2025高考数学全国乙卷出题人
还记得二零二五全国二卷数学的第八题吗？藏着出题人对二卷地区考生的偏爱，没有复杂的计算和难点，是历年真题中最简单的单选压轴。
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04:41查看AI文稿AI文稿小尚同学这题视频讲解二零二五年全国二卷数学第十五题。已知函数 f x 就 等于它，其中 f 零等于二分之一。一问囚犯， 因为 f 零等于二分之一，所以 f 零就等于 cosine， phi 就 等于二分之一。又因为 phi 大 于等于零小于 pi， 所以 phi 等于三分之 pi。 现在来看第二问设函数 g x 等于 f x 加上 f x 减六分之派，求 g x 的 值域和单调区间。 因为第一问我们求出来 by 等于三分之派，所以 f x 就 等于 cosine 二 x 加上三分之派， 那么 g x 它就等于 cosine 二 x 加上三分之派， 加上 cosine 二 x 减三分之派，再加三分之派，也就等于 cosine 二 x 乘以 cosine 三分之 pi 减去 c 二 x 乘以 c 三分之 pi 加上 cosine 二 x 就 等于 二分之一。 cosine 二百 x 减去二分之根三 c 二百 x 加上 cosine 二百 x 就 等于二分之三 cosine 二百 x 减去二分之根三， c 二 x 也就等于根三倍。 cosine 二 x 加上六分之派， 因为 cosine 二 x 加六分之派，它是属于负一到一，因此 g x 它的值是负根三到根三。 你们知道 cosine x， 它的大致图像是这样的， 也就是 cosine x 在 零到派上单调递减，在派到二派上单调递增。那么我们令 二 x 加上六分之 pi 大 于等于二 k， pi 小 于等于 pi 加上二 k pi， 其中 k 属于 z。 可以解，这个不等式为， x 大 于等于负十二分之派加上 k， 派小于等于十二分之五派加上 k 派， k 属于 z， 那么 g x 的 单调递减区间就是负十二分之 pi 加 k， pi 到十二分之五 pi 加 k， pi 可以 等于几？我们再令二 x 加上六分之 pi 大 于等于 pi 加二 k， pi 小于等于二派加上二 k 派。解这个不等式可以得到， x 大 于等于十二分之五派加 k 派 小于等于十二分之十一派加 k 派， 其中 k 属于 z， 所以 g x 的 单调递增区间就是十二分之五派加 k 派到十二分之十一派加 k 派， k 属于 z。
1小尚同学
10:57
09:47查看AI文稿AI文稿二零二五全国二卷解析几何压轴面积嫌长算到崩溃，别怕，一个割补法，转换思路，两步秒杀这道十二分大题。今天我们来讲解二零二五高考数学全国二卷的解析几个大题。首先看第一问，让我们求椭圆 c 的 方程， 已知椭圆 c 的 离心率为二分之根号三，长轴长为四。好，提问的话，让我们求出的方程已知的话，长轴的话就是二， a 二， a 等于四，所以呢， a 就 等于二离心率， e 呢就等于二分之根号二， e 又等于 a 分 之 c， 所以 c 呢，就是 a 乘以二分之根号二，就等于根号二。然后我们 b 方也知道， b 方就等于 a 方，减去 c 方就等于四，减去二就等于二，所以 c 的 方程我们就可以写出来。 好，我们看一下第二本， 画下草图先 好过点零负二，零负二，这边是根号二，所以负二在下边零负二，然后与直线过点，过零负二的直线 l 与椭圆 c 交于 a b 两点， a b 两点，然后 a o 为坐标原点，这是 o 下角形 o， a b 的 面积 o， a b 的 面积 s 型 o， a， b 的 面积为根号二。让我们求弦长 a b。 好， 我们看一下这道题的思路， 我们设，首先呢，这个斜率肯定是存在的，如果说这斜率不存在的话， o a b 就 重合了，就没有三角形 o a b 了，所以说肯定是存在斜率的，所以说我们可以设 l 的 斜率 a k， 这样的话，我们就可以写出方程， y 等于 k s， 因为过零负二是去减二， 同时角点 a b 呢， a 点坐标，我们可以写成 s 一 y 一 b 点呢？ s 二 y， 其实呢，这样的话，其实前长 a b 呢，有先乘公式，我们就可以带进去，就有根号下一加 k 方，然后绝对值呢， s 一 减去 s 二，这一块呢，我们可以用北大令替换了， 就是 s 一 加 s 二的平方，减去四倍的 s 一， s 二拆根号就是 就是根号，就是绝对里面 s 一 减 s 二，然后重点的话是求里面有配方嘛，所以重点是求 k， 怎么求 k 呢？我们有面积 s， 三角形 o， a， b 等于根号二，我们看一下这个三角形 o， a， b， 我 们可以切割一下，你看，因为这个点其实我们可以带进去，因为直线呢是 y 等于 k s， 我 们的零， y 等于零，然后就得到 s 呢，就等于 k 分 之二，所以说我们可以设这个点的话为 随便这个吧 n， 所以 说 n 点的坐标呢，就为二分之二零，所以说其实这个面积就可以转化成三角形 o n b 和三角形 o n a， 所以 说 a 三角形 o a， b 就 等于 o n b 加三角形 二分之一呢， k 分 之二，这是底高的话就是这是 y b， 这是 y a， 所以 就是 y b 减 y， 这块呢，也可以用 s b 减 s a， 其实也就是说 s 二减 s 一， k 分 之二， s 一 减 s 二吧。好，我们先把这个面积算一下， 面积呢就是 x l 型 o a b， 它等于两块，就等于二分之一，然后 k 分 底乘高，高的话就是 y， y 一 减 y 二， 这是 y 一 减 y 二， y 一 减 y 二等于二分之一。 k 分 之二的绝对值 y 一 呢，就是 k s 一 k s 一 减去二，再减去 k s 二减去二，就等于二分之一，然后乘以 k 分 之二， 然后再乘以，然后一个 k 可以 提出来 k 的 余值，然后里面剩 s 一 减去 s 二。好，它就等于二分之一。二分一消掉了 k， k 消掉了，就剩了 s 一 减 s 二，它就等于根号二。所以呢， s 一 减 s 二的平方呢，就等于 s 一 加 s 二的平方，减去四倍的 s 一， s 二就等于根号的平方就是二。所以说下面我们需要把 s 一 加 s 二和 s 一 乘 s 二用 k 表示出来，所以说我们需要连立 y 等于 k， s 减二， 然后同样的方程呢，四分之 s 方加上二分之外方就等于一，那我们需要连一这两个我们就可以得到。下面的话，同乘一个四就有 s 方加上二，外方减去四就等于 零。然后我们把外方带进去，就会有 s 方加上二倍的 k 方， s 方加四，减去四 k x， 然后减四就等于零。我们整理一下， s 方加二 k 方， s 方减去八 k x 加上八就等八，再减去个四就等于一加上 二 k 方， s 方减八 k s， 呃，加八减四就是加四等于零，所以我们就化简的，这样的话我们就会得到 s 一 加 s 二就等于负。一分之 b 就是 一加二 k 方分之八 k s 一 乘以 s 二呢，就会有一加二 k 方分之四。好，我们知道 s 一 减 s 二的平方就等于二，所以说就会有呃 s 一 加 s 二的平方就是一加二 k 方，八 k 的 平方减去四倍的 s 一 s 二， 四倍的 s 一 s 二就是四。四十六十六倍的一加二 k 方就等于二。我们整理一下，同一下分呀，一加二 k 方的平方， 十六的 k 方减去十还是六十四六十四的 k 平方，六十四 k 方，减去十六，乘以一加二 k 方就等于二， 好，分子上呢，就会有六十四 k 方，减去十六，减去三十二 k 方，就等于一加 一加二 k 方平方就等于二， 然后上面整理一下，就会有三十二 k 方，减去十六，然后一加二 k 方的平方就等于二，然后我们可以消去一个二除以二，就会有十六 k 方，减去八除以一加二 k 方平方就等于一。好， 然后把一加二 k 方的平方移过去，就会有十六 k 方，减八就会有一加四 k 的 四四方，加上啊二四 k 方， 然后我们可以移向下，就会有四 k 的 数字方啊，加四 k 方，然后减十个 k 方，就是减十二 k 方，然后加一加八，九加九等于零，然后我们可以再一分解一下二 k 方，二 k 方，二三得六，二三得六三 等于负负，然后所以就会有二 k 方，减三的平方就等于零，所以说 k 方呢，就等于二分之三，好，我们 k 方得到了，然后我们知道弦长呢，就是 减长 a， b 呢，就是根号下一加 k 方，然后乘以 s， 一 减 s， 二的绝对值就是一加上二分之三乘以根号二，就是根号下二分之五乘以根号二，就乘以根号五，好，所以说显然就是根号五。 所以说这道题呢，其实核心的话就是我们把这个面积做成切割的方式，就会极大的简化我们的整个过程。好，我们今天的讲解到此为止啦，谢谢大家。
04:23查看AI文稿AI文稿小尚同学专题视频讲解二零二五年全国二卷数学 a 十题已知 f x 是 定义在 r 上的奇函数，且当 x 大 于零时， f x 等于它，得下列哪个选项是正确的？我们现在先看 a 选项， 因为 f x 是 定义在 r 上的奇函数，所以 f 零就等于零。 a 选项正确。当 x 小 于零时， f x 等于多少？若 x 小 于零，那么 f x 大 于零， f 负 x， 它就等于负 x 的 平方，也就是 x 的 平方减三，乘以 e 的 负 x 方加二。就因为 f x 是 奇函数， 所以 f x 就 等于负的 f 负 x， 它就等于三。减 x 的 平方，或者乘以一的负 x 四方减二， 也就是等于负的 x 平方减三，或者乘以一的负 x 减二，那么 b 选项正确。 我们现在来看 d 选项。我们先分析 x 大 于零时， f x 的 单调性， 那么对 f x 的 进行求导，我们可以得到， f 撇 x 就 等于二， x 乘以 e 的 x 次方，加上 x 平方减三，乘以 e， x 次方，就等于 x 平方加二， x 减三，或者乘以 e 的 x 次方， 令 x 平方加二， x 减三等于零，这是一，就是三。然后我们可以得到， x 等于一，或者 x 等于负三， 这是 x 等于一，这是 x 等于负三。 因为 x 是 大于零的，所以当 x 大 于零小于一时， f x 是 单调递减的。当 x 大 于一时， f x 是 单调递增的， 那么 f x 它在零到正无穷上的单调性是这样的，单调递减，单调递增。 因为 f x 它的奇函数，所以我们可以得到 f x 在 负无穷到零上的单调性是这样的。 根据它的单调性，我们可以知道， x 等于一是 f x 它的极小值点，因此 x 等于负一是 f x 的 极大值点，所以 d 选项是正确的。现在我们来看 c 选项，他说 f x 大 于等于二，当前减到 x 大 于等于根三， 我们随便取一个数，假设取 x 等于负一，那么 f 负一，它就等于 三。减一乘以 e 减二，也就等于二 e 减二，因为 e 是 大于二的，所以二 e 减二是大于二的， 但是负一它是小于根三的， 因此这个结论是错误的， c 错误排除。
1小尚同学
8864孙雷逸风
11:08查看AI文稿AI文稿回归基础系列，咱把这个二零二五年的全国二卷给大家讲一下。前八道都给大家讲了，比这一卷的难度要小不少，来吧，看吧。第一题，求平均数，那平均数就是所有数字一加除以数字总个数就行了，我就不再算了啊，全部一加除一个五，算了，多少就是多少。 第二题， z 等于一加 i， 那 z 减一，那就一加 i 减一，那就变成了一个 i 分 之一， i 分 之一，那你分子分母都乘一个 i， 或者乘一个负 i 都行，乘以 i 或负 i 都可以，我乘一个 i 吧。 好，都乘一个 i， 分 子、分母都给它乘一个 i， 那 上面变成 i 了，下面变成负一了，结果就是负 i 负 i， 单选 a 就 可以。 第三题，集合集合 a， 集合 b， 问它交起这个地方要注意啊，集合 b， x 三次方等于 x， 你 可别上来都两边都出一个 x， 那 你就忽略了一个根，零这个根，你就忽略了。 这是当 x 等于零的时候，这等式直接成立。 x 不 等零的时候，两边都除以一个 x 变成 x， 平方等于一， x 等于正负一，三个根一共。所以他俩交集应该是只剩了一个一，只剩了一个一 啊。零和一，答案应该选择零和一两个根啊。好，接下来第四题，第四题，同学们，我能不能两边都乘以 x 减一，都乘以这个分母行不行？ 不行，记住啊，不行，这是一个分式不等式，你不能两边都乘一个分母。为什么呢？因为你不知道这个 x 减一是正是负呀，你乘过去之后，不等式的方向变还是不变呢？ 那这种分式不等式我应该怎么减？看清楚了啊，你不能乘两两边都乘 x 减一，你不知道的正负。那你那我两边都乘一个 x 减一的平方行不行？ 两边都乘以 x 减一的平方行不行？那当然可以了，那就变成 x 减四，乘以 x 减一大于等于二倍的 x 减一的平方，就变成它了。 你左边乘 x 减一的平方约掉了一个，剩了一个 x 减一，右边还有 x 减一的平方，然后你给它展开看了啊。 嗯， x 平方减去， x 减去四， x 加上四大于等于二， x 平方减四， x 加上一个二。把这个式子把左边的都挪到右边来吧。左边都挪到右边来，那就变成了一个 x 平方， 这是减四， x 去掉加上一个 x， 然后减去一个二小于等于零啊，我是把这些东西都挪到了不等号右边去，就变成这个式子。这是一个开口向上的二次函数， 两个根 x， x 二和负一，它俩相乘等于它，它俩相乘等于它交叉相乘，加起来等于中间这一项， 然后横着结合，一个根是负二，一个根是一负二。一要小于等于，那就要中间这一部分大于等于负二小于等于一。这个地方又一个坑，朋友们又一个坑，你切记，这个分母是不能等于零的， 切记，这个分母是不能等于零的，所以这个地方二能取负二能取得到这个零一，可是取不到，只能是大于等于负二小于一。所以答案选 c， 答案选 c。 这里面题目并不复杂，但是有一些细节你要你要注意好这道题， bc， bc 就是 a， a 等于二， ac 就是 b， b 等于一加根三， ab 是 c， c 等于根六。要求一个角的度数，首选求它的余弦值，这我只需要一个余弦定理就结束了。 域线定律是， b 方 c 方减 a 方比上一个二 b， c 把这些值，把这三个值都往这里面一套， cosine a 的 值就求出来了。这个地方我给大家说一个错误的点，你看啊， 三 a 如果等于二分之一，你不敢上来，就说三 a 等于二分之一， a 就 等于三十度，不一定，三十度和一百五十度都可以，明白吧？在一零到一百八这个范围内，三的只对应的是两个角， cosine 的 只对只对应一个角，这求出来之后，你一看是多少度就是多少度就行了。这个需要注意啊， 因为互补的两个角正线，这是相等的。好，接下来第六题，第六题，抛物线，我给大家统一画一下，抛物线一共有四种， 开口向右，准线在这开口向左，准线在这，开口向下交点准线都有画， 怎么去区分这四个，并且把他们的嗯方程对应上。你记住一句话，叫十一次在谁轴， 十一次焦点就在谁的轴上。你看这个焦点在外，在 x 的 正半轴，那就应该是外方等于二 p x 在 外的的负半轴，外方等于负的二 p x， 你 看它的次数， x 的 次数都是一， 谁的次数是依次的，交点就在谁的轴上，正的就是正半轴，负的就是负半轴。像这点，交点肯定在外轴上，所以 x 方等于二屁 y， x 方等于负二屁 y， 它们的交点和准线都跟二分之 p 有 关系。二分之 p 到零， x 等于负二分之 p， 零到二分之 p， y 等于负二分之 p， 零到负二分之 p 外点二分之 p。 好， 这是最基本的东西。抛物线的定义，角平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合叫抛物线。好，画一个图像，画一个图像，大概长成这个样子， 然后说它上面有一个点 a， 上面有一个点 a， 过点 a 往准线上做垂线，准线上做垂线，垂足为 b， 然后这是 f 连接一下 b， f， 说这个 b f 的 方程是它，那太好算了。同学们，那这个直线与 x 交点不就是点 f 吗？那它与 x 交点，你就让 y 等于零，让 y 等于 x 就 等于一，所以这个点 f 的 坐标就是一到零。 那人家原本是二分之 p 都零啊，你现在是一都零，那二分之 p 不 就等于一吗？ p 就 等于二。所以这个方程也求出来了，是 y 方等于四 x， 然后呢，点 b 的 坐标我也能算，因为这这不是二分之 p 吗？长度是二分之 p， 所以 横坐标是负一，纵坐标是四，你套在这个方程里面就行。 那点 a 和点 b， 它它的纵坐标是一样的，那纵坐标是四，你往你往这个抛物线的方程里面一带第一象限，横坐标也是四，所以这段的长就是四加一， 它到焦点的距离等于到准线的距离。抛物线任意点到焦点距离等于到准线的距离。你切记，如果考试的时候考这种圆锥曲线了，一定会考它的定义，抛物线就是到焦点的距离，到等于到准线的距离，椭 圆就是抛物线呢，点到两个焦点的距离之差是等于二 a 就 可以了。 好，第七题，等差数列 s 三 s 六， s 三 s 五，让求 s 六，我只需要把 a 一 和 d 求出来不就行了吗？你看啊，我给你总结个规律，我写到边上， s 一 就是第一项的和，就 a 一 s 二，你知道它是 a 一 加 a 二， a 一 就是 a 一， a 二是 a 一 加 d， 所以 是二， a 一 加上 一个 d s 三是 a 一 加 a 二加 a 三三 a 一 加上三个 d s 四是四， a 一 加上六个 d s 五是五， a 一 加上 十个 d s 六等于六， a 一 加上十五个 d。 像这种东西，因为在等差数里里面，他们经常会遇到，所以我的学生我都是让他们直接背下来的，因为经常要遇到，直接给它切成多少 a 多少 d 就 行了。那你像这 s 三 s 三，那我直接列个式子，三倍的 a 一 加三 d 等于六 s 五是五倍的 a 一 加上十 d 等于负五。这二元一次方程组求出来 a 一 求出来 d， 然后往这里面 s 六里面一套，这就结束了， 很简单的一道题啊。好，接下来看第八题。阿尔法在零到派之间有可能是第一象限，有可能第二象限。那 cosine 二分之二阿尔法，阿尔法在零到派之间二分之二分呢？肯定在零到， 阿尔法在零到派之间，二分之阿尔法就在零到二分之派之间。因为第一项线 cosine 它 cosine 它在等于五分之根五，然后让求这个式子，我直接用两角合成公式就行。三，阿尔法 cosine 四分之派，也就二分之根二减去 cosine 阿尔法。 哎，所以这个式子我只需要把 cosine 阿尔法和 sine 阿尔法这两个式子给求出来就行了。 cosine 阿尔法， cosine 阿尔法，简单，这我用一个被角公式就可以解决掉，你看 cosine 二阿尔法等于二倍的 cosine 方阿尔法减一，将阿尔法换成二分之二阿尔法，令阿尔法等于二倍的 cosine 方二分之阿尔法减一， 你把这个东西五分之根往里面一带，五分之根五的平方二十五分之五，五分之一， 然后五分之二减五分之一负五分之三，这个不就求出来了吗？再有同学们，再来个正弦，再来个正弦的二倍角。公式三，二阿尔法等于二倍的三阿尔法。 cos 阿尔法，把这个阿尔法换成二分之阿尔法。跟刚才一样的道理， 那 sin alpha 就 等于二倍的 sin 二分之 alpha 乘以 cosine 二分之 alpha， 对 吧？这个东西我已经知道了，人家给了是等于五分之根五，等于五分之根五在这，那你得根据 cosine 二分之 alpha 把这个 cosine 二分之 alpha 给求出来。你怎么求呢？有两个， 第一个，你可以画个直角三角形标，任何一个角乘二分之 alpha 都行。一个锐角啊，那 cosine 它就邻边比斜边，我假设它是根五，它是二 啊，它是五，五分之根五，那这边购物定一求是二倍根五，那它的 same 值就等于对边比斜边五分之二倍根五，那就二乘以五分之二倍根五乘以一个多少来着？五分之根五，你就可以求出来 same， 不 管它第一项形，第二项形都是正的，所以我这就没有直接写成它是正的了。当然你说我这个，我不理解为什么把它画成一个这样形，那你想这个东西也行， 任意一个角，它正弦的平方和余弦的平方是和等于一，你把它等于五分之根五带进去，你就可以求出它去那个正的就行。好，那这份试卷就给大家讲完了啊，稍后我会把答案放在评论区。
820张杰杰数学
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