全国卷数学压轴题
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也以此讲纪念最后的甲卷数学压轴题。manim动画by——天使猫猫酱
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注1：二阶导非负是必要条件的具体证明为，令0<x<m时二阶导为负，则此区间的导数为负，函数值也为负
注2：准确地说，油门强度=加速度=二阶导。挂着倒挡踩油门则代表二阶导为负。
注3：2025年没有甲卷了，所以这道题是甲卷的最后一道压轴题了！
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2024年新一卷数学压轴详解：【24高考数学压轴精确结果——命题人可能都没找到的构造】
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2024年新二卷数学压轴详解：【水硕妹妹也想挑战下讲高考数学题!|会动的数学[天使猫猫酱]】
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本视频为2024年甲卷数学压轴详解。
#数学 #高中 #高考 #二次元 #cos](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/c40d820a6d7fc12e7f0661ad8a65bfef~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2106820800&x-signature=ME8cD2TSNnlp%2FAuJ6V0Fc518A5I%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=2026100820175585E1368B0C4DA2014B1B)
02:474068天使猫猫酱
25:06查看AI文稿AI文稿好，我们再看一下二零二二年全国高考已卷啊，二十一期，据说这道题也很难啊，这个考生反应啊，全国已卷出的也挺难啊，还有全国新高考遗卷啊，全国新高考遗卷我已经给同学们呃，讲了很多了啊，呃，基本就算讲完了啊， 那么今天呢，我们再看一下全国已卷啊，最后一道压轴听啊，呃，以致函数 fx 等于异味的 e 加 l 对出，加上 a s e 的负 s b e， 求 a 的意识，求取现 wif 在点名 f 零处的切线方式。疑问呢， 我们得到的结果是 y 等于二 x 啊，这个我就不给同学们说了啊，第二个，横着看，第二个，若函数 fx 在区间负一零， 开局间零到正不凶，开局间各下有一个零点七五 a 的取之范围。我们看这道题，我们应该怎么去思考这个问题啊？ 那么你想一想，这韩束 f 在什么样的情况下，他在这两个开区间内各有一个零点的？我们首先对着函数图像的我们来，我们有一个大致的分析啊，首先呢，我们注意到 f 零点零，对吧？把零带去之后啊，是 f 零点零， 那么 f 零点零的话呢，那么图像他是经过原点对吧？经过原点以后呢？那么在什么样的情况下，他在这个区间和这个区间各有一个零点呢？ 我们可以通过图像我们给他分析一下啊，我们看一下。那么而且 我们还看到当 x 趋向于正无穷的时候，这个函数 fx 应该是趋向于正无穷，这能看出来对吧？呃，这个是趋向于零了对吧？ x 除以 e 的 x 是 m， 当 x 趋向正无穷的时候，我们用罗格达法则，我们发现这个趋向于零，这个趋向于正无穷。 而且当 x 的趋向负一的时候啊，因为他的有一条间接线呢，是 x 应该很低啊，那个 x 必须得会大，对吧？定义是大于规尿。那么当 x 趋向又负一的时候，这个是趋向某一个长数， 那么这个是趋向于富不穷。你看这个图像呢，经过原点，当孩子去向正不穷的时候呢，他趋向正不穷，当孩子去向富一的时候，他趋向于富不穷。而且我们还想让这个函数图像 在这两个区间上啊，各有一个啊？焦点，那你想一想，这个图像你说应该怎么画？那么这个图像我们是不是只能是应该是这个样子，那对吧？啊？错，应该是这个样子， 趋向正无穷啊，对吧？虚向正无穷，咱们这个图像应该什么样？应该是大概应该是这个样， 然后呢，我们看，对吧？他的图像啊，大致的走向啊，应该这样，那么只有这样的时候呢，我们才得到什么呢？得到这个函数 fx 啊，在这两个开局界内啊，各有一个零点， 那么如果是这样的话，那么我们很容易看到。那么就说这个函数啊，在负一段 上应该有一个机制点啊，在零到征求上也应该有一个机制点，对吧？ 所以说呢，我们又猜想到什么问题呢？那就说这个函数的导函数，在负一人上应该有一个零点，在零到正无穷上也应该有一个零点啊，而且这是个电话零点。 因此呢，我们就围绕着这个函数的导函数啊，在什么样的情况下，在这两个区间上各有一个零点啊，从这个角度啊，我们来分析，然后我们对 a 进行讨论， 所以说呢，我们首先呢对函数 fx 呢，我们应该进行求导，对吧？那么求导以后呢，我们发现他是一加 x 分之一啊，再加上 a 在秤上啊 e 的负 x， 再解决 a 秤上 e 的负 x 密，然后呢，我们把它通下分啊，通下分之后呢，是 e 加上 f， 再秤上 e 的 x 密， 上面一个是啥？应该是 e 的 x 是 b， 再加上 a， 再乘上 a 减去 x 的胸框，对吧？由于呢分母是正的，是吧？ x 大于灰机嘛， 所以说呢，我们要想考察这个导函数，在这两个区间上各有一个零点，我们只要看分子啊，这个函数就可以了，我们在令啊， u x 等于 e 的 x， b 再加上 a， 秤上一减去 x 平方，那么在这个函数啊，这个函数，我们定的这个函数呢，就是说 你能不能观察得到这个函数啊，在这两个区间上各有一个零点，如果这个函数在这两个区间上，在这个区间上，或者是在这个圈如果没有零点的话，那么 所确定的这个 a 肯定是不适合 t 啊，我们可以得到这样的猜一下， 那么在力所能及的观察的范围内，你能不能看出啊， a 在什么样的范围内，这个函数在这个区间上，或者是在这个区间上他没有零点呢？你能不能观察出来呢？ 那么很显然你看，很显然，如果当 a 要是大于等于零的时候， x 在这个区间， s 在这个范围内的时候，那么他显然没有零点，这能不能看出来是吧？ 那么 x 在负一到零这个范围的时候，那么他呢显然是大于零，恒成力， 如果他要是没有零点的话，那也就是说呢，导航数是吧？应该是大于防避，所以说导航数大于， 那就说 f x 呢，那就说在负一到零这个区域上应该得到，对的，所以说呢， f x 啊，那就横小于 f 零，而 f 零恰好对联， 这说明啊， f s 在负一到零这个区间上不可能有零点，当有大电影的时候，所以说呢，那么 a 大电影呢？应该是 这是啊，第一种情况呢，我们观察得到啊这么一个结论，那么首先我们再看第二种情况， 那么第二种情况呢，肯定就得 a 就得小于零了，对吧？当 a 小于零的时候，我们能不能看出这个函数在这个区间上或者是这个区间上没有零点呢？ 如果大一小而零的话，大 s 在负一到零的范围内的时候，那么这个是个负的，这是个正点，一正一负相加，是吧？一正一负相加，这是有可能有了点，对吧？啊？有可能有了点，也可能没有点， 那么当然是在这个区间内的时候，那么这个呢，是有证有数，对吧？有证有数呢，那么现在也无法判断这个函数到底是有零点还是没有零点， 那么这个时候我们应该怎么办呢？我们应该呀，对于这个函数的增点性进行分析，这对吧？然后我们判断 s 在这两个区间当中的某类区间里，他有没有零点的问题，那么这个时候我们应该需要对这个函数求导，我们利用导数去分析一下， 那么取完枣之后呢，他是得这个，对吧？得这个呢？现在我们观察一下，观察一下，说这个函数啊， 呃，是导航，是不是他，那么当 a 小于零的时候，咱们这个导航是显然是单调递增，这能看出来，是吧？那么他要是单调递增的话，那么我们现在看，我们看哪个区间呢？我们可以看这个或者是这个，那么如果看这个区间的话，那么导航是单调， 那么这个导航数的职业应该小，把零带上之后，他应该小一，对吧？那么在在这个区域上导航数小一，那么小一呢，也可能小于零，所以说呢，这个导航数呢，在这个区域上可能是有证有负啊，那这样一来的话呢，那么呃，这个 这个函数呢，那时候在负一到零呢，可能有根点，对吧？那么我们再看看这个函这个区间，当 x 在零到正不穷这个范围内的时候，那就说 他不单到地灯了吗？我们就得到啥呢？我们就得到了，把零带下去之后呢，他正好得一，所以说把零带下去正好得一的话呢，那么当 s 大于零的时候，是吧？ 当 s 大于的时候，这是在 s 大于的情况下啊，那么 大龄情况下，那么这个倒函数是正的，这说明啥呢？说明啊，这是 us 啊，在零到真无形这个区间上，应该是改造金增啊， 所以说呢，那么 ux 啊，就应该是大于啊，幽灵，那么把幽灵带上之后，我发现他正好等于一加上 a 啊，一加上 a， 那么做到这一步呢，我们很明显看到，如果当这个 us 的最小值要是大的那个人的话，那么 这个和数是吧？在零到真无雄这个区间上也是没有零点，对，对吧？所以说啊，当一加上 a 大于等于零，是吧？记， 当 a 大于等于负一小于零的时候，因为在 a 小的情况下，这十号这个时候呢，他的宝函数应该是大于零等于零，对吧？ 所以说呢， f x， 嗯，在这个区间上，他应该看到底子，所以说呢， f x 那就大于 f 零， f 零的账号对人衡成立，所以说呀，当 a 啊，在这个范围内的时候， 那么也不满足条件，对吧？所以说呢，负一小于代理 a 小于这种情况，也应该把它舍掉。所以说呢，我们 经过分析讨论，我们发现啊，这个 a 有可能比负一小，那么这是第二种情况，我们再看一下第三种情况啊，第三种情况啊，当 a 小与负一的时候， 那么根据我们刚才的分析看，那么我们就考虑他的导函数，在负一人和领导政务权上各有一个零点啊，也就是说这个函数啊，各有一个零点， 我们是不是就可以得到这样一个结论呢？我们需要说明一下，当 a 小于负一的时候，那么这个倒函数显然是当 x 啊， 当 x 大于零的时候，那么这个导函数啊，显然是正，对吧？这个导函数正，那，所以说呢， 这个函数在零到正无穷这个区间上是单调递增的啊，又因为我们把它把零带去，把零带去之后呢，发现他等于是一加上 a， 当一小于负一的时候呢，那么这是比零小， 那么我们再带一个纸巾，我们带一个一进去啊，带了一进去之后，他正好等于一一呢，是比零大，你看，所以呃，存在 x 零在零到一，也就是零到正无形这个范围内的时候， 呃， us 零正好等于零啊，那么 us 零等于零呢，我们就得到啥呢？得到这个 x， 在 啊，零到 x 零这个范围内的时候，这个 ux 是小育人啊，也就是近 f 导数应该是小人啊。然后呢， x 在 x 零到正无穷这个范围内的时候，那么 ux 呢，应该是大一点啊，也就是记 他的导函数应该是大一点，所以 fx 在 零到 x 零这个范围内的时候，应该是单调递减，在 x 零到正中求这个区间的时候，是单调低温，对吧？呃，所以啊，这个 x f x， 那么根据这个图像看，又 fx 就说这个待到地点，那就说 f 零，对吧？应该是这个大于啊， f s 零，对吧？跟到地点吗？是吧？那么 f 零呢？正好可以零，是吧？记 f x 零是小于零，哎， 那么小于零的话呢？我们看，那就说明 fx 啊在零到 x 零这个范围内啊， 在零到 x 零这个范围内啊，是不可能有零点的，对吧？实际上这个 x 就是，呃，这个零，对吧？不可能有零点，那么我们再看，我们再验证一个问题，验证个啥呢？就说又因为 s 零没有变，那我们还验证谁呢？我们再找一下，就说是比 s 零大的，只是看看能不能找到这样一个点，对吧？找到这样一个点，那么我们看怎么去找这个点呢？我们可以通过极限的思想，实际上可以看出来，当 s 曲项正不行，是 s 曲项正不行， 但是呢，我们可以把这个点找到，这个怎么找？又因为用放错法，又因为 fx 等于 e 加上 x 啊，再加上 a 乘上 xe 到负 xb， 他显然应该是大于， 这个是不是比一小啊，对吧？这个比一小啊， x 除以一的 x 肯定是比一小了，他比一小呢？我称上一个 a， a 是个负的，对吧？所以说他， 他应该是大鱼，是不是应该大一盘这把放色，因为他比例小， 两边乘上 a， 他就应该是大于，然后呢，我利用他大于等于零，所以说我们可以得到 这个 x， 一加上 x 应该是大等于一的负 a 四 m， 所以说 x 应该是大等于一的负 a 四 m 再减去一，这个显然是比零小，他，对吧？他是不是比零小啊？ 啊？比零大，比零大，因为 a 是负的，他显然是比零大，这个是比零大，那么他比零大呢？我们实际上就是找不到什么的，所以说就有 i e 的负 s 密，再减去一，他肯定是大一点，所以说呀， f x 在，嗯，零到正无穷上有归一的零点， 对吧？所以说当一小学负一的时候，我们已经正处 fs 在零到正中学上有唯一的零点。现在我们在证明，当一小的负一的时候，在负一到零这个区域上， f 也只有唯一的零点啊，就可以了。 呃，刚才的证明说，当 x 大于负一小于零的时候，我们在证明是 fx 在这个区域上有为零点啊。当 x 大于负一小于零的时候呢？那么这个导还是 数还是单调第三，对吧？我们可以把它看看导人数，把这个负一代去啊。导完数负一代去之后呢？他应该是等于什么呢？等于一的负一四方，是吧？然后再加上二 a 是吧？ 再加上二位，那么一的负一的方加上二一啊，这个数显然是比零小啊，这个不用补数，因为 a 小就会移动，对吧？显然是比零小，那么我们再看， 再把这零带去啊，把零带去之后呢，他得一的零私密啊，可以一啊，这个是比较大，所以说啊，啊，存在微一，存在 s 一，在负一到零这个范围内，实则 这个导函数啊，因为导函数可以，所以说呢，这个导函数啊， 啊，这个档是吧？在，呃，在负一到 x 一这个范围内的成绩，他应该是为负，是吧？ 然后呢，在 x 一到零这个范围，应该是为正，所以说呢， ux 在 负一到 x 一这个范围内，应该是单的递减，在 x 一到零这个期间上，应该是单的递增啊，所以说呢，这个 ux 应该是小 玉幽灵，看，对吧？而幽灵呢，我们看，应该等于什么呢？把幽灵带下去，应该是等于是一加 a， 是吧，一加 a 呢，应该是比零小，哎， 所以说啊，那么当 us 小于幽灵哈，那么 use 啊，是 us 一小幽灵啊， us 一小幽灵，那就说明啥嘛，说明是 us 在这个区间上啊，不可能有零点，对吧？ 那我们再看这个啊，又因为又负一，把负一带去啊，把负一带去之后，他应该是等于一的，负一次命，他显然是比较大。 说一说，一定是存在 x 二啊，属于谁呢？属， 属于是负一到 x 一这个范围内，对吧？呃，负一到 x 一这个范围内，嗯，因为是负一大人嘛， s 一小人嘛，嗯，实得。 呃，十得啥呢？呃，十得 us 二半截这地方， 呃，所以啊， ux 啊，在负一到 x 一这个范围内，他应该是 啊，在 s 二反应不到 x 二的范围内，应该是为为证啊，为证。然后呢，是在 x 二啊，到零的 这块地应该是为酷啊，他图像啊，大概就是这样啊，你看啊是什么意思？就是这么个意思，哎，这是 uf 啊， 啊，这点呢，是 s 二啊，这个是 s 一啊，这个是零啊，出墙大卫这么个意思啊， 呃，那么我们再看，我们再看，呃，所以说呢，也就是说呀，导函数啊，在负一到 s 二的范围内，他应该是为证，对吧？ 然后呢倒函数在这个区间上是破解， 所以说 fx 呢，在数一啊，一直到哪，从从数一一直到 呃， s 二，他应该是单到第三，对吧？然后呢是 s 二到零，他应该是单到第三， 呃，所以说呢， f x 二应该是大于一个 f 零，对吧？ f m 四二 大于 f 零 f 零，这说明啊，说明啊， fl 在这个区间上不可能有零点，那么我们再验证一下，哎，就是这个 s 二是吧，这个就是 s 二， 那么 f x 二大于零呢？我们需要看大 s 趋向于负一的时候啊，这个函数 f 显然虚向于负重，但是我们找一点，这点怎么去找呢？我们就放作法，又因为 f x 啊，等于 加上 a 乘 f c e 的负 s d， 他应该是小于谁呢？他是小于，这个 他为什么小于？他在给我说明啥话呢？这个 x 乘上 e 的负 x 是密啊，我们在当 x 大于负一小二零的时候啊，他的最小值是负一，这个我们可以，嗯，驱动出来，他的最小值是负一的话呢， 那么 a 是负的，那说明他应该喜欢这个狮子啊，喜欢这个狮子，你可以求一下 s 乘以的负 s b 啊，他最小值负 e 啊，当 s 再负一个零这个范围内的时候，这样一来的话呢，那么我只要让他小月港里人就可以了， 小点名的话呢，我们起不来，那么这个 x， 那就是一加上 x 呢，应该是小于等于 e 呢？ ea 四 m 啊，然后呢，我们把一移过来，那就是那叫啥，那就是 x 小于一趟啊， 这是 f 小点它，那么这个时候啊， fe 的 ea 次密再减去一，它正好是小一点，而且呢，这个数呢，显然是比零要小 九，对吧，因为 ea 是负的，对吧，显而比例小，所以说呢，这样哈，我们就找到啥呢？找到啊，就说是另外一个点，嗯，他比零小，所以说 fs 呢，在负一到零这个区间上也有 v 的顶点啊。 哎，这就是刚才啊，我把这个题啊啊进行了这个解析和讲解。呃，我的整体思路是这样，就说，首先呢，我们先对这个韩式的图像进行分析， 主要是抓住他过远点的特点，然后呢，我们再考察这个图像啊，当孩子去向正无穷，说去向正无穷，当孩子去向复习说他去向富无穷， 而且又经过原点，而且呢，这个行业图像，而且在这两个区间上各有一个焦点，那么这个时候呢，我复习成啥呢？这个行是导函数，在复习和联合和领导政府群众应该各有 一个变号零点，所以说呢，我们对他进行求导，然后呢，我围绕这个导栏数，在负一道联合零道正无穷这个圈上有无零点这个问题啊，对 a 进行分离讨论 啊，这就是我对这道题的解析啊，当然这个题是不是还有其他题的办法，你比如说能不能令他本野人分离常数啊？分离常数看可不可以，或者是 呃构造这个双函数啊，然后做叉再进行考虑。你得说的六大白眼睛是吧？六大白眼睛之后呢？然后两边称上一点 s 四 b， 这样的话呢？构造双人处，因为这是 as 嘛，他是表示一条直线。嗯，通过这个角度看看看能不能呃把这个问题解决啊。嗯，这个我也没有进行探讨，希望听众和同学们。嗯，有时间的时候呢，自己再研究一下啊。我的讲解仅供同学们参考。好。
231伯麟数学
01:03查看AI文稿AI文稿同学，想请问一下你现在是高几了？高二，最近一次考试排名有吗？一百多名，最好的一次呢也是一百多名，最差的一次呢也是一百多名。哈哈哈哈，为啥都是一百多名？因为我只有高一上考过试。 去。学生都干嘛呀？在高一下开学之后就去做数学竞赛。那有没有参加过相关的比赛之类的呀？去年参加了全国高中数学联赛，考的不好。你说的不好大概是一个什么样的位置？省二等奖大概全剩一百二十多名。 啊，昨天高考结束了，就是有没有关注今年全国卷三的高考。是不是啊？就在网上看了些评论，说全国卷三让你走不出大海，你有看这套卷子吗？母亲？没有。 那我们今天可以请你来挑战一下，以你的最快速度完成全国卷三理科数学压轴题吗？可以，对你来说有难度吗？你感觉也许有吧，现在我们计时开始， 现在时间是停在三分三十秒这个位置，然后同学告诉我们他已经完成了，我们现在去找老师批改一下。
30.2万花花师界
06:05查看AI文稿AI文稿大家好，我们看全国讲卷的第二十一题，也就是压轴大题。函数 f x 等于 a x 减口 c x 的三次方分之 c x x 属于零到二分之派。 第一问，若 a 等于八，讨论 f x 的单调性。这道题应该是今年的压轴题里头第一问最难的。要讨论 f x 的单调性，此时 a 等于八，那么 f x， 它就等于八 x 减去考三 x 的三次方分之 six。 要讨论它的单调性， 我们就对 f x 求导，那 f e 撇 x， 它就等于八，减去对这个式子求导，那就是它的平方分值，也就是 cosinex 的六次方分值。它的岛乘它 sinex 的岛就是 cosinex， 再乘上它就是 cosinex 的四次方，然后再减去 他乘他的岛，考三亚 x 的三次方。这是一个复合函数，我们要对他求导，其实他是考三亚 x 整个的三次方，那对他 求导，它就是三倍的 cosine x 的平方，再乘上 cosine x 的岛，就是 food 的 sine x， 那么它 减去的是它，乘上它，也就是加上三倍的三角 x 的平方，乘口三角 x 的平方。 然后我们把口 c x 平方约掉，那它就等于八，减去 考三 x 的四次方分值，考三 x 的平方，再加上三倍的三 x 的平方。 然后我们把这个三一 x 的平方再用一减口三一 x 的平方替换，那么这个式子它就等于八，减去 cosine x 的四次方分之三，减去二倍的 cosine x 的平方。写成这样以后，为了计算方便，我们立 cosine x 的平方等于 t， 考三 x 的平方等于 t， t 属于零到一， 那么这个式子他就等于八，减去 t 平方分之三减二 t， 然后 再通分，就等于 t 平方，分之八 t 方加上二， t 再减三。 现在我们把导函数写成这样以后，我们要关注的是导函数的正负，因为导函数的正负决定了原函数的单调性，而这个分母 t 平方，它是个正数，所以它的正负取决于这个分子， 而这个分子它是一只开口向上的抛物线。当它等于零的时候，它和 x 轴的两个交点分别是 food 四分之三和二分之一，而 t 它在零一之间取值。 那么当 t 大于零小于二分之一的时候，导函数为负，圆函数单调递减。 当 t 大于二分之一小于一的时候，导函数为正，原函数单调递增。 但是我们要讨论的是 f x 在零到二分之派处的单调系，所以说我们要找到 t 所对应的 x 的范围。 那么当 t 在零到二分之一的时候，它对应的 x 在四分之派到二分之派。所以说 f x， 它在四分之派到二分之派处是单调递减的。那么当 t 在二分之一到一的时候，它对应的 x 在 零到四分之派。那也就是说 f x 在零到四分之派处是单调递增的。 这个地方非常容易出错，很多同学他可能就把零到二分之一对应成了零到四分之派，把二分之一到一对应成了四分之派到二分之派。 实际上口三 x， 它在零到二分之派是单调递减的，它的函数值越小，对应的自变量的值 反而越大。所以说 f x， 它在零到四分之派处单调递增。在四分之派到二分之派处单调递减。
1263远舟数学
20:20查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下二零二全国已卷的这个导数压轴题，这个第一问的话考察的是什么呀？是啊，在点处的切线方程，当然这个难点可能是啊求导，然后第二个就是最简单的这个切线方程的求法，对不对？我们在这里就不说了。 然后第二问呢，是 fx， 他在这个区间上各有一个零点，实际上就是告诉我们这个零点个数对不对，并且告诉的比较详细啊，然后让我们求参数 a 的取值范围， 所以这个考察的是一，我们需要分类讨论。第二个呢，考察的是取点的技巧，所以这个题如果想把这个 a 的范围求出来，实际上是比较简单的啊，就一开始我们可以先观察这个函数， 既然和零点有关，所以我们可以先猜这个特殊值对不对？发现呀，当 x 等于零的时候，这个函数啊， fx 恰好是零，那就说明这个零也是他的一个零点八，然后如果在这个区间上各有一个零点，那么此时的图像其实我我们是可以猜出来的啊，可以猜出来的就是首先他要过这个零， 然后啊，当 x 等于负一的时候，大家可以先用极限来估算一下啊，这个整个函数他是趋近于富无穷的，对不对？那么这个左边这个函数必然的走势应该是 这样的，中间呢，这个单调性有可能是这样单调啊，就我们可以不考虑，可以认为最简单的一种情形就是左边是这样， 然后右边呢啊，当 x 去进无穷大的时候，然后这个啊，函数要去进于无穷大，就是他必须要往上有这样的一个趋势，对不对？所以我们猜出这个图像这样的，然后那就说明在零 零处的这个导函数必须是一个负数吧。啊，所以我们可以第一步需要先干什么？先求导函数 啊，求这个导航入之前，其实我们可以把这个函数先整理一下啊，把它整理成什么样子呢？就是 lone x 加一， 然后加上 ex 次方，分子呢？是 ax 对不对？但这个定义呢，我们必须要跟上的，然后对这个函数求导，也就是 x 加一分之一啊，这个导函数啊，大家必须要熟练上 倒 a 减去上面的本身，然后下一步就通分，这些全部都是套路，对不对？好，所以通分之后是 ex 次方加上 a 倍的一减， x 平方啊，这个是我们倒完之后的一个啊，柿子，然后 f 片零啊，把这个带入之后呢，它恰好是 a 加一，然后啊，所以这个 f 片零，我们猜出这个图像之后啊，在零出的导航数是必须是个负数，所以我们可以猜出这个 a 的范围 最起码要小于等于一，对不对啊？这个是我们猜的啊，当然作为一个大题的我们不可以这样写，所以我们下面就需要分情况讨论，那这个分情况就是以负一为 分界点了，对不对啊？所以我们先让这个 f 撇零等于零，此时的话 a 等于负一， f 撇零等于零，意味着什么呀？意味着这个在零处是他的一个，嗯， 极致点，有可能是极致点，对不对？所以 a 等于负一的时候，我们可以研究这个函数的一个啊，单挑性， 然后 fpx 应该带入之后是什么呀？是 x 加一， ex 侧方，然后分子的话就是 ex 侧方 加 x 方减一，然后我们把上面啊设为一个 fyx， 比如说另 fyx 等于 ex 次方加 x 平方减一，然后呢？我们对这个函数求导，为什么呀？因为他是一个超越型的呀，所以 ex 方加 二 x， 然后这个柿子啊，这个柿子怎么样啊？这个丁玉的话是负一到正无穷，对不对？所以这个 fpx 他目前是一个单调递增的函数啊。刚才我们猜 a 要大小于等于负一，或者是 a 啊， 小于等于不知道，反正 a 要小于负一啊，这等号我们先暂时给它去掉啊， a 要小于负一，然后我们接下来 a 等于负一，其实就是举反例证明他不 啊，不符合条件就可以了，然后这个还是增，所以我们是不是需要带一下这个端点值呀？这这个端点值的话，我们可以带什么呢？可以带， 然后我们只需要研究负一到零或零到正无穷这一个区间是不就可以啊？假如说 们让 x 大于零，那所以这个 fei 撇 x 应该是大于 fei 撇零的，我们把零带入呢，是一对不对啊？说明这个 fei 撇 x 是一个大于零的数，那么这个函数就是一个单调递增的，所以 好 fax 应该是大于在零，我们把零带入呢，恰好是零，说明什么？说明这个 f 片 f 的是大于零的，所以原函数应该是一个单调递增的吧，所以 fx 应该大于 f 零。 刚才也说了啊，这个 f 零是等于零的，对不对？所以啊，在零到正无穷上 fx 大于零，那就说明啊，故他是不符合体意的，或者说他在零到正无穷上无零点 啊，他没有零点，那很明显就是不符合提议，那么 a 等于负一就是不符合条件的吧？这个是第一种情况，然后接下来呢，我们讨论第二种情况， 这个第二种情况我们可以先讨论 a 大于零的时候啊， a 大于零的时候，然后这个导函数呢，我们只需要把有效部分给他拉出来是不是就可以？所以我们令 hx 等于 ex 次方加上 a 的一千 x 方，然后呢，我们对这个函数进行求导 啊，这个导航数是减去二 ax 对不对啊？然后 a 大于零的时候，这一块他是一个负数啊，他是一个负数，那我们就讨论 x 属于负一到零的时候啊，所以我们 我们发现我们举反例的时候，其实只是讨论一个区间就可以了，没有必要同时讨论两个区间啊。当 x 属于负一到零的时候，我们推出 hprx 永远大于零， 那么 hhx 就是单增的对不对？那他是单增的话，就说明 hx 应该小于 h 零，把零带入啊，把零带入他是什么呀？这个是啊，这个是一加上一个 a， 然后，呃， 嗯，当然发现一家 a 是一个正数，那 hs 小一个正数，显然我们这样写就不合适，所以大家重新思考一下啊，我们把这个擦掉， a 大于零，我们到底是看导函数还是看原函数呢？所以其实这个题我们用的思想就是和这个鱼三要函数 结合的时候分类讨论，这个基本思想是一致的啊，我们可以同时观察原函数到函数，或者是他的二届到函数，需要同时考虑到底看谁，然后会出现一个横正还是横竖的情况，对不对？ 现在这个 a 大于零的时候，这个是正的，那，嗯，一键 x， 当 x 属于负一到零的时候，他是不是也是正的呀？所以仍然是讨论负一到零这个区间， 嗯，然后啊，我们推出 hx 永远大于零，对不对？ hx 大于零是不等价于 fpx 大于零呀？然后就说明 fx 是一个单调递增的一个函数，对不对？所以我们就推出 fx 应该是小于 a 啊， 应该是小于 f 零的啊， f 零也是零，对不对？说明什么？说明 fx 在负一到零五零点， 那这样的话是不也是不不合体意的呀？我们需要舍掉吧，因为人家题目要求是负一到零有一个零点，对不对啊？所以这个没有轻松的举出了反力。然后第三种情况是，当 a 大于负一小于 啊领的时候，这个时候我们还是需要思考啊，应该看的是 hx 这个圆函数，还是说看的是 hprx 这个导函数呢？啊，我们就考虑啊，随应该是横正或者是横竖的情况，对不对？ 然后这个 a 目前是个负数，那就说明这一块是个正的，所以我们只需要讨论 x 大于零的时候啊， x 大于零十， 然后我们推出 hpx 大于零，所以 hx 是单增，那么 hx 就大于 h 零吧啊？ h 零把这个零给他带入之后，大家看一下是多少啊？嗯，带入之后这个是一， 然后加上一个 a， 然后一加 a 是一个大于零的数，嗯，正是我们想要的。我们推出了 hx 大于零行成立，那不就意味着 hfprx 大于零行成立吗？ 所以 fx 在零到正无穷上也是一个单调递增的，对不对？所以 fx 就大于 f 零，嗯，所以那就意味着他在零到正无穷上也是没有零点的，所以这个是不是也是不合体意的呀？这个是第三种情况，所以前三种我们讨论起来还是比较简单的，对不对？ 所以接下来呢，最复杂的也也就是第四种啊，第四种呢，恰好是这个正确答案。 那这个当 a 小于负一的时候，我们看的是 hx 还是说 hpx 啊？大家思考一下啊，目前 a 是一个负数， 然后他是一个正的，并且是增后面这个一次函数，当哎，小于零的时候，他也是一个增，所以导函数是增的，对不对？导函数是增的，那就说明什么？说明他有可能会存 在一个零点吧，我们想画他的图图像，所以我们需要啊，求一下这个断点值啊。把这个 f 片负一给他带入这个负一呢，当然是可以带的，因为在这里他是有意义的，对不对？所以带入之后是一分之一 加上一个二 a， 那这个，嗯， a 是小于负一的，那么二 a 就小于负二，所以整个是一个负数吧。然后我们再带一个零啊，零是一个特殊职业，所以带了之后呢，是一啊大于零，那就说明 存在 x 零属于负一到零，然后使 h 撇 x 零等于零，所以我们就可以画出他这样的一个单调递增的一个图像吧。啊，这个是 x 零，所以我们就推出了什么？推出了，嗯， h x， 他应该在负一到 x 零，应该是减 x 零到正无穷，应该是增这样的一个图像，对不对？然后，嗯， 这个函数是导函数的有效部分，其实我们想画他的图像，要画他的图像，我们是不是需要知道他和 x 的轴到底有没有焦点？ 有一个，还有两个，对不对？所以怎么办？我们只能带端点值或特殊值来进行判断。所以接着我们带这个负一，把负一带入之后呢，是一分之一， 然后加零啊，所以此时他是一个正数啊，下一个我们带几呢？我们带零呀，因为零是特殊值，所以是一加上一个 a 啊，目前这个 个 a 加一是个负数，对不对？那说明他的图像是什么样的呀？是先减后增有负数呀， 啊，这个是负一，然后这个是 x 零，嗯，然后 x 零比零小，那就说明零大概是在这个位置，对不对啊？所以这样的话，嗯， 这个图像就出来了，但是啊，所以就存在 m 属于负一到 x 零，然后使 hm 等于零，也就是说 这边有一个零点，对不对？右边我们也要说他有一个零，零点啊，所以呢啊，怎么办？我们还取一个，还需要取一个数十， hx 是不是大于零？所以这个时候其实我们可以 直接带特殊纸就行啊。所以这个 h 一为什么带一？因为让它为零，这样的话 a 就可以消失嘛，所以把一带入之后呢？它是一大于零，所以就存在 n 属于 x 零，或者是从零开始也可以的啊，属于零到 一，然后使 hn 等于零，也就是说这个是 n， 对不对啊？所以我们就可以推出 ff 的一个图像，它具有这样的一个单单调性，负一到 m 应该是增， m 到 n 应该是减， n 到正穷是增，是不是就验证了我们一开始啊，就是推出的那个图像呀？啊，它是一个先增后减再增的一个图像， 这个点呢，恰好是零点，对不对啊？所以最后一步我们就剩取点了吧。啊？取点来证明什么？来证明他在这个飞到零确实是有一个零点 x 一的， 然后在零到正无穷确实是有一个零点 x 二的，是不是就可以了？所以下面考察的是取点技巧，当然前面这个计算量其实都 目前还不是特别大，对不对？可毕竟考试时间有限，大家其实可以用极限来代替啊，最多扣几分啊？扣几分，然后接下来我们用取点的做法来解决，那所以在这个左侧的话，我们需要取一个点，对不对 啊？左侧我们把这个 ff 先给他抄一下啊，这个解析室他应该是什么呀？ 看一下这个题目啊，解释应该是 lone x 加一，然后加上 e 的 x， 次方分子呢？是 ax。 然后前面这个取点技巧我们也讲了啊，也讲了，嗯， 然后我们先用这个极限来估算一下对不对？好，所以我们先换一个颜色啊， 啊，用极下来估算一下，就当 x 去进于负一的时候 啊， x 去进于负一的时候，然后这一块他应该去进于负的无穷大的，对不对？这个是负的无穷大，然后那这一块他是去进多少呀？这个是负一除以一的，负一次方 相当于乘以一，也就是 a 啊，负的 ae， 嗯，他就是一个很无关紧要的数啊，我们啊，他是一个小于啊，大于零还是小于零？ x 是个负数，所以它是一个大于零的，相当于按照我们前面讲的就是一个墙头草，无关紧要，但是呢，它又含有变量， x 有参数，对不对啊？这样呢，我们把它称之为是墙头草 啊。然后，嗯，那整个的极限是不趋于富的无穷大，所以他是我们的友军，这个呢，是墙头草，无关紧要，所以下一步啊，这个墙头草呢，和我们的目标是 符号是不一致的，所以我们下一步的目标就很明确，我们要把墙头草进行限定范围放缩，那这个范围 x 应该是大于负一，小于零的，并且我们希望出现的这个方向是应该是小于一个数，对不对啊？所以他小于多少？大家思考一下， 限定范围放松，我们肯定是利用单调性进行放松的。然后那这个函数单调性呢？它其实是八大超越函数里面其中一个吧，我们看 x 处一 x 方，我们写这一块，他的一个图像， 大家必须要做到随手画这个图像啊，经过零零，当 s 去进无熊大的时候，他去去进于零，所以 图像是这样的，然后这个极致点是一不熟练，大家可以求一下倒。所以啊，当 x 大于附于小于零的时候，他其实是一个单增的，但是乘以 a 之后， a 是个负数，对不对？所以他 他就变成一个单调递减的函数了，所以他小于多少？我们应该是把谁给带入呢？应该是把负一还是零啊？应该是负一 啊，因为负一的时候他是取得最大值的，所以就是 lone x 加一，然后加上一个把负一带入， 也就是减去 a 乘 e e， 然后我们让它为零，是不就可以得出这个 ax 值了，所以 x 呢，就是 e 的 ae 次方减一啊，所以我们取到了一个点呀，使这个 fx 这个这个东西小于零，左侧是不是取到一个点了？右侧啊，我们接着取右侧，那就按照同样的方法，先把这个函数写出来，然后呢， 用极限进行估算啊，进行估算，当 x 去进无穷大的时候，那这个也是无穷大呀， 这个应该近似为零，对不对？但是它是一个小于零的墙头草， 所以我们仍然限定范围放缩，这个限定范围的话，我们限制 x 大于一，因为这个时候这个函数是具有单调性的， 刚才一样，他是一个单调的减的函数，对不对？所以，嗯，我们希望出现的这个不等号方向应该是一个大于号，因为我们希望他大于零嘛，所以他应该大于多少呢？大家思考一下 啊。抱歉啊，这个单挑性，我说错了，这单挑性，呃，在一到正无穷上，如果不加，哎， 开始单减，但是加一之后变成单增的了，所以，那啊，所以就是大于 learn x 加一把一是不是带入就行，所以就是 a b e 让它为零，所以我们可以解除这个 a 的一个曲值 x 啊， x 的一个曲值啊，它就等于 e 的 负一分之 a 次方减一，那么右侧我们是不是也取到一个点，使他大于零呀？所以我们就得出，由零点存在硬丁里就可以得出，在我们取的这个点 和零之间有一个零点 x 一，然后在零和这个我们取的这个点之间啊，存在一个零点 x 二，那么这个题目就证明完了，对不对？当 a 小于等于小于负一的时候才是符合的，前面的所有的情况 都是不符合的啊，这个题呢，其实难度还是比较大的啊，考察我们的基本功啊，考察基本功，所以近几年的导数呢，就是技巧性会弱化一些啊，大家必须把这个基本功给打扎实。好，今天内容我们就分享到这里，我们下期视频再见。
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