南开区三模数学
今天讲解一下南开区三模的二十一题，也就是圆的题目，因为这个题很多学生都特别容易卡住，所以说今天讲一下这个题。我们首先来看一下条件， abac 分 别相切，那这个是不是一个切，那这个题是不是就是一个切线长呢？ 切线长定力，同时 cf 和 ab 正角是垂垂直， cf 和 ab 平行，所以说这个地方也是一个九十度，那这个是不是一个垂径呢？ 角 b、 a、 c 等于六十六角 b、 a、 c， 这个是六十六度，那这个角呢？角 b、 o、 c 和角 b、 a、 c 相加，是不是等于一百八十度？所以说角 b、 o、 c 也就是一个一百一十四度，那角 b、 f、 c， 因为它上求的是角 c、 e、 d、 c、 e、 d。 前面说了是九十度， b、 f、 c 呢？ b、 f、 c、 b、 f、 c 是 不是等于二分之一角 b、 o、 c， 这是一个圆周角定里等于它的一半，一百一十四除以二，刚好是一个五十七度，那这题就出来了，我们看下第二问， b、 a 等于一百二，一百二十度，这是一个非常特别的度数。 b、 a、 c 一 百二十度，那角 b、 o、 c 呢？是不是等于六十度？同时这是垂直， 那这个角是三十六十， 我们连接一下这个角 b、 c， 把它构构建一个等边三角形， o、 b 等于 o、 c， 角 b、 o、 c 等于六十度，所以说三角形 b、 o、 c， 这是不是一个等边三角形呢？ 因为且 c、 e 垂直于 o、 b 三线合一，那是不是说 b、 e 就 等于二分之一， o、 b 等于三，那这个的长度是三， 那我们怎么求这个 ab 或者 ab 的 长度呢？因为因为角 a、 b、 e 是 九十度，我们再求出 ab 的 长度，就可以把 b、 e 这个长度给解决了， 因为这整个的是一个等边三角形，我们看一下这个是六十度，那这个是不是三十度？因为它本身是不是垂直的，那这是六十，那这个也是三十。我们看一下这种三角形， 底角为三十度的，等底角为三十度，等腰三角形， 那这个底也就是 bc， bc 的 长度是不是也就是半径？这是六，我们从上往下做一条垂线，那这个是不是三？ 那这个是不是根号三，那这是也就是二倍的杠三，也就是 a， 也就是 b， a 等于二倍的根号三，那 a、 e 的 长度是不是就等于根号下 a、 b 的 平方加上 b、 e 的 平方等于根号下二十一？ 这个题的第一个，它涉及到了一个说是七线段，还有垂径， 这个切长定力可能少见一些，但是垂镜是一个非常常见的一个知识点。那么第二问呢？第二问，我们之前，我们我之前给很多学生说过，说是在二十一体圆之中，圆会和什么结合呢？会和一些平行四边形 或等边三角形结合， 因为与因为这个二一体是一个综比较综合性的。呃，几何体，它并不，它并不意味着它只考圆的知识。像等边三角形也是初中的一个很一个很常见的一个知识，所以说会把圆和等边三角形结合到一起。而在我们求长度呢？几何里边求长度，怎么求呢？ 比如说是三角函数、勾股定律，到初三可能你们完全会接触到一个相似， 而这个题用了一个什么呢？用了一个等边三角形，三角函数也和勾股定律用了一些，你们可你们可以把这几些东西，把这个圆和其他图形的结合和长度的求法这里边任意挑出来一个到两个知识点，然后组合到一起，这可能就是一个新奇的解题思路。当然我们重要的还是说要分析条件， 由一百二十度往前延伸，延伸到一个等边三角形，而有等边三角形呢？有六十度，然后有垂直，我们又有了一个三角函数，也就是刚才讲了三角合一的问题，我们最后的 a e 的 长度是怎么求的呢？ a e， a e 用的又是一个勾股定律，这就是一个几何的综合性知识。
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09:02查看AI文稿AI文稿好，那各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我来说一说这个二零二六年南开区九年级三门数学第二十五题的相关解题思路。这个题出的还是有有点意思啊，但是虽然第一问第二问比较简单，但是第三问有些不太好想啊。 来我们看题啊。说是这个抛物线的顶点是 pm 到负四 m， 其中 m 是 个大的，然后与 x 轴交点是三 m 轴零，与 y 轴交于点 c， 然后抛物线对称轴与 x 轴交于点 d， 那 么根据 p 点坐标，我就能知道 d 点坐标应该是 m 轴零，对吧？ 这个应该是 m 到零好，过点 p 做 p q 平行于 a c， 哎，交抛线于点 q， 点 p 与点 q 不 重合，那就是过顶点做一个 a c 的 一个平行线，对吧？ 好，来看题目啊，说是这个，当 m 等于一的时候，如果 m 知道，那么顶点就知道了，一到负四，然后 a 也知道呢，这个是三到零，对吧？那顶点式， 呃，这个带入这个就能算，或者啊，你知道对称轴的 a 和这个抛物线的两个焦点是都能知道，再用焦点式都可以啊，但是我觉得还是用顶点式比较宽一些啊。来第二个，求 q 点坐标和线段 p q 的 长好，那这种就需要简单的画一下图子啊。 这个，呃，还是那个观点，能不画抛物线就不画抛物线这个点 a 点 c， 这个坐标是都能知道的， a 是 三到零，然后 顶点是一到负四的话，那么这个啊，抛物线的这个和外周交点就应该是零到负三，对吧。为什么这么说这个，因为抛物线这抛物线算的太太熟了， y 等于这个是大于的， x 方减二， x 减三， 呃，等会加二， x， 对， x 方减二， x 减加三。没错，这样的话，和这个角点，它就是三到零，那这样的话，它的顶点是一到负四，然后它和 x 角点是三到零，那么和 y 则等于零到负三， 那这样的话，我过点 p 做一个 a 的 平行线，就是我做一个这个位置的一个平行线，它和它的这个 k 是 一样，也是 y 等于 x， 因为他过一到负四过减 p 吗？这个解析式是能知道的，再念起一等于负四的话，那就是减五呗，对吧？好， q 是 什么？ q 是 这条信息线和抛的交点，那么我就把这个和 y 等于 x 方减二， x 减三，连立求下结果就可以了。 那当然这个结果有两个，一个是点 p， 一个就是点 q 啊， p 点 k 点都有了，这个两点间距离公式就能解决问题，可以求 p q 的 长，对吧？ 啊，这是圈，就是这种圈，难度不太大的话，那么这个圈三就做好思想准备了，这个题一定不不简单啊，好，一样啊，这个接 a 种时间，我们把这个图先画一下，大家看一下啊，说外种时间有一点零度负二 m， 因为题目告诉我 m 是 正数，那么负二 m 一定在负半轴，对吧？直线 dm 和这个 c q 交于点 n， 通过刚才的这个计算，我们能知道这个 q 跟 c 啊，它的这个横坐标啊，它其实是一样的， 对吧？那这样的话，我我我就能知道，就是就是 m 等于不等于一，它这个这个 q 点和 c 啊，它这个都是一样，这个我们可以后面再算啊。图先这么画着啊，然后这个 d、 q、 n 这个三角形三边上分别有 e、 f、 g， 当 e f g 的 周长，我简单画一下，比如这样，这样，然后这样 啊，这个三三角形的周长最小是九百根号二的时候，求 m 的是，就是让我算啊，这其中一个点的坐标吧，对吧？好，那这个周长的最小我们有什么想法吗？首先这个周长最小我们怎么办？ 这种问题我们在学最短东西的时候，我们知道啊，因为这个是可以把这个点打开到外面的时候，我们知道啊，因为这个是可以把这个点打开到外面的，所以这个周长就变成了这样， 然后这样的一个折线，哎，求这个折线最小的时候，把这两个点一连就完事了，对吧？哎，这是我们的想法，那么首先先要解决一个问题啊，就是在这种情况之下，我们还能不能，我们能不能得到 q 点跟 c 点的这个坐标啊？首先 首先这里面还在的就是 m 到负四 m 跟三 m 到零，这个还在，那么顶点式其实还是还是在的，对吧？顶点式还在的话，那么只不过我们的解析式会带着带着我们的 m， 它就等于 m x 方减去二 m， x 减去三 m。 啊，对不起，对不起，没有前面这个啊，这个式子是我们要稍微等一下啊， 哦，这差个平方，对吧？ s 方减 r m s 减三，三 m 三个方，哎，这是我的这个减式，就这个式它还在，对吧？那其实这里面有有些东西我们就可以算了，这个 a c 直线减式，这个还是 y 等于 x 什么时候了， 对吧？他还是 y 等于 x 减，加上或减去一一个什么什么，然后这个 q 点坐标是可以求的啊。中间过程咱就不再说了，因为这个解式有过点 p 做的那个 那个那个平行线也可以求啊， y 等于 x， 然后过这个点求解式就可以，也就 q 点坐标是可以确定的啊。好，这个我们就能知道点 c 点 q 的 坐标，那么这个 这个图里边啊，我们刚才说了，我只要把这个点展开，这个点展开，那这个就应该最小是九倍根号二就可以了，对吧？那这个长最小最小，它怎么求呢？ 我们得观察一下。这就这个题比较麻烦的地方，其实想到这个最短在哪不难，难在你后面怎么去分析？首先你要标几个数据啊，这个 b 点的坐标是 m， 所以 这颗长是 m， 这个 m 点坐标是零度负二 m， 所以 这个 o m 的 长是二 m， 因为整个 o c 是 三 m， 所以 这块升的是 m。 好， 因为这个 c q c q， 这个 q 点的这个坐标，我能知道这个 c q 的 长是二 m， 于是我连接 m q 就 ok 了。这是个啥？全等，这是怎么来的？这是算过来，那这是真的算过来，而且这两个全等就有好玩的事出现了。这两个全等，这是一个一线三垂直的图，因为这是九十多，这也是九十多 啊，那中间这就是九十，而且还有 md 等于 m q 这个角呢，就是个四十五度角，这个条件很关键啊，能知道这是个四十五度角，这是个四十五度角。我把这个点翻过来，把这个点再翻过来，那我就得到了一个啥， 我这样就得到了一个垂直，我得到了一个九十度，对吧？我得到了九九十度，然后， 然后我从我从这个位置来看，我从这个位置来看，我比如说把这个 dj 连上，那我翻折过来的话，是不是这个和 dj 一 样长？同样翻折过来，这跟 dj 也一样长，对吧？也就是说我叠的现在这个图是个啥？这是一个等腰直角三角形， 对吧？他是一个整幺值。好，整幺值两三零零，这个边是最短的，他等于九百八十二的时候，也就说这个边是等于九吗？对吧？是等于九，那等于这个边就是九， 对吧？好，他要的什么？他要的是最小值的最小值等于九。最小值什么情况？那不就是 d 向这个做个垂直，对吧？那这个垂直等于啥？这不等于这个吗？三 m， 对吧？这三 m 等于几？等于九吗？所以这个 m 等于三百乘十， 就是后面的这个，这个后面不难想，但是你能不能把这些算出来，证明这个一线三之实，我觉得很关键。 好了，那这是我们对于这个二十五题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这个二十五题先和大伙说到这了。
21叫兽
34:07查看AI文稿AI文稿好，我们来讲一下南开三模的这道市题啊，呃，一个左恒等市的一个求和问题，我们看一下啊，其实左恒等市的这道题呢，南开区往年就考过啊，考过很多次了，每年都在猜啊，但是呢，其实一直 也没有考啊，一直天津卷也没有考过组合和冷室的问题，因为组合和冷室相对来说啊，他，嗯不不太讲啊，一般在我们的课程当中，他不太讲这个东西，所以呢，高考考这个内容的概率呢，其实非常的低呀， 但是呢，我们还是把左后呢，是一些基础的内容呢，讲一下其实还是很有乐趣的。这个问题我们先看一下第一问呢，第一问比较简单，它的 a n 呢是等差数列，它的 b n 呢是个等比数列，那么结果呢，比较简单啊，首项呢，都是等于一的， 然后 a 一 加 b 二等于三，那加起来等于三，那肯定就是一加二等于三喽，对吧，所以基本上到这一步就可以直接下结论了，一般天津卷的这个题的特色嘛， 哎，那么 a 一 作为一个等差数列，它的这个首项就是一，所以它的 b 二呢？哎，就是等于二的。 那么对于 b n 这个数列，其实首先先出来，哎，它的这个首项是一，然后第二项呢，是二，那么 b n 呢，就应该是二的 n 减一次方啊，二的 n 减一次方，那么回过头来呢，这个 a n 呢？我们再看， 呃， b 四减 a 五，它也等于三，那 b 四的话，应该是八，对吧？八减啊，八减去 a 五呢，它也是等于三的，所以 a 五等于五嘛， a 五等于五，所以 a n 呢就是 n 呢，哎， a n 就是 n， 第一问呢，是非常的简单， 而且啊，我们可以看到这个题是十八题，所以他只有两问啊，他没有新定义的东西，他只有两问，然后我们再来看他的这个第二问，是个求和的问题， 这个求和呢，出的可能，呃，相对来说啊，不是特别的好啊，不是特别的好。呃，我觉得是有一些不严谨的地方，他没有强调这个。嗯呐， 其实这个 n 在 这个题里，我们可以认为应该是个定值啊，应该是个定值，因为我们可以看到它的 c k 里面其实不光有 k 啊，还有 n 啊，它的 c k 里不光有 k， 它还有 n 表示，所以其实这个数列最好写成 c k n 这种形式啊。当然我们也可以认为 n 就是 个常数嘛，哎， n 就是 个常数。然后呢， 那么 c k 分 为两部分啊，我们先把这个抄一下，又是一个分九的这么一个求和的东西啊， ak 呢？就是 k， 哎，然后呢？呃， c n 二分之 k 加一啊， 哎，然后呢？对于第二行，它是 b k， b k 的 话是二的 k 减一次方，对吧？ b k 就是 二的 k 减一次方，然后呢？ c n 二分之 k， c n 二分之 k， 然后呢？呃，第一行是 k 为基数啊，哎，非常经典了，这个也符合天心卷的一个特色， 分基友来求和，然后第二个呢， k 呢，为偶数哎，分基友求和，我们先暂且不关心它求和的项是什么，这个呢，我一直在课堂上强调过分基友求和，最清晰的写法呢是，首先先作还原， 先手做换元，把基友的事处理干净了，后面的计算呢，会轻松很多。所以我们先手做换元。怎么做呢？一定是严格的，这个 k 为基数的时候，我们可以让这个 k 啊，等于二， k 减二， i 减一，哎，注意，这里不能是 二 i 加一或者什么什么，为什么一定推荐大家写二 i 减一，是因为啊，我们这个 k 它是求和要求到二 n 的， 所以这个 k 作为基数，它其实是从一一直到二， n 减一。 那么如果我令 k 等于二， i 减一的话，这个 i 呢，其实它就应该是从一二一直到 n 了。 哎， i 等于一的时候， k 等于一嘛，如果说我们令 k 等于二， i 加一的话，那就有问题了， 他的第一项 k 必须是一，那么 i 呢，第一项就得等于零了，其实很别扭啊，我们做竖列的时候，一般不从第零项去做求和， 所以会相相对来说有一些别扭的地方，那就容易出错，所以我们尽可能不出现这些非舒适区的这些东西啊。哎，虽然这个 a 零也能算对吧，但是呢，我们尽量不要出现这种 a 零啊， b 零啊这种东西。所以建议呢， k 就 等于二， i 减一啊， i 呢，就是从一到 n， 那么接下来 k 是 偶数的时候，自然呢就是二 i 了， k 啊，所以这个 i 呢，也是从一到 n。 那 么我之前讲过这样一座换元呢，其实这个题就变成了两个独立的求和了，因为基数向求和的 i 是 从一到 n， 偶数向的求和呢，也是从一到 n， 所以 这两个求和，其实他俩之间互不干涉，没有任何的关系， 就变成两个独立的问题了，哎，就不再藕合了。所以这个问题呢，会清晰，也会增大我们做计算的时候呢，这样的一个准确率啊， 行，现在我们把这个换元的工作呢给它写上啊，所以说现在呢，这个 c i 啊，分就嘛分就其实写成这个，呃，两个竖列也可以啊，写成两个竖列也可以，哎，先写这个情况一吧啊，我们都用 c i 表示啊，不然显得太乱了。 哎，第一种情况呢，它这个 k 呢是二 i 减一，我们一项一项来求啊，那么它这个 n 呢是不能动的， n 是 不能动的，然后 k 呢是二 i 减一，所以是二分之二 i 减一，再加一啊，那就是二分之二 i， 所以其实呢，他是二 i 减一呢，再乘以 c n i 啊， c n i， 然后这个 i 呢，他是从一二啊一直到 n 的， 哎，这就是我们的题目，对吧？这个题目呢，我们要对他呢进行求和，对，他要进行求和，这个求和怎么求哈，跟大家说一下这个事。这个问题呢， 其实是左恒等式当中非常基础的一个小问题啊，我们可以从两个方案来做，左恒等式，一般来说啊，这个有三种方法，这一般在竞赛里才搞这玩意高高考题其实一般不讲啊，他一般有三种方法唠一唠。第一个就是左恒等式的变形 啊，第一个就是靠，就纯粹的就是组合乘法式的变形，有点类似于我们那种完全平方公式啊，跟代数乘法式差不多，就组合数之间的运算，其实本身他有很多的运算规律，有很多的这些公式性的结论， 所以呢，通过这些结论，我们是可以把这个题呢进行变形化简的。所以第一种做法呢，就是利用组合乘法式啊， 哎，利用左和等式去做，这是第一种方案，然后他的这个第二个方法呢叫，呃，算二次原理啊，复比尼原理，在数学当中又称为复比尼原理。哎，其实呢，就是编故事啊，我们就不不不，搞那么高端了，就不叫什么。呃，这个复比尼原理了，我们就叫编故事啊， 就叫编故事。什么叫编故事呢？哎，我举个例子啊，我举个例子，为什么他叫编故事？比如说最经典的 我们有一个组合等式，我们都知道是什么呢？是 c n k 等于 c n n 减 k。 这个我们在学技术原理的时候，咱其实都是清楚的， 这个东西怎么去证？一方面我就可以用第一种方法，我直接把 c、 n、 k 呢？用定义给它写开嘛，对吧？我可以用定义给它写开，用定义写开呢？ c， n、 k 其实是什么呢？它应该是 n 的 结成，除以 k 的 结成，再除以 n 减 k 的 结成， 对吧？那么 c n n 减 k 呢？ c n n 减 k， 应该是 n 的 结成，除以谁呢？ n 减 k 的 结成， 然后呢？再除以谁呢？除以 n 减去它这个上标的这个结成啊，那就是 n 减 n 减 k 的 结成。哎，我们发现，其实 n 减 n 减 k 啊， n 减 n 减 k， 这俩 n 呢，它就消掉了，那它就等于 n 的 结成呢？除以 n 减 k 的 结成，再除以 k 的 阶乘啊，所以我们发现呢，左右是一样的，这个就是方法一，对不对？这就是方法一，这就叫组合乘法式。哈，这就是组合乘法式，我通过组合乘法式的这个运算定义，通过阶乘的定义，我就可以把它来计算出来啊，这是代数乘法式的这种做法。 那第二个他为什么叫编故事啊？就复比尼原理，其实听起来是个很高端的原理，对吧？他的逻辑是什么呢？其实就是我对同一个事情算，用不同的方法算两次，那么得到的这个结果一定是相等的， 哎，听起来听起来很高大上的一个原理，对吧？但但这个一听，这个原理应该很简单，就类似于我们这个小学的这个检验，对吧？我正着算一遍，那同样一个题的答案应该是唯一的嘛， 对吧？我姐这个一元一次方程，得到这个答案，可能他应该是唯一的，如果他只有一个解的话，那我用不同的方法应该得到相同的结果，否则不就算错了吗？所以这个就叫复变原理啊。那编故事就是，哎，我两边呢，这个东西我可以编造同一个故事。什么故事呢？就是我有 n 个球， 我现在呢，哎，其中有这个，我从其中啊取出 k 个球，有几种取法， 对吧？其实就这么个简单的问题。那，那那有多少个取法呢？ c n k， 对 吧？哎， c n k， 那 我一共 n 个球嘛？我取出的 k 个球，那应该是 c n k 种取法。那有没有另一种取法？ 我现在从 n 个球当中取出 k 个球，我可以怎么着呢？我可以选出 n 减 k 个球， 把这 n 减 k 球呢给它扔掉，对吧？我可以把这 n n 减 k 的 球呢，让它 out 给它扔掉。那么我盒子里呢，不就剩了 k 个球吗？我虽然扔掉了，但是我同样的，我把 k 个球选出来了。那但是这个答案就变了呀， 刚才这个算法是 c n k， 但是我现在是选 n 减 k 个球给它扔了，所以这个算法呢，应该是 c n n 减 k， 这两个算法都成功的把 k 个球给选出来了，所以呢，那这两件事应该是相等的 哈，这就是编故事，所以它有这两个方案，当然还有第三个方法。第三个方法呢，一般是用这个 啊，一般是用母函数法啊，我们一般称为母函数。这个东西呢就。呃，其实就更偏向竞赛一点了， 他为什么叫母函数法？其实就类似于什么呢？类似于我们的这个二项式定例，去计算一个专门构造的一个二项式的一个展开式，我去计算他某一项的这个指数，我也是通过不同的方式得到他的这个指数。有两种算法，那么同样一项的指数应该是一样的， 对吧？那我就系数或者指数都可以啊。哎，这个我去有大部分应该是算系数啊，这样呢，我就可以得到这个，呃，两项，他的这个系数呢，应该是相等的，对吧？我算一个二项式展开，我用两种不同的方法算同一项的这个展开系数，那么这个展开系数应该是相等的，他就可以得到两个结果。 其实就是这个原理。你像我们这个 c n k 等于 c n n 减 k， 事实上呢，它跟什么这个道理一样呢？用第三个母函数法也是可以的。最经典的是什么呢？其实就是一加一的。呃， a 加 b 的 n 次方嘛， 对吧？ n a 加 b 的 n 次方啊，其实这个 a 加 b， 我 就可以写成一加一嘛。 a 加 b 的 n 次方，我们展开呢，它应该等于什么？它中间的某一项呢？应该是等于 c n k， 然后 a 的 这个 n 减 k 次方，然后 b 的 k 次方，对吧？这是我们二项式定律展开的结果。但是呢，我们又知道这个 a 加 b， 它其实是有加法交换率的呀，所以它应该还等于 b 加 a 啊， 它应该还等于 b 加 a 的 n 次方，那 b 加 a 的 n 次方展开呢，它就应该等于，呃， c n k， 哎，我，我写成这个 c n n 减 k 吧，对吧？那如果上边是 n 减 k 的 话，它 b 这一项呢，就应该是 b 的 k 次方，哎，然后 a 这一项呢，就应该跟 n n 减 k 保持一致，对吧？这是我们二项式定律的公式嘛。那这我们可以看到这两项呢，其实是完全一样的。 那 a 的 n 减 cos 方， b 的 cos 方， b 的 cos 方， a 的 n 减 cos 方，这个其实是完全一样的，所以说它俩的系数呢，应该也是一样的啊，所以咱就可以得到 c n k 呢，是等于 c n n 减 k 的， 哎，当然，这个做法呢，呃，看起来，哎，好像有点离谱，对吧？哎，那本身这个式子比较简单，但是啊，它的的确确也是证明左乘等式的一种方案啊， 所以主要呢，有这种三种方案。那么回过头来看哈，我们这个题目当中的问题呢，就可以这么去做了，二 i 减一乘以 c n i， 我 们下边呢，来对它做一下求和，哎， sigma i 从一到 n， 哎，二 i 减一乘以呢？ c n i， 哎，我说一下这个事怎么去处理啊？哎，它其实可以拆成两部分啊，因为一部分是二 i 乘以 c n i， 一 部分呢，就是 c n i 求和了， c n i 求和，这个我们是会的， 对吧？ c n i 求和是会的，所以我们拆成两部分啊，一个呢是两倍的 i 从一到 n 呢，然后是 i 乘以 c n i， 哎，另一部分呢，就是减去这个 c n i 了， i 从，呃，一到 n 呢，然后 c n i， 哎，这个我们知道， 因为我们 i 从零开始啊，二项式定理告诉我们， i 从零开始一直到 n， 这个 c n i 呢，这个求和，它应该是二的 n 次方，对吧？这个其实也是一种组合能式啊，这个是我们二项式定理告诉我们的，所有这个二项式系数的和呢，加起来应该是二的 n 次方，所以呢，这一项呢，它应该等于啥呀？ 这一项它就应该是等于二的 n 次方再减一的啊，二的 n 次方再减一的，所以这一项呢，它是可以直接出来的。那么问题呢，就在于前边这一项了， i 乘以 c n i 这个东西怎么求和？ 哎，我们说一下啊。呃，这里有一个经典的左和等式，就是什么呢？就是 c n k， 它等于 c n i 吧，因为我们这里呢，呃，写的是 i 啊，我还是习惯用 k， 但是没关系，题目给的是 i， 我 们前面换元，题目其实也没有给 i， 我 们换元换到的是 i， 所以 我们这里写成 i c n i， 它等于个什么东西呢？它等于，呃， i 分 之 k 啊，然后呢？呃，不是二，不是二分之 k 啊，不是二分之 k， 这可以这个 i 分 之。呃， n 呐，可以给它拿出来，它就等于这个 i 分 之 n， 哎，然后 c n 减一， i 减一 啊，它就等于这个东西就是它的这个 i 和 n 呐，其实可以拿出来的，它就有这样的一个组合呢，是，下边我们来证一下啊，这个组合呢是 正法呢，非常简单。哎，一开始我们也讲了，对吧？哎，就利用这个左和呢式，利用这个左数的定义来正就可以啊。我们现在写一下， c n i 呢，其实就是 n 的 结成，除以这个 n 减 i 的 结成，再除以 i 的 结成 啊，然后右边呢，这里啊，就是 i 分 之 n， 然后乘以 n 减一的结成。哎，然后呢，是 i 减一的结成， 然后 n 减一，减去 i 减一，那其实还是 n 减 i， 对 不对？下标减上标嘛， n 减 i 啊， n 减一，减去 i 减一，其实还是 n 减 i 的 结成。好嘞，那么这样呢，两边啊，我们可以看到，这边是 n 乘 n 减一的结成，他就应该等于 n 的 结成。 i 乘 i 减一的结成，他就是 i 的 结成啊，所以左右应当是相等的，左右应当是相等的。哎， 这 n 减 i 的 阶乘更是相等的，所以它俩完全一样啊，它俩完全一样就可以画等号了。那么利用这个式子我们能得到什么呢？哎，我们看一下啊，那其实我们在这呢，咱就可以得到把这个 i 给它乘过来 i 倍的 c n i， 其实呢，他就应该等于什么呢？等于 n 倍的 c n 减一， i 减一啊，哎， c n 减一， i 减一，所以这个问题他不就能做了吗？对吧，这个问题就能做了，所以我们看 啊，我们看把这个呃地方呢，我们重新抄一下啊，我们刚才要的这个式子，我们给它拿下来。原式呢，他应该等于 啊，两倍的 c 个码 i 从一到 n， 然后呢，原本是 i 倍的 c n i 啊，原本是 i 倍的 c n i， 然后减去什么呢？后边咱已经算过了，二的 n 次方再减一， 所以后边呢，是减去二的 n 次方再减一啊，它可以得到这样的一个式子，那么这个 i 倍的 c n 减一， i 减一，所以说这呢， 就变成了 i 从一到 n， 哎，然后是 n 倍的 c n 减一 啊， i 减一， c n 减一， i 减一，当然这里有一个这个逻辑的这个问题啊，有一个逻辑的问题，哎，就是说我们这里 i 是 从一到 n 的， 对吧？ i 等于一，没有问题，是 c n 减一零，那么可能大家就会有一个困惑啊，有一个困惑，那我这个 i 它要等于 n 的 话怎么办， 对吧？ i 等于 n 其实也没有关系啊， i 等于 n 的 话，这里是 n 减一嘛，啊，其实也没有关系啊，所以说这个 i 从一到 n 其实都可以等啊，都可以等，哎，然后我们就可以把这个拿出来了，就可以把这个式子给他拿出来，把 n 拿出来，那其实就是二 n 倍的哎， i 从一到 n， 哎， c n 减一， i 减一，这个式子其实是什么呀？这个式子其实 i 等于一的时候，就是 c n 减一，一直加 加到这个最后一项啊，就我刚才说的 c n 减一， n 减一，对吧， i 等于 n 的 时候，它就是 n 减一嘛，所以这一串加起来，这是个什么东西啊？ 二的 n 减一次方嘛，所以呢，其实它就是二的 n 减一次方啊，这一项，那就是二， n 乘以二的 n 减一次方，然后呢，再减去二的 n 次方，再加一，展开之后，那因此呢，它整理出来的结果啊，我们换个红笔， 哎，这个地方其实就是二的 n 次方了，它乘二，所以就是 n 减一倍的二的 n 次方啊， n 减一倍的二的 n 次方，再加一，这个就是结果， 不用做任何的整理化简，也不用考虑。哎，说老师原式它不是，呃，求前二 n 向的和吗？这个 n 要不要变成二 n 呢？不需要 啊，别忘了我们最开始做了工作的，我们最开始先手做的换元，这个 i 就是 从一到 n， 所以 为什么让大家先手做换元，目的就在这 啊，先做了换元之后，这个问题呢，会非常的方便，我再也不用担心说一开始题目在干什么，这就是一个独立的问题， i 就是 从一到 n 啊，所以会非常的方便，大大提高我们的这个正确率啊，它能大大提高我们的正确率， ok 啊我们。呃，刚才说的它属于第一种方法嘛，就是通过组合恒等式的这个方法去做。其实呢，我们刚才提出了这里还有两种方法， 一个方法呢，就是编故事哈，编故事？那下边我来说一下这个东西它怎么编故事？其实就是还是取球或者取人的问题嘛。 呃，这里编故事有两个途径啊，有两个途径，一个呢，就是我可以对这个左横等式，对这个 i 乘以 c n i， 这个左横等式呢，编一个故事， i 乘以 c n i， 这里啊，就我局部的编一个故事，对吧？我写一下啊，就是为什么 i 乘以 c n i， 它等于，哎，这个 i 的 等于 n 倍的，这个 c n 减一， i 减一啊，这里其实就可以编个故事。怎么理解呢？这个意思，其实它指的就是，哎， c n i 就是 从 n 个人当中选出爱个人嘛，对吧？这个我们都知道，就是 n 个人当中选出爱个人， 但是前面他又成了个爱，所以说呢，我就可以认为这是什么意思呢？我从 n 个人当中啊，先选出爱个人， 然后那不又从爱当中又成了个爱，那就是再从爱个人当中呢，再选一个，再选一个干嘛呢？当队长呗。先选爱个人，然后呢，再从爱个人当中啊，选一个队长，哎， 那就相当于什么呢？比如说我要参加比赛，对吧？哎，我们要参加这个一个小小小组赛，然后呢，我要从全班 n 名同学当中选出来爱个人，组成一个小队，然后这个小队要一个队长啊，我要从爱个人当中呢，再选一个队长出来，所以呢，就是 c n i 再乘以 i， 那我也可以怎么选呢？对吧？我可以怎么选呢？我可以上来先选队长，对吧？我先从班上这个能人当中，我上来先选一个队长。那一共班上一共 n 个人嘛，所以我可以先选队长。 先选队长的话，那一共有几个选择呀？先选队长，一共 n 个人，对吧？那就是 n 个选择嘛， 然后呢，队长选完了，那我队员还差多少？一共是二个人的小队，对吧？那现在队长有了，那还剩 i 减一个人，所以我要从全班 n 减一个人当中选出呢？ i 减一个人来，所以这两项议程呢，哎，也是，选了一个队长和 i 减一个队员 就完事了，对吧？其实就是我从 n 个人当中选出 i 个小队，其中的 i 减一是队员，一个是队长。就这个逻辑嘛，左边就是先选先选 i 个人，再选一个队长出来。右边呢就是，哎，我先选一个队长出来，再选剩下的这个队员啊，这也没有问题啊， 这种是一个方式，我就可以得到我们刚才想要的左 and 式，这是一个方案，还有一个方案是什么呢？ 我也可以直接把这个求和的工作给它做了，就是这个 c， 哎， i 乘以 c n i 这个求和啊，那其实还是刚才选队长的逻辑，对吧？他现在这个 i 呢，是从一到 n 去求和的，那是什么意思呢？那应该是要便利所有的情况了，对吧？ i 从一到 n， 然后 i 乘以 c n i， 啊， 这就是，哎，我要选出一人小队，两人小队，一直到 n 人小队，对吧？所有的情况，哎，所有的情况就是我要把爱等于一二三，对吧？一直到 n 这种所有的这个情况全部的给他选出来，全部的给他选出来，那跟刚才的逻辑是一样的吗？ 对吧？跟刚才的逻辑是一样的。那我也可以先选一个队长出来，因为我不管选多少人的小队，这个队伍只有一个队长，所以上来呢，我先选队长，我先选队长， 对吧？我先选队长。选队长之后呢，因为我这个队员的人数可以是多少呢？因为有，因为他总的队伍人数可以是从一到 n， 那 么队员除了一个队长之外，队员的人数呢？就应该是， 哎，队员的人数应该是从零一直到 n 减一，对吧？那我就相当于从 n 减一个人当中选出零人小队，一人小队一直到 n 减一个人的小队，那相当于选子集了，对吧？就一共 n n 减一个元素，每个元素都是可选可不选的， 哎，因为我也不知道要选多少个人出来，我想选多少个人，选多少个人，就是每个队员呢，都有啊，每个队员我都可以选，也都可以不选嘛， 对吧？每个队员我都可以选，也都可以不选，所以说呢，那就是 n 乘以多少啊？每个队员一共 n 减一个队员，对吧？哎，那就是二的 n 减一次方，所以直接出答案。哎，这个东西的， 先选队长 n 个情况，剩下这个 n 减一个队员我可以选，也可以不选，所以，那就是二的 n 减一次方， 直接就出答案了，也没有问题啊，也没有问题，这样也可以啊，这是通过我们编故事的方式啊来做，当然这个问题呢，他也可以用第三种方法。第三种方法呢，就我们讲的也可以通过这个多项式啊，左和等式的这个方式来做。 琢磨弄事的话，我们就得琢磨一下啊，这个所谓的爱乘以 c n i， 就 它为什么会出现爱乘以 c n i 这个东西， 我们得思考一下，什么情况下我会在求和当中啊，会出现爱和 c n i 的 这个东西，哎，我得琢磨一下这个事，其实呢， 一般来说啊，我们想要出现 i 这个内容，呃，那就是对 x 求导啊，因为什么呢？因为我们可以这么写啊， 所以它为什么跟导数联系起来？我们写一下，我可以构造一个什么呢？最基本的二项式定律，一加 x 的 n 次方，哎，最基本的这个，那么它展开呢，它就应该等于我们直接把，为了方便啊， 我们把它的这个展开式写出来， i 从零到 n， 那 么应该是 c n i， 哎，然后再乘以一的 n 减 x 方啊，这个咱就不写了，对吧？然后再乘以什么呢？再乘以 x 的 a 次方，这个就是我们的二项式定例， 哎，那么现在我们要出现什么呢？ i 倍的 c n i 怎么办？两边同时求导啊，两边同时求导，因为左边是展开之前求导，那就是 n 倍的一减 x 的 n 减一次方， 然后呢？右边求导啊，右边它是一个多项式，对吧？就每一项它都得求嘛，然后加起来，那就应该是，呃， i 从零到 n 呐， x 的 i 次方去求导， x 的 i 次方求导是什么呢？其实就是 i 倍的 x 的 i 减一次方了， 就这个东西，然后我们要的其实是这个东西求和，对不对？那很简单啊，那我还是让 x 等于一啊，哎，让 x 等于一，左右是相等的， 哎，让 x 等于一呢，左边就是 n 乘以二的 n 减一次方，右边呢？哎，右边 x 等于一的话，其实就是 sigma i 从零到 n 啊， i 乘以 c n i， 哎，就完事了，当然可能说，哎，老师，那这个原题不是 i 从一开始吗？哎，其实我们想 i 等于零的时候，这是多少啊？ 这就是零，对不对？第一项就是零啊，所以其实第零项有它和没它是一样的，它就等于 i 从 e 到 n 求和，然后呢， c n i， 那 i 乘以 c n i 就 结束了， 那它可以这么去做，对吧？哎，所以这个就是母函数的方式，这个就是所谓的母函数啊，在数学里，一般这个就被称为母函数啊，这就是我们构造的这个二项式定律。 当然啊，这个题我怀疑啊，答案的做法应该都不是这些做法，这些做法其实都是组合恒等式当中的做法，组合计数当中的一些问题，答案应该这个题，毕竟 我们还要记得这是个什么题啊，这是个树列题，对吧？他不是一个组合题，所以说这个问题呢，他应该还有一个方案啊，他应该还有一个方案，就是树列的方案， 书列的方案。其实南开之前的模拟考试就考过这个东西呢，可以靠倒序相加来求这个题。以前的这个南开的模拟考试当中就考过，可以通过倒序相加去求，反过来去求啊，可以反过来去求。我大概说一下这个逻辑啊， 他怎么去倒序相加呢？我们看啊，因为这个题呢，呃，他让我们求的是 c 个嘛， i 从一到 n， 然后 i 倍的 c n i， 对 吧？就这个东西嘛，我怎么着给它倒过来去求呢？我们给它展开啊，展开呢，这就是一乘以 c n 一， 哎，其实还有一个零，乘以 c n 零啊，咱们也给它写上啊，还有一个零乘以 c n 零， 哎，加上一，乘以 c n 一， 然后一直加，加到什么呢？ n 乘以 c n 一， 然后倒过来啊，再给它倒过来， 哎，倒序相加嘛，再倒过来的话，第一项呢，是 n 乘以 c n n， 然后再加上呢？ n 减一，乘以什么呢？乘以 c n， n 减一。哎，其实写到这啊，大家应该就能看出来了， 零乘以 c n 零啊，因为什么呢？因为我们刚讲了，这里也有个小小的组合呢，是，就是 c n n 减 i 和 c n i 是 相等的， 这两项呢，它是相等的，所以说呢，其实这个式子我还可以写成什么呢？ s， 我 就可以写成 n 倍的 c n 零，加上 n 减一倍的 c n 一， 然后一直加，加到零倍的这个 c n n 呐， 哎，然后这两项式子加起来，所以咱就得到二 s 呢，这个 n 加零就是 n 嘛，然后 n 乘以 c n 零，然后加上这里呢 n 减一，再加一，那就是 n 倍的 c n 一 啊，一直往下加嘛。最后一项呢，就是 n 倍的 c n n 啊，这样呢，它前边都是 n 了， 所以这个加起来呢，其实就是 n 乘以二的 n 次方，哎， n 乘以二的 n 次方，这个就是两倍的 s， 对 吧？那题目其实一开始问的就是两倍的 s， 问的就是两倍的这个东西，所以它就是 n 乘以二的 n 次方嘛，哎，我们可以看到跟我们前面的结果是一样的， 这几个方法都可以啊，所以这呢就是细致的跟大家说一下这种问题。这个其实不是南开的这个模拟考试，第一次考了，他往年这个题就在南开区出的那倒序相加的这个问题， 当然这个题还有第二个啊，我们不要忘了，第二题呢是什么呢？我们给它抄下来啊，在最上面。第二题呢是还有第二部分啊，第二部分呢，是二的 k 减一次方，乘以 c n 二，二分之 k， 这个 k 呢，等于二 i 啊，这个东西我们抄下来啊， 哎， c 呃 i， 它等于什么呢？等于这个，呃， 二的 i 减一次方，对吧？二的 i 减一次方，然后不是二的 i 减一次方，应该是二的 k 减一次方啊，原式是 k， 二的 k 减一次方，然后乘以呢 c n 二分之 k 啊，哎，就是那个 b k 嘛， 哎，前面是 b k 啊，然后我们把这个 k 呢等于二 i 带进去，它这个情况， i 是 k， 是 偶数啊，所以说呢，它这个 k 是 二 i， 那 就是二的二 i 减一次方，然后呢？ c n， 哎， k 是 二 i 的 话，就是 c n i 这个东西求和， 这个东西求和呢，我们先先做一个简单的整理啊，先做这，先做一个简单的整理，这个地方呢，其实就是二分之一乘以四的 i 次方吧。哎， c n i 啊， 所以说这个东西求和呢？ sigma c i， 我 就可以写成二分之一的 sigma i， 从 e 到 n 求和，对吧？我们先做了这个换元，所以 i 就是 从 e 到 n 求和， 然后呢四的 i 次方，哎， c n i 这个其实倒好看了，这是我们什么呀？二项式定例，对吧？这是展开式啊，这个展开式怎么认为呢？我再用红笔写一下，我就可以认为啊，咱写成二项式定例展开的形式啊。二项式定例展开的形式，我可以写成这个 c n i， 然后乘以什么呢？一的 n 减 i 次方吧，然后再乘以四的这个，呃，再乘以这个四的 i 次方， 对吧？再乘以四的 i 次方。但是我们要注意啊，咱的 i 是 从一到 n 求和，哎，它是一到 n 求和，零到 n 求和的话是，呃， i 从零开始求啊，才是我们真正的二项式定律展开式。所以这里有小细节，千万别做错了。 从零开始的话，哎，这个东西他应该等于什么呀？这个东西应该是一加四的二次方 n 次方，对吧？也就是五的 n 次方吧。哎，从这个地方从零开始才是五的 n 次方啊，这个地方从零开始才是五的 n 次方。 所以那原式的话，这个就不对呀，原式的话应该还要切记减去。 i 等于零的时候， i 等于零的时候，这一项是多少呢？ i 等于零的时候，这里是一， 那这里也是一，这里还是一啊，所以 i 等于零的时候应该是个一嘛，那咱要把一减掉啊，把一减掉，所以应该是二分之一五的 n 次方，再减去一嘛。那一定要减掉这个一啊，否则这个题就做错了， 所以说整合一下答案啊，这个答案其实没有什么好整合的，这就是为什么，呃，我要让大家先手去做这个换元，因为先手做换元的话嘞，这个题就会比较清晰啊，我们做的这第一第一部分和第二部分呢，其实没有任何的关联啊，这个脱下来 他其实没有任何的关联，就是这两个数啊，一个呢是二分之一五的 n 次方减一， 一个呢是 n 减一乘以二的 n 次方再加一。所以说最后的这个答案呢，对吧？最后的这个答案，那么它的这个和呢，就应该等于它的前向和，就等于二分之一五的 n 次方再减一， 然后再加上 n 减一乘以二的 n 次方啊，再加一，我甚至认为都没有化减的必要，但是你硬要说化减的话，那就是二分之一五的 n 次方，顶多也就只能把这个减二分之一化减一下，对吧？再加上 n 减一乘以二的 n 次方，哎，然后呢，再加上一个二分之一吧，那顶多也只能这么化减一下， 对吧？这个呢，就是，呃，一个作和等式啊，计，计算求和的一个问题啊，那我们今天呢，就讲这么多。
03:54查看AI文稿AI文稿我们看一下南开三模刚刚考完的第十七题，说的是等边三角形 abc， 边长是十二，然后并且 b、 d 和 c、 d 相等， 然后四边形 a、 b、 c、 a、 b、 d、 e 为平行四边形 e、 f 是 三，让它求 g、 d 好。 因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以我过点 a 做 h， a、 h 垂直 bc， 然后连接 d、 h， 那 你会发现 d、 h 也是垂直 bc 的。 因为 c、 d、 b、 d 相等，三角合一，所以能得到 a、 h、 t 三点是共线的，也可以理解成四边形 a、 b、 d、 c， 它是一个菱形的性质 解。我想着能不能先把最上面的三角形 c、 f、 g 可以 把它理解成是一个小的等边三角形， 所以我设 c、 f 等于 x， 那 么 c、 g 就 等于 f， g 都等于 x。 因为三角形 a、 b、 c 为等边三角形，所以 b、 h 就 等于 c， h 等于六，所以这 h 求出来是六减 x。 因为平行四边形 a、 b、 d、 e， 所以 三角形 g、 d、 h、 b、 h。 也就是说这一次比上 b 一 次，就等于 zd， 比上 a、 b， zd 是 六减 x 比上 b 一 次， b 一 次是六，等于 zd， g、 d 是 十二减三减 x 除以十二，求出 x 等于三， x 是 三，所以 g、 d 那 就是六。第一位就求完了，看第二位， 让我求 b、 d， 我 把 b、 d 放到二角三角形 b、 d、 h 中来求，因为第一位的 g、 d 等于六， g、 h 等于，所以勾股定律 g、 h 就 等于根号线 g、 d 放减去 g 一 直放，求完之后刷三倍跟三，然后再 r t。 三角形 b， d， a 折中 b、 d 就 等于零号箱。 b 值方加上 b 值方， b 值是六的方，加上三倍 k， 三的方三十六加二十七是六十三。根号六十三开一下三倍的根号七。
27爱数学❤️爱生活
03:11查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，我是周老师，跟着我每天一道题，今天我们来看南开三模的第十题，跟着我一起来读题。如图，在三角形 abc 中， ab 等于 bc 等于二， ab 等于 bc， 二 角 c、 b， a 一 百二十度。哦，这是一个顶角为一百二十度的等腰三角形，将三角形 abc 绕着点 a 顺时针旋转，得到了 a、 d、 e， 所以 我们可以快速的写下来，三角形 abc 全等于三角形 a、 d、 e 全能完，所以他的长度是二，他长度也是二，这块一百二十度，所以，所以他是六十度。 ok， 得到他，然后紧接着他说点 d 呀，恰好落在了线段 c、 e 上，则 c、 d 的 长度为多少？ 我们来看一下 c、 d 是 在三角形 a、 c、 d 当中已经知道了 a、 d， 哎， a、 c 我 也可以求出来，但是这是不是一个直角三角形呢？如果是，我可以直接把它求出来，不是的话，我可能还得过着点 a 往下去做，垂线去做它。 好，我们的第二步，找我们的旋转角阿法 ab 旋转到了 ad 这里，所以这是我们的旋转角阿法 ac 旋转到了 a、 e 这里，这是我们的旋转角阿法。第三个旋转角，也就是我们的 bc 旋转到了 d、 e 这里，那延长 那 dc 与 bc 的 旋转角阿法就是它。好，三个旋转角找完了，然后再往下走，是等腰等等， 只不过这道题下面的用不到，那我们继续来看这道题，这是一百二十度二二，所以它得三十度，它也是三十度。因为全等，所以它是三十度，它也是三十度。 那我们来算一下 a、 c 的 长度二二，所以过着垂线往这边做，或者这样去做都是可以的，算出来 a、 c 的 长度二倍根号三， a、 e 的 长度也是二倍根号三。 我们发现 a、 c、 e 是 一个等腰三角形，那么角 e 是 三十度，所以 a、 c、 e 也是三十度，它三十这六十，那么中间这是九十度， 所以我要算 c、 d 的 长度还是很好算的吧。等于我们的 a、 c 方加上 a、 d 方 再开根号，也就是我的二倍根号。三括号的平方加上二的平方，开根号直接容易算出来，它就是我们的 四选择二。 b。 这道题的难度不大，有很多同学会直接猜想这是九十度，我们可以有理有据的证明一下，也就是得到 a、 c 等于 a、 e， 因为我们旋转其实就可以得到它，这底角又是三十度，必然它也是三十， 所以三十、六十、九十度相对而言还是比较好证明的。数学嘛，最好还是有理有据，不要有猜的心思在里面。好的，这道题的思路你掌握了吗？中考就剩下十几天了，加油哦！
02:47查看AI文稿AI文稿好了，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频。那今天我们来说一说这个二零二六年南开区九年级三模数学第十八题的相关解例思路。这个题我觉得就有点呃，就是相对来说，对于格点做出来说相对比较容易的一个题了。 来看题啊，说是这个边上为一的这个网格当中 o 是 这个格点圆 o 经过点 c， 然后这个和网格线交于 ab 两点， 然后这个第一问圆 o 的 半径，这个半径就比较好吧，它经过点 sim， 对 吧？那么这就是半径二百零二二，对吧？来第二位说是点 p， 在 线段 a b 上满足， c p 等于 c a， c p 等于 c a， 问我这个，呃，画出点 p 的 位置，呃，这个啊，一开始我也想的稍微有点多，因为我知道这个半径如果是 c p 等于 c a 的 话，其实它是可以算的，对吧？ 那么这个长度，这是二二倍根号二，这是二，这就是二减二，二倍根号二，那个二倍根号减二， 对吧？那这个我知道，然后这个 c a， 我 就我，我也是，我就可可以试着去求了，因为这是二，对吧？我知道 c a 的 话，我其实在找这个，但是我发现算完之后这个 c a 特别不整， 就是你算或不算，它不是一个整的数，于是我就觉得这个可能不是让我们去计算去做的题，然后再稍微想一下，就是 c a 等于 c p， 我 们先把这个点大概确定一下， 那其实我们是在干嘛？我们其实特别简单，其实就是在找这个点 a， 关于这个 c 所在这个格线的一个对对顺点，就如果你想到这的话，那这个题就是我们耻归做图一个格点做图一个基本操作，对吧？ 我先找到这个关于这个 c 这条格线对称的两个点，这俩点就是关于它对称的，对吧？就是左面一个点，右面一个点，你把这个先和 a 连一块，他和这个格有一个交点，对吧？放大一点啊，他和这个格有一个交点，对吧？然后你再把这个点， 把这个点和这个连一块，然后延长下来，那这个地方就是点 p 的 没了，你解决问题了， 但这个证明也不复杂，你这个愿意挣个全等也行，就是愿意挣个这个等幺都可以，这个就不不复杂。所以这个题就是如果你去这个去求，一开始像我一样去求线段长度的，可能是会绕一会，但是你如果直接发现做个对顺就完事， 这个一共就两条线齐活啊。好了，那这用对于十八题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们就先进一步的沟通和交流。那好了，那这个十八题先和大伙说到这了。
4叫兽
04:15查看AI文稿AI文稿我觉得今年中考就考这个，如果你让我压一道题的话，我就今年中考就考这个。给你讲讲这个是什么格。正方形中以边长为边，再做一个，等边没了就是边长得二，求 f n 的 最小值。 当然呢，这 m n 都是动点，并且满足 b m 等于 d n， 读完这道题你就感觉它像啥？每个人都会觉得 a 点像逆等线，应该不难，但是你构造全等构造器吧，反正我构造了半个多小时真没做出来，给你点点暂停，你看你多久做出来， 很久我怎么构造这俩离得这么遥远，我反正得用全等，但是呢，用全等真得挣出来，实际怎么办呢？这是咱们八年级常见的一个一种题目，咱们当初构造 就就是转化，是吧？转化线段它用的还是最早的平移进行线段转化，就构造平行四边形进行转化，也就是它咱们可以把 m n 就是 做个， 做个什么呢？构造一个平行四边形，比如这个地方就要点 k 到 b k n m， 让它是个平行四边形，这样的话，这个 m n 要想最小就得让 b k 最小。 那么我们看看这个 k 有 没有什么特点呢？如果是平行四边形，如果是平行四边形，它就平行了，是吧？咱们连上这个 b k 啊， b k 这条直线会不会有什么特点来平行四边形 b m 是 等于 kn 的， 所以现在 k n 也等于 d n， 这俩角一旦相等就很有用。看 这个是六十度，平行以后这个角也是六十度，所以这个小红点是三十度， 那么这样的话，两个小红圈就都等于十五度。十五度有什么用？等于十五度说明 角 c、 d、 k 永远等于十五度。我是取的任意的 m n 的， 你 m n 随便动角 c、 d、 k 永远得十五度。所以此时我找到了点 k 的 轨迹，点 k 一定在射线 d n 上， k 一定在这条射线上，所以说呢，那么我们要想让 m n 最短，我们就让 b k 最短，当然是垂线段最短，此时求出这条垂线段的长，就是这个最小值。那么这个垂线段怎么求呢？看一下连接 b d 以后，这个角四十五度， 那那个十五度，所以这个角也很特殊，是一个三十度的角，那么这个是三十度的角来， b d 得二倍根号，二是二吧，二是二倍根号，所以它得 科考二，这个最小值呢？科考二这题绝对我想了一小时，我觉得太难了，而且一中考就爱考最短路径，没直接考过这种构造平行四边形来解决问题。那这个方法呢？绝对能够推广， 这是什么问题？这是一个双动点的问题啊，也就是说，通过做完这个题，我发现我之前录过一个视频，讲的去年的和平三分，今年又有一个，是 是是哪个哪个我忘了，今年也有一个，两道题考的都挺好，其中有一道题是逆等线，有一道题是构造手拉手， 当时都是双动点问题，我们当时都是构造全等来解决问题。今天做了这个小题，我回去看了两道题啊，做别的方法，你不信，你去看看去年的和平三波，也可以直接构造平行四边形，进行线段转换，从而实现把双动点问题转成转换成 一定移动问题，你再找这个动点的轨迹把，这问题简直就是打开了另一扇大门等， 所以这个构造平行四边形，你像这个题构造全能做不了。咱们那个模拟题出的可能是有两种方法，但这个你必须得构造平行四边形，所以我们得提防会不会今年咱们二十五题都是以最短路径闻名，今年会不会考察一个构造平行四边形来实现线段转化？ 当然这个东西完全也可以考察到十八题里边，是吧？所以说这个东西完全也可以考察到十八题里边，是吧？这个东西完全也可以发现。
1.2万正道的数学老师
05:33查看AI文稿AI文稿好，我们一起来看一下南开二五连三末的这一个题目，它这里讲掉了在菱形 a、 b、 c、 d 中， 我们一般的题目是在正方形情况下，这是在菱形这个背景。菱形有一个特点，四条边相等，对角线互相垂直， 对角线平分每一组对角。那我们来看，继续 o 为对角线中点，那既然 o 为对角线中点，而我们知道对角线是互相垂直的，所以说 o、 d 垂直于 a、 c， 这里是九十度。 将 a、 b 绕顶点， a 逆时针旋转到 a、 e， 那 要是 a、 b 跟 a e 相等，本来是四条边相等，现在 a、 b 又等于 a、 e 又多一组相等，那我就随意设一个长度， a、 b 设为一啊，这里也为一。 旋转到 b、 c 边上来了之后，恰好 o、 e 垂直于 b、 c， 你就观察这个角和这个角相等，有一组角再相等再来菱菱形的对角线是平分每组对角，那这个角和这个角又相等， 两组角相等了哟。 d， o c 等于 d c， 这是一组角 o c， b 等于 o c d， 这又是一组角相等，那两组角相等，马上就可以。三角形 o、 e、 c 相似于三角形 d、 o、 c 两两个角相似，相等了之后相似，相似了之后，我们就可以转来 o e 比上 o e 比上 o d。 你 看 o e 是 这个角对应的，也是这个角所对应的，那所以说 o e 比上这一个 o、 d， 那 就可以等于 ec 比上 dc。 哦，错了，等于 ec 比上 oc， 也等于 oc 比上 dc。 好，我们只要知道 e、 c 跟 o c 之比，或者说 o、 c 跟这个 d、 c 之比，就可以解决问题。 好，我们继续来看，这里是一，这里是一好等腰三角形碰见等腰三角形就可以做一条垂直线，过顶点，向底边做一条垂线， 向这边做一条垂线。好，你这也是垂直，这也是垂直，那么 o e 就是 平行，这一个的 a f o e 平行 a f， 然后 o 又是终点， o 为 a c， 终点 又是平行，又是中点，那所以说 o e 有 一边是已经是中点了，所以说 o e 就是 中位线，所以说 o e 平行且等于二分之一倍的 f， 那 所以说 o e 是 中位线， 所以说啊， e c 等于 f e e c 等于 f e， 而这个 f e 是 等于 b f 的 f e 是 等于 b f 的 等腰三角形吗？它这个高，它就会也是中线，所以说 e c 是 f c 的 一是 f c 的 终点， e c 等于 f e， 那 也等于 b f， 那 这里三等分那所以这就是三分之一，这就是三分之一。三分之一， 这里是一，这里是三分之一，那这个高就是三分之二倍根号二。根据勾股定律，三分之二倍根号二，那这里是三分之二倍根号二， 那这里是不是就出来了？那这里就是三分之根号二。根据轴位形，这里是三分之一。三分之根号二， 那这里就是根据勾股定律，三分之根号三。 o c 是 三分之根号三，那么 d c 就是 一， d c 就是 一，那根据比值， o e 比 o d 就 等于 o c 比上 oc， 比上 dc， 它所以说就等于三分之根号三。也等于 ec 比上 oc， 都是三分之根号三。解决 这里，嗯，一个是转化，把 o e 比上 o d， 这个比值转化成 ec 比上 oc， 或者说 oc 比上 dc， 发现 d 柱相似。第二个，我们 o e 和这一个等腰三角形底边上的高平行了之后，然后 o 又是中点，通过这里中位线 推出 e、 c 是 整个菱形每一边长度的三分之一，然后就可以把剩下全部求出来，选择大选项。
25在人间草木
05:05查看AI文稿AI文稿hello， 同学们，大家好，我是数理化白老师，今天继续和大家分享天中考物理二十四题特殊方法测密度。那么接下来我们看 刚考完的南开区三模二十四题，那么题中给出的是要测某种液体的密度啊，器材有刻度尺，还有粗细和质地都均匀的长细木棒，还有带盖的空塑料瓶啊，质量不计水，还有几根足够长的细绳， 呃，要我们去测出待测液体的密度啊，写出实验的步骤和需要测的物理量啊。那我们呃题中给出了质地均匀的长细木棒，这个题我们主要用的还是呃 杠杆的原理来测啊，那么杠杆的原理就是动力乘动力臂等于阻力乘阻力臂啊，那么我们这个题，呃，因为题中给出的是只给出的只有水，也就是水的密度是知道的啊，比如说这个题，我们呃已知的是 揉水是知道的啊，然后让我们测液，测液体的密度啊，要测这液体的密度揉液 啊，所以我们要借助这个水啊，那么怎样才能使杠杆平衡呢啊？我们现在呃往以往的话，我们题中会给一个质量已知的，或者是 呃一定的一个金属块，但这个题中没给，所以我们需要借助是这个木棒的一个质量啊，所以我们第一步啊，应该先 测出这个木棒的一个长度啊，然后测出它的重心 啊，那么重心肯定就在哪啊，就在中点啊，就是二分之 l 这个地方啊，这第一步啊，那第二步我们需要做的事情就是什么呢？就是构造一个杠杆 啊，再把这个中心画出来，然后在一端挂一个水平， 知道吧？然后我们利用绳套找到这个支点，假如说 o 一， 然后测出水到支点的力臂 l 水，然后 这个杠杆的重心到绳套的距离啊，力臂 l 一 啊，这样的话，我们其实就可以写出一个公式啊，就是啊，就是 g 乘以 l 一， 应该等于的是 g 水乘以 l 水，我们可以把它打开一下啊，就是 g 乘以 l 一 水呢，就是柔水小 g v， 然后乘以 l 水啊，这是我们得到的第一个代号式啊。 呃，平衡关系是我们看第三个。第三步，我们把杠杆的一端换成是待测液体啊，重心还是在这，然后我们调整这个绳套的位置， 测出这个液体到绳套的力臂啊，是 l 液， 然后杠杆的重心到绳套的距离是 l 二这个力臂，所以我们可以得出的是 g 乘以 l 二，等于的是 g 液乘以 l 液，然后我们把它打开一下，就是 g 乘 l 二，应该等于 u 叶小 g v 乘以 l 叶第二式啊，这样的话，我们可以做的事情就是一式比上二式，那我就可以得到的是 l 一 比上 l 二应该等于的是什么呢？等于的是柔水 l 水比上的是柔液 l 液啊，所以我们就可以得到 这题我的肉叶的一个表达式啊，肉叶的表达式是什么？就是 l 二，肉水 l 水 除以 l e 乘以 l e 啊，这个题我们其实主要是利用杠杆的原理啊，来测未知液体的密度啊，主要是，呃，需要借助于这个杠杆的重力啊，使杠杆平衡。好吧，哎，今天就和大家分享这么 多，点赞加关注，解析有思路。
254天津数理化白老师
04:25查看AI文稿AI文稿好，各位同学啊，各位家长，这个大家好，这个天津能开啊，这个三门刚刚结束，嗯，没两天哈，我们和大家呢，这个简单的这个说一说。 呃，我觉得这个题呢，还是记有继承了以往的这个难度，还有题型。 这个大家呢，在最后的几天时间内呢，我觉得第一个，嗯，就是应该通过这个三门试题呢，查缺补漏，看我们这个问题啊，究竟出现在什么地方。 第二个啊，还是要回归教材啊，把书上的知识点还是应该捋清楚。第三个就是针对每一个题型啊，这样的题型我们应该如何去思考？ 就针对这些问题，我们还是应该在考前啊，这个更加的去复习，弄懂弄会啊，就争取得呢更高的一个分数 啊。这个题呢，我就简单的就说这么多，我觉得和之前也没有什么太大的一个区别啊。那么这个视频呢， 主要和大家讲一个问题啊，这个二十八题，这个题呢，他，呃出了一个比较，他说修改的理由是什么， 对吧？那这个理由他进行修改了，但他为什么进行修改，那这题你看的是是八分是吧？但是呢，他就是三点，对吧？ 在这里边我还要强调一点啊，我通过这个题和大家讲一讲，找关键词的时候，大家要注意啊，你不要挨个词挨个词的去找你，比如说第一条，那他进行修改的时候 新增或修改，对不对啊？那二零二五年的时候的第一条，他的这个地方就变了一点，说根据宪法制定文法， 它所强调的就是我们为什么修改呢？我们怎么去修改？它是根据宪法来修改的，那这里边所强调的那种就是宪法，对吧？那第一条我们就应该写什么？ 宪法是国家根本法，具有最高法律效率，是其他法律的立法基础和立法依据，对吧？那第二条 来，我们来看一下。第二条啊，我们进行修改的时候，那各级人民政府应该加强社会治理，这个和前面没有什么太大区别，问题就在于第一句话应该坚持党的领导。 那为什么要坚持党的领导啊？那这还是在考八下，对吧？为什么要坚持党的领导？因为党的地位所决定的嘛，对吧？中国共产党的领导是中国特色社会主义最本质，是中国特色社会主义制度最大优势。 好，下边这个他所修改和增加的部分是什么？大家想想人那人，那这个地方我们应该强调的是什么？ 坚持厉行法治，促进全民守法，学会依法办事， 对吧？你这不就是新增的或者是修改的地方吗？你不得找到这个问题上去？这不就是咱们所谓的一个关键词，你前面那个相同的地方，你就没有必要在这里边过多的去论书。 所以说通过这个题呢，我还要强调一点，我们要学会去审题，其实难与不难就是在于大家能不能对这个问题啊进行呃，审理清楚， 你只有审清楚了，我们才知道下边应该怎么去洗，好吧。啊，那这个视频呢？就说这么多，谢谢各位，再见。
