如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课， 高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路这是一道改编自二零二三年全国已捐理科第二十一题的导数综合题。很多同学会在第二问找参数范围的时候掉进陷阱，想在导数大题上稳拿基础分，这道题咱们最好在五分钟内拿下 他真正考的不是让你盲目分类讨论，而是先看特殊点，利用端点效应直接锁定答案。咱们先来完整读一下题目， 已知函数 f x 等于自然对数 x 减去 a 乘以括号 x 减一。第一问，求曲线 y 等于 f x 在 点一逗号零处的切线方程。第二问，若对任意 x 大 于零，都有 f x 小 于等于零，求实数 a 的 值。咱们先顺着第一问切线方程找感觉，再利用切点去破解第二问横成力的问题。 先来看第一问，要求在点一逗号零处的切线方程。咱们脑子里马上要有切线方程的基本套路。这里有个非常重要的技巧，求切线方程归根结底就是找两个东西，一个是切点，一个是斜率。 题目已经大发慈悲把切点给咱们了，就是一逗号零。很多同学在这里会犯错，拿到题就急着算，连切点在不在曲线上都不去核实。咱们把 x 等于一带入圆函数，自然对数一是零，后面 a 乘以括号一减一也是零，加起来确实等于零，所以一逗号零就是切点没跑了。 接下来咱们要求斜率，斜率怎么求呢？显然就是求圆函数在 x 等于一处的导数值。咱们先对 f x 求导 原函数 f x 等于自然对数， x 减去 a 乘以括号 x 减一。自然对数 x 的 导数是 x 分 之一，后面的 a 乘以括号 x 减一，展开就是 a 乘以 x 减去 a， 对 它求导常数项负 a 导数是零， a 乘以 x 的 导数就是 a， 所以 f x 的 导函数就等于 x 分 之一减去 a， 导函数算出来了。咱们把 x 等于一带进去算斜率。把一放进 x 分 之一减去 a 里，一分之一就是一，所以斜率 k 就 等于一减去 a。 现在切点是一逗号，零，斜率是一减去 a。 咱们直接套用点斜式方程写出来，就是 y 减去零等于括号一减去 a 乘以括号， x 减去一。最后咱们把方程化简一下，把 y 减去零，简写成 y 等号。右边就是括号一减去 a 乘以括号， x 减去一。这就是咱们第一问要求的切线方程。 接下来咱们看第二问，这步很关键，题目要求对任意 x 大 于零都有 f， x 小 于等于零，让咱们求实数 a 的 值。看到这种横乘力问题，而且是求参数的值，而不是范围，大家心里要有个底，这个参数大概率只有一个唯一界， 这里到底是在找上界还是找下界呢？都不是，咱们要找的是那个让函数最大值刚好等于零的零界状态。 大家仔细观察一下 f x 的 表达式， f x 等于自然对数， x 减去 a 乘以括号 x 减一。咱们刚刚在第一问验证过，当 x 等于一的时候， f 一 是刚好等于零的。 你看题目要求所有 x 大 于零时， f x 都小于等于零，而 x 等于一时， f x 刚好等于零，这意味着什么？这意味着 x 等于一，必须是整个函数 f x 的 最大值点，如果它不是最大值点，那函数图像就一定会穿过 x 轴跑到大于零的地方去。那就违背题目条件了。 既然 x 等于一是最大值点，那根据费麻盈利，函数在极值点处的导数必须等于零。咱们前面求过，导函数是 x 分 之一减去 a， 咱们把 x 等于一代入导函数，令它等于零，也就是一分之一减去 a 等于零，一减去 a 等于零，所以解出来 a 只能等于一。很多同学算到这里就直接写答案了，这里有个非常容易踩的坑， 咱们通过端点处导数为零算出来的 a 只是一个必要条件，咱们必须把 a 等于一带回去，验证它是不是真的满足恒成立。咱们把 a 等于一带回原函数，这时候 f x 就 变成了自然对数， x 减去括号 x 减一，咱们再对它求导，导函数就变成了 x 分 之一减去一。 接下来我们要找 f x 的 单调性，把导函数通分一下。分母是 x， 分 子是一减去 x， 因为题目规定 x 大 于零，所以分母永远是正数，导函数的正负完全由分子一减去 x 决定。咱们来看，当 x 大 于零且小于一的时候，一减去 x 是 大于零的，所以导函数大于零。原函数 f x 在 零到一这个区间上是单调递增的。 当 x 大 于一的时候，一减去 x 是 小于零的，所以导函数小于零。原函数 f x 在 一到正无穷这个区间上是单调递减的，你看函数先递增再递减，那在 x 等于一的时候就一定取得局最大值。 最大值是多少呢？就是 f 一， 也就是自然对数一减去括号，一减一，算出来刚好等于零。既然最大值都是零了，那对于任意的 x 大 于零， f x 肯定永远小于等于零，这就完美符合了题目要求。所以 a 等于一这个答案是完全成立的， 咱们来做个总结。第一问的切线方程是 y 等于括号一减去 a 乘以括号 x 减去一。第二问，实数 a 的 值等于一。这道题真正值钱的地方，就是利用已知零点去反推极值点。 以后大家遇到横乘力问题，只要发现某个特殊点，刚好让函数等于边界值，马上想到端点效应，直接让这个点的导数等于零，先锁定参数，再回头验证。这个口诀大家一定要记住，找准零点求导数，锁定参数再验证。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f， x 等于自然对数 x 加上 x 的 平方，减去 a 乘以 x， 若对任意 x 大 于零，都有 f， x 小 于等于 f 一 求实数 a 的 值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
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16:54查看AI文稿AI文稿如果有一道题需要你把同购确定性先行、端点效应放松，找点零点存在性和分情况讨论，这几种技巧融汇贯通才能得满分，那一定是二三年全国已卷的压轴题莫属了。理解透了这道题，大部分的导数大题就难不住你了。 别问送分来看第二问，第二问，使 f x 分 之一怎么怎么样？那咱们先把 f x 分 之一表示出来， 也就是 x 加 a 对 的论 x 分 之一加一， 那咱们不妨令它为 h x。 同学们讲它。关于 x 等于 b 对 称，咱们能把它翻译成什么？是不是就是 h x 等于 h 二 b 减 x 呀？ 那咱们把二 b 减 x 带进去，它是不是也就等于二 b 减 x 加 a 被它 alone 二 b 减 x 分 之一加一啊？ 我们观察这左右两边，咱们能不能给它凑同共，那也就是它等于。咱们看在这里，咱们能不能提出一个符号，里面是不是就变成了 x 减 a 减二 b， 把 x 变成正的了？ loon， 这个既然咱们想凑同共，是不是就得通分？二 b 减 x 分 之二， b 减 x 加一， 那这个符号是不是咱们可以挪到这里，变成它的负一次幂，它也就等于 x 减 a 减二 b 倍？等 loon， 把它俩翻过来呗，二 b 减 x 加一，分之二 b 减 x 呗。那左边咱们怎么写？ 咱们是不是也得把里边通分？ 同学们看，这边的 x 是 正的，但这边的 x 是 负的，怎么办？咱们能不能上下同乘一个负一？也就是我改一下吧， x 减二， b 除以 x 减二， b 减一，那现在咱们是不是凑出同根了？既然它说是否存在实数 a b 使 f x 怎么 f x 分 之一怎么怎么样？那是不是咱们就可以 令 a 等于负 a 减二 b， 也就是二， a 等于负二 b， 那 这里是不是也就是负二 b 等于一，也就是 b 等于负二分之一， a 是 不是就等于 二分之一？ a 和 b 都求出来了？第二题搞定，第三问一个黑板都写不下，老王我擦一下来看第三问， f x 在 零到正无穷区间内存在极值点，是不是也就是 f x 在 零到正无穷区间内存在零点？那 f x 等于什么？ f x 是 不是等于 a 乘 b 的 导数， a 的 导数乘 b， 再加上 b 的 导数乘 a， 那 也就是它在零到正无穷区间内存在零点呗。那咱们不妨令它等于零，也就是 x 加一分之 x 分 之一，加 a 等于 x 方分之 lone x 加一，那咱们把这个这个 x 放下来，也就是 x 被的 x 加一分之 ax 加一，它等于 lone x 加一， 除以 x 方呗。也就是它当 x 属于零到正无穷区间内，它俩可以取等呗。既然 x 大 于零，咱们把两边这个 x 约掉，交叉相乘，也就是 a x 方加 x 等于 x 加一呗。再把它挪过去，也就是它等于零呗。那现在咱们不妨令它为 g x g x 当 x 属于零到正无穷区间内，它有零点呗。 那现在咱们是不是就好办了？给它求层导看一下单调性呗。 这撇 x 也就等于二 a x 加一，再这是 a 乘 b 的 导数，再减去 a 的 导数乘 b， 也就是 lone x 加一，加 b 的 导数乘 a， 这也就是减去一加一，减一约没了，位置有限，我直接把它抹掉， 这就是 g 撇 x。 但如果咱们令它等于零，会发现这是个超越方程啊，咱们没法解，那咱们不妨再给它求成倒， g 撇撇 x 也就等于二， a 减 x 加一分之一。这回咱们好像可以看出 x 等于几了。令它等于零，是不是 x 加一，也就等于 二 a 分 之一，把这个一挪过去， x 也就等于它减一呗？那现在咱们是不是就可以讨论 x 大 于它十， x 小 于它十，但是 a 是 个变量，咱们能不能确定性，先行把 a 的 大致范围整出来？ 同学们看，当 x 大 于零时，带上符号看这一项整体小于零，那如果二 a 小 于等于零，它整体也就是 g 撇撇 x 就 小于零， 那也就是二 a 小 于等于零时， g 撇撇 x 小 于零， g 撇 x 是 不是就单调递减？那咱们看一下 g 撇零， 是不是这一项是零，这一项落一也是零，它等于零，那也就是 g 撇 x 小 于零， g x 就 单调递减， g 零。咱们再带进去看一下，零零落一，它也等于零， 那 g x 是 不是就小于零？一个横小匀的数函数是不是肯定没有零点呀？那大家看 x 是 不是大于零，那这一项是不是就小于一？那如果二 a 它 大于等于一，是不是 g 撇撇 x 就 整体大于零？也就是二 a 大 于等于一， g 撇撇 x 大 于零， g 撇 x 就 单调递增呗。那 g 撇零咱们又知道等于零， g x 就 单就大于零呗，那 g x 就 单调递增， g 零又等于零， g x 是 不是就大于零？一个横大于零的函数是不是也肯定没有零点？ 那咱们就讨论 a， 它首先不能小于零，也就是 a 大 于零， 且二 a 不 能大于一，也就是 a 小 于二分之一呗，只需要讨论这个，在这个范围内呗。那现在咱们是不是就可以讨论它了？ 当 x 大 于它时，是不是 x 加一就大于二？ a 分 之一，它的分之一就小于二 a， 那 二 a 减去一个小于二 a 的 东西，是不是 g 撇撇 x 必然大于零？ g 撇 x， 那 同理，当 x 小 于二 a 分 之一减一时， g 撇二撇 x 小 于零， g 撇 x 单调递减，所以它就是一个 先减后增的函数，这里是 g 撇零，它等于零，还取不到它的极小值，是 g 二 a 分 之一减一， 这是它增减转换的地方。那有同学就说了，这里咱们不能一下子算到最后吗？那这不就简单多了。但是同学们想， 你能保证 g p x 和 g x 它的图像的增减转换的地方在同一处吗？是不是肯定不行？ 咱们简单分析一下。这道题有四层，第一层 f x。 第二层， g x， 也就是 f x 的 导函数。第三层， g 撇 x。 第四层， g 撇撇 x， g 撇撇 x， 咱们讨论的是正负，从而得到了 g 撇 x 的 增减性。那咱们是不是不能从它的增减性看出 g x 它的增减性啊？ 因为咱们现在还没找到 g p x 它等于零的那个点，找到那个等于零的点，是不是这个点，咱们就能确定 g p x 的 正负，从而判断它的增减性。 那现在咱们再回到题目中哦，这是 g 撇。同学们想，如果咱们想找到一个它等于零的点，是不是咱们可以找到一个它大于零的点啊？为什么呢？咱们已经有一个它小于零的点了。 大家想， g 撇零是不是等于零？这一段单调递减这个点是不是肯定小于零？那 咱们是不是找到了一个大于零的点？一个小于零的点和一个大于零的点，他也一夹中间，是不是就找到那个等于零的点了呀？那问题是，这个大于零的点咱们怎么找呢？是不是得给他放个缩，找到一个比他小的函数， 新函数等于零的点，就是原函数大于零的点，也就是说我们得找到一个 g p x， 它大于什么东西？那同学们看 g p x 是 不是这里变化最慢的就是 low x 加一啊？那咱们是不是可以放松它？前面这还有个负号， 所以咱们只需要放松。 ln x 加一小于什么？那 ln x 加一小于什么？ 根据著名的切线放松，它是不是小于 x？ 那 咱们就把 x 带进去呗，它就大于二 a x 减去 x 呗，令它等于零，也就是二 a 减一倍的 x 等于零， x 等于零啊。但是 x 显然不能等于零，那怎么办呢？ 显然这个放缩是不行的。后来我又试了 ln x 加一，小于 x 加一，括号的平方 减 x 加一，但是还是不行，是不是这个精度不够呢？那我又找了一个精度更高的， ln x 小 于二分之一， x 减 x 分 之一， 但是它还是不行，我到这都要算崩溃了，但是我又想到 long x 加一的图像是不是这个样子呀？它大于零的时候，这一部分咱们不用管它，同学们看它像什么？是不是很像根号 x？ 那 根号 x 是 不是肯定比它高？ 那我们能不能用 lone x 加一，小于根号 x？ 这个 不管怎么样，死马当活马医，咱们把根号 x 带到 g 撇 x 里，也就是二 a x 减根号 x 的， 令它等于零。我在这边写， 也就是四 a 方， x 方等于 x 呗，也就是四 a 方， x 等于一 x 就 等于四 a 方分之一。哎，这次是不是可以了呀？ 四 a 方分之一显然比二 a 分 之一减一大，不信同学们算一下。那也就是这个点是四 a 方分之一呗。所以必然存在一个 x 零属于 二分之二， a 分 之一减一到四 a 方分之一，使 g 撇 x 零等于零啊，我们终于找到了它的零点。好吧，最后这里我再验算一下。那当 x 大 于 x 零时，是不是 g 撇 x 就 大于零？ g x 单调递增。同理， x 小 于 x 零时， g 撇 x 小 于零，函数单调递减。 那咱们就把 g x 图像画出来呗，是不是和它几乎一样啊？这里就是 g 零，它等于零呗，它的极小值是 g x 零，同学们看它和 g 撇 x 的 增减转化点是不是不一样？所以在这里的时候，咱们不能从头推到尾。那现在咱们就找它的零点呗，左边没写，就看右边呗，找到一个它大于零的点不就行了？ 跟刚才一样，我们已经找到了一个它小于零的点，也就是 g x 零小于零。那现在咱们就给它放个缩呗。跟上面一样， 新函数等于零的点是不是就对应原函数大于零的点？那咱们看 g x 是 不是咱们还是只能变 l n x 加一啊？吸取上次的教训，咱们直接 用它小于根号 x 即可。上面还是负号，也就是 g x， 它大于 ax 方， 加 x， 再减 x， 加一倍的根号 x， 令它等于零。那有根号 x， 咱们不妨令根号 x 为 t， 也就等于 a， t 的 四次方，加 t 方减 t 方加一倍的 t， 它等于零呗。 同出一个 t， 也就是 a， t 的 立方加 t 减去， t 方减一，它等于零。出现了一个三次方。好不容易算到最后了，怎么还出现了三次方啊？ 这可怎么办？同学们讲，咱们是不是不一定非要让它等于零？如果它大于零，是不是它这个大于零的点对应的也是原函数大于零的点？ 那咱们就看这个 t 能等于啥呢？其实当 t 足够大，这肯定能行。那现在同学们想，这有一个单独的 a， 那 咱们能不能利用一下这个 a， 那 咱们令 t 等于 a 分 之一，行不行？这样是不是它俩就可以约掉？一个 a 就和 t 方差不多了，也就是 a 方分之一。那 t 方是啥？ t 方是不是也是 a 方分之一啊？它俩约没了，那剩下是不是就好办了？加 a 分 之一减一，它必然大于零，这俩约没了。因为 a 属于零到二分之一，所以 a 分 之一必然大于一，它整体必然大于零。 咱们找到了这个大于零的点，对应的就是原函数大于零的点，这两个点一夹，也就是存在一个 x， 零撇儿属于 x， 零到 a 方分之一。注意，这是 t 等于 a 分 之一， x 就 等于 a 方分之一。使 g x 零撇儿等于零，这就是我们要找的唯一的 零点。行到水穷处，坐看云起时，搞定观众园五年级每天一道数学题。
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00:15查看AI文稿AI文稿挺难的哈哈哈哈哈哈我们俩考不怎么样应该比平时最后做的难忘难难难多了。估计一到二十五年还是没啥问题。就就那样吧。哈哈哈你是学霸级的是吧？就那样吧。哈哈好好加油加油。
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00:56查看AI文稿AI文稿我压中的全国已卷高考作文，想离题很难，想写好更难。如果我在高考场上会这么写，标题就叫跨越时代与有容颜。 三个分论点直接从材料中提取，关键要看表格中给的对比信息。比赛成绩和群众体育对应中国体育事业的发展。科技亮点和交通支持对应中国制造的升级，国家经济的增长对应综合国力的强大。体育话题，你可以对比零八年流向退赛和二二年假中央措施金牌， 写我们从围巾排论到追求体育精神的自信与从容。中国制造，你可以对比零八年开幕式的人海战术和二二年开幕式的科技美学， 写十四年来从中国制造走向中国制造背后的科技强国、综合国力，那就更好写了。全面小康的实现、航天事业的发展，都可以。在开头和结尾要重点强调我们作为当代青年与国家发展的修漆与共。身在华夏，砥砺前行，见证跨越我们鱼有容颜。
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03:14查看AI文稿AI文稿二零二一年全国一卷高考题难吗？真的是啊，李老师，特别感谢大家的一个支持，昨天发了一个黑龙江省高考视频的视频，突然间就爆了，这是李老师没有想到的，我在想为什么爆呢？ 估计呀，是说到了很多同学和家长的心坎里去，很多家长和同学都非常感同身受，所以是这个原因。但是我跟大家说一下啊，那个视频呢，只代表李老师的一些个人见解，那每个人的想法是不一样的，一千个人眼中一千个哈姆雷特吗？所以呢，你可以畅所欲言，发表以下你的看法。 而我昨天发的这个视频，确实也是典型的一些客观性的因素。那我们今天来说一下二零二一年的高考的一些主观因素。那么我第一条就要说一个问题， 二零二一年的高考题真的特别难吗？是真的超纲了吗？我跟大家说没有，也就是说他真的没有超纲，尤其英语这个方向，他和我们平时练的题的难度是差不多的。 那为什么会出现一个这样的一个问题呢？你会发现啊，我们现在所有的高考题啊，他呢，和我们原来的高考方向呢，有一定的区别。我们原来的高考呢，只是考单纯的知识点。而现在的高考呢，很多家长都听过我们学老师说过一句话，这题不难，他是活。那你们知道这个活到底是什么意思吗？我跟大家说，这个活是什么？ 我们现在的高考题当中加入了极其强的心理学，现在的高考题啊，百分之七十是知识，百分之三十是心理学，这百分之三十的心理学决定了你百分之七十的知识是否能够发挥出来，尤其这次的物理题以及数学题， 大可体现了我们的人生的一个重大道理。舍得，有些题不是你的，你偏要要，你会发现那个分数你没得到，而你会的也没得到，这就是舍得，舍得，有舍才有得。所以一定要记住一个问题，就是现在高考的做题的过程当中，你需要学 学会在短时间内来够解决难题的这种能力，因为高考就是这么短的时间，最多就是两个半小时，你如何在这个短时间解决你的心态啊？这是国家选拔人才的一个重要标准吧，如果我给你一天考试都能打满分， 对吧？那短时间内你需要的是，当你碰到一个难题，我如何让我的心态快速平静下来，这是一种能力。现在高考啊，可不是单纯考知识了，心理能力， 还有我们的短时间内解决难题的能力，还在考察你的人生观，我们的大局观，他是一个综合了。所以你要明白，这次高考题不是难，尤其先说下英语，这次英语题当中的蜿蜒天空有两三道题呢，其实呢， 李老师做起来的时候都有感觉哎，那个选项挺迷惑性的，但是如果你可以通过我们的配比配平的方式， 五个 a、 五个 b， 五个 c， 五个 d 的这种方式来做的话，确实是能够选择出来的，而不是不能。也就是说，我们同学们做题的时候，千万记住，你别有强迫症，这题我做出来，我就必须得往死里硬做 完了，你当然会出现一个问题了，高考当中是故意的，他是专门故意会设置一些点，让你找不到方向的，所以同学们一定要明白，我们从现在开始，同学们这次高考已经过去了，不要管。为什么呢？高考只是你的一个起点，他不是终点， 我们要从这当中学到你的人生观、大局观。什么意思？碰到难题怎么去解决？这也是你以后社会当中所碰到的点。那么下期呢？于老师跟大家说一下啊！说一下关于二零二二年我们英语学科，别的学科你不要问我了，英语学科到底该怎么去复习？
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02:31查看AI文稿AI文稿都说今年的全国乙卷难，咱们来看一道天空压轴题，看看它难度到底如何。这 a 属于零到一，若这个函数在零到正无穷上单调递增，求 a 的取值范围。看到函数的单调性，我们应该想到利用求导的方式解决单调性， 所以咱们先对函数求导， f 撇 x 等于 a 的 x 次方乘以烂以 a 加上 一加 a 的 x 次方乘以烂音一加 a。 要想让原函数在零到正无穷上横增， 只需要导函数在零到正无穷上横大于等于零，所以我们要研究 f 撇这个函数的最小值，只需要最小值大于等于零即可。那么要想研究导数的最小值， 我们需要知道这个倒数的单调性，那么这个倒数的单调性该如何去研究？我们先把 x 的部分合在一起，两边同时除以一加 a 的 x 次方，因为一加 a 的 x 次方永远是一个正数，所以这个不等号的方向是不需要改变的， 变完之后就变成了 a 比上一加 a 的 x 次方乘以滥引 a， 再加上滥引，一加 a 大于等于零，我们不妨把它设成一个新函数 j x 来看。这个函数 a 比上一加 a 是在零到一之间的一个数， 零到一之间的一个数作为底数，对应的指数函数就是一个单调递减的函数乘以烂以 a。 注意， a 是在零到一之间，所以烂以 a 是一， 一个负数，单调递减的函数乘以一个负数，就是单调递增。所以 j x 单调性咱们就知道了，是一个增函数，那么 j x 就应该大于 j 零， 而 j x 又要大于等于零，所以只需要让 j 零大于等于零即可把零带入这一部分是一，所以就得到了烂音 a 加上烂音 一加 a 大于等于零，整理一下变成烂印。 a 方加 a 大于等于零，也就是 a 方加 a 大于等于一解这个不等式，最后就得到了 a 大于等于二分之根号五减一小于一。全国以卷的天空压轴体难度到底如何自己来评判。
5222数学赵观察&高中号
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07:07查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路这是一道改编自二零二一年全国已捐理科第二十一题的圆锥曲线大题，想冲一百三十分，这题咱们必须拿下。 这题最容易踩坑的地方就是第二问。算面积的时候，很多同学一上来就设直线连力，结果硬算到底，直接崩溃。咱们先按部就班把第一问搞定，第二问再用切点弦的技巧降维打击。题目是这样的，已知抛物线 c 方程是 x 的 平方等于四 p y， 其中 p 大 于零，焦点为 f。 已知点 f 到圆 m 方程是 x 的 平方，加上括号 y 加八的平方等于四，上点的距离的最小值为八。第一问，求 p， 第二问，点 p 在 圆 m 上过点 p 做抛物线 c 的 两条切线 pi 和 pb， 其中 a 和 b 为切点。求三角形 pi b 面积的最大值。 section separator paragraph 二、 q 一 咱们先来看第一问，这里到底是在找上界还是找下界？题目说距离的最小值为八，这是一个非常明确的条件。我们先要把焦点 f 和圆 m 的 特征找出来。抛物线 x 的 平方等于四 p y， 它的焦点 f 的 坐标很容易写出来，就是零，逗号 p。 再来看圆 m， 方程是 x 的 平方，加上括号 y 加八的平方等于四，所以原心 m 的 坐标是零，逗号负八，半径 r 等于二。 接下来我们要做什么？为什么我们要利用点到圆上点的距离最值性质，一个点到圆上点的最小距离就等于这个点到圆心的距离，减去圆的半径。具体怎么做呢？ 我们算一下交点 f 到圆心 m 的 距离，两个点都在 y 轴上，所以距离就是 p 减去负八的绝对值，也就是 p 加八的绝对值。因为题目说 p 大 于零，所以 p 加八必定是正数，不用加绝对值了。那么最小距离就是 p 加八，必定是正数，不用加绝对值了。题目告诉我们这个最小值等于八，所以 p 加六等于八。 接下来解这个方程，解得 p 等于二。第一问，咱们就轻松拿下了抛物线方程就是 x 的 平方等于八 y。 接下来咱们看第二问。 很多同学在这里会犯错，一看到两条切线，马上设切线方程去和抛物线连立，算得头昏脑胀。这里有个非常重要的技巧，遇到抛物线 y 的 点，引两条切线，咱们直接用切点弦方程来降维打击。 咱们先设点 p 的 坐标为 x 零，逗号 y， 零加八的平方等于四。 再设两个切点点 a 的 坐标为 x 一， 逗号 y 一 点 b 的 坐标为 x 二，逗号 y 二。接下来我们要做什么？为什么我们要找切点弦 ab 的 直线方程，因为有了它才能算三角形的底和高。 具体怎么做？对抛物线 x 的 平方等于八 y， 求导把它写成 y 等于八分之一乘以 x 一。 切线 pa 的 方程就可以写成 y 减 y 一 等于四分之 x 一， 乘以括号 x 减 x 一。 我们把等式两边同乘四，再把 x 一 的平方等于八倍的 y 一 这个条件带入进去。化简。得到了什么？咱们得到切线 p a 的 方程是 x 一 乘以 x 等于四倍的括号 y 加 y 一。 同理，切线 p b 的 方程就是 x 二，乘以 x 等于四倍的括号 y 加 y 二。 注意这里，因为点 p 在 切线 p a 和 p b 上，所以把 p 点坐标 x 零等于四倍的括号 y 零加 y 二。 你看点 a 和点 b 的 坐标都满足同一个方程，也就是 x 零乘以 x 等于四倍的括号 y 加 y 零。这就是咱们大名鼎鼎的切点弦 a、 b 的 方程。有了直线 a、 b 的 方程，接下来我们要算三角形 p a、 b 的 面积，为什么这么做？因为面积等于二分之一倍的弦长， a、 b 乘以点 p 到直线 a、 b 的 距离 d。 具体怎么做呢？咱们先把直线 a、 b 的 方程画成一般式，把右边移到左边，就是 x 零乘以 x 减四， y 减四倍的 y 零等于零， 点 p 到直线 a、 b 的 距离 d。 根据点到直线距离公式，分子是把点 p 坐标带入方程，就是 x 零的平方，减四倍的 y 零，减四倍的 y 零的绝对值合并一下，就是 x 零的平方，减八倍的 y 零的绝对值。分母是根号下 x 零的平方加负四的平方，也就是根号下 x 零的平方加十六。 因为点 p 在 圆上，圆心在 y 轴负半轴， y 零肯定是个负数， x 零的平方是非负数，所以分子绝对值里面的数一定是正的。直接去掉绝对值距离 d， 就 等于分子 x 零的平方，减八倍的 y 零除以分母根号下 x 零的平方加十六。 接下来算弦长 a、 b。 我 们要把直线 a、 b 和抛物线连立，把直线 x 零乘以 x 等于四倍的括号 y 加 y 零和抛物线 x 的 平方等于八。 y 连立， 把四 y 替换成二分之一倍的 x 的 平方，带入直线。方程整理后得到了什么？得到 x 的 平方减两倍的 x 零乘以 x 加八倍的 y 零等于零。根据维达定律， x 一 加 x 二等于两倍的 x 零。 x 一 乘以 x 二等于八倍的 y 零。斜长 a、 b 的 公式是，根号下一加斜率 k 的 平方乘以绝对值 x 一 减 x 二。 直线 ab 的 斜率 k 是 四分之 x 零。咱们把维达定律带进去，算出来，弦长 ab 等于二分之一倍的根号下 x 零的平方加十六，再乘以根号下 x 零的平方减八倍的 y 零。这不很关键， 咱们把面积 s 拼起来， s 等于二分之一，乘以距离 d 乘以弦长 ab。 你 仔细看，距离 d 的 分母里有个根号下 x 零的平方加十六，弦长 ab 的 外面也有个一模一样的像，两者直接约掉了。 最后得到了什么？面积 s 等于四分之一倍的括号 x 零的平方减八倍的 y 零。整体的二分之三次方。你看繁杂的式子瞬间变得无比清爽。那最后我们要求面积的最大值，其实就是求里面这个关于 x 零和 y 零的式子的最大值。 怎么求？回到题目，点 p 在 圆上满足 x 零的平方加括号 y 零加八的平方等于四。咱们把 x 零的平方用 y 表示出来， x 零的平方等于四，减去括号 y 零加八的平方， 把它带入面积里的底数，展开括号，移项，合并同类项。得到了什么？得到一个关于 y 零的二次函数，负的 y 零的平方减二十，四倍的 y 零减六十，配方一下，提取符号就是负的括号 y 零加十二的平方加八十四。这里到底是在找上届还是找下届， 我们要看 y 零的取值范围。点 p 在 圆心为零，逗号负八，半径为二的圆上，所以它的纵坐标 y 零的范围是从负十到负六。二次函数的对称轴是 y 零等于负十二，在负十到负六这个区间上，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大。 所以当 y 零取最接近对称轴的值，也就是最小值负十的时候，里面这个二次函数取得最大值。把 y 零等于负十带进去，算出来最大值是八十，所以面积 s 的 最大值就是四分之一，乘以八十的二分之三次方 八十等于十六乘以五开平方是四倍的根号五，再三次方就是三百二十倍的根号五。最后除以四，算出来面积的最大值是八十倍的根号五。 这道题的最终答案，第一问 p 等于二，第二问面积最大值是八十倍的根号五。咱们总结一下，遇到抛物线双切线问题，千万不要傻傻的去设切线连力，直接记出切点弦方程距离和弦长里的复杂根号一定会神奇的约掉，最后划归为圆上一点的最值问题。 记住这个判断标准，双切线找切点弦面积最值，找圆上纵坐标。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下，最后留一道同类思考题给大家。 已知抛物线 x 的 平方等于四， y 点 p 在 圆 x 的 平方加括号 y 加四的平方等于一。上过点 p 做抛物线的两条切线，切点分别是 a 和 b。 求三角形 p， a， b 面积的最小值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
46杨老师数学提分
10:02查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路这是改编自二零二二年全国已捐理科第二十一题的压轴导数大题，很多同学会在这里误判， 想冲一百三十分，这道压轴大题里的关键问，必须拿下它真正考的不是让你去硬算复杂的极值，而是极值点偏移里的比值代换技巧。咱们来读一下题。已知函数小 f 括号 x 等于 e 的 x 次方减去 a 乘以 x 的 平方，其中 a 为实数。第一问，讨论函数小 f 括号 x 的 正零点个数。 第二问，若小 f 括号 x 有 两个不同的正零点， x 一 和 x 二，证明 x 一 乘以 x 二小于四。咱们的大方向很明确，第一问，先用参变分离法找零点。第二问，再用比值代换，把双变量变成单变量去证明。 咱们先看第一问，讨论正零点个数。遇到零点问题，这里有个非常重要的技巧，能分离参数就一定要分离参数。 题目要求正零点，说明 x 是 大于零的，小 f 括号 x 等于零，也就是 e 的 x 次方减去 a 乘以 x 的 平方等于零。因为 x 大 于零，所以 x 的 平方肯定不等于零。咱们把含 a 的 项移到等号右边，就是 e 的 x 次方等于 a 乘以 x 的 平方，我们就得到了 a 等于 x 的 平方，分之 e 的 x 次方。你看参数 a 是 不是就孤立出来了？ 接下来我们要做什么？为什么呢？我们要构造一个新的函数，通过研究新函数的图像来判断它和水平直线 y 等于 a 有 几个交点，具体怎么做？我们令小 g 括号 x 等于 x 的 平方分之 e 的 x 次方。定义域是 x 大 于零。接下来求导 小 g 括号 x 的 导数怎么求？用商的求导法则，分母是原分母，也就是 x 的 四次方。分子是分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数。 具体展开就是 e 的 x 次方的导数，还是 e 的 x 次方乘以分母 x 的 平方减去分子 e 的 x 次方乘以分母的导数。二倍的 x 得到了什么？分子提取共因式， e 的 x 次方乘以 x 括号里面剩下 x 减二，分母还是 x 的 四次方。 分子分母约掉一个 x， 最后小 g 括号 x 的 导数就等于 x 的 三次方，分之 e 的 x 次方乘以括号 x 减二。求完导，咱们要找单调区间了。因为 x 大 于零，所以分母 x 的 三次方和分子里的 e 的 x 次方都永远是正的，那导数的正负完全由括号里的 x 减二来决定。 当 x 在 零到二之间的时候， x 减二是小于零的，导数小于零，所以函数小 g 括号 x 在 这个区间单调递减。 当 x 大 于二的时候， x 减二大于零，倒数大于零，函数小 g 括号 x 单调递增。这说明什么？说明当 x 等于二的时候，函数取得极小值，我们把 x 等于二代入圆，函数极小值就是二的平方，分之 e 的 平方，也就是四分之 e 的 平方。 很多同学在这里会犯错，算完极值就直接写答案了。千万别急，咱们还得看看两岸的极限趋势，当 x 无限趋近于零的时候，分母趋近于零，分子趋近于一，所以整个函数值趋近于正无穷大。 当 x 趋近于正无穷大的时候，指数函数的增长速度远大于密函数，所以函数值也趋近于正无穷大。脑海里画一下，这个图像像一个打勾的形状，最低点在四分之一的平方。现在拿一根水平的直线 y 等于 a 去切这个图像，这里到底是在找上界还是找下界，其实是在看水平线和图像的相对位置。 如果 a 小 于四分之一的平方，直线在最低点下方没有交点，所以零点个数是零个。如果 a 等于四分之一的平方，直线刚好和最低点相切，只有一个交点，零点个数是一个。 如果 a 大 于四分之一的平方，直线穿过图像，有左右两个交点，零点个数就是两个。第一问咱们就完美拿下了。 接下来看第二问，已知有两个不同的证明点， x 一 和 x 二，要证明它们俩的乘积小于四。由第一问我们知道，这时候 a 必须大于四分之一的平方，而且 x 一 和 x 二是方程， a 等于 x 的 平方，分之 e 的 x 次方的两个根。 这种双变量问题，如果你一上来就硬算，基本就掉进出题人的坑里了。我们要想办法把双变量转化成单变量，这里有个非常重要的技巧，叫做对数化简。 我们把等式两边同时取自然对数。原来的等式是 x 一 的平方，分之 e 的 x 一 次方，等于 x 二的平方，分之 e 的 x 二次方。取对数之后，左边变成了 x 一， 减去二，乘以以 e 为底， x 一 的对数 右边变成了 x 二，减去二乘以以 e 为底 x 二的对数。接下来我们要做什么？为什么我们要把多项式和对数项分别放在等式两边，方便后续整体代换。 具体怎么做，我们把减去二乘以以 e 为底 x 一 的倍数移到右边，把 x 二移到左边。得到了什么？得到了 x 一 减去 x 二等于二倍的括号。以 e 为底 x 一 的倍数减去以 e 为底 x 二的倍数。 为了方便，我们不妨设 x 二大于 x 一 大于零。这时候我们引入一个比值变量 t， 令 t 等于 x 二除以 x 一。 因为 x 二大于 x 一， 所以 t 是 大于一的，那么 x 二就等于 t 乘以 x 一。 我们把这个关系代入刚才的等式里。左边 x 一 减去 x 二，就变成了 x 一 减去 t 乘以 x 一。 提取 x 一， 就是 x 一 乘以括号，一减 t 右边二倍的括号以 e 为底 x 一 的对数减去以 e 为底 x 二的对数。根据对数运算性质，它等于负的。二乘以以 e 为底 t 的 对数。 等式两边同时除以一减 t， 我 们就把 x 一 单独表示出来了。 x 一 等于一减 t 分 之负。二乘以以 e 为底 t 的 对数，分子分母同时变号，就等于 t 减一分之二乘以以 e 为底 t 的 对数。 既然 x 一 求出来了，那 x 二等于 t 乘以 x 一， 所以 x 二就等于 t 减一分之二倍的 t 乘以以 e 为底 t 的 对数。你看，原本复杂的两个变量，现在全都被我们用一个变量 t 乘以以 e 为底的对数。你看，原本复杂的两个变量，现在全都被我们用一个变量 t 乘以以 e 为底的微粒 题目让我们证明 x 一 乘以 x 二小于四。咱们把刚才求出来的 x 一 和 x 二乘起来看看。分子乘以分子是四倍的， t 乘以以 e 为底， t 的 对数的平方。分母乘以分母是 t 减一的完全平方。我们要证明这个分式小于四。 等式两边把四约掉。其实就是要证明 t 乘以以 e 为底， t 的 对数的平方除以 t 减一的完全平方小于一。 很多同学看到这里就懵了，分式怎么证明？这里有个非常重要的技巧，咱们把分母乘到右边去，因为 t 大 于一，所以 t 减一的完全平方肯定是正数，不等号方向不变。我们要正的就是 t 乘以以一为底， t 的 对数的平方小于 t 减一的完全平方。 接下来怎么处理这个平方呢？咱们给等式两边同时开正根号，左边开根号就是根号下 t 乘以以 e 为底 t 的 倍数，右边开根号就是 t 减一。所以我们只要证明根号下 t 乘以以 e 为底， t 的 倍数小于 t 减一。这道题就做出来了。 为了看着更直观，咱们换个圆令，根号下 t 等于 m， 因为 t 大 于一，所以 m 也是大于一的，那么 t 就 等于 m 的 平方，以 e 为底， t 的 倍数就变成了以 e 为底 m 的 平方的倍数。我们把指数二提到前面，也就是二倍的以 e 为底 m 的 倍数。 我们把 m 带进去，要证明的不等式就变成了 m 乘以二倍的以 e 为底， m 的 倍数小于 m 的 平方减一。 等式两边同时除以二倍的 m。 我 们要证的就是以 e 为底 m 的 对数小于二倍的 m 分 之 m 的 平方减一。 咱们把右边拆开，就是二分之 m 减去二倍的 m 分 之一。接下来我们要做什么？为什么我们要构造一个新函数来证明这个不等式？因为只要证明新函数在区间里永远小于零，原不等式自然就成立了。 具体怎么做，我们令大 h 括号 m 等于以 e 为底 m 的 对数减去二分之 m 加上二倍的 m 分 之一。定义域是 m 大 于一，只要证明大 h 括号 m 的 小于零就可以了。咱们来求导 大 h 括号 m 的 导数等于 m 分 之一，减去二分之一，减去二倍的 m 的 平方分之一。得到了什么？咱们通分一下，找公分母二倍的 m 的 平方。分子变成了二倍的 m 减去 m 的 平方减去一。 大家注意看，分子提个负号出来，里面正好是 m 的 平方减去二倍的 m 加上一，也就是 m 减一的完全平方， 所以导数就等于负的二倍的 m 的 平方分之 m 减一的完全平方。因为 m 大 于一，所以分子 m 减一的完全平方大于零，分母二倍的 m 的 平方也大于零，前面有个负号，所以整个导数是小于零的。这说明什么？说明大 h 括号 m 在 m 大 于一的区间里是单调递减的， 既然单调递减，那大 h 括号 m 肯定就小于它在 m 等于一处的值。我们把 m 等于一带进去算一下，以 e 为底一的对数是零，减去二分之一加上二分之一，刚好等于零。也就是说，大 h 括号 m 是 严格小于零的。这步很关键， 大 h 括号 m 小 于零，就说明咱们刚才一路推倒下来的不等式是成立的，倒推回去也就证明了 x 一 乘以 x 二确实小于四。第二问，咱们就彻底拿下了 这道题的最终答案。咱们梳理一下，第一问，当 a 小 于四分之一的平方时，没有正零点等于时有一个，大于时有两个。第二问，咱们也完美证明了这道题真正要防的是什么，是陷入双变量硬算的泥潭。 大家记住这个口诀，极值偏移找单调双根问题画比值，只要看到两个根，先把参数分离，再用比值代换，把两个变量变成一个变量，最后构造函数求导，答案自然就出来了。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数小 f 括号 x 等于 x， 减去 a 乘以以 e 为底 x 的 对数。 若小 f 括号 x 有 两个不同的正零点 x 一 和 x 二，且 x 一 加 x 二大于 m 倍的 a 横成，力求整数 m 的 最大值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
96杨老师通关数学
06:23查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以， 我就是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路，这是二零二二年全国已捐理科数学的一道压轴改编题。想冲一百三十分，这题第一问必须三分钟内拿下。第二问，要找准突破口。 这题最容易让人头疼的就是第二问的两个零点问题一上来就硬算，绝对会掉进出题人的坑里，咱们得先看清他其实是在考察导数的分类讨论和端点效应。 已知函数 f x 等于以 e 为底的自然对数 lo 括号一加三 x 加上三 a 乘以 x 乘以 e 的 负三 x 四方，其中 x 大 于负三分之一。 第一问，当 a 等于一时，求曲线 y 等于 f， x 在 点零逗号 f 处的切线方程。第二问，若函数 f x 在 区间负三分之一到零和零到正无穷内各恰有一个零点，求 a 的 取值范围。咱们先稳稳拿下第一问的切线，再用极值点去卡第二问的零点范围。 先来看第一问求切线方程。这里咱们要明确求切线方程只需要两个要素，切点坐标和切线斜率。 当 a 等于一时，咱们先把函数写出来， f x 等于 l， n， 括号一加三 x 加上三 x 乘以 e 的 负三 x 次方。 接下来算切点，把 x 等于零，代入函数 f， 零等于 l， n 一 加上零，结果就是零，所以切点坐标是零，逗号零，也就是圆点， 然后求斜率。这就需要对 f x 求导。很多同学在这里会犯错，特别是后面乘积的求导，一定要仔细，咱们一步一步来， l n 括号一加三 x 的 导数是分子为三，除以分母为一加三 x。 为什么是三呢？因为这是复合函数求导还要乘以内部一加三 x 的 导数三。 接着看后面三 x 乘以 e 的 负三 x 次方。这是两个函数相乘，得用乘法求导法则，前导后不导，加上前不导后导， 三 x 的 导数是三乘以 e 的 负三 x 次方，再加上三 x 乘以 e 的 负三 x 次方的导数。注意这里 e 的 负三 x 次方求导会多出来一个负三，所以后面变成减去九 x 乘以 e 的 负三 x 次方。 咱们把公因式提出来整理一下，就得到， f 括号 x 的 导数等于分子为三，除以分母为一加三 x， 再加上三乘以括号一减三 x 乘以 e 的 负三 x 次方。 接下来我们要算切线斜率，具体怎么做呢？把 x 等于零带入导数，前面这一块是三除以一就是三，后面这一块是三乘以一乘以一也是三，三加上三等于六，所以切线的斜率就是六， 有了切点零，逗号零有了斜率，六点斜式直接写出来， y 减零等于六，乘以括号 x 减零。最后化简得到切线方程就是 y 等于六 x。 第一问顺利拿下，咱们接着看最关键的第二问。 第二问要求函数在负三分之一到零和零到正无穷内各恰有一个零点。这里有个非常重要的技巧，大家观察一下。把 x 等于零代入原函数 f， 括号 x， 你 会发现 f 零刚好等于零，也就是说原点本身就是函数的一个零点。 题目要求在零的左右两边各有一个零点，加上原点，总共得有三个零点。那咱们怎么利用这个 f 零等于零呢？这时候必须要看函数在 x 等于零附近的单调性。咱们把刚才求出来的导数稍微变个形，把 a 加进去 f 括号 x 的 导数等于分子为三，除以分母为一加三 x 加上三 a 乘以括号一减三 x 乘以 e 的 负三 x 方，把 x 等于零带进去 f 括号 x 在 零处的导数就等于三加上三 a， 这里到底是在找上界还是找下界？这个三加上三 a 的 符号就是决定生死的分水岭。咱们来分情况讨论。如果三加上三 a 大 于等于零，也就是 a 大 于等于负一，这时候 f 括号 x 在 零处的导数大于等于零，函数在零附近是递增的。 既然 f 零等于零，那在零的右边函数值就会大于零，一路往上走，再也回不到 x 轴了。所以在零到正无穷这个区间里，根本就不会有零点，这就直接排除了 a 大 于等于负一的情况。你看，不等号方向一出来，选项就开始倒了，所以 a 必须小于负一。 那 a 小 于负一够不够支持题目条件呢？咱们得严谨的验证一下。当 a 小 于负一时， f 括号 x 在 零处的导数小于零，这意味着函数穿过原点时是往下走的，在零的右边一小段，函数值是负的。 可是大家注意看原函数，当 x 趋向于正无穷时， l n 括号一加三 x 趋向于正无穷，后面那一项趋向于零，所以整个函数最终是趋向于正无穷的。函数从零开始，先往下掉变成负的，最后又要跑到正无穷去，中间肯定得穿过一次 x 轴，这就保证了在零到正无穷内至少有一个零点。 同理，在零的左边，函数穿过圆点往下走，说明在零左边一小段函数值是正的。而当 x 趋向于负三分之一时， l n 括号一加三 x 趋向于负无穷。函数从正的调到负无穷，必然在负三分之一到零之间也至少有一个零点。 接下来我们要做什么？为什么我们要证明这两个区间里都只有恰好一个零点？也就是证明单调性不能反复横跳。具体怎么做呢？咱们把 f 括号 x 的 导数提取共因式三乘以 e 的 负三 x 四方括号里面剩下分子为 e 的 三 x 四方除以分母为一加三 x， 再加上 a， 乘以括号一减三 x。 咱们令括号里这一大坨为 g 括号 x。 对 g 括号 x 求导整理后得到 g 括号 x 的 导数等于分子为九 x 乘以 e 的 三 x 的 平方，减去三 a。 因为 a 小 于负一，所以减去三 a 是 个正数。大家仔细看前面那个分式，在 x 属于负三分之一到零时，它是负的，在 x 大 于零时，它是正的，它是单调递增的。这就说明 g 括号 x 的 导数也是单调递增的。这就意味着 g 括号 x 只有一个极值点，它是先减后增的。 既然既括号 x 先减后增，它就最多只有两个零点。这就决定了原函数的导数也是先正后负再正。所以我们推导出原函数 f 括号 x 的 走势是先递增再递减，最后再递增。这种 n 字形的走势，配合咱们刚才分析的端点极限值，完美保证了在这两个区间内各恰有一个零点， 所以我们最终得出 a 的 取值范围就是 a 小 于负一。最终答案， a 的 取值范围是负无穷到负一的开区间。这题真正值钱的地方不是算的多，而是先排掉不可能的选项。 看到要求零点个数，咱们先别盲目求导找极值，先看看特殊点。这道题的突破口就是发现原点本身是个零点，然后利用零处的导数符号，也就是端点处的单调性，直接卡出参数的范围。 以后遇到这种定点两边找零点的题，记住这个判断标准，定点导数定方向，极限趋势卡范围。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f 括号 x 等于 x， 减去 l， n 括号一加 x 减去 a 乘以 x 的 平方，其中 x 大 于负一， 若函数 f 括号 x 在 区间，负一到零和零到正无穷内各恰有一个零点，求 a 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
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08:30查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以， 我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！这是一道改编自二零二三年全国已捐理科第二十题的圆锥曲线大题。想冲一百三十五分以上的高分，这道题的第一问必须三分钟内拿下，第二问的庞大计算也得稳准狠。很多同学一上来读完题，连椭圆的焦点在哪条轴上都会看错，直接掉进出题人的坑里。咱们一起来看题。 已知椭圆 c 的 方程是 y 的 平方除以 a 的 平方加上 x 的 平方除以 b 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零， 椭圆的离心率为三分之，根号五，并且点 a， 坐标负四，逗号零。在椭圆 c 上。第一问求椭圆 c 的 方程，第二问过点，坐标负四，逗号六的直线与椭圆 c 交于 p q 两点，直线 a， p、 a、 q 与 y 轴分别交于 mn 两点，证明线段 mn 的 中点为定点。 咱们先排雷，拿下第一问的方程，再用一个非常巧妙的换元平移技巧，把第二问的庞大计算量瞬间化解。先来看第一问，求椭圆方程。注意，这里很多同学看到椭圆方程，习惯性觉得焦点在 x 轴上。 你看题目给的方程， y 的 平方下面是 a 的 平方， x 的 平方下面是 b 的 平方，而且题目明确说 a 大 于 b 大 于零，这说明什么？说明分母大的那个在 y 的 下面，长轴是在 y 轴上的，这个坑千万别踩。 接下来我们把已知条件用上，点 a， 坐标是负四，逗号零，它在椭圆上，我们直接把 x 等于负四， y 等于零带入方程。左边第一项分子是零，整个就是零。第二项分子是负四的平方， 所以十六除以 b 的 平方等于一，我们立刻得到 b 的 平方等于一，我们立刻大于零，所以 b 等于四。再来看离心率，离心率， e 等于 c， 除以 a 等于三分之根号五。我们把等式两边同时平方得到 c 的 平方除以 a 的 平方等于九分之五。 椭圆里有个核心关系式，大家肯定记得， a 的 平方等于 b 的 平方，加上 c 的 平方，我们把 c 的 平方移向得到 c 的 平方等于 a 的 平方减去 b 的 平方。 把刚才算出来的 b 的 平方等于十六，带进去 c 的 平方就等于 a 的 平方减去十六。现在把这个式子带入到刚才的离心率平方公式里，分子变成了 a 的 平方，减去十六，分母还是 a 的 平方，整个分式等于九分之五。接下来我们交叉相乘来解这个方程。 九乘以括号 a 的 平方减去十六等于五。乘以 a 的 平方。把左边展开，得到九倍的 a 的 平方减去一百四十四，等于五倍的 a 的 平方， 我们把右边的五倍 a 的 平方移到左边，九减五，剩下四倍的 a 的 平方，把左边的负一百四十四移到右边，变成正的一百四十四。 四倍的 a 的 平方等于一百四十四。两边同除以四，得到 a 的 平方等于三十六。到这里 a 的 平方和 b 的 平方都求出来了，所以椭圆 c 的 方程就是 y 的 平方除以三十六，加上 x 的 平方除以十六等于一。第一问顺利拿下， 接下来咱们看第二问，这步很关键，过点负四，逗号六的直线交妥源于 p q 两点。咱们先设直线 p q 的 方程，因为直线过定点，我们设它为点斜式。 y 等于 k， 乘以括号 x 加四，括号 y 再加六。设点 p 的 坐标是 x 一， 逗号 y， 点 q 的 坐标是 x 二，逗号 y 二。 题目说直线 a p 交 y 轴于点 m， 点 a 是 负四，逗号零，点 p 是 x 一， 逗号 y。 我 们写出直线 a p 的 方程， 斜率是 y 一 减零，除以 x 一 减负四。也就是 y 一 除以括号 x 一 加四。所以直线 a p 的 方程是 y 等于 y 一 除以括号 x 一 加四，然后再乘以括号 x 加四。 因为点 m 在 y 轴上，所以 x 等于零。把 x 等于零带进去，得到点 m 的 纵坐标 y 米等于四倍的 y 一 除以 x 一 加四。同理，点 n 的 纵坐标 y n 等于四倍的 y 二除以 x 二加四。 要证明线段 m n 的 中点是定点，咱们就得算 y m 加上 y n 到底是不是个常数。我们把这两个式子加起来，注意，点 p 在 直线 p q 上，所以 y 一 等于 k， 乘以括号 x 一 加四，再加六。 我们把这个 y 一 带进 y m 的 式子里，分子变成了四乘以中，括号 k 乘以括号 x 一 加四，再加六。 把四乘进去，分配一项。第一项是四 k 乘以括号 x 一 加四，除以分母的 x 一 加四，正好约掉了剩下四 k。 第二项是四乘六等于二十四，除以 x 一 加四，所以 y m 化简成了四 k 加上二十四，除以括号 x 一 加四。一模一样的道理， y n 化简成了四， k 加上二十四，除以括号 x 二加四。 把它们俩加起来， y m 加 y n 就 等于八。 k 加上二十四，乘以括号 x 一 加四分之一，加上 x 二加四分之一。括号里通个分，分母是括号 x 一 加四，乘以括号 x 二加四，分子是 x 一 加四，加上 x 二加四，也就是 x 一 加 x 二加八。 这里有个非常重要的技巧，很多同学看到这里，准备去连立直线和圆椭圆方程，硬算为达定理了。如果你真这么干，计算量会大到让你在考场上崩溃。 你看，咱们最后要算的式子里面全都是 x 加四这个整体，咱们为什么不令 t 等于 x 加四呢？这就是圆锥曲线里极其好用的平移换元法。 我们令 t 等于 x 加四，那么 x 就 等于 t 减四。把这个关系代入到第一问求出的椭圆方程里，圆方程是 y 的 平方除以三十六，加上 x 的 平方除以十六等于一。为了好算，两边同乘一百四十四，变成四倍的 y 的 平方加上九倍的 x 的 平方等于一百四十四。 现在把 x 换成 t 减四，方程变成四倍的 y 的 平方加上九，乘以括号 t 减四的平方等于一百四十四。把括号展开， t 减四的平方是 t 的 平方减八， t 加十六，外面乘个九，变成九倍的 t 的 平方减去七十二， t 加上一百四十四。 神奇的事情发生了，等式左边有个正的一百四十四，右边也有个一百四十四，直接抵消了。整理后得到一个非常干净的方程，九倍的平方减去七十二， t 加上四倍的 y 的 平方等于零。接下来把直线方程也换成 t， 原本是 y 等于 k， 乘以括号 x 加四再加六。因为 t 等于 x 加四，所以直线方程直接变成了 y 等于 k， t 加六。把这个 y 带入刚才干净的椭圆方程里，最后那一项四倍的 y 的 平方就变成了四，乘以括号 k， t 加六的平方。 我们把括号展开， k， t 加六的平方等于 k 的 平方， t 的 平方加上十二 k， t 加上三十六。外面再乘个四，变成四倍的 k 的 平方， t 的 平方加上四十八 k， t 加上一百四十四。现在我们合并同类项，把含有 t 的 平方的项放在一起，提取共音式，得到括号九，加上四倍的 k 的 平方乘以 t 的 平方。 把含有 t 的 项放在一起，得到括号四十八 k 减去七十二乘以 t， 最后加上常数项一百四十四等于零。现在我们对 t 用维达定律， t 一 加 t 二等于负的 a 分 之 b， 也就是一个分式，分子是七十二，减去四八 k， 分 母是九，加上四倍的 k 的 平方。 t 一 乘以 t 二等于 a 分 之 c， 分 式，分子是一百四十四，分母也是九，加上四倍的 k 的 平方。回到我们刚才求终点纵坐标的地方，我们需要算的是 t 一 分之一加上 t 二分之一，也就是通分后的 t 一 加 t 二除以 t 一 乘 t 二。 把刚才维达定律的结果带进来，两者的分母一模一样，直接约掉，就剩下了。分子除以一百四十四是二分之一四十八 k 除以一百四十四是三分之一 k， 所以结果是二分之一减去三分之一 k。 那 最后把这个结果带回 y m 加 y n 的 式子里， y m 加 y n 等于八 k， 加上二十四乘，以括号二分之一减去三分之一 k， 把二十四乘进去二十四乘二分之一等于十二，二十四乘负三分之一 k 等于负八 k。 你 看外面的八 k 和里面的负八 k 完美抵消，最终结果稳稳的等于十二。 y m 加 y n 等于十二，那终点的纵坐标就是十二，除以二等于六。 因为点 m 和点 n 都在 y 轴上，横坐标显然都是零，终点的横坐标也是零。这就证明了线段 m、 n 的 中点是一个定点，坐标是零，逗号六。 我们来总结一下，第一问求出的椭圆方程是 y 的 平方除以三十六，加 x 的 平方除以十六等于一。第二问证明了线段 m n 的 中点定点坐标是零，逗号六。解决这类定点问题，大家记住一句口诀，见到结构找同款。平移换元算得快， 只要式子里反复出现同一个整体，比如这里的 x 加四，直接把它换成新变量，能帮你省下至少一半的计算时间，还能完美避开计算错误。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知椭圆 c 的 方程为 x 的 平方除以四，加上 y 的 平方除以三等于一 点 a 的 坐标是负二，逗号零，过点坐标负二，逗号三的直线与椭圆交于 p q 两点，直线 a p， a q 与 y 轴分别交于 m、 n 两点。求线段 m n 的 中点坐标。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
70杨老师通关数学
