2023年数学一本线

高中数学不用慌，小江带你一起闯！各位同学大家好，欢迎来到我们的高考大题专题突破函数合集， 今天我们要给大家分享的是二零二三年全国一卷的第十九题，这道题目呢，难度也是比较适中的。第一小问就是我们在导数里面最常出现的，根据参数的范围去讨论 f x 的 单调性。 第二小问呢，也是导数的高频考点，就是不等式的一个证明，那么接下来我们就具体来看一下。首先我们在讨论函数的单调性的前提是去明确函数的定义，那么这里的话，函数的定义显然是 x 属于二的。然后接下来呢，我们就可以进行求导， f 一 撇 x 等于 a 倍的 e 的 x 减一，那么在这里其实也是很明确的， 我们要想讨论单调性，最重要的是搞清楚 a 的 范围，那么由于在这里呢，后面是一个负的，而这里是一个正的，这里是负的，所以我们会发现，当 a 为 负数或者为零的时候，整个一阶导是负的，那这个时候就比较明确了，所以我们对于 a 的 分类标准就是小于等于零和大于零。 那么我们来写一下，首先当 a 小 于等于零时，显然我们的 f、 e、 p、 x 整体是小于零的，那么 f x 就 会在它的定域范围内单调递减。 第二种情况是 a 大 于零的时候，那么我们对 e 阶导求零点 f， e， p x 等于零，那么这样的话， e 的 x 等于 a 分 之一 退出来， x 等于 long， a 分 之一，也就是负的 long a。 那 么我们再分析一下一阶导的单调性啊， 由于我们这里 a 是 正的，所以这个 a e 的 x 减一，这个函数整体上是单调递增的，而这里有一个零点是负的 long a， 所以 以这个点为分界线，左负右正，单调性就很清晰了。 所以当 x 属于负无穷到负的 long a 的 时候， f 一 撇 x 小 于零， f x 单调递减， 而当 x 属于负的 long a 到正无穷的时候， f 一 撇 x 大 于零， f x 单调递增。 好，这个就是我们的第一小问，根据参数的范围去讨论单调性比较简单，接下来我们来看一下第二小问， 我们可以先分析一下啊，让我们证明当 a 大 于零的时候， f x 大 于它，那么根据我们去证明不等式的一般思路，大家想一下，我要证明这个函数大于二倍的，论 a 加二分之三是不是等价于去证明它的 最小值，大于二倍的 long a 加二分之三就可以了，对不对？所以接下来我们是需要对这个函数怎么样，是不是求导看最小值就可以了啊？所以我们根据这个思路来进行第二小问好。首先呢，由一，我们知道， 当 a 大 于零时， f x 在 负无穷到负的平方 a 是 减的，而在负的平方， a 到正无穷是增的，所以 f x 的 最小值应该是在负的平方 a 的 时候取到，对不对？我们代入就是 a e 的 负的 long a 加 a， 然后再加上 long a， 而 e 的 负 long a 就是 a 分 之一，然后我们整个展开，其实就是一加 a 的 平方加上 long a， 那 么接下来我们可以说要证 f x 大 于我们这里的二倍的 l n a 加二分之三，然后集正 f x 的 最小值，也就是一加 a 方加上 l n a 大 于二倍的 l n a 加二分之三，那么我们可以进行一个移项，把一边变为零啊，集正什么呢？ a 方减去论 a， 这里应该是减二分之一大于零，那么接下来我们要证明一个关于 a 的 表达是大于零，那么这样的话，就可以把它想象成是一个关于 a 的 函数，对不对？按照我们的思路，那么我们可以怎么样呢？去设这个函数是 g， a 等于 a 方减去论 a 减二分之一， 然后我们说要证 g a 要怎么样呢？大于零， 那么其实我们证什么就可以了，是不是证明他的最小值大于零就可以了？那么接下来我们是不是要求这个函数的最小值呀？对吧？好，所以我们要进行求导啊，那么求导的前提是明确范围，这里 a 是 大于零的。 好，所以我们来求导。记一撇， a 呢，就等于二， a 减去 a 分 之一，然后通分等于 a， 二， a 方减一， 显然在这里分母是正的，我们的整个一阶导的正负完全取决于分子，而分子在这里呢，又是一个开口向上的二次函数， 根据我们的定域是零到正无穷。我们只看右边这一部分，这里的零点显然是多少呢？是不是应该是二分之根号二呀？对吧？所以我们可以直接写啊，当 a 属于 零到二分之根号二的时候，我们的 g 一 片 a 是 小于零的， g a 是 单调递减的， a 属于二分之根号二到正无穷的时候， g 一 撇 a 是 大于零的， g， a 是 单调递增的。那么这样的话，我们就在 a 的 时候取到先减后增，取到极小值，所以 g x 大 于等于二分之 根号二。代入的话，首先就是二分之根号二的平方，减去零二分之根号二，然后再减 二分之一，我们来看一下啊，那么在这里二分之一和二分之一约掉了，对吧？所以这个结果就应该等于负的零二分之根号二，而我们知道这里的话，二分之根号二， 它其实就是二的负二分之一次，所以整个的话，零二分之一的零二跟前面的符号约掉以后，就等于什么？ 等于二分之一的零二，那么显然它是大于零的，因为零二是大于零的啊，那么这样的话，我们得到 g x 整体大于零，那么是不是就正完了，对吧？那么在这里我们会发现啊，这里应该是 g a 啊，那么这样的话， g a 大 于零，我们就正完了，因为它的最小值都是一个正数，那就正 b 了。 好，那么我们这个题目就是这样的，我们接下来给大家再来把这个问题梳理一下啊。 首先呢，我们要证明这里的 f x 大 于二倍的洛 a 加二分之三，那么就相当于要证明它的最小值大于二倍的洛 a 加二分之三。那么经过我们第一问的分析呢，我们知道 f x 的 最小值在这里是等于一加 a 方加上洛 a 的， 所以问题就转化成了这个不等式，最终经过化简，也就是 a 方减洛 a 减二分之一，要大于二， 要大于零，那么我们的做法就是把它看成是一个新的函数，通过呢去求这里的 g a 的 最小值得到了，它是 g 二分之根号二是一个正数，最小值都是正数，那么整体当然大于零啊，然后就正完了，那么我们今天的分享就到这里。