甲卷数学压轴
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10:13查看AI文稿AI文稿同学们，我们来看一下这个二十四年教过假卷的高考真题啊。以 a、 b、 c、 d、 e、 f、 v 顶点的五面体中，四边形 a、 b、 c、 d 与四边形 e、 f、 v 等腰梯形 e、 f 平行于 a、 d， bc 内平行于 a， d， a、 d 等于四， m 是 终点，对吧？这是二，这是二， a、 b 等二， bc 等于二， e、 f 等于二，然后 e、 d 等于根号十， f、 b 呢的二倍根号三。第一位，让我们证明 b、 m 平行于面 c、 d、 e， 那 我们要证明线面平行，我们是不是可以证明线线平行，根据线线平行， 两条直线平行，那么其中一条直线与另一条直线所在的平面，那就平行了，对吧？那看一下，题案给了我们， bc 呢， 是平行于 d 的， 那 bc 是 不是平行于 dm， 然后 bc 和 dm 都是二，那它是平行四边形，对吧？ bc， dm 平行四边形，那 bm 呢，也就平行于 cd 了，然后 bm 呢，不在这个面， cd 一 中， cd 呢在 cd 一 中，所以说就先边平行了，对吧？那我们来写一下过程， 因为 bc 呢，是平行于 ad 的， 并且都提干给了我们， e、 f 等于二， ad 呢，等于四， m 呢，为 ad 中点， 所以我们能得到 bc 呢，平行于 md 的， 且 bc 等于 md 等于二，对吧？所以四边形 bc， dm 为平行四边形，那所以 pm 呢， 是不是就平行于 c、 d 了？然后我们根据往下面平行的判断定律啊，两条直线已经平行了，那 b、 m 呢，不在面 c、 d 一 中， c、 d 呢，包含于面 c、 d 一， 所以我们是不是就可以证明斜面平行了？ b、 m 呢，平行于面 c、 d、 e。 那 第一份呢，我们整完了，我们看一下第二份， 第二个呢，让我们求二面角的正弦值，那求正弦值，我们是不是可以用向量基础求出它的余弦值，然后根据塞方加口塞方等于，那求这个余弦值，我们是不是可以用面他的法向量和面他的法向量做这个数量积啊？做这个向量积， 那我们是不是得给他们的向量坐标写出来？那是不是得建立直角坐标线？那我们可以做 b o 垂直于 d， 并且交 a、 d 与点 o 连接 o、 f， 那 我们看一下，因为底端给了我们四边形 a、 b、 c、 d 为等腰梯形，对吧？ 我们 bc 呢，平行于 a、 d， 然后又给了我们 a、 d 呢等于四， ab 呢，等于 bc 等于二，那它是 等腰梯形吗？那 c、 d 是 不是等于 a、 b， 所以 c、 d 呢？是不是也等于二？就因为由已知，我们是不是证明了 b、 c、 d、 m 为平行四边形，那 b、 c、 d、 m 为平行四边形，由已知， 那 b、 m 是 不是等于 c、 d 等于二啊？给了我们 m 是 中点， a、 d 是 四，对吧？所以说 a、 m 呢，也是二，那 a、 m 是 二， ab 也是二，所以 abm 是 不是等边三角形啊？ 又因为 a、 m 等于二，等于 ab， 所以 三角形 a、 b、 m 为等边 三角形，因为它是等变三角形嘛。我们做了 b、 o 垂直于 ad， 那 也就是 b、 o 垂直于 m， 它还是等变三角形，所以说 o 肯定是中点的，对吧？所以说 o 为 a、 m 中点， 因为在等边三角形中，如果说它垂直的话，那证明它是中点，所以说 o、 v、 m 中点，那我们要求这个向量，各个向量是不是各个坐标啊？那我们是不是可以把这个 o、 b 的 线段给它表示出来？ o、 b 的 线段就等于根号加 a b 的 平方，减去 a、 o 的 平方，是不是就等于根号三呢？然后又因为题干给了我们， a、 d， e、 f 呢，为等腰梯形， m 为 d 终点，那 a、 d、 e、 f、 a d、 e、 f， 它是等幺梯形，那 e、 f 是 不是平行于 md， 那 e、 f 等于二， a， d 等于四，那 md 也等于二，对吧？ 所以 e、 f 平行于 md。 七 e、 f 等于 md， 所以四边形 e、 f、 m、 d 是 不是也是为平行四边形？ f、 m 呢？它就等于 e、 d 也等于 af， 因为等腰梯形吗？对吧？那所以三角 a、 f、 m 为等 腰三角形， o 呢？因为 o 为 a m 终点， 我们是在这中出来的，对吧？那所以是不是 f o 就 垂直于 a m， 那 f o 垂直于 a m， o f 的 长度呢？我们也能表示出来，等于根号加 a f 的 平方减去 a、 o 的 平方，根据勾股定律嘛，它等于三 啊。又因为是不是 o b 方加 o f 方等于 b f 的 平方啊？那所以我们能得到 o b 呢？也垂直于 o f， 那 o b 和 o f 垂直，我们做了 o b 呢？垂直于 a、 d， 对 吧？垂 o b 垂直于 a、 d， 那 就是 o b 呢？垂直于 o、 d， 这是 o o b 垂直于地，那就是 o b 垂直于 o d， o b 呢？还垂直 o f， 所以 o b， o d， o f 是 不是互相垂直，那它互相垂直呢？所以我们以 o 为圆点， 分别以 o、 b、 o、 d、 o、 f 为 x、 y、 z， 这建立直角坐标系，对吧？那我们把各个点的坐标给他写一下，所以 f 点坐标是零零三， b 点呢，是根号三零零 m 点呢，是零一零 e 点呢，是零二三。 b m 向量就是 m 坐标减去 b 坐标，对吧？ b m 向量等于负根号三一零， b f 呢？ b f 向量等于负根号三零三， b e 向量等于负根号三二三。那我们求一下法向量，我们设 面 b f m 的 法向量为 m 向量， 因为向量法呢，是最简单的 m 向量 s 一 y 一 z 一， 那我们怎么求一个老师写在这啊？我看不到这，我们怎么求？ 他这个向量是不是把他的向量和任意两点的向量相乘等于零就可以了？那 m 向量乘以 p， f 向量等于零，那也就是 那 m 向量 s 一 y 一 z 一 与 b m 向量横坐标 s 坐标乘以 y 坐标相加，乘以 z 坐标相加，对吧？那就是负根号三 x 一 加 y 一 等于零， 它就是负根号三 x 一 加三， z 一 等于零。那我们求法向量的时候，我们可以令 x 一 或 y 一 z 一 都可以，但是我们一定要令好算的，那我们令 x 一 等根号三的时候，它最好算，对吧？ y 一 呢，就等于三， z 一 呢等于一面，它的法向量 m 向量就等于根号三三一， 那同理，我们设面 b m e 的 法向量 为 n 向量 x 二 y 二，这样，那我们也是用两个点的坐标向量，对吧？乘以 b m 向量， n 向量乘以 b e 向量，它都等于零，对吧？那我们给它代入 n 向量和 b m 向量，那也就是负根号三 x 二加 y 二等于零，然后代入 b e 负根号三 x 二加二， y 二加三， z 二等于零，那我们也是令最好算的 s 二的根号三， 那 y 二呢，就等于三，那 z 二呢，就等于负一，所以它的法向量 n 向量就等于根号三三负一。那我们用一下向量机，那 cosine m m 向量乘以 n 向量，是不是就等于 m 向量乘以 n 向量比上 m 向量的模，乘以 n 向量的模，那它就等于三加九减一比上根号下，它方加 y 方 加 y 方加 z 方乘以根号下它的，对吧？它方加它方加它方，那它就等于十一比上根号下十三乘以根号下十三，对吧？那它就等于 十三分之十一。所以那我们根据塞 正弦值三， m 向量乘 n 向量，它的二面角的正弦值是不是等于根号下一减口塞 m 向量乘 n 向量的平方，那等于根号下一减十三分之十一的平方，那它最后算出来等于十三分之四倍， 刚好。三要听我们求了，求二面角的上弦值，这个是最简单的，我们就是要找出垂直关系。嗯，这三条线他们互相垂直，建立直角坐标系，然后求他一个面的发向量和他的发向量，然后用，用到向量机，然后根据向量加口才方的一求出向量的上弦值。
309小冰高中数学
04:46查看AI文稿AI文稿那么结合渭南市二模考到引零点之后一片哀嚎，那么今天的话，少哥给大家去讲我们导数里面非常经典的第二类思想，叫做端点效应，那么我们用到的例题是二零二四年全国甲卷的导数压轴题， 好，那么这一类题我觉得如果引零点你都在学，那么端点效应一定也要学会， ok， 那 我们直接来看一下这道题目，首先他说已知函数 f x 等于这一坨，若 a 等于负二， f x 的 极值，好，那么首先的话 a 等于负二，我们先把这个函数给它换进去，变成一加二 x 乘以任意括号一加 x 减 x。 好，那么研究函数的单调性或者极值，我们肯定是要先搞定域，那定域就是负一到正无穷。好，接下来我们开始求导，那么前导后不导，二乘以任意符号一加 x， 加上后导前不导，也就是 x 加一分之一加二 x， 然后减一。 好，遇到这样的导函数，我们先不要着急啊，先化解一下，加一分之二 x 加一减 x 减一好，整理一下，上面就变成 x， 好， 这个时候我们发现导函数单调性是不是还是研究不出来？哎，我们继续给他配凑化简。 好，然后我们再整理，就变成二倍的令括号一加 x 加上一减去 x 加一分之一，好，这下啊，我们感觉就比较爽了，因为你会发现这一坨是递增的，那么这一整坨 是不是也是递增的，所以增加，增加长数就是增，所以我们发现导函数竟然是一个单调的函数，那就非常开心，导函数竟然是一个单调函数，我们画这样的个草图，那么定域从负一开始， 我们开始是不是搞零点，那零点这种情况就给他试谁呢？是不是让 x 等于零？你会发现让 x 等于零了之后，哎，这个式子整体刚好等于零。 ok， 零点是出来，那意味着我们的单调性， x 在 负一到零的时候， f x 撇小于零，那么 f x 是不低减的，那么 x 在 零到正无穷的时候， f x 撇是大于零，那么 f x 是 不低增的，那么先减后增，我们就会有极差值呢？先减后增是不是有极小值？所以我们此时是不是只有极小值，有没有极大值呢？是没有极大值啊，所以我们说 x 等于零，是 f x 存在唯一极小值。好，那么它极小值也就是 f 零等于多少呢？我们往这个式子里面扔一下啊， 就零啊，对，我们直接写，那 f 零是不是就刚好等于零？ ok， 那 么第一小问，我们就干完了。好，那么接下来我们的重点啊，就来看一下。第二小问，那么第二小问，他告诉你，当 x 大 于等于零时， f x 大 于零。那咱很多同学一想到 f x 大 于零，哎，我直接 大于零，然后参面分离，哦，然后各种求导，各种分析啊，能不能干出来呢？可以，但是非常的难。但是如果说我们换一个词，那么 x 大 于等于零，也就是 x 向右走的时候， f x 大 于等于零，那你想一下，我们要保证这个 f x 必须是单调递差的，是不是必须是递增的， 因为你的临界值是不是在这呢？如果递减的话，就会出现它的值会小于零，因为我们前面不是，我们可以试一下这个断点啊，你会发现，当 f 零 他带进去了之后，他刚好这个式子是不等于零，那意味着这其实就是 f x 的 一个端点，也就是 x 等于零的数，那 f x 这个数我们是要保证人家单调递增的， ok， 所以 f x 单调递增，那意味着我们的导函数 是不是大于零？那导函数大于零，那意味着 f 零撇，他是不是也要大于零？给他求个导，哎，他就变成前导，也就是负 a 乘以棱块一加 x 加上后导，前导也就是 x 加一分之一减 a x， 哎，然后减一， 我们给他带一下，那么 f 零一撇，哎，带进去之后，我们发现，哎，又等于零，那这咋搞啊？好，那 f 零一撇如果大于等于等于零的话，那我们按照刚才那个思想，咱继续给他求导， 那意味着我们是不是要让 f x 两撇，他要大于等于零，那 f x 两撇大于零，那意味着 f x f 零两撇， 那意味着 f 零两撇是不是要大于等于零？好，那继续给它求个等，那 f x 两撇，它等于啥呢？它说等于负的 x 加一分之 a 加上后面这坨分母平方，就是 x 加一的平方，上到负 a 乘以 x 加一减，下到上不倒啊，也就是减一加 a x， 好，后面负一求导就是零。我们稍微整理一下 x 加一的平方分之负 a 减一。好，那我们来看一下 f 零两撇 a， 它等于啥呢？是不是等于负 a 减 a 减一，要求它大于等于零，所以我们此时解出来 a 是 不是小于等于负的二分之一，那遇到 a 的 范围，我们就解完了。 nice。
197邵哥带你学数学
07:31查看AI文稿AI文稿今天给大家分享一道非常有代表性的倒数压轴题，他是来自我们全国高考甲卷的一道题啊，考察了极值点偏移 和函数的构造两个问题，这两个问题通常也是拉开分叉的关键。那很多孩子看到这道题的反应就是求导之后呢，就算不下去了，为什么呢？因为这道题他的难点根本就不在计算上，而是思路的转化。好，那我们来看一下这道高考题 已知 f x 的 解析式。然后第一问要求 f x 大 于等于零，是 a 的 取值范围。 好，我们先来看，首先 f x 给了我们，那我一定要先看它的定义域，分母有 x 还有 long x， 所以 分母不等于零， long x x 要大于零，所以它最后的取值范围 x 就是 属于零到正无穷的。 好，来看， f x 竟然要大于等于零，横乘以，那是不是就告诉我们 f x 它的最小值也要大于等于零？那现在这个问题就变成了，什么时候我的 f x 取最小呢？我们把 f x 的 最小值给求出来，对不对？ 好，那既然是求最小值，那肯定就是要先对它求导，看看它的增减性是怎么样的。好，我们来求一下导， f x 的 导，等于 x 的 平方分之 e x 乘 e x， 再减去 e x 减去 x 分 之一加一。好，我们对它这个式子进行化解一下，等于 x 的 平方分之 e， x 倍的 x 减一，再减去 x， 再加上 x 的 平方等于 x 的 平方分之 e x 倍的 x 减一。你发现没有，后面这个式子 他也是可以提一个 x 出来的，对吧？所以把它加上 x 倍的括号 x 减一，把它进行进行因式分解一下， x 平方分之 x 减一括号倍的 e 的 x 次方加 x。 好， 那这样子写完之后，因为我们 x 是 属于零到正无穷的，分母一定是大于零的， 而这里的 e x 次方加 x， 它也一定是大于零的。所以我现在要讨论的是 f x 它的增减性，其实就是讨论这个 x 减一，它的正负性对不对？好，那就是当 x 属于零到一的时候，我的导函数是不是就是小于零的？那这个是导小于零的时候，我的 f x 的 导它是大于零的， 所以我的 f x 就是 单调递增的。那么姐来画一个图， x 等于一，左边单调递减，右边单调递增，所以我的 x 等于一的时候，我的 f x 是 不是取最小值等于 f 一 等于 e？ 写过来啊， e 减就是减零，再加一减 a， 那 也就是 f 一 等于一加一减 a， 他 是不是要横大于零，也就大于等于零，所以算出 a 的 范围是小于等于一加一的。所以第一问其实不是很难，只需要一个求导，你要明白他求的是最小值的问题就可以解决了。我们来看一下第二问， 他说若 f x 有 两个零点， x 一 和 x 二，那我们证明的是 x 一 乘以 x 二是小于一的，那我们先根据第一问 他的增减性，把他的图像大概画一下，那这样子的话，我们就假设 x 一 是小于 x 二的话， 那既然他有两个零点，那也就是说明我的 x 一 是应该在零到一的范围内的， x 二应该是大于一的。 那这样子又因为我们要证明的是 x 一 乘以 x 二是小于一吗？那也就是要证明我的 x 二是大于一的，那也就是说明一小于 x 二小于 x 一 分之一啊， 那就说 x 二和 x 一 分之一都是在大于一的范围内的，那我们要证明这个式子，那我们知道它在一到正无穷上是单调递增的，那是不是相当于要证什么 f x 二是小于 f x 一 分之一的，那本来 x 一 和 x 二是它的两个零点，那就是 x f x 一 是等于 f x 二的喽？那要证明这个式子，其实就是要证明什么？把它换成同一个变量。 f x 一 是小于 f x 一 分之一的，那我们要证明这个式子，也就是要证明我的 f x 一 减去 f x 一 分之一，它是小于零的，那我们证明这个式子小于零同成立，那我们就令 h x 等于 f x 减去 f x 分 之一，这个时候它的 x 属于什么？ x 是 和这里的 x e 的 范围是一样的，属于零到以上。 那我们现在要求它要横乘力，也就是要求 h x 小 于零横乘力，那也就是要去求 h x 的 最大值要小于零，对吧？好，那我们去求一下 h x h x， 那 我求最大的小于零，那我先求导，它是等于 x 平方 x 减一，乘以括号 e 的 x 次方减去 x 的 e 的 x 分 之一次方加上 x 减一。我就不写这个详细的过程啊，这个求导的话，一般都会的。 好，那我们知道 x 既然是属于零到一的，那这个大于零 x 减一，它是小于零的。小于零的，那求 h x 它的导是大于零还是小于零，那是不是就变成要求 令 m x 等于 e 的 x 次方减去 x 倍的 e 的 x 分 之一次方加上 x 减一，求它的正负心，对不对？那求它的正负心，我们对它进行求导呗。 mx 的 导函数等于 e 的 x， 分 之一次方乘以一减 x， 再加上 e 的 x， 次方加一来看， x 属于零到一，那这个是正的，这个也是正的，这个也是正的，所以整体都是正的。所以 我的 mx 的 导它是大于零的，所以我的 mx 它是单调递增的， 所以 mx 一定是小于 m 一 的，而 m 一 等于零，所以 mx 小 于零。那 mx 一 旦小于零之后，那我的这个式子是不是小于零了？所以也就是 h x 的 导它会大于零，所以 h x 答案叫递增。 所以我的 h x 是 不是一定会小于 h 一 的？那 h 一 带进去，它也等于零，所以我的 h x 就 一定会小于零。那 h x 小 于零，就得到了 h x， 这个是小于零的， 那它小于零，也就证出了这个式子它是小于零横成立的了，所以也就证明了 x 一 乘以 x 二是小于一的了。那对于这类极值点偏移的问题，我们先想它要写证明的是 x 一 乘以 x 二的问题，对不对？那我们先要找到的是 x 一 和 x 二之间的关系， 那 x 一 和 c 关系找到之后，我们要把它转化成为 f x 一 和 f x 二之间的关系，那现在这里面是两个变量，再把它转化成单一变量，这个就是我们做这类题的思路。
568高中~数学曹老师
03:18查看AI文稿AI文稿你信不信今年高考会考欧米伽的趣级范围？停下，认真听三分钟教会你！我们先来看这道二零二二年的全国甲卷选择的压轴题， 函数 f x 在 连到派内有三个截值点，两个零点，让求 omega 的 取值范围。 x 属于连到派，那 omega x 呢？就属于连到 omega 派，那这个整体 omega x 加三分之派，它就属于三分之派到三分之派加 omega 派。 我们可以把 c x 的 图像给画一下，他是从零开始这样一上一下这个区间的起点。三分之派是确定的。三分之派，然后有三个截指点，你看，这里有一个截指点，这里有个截指点，这里有个截指点，所以应该在这条线二分之五派的右边， 然后有两个零点，你看，这有一个零点，这有一个零点，这是第三个零点，所以应该在第三个零点三派的左边，所以就可以得到三分之派加欧米伽派的一个区间。他是大于二分之五派，小于等于三派。 因为这里是 b 区间，所以二分之五派不能取等号，因为取等号的话，他就没有这个截止点了。右边这里三派，他可以取等号，因为就算取了等号，这里也取不到第三个零点。 这个不等式呢，就可以把欧米伽的范围给解出来，它是大于六分之十三，小于等于三分之八。有高一高二的同学呢，可以看一下我橱窗里的教辅。我们再来看一下二零二五年的北京卷，考的也是差不多。函数 f x 呢，它是等于向量欧米伽 x 加上向量欧米伽 x， 这个呢，我们可以用辅助角公式，它就等于根号二倍的向量 omega x 加四分之 pi， 又知道这个是指 f x 加 pi 等于 f x， 这是不是一个周期的世界啊？ 所以 pi 是 它的一个周期，但是不一定是它的最小正周期，也可能是它最小正周期的减数倍。那这个 t 呢？它是等于二 pi 比上 omega， 再乘一个 k， 它是等于 pi 的， 就可以把 omega 给解出来，它是等于二 k， 也就是它是一个偶数，对吧？它是一个偶数。 f x 在 零到四分之 pi 上存在零点， x 属于零到四分之 pi， 那 omega x 呢？它就属于零到四分之 pi 呢？它就属于四分之 pi 到四分之 pi 加四分之 pi omega， 那我们可以把 x 的 图像给画一下，它是从零开始，这样一上一下，那这个区间的起点四分之派大概在这个位置，题目说的是它存在零点，你看那它零点是不是这里派， 所以他的这个终点要在派的右边，所以四分之派加四分之差 omega， 也就是四分之派乘 omega 加一，他是在派的右边，所以他要大于等于派。因为这里是能够取到等号的，所以他取到派的话也是有零点的。 那我们就可以把欧米伽的范围给解出来，他就大于等于三。又因为欧米伽等于二 k， 他 只能取偶数大于等于三，最小的偶数，那是不就是四？所以欧米伽的最小值呢？就是四。选择 c。
789E数数
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04:00查看AI文稿AI文稿二四年全国假卷这道二项式的真题，百分之九十的同学上来第一步就踩坑了。这种题目咱们上来先重点看一下他的问题，是问的是各项系数中的最大值，还是说问的是二项式系数？这里咱们顺便复习一下 a 加上 b 的 n 次密， 它的展开式通向，它的展开式通向是 t， k 加一等于 c n， k 乘以 a 的 n 减 k 次幂，再乘以 b 的 k 次幂。这里重点注意啊，是 k 加一，千万不能写错。那咱们现在回到这道题，根据这个通向公式，那这个题它的 a 是 三分之一， b 是 x， 然后它的 n 是 等于十，对吧？所以它的展开式通向 t， k 加一是不是等于 c 十 k 乘以三分之一的 十减 k 次密，再乘以 x 的 k 次密。如果这个题目他问的是二项式系数的话，那我们只看这个 c 十 k 就 可以了， 但是他问的是各项系数的最大值，所以我们要整体看这个 c 十 k 乘以三分之一的十减 k 次密，必须要带上这个长竖项三分之一的十减 k 次密。那这里我们是不是就可以设它的各项系数， a k 就 等于 c 十 k 乘以 三分之一的十减 k 是 密了？到这里官方给出的标准减法是利用比值法， a k 是 大于等于 a， k 减一项的，然后是 a， k 是 大于等于 a， k 加一项，这个解出来 k 是 小于等于八点二五， 然后这个解出来 k 是 大于等于七点二五，进而推出 k 等于八这个整数的时候， a k 能取到最大值，然后带入这个式子，算出来最大值是五， 也就是他的答案是五。但是的话，如果在考场上我们连续解这两个不等式的话，计算量是比较大的，我这写的是简单一点啊，但是计算起来是比较麻烦的，所以的话这里我们可以用单调性的话去减少一些计算。通过这个式子我们能知道 a k 比上 a k 减一，它是大于等于一的。然后解这一个不等式的话，我们是不是就能知道了 k 是 小于等于八点二五的，那这个的话就是告诉我们什么呢？就是说这个 a k 它是一个先增后减的一个数量，当 k 等于零到八这个区间呢，它是 一直在递增呢，在八往后它是开始成递减形式的，所以就是 k 等于八，就是取到了最大值，直接就锁定了答案，减少了我们一万二的一个计算量。然后这里的话，我重点给大家拆解一下这个不等式，它的一个计算看起来很麻烦，但是我们把它拆解一下，直接口算也能得出来。 a k 比上 a k 减一， 它是不是等于 c 十 k 乘以一个三分之一的十减 k 次幂，然后比上 c 十 k 减一， 乘以三分之一的十一减 k 次幂，这里的话， c 十 k 它是不是等于十的结成？比上 k 的 结成乘以十减 k 的 一个结成。 c 十 k 减一，是不是等于 k 减一的结成？乘以一个十一减 k 的 结成乘 分之十的结成，然后它比上它的话，十的结成和十的结成是不是能约掉？然后 k 的 结成是不是等于 k 乘以 k 减一的结成，那所以 k 减一的结成比上 k 的 结成是不是就等于 k 分 之一了？同理的话，十一减 k 的 结成比上十减 k 的 结成是不是就等于十一减 k 啊？然后这里的话，三分之一的十减 k 次幂比上三分之一的十一减 k 次幂 其实就是它的次数相减，它就等于三，所以这个 a k 比上 a k 减一，就等于十一减 k 比上 k 乘以一个三嘛，这样拆解起来的这个计算量就没有那么大。然后的话，可能会有一些同学 能记得住从这个标准解法里拆解出来的一个二级结论，这个的话我就不过多的去讲了，如果你能记住那个二级结论的话，你可以直接秒掉这个题。我这里的话只讲通用的一个解法，让大家 理清这个题目背后他的整个的一个逻辑。那这道题咱们就讲到这里，如果同学们觉得有所收获，关注一下老师，咱们一起解锁更多的高中数学解题方法。
8000爽哥高中数学![猴子看了也能理解的高考压轴题！ 高考考生不要焦虑！祝下下周参加高考的考生金榜题名！
也以此讲纪念最后的甲卷数学压轴题。manim动画by——天使猫猫酱
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注1：二阶导非负是必要条件的具体证明为，令0<x<m时二阶导为负，则此区间的导数为负，函数值也为负
注2：准确地说，油门强度=加速度=二阶导。挂着倒挡踩油门则代表二阶导为负。
注3：2025年没有甲卷了，所以这道题是甲卷的最后一道压轴题了！
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2024年新一卷数学压轴详解：【24高考数学压轴精确结果——命题人可能都没找到的构造】
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2024年新二卷数学压轴详解：【水硕妹妹也想挑战下讲高考数学题!|会动的数学[天使猫猫酱]】
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本视频为2024年甲卷数学压轴详解。
#数学 #高中 #高考 #二次元 #cos](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/c40d820a6d7fc12e7f0661ad8a65bfef~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2106939600&x-signature=fHcv9GQrnAdfNkFPX7wv%2B01LMMQ%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20261010053507B414EA7B14938131520C)
02:474068天使猫猫酱
06:59查看AI文稿AI文稿上个视频我们讲解了全国甲卷的二零二二年的极值点偏移的大题，那么这节我们来讲一下和叉型呢？该如何去证明啊？那么第一位还是比较简单的，他要我们去求 f x 单调区间和极值，那么唯一一点需要注意的是我们的这个部分，它是一个 负函数，要注意内乘外乘都要求到，那我们求完的 f 撇 x 就 等于 e 的 负 x 加上 x 乘以负的 e 的 负 x， 也就是 e 减 x 乘以 e 的 负 x 方。我们知道指数函数是大于零和成立的，那么这道题 e 的 负 x 是 大于零点乘以，所以说 f p x 正负就由我们的一减 x 来决定。那么这道题我们 x 应该是属于 r 的， 所以说我们由此知道了它是负无穷到一上。我的 f p x 大 于零，我们的 f x 是 递增的， 一到中乘 f p x 小 于零后的 f x 是 递减的，那么由此咱们就能求出它的等角去减，那么它的极值该如何去求极值？它是先增后减，再 x 等于一，除除它的极大值，也就是我们的 f e 等于一分之一。这道题有没有几小值啊？无几小值，所以咱们还得再补充一句，那我们再来看第二个啊。第二个我们先来分析题目，它让我们去求证 x 一 加 x 二要大于二，那么我们该如何去证明啊？我们可以将这两个 x 一 和 x 二分别挪在两边，对不对？那我们只需要去证明 x 二大于二减 x 一 是不是？那我们再来看一眼啊。我如果说要去大于它，我们还得把这个 x 一 x 二的范围找到来， 那么他的范围找到就能帮助我们确定新的这个自变量的范围，那么此时我们应该还要去确定一下函数的大致走向，对吧？那如何去确定呢？我们知道我可以通过一些极限的方式，那我们可以推导一下，比方说当 x 去正无穷值，我们来研究一下这个 f x， 其实它是 e x 分 之 x， 分 母是 e 的 x 是 不是是个指数函数分子是一次函数，我们知道指数函数的增长率是大于一次函数，所以这个函数值应该是趋于零，而且是正的零嘛。 那当 x 趋于负无穷时，分子的 x 是 趋于负无穷，分母的 e x 是 趋于零，所以负无穷除以一个趋近于零的数，它是趋于 负无穷的。那我们说还要确定函数图像，我们再用一个 f 零等于零来确定，那它大致图像是什么？先过了零零点，还过了一 一分之一这个点，所以是先增后减。那所以说我们要有 x 一 不等于 x 二，且 f x 一 等于 f x 二，说明它们应该在哪个部分啊？应该在 这个部分吧。那我们来想想啊，那我可以让这个点为 x 一， 这个点为 x， 所以 x 一 的范围咱们确定就是 x 一 属于零到一， x 二属于一到正无穷。 那么同学们来想一想，我们之前说要证明 x r 大 于二减 x 一， 我们来看它的范围，它是在哪个区间上。我们知道二减 x 一， 也就是 二加上负的 x 一， 那负的 x 一 其实就是属于 负一到零，所以二加上负的 x 一 应该是属于一到二的，所以说他们的范围都是比一大的吧。那同学们一定要注意啊，我们说在求减范围时候，不是用减号，而是用最大加最大，最小加最小，得到新的质变的范围。 那我们要去证明 x 二大于二减 x 一， 我们可以利用它在一到正无穷上是递减的性质， 得到 f x 二应该要小于 f 二减 x 一， 对吧？问题就进行一个转换，那么题目中要告诉我们说 f x 一 等于 f x 二，所以说为了统一自变量的名称，我们进行一个替换，替换成 这个部分，其实我们最后的目标应该集中在哪里啊？就是他们两个。那么现在要去证明函数值的大小，我们可以进行一个代值，将它带入到我们 f x。 解析式中，就有 x 一 乘以一的负 x 一 小于 二减 x 一 乘以一的 x 一 减二。那么其实我们要证明这两个值的大小，我们不妨将它移到同一边，就证明 前半部分减后半部分，它应该要小于零很成立，所以要小于零很成立的话，应该要证明它的最大值也小于零。那么我们不妨就构造一个新的函数，这新的函数我们主要是围绕着 x 一 来说的， 那我们这已经求出来了，我的 x 一 是属于零到一的，所以我新定的函数，它的自变量范围应该也是属于零到一的吧。所以 h x 等于 x 乘以一的负 x， 加上 x 减二乘以一的 x 减二， x 是 属于零到一的。那么要想去求对值时，就得利用导函数求单调型求对值，也就是一减 x 乘以一的负 x 加上一的 x 减，加上 x 减二乘以一的 x 减二。那其实咱们通过一次化简可以得到，就是一减 x 除以一的 x， 四方 加上 x 减一，除以一的二减 x， 那 咱们进行通分，通完分的结果就是一的平方分之一的二减 x， 乘以一减 x， 加上一的 x 乘以 x 减一。那么此时我们说想要进行合并，我不妨将这个后面这个部分提出一个符号来，就变成了一方分之一的二减 x， 减去 e x， 括号乘以 e 减 x， 那 我知道 x 是 属于零到一的，说明这个一减 x 是 大于零的。 那么我们说要想去求得 h p x 什么时候大于零，什么时候小于零，它的核心部分咱们就来围绕着 这款，那我们知道二减 x， 一 是大于一的， x 又属于零到一的，说明二减 x 是 大于 x 的， 那我们的 e x 又是个单调递增的函数，所以就一定有 e 的 二减 x 大 于 e 的 x， 咱们也可以令它为 g x 啊，再求它单调性，所以这个部分大于零，一减 x 也大于零，我们的 h p x 就 大于零和成立，说明 h x 是 单调递增的，那所以就 h x 会小于 h e 是 等于零的吧。 这个不等式的成立，那么自然就能证明我们题目的条件了。所以说这种题目主要是讲究一个转换，将问题进行转化，自然就能得到我们想要的结果了。
64中学数学许老师
13:18
10:36查看AI文稿AI文稿今天我们来看一下这个二四年全国驾照的高考真题，给了一个函数 f x， 让我们求它的单调区间，那求一个函数的单调区间，我们只需要看它的导数的情况，导数大于零呢？这个函数是单调递增的， 那导数小于零呢？这个函数是单调递减的，所以说我们看一下它导数的，嗯， 与零的大小关系。那我们先求一下它的导数等于啥？它的是不是等于 a s 减 a 减绕 s 加一啊？就去一个括号，那它的导数 ax 的 导数是不是就是 a 呀？减去常数项， 它的导数是零，对吧？那绕 s 导数是 s 分 之一，那我们给它约下分，就是 s 分 之 ax 减一， 对吧？这个时候呢， s 是 属于零到正无穷的，因为绕 x 吗？让它存在的前提条件，它肯定是零到正无穷的。嗯，因为 s 属于零到正无穷，那它的分母 s 肯定大于零，我们只需要看 ax 减一 的范围就行，因为 a 是 一个参数嘛。所以说我们得讨论看 a 大 于零和小于零时的情况。那当 a 小 于等于零时呢？把 f p x x 是 正数，对吧？ a 小 于 a 是 负数，一个负数乘以一个正数，它也是一个负数，负数减去一个负数，但它肯定是小于零的，对吧？那所以 f x 是 小于零的，所以 f x 在 零到正无穷上肯定是单调递减的，对吧？ 那我们看一下第二种情况，那当 a 大 于零时， a 大 于零时，我们想要 f p x 大 于零的话，那么是不是就让 a x 减一大于零啊？那 a x 大 于一，对吧？ x 就 大于 a 分 之一，那 s 大 于 a 分 之一的时候， f p f p x 是 大于零的，那让 fa 大 于零，是 f p s 小 于零呢？是不是 ax 减一得小于零，它这个导数才能小于零啊？那 ax 就 小于一，那 x 就 小于 a 分 之一，对吧？ 那 x 等于还是零到中无穷的，所以说 x 得大于零，小于 a 分 之一，那它的导数才能小于零，对吧？所以说 a a 大 于零时， 克斯属于零，到 a 分 之一时， f x 才能小于零。那 f x 是 单调递减的，对吧？ x 属于 a 分 之一到正无穷时，这呢吗？ s 大 于分之一， f p x 才能大于零， f x 呢？是单调递增的， 所以综上所述，我给它总结一下就可以了，对吧？ 当 a 小 于等于零时， f x 的 让，因为它让求单调区间嘛？它的单调递减区间 是不是零到正无穷啊？是这个，对吧？那当 a 大 于零时，这块 f x 的 单调递减区间 是不是就是零 a 分 之一啊？ 然后单调递增区间字太多了，老是省略了，就是 a 分 之一到中午秋。那第一本呢？我们就看一下第二本。 说 a 小 于等于二，是证明 s 大 于一， f s 小 于它横成力，那证明它横成力的时候，我们是不是证明 e 的 s 减一减去 f x 让它大于零横成力，那它是不是就大于它呀？那它大于零 同乘以，那我们看一下，当 a 小 于等于二七， x 大 于一时，那 e x 减一减去 f x， 我 们给它代入，是不是 e 的 x 减一减去 a 被 x 减一，加上绕 x 减一，它是不是因为 a 小 于等于二吗？那 a 的 最大值是二，对吧？那减去一个最大值，那它肯定是不是大于等于等 a 等于二的时候啊， 这个 a 它是小于等于二的，然后这块呢，就相当于 a 等于二，对吧？ 那 a 是 一个小于二的数，那减去一个小于二的数和减去一个二的数，那肯定是不是减去一个小于二的数大呀？ 比如说 a 等于一，那他减，就假如说这是减一，那这是一个式子， x 减一，这是一 s 减二，那谁大？是不是 s 减一大呀？所以这块是大于等于，那我们只需要证， 那他我们已经知道了， a 小 于等于二，是他大于等于他，那我们要证明他大于零乘以，那我们只需要证明他大于零就可以了，对吧？那我们得对他进行求导。那我们利用 g x 等于 e 的 s 减一，减去二， x 加一，加上绕 x， 这个时候呢， x 呢，是属于一到正无穷的，因为 e 的 x 减一嘛， x 减一肯定大于零的， 那我们对它进行求导。 gps 是 不是等于一的 s 减一，减去二，加上 x 分 之一啊？ 那我们看它大于零小于零，我们是不是得看它这是单调递增的还是递减的？那它对它求导吧，还是一个函数，那我们是不是得它对行二次求导啊？那这撇 p x 是不是就等于 e 的 x 减一，减去 x 方分之一啊？就是它的导数是 s 方分之一，对吧？然后这个时候呢，还是 s 属于一到正无穷的， 那我们看一下 e 的 x 的 图像是不是经过 s 的 零， y 等于一，是不是经过？这点是这样的呀？那 e 的 x 减一呢？是不是向右平一个单位啊？是不是就横横过定点一呀？那它这个图像是不是这样的？ 这是一的 x 减一，对吧？那在 s 等于一，一到正无穷的时候，它肯定是不是它是一个大于一的数，那 x 方 x 是 一个大于一的数，那 x 方分之一，它肯定小于一，那一个大于一减小于一，那它肯定是 大于零的，对吧？那这撇撇 x 它的 值是大于零的，所以 g x 在 一到正无穷上是不是单调递增的呀？那单调递增的话，那它的 g x 是 不是一定大于 g 撇一啊？ 一个函数，它在一到正无穷一直是增，一直是增的，那， 那这是一，那任何一个数是不是任何一个数的值是不是都都比这个一的函数值大呀？所以说这撇 x 大 于这撇一，那这撇一等于多少呢？我们把它换成一，那一的零次密 是不是等于一呀？减二，然后加上一，它是不是等于零啊？所以说这撇 x 我 们能求出来它大于零，那这撇 x 大 于零的话，所以说 g x 它在一道正无穷上，因为导数大于零嘛，所以说这个函数在一道正无穷上是单调递增的，对吧？那同理，它也是单调递增的，那是不是任何一个数都比 g 一 大呀？所以 g x 肯定大于 g 一 的，那 g 一 等于多少呢？我们给它代入，这是 g x， 对 吧？我们给它把 s 换成一， 那它就等于一零减二，加一，加上绕 n 一 又等于零，对吧？所以说我们求出 g x， 它是大于零的，那 g x 等于它，那是不是说明它大于零了？那它大于零，是不是就是 e x 减一减去 f x， 那 大于零了，那所以 f x 肯定要是小于 e s 减一横乘以。嗯，第二问呢，我们就做完了 这块呢，就是对它求了两次导，先对，先让它大于零，我们看它的导数，我们 对它求导呢，发现还是含参数没有，没法判断它是大于零或者是小于零，这个时候没法判断的时候，我们对它就再次求导，再次求导的话，我们发现它是一个大于零的，那它大于零，那 gps 是 不是增函数啊？就是如果说 f x 判断它是增的或者是减的，就看 fpx， 对 吧？它大于零就是增，它小于零呢，就是减， 那这也同理，那 gpx 它是大于零，所以说 gpx 是 增的，那 gpx 增的，那 gpx 任意一个值都比这个短点值大，对吧？因为它是增函数嘛。 然后这个端点值呢，正好是等于零，所以说 g p s 大 于零，同理， g p x 大 于零呢，所以说 g x 呢，也是增的， g x 也是增的，那任何一个数它都比它的端点值大，所以说我们又能求出 g x 大 于零， 那 g x 呢？就是它，所以说就它大于零，它大于零呢，就是证明它大于它就是恒成立了。
2331小冰高中数学
09:14查看AI文稿AI文稿来，同学们，我们看一下这个二三年全国甲卷的历期几何的高考真题。这是三棱锥 a、 b、 c、 e b、 c e， 对 吧？那三棱锥上下 边、上下底边这些都是相等的，对吧？说 a、 e、 c 垂直于底面， a、 e、 c 垂直于底面， a、 b、 c 角 a、 c、 b 呢？等于九十度低温，让我们正面 a、 c、 c 一 a 一， 这个面垂直于面 b b、 c c 那 证明面面垂直，我们是不是得先证明线面垂直啊？ 线面垂直，然后这条线所在的平面与这个面垂直，对吧？能推出来，那怎么证明线面垂直呢？是不是平面外的一条直线与平面内的两条相交的直线垂直，所以说这个线面就垂直了，对吧？那我们来看一下， 题上给了我们，因为角 a、 c、 b 呢，它等于九十度，对吧？那所以 a、 c 呢，就垂直于 bc， 又给了我们边 a、 e、 c 垂直于面， a、 b、 c 那边 bc 是 不是在面这个 abc 中，一个线面垂直，这个线就垂直于这个面中的所有直线，对吧？那所以就能推出 a、 e、 c 呢？垂直于 bc， bc 呢？还垂直于 ac， 那 bc 垂直于 bc， bc 还垂直于 ac， 它俩还相交于点 c， 所以 说 bc 是 不是就垂直于这个面？ 那 bc 垂直于这个侧面， bc 还是这个面中的一条直线，所以说就是不是就是面面垂直了？那因为 a、 c 交 a、 e、 c 等于点 c a c a、 e、 c 呢？又都包含于面 a、 c、 c 一 页一中，是不是平面外的一条直线与平面内的两条相交直线垂直， 对吧？所以这个线与这个面垂直，那线面垂直，我们挣出来了。那线面垂直，这条线所在的平面是不是与这个面垂直了，对吧？那因为 bc 呢，是包含于面 b bc， 所以 这两个面是不是就是垂直了？ a c c e a e 垂直于面 b b c e c， 这个呢，我们就用到的是两个判定定律，一个是线面垂直， 怎么正线面垂直呢？平面外的一条直线与平面内的两条相交，直线垂直，所以说这条线和这个面垂直，那线面垂直推面面垂直呢？这个线所在的平面与另一个平面垂直，对吧？所以说第一个我们整完了，我们看一下第二个 第二问呢，告诉了我们， ab 呢等于一 b， 对 吧？它俩相等，然后 a 一 呢等于二，让我们求四棱锥 a， b， bc 的 高，那以 a 为顶点，以这个 底面这个面为底面，求它的高，对吧？那我们是不是过一点，得有一条直线是垂直这个面的，它才是高，对吧？那我们可以做过一点， 过一点做 a e， 可以 设置垂足为 o， 对 吧？ a e o 呢？垂直于 c c e， 这是我们做的辅助线，然后垂足呢为 o， 我们怎么证明这个 a u 是 它的高呢？是不是得证明这个 a u 垂直于这个面啊？对吧？那它就是这个四棱锥 a 一 b， b， c， c 的 高了，那我们怎么证明这个线面垂直呢？我们第一问是不是得到了这个面面垂直，根据面面垂直呢？我们得到线面垂直，是不是 两个平面垂直？如果一条直线垂直于这个两个平面中的交线，也就是说 c c， 那 么这条线就与另一个面垂直了，对吧？那我们可以来写一下，因为 根据第一问，我们正出来了面 a， c c， e， a 垂直于呢面 b， b、 c， e、 c 两个面垂直，并且这两个面 a、 c、 c e a 交面 b， b， e、 c、 e、 c 是不是他俩相交于 c、 c 一 呀？呃，两个平面垂直，则一个平面内的一条直线与这个平。两个平面内的交线垂直，则这条直线垂直另一个面，对吧？那他俩相交于 c、 c 一 了？切一， 我们又做了 a、 e、 o 垂直于 c c， 对 吧？又因为 a、 e、 o 呢？是包含于面，是在这个面 a、 c、 c 一 a 一 中的，所以说 a、 e、 o 就 垂直于面 b、 b 一 c 一 c， 对 吧？两个平面垂直。再说一遍这个性质，两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的，这个直线与另一个平面垂直，对吧？那 a、 e、 o 垂直这个底面我们正满了，所以说 a、 e、 o 为四棱锥 a， e、 b， b， e、 c、 e、 c 的 高，对吧？那我们只需要求这个高就可以了，那我们可以看一下，怎么求这个高呢？嗯，题干给了我们，对吧？ ab 等于它，它俩相等， 它又是一个公共边， a、 e、 c 呢？又垂直一个底面，那 a、 e、 c 垂直这底面，是不是垂直这地面的另一条线啊？对吧？那 a、 e、 c 肯定垂直这个 a c， a， e、 c 垂直这个 bc。 那 在直角三角形中，如果说他们的斜边和一条直角边相等，那这两个三角形是不是全等啊？对吧？那全等之后， a、 e、 c 是 不是就等于 a、 c 了？那 a、 e、 c 和 a c 是 相等的，这块是二，那根据勾股定律，我们是不是能求出它呀？ 对吧？能求出这两个边，那他俩都是，应该都是根号二，对吧？那他是根号二，然后在这个三棱锥中，他是根号二，那他也是根号二，对吧？那 他知道了，他知道了，他俩相等，然后这呢还是垂足三线合一，这是终点，对吧？那这是终点。根据两个过股定律，我们是不是就能求出这两个边？我们也知道了，对吧？那他俩知道了，那这个高根据过股定律是不是也能求出来了？那我们写一下，我们证明了 u 呢是高，因为 a、 e、 c 垂直于面 a、 b、 c， 对 吧？然后 a、 c 呢和 b、 c 呢？都在 都包含于这个面 a、 b、 c 中，所以 a、 e、 c 垂直于 a、 c， 对 吧？ a、 e、 c 呢？垂直于 b、 c， 因为它俩垂直嘛，所以说它是这个直角三角形，它俩都是直角三角形，直角三角形呢？又因为 a、 b 呢等于 a、 b 这题干给的我们，对吧？然后 b、 c 呢为公共边，在直角三角形中，如果说 斜边相等，其中一的另一个直角边都相等，所以说这两个三角形 a、 b、 c 呢，就全等于三角形 a、 e、 b、 c， 那 这两个三角形全等，所以说 a、 c 就 等于 a、 e、 c， 对 吧？ 又因为给了我们 a a 一 等于二，那我们设 a， c 等于 a， c 等于 x， 那 所以在这个三角形 a、 e、 c、 a 中， 是不是 a、 a 一 的平方就等于 a、 c 方加上 a、 e、 c 的 平方了？那也就是四等于 x 方加上 x 方，所以我们能解出 x 应该等于根号二，对吧？ 所以 a、 c 就 等于 a， e、 c 等于 a， e、 c 等于根号二，那 a、 e、 c 呢？ 那 a、 e、 c 的 根号二 a、 c 等于根号二，这块又是垂足，对吧？又是高，又因为 a、 e、 o 垂直于 c c、 e， 所以 o、 v 是 不是 c、 c、 e 的 终点呀？那么 o、 c 一 是不是就等于二分之一？ c c 一 是吧？ c c 一 呢，还等于二分之 a a 一 a 一 呢，等于二，所以说 o c 一 呢，我们能求出等于一，那 o c 一 等于一这块是根号二勾股定律，我们是不是已经求出高了，对吧？那所以 a e o 呢，就等于根号下 是不是 a 一 c 一 的平方减去 o c 一 的平方，对吧？那等 a a 一 c 一 的平方是高，二的平方是二，对吧？减去 o o c 一 o c 一 是一，一的平方等于，那他呢，就等于一，对吧？那高 a 一 我们取出来了，等于这道题呢，我们就做完了。
355小冰高中数学
12:17查看AI文稿AI文稿同学们看一下这个二二年全国假卷的高考真题，已知函数 f x 给了我们。还有一个 g x 的 函数说曲线 y 等于 f x， 再点 x 一， f x 一 出的切线也是曲线 y 等于 g x 的 切线。 看第一问，他给了我们 x 一 等于 f 一， 那当 x 一 等于负一时，那切点对吧？ y 等于 f x 的 切点 x 一 f x 一， 那也就是负一，把负一给他带入到这个里面，他等于负一零，对吧？问，求他的切线，我们就知道他的切线方程斜率是不是等于他的导数， 那我们给他的导数求一下。因为 f p x 等于 x 的 立方的导数是三， x 的 平方减去 x 的 导数是一，我们导数求出来，那我们想知道切线的斜率是不是在切点处的导数，那 k 呢？就等于 f 撇 x 一 x 一 的负一，就是 f 撇负一，那他就等于把负一给他带入二，那这个切线方程的斜率我们知道了，切点呢？也知道了，那我们是不是把那个切线就能求出来了？所以 y 等于 f x 的 切线 方程，我们知道了，它就等于 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？ k 是 斜率， k 是 二，那就二 x， 然后把它给它代入，应该是二 x 加二的时候 y 的， 所以说切线方程是 y 等于二， x 加 y 的， f x 再点，它出的切线也是曲线 g x 的 切线，那他俩切线相同，是不是就是斜率一条线吗？对吧？那斜率是相同的，那切点那肯定是不同的。 那我们知道 f x 的 切点呢？是 x 一 f x 一 处，那我们看一下 g x 的 切点呢？我们设 切线与 g x 切于点 x 二， g x 二，那斜率 k 是 不是等于 g p x 二的导数，那也就是跟这个切线相同的，对吧？那斜率都是等于二，那 g p x 二我们知道了，我们算一下 g p x， 因为 g p s， g x 的 导数等于二 x， 对 吧？二 x 加上 a， a 是 常数，向常数下的导数为零，所以说 g x 的 导数它就等于二 x， 那 我们根据已知， g p x 二等于二， 因为这撇 x 二等于二， x 二等于二，所以 x 二呢，等于一，那切点呢？所以 y 等于 g x 一 切线方程的切点 就变成了一，这一对吧，因为切点呢，他肯定也是在这个切线方程上。切线方程呢， f x 和 g s 一个切线方程，都是 y 等于二， s 加二，那我们把切点代入，把切点代入切线方程， 那这不是 s 等于 y， 就是 x 等于一，对吧？等于二加上二， 对吧？那这一呢，我们再给他带入这个圆方程，这一呢，他是等于一加 a， 所以 一加 a 等于四，那我们就能求出 a 等于三。那第一问呢，我们就做完了，我们再看一下第二问，那他告诉我们求 a 的 取值范围， 那根据已知条件呢？我们只有我们只知道 y 等于 f x 的 切线与 y 等于 g s 的 切线，它俩是一个切线，那我们先把它们的切线表示出来，因为 f p x 呢，是不等于三 x 的 平方减一， 所以切线的斜率 k 呢，就等于 f 撇 x 一， 对吧？那那就等于三 x 一 的平方减一，那切线的斜率呢？我们知道了， k 等于三， x 一 方减一，那切点呢？是不是 x 一， f x 一 啊？那把 f x 一 给他带入这里边，就把 x 换成 x 一， 对吧？那就是 x 一 的立方减去 x 一， 所以切线方程 方程就是 y 减 y 一 等于 k 倍的 x 减 x 一， 这个呢，就是 x 一， 这就是 y 一， 对吧？所以说切线方程就只是 y 减去，减去一个整体，一定要加括号 x 一 的立方减去 x 等于 k 倍的，那 k 就是 三 x 一 的平方减一，再乘以 x 减去 x 一， 所以我们给他整理得呢？ y 呢，就等于三 x 一 的平方减一乘以 x， 对 吧？再减去二 x 一 的地方， 那 y 等于 f x 的 切线方程我们求出来了。 y 等于 f x 的 切线方程呢？ y 等于 g x， 它们切线方程是一样的，跟第一位一样，也是我们设切线方程 与 g x 切于点 x 二， g x 二， 那因为 g x 的 导数呢，它是等于二 x， 那 切线方程的斜率 a， 它就等于 g 撇再切点的导数，对吧？ g x 二，那它等于二 x 二方程我们是不是也能求出来了？ 知道了 k 和节点 x 二，对吧？ g x 二，把 g x 二代入，那就是 x 二， x 二的平方加有了斜率，有了一个点坐标，所以说我们又能写出切线方程，所以切线方程 是不是还是它呀？那就是 y 减去括号 x 二的平方，加 等于 k 倍的 k， 就是 二 x 二，对吧？ x 减 x 二，我们整理一下，所以就是 y 等于二 x 二， x 减去 x 二的平方 加上 a， 那 根据 g x， 我 们求出了切线方程，那根据 f x， 我 们又求了一个切线方程，它俩的切线方程呢？都是一个切线方程，所以说它们是不是完全相等的？那它俩 他俩完全相等，我们是不是就可以列到一个式子了？那前边 x 的 系数是不是相等，对吧？长相的系数相等，所以说我们能列出三 x 一 的平方减一呢，就等于 二 x 二，那负二 x 一 的立方呢，就等于负的 x 二的平方加上，那我们给他俩一整理呢？把 x 二换成二分之 三， s 一 方减一，对吧？然后我们能整理出 a 呢，就等于把这个 s 二换成上边这个，所以 a 呢，就等于 x 二的平方 减去二倍的 x 一 的立方，对吧？然后我们把 x 二再换一下， x 二呢，就是二分之三 x 一 的平方减去二分之一的 平方，再减去二 x 一 的立方，然后我们开方，他就等于四分之九 x 一 的四次方减去二倍的 x 一 的立方减去二分之三 x 一 的平方加上四分之一， 那 a 我 们求出来了。第二问，让我们求 a 的 取值范围，对吧？求它的取值范围，那我们利用 h x 呢，就等于 a， 它呢就等于它就等于这个长式的四分之九 x 一 的四次方减二 x 一 的立方减二分之三， x 的 一的平方加上四分之一，就相当于求 a 的 范围，就相当于求它的值域，对吧？求它的值域，我们得看它的单调性，看它的最大值和最小值，对吧？那这个时候我们是不是得利用导数啊？所以我们对它就一下求到，那 h 撇 x 呢，它就等于九 x 一 的立方减去 六 x 一 的平方减去三 x 一， 对吧？那我们都提出一个三 x 一， 那 呃，也是分解一下就变成了三 s 一 加一乘以 x 一 减一，那 h p x 就是 它的，对吧？我们判断它的单调性，那我们令 h p x 呢大于零解一下方程，所以 能求出 s 一 呢，是大于负三分之一小于零的，或者是那 s 一 是大于零呢？所以 s 取之范围就是 x 一 小于负的三分之一， 或者是 x 一 大于零小于一，对吧？那我们根据它是不是能知道关于 x 一， h p x 一 和 h x 一 它们之间的关系啊？那当 x 一 属于 负无穷，从负无穷写到正无穷，对吧？从负无穷到负三分之一时， h p x 它是小于零的，它是负数，那负数呢？它就是单调递减的，然后取一个极小值，对吧？负三分之一，然后再取负三分之一到零，是在这，对吧？ 再负三分之一时，它是极小值， h p s 呢，是等于零的， h x 呢，给它代入是等于二十七分之五。 由负三分之一到零呢？ h p s 大 于零，所以说它是正数，它是单调递增的。在零的时候呢，取得极大值， h p s 呢，等于零，它呢等于四分之一，然后到零到一的时候呢， h p x 呢，还是小于零的， 他还是递减的，对吧？然后取一的时候呢，他又取了一个极小值， hps 一 等于零， hps 一 呢？ hs 一 呢，等于负一，然后到一到正无穷的时候呢？ h 倒数是正数，它是单调递增的，那我们看一下 这个数，比如说这是负的三分之一，这是一，这是负一。那从负穷到负三分之一时，它是单调递减的，在负三分之一时，它取二十七分之五，那假如说， 那它这个图像是不是先单调递减，对吧？这呢就是取负三分之一，二十七分之五的时候，然后呢， 在负三分之一到零的时候单调递增，在零的时候呢，取得四分之一，那他就是这样的，对吧？这是四分之一，这是二十七分之二十五。然后在零到一的时候呢，他又是单调递减，在一的时候呢，他的负一，那他又单调递减，就是这样的，对吧？然后从负一到中无穷呢？又单调递增了。 那我们看一下求 a 的 取值范围，也就是说 h s 一 h s 一 的取值范围，那 h s 一 先减再增，再减再增，它的取值范围，它的最大值是不是正无穷啊？对吧？那它的最小值是不是在这啊？ 在 s 一 等于一的时候，取得最小值等于负一，对吧？所以 h s 一 的值域 我们就能求出来了，为负一到正无穷，那我们令了 h s e 就 等于这个 a， 所以 a 的 取值范围呢，就是负一到正无穷。 所以知道 t a 的 取值范围，我们就求出来了。 t 呢，也比较简单，它呢，主要就是围绕 y 等于 f， x 在 d， s， e， f e 处的切线是曲线， y 等于 g， s 的 切线就是它俩的切线方程都是相等的，我们就是围绕这个能求出 a 的 取值范围， 能求出 a， 给了我们一个式子，求它的取值范围，也就是求它的值域。求它的值域就是看它的单调性，递增递减，看极小值和极大值，所以说我们就能求出来。
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