江苏高考数学答案解析
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37:20查看AI文稿AI文稿二零零八年到二零二零年江苏卷高考真题没有什么好介绍的，需要的自然就懂，因为大家的时间和精力有限，只是和高分段的同学作为拓展使用。 and then i'm going to go back to my computer。 看你身开月落 无人心在爱怕 一 颗 心会出家 的风冷冷 夜风冷冷冬。
86青衿学长
09:18查看AI文稿AI文稿前三个小题十二分考试内容包含集合向量负数。我们用大写的字母 a、 b、 c 表示集合，比如说集合 a， 它中包含 a、 b、 c 用小写的字母表示里边的元素，那么元素与集合的关系用数余。比如说集合 a 等于一， 那么一就属于集合 a。 而集合与集合之间如果有包含关系的话，那就用包含余，包含余这样写。 比如集合 a 等于一，集合 b 等于一二，那么集合 a 的 一就包含在集合 b 中，所以 a 包含于 b， 开口向谁，谁就大。集合中的元素个数如果有 n 个的话，比如说 集合 a 里有一、二、三、四、五五个元素，那么它元素的个数 i 就 等于五，那么集合 a 的 子集个数就是二的 i 次方。 i 指集合中的元素个数正子集二的 i 次方减一，非空正子集二的 i 次方减二。两个集合 取相同部分叫交集。两个集合将所有不同的部分加起来，称为并集。补集 c、 u、 a 指的就是集合。有理，除去 a， 我 们常见的数集有实数集，也就是 r。 我 们目前学到的所有数都是实数，实数分为有理数、无理数、有理数。有大小的字母 q， q 又分为整数和分数。整数用 z 去表示，整数分为正整数集，那就是 z 加，那么 这里面有一个特殊的内容，正整数和零加起来是自然数级，所以最小的自然数是零。自然数级用 n 表示，那么正整数就可以用 n 加，所以正整数级可以用内加或 n 加表示。如果一个集合中没有元素，我们称它为空集。画一个圈，斜着斜杠 我们看这里需要特别补充的是，集合中的元素要具有互异性，也就是说集合中不能出现两个一模一样的元素，比如说一和负一的绝对值是不能在同一个集合中出现的，那考点会考，比如说一个题目 告诉你，一与 a 组成了一个集合，那么这个 a 就 不能等于一，前面能推后面他就充分，后面能推前面他就必要。我们看及时的集合的表示方法， 可以通过区间去表示小括号表示取不到等号。中括号表示能取到等号。在数轴上，我们用空心来表示小括号，也就是取不到。用实心来表示中括号，也就是取得到。 这里如果一个数它可以无穷小，我们称它为负无穷。比如说 x 小 于二，就可以用负无穷到二。 x 小 于二，最大值就是二，所以它最右边就是。那如果一个数大于等于负一，我们称它为负一到正无穷，因为它右边可以无限大。集合用大括号去表示， 只有区间才会用小括号和中括号。向量是一个有方向有大小的量，如果说两项量相加，那他们就要首尾相连。比如说 向量 a， 起点是 a， 中点是 b， 我 们要在这个小写的字母 a 上加一个箭头。向量 a 加上向量 b， 就 要用首尾相连，连起来之后箭头指向后者，比如 a 加 b， 那 我们就指向 b， 而向量的减法他需要起点相同，比如说向量 a 减去向量 b， 将他们的箭头连起来之后，我们所得线段上面加的箭头要指向前者，比如 a 减 b， 就 指向 a。 而两个向量之间的夹角，我们要让它们起点相同之后的那个角度才是它的夹角。 a 向量乘 b 向量，我们称它为数量积， a 向量乘 b 向量，这是在不知道坐标的情况下，用 a 的 膜，也就是 a 的 长度乘以 b 向量的膜，再乘以口算 e、 c， 它反之通过它变形，口算 e、 c， 它就等于两项量相乘，除以它们两的模相乘。当知道两个向量坐标的时候，我们看加法就用两坐标的。 当知道两项量坐标的时候，两项量相加，就用它的横坐标加，横坐标加，纵坐标相减也是同理。两项量相乘，就用横乘，横加上纵乘。纵向量的模等于横坐标的平方加，纵坐标的平方开根号。而这个时候有一个特殊的点， 如果两个向量是垂直的，那他们相乘就等于零。如果两个向量是平行的，那外向基就等于内向基，你就是括号外面两个相乘，等于括号里边两个相乘。来看第三个知识点，负数负数内可以用 a 加 bh 表示， a 是 十步， b， i 是 它的虚数部分，但是虚部只有 b， 不是 b i、 z 也可以用坐标表示，实部放在横坐标，虚部放在纵坐标，我们用字母 z 去表示负数，那它的共二负数就是 z 上面加一横 z 的 公位，负数与它实部相同，虚部互为相反数，那么两个负数也可以相加。同理是十加十，加上虚加虚 i， 两负数相减，也就是十减十， 加上两个都是加号，加上虚减虚矮。两个负数相乘，我们直接乘，把它当做数字一样去计算，两个负数消除，那就是上下同乘分母的共恶负数。 负数的模等于根号下 a 方加 b 方就是实部的平方加虚部的平方。而我们需要单独注意的是， i 方等于负一，那如果我们需要去算 i 的 几次方，比如算 i 的 二零二五次方，那我们就将 i 平方先写出来，然后用二零二五除以二，会发现它是除不尽的，它等于一零一二， 在余上一余几，我们就乘 i 的 几次方，这个一零一二照常写在括号外面，这样我们就能算出来， i 平方是负一负一的一，一零一二次方乘以 i， 那 就是负一的偶次方，还是一一乘 i， 答案就是 i 负数有几个变换是非常重要的，我们需要看一下负数，一般用 a 加 i 去表示，如果 a 等于零，就代表实部不存在， b 不 等于零，那说明只有虚部是存在的，那么它就是纯虚数，只有虚数。纯虚数，那如果 b 等于零的话， 他就发生了改变，那说明 b 等于零，就没有虚步了，只剩十步，那他就是一个实数。如果两个都不为零，他就是一个普通的复数，也就是虚数。我们每个知识点找一道题目来讲解一下， 比如说一模的第一题，问下列关系正确的是， g 和 a 是 二零二五所有运动员， g 和 b 是 男运动员， g 和 c 是 女运动员，那我们可以得到的是， 无论是男运动员还是女运动员，他都是运动员，所以 b 和 c 都是 a 的 子级。那我们看哪些关系正正确的？第一个，他说 a 是 b 的 子级，这是错的，开口向谁，谁就大， b 是 c 的 子际也不对， a 与 b 相交于 c， 运动员与男运动员，共同点是他们都包含男运动员，所以也不对。我们看 d， b 和 c 并起来，并就是加起来的意思，相同元素只算一次啊。 b 与 c 加起来，也是男和女运动员加起来，那就是所有运动员选 d。 第二题，向量与向量互相垂直，我们就可以得到 a 向量乘以 b 向量等于零，而 a 向量乘以 b 向量是横乘以横，也就是负。一乘以 x 乘出来是负 x 加上纵乘以纵，也就是三乘以六加起来是十八，它等于零，那 x 就 等于十八选 b。 而第三题，我们来看 z 加 z 的 共和负数。如果说我们设 z 等于 a 加 b i， 我 们将这道题里边的式子化成 我们这个 a 加 b i 的 形式，那么两倍的 z 加上 z 的 公函数数，那就是 a 加 b i 加上公函数数，那就是 a 减 b i。 两个相加 b i 负 b i 就 没有了，那就是二乘以二 a 加上三倍的 z 减 z 的 公函数数，那就是 a 减 a。 十步没有了 b i 减去负的 b， i 变成了二 b i， 它是等于四加六 i。 那 我们看一下怎么算，分成左右两个部分去算。对于负数而言， 左边是四 a， 右边是六 b i， 它等于四，加上六 i 的 话，那就是十步等于十步。四 a 就 等于四 a 就 等于一，虚步等于虚步，也就是说六 b i 等于 b i， 那 这样一来， b 也等于一，所以这道题它的 z 就 等于一加上 e i， 也就是 i 选 c。 再来看二模的第一题全集， u a 与 b 都是 b 的 子集，也就是方框为 u， a 和 b 都在 u 里边， a 是 左边圆， b 是 右边的圆。 对于不能快速表示阴影部分的同学而言，排除法是我们做这道题最好的方法。比如说 a 选项，阴影部分为 a 与 cub 的 交集，我们先将 cub 算出来， cub 那 就是 u 里边除去 b 的 话，那就是 b 这个圆外面的部分。 c u b 和 a 的 交集，那就是这个部分。很显然我们的阴影部分不是这一块，所以 a 选项不对，我们看 c u a 就是 由里边除去 a， 那 就是 a 外面的部分和 b 的 交集，那刚好就是这一段。所以这道题我们应该选 b。 我们来看第二题，负数，已知负数 z 大 于零。负数本身是不可以与数字比较大小，它没有大小之分，可以比较就代表它是一个实数，是实数，那虚部就等于零，所以 a 方减一等于零， a 方等于一， a 可以 等于正负一。 但是这道题我们看一下，那说明我们刚刚说过，它如果可以比较大小，那它一定是个实数，这个这里就没有虚数部分，所以 z 就 等于一或者负一， 我们将这两者分别代入我们需要求的里边。负数二加 i 乘以 z i， 如果 z 等于一，那就是乘以 i， 它就等于二。 i 加 i 方，那就是负一加上二 i， 那 它的模就是根号下负一的平方一加上二的平方四，也就是根号五。 而我们看一下 abcd， 只有 a 是 根号五，而这是一个单选择题，每一题都给了我们一个答案。做一道选择题，我们不需要再去验证负一是否是谁。如果基础比较薄的同学想要稳拿前三小题，可以将这些真题每年选择几道题拿出来做一下。
113Rainrain
14:23查看AI文稿AI文稿同学们，我们今天来看一下这个十六题跟第十七题，那如果有做过的同学，我们主要是看一下这个讲解，以及我们的思路，就是如何做出来，为什么要这么分析，对不对？你也会有不同的收获。那比如说我们第十六题， 若实数满足不等式，十六减二十四 a 小 于等于负九 a 方，那求第一题，那我们减 第一问，我们把原式照抄一遍，小 a 等于负九 a 方，那我们先给他移项， 是不是九 a 方减二十四 a 加十六小于等于零。你写到这边的时候，你就应该发现我们这个九 a 方是不是可以写成三 a 的 平方，那减二十四 a 加上四 a 方小于等于零，你可以发现它是一个什么？ 那是一个完全平方式，三 a 减四的平方，小二等于零，你如果没有发现也没关系，你这边如果用十四相乘来做也同样可以。 我们把这个十六拆成负四跟负四，那九 a 方拆成三 a 跟三 a， 那 你看交叉相乘是不是也等于负二十四 a， 那对应三 a 减四乘，以我们的三 a 减四，不也是三 a 减四的平方吗？对不对？那我们这边相当于用了一个什么？那我们这边相当于直接用了一个 a 方减二 a， b 加 b 方，它就等于 a 减 b 的 平方，那我们用的是这个式子， 哎，对印接着往后看，那大家想一个数的平方怎么可能会小于零呢？对不对？那平方肯定是大于等于零的，那所以我们要干嘛？那我们这边他只有可能是等于零的，那三 a 减四等于零，那三 a 等于四，那从而得到我们的 a 就 等于三分之四， 那这个就是第一问。接着我们看我们的第二问解，关于 x 的 不等式 log 以 a 为底的， x 的 平方加一小于 log， 以 a 为底的二， x 加九。那大家只要看到这种 log 以 a 为底的形式，那这个括号里面呢？永远都是大于零， 所以你写 x 的 平方加一，那对于我们这个大于零，那还有什么？那大家记住。呃，如果那给大家写全一点， 那如果当我们这个 a 是 一个零到一之间的数，那它就是一个减函数，当我们 a 大 于一，那整个函数就是一个增函数， 那通过知道这个增减函数有什么作用？那大家记住，减函数需要变号，增函数就不变。比如说这个是方框里面写的是 x 一， 这个是 x 二，那当 a 在 零到一的时候，那我们就需要变号，那也就是 x 一 大于 x 二，所以我们从小与变成了大于， 那如果我 a 大 于一的话，就是不变，那对应我的 x 一 还是小于 x 二，大家只要记住这个形式就可以， 那对应我们此时这第一问求出来， a 是 不是三分之四，那所以它是大于一的，对不对？那所以我们是一个什么函数？增函数，那么不变符号，那原来是小于我们对应这个方框，还是小于右边这个方框， 那可以得到 x 的 平方加一小于二， x 加九，对不对？那接着你再列一个方框，把解集给写出来，那有很多同学他这个东西不会解，那你想一下，平方是不是肯定是大于等于零的，对不对？那他再加上一个一，那他肯定大于零啊，对不对？ 那所以我们其实第一个解出来就是 x 除以二，就是你不管 x 取什么数，它都是大于零的。那第二个的话，你一个项二 x 加九大于零，那二 x 大 于负九，那 x 是 不是大于负二分之九 来对应第三个？大家写好一点，那对应第三个，那大家解的过程都写在草稿本上就可以了。那对应我们 x 的 平方加一小于二， x 加九，那一个项 x 的 平方减二， x 加一减九小于零， 那 x 的 平方减二， x 减八小于零，对不对？那这个怎么做？那用十字相乘法把这个负八拆成负四跟二，那为什么拆成负四跟二？因为我们负四乘以二等于负八，那这边 x 平方拆成 x 跟 x， 那 我们交叉相乘， 负四， x 加二， x 是 不是就等于中间的负二 x， 那 对应我们就写成 x 减四乘以 x 加二小于零，那解出一个负二，解出一个四来， 那又因为我们的二次项系数为什么为一，所以开口朝上，那这边是负四，这边是，这边是负二，这边是四，那小尾零，我们是取中间那所以是负二小尾 x 小 尾四，那写到这里我们怎么办？我们是不是三个条件都要满足？那我们就取交集。 大家把这个竖轴一定要画到自己的草稿本上，不要画到题目上，不要画到我们的这个答题区域。负二到四，负二分之九搁这边，因为负二分之九不就是负四点五吗？在我们负二的左边，大家注意这边这个空心， 那大家看一下重合的部分，是不是还是负二到四，对不对？那所以我们的解题 为负二到四，那这个就是我们的第十六题，大家可以看一下，那主要考了哪些？那是不是就考了一个减不等式？那还有一个对数函数真数大于零，那对应一个增函数，涉及到增函数跟减函数，对不对？ 那这个就是第十六题。接着我们看这个第十七题， 那第十七题已知二次函数 f x 等于 a 加三的 x， 方加 b 减一乘 x 加 c， 是 定义在 a 减二到 b 加三上的偶函数， 那且 f 一 等于五，那首先你要知道啥是偶函数，会满足哪些条件？那偶函数，首先那首先第一个它是奇函数或者偶函数，它的这个定义域 都是关于原点对称的，对不对？那什么叫关于原点对称？比如说 负二到二，负三到三，这种都是关于原点对称的，那有什么？有什么关系？大家可以看一下，那是不是都互为相反数？那比如说我告诉你范围是 a 到 b， 那 你直接就可以得到 a 加 b 等于零， 那其实对应我们这一题，你是不是立马就可以得到 a 减二加上 b 加三等于零，对不对？ 那再接着看那偶函数还有哪些性质，是不是 f x 等于 f 负 x， 那 举个例子，比如说 f 一 就等于 f 负一，那第三个还能想到啥？那偶函数的图像关于 y 轴对称， 举个例子，比如说 f x 等于我们的这个 x 平方，那大家看一下，我比如说举个 f 负 x， 那 整体代入是不是负 x 的 平方，那还等于 f x， 对 不对？ 那你可以画一下它的图，我们说也会画一元二次方程，开口朝上，是不是关于 y 轴对称的，它的对称轴不就是 x 等于零吗？对不对？那知道这些以后，那你就可以做题目了，那也是我们的第一问，那我们解 那题目说它是定义在它上的偶函数，那对应，那其实因为我们这个 f x 为偶函数， 直接简写一下，那所以我们对应 f x 等于 f 负 x， 那 接着你可以得到 a 加三乘 x 的 平方加 b 减一乘， x 加 c， 它等于啥？等于 a 加三乘 x 平方加上 b 减一乘，那其实这边是负 x 方，要给大家写 x 方，要给大家写详细一点， 那因为我们这个负 x 方的因为有平方的负号，不就直接没了吗？对不对？那我们是不是要使这两个式相等，那这两个是相等的，这个也是相等的， 那 b 减一乘 x 怎么才能和 b 减一乘负 x 相等？那 x 跟负 x 肯定不相等啊？那只有一种情况，那我们是不是 b 减一等于零，那从而得到 b 等于一。其实大家记住，只要是偶函数，那 x 前面这个肯定是零，那教给大家一个口诀， 偶函数奇次项系数为零，那比如说是 x 的 五次方，或者说 x 的 三次方，或者说 x 的 一次方，他前面只要有系数是一个偶函数，那这边都是零。举个例子，比如说这一题是，比如说给你 f x 等于 x 的 四次方，加上 b 加一 乘 x 的 三次方，再加五，你可以得到啥？你就可以直接得到我们这个 b 加一等于零， b 等于负一，那为啥？那我负 x 的 平方负 x 的 四次方是不是还是 x 的 四次方？那我这个五是不是没有影响？ 那这里我对应，如果写进去负 x 的 三次方，他是不是就是负 x 的 三次方多了个符号，那怎么办？那我只要令这一项为零，那这一项不就消失了吗？对不对？那我们接着再往后看，那 b 减一等于零，那对应 b 等于一，那接着我们是不是还有一个条件， a 减二加上 b 加三等于零，那我们代入 a 减二加四等于零，那 a 等于几？那等于负四加二呗，那是不是 a 也就等于负二？那此时我们的 f x 是 不就等于 负二加上三？那大家如果基础不好的过程一定要一步步写，你可以先在草稿本上写，写完再腾上去，那加上零再加 c， 那 对应是不是 x 的 平方再加 c， 对 不对？缩小一下， 那接着我们继续往后看，那对应我们是不是还有一个 f 一 等于五，我们没有用，那对应 我们这个 f 一 等于五，是不是直接代入一的平方加 c 等于五，那 c 是 不是等于四？那所以我 f x 就 等于 x 的 平方加上四，那就这么简单。那这个是我们的第一问， 那对应我们的这个第二问， f x 减一等于二， x 加 m， 那 大家看到有两个实数根，要想到什么有两个实数根，是不是得让它等于零？那如果这里记住是两个相等的，那如果是两个不相等呢？ 两个不相等。来给大家在旁边写一下， deirta 分 为大于零等于零，小于零，那这个是无解，那这个是两个相等的，那这个是两个不同的，那两个相等的也可以称为是一个， 对不对？那这里第二问，其实得到 deirta 等于零，那你是不是要先把这个表达式给表示出来？ 那大家记住，有同学这个东西不会表示，那你就回答我一个问题，你就会了。那你告诉我，比如说 f x 等于 x 平方加四，那 f 五等于什么？是不是五的平方加四？那 f 七呢？是不是七的平方加四？ 那我 f x 减一呢？那是不是对应就是 x 减一的平方加四？ 那这里考了个什么？ f x 减一的平方加上写一下， f x 减一等于 f x 减一的平方加四，那这个是什么意思？就是考一个整体代入， 那对应我们这边整体代入，那是不是 x 减一的平方加四，那等于二 x 加我们的 m， 那 x 的 平方减二， x 加一，再加四等于二 x 加 m， 我 们就一步步移向呗。那 x 的 平方减二， x 加五，减二， x 减 m 等于零， 那 x 的 平方减四， x 加上五减 m 是 不等于零？那点它是什么意思？ b 的 平方减四 a c 给大家写一下，我们方程是 a， x 方加 b， x 加 c， 那 中间 b 的 平方减四乘以 a， 再乘以我们的 c， 那 注意，我们 abc 指的是 x 前面的数， x 平方前面的数跟 c， 那 对应。我们这里你可以先标一下 a 是 多少， 我们对应的 a 是 不是相当于是一对不对？ b 是 负四 x， c 是 五减 m， 那 对应我们的第二趟等于零，那是不是负四的平方减？我们这边多滑了一点，给大家擦掉，以免大家 负四。那对应是 b 的 平方减四， a c 对 不对？ 那对应我们干嘛？等于零十六减去我们的这个大家可以算一下，减四乘五减 m 等于零，那十六减去 二十，然后再加四 m 等于零，那负四加四 m 等于零， 那我们的四 m 就 等于四，那从而解出我们的 m 等于一，那这个就是我们对应的十六题，这是个对应我们的十七题，那涉及到知识点有哪些？那大家可以看一下。少一个单调，以及我们的这个偶函数，大家可以看一下， 那大家有不理解的地方可以在评论区打出来，那同时如果同学们后面有需要填志愿的服务，那也可。
664职教高考翟老师讲数学
17:55查看AI文稿AI文稿同学们，考前最后冲刺十六，十七题是送分大题，我们必须要拿满。从今天到考前，我每天给大家讲解一道十六题跟十七题。那首先我们来先看十六题， 那首先题目说已知函数 f x 等于 log 以三为底的 x 的 平方减二， x 加 a 的 定义域为二，啥意思？那我们看到这个对数函数，它的真数要干嘛？是不是大于零，对不对？大家只要看到这种形式 log 以 a 为底的这个框框，那这个框框肯定是大于零的， 对不对？那我们来写第一问解，那 x 的 平方减二 a， x 加 a 大 于零，对不对？我们要解这个式子怎么解？那题目说定义为 r， 那 是不就是 x 除以 r 啥意思？ 一个开口朝上的二次函数，那为啥开口朝上？前面的系数是不是一开口朝上大于零？横成立对不对？那我给大家画三幅图， 这三幅图是不是都是开口朝上的？那哪一幅图是满足的呢？那大家看一下区别。那首先这幅图与 x 轴是不是没有交点？这幅图与 x 轴有两个交点，那我这边是不是小于零的？ 那对应这里是不是有等于零的点？而我们要求啥意思？ x 的 平方减二， x 加 a 大 于零，那意思也就是不管我们 x 取什么值，这个式子都是大于零的，所以对应我们 第二幅图跟第三幅图，是不是就不满足？那第一幅图是不是你不管 x 取啥值，它对应的 y 是 不是都是大于零的？那对应我们观察一下图像，那是不是首先开口朝上，其次与 x 轴没有交点，所以得让它小于零，对不对？那所以我们第一问，那就是得让它小于零， 那对应第二，它是啥？ b 的 平方减四， a c， 对 不对？那有同学不知道啥是 a， 啥是 b， 啥是 c， 那 这个就是 b， 这个就是 a， 这个就是 c， 那 b 的 平方减四 a， c 小 于零，那对也就是四 a 的 平方减四， a 小 于零，那两边同除一个四，是不是 a 方减 a 小 于零，那有同学解到这里不会解了，那我们对应从这边提一个 a 出来不就好了吗？那小于零， 那有同学解到这又不会解了，那这个怎么做？那你先假设他等于零，那假设 a 乘 a 减一 等于零，那有什么情况？那要么 a 等于零，零乘零乘一个数等于零，要么 a 减一为零，那一个数乘零等于零，对不对？所以要么 a 为零，要么 a 减一等于零，所以解除一个 a 为零和 a 等于一，对不对？ 那接着怎么做？那你想我画一个竖轴，是不是开口朝上？那我小与零是取中间还是取两边？那小与零对应是不是 y 轴的负半轴， 对不对？所以我们对应是取中间，那我们解出一个零，一个一，所以零小于 a 小 于一，那大家注意，我们写范围要写成区间的形式，所以我们最后再写一个，所以 a 的 取值范围，那我这边用省略号，然后零逗号一， 那如果区间不会写的话，大家可以听一下。这个很简单，你画一个竖轴，中间标上圆点，最左边就叫富无穷，最右边就是正无穷。那从零到一怎么画？是不是这么画的？空心，空心，那对应就是小括号零到一，那这个就是第一问，那再看我们的第二问， a 的 x 的 平方减四， x 减十四，大于 a 的 平方分之一，那首先它俩的底数是不是都不一样？一个是 a 的 多少多少次方，一个是 a 的 平方分之一，所以我们首先是不是应该把它化为同一个底数？那怎么化？那先给大家写一下公式， 那首先比如说 a 分 之一是不是可以写成 a 的 负一次方？那再比如说 a 的 m 次方分之一是不是等于 a 的 负 m 次方？这两个公式大家一定要知道，那对于我们来给他画，就变成 a x 方减四， x 减十四， 大于 a 的 负二次方，那此时你要注意了，那我们底数是不是 a？ 那 我们第一问已经求出来了，我们的 a 是 在零到一之间的，那所以那大家记住，指数函数 y 等于 a 的 x 四方，我们这个 a 在 零到一之间的时候是一个减函数，那大于一的时候是一个增函数， 那减函数需要干嘛？那大家记住减函数就需要变号，增函数就不变，那啥意思？那给大家写个固定的模板，比如说 a 的 框框，这个是 x 一 大于 a 的 框框 x 二， 那如果零到一之间，就这个 a 是 在一个零到一之间的数，那对应我们就要变号，那就是 x 一 小于 x 二，从我们原来的大于变成小于，那如果我 a a 是 大于一的，那就是 x 一 大于 x 二， 那对应看一下我们这一题，那我们 a 在 零到一，那所以是一个减函数，那我们是不是就要变，那怎么变？那原本是大于，我们给它变成小雨，是 x 的 平方减四， x 减十四，那小雨负二， 那剩下的不就是减不等于十吗？ x 的 平方减四 x 减十减十四，然后再加二小为零，那 x 的 平方减四， x 减十二小为零。那接着我们十字相乘法把负十二拆成负六根二 x 方是不是就是 x 方？那如果有不会十字相乘法的同学可以看一下，我们把负十二拆成两个数相乘，那交叉相乘以后再相加，那负六 x 加二， x 是 不是等于负负四 x， 那 对应可以写成 x 减六乘以 x 加二小于零， 那假设它为零，解出一个六，假设它为零，解出一个负二，那开口朝上，为啥开口朝上？因为二次项系数为一，那小尾零取哪边？那这个 y 轴负半轴是不是小尾零呢？那对应是不是取中间？那所以负二小于 x 小 于六，注意是从小到大， 那所以我们的这个解集为啥？那就是负二到六，记住要用区间的形式来写。那这个就是我们的第十六题。那主要考察了一个什么？那其实考察了一个相当于横乘力的问题，那还有一个是我们的指数函数对不对？ 那接着我们再继续往下看，看一下我们这个第十七题。 那首先先读题目，已知 f x 是 定义在，那，这个是啥意思？小与零并上，大于零，那其实是不是就是 x 不 能等于零？那不等于零，是不是就包含了一个小于零和一个大于零上的偶函数？那啥是偶函数？ 那 f x 等于 f 负 x， 满足这个式子的就是偶函数，那前提是不是它的定义域肯定是关于原点对称的，对不对？ 定义域，关于原点对称，那啥是定义域？关于原点对称，那比如说现在告诉你个范围 负一到一，这个叫做关于原点对称，那其实如果告诉你个范围是 a 到 b， 它关于原点对称指的就是 a 加 b 等于零，你就记住这个就可以了，它俩是互为相反数的， 那对应偶函数，那题目告诉我们小零的表达是等于这个，那接着又直线什么什么横过定点 a， 且点 a 也在 f x 图像上，那首先我们是不是可以先把这个定点求一下？ 那怎么求？那很简单，给大家讲一个简单的例子，比如说我就问大家， y 等于 k， x 加二，告诉我这个过哪个定点，那我们是不是不知道这 k 的 值？ 那假设我现在告诉你这个 k 就是 二，那我带入 x 的 值的时候，是不是就能求出对应的 y 来？那我现在不知道 k 的 值， 那是不是只要 k 消失就可以，那对应我们令 x 等于零，那么 y 是 不是就是零加二，那就是二，对不对？那我们升级一下，那假如说 y 等于 k 加一，乘 x 再加二呢？那他过哪个定点？ 大家想一下，那对应我们把它拆开 k， x 加 x 加二，那是不还是一样的？那我们因为不知道 k 的 值，想让 k 消失，那是不是还是令 x 等于零，对不对？那 y 还是多少？ y 还是二， 那对应此时是不是还是过零？二，那对应。比如说再举个例子，比如说，嗯， m x 加上 y， 再加我们的这个二 m， 然后再加五等于零，那过哪个定点？我们的目的是不是想使这个 m 消失，那怎么做？那我们先把 m 提到一起来， m 乘以 x 加二加 y 加五等于零，对不对？那对应我们想让 m 消失怎么办？令 x 加二等于零， 那对应我们是不是可以得到 x？ 给大家写全，那对应就是我们 x 加二等于零，是可以得到 x 等于负二，对不对？那对应此时 原式就变成了 m 乘以零，加上 y 再加五等于零，那 y 不 就是负五吗？那我们就可以过哪个定点负二负五，就这么简单，那目的只有一个，让未知数消失。那看一下我们这个题目， 那对应。首先我们想着为让这个 m 消失，那我直接令 x 等于零，这边是不是还有 m？ 那 所以我们提一个 m 出来，那我们写，那我们直接写。第一题 解第一问， m x 加 y 加二， m 加五等于零，想让 m 消失，我们先提一个 m 出来， m 乘以 x 加二加 y 加五等于零，对不对？那令 x 加二等于零，那 x 是 不是等于负二？那原式是不是就变成了 m 乘以零加 y 加五等于零，那我 y 不 就是负五吗？所以这个定点 a 是 多少就是负二负五， 对不对？那接着题目还说点 a 在 函数 f x 图像上，那对应这个点，比如说这有一个点在这个图像上，那对应这个点不就可以代入到这个图像中吗？代入到这个图像对应的表达式中， 那负二小于零，正好可以带入小于零的表达式，那对应是不是就是 log 以 a 为底的？大家一定要注意这边有一个符号，那 log 也为底的负的负二对不对？然后再加上二乘以负二，然后等于我们的负五， 那接着 log 以 a 为底的二，减去我们的多少，减去我们的四等于负五，那 log 以 a 为底的二等于负五加四， 那我们可以得到啥？ log 以 a 为底的二就等于负一，那写到这里又有人不会写了，我们把它给缩小一点， 那接着我们怎么做？那大家要注意 log 指的是啥意思？给大家写个式子， log 以 a 为底的 b 等于 n， 那 大家要知道 a 叫做底数， b 叫做真数， 来告诉大家，我们这个真数 b 要肯定要大于零呢？那对应表示的啥意思？ a 的 n 次方等于 b， 大家多看几遍， a 的 n 次方等于 b， 那 比如说我们 log 以二为底的八等于多少？是不是指的就是二的多少次方等于八？那答案是不是三， 对不对？那对应我们这里指的啥意思？ a 的 负一次方等于二，对不对？ a 的 负一次方等于二，那 a 的 负一次方是不是 a 分 之一等于二，那 a 等于啥？ a 就 等于二分之一，那这个就是我们第一小问，那大家可以暂停看一下， 那也可以自己先做一遍，然后再听讲解，那对应看一下我们的第二小问，那第二小问，那我们 a 是 a 是 二分之一，对不对？我们把这个往上面写点， 我们是不是已经求出了这个 a 是 二分之一了？那我们的表达式小零的表达式是不是可以先写出来， f x 等于 log 以二分之一为底的负 x 再加二 x 对 不对？那第二问想让我们求 f 负四跟 f 八， 那 f 负四很好求啊，那直接带入表达式对不对？那有人不知道这个 f 八怎么求了，那也有同学直接把八带入表达式的，所以我们一定要认真看题目，这里是不是写的是 x 小 于零， 那只有我们这里面这个数小于零的时候，我们才能带入他，那我们该怎么办呢？那我们对应这个 f 八，因为是偶函数， f 等于 f 负八，那这样不就能求了吗？ 那我们来做一下，那首先先求 f 负四就等于 log 以二为底的 log 以二分之一为底的负的负四，然后再加二乘以负四，那对应等于什么？ log 以二分之一为底的四减去八， 那你想二分之一的多少次方等于四？大家想一下，二分之一的多少次方等于四？ 那比如说二分之一的那二分之一的二次方是不是四分之一？那四分之一跟四 是不是取了个倒数？那所以这里你可以想到，其实只是二分之一的负二次方，那对应是不就是二的二次方？然后等于四对不对？所以我们这个结果多少是负二，然后再减八，那所以等于负十， 那我们再求我们的 f 八，你要先交代一下，因为 f x 为偶函数对不对？那所以 f x 等于 f 负 x， 那 所以得到什么？我们的 f 八就等于我们的 f 负八， 那 f 负八怎么求？那对应是不是还是套公式？ log 以二分之一为底的负的负八，然后再加上二乘以负八，对不对？ 那等于啥？ log 以二分之一为底的八减去十六，那对应二分之一做多少次方等于八？那首先你要知道二的三次方是八对不对？所以这里是负三减十六等于负十九，对不对？那原式等于那把它给缩小一点， 那我们原式那相当于我们就直接抄一遍吧，那 f 那是不是可以得到我们的这个 f 负四，加上我们的这个 f 八，那是不是就等于负十加负十九，那答案就是负二十九，那这个就是我们最后的答案，大家可以看一下。 那对应第三问，让我们求 f x 的 解析式，那这个也很重要，那怎么求？那首先我们现在是不是知道小于零的解析式？我们先搁这写一遍，那 x 小 于零，我 f x 等于 log 以二分之一为底的负 x 加二 x， 那 解析式，那有同学觉得我们都有小于零的解析式，还求它干嘛？那对应大家看一下题目，我们是不是分为小于零跟大于零？那小于零的解析式给我们了，我们说还要再求一个大于零的解析式，对不对？ 那怎么求？你想一下，那我换一种颜色，我们现在小二零的知道了，我们是不是要求一个 x 大 于零的，对不对？那当 x 大 于零的时候，那我对应的负 x 是 不是就小于零？那把这个当做一个整体，那对应我是不是可以求出我 f 负 x 等于啥？ 那 f 负 x 是 不是就是 log 以二分之一为底的负的负 x， 然后加上二乘负 x 是 不是一个整体代入？那有同学问为什么可以整体代入？那比如说举个例子，我如果要求 f 五，那是不是 log 以二分之一为底的 要求 f 负五，是不是 log 以二分之一？这边给大家写下来。假设我如果带入一个 t t 小 于零，是不是就是 f t 等于 log 以二分之一为底的负 t， 再加上二乘 t， 那 比如说我带入一负一百，那是不是把这个 x t 换成负一百， 那我对应此时我要带入负 x， 那 这个是不是一个整体把里面的 x 全都替换成负 x， 那 等于 log 以二分之一为底的 x 减二 x， 对 不对？ 那我们这里求的是 f 负 x， 而我们要求的是大于零，它对应的 f x， 那 怎么求？那因为 f x 是 什么偶函数我就不写了，那所以 f x 等于 f 负 x， 那 是不是就等于我们刚刚求的这个 log 以二分之一列尾的 x 减二 x， 对 不对？那对应那有人写到这就结束了，那题目说是让我们求 f x 的 表达式， 那所以你最后还要把它写全 f x 等于，那对应小于零的时候，是不是 log 以二分之一为底的负 x 加二 x， 在 这边 x 小 于零， 那对应还有一个是 log 以二分之一为底的 x 减二 x， 那 这个对应是不是 x 大 于零？那这个就是对应我们实际的答案，那大家可以仔细看一下。
867职教高考翟老师讲数学
07:26查看AI文稿AI文稿已知函数 f x 是 定义在负无穷到零并上零到正无穷上的五函数。当 x 小 于零的时候， f x 等于 log， 以 a 为底，负 x 对 数加上二 x， 并且 a 是 大于零，且 a 不 等于一的 右直线 l mx 加上 y 加上二 m， 再加个五等于零，横过定点 a， 且这个 a 在 函数 f x 之上啊，这里边的话呢，首先你要有一个问题，就是，呃，你先找这个点 啊，你看啊，你第一问的话呢，我们拿过来 m， x 加上个 y 加上个二， m 加个五等于零，对吧？ 那这里边你横过的点一定是怎么样的？一定是不是跟这个 m 没有关系的？所以我们先把这个 m 集合在一块，你看成谁了？是不是 m 倍的 里边是不是 x 加二，对吧？然后你这本来是加外加五，咱就不用去管了，把它挪哪去，是不是负外减个五？ 然后你要是他跟 m 没有关系，是不是另这一部分他要干嘛？是不是 x 要干嘛？是不是 x 加二等于零， s 加二等于零， x 是 不是就等于负二？ 还有一点，这边等于零了，这边是不是也要等于零？所以是负 y 减五是不是等于零？那 y 是 不是就等于个负五？所以这一点变成什么了？是不是就是负二？负， 对吧？那既然求出来了这个点了，负二，这个点 x 是 不是等于负二？那是不是在这里边呢？就是 x 小 于零的时候，这个函数表达，是啊， 对吧？那所以我们可以把这个点带到这里边去， f x 等于 log， 以 a 为底，负 x 对 数加上二 x， 那 是不是就是负五？等于谁？负五是不等于 log？ 呃，以这个 a 为底，你这是负 x， 你 这 x 是 负二，负 x 是 不是等于二啊？然后再加上一个二，乘上个几，是不是乘个负二， 对吧？那所以你这是负五，你这是负四，所以这一部分它要干嘛？是不是 log 以 a 为底，二的对数它要等于几，是不是等于个负一， 对吧？那你既然说是它等于负一了，来，怎么去求你蒙次是年能蒙出来了。当然把这个对数化成指数形式，是不就是 a 的 负一次方等于个二啊？就 a 分 之一等于个二，来 a 等于几？ a 是 不是就等于二分之一啊？ 对吧？所以第一步求出来了 a 的 值了，来直接拿这个写啊。 第二，问的话呢，让你去求 f 负四加上个 f 八啊，这里边的话呢？你的 f 负四。首先第一步，我们先把表达式写出来，你看 f x 等于写了，是不是 log？ 呃，你这 a 写的是不是二分之一， 就 log 以二分之一为底，然后负 x， 对 吧？然后再加上个二 x 啊，这个是你的表达式啊，当然这是 x 小 于零的时候的表达式。来，第一步，你要求谁？是不是 f 负四？ f 负四是不是搁里边呢？ 对吧？那搁里边的话呢？那你是不是就是 f 负四等于 log 以二分之一为底，你这是谁啊？你这是不是四的对数，然后再加上一个二，乘上个负四，对吧？ 那你前面这种题啊，就是如果你实在不太会算的话，其实干嘛了？是不是把这是二的负一次方是不是负的 log？ 我 多写一步啊， log 以二为底，四的对数，然后再减去个八呀， 前面落个以二为底，四的对数是不是二？负二减八是不是负十，对吧？这个是我们求出来的 f 四啊， f 负四，那么 f 八我们再带进来的话呢？你的 f 八是什么？ f 八和谁相等？因为你说的时候函数了是不是和 f 负八相等？那 f 负八是不是我们表达式是不是就是 log 以二分之一为底，负 x 是 不是变成八，对吧？然后再加上一个二乘上一个负八呀？ 对吧？来下一步，这是不是负的 log 以二为底八的对数再减去个十六啊？这是几？是不是负三， 对吧？你这是负三，你这是减十六，是不是等于谁？是不是负十九啊？然后你去求的是不是 f 负四加上个 f 八 等于谁？是不是 f 负四负十再减去个十九是不是就等于负二十九啊？对吧？这个是第二啊， 然后再让你去求第三步说求函数 f x 的 解析式啊，求它的解析式的话呢？你看 x 小 于零的时候是不是我们已经推出来了？是不是 f x 就 等于 log 以二分之一为底，负 x 的 对数加上二 x 啊？这个是我们上边求出来的啊，就是求出来 a 之后，这是小于零的部分，那小于零现在知道了，我们要现在求哪个了？是不是求 x 大 于零的时候的数啊？ 对吧？那你大于零我们不知道，但是这里边当你大 x 大 于零的时候来负 x 怎么样？负 x 是 不是要小于零啊？ 那你负 x 小 于零了，负 x 小 于零带哪去？是不是 f 负 x 就 等于谁？是不是 log 以二分之一为底，本来是负 x， 对 吧？那我多写一部，是不是变成负的负 x 啊？ 然后加上谁，是不是加上一个？来来来，加上谁，是不是二乘个负 x 来，下一步是谁？ f 负 x 是 不是等于 log 以二分之一为底，谁负的负 x 是 不是 x 啊？然后再减去个谁，是不是减去个二 x 啊？ 这里边啊，你是负 x 了，你要记住，你的这是不是偶函数 f x 是 不是等于 f 负 x 啊？ 所以你此时你此时的 x 是 大于零的哈，所以此时 f x 是 不是等于 log 以二分之一为底， x 的 数减去二 x 啊， 对吧？这是 x 大 于零的时候，所以来来来，稍微复杂一点。所以什么 f x 等于啥？ 是不是就等于来你大于零的时候的话呢？写出来 log 以二分之一为底， x 的 数减去二 x， 这是什么 x 大 于零的时候啊？没有等于零的时候啊，因为等于零的时候已经给消掉了。 然后的话呢，你 x 小 于零的时候就等于什么小于零的时候是不是就是 log 以二分之一为底，负 x 对 数加上个二 x 啊，对吧？稍微复杂一点啊，这个有什么问题随时问啊。
46教数学的孙老师
19:36查看AI文稿AI文稿最近呢，听到了这么一个传闻，葛军老师要重出江湖了，这个消息呢，是不是真的暂时不清楚，但是啊，葛军老师出的题目还是非常不错的。那本期视频咱们呢，就来分享一道由葛军老师参与命名的二零一零年江苏卷的数列压轴题，看一下这样的题目放到今天 你会做吗？好，这道题呢，总共两小问，第一问呢，还是比较基础，比较常规的。 那么第二问呢，形势上是一个大家非常熟悉的问题，横层面问题，但是呢，它是在横层面问题的基础之上加了一些本质性的变化。 什么叫做本质性变化呢？就是指这道题的解题方法和你见过的那些横层面问题大不相同，所以题目的形式是你熟悉的，但是解题方法发生了比较大的改变，这个叫做本质性变化。 我个人呢，还是比较喜欢这种考法的，因为数学考试嘛，还是得考察大家的思维能力，而不是既定的解析套路。 ok， 那 咱们先来看一下题目哈， 给了一个各项均为正数的竖列 a n， 且 n 向和 s n 知道呢，二倍的 a 二等于 a， 一 加 a 三，根号 s n， 这个竖列是一个公差为 d 的 等差竖列。第一问，求通向公式，用 n 和 d 表示 啊，这个地方呢，就是已经告诉你了，这问当中 d 要当成已知数，对吧？ ok， 那 咱们做一个简单的分析来。首先核心的条件，根号 s n 是 一个等差竖列。 那怎么都知道，等差数列是由首项和公差确定的，这本公差定是已知数，所以只有一个变量，首项把手项确定下来，根号 s n 就 清楚了，那么 s n a n 自然能取出来，对吧？ 好，然后呢，又给了一个方程，二倍 a 二等于 a 一 加 a 三，这就是一个关于首项的方程，解方程就完事了。 所以呢，这个第一问的解析思路就是如此的朴实，说白了，还是一个方程思想，把握好谁是变量就可以了。 ok， 那 咱们具体的来算一下啊啊，从根号 s n 出发，它是一个公差 d 的 等差数列， 那就可以把这个竖列设成是 d n 加 a。 来这里呢，简单的解释一下啊，因为肯定有同学不太清楚，就是任何一个等差竖列都可以表示成关于 n 的 依次函数，依次向系数就是公差 d。 这个原因呢，非常简单，你想等差竖列 a n 通向公式 a 一 加上 n 减一乘 d， 也就是 d n 加上 a 一 减 d， 所以 你看关于 n 的 依次函数，依次向系数正好是公差，对吧？ 那么这里的 a 呢，其实就是首项减公差，求出了 a， 也就相当于求出了首项，所以接下来把这个 a 当成是未知数就可以了。 那么再往下呢，就是把这个条件转化成关于 a 的 方程，这里呢，有两种转化方式，第一种呢，可以先求出 s n， 再求出 a n， 然后带入这个式子。第二种方式，把这里的 a 全都转化成 s， 再带入这个式子。两种方法都可以， 咱们呢，就先把 a 转化成 s 好， a 二， a 二呢，就是 s 二减 s 一， a 一 呢，就是 s 一， 然后 a 三， s 三减 s 二， 那么整理一下，应该是三倍 s 二减三倍 s 一， 它等于 s 三，要不要问题？ ok， 那 根据这个式子呢，先把 sn 算出来啊，是一个 d， n 加 a 整体的平方，好带过来啊， s 二二 d 加 a 的 平方 s 一 d 加 a 的 平方 s 三 三 d 加 a 整体的平方。 ok， 那 剩下的就是简单的解方程了，来，打开括号，这里呢，是十二地方减三地方，九地方， 然后呢，十二 a， d 减六 a d 六 a d 三 a 方减三 a 方减没了，要不然呢，是一个九立方加六 a， d 加 a 方。好了，这俩约掉这俩，约掉 a 方等于零， a 也等于零。 ok， 所以呢，这个 s n 就 应该是 d n 整体的平方，地方乘 n 方，那么 s n 有 了，求 a n， 这是一个特别简单的事情，分 n 等于一， n 大 于等于二两种情况分别讨论。这里呢，我只给大家算一下 n 大 于等于二的情况。 好，此时呢， a n 就是 i， 四 n 减去 i 四 n 减一地方， n 方减去地方乘 n 减一的平方，简单的算一下，二 n 减一乘地方。 然后呢，不难验证， n 等于一，也符合这个式子，这一步就不写了， ok， 行，那第一问呢，就做完了， 那咱们继续来看真正有挑战性的。第二问说呢， c 是 一个实数，对满足 m 加 n 等于三 k， 并且 m 不 等于 n 的 任意正整数 m n k 来注意下正整数，这个条件相当关键，后面会做详细的解释。 说呢，这么一个不等式， s m 加 sn 大 于 c 乘 s k 都成立，哎，所以看到了吧，横成立问题。 然后呢，让你证明 c 的 最大值是二分之九，你看这个问法呢，也非常有意思啊，他没让你求 c 的 最大值，最大值直接告诉你了。换句话说，这问只关注大家的思维能力，能不能把这个论证过程想清楚，写清楚，能理解吧。 好，那么上一问呢，咱们已经求出了 sn 的 表达式，所以呢，这个不等式肯定先把什么 s， m， sn， k 都给它换掉来。咱们呢，先整理一下 来， sm 呢，就是 m 方乘地方， sn n 方地方再大于 c 乘上 k 方地方好，地方呢，就约掉了啊， d 是 个正数，所以呢， c 就 小于 k 方分尺 m 方加 n 方，然后呢，均匀这样一个等量关系。可以呢，把这里的 k 换成三分之 m 加 n 平方，一下九分之 m 加 n 整体的平方，也就是九乘上 m 方加 n 方，再除以 m 加 n 的 平方。那么接下来呢，考虑这样一个横乘的问题就可以了。来，再往下呢，我先讲一种特别经典的错误方法，我觉得如果我不讲的话，一定会有同学这么做 来，这种解法呢，是这样的啊，有的同学会觉得，那我求出这坨式子的最小值不就完事了吗？然后这里呢，是一个关于 m 和 n 的 其次分式，所以呢，一定可以化成一个单变量的函数。具体来讲，先打开分母上的括号， 变成 m 方加二 m， n 加 n 方，好，然后呢，这个分子和分母同时除以 n 平方，变成关于 n 分 之 m 的 函数。咱们呢，先把 n 分 之 m 设成 t 啊，这里 m 方除以 n 方就是 t 方，然后呢，加一底下是 t 方加二 t 加一再乘九，好。感觉上这么一个函数求最小值还是相当容易的，来做一个参变分离九乘上啊，分出一个一，然后呢，是减去 t 方加二 t 加一分之二 t 来，各位同学看一下计算没问题吧？好，注意到这个地方呢， m 和 n 都是正整数，并且呢， m 和 n 是 不相等的，所以这里呢， t 是 大于零并且不等于一的。 然后呢，这个式子可以分子分母同时除以 t， 那底下变成 t， 加上 t 分 之一，再加二。好，到这里呢，感觉上最小值好像就能求了。 你看这里的 t 加 t 分 之一，根据均值不等式大于等于二，但是呢， t 本身不能等于一等号取不到，所以这个地方是大于二的， 那么再加二，大于四分之二，小于二分之一，一减去一个小于二分之一的数，整体大于二分之一再乘九，那就是大于二分之九。 好，那这坨式子大于二分之九 c 小 一个大于二分之九的数，那 c 的 最大值确实是二分之九呀，这就正出来了对不对啊？那各位同学能不能看出来这套方法的问题在哪里？ 那问题呢，就在于啊，这道题给的 m n， k 是 正整数，不是正实数。 呃，如果是正实数，并且 m 不 等于 n 的 话，这道方法完全没问题，但是改成正整数这个逻辑就不一样了，来给大家呢详细的解释一下哈。 啊，我先把这坨式子呢设成是 f m， n 看成是一个关于 m n 的 函数啊，那么这个正整数和正实数它俩的区别在哪里？那如果题目给的是正实数的话， 那就意味着 f m n 的 值域 确实是二分之九到正无穷。换句话说，正数的情况下，这个式子能取到所有二分之九到正无穷这个区间内的数。 来，重复一遍正数的前提下，这个式子能取到二分之九到正无穷这个区间内的所有的值，所以此时 c 的 最大值就是二分之九。但是如果改成正整数的话， 哎，那就不一样了，因为此时呢，你的这个 n 分 之 m， 也就是 t， 它只能是有理数，像什么根号二，根号三这样的数取不到，对吧？ 而且呢，还不一定能取到全体有理数，因为 m 加 n 应该是一个三的倍数， m n 有 些整数的组合是取不到的，那么在 t 只能取有理数的情况下， i 负 m n 这个式子还能取到这个区间内的所有的值吗？ 好像就不行了，对不对啊？所以呢，此时这个式子确实是大于二分之九的，但是它的迟遇不是二分之九到正无穷， 那么这样以来呢，就有可能出现这样的情况啊，就是这个式子确实是大于二分之九的，但是啊，有可能啊，比如说这个式子的值，比如说呢，只能取什么五， 五点一，五点二等等等等。那如果是这种情况， c 的 最大值就可以等于五，而不是二分之九，对吧？ 啊，当然了，出题人呢，已经告诉你了，这种情况是不可能出现的，但是你得证明一下，不可能出现这种情况，能理解吗？这是这道题最大的难点。 ok， 那 么接下来呢，咱们来说一下这件事情呢，要如何说明？ 那这里的关键呢，我个人觉得是你得想清楚，就是这个式子既然不能取这个区间内的所有的数，那凭啥 c 的 最大值还可以是二分之九？换句话说，就是这个式子它能取到哪些值，才能保证 c 的 最大值依然是二分之九， 呃，我觉得呢，非常简单啊，只要这个式子的取值可以无限接近二分之九就可以了啊。比如说，还是随便举一个例子，假设这个式子它能取到二分之九加一， 二分之九加零点一，二分之九加零点零零一等等等等。好，假设这个竖列的值 f、 m、 n 全都能取到， 那么各位同学应该能看到这个式子啊，这个竖列是无限接近二分之九的，以二分之九为极限，那么在这种情况下，即便取不到其他值， c 的 最大值也会是二分之九，为啥呢？比如说 c 比二分之九稍微大一点儿， 假设 c 等于二分之九加零点二，那么右边这个式子注意，它是能取到二分之九加零点一的，此时 c 的 取值是大于右边这个式子的值的，那这个明显就不成立了，对不对？好了，所以呢，接下来呢，咱们其实只要说明 f、 m， n 可以 无限接近二分之九就可以了， 那这个事情又要如何说明呢？ 来这里呢，咱们还是先回到正实数的情况。正实数的时候， f、 m， n 之所以可以无限接近二分之九，是因为 n 分 之 m 可以 无限接近一，也就是 n 和 m 可以 近四相等， 对吧？所以呢，正整数的情况下，还是让 n 和 m 近四相等就可以了。那么 m 加 n 等于三 k 近四相等，就是两者都等于二分之三 k， 但是呢，它俩又不能相等，所以呢，可以取一个是二分之三 k 加一，一个是二分之三 k 减一，能理解吗？ 好，所以呢，咱们这么取啊，取 m 等于二分之三 k 加一， n 等于二分之三 k 减一，这么取的目的就是让 m 和 n 尽可能相等，当然这么取的话呢， k 必须得是一个偶数，才能保证 m 和 n 都是整数。 好，那么这里呢，取 k 为偶数呢，完全没问题，因为咱们只要证明 f、 m、 n 可以 无限接近二分之九就可以了，不需要把 f、 m、 n 的 所有取值都取出来，能理解吗？ 好，然后呢，咱们再来算一下这个式子的值来，九乘上，分数上呢，是这两个东西相加 啊，分母上 m 加 n 的 平方，那就是三 k 的 平方，九 k 方好，九和九呢，就约掉了， k 方分之四分之九， k 方加四分之九， k 方二分之九 k 方三 k 负三 k 抵消一，加一等于二，所以呢，这个东西就是一个二分之九加上 k 方分之二。好了，各位同学看一下这个式子能不能做到无限接近二分之九， 完全可以吧， k 是 一个偶数，你让 k 趋于正无穷，特别大的时候， k 方分之二的极限等于零，那么这个式子就会无限接近二分之九，看到了吗？ 好了，所以呢，其实到这里呢，这道题呢，基本上就正出来了。那么最后一个问题就是，我们能不能不通过极限的方式也把这件事情写清楚，因为呢，一定会有同学纠结啊，说使用极限可能会有扣分的风险，这个呢，也没问题。 来，这里呢，咱们再回到这个最基本的定义，最基本的原理上，这道题让你研究的是最大值，各位同学还记得最值的定义吗？ 啊，它呢，包含了两条啊，所谓 c 的 最大值为二分之九，等价于 c 不 能超过二分之九，并且 c 可以 取到二分之九。 哎，这两件事情同时成立，那就是 c 的 最大值为二分之九。那么第二件事情呢，刚才已经证明出来了，就是 f、 m、 n 一定是大于二分之九的，所以 c 确实可以取到二分之九。 好，然后呢，我们只要证明 c 不 能取比二分之九还要大的数就可以了，对不对？那这里呢，咱们可以使用反证法啊，就是我们假设 c 呢，比如说等于二分之九加 a， 其中呢， a 是 大于零的，取到一个比二分之九大的数好。然后呢，咱们带回到这个式子里面，那就是二分之九加 a 小 于这坨 二分之九呢，约掉，所以呢， k 方就是小于 a 分 之二的，但是各位同学，这个式子不可能恒成立，当 k 足够大的时候，大到什么程度呢？咱们呢，只要取一个 k 大 于 根号下 a 分 之二，这 k 可以 取全体偶数，全体正偶数，那么一定能取到一个大于根号下 a 分 之二的偶数，对不对？ 好，那咱们就取这样一个数，那这个式子就是不成立的。行了，那这样呢，就完成了非常严格的论证，所以 c 的 最大值确实是二分之九。好了，各位同学，那整个这道题的思考过程和整个的解析逻辑我都说清楚了吗？ ok， 所以呢，我觉得这道题呢，其实有这么几个关键点，都是在于思维层面上。第一个关键点就是你能不能想清楚正实数和正整数到底会带来怎样的区别， 其实呢，就是会导致两个式子的取值不一样，这是一个本质性的变化。那么接下来呢，第二个关键点就是有了这样的变化之后，你得想清楚为什么结论依然成立。 哎，就是因为这个式子的值依然可以无限接近二分之九，虽然取不到这个区间内的所有数，但是能无限接近二分之九，这是为什么 c 的 最大值依然等于二分之九。 那么再往下呢，就是把这件事情严格的说清楚就可以了。而在最后呢，为了说明这件事情，咱们呢又回到了最大值的定义上。 所以呢，思考数学问题呢，其实就是这个样子，一步一步把最核心的事情想清楚，当实在想不清楚的时候，回到最基本的定义，最基础的概念，最基本的原理上就可以了。 ok， 那 这期视频就分享到这里。
143北大数学王鹏老师
04:06查看AI文稿AI文稿接粉丝投稿挑战完成零三年江苏高考数学试卷，正好葛军老师这两天也入驻抖音，我们就再来感受一下零三年他出的这张试卷。如果要我用一个字评价这张试卷，那就是新。 这张试卷真的跟现在的高考试卷有非常大的区别，他会给你一种简约而又不简单，给你送分但又没送到位的这种感觉。好，我们来看一下。第一题是一个二次函数的变换，第三题，三角函数四道题都很基础，三分钟以内可以完成。 好。第五题开始，这个题目就开始变得比较新了，首先他给了你一个这样的形式，两个单位向量取一个他的和，然后再乘上一个朗姆达，你能不能顺利的看出他是一个内心。 然后第六题呢，他又涉及到了现在高考很少考到的反函数的考点，将 x y 互换还没完，他还考到了一个你的自变量范围，问题也是要从这里的范围来出来，还是有一定难度好。第七题是一个简单的例题啊，拆成上下两个正四轮锥， 然后呢，这个四轮锥的高啊，他就是正方体能长的一半，底面面积很好求，因此体积并不难算。第八题是一个简单的导数和二次函数结合的问题，但是要注意一个概念叫做倾斜角，现在高考有一定弱化，但是你扪心自问，你还记不记得倾斜角的概念定义以及它的范围是什么？ 第九题，哎，老江苏卷最喜欢考的就是竖列，这道题依旧是以竖列为背景，告诉你这个东西有四个根，那很显然，两边的二次方程各出两个根，那么这里又要结合一个韦达定律对不对？好， x 一 加 x 二和 x 三加 x 四分别等于二，这个就是负 a 分 之 b 嘛， 一项为四分之一，那另一项就是四分之七，想要跟这两项构成等差竖列，另外两项只能是四分之三，四分之五。解决 好，下面第十题呢，这个圆锥曲线放在现在是不太急不太难啊，当时的话你也只是连力，然后把它算就好了。好，十一题啊，是整张试卷选择题中出的最有新意的一道题，就你甚至在书上找不到任何一个符合他的考纲考点， 但是看似什么又都考了，对吧？三角函数平面几何反射，我可以把它称为是矩形的公学性质。 好。这道题呢，作为选择题最好的方法就是你把每个边界处的条件带进去，像我上面这个图对吧？就是五分之二的 tangent theta， 下面这个就是三分之二，二分之一的话，直接取 b c 的 中点，发现它刚好形成一个完美的平行四边形回路。 所以呢，这道题作为填空题难度是非常大的，所以作为选择题的话还好。十二题其实你放在现在是非常简单的一道题，当时可能大家对于这个正四面体的模型还没有特别普及，所以做起来可能会有一定难度。 好到这的话，选择题一共耗时是二十四分钟。十三题很简单，二次项系数。十四题的话，直接先把这题干里几个零全都砍掉，然后再出一个二，就得到最后总和为四十六的三个值。 好，十五题是我错的，这道题扣了四分啊，那么我当时的想法呢，这个排列组合，现在这个 a 花坛，这 可以选四种， a、 b、 c、 d 各一种，对吧？好，然后与之相邻的有四个，五号、一号和二号，这里面填上 b、 c、 d 三个随便填就有 a、 三、三六种。排列好，然后只要再考虑四和三花坛， 如果四花坛填 a 的 情况下，三花坛就已经和 a、 c、 d 相连，所以只能填一个 b。 如果四花坛填 d 的 情况下，这时候三花坛跟 c、 d、 d 相连，所以既可以填 a， 又可以填 b， 所以 这边有一加二等于三种情况。我这样算下来是七二七十二种， 但是答案是一百二十种，聪明的你们看看我到底是哪里算错的呢？给大家留一个小小的问题啊！好，最后十六题相对还是比较简单的，把分为一二一组，三四一组，其实就判断两个判断题，二选一。 放在现在来看，这个立体几何并不算难题，但是当时啊，这个立体几何整体难度都比现在要低一些，现在更加注重一些运动性的问题，难度会更高。 那么零三年江苏高考数学的这张试卷呢，我花了三十三分钟完成选择填空，一共扣了四分。如果本期视频点赞破十万，下一期我们继续完成后面解答题部分，欢迎大家有什么想看的试卷继续投稿，大家点点关注，分享更多有用学习经验。
1.0万通创领航-骁骁学长
21:07查看AI文稿AI文稿大家好，今天讲解一下苏北骑士二零二六年高三第二次调研测试数学第十九题， 这是一道以树列为背景的，嗯，后边融合了一些概率的一个综合性问题，比较有难度。主要的知识是树列融合了一点概率。嗯， 第一问应该是得赠送题，那我们先看看第一问的赠送，嗯， q 属于零到一， 那这就说明 a 一 呢，是大于零的，那说明它各项都是正的，而且是无穷递缩，无穷递缩。 而且第一问我们说 n 得三，也就是说它总共有三项， a 一， 那既然 d 做的，那肯定是 a 一 大于二大于 a 三， 那 b n 呢？实际上呢，就是 a 一 a 二 a 三的全排列，那肯定是有六种情况。 所以第一问呢，如果我们不会，我们就列出来，比如说 b n 可以 是 a 一 a 二 a 三，但是这个是 b 一， 对着 b 一 b 二 b 三，我这对应上就是 a 一 二 a 三， 那因为我们要满足的是 a i b i 大 等于 a j b j i 是 小于 j， 小 得 n 大 得一的这个。那么如果是这种情况，我们看一下，那就是，嗯， a 一 a 一， 那你看是不大等于 a 二 a 二是不大等于 a 三 a 三，那也就是说，如果这个 b n 的 排列是 a 一 二 a 三这种，它就是复合题，复合题。 这是首先我们要明白题，那么它无外乎有六种情况，我们就可以列了嘛，对吧？这是第一种。那么第二种我们看一下，可以是 a 一 a 三 a 二， 那这时呢，它就相当于是什么呢？是往这边写， a 一 方大不大等于 a 二， a 三大不大等于 a 三， a 二明显符合， 这个也行，这个行，这个行。那么第三种情况下是，嗯， a 二 a 一 a 三， 那结果就是， a 一 a 二大不大等于 a 二 a 一 大不大等于 a 三方，这个也是符合题， 也是符合题，符合，对，留下第四个。嗯， a 二 a 三 a 一， 那么它是 a 一 a 二，大不大等于 a 二 a 三大不大等于 a 一 a 三 a 一 a 二肯定大，等于 a 二 a 三，但是呢， a 二 a 三呢？这个就不服了，这就不服了，因为把 a 三是约掉的， a 二大得 a 一， 这就错了，所以这个是舍掉。 第五种情况， a 三 a 一 a 二， 那这只是 a 一 乘以三，嗯，大不大等于 a 一 乘以二，那到这他才发现这错了，所以这也要设掉。 那第六种情况呢？ a 三 a 二 a 一， 那么这是 a 一 a 三，大不大等于 a 二方，嗯，大不大等于 a 一 a 三， 那这是呢？嗯， a 一 a 三和 a 二方，因为这是一个等比数呀，它都是取等的呀，对吧？都是取等的，所以这个也是复合的。 所以这时候我发现，第一问满足条件的 b n。 综上，第一问的 b n 有 四个，分别是 a 一 a 二 a 三 a 一 a 三 a 二 a 二 a 一 a 三 a 三 a 二 a 一， 也就这里边有四个，相当于提供我们两个信息，这是指正划重点一 n 的 三的时候 有四种情况。第二个，这里边有两个是等比数列，这个对于后边是有影响的。 好，这是第一问。 当然这个第一问呢，我们还可以呃，稍稍的专业一点， 就是说，我们如果不用列据，或者以后后面要多了的话，该怎么办呢？我们不妨看这样做，我换一种思路，但意思都是一样，但我不妨设 e i 对 应着是 a p i， 那这里边我解释一下啊，这个 p 一 p 二 p n， 它就是一二 n 的 某个排列， 某个排列。 那这时呢，我就能得到 a i b i 应该就是 a i 呢，是 a 一 q 的 i 减一， b i 呢，就是 a 一 q 的， 你 b i 是 a p i p i 减一， 整理一下，就是 a 一 方 q 的 p i 加 i 减二， 那这时我们应该满足的条件是什么？应该满足的是 a i b i 大 等于 a j b j， 那所以就是说 a 一 方 q 的 p i 加 i 减二，应该大等于 a 一 方 q 的 p j 加 j 减二， 那么因为 q 是 属于零点一的，所以 p i 加 i 减二，就得小于 p j 加 j 减二， 那负二负二约调，也就是 g 一个式子， p i 加 i 小 等于 p j 加 j， 那 么从函数的思想，它有有点像 p n 加 n， 那 所以我们说有这么一个竖列， p n 加 n， 它应该是因为是 i 是 小于 j 的， 所以我得出一个结论， p n 加 n， 应该是不增啊，不减，不减， 不减就是可等，可增，那么不减，那也就是说，我 p n 加一，加 n 加一， 应该大等于 p n 加 n， 那 也就是 p n 加一，减 p n 的 大等于负一，等于这么一个结论。那此时这第一问呢？我是 n 本身就得三得三， 那得三的话呢？我列这几个排列，列几个排列，那比如说它排列就是一二三 一三二二一三二三一三一二三二一。 那满足后边减前面这个行，这个行这个可以。这个发现，三减一，一减三等于负二，舍掉这个三减一等于二， 我看看啊，后边减前面大的负一，后边减前面大的负一， 嗯，后边减乘二，这个是一减三，等于负二，所以直接舍掉。那这个行，所以我们还是得到跟刚才得的结果是一样的， 还是有四个，还有四个， 但是有了这个逻辑，我们接下来直接看第二个，第二个， 嗯，这个呢，经做完之后，它是存在的，那存在的呢？是这样，它需要满足的是 b k 减一方，不等于 b k 乘 b k 减二。 那我们根据刚才这个理论，你这个 b k 减一，它就是 a q 的 p k 减一减一的平方，不能等于 b k a 一 q 的， 嗯， p k 减一，这是 a 一 q 的 p k 减二减， 那这个整理完再约调，也就是说二倍的 pk 减一，我不能等于 pk 加 pk 减二， pk 减二， 那这个式子仿佛让我们看到它就是 pk 减一减， pk 减二，不能等于 pk 减 pk 减一， 如果等就是个等差，如果不等，就是不是等差。也就是说我们得到 p n 这个数列当中相邻两项， 相邻两项的差不等，就是不是等差数列。 那这时呢，其实我们就得凭经验了，接下来就得凭经验了， 我们能不能找到呢？这时我们发现这个跟基偶有关系，跟基偶有关系。那我们比如说当第一种情况，当 n v 偶数时，其实正常我们是可以列出来的，比如说 a 一 a 二 a 三 a 四、 a 五 a 六等等等等。不写了，你知道 a n 减一 a n， 那 么 b n 随便找一个， 随便找一个呢？还符合这个条件呢，比如说 a 二 a 一 a 四 a 三 a 六 a 五等等等等。 a n a n 减一，发现它肯定满足 p k 减一，减 p k 大 的负一，而且，而且你看这是合体之后是 a 一 a 二， 嗯，大等于 a 一， a 二大等于 a 三， a 四大等于 a 三 a 四，那不用说了，这边都是成立的， 那都是成立的，说明这个是可以，这是可以的。第二， n 为基数， 当 n 为基数的时候，其实我们可以这么列，就是这个 p n 呢，我可以这么列举，怎么列举呢？是这样的，嗯，我用数字来代，第一项是一，接下来就是三二、五、四、 七六，这样噔噔噔噔，最后也是 n n 减一，这时大家发现也是满足所有条件的。那如果我们这么说，说 p 二减 p 一， 它肯定等于二了，它达到负一了，满足， 那只要是他这个奇数项减去这个偶数项，奇数项减去偶数项，都得负一，满足，满足大的负一，而这时偶数项呢？我减去这个奇数项， 第一项是得二的，后边发现它都得三，那也是大的负一，所以也满足题。所以我们说存在这样的必然式成立， 这我要说经验很重要，那这是一鼓作气。我们再看第三问， 第三问呢，我们可以说这样记，首先呢，我们要是满足这个 p n 减一，减 p n， 那 大等于负一，这是满足条件的，满足这样的条件的 n 项排列我说它的个数，我们为了方便我记作，嗯，大 fn 记作大 n， 我 设一个函数 v， 咋还说 v， 还说，那这时候我说这个事，我说我设 p k 就是 n， 比如说 d k 项就是 n， 但是这个 k 呢？我可以大得 e， 小 得 n， 那这是如果说当 n 要是大得 k 的 时候，那么因为这个 p n 加一减 p n， 它是大得负一的，所以 p k 加一，一定得大，等于 n 减一。 那又因为那你 n 呢？本身排在了 d k 的 位置， 所以 p k 加一只能等于 n 减一，那么 p k 加二，那就得是 n 减二，等等等等，那 p n 这个就是 k 了， 也就是说排列的后边的 n 减 k 加一项， 就是固定的 n n 减一， n 减二到 k， 而前边这个 k 减一项，应该就是一二等等等等。 k 减一的某个排列， 那它的排法呢？我说了，根据递推，它一定有这些种， 这些种呢，这时如果是等零的时候，那肯定就是一个。 所以我们说这个大 f n 应该是什么呢？是是一个 q 和 k 得一到 n 的 总和，也就是说是 f 零 f 一 f 二，一直加加加加到 f n 减一，那么 f n 减一呢？应该是 f 零 f 一 f 二加加加到 f n 减二， 那这时候一做叉，发现 f n 等于二倍的二分之一， 这时呢，我们就得出一个结论了，一个等比数列诞生的等比数列呢？嗯，这个 等比数列，我们看一下啊，它的手相是什么手相？嗯，公比肯定是二， 公比为二，它事实上呢，我们根据由第一问，第一问 得到它 n 得三的时候，它等于四， n 得三的时候，它等于四，所以 n 得三得四，所以它从第三项开始是以四为首项的， 以以从第三项开始，以四为首项的公比为二的等比数列。 说到这，我们就可以得出，这个 f n 实际上就是二的 n 减一次，二减一次。那实际上呢，我们看这么一个事儿， 这题说的是等比有几项，那时常大家我们发现，那这个要想成为等比数列，等比数列它只有两个 固定，这个 b n 呢？这个 b n 呢？只是 嗯， a 一 a 二 a 三 a n a n 或者是 a n a n 减一 a 二 a 一， 所以它只有两个， 只有两个。所以本题的结论说概率是什么呢？我说这个概率 是 p 的 话，等于二。比上二等 n 减一次就等于二等，嗯，二减 n 次，这就是本题的结果。
25奔跑的数学老班
04:35查看AI文稿AI文稿已知 f x 是 定义在二上的奇函数啊，当 x 大 于等于零的时候， f x 等于 log 以二为底， x 加二啊的对数，然后加上个 a 减一倍的 x， 再加个 b， 且 f 二等于负一， 然后令 a n 等于 f n 减三啊， n 属于这个 n 星啊。第一步求 ab 的 值啊。第一步的话呢，我们先简单把这个函数函数这个先写下来， f x 是 不是等于 log 以二为底， x 加二的对数，加上一个 a 减一倍的 x 再加个 b 啊， 对吧？这，这是已知条件啊。然后这里边你首先要注意一点的话呢，是不是我们是奇函数，并且零是不是搁里边呢？奇函数的话呢，一个最大的特性是什么？是不是 f 零等于零啊？ 嗯，所以第一步先带进来是不是就是零等于个啊？ log 以二为底，零加二是不是二的对数，然后再加上谁， 这是零，对吧？这没了吧，是不是加上个 b 啊？所以是不是就零等一个一加 b， b 是 不是就等于个负一啊？啊？这第一步就出来了啊，然后下一步的话呢，来再把谁带进去，是不是 f 二等于负一带进去， 对吧？ f 等于负一的话呢，是不是就是负一等于谁负一，是不是 log 以二为底？你这变成谁是不是二加二是不是四的对数， 对吧？然后再加上谁啊？是不是再加上一个？呃， a 减一再乘谁？是不是再乘个 x， 是 不是再乘个二 加 b 加 b 就 别加 b 了，是不是减一就行了，对吧？那是不是就是负一等于 log 以二为底，四的对数是不是二，对吧？二的话呢？然后加上个二， a 减个二，然后再减个一，嗯，对吧？ 那所以算到这的话呢，我们下一步可以算哪去了？接着算呗，对吧？那你这是不是二减二了，对吧？然后二减二没了吧， 那是不是就二？ a 减一等于负一，二 a 减一等于负一，那是不是二？ a 等于几啊？是不是它挪过去一减一是不是零？所以 a 等于几？ a 是 不是等于零呢？ 所以求出来了， a 等于零， b 等于负一啊，没什么大问题啊。然后这是第一步。第二步的话呢，首先，首先啊，你就不用想了，一定是要把这个 f x 给我写出来的 f x 等于什么？ 是不是 log 以二为底， x 加二的对数，然后加上个 a 减一倍的 x， a 减一倍的 x 几是不是零？减一是不是就减去个 x 啊？那你减去个 s， 后边还有谁？是不是加 b 再减个一， 嗯，对吧？所以对于我们而言，先把它写出来，然后下一步来，你说了 a n 等于 f， n 减三，对吧？ 那你说了 a n 等于它来 a 一 等于几？ a 一 是不是 n 等于了，是不是 f 负二啊？ a 等于 f 负二的话呢？来， f 负二等于什么？你是七函数，对吧？七函数 f 负二是不等于负的 f 二来负的 f 二 f 二是不是知道等于等于那个负一啊？所以是不是负的 负一是不是就等于一啊，对吧？这个是 a 一 啊。呃，求出来 a 一 之后等于一了，来来来，再求谁，是不是再求 a 五啊？ a 五等于谁？哎哎， a 五等于谁？是不是 f 二 来 f 二等于几，是不是等于负一？来，求完它了， a 九得稍微求一下 a 九的话呢，是不是等于 f 几啊？ n 等于九了，是不是 f？ 嗯，几几几？是不是九减三？ 是不是 f 六啊？那 f 六的话呢？来代进来呗，对吧？是不是就等于 log 以二为底，六加二的对数再减去个六，再减个一啊？等于几啊？是不是 log 以二为底， 八的对数再减个几啊？是不是减去个七啊？等于几？是不是等于三减七等于个负四啊？所以现在都有了吧？ a 一 a 五 a 九都有了，所以。
51教数学的孙老师
04:39查看AI文稿AI文稿来看一下这道二零一七年江苏的考题，看 o c 等于 m 倍的 o a 加上 n 倍的 o b， 让我们去算这个系数和。所以，哎，咱就知道那是什么呢？那我是不是应该把这个中点连起来，把 a b 给它连起来看， 然后呢，得到一个交点，它和 o c 有 交点，来给它记为一个点 d， 然后用旧的比上新的，用原来 o c 的 长比上我起点到交点的距离，那么这个就是 m 加 n， 那 到这那是没问题啊，等和线吧， 那你看条件啊，你又知道什么呢？你知道这个 o c 的 模是多少？是根号二了，所以，那我只要把这个 o d 的 长度一算， 那咱是不是可以算出这个系数和来？那么 o d 这个线段它的长度我们该怎么去算呢？嗯，这个 o d 怎么来算呢？知道点什么呢？我知道这个 o a 的 长度是一， o b 的 长度也是一， 我还知道这个角的正切值，那其实我也知道正弦，我也知道余弦，但你根据正切值等于七嘛，你是可以算出这个 sin 二法和 cosine 二法啊，同样关系式嘛，那你可以得到这个一个呢是七倍，根号二比上一个十，还有一个呢是根号二比十，嗯， 你还知道这个角是四十五度，嗯，那它干嘛呢？是不是往这个三角形上去找面积啊？ 那是不是就是一个堆角模型啊？那就是这个三角形 o a b 当中这个 o d 呢，也是条根线，然后呢，再会发现这个角和这个角堆在一起的俩角呢？我都知道。嗯， 那么现在我们可以干什么呢？我们可以去走一个等面积法来去算这个 o d 的 长，因为这个三角形的面积啊， o a b 的 面积，那是不是就是二分之一乘一乘一，再乘以一个三四十五度，加上阿尔法， 而且它还可以看作是 o a b， o b， d 的 面积之和，那 o a b 那 是不是又是二分之一乘以一乘 o d 乘以 sin 二法， o b d 呢？又是二分之一乘以一乘 o d， 再乘四 sin 四十五度。 所以我们是不是很容易两边同除一下，你就会得到这个 o d， 那 其实就是一个 sine 四十五度加阿尔法，比上这个 sine 阿尔法 加上 sine 四十五度，那你是不是就可以求出结果来了呀？当然可以啊，基本和二角一用分子，那不就是 sine 四十五度 乘以 cosine 阿尔法，然后呢，再加上 cosine 四十五度，再乘以一个 cosine 阿尔法，那分母呢？你也是知道的，你把这些东西全部带带带， 然后呢，也还比较容易化简吧，什么根号二是不是都可以去稍微给它去整理啊？那么所以最后我们就可以把这个 o d 给它算出来，而 o d 有 了，那我这个系数和就出来了。嗯， 那就如果有一个三角形啊，给你过顶点来条割线啊，那如果这时候给你这两个角，或者说问题是和这俩角有关的，这叫堆堆角， 那堆堆角的话呢，我们一般用什么呢？用面积，我们可以用等面积法，那这样呢，我们就很容易求出中间的这条割线的长。嗯， ok， 那 这道题就听懂了啊，最后就是一个三啊，解出来就 ok 了。那么当然这道题还有当年的同学是怎么做的呢？嗯，反正不等和线吗？ 这么算，这其实就是就是按照咱们老师要求的啊，就出题人的那个想的就是。哎，这等和线啊，你给我按着这个步骤去写啊，最后能算出来还可以，问题当年有大哥就不这么想。那怎么想呢？嗯，等和线嘛，先连，这是一。哦， 既然是系数和嘛，那我同样的区，那这就是二了呗。啊，一样长 一样长的，那我这就二，那我再往上取，还一样长，那是不就是三， 所以写个三蒙个三，对吗？还真对了，但是你说是这么做的吗？你要说这么做的话也不是不行哈，答案是对的，但是就不太严谨，当年人家想考就和解散小邪来做一个结合，但是这么一下，嗯，确实也可以出答案。
11北大唐山周老师
04:39查看AI文稿AI文稿来看一下这道二零一七年江苏的考题，看 o c 等于 m 倍的 o a 加上 n 倍的 o b， 让我们去算这个系数和。所以，哎，咱就知道那是什么呢？那我是不是应该把这个中点连起来，把 a b 给它连起来看， 然后呢得到一个交点，它和 o c 有 交点，来给它记为一个点 d， 然后用旧的比上新的，用原来 o c 的 长比上我起点到交点的距离，那么这个就是 m 加 n， 那 到这那是没问题啊，等和线吧。 那你看条件啊，你又知道什么呢？你知道这个 o c 的 模是多少？是根号二了，所以，那我只要把这个 o d 的 长度一算， 那咱是不是可以算出这个系数和来，那么 o d 这个线段它的长度我们该怎么去算呢？嗯，这个 o d 怎么来算呢？知道点什么呢？我知道这个 o a 的 长度是一， o b 的 长度也是一， 我才知道这个角正切值，那其实我也知道正弦，我也知道余弦，那你根据正切值等于七嘛，你是可以算出这个算二法和 cosine 二法啊，同角关系式嘛。那你可以得到这个一个呢是七倍，根号二比上一个十，还有一个呢是根号二比十，嗯， 你还知道这个角是四十五度，嗯，那它干嘛呢？是不是往这个三角形上去找面积啊？ 那是不是就是一个堆角模型啊？那就是这个三角形 o a b 当中这个 o d 呢，也是条根线，然后呢，再会发现这个角和这个角堆在一起的俩角呢？我都知道。嗯， 那么现在我们可以干什么呢？我们可以去走一个等面积法来去算这个 o d 的 长，因为这个三角形的面积啊， o a b 的 面积，那是不是就是二分之一乘一乘一，再乘以一个三四十五度加上阿尔法， 而且它还可以看作是 o a b， o b， d 的 面积之和，那 o a b 那 是不是又是二分之一乘以一乘 o d 乘以 sin 二法了？ o b d 呢，又是二分之一乘以一乘 o d， 再乘四 sin 四十五度。 所以我们是不是很容易两边同除一下，你就会得到这个 o d， 那 其实就是一个 sine 四十五度加阿尔法，比上这个 sine 阿尔法 加上 sine 四十五度，那你是不是就可以求出结果来了呀？当然可以啊，基本和二角一用分子，那不就是 sine 四十五度 乘以 cosine 阿尔法，然后呢，再加上 cosine 四十五度，再乘以一个 cosine 阿尔法，那分母呢？你也是知道的，你把这些东西全部带带带， 然后呢，也还比较容易化简吧，什么根号二，是不是都可以去稍微给它去整理啊？那么所以最后我们就可以把这个 o d 给它算出来，而 o d 有 了，那我这个系数和就出来了。嗯， 那就如果有一个三角形啊，给你过顶点来条割线啊，那如果这时候给你这两个角，或者说问题是和这俩角有关的，这叫堆堆角， 那堆堆角的话呢，我们一般用什么呢？用面积，我们可以用等面积法，那这样呢，我们就很容易求出中间的这条割线的长。嗯， ok， 那 这道题就听懂了啊，最后就是一个三啊，解出来就 ok 了。那么当然这道题还有当年的同学是怎么做的呢？嗯，反正不等和线吗？ 这么算，这其实就是就是按照咱们老师要求的啊，就出题人的那个想的就是，哎，这等和线啊，你给我按着这个步骤去写啊，最后能算出来还可以，问题当年有大哥就不这么想。那怎么想呢？嗯，等和线嘛，先连，这是一。哦， 既然是系数和嘛，那我同样的区，那这就是二了呗。啊，一样长 一样长的，那我这就二，那我再往上取还一样长，那是不就是三， 所以写个三蒙个三，对吗？还真对了，但是你说是这么做的吗？你要说这么做的话也不是不行哈，答案是对的，但是就不太严谨哈，当年人家想考就和解散小学来做一个结合，但是这么一下，嗯，确实也可以出答案。
10钛度数学
01:27查看AI文稿AI文稿今天暑期长政高三一模数学考完了，整体难度适中，分层比较明显，能够精准检测出咱们的真实备考水平。前五道选择题全都是松分题，考察集合复数二项式椭圆抛物线的基础，绝对不能丢分。选择第六题和第七题难度中等，对 勾函数加向量解三角形最直，考察很灵活，计算不马虎就没有问题。第八题单选亚洲体函数加导数对称性加数列求和，需要考生能够吃透周期规律 多选择题的前两题不难。第九题要先化简再判断性质。第十题概率题核心是分类讨论曲求问题分类别漏了就能选对。第十一题有点难度啊，不能直接几何分析，间隙才是解析的关键。前问题的前两题考察基础，不能丢分。第十四题考察圆的动态举行会揭模分析轨迹就不难。 解答题分层更明显，数列概率统计一题几何，前几问全是基础。导数算许仙的亚洲小问，考察学生的思维深度和综合建模能力，顶尖的考生可以冲一冲，普通考生保基础就好。 整套题百分之八十都是基础题，加上中档题、无偏题、怪题，全是高考的核心考点。其中函数导数一题、几何解析几何占比比较高，贴合二人复习的重点，且能够完美契合新奥考数学素养 技术扎实的孩子充一百二十分以上没有问题。技术薄弱的同学重点去补中档题的综合应用压轴题咱就别死磕了啊，合理分配时间好，各位家长把关注点好。一模考完之后，来我直播间了解孩子这次考试大概在全省的水平以及大概率能读到哪些需要的哪些专业？
438江苏升学规划姜老师
16:02查看AI文稿AI文稿我们来看一下同学们最近刚考的这个苏南五市，那同学们都说很难，那我们来看一下题目，那如果同学们有需要试卷的，那可以点击评论区进群找置顶领取。那对于我们看一下第一题，那第一题还是老样子集合， 那集合 a 是 指的 x 大 于五，集合 b， 那 这边给它化简一下，那是不是 x 加一大于六，或者说 x 加一小于负六， x 小 于负七， x 大 于五，对不对？那这不一看，那 a 就是 b 的 子集啊。那所以第一题就送分题选 a， 那第二个向量平行，那对应成比例，三比负一等于负四， b m 交叉相乘三， m 等于四，那 m 是 不是等于三分之四？那所以第二题选 d， 那 第三题设 a 属于 r， 则 a 等于零，是直线垂直的，这个什么条件？那首先你要搞得懂， a 能推到 b 叫做充分， b 能推到 a 叫做必要， 对不对？那不能推到就是不充分，那后面推不到前面就是不必要，那我们看这个两个直线垂直，那对应 a 一 乘 a， 二加上 b， 一 乘 b， 二等于零，对不对？那对应我们这个 a， 一 乘二，加上四乘 a， 那 就是二， a 加上 对应的这个四， a 等于零。六 a 等于零， a 等于零，那题目说 a 等于零，可以推出后面垂直，对不对？那对应我们后面垂直，也可以推出 a 等于零啊。那所以我们第三题是重要，那选 c， 那 第四题复数还是老样子，那首先我们先把贼的共讧，还是老样子，那首先我们先把贼的共讧，所以乘以他的共讧， 那分子分母同乘一减 i， 那 对应我们的这个分母，也就是一的平方减 i 的 平方，那分子二 i 减去二 i 方， 那我们看到 i 的 平方就要想到负一，那这里替换成负一，那一减负一是不是二，那对应这边我们也提个二，这边 i 的 平方， i 减 i 的 平方，是不是负一，那对应我们这边画出来是 i 加一，对不对？ 那大家最好写成 a 加 b i 的 形式，那不管用，不用得到有一加 i， 那 求模嘛？那我们 z 是 不是就是一减 i， 那 求它的这个模，这个很简单，不就是根号下 a 方加 b 方，一加一等于根号二， 那所以我们这个选 c， 那 这边不就涉及到一个求模的公式吗？那如果同学们有需要公式的，那也可以进入群聊。那第五题，那二项式，那第三项大家告诉我 r 等于几？是不是二？第七项 r 等于六，那展开式的长数 项，那对应不就是 c， 那 我们这边首先要求出它的这个 n 是 多少，对不对？那我们可以得到 c n 二， c n 二就等于 c n 六，那 n 是 不是等于二加六，也就是八，对不对？那这个你一定要会算，那对应题目让我们求常数项，那 n 都等于八了，那列一下 t， r 加一等于 c 八二，那对应 x 的 八减二次方，那 x 分 之一的二次方，对不对？那我们化简一下， c 八二， x 的 八减二， x 分 之一的二次方，不就是 x 的 负二吗？那等于 c 八二， x 的 八减二， 那常数项不就令这个未知数为零吗？对不对？令这个为零，那 r 等于四，那对应就让我们求 c 八四，那 c 八四不很简单吗？ 八乘七乘六乘五，除以四乘三乘二乘一，那抵消一下，抵消一下，那算出来是七十，对不对？那所以答案选 d， 那 这个不就考了个二项式吗？那接着我们看第六题，那第六题一定要读得懂题目，那一个圆柱，那么在这搁这画一个， 一个圆柱，还有一个这个圆锥， 那还有一个是球， 那换一种颜色给大家。那题目说一个圆柱和一个圆锥的底面直径，是不是这个和它们的高，底面直径和高都与一个球的直径相等， 那我们这边我们就假设这个底面底面这个半径为 r， 那 对应。 大家看一下，一定要现在读读得懂题目。那题目的意思就是我这三我画蓝色的这条线都是一样的，那这个是 r， 那 这个就是二 r， 这个是 r， 那 这个对应是 r， 那 我们对应，求一下他们的体积，那这个是不是底面积乘高，那是不是 派 r 方乘以二 r 对 不对？那中间这个三分之一派 r 方，三分之一底面积乘高吗？那第三个，那对应我们圆的体积公式，三分之四派 r 的 立方，那大家求一下这个比值是多少？ 那我给大家简单的求一下，那首先二方，二方二的三次方嘛，对不对？全都抵消掉，那对应我们的派也可以抵消掉，对不对？那第一项剩下一个二，这边剩下一个三分之一，这边剩下一个三分之四， 那我们二还能再抵消一次，这边还有个二，二再抵消掉，这边是不是还剩二，那两边再重出三，那这边他不就剩下三吗？这边剩下一，这边剩下二，所以三比一比二，大家看一下选什么，那不就是选 a 吗？对不对？ 那其实这个不就考了一个公式吗？你首先要理解题目，那对应我们看一下第七个已知双曲线的离心率，那你首先要理解题目，那对应我们看一下第七个已知双曲线的离心率。应该想到什么？ 还是用红笔？那是不是 a 分 之 c 等于根号三，那接着我们看抛物线的一个焦点，那这个抛物线你首先要知道是这么画对不对？ 那接着焦点零，逗号，二分之屁，那到双曲线的渐近线的距离为三，那我们双曲线是不是有两条渐近线，它指的是哪一条呢？这里一样的，你随便取一条 y 等于 a 分 之 b x， 我 们就取这一条，就取上升的这一条嘛？那对应是不是 b x 就 等于 a y， 那 b x 减 a y 等于零，那题目说焦点到渐近线的距离等于三，那我们给他写一下那点到直线的距离的公式， d 就 等于根号下 a 方加 b 方，那横坐标是零吗？那零乘 b 还是零，那对应我们这边有一个负 a 乘以二分之屁，因为是绝对值吗？这个符号就不写了， a 乘以二分之屁，那等于，那我们先给他化解一下。你想 a 的 平方加 b 的 平方开根号，那因为是双曲线，那不就是 c 的 平方开根号吗？那不就是 c 吗？那 a 那 二分之屁，那我们 a 和二分之屁都是正的吗？所以我们直接直接去掉， 那大家看一下这个是什么？ c 分 之 a， 那 c 分 之 a， 什么离心率对不对？离心率是 a 分 之 c， 那 c 分 之 a 不 就等于根号三分之一吗？对不对？ 那所以这个我们不就化简了吗？根号三分之一乘以二分之屁，那对应等于我们题目说的三， 那屁那一眼看出来，那不就是六根号三吗？对不对？大家告诉我选什么？那是不是选 b， 那 就这么简单，那所以这一题他主要考了个离心率，那还考了一个这个接近线，对不对？ 那第八题，那第八题的话其实也不难，首先你要先搞懂，大家可以先读一下题目，回忆一下，那大家可以先暂停，那对应这个相切，那相邻切点，举个例子，比如说我们正弦函数 是这样的，对不对？给大家多画几，那对应，比如说我们，嗯，换个颜色， 这边画的不是很标准，大概是这样的，这边是有交点的，那对应这个就可以说是 y 等于 m， 那 这个就是两个切点，大家告诉我两个切点之间的距离为 pi 是 什么意思？ 大家看一下两个切点的距离是不是一段、两段、三段、四段，其实这个就告诉我们是周期， 那对应我们就可以得到 t 等于 pi， 那 omega 分 之二， pi 等于 pi， 那 omega 是 不是等于二？那所以我们得到这里是二分之一二 x 加六分之派，那其次又考到一个对称中心，那正弦函数的对称中心是什么？大家想一下，那是不是 k 派，然后逗号零，对不对？那这个大家一定要知道对称中心，那如果不知道，同学呢？可以自己回忆一下，那这个很重要， 那对应我们这里就可以得到，那其实这边是零嘛？比如说这个点零，这个是零加一派嘛？零加派，零加二派，对不对？那所以我们可以得到这里二 x 加六分之派，这个整体就等于 k 派， 那对应二 x 就 等于负六分之派，加上 k 派，那 x 就 等于负十二分之派，那加上二分之 k 派， 那因为题目给了我们这个范围，对不对？那我们当可以取一的时候，那大家算一下 x 等于多少，那对应是不是十二分之五派，那所以我们选 b， 其实这题呃也没有难度吗？那不就是考的这个，呃，三角形的这个图像吗？ 那对应我们看一下，其实都是回归最本质、最原始的那个基础的嘛。你首先你知道正弦的这题你就会做，那我们看第九题， 那这个，哎，嗯，这个如果大家熟悉的话，其实考了个定点问题，你不管你没读后面的题目，都应该看得出来。我们这边提一个 t 出来， 变成二 x 减二减 y 加一等于零，那令二 x 减二等于零，那 x 是 不是等于一，那对应这一项为零了以后， y 是 不是也等于一，那所以我们可以得到它过定点一一 那其次与这个圆相交于两点，求 ab 的 最小值，那得给大家画个图，我们画在左边 一一，那对应什么时候才能最小？那给大家举个例子，那比如说我现在我这么画，给大家换个颜，我们把图画大一点， 那对应我们换种颜色， 那比如说我们随便取一个点，那他首先肯定是过一一的嘛，对不对？比如说我就取这个，那对应我们是求弦 a b 的 最小值，那你看什么时候最小？ 这样这样，或者说这样什么时候最小，那其实我来告诉大家，那对应我们求出定点一一，那是这个点的时候，这样的时候最小，垂直的时候 垂直的时候最小，这样的时候才是最小的。那对应。那我们要求此时的弦长 a b， 那 我们这个距离，那这条直线是不是可以是这个？那对应 我们的半径是多少？那通过这个不是可以得到圆心是零零，半径是二吗？对不对？那我们用蓝色的笔，那对应，我们可以得到 这个也就是二，这个只是我画的比较不是很标准，那所以这边恰好在落在 y 轴上，那对应这边是二，那这边点到直线的距离是垂直的，那大家可以观察一下， 那这个点我们刚刚是不是求出来是一一，那圆心是零零，那大家告诉我这个是多少？ 那两点距离公式不是根号二吗？那对应这边那勾股定律，那还是根号二，那根号二加根号二，不就是这个弦长 a b 吗？那所以答案就是两倍根号二，那选 c。 大家自己一定要理解一下，为什么取一这个点的时候，它这个 a b 就 最小， 那大家可以自己去画个图，多画几遍，你可以发现只有这个取这个垂直的时候才是最小的，不然其他都会比它长。那对应第十题，那这个一看求最值，那大家记住我们求最值只有两种，一个是一元二次方程，那一个就是这个均值定律， 那对应我们这边以那看到 a 加 b 等于一，大家的第一反应就应该是想到乘一法，那对应我们这个式子，你这么复杂，我们先给他画个减吗？分离常数，那是不是可以得到是 a 分 之 a 分 之二 a 方，那对应不就是 a 分 之二，那给大家写出来，那对应不就是二 a 吗？对不对？那加上 a 分 之一，那对应再加二 b， 那 再加 b 分 之四， 那大家看一下，那我首先先把这个二 a 跟二 b 写到一起，再加 a 分 之一加 b 分 之四，那大家熟不熟悉？那不就是基础题吗？ a 加 b 等于一，那所以这是二，那对应这边我们用什么法？ 乘一法对不对？那平时的题没有练过，那 a 分 之一加 b 分 之四，那乘以一还是本身吗？把这个一替换成 a 加 b， 那 乘出来， 那是不是一加 a 分 之 b 加 b 分 之四， a 再加一，那等于二加上，那对这个进行均值定理，我们用蓝笔来写， 那是不是大于等于二根号下 a 分 之 b 乘以 b 分 之四， a 抵消抵消抵消抵消，那大于等于二根号四，也就是四，对不对？那对应我们这边求出来是四，那是不是这边是二加四 啊？我们这边大家是注意啊，我们这个地方求出来这个应该也是四，对不对？ b 分 之四乘 b 不是 四吗？所以我们这个地方是五， 那所以我们这边五加四，是不是求出来是九，那对应这个最小值就是九，那最后二加上九，是不是十一？那对应我们答案选 b， 对 不对？ 那这个就是我们整个选择题，那我们第一题考的什么？集合，对不对？第二题向量的平行，那第三题直线的垂直，冲要冲要那个冲要冲，要条件嘛？那第四个负数， 第五个二项式定律，第六个这些体积公式嘛？第七个圆锥起线，第八个三角函数第九个，那对应这个考试，这个圆的这个弦长过定点问题，那第十个均值定律， 那大家看一下，如果有不理解的地方呢？都可以在评论区提问，那如果同学们想需要这个资料的，那可以也可以进群。
2386职教高考翟老师讲数学
02:10查看AI文稿AI文稿好，大家好，我们来看一下这道题，那这道题也是我们的一种常考题型，我们来看一下提问。 a， 若三二 a 等于三二 b， 那 我们根据两个角相等的话，它有两种情况，二 a 等于二 b 或者是二 a 加上二 b 是 等于 pi 的， 所以 a 选项是错误的，那 b 选项那三 b， 我 们把它写成三 二分之 pi 减 b。 同样和 a 选项一样，这边存在两种情况，一种是 a 等于二分之 pi 减 b， 或者是 a 加上二分之 pi 减 b 是 等于 pi 的， 也就是 a 减 b 等于二分之 pi， 所以这个 a b 选项都是错的，那 c 选项那三角形里面只有一个角是钝角，因为只有钝角它才相等啊，所以 c 是 对的， d 的 话三个，因为我们根据 cosine 法，它的绝对值它是小一点，一的，那三个值相乘要等于一，必须满则满足，三则同时为一。 也就是 a 减 b 是 等于 b 减 c， 也就是 a 减 b 是 等于零， b 减 c 也要等于零， c 减 a 也是等于零的，所以我们得到 abc 是 一个等边三角形，所以 d 也是对的。此题的正确答案选 c d， 感谢大家的收听！
01:29查看AI文稿AI文稿真的很心疼咱们高三家长，很多人呢，前一段刚花了小餐版买了各种各样的押题卷，结果呢，又来了一个葛军的这个信心跃升卷。我看到之后，啊，这没完了吗？我也不想让大家多花钱，但是啊，这个呢，可是葛军出的数学卷子啊，我看到之后，我真的，我一秒就冷静了，我一定要给我的二零二六届学生推荐， 毕竟他是葛军数学弟，有着四十多年的高考命题。他的卷子啊，不单单是为了刷题，而是按照新高考数学的打法给孩子出的题， 名字叫做信心跃升卷，可以说是葛大爷毕生的教学智慧的总结。大家可以点开链接，看看你们地区还有没有库存，因为他太火爆了，出题太牛了。 这套信心卷啊，一共是五套卷子，先发两套卷，五一之后啊，再发剩下的两套，懂的都懂，因为五一发货，能够避开这个高考的反押题机制，我也不想让大家多花钱啊，但如果说咱的孩子现在还在盲目刷题，被各种卷子带偏了方向，那么这套葛君亲自操刀的信心跃升卷，确实得让孩子认真做。 当然了啊，不单单是这五张卷子，更关键的是他的答案讲解，一题双视频讲解什么意思呢？就是先针对这道题啊，讲他的解析方法。然后呢，第二个视频是葛君老师真人出镜，再次讲解。讲什么呢？讲命题，讲策略，讲反思，讲复盘？ 市面上啊，你找不到第二家这样讲视频的，因为第二个视频讲解，可以让孩子真正弄懂高考出题的根，让孩子学会举一反三，懂一道题，会做一类题，这是真的是把数学弟葛君请回家当私教了啊！真的啊，这套卷子的出题质量非常高啊！刷到这条视频的家长呢，一定要点开给孩子带回家，二零二六高考就稳了。
03:18查看AI文稿AI文稿这道题目是昨天南京武校的十四题，这个题目题目很简短啊，但是呢，它比较困难的就是它这个代数的一个处理，我们可以一起来看一下这道题。在这里我们可以设 c 点的坐标为 m， 逗号 m 的 平方， 因为它 a c 是 平行于 x 轴的，所以我们可以写 a 点的坐标为负 m， 逗号 m 的 平方。 b 点，我们可以设为零，逗号零方， 因为他 ab 是 垂直于 bc 的， 所以我们可以去写这个向量相乘等于零，或者斜率相乘等于负一，那么 ab 的 斜率就可以写成 m 的 平方减去一个平方，比上一个负 m 减一， 然后再乘以一个 bc 的 斜率， m 方减去一个零方， m 减零等于负一，所以我们就可以得到。这边我们可以写成 m 减零，再乘以一个 m 加零等于一，所以我们可以得到 m 方减零方等于一。 那么内切圆半径直角三角的三角形的，这样的一个内切半径是有公式的。二 r 是 等于 a 加 c 减去 b 的， 所以就等于根号下 m 减零的平方，再加上一个 m 的 平方，减去一个零的平方的平方，加上一个根号下啊 ab 的 话就是零加 m 的 平方加上一个零方， m 方减去一个零方的平方， 再减去一个二 m。 下面就是这个式子处理的难点了，在这里我们可以先把它变形成一，那么这个式子也可以变形成一，那么这个一变完了之后呢，我们可以再把它变形成 m 方减零方，所以这个式子它就可以写成把前面拆开来，它就变成二 m 的 平方减去一个二 m， 零 加上一个根号下二 m 的 平方加上一个二 m 零，然后再减去个二 m， 然后难处理的是这个我们可以把它拎成 t， 所以 我们就可以得到 t 平方就等于四 m 的 一个平方，再减去一个，再加上一个两倍的，然后各有一个根号二，把它提出来，所以就变成四倍的。一个 m 的 一个四次方减去一个 m 方平方里面会形成平方差， 那么在这里他可以写成 m 的 平方，然后里面可以写成 m 方减零方，那么这个就是一，所以他开根下来的结果就是四 m 的 平方再加上一个四 m， 所以我们就可以得到 t， 实际上就可以写成根号下四 m 的 平方，再加上一个四 m， 所以 我们可以把这个数字简化成 根号下二倍的，根号下 m 的 平方加 m， 再减去一个二 m， 它是等于这个题目给我们的二。根号六减四， 两边同除二，就变成根号下 m 方，加 m， 减去一个 m， 就 等于根号六减二，所以在这里我们很容易得到 m 减下就等于二， 那么我们有了 m 的 值之后，我们就可以得到赢的值，赢方是等于 m 平方减一的， 所以我们就可以得到 b 减的坐标就是根号三，逗号三，所以我们就可以到 o b 的 平方就等于十二。
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