1984年高考数学题有多难
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02:49查看AI文稿AI文稿这是一九八四年的高考题，很多同学觉得挺难的，其实我们只要知道平方差公式，这道题可轻松搞定。求证，九的二十四次方加十二是十三的倍数， 十二比十三少一，可见九的二十四，十方除以十三的余数一定是一余一的数加十二一定是十三的倍数。 我们可以把原式写为，九得二十四次方减一加十三，只需证明九得二十四次方减一是十三的倍数即可。 我们首先要寻找九的几次方减去一是十三的倍数。 布朗发现九的三次方他是七百二十九，他减去一是十三的倍数。原式可写为，九的三次方的八次方减一加十三， 九的三次方的八次方减一。我们可以利用平方差公式，他就等于 九的三次方，也就是七百二十九，他的八次方，也就是七百二十九的四次方加一，乘上七百二十九的四次方减一， 加上十三。再把这个代数是利用平方差公式，七百二十九的 四次方加一，赵超乘上七百二十九的二次方加一， 乘七百二十九的二尺方减一加十三。再把这个代数是利用平方差公式 七百二十九的四次方加一，乘上七百二十九的平方加一， 乘上七百二十九加一，乘上七百二十九减一，加上十三。 七百二十九减一，他是七百二十八。七百二十八是十三的 五十六倍，显然，这一个代数是他是十三的倍数，十三的倍数加十三的倍数也是十三的倍数，也就是九的二十四次方加上十二，一定是十三的倍数。
6201数学熊忠祥老师
00:42查看AI文稿AI文稿盘点近几年高考数学难度。二零二一年近五年最简单，基础题多，计算量适中，平均分较高，区分度一般。二零二二年地狱级公认最难，新高考一卷平均分仅四十三分，被称为自二零零三年来最难。很多考生戏 称自己逐梦大专。这届数学创新题密集，计算量巨大，加州极难，反套路强，大量考生后几到大几几乎空白。二零二三年中偏难， 整体回落，比二零二二年温和，基础题比例回升，中等题多，难题仍有中等升更适应。二零二四年难度回升，接近二零二二年结构变为十九题请净化。跨模块明显压轴思维深度大，区分度强。二零二五年比 二零二四年略降，仍偏难。基础题约百分之七十，但压轴落差大，采访题增多，强调思维与建模能力。你们是哪一届高考？数学考了多少分？
3.8万娱小七
03:57查看AI文稿AI文稿盘点中国高考史上最难的五个年份 number five 十二万灾区考生的生死高考二零零八年高考的难度不在试卷本身，而在考场之外。汶川大地震发生后，四川、甘肃两省十二万名灾区考生的高考推迟到了七月。 非灾区六月份正常考，灾区七月份考两套不同试卷。这是中国恢复高考以来规模最大的延期高考。考生们面对的是家园摧毁的创伤，板房、考场的简陋条件、亲人伤亡的心理冲击，以及延期考试带来的煎熬。 别的同学早已解放，他们还在废墟边复习刷题。这场在苦难中完成的高考，是中国教育史上最沉重的一页，也是高考精神最悲壮的注角。 number four 创新题密集轰炸，学霸集体翻车 一九九九年高考，数学被称为高考惨案，那年的数学卷让全国考生集体翻车，全国平均分仅六十分左右。 试卷创新题密集投放，压轴题超纲超难，不仅学渣崩溃，学霸也集体坐冷板凳，好多题连平时的顶级高手都做不出来。更让考生窒息的是， 那会儿题型突然转向，灵活开放，原本靠刷题就能拿分的模式彻底失效。虽然最终分数线相应跳水，大家整体都低， 但那份走出考场时的绝望感，在当年每个考生心里刻下了永远的烙印。 number three 五百七十万人抢二十七万名额，录取率仅百分之五从竞争残酷度看，一九七七年高考绝对排第一，中断十二年后首次恢复高考， 五百七十万考生涌入考场，最终仅录取二十七万人，录取率不到百分之五。二十九个人里只有一人能上大学， 这是什么概念？搁今天，这难度远超考二幺幺九八五，印刷试卷时纸张都不够用，备考资料基本为零。考生年龄跨度巨大，从十六七岁的应届生，到三十多岁拖家带口的知识青年同台竞技， 五百七十万人的悲壮搏杀，是改革开放前夜最大的命运狂欢。虽然试卷本身不难，但录取率之低，把这项考试推成了中国历史上最难的高考。 number two 备用卷题案，数学平均分五十分 二零零三年高考被称作意外之难。这场灾难源于试卷被盗，教育局紧急起用了难度爆表的备用卷。当时总分一百五十分的数学卷，全国平均分约五十分。平时能考一百四十多的学霸，那年只拿到八十多分的大有人在。 出考场无数考生崩溃痛哭，很多班级是全班哭着出来的。不光数学难，理综同样令人窒息，灾难性难度直接导致全国各省分数线血崩，清华大学在许多省份的理科头档线跌破六百分。这年还叠加了非典疫情的阴影， 考生们顶着两大死亡 debuff 走上考场，最终大批二千零三届考生哭着选择了复读 number one 数学平均分二十六分的地域模式。 一九八四年高考，数学被公认为史上最难，没有之一。满分一百二十分的数学卷，全国平均分仅二十六分，北京更低至十七分， 全卷几乎没有送分题，计算量巨大，考察知识点极其刁钻。别说普通考生，连平时数学一百四十加的学霸考完也含泪走出考场。 更恐怖的是，当年实行答错扣分的机制，答对得分，答错或空着就扣一分，直接把数万考生心态打崩。这张卷子后来甚至成了高中奥数题目的模板，考生在低基数、高淘汰率下绝境求生，堪称智商与意志的双重绞杀。
7681硕博校长刘
03:08查看AI文稿AI文稿今天高考，数学干了一件最残忍的事，他把一千两百九十万考生，一刀切成了两个世界。我刚才刷到一个女生出考场，直接蹲在地上哭，说他三年刷了六千道中档题，结果进了考场才发现，一道都没考到。就在今天下午五点，数学考试结束铃一响，全网直接炸穿了。 所有走出考场的人只说了同一句话，难的题难到上天，简单的题简单到离谱。你知道这句话背后藏着什么吗？根本不是一张普通的试卷，这是教育局给全中国下的一封战书！ 先给你看一组最扎心的官方数据，今年数学基础题占比高达百分之七十，难题只有百分之十，而所有人最擅长的中档题，几乎被删光了。什么概念？以前的数学卷是一楼到十楼的楼梯， 你一步一步爬，刷够一万道题，哪怕不是天才，也能爬到一百二十分。但今年，出题老师直接把二楼到九楼的楼梯全部拆了， 要么你在一楼躺着拿九十分，要么你直接跳上十楼拿一百四十分，中间没有任何过渡。还记得二零二二年那套被骂上热搜的地狱卷吗？当年新高考一平均分只有四十三分，考生哭着出考场，但我跟你说，今年比二零二二年还狠一万倍！ 二零二二年是所有人一起难，你不会，别人也不会，大家还能蒙个步骤分。但今年呢？会就是会，不会就是不会，连蒙的机会都不给你。 最惨的是谁？就是那些每天学到凌晨一点，刷了三十本题库，把所有中档题套路背的滚瓜烂熟的中等生，他们三年来百分之八十的时间都花在了已经被删掉的中档题上，结果进了考场才发现，自己练了三年的武功全废了。 而那些平时只抓基础不搞题海战术的学生，反而捡了大便宜。因为基础题全是课本原题，闭着眼都能作对，轻轻松松考九十分，和努力了三年的中等生分数一模一样。你以为这是出题老师脑子进水了？ 错了，这是教育局明牌打的一次大清洗，命题组今天刚发的官方评析，写的明明白白，今年就是要彻底打破背题型、套公式的刷题套路，让只会机械刷题的学生彻底失灵。以前你靠题海战术能混个一本，现在对不起， 题海战术只能让你考个及格分。真正有数学思维的学霸，能轻松拿下最后两道压轴题，直接和你拉开五十分的差距。各位想一想，这哪里只是高考的变化，这就是未来社会的提前彩排，这不是在淘汰中等生， 这是在淘汰那些用战术上的勤奋掩盖战略上的懒惰的人。现在 ai 已经能写代码、做设计、写文案了，所有重复性的、套路化的工作正在被快速取代，那些只会按部就班跟风模仿的中间派，会被淘汰的越来越快。未来的世界只有两种人能活下来， 要么你把基础做到极致，成为不可替代的执行者。要么你有别人没有的核心思维，成为行业的顶尖高手。今天这场考试，淘汰的从来不是努力的人，而是过时的努力方式。你觉得这种出题方式对努力的中等生公平吗？
7.5万财经夜猫子
11:11查看AI文稿AI文稿葛军这个名字已经是一个虚词了，对我来说是一个冤案了。 大爷手下留情。人家说我是零三年的啊，我长得很惨哎。零三不是我，我是零二来站在哪？你觉得为什么会出现这个情况？我也不知道，做了一个虚妄的一个标签。虚名的谁？浮云。 那我自己要拎得清我是谁。大家好，我是葛军，今天我们交流印章之旅一变四十八，教大家如何数据。按照我的做法，一包的一百三十倍。高分的重要性是相对数学重要，但数学并不是你想的那么重要， 高考仅仅是人生的一个坐标点，他不是最高点。其实高考没有明天，明天也没有。 哎哎，你好哎，你们怎么在这里啊？哈哈哈，考个他的世界。我是李二。 好像是的，哪上到哪对我来说是一个莫名的误解。其实我只出过全国高考江苏卷零四年，零七年，零八年和一零年。 葛大爷这个事呢。我倒也觉得蛮境界的也蛮好，从数学的角度都是符号而已，尤其是苏集帝，他是不是随便可以说的？但是我个人是不赞成苏集帝，他本身是一个就像江湖上一样的。要表明你有更多 的实力。说研究点数学，好像我自己都不敢说我研究数学，说研究数学教育。哎呦，我也不敢说，我只能说实践了数学教育。 这数学通报这是给老师看的书是吧？对呀，我我是他们的编委，这是老师必必须要学习的。 每年还关注这个高考的题吗？这是必须。那每年的高考所有题你都会做吗？现在那是要做的，做了以后从中体悟他是到底怎么变出来的，也有时候就跟老师们或者同学们交流， 不还会出高考题吗？不可能的。就是作为我来说，高考题的背后，他的队伍的组建是要讲究与时俱进的。第二个对我来说，有了几次感受就行了， 比出艺术品还痛苦，但不是这么简单的，所有的题都经过 n 次打磨。他这个难度的问题呢，到现在我也觉得比较困苦，因为他的卷子是测查不同的水区及水平层次的。我记得二零一零年的时候，媒体采访一些专家，其实人家说的很对， 他是一个团队，这个团队集体发挥一些作用，这还是有一些身定的标准和要求的。可能会有一些个别话题提位摆的不当，或者是还可以再适当的做调整，那是另外一回事。在整体上来说，他是符合我们的餐餐厅的要求的。 没有，高考也没有，今天我高考数学，我们大学一百二，我考了一百零几吧大概。我也不算高，总分是六百分，考了四百四十五，好像。 重点分数线以上嘛，反正我对数据有兴趣，题目能做的出来，总觉得做数据挺有意义。我们那时候没办法，我是对生物感兴趣，其实年末的时候，报纸上登的生物工程是未来牛的工程，然后生物呢，我最用心，但是我考的 不太高，三十分，我考了二十一分，然后再加上这个说因为近视吗，不能看实验，所以最后就选了数学。呃，也就这样，一路走来，我也就这么稍微努力一下，努力的还不够。那您觉得您是数学天才？这本来就不是吗？那要是天才，咱不考一百零几吗？对吧？ 呦，这本书不错嘛，我什么都看，只要感兴趣，但是主要的科技类的，科普类的，当然还有数学的，也看看有没有一些新的数学 学方法的。我来去看看教父书，看看数学原来可以这样学的，好像我应该是不是有本书。 我们是属于受益者，你看我的那个时候，在中初中的时候就想着回家争公分，我当时成绩还行，在乡里，然后我们的老师是帮我自己帮我填表报小中专考，前一天 感冒了，然后考的考的变成中，变成高中了。就是假如没有这个高考的话，您觉得你会没有高考，那就在农村里吧种地吗？那不种地干什么呢？就是高考这条路，他这基本上改变了农家改造的这样的一个发展之路嘛。 我的孩子现在是在小学六年级自学了初中的一些数学知识了，正好现在 平时他们也用这些 ai 来辅助学习，所以我也有这方面的困惑。签到核销的话，初二初中遇到好的，我想录音录下来给孩子听听。这个出的这个高考卷子还是比较 比较厉害的。这个数学的这个动态把握，我觉得还是蛮蛮有独特境界的。一个葛军，一个 ai， 两个关键词，我就来了，想找一下方向吗？ 对，现在这个无论是中考还是高考，数学基本上能决定一个家庭的那个，或者说能决定一个孩子的成败吧。各位家长，各位同学，大家下午好，我今天主要带来的话题呢是享受数学，思考 知识在不断遗忘，但是当你一旦用思维方式激起你的时候，你就很容易上手。那么你入学数据有什么用呢？很简单，就是一件事，他本身能够从多个角度 认识这件事，你数学学到了，所以这就是数学学习的价值。但是数学呢？你可能是最后被我们误导成解题，因为你必须所谓的要去参加高考，读高分，这个事情值得一部分人来，包括家长去思考。 感谢各位老师精彩的分析，谢谢老师能帮我一个，不能，这是我高中时候出的卷子，我把我高中时候同学发生的有意思的故事全部结合在了一个这个，谢谢谢谢。然后这后面的二维码一扫就有讲解哦，慢慢慢。比如说我们现在都认为是最公平的， 最公平的背后的一些问题，那当然大家都要去考量，就是说你用一个角度来刻画一个人的，比如说数学的水平，学习水平一个指标就可以吗？你考定终生的。背后这个事情可能我们 放大了，因为现在社会，尤其是未来，他不是依靠定做生，依靠仅仅是一个时间段上的一个表达，名校也好，名机构也好，尤其是一些更有创新活力的一些公司，他可能不以你的学历为重要。 我戴个眼镜呗，哎，对吧？好，这个今天跟大家交流一下，如何求 a 加 b 等于 a 乘 b 的所有的正整数。 做这抖音的这个事情其实简单，我就要退休了，我就想，我，我该做点什么呢？我觉得该做点这样的有益的事，把我一直思考的，而且也一直实践的一些东西跟大家一起分享。我自己也经过了这么多年的数学教育的， 总觉得呢，现在我们眼中可能只有高考分数，有这样的一个平台，就是告诉大家我们还可以这样数学学习，我们还可以这样数学思考，就想让更多的孩子不要再做题，做题做题。我看你讲的主要是一些思维方法，对，本来就是想这样，你过分的玩炫技就没有意义， 不管他是讲通心通话，我考你基本的思维你信不信，你用你高中比如学的基本知识，然后你用你的思维方法来进行处理， 要是考生能听到您说的这个，估计他这个成绩应该会有一个进步。哎呀，但是他们没时间听， 你看有的老师他就说了，公用来我我教学就好了。我也想起这个作用，有的是开玩笑对吧？有的嘛，倒是讲的有道理，你比如说这个喜欢葛大爷深入浅处， 这个是神色求助，本来也是我的追求，说确确实有启发性。然后葛大爷应该教高中，肯定是个好老师， 心态比较平和，说好的也罢，表示感谢，说不好的也罢，表示你也不容易，所以最后也没有觉得有很多的梗能够激起我的虚荣心，我也不是为了追求所谓的公民，也是没有意义，因为对我来说只是做了一件事， 现在呢，九十九的要麻烦你们能够进行协助。所以呢，这里呢，我讲的一个就是全国高考，一九七七年以来高考的题有没有 抖音上啊？那最后有可能会出现到比如说我们相关的在座的各位老师参与另写一些稿子，目前的文稿基本上都可能会有网络觉得你那个入驻抖音也是为了流量啊，那，那我根本从来就没有这个 想法，要这个想法我早就入住了，那么那十年前入住可能可能更有意义。至于说流量不流量对我来说好像没有意义，他们告诉我说也涨了多少粉的时候，我一点都不都不精彩， 因为人多，我就可能这样的东西可能传播的多一点，然后让大家一起来促进来反思，就这么简单的思考，没有什么什么过多的想法，流量没有变现，他对我来说羡，羡慕起什么东西来不去操作这件事， 从这个拍视频来说，我都是比较精心的去思考，我认为我每一个视频都是有意义的， 所以我是始终没有罪，因为我觉得一旦有罪啊，这个人就醉了，然后就飘了。就是该平常的做呗，就这意思，后续就是我要把我刚刚说的基本的策略，基本的要求，然而 跟大家表达这啥回事，这第一个估计要持续几个月，然后接下来第二个工作，就每一个板块或者每一个典型的问题进行再深入的展现，然后再再弄一些题嘛，比如说你初一的孩子拿到这题，你可以一下子玩到高中，我准备想跟着教材走，然后由低到高，现在就在开发， 所以这些东内容我认为可以随时拿去共享的，哈哈哈。高考是吗？高考是一个评价，却被用来在这个阶段孩子们做一个人生的不同的路径的选择。 高考仅仅是人生的一个坐标点，他不是最高点，他还可能是你的最低的一个点，但是未来你的人生可能冲的很高。数学怎么学才能在 拿高分？我还是那个建议过的，就是一回归教材，二插鲁普去三看看能不能规整一些点心题笔解。你要说跟你绝招，那就把高考正题 把原先定理有两种方法给出证明，包括你一部分人写不好你不要看，我也写不全，我们两人打赌。
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15:12查看AI文稿AI文稿都说今年高考数学的压轴题特别难啊，那今天呢，我来用小学生都能听懂的方式来给大家把压轴题来给大家讲一下。那今天我就当大家所有的知识都不知道的我们重头给大家讲。首先比如说第一个啥叫函数，函数这个东西呢，大家可以把它理解成是一个 山的一个高度。就比如我们平时去爬山啊，你爬到不同的位置，它对应的这个山的高度是不一样的啊，所以这个 f x 你 可以把它想象成是山的一个高度 啊。那问题来了，那不同的位置就是我们这个定义域了啊，所谓的定义域，就是说我爬到这的时候，他的山的高度比较高，我爬到这个位置的时候呢，山的高度比较矮，那你看这个 r 是 啥意思啊？ 这个 r 就是 说我可以自由的爬，我可以往右边无限的爬，也可以往左边无限的爬啊，这个就是全体实数啊。那么你看他这道题里面给我们了一个条件啊，就是说当 x 小 于零的时候，这个函数图像长这个样子，这个山是怎么画的呢？给大家画一下啊，就是我们画个竖轴 x y 啊，这个 y 就是 山的高度， x 就是 你可以往左往右爬，它说的是 x 小 于零的时候，这个中间是零啊，也就是小于零的时候，这个山是长啥样呢？它是个二的 x， 次方是个指数函数，大致就是这样画的啊，就是一个 呃，慢慢慢慢变高的一个山啊，就你可想象着你去爬山的时候啊，这个山是越来越高的啊，这就是小于零的时候 啊，然后大于等于零的时候，这个山长什么样呢？这个其实对于我们初中生来说就能看得懂的，它是一个一次函数，你你可以带个数进去啊，你比如说 x 等于一的时候， 山的高度是零，对吧？ x 等于二的时候，你看山的高度变成负的了，也就是这个山是你越往后他越矮的，所以他这个图像是画成这样子的啊，就是大致是这样子。 所以你看我们第一小问啊，其实就是给我们描述了一个场景，就是有个人要去爬山啊，前一段的山是越来越高，后一段的山是越来越矮，那么接下来就到了这一次高考最难的地方了啊，求地附一， 很多同学就看蒙了，定义集合，你看这里出现了两个字叫定义啊。我们为什么一直在小学的时候就开始给大家讲这个定义新运算啊？就现在出题人是非常创新的，怎么创新呢？就是我给你规定一个东西 啊，这是出题人规定的，我每年可以规定不一样的。你比如说我们在小学的时候学过，很离谱的啊，我手上有一把手枪，我手枪指着谁，就那边人比较大，或者说我现在规定有一颗白菜，这个白菜他表示的意思就是把两个数相加，所以你看这种规定他是非常灵活的啊。那么你看这道题，他就给我们规定了一个东西定义， 这里有个集合，集合这个东西呢，你可以把它理解成是一个范围，这个范围是啥呢？就是 d x 零等于 d 属于 r， 然后 f x 零加 d 大 于 f 零，完了，很多人躲到这就特别晕啊，那怎么办呢？其实我跟大家说啊，高手跟新手之间有个最大的区别就是高手有迈出第一步的勇气。 什么叫迈出第一步的勇气呢？你看他这里给我们求的是 d 负一条件，给了个 d x 零， 也就是说相当于是把这个 x 零给干嘛了？给换成负一了，对吧？那么请问你有没有一个勇气把这里的 x 零 给它换成负一，如果你连这个勇气都没有的话，完了这道题你就不可能再往下做了。所以我们当遇到陌生的领域的时候，我们应该干嘛呀？我们应该尽可能的去读题，去寻找条件，看看有没有什么相对应的条件。你看这明摆着是把 x 零换成负一了， 咱们换一下试试呗。有这个勇气迈出第一步，我跟你说，再往下这个题就会变得非常简单了，咱们试一下啊，把它全都换一下啊，你就现在别管它，这里面一堆鬼画符，我现在也看不懂，对吧？我就把它换成 d 负一，咱们来看看啊，看到 x 零就换成负一，会发生什么？这 些就照抄了啊，反正现在也不知道这是啥啊，就反正 d 属于 r， 然后 f 把 x 零换成什么？换成负一， 再加个这 d 啊，也不知道 d d 是 干啥的，也不知道啊。然后呢？再大于什么？大于 f x 零换成什么？看成 f 零就换成负一。好，换完之后你再去找这里面有没有你手写的， 你比如说这里面我们有个东西叫函数 f x， 对 吧？那你看这里是 f 多少？ f 负一， f 负一是什么意思啊？就是有个人站在了负一这个位置， 它对应的这个山的高度是多少？这个能看懂吧？对吧？因为它小于零的时候， f x 不是 等于二的 x 四方吗？那你带进去算一下呗， f 负一，也就是二的负一四方， 这个初中生都会的，很多小学生都会的。二的负一四方，不就二的一四方分之一吗？也就二分之一。所以就说你这个人站在负一这个位置，你所处的这个山的高度有多高呢？ 算了一下，二分之一。好，那看完这个之后我们再来看这个，这句话是啥意思呢？就说你要加一个 d， 加完之后得比原来的这个 f 负一要干嘛？大于号要比原来的这个山的位置要怎么着啊？要更高一点吧。 哎，就说我现在，现在有个人啊，一开始往这一站加个 d 的 意思就是说你既可以往左边走，也可以往右边走，但是走完之后要比原来的高度要干干嘛？大于号什么意思？高度要更 高，能理解吗？对吧？大于嘛？那你想，如果我这个加的 d 是 个，是个负数， 那我们竖轴里面往左边走，不就是负的吗？那往右边走就是正的，对吧？那你们觉得这个地应该是个正的还是负的？因为我想比原来的山的高度要更高，你看现在你这个人所在的位置是半山腰二分之一，我想比原来高，你说我应该往哪走？ 是不是应该往右走？所以这个地大致大家心里面应该有个感受，他应该是个正的。那你不能说无限的往右走啊，因为这个山你发现没，他他有山顶，然后走着走着又下坡了，所以你走到一定的区域， 你这个高度就没有比原来高了，所以我们要找到那个临界点，那这个临界点好不好找呢？这太好找了呀，你拿个尺子， 对吧？你现在不是半山腰吗？对吧？你要比原来的高，那我们就画个半山腰，画到这边，你，你走到山的这边的半山腰的时候，你就不能再下去了，再下去你就比原来要低了。那请问这个半山腰二分之一，它对应的这个位置是多少啊？会算吗？来看看这个函数，一个初中很简单的函数， f x 等于一减 x， 哎，就说它等于一减 x， 你 把这个算一下，一减谁等于二分之一？口算二分之一嘛。哎，就说当你走到二分之一的时候，就不能再往下走了，再往下走这个山的高度就没原来高了，对不对？所以请问你加的这个 d 是 多少呢？ 很简单，我们最起码这个 d 要大于零吧，对吧？你不大于零，你不往右边稍微迈开那么一些小步，你的这个山上不去啊，至少要大于零，那小于几呢？你看其实从负一走到二分之一，走了多少路呢？负一到零，我们可以理解成走了一步， 零到二分之一，走了半步，总共走了多少步？走了一加二分之一，也就是二分之三步， 对吧？那所以其实你走的步数最多，最多也就是二分之三，而且能不能等于二分之三呢？ 不能，因为你等于二分之三的话，你刚好走到这跟原来是一样的高度。但是他这里是一个什么符号啊？是个大于号，没有等于号， 所以说你不能等于二分之三，只能小于二分之三。所以整个的这个逻辑就是这么简单啊，你看懂这个逻辑之后，两分钟就把这个题给拿到分儿了。那我们再来看第二问，其实当我们把第一问理解完之后，第二问也是非常简单的，也是送分题啊。第二问他就说若 f x 是 个奇函数，这里我要强调一点啊，你看，两问都有一个若， 哎，就说这里的弱跟这里的弱已经是没有半毛钱关系了，你就不能再用第一问的条件了啊，我们只能用题目中这个题干的条件，哎，就是题干的条件再加上这个条件来分析。 题干里面说小于零的时候是什么样的山，大家还记得吗？小于零的时候，这个山大致是这样画的对不对？是个指数函数嘛？ 然后他又说他是个基函数，那我们上过高中的学生应该都知道基函数是什么意思，基函数是关于原点对称的，所以他的右边这部分呢，你可以这样给他画，他大致是一个关于原点对称的。也就是这个山现在被盘古给他开天劈地切成了两座， 一座是慢慢上升，一座也是慢慢上升，只是说中间有个断层，对吧？有点让我想到东非大裂谷了，反正裂开了啊，然后中间原点的时候，你就点到中间就好了，这样子关于原点对称的。 那么接下来你看啊，他说如果 f x 一 小于 f x 二，那我们怎么理解呢？你就把这想成两个人，有两个人去爬山，但是爬完之后，两个人所在的位置，哪个人所在的这个山的位置更高啊？大家告诉我是 x 一 还是 x 二， 很显然是 x 二，对吧？ x 二比 x 一 的山的那个高度要高一点，且 x 一 乘 x 二不等于零，也就是没有人站在这个裂裂缝这，那么请证明 dx 二 属于 dx 一， 就啥意思呢？就是刚说了这个 d 这个东西是啥呀？是个集合，是个范围，对吧？那么它属于它，这个大家可以把它当成小于号啊，就是一样的意思，就说这边的范围会更大， 就你要证明这个 x 一 这个人，他行走的范围会更大，那问题来了，山都被切成了两座山， 那你说这两个人到底在哪座山上啊？这是不是就涉及到我们从小学就给大家讲的一个东西，叫分类讨论思维，就是你这两个人到底在哪座山上？我们得先分类讨论一下，有可能这两个人都爬的是左边这个山， 有可能爬的都是右边这个山，也有可能一个左一个右，对不对？我们就分三种情况讨论，比如说两个人都在左边啊，我就简单写成同左啊，两个人都在左边的话，那问题来了， x 二和 x 一 这两个人该怎么画？ x 二这个位置是不是更高一点？比如说我让 x 二站在这，他对应的山的高度比较高，对吧？ x 一 我们就让他站到这， 他对应这个山的高度就比较矮一点啊，反正小于等于号嘛，对不对？那么我们来分析一下这个 d 是 啥意思？大家回到刚刚这个题啊，这个 d 的 意思就是说这个人现在可以四处走动，加着这个 d， 意思就说你可以往左走或者往右走啊，你可以自由的活动， 但是活动完之后要求你的高度要比原来怎么着？这里有什么符号大于号，也就是你自由活动完你的高度要比原来高。那么我想问大家，请问 x 二他要想自由活动完比原来的高度要高，他只能往哪走？ 是不是只能往上爬呀？所以他的活动空间其实只有这么一小块，这就是他的地， 能取得这些值，就是往右，对吧？走几步，哎，走到头了，对不对？然后 x 一 它的活动空间呢？你，你想吧，就这这里的 x 零，大家注意啊，我们在分析的时候，你要把这里的 x 零想象成 x 一， x 一 就还是跟我们第一问这个逻辑一样，你得把它带进去 啊。那么请问 x 一 他的活动空间有多大呢？他也要活动完之后比原来的位置要怎么着啊？要高，对吧？那你说一个人站在这，想活动完之后比原来的位置要高，他能往哪走？是不是也是只能往右边走？ 而且你有没有发现他的活动空间确实比他的范围要更大，那是不是证明出了他的范围更大，对吧？这是不是证明出了他的范围更大，对吧？这是同在左边，那同样的，我们要分析他们同在右边， 如果两个人都在右边的话，来看看啊，那 x 二它是处在更高的这个山的位置，那我就比如说这是个山吗？对吧？你看这这还是个山啊，就 x 二应该是在高处， x 一 呢，应该是在矮一点的位置。那问题来了，这两个人请问活动空间哪个范围更大？ 请注意，这个活动虽然是自由的活动，但是要求活动完之后的高度要比原来，怎么着？还是要比原来要高，对吧？那比原来要高的话，你说 x 二他能往哪走啊？他是可以往右边无限走的吧， 对不对？但 x 一 呢，他也是往右边无限走，高度就更高，但是你有没有发现，他比他还是多了一丢丢 空间，所以它的范围， x 一 的活动范围还是更大啊，当然还没完啊。其实这两个人能不能跨越这个断层往左边活动呢？你看左边，这山数更高，所以这两个人的活动范围其实还都包含左边，但是你有，我也有，这里我们打平了，但是这里呢，我还是比你多了一点点活动空间，所以我的范围就是比你更大， 这个没毛病，对吧？好，这是同右的情况。那第三种情况就是一左一右了，一左一右的，再再一分析完，这题真的就满分就到手了。一左一右的话，我们重新画个图给大家分析一下啊。这个有点乱了， 你看一左一右的话，还是刚刚那句话，就是有一个人的位置比较高，有一个人的位置比较矮，那么你说谁应该在左边呢？ 这两个人谁应该在左边呢？ f x 二这个更高一点，对吧？所以 x 二应该是在山的左边啊，它更高一点，而 x 一 呢，应该是在右边，对吧？ x 一 所处的这个山的高度不是稍微比 x 二要矮一点吗？那我们现在来看他们的活动范围 啊，活动范围还是要求活动完之后要比原来的高度要更高，对吧？加了个 d 之后，比原来的要高。那么你看 x 二，它的活动范围其实不多了，它只能是往上面走，就这一小块， 对吧？它的活动范围这样子才能比原来的这个高度要高。但 x 一 呢，它的范围很多，它既可以往右这边有无限的可以走，还可以往左边这一大片，它只要走过来这些位置，是不是这个山都比这个这边的这个山要高啊？所以你看有没有发现， x 一 的活动范围依然是比 x 二的活动范围要更广的，所以 也能得出他的范围更大。所以第三种情况我们也分析完了，所以总结一下，你看啊，其实所谓的高考压轴题，他的底层逻辑也不过如此， 对吧？但是你看，很多人连第一问都没做出来，为什么呀？因为这个东西他没看懂啊，他没看懂这个定义啊，这个定义就是我们现在高考的一个创新之处啊，就是定义我说了算，出题人说了算，对吧？我怎么定义的？你就按照我这个定义来，所以你我们得有一个适应能力， 你得适应这种变化，那么怎么适应呢？这就我刚说的第一小问，你得有勇气啊，对吧？你不能说我出题人定义了一个情景，你连去迈入这个场景的勇气都没有，你连把负一带进去的勇气都没有，你怎么能适应我这个变化呢？ 所以这就是我们新高考对于大家的一个要求。我当时看完这个题第一眼的时候，我看这个式子我也是蒙的，但是我把负一往里面一带，哦，原来是很简单的一个道理啊，对不对？就是活动完之后，你这函数值要比原来更高， 把它往里一带，瞬间就读懂这个初听的意思了，就是我们从根源上把你的思维达到一定的高度，你再去看这种题，其实是非常简单的 好吧，所以这也是我为什么一再给大家强调，我们从小学开始就要培养一个小初高连贯的思维体系。你如果跟着我们一直学下去，你会发现这些高考题 就是我们在小学的时候，初中的时候都讲过的很多知识嘛，只是说你最后把这些知识放到一起综合的来应用了一下啊，这最后的成绩就是水到渠成了。
2.8万史要文数学开窍
00:54查看AI文稿AI文稿近五年高考难度排行 top one 二零二二年难度，五颗星，六年最难。数学难度，拉满，题型刁钻，刷题套路全部失效。 top two 二零二四年难度，四颗星， 整体难度第二。英语难度，断层拔高，全卷压分高分极少。 top three 二零二六年 难度，四颗星，和二零二五年难度持平，极致反套路，题目不超纲但灵活，中等生极易丢分。数学最难，各科重逻辑推理。 top four 二零二五年难度，三颗星， 过度缓冲年份出题温和，常规题型居多，模板答题有效。 top five 二零二一年难度，两颗星，六年最简单题型基础直白，刷题背诵就能稳拿分。
3147拾阅 Soyue
03:31查看AI文稿AI文稿高考数学最后一道题到底有多难？这么说吧啊，高考数学最后一道题是给未来数学家留的，不是给考场上那些普通学生留的。 嗯，你看零几年那个时候啊，高考数学最后一道题，他一般出的是怪，出的偏你像江西卷。嗯，述论背景的不等式证明放竞赛里呢， 都不掉价。那个时候学校搞奥赛班就是为了防这一手纯拼。你有没有见过世面 到了一零年前后啊，计算量大的离谱，你看一道圆锥曲线，三页草稿纸你都算不完。那年江苏卷的压轴题，全省完整做出来的。嗯，不超过十个。 那个时候呀，手速不够快，你连题目都读不完。近几年的男的是猜不透二零二五年最后一道是啥。把 数列和概率揉一块考本质，考建模，你背了一万道套路啊。呃，他问的恰巧是你没见过的那种。这就是现在的风向，反套路，考思维。呃，今年的高考数学最后一道题， 现在呢，孩子们正在考场上，还不知道他考的是什么，但是呢，应该是依然延续这种反套路的风格。呃，我猜肯定还是在考本质，考剑魔这个风呀。呃，会持续下去。 所以你说高考数学最后道题难不难？我告诉你啊，他早就不是说做不做的出来的问题。 呃，是你在高压下碰见一个完全陌生的数学模型，敢不敢冷静下来去分析它？这道题就不是靠刷题刷出来的，是靠悟性，靠冷静，靠那股子不服输的韧劲做出来的。 高考数学的最后一道答题啊，依然不是说普通孩子能够起级的，是给全省前万分之五的孩子出的， 如果咱们的目标不是清华北大，不是 c 九院校，你就是觉得，哎，考个 好一点的二幺幺，考一个普通的本科，那你就不要死磕第一问送分题呢，拿稳就行。但你想当哪万分之五，你就要好好的琢磨琢磨 去，好好的把这个题抠一抠，算一算。然后呢，如果你是高一高二的孩子，你对数学很感兴趣，很有天赋，那你就去练一练最后这一道大题。 这十几年二十年下来呀，高考数学的压轴题，最后一道题送走了一批又一批学生， 他呢，根本就已经不是一道题了，他是一道龙门跳过去了，海阔天空跳不过去，你全力起跳的样子也不丢人。
6718高中班主任李老师
00:34查看AI文稿AI文稿该怎么跟你形容二二年的高考数学到底有多可怕呢？是后来每年高考数学一上难度，这张卷子就要被拉出来颠是一次的程度，他更是直接把一个叫朱浩坤的人拉下了神坛。当时数学老师说了，不会的题就先跳过去，哥们做了前四个单选，直接变成跳跳虎了。做到第四题，抬头一看，开考三十六分钟了， 做了填空题，已经有人哭的影响考试了。考完一出门就听到有人在走廊上大喊，我要复读！平时能考一百二十加的学生只能勉强及格，全校学生都在崩溃，校长在广播安慰学生，老师在班级里开导家长。这时隔这么多年，再见到这张卷子，都还是会有种见到仇人的感觉。
1.5万C位大明星
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02:30:15查看AI文稿AI文稿三小时速通高中数学正式开始！先说清楚这部戏，把高中三年重新上一遍。真正要速通的是一张地图，每类题考什么，第一步干什么？拿些分，先拿 高中数学这张卷子，先拆成七个板块，基础送分、函数、三角、向量、立体几何解析、几何概率统计、导数压轴。第一层是基础送分，集合逻辑、复数、向量不等式。这些题不追求漂亮，只追求稳。 第二层是函数三角，函数先看定义域和图像三角，先整理角，再看周期和最值。第三层是竖列等差等比，通向、求和递推，核心是看出它到底在变什么。 第四层是立底几何，能间隙就间隙，不能间隙就叫垂直平行截面和距离。 第五层是解析几何，先判断曲线和直线关系，再决定连立点，恰参数还是势而不求。第六层是概率统计，先列事件，再看独立条件分布列期望和方差。 第七层是导数压轴，第一问拿分，第二问大框架，最后一问看时间，不要从第一秒就硬杠。 接下来是三小习安排，前四十分钟扫基础送分，先把一定能拿的分稳住。 第二个四十分钟给函数和三角，这里题型多，但入口很固定，定义域，图像角求积。第三个三十分钟给向量，重点不是被一堆攻陷，而是看到地推和求和时知道往哪边拆。 第四个三十分钟给力，抵几何空间，想象弱的人优先实解析和向量法。第五个三十分钟给解析几何圆锥曲线，不怕长，就怕一向来盲目展开计算。 第六个二十分钟给概率统计文字多，不要慌，先抓样本细节变量，最后十分钟只做一件事，回看错题和口诀。不要在最后十分钟学习新方法。 快速回顾整套课的路线是，先稳基础，再抓含数数列，再处理几何概率，最后看到数压就 每个板块结束，我都会给一个快速回顾，你只记一个问题，这一类题第一步干什么？下一段进入第一块基础送分，我们先把集合、逻辑、复述、向量这些题的丢分点清掉。 第一章基础送分这个章节不是讲难题，而是把集合、逻辑、复述、向量不等式这些稳定得分点压实。 三小时课里这一章大约十二分钟，目标是让你遇到基础题时不犹豫，遇到中档题时先把底层步骤坐稳。 今天按五块走集合，先翻译元素逻辑，先画箭头复数化乘 a 加 by 向量先坐标化不等式，盯住正负号。 你要记住一个总原则，基础题不是拼技巧，是拼顺序，顺序对了，计算量会自己降下来。 第一块集合集合题第一步不是看交并补，而是先看每个集合到底装了哪些元素。 集合题最常见的失误是方程没解完，区间没划清，就直接去做交集或者补集。 先看例一，集合 a 是 方程， x 平方减五， x 加六等于零的解集集合， b 是 一二三，求 a 交 b。 先分解 x 平方减五， x 加六等于 x 减二乘 x 减三，所以 a 等于二和三。 再比较 b， 二和三都在 b 里，所以 a 交 b 等于二和三。注意，这一步才叫做交集。 再看例二， a 是 x 平方小于等于四的解集， b 是 x 大 于负一的解集，求 a 交 b。 先把两个条件翻译成区间， a 是 负二到二， b 是 负一到正无 穷取，共同部分就是负一到二，左边负一，因为 b 是 大于负一，所以这里是开区间。 再看例三，全集优是一、二、三、四、五集合， a 是 二和四，求 a 在 优中的补集。 补集的意思不是随便取，反而是在指定全集里把 a 的 元素拿掉， 所以优理剩下一、三、五集合题，只要先翻译，再划范围，最后看题目问交并补，基本不会乱。 第二块，逻辑充分必要条件。不要靠语感。先把 p 到 q， q 到 p 两个方向分别检查。 立一， p 是 x 大 于二， q 是 x 平方大于四。在实数范围内判断 p 是 q 的 什么条件。 从 p 出发， x 大 于二，一定推出 x 平方大于四，所以 p 推 q 成立。 反过来， x 平方大于四，也可以是 x 小 于负二，所以 q 推 p 不 成立， 一个方向成立，另一个方向不成立，所以 p 是 q 的 充分不必要条件。 例二， p 是 x 等于一， q 是 x 平方等于一，先别急，还是画两个箭头， x 等于一，能推出 x 平方等于一，但 x 平方等于一，还可能是 x 等于负一， 所以 p 仍然是 q 的 充分不必要条件。很多题换题本质还是箭头方向。 例三，否定命题时，全称和存在要互换，大于号和小于等于要配对 命题。任意 x 大 于零都有 x 平方大于零，它的否定不是随便加一个不字， 正确否定式存在 x 大 于零，使得 x 平方小于等于零。量词、条件、结论都要对位 逻辑快速回顾条件提换双箭头，否定提换量词，别把中文感觉当证明。 第三块，复述，复述题先把 i 平方等于负一写在脑子里，目标永远是化成 a 加 b 加 b 计算一加 i 的 平方，再除以 i， 一加 i 的 平方等于一加二， i 加 i 平方，也就是二 i， 再用二 i 除以 i， 答案是二，这里不要把 i 当成普通字母乱约分，先化简最稳。 例二计算一除以一减 i， 看到分母有负数就成它的共讹 分子分母同乘一加 i， 分 母变成一平方加一平方等于二， 所以结果是二分之一加二分之一 i 写成标准形式，十部虚部就清楚了。 负数还常考魔长 a 加 by 的 魔长是根号下 a 平方加 b 平方， 如果 z 等于三减四 i， 那 么魔长等于五，别忘了魔长最后要开方 负数快速回顾，先用 i 平方等于负一，分母有负数乘共讷。最后检查十部虚部魔长。 第四块向量向量题的第一选择是坐标化，能写成有序数对就别只盯着图想。 例一，向量 a 等于一，二向量 b 等于三负一，求 a 加二 b， 二 b 等于六，负二，再加 a， 得到七零坐标题就按分量分别算。 例二， a 等于二，一， b 等于一，负二，判断 a 和 b 是 否垂直 看垂直就算数量积。二乘一加一乘负二等于零， 数量积等于零，所以两个向量垂直。注意不要只靠图形看角度。 例三，如果向量 m 等于 x， 二向量 n 等于一，三且 m 平行， n 求 x 平行，可以用坐标乘比例 x 比一等于二比三，所以 x 等于三分之二。 向量快速回顾加减数乘，按分量垂直看数量积为零，平行看对应分量乘比例。 第五块不等式，不等式最怕两件事，乘除复数，忘记反向定义域，没看就变形。 例一，减二， x 减一大于三，先一项得到二， x 大 于四， 两边除以正数。二不等号方向不变，所以 x 大 于二。 例二解负三， x 小 于六，这次两边除以负三，不等号要反向， 所以 x 大 于负二，看到负数乘除，脑子里必须自动想一次反向提醒。 例三绝对值， x 减三小于二绝对值，不急着硬拆，先翻译成距离， 距离三小于二，说明 x 在 一到五之间，所以答案是一小于 x 小 于五。 例四，分式不等式，比如 x 加一，除以 x 减二大于零，先看零点和近点， 零点是负一，近点是二，用数轴分区间再判断正负， 结果是 x 小 于负一或者 x 大 于二。注意二不能取，因为分母不能为零。 不等式快速回顾，乘除负数要反向，绝对值先看距离分式，先找零点和近点， 最后做本章总回顾集合。先翻译元素逻辑，先画箭头复述，先画标准形式 向量优先做标画不等式，先丁正负号和定义域。这五类题核心都是先把对象翻译清楚， 如果你只记一个动作，就是先写出第一步，第一步对了，后面的计算通常就不会骗。 第一张结束，下一张进入函数图像和性质，那一张会明显更长，因为它是整套高中数学的中轴。 第二张函数图像与性质这一张按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一张的目标不是把所有细致末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块，定义域和值域。先记这一块的核心动作，先看分母根号对数，再谈性质。 函数题最怕一上来就化简定义域，没看清后面的单调性值域最值都可能错。 看例题，一，求函数 f x 等于根号， x 减一，再除以 x 减三的定义域， 根号里面必须大于等于零，所以 x 减一大于等于零， 分母不能等于零，所以 x 不 能等于三。两个条件同时成立。 这个例题的收口式定义域是从一到正无穷去掉三 看例题二，求 y 等于 x， 平方减四， x 加五的值域。 二次函数求值域先配方配成 x 减二的平方加一， 平方向最小是零，所以整个函数最小是一。 这个例题的收口式值域是一道正无穷 定义域和值域的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是先看分母根号对数，再谈性 质。考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动？答案就是，定义域先排雷，直域看变形，二次性优先配方。 定义域和直域快速回顾，定义域先排雷，直域看变形，二次性优先配方。 第二块，单调性与基偶性，先记这一块的核心动作，单调看变化方向，基偶看 f 负 x。 判断性质不要靠图像感觉，能带 f 负 x 就 带，能做差或看基本函数就做差。 看例题一判断 f x 等于 x 三次方加 x 的 奇偶性， 把 x 换成负 x， 得到负 x， 三次方减 x， 这个结果刚好等于负的 f x， 所以 是奇函数。 这个例题的收口式函数是奇函数。 看例题二，判断 y 等于二的 x 次方，在实数上的单调性。 底数二大于一，指数函数随 x 增大而增大， 所以在全体实数上单调递增。 这个例题的收口式全实数上递增。 单调性与奇偶性的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是单调看变化方向，奇偶看 f 负 x。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易，整题跑偏 再快，练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动？答案就是，基偶先算 f 负 x 单调先找基本函数和变换方向。 单调先算 f， 负 x， 单调，先找基本函数和变换方向。 第三块图像变换先记这一块的核心动作，左加右减，上加下减系数看伸缩和翻折。 图像题不要硬化，先找到母函数，再读平移伸缩对称 看例题一，由 y 等于 x 平方得到 y 等于 x 减二的平方。加三， 括号里是 x 减二表示图像向右平移二个单位， 外面加三表示图像向上平移三个单位。 这个例题的收口是右移二，上移三， 图像变换的易错点。不要跳过第一步，这里的第一步就是左加右减，上加下减系数，看伸缩和翻折。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易，整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动答案就是先找母函数，再按括号内外读变换， 图像变换。快速回顾，先找母函数，再按括号内外读变换。 第二张，总回顾函数图像与性质，这一张关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域三角斜角竖列写通向几何写关系。 第二章结束，下一章进入二次函数方程与不等式。 第三章，二次函数方程与不等式。这一章按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一章的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块，二次函数三要素，先记这一块的核心动作，开口对称轴，顶点先写出来。 二次函数绝大多数题都能从这三个量开始降维。 看例题一，求 y 等于 x 平方减六， x 加八的顶点 配方得到 x 减三的平方减一， 所以对称轴是 x 等于三，顶点是三负一。 这个例题的收口式顶点为三负一。 看例题二，判断 y 等于负二， x 平方加四， x 加一的开口和对称轴 a 等于负二小于零，所以开口向下 对称轴用负 b 除以二， a 得到 x 等于一。 这个例题的收口式，开口向下对称轴 x 等于一。 二次函数三要素的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是开口对称轴顶点先写出来。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动？答案就是，开口看 a， 对 称轴看负 b 除以二， a 最值看顶点。 二次函数三要素快速回顾，开口看 a， 对 称轴看负 b 除以二， a 最值看顶点。 第二块判别式，先看 delta。 方程和图像交点其实是一件事，二次方程根的个数就是抛物线和 x 轴交点个数 看例题一判断 x 平方减四， x 加四等于零，有几个十根？ delta 等于十，六等于零， delta 等于零，说明有两个相等十根。 这个例题的收口式有两个相等十根。 看例题二判断 x 平方加 x 加一等于零的十根情况， delta 等于一减四等于负。三， delta 小 于零，所以没有实数根。 这个例题的收口式无实根。判 别式的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是根的个数先看 delta。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动？答案就是， delta 大 于零两根等于零，重根小于零五十根。 判别式快速回顾， delta 大 于零两根等于零，重根小于零五十根。 第三块二次不等式，先记这一块的核心动作，先找根，再看开口，最后取区间。 二次不等式不要硬一向之后凭感觉选根，把竖轴切开，开口决定正负分布。 看例题。一解 x 平方减四， x 加三大于零， 先因式分解得到 x 减一乘 x 减三， 开口向上大于零取两边。 这个例题的收口是 x 小 于一或 x 大 于三。 二次不等式的易错点不要跳过第一步，这里的第一步就是先找根，再看开口。最后取区间。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动答案就是根切区间，开口定正负等号看题目， 二次不等式，快速回顾，根切区间，开口定正负等号看题目。 第三章总回顾二次函数方程与不等式这一章关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域三角斜角竖列写通向几何写关系。 第三章结束，下一章进入三角函数。 第四章，三角函数这一章按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题。最后做快速回顾。 这一章的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块，弧度制与诱导公式，先记这一块的核心动作，先把脚放回标准位置。 三角题最怕角乱，把角整理到熟悉范围，符号和数值就容易判断。 看例题一，求散一百五十度， 一百五十度等于一百八十度减三十度。 第二项线正弦为正，所以等于二分之一。 这个例题的收口是二分之一。 看例题二，把三分之二派转成角度， pi 对 应一百八十度，所以三分之二 pi 是 一百二十度， 这个例题的收口是一百二十度。 弧度至与诱导公式的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是先把脚放回标准位置。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快。练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动答案就是先找参考角，再看象限符号、 弧度制与诱导公式快速回顾。先找参考角，再看象限符号 第二快，同角关系。先记这一块的核心动作，平方关系和商数关系优先。 已知一个三角值，求另一个。先想到 sine 平方加 cos 平方等于一。 看例题一，已知 sin x 等于五分之三。解 x 在 第一项线，求 cos x 用平方关系， cos 平方等于一减二十五分之九， 第一项线与弦为正，所以 cos x 等于五分之四。 这个例题的收口是五分之四。 看例题二，已知 sin x 等于五分之三， cos x 等于五分之四。求 tan x tangent 等于 sin 除以 cos， 这个例题的收口是四分之三。 同角关系的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是平方关系和商数关系优先。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动？答案就是，已知一个值，先平方关系，求 tangent 再作商。 同角关系快速回顾。已知一个值，先平方关系，求 tangent 再作商。 第三块，图像与周期先记这一块的核心动作，周期看 omega， 阵幅看 a。 三角函数图像题先读 a 和 omega， 再谈平移 看例题，求 y 等于三散二 x 的 周期和阵幅， 阵幅是 a 的 绝对值，所以阵幅为三， 周期等于二派，除以 omega 的 绝对值，所以周期为派。 这个例题的收口式，阵幅三周期派 图像与周期的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是周期看 omega， 阵幅看 a。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动？答案就是， a 控制高低， omega 控制周期， phi 控制左右移。 图像与周期快速回顾， a 控制高低， omega 控制周期， phi 控制左右移。 第四张，总回顾三角函数这一张关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域，三角斜角竖列写通向几何写关系。 第四张结束，下一张进入解三角形。 第五张，解三角形。这一张按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一章的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块，正弦定理，先记这一块的核心动作，已知边角对应关系就想正弦定理。 正弦定里适合处理。外接圆半径已知两角，一边已知两边一。对角。 看例题一，已知 a 等于三十度， a 等于五，求外接圆半径二、 把 a 和 a 代入正弦定里 三、三十度等于二分之一，所以左边等于十。 这个例题的收口式二等于五。 看例题二，已知 a 等于四十五度， b 等于六十度， a 等于根号二，求 b 代入得到根号二除以二分之根号二等于 b 除以二分之根号三， 左边等于二，所以 b 等于根号三。 这个例题的收口式， b 等于根号三。 正弦定理的易错点不要跳过第一步，这里的第一步就是已知边角对应关系，就想正弦定理。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动答案就是有对应边角优先正弦定理。 正弦定理快速回顾，有对应边角优先正弦定理。 第二块，余弦定理，先记这一块的核心动作，已知两边夹角或三边就想余弦定理。 余弦定理是三角形里的勾股扩展，能把边角关系直接代数化。 看例题一，已知 b 等于三， c 等于四， a 等于六十度，求 a cos 六十度等于二分之一， 所以 a 等于根号十三。 这个例题的收口是 a 等于根号十三。 看例题，二、三边为三四五判断最大角， 三平方加四平方等于五平方，说明最大角是直角。 这个例题的收口是无所对的，角为九十度。 鱼弦定里的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是已知两边夹角或三边就想鱼弦定里。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快，练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动答案就是两边夹角，求第三边，三边判断角都用于弦定里。 余弦定理快速回顾两边夹角，求第三边，三边判断角都用于弦定理。 第三块面积公式先记这一块的核心动作，两边夹角，直接一半乘积成正弦。 解三角形。面积题经常不需要高，直接用两边夹角 看例题。一，已知 b 等于六， c 等于八， a 等于三十度，求面积 代入公式，一半乘六乘八乘二分之一， 结果等于十二。 这个例题的收口式面积十二。 面积公式的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是两边夹角，直接一半乘积乘正弦。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动？答案就是面积题，先看有没有两边夹角。 面积公式，快速回顾面积题，先看有没有两边夹角。 第五章总回顾解三角形这一章关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域三角斜角竖列写通向几何写关系。 第五张结束，下一张进入竖列。 第六张竖列，这一张按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一章的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块等差数列，先记这一块的核心动作，先写首相和公差。 等差题的核心是线性变化，通向和求和都从首项公差开始 看例题一，已知 a 一 等于二， d 等于三，求 a 十， a 十等于二加九乘三， 这个例题的收口是 a 十等于二十九。 看例题，二求首项一，末项十九共十项的等差数列合 十项和等于十，除以二乘一加十九。 这个例题的收口式和为一百。 等差数列的易错点不要跳过第一步，这里的第一步就是先写首项和公差。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏。 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动答案就是等差先找地求和，用首尾平均成项数。 等差竖列快速回顾，等差先找地求和，用首尾平均成项数。 第二块等比竖列先记这一块的核心动作，先写手相和弓笔。 等比题的核心是倍数变化，公比是否为一，要单独看看 例题，一，已知 a 一 等于三， q 等于二，求 a 五。 a 五等于三乘二的四次方， 这个例题的收口是 a 五等于四十八。 看例题，二求一，二四八前四项和 也可以直接相加一加二加四加八等于十五。 这个例题的收口式，前四项和十五 等比数列的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是先写首项和公比。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动？答案就是，等比先找 q， 公比为一，要特殊处理。 等比数列快速回顾等比先找 q， 公比为一，要特殊处理。 第三块地推转通向，先记这一块的核心动作。看到相邻关系先是等差或等比， 很多地推式并不难。先看差是否固定，比是否固定 看例题，一已知 a 一 等于五， a n 加一减 a n 等于二，求 n 相邻差固定，所以是等差。竖列公差二 通向是五，加 n 减一乘二。 这个例题的收口式， n 等于二， n 加三 地推转通向的易错点。不要跳过第一步，这里的第一步就是看到相邻关系先是等差或等比。 考场动作是先写一行模型，再代数计算。只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动？答案就是地推，先判断差和比，再套通向。 地推转通向快速回顾地推，先判断差和比，再套通向。 第六章总回顾竖列这一章关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域三角斜角，竖列写通向几何写关系。 第六章结束，下一章进入平面向量综合。 第七张，平面向量综合这一张按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一张的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块，坐标运算，先记这一块的核心动作，向量能坐标化就坐标化， 坐标化能把图形语言变成代数计算，是中档题最稳定的入口。 看例题一 a 等于二，一 b 等于负三四求 a 减 b， 按分量相减二减负三，一减四。 这个例题的收口式结果是五负三。 看例题二，已知 a 一 二 b 四六求 a b 向量 终点坐标减起点坐标。 这个例题的收口式， a b 向量是三四 坐标运算的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是向量，能做标化就做标化。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动？答案就是，向量坐标等于终点减起点。 坐标运算快速回顾向量坐标等于终点减起点。 第二块数量积先记这一块的核心动作，垂直看数量积为零。 数量积把角度关系变成乘法，加法尤其适合判断垂直和求夹角 看例题一 a 等于一二， b 等于四负二。判断是否垂直 数量积等于一乘四加二乘负二。 这个例题的收口式数量积为零，所以垂直 看例题二，求一零和一一的夹角于弦， 余弦等于数量积，除以魔长乘积。 这个例题的收口式加角余弦是根号二除以二。 数量积的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是垂直看数量积为零。 考场动作是先写一行模型，再代数计算。只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动？答案就是，垂直看点机，零夹角看点机除磨长 数量机。快速回顾垂直看点机，零夹角看点机除磨长。 第三，快现性表示。先记这一块的核心动作，共线和平面表示看系数。 向量。综合题常把点的位置藏在线性组合里，系数和为一十，尤其要敏感。 看例题一，已知 p 等于二分之一 a 加二分之一 b 判断 p 的 位置含义， 两个系数相加等于一，且都为二分之一， 这常对应中点或平均位置。 这个例题的收口式 p 是 平均位置 限性表示的易错点。不要跳过第一步。这里的第一步就是共线和平面表示看系数。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏。 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动答案就是限性表示，看系数系数和长题式位置关系， 限性表示快速回顾，限性表示，看系数系数和常提示位置关系。 第七章总回顾，平面向量综合这一章关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域三角斜角数列写通向几何写关系。 第七章结束，下一章进入立体几何。 第八张例题，几何这一张按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一张的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块线面关系，先记这一块的核心动作，平行垂直，先找判定条件。 例题，几何不要平图像感觉线面平行，线面垂直，面面垂直都有固定判定入口。 看例题一，若直线 l 垂直平面 alpha 内两条相交直线。判断 l 与平面 alpha 的 关系， 一条直线垂直，平面内两条相交直线就垂直这个平面。 这个例题的收口是 l 垂直平面 alpha。 看例题二，若直线 l 平行，平面 alpha 内一条直线能否推出？ l 平行 alpha 不 能直接推出，因为 l 可能也在平面 alpha 内。 这个例题的收口是条件不足 线面关系的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是平行垂直，先找判定条件。 考场动作是先写一行模型，再代数计算。只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏。 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动答案就是立题几何判定题条件必须完整，不能只靠画面 线面关系快速回顾立题几何判定题条件必须完整，不能只靠画面。 第二块，空间角，先记这一块的核心动作，意面直线角转成平行线角。 空间角的核心是转化，把看不见的角放到同一个平面里 看。例题一，求意面直线所成角时，第一步做什么？ 过一点，做其中一条直线的平行线，把意面问题转到同一平面， 再求两条相交直线所成的锐角或直角。 这个例题的收口式，先做平行转化。 看例题二，线面角怎么找？ 线面角等于直线和它在平面内摄影所成的角。 这个例题的收口式，找摄影 空间角的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是意面直线角转成平行线角。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏， 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动答案就是空间角先转化意面做平行线面找摄影。 空间角快速回顾空间角，先转化意面做平行线面找摄影。 第三块，体积与距离，先记这一块的核心动作，体积优先找底和高距离优先找垂线。 几何量计算不要乱套公式，先明确底面垂直高投影关系。 看例题，一，棱锥底面积为十，二高为五，求体积。 棱锥体积等于三分之一，乘底面积乘高。 这个例题的收口式，体积二十。 看例题，二，长方体长三宽四高五求体对角线 空间勾股三平方加四平方加五平方。 这个例题的收口是体对角线五根号。二、 体积与距离的易错点不要跳过第一步，这里的第一步就是体积优先找底和高距离优先找垂线。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动答案就是体积找底，高距离找垂线，空间长度用勾股。 体积与距离快速回顾，体积找底，高距离找垂线，空间长度用勾股。 第八章总回顾立体几何这一章关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域三角斜角竖列写通向几何写关系。 第八章结束，下一章进入解析几何与圆锥曲线。 第九章解析几何与圆锥曲线。这一章按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一章的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块，直线与圆。先记这一块的核心动作，先写方程，再看距离或连力。 解析几何的稳定入口是方程，圆的问题常常变成点到直线距离或连力。判别式 看例题一，圆心零零，半径五，判断直线三 x 加四 y 减二十五等于零，是否相切。 圆心到直线距离等于二十五除以五， 距离等于半径，所以相切。 这个例题的收口式，直线与圆相切。 看例题二，圆 x 平方加 y 平方等于一与 x 等于二，有无焦点。 圆心到直线 x 等于二的距离是二，大于半径一。 这个例题的收口式无焦点。 直线与圆的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是先写方程，再看距离或连力。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动？答案就是圆和直线位置，优先点到直线距离 直线与圆，快速回顾圆和直线位置优先点到直线距离。 第二块，椭圆双曲线抛物线。先记这一块的核心动作，先认标准方程和焦点方向。 圆锥曲线题第一步不是算是任曲线分母谁大平方向符号一次向方向都决定后面路线。 看例题一，椭圆 x 平方除以九，加 y 平方除以四等于一，判断长轴方向 x 像分母九更大，所以长轴在 x 轴。 这个例题的收口式，长轴在 x 轴。 看例题二，抛物线 y 平方等于八， x 求 p 和标准式比较二， p 等于八。 这个例题的收口式 p 等于四。 椭圆双曲线抛物线的易错点不要跳过第一步。这里的第一步就是先认标准方程和焦点方向。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动？答案就是，先认标准式，再读 a、 b、 c、 p。 椭圆双曲线抛物线快速回顾先认标准式，再读 a、 b、 c、 p。 第三，快，连立与维达。先记这一块的核心动作，直线带入曲线后看二次方程。 圆锥曲线中档题常常不需要先求焦点连立，后用维达关系处理和积。 看例题，一直线 y 等于 k， x 加 m， 与抛物线连立后得到二次方程。第一步看什么？ 先看判别式，保证有两个焦点时 delta 大 于零， 再用维达写出 x 一 加 x 二和 x 一 乘 x 二 这个例题的收口式，先判别式，再维答。 连立与维答的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是直线带入曲线后看二次方程。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动？答案就是，连力不急着求根，先保焦点，再用维达。 连力与维达快速回顾，连力不急着求根，先保焦点，再用维达。 第九章总回顾解析几何与圆锥曲线。这一章关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域三角斜角竖列写通向几何，写关系。 第九章结束，下一章进入概率统计。 第十章概率统计这一章按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一章的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块古典概率，先记这一块的核心动作，先数总数，再数有力数。 概率题的核心是样本空间，没有等可能，就不能直接用有利除以总数。 看例题，一掷一枚骰子，求点数大于四的概率 总共有六种，等可能结果 大于四的是五和六共两种。 这个例题的收口式概率为三分之一。 看例题二，从三男两女中选一人选到女生，概率 总人数五，女生两人。 这个例题的收口是五分之二。 古典概率的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是先数总数，再数有利数。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏。 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动答案就是等可能时采用有力数除以总数。 古典概率快速回顾，等可能时，采用有力数除以总数。 第二块排列组合先记这一块的核心动作，有序用排列，无序用组合。 排列组合的第一判断不是公式，而是顺序是否影响结果。 看例题一，五人中选三人组成小组有多少种 小组不分顺序，所以用组合。 这个例题的收口式十种 看例题二，五人排成一列，取前三个位置有多少种， 位置不同，顺序不同，所以用排列。 这个例题的收口式六十种 排列组合的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是有序用排列，无序用组合。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则？启动答案就是，顺序重要用排列，顺序不重要用组合。 排列组合快速回顾顺序重要用排列，顺序不重要用组合。 第三块统计量先记这一块的核心动作，平均数看中心，方差看波动。 统计题经常问数据稳定性，平均数只看水平，方差才看离散程度 看例题一，数据一二三、四、五的平均数 总和十五除以五，平均数为三。 这个例题的收口式，平均数。三 看例题二，两组数据平均数相同，哪组更稳定？看什么 看方差，方差越小，数据越稳定。 这个例题的收口式，看方差。 统计量的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是平均数看中心，方差看波动。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则？启动答案就是，平均数看水平方差看稳定性， 统计量快速回顾平均数看水平方差看稳定性。 第十章总回顾概率统计这一章关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域三角斜角竖列写通向几何写关系。 第十章结束，下一章进入导数与函数综合 第十一章导数与函数综合这一章按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一章的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块导数基本规则先记这一块的核心动作，先求导，再看符号。 导数题的第一步是把函数变化变成导函数符号，不要还没求导就猜单调性 看例题一求 f x 等于 x， 三次方减三 x 的 导数， x 三次方导数是三 x 平方负三 x 导数是负三。 这个例题的收口式导数为三 x 平方减三 看例题。二求 e 的 x 次方加 x 平方的导数， e 的 x 次方导数不变， x 平方导数是二 x。 这个例题的收口是 e 的 x 次方加二 x 导数基本规则的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是先求导，再看符号。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢也不容易，整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动？答案就是，先准确求导，再讨论单调最直。 导数基本规则，快速回顾，先准确求导，再讨论单调最直。 第二块，单调区间。先记这一块的核心动作，导数大于零递增，小于零递减。 单调性来自导数符号表。临界点，把区间切开 看例题一， f x 等于 x 减二，判断 f 的 单调性。 当 x 小 于二时，导数小于零，函数递减。 当 x 大 于二时，导数大于零，函数递增。 这个例题的收口式二，左递减，二右递增。 看例题二， f， x 等于 x 平方减一，临界点是什么？ 令导数等于零得到 x 等于正负一。 这个例题的收口式临界点为正负一。 单调区间的易错点，不要跳过第一步，这里的第一步就是导数大于零递增，小于零递减。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢也不容易，整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么，要用哪条规则启动？答案就是，导数零点切区间，符号决定增减。 单调区间快速回顾导数零点切区间，符号决定增减。 第三块，最值与横乘立，先记这一块的核心动作，横乘立场转成最值。问题 参数题里不等式对所有 x 成立，往往等价于某个函数的最大值或最小值。满足条件 看例题一，若 x 平方加一大于等于 a， 对 所有实数成立，求 a 范围。 x 平方加一的最小值是一。 要对所有 x 成立， a 不 能超过这个最小值。 这个例题的收口式 a 小 于等于一 最值与横成立的易错点。不要跳过第一步，这里的第一步就是横成立，常转成最值。问题 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动答案就是，恒成立，找最值存在性，看另一边界。 最值与恒成立快速回顾。恒成立，找最值存在性，看另一边界。 第十一章总回顾导数与函数综合这一章关键不是多倍，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型，函数写定义域，三角斜角竖列写通向几何写关系。 第十一章结束，下一章进入总复习与考场策略 第十二章总复习与考场策略这一章按考场能直接用的顺序走，先看定义，再看图像，再看例题，最后做快速回顾。 这一章的目标不是把所有细枝末节背完，而是让你在选择题、填空题和中档题里能快速判断第一步该写什么。 每个小块后面都有快速回顾，你只要抓住这些回顾句，整张的股价就不会散。 第一块选择填空策略，先记这一块的核心动作，先排雷，再选最快入口。 选择填空不是完整证明比赛能特值能，图像能排除，就不要硬算到最后 看例题。一函数选择题第一眼看什么？ 先看定义域和特殊点，很多选项会在这里直接淘汰 这个例题的收口式，先看定义域和特殊值， 看例题二三角选择题角很乱怎么办？ 先画到标准角或参考角，再看象限符号。 这个例题的收口式，先画角。 选择填空策略的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是先排雷，再选最快入口。 考场动作是，先写一行模型，再代数计算。只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则？启动答案就是，选择填空优先快入口，不强行完整推导。 选择填空策略，快速回顾选择填空优先快入口，不强行完整推导。 第二块大题不皱分，先记这一块的核心动作，先写可得分的标准。第一步， 大题不会做完，也要拿步骤分函数先求导数列，先写通向关系，几何先写判定条件， 看例题一，导数大题不会做完。第一步写什么？ 先求导并列出导数零点，这是最容易拿到的步骤。分 这个例题的收口式，先求导和列临界点， 看例题二，解析几何大题第一步写什么？ 先设直线方程，再和曲线连立，写出判别式或维达关系。 这个例题的收口式，先设线，再连立。 大题步骤，分的易错点，不要跳过第一步。这里的第一步就是先写可得分的标准。第一步， 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼。看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动答案就是大题。第一步要标准，先拿能拿的分。 大题步骤分，快速回顾大题第一步要标准，先拿能拿的分 第三快。全课总回顾先记这一块的核心动作，每章只记一个启动动作， 三小时速通的目的是把高中数学压成一套。启动动作域题，先启动，再细算， 看例题一，函数题启动动作， 先看定义域，再看图像或导数。 这个例题的收口是定义域，优先 看例题二，圆锥曲线题启动动作， 先任方程，再设直线，再连利用维达。 这个例题的收口是方程化和维达化。 全课总回顾的易错点不要跳过第一步，这里的第一步就是每张纸记一个启动动作。 考场动作是先写一行模型，再代数计算，只要模型写对，就算后面算慢，也不容易整题跑偏 再快练一眼看到这一类题，先问自己题目给的对象是什么？要用哪条规则启动答案就是，函数看定义语三角先画角，竖列找通向，几何写关系，导数先求导。 全课总回顾，快速回顾函数看定义语三角先画角，竖列找通向，几何写关系，导数先求导。 第十二章总回顾总复习与考场策略这一章关键不是多背，而是每次先把对象翻译清楚。 如果你只记一个动作，就是先写出题目对应的基础模型。函数写定义域，三角斜角竖列写通向，几何写关系。 第十二章结束，下一章进入完整课程结束。
35.1万数学救急室
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03:00查看AI文稿AI文稿不废话，直接看图，这是近六年的高考数学单选分布，你能看出来什么结论吗？无论你看不看得出来，我先问你一个问题，你凭什么觉得高考数学的八道单选择题的答案中， a、 b、 c、 d 四个选项一定会至少出现一次呢？我问你凭什么？为什么？回答我， you hit my eyes， 为什么答案不能是七个 a 一个 b 呢？或者六个 a、 两个 b 呢？这是因为这是高考。高考的出题是有规则的，出题人出的八道单选择题，各选项答案的个数肯定被出题院精心调整过， 因为如果没有被调整过，就可能出现八道题全部选 d 的 荒唐情况，出现这种情况，出题院会被上层领导和全国人民唾骂。所以，我们可以从历年来的高考题，摸索出出题院是怎么调整出题选项个数的规则。 首先，你仔细看看一卷，是不是发现了 a、 b、 c、 d 四个选项都至少出现了一遍，而每个选项出现的次数是不超过三次。再来看数学二卷的选项分布，可以看到确实是一个选项最多在考试的时候出现三次，并且 a、 b、 c、 d 四个选项都至少出现了一次。那么该怎么运用这个规律呢？ 首先，一共有八道单选择题，已知四个选项至少会出现一遍，并且四个数字加起来等于八可以组成多少种组合？如图，一共就三种组合，不会有例外的情况。我们来看看是不是这样的。 我们发现也的确是这样。此时还是有人要问了，万一今年的高考出现了四个选项相同的答案怎么办？ 那我问你，要是能这样，那出现了八个选项相同的答案怎么办？出现了七个选项相同的答案怎么办？出现了六个相同选项的答案怎么办？出现了五个相同选项的答案怎么办？ 这样确实可以因学生一手。那我问你，出题人的脑袋怎么办？回答我， you hit、 my eyes。 这三种组合可是有大用，比如说当你把八道题做完的时候，发现了居然自己的答案有了四个 d， 这种情况就提醒了你，有个你不确定的题做错了可以回头修改一下，提升正确率。再比如说， 如果今年的一到六题你都会做，而第七八题非常难，那么这时候你就可以用这个技巧来缩小蒙第七八题的范围，从而提升正确率。 六百六十六。估计此时某些无脑抬杠哥题目又不会写，一问你规律原因，连个屁都回答不上来。呵呵，我都不想把答案施舍给你。 那么本期节目就到这里了，我是宋华新，我们下期再见。
3.0万速话心
01:51查看AI文稿AI文稿做了一下二六年的高考数学卷，一卷的一个小时五十分钟的时间，考了一百二十五分左右，多选择题丢了几分，十七题的第三问和十九题的最后两问不会做。确切来说，做了三个大题都比较难，计算量大，思维量大，这个卷子对中档生非常的不友好，简单题太简单了，难题又太难了。 那这个就给我们几个启示，以后学数学千万不要死刷题，一定要把基础打扎实，你只有把基础打扎实了，你后面再来学，拔高就会轻松很多。那怎么打基础？不要搞那些花里胡哨东西，回归教材，把教材吃透，你只要能把教材上的公理推论以及相关的结论能自己独立推导出来， 那就说明你理解到位了，你的基础打扎实了。第二，一定要额外重视教材上的探讨，课后练习题中的拓展探索以及课后的阅读推广这三个板块，很多母题都是通过这三个板块延伸出来的。 每做这个板块，你就要问一问自己对吧？这个板块用到什么知识点？能不能用其他知识点把它解出来？相关联的知识点之间的具体联系是怎么样子的，你只有这样子，你的基础才能打得非常扎实。第二个一定要理解透彻， 把知识点之间的本质理解透彻，这样的话，你用知识点之间的关联才能做的非常顺手。比如说像这次考试的十八题，他就用到圆锥曲线的第一、第二、第三定以及向量跟他的关联。 所以说学习一定要基础扎实。第三个也是非常重要的，如果说你想拿高分，一定要养成一个非常重要的习惯，就是多总结、深度思考、深度复盘，比单纯的刷题有效多了。我要求我的学生，第一课前预习，第二 把课本上的例题、练习题扎扎实实的做完。第三要求他们总结这个题用到什么知识点。所以如果说你想把数学学好，就三句话，第一强基础，第二重理解，第三善总结。
6222姚老师修数学
04:26查看AI文稿AI文稿为什么今年高考数学这么难？今年的数学啊，确实难。哎呦，我看到很多孩子真的是哭着走出考场的。我跟几个曾经高考数学命题组的老师们也沟通了一下，说实话啊，有几道题真的不简单。 难度确实上来了，但是大家知道吗，二零二五年，不少省份高考的平均分也才七十多分，一百五十分的满分哦，连及格线都没到。 那问题来了吧，你说为什么数学年年这么难呢？今年还这么难呢？是出题老师故意为难学生吗？他难道不知道难吗？他肯定知道啊，去年前年试卷的难度就摆在那里呢，出题老师比谁都清楚啊，可既然知道，为什么还要出这么难？ 其实呢，咱们换个角度想，你就明白了，数学学的好，到底对谁有用？ 你肯定会说，你当然是数学成绩好的孩子呀！没错，但是高考看的是总分，数学是最关键的拉分项， 数学考的高，你总分直接拉开差距对吧？优势就一下子就拉开了，特别大。反过来，数学一旦你拖后腿了，哪怕你的语文英语你考的再好，你总分就会被狠狠的往下拽。 更关键的是啊，二零二五年九八五名校的强敌计划，信号给的特别明确。你看哈，北京理工大学、中南大学、西北工业大学，还有山东大学、大连理工、中山大学、电子科技大学等等 那些哆嗦的九八五甚至二幺幺这种顶尖的高校，直接把数学当成了绿色通道。只要高考数学你考到一百四十五，就哪怕你是考一百四十分以上，哪怕你总分差那么一点点，也能直接破格入围强敌计划，人家破格就把你录取走了， 你看数学好的孩子直接就拿到了冲刺名校的优先权，这个就是数学越来越难的核心原因，就不是故意为难谁，是精准的筛选，就是把真正有数学思维有实力的孩子把他挑出来。 就往深了说，现在国家发展的方向明明白白就是四个字，科技强国。 你看哈最近几年高校的专业一直在强调大调整，砍掉了不少偏文科就业弱的专业，重点在扩招。理工科就是基础的学科， 二零二五年就新增了很多的专业，近一半都是工科，全是对接什么芯片呀，人工智能啊，新能源啊，就这些国家急需的领域。那这个新号太明确了， 给理工科让路，给基础学科加码，而数学恰恰就是所有理工科的底层逻辑核心根基。大家常说的比如说掐脖子技术，你像芯片研发呀，高端医疗设备呀，核心的算法呀，你说哪一个离得开数学？ 大家去医院看看，高端的什么 ct 啊，核磁共振啊，精准的治疗设备啊，咱们现在大多数还不能完全自主生产啊，背后卡壳的就是数学和物理的基础， 那物理的底层也是数学。再看咱们的五 g 技术的突围，能够突围，那除了战略的眼光，核心就是靠数学的算法突破，俄罗斯数学家解决了最关键的算法难题，才有了五 g 的 领先的优势。 数学就是打开高科技大门的一把钥匙。高考数学难度提升，它本质上就是国家在重视基础学科，在培养顶尖的科技人才的长远的布局，这不是一年两年的心血来潮，是十年二十年的战略的规划。 我敢说啊，未来几年，数学只会越来越难，因为只有这样，才能把真正有天赋、肯钻研的孩子把它筛选出来，为国家科技的发展储备人才。所以，家长们别再抱怨数学难、高考难了， 难才更有价值，难才是弯道超车的机会，你别去怕他，你不如迎难而上，把数学这块硬骨头把它啃下来。你现在多吃点数学的苦，未来才能少受生活的难，才能拿到更多的选择权，有更好的发展的机会呀！
4.4万清风徐来
