖总共命制了三十道题目，全部都是这些大咖的压箱底好题。那么喜欢数学的孩子，欢迎来挑战 那数学不是太好的孩子，只要你有兴趣也可以看一看。我这里不提供答案解析，拿到这个文件以后，可以找 ai 去获取答案和解析。万一这里面有一道题压中了啊，那就是刷到我这个视频。 家长的幸运提醒一点啊，这三十道题千万不要外传，咱们自己看看就 ok 了，你每一次外传都是在帮你的对手提分， 需要的家长请记得为孩子拍两单黑巧克力，这不是广告，是真的想帮孩子缓解大脑疲劳，提升专注力。 选择那款百分之百的黑巧克力，只有可可含量大于百分之七十五的黑巧克力，才能够缓解疲劳，真正的提升专注力。黑巧克力的链接我会放在评论区。
185张局驾到
23:06查看AI文稿AI文稿同学们好，我是数学刘老师，我们今天要讲的是本次高考全国一卷的第十八题，圆锥曲线方程的这样一个解答压轴题。好，我们一起来看一下题干。 已知椭圆 c， a 方分之 x 方加上 b 方分之外方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零的左焦点为 f 点，负于零，离心率为二分之一。现在第一问要求这个椭圆 c 的 方程好，那么这一问应该来说考察的内容非常基础，就是考察的是椭圆的这样一个基本概念。 那么众所周知，对于左焦点来说，那么他的这样一个这个 也就是负 c 零吧。那所以说，我们显然是不是可以知道 c 的 结果等于一，而对于椭圆的离心率，它是不是等于 a 分 之 c， 而现在等于二分之一，所以说我们很明显的可以知道 a 的 结果等于二，而在椭圆当中，我们又知道是 a 方 减 b 方等于 c 方，而我们现在已经知道了 a 和 c 的 结果了，所以说很快的可以算出来， b 方的结果也就等于三，所以说椭圆的方程也就为四分之 x 方加上三分之 y 方 等于一吧。好，这个第一问应该来说还是非常基础的啊，我觉得只要是学了，就是圆锥曲线方程这一块图的基本概念，了解的同学，这个第一问的分数应该都是可以拿到的。好，重点是第二问来，我们现在看到题目是这样说的， 现在是 o 点为坐标原点，然后过 f 点且斜率大于零的动直线 l 与圆 c 交于 p q 两点，然后 q 点在第三项线，我们现在是直线 p o 与 c 点的另一个交点为 r 点。好，那我们现在的话，根据题目的意思，我们可以把这个图简单的做一下子啊， 我们把图简单的做一下。好，先画出一个平面直角坐标 c 出来。好，然后我们在图中把这个椭圆大致的画出来。啊，好，好， 差不多是这个样子吧，也不用画的太精准，因为我们这个主要还是算的，对吧？好，然后现在它的左侧的焦点，因为我们现在其实可以很明显的知道 这个 f 点是不是负一零，然后左边的这个端点是不是应该是负二零，所以说相当于 f 点应该是在这个终点的位置。好，然后现在是过 f 点有一条斜率大于零的动直线 l。 好，那我打个比方，这条直线是这样画的，现在与这个交于 p q 两点，其中 q 点在第三象限， p 点在那， p 点有可能在第一象限，也有可能在第二象限吧。好，那我现在反正先大概这样画着，然后此时连接 po， po 与 c 交于了这样一个 q 点。 好，就形成了这样一个图。现在第二问的第一小问，他说的是什么？说的是此时的三角形，哦，这个是 r r 点，这个是 r r 点，没问题吧？好，那也就是他的图大概长这样。 然后椭圆的方程是刚才我们算的四分之 x 方加三分之外方等于一吧。好，来，我们现在来看到它的第二问的第一小问，现在说的是这样一个条件啊，三角形 p q r 的 面积等于三角形 p f o 的 面积的三倍。然后我们要求出这个 l 的 方程来。来，我们首先先观察一下这个图中所给出来的这样一些条件， 首先这个 l 它是过的 f 点的，所以说 f 点的坐标是多少是负于零吧，所以说我们这个时候 l 的 解析式，这条直线的方程，我是不是可以马上设它为 y 等于 k 倍的 x 加一，也就是 y 等于 k， x 加 k 没问题吧？好，然后 p 点和 q 点其实是不是就是这条直线与这个椭圆的交点，那也就是我们把直线方程和这个椭圆方程连立算出来的。那当然我们在这个地方的话，也可以直接设 p 点的坐标是 x p y p q 点的坐标呢？是不是 x q y q。 好， 然后我们注意了 p o 连接之后与椭圆交于另一个焦点 r 点，那么根据椭圆的对称性，我们可以是不是可以很轻松的知道，那么 p 点和 r 点是不是应该关于圆点对称，所以 r 点的坐标其实就是负的 x p， 负的 y p 吧， 没问题吧？好，这是三个点。然后我们再来看到在这一问当中的面积，它这里给出来的条件是一个三倍的关系。好来，我们现在观察 p q r 的 面积是 p f o 面积的三倍。好来，同学们看着我们在这里做一根辅助线啊，我们把 f r 一 连，我们把 f r 连接起 来，连接起来了之后，我们会发生会发现什么东西， 因为 p 点和 r 点是关于这个圆点对称的，所以说此时的三角形 pfo 的 面积和 rfo 的 面积是不一定相等， 没问题吧？这两个三角形是不是两个等底哦，同底等高的三角形，所以说三角形 pfo 的 面积是不一定等于三角形 rfo 的 面积，而现在 pq r 的 面积是 pfo 的 三倍，那说明了什么？ 说明了我们是不是可以假设 pfo 是 一份，那么 rfo 也是一份，而整个 pqr 是 三份的意思是不是告诉我们了 fqr 的 面积也是一份？ 所以说现在一连三角形 fqr 的 面积与它们两个的面积相等，换句话说，我们的三角形 p 也是 fpr 的 面积， 之间是不应该是个两倍的关系？ 没有问题吧？好了，这个地方其实就是一个很明显的等级变形，换句话说，这两个三角形我们是不是可以认为全部以直线 l 作为底边，那么高相等，那么面积之比就等于底之比？所以说这两个现在存在两倍的关系，我们可以推导。推导出什么？是不可以推导出此时的 p f 就 等于两倍的 q f 啊？ p f 等于两倍的 q f， 我 如果现在过 p 和过 q 分 别做垂，是不是可以知道这两个垂线段，那其实就相当于得到一个什么？是不是相似比为二比一的相似， 也就是说，我们这个时候由此可以得到什么来？我假设这个是 m 点，这个是 n 点，是不也就可以得到 pm 等于两倍的 q n， 那 pm 是 什么？是不是其实就是 y p 啊？ q n 是 什么？是不是就是负的 y q？ 所以 说我们最终其实也就得到了 y p 等于负二倍的 y q 吧。 也就是说，现在 p 和 q 的 重坐标之间是满足一个两倍的关系。换句话说，这个 f 点是什么点？我能不能认为是此时线段 p q 靠近 q 的 三等分点没有问题吧？好， 那么既然如此啊，那我们在这个地方，其实可也就是说，我现在能不能用定比分点公式，直接把 p 点的坐标用这样一个 x q y q 给表示出来？我在这一位里面，我不去连利，连利维达利了。 好，那我们这个时候可以看到 q 点的坐标，我们刚才设的是不是 x q y q 没问题吧？而我们现在既然知道了 y p 等于负二倍的 y q 了，并且我们现在利用这样一个定比分点公式，是不是也可以知道是 m f 等于两倍的 n f？ 是这个意思吧？来， m f 等于什么？ m f 是 不是等于的是 x p 减去一个负一，也就是加一等于两倍的这个负一减去一个 x q， 那 我们是不是在这个地方也就可以求出来 x p 和 x q 之间的关系？也是 x p 加一等于负二 减去二倍的 x q， 换句话说， x p 等于什么？是不是等于的是负三减二倍的 x q？ 所以 说此时的 p 点坐标，我是不是可以直接用负三减二倍的 x q 表示，然后它的重坐标呢？是不是应该是负二 y q。 好，现在 p q 全部用 x p 和 x q 表示了，这个 r 我 们其实可以不用管它了。然后我们这个时候注意一件事情， p 点和 q 点是不是都在我们第一问算的这个椭圆上？于是我们把 p 点坐标和 q 点坐标全部带入到椭圆方程当中去，我们能够得到什么？ 是不是能够得到的是，那这个椭圆方程其实是四分之 x 方加上三分之外方等于一，其实是不是可以写成三 x 方加四，外方等于十二吧。好，那我们现在带入进去之后能够变成什么？是不是可以变成三倍的 x q 的 平方 加四倍的 y q 的 平方等于十二？好，这是我带 q 点坐标，那我如果带 p 点坐标呢？是不是可以得到三倍的负三， 减去二倍的 x q 的 平方，再加上，那这个是多少？是不是十六倍的 y q 的 平方等于十二吧？ 好，那我们现在就只用把它解出来来。我不妨设上面是一四，下面是二四，那我是不是直接把一四乘以四和二四相减就可以了？好，来，我们这里可以减一下，一四乘四减二四。 来，那我们这里减一下子是不是就变成了十二倍的 x q 的 平方，然后再减去三倍的负三，减二倍的 x q 的 平方。这里我们不不去把平方打开啊？等于三十六， 是不是就变成这样一个式子，然后我们左右两边同时除以一个三，也就变成了四倍的 x q 的 平方等于十二吧。 啊，现在大家可以看到我们等号左边变成了一个什么？是不是一个平方差公式，也就是说，我是不是可以把它写成二倍的 x q 加上三加二倍的 x q， 然后再乘以二倍的 x q 减三，减去二倍的 x q 等于十二，那这不就相当于变成了一个关于 x q 的 一元一次方程了吗？ 就是用这个方法就非常简单了，这里一抵消是不是马上可以算出来，那此时也就得到什么。最后解出来是不是四倍的 x q 等于负七， 所以说 x q 等于多少？负的四分之七吧。那所以说我们相当于 q 点坐标是不是就出来了？好，那 q 点坐标出来之后，我再把它给反带回我们的椭圆的这样一个方程当中。我把 y q 点坐标出来了之后，我再把它给反带回我们的椭圆的这样一个方程吧。那也就是这里的 x q 等于的是负的四分之七吧，也就是三乘以负四分之七的平方是多少？是不也就是十六分之四十九，再加上四倍的 y q 的 平方等于十二？ 好，那我们在这个地方也就可以算出来，那此时的 y q 方等于几啊？是不是应该等于的是六十四分之四十五？而因为题目说了什么，题目是不是在这里说了， q 点是在第三项线，所以它的横轴坐标都为负数啊？那所以说我们的 y q 求出来也就等于的是负的八分之三倍的根号五吧。好，当我算出来了 q 点坐标之后，那我最后再去求求这样一个直线 l 的 解析式，也就是 k x 加 k， 那 我其实就把 k 给解出来，是不是问题就解决了？而这个 k 等于什么？ 是不是也就等于的是这个 f 点和 q 点的这样一个纵横比吧？那我们在这里算一下子中坐标，我就直接拿这个零减去一个负的八分之三倍的根号五， 再比上一个多少，是不是负一减去一个负的四分之七吧。所以最后算出来斜率等于二分之 y 等于 二分之根号五倍的 x 加一，但我把它写成二分之五倍的 x 加二分之根号五也是对的啊。好，那么这是我们第二问的第一小问有一说一奇的计算量还好，对吧？然后这里的话采取了这个做法，我没有去连例解析式，然后去用维纳定律做，在这里直接利用点 坐标的关系在，就是可以快速的进行一个消元和消餐，最终得到一个关于这个 x q 的 一元一次方程解出来。好，这是我们第二问的第一小文 来，接着看到第二问的第二小文，那么第二问的第二小文，我们在这个地方的话就需要做一定的准备工作了，就是我们现在第二小文当中，那我肯定这个直线就写成 y 等于 k， x 加 k， 然后我们的这个椭圆是多少？是不是三 x 方加上四外方等于十二吧。那我觉得因为我们现在第二问是要干嘛？是不是要求的是这样一个 time 角 p k r 的 最小值，对吧？ 那我们在这个地方的话，现在也不存在说是面积有有这样个倍数关系了吧？那所以说我们在这个时候把它连累带入进去之后，可以得到什么？ 我写到旁边来啊，是不是可以得到三 x 方再加上四倍的 k， x 加 k 的？ 或者说我这个地方的话，我直接就把这个写成 k 倍的 x 加一算了。 k 倍的 x 加一，那我就直接把这个带入进去，是不可以变成，那这里就是 四倍的 k 方， x 加一的平方等于十二，是不是就变成这个方程？没问题吧？好，然后我们在这里还是一样的把它化简啊， k 方 x 加一的平方等于十二。 好，来，那我们这个地方的话，现场带着同学们算一下子，那也就三个 x 方再加上一个四 k 方被的 x 方加二， x 加一减十二等于零吧。好，所以说这里打开之后也就变成了四 k 方， 然后再加三倍的 x 方吧，然后再加上一个八 k 方 x， 然后再加上一个 四 k 方，没问题吧？减十二等于零，好，那所以说这个时候我们用我来定义算出来是不是可以得到 x p 加 x q 也就等于的是负的 四 k 方，加三分之八 k 方，好，当然的话乘的也可以得到啊，就是 x p 乘以 x q 是 不是等于的是 四 k 方，加三分之四 k 方减十二没有问题吧？好，当我算出来这个之后，我们现在来观察一下子，现在要求的这样一个角是什么？ p q r， 我 现在跟同学们重新画一下子啊， 我们其实可以理解成为 p q r 是 什么？是不是我们在平面直角坐标系内的三个点现在围出来的这样子的一个角，它的探极值 是多少？来？ p 点坐标，现在我可以认为它就是什么 x p y p 吧？ q 点坐标是什么？ x q y q 吧？ r 点的坐标是什么？ 是不是刚才我们也说了的 p 点和 r 点是不是关于圆点对称的？所以说 r 点的坐标我能不能写成负的 x p 负的外 p， 好， 现在这是 p， 这是 q， 这是 r， 其实到了这里来了，这个问题已经跟椭圆没有关系了，那我们现在来想想，那此时的这样一个 碳极角 p q r 等于什么东西？是不是也就这个角？好？那么我们现在就单独的来看，对于 p q 而言，我是不是可以在这里去围直角三角形， 我就这样子围一个直角三角形出来，那么这个是不是 r 法？好，同样的，对于 r q 来说， 我是不是也可以围直角三角形？那这个地方，这个角是不是贝塔好？当然这个地方的 q 点和 r 点谁在上谁在下，这个不清楚，也就是说我们此时的 p q r 可能是阿法加贝塔，也可能是阿法减贝塔。但是同学们注意一件事情，这个题目要求的是什么？ 求的是最小值，那最小值毫无疑问肯定是减吧，毫无疑问肯定是减吧。所以说我们现在要做的事情是不是就是把此时的碳解阿尔法和碳解贝塔全部算出来？算完了之后我们来干嘛？是不是算碳解阿尔法减贝塔的结果就可以了。 好，那我们现在来一个一个来算一下子。首先 int alpha 等于什么？是不是等于的是这里的 y p 减 y q 比上 x p 减 x q 啊？同学们注意了， y p 和 y q 等于什么？它是不是也就等于的是 k 倍的 x p， 再加上 k 减去 k 倍的这个 x q 减 k 吧？好，然后再除以一个 x p 减 x q， 所以 说大家其实会发现，其实它的它的这个东西，也就它的斜率，其实就是 k 没有问题吧？就是它加法本身其实指的就是这个 这条直线 p q 的 斜率，所以说碳甲法就违 k 了。那我们现在要做的事情是什么？是不是再来算这个碳起白塔，也就是碳起这个 p q 吧？来，碳起白塔 相当于是不也就是这个直线 r q 的 斜率？那直线 r q 的 斜率等于什么呢？来我们这里算一下子，也就是 y q 减负 y p， 那 是不是就是加 y p， 然后这个是 x q 加上 x p 吧。好，来，同样的，我们来代入啊。 y q 等于什么？ 是不等？那就是外 k 加外 q， 也就是 k 倍的 x p 加 k， 加上 k 倍的 x q 加 k， 然后除以 x p 加 x q 吧。好，来，那我们这里算一下 x p 加 x q 分 之什么？上面是什么？是不是应该是 k 倍的 x p 加 x q， 这里是二 k 吧，所以提出来是不是加二 也就得到这一个式子了。然后我们这个时候来观察一下，此时是不是 x p 加 x q， 那 我是不是可以把刚才维达蒂米当中的 x p 加 x q 给带入进来，来，我们带一下子，其实这可以说是我个人觉得这一道题目里面 唯一的计算量比较大的一步啊。好了，这个带带入进来之后，是不是变成负的四 k 方加三分之八 k 方？好，这是分五，然后分子我已经把 k 拉到外面来了，那这里就变成了是负的四 k 方 加三分之八 k 方，再加二吧。好，然后我们现在可以把里面的分子分母同时乘以四 k 方加三，所以负的四 k 方加三吧。我直接把这个符号也约掉，所以它就变成什么 好， k 倍的，那分母是不是就只剩下八 k 方了？然后分子呢？那这个地方是不是就变成了八 k 方，减去二倍的四 k 方 加三，没有问题吧？好，来，那我们这个时候见证奇迹的时刻到了， 那就是 k 乘以八 k 方分之八 k 方减八 k 方，然后再怎么样 减六八 k 方，八 k 方又约了，然后这一项，所以说他最后算出来是多少，是不是八 k 分 之负六，也就是负的四 k 分 之三。好， ok， 碳积阿尔法，碳积贝塔全部求出来了，那所以说我们此时的碳积 角 p q r 等于什么？是不是也就等于这里的碳积阿尔法减贝塔吧。 那我们这里直接用三角函数的差角公式，也就是一减去好，一加上一个 tan 几阿尔法 tan 几贝塔。分之 tan 几阿尔法减 tan 几贝塔，没问题吧？好，来，带直进来， 也就是一加上一个 k 乘以负的四 k 分 之三，然后分之 k 减去负的四 k 分 之三吧。 好，来，我们算一下子，那此时的这个分母变成了什么了？是不也就变成一减四分之三了？ 然后分子呢？是不是 k 加上一个四 k 分 之三，也就是什么？是不也就变成了四倍的 k 加上四 k 分 之三？好，并且这里的 k 题目已经说了是一个正数了，所以说问题到这里来了，是不是直接变成了一个什么问题了？ 是不是基本不能设，对吧？好，那我们这个地方来看一下，那它大于等于什么？是不是大于等于四乘以二倍的，这里面一层，里面一层，实际上是不是就是根号下四分之三吧， 没问题吧？好，那我再把这个一开，所以最终算出来它的最大值，也就是哦，它的最小值是不也就是四倍的根号三，所以说此时的 time 角 p q r 的 最小值 也就为四倍的根号三。好，那么以上呢，就是我们此次高考的第十八题的全部过程，我们最后做一个总结啊，那么这次的这个圆锥曲线方程的这样一道题目，我个人觉得他的计算量 应该说是适中的啊，就是你在找到了合理的方法的前提之下，我们还是能够比较轻松的解决的。第一问完全考察基础，然后第二问这个地方如果能够利用面积关系进行等级变形，找到他们重坐标的关系，然后用坐标 的关系带入进去进行计算，那么他的计算量绝对比我们常规的用这样一个呃连例为答题理算要简单。然后第三问这个地方的话，其实大家只要能够抓住问题的本质，不要把它想的特别的复杂，其实最后就是一个这样一个 三角函数当中的一个差角公式，然后带直进去，用基本不等式解决。好，那么我们这道题目就讲到这里了，谢谢大家。
50武汉数学牛老师
04:17查看AI文稿AI文稿对于大多数同学来说呀，你的高考数学满分不是一百五十分，而是一百三十三分。为什么这么说呀？我跟大家慢慢的分析一下。 还是以咱们这个北京高考的数学卷子为例。其实大多数同学，你如果说你没有参加过数学竞赛，而且呢，你还没有选物理和化学，或者说你选了物理和化学，但是物理化学学的没那么清楚。这就说明啊，你的这个数学逻辑这一块是有问题的，是欠缺的。 而且这个东西啊，他属于是逻辑上的问题，属于是智商上的问题，很难通过大量的刷题去解决。而这一部分的分数啊，至少就有十七分，制作 我还是保守估计就有十七分。这就决定了，大多数的同学满分就是一百三十三分，我们只可以直接拿北京高考这个卷子啊，我们一分一分给他算出来，为什么说我们要至少扣十七分？ 你看北京高考总共有二十一道题，前八道是填空，前八道是选择题。这个选择题呢，是比较固定的题型，你通过努力是可以把这八道题的分数都拿到的。然后呢，就是五道是填空题， 这五道填空题啊，前四道呢，哎，其实是你努努力也可以拿到的。但是这个第十五题吧，它是一个选序号的题，选一二三四， 比方说答案是圈二和圈三，或者圈二圈三圈四，答案呢，一般是三个序号或者是两个序号，但是呢，大多数同学其实只能选出一个序号，剩下那三个序号呢，他一个都选不出来，因为他那题他弄不明白，他只能把一个最简单的一个题给他弄出来，他其实这个就是一个多选择题，大多数同学只能选出一个选项，没法选全， 而且而而你又为了不想错选，不想扣分，你往往只能选一个选项，这么着你这题只能得两分，五分的题你得两分就意味着你扣了三分了。 然后我们接着往后看，十六、十七、十八这三道是已经到了解答题了，但这三道解答题呢，是属于基础的解答题，分别是解三角形、三角函数、一提几何和这个概率统计。第三个题呢，是咱们通过努力可以把分拿全拿满的，然后就到了后面这个压轴题，十九、二十和二十一 分别呢，是解析导数和新定义，咱们直接看扣分最多的这个题，正常来说呢，就是新定义这个题。 七零一这个题目是二十一题，是北京市的一个特色的题，满分十五分，大多数同学只能得到第一问的分数，只能得到四分。这个第一问呢，是属于送分题，你呢，是基本上都可以得到的。但是第二问和第三问，你如果说没有经过数学竞赛这种训练， 然后呢，平时呢，没有去研究过这种题型，你其实这个题基本上第二问第三问就是死翘翘的，肯定要扣分的，这一道题你就扣了十一分，因为第一问只有四分。然后我们再返回来看导出我解析 导数和解析呢，原则上你是可以训练出来的，但是啊，因为这几年北京高考他这个一直在破除套路化，你可以看呀， 咱们这个北京高考这五年考的解析和导数，他每年都不是一个题型，基本没有重复的，所以说呢，你训练之后呢，你也只能拿到十三分的分数，基本就是顶天了。 就算说你这个题，哎，我这个算的非常的顺利，思路非常的顺畅，把这两个题我感觉我全都做出来了，我感觉能得十五分，但其实你大概率也得不到十五分，因为你的过程啊，十有八九会有瑕疵，过程分起扣就是扣一分， 那我们算的保守一点，那就是十九题，二十题，这两道倒数的，倒数的第三道和第二道压轴题，我们每道题扣两分，这就是四分了。现在我们把这个分数加到一起， 十五题作为一个填空的压轴题，我们扣了三分。然后呢，十九题、二十题分别作为解析和导数的压轴题，我们扣各扣了两分，这扣了四分了，四分加三分就是七分了。然后我们再算一算他这个最后一题，新定义的题目，新定义的题目，你已经扣了十一分了，这么着就是十八分，就是一百三十二 分，这么着啊，你的这个数学的满分其实就是一百三十二分了，一百三十三分了。 其实啊，对于大多数同学来说，你要有一个清晰的界限，要要想清楚了，你那些分你拿不到，你别在那瞎争取，你争取完你会发现，你到高考的时候，你那个实验其实都是浪费的，你做不到， 你有那争取那十七分的时间呢，你还不如去学学别的科目，把别的科目的分数提高。然后呢，咱们数学也不要好高骛远，你如果能够把这一百三十二分，一百三十三分的分数拿到，你就已经超过百，超过百分之九，北京市百分之九十八，甚至说九十七的人了，你已经非常了不起了。 其实打倒的同学啊，就是眼高手低，你要弄清楚，你数学的满分就是一百三十三分，不要好高骛远。
443孙同学在这里
