江苏卷压轴题
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06:57查看AI文稿AI文稿我们继续来看这道题的第三问，上两个视频给大家分别分享了第一问和第二问，我们看一下第三问，当 a 等于一的时候，让证明这样一个式子累加的和是小于三分之一的。细心的同学可以看到，其实第二问是第三问的一个特例，第二问给出的 a 一是小于等于二分之一的时候，让证明这个式子小于三十二分之一。那么在去掉这个条件的第三问如何来证明 这道题？难就难在我们第三问的证明和第二问之间没有太多的联系。按常规的来说，第二问是第三问的一个特例，我们第三问也应该像第二问似的，直接利用放缩法可以证明出来。但是这道题如果直接利用放缩法，显然无法证明 这是这道题难的地方，那么还是利用到第一问的条件。由第一问我们得到的 a n 的通向公式是，等于 a 乘以 a 分之 a 一二的 n 减一次密。这个题目当中说了，当 a 等于一的时候，那我们的通向 an 即为 a， e 的二的 n 减一次密。再看看目标是我们还是用 s 来表示等于 e， b， c， m， k 等于一， a k 减去 a k 加一项，再乘以 a k 加二项，那我们通常的思路其实是将后面的这三项式子给他展开成两项，最后利用累加法呀，或者是列项相削啊这样的式子来进行放缩。 但是看到这个题目那个思路好像也不大能行得通，那我们就一步一步的往下做做看看，就将 a k， a k 加一， a k 加二，分别用 通向公式给他先带进去表示出来看看伊布西兰姆， k 等于一 n 倍的，那么 ak 即是 a 一的二的 k 减一次密，减去 a 一的二的 k 次密，再乘以 a 一二的 k 加一次密。 那么这个题我们要想继续往下处理，就先要处理括号里的这两个部分，先将它进行降密，我们利用磊晨的思想给他进行降密的话， 重新给它换一个符号，令 j 等于一的话，将括号里头的 a 一写成 a 一的 j 十米，那么 这里头的 j 的最高取值应该是二的 j 次密减一，这样就对这个密指数进行了一次降密，后面的自然而然是 a 一的 j 加一次密，就得到这样一个式子，这个括 号外的这个式子我们怎么办？我们是否也来降密处理？还是说直接利用切线放缩？到这里我们看看这个部分，二的 k 加一次密，我们直接给他利用切线放缩，他应该是大于等于二的 k 加一的， 这是一个现象，放缩方程二点， x 是密大于等于二 x， 那么由于 a 一是大于零小于一的一个数， 我们将它的指数部分进行了缩小，那么它的原来的数字就应该扩大了。指数函数，当它的底数大于零小于一的时候，它是个递减函数， 所以我们给他做一步放缩，让他小于等于 a 一的二的这一加一次米。很多同学这一步可能还不大容易理解啊，其实我们将可以取一个数看看，假如取 k 等于三， 那么这里头其实就相当于是 a 的四次方减去 a 的八次方，我们就添项减项。初中中学过 a 四减 a 五，加上 a 五减 a 六，加上 a 六减 a 七， 再加上 a 七减 a 八，我们最后处理是这里可以提取 a 四，一减 a， 提取 a 五，一减 a， 就这样一个处理思路。最后利用降密到这一步的话，我们到这里就可以提取长数部分了，因为 a 一我们给他看作一个长数的话，那么到这里他是等于 提取一个一减 a 一，那么后面提取一个 a 一的平方，这个长数最后的这个部分，咱的递加部分就成了 a 一的三这一次密。那么最后就是对这样一个等比数列进行求和，这个 等比数列的第一项 a 一是等于，我写一撇更好理解。这个等比数列的第一项是 a 一的三次方，他的公比也是 a 一的三次方， 那么它的前一相和其实就是等于 a 一乘以一减 q 的 n 次方，比上一减 q， 分别代入的话，其实就是 a 一的三次方。乘以一减去 a 一的三 n 次方，比上一减 a 一的三次方。 那么这里我们知道 a 一是一个正数，所以它既小于 a 一的三次方，比上一减 a 一的三次方， 我们在这里就用一步放缩，再放缩一步，就是一减 a 一乘以 a 一的平方，再乘以一减 a 一的三次方，分支 a 一的三次方。 那么这个式子我们再看看如何化解一减 a 一的三次方，我们可以用立方差公式给它写成一减 a 一乘以一的平方，加上 a 一，再加上 a 一的平方， 这两项消掉，那么原式即为一加上 a 一，加上 a 一的平方，分之 a 一的五次方。目标是让我们要求证他小于三分之一，我们就将这个代数式化，减到这一步，分子分母同时除以 a 一的五次方， 那么即等于 a 一的五次方分之一，加上 a 一的四次方分之一，加上 a 一的三次方分之一分之一。由于这个 a 一是大于零小于一的数，所以这个数肯定大于一，这个也大于， 这个也大于一记，他们整体的肯定要大于三，所以他的分母值最后小于三分之一。这个题到这就正完了，我们回头看一下这个题，他难在我们第一个不能直接利用第二问常规的放缩来直接证明第三问， 虽然第二问是第三问的一个特殊情况，就是当 a 等于一， a 一小于等于二分之一的时候，我们震得了他小于三十二分之一，但是无法用第二问的结果直接带入第三问来证明。 那么第二个难点就是这里我们对这个通向当中的密指数进行降密的时候，这是同学们应该学会的一种方法。首先要降密，如果不降密的话，很难操作。对后面这一项，利用切线放缩，最后提取长竖向得到一个等比数列求和。利用 a 一大于 零小于一，反复利用这个条件进行放缩。到了这里利用立方差公式消掉相同的项，再用一部 a 一大于零小于一进行放缩，最后震得了我们要争的目标。好，这个题要给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。
401张文龙《解题王》主编
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