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29:28![猴子看了也能理解的高考压轴题！ 高考考生不要焦虑！祝下下周参加高考的考生金榜题名！
也以此讲纪念最后的甲卷数学压轴题。manim动画by——天使猫猫酱
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注1：二阶导非负是必要条件的具体证明为，令0<x<m时二阶导为负，则此区间的导数为负，函数值也为负
注2：准确地说，油门强度=加速度=二阶导。挂着倒挡踩油门则代表二阶导为负。
注3：2025年没有甲卷了，所以这道题是甲卷的最后一道压轴题了！
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2024年新一卷数学压轴详解：【24高考数学压轴精确结果——命题人可能都没找到的构造】
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2024年新二卷数学压轴详解：【水硕妹妹也想挑战下讲高考数学题!|会动的数学[天使猫猫酱]】
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本视频为2024年甲卷数学压轴详解。
#数学 #高中 #高考 #二次元 #cos](https://p9-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/c40d820a6d7fc12e7f0661ad8a65bfef~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2106864000&x-signature=hA2b8Ux%2B51JfNTwHYDcEBnABE0Y%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=2026100908261426F274598DF759A5DBFE)
02:474068天使猫猫酱
00:30查看AI文稿AI文稿数学老师也不一定拿到题就能想到最简便的方法，数学在于尝试。这是二零二三年全国假卷理科数学圆锥曲线的大题， 我用了将近一个小时，用了三种方法，最后才解除答案，这样在考场上即使解出来了也是没有任何意义的。所以平时一定要多思考，多总结，多尝试。下期见！
06:05查看AI文稿AI文稿大家好，我们看全国讲卷的第二十一题，也就是压轴大题。函数 f x 等于 a x 减口 c x 的三次方分之 c x x 属于零到二分之派。 第一问，若 a 等于八，讨论 f x 的单调性。这道题应该是今年的压轴题里头第一问最难的。要讨论 f x 的单调性，此时 a 等于八，那么 f x， 它就等于八 x 减去考三 x 的三次方分之 six。 要讨论它的单调性， 我们就对 f x 求导，那 f e 撇 x， 它就等于八，减去对这个式子求导，那就是它的平方分值，也就是 cosinex 的六次方分值。它的岛乘它 sinex 的岛就是 cosinex， 再乘上它就是 cosinex 的四次方，然后再减去 他乘他的岛，考三亚 x 的三次方。这是一个复合函数，我们要对他求导，其实他是考三亚 x 整个的三次方，那对他 求导，它就是三倍的 cosine x 的平方，再乘上 cosine x 的岛，就是 food 的 sine x， 那么它 减去的是它，乘上它，也就是加上三倍的三角 x 的平方，乘口三角 x 的平方。 然后我们把口 c x 平方约掉，那它就等于八，减去 考三 x 的四次方分值，考三 x 的平方，再加上三倍的三 x 的平方。 然后我们把这个三一 x 的平方再用一减口三一 x 的平方替换，那么这个式子它就等于八，减去 cosine x 的四次方分之三，减去二倍的 cosine x 的平方。写成这样以后，为了计算方便，我们立 cosine x 的平方等于 t， 考三 x 的平方等于 t， t 属于零到一， 那么这个式子他就等于八，减去 t 平方分之三减二 t， 然后 再通分，就等于 t 平方，分之八 t 方加上二， t 再减三。 现在我们把导函数写成这样以后，我们要关注的是导函数的正负，因为导函数的正负决定了原函数的单调性，而这个分母 t 平方，它是个正数，所以它的正负取决于这个分子， 而这个分子它是一只开口向上的抛物线。当它等于零的时候，它和 x 轴的两个交点分别是 food 四分之三和二分之一，而 t 它在零一之间取值。 那么当 t 大于零小于二分之一的时候，导函数为负，圆函数单调递减。 当 t 大于二分之一小于一的时候，导函数为正，原函数单调递增。 但是我们要讨论的是 f x 在零到二分之派处的单调系，所以说我们要找到 t 所对应的 x 的范围。 那么当 t 在零到二分之一的时候，它对应的 x 在四分之派到二分之派。所以说 f x， 它在四分之派到二分之派处是单调递减的。那么当 t 在二分之一到一的时候，它对应的 x 在 零到四分之派。那也就是说 f x 在零到四分之派处是单调递增的。 这个地方非常容易出错，很多同学他可能就把零到二分之一对应成了零到四分之派，把二分之一到一对应成了四分之派到二分之派。 实际上口三 x， 它在零到二分之派是单调递减的，它的函数值越小，对应的自变量的值 反而越大。所以说 f x， 它在零到四分之派处单调递增。在四分之派到二分之派处单调递减。
1263远舟数学
07:21查看AI文稿AI文稿看二零二三年全国假卷最难的选择题，这个题怎么办？其实很简单，我们看拿到一个椭圆，首先判断 x 型还是 y 型， 这一定是 x 型，因为 x 方下面大，然后写出 a 方和 b 方，当然你也可以不用写减，因为是选择题， a 方等于几啊？等于九，所以 a 等于三， b 方等于六， b 等于根号六， c 方等于 a 方，减 b 方 c 等于根号三。然后画图 坠，把图稍微画的大一点。 x 型椭圆稍微画的大一点，不用太标准。 那我们看 f 一， f 二为左右焦点，这是 f 一，这是 f 二， p 点为椭圆上一点，我们一般点在第一象限 cruising 角 f e p f 二。好，我们知道这个角度 求 o p， 这是 o 点。其实这道题有很多的解法， 我们用我们平时教的最常规最常规最常规的方法来讲，移动点到两定点，距离之和等于长处二 a， 我的习惯是设边长为 m n， 当然了， f e f 二是焦距二 c 二倍根号三，这是我们名门学府张超带你学高中数学这本书里面讲的最基本的方法，不要用套路 来。移动点到两定点，距离之和等于长数二 a， 那 m 加 n 不就等于二 a 吗？ 当然二 a 就是六，有两焦点用，定义有直角 购物定理不是直角用余弦定理。很简单，我肯定要用余弦定理。所以零边的平方和 减对边的平方二得四三 c 十二除以二倍，零边就等于五分之三。 一是怎么化减？讲了一万遍了，平方和二是搭配 c， m 方加 n 方加二 m n 等于三十六，那不就是三十六减二 m n 吗？ 二是区分母，你看 m 方加 n 方减去十 十二等于五分之六倍 m n。 好，它俩相等怎么办？很简单，三十六减二， m n 等于十二，加上五分之六倍 m n， 你走三十六减十二等于几啊？二十四，这是五分之十，那不就是五分之十六吗？ 你不用想了，他们都有八来，同时乘以八分之一，三五分之二 m n， 那你看 m n 出来没有？ 三五一十五，二分之十五。那既然 m n 出来了，那 m 方加 n 方不也出来了吗？你看等于几？ 二分之十五乘以二十五，三十五减十五等于二十一。这就是最基本的化解一个最基础的考题。一天到晚抱怨难难难，我说让你把每个题目做三遍，你为什么不听呢？ 来求 o p， 我们看 o p 怎么办？其实你就不用想 o 是什么点，终点，那这个 o p 不就是中线吗？所以这个 也很容易用我们书上讲的中线定理来求中线的长度。 怎么办？你看，不要跑，你要为全国的学生服务，躲起来干嘛？好书就不能掩盖，你看 o 为 f 一 f 二的终点 不做了。那你看 p u 项链等于什么？不就等于二分之一 p f 一项链加 p f 二项链吗？ 项链的平方等于项链的魔方，一平方不就出魔了吗？不就出长度了吗？所以 p o 的平方就是 p o 的魔方，等于四分之一倍 p f 一的平方就是 p f 一的魔方，加 p f 二的平方就是 p f 二的魔方。 加两倍的 p f 一乘 p f 二， p f 一向量乘 p f 二向量向量相乘等于膜膜 q n 加角，那不是 p f 一的膜 p f 二膜 q n 加角吗？ q n 加角五分之三。 来，我们看，四分之一不变 m 方加音方我刚刚已经求过了二十一，这都顺理成章的事情。二倍 m n 就是十五， 十五乘以三四十五，四十五除以五九，所以就等于四分之二三十。 人家求 o p 一定不要忘了开方，所以 o p 的膜等于几啊？等于二分之二三十。 当你一天到晚抱怨难的时候，你为什么不能脚踏实地的去努力？高考只有二十二个题， 抓住二十二个题的模板，做透做熟，数学变得很简单。
1802铭门学府张超
08:41查看AI文稿AI文稿下面我们来看一下二零二二年全国假卷的亚洲题，那这个题呢，考察的是节点偏移问题， 而节日点偏移呢，是已经在我们的高考中已经考过很多次了，我们的一个系统课中，给出节日点偏移的很多种解法，那今天呢，我们就来一起看一看全国假卷的这道题。 那题目中给出 f x 等于这一串式的，若 f x 大零，让我们去求挨了一个范围。好，第一位，我们简单去写一写，那我们去带它进行求导。 f 倒 x 这个式子显然是等于一个 x 方分之 e 的一个 x 次方乘以一个 x， 再减去我们 e 的 x 次方，所以刚好就是提出来里面是个 x 减一，那后方呢，是我们这个地方的一个 x 减去个一，然后呢，再加上一个一，那他俩呢，显然是可以 通分，我们是不是刚好通成 x 分之 x 减去个一，于是乎呢，我们可以提一个 x 减去个一出来，那这个时候呢，后方是不是刚好就剩我们这一方呢？ x 方分之一的一个 x 次方加上一个 x 的一个形式， 那它的定义域呢？显然是 x 大零，显然这坨是恒大零的，所以整式的正负由 x 减一来决定，对吧？所以呢，此时我们可以看出，在零到一上，此时 f 倒 x 是横小于零呢，那 f x 自然就是单调递减， 在我们这个地方呢，一到正无穷这个地方呢， f 到 x 是不是横大零的？那于是问我们 f x 是不是横式单调递增，那它要大等于零横成零，所以只需要我们这地方的一个 f x 的一个最小值大等于零，对吧？ f x 最小值 显示等于 f e， f e 我们带进去是不是刚好是 e 加上一个一，再减去一个 i， 那就是他大等于零，所以我们从这解出来呢， i 实际上是小于等于我们这地方一加上一的。好，这就是第一问，那第二问呢？让我们去证明 f x 有两个零点的时候， x 一乘以 x 二小于一个一，那这里的题呢？我们可以去逆向分析统一变量，然后去构造函数就行，对吧？好，我们来看一看。我们预证 遇正什么呢？ x 一乘以个 x 二，这个是小于一个一，是不是只需正我们一个 x 二，这个是小于一个 x 一分之一？那我们先来，我们来一个不防设 不防射这个地方呢？零小于一个 x 一小于一个一小于 x 二，那所以我们这个地方记证，是啊，记证此时一小于一个 x 二小于一个 x 一分之一，那又因为我们这个地方的一个 fx， 他是不是刚好在我们的一个一到正无穷这个地方是单调递增的， 所以我们要正上面这个式子，实际上只要去正我们那个 f 括弧 x 二，好，小于我们这地方那个 f 括弧 x 一分之一，对不对？那又因为我们这地方的一个 f x 一呢？它是不是刚好等于我们的 f x 二？所以我们这时候呢，只需正 f x 一， 它是不是小于我们这地方的一个 f 括弧 x 一分之一？好，那到这个式子的话，是不是就满足统一变量了？所以我们再去勾导函数的时候，是不是应该令我们的大 f x 就刚好等于我们的一个小 fx， 然后再减去小 f 括弧 x 分之一，然后这里面的 x 属于我们的一个零到一之间，对吧？好，那此时大 f 档 x 呢，显然是等于我们这地方的一个小 f 档 x， 好，再减去这个地方呢？我们直接去对他进行求导，是不是刚好等于小爱不倒括弧 x 分之一，再乘以一个 x 分之一的一个导数，而他的导数呢，是不是刚好就是我们这地方负的 x 方分之一？那你把这个地方负号去掉，所以后面呢，刚好就乘以 x 方分之一就行了， 对吧？好，那这个时候呢，我们把嗯，他的一个具体内容带进去，那此时咱们的大 f 倒 x 等于谁呢？前面有一个 x 减去一括起来，乘以我们这 地方的一个 x 方分之 e 的一个 x 次方，再加上一个 x， 好，然后后方这个地方呢，我们是不是先加上一个？我们把 x 方分之写到前面去，好，后面这个地方是把 x 分之一带到 f 到 x 里面，所以他后方是不是 x 分之一减去一，然后呢？再乘以这地方翻上去，是不是刚好变成乘以 x 方，对吧？然后再乘以我们这个地方多少呢？ e 的一个 x 一次 x 分之一次方，再加上我们这里方的一个 x 分之一， 是不是这一坨？好，那他俩刚好约掉了，这个式的，实际上是我们的一个 x 分之一减去 x， 对吧？所以我们这时候呢，可以提一个多少，提一个 x 分之 x 减去个一出来， 对不对？好，那此时前面这个地方剩的是多少啊？是 e 的一个 x 次方除以一个 x， 再加上个 e， 对吧？好，然后这个地方呢，变成减去了，对吧？因为他这个题题完之后有个符号了， 减去这坨就是 e 的一个 x 分之一次方，然后再减去 x 分之一。好，那显然当我们 x 一零到一的时候，这个式子是横销零的，所以我只要去看中克弧这个式子里面的一个正负，那所以我们去令 咱们的一个 g x， 它等于中括弧，这里面一大坨，我就不抄了。好，那这里面的 x 是属于我们的一个零到一，此时我们去对 g x 进行求导，好，它是不是刚好写成一个 x 方分之 e 的一个 x 次方，乘以我们这一方的一个 x， 减去个一，对吧。然后呢，这个地方实际上是减去 e 的一个 x 分之一次方，再乘以 x 分之一的一个倒数，所以刚好变成加上 它后面成一个 x 双分之一，对吧？再加上我们这地方的一个 x 双分之一，所以整式的就化成多少呢？是不是 x 方分之这呢？有一个 e 的一个 x 分之一次方，再加上一个一， 然后后面这个地方呢，我们给它写成减去 e 的一个 x 次方，乘以一个一，减去 x， 是不是这一坨？好，那我们来看这两个肯定很为正，我只要看这个式子它的一个范围就行了，对吧？ 所以我们再去令我们的一个 h x 等于 e 的一个 x 次方，乘以这个地方一减去 x， 所以此时我们的 h 到 x 这个式子等于多少呢？是不是就是负 x 乘以个 e 的一个 x 次方？ 好，那我们还是把定义设成一个 x 属于一个零到一之间，那所以这个是横小零，我们的 h x 是不是横十单条递减， 那所以这时候呢，我们是不是得到 hx， 他的一个值欲就出来了？把零带进去，带到这个里面显然就是个一把一带进去就是个零，所以他这个曲子范围是属于零到一之间， 好，那它属于零到一之间，前面是一减去它，而且这个时代还是很为正的，对吧？所以此时记到 x 是不是就很大一个零？所以这 这个时候呢，小 g x 是不是单调递增？小 gx 单调递增，他定义率是零到一，所以此时小 gx 就很小，有小 ge 好，小 ge 带进去，是不是 e 加上个一减一，再减一，所以刚好等于零，那所以这个时候呢，我们的一个大 f 到 x， 好，前面是小二零，这个地方也是小二零，所以相乘大零，对吧？所以这时候呢，大 f x 自然也是单调底子好，大 f x 定域呢，依然是我们这一方领导一，所以呢，他很小，有我们这一方的大比一。 好，大 f 一带进去，你带到这个里面就行，是不是刚好是小 f 一减去小 f 一，所以刚好是等于零的，对吧？那所以这个时候呢，我们是不是就得到大 f x 一呢？哎，它呢也是相应我们的零的，因为我们的 x 一刚好也是在零到一上，对吧？ 所以此时是不是就得到小 f x 一，他是小于我们这种小 f 括弧 x 一分之一，好，这个题呢就结束了，对吧？好，那关于我们的二零二二年全国假卷的一个压轴题，我们就分析到这个地方，我们下节课不见不散，拜拜。
215GoFine数学
15:00查看AI文稿AI文稿好，我们一起来看一下第二十题。射抛线， cy 的平方等于二 pxp 大于零的焦点为 f， 且点低的坐标为批斗零过 f 的直线交西于 m n 两个点。当直线 m d 垂直 x 轴时候， mf 等于等于三，要求 c 的方程。我们把图做一下，顺便把题目的条件给翻了一下， 开口朝右的抛线， f 为焦点，而且呢，第一点为 p 到零， 此时呢， m d 垂直走，那 m 脸在这里，这是垂直的。好，我们说，呃，我们说了，有抛线的话，就一定要把它的准线也带出来啊，我们说准线，你教你，我们标的有一个 fvp。 好，那此时呢，他告诉我们的条件， mf 等于三，这条是三，那我们知道呢，抛线上的点到焦点的距离和他的准线的距离永远相等，即这条，这是 mp， 垂足为 mp， 即我们的 mm 一撇是等于 mf 等于三的，对吧？我们的，我们又知道了，这是一个是垂直啊，也就是说 md 是垂直于 x 轴的。那所以我们的 dm m e p f e p， 它会构成一个举行，那此时 m m m e p 会等于我们的 f e p d， 我们标注原点，那此时 m e p d 又等于 f e p o， 再加上我们的 o d， 对吧？ f e p o， 我们说是准线到准线到这个距离，这个距离应该是二分之一 p， 那就是二分之一 p， 再加上 odod， 第一点就行，坐标已经给了，他的坐标就是 p 到零，那所以说 od 就是二， lot 直接就是 p， 他等于多少啊？等于三，这个好，我们解救方程来解一下，应该得到屁就等于二。 好，那所以呢，我们的 c 的方程就为 y 的平方等于四 x。 好，第一文搞定。好，我们接着看第二文啊。设直线 md 与 nd 与 c 的另一个交点分别为 ab， 然后呢， gmnab 的倾斜角分别为阿法和贝塔，要求当阿法减贝塔取得最大值时，求直线 ab 的方程啊，那此时 md 呢？ 未必在垂直的走，对吧？那我们要重新做一个图来分析一下， 这是 f 点，这是 n 点，这是我们的 m 点，那第一点在这里，那此时我们看啊，那此时 md 与 x 与抛出另一个焦点为 a， 这边呢，是 n， d 与抛线的另一个焦点，为什么为 b？ 这点为 b？ 要求 ab 的 ab 的方程，而且呢，这个几级角阿法，这个几级角贝塔，而且阿法减贝塔取的最大值是 ab 的方程。 好，那我们看啊，那我们明显的我们知道的是什么？开 mn 它是等于什么？它是等于填紧阿法的 k 呢？ ab 它是等于什么？填紧贝塔，对吧？当然阿法和贝塔不等于九十度的情况下才有。这样啊，也是说 mn 九邪率， ab 有邪率情况下才是这样子的。 你的情况啊，那如果是什么，那其实他要求的是阿法减贝塔的最值，那我们就很容易想到什么，那要求天晴的两角的差才能把这两个条件给用上去，那就天晴的阿法减去天的贝塔，它就等于什么？天晴阿法减去天晴 a 塔除以两个香肠，一加上两个香肠，那么就是如果有斜溜就可以把房里带了，对吧？那直接就是 kmn 减去 kab 除以一减一加上 kmn 乘上 k， a， b， a， b 这个字。好，那前提是这个有斜率的情况下啊，那如果没有斜率呢？没有斜率，我们单独讨论一下吧。那此时什么？只要我们的什么？我们知道天晴只是个单调的函数，但是递增的一个函数，对吧？当然在一定的区间内啊， 当然例中的函数。那此时我们天津阿法减贝塔，如果他取得最大，那是不是阿法减贝塔有可能取得最大值呢？ 那本题我们就不将天津呃阿法和贝塔的最大值转成了天津的最大值。天津阿法减贝塔的最大值，即求这个市值的最值， 整个这个是最值。好，那我们就单独分析一下如果他无学历的情形，如果无学历的话，也就是说，那此时我们的 mn 呢？他是垂直的， 这是我们的 m， 这是我们的 n， 这是 d 点，那我们做一个，这个是 a 点，这个是 b 点。好，我们有对唱性可知，那此时这里是垂直，这边也得吹什么垂直，因为什么？图像是关了 x 对唱的对吧？ 好，那此时如果阿法等于什么？九十度，那此时贝塔也得等于多少？九十度，那此时阿法减贝塔应该等于零了。 好，那我们再看看无旋律的情形啊。无旋律的情形，那我们是要想办。呃，有旋律的情形，然后有旋律的情形呢？我们也想办法把这个 kmnkab 给表示出来， 摇出来，才能够求出整个这个天津阿法，也就是这个式子的锥子。好，那我们把过程好好书写一下，我们把它擦掉啊。 嗯，把这个分析过程我们先擦掉了啊， 第一位也擦掉了，第一位的过程我们也擦掉了。戴板带书写的攻击不够啊。 嗯，好， 好，我们来详细写的是书写过程啊，要问的书写过程好， mn 无邪律， 这是阿法，等于九十度，由对由对称性合织， 我们直接写就可以了啊，因为前面分析过， 呃，这是杯塔，也等于什么九十度，那这是阿法减杯塔就应该等于零。好，第二种，若什么？若 mn 有邪率， 那此时我们把它旋律设为什么有旋律设为什么设为 k？ 这位可以，那此时我们知道 f 点的坐标应该是一到零，因为前面我们得到它的方程是 y 等于四， y 方等于四 x 这个，那 f 应该是四到零。好，那我们就可以把 m n 的直线射出来了。 m 的直线方程， m 的方程就应该为过一个定点啊， y 减去 y 零， y 零是零， y 减零等于 k 乘上 x 减去 f 选的注行坐标一的这个直线。 好，然后呢，我们接下来还得把什么？还得把这四个点 mnab 是不是得射出来啊？把 mnab 射出来。好，那此时我们射什么？那怎么射这个比较好，比较好呢？如果啊，我们写上面如果我们把 m 点的坐标啊，假设我这样 m 点的坐标设为 x 一， 那我是不是要这个点 m 点是在抛线上头的，那是，我是想办法把这个 y 给求出来，那只是 y 方就等于什么 wifi 等于四倍的 x 一，那我要解这个 wifi 的时候，那 y 我就开方了啊，开方是出现正负 四 x 一。哎呀，那麻烦大了，如果我射 x 不太好办，对吧？如果把它杭州标用 x 表示，那重坐标就不太好表示了。这有个正负，这里有点麻烦，那我们最好怎么射呢？我们射 y 吧。这样啊， 也就是说我们的 m 点的坐标，我们不可以把它设套为 y e， 它为 y e 的话，那此时 x 是不是很容易表示了？ x 就等于什么？它是食堂坐标，那就 y e 的平方等于 四倍的 x 一，那 x 一就等于什么？呃，四分之 y 一方，好，那所以说它得了它的横度标就应该是四分之 y 一的平方。好，同理，我们一样可以把 n 点的坐标弄出来啊。 n 的坐标，那应该就是 y 二吧，那这个上前头就是四分之 y 二的平方 好，再把 a 点 a 点设为 x 三吧，那就是 y 三了，不是 x 三啊， y 三，那同理，它就是四分之 y 三的平方， b 点呢？为 y 四，这个点为四分之 y 四的平方。好， 那我们是不是得连力了，想办法是吗？连力了啊，那就连力哪个呢？直线 y 等于 kx 减一， 然后呢？ y 的平方等于四 x， 好，此时我们削什么？因为我们这些点做标，刚才说了是用什么？用 y 表示更方便，用 y 表示。那所以说我们这里可以肯定要削 x， 留 y 留 y 啊，那就是削去。 想要去 y h x， 得来这个自己整理啊，我们整理一下就得到。什么？四 k 分之四， k 分之什么？ y 发，再减去 y。 哎，我没有发啊，减去 y 再减 k 等于零。 好，那么回答，那就是 y 一加 y 二，管他有没有用啊，先写出来，先 yy 二等于负的 a 分之 b， 那就等于 k 分之四，好，那 y a 乘 y 二等于什么？ a 分之 cm， c 等于负四。哎，这是个刚好这个长数了。好，那我们此时接着往后啊，那此时我们的我们是不是还得把 md 给弄出来？ md 的弄出来才能确定 a 点的坐标啊，是吧？这个 m 点和地点去确定了一个 a 点，那是把 md 的方程弄出来，那在 m 点坐标，我们一射出来这里，那地点坐标呢？地点坐标是 p 豆零也是地点坐标是 我们补到这里啊，地点坐标应该是二到零。好，那么两点四直接直接得到 md 的方程啊，两点四吧，那就是 y 减 y 减第一坐标，第一点中坐标，然后呢，横坐标 x 减去第一点的横坐标，直接等于 y 一减零 这两个，这两个点 y 减 y 这边，那就是四分之 y 一方减去二的，这个好，带入哪里？带入 c 消去什么一样消去 x 好整理得 啊，这个整理我们就去整理啊，整理出来了肯定就上九八五了，整理不出来的也能上二幺幺啊。那我看啊，整理应该得这个二 y 一，然后呢，二 y 一的方减八，再乘上 y 再减八，等于零。 好，一样回答，这是回答 y， 注意啊，这是回答，这个点是 y， 这个点是这个点是 y e， 这个点是 c 点。什么？他的焦点是 m 和 m 和 a 啊，那所以说此时他的回答应该是 y 一加 y 三这两个点，它的焦点是这两个点啊，这两个点 y 加 y 三，那就等于 负的 a 分之 b， 那就是什么？我们整理玩具的二 y 一方减八，上头是二 y 一好， y 一乘 y 三就等于负八。哎，那这里有关系哎， 对吧？这两个有关系啊，那所以我们把它比掉吗？得到 y 二和 y 三这个关系，是不是？那也是说 y 三就立马就等于二倍的 y 什么 y 二了，哎，所以有这个好，发现一个东西，发现一个好东西 好，那我们接下来还得把 n d 啊，同样 n d 用两点四，把 n d 的方程也表示出来， y 减去地点的重坐标零啊，好， x 减去地点的行坐标二等 等于什么？等于我们的恩典的恩典是恩典的重坐标 y 二减去地点的重坐标。比上什么 dn 点的横坐标四分之 y 二方减去 d 点的横坐标二好，那 nd 的方程出来了，一样带入， 那就是消去，一样消去 x 啊，好，消去 x， 那我们什么？那我们就会整理出 y 的平方等于二， y 二分之二， y 二方减八， 再乘个 y 减去八等于零，我们减这个整理的这个好，再回答了 y， 那此时注意啊，此时 y 一 y 二嘛，不要太随意啊。那此时 点的坐标是什么？是 y 二，然后呢？ b 点的坐标是 y 四，那所有此时应该有 y， 它的两个根应该是 y 二，加上 y 四等于负的 a 分之 b， 那我们单元区应该得到二 y 二的平方减八分之二， y 二，好。还有一个 y 二乘 y 四 好， y 乘 y 四，他得到了负八好，那此时一样会得到什么？ y 四等于什么？这个跟哪个呢？跟第一，跟第一个，这个是指， 这个是我们可以一比一下，马上把消，把 y 二给消掉了，那此时会得到 y， 所以我们的 y 四就等于二倍的 y 二好，那此时我们要把什么？要把 k， 要把这个 k 给表示出来一下了，这个 k， 它直接就等于什么？ kab 表示一下吧， kab 就等于 好， kab 呢？那就等于什么？ a 点的横坐标相减， a 点的什么？重坐标相减，这个 y 三减 y 四 减去 y 四，再比上横坐标相减，横坐标相减呢？那应该是四分之 y 三方减去四分之 y 四方。 好，把这个表示让我们看看。那此时他应该我们整理一下，下头可以用平方插功式，对吧？变成 y 三减 y 四。括号乘上什么括号？ yy 三加 y 四。好，那我们一整理完，刚好就得到四分之 y 三加上 y 四。
79莫默有文
09:18查看AI文稿AI文稿我们来看一下二零二三年全国高考数学甲卷最后一道压轴大题，来挑战一下。这是函数的解析式， rx 减去 cx 除以 cosy nx 的立方，它的定义域是零到二分之派。 第一问，小二等于八，直接代入得到 fx 的解析式。现在题目让我们求他的单调性。既然要求单调性，我们需要求一下函数的倒数。 求函数倒数的过程有一些复杂，在做的时候千万不要出错，其中比较容易出错的地方是对分母 cause on x 的立方求导。 cause on nx 的立方可以把它看作复合函数，它求导分两步， 第一步，先对外函数求导三倍的 cos i n x 的平方，再对内函数 co c n x 求导，也就是负的 c x， 把得到的导函数进行通分化减，得到了这个结果。接下来我们来分析一下函数的导函数，观察一下这个结果。分子四倍的扣三 nx 的平方加三一定是大于零的， 分母 cos inx 的四次方，它也是大于零的，所以导函数的正负完全取决于两倍的 靠 c n x 的平方减一。当这个结果大于零的时候，我们可以算出来 cos r n x 大于二分之根号二。 在求 x 的取值范围的时候，一定要注意定义域是 x 大于零，小于二分之派。这两个条件结合起来就可以求出，当二扣 cnx 方减一大于零的时候， x 的取值范围是大于零，小于四分之派， x 在这个范围内得到导函数是大于零的， 此时函数单调递增。同样的道理，我们可以求出，当 x 大于四分之派，小于二分之派时， fpx 小于零， fx 单调递减。第一问我们就做完了。看一下第二问。注意，第一问的条件是以弱的形式给出的，那么这个条件在第二问是不能用的。 看一下第二问， f x 小于 c 二 x 横成立。这种问题属于比较常规的问题，一般我们可以通过构造函数来求解。把 c 二 x 移到不等号的左边， 构造一个新的函数， g x 等于 f x 减去 c 二 x， 这个函数的定义域还是零到二分之派。所以现在 f x 小于 c 二 x 横成立，就等价于 g x 小于零横成立。 所以我们的目标就是去求一下 g x 的最大值。如何去求 g x 的最大值？我们再次想到了求导，所以求一下 g x 的导航 函数，得到这个结果。观察一下它的导函数，这里出现了一个 call c n x 的平方，这里也出现了一个 call c n x 的平方，分母有一个 cosine x 的四次方。 所以自然而然我们会想到换圆令 t 等于 cause in x 的平方。注意，换圆一定要确定心圆的取值范围。 x 大于零小于二分之派，所以 t 大于零小于一，换圆之后得到 g p a t 就等于二加二减四， t 加 t 分之二，减去 t 方分之三。不要忘了，我们的目标是求 g x 的最大值， 想求他的最大值，我们就需要确定 g p a t 的正负。怎么确定 g p a t 的正负呢？我想到了对 g p a t 再次求导， 这是 gpat。 对他求导之前，我们不妨把这个导数看做一个新的函数， 比如说 zucti， 就是 g x 的导函数。接下来对 zucti 进行求导，这是 zucti 求导之后的结果，把它通分化解，得到这个结果。 我们来分析一下这个结果。因为 t 是大于零小于一的，所以 t 的立方一定是大于零的。当 t 大于零小于一的时候，不难判断，二 t 方加上二， t 加三，他也是大于零的。与此同时， t 减一是小于零的，但是前面还有一个符号，所以这个结果一定是大于零的。 zack t， 它的导函数大于零，所以我们得到 zack t 是单调递增的， 那他的最大值就是当 t 等于一的时候取到，但是不能取等， 所以 zack t 小于 zack e， zack e 是 zack t 这个函数的最大值，把一带进去，得到二减三， 得到这个结果。接下来要分类讨论，分成两种情况。第一种情况，当二小于等于三的时候， zack t 其实就是 g p x， 它小于二减三， 因为二小于等于三，所以二减三是小于等于零的，那么我们就可以得到 g x 在零到二分之派上单调递减，因为 g p x 是小于等于零的，所以 g x 在 x 等于零的时候 取到最大值。因为函数是单减的， g x 的解析式也有了，把零往里边一带置于零刚好等于零，所以我们得到 g x 小于零， 在整个定义域上是横成立的，所以在这种情况之下，也就是啊小于等于三的时候， f x 小于 c， 二 x 横成立，符合题意。看一下第二种情况，当啊大于三的时候，这是这篇 t 当二大于三的时候，我们刚才已经证明了，这撇 t 在零到一上是单调递增的。由于函数单调递增，当 t 等于一的时候，取到最大值，不能取等， 所以最大只小于 g p 一，而 g p 一是二减三， 因为二大于三，所以二减三大于零，所以 g 撇一大于零，最小值比 g 撇零大，而 g 撇零。我们把零带到 g p a t 的解析式里边， 发现当 x 趋向于零的时候， g p a t， 它是趋向于负无穷的。我们根据这个可以得到一个示意图，观察一下， g p a 大于零， g p a 零趋向于富无穷，那么他们之间一定存在一个 t， 零，使得 g p a t 等于零，这就是 g t 导函数的示意图。根据导函数的示意图，我们可以画出来 g t 它的增减图。 可以发现，当 t 小于 t 零的时候，导函数小于零，所以 g t 单调递减， t 大于 t， 导函数大于零， g t 单调递增， 这是 g t 的增减图。我们在换圆的时候，令 t 等于 cosin x 的平方，所以 g x 其实是 g t 和 t 等于 cosy n x 平方的复合函数。复合函数的单调性同增易减， 因为 t 等于 cos n x 的平方。当 x 大于零小于二分之派的时候，这个函数是单调递减的，所以 g t 的单调性和 g x 的单调性 刚好是相反的，这是 g x 的单调性。当 x 大于零小于二分之派的时候， 他是先单调递增，再单调递减。当 x 等于零的时候，至于零是一个最小值，把它带到 gx 的解析式里边，刚好是零，所以这些红色图像， 它的函数值都可能比零大，而我们要证明的是 gx 小于零横成立，所以这种情况显然是不符合提议的。那么最终的答案就是刚才的第一种情况， 小奥最终的取值范围是小于等于三。今天的分享就到这里，同学们再见！
