2014年数学高考试卷
这是二零一四年高考理科数学全国二卷的第二十一题，这道题在当年试卷中位于全卷压轴的位置。这个视频将带你走进这道题的试题命题过程。 由于视频时长限制，虽然本题第三问与前两位有联系，但我们还是直接来分析第三问，参考答案中的解析思路， 将 loan 根号二的值代入第二问中的 g x， 随后开始对式中的 b 赋值， 当 b 等于二时，能得到 loan 二的取值下界，接着找到能使这个式子等于 loan 根号二的 b 的 值， 将此时 b 的 值代入，由此能得到 loin 二的取值上界，上界和下界之间形成了一个取值范围，由此就能估计 loin 二的近似值了。可以看到，结合题中给出的根号二的取值范围，可将 loin 二的值精确到小数点后三位。 那么，本题在命制时曾经历了怎样的过程呢？命题方指出，在命制本题的过程中，曾考虑利用前面的结果，不借助根号二的近似值直接估计 root 二，以简化问题。也就是说，命题方曾想用这样的题考察考生 在题中没给出根号二近似值的情况下，未得到 lo and 二的近似值，我们考虑直接将 lo and 二带入第二问中的 g x。 模仿上面第三问参考答案中的思路，我们可以这样估系 lo and 二的值。 可以看到，若我们直接将 loin 二的值带入，虽然说也能得到一个 loin 二的取值范围，但这个范围相对较大，在四舍五入时甚至都不能精确到小数点后两位，只能将 loin 二的值精确到零点七，即小数点后，一位 命题方认为在这种设问下，考生能估计的精度不够理想，所以他们最终放弃了这种想法，选择在题中加上根号二的取值范围，从而形成正适用题。 在视频的最后，给出本题试题命题过程的参考文献，我们下个视频再见。
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08:14查看AI文稿AI文稿在高考来临之前，回顾一下最近十几年最特别的一道高考题啊，求农二精确到小数点后的第三位。具体题目是这样的， 实际上这个是二零一四年高考数学的最后一道压轴题的第三问呢，做这个题目的前提是给出了这个条件啊，根号二， ok， 在 知道这个条件的前提下，我相信百分之九十九点九的人也不会做啊，还要知道前面两位是什么。我们看第一问啊，第一问非常的简单啊，他说有一个 f x， 他 是一的 x 方，减去一的负 x 方啊，减去二 x， 要求它单调性啊，那我们求导一下啊， 根据不懂事的知识啊，我们知道这个大于等于二乘以一的 x 方，一除以根号一的 x 方，减去二等于零，也就是说他的导数永远是大于等于零的，这个 f x 在 夫穷到正无穷，它单调去增的。 我是第一问，第一问比较简单啊，我们再来看第二问呢，第二问是把它拓展了一下， g 的 x 等于 f 二 x 减去四 b f x， 现在当 x 大 于零时，这个 g x 也大于零，要求 b 的 一个范围啊，这个该如何做呢？我们先把 g x 写出来啊， 我们看啊， g 零的一个特点啊，它刚好等于零，如果我们满足啊，它的导数总是大于零的啊，那么这个 g x 肯在零到正无穷，它导数大于零啊，它 g x 肯定大于 g 零等于零。也就是说啊，满足个条件， 那是不是这个大于零就一定推出这个导数大于零呢？不一定啊，但是我们可以朝这个方向去想嘛，我们把它导数写出来， 再把它配方一下，配方的时候用一种技巧啊， e 的 x 加上 e 的 负 x 之方等于 m 啊，这个 m 大 于或等于二啊，代入到原式啊，就是提个二出来啊， 它是 m 减二， m 减去二， b 加二，这个具体的计算的过程我就不写了，我如何保证这个东西啊，总是大于零呢？我们看这个 m 是 大于等于二的，这一块是大于等于零的啊， 那我们只看这一块就行了啊，这一块是否大于等于零，跟 b 的 曲子有关系啊， m 大 于会等于二，如果这个二永远大于等于二， b 减去二的话，那么这个 m 也就是二减去二， b 加二，那肯定 m 减去二， b 加二大于二减去二， b 加二肯定大于等于零啊。 在这个前提之下，他的导数肯定大于等于零，那么这个 g x 肯定大于零。 满足了这个条件啊，我们看一下 b 的 一个范围啊， b 永远小于等于二，而当 b 大 于二时，又会出现什么情况呢？我们看啊，导数啊，刚刚取零的时候， m 等于二， b 减二，这个 b 大 于二，这个值是大于四减二等于二吗？ ok， 这个值大于二，有没有对应的 x 的 值呢？有啊，这个 m 啊，是等于一 x 加上一的负 x 啊，那怎么把 x 给求出来呢？既然 m 等于二， b 减二，实际上这个一元二次方程啊，我们念一的 x 方等于 a 啊，它是 a 加 a 分 之一等于二， b 减二， 那么求出来这个 a 或者说一 x 是 等于。这个具体求解过程我就不写了，它是 b 减一，加减 b 的 平方减二 b， 这是求出来的啊。得到 x 是 等于零， b 减一，加减 b 的 平方减二 b， 这是得到 x 的 一个值啊，也就是说啊，当 b 大 于二的时候，这个值啊，这个里面这个值是大于一的，这个整体值是有解的啊， 在 x 大 于零，小于这个值的情况之下，他的导数小于零，你说 g x 在 这个范围之内，他是小于零的， ok， 那 不能出现这种东西，也就是说 b 不 能大于二， b 要小于等于二，这是第二问啊，那第三问实际上跟第二问是紧紧相关的。 这个注意啊，这个取正负号的时候啊，这个负号舍去了，我们看第三问啊，第三问知道根号二小于一点四一四三大于一点四一二，要求 no 二的值啊， 那只能把 non 根号二带进去试一下呀。我们看 g 的 non 根号二是等于多少啊？我们恰好让 b 等于二吧。 而这个 non 根号最大特点啊，它是可以把这个二的二分之一，这个二分之一提到外面来的，也就是说，它可以变成 non 二， 而这个啊，也可以把这个二提到这个里来啊，它是根号二的平方啊，也就是说啊，它是二， non 二一的 non 二不就是二吗？二减去二分之一，减去二百的 non， 二减去八 乘以根号二减去二分之，根号二减去 non 二啊，化简出来啊，它是 要大于零啊，得出啊，这个 non 二的范围， non 二大于四倍的根号二 减去一点五除以六啊，等于二倍的根号二减去零点七五除以三啊，这样好算一点啊， 我们把根号的最小值一点四幺四二带入进去啊，他是零点六九二八求出来，他是大于零点六九二八，我们现在几乎可以确定的讲啊，这个乱就是零点六九三，那该如何把这一边一个补齐呢？ 注意啊，我们刚刚是让 b 等于二的时候啊，求这个，我们看看我们第二问所推出来的这个东西啊， x 在 这个范围内单调递减，也就是说啊，有没有这样的东西啊？ b 让这个小于零等于零这个 b 带进去，恰好能求出啊， non 二的一个接近零点六九三的一个值呢。可以啊，那如何确定这个值啊？ 我们让它这个区间啊，刚好到可以取 non 根号二的区间啊， 也就是说让这个 b 减一，加上根号 b 的 平方减二， b 等于根号二，求出 b 等于四分之三倍的根号二加一。好多同学都不知道这个 b 是 从哪里来的，为什么配出这么一个 b 出来啊？实际上他就是要求的单调区间刚好取到零 到 non 根号二，然后才能写出这样一个式子。写出这个式子之后啊， 我们把 b 是 不是求出来，把 b 带到这个式子，然后去求啊，求出来的确是小于零点六九三几，具体多少我就不说了，然后我们就可以求出来这个 non 二 精确的小数点后，第三位就是零点六九三。所以说啊，这个题目最精妙的一点就是如何让这个 x 的 这一边的范围是 non 根号 r， ok， 关注我，让学习变得更有趣一点。
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02:48查看AI文稿AI文稿这是二零一四年天津高考题，设 a n 是 首项为 a 一 公差为负一的等差数列， sn 为前 n 项和。若 s 一 s 二 s 四乘等比数列，求 a 一 等于多少。 a n 是 等差数列，公差为负一， 那么我们可以求出， a n 等于 a， e 加上个 n 减 e， d 就是 d 是 负一等于 a， e 加上个 n 减 e 乘以负一等于 a， e 加 e 减 n， 那 么 s n 就 等于 a， e 加 a， n 乘以 n 除以二， a 一 加上 a 一 加一减 n 乘以 n 除以二就等于二。 a 一 加一减 n 乘以 n 除以二， 那么 s 一 s 二 s 四是等比的，那么我们把 s 一 s 二 s 四写出来。 s 一 就等于， 这是一减一是一，那么就是 a 一 s 二就等于二，跟二约掉二， a 一 减一， s 四就等于 二， a 一 减三乘以二。这三个是等比数列，那么 s r 是 等比中项，也就是 s r 的 平方等于 s 一 乘以 s 四 也就是二。 a 一 减一的平方等于 a 一 乘以四， a 一 减六， 那我们展开来算一下，就是四， a 一 的平方减四， a 一 加一等于四， a 一 的平方减去六 a 一， 这个正好抵消 二。 a 一 等于负一， a 一 就等于负的二分之一，所以选 d 就 可以了。 a 等于负二分之一。 这道题利用等差竖列和等比竖列的基本概念就可以做出来。
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13:06查看AI文稿AI文稿这是二零一四年江西高考题，已知首项都是一的两个竖列， a n、 b n， b n 不 等于零， n 属于正整数， 满足 a n 乘以 b n 加一，减 a n 加一，乘以 b n 加两倍的 b n 加一， b n 等于零。 一令 c n 等于 b n 分 之 a n， 求竖列 c n 的 通项公式。二，若 b n 等于三的 n 减一次，方求竖列 a n 的 前 n 项和 s n 两个竖列首项为一，而且 b n 不 能为零。满足这样一个等式。怎样求 b n 分 之 a n 的 通项公式？ 那么我们就根据这个等式来求 a n， b n 加一，减去个 a n 加 e， b n 加上两倍的 b n 加 e， b n 等于零。因为我们要求的是 a n 比 b n， 那 么我们就可以同时除上个 b n， 也就是 除以 b n 的 话，它也是等于零，也是等于零的。因为 b n 不 等于零，就是乘上角，就相当于乘以 b n 分 之一， 那么我们就可以得到第二个式子，就是这个，跟这个约掉，约掉，那么我们可以得到 a n 比 b n 乘以 b n 加一，就等于 a n 加一， 减去两倍的 b n 加一，我们再把这个除过来，就是 a n 比上个 b n 就 等于 a n 加一，比上个 b n 加一减二， 这里是 c n 加一，这里 c n 就 相当于 c n 加一，就等于 c n 加二， 那么这就是一个等差。竖列后一项是前一项加二，所以 c n 是 一个等差，竖列公差为二。 那么 c 等于多少呢？因为 a 一 b 都是一， 所以 c 一 就等于 a 一。 除以 b 一 等于一，比一等于一，零项是一，公差是二，那么这个数列其实就是 c n 就 等于一、三、五、七、九 这样的大于零的奇数数列。 ok， 求出它的通项很简单，就是二元减一， 它的通项公式， c n 就 等于二 n 减一。也可以这样做，就是 c n 等于 a， c e 加 n 减一， d 等于加上个二， n 减二等于二， n 减一，就是基数数列正的。这是第一问，通项公式出来了。第二问， b n 等于三的 n 减一次方，怎么求？ a n 求 a n 的 前 n 向和 s n。 那 么我们首先要知道 a n 是 怎样一个竖列，因为 a n 比上个 b， n 就是 c n， 它是等于 a n 比上个三的 n 减一次方，而 c n 呢，是等于二 n 减一的。 我可以得到一个这样的式子，那么 a n 就 等于二 n 减一，乘以三的 n 减一次方。 a n 是 这样一个竖列，就是 a， n 就 等于二 n 乘以三的 n 减一次方，减去三的 n 减一次方。这后面一个 求和我们很好求它是一个等比竖列。关键是这样的和怎么求？ 如果我们看到是两个竖列的话， a n 看到两个竖列的话，那么关键是这一项的和求和。我们这一项我们记为一个竖列，比如说 a n 可以 记为， 比如说求 a b c， d n 减 v c d e n， 那 么 d n 等于多少呢？这里 d n 等于二， n 乘以三等减一次方， 一 n 就 等于三等减一次方。那么对这个求和比较好去做， 是 一，一直到三等减一次方。那么关键这个求和这个求和我们来做一下，看它是一个这样的情况，看看 s n， 这个是 s e n， s 大 概是 s e n， 一个 s e n， 这个是 s r n， 那 么 s n 就是 两个相减， s e， n 是 等于二倍的 一乘以三的零次方，加上个二乘以三的一次方，加上三乘以三的二次方，一直加下去， 加上个 n 减一乘以三的 n 减二次方，再加 n 乘以 三的 n 减一次方，是这样一个式子， s， e， n， 那 么我们怎么求它的和呢？我们来可以这样做，两边同时 乘以三三倍的 s， e， n 就 等于二，放到这里不动，三乘进去， 就是一乘以三的一次方，加上二乘以三的二次方，加三乘以三的三次方一直加，加上个 n 减一，乘以三的 n 减一次方，加上个 n 乘以三的 n 次方，得到一个这样的式， 这个这样的式子，我们可以看这一项减这一项，三的一次方乘以二减一，这里呢，三的平方乘以三减二，这样的话就很好做了。 那么就是 s， e， n 减去三倍的 s， e， n 就 等于二，然后呢，这个减，这个是单独写，就是 e 加上这个减，这个 就是三的一次方，加上三的二次方，一直加下去，那么这里呢，就是三等减一次方， 然后减去对向零乘以三等值方，变成这样的一个等比数数列的和，那么就等于可以做出来等于两倍的 一项是一，我们不写，就是三的 n 次方减一，三减一， 一共是 n 项，一项两项，三项，一共是第 n 项，然后就是再减去个 n 乘以三的 n 次方，再来个这样的，因为这是 n 个向下加，那么就等于三的 n 次方减一，减去二， n 乘以三的 n 次方， 那么就是一减二 n 三的 n 次方减一。 这里是两个相减，也就是负二 s 一 n， 那么我们还除一个负二， s， e， n 才出来，那我们除一下看，就是 s， e， n 等于多少呢？ s， e， n 就 等于 啊，二分之一， 这里除以一个负二，就是加上 n 减二分之一 占等次方，变成这样的一个式子， s， e， n， 那 么这一项的和是 s r n， 后面一项的和 s， r， n 就是 一， 我们记为 s r n， s， r， n 就 比较好做，是三的 零次方，一直加到就是三的零次方，加三的一次方，加三的二次方，一直加到三的 n 减一次方， 那么这个也是跟这个数列是一样的，就等于 三乘以三的 n 次方减一，除以三减一，三零二是一，三的零次方是一， 变成这样的一个数列就是二分之多少。那么 sn， s 呢？ sn 就 等于 s 一 n 减 s 二， n 等于二分之一，加上 n 减二分之一三的 n 次方，再减去一个二分之一三的 n 次方减一，看看可不可以写在一起。 这里一个二分之一，这里一个二分之一加起来就是耶， 这里减二分之一三的减，就是再加上个 n 减去一三等符号 啊，变成这么多。 这个过程 又用了这样的方法，变成一个等比数列求和。
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12:34查看AI文稿AI文稿同学们好，我是乐学公益课堂的严老师。今天呢，咱们来讲几道关于数学考试，数学高考的几道题啊，那个这个咱们就首先今天来看一下这个第十七题。这个第一个大题啊，题目中说 a、 b， c 三角形， abc 的 内角啊，三个对应边分别为小 a、 小 b、 小 c 啊，已知 cosine b 等于一个四分之三，那题目中给了咱们一个等式， cosine 括号 a 加 c 等于 加上三 a 乘以三， a， c 等于一。然后题目中让求三角形 a， b， c 是 一个钝角三角形，那咱们只能从已知条件来出发，怎么办呢？看一下啊，这边给了个条件考察， a 加 c 加上一个 c， a 乘以 c， c 等于一考 c， a 加 c 的 平方，那这个同学们啊，考 c， a 加 c 能不能看着，因为看着它不怎么顺眼，对吧？因为咱们在三角形这个里面，你看肯定知道啊，三个角加起来等于多少度？ 等于 pi， 对 吧？那 a 加 c 就 等于多少。首先是 pi 减 b， 那 我可以把 cosine a 加 c 换成什么？我们看一下 cosine a 加 c， 它其实就等于 cosine 什么 pi 减 b， 那 这个 cosine pi 减 b， 咱们是可以直接用这什么 诱导公式，对吧？咱们直接把它换成一个字母就可以了。那咱们来看一下 cosine a 减 c 的 平方，那 cosine 派减 b， 大家咱们想一想啊，用余弦定律，即便偶不变符号，看相线，首先它肯定是 不变的，对吧？它肯定还是 cosine b 是， 于是正是负，咱们想想它在第几相线，因为题目中说 cosine b 是 一个四分之三， cosine b 是 一个正数，那就说明角 b 一定是一个锐角，所以，那咱们派减 b 一定是一个什么角？ 它是一个钝角，对吧？判减 b 是 个钝角，所以应该是第二选项的角，所以应该是负的 cosine b 啊，负的 cosine， 但是又带平方的， 对吧？那就是负 cosine b 的 平方加上 ca 乘以 c c 等于一负 cosine b 的 平方，其实就是整，对吧？那咱们把它写进去，最后我也得到一个 ca 乘以 ca 等于一个一减去四分之三的平方，应该是一个十六分之七啊，六分之七，那咱们由这个 c a 乘以 c c 的 十六分之七可以得到什么呢？咱们来想一想啊，咱们来想一想，这个应该怎么办呢？看见 c a 乘以 c c， 我 应该怎么办？想想什么东西里面有这个东西？ 咱们反过来想，因为这个题考，它的这个考法是很新颖的啊， 这块把这个 a 加 c 变成了派减 b 啊。派减 b， 那 咱们想要考成 b 可以 怎么来变啊？这个 a 加 c a 跟 s i c， 咱们还是判断不了啊，因为这个 a 跟 c 不知道，只要它是锐角或钝角，但是它的值都是正的啊，都是正的，那怎么办呢？ 咱们能不能去算一下考三 a 加 c， 咱们想想啊，为什么？因为题里面给了个三 a 加 c， 三 a 乘以三 a c， 这是咱们算出来，咱们想想在哪里会出现三 a 乘以三 a c 和角公式，对吧？那咱们看一下，那就是 cosine a 乘以 cosine c 减去 cosine a 乘以 cosine c。 cosine a 加 c 跟 cosine b 什么关系？那就是负的 cosine b， 对 吧？那咱想想负的这个，咱把它换过来啊， 那就是 c a c c 减去 cos a cos a 好 了，那咱们看一下哪些东西知道这个式子就是 cos b， 对 吧？ cos b， 那 这个式子的值等于多少呢？ 它就等于四分之三，对吧？四分之三，那咱来算一下，那 cosine a， cosine c 等于什么呢？它就等于 sin a 乘以 c， c 减去一个四分之三，咱们来算一下它这个 c a 乘以 c c 是 一个十六分之七，减去一个四分之三，它应该等于一个 food 六分之几啊， 是十六分之十二七减十二啊，得负十六分之五。好了，那同学们想想，现在咱们能不能判断这个值的正负了？现在是不可以，因为刚才 ca 乘以 ca， 咱们判断不了， 因为 ca 跟 ca 只要它是锐角或者钝角，它都是正值，但是考 sim 不 一样， 咱们看一下咱们假设啊，因为 b 是 已经是一个锐角了，对吧？那如果 a 跟 c 都是锐角，那所以 cosine c 跟 cosine c 应该都是正的，那它们的值自然就是正的。那现在既然值是负的，那就说明一个什么问题，它里面一定有一个是负的， 对吧？ a c 考 c a 或者考 c c 有 一个复制，那对应就是考 a 或 c 就 有一定有一个什么对角。所以咱们现在是不是第一问已经证明结束了？同学们注意一下，整理一下这个呃思路啊，整理一下这个思路， 尤其是由这个 c a 乘以 c a c 往这个和角公式上去想，这一步不太好想啊，这步不太好想。 好了，那现在咱们来看一下第二个，看一下第二个，咱把刚才这个过程擦掉。第二问告诉了咱们这个 abc， 三角形 abc 的 这个面积给了三角形 abc 的 面积，咱把这个刚才这个角度咱们都写上啊。给了面积，那你看一下，题目给了 考三 b， 是 四不是三，那咱们想一想这个面积应该怎么办？咱们肯定是用正常咱们高中的，对吧？那比如这个一定是二分之一 a c、 c、 n、 b， 对 吧？那你看，因为题目只给了一个角 b， 咱们自然就往上考啊。来，那考三 b 知道，那咱们能不能算一下 c、 n、 b， 肯定是可以的，对吧？那就是一减去根号下，根号下 一减四分之三括号的平方，对吧？这个算出来应该是一个多少呢？朋友们自己算一下啊！这个不是什么难东西，挺简单， 应该是是四分之根号七，对吧？四分之根号七啊。好了， 那咱们来先来看一下面积，又告诉了他这个值等于四分之根号七，那你看 c、 n、 b 也是四分之根号七，那就说明一个什么问题， 来，咱们带进去看一下啊。二分之一，来，咱们把这个 c、 n、 b 带进去之后， c、 n、 b 是 一个四分之根号七， 那咱们就可以计算出什么可以得到 a、 c 的 乘积，它是等于一个二，那这个东西可以干什么？ 咱们来想想这个东西可以干什么？咱们同时是不是又有 c a 乘以 c c， 这是第一个算出来的，应该是十六分之七，对吧？那再想想这个值可以干什么？ 可以把什么东西导出来啊？可以把什么东西导出来，是不是可以用正弦定力，对吧？那咱们看一下，正常咱们是 a b， c a 等于 b b c n b， 咱直接写 c 吧啊？ c b， c， n， c 等于二二，对吧？那现在咱们把这个式子咱们怎么办？ 咱们来看一下，导一下啊，导一下怎么由这两个式子去跟这个东西产生联系啊？产生联系咱们可以替换一下，对吧？替换一下，因为 a 就 等于一个什么 c， a 乘以二 r， 对 吧？那由这个式咱们可以是不是尝试着把 r 导出来，咱们看一下，比如 a 就 等于一个 c， a 乘以二 r， 那 咱们来上面替换一下，把这个里面带进去啊，那就是 c a 乘以二， r 乘以一个 c， c 乘以二等于个二，而 c a 乘以 c， c， c 是 一个十六分之七，那就会得到十六分之七乘以一个四， r 平方等于个二，咱们是不是可以把 r 算出来，对吧？ 嗯，那咱们来看一下，算 r 算 r 之后，咱们尝试，因为这个题目里面有什么？有 c、 n、 b、 c、 n、 b， 咱告诉你算出来，那有 r， 有 c、 n、 b， 咱是不可以把 b 的 长度算出来， 因为咱们要算三边周长嘛，要算三角形 abc 周长，咱们肯定要么是分开算，要么要么是线，有的单独算，对吧？然后加起来来，咱们来算一下， r 应该等于什么？ 这个会得到约掉啊，约掉 r 应该等于一个 七分之一个二倍的根号十四啊，这是咱们的 r。 好 了，有 r 了，咱们可以算 b 了，对吧？算 b 啊，那 b 就 等于什么？ b 就 等于 c， b 乘以二 r 而 c b 等于什么？四分之根号七，而二 r 又是什么？注意它二 r， 对 吧？那就是七分之四倍根号十四，该约的一约啊，该约的一约， 那可以得到 b 就 等于根号二。好了，咱们从头到尾把这块的这个值算完，最后得到一个结论， b 等于根号二， b 等于根号二。来咱们整理一下啊，得到 b 等于根号二，那现在我只需要算 a 和 c 就 可以，咱们刚才有 a、 c 的 乘积，那咱们能不能尝试着把这个 a、 c 的， 因为咱们有乘积，对吧？ 那咱们想一看就要联系到什么公式，这个里面好像 a 跟 c 不 能单独算，对吧？那咱们可以尝试去算 a 加 c， a 加 c 出来的是不是也可以？那怎么办？哪里面有 a 加 c？ 而且题目还有考生 b， 或者有 a 方加 c 方也可以，对吧？自然而然就同学们现在就要想到什么东西，哪哪里面有这个 a 加 c， 或者我有 a 加 a 方加 c 方是不是也可以，对吧？我是不是可以导出来？那咱们一定要选个什么东西？域线定里面 b 方等于什么？ a 方加 c 方减二， a， c 考成 b， 你看吧，咱这是不都有 a， c， a 乘以 c 是 有的， b 是 有的，好像 b 也是有的，那这是不就来了？那咱们再直算一下， b 方等于二，那 a 方加 c 方减去一个二乘以， a 乘 c 是 几？ a 乘 c 是 二，那就二乘二，好像 b 是 一个 四分之三会得到 a 方加 c 方等于多少？这个就约掉可以等于五，对吧？ a 方加 c 方等于五，咱们再来算 a， c， 我 给它凑一下嘛，那 a 方加 c 方加二， a， c 等于几啊？ 等于九，可以得到 a 加 c 的 平方等于九，所以对应的 a 加 c 就 等于三。所以这个题答案咱们要去出来啊，答案也就出来三角形 abc 的 周长是 三加上等号二啊，三加上等号，咱们这个十七题啊搞中间，刚好这个十七题出的是有一点建设性的啊，还是很有意思的。涉及到第一问涉及到倒角，第二问尝试着涉及到这个什么 拼凑啊，拼凑，以及这个正弦定里的使用一问啊，把这些咱们学过的东西都都这个利用到了，所以它的综合性是很强的。好了，这个题咱们就讲到这里。
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02:25查看AI文稿AI文稿这是二零一四年文科数学全国二卷的第十二题。这是二零一四年理科数学全国二卷的第十六题。这两题在当年高考试卷中均位于选择填空压轴的位置， 虽然题型不一致，但这两题的内容基本是一样的。这个视频我们将走进这两题的视题命题过程。 当年高考这两题的考情如下，能看出来，无论是理科考生还是文科考生，这题的得分率都只有百分之二十多，说明本题对当年考生还是有一定难度的。你可以先暂停做做这两题， 接下来我们一起来解决这道题。这是这道题的示意图，题干中说，存在点 n， 使得角 o m n 等于四十五度。 换而言之，将 o m 绕点 m 旋转，四十五度的直线与圆是有交点的，而交点也就是题中说的 n。 我 们知道，直线与圆有交点的前提是圆心到直线的距离不大于圆的半径， o m 的 长度一求，就因为角 o m n 等于四十五度，所以根据初中学习的三角函数知识，我们可以求得圆心到直线的距离， 因为这个距离不能大于圆的半径。那么由此不等式我们可以解得本题要求的取值范围。 那么，本题在命题时曾经历了怎样的过程呢？命题方指出，本题在命题过程中曾做了一些简化，将圆简化为了单位圆，将 m 所在的直线简化为了 y 等于一。 而根据右边的动图，我们可以观察到，圆的半径影响的其实仅仅是图像的大小，基本不影响考生解答。本题中考中使用的单位圆仅仅是圆稿的一种特殊的形式， 命题方认为这种改动降低了题目的思考量与计算难度，但并不影响对主要目标的考察。 最后给出本题试题命题过程和考勤数据的参考文献，我们下个视频再见。
21高考求真
01:01查看AI文稿AI文稿热点信息差七百二十多万考生陪考两个小时，到头来只为找出他一个人！出题老师直呼，总算碰到能读懂这套卷子的人了！高考成绩放分之季，今年新高考一卷爆出炸裂消息，整张卷子全国仅诞生一位数学满分考生！ 小说里才有的顶级学霸真的走进现实了！参与这套试卷考试的足足十一个省份，河北、山东、河南、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、广东、福建，合计考生七百二十多万人！基数如此庞大，满分却独此一人， 七百多万人角逐，独摘满分桂冠，这绝对是近几年含金量天花板级别的数学满分一百五十分，仅仅是这位考生实力的天花板，堪称实打实的卷王！真神 出题老师！全网都说，这套卷子是我刻意炫技，到头来真正读懂我出题思路的居然只有他一个人！可想而知，这位考生的数学老师看到成绩怕是笑得合不拢嘴，你当年高考数学最高分多少？
304吉吉热点
01:10查看AI文稿AI文稿一减 i 的 平方分之一加 i 的 三次方等于多少？也就相当于让我们计算一减 i 的 平方分之一加 i 的 三次方， 那一加 i 的 三次方，我们可以先算一下一加 i 的 平方，再让它乘上一加 i， 然后除以一减 i 的 平方，也就等于一减去二 i 加上 i 的 平方， 然后也就等于一加 i 的 平方，就是一加二 i 加上 i 的 平方，再乘上 一加 i， 然后 i 的 平方是等于负一的，所以一减二 i 加 i 的 平方，也就是一减二 i 减一，也就是负二 i 分 之， 然后一加二 i 减一乘上一加 i， 那也就是二 i 乘上一加 i， 除以负二 i， 然后把负二 i 约掉，也就等于负一减 i， 所以 这个计算最后的结果也就等于负一减 i。
12:27查看AI文稿AI文稿这是我国唯一一起的高考试卷失窃案，就在高考的前两天，四川教育局的保密室中的高考试卷离奇背道，中央呢，紧急出动顶级的刑侦专家，全程封锁彻查， 为了公平取件，全国呢，临时换卷，这也就直接诞生了史上最难的高考，数学的平均分只有五十五分，四百多分就能上重点大学， 就连保送清华的学霸呀，都只考了七十多分。这一年的高考，让六百多万的考生是泪洒考场，被迫在第二年进行复读。 那么究竟是何方神圣，他胆子这么大，敢偷国家级的绝密高考试卷呢？那他又是怎么绕过层层的安保，在神不知鬼不觉的情况下作案的呢？今天啊，咱们就来讲讲这件事。 二零零三年的六月三号，当年的高考试卷被押送到了四川南充南部县的教育局，高考试卷那可是国家绝密级的文件，那安保的规格呀，堪比军工机密， 按照规定呢，这试卷必须锁在钢混结构的保密室里，哎，双层门锁，专属封条，并且二十四小时都要专人死看死守， 这理论上呀，是不可能有任何人能够接触到高考试卷的。可是就在两天后，也就是六月五号当天呢，下午一点半，南充市的公安局副局长杨森富，他带队就做考前的最后一轮突击检查 巡查一开始呢，大家看没什么异样，所有人啊，都放心了，因为呢，这个保密室大门封条的完好无损，执守人员呢，也都全程在岗，从来都没有离岗，门窗看着也是毫无异常的，所以啊，大家都做好了准备，哎，收工返程了， 但是呢，这个杨森富呀，他非常的谨慎，他总觉得就是不看到这高考试卷，他心里就不踏实，所以呢，他坚持啊，一定要开门再进行试卷的核对。 这让所有人都没有想到的是呀，当这个保密室的大门被打开的时候，屋内是一片的狼藉，存放试卷的铁皮柜子呀，全都被撬开了，这封条都碎了一地。 在经过紧急的清点之后呀，语文数学英语文宗全套，外加理科的数学理综，一共六套绝密的高考试卷不见了。 这一下子，所有人都慌了呀，因为南充他用的可是全国卷，这就意味着什么呢？一旦这考题泄露，这影响的可不是一个县一个省呀，而是全国范围内使用全国卷的考生。 这事件发生之后呢，中央就火速成立了专项专案组，从全国抽掉了几十名顶尖的刑侦高手，就连国内刑侦泰斗吴国庆都连夜赶往现场作证，指挥 数百数百名干警呀，紧急进入了这个小县城。警方呢，第一时间就对这个案发现场进行了勘查，很快呢，他们就排除了两种作案的可能性。 这第一是什么呀？因为这个大门的封条完好无损哎，执守人员呢，全程在岗，都没有离岗的情况，他也就排除了从正门闯入，哎，还有这个内部人员作案的可能。那既然这个正门进不来，那嫌疑人他是翻墙或者是爬窗进来的吗？ 果不其然，吴国庆呢就发现了呀，这个保密室后方的防盗窗有两根不锈钢的钢筋，被人是硬生生的给掰弯了，哎，刚好就留出来一个人能侧身通过的缝隙， 窗台上还留着一些脚印和指纹，在经过这个技术对比之后呀，这所有的痕迹全都来自同一个人，而且这个人呢身高应该在一七零左右，体型呀十分的瘦小。 根据这以往的经验判断呀，这个偷试卷这大概率都是要卖钱谋利的。于是呢，这警方就兵分两路，一边呀，他们全天候就盯着这个县城里所有的打印店复印店，防止有人复印高考试卷。一边呢，他们在网上高价悬赏求购高考试卷，钓鱼蹲守嫌疑人。 同时呢，警方还大范围摸排周边符合身高体型的这个特征的人员，可是您想想，这么大的一个南充市啊，那人还茫茫的这样的排查呢，那简直就是大海捞针呀。 眼看着这时间一分一秒的过去了，距离全国的高考开考呢仅剩不到二十四小时了，这被盗的试卷始终还是没有找到，那这泄露风险呢，就完全没有办法被排除了， 为了高考这个绝对的公平性，中央呢就果断启动了最高级别的应急遇案，这原定的全国 a 卷全都作废，全国的所有省份统一起用封存多年的备用 b 卷， 这套备用 b 卷呢原本是应对这个极端灾难还有这重大泄密事故时的兜底试卷，他呀是常年封存都不轻易起用的。 这个试卷的试题，这往年用来区分顶尖学霸的压轴难题啊，直接都被挪到了试卷的前半部分。当时考完数学，那许多考生都是哭着出来的呀，这一年数学的满分一百五十分，及格分呢是九十分，结果您猜这全国的平均成绩有多少分？ 五十五分，有一个已经被保送了清华的学霸来体验一下高考，结果呢，他数学就考了七十多分，整整六百多万考生呀，被这场突如其来的变故写了命运，大批的学生啊，发挥失常，只能选择复读。 咱们再说回这个案件的调查情况，警方呀在这个网上蹲守线下排查了很久，他们是既没有发现有人售卖试卷，也没有去复印店复印考题，这呢，也就排除了偷试卷谋利的可能性。 后来没有办法，警方呢，只能用最笨的办法，他们呀，先排查内部人员，所有和教育局有牵扯的职工，保安后勤全都被叫了过来，采集指纹比对。 就在这个期间呢，警方锁定了一个重点的怀疑对象，教育局的电工。因为什么呢？因为案发当天晚上呀，教育局刚好停电了一阵，而这电工呀，他是全权负责电路检修的。更巧的是什么呀，他老婆是教育局的保洁，而且他们女儿正好就是本届的高考生。 这天时地利动机看似全都占满了吧，这嫌疑是不是特别大？可是呢，经过细致的调查，这案发当晚呀，电工一家全都在家，邻居呢都能可以作证，他们的指纹呀，也经过了对比，是完全的对不上。于是呢，他们这个嫌疑也就被彻底排除了。 这内部人员周边的居民全都排查了一遍，依旧是一无所获。就在这破案陷入了绝境的时候呢，当地的一位居民提供了关键的线索。 就在五号的凌晨时候呀，他们家的狗一直朝着窗外的教育局方向乱叫，他呢就往这窗外一看，哎，就看见一个人是鬼鬼祟祟的从教育局的门口经过，哎，往学校的那个方向去了，那个人呢，身高不高，体型呀，十分瘦小， 这不就跟前面的线索对上了吗？所以呢，警方就瞬间锁定了范围，这嫌疑人很可能就是本届的高三应考生。为什么这么说呢？因为只有高考生，他会精准的只偷高考试卷，不碰其他的试卷。还有只有考生，他不是为了倒卖试卷谋利，就是为了自己考试使用。 所以顺着这个突破口呢，教育局就立刻组织全体考生返校填报志愿，然后呢统一采集指纹，建立考生档案，然后再逐一的进行比对破案。就在全员正常采集指纹的过程中啊，一个男生的反常举动瞬间引起了民警的高度警觉， 别的同学啊，都是直接按指纹，唯独啊，一名十九岁的复读生杨博，他的手指呢特别的光滑， 而且他还不停的刻意的搓手，躲闪，推脱，是极度不配合采集工作。他这反常的行为太扎眼了，民警呢就当即要求他彻底洗净双手，然后重新采集指纹。 这对比的结果出来那一刻呀，真相大白，这现场的所有痕迹全都和杨博匹配上了，这个坑惨了全国六百万考生的偷卷贼也终于落网了。 在审讯过后呀，所有人都无比的唏嘘，甚至觉得荒唐又讽刺，因为呢，杨博他根本就不是一名学渣，恰恰相反，他成绩特别的优异，是班里的尖子生。 杨博呢，出身四川农村的普通家庭，父母呀，是一辈子面朝黄土的农民，他们把所有翻身的希望，所有的积蓄全都压在了杨博的身上。二零零二年是他第一次参加高考，发挥失常了，只考上了一所普通的本科，但是他不甘心认命呀，所以呢，他就选择了复读。 在复读这一年，他可是比任何人都拼命，可是再怎么拼命，这成绩始终也提不上去，就是在这个重点线边缘徘徊，并且在高考前的模拟考试中啊，他的成绩波动特别大，只要一上考场，杨博就会警觉，脑子里是一片空白。 他呢，特别害怕高考再度失利，然后辜负家里人的期望。就在这种极致的内耗和焦虑中呢，他动了歪心思。他想呀，与其赌心态赌运气，不如直接偷试卷，然后稳稳拿捏高考。 为了这场偷窃呢，杨伯足足密谋策划了一个多月。他先是提前上网查询了高考试卷的存放规则，摸清了试卷考前三天入库封存的规律。 随后呢，更是多次以咨询考务为借口，混入了教育局进行踩点，熟悉了大楼的布局，还有这保密室的位置，并且这个电路的开关，安保人员的作息，他都摸得一清二楚。他呀，甚至还在教育局的附近专门租了一间房子进行蹲守。 在确认了所有流程无物之后呀，六月五号的凌晨零点三十分，杨博呢携带钳子、刀片等工具悄悄的潜入了教育局大院。 他呢，先是直接切断了保密室整片区域的电源，彻底瘫痪了红外线报警装置。随后呀，他就搬来了一个竹梯爬上了二楼，然后呢，再徒手掰弯了防盗窗的钢筋，然后翻窗进入了绝密保密室。为了混淆警方的视线呀，他掩盖自己文科生的身份， 他呢，不光偷走了自己所需要的文科全套试卷，还特意多偷了理科数学和理综试卷，伪造成了无差别的盗窃。 在回到出租屋之后，呀，杨博士连夜翻看他偷来的这原版 a 卷儿，他发现这题目的难度挺低的，心里啊，也就彻底的踏实了，他笃定自己呢，今年稳上重点大学。 于是在六月七号这天，他是信心满满的走进了考场。结果这试卷一发下来，他就蒙了，因为眼前的试卷和他自己偷来的那那个那套试卷是没有一道题目是重合的，难度那更是天差地别啊。这之前所有的准备全都白费了， 杨博呢只能硬着头皮胡乱答题。这时候他也就反应过来了，这临时换卷说明试卷被盗的事情很可能已经暴露了。在考完试回家之后呀，他就把偷来的所有试卷全都烧毁了，然后这作案的工具呢，也都扔到了河里，哎，想彻底销毁所有的证据。 后来呀，他为了躲避指纹采集对比，他还能自作聪明，在十个指头上啊，全都涂上了五零二胶水，试图呀掩盖指纹，蒙混过关。可是不知道的是什么呀，这种反常的举动呀，恰恰让他直接暴露 在他被补的四天之后，高考成绩公布了，哪怕是面对这史上最难的地狱级试卷，杨博呢依然考出了五百一十五分的高分。 也就是说，什么他不靠偷不靠赌？哎，踏踏实实的考试，上个重点大学，那是没有任何问题的。但是啊，现在这一切跟他没有任何关系了。 最终呢，杨博被依法判处有期徒刑七年，一个本该拥有大好虔诚的尖子生，亲手把自己送进了监狱，沦为了阶下囚。 而这起荒唐的偷卷案件呀，还直接改变了中国高考的整体格局。国家呢，彻底意识到全国一张卷的风险巨大。所以啊，从第二年开始，全国呢，大幅度增加了省市自主命题拆分考卷的风险，彻底杜绝了一省出事，全国遭殃的漏洞。 回头看这桩旷堂又真实的大案啊，只剩下满心的唏嘘。仅仅是一个十九岁少年的考前焦虑，一时贪心和投机取巧，他呢，不仅亲手毁掉了自己的大好前程，断送了自己的青春，更是让全国六百万无辜的考生为他的错误买单。
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05:10查看AI文稿AI文稿这是二零一四年四川高考题平面向量， a 等于一二， b 等于四二， c 等于 m， a 加 b， m 是 实数， 而且 c 与 a 的 夹角等于 c 与 b 的 夹角，那么 m 等于多少向量？ a 和 b 的 坐标都知道， c 等于 m， a 加 b， 而且 c 与 a 的 夹角等于 c， b 的 夹角求 m 的 值， 我们可以画个简图， 这里是一二，那么这是 a， b 呢？是四四二一二三四四二在这里。 那么 c 是 m， a 加 b， 而且 c， a 的 加角等于 c， b 的 加角就是它的角。平分线 大致是这样的，那么就是 看看是角平分线嘛， 长一点嘛，要不就是这样长过来，差不多啊，大致是这样一个状态，那么这里是 m， a 加 b， 那么这两个角相等。两个角相等，我们可以用点积来算。 c 等于 m， a 加 b， 那 么我们可以把这个 c 求出来。 c 等于 m 乘以一二，加上个四，二就等于 m 加四， 还有 r， m 加上二，这是 c， 那 么我们求一下 c 和 a 的 点积。 a 是 a 乘 c 等于 一，乘以 m 加四，就是 m 加四，加上个二乘以 m 加二，就是二的四， m 加四就等于 五， m 加八，这是 a 乘 c 的 点积，那么 b 乘 c 的 点积就等于 这两个相乘四四， m 加四加上四， m 加四二，四 m 加一十六， 四 m 加一十六加四， m 加四就等于二， m 加二十。那么因为这两个角相等，所以 a 乘 c 除以 a 的 绝对值， a 的 摩擦， c 的 摩擦等于 b 乘 c， b 的 摩擦乘以 c 的 摩擦，那么这两个可以约掉。 上面分子部分是 a 乘 c 就是 五， m 加八， 五 m 加八，这个约掉以后就是 a 的 摩擦。 a 的 魔长是根号五二得四，一得一，根号五， 这个约掉了以后就是 r， m 加二十， b 的 魔长是四四一十六加四二十，根号二十， 然后这个跟那个约点就是一个二二乘五，五， m 加八就是十， m 加一十六等于八， m 加二十也就是二， m 等于四， m 就 等于二。这道题利用点记还有向量的坐标表示， 就可以算得出来 m 等于多少。列个方程啊，这个是考察学生对向量基本概念的理解。
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