新高考一卷数学卷子电子版
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00:32查看AI文稿AI文稿上个视频带大家学习中考数学真题，不少同学都说学到了，这次我们一起来学习二零二六年高考全国一卷数学真题。第一题 求六八四五十二这组数据的中位数。我们先把这组数据进行排序，从小到大排序，或者按大到小排序都可以。我们这里按小到大排序， 四五六八十二，发现六在这组数据的中间，所以这组数据的中位数就是六。答案，选 b， 关注我，带你解锁更多数学解析技巧！
29超大一口
07:12查看AI文稿AI文稿还有一天就高考了，老师带你看一下全国新一卷的数学真题，近五年的答案，希望对你考试有帮助啊。 这里边的话呢，我们着重看的是最近三年啊。呃，二五年我们可以看到什么？是不是 a 选项出现了几次？是不是两次啊？ b 选项的话呢，是不是出现了三次啊？ c 选项的话呢，是不是出现了两次，然后 d 选项出现了一次啊？就前八道题。咱们先说单选啊。这里边的话呢，有一件事啊，你可以非常清晰的看到，是不是每一个选项都有 最多几次，对吧？最多最多就三次啊，最少几次？最少也得一次啊。这里边的话呢，你再看一下，二十四年啊，二十四年我们同样也拿过来的话呢， a 选项出现几次是不是也是两次？ b 选项还是几次？依然是三次啊？ c 选项的话呢，是不是两次，对吧？ d 选项出现几次是不是依然是一次 啊？再看二十三年， a 选项几次，是不是一次？两次依然是两次？ b 选项的话呢，一次两次啊，也是两次。 c 选项的话呢，你看一次两次啊，都是两次啊。这里边的话呢，我们总结出来的最大的规律是什么？你看近两年的话，其实哪个选项是特别少的，是不是大选项就特别少啊？然后 c 选项的话呢，特别稳， 对吧？然后 a 选项也特别的稳啊。这里边的话呢，只有 b 选项其实是有稍微的变动，而且你就看啊，为啥说主要看最近这几年的，看到规律没有？ 嗯？ a 选项都出现两次， b 选项三次， c 选项两次， d 选项一次啊。呃，这是单选啊，记住，怎么记住 每一个选项肯定会出现这里边的话呢？前四道题啊，基本上前四道题纯送分题啊，老师这两天也写了几套，今天争取再给你们写两套啊，然后最后的话呢是， 嗯，你像这个平均啊，这个来讲啊，怎么去分配这个东西，前四道题你怎么着怎么着也得给老师算出来了吧啊？前四道题，老师，你你不要求你全对对三道吧， 对吧，对完三道之后是不是你每个选项都差不多知道是怎么回事了，后边蒙的时候知道怎么去蒙，少蒙，哪个少蒙大 一定要少蒙他啊，你想蒙实在没招了，奔着哪两个蒙，奔着 bc 蒙啊， 然后说完单选，咱们再说一下多选啊，多选的话呢，我们也着重的看近两年啊，你就记住就看近几年的这些东西啊，很明显的话呢，二十四年是不是一个选俩的，对吧？ 然后二五年也是选俩的啊，为啥不看二三年？因为二三年他特别恶心。二三年的话呢，他是三个，全都是三个的。 嗯，这里边的话呢，那很明显二四年，二五年是不是都是有一个我选俩 b， c 或者 b 大， 然后其他的都选几个，其他都选三个啊，这种三个的通常来讲啊，老师告诉你怎么办 啊，当你这三道题里边确定说老师这道题绝对就选两个，那么剩下那两道题找错的， 找错的一定是找错的啊，这里边的话呢，多选啊，就这样啊，实在多选选不了，这个看命啊。好吧，说完单选再说完多选，我们再来看一下重中之重。 什么？是不是我们要看一下二六年啊，预测一下，对吧？我们简简单单预测一下啊，然后看这的话呢，你看，呃，近五年，第一题 b 大 c a c c 啊， b 大 c， a c 啊， 第二题的话呢， c 大 a c c 嗯，第三题 b b 大 大大第四题， a c 大 ab， 第五题 c 大 aba 啊，你看这里边，你看到没有？嗯，你看到没有，尤其 这两年的。就近两年的啊，就看近两年的就行了啊，近两年的最后这几道题，最后这四道题就五六七八，通常来讲它都是难度比较高的题啊。你看啊，二四年的是 bbc 对 吧？二五年的呢，是 aabb。 看到哪一个东西比较多了吗？ 是不是 b 选项？二十四年几个？三个，二五年两个，你往上翻二十三年他也是两个啊，当然二二年比较特殊，二一年也比较特殊。不要看前面的了啊，你就奔着近三年的去看， 所以当你的五六七八，你说老师我真不会的时候，怎么办？怎么办？哈哈哈，同学们怎么办？我就问，你 懂了吗？嗯，懂了吗？ 再看前面啊，前边的话呢？就是为啥老师也不太想着重说前边前四道题啊？就这前四道题， 你看啊，上面的话呢，是 a c 大 a 啊，这是 c c 大 b， 包括上边的 c a 大 大。这些东西有规律吗？没有什么规律 没有什么规律，因为前四道每年纯送分题，就是只要你底子，就是你有点底子，你就是能拿到分的。所以这不说啊，老师这几道题说了吧， 这边的怎么去判断对吧？怎么去判断？一个选俩的，那俩选仨的选仨的，排出那个错误答案就直接给老师选上就行了。好吧， 都说到这了，给老师点个赞吧。啊，给老师点个关注啊，回头我呃，高考卷子出完那个考完之后只要针对卷子出来，老师第一时间，呃，跟你说一下， 前边会的，一定要自己拿到分啊。一定要自己拿到分，你说后边确实老师不会了，对吧？因为是高考数学这个东西说实话挺难的，尤其是五六七八这种题啊，他就是很难，实在不会了。哎， 知道啥意思吧。啊，好吧，加油啊。呃，别焦虑啊，千万别焦虑啊，到现在了对吧？我们都准备了好多年了，就为这一下了，加油。
2900教数学的孙老师
03:02查看AI文稿AI文稿高考终于结束了，那今年新高考一卷的数学，应该是这么多年新高考以来出的最漂亮的一套试卷了。毕竟新高考进行了这么多年，越来越完美呢，也是再正常不过的了。那网上太多讨论高考试卷的了， 除了抱怨难，我没听到什么有用的分析。有些网红啊，我估计连题目都没好好做过，只顾着制造焦虑了。所以这条视频呢，给所有关心数学学习的家长们指一条明路。首先说我自己啊，我大概一个半小时就能做完这套试卷，所以第一整体的计算量肯定是下降了的。有些博主啊，一直在数两道圆锥曲线的题目，计算量超级大。 话是没错，但是整体来看，也就这两道比较大呀，你瞎知道什么焦虑呢，这什么问题吗？整体来看，计算量就是下降的啦，那前提是你得会用巧劲，你像第六题，你死算，肯定计算量很大，但如果你来个切线，放松一分钟就出答案了呀，这不叫计算量大。 第二就是题目非常新颖，肯定是反刷题反套路的。你想第三题啊，虽然很简单，但以前的高考从来没把三角函数和集合放在一起考，现在这样的结合还挺新颖的。再比如说立体几何的超级大难点球一 题都没考，内切球也好，外接球也好，一个都没有，所以也可以明显的看到在弱化几何。但是新定义的题目呢，越来越多，也是明显告诉你，不要再想着背口诀大招了，一定是思维。为毛题目新颖 代表是偏题怪题？这也是我觉得这是新高考以来最漂亮的一套试卷的原因，题目是有难题，但是不是偏题怪题 难很正常啊，我觉得很多家长呢，都被情绪牵着鼻子走了。你看很多教育博主啊，他等着高考一考完就马上发视频说高考好难呀，孩子们好不容易啊，寒窗十二年败在了数学上啊，流量是蹭蹭蹭的往上涨。 大家有没有想过，你看完这种视频，你除了满脑子的情绪，实际上你还是脑袋空空。你对自己家的孩子有任何落地的规划吗？抱怨解决不了问题的，想方法才是对的。 你只听说今年高考比较难，但你搞明白了吗？他难的是思考，而不是计算。所以小学的家长一定要重视孩子的思维拓展。我可以明确给你下结论，但凡是一个负责的小学数学老师，你去问他，他一定会告诉你， 小学课内的这些知识啊，现在是绝对无法衔接上初高的难度的。你想未来学的轻松，那小学一定要做思维拓展，那前面已经说了两点了， 计算量降低，题目新颖。我再讲第三点，重视基本概念，你也可以理解成回归教材，但是按照我这么多年的教学经验，没有几个学生有回归教材，吃透教材，他也不知道怎么回归。所以我才说啊， 真正高级的重视基础回归教材，其实说给老师听的，也就是说老师一定要吃透教材的基本概念，然后你提炼给学生， 通过设问的方式，引导孩子重视数学的地基，而不是把回归教材这个高难度的事情啊，直接扔给学生，普通孩子哪有这个能力啊。所以数学呢，对老师能力的要求在变高。所以初中高中啊，尽量去个好学校， 这样遇到好老师的概率才会变大。那实在没去成的话，课外找个好老师扎扎实实学吧，擦亮眼睛，别上当受骗了。
1277陈涛老师伯乐数学
04:31查看AI文稿AI文稿今年新高考，英卷的数学成绩出来了，七百二十万考生里面，满分只有一个，浙江的许可一百五十分，整张卷子零失误。现在全网都在膜拜天才。 但我看完他的采访，真正让我心头一震的，反而是他随口说出的一句话。因为啊，在整整二十年之前，我说过一句跟他完全相反的话。先说这个满分有多难。 今年的数学，一卷反套路、反压题，压轴题的逻辑链长到离谱，整张试卷的难度啊，仅次于被称为地狱级的二零二二年。 就连江苏这样的高考大省，今年数学最高分也不过一百四十二。许可一百五十 出分。那天呐，全校沸腾，但他本人呢，毫无波澜，因为考完那一刻，他就给自己估了满分。 但我翻了他的简历，发现了一个几乎没人注意到的细节。去年的全国数学奥赛 cmo， 他 排到全国第一百六十七名。 也就是说，单凭数学天赋，全国呀，至少有一百六十六个同龄人，大概是排在他前面。那问题来了，凭什么是他在高考的时候拿了唯一的满分？ 我不急着给答案，先讲讲我自己的故事。二零零六年，我和另外五位同学一起代表中国参加国际数学奥林匹克，也就是 i m o。 出发前，有人问我目标是什么。 我当时啊，年少轻狂，说的很简单，世界第一。半个月后，我真的拿到了满分金牌。那一年，全世界只有三个满分，中国队六个人满分只有我一个。 你看，我和许可一样，都在一张极难的卷子上拿到了满分。但我们呐，有一个地方完全相反。 许可接受采访时说，我没设定什么宏大的目标，就是一直一直努力，每一天每一道题都不松懈。 很多人觉得这是谦虚，但我知道不是因为我太清楚死盯着一个宏大的目标是什么滋味。如果你很执着于这个目标，你的心会紧张，你的动作会变形，你会患得患失。 我的数学教练也告诉我，要求战而不要求胜，求战就是回到当下，享受做每一道题的过程。而求胜呢，是紧盯着对错，紧盯着最终的结果。 但许可在十八岁这年，他已经展现出的一种通透，他没有把精力啊消耗在对结果的执念上。这就解释了为什么满分的人是他。 高考数学考到最后，拼的不只是谁的智商更高，更是极其恐怖的精准度。限时两小时一百五十分，零失误，意味着每一次运算，每一步推倒都不能有一丝的变形。 有人看我今年直播讲高考题，就问我，如果今年你参加高考，还能得满分吗？ 我的答案是，不能。因为啊，太久没有练习了，状态早就不比当年了。真要到了考场上，今年我没有信心拿满分 取巧那句每一天都不松懈，恰恰就是答案。当一个人呐，在考场上，没有任何的包袱，完全沉浸在数字和逻辑之中，他的心力啊，才是最专注的，他所有的精力都化作了笔尖下毫无破绽的推导。 再次祝贺这位满分少年，他比当年的我更加平静从容，没有宏大的目标，只有纯粹的热爱。我相信数学这条路，他一定会越走越宽，越走越远。
4.7万柳智宇的分享
03:07查看AI文稿AI文稿近百万人看过河北理科生六零六复读到六八七，数学幺零幺提到一百四十二的考场心路历程他来了。遥想主播去年高考数列提算的心态爆炸，最后整张卷子也是咬牙切齿的写完，平时一百二三的成绩最后就比满分多一分。 主播痛定思痛奋斗一年，也是如愿二次坐到新高考议卷的考场上。发卷子的五分钟内，主播吸取了去年先看后头大题影响前头答题心态的经验，没有看大题，直接去浏览小题。开考后也是五分钟就秒完了前五道题。第六题，主播观察选项得 分母一定是正数，直接令该式等于一求导，得出最小值，两分钟秒了第七题，一看这么长，也是给主播下一大跟头，沉静一下，利用求和公式轮流带入选项，发现只有 b 才能使首项合理存在。用时四分钟解决第八题，由于当时没有观察到期望的对称性，主包直接是一个个硬算，算了好几分钟终于写完了。 这个时候主播检查了一下选择题是三二二一，符合答案分配规律，两点二十分顺利拿下八道单选。第九题没什么好说的，一分钟秒了第十题。主播刚开始突然想到最小脚定律， 差点把 a 选项想了一下，觉得这种情况不成立，然后 b c 也是成功选出，用十五分钟解决此题。到了十一题，主播也是不会了，两眼一黑，画了几个圆就跳过了。 这时候看了一下表，已经半个小时了，赶紧开始做填空，前两个秒杀算到六六六这个神答案时，主播也是心颤了一下，重新算了一遍才放心，最后一个填空，主播也是写完两项都不会了，再次跳过，现在过了四十分钟， 前三个大题直接秒杀，大概一共用了二十五分钟。第十八题还好没有主播考前想的那么新，主播利用维达定律直接算出第二问，第三问也是很基础的倒脚公式，用时十五分钟解决。看到十九题的主播虎躯一震，二十四年的新定义又复活了，硬着头皮看下去，读了一会，大概读懂， 用时十五分钟。写完前两问，此时主播还剩二十五分钟，看着压皱问，意识到这题并非我的菜，想到前头还有两个小题空着呢， 就调转枪头来到十四题，用了五分钟终于开制看懂算出答案，此时距离收戒还有二十分钟，来到十一题，主包算了一下，发现 a 在 镶嵌的时候肯定不成立，此时 b、 c、 d 都有点拿不准，蒙一个也是蒙，蒙三个也是蒙， 主播又想到此前在文殊菩萨那充过值就莽上了，直接选择 b、 c、 d。 此时距离收卷还有十五分钟，主播去检查了一下前六道题，确认没问题后还有五分钟，反正闲着也是闲着，再次企图强制按十九题括号。三，主播也是神来之笔，想到反正法， 又想到了高中三年修炼过无数次的伪政法，盲人政法，大到乱编大叔特殊文思泉涌，中间瞎写了一大堆之后看答案发现确实用的是，反正也是让主播骗到分了，写完之后也就收卷了，此时主播甚是快哉，乃至于老师收完答题卡，我很丝滑的就无意识的把卷子装自己包里了，让老师是一脸懵的抠在那黑人问号脸， 还好主播反应及时，要不就吃公交饭了。总结一下这张卷子，感觉题目有些创新，较考验思维，但是基础的老套的模型也是不少的，初提水平主播给到吭。关于主播这一年是咋提升这么多的，之后会单独再出视频，具体介绍数学学习 方法，制作不易，希望小伙伴们能给主播点个关注和点赞，主播会继续更新内容，也是祝大家高考出分都超出预期，都有美好的未来。
6.3万抱抱爆爆
16:41查看AI文稿AI文稿哇，二六年的新一卷真的是题目出的非常好，但是难度也很大，考完之后呢，我就看到有很多同学讲，说，老师这次的新一卷也太难了吧，感谢新一卷，让我有了上大专的机会，那么这份卷子到底难在什么地方？来给大家做一个点评和分析。 呃，我看到的有人讲啊，说这次的新一卷呢，和二二年的新一卷非常像。呃，这个观点呢，我个人是不太同意的，因为二二年新一卷什么特点呢？他呢，应该是中档题，扎堆，复杂程度比较高， 但是呢，如果你单纯的看每一道题目，他没有那种特别难想，思维含量比较高的题目，单纯的只是做不完。但是呢，二六年的题目， 你看，大家都知道，他的选择填空难度比较大，卡点比较多，而且呢，这些卡点基本上都集中在思维层面， 就是很多题目，你乍一看，感觉呢，有思路，稍微想一想，感觉呢，方向好像还很多，但是你再仔细一做，很多方向他是做不出来的，坑点特别多。 但是呢，都已经坐到这了，如果让你放弃，你又不甘心，犹豫之间，时间就这么过去了，对不对？所以呢，很多同学啊，坐到后面就没有心思再冷静的去做题了。其实呢，你说这份卷子后面的解答题他很难吗？ 咱说句实话啊，除了十九题，其他四道解答题真心不是很难。但是呢，很多同学经过了选填的摧残之后，到了解答题，已经很难再冷静的去做题了。 其实呢，像这样一份卷子，如果你的思维能力比较强啊，你能跟上出题人的思路，那么做起来会非常非常爽，比如说呢，我自己在做这份题目的时候，前面真的是一路畅通无阻，一直做到十九题的最后一问， 哎，确实卡了很长时间，但是前面的题目做的非常顺，但是呢，如果你的思维能力没有那么强大，前面一旦卡住两三道题目，那整张卷子的节奏就全都被打乱了。 ok， 好 的，那接下来呢，针对具体的题目呢，做一个分析哈啊，这些视频呢，只做分析，后面呢会有专门的视频讲解部分题目 好，首先呢，前五道题目，这个呢，没啥好说的，都是非常基础的这个送分题，如果这些题不会做的话，你的基础一定出现了大的问题。那接下来呢，第六题 啊，这道题呢，是一道可能会卡住部分同学的题目，因为这道题啊，如果你按照常规的求导方法去做的话，会到两个卡点。第一呢，你得考虑一下这里的 a 是 大于零还是小于零，因为呢，两种情况之下，函数的定义域是不一样的。 不过呢，还好，作为一道选择题，四个选项全都是正数，所以呢，这个卡点是不存在的。然后第二个卡点求导之后，那个导数的零点是算不出来的，你得做以零点代换 啊。正常来讲呢，以零点代换也是一个大家必会的技能，但是呢，现实的情况就是，很多同学掌握的并不好，所以这道题呢，有没有什么简单的方法？哎，这个还是有的， 我当初拿到这道题呢，就没有求等啊，我呢是对它做了一个等价变形，你看这个函数的最大值为一，就等价于这个函数小于等于一，并且等号能成立，对吧？ 好，那咱们把这个分母呢乘过去， x 加二，小于等于 e 的 x 加 a， 整理一下， e 的 x 大 于等于 x 加上二减 a。 各位同学得到这个不等式想到啥了？ 哎，就是咱们非常熟悉的切线放松，一的 x 大 于等于 x 加一，你拿这两个不等式呢对比一下，很明显，二减 a 应该等于一，所以 a 就 等于一，那这道题就做完了。 就是呢，如果这个地方二减 a 大 于一的话，这个不等式不是横成立的，如果二减 a 小 于一，这个等号不可能成立，所以 a 只能等于一，理解了吗？ 所以你看，这就是我之前提到的，如果你的思维能跟得上的话，做起来就会非常非常爽。然后接下来呢，第七题 啊，这道题呢，是一个典型的废话流的问题，前面的背景信息没有任何用处，它呢，其实就是一个基础的等差数列加上一点奇偶性的分析 啊，只需要小学课内程度的既有性分析就可以了。但是呢，这样的分析方法在高中阶段用的毕竟比较少，所以很多同学可能已经忘却了，因此这道题会有很多同学反应确实不太好做。那么接下来呢，第八题 啊，这道题表面上看呢，是一个集合跟概率结合的题目，但其实呢，这道题在我的心目当中，他考察的重点就是研究集合的一个核心的思想叫做研究集合当中的元素，研究每个元素对于集合的贡献。 然后呢，如果你能注意到每个元素是对称的，那么这道题口算就可以出结果，具体的算法呢，叫做零减三乘上六十三分之一，答案应该选 a 啊，这个算法呢，如果看不懂，没关系，稍后会有具体的视频给大家做详细的讲解。 ok， 好，接下来呢，多选题啊，第九题呢，又是一个送分极其严重的基础题，这个呢，没啥好说的，那接下来呢，第十题和后面的十一题，这两道题目呢，有一个共同的卡点，就是你得去想一想到底用什么样的方法去做， 比如说你是用纯起核的分析方法，还是间隙用一个硬核的代数计算的方法，这两条路呢，其实都可以走得通，一般来讲，你擅长哪种方法就用哪种方法，但是最怕的是什么呢？就是有的同学两个方法都不是特别擅长， 然后呢，先想一想几何的方法，感觉不大好做，再想想代数的方法，感觉也不是特别好做，在反复横跳之间，这个时间就这么被浪费了。那么我个人呢，第十题呢，选择的是一个纯代数的方法，为啥呢？来咱们呢，分析一下这个图形的确定性， 你看他说呢， ab 是 两个定点。好，那咱们先把尺线 ab 给它固定下来， 然后呢点 c 到直线， ab 的 距离等于二，来做一个垂直，这个长度等于二。点 d 到直线， ab 的 距离等于一，也做一个垂直 啊，这个长度等于一。并且呢，知道二面角 c 杠 ab 杠 d 是 六十度，那这个二面角呢，其实就是 mc 向量和 n d 向量这两个向量的夹角对吧？ 好，所以呢，换句话说， a， b， m， c， n， d 这三条线的方向是确定的，那么这里面不确定的是什么东西呢？就是 am 的 长度， an 的 长度和 ab 的 长度，这三个是三个自由变量。所以呢，在这种情况之下，咱们呢，完全可以建一个空间直角坐标系， 比如说呢，把这个 ab 当成是外轴好，然后呢，只要把 am， an 和 ab 这三个长度给它设出来，那么 amnb 这四点的坐标，包括 cd 两点坐标全都能表示出来，接下来你就做计算就可以了，这个计算量也不会特别大。 ok， 好，然后呢，十一题啊，这道题呢，是传统的多选非常难做的这么一道压轴题，那么在考场上呢，一个比较合适的策略依然是你找到一两个正确的选项就可以了，对大部分同学来讲，这道题做到这个程度就可以了啊，这里呢，我稍微强调一下这个 c 选项哈， 啊，我看到很多同学说呢，这个 c 选项呢，不太好判断啊，其实在我这里呢， c 选项还是比较简单的，为什么呢？因为这道题呢，有两个自由变量，一个是 k， 一个是 b， 而这个 c 选项呢，只给了一个方程，那咱们都知道，一个方程一般来讲不可能确定两个自由变量，所以呢，这个方程大概率会有无穷多个，且，所以这道题说直线 l 多于三条，大概率是正确的，能理解吗？ 好的，然后呢，是填空题啊，十二题呢，没啥难度。然后十三题 啊，这道题呢，其实如果你要严谨的去做的话，情况还是很多的，这个 a 呢，最后应该能算出正负一，正负二，总共有四个解，但是呢，不管是哪个解，这个 f 三分之二 pi 的 值都是一样的 啊，所以呢，这就对那些呢，其实不是特别严谨的同学，是一个利好的消息，你能算出一种情况，这道题就做出来了，但是呢，大家一定要清楚，不是每次遇到类似的问题都有这么好的运气。 ok， 好， 然后接下来十四题呢，又是很多同学反映不太好做的一道题目，但其实这道题呢，用一下我给大家讲过的反推的思想， 那我个人觉得呢，还是比较简单的，反正呢，我自己做这道题的时候，就是呢，分析了一下这个式子的确定性，然后呢，用了一下反推思想，大概花了两分钟时间，这道题就做完了，后面呢，会有专门的视频给大家仔细的讲一讲。 ok， 行，那咱们来道解答题 啊，十五题呢，是一个非常简单的立体几何题啊，第一问呢，就是一个初中级别的中位线，然后第二问呢，简单的见个线，把这个 c a 和 c b 这两条线段的长度算出来就可以了，这个呢，没啥好说的 啊。十六题，解三角形问题，这个第二问呢，还是可以基于图形的确定性去做分析，如果你真的分析不明白的话，那大不了就直接见信硬算，照样也是可以做的 好。然后呢，是七题啊，我看到有同学讲呢，说这道题呢，感觉不大好做，为啥呢？第一字母特别多，第二呢，出现了这个所谓的证明题啊，我觉得有这种想法的同学，你的问题在哪呢？ 就是你还是没有搞清楚所谓题目的本质特征和非本质特征呢，就是确定一道题目应该怎么做的叫做本质特征。 而像什么字母特别多，是证明题还是计算题，这些对于解析的思路其实没有什么太大的影响，这些都是非本质特征，但是如果你被这些非本质特征给吓到了，不去找本质特征的话，那你在考场上确实很难把题目做出来。 那么这道题的本质特征是什么呢？就是它是一个概率问题嘛，对不对？那我给大家反复强调过，概率问题先找什么东西啊？ 哎，是的，样本空间，你把样本空间给他找出来，剩下的问题通常都不会太难。那么这道题呢，就是做 n 次练习，第一次，第二次，第三次，第四次，一直到第 n 次 啊。说呢，如果投中一次或者 n 次均未投中，停止练习，所以这道题的样本空间有谁呢？你看第一种情况叫做第一次就投中，那就停止了。第二种情况，第一次没投中，第二次没投中，第三次投中，以此类推 啊，一直到这个且 n 减一次都没有投中，第 n 次投中，以及 所有的这 n 次全都没有透出，总共就这么多种情况，而且你看一下，每种情况的概率都相当好算，对不对？那这道题也就可以顺利的拿下了，包括最后这个证明题， 它表面上呢是一个证明题，但是呢，证明两个十字相等，那你把左右两边的这个概率给它求出来，不就完事了吗？ 那么右边这个概率，其实呢，就是把第二问的这个概率当中的 k 换成 m， 而左边这个条件概率，你稍微分析一下，就是一个 x 大 于 k 加 m 的 概率，除以 x 大 于 k 的 概率， 那这个 x 大 于 k 的 概率，第二问有了分子上的概率，把这个 k 换成 k 加 m 就 完事了。所以这道题呢，真心来讲，不是一个特别难的问题。 ok， 好，然后呢，十八题，圆锥曲线题啊，这道题呢，其实是一个蛮常规的问题啊，你就简单的分析一下自由变量和限制条件，然后呢，你的这个常规的解析技术，一些常见的条件，如何翻译 你都特别清楚的话，那么这道题呢，做起来问题应该也不会特别大。比如说呢，像这个最后一问，其实呢，就是一个第三定义，然后呢，加上两条边的斜率定角这么一个翻译方式， ok， 好，那这就说最后的十九题啊，这道题呢，真心是一道非常难但是同时又非常好的题目 啊。我记得之前呢，有一期视频讲过一道上海的一道模拟题，当时呢就给大家说过啊，说什么叫做考察思维的好题， 就是像这张卷子，十九题，包括前面的十四题那个样子，这两大题目，实话实说都不需要很多的知识储备，就十九题所涉及到的所有的知识，在高一前三个月你全都学过， 同时呢，也不需要用到什么既定的且题方法，就是看你面对一个新的问题，新的场景，你能不能自己把它分析清楚，从零开始，一点点把问题想清楚，这就是一个非常典型的考察思维能力的好题。 所以呢，这张卷子为什么很多同学讲说反套路，其实反套路就是反在这个地方，他逼着你必须得当成新题一样，从头开始自己去做思考，而不能借助你学过的那些既定的解题方法听懂了吗？ 好的，所以呢，最后呢，再给大家做一个总结啊。其实呢，今年的新一卷，我个人感觉还是延续了近几年新一卷的一贯的传统， 就是呢，在常规问题上，考察大家的这种通解的思维能力和常规的方法。比如这道题目的十八题，我之前说过了，就是一道非常常规的问题， 而在压轴题的部分啊，不管是选填的压轴，还是最后的十九题，考察大家的思维能力，面对一个没有既定解题方法的新的问题，你能不能从零开始，一点一点的把它想清楚。所以呢，对于这个新高三的同学，给大家呢，最后提两点建议啊。 第一呢是一个关于考场上的建议啊，就是我一直给大家强调，考场上你在做题的时候，一定先把那些有把握的题目给他做出来，有些你看上去就觉得不太好做的题目， 暂时先跳过，先把简单的题目给他搞定了，能拿到分数全都拿到手，再做那些不是特别好做的题目。那么第二呢，就是在接下来高三一年的备考过程当中，大家重点抓两个东西，第一个呢叫做常规方法体系的数连度， 像十八题呢，这种常规方法，你的基本的方法一定要做到特别熟练，看见了基本上就有思路。然后第二个呢，就是如果你想考高分的话，你得去不断的提升自己的思维能力 啊，所谓的思维能力，就是在面对新的问题，没有见过的问题的时候，你要如何去思考啊？关于这点呢，大家呢，可以去时不时的看一下我在 b 站更新过的各种的视频，有很多讲解思维能力的题目。 ok 啊，这一说很多的。这种所谓的二级结论，包括一些什么解析的大招这些呢？大家尽量少接触二级结论，接触一些有用的就可以了。 你去学过多的二级结论，包括过多的所谓的解题大招，在当前新高考的环境之下，说起实话真心作用不大。 ok， 好 的，那二六年的新教材就给大家分享到这里。
179北大数学王鹏老师
11:57查看AI文稿AI文稿哈喽，这里是云老师今天我们带来二零二六年新高考一卷数学的一个测评啊。先说结论啊，我，我认为这张卷子的难度比二五年要大一点，没有大太多，但肯定是要高一点的。 呃，其中主要体现在他压轴题是比较有趣的，就是我大家也知道我自己教新高考一卷，教新高就新高考一卷，新高考二卷和上海卷都做的多 张卷子，比上海卷还上海卷，真是比今年的上海卷还有上海卷的味道，就实在是让人做的感觉太熟悉了，就感觉太像上海卷了。这套卷子实在是我，我觉得很赞，我觉得相当出的相当有水平，相当有趣的一套题目， 做的让我反正是至少在考场下做的是挺开心的。我觉得是近几年出的最好的一套新高考一卷啊。嗯，就是重思考，轻计算。呃，非常体现数学本身的一种魅力吧 啊，然后难度肯定是有一点大的，但硬难度上我觉得可能只比二五年略大一点吧。略大一点并没有说难到很夸张的地步， 但，呃，可能对大部分同学做惯了就是全国卷的题目的同学而言，可能会对像他的八呀，十四啊和二十和十九这三道题目可能会产生一些那种，嗯，感觉会有点痛苦，但其他的题目我认为还是比较正常的。 来吧，我们先从前面看，前五道题没有任何值得讲的地方，五道题均为简单题，简单简单简单简单五道简单题，然后第六题，第六题可以给一个中简吧。 第六题我我大家听过我测评的应该知道，我会把题目分为简单，然后中档题，中档题我会分成三个部分，就是简中档偏中档和中档偏难来代表，然后还有就是难题， 难题实在太少了，就可能一张卷子里面都不见得有一道难题，大部分都是中档题。难题就意味着是我自己可能只能做出百分之一半的题，就是一半的难题我能做一半的题我做不了，那种感觉就是真正的那种比较难的题 好呃，第六题给个中减吧，就不算太难。其实对我而言，我自己做法就是求个导，然后试一下就直接选二 b 了，好像还是比较比较轻松的。 好像还是比较轻松，听说是有一些比较灵活的做法，但我觉得我自己做法也很快，而且更万能一点吧。可能就求个导，然后看一下直接把 a 往里面塞就行，然后很明显塞二 b 是 比较轻松比较愉快的。然后第七题， 第七题给个也给个终结嘛。这道题目难度也不算大，一个等差初恋。你基本上写出来之后，明显首先就能先把那个 a 和 c 直接就排掉了，就看一眼就知道这个 a 和 c 肯定是不对的，然后在 b 和 d 里选 d 也明显是不对的。往里面一带，你发现这个四 g 都跑到没标了，所以很快就能选出二 b 了。 就只不过一开始读题费了点力。这道题目读题，然后开始写是要写一写，但一写起来，你一发现往里面一带， a、 c、 d 瞬间就消失了，所以选个二 b 也比较轻松。两道题都是终结。第八题，那给个中中吧。 其实也有点想给中介，因为因为这道题目，其实这题目就非常上海风格的一道题目，就基本上你只要想到了就是一秒出答案，没想到可能就会死做，可能会做很久。这道题基本上看到它的对称性，首先一个对称一一一去肯定是要找那个负的，首先所以 c、 d 一 排，然后这两个里你 其实大概率一看，这个一去掉一加，一加一是三，总共是六十四，那一下要出个三呢，就负二十一分之一嘛，所以还是很快的，就这道题目可能用时总共花了两分钟。第八题对我而言，因为我一方面啊，就我也，我也先跟大家叠个假，就一方面我比较擅长做这种题，就是这种重思维轻计算的题， 我在高中的时候就很擅长，我自己高中也考的是全国卷，我高中时候就比较擅长。然后在上海卷，我感觉到了一种新天地，就是发现上海卷的亚洲太喜欢出这种题了，所以我又做的更顺畅。所以现在看到这些题，对我而言肯定是比较轻松，但对有的同学而言，可能面对这种题会有点束手无策。 就是我们学习一定要多学思路，多学方法，不能去死背套路，不能去死背答案，学做题方法，做题技巧，一定要学大的，一定要学大的。其实大家可以感受，像六七，我用的都是我最经典的代值法，这种代值我我我争取是交给我所有同学的。然后第八题呢，就是 怎么说瞪眼法行，那我这选择题就是这样，然后第九题送分。第十题其实是有难度的，我觉得能给到中减到中中 这道题作为立体几何，首先一方面是立体几何我没有那么擅长，另一方面是这道题确实作为一道多选多选择题本身就难，你想全部选对这道题还是挺有压力的。好吧，所以我给个中，点到中中， 然后第十一题是非，这道题是是非常新高考的，就非常全国卷是一个，你会发现全国卷题目就是这样，就是你他首先你肯定需要思考量，但他不会让你一头 步水，或者不会让你说想到就很简单，就这道题，即使你想到你也要计算很长时间，而且也很难算。这道题我自己做的时候是， 呃，选了 b d， 嗯， c 选项我实在是看不过来，我觉得太耽误时间，我就跳过了，我也没选，我也没敢选 a 是 明显排掉的，我就选了 b、 d 走 要求我肯定是要给中南的，至少是中南，甚至我觉得可能能达到难题的门槛，因为想全部选对这个 c， 我 我自己我我后面没有看答就就没有，没有去研究这个 c， 但就在我做的时候，我明显能感觉这个 c 的 想法有点多，计算的有点大，就我觉得想把这个 c 算出来应该是要费力的吧，我不太确定哦。 然后十二题送分，十三题中减吧。这个题目就是就比较套路，没，没什么，没什么，太多新意，没什么好说的，而且难度也不大，基本上，嗯，做一下应该还是比较轻松的，相信大家也不会在这道题目上犯犯困。十四题是个好题啊，十四题也是非常上海特点的一道题，给个中难 这道题目的关键就是，呃，你乍一看他应该是觉得非常抽象的，就就完全不知道从哪里下手。但写一写，把他想表达的，首先看到 a 一 加 a 三 n， 然后用这种表达是肯定是先想的，是用 s n 去减， 先减出一个 a 一 加 a 二加 a 三， a 四加 a 五加 a 七加 a 八加 a 九，然后你就会发现，你不管怎么取，你都一定有两个。就比如说你看你得到 a 加一二加 a 三， a a a 四加 a 五加 a 六，一二三四五六七八九， 然后你会发现，你不管怎么取，这九项你都必须有两个是三三的，对吧？必须有两个三三，你当然可以这样取，然后这这留一个，你也可以这样取，这留两个，但这是一定的，也就说你通过这两个，你就可以计算出这个公比了。 好，最最小，最小的就他所谓的最大，最大的只能是这两，不能是这三个，这个这个和这个他不构成等比，所以你只能取他们俩，所以想到也很快， 想到也很快，就大概这道题用了两三分钟，就写这个，然后加思考用了两三分钟。但客观上来讲，这道题绝对是难的，绝对是不好做的，因为，呃，你听我说的轻松，但你想感受到这种感觉，那需要长时间的练习以及做题的思路和技巧， 所以这道题目就是这就是比较标准的上海卷的亚洲。而第十一题就是比较标准的全国卷的亚洲。嗯，大家可以感受一下难度。我对我而言，我肯定会觉得十一的客观难度比十四大，因为十四必定想到很快就能解，但十一不管怎么样，你都要费时费力去完成， 所以是这样。然后这样听下来，好像除了八十一十四以及这个第十题以外的题目其实没有什么太需要费力的吧。 就基本上大家，呃，大家说难不是本，但但大家不是本来就会觉得八十一十四不太好处理吗？ 所以像网上说没有区分度也好，说中档题做的中等同学做的不好也好。我其实听的是有点一头雾水的，就不是区分度本身中中等的同学八十一十四本身就做不太了，但其他的题目并不难啊，基本上最难的也就只是终结啊。所以我觉得这套题目的至少选填部分出的是相当好 相当好。就难题各有各的风格，各有各的风格，然后也非常考验自己的想法。大家应该是知道，我之前是一直对新高考一卷的出题有些不满意，因为我觉得前几年的每一年的压轴就小题压轴都有能用二次结论非常快解决的问题。我其实认为数学不能 啊，我，这我自己的想法，大家随便听听，我自己是不太喜欢进那些二次结论，我肯定喜欢现场的去感受，现场的去感悟这些东西。好吧， 所以反正做的时候我是很开心的。然后十五题不多说，小送分十六题不多说，小送分，十六题，呃，我，我好像是看到有有有人说有点复杂，我，我自己做的时候我明显感觉比较轻松啊，他画出图来不就是倒个角用个正玄地理就结束了吗？ 就是，嗯？是什么情况让大家觉得有有有困难？就是倒完角一个政权定力好像就结束了，所以我觉得就是十五十六的难度也没有什么太值得表达，第一问更是更是纯送，对吧？然后第十七题 也不太难，也就第十七题难度吧，就没有什么好说的地方。第十七题就是很标准第十七题，而且是挺套路化。第十七题没什么新意啊，这道题目不是又又是无穷等比的一个求和，只不过这次是没有给任何的数字，全是参数的。无穷等比求和吗？ 这种题目在我考前还专门给同学练了，因为我我其实是为了担心上海卷出这个题出这种套路题所以练的，没想到让新高考一卷同学做到了类似的题目，也是运气不错吧，就歪打正着了。所以这三道题完全没有看出哪里不标准。就大家练的十五十六十七多是完全没问题吧。 这基本都是套路题啊，没有哪一道题说有新意。十七十五十六没有新意啊，就全是套路。十八题也就是一个很标准十八题的难度。相信大家做模考卷的十八题大部分都要比这个第十八题难吧。我自己做下来感明显感觉十八题 呃不算难做，因为我自己圆锥曲线是没有记任何，基本上是没有记任何的那种二级结论和那种特殊做法的，我就是死算硬算。然后我感觉一一也轻松，这两个题也不难做，就是 tan tan p q r。 我 用的是那个两条直线斜率之减去做。 然后在我练习那个圆锥曲线小题的时候，我就带同学做过一道类似的题目，用的就是斜率之差，就是把 tan tan tan tan tan 二这种形式， 然后所以自己做这道题又感觉刚好做到心情还是挺好，然后反而可能觉得第一问算起来还是挺费力，或者就是主要我刚看这道题的时候会觉得压力有点大，但真正开始实操了感觉其实并没有花太长时间，所以我觉得也是一个很标准的十八题的难度。呃， 没有太多新意吧，就正常很标准，然后出的都很好。就是我我觉得这几道题目是完全的新高考题啊，就就是很标准，比较套路，但是有难度也有一些些的感受。好吧，然后十九题是标标准准的上海亚洲啊。 这道题目倒是标标准准的上海亚洲。嗯，这道题目是有点难的，我自己呢做了一做了二，然后第三问其实当时自己也算计时就没什么时间看了，就有点来不及了。 第一个我都没来得及写，因为我觉得我有点害怕嘛，因为我一般做新高考的十九的第三个我也就跳，虽然这题他最后居然有四个问，但我还是跳就就后面的时间我就放 你和奥。其实还好，第一题反正是送就大家记住新定义的题目，往往第一问是在提醒你这个新定义在表达什么意思，不过这道题本身新定义就没有那么好，没有那么难理解，然后再通过第一问的帮助，其实后面也没来得及看。 嗯，第二问分类讨论也还行。呃，总的而言呢，这一整套题目里除了几个压轴以外我其他的题目觉得都是很标准很工整的新高考一卷的难度。 然后压轴也只是说有新意，但本身每一年新高考一卷的压轴都不太好做，难道哪一年新高考一卷的第十九题大家能做第三份吗？难道哪一年的十一题大家能完全选对吗？呃，而且这道题的 a 是 明很快就能排掉，所以你单选选个 b， c 或者 d， 好 像都能得两分，好像都不亏。所以， 嗯，所以综上所述，我觉得这张卷子的难度就确实比二五年要难一点点，但也没有说是，嗯，特别的夸张吧。 然后也就是提醒一下大家，大家有时间有机会是可以多去看，可以感受一下。就之前我肯定是建议上海卷同学做做全国卷，现在我也相同的建议全国卷同学可以去看一看上海卷的一些压轴题，尤其是小题，压轴出的都非常有趣啊，就都像这种十四啊，和这道八一样，非常有趣， 非常做这种题，你能感觉到数学的魅力，你做的会很开心的。大家好，然后别的我就不多说了。嗯，我们今天就到这里。
24高中数学袁老师
21:26查看AI文稿AI文稿今天呢，给大家录制一下这个呃，全国一卷第十九题这道压轴题啊，我争取呢让每个同学都听懂啊，所以说希望啊，各位同学啊，跟我从头到尾的把这道题做一遍啊， 把这道题做一遍，千万不要就是说拿着答案去，对，然后呢自己发现啊，我能看懂了就可以，那是不行的啊，一定要去了解理解这个过程啊。 好了啊，咱们现在呢就不说废话了，来做一下这道题啊，其实这道题呢难点是什么呢？大家想一想难点是在哪？哎，是不是就是这个东西， 是还是不是？那其实啊，这个集合我们一定要想明白它里面的这个元素到底是个什么玩意，其实它里面元素是谁？是不是就是个小弟，对吧？ 这个小弟呢，他怎么了？他是不是满足后面的这个条件呢？对吧？好了，具体这个条件是什么，其实我们也就假装看不出来啊，也不知道怎么回事，咱们呢就来做一道题试一下对吧，那你看到题了不会对吧，咱们最忌讳的就是什么大眼瞪小眼，你看着他，他看着你，他也不会自己 解自己，对不对，咱们去试一下啊。好，你看第一问啊，若当 x 大 于等于零时，给了一个函数的表达式，求这个 d 负一， 那既然吧，他给了在正半轴上的表达式，咱们就人家给啥咱们就写啥，可以吧，是一个这样的在负半轴上呢，图像是这样的正半轴呢，这样好了，写出来了，当然你也可以形成分段函数的表达式是二的 x 四方 e 减 x， x 小 于零。第二种， x 大 于好了，大于等于零了，写完之后呢，我们看一下这个 d 负一到底是什么，咱们写，就是他说什么咱们就写什么吧，对吧？ d 负一就等于，呃，小 d 数幺，咱们就不写了，就是把 x 零换成负一就可以了，对吧？ 大于 f 一， 那我刚刚说什么来着？大家写到这，我想我刚刚说什么来，我说这个元素里这个和集合里这个元素谁是不是小弟？所以我们要找的是谁小弟，对不对？ 也就是相当于咱们要通过这样的一个表达式，确定什么小 d 的 一个取值范围，大家能不能理解？好了，有的朋友也不太理解，那咱们就做一下试试好了。那我这个 f 负一加 d 啊，想大于这个 f 负一，那 f 负一等于什么？ 自然就是要把这个自变量 x 等于负一时带入什么？第一个表达式，对吧？我们带一下，那就是二的负一次方啊，然后呢说这个 f 负一加 d 啊，想大于这个二分之一，哎，你想啊，比如说这个二分之一有可能在哪有，是不是有可能在这 这一点等于二分之一，那对应的呢？是不是这一点也有可能等于二分之一？所以这个 f 负一加 d 应该处在哪个区间上，才能保证它的函数值一直大约二分之一，是不是在这个区间上？就是负一加 d 是 在这个区间上， 哎，就是负一加 d 既可以在这个，也可以在这，哎，也就是咱们发现要分情况讨论，第一种情况，负一加 d 小 于零，对吧？第二种情况就是负一加 d 大 于零，大家都能听懂吧？好了， 然后呢，当这个负一加 d 小 于零时，哎，我们得确定这个函数值的大小关系对不对，所以我得把负一加 d 这个字变量带入到什么第一个函数的式里，对不对？就是二的负一加 d 是 大于二的负一啊， 那这里咱们就可以解出来， d 的 话是 d 小 于一，然后 d 呢大于零，这这没问题吧？第二种呢，也是我们要把负一加 d 带入什么 x 啊，自变量里 大于二。好了，咱们把这个式子也解一下啊，这就是 d 小 于二等于三 大于零，对吧？式的取一下并积 d 的 范围就是从零到二分之三，对吧？ d 是 零到二分之三呢，这个 d 负一就属是什么 零到二分之三。好了，这里答案明白了吧。好了，第一问啊，其实很简单啊，咱们做完了， 就是很多同学也都能做出来，咱们就不过多纠结了啊，咱们看一下这个第二问啊。第二， 这第二问说个什么事啊？他说呀，这个 f x 是 奇函数，奇函数大家肯定把 f 零零啊，以及什么 f 负 x 等于负的 f x 啊，对吧？立马就是把这个东西惯性一下啊，惯性一样自己给写出来， 然后呢，有一个函数值在好比较，证明这个集合线包含关系，这，这咱们就假装根本就看不懂啊，我也是不会的状态，大家也是不会状态啊，咱们就来试一下，既然你说了 f x 是 什么基函数，对不对？ 对还是不对？哎，基函数，我们基函数画图像一定是关于什么原点对称的，对吧？那我知道副本的图像啊，咱们画夸张一点啊， 那我就知道什么正半轴的图像也能画出来，对吧？ f 零呢等于零啊，注意这两个点都是空心的啊，画出来之后呢，它让它是写了一个函数值大小关系，我也不知道怎么回事，我就先试一下，试一下都没毛病吧。嗯，假如说这个 f x 一 在这吧，可以吧？ x 一 这就是 f x 一， 可以吧？那你说我如果想让这个 f x 二大于它，它是不是就得在这段上？你看 f x 一 在这， 那我 f x 二是不是得在这？这大家能不能明白啊？所以这个 x 一 在这， x 二在这。好了，有的同学就说了，哎，老师，你说完这个我好明白了，那 x 一 有没有可能在这？ 那 x 二在哪？是不是得在这段上才比它大，还可以在哪？哎，是不是还可以在这边？好了，注意了啊，我写一个东西啊，在第二分钟，其实它就给咱们提醒了， 这个 x 二啊，可以在这一段，还可以在这一段，对不对？也就是说什么 当 x 一 在这的时候， x 二可以在这边或者是在那边，对吧？也就是说我们要在点圈一样， 在这个图像里啊，将零到正无穷的情况与负无穷到零的这个情况始终在进行一个什么比较。大家能不能理解我的意思 就是一定是什么呢？这个一定是联系起来，就是我的什么意思？就是他不可能说是我想解决一个事，我就只看副班主任，或者只看正班主任，对不对？哎，他俩一定是怎么样联系在一起的？紧密联系，紧密联系。 好了，我们说完这个事之后啊，这是个伏笔啊，一会大家就知道怎么回事，那看一下这道题怎么做，对吧。好了，那既然有这种情况，还有什么情况有把它画多画出来啊？讲的第一种是什么？ x 一 在这儿， x 二在这儿，然后还有一种情况就是什么？它俩在预测，对吧？预测的话就是 x 一 的小于 f 的 x 一 在这儿，在这儿，大家都能看明白吧？那咱们就来做一下，看看到底存不存在这样的一个包含关系呢啊？ 那先看第一个 d x 一 就等于什么 f x 一 加 d 好， f x 一 加 d 它满足什么？大于 f x 一， 对吧？哎，我们找到这个原始大条件里的一个表达式，对吧？然后给它写出来，好继续。那这个 x 一 加 d 想大于 x 一， 这 x 一 加 d 在 哪啊？ 哎，是不是得在这个位置或者在哪这个位置，对吧？咱们就能写出来了啊？原来这个 x 加 e 加 d 可以 什么？大于 x 一 或者是 d 小 于零，对吧？解出来第一种情况， d 大 于零， d 小 于负 x 一 好了，那 d x 二呢？ 那就是 f x 二加 d 大 于 f x 二，对吧？那 f x 二加 d， 它得它得落在哪啊？相当于有这个函数之大，关系是不是在在这边或者这边一样，对不对？咱们可以写一个同理可得，对吧？同理， 这就是 d 还是大于零， d 小 于负 x 二好了啊，这两问啊，还有这两个图啊，还有两问，我就不给大家都写全了啊，咱们就写这句情况，大家理解一下意思就可以了，剩下两问自己做就行了啊 啊？都有什么 d 大 于零对不对？咱们就把这个横半轴画出来就行了啊，因为这个 d 实际上就是一个类似横坐标的东西，它就是一个数啊，你看啊，这比如说是零 d x 一 呢？它在哪？就是一个是 d 大 于零， 还有一个什么 d 小 于负 x e， 你 看这个负 x， 你 看这个 x e 啊，它是不是在这个位置？它离坐标轴很近，所以它对称过来之后应该在哪？是不是离坐标轴也得近一点？在这，这是负 x e 好， 小于负 x e， 那 这一段，这就是 dx 什么 e？ 好？ 那咱们再换个颜色啊，看一下，那这个 dx 二呢？ dx 二在哪？那它是不是也有什么 d 大 于零，也就是它也有这一段？好了，它要什么小于负 x， 你 看这负 x 二在哪？负 x 二， 这个 x 二离坐标轴远，所以它对折过来之后也应该什么离坐标轴远一点，所以它是不是应该大致在这个位置，对不对？ 对吧？所以这个 x 二五 x 二应该在这最大的曲线是这样的，曲线很明显，谁包含谁，那么看曲线，正半轴不用看了，对不对？ 是一样，就看负半轴。哎，这个 d x 一 所包含的区域是不是明显比这个 d x 二包含的区域多呀？这存在一个什么 d x 一 二包含于 d x e， 对 不对？对吧？好了，看看，确实啊， e x 二包含于 d x e， 对 吧？所以啊， 通过这个结论呢，我们就可以明白啊，明白一个事，就是这个 f， 所谓这个 f， 什么乱七八糟的，大于等于，小于等于啊，小于或者大于都是什么？都是把他们的这个小 d 拿出来做了一个比较，你看这里的小 d 是 什么？ 小 d 是 什么？大于零的，他的小 d 也是大于零的，这个小 d 呢？一个是小于 x 一 负 x， 一个是小于负 x 负 x 二，对吧？很明显，这两个区间存在一个什么关系？包含关系，则集合间也存在一个 包含关系，对，还是不对，对吧？好啦，接下来啊，就是咱们这个第三份，这第三份呢，就是老大的了。 第三分的第一个难点是什么呢？就是我们在想到反证法， 反证法呢，咱们在高中阶段呢，其实有两个应用条件，大家不一定能想得到啊。第一个是什么呢？第一种应用条件叫这一个结论呢，显而易见， 淡，是吧？不易说明， 显而易见，但不易说明我们要反证法，你看这是显而易见吗？根本看不出来啊。第二种情况，它是一个什么？常用结论的对立，常用结论的对立， 什么叫常用结论对立？你就仿佛说是，比如说这个积函数吧， f 零是不是等于零，对吧？哎，我真的就偏要说这积函数呢，它在零点出，哎，它这个函数值不等于零，就类似于这种意思啊，大家能体会啊。 那对于这道题，我们怎么才能想到反正法呢？首先啊，第一个事，这个题啊，有一个特点，相信大家一眼就能看出来，这个题啊，是一个抽象题， 我就特意拿这个笔给大家写抽象，这个题从头到尾贯穿的一个感觉都是抽象。 然后还有一个什么问题呢？就这个题啊，他这个条件太少了，或者说是这个条件不明确，这大家能能理解什么意思吧， 那我们就在想了，既然你条件少，那我就得怎么样把每一个条件都怎么样都用上，对不对啊？那我们怎么做呢？还是啊，咱们呢，一步一步来，就假装大家都不会啊，我也不会，大家一起跟我做。 嗯，那么大体干中的条件，咱们肯定能用上了，也就是这个函数呢，在 x 小 于零时的一个表达式，咱们呢是能用上的，对不对？好，咱们就把它画出来。然后呢，他还给了两个条件啊，就是这两个条件啊，当然我也看不懂是什么意思啊。 然后呢，说当 x 在 零到一的时候，有一个函数间值的大小比较，那这就是零到一嘛，我也不知道怎么做啊，要证明这 f 零大于一，首先呢，大家想一个事儿， 就是这个 f 零，如果我想证明它大于等于，我是不是又得证明 f 零等于，又得证明 f 零大于，就是这两个条件，那我有没有什么办法呢？一下把这两个条件都给证明出来呢？哎，没有错，有的同学通过这一个 小点就是想，哎，我只假设他小一点，那如果这个假设不成立，或者这个假设矛盾了，那是不是就直接能推出 f 零是大于 a 零？哎，我一下就能证明出来，就这两个条件，我不用一个个去证。还有一个方法是怎么想到这个假设法子了啊？你要想 这个条件啊，他肯定不是白给的，对不对？那高考卷寸土寸金，我能给你句废话吗？也就是这有一个 f x 小 于 f 零，哎，这呢还要比较 f 零的一个大关系，所以他俩肯定是有点关系，肯定是能用上，就是你别管怎么能用上，反正肯定能用上， 那怎么才能用上，那我就干什么？我就假设一个 f x 出来，这不就可以了，我假设一个 f x， 如果假设一个 f f 零，那也就可以了。好，那咱们看一下吧。 我呢？这怎么假设？我假设，我说呀， f 零啊，它是小于一，那可以吧？啊？那 f 零我也不知道等于几啊，反正它就小于一，比如说在这个点吧，这就是 f 零啊。 嗯，那既然啊，我们这个图像啊，你你看就知道，半拉，真的就是半拉啊，那我们应该怎么办？我们更要用上这半半截图像，对不对？哎，我们就想，哎， 那比如说我取一点小 t 吧，在这个位置，那自然这个函数值呢？就是 x t， 哎，有没有这种情况？这只是个 t 啊， 它可以啊，无线网坐标轴的左侧延伸，可以吗？这是反正我取的值嘛，我想让它是多少？它这是个 f d， 它就是可以无限小，大家能明白什么意思吗？它也可以无限小 啊，那自然呢，就会出现一种情况，就是这一点的函数值一定大于 f t， 大家能听明白什么意思吗？比如说 f t 在 这个位置很小，哎，对应过来，它肯定是小于这个 f 零，这可以吧，那我们就写一下吧，也就是这个 f 取一点 f t 啊，这个 f t 呢，它始终小于这个， 那可以吗？哎，是不是可以？那在这道题中，我们在第一问，第二问做了这么多，发现了一个什么规律， 我把这个抽象这两根先查了，就到最后咱们还是没有思路的。发现个什么规律？这道题大家发现没有？就是我只要我无论写了一个什么样的东西，我能干嘛？ 我是什么都要，比如我这写了一个 d x， 我 就要和谁联系起来 f x， 我 写 f x， 到底要和谁联系？ f x 加 d， 然后呢？ f x 加 d 还能跟 d 联，就是这三者不停地在倒来倒去， 就是你写到第三分的时候，一定一定要注意到这个条件啊，对，他仨一定是倒来倒去。好了，你注意到这个条件之后，你就看那 f t 我 写出来了，我是不是就能顺手写出 f t 加 d 要大于 f t 啊？这是不是就回到咱们第一问，或者说是第二问了？那我 f t 加 d 想大于 f t， 我 这个 f t 加 d 在 哪？是不是在这一段上？ 哎，所以我是不是就能顺手把这个 t 加 d 的 取值范围写出来，那是还不是，是，对吧？减去的大于 t 小 于零。好了，第一个取值范围就出来了， d 属于零到数 t， 所以 t 是 小于零的嘛，取个符号，它就是按扁的。好了， 那这个 t 啊，属于零到负 t 了，那我们呢？可能还是不会啊，我们就想，你看这还给了个什么？是不是给了个这玩意，对吧？那我们这还没用上呢， 也就是这个圈一是什么意思啊？函数之间的大小关系可以怎么样？说出一个 集合间的包含关系，那函数的大小关系在哪？就在这呢，也就是这个，我们可以写上一个什么集合间的包含关系，也就是 d 零包含于 d t， 有 关系没有？没有。好了，那这个 d 零 包含于 d t， 那 我 d 零也可以写出来嘛，对不对？那 f 零我还没写呢，对不对？我写出来啊，那就是 f， 嗯，零加 d， 它是大于 f 零的，没，没问题吧？哎，写到这儿，有同学发现人家 f d 大 于 f 零， 哎，这说了什么？这是说 f x 小 于 f 零，这又说什么了？说 f d 大 于 f 零，然后呢？这个的取舍范围呢？是 x 在 零到一之间，哎，就有同学想了说，哎，老师，我能不能让这个 d 啊？哎，我让它怎么 d 呢？我让它属于 零到一，那这样的话，证明出来之后，我发现这个 f x， 明明这 x 在 零到一之间，但是它的函数值却大于谁了？ f 零跟已知条件发生矛盾了，哎，这是咱们去正则点，那这 f t 怎么取得就是零到一之间的数呢？哎，我们注意到什么？这有个什么玩意， 哎，这是不是有个它，哎，对不对？哎，所以我们发现，哎，原来我们这个负 t 是 随便取的，我干脆就让这个 t 等于什么？ 负三分之一，负二分之一，负五分之一都可以，对吧？只要是在零之间就可以了，零到一之间就可以了，对吧？所以这个 f d 就 等于 f 三分之一， 那 f 三分之一，这个三分之一是不是在零到一之间，对吧？那我们说了，零到一之间 f x 能大于 f 零吗？不能，所以怎么样？我们发现了，怎么，哎，是不是矛盾了？ 故怎么样？ f 零小于则加设，故乘以 f 零大于等于，大家能不能明白？ 然后我们再看一下这个题，你看，从这开始啊，我们就一定要意识到，就这个 f x 这些函数是比较推出了这个集合间的关系，还联系上了什么 f t 啊，也是，我这说的就是他仨啊，一定是倒来倒去，倒来倒去，倒来倒去，对不对？ 就你一定要有这个意识啊，就看到一个写这上面来着，看到一个写出仨，大概就是这个意思啊。
2银色猫头
08:34查看AI文稿AI文稿新高考一卷的十八题啊，是一道圆锥曲线的题，是一个椭圆啊，左焦点 f 负一到零，离心力等于二分之一。第一问，求 c 的 方程，那是送分题啊，那就 c 等于一，然后 a 分 之， c 等于二分之一，所以我们得到 a 等于二啊， b 方等于 a 方减 c 方啊，等于三啊，所以它的方乘以 x 方除以四，加上 y 的 平方除以三，等于啊，这是第一问啊！ 第二问啊， o v 坐标原点 a 勾 f 的， 且斜率大于 啊，大于零的直线动直线 l 与 c 交于 p q 两点以后啊， q 在 第三项线啊，那 p 有 可能是在第二项线，有可能在第一项线啊，那我们根据题目的意思，我们就画了一个图啊， 那 p o 与另外同样的另外一个交点 r， 那 也就是我们 p 和 r 是 一个对称点啊，那么 c 啊， p 点坐标为 x 一 y 一， 那 q 点坐标为 x 二 y 二啊，那以后啊， r 点的坐标就是 负的 x 一， 负的 y 一 啊，然后我们在 c l 的 方程 啊，为，因为它是过这个负一到二零这个呃呃定点，那我们 set 的 方程 x 等于 m， y 减一啊，那斜率大于零，所以 m 分 之一就是它的斜率，所以 m 也是大于零的啊， 那么大一点。好。第二问的第一小问，用这个三角形 p q r 的 面积是 p f o 的 三倍啊， p q r 是 这个三角形， p f o 是 这个三角形，那我们设这个角为 r 法啊，那我们就可以用面积公式来表示啊，那我们这个 s 三角形 p q r， 它等于二分之一，乘以这个 p q 的 周长，然后再乘一个 p r 的 长度啊，乘一个三幺二八啊，然后 p f o 的 面积，同样，我们可以用二分之一的 p f 的 长度乘一个 p o 的 长度，再乘一个三角啊， 好，因为它是等于它的三倍啊，那我们直接在这里写也可以啊，三倍的，它这里就是啊二分之三啊， 然后 p o 啊， p r 是 p o 的 两倍啊，以后上一 r 法可以约掉，我们就可以得到 p q 啊， 二分之一给约掉以后，它是它的两倍啊， p r 是 p o 的 两倍，所以啊，二除过来啊，它就等于二分之三倍的 p f 的 长度啊，二分之三倍。 好了，我们这个啊 q f 啊啊，那就是 p f 的 二分之一啊， p f 的， 也就是我们这个 q f 和 p f 的 比啊，是二分之一啊， 好，以后我们得到这个比值呢，我们这里做一个垂线，勾 p 点，做一个垂线下来啊，这里勾个垂线下来，做个垂线啊，做 x 角的垂线啊，啊，这个对应的就是长的，对应的就是 y 一， 这个对应的长的的负的 y 二， 所以我们能够得到这个 y 一 啊，是等于负的两倍 y 二 啊，负的两百八啊，好，因为我们 c 了它的这个直线方程，那我们它与这个啊椭圆的方程连立啊，也就说 x 等于 m， y 减一与这个 x 方除以四，加 y 方 除以三，等于一连力啊，连力。我们把它化简一下，就是三 m 方加四啊，乘以 y 的 平方要减去六 m y， 然后减九等于零啊，那我们得到 y 一 加 y 二 啊，是等于三 m 方加四分之啊，六 m， 好， 然后 y 乘 y 等于 a 分 之 c， 三 m 方加四分之负九，好，让我们把这个 y 一 等于负的 y 二给大于这两个式子，那第一个式子就是负的 y 二 等于三 m 方，加四分之负的六 m 啊，不对，六 m 啊，不是，负的六 m， 好， 好， 等于它啊，负的 a 分 之 b 吧，负的 啊，负的，对，没错啊，要把它给带进去，那这里就是负两倍 y 二的平方等于三 m 方，加四分之负九 啊，负二我们可以约掉啊，要把这个 y 二用它给带进去啊，就是， 好，这个二乘以三 m 方加四分之六 m 的 平方啊，等于三 m 方，加四分之 负九啊，这边还有个负号啊，负负，负号有个负二，负二给约，负二给约掉了啊，以后我们解这个方程啊，那就是两边可以约定个三 m 方啊，加四， 那这里就是，呃，七十二 m 方啊，等于 六，三十六，七十二 m 方啊，除以个三 m 方，加四啊，等于九啊， 三九二十七，二十七就是七十二减二十七，嗯，四十五 m 方等于三十六，还约掉一个九就是 m 方啊，等于五分 之四啊，五分之四，那 m 大 于零就等于五分之二倍，根号五。好，所以 l 方程啊，为 x 等于五分之二百根号五 y 减一。好，当然你可以写成一八式也可以啊， 这是第一问，当然我们这个第一问了，还可以用交半径的这个公式来做啊，但是我们 是这个圆角曲线的大题，那你用这个交拨键的公式的时候，那一定我们要先把它推导出来啊，才能够用啊。当我们用这个常规的方法计算量也不是很大，那我们，哎，什么方法都可以啊。
76汨罗数学宋老师
05:39查看AI文稿AI文稿所以呢，我自己反思，我们学生党在做创新题，或者以前从来没遇到过的题型，怎么办呢？勇敢的去尝试，第十四题，我们也是有可能做出来了，往下试探两步就能搞定。我参加了二零二六年新高考一卷的数学考试，我的填空题是满分的， 我做题的时候，我发现这个试卷的选填呢，真的非常有新意。你比如说第十四题，我以前真的没怎么遇到类似的题目，前面也跟他录制了第八题第十一题的讲解，大家可以看看以前的视频。今天呢，重点给大家讲一下第十四题我在考场是怎么把它做出来的。 来，我们先把题目读一下啊，他说某一个数量的满足这样一个式子，然后呢，其中连续的九项满足是公比为 q 的 等比数列，要你求 q 的 最大值。好，先写个漂亮的减。 我拿到题目呢，读到这句话的时候我就知道哦，这不就是 s 三等于什么吗？是不是用 s n 减 s n 减一这种方法去求通项？于是呢，我们就先写出 s 三 n 等于 n 的 平方加 n。 然后呢，就是当 n 大 于等于一的时候，把 n 呢，用 n 减一换， 就可以得到 s 三倍的 n 减一，就等于 n 减一的平方加上 n 减一。 然后呢，顺理成章了，上四减下四，也就是 s 三减去 s 三， n 减三，就等于啊，这个一减呢，我们就给等于个二 n 好 了， s 三减去 n 减等于什么东西呢？就是 a 三 n 减二加上 a 三， n 减一，加上 a 三 n 等于二 n。 好 了，我们验证一下啊，当 n 等于一的时候，我们是不是要定这个 n 等于一，我们就给得到 a 一 加上 a 二加上 a 三等于几呢？把 e 减去一加一等于二好了，它也是符合这个式子的，所以呢，我们就可以得到呢，连续的三相加一定是二 n， 但是它是不是就等它数量呢？没这么说啊，你比如说 a 一 a 二， a 三等于二， 这个可以等于负一万，这个等于正一万，这个等于二也 ok， 只要满足连续三项相加等于二就行了，它里面的三项没有任何的限制。然后呢，又说了，连续的九项是公比为 q 的 等比数列。我在考场的时候看到这个条件，我不知道怎么下笔， 哎，不知道怎么下笔也别怕，勇敢往下写啊。我就写了个 a 一 a 二 a 三连续的九项吗？ a 四 a 五 a 六 a 七 a 八 a 九，我就问自己有没有可能试这九项刚好能做出来呢？先试一试对吧？有找没找，先打两杆子好了。这个 三项相加等于二，这三项相加等于四，这三项相加呢？等于六。如果说这九项构成等比数列，那么中间三项的和一定等于前面三项，后面三项相乘四的平方等于二乘六不等于啊， 那怎么办呢？我就想，那能不能从 a 二项开始啊？ a 二一直到 a 十，这种有没有可能性呢？哎，我就想这个 是等于四的对吧？这个是等于六的，这中间啥都没限制，这六项乘等比数呢，我肯定能找到对应的，对不对？那么 a 二 a 三 刚刚说过了， a 二三没要求啊，我只需要 a 一 加 a 二加 a 三等于二就行了。那对 a 二 a 三也没要求你 a 二等于负一万， a 三等于负一个亿都行，我只要 a 一 跟他相加等于二就可以了嘛，或者 a 一 可以随着 a 二 a 三的变化而变化嘛，同样，这个 a 四也没要求哦。我在想，哎，就这么回事。所以呢，直接 这样构成等比数列，也就是六除以四，就是我们什么 q 的 三次方，因为 a 七等于 a 四乘以 q 三次方， a 八点， a 五乘以 q 的 三次方。于是呢，我们算出来 q 呢，就等于三次根号下二分之三。算出了这个以后，我并没有确定它是不是正确答案，因为题目要求最大值，我怎么确定它最大值呢？我就在想， 如果从 a 三开始，可不可以 a 三开始一直到 a 十一，那么是不是也有这三项构成等比数列，那依旧这个没有变，那么从 a 四开始，那肯定不行，四六八 不构成等比数列，那么从 a 五开始呢？那这是不等于六，这是不等于八？所以呢，此时我们就得到八除以六等于 q 的 三次方。在考场我一想，哦，这个相当 q 呢，就等于三次根号下三分之四。你越往后去算， 这两个数越接近啊。从二分之三变成三分之四，变成四分之五，可能一直变到一百分之一百零一，这肯定是个递减的，都不用算了，所以最大的一定就是这个。于是呢，我就很自信的填了一个三次根号下二分之三。在最后做了第十九题的前两位以后啊， 还有十分钟的时间，我就没做第三位了，因为我总觉得我是搞不定的。于是呢，我就开始检查，检查这第十四题的时候，我觉得这个数字他会不会又没化简 扣，我分呢，我又不放心，所以呢，我又把它化解了一下，就是分子分母同时乘一个四，就是八分之十二，于是呢，我就改了一下，改成了二分之三次根号加十二，这样呢，我才足够放心的 交了卷。写到这个答案以后呢，我才比较放心，这五分我应该是拿到手了，这就是我在考场做这个题目的方法和心路历程啊。先根据这个条件呢算出来，连续三项的写了几项， 接着呢有找没找，打了两干哦，大致搞清楚了，不能从 a 一 开始，可以从 a 二开始算出来了。所以呢，我自己反思，我们学生党在做创新题，或者以前从来没遇到过的题型，怎么办呢？勇敢的去尝试，你一旦想到了这个思路，是不是很简单，也没用几个步骤，但是你如果想不到这个点呢，估计这个题就做不出来了，所以 大家需要一个勇气去尝试，不要被他给吓住了。第十四题我们也是有可能做出来了，往下试探两步就能搞定好了，我们后面的继续给大家分享第十八题，勇哥的心路历程。
4019勇哥超级数学
01:00查看AI文稿AI文稿二七届同学一定要认真看完此视频，此视频分析了今年高考的命题趋势，有利于同学们的后续备考。首先说一下我的结论，今年全国一卷可以说是近年来最经典的一套卷子，其对于考生数学能力的考察、 数学思维的训练非常精准且专业，当然，从整体难度上看，也是近几年高考之巅峰。 值得一提的是，除第十九题外，今年的难度从往年集中在大题转变为难度集中在小题，这是下届考生需要注意的一个极大的改变。 这份试卷对于计算能力以及代数与不等式的要求极高，这是往年高考比较少见的。因此，同学们在平时的训练中一定要注重思维训练，多动脑，勤思考，避免无效刷题。下期我们主题进行解析，下期再见！
14小杨数学
06:22查看AI文稿AI文稿您发现没有，每年高考结束以后，最热闹的永远都是两件事，一个是状元，一个是作文。可今年我翻了好几天新闻，真正让我停下来反复看的，却不是总分第一， 而是一个数学考了满分的孩子。他叫许可。您说，一个数学一百五十分，有什么值得大惊小怪的？还真有。因为今年这一百五十分，不是在一张普通卷子上拿到的。二零二六年新高考一卷， 浙江、江苏、广东、山东、河南等十一个省份一起考，七百二十万考生同做一张卷子。考试一结束，网上就一句话， 前面的题是命题老师跟你打招呼，后面的题是命题老师跟你说再见。尤其最后几道压轴题， 把不少平时成绩特别好的孩子都难住了。命题组这次明显没按套路出牌，反押题、反模板，最后一道集核心定义题更是层层递进，很多老师都说，能完整做出来的人，一个省恐怕都数得过来。可偏偏就在这样一张卷子上，许可拿到了一百五十分。 注意，不是全省最高，不是某个考区第一，而是七百二十万份试卷里唯一的一张满分。 后来还有老师透露，不少省份一百四十分以上都已经很少见，江苏最高分也只有一百四十二分。 所以，这一百五十分真正震撼人的地方，不只是数字，而是它意味着，在所有人都觉得难的时候，有一个孩子把整张卷子真正吃透了。不过说实话，真正让我佩服的，还不是这一百五十分， 而是他查分时的样子，成绩是爸爸告诉他的。听见数学一百五十分，他没有跳起来，也没有激动的说不出话， 只是很平静的笑了一下。后来有人问他，你怎么一点都不意外？他说了一句话，我印象特别深，考完以后估过分，感觉应该就是满分。您听听这句话，没有一点炫耀， 反而让我想起一句老话，胸有成竹。真正的高手，很多时候不是考完以后才知道自己发挥的怎么样，而是在落笔的那一刻，就已经知道答案，八九不离十。这种底气不是考试那两个小时给的，而是无数个清晨，无数个深夜，一点一点积累出来的。 更有意思的是，老师和家长反倒比他本人还激动。之林中学的老师第一时间打电话确认消息，确认以后，笑着感慨，老师和家长比孩子还兴奋。 您发现没有，很多人看到的是一张满分卷，可我后来越了解许可后，越觉得，他真正厉害的从来不是那一百五十分。 真正让我感兴趣的是，这个孩子为什么能这么稳。后来我翻了翻许可这几年的经历，发现这份淡定还真不是天生的。 二零二五年，全国中学生数学联赛，他拿到了浙江赛区一等奖，可距离进入国家集训队只差最后一步。哥，一般孩子多少都会觉得遗憾，甚至怀疑自己。 可许可后来提起这件事，就四个字，比较遗憾。说完也就过去了，没有反复纠结，更没有因为一次失利停下脚步。到了今年年初，他又顺利通过了清华大学邱成桐数学英才班的招生考试，进入预录取名单。 按理说，提前拿到这样一张入场券，很多人都会给自己放个长假，可许可暑假的安排却是继续学高等数学。您发现没有，别人考完高考，想着终于可以停一停，他考完高考，想的却是下一本书，下一门课。 后来记者问他有没有什么学习秘诀，他说了三句话，第一，找到真正感兴趣的方向，因为兴趣才能支撑一个人一直走下去。 第二，把基础打扎实，再难的题，最后都是基础知识的延伸。第三，保持平常心，考试的时候不被情绪牵着走，会做的题一分都不要丢。您听听，是不是一点都不玄乎？ 没有什么神秘技巧，也没有什么速成方法，全都是最普通最朴素的话，可越是朴素，越难做到。 后来还有一句话，我特别喜欢别人问他有没有给自己定过一个特别大的目标，他说，没有，就是一直一直努力。您说这句话是不是特别像数学？数学从来不会因为你着急就多给你一分，他只认一件事， 今天比昨天多懂一点，今天比昨天多走一步。我后来一直在想，许凯真正厉害的地方到底是什么？是天赋吗？我觉得当然有，可如果只有天赋，没有这份稳定的心态， 没有几十年如一日的积累，再好的天赋也很难走到今天。这倒让我想起一句话，很多人羡慕别人站在山顶， 却很少有人愿意走那段上山的路。而许可恰恰就是那个一直低着头走路的人。所以说到这里， 我忽然想起一本书，学习之道。很多人第一次看到这个名字，会觉得这是一本叫考试技巧的书，其实不是， 他真正讲的是一个人怎样建立长期学习的能力，怎样把成长变成一种习惯。书里一直强调一个观点，真正决定一个人高度的，不是某一次超常发挥，而是能不能把正确的方法坚持很多年。 您再回头看看，许可是不是一下就对上了一百五十分，不过是一张成绩单。真正值得我们学习的，是他面对成功时的平静，面对遗憾时的从容。还有那句，没有目标就是一直一直努力。我觉得这才是一个年轻人最难得的地方。 如果家里有正在读书的孩子，我真建议您看看学习之道。他也许不能保证每个孩子都考满分， 但他能告诉孩子怎样把学习变成一种能力，把成长变成一种习惯。毕竟人生从来不是一场只考一次的考试，真正的赢家也从来不是赢在一张试卷上，而是赢在未来几十年的路上。
221晓说人间旧事/橱窗有好物
35:54查看AI文稿AI文稿二零二六年新高考一卷第十九题函数压轴题，无数学霸为之落泪，二七届抢先看，明年直接起飞！好，我们来看最新的二零二六年一卷压轴第十九题，这道题的难度呢，显然是非常高的，是一个以新定义和函数结合的问题，这道题连导数都没有用，就是以函数为素材， 考察新定义的内容。那么来看看这道题如何解决。首先呢，对于新定义问题，反复跟大家强调过，一定要用白话理解新定义的意图。 那这个式子什么意思呢？其实很简单，就是说我 x 零，那 x 零处的自变量增加 d 之后，什么样的 d 在 这个 d x 零里呢？就是给自变量增加 d 得到的函数值比之前要大。 再说一遍，原来 x 零处这个点增加 d 之后，它的函数值比原来变大了，这个 d 就 可以。那我们来看第一问，首先第一问的函数图像是给出的， 左边是指数，右边是直线，然后这是一个连续的函数，很容易发现是这样一个图啊，这是 x 减一，这边是二的 x。 那 么现在这题啊，让你算 d 负一，那就意味着我们要求这个 d 满足 f 负一， 加 d 要大于 f 负一，而这个函数里 f 负一是一个点， f 负一是等于二分之一的， 所以 f 负一等于二分之一，于是你就要求 f d 减一，这个函数值要大于二分之一，那二分之一这条线划过来 就在这个位置，那上边阴影区域就是函数值比二分之一大的范围。那左边这个点呢？是负一 f 负一嘛？右边这个点我们知道，一减 x 让它等于二分之一，解得 x 呢，就是二分之一，所以你的解集 d 减一就应该是小于二分之一，然后呢，大于负一，于是解得 d 就 属于零到二分之三，所以自然算出来 d 负一就等于零到二分之三啊，这样一个区间。所以第一问呢，还是很好做的。我们接下来来看看第二问。那第二问现在说了， f x 是 奇函数， 那我们已知小于零时，解析式是指数，那于是整个函数图像又可以画出来了，所以第二问我们看啊，第二问给出的函数图像 是这个样子，一个中心对称的函数图像，左边是一个指数，这是空心圈， 右边呢，也是一个指数，保证中心对称。由于它是定义为 r 的 奇函数，当然零处无所谓啊。啊，定义为 r 嘛，给了 f i 定义为 r， 所以呢，你中间这个点就应该得零，这是你 f x 在 第二位上的函数图像。现在在这种前提下， 我们说 f x 一 小于 f x 二，让我们证明这两个 d 有 一个包含的关系，也就是函数值大的这个新定义的区间，这个 d 反而范围小。 让我们证明这样一件事，那这个函数都是具体函数了，只要是具体函数，你就可以算它的区间，那我们来算算看啊，比如说，我们现在因为这题给了 x x 二不为零，那么算一下，我们先说若什么呢？哎，若 x 一， 咱们先想，如果 x 一 小于零， 是啊，如果 x 小 于零，那你看看，咱就先算一下第一，如果 x 一 在这，第一是什么呀？那第一就应该满足 f x 一 加 d 是 要大于 f x 一 的，那你看啊，因为 f i 加 d， 这顿是大于零的呀。 f i 一 是大于零的，对吧？那能满足 f x 加 d 的 函数值比 f i 大 的只有这个区间，所以你应该自然能解得 x 一 加 d 就 应该是小于零大于 x 一， 所以这种情况下，你的 d x 一 就等于它的解集就是零小于 d 小 于负 x 一， 所以它的解集就是零到负 x 一， 你就解出来了啊，就这样一个范围。那同理，如果 x 二小于零的时候，那你的 d x 二是不是也等于它就是零负 x 二你不用再算了，因为如果你 x x 二都是小于零的，那你 d x 一 跟 d x 二的形式完全相同啊。那我们再看，如果 x 一 大于零时呢？那么看 x 一 大于零 x 一 在这，那这时我要求的是 f x 一 加 d 要大于 f x 一， 那 f x 一 的高度在这个位置，你的解 f x 一 加 d 要比这个蓝线高，那就是阴影区域 都比蓝线高，所以你的解集就是什么。哎，所以你的解集就应该有 x 一 加 d 应该属于蓝色区间，那你看蓝色区间是什么？富无穷？注意，如果你不想被扣掉一分，那你要小心这个点是不是解。 如果你的地方是 f 零， f 零得零比 f 一 大呀。因为 x 一 大于零的时候， f x 一 是负数啊，所以这是到零的 b 区间， 并成谁呢？并成这边的阴影区域就是 x 一 到正无穷，所以你就知道，那这时候你的 d 就 解出来，属于负无穷到负 x 一 的 b 区间，并成零到正无穷， 这就是你 d 的 范围，于是你就知道 d x 一 此时就等于它 并成零到正无穷。那同理，如果你 x 二大于零的话，那你 d x 二 也就等于负无穷到负 x 二的 b 区间，并省领导正无穷。好，我们现在干这件事是干嘛呢？就不管你 x 一 x 二是正的，是负的，你的相对应的新定义的区间 d 你 都算出来了，那我们要看包含关系，我们就想想吧。那这题由于要求 f x 一 小于 f x 二 啊，因为我们接下来往左写，因为 f x 一 小于等于 f x 二，所以只有几种情况，所以呢啊，就必有。要么第一种情况， x 一 小于等于 x 二小于零啊，就是 x x 二在左边， 都在左边区间里，那这是一种情况。或者说第二种情况，就是零小于 x 一 小于等于 x 二，就是这是 x 一， 这是 x 二，也能满足 x 二比 x 一 大。再或者第三种，那就是 x 二在左边，小于零小于 x 一， 如果你 x 二在左边，这是 x 二，这是 x 一， 那 f x 二也比 f x 一 大呀，那就这三种情况，我们需要判定这三种情况下，第一第二的区间都满足子集关系。那么来看，当第一种情况 x 一 小于等于 x 二小于零时，那这时候自然有什么呀，我们看两个集合啊，来从右边找我们的素材。 d x 一 x 一 小于零， d x 一 x 二是它，那么所以有什么呢？有 d x 一 等于零到负 x 一， 那 d x 二呢？就是零到负 x 二，这是 d x 二，它们有没有子际关系？我们来看一下，这时候呢，就应该有，所以应该有什么？应该有负 x 一 是大于等于 负 x 二的吧。如果你加个符号，那你看负 x 一 是大于负 x 二的，当然它肯定是大于零的，那在这种情况下怎么样啊？那，那就是包含关系啊， 对吧？你右边因为这个数小啊，所以右边是左边的子集，是不是你得正？哎，这种情况符合题，得正啊，第二，你看，第二是子集 啊，得正，满足题目要求。好，那咱来看第二种情况，如果零小于 x 一， 小于 x 二呢？一样， 所以这时候啊，你的负，这时候我们来看两个区间，此时这两个区间都是这个样子。那 d x 二，我先写 d x 二啊，因为 d x 二是子集嘛，等于负无穷到负 x 二的 b 并成零到正无穷 啊，这个区间是你的整体。那这个区间呢？我们现在就知道负 x 二是小于等于 x 负 x 一 小于零的了。那你看啊， dx 一 呢，此时是等于负无穷到负 x 一 的 b 区间，并成零到正无穷啊， 那现在这俩区间谁是子极？明不明显，显然有负无穷到负 x 二。你看啊，这时候负 x 二小，负无穷到一个比较小的数，那是包含于负无穷到一个比较大的数的，所以就意味着此时 dx 二是不是也包含于 dx 一 啊， 也得正啊。那最后再写第三种情况，那就是 x 二小于零小于 x 一 时， 那在这种情况下，我们来看啊，咱写写吧， d x 二是谁呢？ d x 二啊，就是零到负 x 二。前面算过了 啊，零到负 x 二，然后呢？ d x 一 呢？是负无穷到负 x 一 的 b 区间，并成零到正无穷，这是 d x 一。 那你想想，在这种情况下， 呃，负 x 都不用想这个正负了，你的负 x 肯定是大于零的。负 x 二大于零，那你看零到一个正数的区间，是不是一定是零到中项的自积，所以它依然是包含关系，哎，所以也符合题。因此，综上， 一二三就是只要满足 f x 一 小于等于 f x 二十都有 dx 一 啊， dx 二是 dx 一 的字集，包含于 dx 一。 所以其实这道题你要看到第二问呢，并不难，你只要有时间，前两问呢，有个十分钟左右，前两问能拿到满分啊。所以前两问还是各位能努力，有时间认真做，能够做出来的核心是理解新定义的意图。那接下来我们就来看最难的第三问。 第三问啊，还是非常难的啊。第三问还是非常难的，我们来看看第三问如何求解，怎么解决啊？ 首先呢，呃，第三问呢，我们要解决两个问题啊，首先呢，一个是 f 零大于一，另外一个最后证明单调，那肯定第一问会好正一些，于是我们先看如何证明 f 零大于等于一这件事啊。来第三问的第一小问。首先呢，我们先画一下这个函数大致的图啊， 这大致的图呢，是这么一个意思，因为左边我们是知道的，就是这样一个指示图 画的大一点啊，左边是这样一个指示图，右边现在说零到一，是在零到一这个区间里，这是零，这是一这个区间。 说 f x 小 于 f 零，那我们现在要证 f 零大于等于一，那 f 零如果大于等于，比如 f 零在这，那你右边这个范围就可以比左边这个大，就肯定不好处理。所以我们肯定要想到，那我怎么就说明 f 零大于等于一不行呢？因为像这种抽象问题，你顺着证很难证， 抽象问题就意味着可能性非常多，当可能性非常多的情况下，想得到结论，一般要用反证法。那么来看反证法，那就假设 f 零小一呗，所以就选个小一的 f 零，比如这个， 我就假设 f f 零是这个值啊，假如说 f 零就是红点吧，那你看右边这个函数啊， f x 要小于它，那右边就得在这个范围里 啊，在零到一之间的时候呢，你的 f i 就 得在阴影区域里，那现在我得证明在这种情况下不符合圈一这个条件， 对吧？因为你现在符合圈二了，你要利用符合圈二，假设 f 零小于一的时候，不符合圈一的条件，那就得找到一个 x x 二，满足 f x 一 小于 f x 二，但不满足子极关系， 你就得找这件事。那既然这个零是一个很特殊的点，你自然要选一个函数值是零了，而且这里你看你是选这个小的值为 f 零，还是大的值为 f 零 啊？那这里我们要看到的是，如果你 f 零大于他，那你他显示 x 二这边是 x 一， 自然是依然可以存在的。但是，所以如果说你选零是 x 二， 那这时候你在这选个 x 一， 就无法区分这个 f 零是大于小一。但是呢，你如果把 x 零选作 x 一， 那 x 二是不是就得在这个区间里？因为它得比 f 零大，就得在这个位置上。所以我们现在选举怎么样呢？叫做假设 f 零小于一啊，我们就假设 f 零的值，比如 f 零等于 m 吧，让这个 m 是 小于一的，那这时候必然存在什么？必然存在 x 二小于零， 使得 f x 二是不是大于 f 零等于 m， 对 吧？因为你的 m 是 小于一的，你这条线就是 m 啊。 那你甭管这条线再怎么画，你中间是不是都有一个区间，区间里可以找到一个 x 二，让 x 二满足 f x 二比 f x 一 大。哎，所以此时现在就令 x 一 等于零， 那么则什么呢？则 f 零是小于 f x 二的，那么由什么呢？由圈一可得，这时候你的 d x 二应该包含于 d 零 啊，对吧？这是我们得到应该有的结果啊。因为你 x 一 就是零嘛，所以应该有这个结论。那我们来算一下这两个值啊，那先算谁呢？我们先算 d 零啊， d 零，或者先算 d x 二都可以。那首先我们会发现啊，对于 x 二而言， 我们要找的是 f x 二加 d 大 于 f x 二，所以呢，你看啊，由于 x 二是小于零的，我们来看这个位置 x 还在这里，那你加 d 大 于它，我们画一条水平线，那比它大的阴影区域就是符合 d 的 这个位置，函数值就比 x 二大。你说那老师后边大一的时候有没有？我不管，我不管。那你就知道叫做什么呢？必然存在 b， 存在什么呢？ b 存在 d 属于 x 二到零这个区间 啊，必然属 d 属于这个区间啊，或者应该叫做什么呢？就是应该是负的啊，属于零到负 x 二这个区间。使得什么？使得 x 二加 d 是 大于 x 二，但小于零。 因为你 d 大 于零，我可以让它大于 x 二，但我让它小于零，不就完了吗？你 d 只要比负 x 二小，这玩意就小于零。那满足什么呀？ 满足 f x 二加 d 是 大于 f x 二的，所以这一个 d 就 应该是属于你的 d x 二，那它应该包含于 d 零 啊，那就意味着，所以 d 也应该满足啊， f 零加 d， 它得大于什么呢？它也得大于 f 零， 那 f 零在这啊， f 零是这个红色的点，那 f 零加 d 大 于 f 零，那现在如果我取这个 d 是 零到一，之间是不是就出现矛盾了？哎，所以你只需要在前面做个补丁，那必然存在什么呢？必然存在 属于这个。交什么呢？交零到一，可不可以？我在这加一个交零到一。 为啥？如果你负 x 二很大，我就取一零到一里比较小的数，如果负 x 二比较小，我就得满足这个 d 既是在零到 x 二里，又在零到一里，可以吧，它就是无限接近零的这个数，那这时候一定满足这个条件 啊。那这时候呢？大于零于什么？这东西就等于 f d 大 于 f 零，又因为啊，叫做 x 属于零到一时， f x 要小于 f 零，那怎么样啊？小于 f 零与什么呀？你看，这是听的条件啊，与一式或与星式。然后因为且什么，且 d 就是属于零到一的，因为你的 d 是 零到负 x 二跟零到一的交集，但当然也到零到一里，所以呢， f d 应该小于 f 零与星是矛盾，那于是就意味着什么？所以假设不成立， 那么自然，于是就意味着，哎， f 零得大于等于一啊。这个呢，其实努努力，各位应该也能做出来，前提就是你想到反证法， 然后反证法之后呢，你能意识到 x x 二里一定有一个数要取零，因为零是你要找的特质，它跟我们在高一学抽象函数反复叠代逻辑是一样的， 你研究谁，你就把谁这个值赋进去，那你要研究 f 零，你就应该令 x 一 或者 x 二一个值为零，那你尝试一下就能做出来，那么这道题绝大部分分数现在已经拿到手了，那最后我们就来看看最难一问， 最后一问怎么办？那最后一问你想做出来啊，你就必须得有探索式设问的反命题精神啊，就你得了解反命题的教学方法呢，你就得知道初天到底想干嘛。 在高考指导文件里明显指出要增加探索式设问，意思就是前一问就是给后院铺垫做垫脚石的，所以最后一问你怎么想不重要，重要的是前边给你的提醒 一定是可以在最后一问给你帮助的。所以我们做的就是从前问的基础上去思考下一问。那么来看看前一问的基础是什么？前问的基础，首先 f 零大于一，这个肯定后边会用的是一个固有条件，那关键的是第二问，第二问我们的函数图像长这个样子。 而第二问你看啊，第二问这道题是什么呢？是把这个当做前提，然后让你证明子级关系。而第三问是把子这东西当做已知，让我们证明单调， 对吧？而其实你看，我们现在已知单调啊，零到正无穷上，单调的函数 满足什么呢？可以得到这个子集关系。而第三位想让您证明满足子集关系的单调， 那这种书明显他不是匿命题，但有点像匿命题，所以当你发现二和三有点像匿命题的意味的时候， 那你就应该知道，很有可能二和三应该有种二是三的特例的情况，也就是说我们要找到二的普遍特性，然后用于三的证明。所以那这时候你看，由于第三问，你现在得到什么呢？得到这个图像是这样长的 啊，那现在你想证明这件事，我就要考虑，哎，那我能不能证出什么呢？能不能证出他不光是单调的，而且右边这段单调是贴着坐标轴单调，也就他是负的 啊。那这就是探索式设问要从前一问的这个题目的啊，已知情形或者给你铺垫的情形里猜想，或者叫做啊这个预判到他的情况，那这种就是合情推理啊，那这种确实需要一定的啊，经验，或者叫做对函数的感知能力。那在这里呢， 我们怎么说这件事呢？我们就构建第三问的阶梯，那第三问最后一步的阶梯就是我们分成这几种，我，我想办法证明什么呢？我想办法证明 在零到正无穷上，哎，这个 f x 横负横小于等于零 啊，横为负，那它当然分成两段。这一问有提醒，那就是你得先证零到一上的时候， f x 要小于等于零啊。正，这点是再正，他在一到正无穷的时候， f x 小 于等于零，这是第一步啊，然后再干嘛呢？再用它？由于你是这样的关系，我再想办法证明什么呢？再正， 这第一步是它第二步，我在证明 f x 在 零到正无穷上单调。为什么这么想？因为其实我在考虑，如果你整个这条线看着，我们根据前面做题，会发现，由于第二问的铺垫就是在左右区间选 x 一 x 二， 那如果你右边的整个的函数都比左边的低，那你第二问，那个选 x x 二，那种子集关系依然成立，但右边如果你高上去，你选 x x 二会很复杂，那我们的思想就是特复杂的情况，我们就 猜测它不成立，或者不会出现特复杂情况，那我们证明它即可。于是这道题的阶梯就构建出来了。那我们先来看，一步步来先解决这个问题。那第二问，第一件事先证明 f x 在 小于等于零，在零到一上横成里 啊，那这个时候怎么证这件事呢？我们就想想吧。哎，那还是用反证法啊。就是刚才说过抽象还说不好证就反证法，所以假设， 哎，存在什么呢？存在 x 属于零到一，使得 f x 大 于零 啊，那么回来看这个图，那在这个图里就是这个样子，如果这种情况，那左边是这，这图就长这样啊，甭管这是零到一是吧？中间只有一个点，这个点呢，你就得想我这选谁 啊？那这里肯定我要选 x x 二，这个点你肯定要规定一个 x x 二，那第二问，我用过这选 x 二了，那我现在试试让这个值为 x 二啊，那我就存在 x 二数对于零到一，使得 x x 二大于零，那我们就假设这 f x 二等于 m 吧。 啊，等于 m 大 于零，那这时候呢，左边这就会有一个值，也就意味着在阴影区间里选 x 一， 那也必然存在。 则存在什么呢？则存在 x 一 属于负无穷到零，因为你这边贴着坐标轴走的呀，所以肯定有一个负的很多的数比这条水平线还低。那这个我就规定为 x 一， 使得什么呢？使得 f x 一 是小于等于 m， 也就是等于 f x 二的， 那么根据题目条件，这个式子得满足啥啊？当然，我规定这个小于零就是使得这个 m 是 属于零到一的，大于零是属于零到一的， 因为我们现在说过，零到一的时候，这是小于 f 零， f 零等于一嘛。啊，所以这小细节无妨。好吧，好，这是小细节了。好，那在这种情况下呢，我就知道 x x 二是这个关系。我就算一下 d x 一 和 d x 二，那我们现在找吧， d x 二得是子集，那么因为 d x 一， 则 你的 dx 二就要包含于 dx， 这是我们的要求。那我们来找找 dx， 那 dx 一 得满足什么呢 啊？ dx 一 我们就要满足，叫做 f 啊。不好意思， dx 二 f d 加 x 二啊， x 二子记嘛， f d 加 x 二就得要大于 f x 二。 那现在你看，比如说这个点，我假设 m， 这个点我们不妨设 啊，叫做什么？叫做 t 属于负无穷到零，使得 f t 等于 m， 那 这个值就是 t， 这个点的横坐标是 t， 那 你现在要大于 f x 二，那你只需要 f d 加 x 二在这个区间里即可啊。所以，那你想想吧。所以我们令 这个 d 加 x 二是介于零和 t 之间的，那么自然解得 d 属于 t 减 x 二到负 x 二，复合题， 你又能得到一个范围啊。我如果 d 在 这个区间里，你看我把 x 二加上 d， 那 加上 d 之后就会挪到 t 到这个之间，符合第一啊。那所以在这里，那此时这个 d 举个反读什么呢？所以这个 t 减 x 二逗号负 x 二应该就至少是 d x 二的子集，那 d x 二又是 d x 一 的子集，那么这个里边是不是都应该在 d x 一 里 啊？所以呢，就意味着任意的 d 属于 t 减 x 二到负 x 二都应该满足它。既然属于 d x 一， 那对于 x 一 的话，那就是 f x 一 加上这个 d 也得符合那个性质啊，那就是大于 f x 一 呗。 是这个意思吧。那现在你看啊，因为你的负 x 二是小于零的呀，所以，那你就应该知道你的 d 就是 小于零的，那所以 x 一 加 d 就 要小于 x 一 小于零，因为你 x 一 也小于零。所以呢，这时候又因为 f x 在 负无穷到零上是单增的，那你这个东西它是小于 x 一 的，那于是你发现，所以 f x 一 加 d， 实际上它应该小于 f x 一， 是不是就与这个式子？这个式子我们叫做三式，与三式是不是矛盾， 那你就发现不成立了。哎，就是我这时候，我这选一个 x 二， x 一 在左边选，那就让 x 二 往左挪，到这个位置的时候，他是符合题的，那你 x 一 因为同样的 d 也应该在 x 一 里符合，但是 x 一 往左挪，他只会变小，那他跟我性质要求挪完这个 d 之后比原来的大，是矛盾的。那你推出矛盾，就意味着这样的 x 二， 你选这样的 x 二和这样的 x 一 不存在，那你就不能找到一个介于 x 二和零之间的 x 一， 那只有一种办法，就是 x 二这含入值比零还小，让 x 二跟零之间找不到这样的 x 一， 哎，所以你会发现假设不成立， 于是怎么样啊？哎，于是在这个范围里呢，你就应该有叫做不存在这个范围啊。你假设存在一个零到一里的自变量使得函数值大于零，那就是不存在的，所以不存在。 假设不成理，所以不存在。 x 二属于零到一， f x 二大于零，即这个 x 属于零到一时， f x 小 于等于零，横成力，就得到这件事了。那得到这件事之后，我们现在要把这个命题加强，我们现在想知道什么呀？我第二步，那下面再证明 啊， f x 小 于等于零在什么呢？在这个一到正无穷上也横成例。 但你说老师这个等一怎么办呢？等一你放哪边都行，你要愿意你把等一放在这 啊，也可以，你把等于放在这也没问题啊。啊，你把等于放这就好了，对吧？那你这出来的就是在这个区间里，无妨，对吧？那来我们看这个位置啊，好，我们来画一下这个图像啊，那这个图像呢？我们现在是这个样子。 哎，那右边呢？我们已经知道零到一上是在这个阴影区域了啊，零在一上是阴影区了。然后现在我们要假设，比如这有个 x 二 啊，这有个 x 二是什么呢？是大于零的。那我们自然根据之前的做法，知道画一条水平线，我就想在左边这取个 x 一， 满足 x 一 小于 x 二，那 d x 二就是 x 的 自己。那我怎么利用中间这段范围呢？我这里取个什么呢？取个啊， x 二一撇吧，我这取个 x 二一撇。那现在我看我这样去想，我都知道这个 d 其实就是加 d 减 d 就是 一个平移，平移 d 之后比原来函数值要大。那现在你想啊，我 x 一 到 x 二平移了，其实相当于你加了个 d， 可以 让函数值变大， 那这时候既然这个 d 可以， 那我能不能也找一个 d， 让他加完之后在这个小区间里呢？也就是我这找一个 x 一 一撇，让他加了 d 之后跑这 x 二一撇了，那这个就 就不变大了。所以你发现这个 d 在 这里应该属于你的区间，这个 d 在 这里就不属于你的区间，那你看看这个 d 有 没有一些关系呢？所以，那你就假设咱们就令什么呢？那这时候就必然存在啊，假设 啊，存在 x 二大于一，使得 f x 二等于 m 是 大于零的，那这个时候必然存在 x 一 撇。呃， x 一 小于零，然后呢？使得 f x 一 一撇啊，不好意思，不是一撇叫 x 一 啊，没有一撇 x 一， 就这个值小于 m 等于 f x 二，或者小于等于 m， 那 这时候我应该有什么呀？这我应该有 d x 二包含于 d x 一。 有这样的关系，那我现在在想什么呢？现在想，那对于 x 一 来讲，我知道，且咱设啊，设这个 t 等于 x 二减 x 一， 那所以什么呢？所以 t 必然是属于 x 一 的， 因为你 x 一 加了 d 之后，它确实比原来函数大呀，所以 t 肯定是 d x 一 里的元素啊。 t 是 d x 一 的，那这时候我们再取什么呢？再 取 x 一 小于零， x 一 撇小于零，小于 x 二一撇 x 二在零到一之间，使得什么呢？使得 x 二一撇减 x 一 正好等于 t， 也就这个间距，我就不叫 d 了，就正好叫 t 啊。那这时你发现，由于 f x 一 一撇是大于零的啊，所以它应该是大于等于 x 二一撇，所以 t 自然不应该属于什么， t 自然不应该属于 d x 一 一撇， 是这个意思吗？啊？但是现在又因为你 x 一， 显然你 x 一 应该是比 x 二更小啊。又因为 x 一 撇小于 x 一 小于零， 使得 f x 一 撇小于 f x 一， 那么所以你的 d x 二，呃， d x 一 应该包含于 d x 一 撇才对， 那与什么？又因为你的 t 是 包含于 d x 一 的，所以它得包含于 d x 一 撇在 d x 一 撇之中。与什么？与这个式子，你看这个五式 是不是与五式矛盾？也就是你个 t 本来不在 d x 一 撇中，但你 t 在 d x 一 中， d x 又是 d x 一 撇的子集矛盾了啊。所以假设不成立， 于是就意味着任意 x 大 于零， f x 小 于等于零，横乘以你总算证出来，这个函数在右侧都是负的了。那证出在右侧都是负的，有什么好处呢？那么最后马上这题答案就出来了，你现在这个函数长这个样子， 我们随便取一个 x 二吧，在右侧随便取个 x 二，那这时候呢？你都应该满足， 咱就取这个叫 x 一 吧。那这个点是 x 二，那你 x 二大，那 x 二你看，由于右边都在底下，那这时候咱们就假设设 x 二小于零，小于 x 一， 那 x 一 就是大于零的。那这时候，显然你的 dx 二，因为你在右边，你的函数值都在零底下，都比左边小，所以 dx 二你是可以写的， dx 二就等于零到负 x 二， 因为你只有这段儿满足比 f x 大， 那 d x 二是它，所以呢？哎，就意味着任意 x 二， d x 二都等于零到负 x 二，对吧？那都包含于什么？都包含于 d x 一， 所以任意 x 二，或者叫负 x 二大于零，零到负 x 二这个区间都是 dx 一 的子集，那么所以 dx 一 就应该等于零到中项， 因为你零到一是他的子集，零到二，零到三，零到一百，零到一万，零到一百万都是他的子集，那你只有 d x 等于零到正无穷才行。那根据定义，由于 d x 一 是零到正无穷，那就意味着任意什么呀？任意的 d 大 于零，或者叫任意的 d 大 于零 f x 一 x 一 是在零到正无穷上啊，加 d 都大于 f x 一 在什么呢？在 x 一 属于零到正无穷横成力，这不是单增的定义吗？于是 f x 就 在零到正无穷上单增了啊，这题到这 完整成完啊。所以这道题真的是近几年里一卷里可以说是最难的一道题了啊，大家看看这种 逻辑的构建能不能接受。所以这题最大的难点是借助第二问，想到第三问的函数右侧的函数值都是比零小的， 然后假设他有一个大于零来反向构造，他不成立。最后呢啊，你当你证明出这个函数左边是在第二项线，右下角都在第四项线的时候，这题就好正了。好吧，所以呢，这道题各位看看，你听懂了吗？
2056北大胡源讲数学
05:34查看AI文稿AI文稿数学界最近可是出了一位可怕的天才啊，他的名字叫学科。他真正可怕的地方，就是在今年地狱级难度的高考数学试卷上拿到了满分。我们先来看看他面对的到底是什么。 二零二六年新高考，一卷数学覆盖了十一个省份，七百二十万考生同场竞技。考完当天，热搜就炸了，大家的反馈非常统一，前边是送分题，后边是送命题， 居然很多人连大题题目都看不懂。命题组明确规定，走反押题、反套路的路线，压轴的第十九题是一道新定义集合题，层层递进，设了四问。据说呀， 有很多地方能够完整做出来的都是个位数。但就是这张卷子，许可拿了一百五十分，是七百二十万考生里面绝无仅有的数学满分。 而在这分数的背后，他查分时那种平静到骨子里的状态，才真正让人看清他到底有多强大。 成绩呢，是他的爸爸告诉他的。听到数学一百五，他语气平静，心里毫无波澜。因为考完他就自己估得分了，所有的步骤全在自己的场控里，学校的老师反倒比他激动了十倍。查分那天下午， 知林中学的吴老师正在办公室里忙碌，一个学生冲进来，突然大喊，许可数学满分了。 吴老师当场放下手头的事，跟家长反复确认之后，还是缓不过来神，笑着感慨说，哎，这大人都比他本人激动呀，这孩子真的特别淡定。 其实这种定律，他应该在小学和初中阶段就已经一点点磨出来了。就像他在二零二五年全国中学生数学联赛上拿了一等奖，但是却离国家集训队差了一步， 那要是换做别人，可能会沮丧很久，他就紧接着一句话，比较遗憾， 然后该干嘛干嘛。正是因为有这种从小培养起来的看重过程，看淡结果的笃定，今年年初，他顺利通过了清华大学邱成桐数学英才班的招生考试，直接进入到了玉录取名单。 如果你了解过他的学习经验，你会发现，朴实的根本不像一位天才。说出来的话， 许可常挂在嘴边的第一件事是兴趣。他说要找到自己真正感兴趣的方向，兴趣是持续投入的前提， 但我们很多人觉得这很老套，但实际上，很多孩子到了高中，对数学那就是彻底绝望，根源往往就在小学、初中，本该被机械的重复给消磨光了。 那如果我们在小学阶段，能够多引导孩子去发现数字和逻辑背后的乐趣，把这颗兴趣的种子留住，到了高中，他才能长成参天大树呀。 第二件事是注重基础。许可说难题啊，归根结底，那就是基础知识的组合和延伸， 这一点真的值得我们深思。我们很多时候，有一些初中、小学的家长，总是习惯于让孩子死磕各种花里胡哨的偏题、怪题、难题，觉得越难，才能显得我家孩子越聪明。 但许可走的最稳，恰恰是把最基本的概念吃透，把小学、初中的逻辑框架搭的毫无瑕疵。高中的高楼大厦能盖的有多高，全看早期的底座是不是稳固呀。 最后就是保持平常心，考试不被情绪牵着走，会做的题绝对不丢分，没有任何悬殊的方法，没有宏大的目标，就是不被名字捆绑，把每一千每一道题都做到毫不松懈。 这个暑假，当所有人还在盯着他唯一满分的标签时，这个早就被提前锁定清华的少年已经自己计划自学高等数学了，问他以后想干嘛，他说，我只想把数学学好。 在这张满分试卷的背后，根本不是天赋异禀，而是那种看淡顶级荣誉，持续向前走的心性。一百五十分只是这张试卷的终点，但绝对不是他能力的边界。这就是许可。一个平静到让人震撼的少年。 如果家长你想收获一个在高中爆发出惊人能量的孩子，应该在他们小学和初中时期，就得学会把目光放长远去，默默守护他们的兴趣，帮他们打牢基础，磨练心性。 当然，如果各位家长你想了解更多小学、初中的教育干货方法，每天早上八点十分，点击左下方的预约，我会准时在直播间手把手带大家拆解更长远、更实用的教育规划。点击左下方的直播预约，我们在直播间不见不散！
1.9万汤圆大舅说规划