2022数学高考全国乙卷争议题
好，我们再看一下二零二二年全国高考已卷啊，二十一期，据说这道题也很难啊，这个考生反应啊，全国已卷出的也挺难啊，还有全国新高考遗卷啊，全国新高考遗卷我已经给同学们呃，讲了很多了啊，呃，基本就算讲完了啊， 那么今天呢，我们再看一下全国已卷啊，最后一道压轴听啊，呃，以致函数 fx 等于异味的 e 加 l 对出，加上 a s e 的负 s b e， 求 a 的意识，求取现 wif 在点名 f 零处的切线方式。疑问呢， 我们得到的结果是 y 等于二 x 啊，这个我就不给同学们说了啊，第二个，横着看，第二个，若函数 fx 在区间负一零， 开局间零到正不凶，开局间各下有一个零点七五 a 的取之范围。我们看这道题，我们应该怎么去思考这个问题啊？ 那么你想一想，这韩束 f 在什么样的情况下，他在这两个开区间内各有一个零点的？我们首先对着函数图像的我们来，我们有一个大致的分析啊，首先呢，我们注意到 f 零点零，对吧？把零带去之后啊，是 f 零点零， 那么 f 零点零的话呢，那么图像他是经过原点对吧？经过原点以后呢？那么在什么样的情况下，他在这个区间和这个区间各有一个零点呢？ 我们可以通过图像我们给他分析一下啊，我们看一下。那么而且 我们还看到当 x 趋向于正无穷的时候，这个函数 fx 应该是趋向于正无穷，这能看出来对吧？呃，这个是趋向于零了对吧？ x 除以 e 的 x 是 m， 当 x 趋向正无穷的时候，我们用罗格达法则，我们发现这个趋向于零，这个趋向于正无穷。 而且当 x 的趋向负一的时候啊，因为他的有一条间接线呢，是 x 应该很低啊，那个 x 必须得会大，对吧？定义是大于规尿。那么当 x 趋向又负一的时候，这个是趋向某一个长数， 那么这个是趋向于富不穷。你看这个图像呢，经过原点，当孩子去向正不穷的时候呢，他趋向正不穷，当孩子去向富一的时候，他趋向于富不穷。而且我们还想让这个函数图像 在这两个区间上啊，各有一个啊？焦点，那你想一想，这个图像你说应该怎么画？那么这个图像我们是不是只能是应该是这个样子，那对吧？啊？错，应该是这个样子， 趋向正无穷啊，对吧？虚向正无穷，咱们这个图像应该什么样？应该是大概应该是这个样， 然后呢，我们看，对吧？他的图像啊，大致的走向啊，应该这样，那么只有这样的时候呢，我们才得到什么呢？得到这个函数 fx 啊，在这两个开局界内啊，各有一个零点， 那么如果是这样的话，那么我们很容易看到。那么就说这个函数啊，在负一段 上应该有一个机制点啊，在零到征求上也应该有一个机制点，对吧？ 所以说呢，我们又猜想到什么问题呢？那就说这个函数的导函数，在负一人上应该有一个零点，在零到正无穷上也应该有一个零点啊，而且这是个电话零点。 因此呢，我们就围绕着这个函数的导函数啊，在什么样的情况下，在这两个区间上各有一个零点啊，从这个角度啊，我们来分析，然后我们对 a 进行讨论， 所以说呢，我们首先呢对函数 fx 呢，我们应该进行求导，对吧？那么求导以后呢，我们发现他是一加 x 分之一啊，再加上 a 在秤上啊 e 的负 x， 再解决 a 秤上 e 的负 x 密，然后呢，我们把它通下分啊，通下分之后呢，是 e 加上 f， 再秤上 e 的 x 密， 上面一个是啥？应该是 e 的 x 是 b， 再加上 a， 再乘上 a 减去 x 的胸框，对吧？由于呢分母是正的，是吧？ x 大于灰机嘛， 所以说呢，我们要想考察这个导函数，在这两个区间上各有一个零点，我们只要看分子啊，这个函数就可以了，我们在令啊， u x 等于 e 的 x， b 再加上 a， 秤上一减去 x 平方，那么在这个函数啊，这个函数，我们定的这个函数呢，就是说 你能不能观察得到这个函数啊，在这两个区间上各有一个零点，如果这个函数在这两个区间上，在这个区间上，或者是在这个圈如果没有零点的话，那么 所确定的这个 a 肯定是不适合 t 啊，我们可以得到这样的猜一下， 那么在力所能及的观察的范围内，你能不能看出啊， a 在什么样的范围内，这个函数在这个区间上，或者是在这个区间上他没有零点呢？你能不能观察出来呢？ 那么很显然你看，很显然，如果当 a 要是大于等于零的时候， x 在这个区间， s 在这个范围内的时候，那么他显然没有零点，这能不能看出来是吧？ 那么 x 在负一到零这个范围的时候，那么他呢显然是大于零，恒成力， 如果他要是没有零点的话，那也就是说呢，导航数是吧？应该是大于防避，所以说导航数大于， 那就说 f x 呢，那就说在负一到零这个区域上应该得到，对的，所以说呢， f x 啊，那就横小于 f 零，而 f 零恰好对联， 这说明啊， f s 在负一到零这个区间上不可能有零点，当有大电影的时候，所以说呢，那么 a 大电影呢？应该是 这是啊，第一种情况呢，我们观察得到啊这么一个结论，那么首先我们再看第二种情况， 那么第二种情况呢，肯定就得 a 就得小于零了，对吧？当 a 小于零的时候，我们能不能看出这个函数在这个区间上或者是这个区间上没有零点呢？ 如果大一小而零的话，大 s 在负一到零的范围内的时候，那么这个是个负的，这是个正点，一正一负相加，是吧？一正一负相加，这是有可能有了点，对吧？啊？有可能有了点，也可能没有点， 那么当然是在这个区间内的时候，那么这个呢，是有证有数，对吧？有证有数呢，那么现在也无法判断这个函数到底是有零点还是没有零点， 那么这个时候我们应该怎么办呢？我们应该呀，对于这个函数的增点性进行分析，这对吧？然后我们判断 s 在这两个区间当中的某类区间里，他有没有零点的问题，那么这个时候我们应该需要对这个函数求导，我们利用导数去分析一下， 那么取完枣之后呢，他是得这个，对吧？得这个呢？现在我们观察一下，观察一下，说这个函数啊， 呃，是导航，是不是他，那么当 a 小于零的时候，咱们这个导航是显然是单调递增，这能看出来，是吧？那么他要是单调递增的话，那么我们现在看，我们看哪个区间呢？我们可以看这个或者是这个，那么如果看这个区间的话，那么导航是单调， 那么这个导航数的职业应该小，把零带上之后，他应该小一，对吧？那么在在这个区域上导航数小一，那么小一呢，也可能小于零，所以说呢，这个导航数呢，在这个区域上可能是有证有负啊，那这样一来的话呢，那么呃，这个 这个函数呢，那时候在负一到零呢，可能有根点，对吧？那么我们再看看这个函这个区间，当 x 在零到正不穷这个范围内的时候，那就说 他不单到地灯了吗？我们就得到啥呢？我们就得到了，把零带下去之后呢，他正好得一，所以说把零带下去正好得一的话呢，那么当 s 大于零的时候，是吧？ 当 s 大于的时候，这是在 s 大于的情况下啊，那么 大龄情况下，那么这个倒函数是正的，这说明啥呢？说明啊，这是 us 啊，在零到真无形这个区间上，应该是改造金增啊， 所以说呢，那么 ux 啊，就应该是大于啊，幽灵，那么把幽灵带上之后，我发现他正好等于一加上 a 啊，一加上 a， 那么做到这一步呢，我们很明显看到，如果当这个 us 的最小值要是大的那个人的话，那么 这个和数是吧？在零到真无雄这个区间上也是没有零点，对，对吧？所以说啊，当一加上 a 大于等于零，是吧？记， 当 a 大于等于负一小于零的时候，因为在 a 小的情况下，这十号这个时候呢，他的宝函数应该是大于零等于零，对吧？ 所以说呢， f x， 嗯，在这个区间上，他应该看到底子，所以说呢， f x 那就大于 f 零， f 零的账号对人衡成立，所以说呀，当 a 啊，在这个范围内的时候， 那么也不满足条件，对吧？所以说呢，负一小于代理 a 小于这种情况，也应该把它舍掉。所以说呢，我们 经过分析讨论，我们发现啊，这个 a 有可能比负一小，那么这是第二种情况，我们再看一下第三种情况啊，第三种情况啊，当 a 小与负一的时候， 那么根据我们刚才的分析看，那么我们就考虑他的导函数，在负一人和领导政务权上各有一个零点啊，也就是说这个函数啊，各有一个零点， 我们是不是就可以得到这样一个结论呢？我们需要说明一下，当 a 小于负一的时候，那么这个倒函数显然是当 x 啊， 当 x 大于零的时候，那么这个导函数啊，显然是正，对吧？这个导函数正，那，所以说呢， 这个函数在零到正无穷这个区间上是单调递增的啊，又因为我们把它把零带去，把零带去之后呢，发现他等于是一加上 a， 当一小于负一的时候呢，那么这是比零小， 那么我们再带一个纸巾，我们带一个一进去啊，带了一进去之后，他正好等于一一呢，是比零大，你看，所以呃，存在 x 零在零到一，也就是零到正无形这个范围内的时候， 呃， us 零正好等于零啊，那么 us 零等于零呢，我们就得到啥呢？得到这个 x， 在 啊，零到 x 零这个范围内的时候，这个 ux 是小育人啊，也就是近 f 导数应该是小人啊。然后呢， x 在 x 零到正无穷这个范围内的时候，那么 ux 呢，应该是大一点啊，也就是记 他的导函数应该是大一点，所以 fx 在 零到 x 零这个范围内的时候，应该是单调递减，在 x 零到正中求这个区间的时候，是单调低温，对吧？呃，所以啊，这个 x f x， 那么根据这个图像看，又 fx 就说这个待到地点，那就说 f 零，对吧？应该是这个大于啊， f s 零，对吧？跟到地点吗？是吧？那么 f 零呢？正好可以零，是吧？记 f x 零是小于零，哎， 那么小于零的话呢？我们看，那就说明 fx 啊在零到 x 零这个范围内啊， 在零到 x 零这个范围内啊，是不可能有零点的，对吧？实际上这个 x 就是，呃，这个零，对吧？不可能有零点，那么我们再看，我们再验证一个问题，验证个啥呢？就说又因为 s 零没有变，那我们还验证谁呢？我们再找一下，就说是比 s 零大的，只是看看能不能找到这样一个点，对吧？找到这样一个点，那么我们看怎么去找这个点呢？我们可以通过极限的思想，实际上可以看出来，当 s 曲项正不行，是 s 曲项正不行， 但是呢，我们可以把这个点找到，这个怎么找？又因为用放错法，又因为 fx 等于 e 加上 x 啊，再加上 a 乘上 xe 到负 xb， 他显然应该是大于， 这个是不是比一小啊，对吧？这个比一小啊， x 除以一的 x 肯定是比一小了，他比一小呢？我称上一个 a， a 是个负的，对吧？所以说他， 他应该是大鱼，是不是应该大一盘这把放色，因为他比例小， 两边乘上 a， 他就应该是大于，然后呢，我利用他大于等于零，所以说我们可以得到 这个 x， 一加上 x 应该是大等于一的负 a 四 m， 所以说 x 应该是大等于一的负 a 四 m 再减去一，这个显然是比零小，他，对吧？他是不是比零小啊？ 啊？比零大，比零大，因为 a 是负的，他显然是比零大，这个是比零大，那么他比零大呢？我们实际上就是找不到什么的，所以说就有 i e 的负 s 密，再减去一，他肯定是大一点，所以说呀， f x 在，嗯，零到正无穷上有归一的零点， 对吧？所以说当一小学负一的时候，我们已经正处 fs 在零到正中学上有唯一的零点。现在我们在证明，当一小的负一的时候，在负一到零这个区域上， f 也只有唯一的零点啊，就可以了。 呃，刚才的证明说，当 x 大于负一小于零的时候，我们在证明是 fx 在这个区域上有为零点啊。当 x 大于负一小于零的时候呢？那么这个导还是 数还是单调第三，对吧？我们可以把它看看导人数，把这个负一代去啊。导完数负一代去之后呢？他应该是等于什么呢？等于一的负一四方，是吧？然后再加上二 a 是吧？ 再加上二位，那么一的负一的方加上二一啊，这个数显然是比零小啊，这个不用补数，因为 a 小就会移动，对吧？显然是比零小，那么我们再看， 再把这零带去啊，把零带去之后呢，他得一的零私密啊，可以一啊，这个是比较大，所以说啊，啊，存在微一，存在 s 一，在负一到零这个范围内，实则 这个导函数啊，因为导函数可以，所以说呢，这个导函数啊， 啊，这个档是吧？在，呃，在负一到 x 一这个范围内的成绩，他应该是为负，是吧？ 然后呢，在 x 一到零这个范围，应该是为正，所以说呢， ux 在 负一到 x 一这个范围内，应该是单的递减，在 x 一到零这个期间上，应该是单的递增啊，所以说呢，这个 ux 应该是小 玉幽灵，看，对吧？而幽灵呢，我们看，应该等于什么呢？把幽灵带下去，应该是等于是一加 a， 是吧，一加 a 呢，应该是比零小，哎， 所以说啊，那么当 us 小于幽灵哈，那么 use 啊，是 us 一小幽灵啊， us 一小幽灵，那就说明啥嘛，说明是 us 在这个区间上啊，不可能有零点，对吧？ 那我们再看这个啊，又因为又负一，把负一带去啊，把负一带去之后，他应该是等于一的，负一次命，他显然是比较大。 说一说，一定是存在 x 二啊，属于谁呢？属， 属于是负一到 x 一这个范围内，对吧？呃，负一到 x 一这个范围内，嗯，因为是负一大人嘛， s 一小人嘛，嗯，实得。 呃，十得啥呢？呃，十得 us 二半截这地方， 呃，所以啊， ux 啊，在负一到 x 一这个范围内，他应该是 啊，在 s 二反应不到 x 二的范围内，应该是为为证啊，为证。然后呢，是在 x 二啊，到零的 这块地应该是为酷啊，他图像啊，大概就是这样啊，你看啊是什么意思？就是这么个意思，哎，这是 uf 啊， 啊，这点呢，是 s 二啊，这个是 s 一啊，这个是零啊，出墙大卫这么个意思啊， 呃，那么我们再看，我们再看，呃，所以说呢，也就是说呀，导函数啊，在负一到 s 二的范围内，他应该是为证，对吧？ 然后呢倒函数在这个区间上是破解， 所以说 fx 呢，在数一啊，一直到哪，从从数一一直到 呃， s 二，他应该是单到第三，对吧？然后呢是 s 二到零，他应该是单到第三， 呃，所以说呢， f x 二应该是大于一个 f 零，对吧？ f m 四二 大于 f 零 f 零，这说明啊，说明啊， fl 在这个区间上不可能有零点，那么我们再验证一下，哎，就是这个 s 二是吧，这个就是 s 二， 那么 f x 二大于零呢？我们需要看大 s 趋向于负一的时候啊，这个函数 f 显然虚向于负重，但是我们找一点，这点怎么去找呢？我们就放作法，又因为 f x 啊，等于 加上 a 乘 f c e 的负 s d， 他应该是小于谁呢？他是小于，这个 他为什么小于？他在给我说明啥话呢？这个 x 乘上 e 的负 x 是密啊，我们在当 x 大于负一小二零的时候啊，他的最小值是负一，这个我们可以，嗯，驱动出来，他的最小值是负一的话呢， 那么 a 是负的，那说明他应该喜欢这个狮子啊，喜欢这个狮子，你可以求一下 s 乘以的负 s b 啊，他最小值负 e 啊，当 s 再负一个零这个范围内的时候，这样一来的话呢，那么我只要让他小月港里人就可以了， 小点名的话呢，我们起不来，那么这个 x， 那就是一加上 x 呢，应该是小于等于 e 呢？ ea 四 m 啊，然后呢，我们把一移过来，那就是那叫啥，那就是 x 小于一趟啊， 这是 f 小点它，那么这个时候啊， fe 的 ea 次密再减去一，它正好是小一点，而且呢，这个数呢，显然是比零要小 九，对吧，因为 ea 是负的，对吧，显而比例小，所以说呢，这样哈，我们就找到啥呢？找到啊，就说是另外一个点，嗯，他比零小，所以说 fs 呢，在负一到零这个区间上也有 v 的顶点啊。 哎，这就是刚才啊，我把这个题啊啊进行了这个解析和讲解。呃，我的整体思路是这样，就说，首先呢，我们先对这个韩式的图像进行分析， 主要是抓住他过远点的特点，然后呢，我们再考察这个图像啊，当孩子去向正无穷，说去向正无穷，当孩子去向复习说他去向富无穷， 而且又经过原点，而且呢，这个行业图像，而且在这两个区间上各有一个焦点，那么这个时候呢，我复习成啥呢？这个行是导函数，在复习和联合和领导政府群众应该各有 一个变号零点，所以说呢，我们对他进行求导，然后呢，我围绕这个导栏数，在负一道联合零道正无穷这个圈上有无零点这个问题啊，对 a 进行分离讨论 啊，这就是我对这道题的解析啊，当然这个题是不是还有其他题的办法，你比如说能不能令他本野人分离常数啊？分离常数看可不可以，或者是 呃构造这个双函数啊，然后做叉再进行考虑。你得说的六大白眼睛是吧？六大白眼睛之后呢？然后两边称上一点 s 四 b， 这样的话呢？构造双人处，因为这是 as 嘛，他是表示一条直线。嗯，通过这个角度看看看能不能呃把这个问题解决啊。嗯，这个我也没有进行探讨，希望听众和同学们。嗯，有时间的时候呢，自己再研究一下啊。我的讲解仅供同学们参考。好。
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06:06查看AI文稿AI文稿大家好，我是高中数学罗老师。在今年的高考数学真题中，出现了一个严重的命题失误，那就是一道选择题出现了两个正确答案。 那么这道题目出自哪里？为什么会有两个正确答案呢？今天我们就来看一下。 这是二零二二年全国已卷理科选择题的第十一题。已知双曲线 c 的两个焦点为 f 一 f 二，以 c 的十轴为直径的圆，即为 d。 过 f 一做 d 的切线与双曲线 c 交于 mn 两点，且扣三叫 f 一 nf 二等于五分之三。问双曲线 c 的离心率为多少？第一种情况 如图所示，过 f 一的直线交双曲线 c， 左右两支分别于 mn 两点，此时我们设切点为 p， 如图所示，连接 o p， 则 o p 垂直于 m n， 过点 f 二做 m n 的垂线交 m n 与点 q。 在直角三角形 f 一 o p 中， 线段 o p 的长度等于 a， 线段 o f 一的长度等于 c。 根据勾股定理，我们可以解得，线段 f 一 p 的长度就等于 b。 因为点 o 为线段 f 一 f 二的终点， o p 平行于 f 二 q， 所以 o p 是三角形 f 一 f 二 q 的中位线。由此我们可以得到， 线段 f 二 q 的长度就等于二 a， 线段 f 一 q 的长度就等于二 b。 在 r t 三角形 f r q n 中 后三角 f 二 nq 就等于五分之三，线段 f 二 q 的长度等于二 a。 由此我们可以解得，线段 qn 的长度就等于二分之三 a， 线段 nf 二的长度就等于二分之五 a， 所以线段 nf 一的长度就等于线段 nq 的长度。加上线， 线段 feq 的长度就等于二分之三 a 再加二 b， 因为点 n 是双曲线右直上一个点。根据双曲线的定义可知， 线段 nf 一的长度减去线段 nf 二的长度应该等于二 a， 也就意味着二分之三 a 加二 b 减去二分之五 a 等于二 a， 我们可以解得二 b 就等于三 a。 此时我们可以令 a 等于二 b 等于三，我们可以解得 c 就等于根号十三。这种情况下，离心率 e 就等于 cba 等于二分之根号十三。 刚才罗老师提到这道题有两个正确选项，那为什么还会有另外一种情况呢？我们来看一下图，如图所示，若过点 fe 的直线与双曲线的左支相交于 mn 两点，此时我们设 该直线与原地相切，点为点 p 连接 op， 则 op 垂直于直线 mn。 同时过点 f 二 做直线 mn 的垂线交直线 mn 与点 q 公里。在直角三角形 f 一 op 中，线段 op 的长度就等于 a， 线段 of 一的长度就等于 c。 我们可以解得线段 f ep 的长度就等于 b。 因为点 o 为线段 f 一 f 二的终点 o p 平行于 f 二 q， 所以线段 o p 为三角形 f 一 f 二 q 的中位线。由此我们可以解得 线段 f 一 q 的长度就等于二 b， 线段 f 二 q 的长度就等于二 a。 直角三角形 nf 二 q 中 houssini 叫 f 二 n q 就等于五分之三，线段 f 二 q 的长度就等于二 a。 由此我们可以解得线段 qn 的长度就等于二分之三 a。 线段 nf 二的长度就等于二分之五 a， 所以线段 nf 一的长度就等于线段 nq 的长度减去线段 feq 的长度就等于二分之三 a 再减去二 b。 因为点 n 为双曲线左支上一个点由双曲线图向上点的性质，可支 线段 nf 二的长度减去线段 nf 一的长度应该等于定制二 a， 也就意味着二分之五 a 减去小括号二分之三 a 减去二 b， 整体应该等于二 a 化减以后，我们可以得到 a 就等于二 b， 此时我们令 b 等于一， a 就等于二， c 就等于根号五。这种情况下，双曲线 c 的离心率为 e 就等于 cba 等于二分之根号五。所以这道题目的答案有 a 和 c 两个选项。
252高考数学罗老师
11:57查看AI文稿AI文稿二零二二全国语卷导述这个压轴题啊，这道题目的话呢，是一道变态的分类讨论题啊，让很多同学非常绝望啊，做完这道题很多同学充分能够认可啊，数学确实是上帝的语言，而你并非那个信徒是吧，那我们今天的话给大家化解这种绝望啊。 看这道题啊，第一道题，呃，这个第一问非常简单不说了啊。第二问是说这个函数的话呢，在负一到零，零到正无权上各自有一个零点啊，求 a 的这个取值范围好吧，呃那我们正常这种题的话呢，你 零点马上等于零啊，然后等于零，我们会想的是把这个一的负 s 方乘过来哈，就变成说一的 s 方乘以这个 lone 的这个 s 加一啊啊，他等于 a x 这样子一个情况， 这类似于餐面分离啊，当然你就不要把 s 再出过去， s 出过去非常非常费劲是吧，你不出过去其实这个都都不好研究哈啊，然后我们餐面分离这样去尝试完之后发现是极其难搞的啊，这个指数跟我们的对数纠缠对 在一起，非常的研究啊，行不通啊。所以我们这道棋并不是这个餐面分离啊，我们是研究这个原函数吧，那原函数那基本上就是讨论的吗？对吧？你要求导啊，我们把这个导师求一下，这是我们取完导师的一个情况啊，然后这道题的话，接下来就研究这个导航式的一个正负吗？哈决定的原函数的这个增减啊。 呃在研究之前的话呢，我们建议要先看下这个函数啊，大概是什么情况啊，就你要找他是这个零点对吧？你让他等于零哈，你要看一下有没有一些特殊的点，特殊的值啊，比如说你看他等于零， s 等于几，他会等于零呢？有没有呢啊？你要稍微看一看啊，因为 很多导师题我们都会有一些巧合在的啊，一些特殊的纸，比如说你会带谁吗？你看你定义遇负一道零，那么肯定会带这个 f 零啊， f 一啊，或者说 f 一啊这种的算一算是吧，像这道题的话，他实际上是有一个特殊的纸，就是 f 零啊，等等，上一个零也是他 过远点啊，哎，这个还是非常好的，再过这个远点，过这个远点的话呢，我们要找的是他在这个负一到零上，就还有一个零点在这啊，在这还有一个零点，好吧，就我们能不能把这个图稍微勾勒一下呢？其实上是可以的啊，比如说你看这个，他整个是由分子的正负啊，就决定整个式子的正负， 那么如果 s 是趋向一正无穷的时候，这一坨是正无穷吗？这个的话，不论 a 是正是负哈，他的只永远会比 es 肯定是要小一些，所以整个市值的未来的话，一定趋向一正无穷，对吧？这这个就是趋向一个正数啊， 所以再 s 去向于正无穷，他一定是个增函数啊，这这个 fx 啊，所以你的图像，你看你过远点，在这又有零点的话，那你要么是这种情况吗？要么你是这种情况吗？对吧？根据我们刚才的分析，只能是这样子的吗？你是真的吗？在 s 去向于正无穷的时候，所以我们就可以把这个图像大致画画出来啊，那负一道零怎么画呢？负一道零 是这样的啊，是根据函数这种，呃，顺畅性啊，平滑性，像这种函数他肯定是平滑的，他不会是那种突兀的出来，对吧？所以你看你这样子的话，这边你这边肯定是这样子的呀，对吧？就他不太可能是这种情况，明白吧？啊？这是当然，我们是大概画一下啊，至于说后来他具体怎么样，我们呃 随着分类讨论进行再去这个确定，好吧，所以这是我们大概的一个图像啊，可以对于我们的这个思路的分析啊，会有所这个帮助的啊，那么接下来可以讨论啊，讨论什么东西呢？首先主要这个地方有 a 哈，这个地方有 a， 其实 a 决定的这个开口朝向，你是不是要讨论一下 a 是正还是负，是吧？ 还有同学情况比较简单的，比如说你看这个地方啊，如果 s 负一到零，那这个就是正数，而如果 a 也是正数，整个分子就是正数，他可能就是约还是增了，对吧？我们可以先讨论下简单的啊，作为突破，所以我们先写一下啊，就 我们这种情况下的话，可以得到 f 是真的啊，那真的可不可以呢？啊？就是根据这个图，你看他这个 f 零点零，这个非常重要，对吧？那他如果是真就这样这个图像了，显得就没有里面，所以就不行了，对吧？ 其实我们的一个这种情况下，好吧。啊，那么我们还有一种，就是如果 a 等于零呢啊，那 a 等于零的话，其实这个地方就是零，那这个他永远就是增的了，你也可以用这种情况来排除他，是吧？所以 a 等于零，我们可以归纳的第一种情况来啊，那这就是第一种情况啊，然后我们再讨论的时候是第二种情况，是 a 小 a 零的时候，好吧， 哎，小林说我们要研究的是这个分母啊，这个就其实不是很好研究，我们的话呢，就是这个假设一个函数啊，就这个，对这个分子啊， 我们设为 gx 啊，我们来研究他哈，研究他的话呢，这个地方我们呃一般情况再去个岛，你感觉其实就是二阶岛，对吧？啊？一俩四方减去二 ax 啊，这个 二街道好不好研究呢？这个二街道 a 是副的哈，你看，如果说 s 是正的情况，他比较好研究，因为这样他就是大一点的。哎，他这个 gs 是个增函数，对吧？所以我们先研究这种情况啊，这种情况下就是 gs 是个增了哈， gs 是增的话呢，其实我们可以把 gs 图像画出来啊， 那 gs 是增，其实并不是我的目的，我的目的是要研究 gs 的正负，对吧？那他有些什么情况呢？哎，他是增，他增的话，他最小就是机灵的时候啊，如果机灵都大于零，那整个就 gs 大于零，他就那，那原函数就是个增函数，原函数增函数的话，你看是这个样子，显然是不行的，对不对？ 所以的话呢，我们说这个呃机灵啊，就机灵，你算出来机灵是否大于零，这个很关键啊，如果是他大于等于零的时候，也即使说的话呢，你看 a 的话呢，是这个大于等于这个负一啊，小于零的时候，那我们的 gs 到就会大于等于机灵吗？这个时候他就是个正能， gs 是大于零，零的话就是这个分母是分子，是大于这个等于零的，好吧，那这样的话呢， fpx 就会大于零， fp 的大零 fx 就是个增函数，增函数和刚才讲，你看你这样话是不行的，没有零点的，对吧？那所以的话呢，这个时候 fx 就会大于这个 f 零二， f 零等于零，你看又用到 f 零零零非常重要的一个条件啊， 所以 a 大于等于负一小，而你是不行的啊，但是我们在 a 小于是又细分了一个，你看为什么到这一步的哈，这个很重要这个思路啊，那我们接下来就做 a 小于负一的时候啊， a 小于负一的时候的话，我们可以把这个 gs 啊，就是你，呃，我们画一个这个适宜图啊，当然这个是一个草本上的啊，我就不再画草本上，我直接画到这里来了哈， 就我们画这个 gx gs， 大家看他是应该是这样子增函数吗？这是 gx 啊，这个时候的话呢，你会发现这个地方是一个机灵吗？哈？他是小一零的吗？啊？那他的话就会有一个是什么？你看这个 ga 就是先负后正，对于原数来讲的话，就是什么情况呢？ 啊？就是先减后增，对吧？其实就是这这样一个感觉啊，那我们就是现在的话要找到这个零点，好吧，这个零点的话，实际上来讲，由于这个 gs 当时含有 a 的嘛，时尚是不好找的，但是我们可以找他的范围啊，所以我们这个这个零点他 比零要大一点，我们再带一些纸哈，比如说比零大，你会带谁呢？我们带 g 一， g 一的话也算是一还是大一点的哈，所以大家看这里面其实会存在一个 s 一这个零点啊，所以我们就是说啊，会存在一个这个 x 一哈，它是属于谁的呢？属于零到一的啊，然后能够使得什么？能够使得 gx 一是等于零的， 那这样的话，大家看就是在这个 s 属于零到 x 一这一段来讲的话呢，哎，我们 gx 来讲就是一个附属啊， 那我们这样的话呢， fpx 就会是个复数啊，然后你就可以得到说 fx 就是一个简数啊，那我们同样的话呢，如果说 s 属于是 x 属于 s 一到这个正物群的时候，他就反过来是增函数了啊，其实就是在描述的图像是先这样子再这样子啊，你都可以把这个什么呢 x 一给他标上去啊，这就是 x 一了，其实 这是我们描述完图像了，我们还要这个叙述出来，说他在这个领导政务局上，哎，确实会有一个这个零点，好吧，那我们怎么去叙述这个事情呢？哎，那你在这一段他肯定是负的，所以你把这个这个地方 fs 一线算出来，他肯定小 f 零吗？这是个复制， 你再找一个正直哈，这这个地方你看是一个增函数吗？我们再找一个正的出来，根据零点存在定理，他就会有个零点啊，当然这个其实是不好找的啊，非常非常费功夫，所以我们就不再去找某一个值了，我们去找这个正无穷，当然是去年正无穷的时候，他属于 这个正无穷，就是这么一个叙述方式。好吧，我们接下来把这个过程写一下啊，大家可以看到这个图啊，就是 fx 一肯定是个副手啊，然后我们再写一个，就是当 s 区相于谁的呢？正无穷的时候啊， fx 的话呢，显然是驱寒于正物群的啊，这个的话呢，自己可以轻松的判判断一下啊，所以我们这个 fs 正出来的话，他在这个 s 一到正物群上一定会有一个零点。好吧，那我们接下来再研究这个负一到零啊，负一到零是最变态的啊。呃，因为负一到零的话，这个二一是个负的吗？ 沉到一起是正的啊，你看正数减正数，可正可负啊，他不像刚才那么简单，对吧？刚才的话，你看这个 gps 也是大一点的啊，这现在他有正有负了啊，所以这个时候怎么搞呢？比较复杂哈，我们的思路是这样子的，你要记清楚，就是我们需要先把它研究清楚 再去研究它啊，只要 gs 研究清楚了， fs 也研究清楚。好吧，所以你先研究它，不要乱掉了啊。这个其实就是二阶倒，而这个二阶倒的话，大家可以看得出来哈，你这个 a 是一个小 a 零的数啊。呃，这样的话呢，一的 s 方是个增函数，负二 ax 一次的嘛，啊，那也是个增函数嘛，因为 a 是负的嘛，所以这整个它是个增函数， 所以我们可以把这个 gps 画出来哈，当然这个草本上的分析哈，就是写过程不要写出来就可以了。我这里的话直接给你写出来了啊，他的话呢，你看他应该是一个这个增函数，增函数我们先这样随意画一下啊，比如说是这个样子啊， 那么我们也得研究这个东西的正负，再决定他的一个证件，好吧，所以的话他正负，你看这曾涵说啊，你还是负一到零，你肯定要算一下负一和零的值吗？对吧？当我们一算的话，发现这个基负一是这个，这个的话呢，二 a， 你 a 是小于一个负一的哈，所以这个他小于负二的吗？这个才二点多分之一吗？他这肯定肯定是小于零嘛，对吧？ 然后的话，我们这个机灵的话是一啊，是大于零的啊，所以的话呢，其实我们这里的话呢，你要把它画准确一点，还是这样一个感觉啊， 呃，注意哈，这个是 gps 哈， gps 是这种感觉哈， gps 的话呢，是增函数，然后有一段是负的，有一段是正的啊，那么我们 这个地方这个零点也很重要啊，所以我们给他这个假设出来，这个假设 x 二的话，好吧， x 二肯定是负一到零之间的哈，这样 gps 研究清楚了哈，我们画一个小横杠哈，断开来哈，要不然会乱掉啊，我们接下来的话呢，去研究这个，呃， gxgs 就是一个，什么情况？他就是一个吸烟 减后增的啊，然后你这个地方你看就是 x 二，明白吧？啊，我们 gps 先负后正啊， ga， 呃，这个 gs 是先减后增，好吧，呃，大家别忘了，我们最终是要研究下的啊，我们最终是要研究这个 gx 的一个正负的， gs 的正负决定的原因是这个增减性，所以接下来我们也需要求几个，对吧？因为你 s 是负一到零的哈，所以我们也需要求一些什么，比如说基一和这个 肌肤一盒机灵啊，刚才这个地方少了一个皮啊，肌皮啊，所以我们看到的话呢，这个 机负一是一个正处机零的话是个负数啊，所以他应该是这样一个感觉啊，就是你把这个什么呢？ s 轴的话呢，如果说画出来的话啊，就是我们看到的话呢，这个 gx 而言的话，你会发现，你看啊，但是这一段是个正的啊，这一段话是个负的，哎，也就是说 gx 的话呢，在负一到零上是一个先正后负， 那原函数的话呢，就应该是先增后减，其实就是谁啊？就是我们刚才描绘这个，你看先增后减，哎，这不就可以吗？刚刚好吗？然后剩下你把这过程描述一下，洗一下就可以了啊。 啊，我们的话呢，假设说哈这个地方是一个 s 三的话啊，然后 s 三的话呢，你看肯定是什么样啊，就是我们 s 三存在哈，它是属于谁的呢？属于负一到 x 二之间啊， x 二，当然之前你们你要描述一下， x 二的话，属于这个是负一到零之间的，这是存在的，对吧？能够使得啥呢？这个 s 三的话呢，我们说是使得这个 gx 三的话呢，相是等于零的，对吧？ 我们的话呢，当 s 属于负一到三的时候啊，然后 gs 的话会是一个带领的啊，就是 fps 带领 sf 是真的哈，其实就是说，呃，在这个图当中啊，你看这个图像当中就是这啊，这是 s 三。好吧，我们叙述的就是这个这个部分啊，接下来我们再把这个部分描述出来啊，一样的哈，我们就直接写了。好吧， 那我们接下来的话呢，只需要描述一下这个就是这段他有个零点啊，描述一段还差不多啊，你写一写 fx 三，你看是个正数啊，然后再写一些，当然是需要一负一的，是负无穷啊，这样话你看是不是就有零点，对吧？ 我们写出 fs 三哈，他是大于这个 f 零的啊，那么当 s 趋向于这个负一的时候， fs 肯定是趋向于负无穷的哈，所以的话我们就得到时候 fs 的话，在这个负一到零上的话呢，他就会有一个零点啊， 这样的话，其实综上来讲 a 是不是就需要一副就可以了啊？这道题是极其变态复杂的一个，这个讨论啊，对逻辑的这种缜密要求非常非常严格啊，你的话呢，建议下去的话呢，先自己 做一遍，不行的话再看，他可能需要你反复看几遍啊。前面这个还是简单一点点，按大点数，还是是负一到零的时候，尤其是比较变态的啊，你看我们先研究的 gpx， 再研究的 gs 这个顺序 gs 之后再得到这个 fx 是这样一些一层一层的关系，好吧。
540孟见数学
09:07查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们继续讲解高考数学的经典题型，那么这道题目讲的是二零二二年高考以卷理科数学的第十六题压轴的题，那么这道题目难度呢？ 还是具有一定难度的，所以好多同学啊说，哎，讲一下这道题目，那么这个题目体现了高考的一种水平，他出的特别的好，考的什么呢？考的就是定义，相当于 那么极小的点，极大点他怎么产生？所以呢，考本源，大家一定要挖掘这个信息啊，大家细品。那么读下题目，他要以至 x 等于 i， e 和 x 等于 x 二分别是函数 fx 等于二， ax 方减一， f 平方， a 大于零，且 a 不等于一的啊。极小之点和极大点，那么也就相当于这个曲线， 他有一个极小点，一个极大点，并且还告诉你，极小之点一定是啊，小于极大之点的，也就是极小点在左侧，那么则 a 的取得范围， 那么求参数的取得范围，同学们想到最多的是什么？同学们，对，那就是分离参数。那么接下来看这道题目， 那么咱们藐视，对吧，因为他的两个指点啊，所以一定怎么了？哎，倒函数有两个人，零点相当于，所以这时候呢，咱们 直接对吧，要求导，这就比较简单啊，同学们基本上都会，那么求完导之后，那意味着导还是什么呢？他有两个零点，那么也就相当他等于零的状态下，对吧？他等于零的状态下，必须的嘛，要有两个零点，那么这个时候 咱们要求 a 的取得范围，那么咱们隐隐约约会发现这里面会有什么，这地方是 a 的， s 放这地方出现 x， 那显然 x 在这是什么？ x 是自变量知道没？那么咱们遇到这种自变量的题怎么去办？ 对，把这个自变量看能不能组成一个新的函数，这时候呢，咱们就把它移过来，把 x 除过来，然后把 na 除过来，那么也就意味着右侧怎么了？右 侧啊，相当于是一个长函数，左侧呢？对，它是一个函数，关于 x 与函数，那么这个时候就转化是什么？就转换成了 fx 等于 m 的类型，那么也就因为它有两个结， 那么这两个结要满足，对吧？极小的点一定要小于极大点，那么这个时候呢， 那这个函数怎么对？这个是咱们常见的一种类型，所以这时候啊，咱们要设它一个新函， 这 y 等于挨分之 ax， 那这时候就研究他就可以了。那显的地方 s 不可能为零啊，因为挨为零的话，这地方啊，他不可能，怎么着，不可能有节了，所以这时候呢， 求导对吧？求完导之后，那干什么？对，那一定是令他为啊，等于零， yp 等于零，求出 x 等于零， a 分之一，那么这时候咱们需要什么？因为 a 在这，他是指数函数的底数，他大一和小一怎么样咱们不知道，所以这时候呢，要分两种情况，当 a 大一的状态时候， 那么这时候呢，咱们会发现，当 s 小于零的时候， fpi 怎么了？他是横大于零的，也就在这啊，那因为 a 是大于一的，所以论 a 怎么了？一定大于零， 那么这时候 as 方也大定，所以再问横正，那么如果 x 小于零，那又意味着负一还怎么了？也横大于零，这时候整体就横大定，那么也就意味 从富无穷到零这一段，他是什么？他是单调递增的，那就意味着这个地方，比如在左侧必须要有极小点，那就翻什么，他存在问题，所以这时候 f i 单调递增的啊，那么这种情况下， f i 单调递增， 他就大致这个状态画图图像，那你会发现他极大一点跑到了左边，极小一点在右边，那想要什么？不符合题，所以这时候呢？ a 只能小于一，那么这时候咱们再探讨第二种情况，那就是 a 小于一的情况， 那么 a 小于一，那这时候呢？他的图像咱们就可以画出来啊，通过求导画图像这样子的。在 x 大领导 状态下，大家对减啊，在矮小的时候先增后减，那么这个时候就怎么了？哎，那显然 这个他与他要有两个焦点，咸在矮大的，那么这一部分不可能出现，那只能在矮小的一部分出现，那么也就意味着他怎么了？必须比他的最大，只要干什么矮要小， 所以这个时候他的最大职业比较好求，那就是这个啊，集之点带入到函数里面求助他的最值，那么是 na 乘以 a 的 na 分之一，那么这个时候呢？他必须的哎，比他要大， 那么也就意味着是类 a 分之一有他，对吧？必须小于类 a 乘以 a 的类 a 分之一，那么这时候出现什么？ 还出现这种形式，对吧？ a 多少次吗？那显需要八个什么分离出来啊。那么这时候 na 怎么了？ na 在这是正在负的，对，他是负的，所以把他除怪的时候要变号，那就变成了 ab 的 naa 分的一，要小于任 a 的平方分的一， 那么这个时候这样出现什么啊？出现了指数不等式，那么对，咱们说什么？见之许对， 简直绝对就变成这种形式，内 a 啊，内 a 的内 a 分之一十八小于内啊，内 a 的平方分之一， 因为人是以异为敌，所以单调性的装必争的，所以直接同号，对吧？啊，那么这时候把它怎么了？把它拿出来，那么便 变成了这种形式，那么 led 乘以 lan 的吗？哎，变成一了，这把移过来，那么也意味着 lna 乘以 nana 的平方怎么了？就小于零， 那么解出来就负一小于零， a 小于一，这时候显得怎么了？求出 a 的范围，那就是啊，大于一分的一小于一，那么这时候 a 怎么呢？对大，前提是 a 小一的情况，所以中上等 a 就大于一分的一小于一， 所以这道题目啊，那么还是具有一定难度的。当然咱们这样分析下来之后会发现， 那么他就是什么？找到了一个构造的一个新函数而已，并且这个函数那么也是常见的一个模型， i 分之 a x， 大部分老师会讲 i 分之一 x 这个模型，经典模型啊，那么这个 i 分之 a s 这个模型呢？对吧？啊，他就相对讲的少一点点，那么咱们这样分析的话，那么会发现知道题目的难度怎么了，还是具有一定难度的。 那么通过这道题目咱们总结了啊，考点他出现两个节制点的时候，咱们怎么去办？这是常见的啊，一种方法和技巧， 所以同学们需要什么去总结啊？这第一个，第二个呢？需要他们学完之后什么？哎，多去分享，因为这道题目讲到了非常本质的东西，就出现两个节点的情况，怎么去处理啊？这种思想 我一点就相当于一个纸窗户一样，对吧？给你一桶这个纸窗户，那么同学们就怎么了啊？那就理解了这道题型这个思路， 那么图们如果也去分享的话，那你想一下，那既影响了自己，也影响了你的。哎，朋友，这第二个，那么第三个呢？需要他们啊，更高效的学习。怎么才能更高效的学习呢？那就去学习我的专栏， 那么毕竟跟着这些总结好的这些啊内容，你的学习效率怎么会提高更多，所以他们，那赶紧去啊总结，赶紧去啊分享，赶紧去学习我的专栏吧！如果大家想成为学霸，就点赞关注我吧！
29我真爱数学
03:41查看AI文稿AI文稿二二年全国医院的第七题是被吐槽了无数次的一道题啊啊，放在这个位置本来是应该让大家这个体面而又有尊严的做出来是吧，但实际上来讲却让广大考生颜面尽失啊。我觉得这是这张卷子最大的一个败笔啊，还是非常难搞的哈，你来看一看啊，比较大巧啊，也是常见类型的题，但是他会非常难啊。 这个题的话呢，你去比较的时候，你发现怎么都不好弄，你构造函数可能也要想一会啊，常见的放缩也不太好弄啊，唯一的就是可能闭合息好弄一点点哈， 比如说你看到这个 c 的话呢， c 是等于这个负的，把这个负号弄进去啊，零点九分之一吗？那这个结果就是一个九分之十啊，乱九分之十。好吧， 那我们利用到什么呢？利用到这个常见不等式的话，让 xr 是小于这个 s 减一的啊，小于等于二减一，但是取等的条件的话呢，是二等于一的时候，对吧？所以这个地方的话呢，你看他肯定会小 一个九分之十，再减去一个一啊，这个结尾是九分之一啊，那这个的话是等于这个 b 的，所以的话先小于 b 啊，这个是可以令到我们常见，这个就平常就讲过这种是吧，但接下来就异常变态了哈，你去比较他们的时候啊，就跟 a 牵扯到一起，就是非常的难搞啊，如果你想到构造函数，我们先想这个哈， 你看怎么去构造呢啊，我们可以这样子哈，你看，哎，构造的时候我们根据这个结构哈，你看这些我们都可以让什么呢？让你的这个构造，那个韩商的 x 都取零点一的时候，这这样一种方式去构造，所以 a 的话呢，我们应该享受的构造是这个 s 乘以一的 s 次方，对吧？ 像这个 b 的话， b 怎么想的呢啊？ b 的话跟零点一长关系，零点一除零点九吗？啊？那这个的话呢，零点一啊，这个零点九可以写成一减零点一吧，所以它的构造方式可以是 x 除以一减 x 啊，像 c 的话呢， c 的话是这个零点九，零点九的话，我们可以写成负的这个 lone 的一减零点一哈，这样话， 他这个结果其实可以写的是这个一减零点一分之一哈，所以他构造的时候你可以构造成什么乱一，这个意见 你减个三分之一啊，这构造你要想一会啊，当想出来之后的话，你可能在比较他们这些关系的时候啊，然后比如说我们比较这个 a 和 c 的关系的时候，你可能这两个还是要做差，然后求倒等等的，你看才是第七天位置都要这样去搞了，对吧？而且这还没完呢，你还要比较 a 和 b 啊，是吧？相当之变态啊，我们这个就不说了哈，正常你去比较比较啊，就 比较难，对吧？那有没有简单方法呢？有，但是超高，因为什么呢？用太大展开，太大展开的话，如果你知道说哈一打四次方，其实我们平常的当中的话呢，是他大概就是一一加 x， 平常是说他大一点一加 x， 但这个还不够啊，这道行用这个是不够的， 你要再往后多一个，你只要会多写一个就够了，就是 s 平方吹这个二的阶层啊，再加上一个，你看 s 三次方，再吹三的阶层 一直加，加到这个 s 的什么呢？中间省略哈 n 次方，然后再出于这个 n 的阶层啊，再加他还有一些鱼像哈，这个鱼像我们就不带写了啊，这大学里面你会学哈，你通过这个式子的话，你可以去估算一下这些纸，好吧，当然的话，其实我们看了这么多，我们用不了那么多，我们只用到这就可以了啊， 比如说大家可以看一下这个零零点一乘以一的这个零点一次方啊，大概的话，就约等于选约等于零点一啊，乘以这个一的零点一次方。按照这个式子带前三项哈，就是一加零点一哈，再加上一个这个零点一的平方处于这个 二的阶层，二的阶层就是二吗？对吧？大概是约等于这个数，后面我们就不写了，好吧，然后我们可以把这个数算出来的话呢，是零点幺幺零五，大概是这样一个数啊，这样一个数的话，他肯定是小于这个九分之一的啊，九分之一是零点一来循环哈，那这个你看 a 小一比，所以这样的话就可以选出来是 c 了，对吧？但是的话，你会发现他用到什么，用到特点展开啊， 这个考法有点过分。好吧，这个题告诉我们什么呢啊？告诉我们这个出题型脑子有病是吧？再就是我们在做的时候啊，你遇到遇到这种位置的题，这么恶心，这么复杂，你不要这个方寸大乱是吧？ 平常你看做题的节奏非常重要啊，你不要因为这道题啊，音小师大耽误了很多很多时间，该跳就要跳，好吧，这个平时训练的时候一定要有这种原则啊。
942孟见数学
17:54查看AI文稿AI文稿这节课我们来看二零二二年全国 e 卷理科第九题，已知求 o 的半径为一，四棱锥的顶点为 o， 也就是说四棱锥的顶点位于求 o 的球心处，底面的四个顶点均位于求 o 的球面上， 则当该四轮追的体积最大时高为多少。 这是一个非常经典的立体几何中的最值问题。对于立体几何中的 最值问题，我们求解的思路是函数思想，就是说把四棱锥的体积表示成一个函，一个变量的函数。比如说 我们把这个四棱锥的体积写成关于变量 t 的一个函数，再去求这个函数的最值。 这里边主要需要完成两步，第一步， 将四龙锥的体积表示成一个函数，一个变量的函数。第二步，去 求这个函数的最值。好，我们来看，我们知道四龙锥的体积，他就等于三分之一底面积乘以高， 因为在这个四棱锥中，只有顶点 o 是一个定点， 其他的底面上的四个顶点位置是不确定的，是动的。因此这个四棱锥的高 h 和它的底面面积 s， 它是两个变量。而我们知道， 在利用函数思想求解最值问题的时候，我们需要通过换元或者消元，把多个自变量化为一个自变量。 我们可以通过换元或者是消元把这个函数转化为一元函数，也就是说他只有一个自变量， 再去求他的最值。这里边我们就需要我们去分析 底面面积 s 与高 h 之间的关系。 好，我们来看，我们知道用一个平面去截球面，截到的截面是一个圆， 那么我们用 a、 b、 c、 d 这个底面，四龙锥的底面所在的平面去截这个球面，我们截到的一个截面圆，我们将它记作圆 o e 撇儿。 我们由球体的性质我们可以知道，球心 o 和圆心 o e 撇的连线 和这个洁面是垂直的，也就是说 o o e 片和原 o e 片是垂直的，我们再连接 b o e 片， 那么 b o o e 撇儿和 b o e 撇儿肯定是垂直的，而这个 b o e 撇儿就是这个洁面圆的半径，我们将其记作 r。 那么在直角三角形 o o e 撇 b 中， 我们由勾股定理可以得到 h 的平方 加 r 的平方等于 o b 的平方， o b 是球的半径，那么 o b 的平方就是一。这样我们就给出来了 四棱锥的高 h 和四棱锥的底面四边形的外接源的半径 r 之间的一个关系是， 我们可以看出来 h 越大， r 越小，反之 h 越小 r 越大。 这里边我们主要来分析底面四边形的面积 s 的 大小。 我们可以看出来底面四边形 s 的大小受到两个因素的影响， 第一个是底面四边形外接源半径 r 的影响，第二个是这个四边形的形状的影响。 显然，当四边形的形状确定的时候， 它的外接源 r 越大，那么它的面积就越大。 相应的，如果说外接源的半径 r 一定的时候， 它不同的形状对应着不同的面积的大小。这个时候我们就需要分析当底面四边形的外接源的半径 r 一定时， 那么它的面积的最大值是多少。这里边我们给大家两种分析思路。第一种我们连接 a o e 片， b o 一撇儿、 c o 一撇儿和 d o 一撇儿，我们可以把这个四边 形分成四个小的三角形， 这四个小的三角形都是等腰三角形，并且腰都是这个圆的半径 r。 我们可以根据三角形的面积公式， s 等于二分之一， a b 乘以 say in c， 我们可以得出来 四边形的面积就是二分之一 r 平方乘以这四个顶角的三引直的和。我们把这四个顶角 分别记住 set 一、 set 二、 set 三和 set 四，则这里边就是 set in set 一加 set in set 二加 set in set 三 加 saying cta 四。因为此时我们约定外接源的半径 r 是一定的， 那么它的面积的大小就受到这四个顶角的影响。 我们根据三角函数的有界性知道 saying 值的最大值是一。显然，当且仅当这四个顶角 都取到九十度的时候，四个三引值都取到一的时候，面积最大最大是二 r 平方。好，我们来画一下 面积最大的时候这个四边形的形状，因为四个顶角都要是九十度， 画出来应该是这样的，过圆心 o e 片做两条垂直的直径， 这个时候四边形的面积最大最大值为 r r 平方，显然这个时候四边形是一个内接正方形。 这里边我们还可以给出大家第二种分析方法。 我们说对角线 a、 c 和 b、 d 的交点是 f， 那么两个对角线就把整个四边形分成了四部分。 我们为了便于计算，我们把 a f 记作 a， b f 记作 b， c f 记作 c， d， f 记作 d， 把这一组角记做 set， 那么另外一组角就是派件 set。 而我们又知道 say in 派减 set 就等于 say in set， 那么这个四边形的面积可以写成二分之一， a， b set in set 加 b， c set in set 加 c， d set in set， 再加 a， d set in set， 整理一下就是二分之一 a 加 c 乘以 b 加 d 倍的 saying set， 而 a 加 c 其实就是 a c， b 加 d 就是 b， d 再乘以 say sit。 大家注意看， a， c 和 b d 作为圆的弦，它的最大值就是直径， 而 saying c 塔的最大值是一，当 c 塔等于九十度的时候，所以说他最后的最大值也是二。阿尔方 画出来的图形跟刚才画的一样，也就是对角线为两个垂直的直径。 好，我们通过分析得出来了，当四边形的外接源的半径一定的时候，四边形面积的最大值 指是 r r 方，那么我们就可以得出来， v 小于等于三分之一 r r 方 h。 这个式子里面仍旧有两个变量 r 和 h， 而我们刚才已经得到了 h 与 r 的关系式。 我们可以把阿尔方换成一减 h 方，那就是三分之二倍的一减 h 方倍的 h， 整理一下就是负的三分之二倍的 h。 立方加三分之二倍的 h， 我们把它记成 f h， 其中 h 的范围是零到一。好，这样我们就得到了一个关于变量 h 的一个函数， 下面我们只需要求出这个函数的最大值就可以了。 对于三次函数的最值问题，我们可以通过求导判断导函数的正负，判断原函数的单调性，再求他的最值。大家看 它的导是负二 h 平方加三分之二，我们通分一下就是三分之 负二倍的三 h 方减一。显然这是一个开口朝下的一个二次函数， 因为 h 的范围是零到一，我们只需要关注右边的这个零点。当导函数等于零的时候， h 的值是三分之跟三。 所以说当 h 在零到三分之跟三之间的时候， 导函数值是正的，圆函数递增。 h 在三分之根三到一这一个区间的时候， 导函数值是负的，元函数值是元函数，是递减的。所以说当 h 等于三分之根三时， 这个时候它的体积取到最大值就是负的三分之二倍的 三分之跟三的立方加三分之二，乘以三分之跟三。我们来简单算一下， 三分之跟三的立方是二十七分之三倍的跟三，这三预约就是负的二十七分之 二倍的跟三，而这边是九分之二倍的跟三，也就是二十七分之六倍的跟三。整理一下就是二十七分之四倍的跟三。 这样我们就求出来了起四棱锥体积的最大值。当然了，人家问的是四棱锥体积取最大值时的高的值应该是三分之跟三。 好，我们对这道题目做一个简单的小结。第一点， 无论是例题几何，还是解析几何中的最值问题，我们求解的方法 都用的是函数思想，把要求最值的这个几何量表示为一个变量的函数，再求这个函数的最值。 第二点，我们在写函数解析式的时候，往往会出现多个字，变量，这个时候我们需要根据其中的已知条件， 通过换元或者消元，把自变量转化为一个， 也就是说把多元函数转化为一元函数，再去求最值。第三个，我们转化完了 之后，是一个三次函数，三次函数的最值问题，我们可以通过求导，研究导函数的正负圆函数的单调性， 再去求这个函数的最值。好，这道题目我们就讲到这里。
121朱老师讲高中数学
07:44查看AI文稿AI文稿一卷第二十题啊，这是一个超级变态这项链巨大无比的一个圆队曲线题啊，如果你平时圆队曲线练的比较少， 计算能力比较弱，肌的同学啊，根本没戏。好吧，那我们看这道题啊，题目叙述比较简单啊，就是说一个椭圆啊，没告诉我们焦点在哪里啊，然后他过两个点啊，然后求一的方程 啊，这个的话呢，我们是一个基本功好吧，就是你可以设置一个方程啊，是 mx 方哈，加上一个 ny 方啊，由于不知道你的焦点是在 i 轴还是外轴，就这样是最稳妥，对吧？ 然后将这个 a 和 b 的话呢，带入进去啊，比如说 a 带进去的话呢，你看啊，你会得到说四 n 等于一啊，然后这个 b 带进去啊，就是四分之九 m 啊，再加上一个 n 等于一个一，这个时候你可以求他 n 的值和 m 的值啊，然后因此可以写出来这个椭圆的方程，我们发现这个椭圆的方程的话，他焦点是在这 这个歪头上的啊，外放下面这个字要大一点啊，主要是看第二问啊，第二问的描述的话是在这个椭圆当中啊，你看他有点屁啊，这个屁的坐标什么情况？他中指标跟 a 是一样的啊，所以他是在椭圆外这么一个点啊，然后的话呢，他说是过 m 做一条直线啊，就是教这个椭圆与 mn 两点啊，这样做啊， 那么我们做出来之后也不知道谁是 mccn 呢，那他也没有说，那应该应该都是可以的，对吧？然后他说，呃，做完之后的话，什么情况呢？就是说又过 m 做一个平行于癌轴的一条直线啊，跟这个什么呢？跟直线 ab 会有一个焦点，是这个 t mt 等于 th， 那这不就意思是说这终点的意思吗？对吧？就这么一个情况，他们正的是啥？你看正的是说，哎，这个 hn 的话呢，经过一个定点啊，就这么个意思，这是我们这个图哈，大概画出来就这种感觉啊，有同事画这个图怎么这么难画啊，你只要有尺子，基本上就能画成 这种情况，好吧，这是把提议先树立好啊。嗯，那我我们怎么去这个想怎么去操作这件事情呢？你看全程他是这个直线，是由这个过批点这个决定的，对吧？我们肯定是说，哎，你看 mn 点坐标弄出来吧，哎，你直线肯定射出来两粒吧，对吧？然后的话呢，你看有 m 我们可以就可以知道 t， 有 t， 可以知道 h， 这样 h 点坐标可以用这个 m 点坐标来表示，哎，这样的话，你可以把这个 h n 这条直线写出来，来看他是不是过这个哪个定点啊？这是我们的一个思路，对吧？当然这个思路想的简单，但是你再去实际计算的时候，气散量会比较大， 但这个的话呢，又没有其他的一些特别好的一个想法啊，这是一个最直白的想法啊，唯一我们可能就是能够简化运算的啊，就是说这个定点能不能提前知道，是吧？怎么提前知道呢？哎，作重定点问题啊，我们得找一些特殊位置， 对吧？比如这条直线，你看你在做的时候，待会你要设直线方程的时候，哎，你是要问自己一下，他有没有斜率啊？因为我们可能要设 k 码，他有没有可能没有斜率呢？你看如果是这样子的话，这个 m， 这个是 n 的话， 哎，好像也是可以的啊，没有奖对不对？所以这就是特殊位置啊，哎，你把这个特殊位置写出来，然后我们再去找这个这个定点，看能不能找到。好吧，我们来先画一下这个图哈，我们也不知道谁是 m 谁是 n 的哈，假设上面就是 m 啊，下面就是 n 的话啊，随便标一下啊，这样的话你可以把这个 m n 点做，不要取出来， ab 直线也要取出来哈， 这是我们写出来这些啊，这样你可以选 t 啊，然后由于这个 t 的话呢，是 mh 终点，所以你可以去写出来这个 h 啊，我们可以把 h 点这边写出来之后，然后就可以写这个 hn 的一个直线了，这个的话大家自行写一下啊，当然他需要这个计算量啊，但是他是一个固定的一些运转啊，但是有个问题就是说你只知道这一一个固定的位置，一条直线他过两 定点呢啊，当然你可以去猜，但是这个东西的话呢，可能要靠灵感，对吧，或者说也不是很好猜，所以怎么办的呢？所以的话呢，我们可以这样子啊，你可以再找个特殊的位置啊，这个就是刚才我们提到什么呢？就是你 mn 是这样子的，你可不可以反过来，你看我写了个若 m 是这样子的，也有可能性是这个是 能和 m 这样反一下，反一下之后你看这个就变了呀，对不对？你 m 的话做一个这个水平的线给他去相交，你看啊，我们这个呃 h 点的位置什么就变了啊，你又会有另另外一条直线那么两条直线的交点是不是一定就是一个重点啊。我们这个定点呢， 这样就比较靠谱，比我们猜到靠谱对吧。那么这个的话大家自行去算一算啊。我就直接写了啊就来到这条直线的话是这样一个情况就正常直线胶带是这样看哎，很明显是零豆花嘛，对吧。所以我们这个两直线的焦点即为这个定点啊，也是零豆花哎这样就找到了呀，明白吧。找到一个定 点之后就为我们指明了方向啊，你看本来在黑暗中探索的现在已经看到了黎明看到了这个导向但是真正的恐怖才刚刚开始。好吧，来我们来正式较量一下这道题哈，我们假设他有斜立的时候就是这样一个图了哈那么我们这样的话呢这个直线射出来啊，点斜视啊然后的话呢接下来就正常连立啊， 呃两天我们写点歪哈就得到这样一个式子啊，这是个常规的运算啊，然后自然而然写这个伟大定理两分之和两分之几呗，对吧。呃写完之后干嘛呢写完之后不知道干嘛了哈。到这就那就先停啊，你看你要干嘛。我们这道题啊我们其实为了是写那个一绳子直线方程对吧。 所以的话呢我们是需要知道说 m 的坐标哈，比如说他是 x 一 y 一哈，然后这个 n 的坐标是 x 二 v 二啊，然后这样的话你通过 m 的坐标啊我们就可以知道这个梯点的坐标吗他的这个纵坐标的话跟他是一样的是 vr 一对吧？那我们他的横坐标的话，带进那个 ab 这个方程啊，会得到是二分之三倍的外一，再加上一个 二啊，这样的话呢，你把这个梯点的坐标成个两倍啊，就终点乘个两倍，减掉 m 的坐标，可以得到这个 h 的坐标啊。呃， h 的坐标的话是三万一，再加上一个这个六啊， 再减 x 一，然后再他的动作标是 y 一啊，之后我们去写这个 h n 的方程哈，这个你看非常的麻烦啊，你斜立的话，比如他俩是动作非常减肥，红色非常减啊，比较麻烦，但是也没有办法然后点些事啊， 因为这两个坐标你看都是一个什么呃，以 s e， x r 和 yuy 啊来呈现出来的，所以大家看到说这就是我们的这个直线 hn 的一个方程啊，简直是非常恶心啊 啊，化解也没法化解，你看这怎么弄对吧？啊，那么你不要忘了我们要证明他什么哎，证明他过一个定点，而且这个定点是谁是零豆花呀，所以怎么样？哎，我们的话你不是说哎一种化这个把他化解哎，然后再正出来他过这个点，另外的话验证哎，带进去如果他成立的话是不是 就可以啊？这道题我们要用代理性这种方法啊，所以我们将这个零分带入啊，带入的化解了，看是不是成立了，对吧？那你把这个分部乘过来哈，然后这边右边撑开，我们进行整理啊，整理的结果是 这样一个式子啊，非常非常复杂啊，其中这个地方两根之和哎，这里的话你看还要有 vi 一加 v 二啊，我们可以转换成 s e x， 然后的话呢？呃，这里是 y 一乘 v 二啊，然后这个地方还有这个东西啊，呃，我们把这些东西都要换掉，换成 k 啊，你看他肯定会等于零就行了啊，被剩下一句印算啊，我们把这些东西就挨个处理处理好吧，这个已经处理过了，处理他和他还有他啊。 呃。我们其中把这个 y 一加 y 二啊换成这个哈，然后 y 一乘 y 二，你看都换掉哈，都换成 x s 二，这样一乘开是肯定是可以转的对吧啊？然后化解就可以得到说关于 k 的一个事实，或者说都换了，刚才我们不是削了 y 吗？你你也可以再削一次 x 也一样啊，计算量基本上差不多啊，这是我们化 之后的一个这个结果哈，这解决了他俩哈，那么接下来的话我们还要解决谁呢？哎还有一个是这个东西是吧？解决他的话我们需要去把这个 y 二 y 一啊都换成 x 二二，然后 x 一啊，就利用这个直线方程了， 然后把这个展开就可以了，展开的话你合并一下啊，然后就可以得到这样一个式子，然后再把这个两根之几，两根之和带进去啊，就得到全是 k 的一个式子啊，那么接下来的话只需要把刚才的你看这个带入，这个带入，这几个都带入啊，进去的话点它是不是零，这就可以了。好吧， 呃，那我们把这些东西代入的这个过程哈，就大家自行代入化解一下就可以了。剩下的就是纯粹的话呢，是非常鲁莽的一些计算啊，就没什么技术含量了，但是你要写啊，因为这个很容易涉嫌伪证，好吧，所以我们带进去之后发现这个东西是什么？是一个成立的哈。成立是啥意思呢？ 成语说明的话，这个 hn 的话呢？是哎，经过这个点谁啊？已经都发了，就是我们经过验证之后啊，所以我们大家去想一想。综上的话，你看我们 每种情况的话，这个直线是不是都会经过这个零豆花啊？这就整道题啊。啊？这个想法的话呢，还算是比较简单的，但是计算量的话呢，是巨大无比，有点变态啊。所以平时的话呢，你要练就这种变态的计算能力啊，才能稳妥拿下啊。
1903孟见数学
04:07查看AI文稿AI文稿我们来看一下这个第十七题，这个第十七题呢，就直接就画下这个试纸就可以了，因为只有这一个条件证明 c c。 就是把这个 c， e， a 减 b 展开 c in a 乘以 cose in b 减去 cose in a 乘以 c in b。 然后右边呢，也是展开 c， n， b 乘以 c， c 乘以 co， c， n， a 减去 co， c， n， c 乘以 c， n， a， 我们整理一下就可以得到这个 c， n a， c， n， c 乘以口号 c， n， b 减去 c， c， c， n， b 乘以 co， c， n， a， 那就等于什么呢？等于 c， n， b 乘以 c， c 乘以 co， c， n， a， 再减去 c， n， b 乘以 q， c， c， 这乘以 c， a 这样。然后接下来我们用个正弦定理，把两边的正弦同时画成边，那就是 a， c 乘以 co， c， n， b 减去 b， c 乘以 coce in a， 这等于什么呢？这个是 bc cosing a， 那就可以放在一起哈，减去二倍的 bc cosing a， 这个呢就是 ab cosinc 负的 a， b， culls in c。 就这样，然后我们把这个这个移到这边，这个移到这边，把它缩着变成正的啊，那就是说 a， c， culls in b， 加上 a， b， culls in c， 就等于二倍的 b c， culls in a， 然后用鱼线给你带入哈，那就等于 a， c 乘以二 a， c 分子 a 方 a 方加上 c 方减去 b 方加上 ab 乘以二倍的 ab， 这个呢是 a 方加上 b 方减去 c 方， 就等于二 bc， 这个呢是 二 bc， 是 b 方加上 c 方减去 a 方。整理一下，这个可以划掉，划掉，划掉，划掉。 好的好的，把这个东西整理一下就可以得到是二 a 方，他就等于 b 方加上 c 方，就可以证明出来了。是第一问，第二问，求三角形 abc 的周长。我们已经知道了， a 只要求出 b 加 c 就可以了，这个呢， cocy a， 他就等于 这个 b 方加上 c 方，减去 a 方除以二 bc 等于三十一分之二十五。 因为第一问我们可以知道哈， b 方加 c 方是等于二 a 方的，那也就是说这个四十 就可以画成二 bc， 上面是个 a 方， a 方就是二十五，等于三十三十一分之二十五，所以二 bc 他就等于三十一。 然后我们就可以直接把 b 加 c 的平方给算出来， b 加 c 的平方就等于 b 方加上 c 方加上二 b c， b 方加 c 方，这是二 a 方，这个呢，是等于五十 二， bc 是三十一，哈，三十一，那就等于八十一，所以 b 一加上 c 就等于九， 所以周长等于 b 加上 c 再加上 a 是等于九加五十四，这就是 b 十七题。
17解完这题就睡觉💤
01:35查看AI文稿AI文稿昨天高考数学一结束，家长群呢就炸锅了，群里一片哀嚎，有的学生哭着说要复读了，有的学生说只能上大专， 有的学生说今年高考数学难得离谱，从第四道选择题就开始卡，下面的题呢，不知道如何去做， 跟有的家长开玩笑，说全国数学已卷，让学生呢逐梦大专，让山区的孩子出不了大山，三十万考生，二十万要搬砖，还有十万永远要高三。 那今年的高考数学为什么那么难？各种创新提醒，改进提醒，让我们考生呢，防不胜防，连平时考试在六百五十分甚至六百六十分以 上的优秀学生，在亚洲题上啊，都没时间去做，也不会做前面做过的题呢，也不知道是对还是错，中等生呢，直接崩溃，连题都看不懂。高考数学的指挥棒可能会影响到中考数学的出题。 今年的高考数学大量的创新题型设计，增加试题开放性，鼓励学生运用创造性、发散性的思维分析问题和解决问题，培养学生的创新精神。 今年全国数学卷真的很难，即将中考的家长和同学们，你们准备好了吗？
4.3万问鼎铭校（魏老师）
