2016数学高考全国
二零一六年的高考导出大题啊，绝对是中国高考导出上非常非常高，无可逾越的一个高峰，也就是十年前的二零一六年。为什么这么说？看这些题目就知道了。说我晚上整理讲课的时候，无意中发现，这些题目它居然都集中在二零一六年。首先这个第一问伟大，无需多言吧？伟大无需多言，偏移， 是所有的片面问题，难以逾越的一个高峰。虽然它的出世并不是二零一六年，二零一零年天津舰就有，但是二零一六年绝对是它开始在全国各地遍地开花的一个时装之年，非常重要。第二个，伟大，同样无需多言。什么探路， 近十年里面不用多说了，探路的重要性有多大，它也是同样一个开箱盒年份。 第三个，这个可能大家没什么印象，主源法，主源法在导出的一些负债大题里面，它同样有非常重要的作用，可以帮助你极大的简化讨论和计算，主源法的含金量毋庸置疑。 四、这什么三角倒数三角不等式，近十年，特别是近几年怎么样遍地开花，形势纷繁多样，他也在二零一六年其实就已经有了，依旧是一个非常经典的题型，已经衍生出了各种各样的形式，眼花缭乱。 第五个也是来自于我所在的江苏的二零一六年，这样的卷子，我特别喜欢这道题，它呢形式和结构都比较新颖，而且难度呢也比较适中， 他考了一种不太常见的一个函数结构，也是在考试时非常考察一个学生的综合能力的。所以总的来说啊，二零一六年的这个导数，我觉得在近十年他绝对是非常有识别度的一个年份，他里面出现了大量的经典题型， 这些题型他涉及到的方法也影响了后续很多年的命题，还有我们平时某考的备考调研等等，这张年份的卷子伟大无需多言。
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11:13查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是二零一六年全国一卷理科的第二十题，想冲一百三十分以上，这道解析几何大题的轨迹和面积范围，必须拿下 这题第一问的轨迹，如果硬算，计算量直接爆炸，他真正考的是你能不能用定义法秒杀。咱们先来读一下题， 已知圆 x 的 平方加 y 的 平方加二， x 减十五等于零。圆心为 a， 直线 l 过点 b 一 逗号零，并且不与 x 轴重合，交源于 c， 逗号 d 两点过 b 做 a， c 的 平行线，交 a， d 于 e。 第一问，证明 e、 a 的 长度加 e， b 的 长度为定值，并写出 e 的 轨迹方程。 第二问，设 e 的 轨迹为 c， 一 直线 l 交 c 一 于 m， 逗号 n 两点过 b， 并且与 l 垂直的直线交圆 a 于 p， 逗号 q 两点，求四边形 m p、 n q 面积的取值范围。 这道题的大方向很明确，咱们第一问，利用平面几何性质，结合椭圆定义找轨迹。第二问，常规设直线方程，利用弦长公式把面积表达出来，再求最值。 好，咱们先看第一问，要求 e a 加 e b 的 长度。你看图， e 点在 a、 d 上，所以 e a 加 e d 就 等于半径 a、 d， 那 如果能证明 e、 b 等于 e、 d， 这事不就成了吗？ 题目给了一个关键条件， be 平行于 a、 c 平行能带来什么？同位角相等啊？直线 l 穿过 b， 逗号 c， 逗号 d， 所以 角 a、 c、 d 就 等于角 e、 b、 d。 这就是咱们迈出的第一步。接下来咱们再看圆里的三角形， a、 c、 d、 a 是 圆心， c 和 d 都在圆上，所以 a、 c 等于 a、 d， 它们都是半径，等边对等。角角 a、 c、 d 必然等于角 a、 d、 c 也就是角 b、 d、 e。 你 把这两个等式连起来看，角 a、 c、 d 等于角 e、 b、 d。 角 a、 c、 d 又等于角 b、 d、 e。 替换一下，咱们就得到了角 e、 b、 d 等于角 b、 d、 e。 在一个三角形里，两个底角相等，那它就是等腰三角形，对不对？所以边 e、 b 就 等于边 e、 d。 这步很关键，有了 e、 b 等于 e、 d， 咱们把题目要求的 e、 a 加 e、 d 替换成 e、 a 加 e、 d。 你 看 e 点正好在线段 a、 d 上，所以 e、 a 加 e、 d 刚好就等于线段 a、 d 的 长度。 a、 d 是 圆的半径。咱们把圆的方程配方一下，圆方程是 x 的 平方加 y 的 平方加二 x 减十五等于零。把常数项负十五移到右边，变成正十五，左边剩下 x 的 平方加二 x， 咱们给它加上一，凑成完全平方式。为了保持等式成立，右边的十五也要加上一 配方，得到 x 加一的平方，再加 y 的 平方等于十六。所以圆心 a 的 坐标是负一，逗号零，半径二等于四。这就证明了 e、 a 的 长度加 e、 b 的 长度等于定值四。 接下来求轨迹方程，很多同学在这里会犯错，算出定值就直接写椭圆方程了。千万别急，先判断一下定值和焦距的关系。 e、 a 加 e、 b 等于四。咱们看看 a 和 b 的 距离， a 是 负一，逗号零， b 是 一逗号零，所以 ab 的 距离是二。 定值四大于两点间的距离。二完全符合椭圆的定义，所以点 e 的 轨迹就是一个以 a 和 b 为交点的椭圆，在这个椭圆里，焦距二， c 等于二，所以 c 等于一。长轴二， a 等于四，所以 a 等于二，那 b 的 平方就等于 a 的 平方减去 c 的 平方，也就是四减一等于三。 焦点在 x 轴上，所以椭圆的方程就是四分之 x 的 平方，加上三分之 y 的 平方等于一。第一问咱们就轻松拿下了。 接着咱们来看第二问，要求四边形 mpn q 的 面积范围。你看题目说 pq 垂直于直线 l， 也就是 pq 垂直于 m n， 对 角线互相垂直的四边形面积怎么算？这里有个非常重要的技巧，它的面积 s 就 等于二分之一，乘以对角线 m、 n 的 长度，再乘以对角线 p、 q 的 长度。 所以咱们的目标很明确，分别求出 m、 n 和 p、 q 的 长度。直线 l 过点 b 一 逗号零，而且不和 x 轴重合。所以咱们可以设直线 l 的 方程为， x 等于 m， 乘以 y 加一， 把它带入椭圆方程四分之 x 的 平方，加三分之 y 的 平方等于一。为了好算，咱们先把椭圆方程两边同乘十二，变成三倍的 x 的 平方，加四 倍的 y 的 平方等于十二。 把括号展开，变成 m 的 平方乘以 y 的 平方，加上二，乘以 m 乘以 y， 再加一，然后乘以三，就是三倍的 m 的 平方，乘以 y 的 平方，加上六，乘以 m， 乘以 y， 再加上三，最后还要加上外面的四倍的 y 的 平方等于十二。 咱们把同类项合并一下，提取出 y 的 平方，括号里面就是三倍的 m 的 平方加四， y 的 一次项是六，乘以 m 乘以 y 长竖项是三，减去右边移过来的十二，也就是减九。 所以整理后的方程就是括号三倍的 m 的 平方加四，反括号乘以 y 的 平方加上六乘以 m 乘以 y 减去九等于零。接下来我们要用维达定律找到交点纵坐标的关系。 设 m 点的纵坐标是 y 一， n 点的纵坐标是 y 二。那么 y 一 加 y 二，就等于负的 a 分 之 b， 也就是三倍的 m 的 平方加四分之负六。 m， y 乘以 y 二呢，等于 a 分 之 c， 也就是三倍的 m 的 平方加四分之负九。有了这两个式子，咱们就可以求弦长 mn 了。 根据弦长公式， mn 的 长度等于根号下一加 m 的 平方，再乘以 y 一 减 y 二的绝对值。 y 一 减 y 的 绝对值怎么算？咱们把它变成根号下括号， y 一 加 y 二的平方减去四倍的 y 一 乘以 y 二。 咱们把刚才维达定律的结果带进去算一下， y 一 加 y 的 平方就是括号三倍的 m 的 平方加四，反括号的平方分之三十六倍的 m 的 平方减去四倍的 y 二代符号负负得正，就变成了加上三倍的 m 的 平方加四分之三十六。 为了通分，咱们把后面这项的分子分母同时乘以三倍的 m 的 平方加四，这样分子就变成了三十六乘以三倍的 m 的 平方加上三十六乘以四，展开就是一百零八倍的 m 的 平方加上一百四十四。 把它和前面那一项的分子三十六倍的 m 的 平方加起来，总共是一百四十四倍的 m 的 平方加上一百四十四，提取共因子一百四十四，分子就变成了一百四十四乘以括号 m 的 平方加一。 把这个结果开根号分子一百四十四，开出来是十二分母，因为是平方，开出来就是三倍的 m 的 平方加四，里面还剩下一个根号下 m 的 平方加一， 别忘了嫌长。公式，最前面还有一个根号下一，加 m 的 平方，这两个根号成在一起，根号就去掉了，变成 m 的 平方加一。所以咱们得到了 m n 的 长度，它等于三倍的 m 的 平方加四分之十二，乘以括号 m 的 平方加一。好， m n 的 长度搞定了。接下来求 p q 的 长度。 p q 是 圆的一条弦，求圆的弦长，咱们绝对不要去连立方程，太麻烦了，直接用几何法勾股定理最快。 p q 垂直于直线 l， l 的 方程是 x 等于 m 乘以 y 加一，斜率是 m 分 之一，那 p q 所在直线的斜率就是负 m。 又因为 p q 过点 b 一， 逗号零，所以 p q 的 直线方程就是 y 减零等于负 m 乘以括号 x 减一。咱们把它画成一般式，把负 m 乘进去，一向得到 m 乘以 x， 加上 y 减去 m 等于零。求嫌长 p q， 咱们先求圆心 a 到直线 p q 的 距离 d。 圆心 a 的 坐标是负一，逗号零代入点到直线的距离。公式，分子是绝对值下负二， m 的 绝对值分母是根号下 m 的 平方加一， 所以距离 d 就 等于根号下 m 的 平方加一分之负二。 m 的 绝对值圆的半径 r 咱们第一问算过了，等于四。 根据勾股定律，半弦长的平方等于半径的平方减去距离 d 的 平方，所以 p q 的 长度就等于两倍的。根号下 r 的 平方减去 d 的 平方。咱们把数字带进去算， r 的 平方是十六， d 的 平方是 m 的 平方加一分之四倍的 m 的 平方十六减去它，咱们通分一下， 十六乘以 m 的 平方加一，就是十六倍的 m 的 平方加十六。再减去四倍的 m 的 平方，分子就变成了十二倍的 m 的 平方加十六。提取共因数四就是四乘以括号三倍的 m 的 平方加四。 把这个四开根号拿出来变成二，和最前面的两倍成在一起，就是四倍。所以 p q 的 长度等于四倍的根号下 m 的 平方加一分之三倍的 m 的 平方加四。 现在 m n 和 p q 的 长度都有了，咱们终于可以算面积 s 了。面积 s 等于二分之一，乘以 m n， 再乘以 p q。 把刚才的两坨式子乘起来，二分之一乘以 m n 前面的十二变成了六，再乘以 p q， 前面的四变成了二十四。剩下的部分，咱们把 m n 里的 m 的 平方加一，放进根号里，变成它的平方。 这样所有的式子都在根号里面了，咱们看看根号里面是什么？ m n 共现了分子 m 的 平方加一的平方加四的平方。 p q 贡献了分子三倍的 m 的 平方加四，分母 m 的 平方加一。你看，这里发生了一件非常美妙的事情，分子分母可以大量约分，约分之后，根号里面就只剩下 m 的 平方加一，除以三倍的 m 的 平方加四。 所以面积 s 就 等于二十四乘以根号下三倍的 m 的 平方加四，分之 m 的 平方加一。最后一步求这个面积的取值范围。这里很多同学会犯错，对着这个根式求值域的问题，咱们用分离常数法 把根号里面的式子变形，分子是 m 的 平方加一，咱们给它凑出分母的样子。现在分子分母同时乘以三，变成三倍的 m 的 平方加四分之三倍的 m 的 平方加三。为了等式成立，最前面要乘个三分之一， 然后把分子的三倍的 m 的 平方加三，写成三倍的 m 的 平方加四，再减去一。这样一拆，根号里面的式子就变成了三分之一，乘以括号一，减去三倍的 m 的 平方加四分之一。 咱们来观察这个式子， m 的 平方一定大于等于零，所以分母三倍的 m 的 平方加四，一定大于等于四，那么它的倒数也就是三倍的 m 的 平方加四分之一，就一定大于零，并且小于等于四分之一。 用一减去这个倒数范围，就是大于等于四分之三且小于一。再乘以最前面的三分之一范围，就是大于等于四分之一且小于三分之一，这就是根号里面整体的范围。现在咱们给它开根号四分之一，开根号是三分之根号三， 所以根号整体的范围是大于等于二分之一且小于三分之根号三。最后别忘了最外面还有个系数，二十四，把二十四乘进去，二分之一乘以二十四等于十二，三分之根号三，乘以二十四等于八倍的根号三。所以面积 s 的 取值范围就是大于等于十二，小于八倍的根号三。这就是咱们这道题的最终答案， 用区间表示就是左边中括号十二，右边小括号八倍的根号。三、咱们来总结一下这道题。第一问的定值和诡计，千万不要死算，看到平行线和圆，马上找同位角和等腰三角形，用椭圆定义，一步到位。 第二问是经典的面积最值问题，嫌长公式配维达定律是固定套路，但计算过程一定要细心。最后求范围是分离常数法是处理这种分式的必杀技，一定要熟练掌握。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知椭圆 c 的 方程为三分之 x 的 平方加 y 的 平方，等于一 直线 l 交椭圆 c 于 a， 逗号 b 两点，且直线 l 过点 p， 一 逗号零过点 p 做与 l 垂直的直线交椭圆于 m， 逗号 n 两点。求四边形 a， m、 b， n 面积的最小值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
89杨老师数学冲刺
03:44查看AI文稿AI文稿这是二零一六年高考理科数学全国一卷的第二十题，这道题在试卷中位于解答题倒数第二题的位置。这个视频将带你走进这道题的试题。命 题方指出，本题的第一问经过了数次修改，你可以先暂停做做这题的第一问。 当年本题的得分率为百分之十，说明本题还是有难度的。应该有不少同学都卡在了本题的第一问，所以我们先过一遍参考答案中的解析思路。 先来会知本题的示意图，根据题干中给出的方程画出圆 a。 接下来过点 b 画出不与 x 轴重合的直线 l， 它与圆交于 c、 d 两点， 然后过点 b 做 a 四的平行线。记，这条直线与 a、 d 交于点 e。 题目要我们证明 e、 a 加 e b 为定值。我们在图中演示一遍证明过程。 因为这两条线段都是圆的半径，这俩又是我们做出的平行线，所以这三个角相等。根据等边三角形的性质，可以推出这两条边相等，所以 e a 加 e b， 也就等于这两相加，也就等于圆的半径长度。四、 不难发现，这条结论符合我们在教材中学习过的椭圆的定义，那么求点一的轨迹方程，也就是顺水推舟的事了。最后要注意到，直线 l 与 x 轴不重合，所以 y 等于零不可取。 当然，我们也可通过几何直观来验证点 e 的 轨迹。不妨让直线 l 出使时垂直于 x 轴。直线与圆交于 c、 d 两点既可以从上至下的交，也可以从下至上的交。 让直线绕点 b 逆时针旋转，可以看到，随着直线 l 倾斜角的增大，左图形成的轨迹为左半椭圆，右图形成的轨迹为右半椭圆，这两个轨迹合起来就是我们最终求得的点一的轨迹。 如此，我们便验证了前面求出的轨迹方程是正确的。命题方指出，在本题的数次修改前，最早的版本是直接求出点一的轨迹方程。 但他们考虑到高考命题对中学教学的指导意义及考题的难度，最终将考题变为现在这种形式，即在求点一的轨迹方程之前加上了证明要求。 他们认为，第一问要证明的结论实际上给了考生求点一的轨迹方程提示，降低了本题的难度，既体现了对考生的人文关怀，又突出考察了考生对椭圆基本概念的掌握情况。 而个人认为，在本题的解析过程中，在证明了 e a 加 e b 为定之后，求解点一的轨迹方程是很方便的。所以，如命题方所言，在试卷中加上证明要求，的确为考生求解点一的轨迹方程寓意了提示。 当然，或许当年许多考生没能想到用几何法解答本题，导致本题的得分率过低，但若试卷中不加上这一证明要求这题的得分率可能会更低。 最后，附上本题试卷命题过程的参考文献，我们下个视频再见。
1高考求真
06:59查看AI文稿AI文稿同学们好，这个视频孙老师带大家搞定二零一六年全国二卷填空压轴第十六题，那么这个题呢，是一个典型的公切线问题啊，公切线问题， 那么这个是咱们导数章节，应该是需要完全累积到的一个考法，它公切线呢，主要的点就是第一个， 看看定义域，那么我们这边的定义域是多少？是 x 属于 就是 y 一 是 x 属于二， y 呢？是谁？是 x 大 于负一，就说有没有这个事情，我们先把它想到再来，那么公切线要注意找切点， 找斜率，就它套路。那么来，我们来给个这个 y 一 跟 y 二哈 这个题，因为它已经设好了直线， y 等于 k， x 加 b 是 公切线，我们就不需要去设了，我们要做的只需要去那个设切点，分别去设切点，那么我们这里 y 一 就是第一个曲线的切点，设成 a 是 x 一 到 y 一， 那么第二个切点是 b 点， 给到的是 x 二。逗 y 二啊，这是分别两个切点，那么要知道点 a 呢，在第一个曲线上，也在公切线上，点 b 在 第二个曲线上，同时也在公切线上，这是一个第一步设切点， 第二步求导。那么曲线一求导是谁？ 是谁？ x 分 之一哈，曲线二求导 这是谁？注意曲线二的话，它是一个复合函数，求导它是需要内导乘外导，我们令 x 加一是 t， 那 么绕引 t， 它的导是 t 分 之一，那么 t 是 x 分 之，就 x 加一分之一， 但是往内层就是 x 加一的导，又是一本身，所以第二个曲线的导是这两个，好打个字啊， 就曲线一， 这个是曲线二求导，分别求导，那求完导之后，我们导数的斜率是不就是切点的那个横坐标带进去，所以在这里， 我们的 k 一， 就把这个 a 点带进去，就是 x 一 分之一。 我们的 k 二啊，就是点 b 是 第二个切点，把它横着掰到叉里面，所以它是 x 二，哎，加一分之一。因为我们是不是在同一个公切线上，所以 k 一 等于 k 二？ 因为公切线，所以 k 一 等于 k 二，那么这两个相等分子是不是刚好都是一？那很显然，我是不是分母得相同，所以说 x 一 跟 x 二的关系就已经恒定了。 x 一， 哎，等于 x 二加一，那么注意，这个是我们去推论出来的一个东西，后面一定是会去再次使用到的，好给他圈一下哈。这个是我们，哎，这个是我们的第一个结论，给它圈起来。 第一个结论先放到这里，第二个，这是这是那个，是不是求导已经用完了，那么再来就是 ab 呢？既在切线上，也在曲线上。 这第一坨求导，然后那个导斜率相同，就出来一个结论，已经搞定了，那么我们再来第二坨第二坨，就是， 也就是说切点记在我对应的曲线上，同时呢，我也在公切线上，所以，呃，在这里，哎，先点 a， 换个颜色吧。意思是第二类 啊，我们的点 a， 我 们点 a 是 在第一个曲线上，所以 lawing x 一 加二。我又在公切线，公切线是 y 等于 k， x 加 b， 它 y 是 不相同，是不是？所以说是 k x 一 加 b， 然后再来点 b， 点 b 在 第二个曲线上， 注意啊，这个是它整个打括号，所以也在我们的公切线上，哎，所以这两个人是不又出现了一个等量关系，那么我们需要干嘛？ 我们 x 一 是不是已经等于 x 二加一了？所以在这里哈，我们就把这个量给它带到第二个式子里面去就可以，这个东西你就给它带到哪里， 带到这个里面，你这样全部转成 x 二，然后 k 跟 b， 然后你就可以把它给做出来了。好，那么经过一系列计算，我们可以把它算出来， k 就 等于二， x 一 等于二分之一， x 二，哎，等于我们的负二分之一， 是不是量也非常多了？然后我们再带回原式，带回直线里嘛，然后带完之后把 b 直接给算出来， b 就 等于一减去捞引二。好，那么这道题呢，是一个典型的公切线，它其实计算量来讲的话，呃，还好啊，还好。嗯，大家一定要注意它的方法。第一类就是设，第一步，设切点，对应切点写清楚。 第二步分别求到，然后因为 k 相同，你就可以推出一个关系式。再来就是切点既在曲线上，也在公切线上，然后就是计算了 好吗？后面就是一个计算过程。 ok， 那 么第十六题呢？咱们就先讲到这里，然后接下来再继续讲大题。
06:55查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是一道改编自二零二四年新高考一卷第十八题的导数大题。想在导数大题上冲高分，这题的前两问，咱们最好在十分钟内拿下。 这题最容易踩坑的地方就是求导之后的化简，以及怎么利用函数的对称性。咱们先来看题目，已知函数 f x 等于自然对数， l n 括号里面是四减 x， 分 之 x 加上 a x， 再加上 b 乘以括号 x 减二的三次方，其中 x 大 于零且小于四。 第一问，若 b 等于零且对任意 x 属于开区间，零到四横有 f 一 撇， x 大 于等于零，求 a 的 最小值。第二问，证明曲线 y 等于 f， x 是 中心对称图形，并求其对称中心。 这道题咱们的大方向很明确，第一问，先通过分离参数找下界。第二问，利用定义域中点构造代数恒等式来抓对称中心。 咱们先来看第一问，题目说 b 等于零，那函数式后面的三次项就没了， f x 就 变成了自然对数， l n 里面是四减 x， 分 之 x， 再加上 a x， 接下来我们要对它求导，因为题目条件是 f 一 撇 x 大 于等于零。很多同学在这里会犯错，直接对着对数里面的分式，用商的求导法则，算得那叫一个痛苦，极其容易算错。 这里有个非常重要的技巧，看到对数里面是相除的形式，咱们先别急着求导，先利用对数的性质，把除法拆成减法。你看 l n 里面是四减 x， 分 之 x 就 可以写成 l n x 减去 l n， 括号四减 x。 这样一来， f x 就 等于 l n x 减去 l n， 括号四减 x， 再加上 a x。 现在我们再来求导，这步很关键，大家仔细听， l n x 求导，直接就是 x 分 之一，后面减去 l n， 括号四减 x。 这里一定要注意，复合函数求导，外层对数求导得到四减 x 分 之一，内层四减 x， 求导是负一，前面还有一个减号负得正，所以就变成了加上四减 x 分 之一，最后加上 a x 的 导数，也就是加上 a， 这样我们就得到了导函数 f 一 撇， x 等于 x 分 之一，加上四减 x 分 之一加上 a。 题目要求这个导函数大于等于零。横成立，咱们把 a 留在左边，把另外两项移到不等式右边，就得到 a 大 于等于负的括号 x 分 之一，加上四减 x 分 之一。 这里到底是在找上界还是找下界？很明显， a 大 于等于某个式子，这个不等号限制的是最低值，是在找下界，所以 a 必须大于等于右边这个整体的最大值。那接下来我们要做的就是求右边这个式子的最大值。我们把右边括号里通分一下，分母是 x， 乘以括号四减 x， 分 子是四减 x 加上 x， 也就是四， 所以右边的式子就变成了负的分母是 x， 乘以括号四减 x， 分 子是四，我们要找它的最大值，就得看分母分母 x 乘以四减 x， 展开就是负 x 的 平方加上四 x， 这是一个开口向下的二次函数，配方一下就是负的括号 x 减二的平方，再加上四， 因为 x 范围是零到四，所以当 x 等于二的时候，分母取得最大值四，分母最大，整个分式的值就最小，也就是四分之四等于一。前面还有一个符号，所以整个右边的式子的最大值就是负一。 既然 a 要大于等于右边这个整体的最大值，那 a 就 必须大于等于负一，所以 a 的 最小值就是负一。第一问咱们就顺利拿下了。 接下来咱们看第二问，要求证明这个函数是中心对称图形，还要找对称中心。看到这种题，咱们先别慌，先找突破口。这个函数的定义域是开区间零到四，中心点正好是二， 而且函数式里还有一个 x 减二的三次方，这个奇次幂也关于二对称，这就疯狂暗示咱们对称中心的横坐标很可能就是二，那纵坐标是多少呢？咱们把 x 等于二，代入圆函数算一下， f 二等于零，里面是二分之二，也就是一零一等于零，后面加上 a 乘以二，也就是二 a， 最后加上 b 乘以二减二的三次方也是零，所以 f 二的值就是二 a。 那 咱们现在就可以大胆猜测，对称中心就是点二，逗号二 a。 接下来我们要做的就是用严谨的代数步骤把这个猜想正出来。 怎么证呢？根据中心对称的定义，如果一个函数关于点 m， 逗号 n 对 称，那么对于定义域里的任意 x 都必须满足 f x 加上 f， 括号二 m 减 x 等于二 n。 套用到咱们这道题， m 是 二， n 是 二 a， 所以 我们只需要证明 f x 加上 f， 括号四减 x 等于四 a 就 可以了。咱们来具体算一下， f x 照抄下来是勒根里面四减 x 分 之 x 加上 a， x 加上 b， 乘以括号 x 减二的三次方。那 f 括号四减 x 是 多少呢？我们把原式里的 x 全部替换成四减 x， 第一项就变成了 n 里面分子是四减 x， 分 母是四减去括号四减 x， 也就是 x。 所以 第一项是 n 里面 x 分 之四减 x。 注意这里 n 里面 x 分 之四减 x， 其实就是圆函数里那个真数的倒数，根据对数的性质，倒数可以把负一次方提到前面，也就是等于负的 n 里面四 减 x 展开就是四 a 减去 a x， 第三项变成了 b 乘以括号四减 x 再减二，也就是二减 x 整体的三次方。 因为三次方是极次幂，我们可以把负号提出来，变成负的 b 乘以括号 x 减二的三次方。现在见证奇迹的时刻到了， 我们把 f x 和 f 括号四减 x 加起来，你会发现对数项一个是正的，一个是负的，刚好抵消三次项。一个是正的，一个是负的，也刚好抵消一次项 ax 和负 ax 抵消，最后只剩下一个孤零零的四 a。 也就是说， f x 加上 f 括号四减 x， 完美等于四 a 两边同时除以二，就得到二分之 f x 加上 f， 括号四减 x 等于二 a。 这就说明曲线上任意两个横坐标之和为四的点，它们的中点始终固定在坐标为二逗号二 a 的 这个点上。这就严格证明了曲线 y 等于 f x 是 中心对称图形，并且它的对称中心就是点二逗号二 a。 好，咱们来汇总一下答案。第一问 a 的 最小值是负一，第二问，证明过程。咱们刚才已经完整推导了对称中心是点二，逗号二 a。 总结一下这道题的核心技巧，求导，遇到复杂分式，一定要先用对数拆分法则降维，把除法变减法。遇到找对称中心，盯住定义域的中点和特殊项，构造 f x， 加上 f 括号二 m 减 x 等于二 n 的 代数模型，直接暴力相加就能破局。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知，函数 f x 等于自然对数， l n 括号里面是五减 x， 分 之 x 减一，再加上 a x， 其中 x 大 于一且小于五。请问这个函数的对称中心坐标是什么？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
79杨老师通关数学
01:46查看AI文稿AI文稿欢迎同学们纯正几何法天花办二零一六全国卷文科立体几何圆剔拆解。这到二零一六年广东首次使用全国卷的文科真 题，难度远超同级理科同题行放到现在也是立体几何大题里的硬核考题。核心考点，正投影转化线面垂直三垂线定里正三棱锥性至空间垂直关系四面体体积计算，全程不用空间想 量，纯靠几何逻辑推倒，完美锻炼空间想象力与线面垂直转化思维，吃透这道题。立体几何综合题直接拿捏，先看题，暂停思考，试试用纯重几何法能不能独立解出来。核心思路，正投影等于线面 垂直，把投影条件快速转化为线线线面垂直关系，结合正三棱锥、直角三角形性质，一步步推导。第一问，利用 p、 d 两点对正投影，得到两组 线面垂直，推导出 a、 b。 对 比平面 p d、 e。 结合正三棱锥 p a 等于 p b， 直接正出 g 式 a、 b。 重点第二问，先找 e， 再平面 p a、 c 的 正投影 f。 借助侧面直角三角形的垂直关系构造平行，先找到投影点，再 利用边长比例等腰直角三角形性质算出各边长度，最终求出四面体 p、 d、 f 的 体积。整道题没有向量几何综合能力的绝佳题型。
50牛得装糊涂
08:30查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我单免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！ 这是二零一六年全国一卷理科数学的第十八题。想在例题几何大题上拿满分，这道题的间隙思路必须非常清晰。这题最容易踩坑的地方就是很多同学不知道怎么利用题目给的这两个六十度的二面角来找准坐标原点和间隙方向。咱们先来看看题目， 以 a、 b、 c、 d、 e、 f 为顶点的五面体中面 a、 b、 e、 f 为正方形， a、 f 等于两倍的 f， d 角 a、 f、 d 等于九十度，而且二面角 d 减 a、 f 减 e 与 c 减 b、 e 减 f 都是六十度。第一问要求证明平面 a、 b、 e、 f 垂直于平面 e、 f、 d、 c。 第二问要求二面角 e 减 bc 减 a 的 余弦值。咱们的大方向很明确，先通过线面垂直的判定定律搞定第一问，再顺势建立空间直角坐标系，用向量法拿下第二问。 接下来我们看第一问。要证明两个平面垂直，最常用的方法就是在其中一个平面内找到另一平面的垂线。 这里有个非常重要的技巧，大家注意看题目条件面 a、 b、 e、 f 是 一个正方形，那 a、 f 肯定垂直于 e、 f。 你再看下一个条件角， a、 f、 d 等于九十度，这说明什么？说明 af 也垂直于 f、 d， 这步很关键。你看 af 既垂直于 ef， 又垂直于 f、 d， 而 ef 和 f、 d 都在平面 ef、 dc 内，并且这两条线在 f 点相交。 根据线面垂直的判定定律，一条直线如果垂直于平面内的两条相交直线，它就垂直于这个平面。所以我们立刻就能得出 af 垂直于平面 ef、 dc 得到了线面垂直，剩下的就顺理成章了。因为直线 af 本身就包含在平面 a、 b、 e、 f 里面，既然这个面里有一条线垂直于底面，那么这两个平面必然互相垂直。所以我们直接得出结论，平面 a、 b、 e、 f 垂直于平面 e、 f、 d、 c。 第一问，咱们就轻松拿下了这一步的证明，不仅拿到了分，还为咱们第二问间隙指明了方向。接下来咱们看第二问求二面角 e 减 b、 c 减 a 的 余弦值。遇到这种求二面角的题，最稳妥的方法就是间隙。 很多同学在这里会犯错，随便找个点就间隙，结果坐标根本算不出来。间隙的关键是找到三条两两垂直的直线。刚才第一问，咱们已经证明了 a、 f 垂直于平面 e、 f、 d、 c。 这就意味着 a、 f 垂直于这个平面内的所有直线，当然也就垂直于 f 一 和 f、 d。 所以我们可以直接把 f 点作为坐标原点，把 f 一 所在直线作为 x 轴，把 fa 所在直线作为 z 轴。那 y 轴呢？在底面 e、 f、 d、 c 里面过 f 点做一条垂直于 f 一 的直线，这就是 y 轴。 为了计算方便，咱们设 f、 d 的 长度是一。因为题目说 a、 f 等于两倍的 f、 d， 所以 a、 f 等于二。又因为面 a、 b、 e、 f 是 正方形，所以 e、 f 也等于二。现在咱们来把各个点的坐标写出来， 圆点 f 是 零零零， e 点在 x 轴上，坐标是二零零， a 点在 z 轴上坐标是零零二， b 点是由 a 点平移过来的，坐标是二零二。 重点来了， c 点和 d 点的坐标怎么求？这里有个非常重要的技巧，咱们要利用题目给的两个六十度的二面角。先看二面角， d 减 a、 f 减 e。 因为 a、 f 是 z 轴，垂直于底面，所以底面上的角 d、 f、 e 就是 这个二面角的平面角。题目说它是六十度，所以角 d、 f、 e 等于六十度。 d 点到圆点， f 的 距离是一，所以 d 点的 x 坐标是一乘以 cosine 六十度，也就是二分之一。 y 坐标是一乘以三也六十度，也就是二分之根号三， z 坐标是零，所以 d 点的坐标是二分之一，二分之根号三零。再看二面角， c 减 b， e 减 f。 因为平面 a、 b、 e、 f 是 正方形，所以 b、 e 平行于 a、 f， 自然也就垂直于底面，所以角 c、 e、 f 就是 这个二面角的平面角。题目告诉我们，它也是六十度，所以角 c、 e、 f 等于六十度。 接下来怎么求 c 点的坐标呢？这里有个很多同学容易忽略的隐含条件，你看，这是一个五面体， a、 b、 c、 d 这四个点是在同一个面上的，也就是平面 a、 b、 c、 d。 既然它们共面，而且我们知道 ab 是 正方形的一条边， ab 平行于 ef， 那 么 ab 自然也就平行于底面 e、 f、 d、 c。 根据线面平行的性质定理，平面 a、 b、 c、 d 和底面相交的这条交线， c、 d 必然平行于 a、 b。 因为 a、 b 平行于 e、 f， 所以 c、 d 也就平行于 e、 f。 这一步推导太关键了， e、 f 就 在 x 轴上， c、 d 平行于 x 轴，这就意味着 c 点和 d 点的 y 坐标是一模一样的。 刚才我们算出 d 点的 y 坐标是二分之根号三，所以 c 点的 y 坐标也是二分之根号三。那 c 点的 x 坐标呢？我们在底面上从 c 点向 x 轴做一条垂线，垂足叫它 h。 在 这个直角三角形 c、 h e 里角 c、 e、 h 是 六十度垂线段， c、 h 的 长度就是 c 点的 y 坐标，也就是二分之根号三。 根据正切公式 tan， 六十度等于对边除以零边，也就是根号三，所以零边 e、 h 的 长度就是二分之根号三。除以根号三，算出来等于二分之一。 e 点的 x 坐标是二，往原点方向退二分之一，就是 c 点的 x 坐标二减去二分之一，等于二分之三。 c 点在底面上， z 坐标肯定是零，这样 c 点的坐标就完整了，是二分之三，二分之根号三、零坐标全都齐了。接下来就是常规的向量计算，咱们稳扎稳打， 要求二面角 e 减 b、 c 减 a 的 余弦值。我们需要分别求出平面 e、 b、 c 和平面 abc 的 法向量。先看平面 e、 b、 c， 我 们需要这个面里的两个向量向量 e、 b 用 b 点坐标减去 e 点坐标，得到零零二 向量 e、 c 用 c 点坐标减去 e 点坐标，得到负二分之一，二分之根号三零。设平面 e、 b、 c 的 法向量为 n， 一 坐标是 x y， z 法向量要和平面内这两个向量都垂直，所以点乘结果都是零。 n 一 点成像量， e、 b 等于二， z 等于零，所以 z 等于零。 n 一 点成像量 e、 c 等于负二分之一 x 加上二分之根号三， y 等于零，我们把 y 设为一，那 x 就 等于根号三，所以法向量 n 一 就是根号三一零。 再看平面 a、 b、 c， 同样找两个向量向量 ab 用 b 点坐标减去 a 点坐标，得到二零零 向量 a、 c 用 c 点坐标减去 a 点坐标，得到二分之三。二分之根号三负二。设平面 a、 b、 c 的 法向量为 n 二坐标是 u v w n 二点成像量 a、 b 等于二， u 等于零，所以 u 等于零。 n 二点成像量 a、 c 等于二分之三 u 加上二分之根号三 v 减去二 w 等于零，因为 u 是 零，所以二分之根号三 v 等于二 w， 我 们把 w 设为根号三，那 v 就 等于四，所以法向量 n 二就是零。四根号三， 法向量都找出来了，胜利就在眼前。咱们来算这两个法向量加角的余弦值。分子是两个向量的数量积对应坐标相乘再相加，根号三乘以零，加上一，乘以四，加上零，乘以根号三分子，算出来是四 分母，是两个法向量模长的乘积。 n 一 的模长是根号下三加一加零，也就是根号四等于二。 n 二的模长是根号下零加十六加三，也就是根号十九。分母就是二倍的根号十九。分子除以分母四除以二倍的根号十九。化简一下，得到十九分之二倍的根号十九。 最后一步千万别大意，这里到底是在找锐角还是钝角？我们要观察一下图形。从五面体的结构可以看出，二面角 e 减 b， c 减 a 是 一个内部的锐角，所以它的余弦值肯定是正的。那我们直接取正值，结果就是十九分之二倍的根号十九。 这道题的最终答案二面角 e 减 b、 c 减 a 的 余弦值就是十九分之二倍的根号。十九、总结一下，这题真正值钱的地方不是后面的硬算，而是前面利用隐藏的平行关系找出 c 点的坐标。 大家记住一个口诀，遇到多面体间隙，先找垂直定圆点，再抓平行推坐标，只要坐标找准了，后面的向量计算就是送分题。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下，数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。 这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一、高二、高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群 最后留一道同类思考题给大家。以 p、 a、 b、 c、 d 为顶点的五面体中面 p、 a、 b、 c、 d 为正三角形，底面 a、 b、 c、 d 为直角梯形 a、 b 平行于 c、 d 角 a、 b、 c、 d 等于九十度。 已知平面 p、 a、 b、 c、 d 垂直于底面 a、 b、 c、 d， 且二面角 p、 d 减 b 等于四十五度。求二面角 a 减 p、 d 减 c 的 余弦值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
06:55查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是一道改编自二零二四年新高考一卷第十八题的导数大题。想在导数大题上冲高分，这题的前两问，咱们最好在十分钟内拿下。 这题最容易踩坑的地方就是求导之后的化简，以及怎么利用函数的对称性。咱们先来看题目，已知函数 f x 等于自然对数， l n 括号里面是四减 x， 分 之 x 加上 a x， 再加上 b 乘以括号 x 减二的三次方，其中 x 大 于零且小于四。 第一问，若 b 等于零且对任意 x 属于开区间，零到四横有 f 一 撇， x 大 于等于零，求 a 的 最小值。第二问，证明曲线 y 等于 f， x 是 中心对称图形，并求其对称中心。 这道题咱们的大方向很明确，第一问，先通过分离参数找下界。第二问，利用定义域中点构造代数恒等式来抓对称中心。 咱们先来看第一问，题目说 b 等于零，那函数式后面的三次项就没了， f x 就 变成了自然对数， l n 里面是四减 x， 分 之 x， 再加上 a x， 接下来我们要对它求导，因为题目条件是 f 一 撇 x 大 于等于零。很多同学在这里会犯错，直接对着对数里面的分式，用商的求导法则，算得那叫一个痛苦，极其容易算错。 这里有个非常重要的技巧，看到对数里面是相除的形式，咱们先别急着求导，先利用对数的性质，把除法拆成减法。你看 l n 里面是四减 x， 分 之 x 就 可以写成 l n x 减去 l n， 括号四减 x。 这样一来， f x 就 等于 l n x 减去 l n， 括号四减 x， 再加上 a x。 现在我们再来求导，这步很关键，大家仔细听， l n x 求导，直接就是 x 分 之一，后面减去 l n， 括号四减 x。 这里一定要注意，复合函数求导，外层对数求导得到四减 x 分 之一，内层四减 x， 求导是负一，前面还有一个减号负得正，所以就变成了加上四减 x 分 之一，最后加上 a x 的 导数，也就是加上 a， 这样我们就得到了导函数 f 一 撇， x 等于 x 分 之一，加上四减 x 分 之一加上 a。 题目要求这个导函数大于等于零。横成立，咱们把 a 留在左边，把另外两项移到不等式右边，就得到 a 大 于等于负的括号 x 分 之一，加上四减 x 分 之一。 这里到底是在找上界还是找下界？很明显， a 大 于等于某个式子，这个不等号限制的是最低值，是在找下界，所以 a 必须大于等于右边这个整体的最大值。那接下来我们要做的就是求右边这个式子的最大值。我们把右边括号里通分一下，分母是 x， 乘以括号四减 x， 分 子是四减 x 加上 x， 也就是四， 所以右边的式子就变成了负的分母是 x， 乘以括号四减 x， 分 子是四，我们要找它的最大值，就得看分母分母 x 乘以四减 x， 展开就是负 x 的 平方加上四 x， 这是一个开口向下的二次函数，配方一下就是负的括号 x 减二的平方，再加上四， 因为 x 范围是零到四，所以当 x 等于二的时候，分母取得最大值四，分母最大，整个分式的值就最小，也就是四分之四等于一。前面还有一个符号，所以整个右边的式子的最大值就是负一。 既然 a 要大于等于右边这个整体的最大值，那 a 就 必须大于等于负一，所以 a 的 最小值就是负一。第一问咱们就顺利拿下了。 接下来咱们看第二问，要求证明这个函数是中心对称图形，还要找对称中心。看到这种题，咱们先别慌，先找突破口。这个函数的定义域是开区间零到四，中心点正好是二， 而且函数式里还有一个 x 减二的三次方，这个奇次幂也关于二对称，这就疯狂暗示咱们对称中心的横坐标很可能就是二，那纵坐标是多少呢？咱们把 x 等于二，代入圆函数算一下， f 二等于零，里面是二分之二，也就是一零一等于零，后面加上 a 乘以二，也就是二 a， 最后加上 b 乘以二减二的三次方也是零，所以 f 二的值就是二 a。 那 咱们现在就可以大胆猜测，对称中心就是点二，逗号二 a。 接下来我们要做的就是用严谨的代数步骤把这个猜想正出来。 怎么证呢？根据中心对称的定义，如果一个函数关于点 m， 逗号 n 对 称，那么对于定义域里的任意 x 都必须满足 f x 加上 f， 括号二 m 减 x 等于二 n。 套用到咱们这道题， m 是 二， n 是 二 a， 所以 我们只需要证明 f x 加上 f， 括号四减 x 等于四 a 就 可以了。咱们来具体算一下， f x 照抄下来是勒根里面四减 x 分 之 x 加上 a， x 加上 b， 乘以括号 x 减二的三次方。那 f 括号四减 x 是 多少呢？我们把原式里的 x 全部替换成四减 x， 第一项就变成了 n 里面分子是四减 x， 分 母是四减去括号四减 x， 也就是 x。 所以 第一项是 n 里面 x 分 之四减 x。 注意这里 n 里面 x 分 之四减 x， 其实就是圆函数里那个真数的倒数，根据对数的性质，倒数可以把负一次方提到前面，也就是等于负的 n 里面四 减 x 展开就是四 a 减去 a x， 第三项变成了 b 乘以括号四减 x 再减二，也就是二减 x 整体的三次方。 因为三次方是极次幂，我们可以把负号提出来，变成负的 b 乘以括号 x 减二的三次方。现在见证奇迹的时刻到了， 我们把 f x 和 f 括号四减 x 加起来，你会发现对数项一个是正的，一个是负的，刚好抵消三次项。一个是正的，一个是负的，也刚好抵消一次项 ax 和负 ax 抵消，最后只剩下一个孤零零的四 a。 也就是说， f x 加上 f 括号四减 x， 完美等于四 a 两边同时除以二，就得到二分之 f x 加上 f， 括号四减 x 等于二 a。 这就说明曲线上任意两个横坐标之和为四的点，它们的中点始终固定在坐标为二逗号二 a 的 这个点上。这就严格证明了曲线 y 等于 f x 是 中心对称图形，并且它的对称中心就是点二逗号二 a。 好，咱们来汇总一下答案。第一问 a 的 最小值是负一，第二问，证明过程。咱们刚才已经完整推导了对称中心是点二，逗号二 a。 总结一下这道题的核心技巧，求导，遇到复杂分式，一定要先用对数拆分法则降维，把除法变减法。遇到找对称中心，盯住定义域的中点和特殊项，构造 f x， 加上 f 括号二 m 减 x 等于二 n 的 代数模型，直接暴力相加就能破局。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知，函数 f x 等于自然对数， l n 括号里面是五减 x， 分 之 x 减一，再加上 a x， 其中 x 大 于一且小于五。请问这个函数的对称中心坐标是什么？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
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06:55查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是一道改编自二零二四年新高考一卷第十八题的导数大题。想在导数大题上冲高分，这题的前两问，咱们最好在十分钟内拿下。 这题最容易踩坑的地方就是求导之后的化简，以及怎么利用函数的对称性。咱们先来看题目，已知函数 f x 等于自然对数， l n 括号里面是四减 x， 分 之 x 加上 a x， 再加上 b 乘以括号 x 减二的三次方，其中 x 大 于零且小于四。 第一问，若 b 等于零且对任意 x 属于开区间，零到四横有 f 一 撇， x 大 于等于零，求 a 的 最小值。第二问，证明曲线 y 等于 f， x 是 中心对称图形，并求其对称中心。 这道题咱们的大方向很明确，第一问，先通过分离参数找下界。第二问，利用定义域中点构造代数恒等式来抓对称中心。 咱们先来看第一问，题目说 b 等于零，那函数式后面的三次项就没了， f x 就 变成了自然对数， l n 里面是四减 x， 分 之 x， 再加上 a x， 接下来我们要对它求导，因为题目条件是 f 一 撇 x 大 于等于零。很多同学在这里会犯错，直接对着对数里面的分式，用商的求导法则，算得那叫一个痛苦，极其容易算错。 这里有个非常重要的技巧，看到对数里面是相除的形式，咱们先别急着求导，先利用对数的性质，把除法拆成减法。你看 l n 里面是四减 x， 分 之 x 就 可以写成 l n x 减去 l n， 括号四减 x。 这样一来， f x 就 等于 l n x 减去 l n， 括号四减 x， 再加上 a x。 现在我们再来求导，这步很关键，大家仔细听， l n x 求导，直接就是 x 分 之一，后面减去 l n， 括号四减 x。 这里一定要注意，复合函数求导，外层对数求导得到四减 x 分 之一，内层四减 x， 求导是负一，前面还有一个减号负得正，所以就变成了加上四减 x 分 之一，最后加上 a x 的 导数，也就是加上 a， 这样我们就得到了导函数 f 一 撇， x 等于 x 分 之一，加上四减 x 分 之一加上 a。 题目要求这个导函数大于等于零。横成立，咱们把 a 留在左边，把另外两项移到不等式右边，就得到 a 大 于等于负的括号 x 分 之一，加上四减 x 分 之一。 这里到底是在找上界还是找下界？很明显， a 大 于等于某个式子，这个不等号限制的是最低值，是在找下界，所以 a 必须大于等于右边这个整体的最大值。那接下来我们要做的就是求右边这个式子的最大值。我们把右边括号里通分一下，分母是 x， 乘以括号四减 x， 分 子是四减 x 加上 x， 也就是四， 所以右边的式子就变成了负的分母是 x， 乘以括号四减 x， 分 子是四，我们要找它的最大值，就得看分母分母 x 乘以四减 x， 展开就是负 x 的 平方加上四 x， 这是一个开口向下的二次函数，配方一下就是负的括号 x 减二的平方，再加上四， 因为 x 范围是零到四，所以当 x 等于二的时候，分母取得最大值四，分母最大，整个分式的值就最小，也就是四分之四等于一。前面还有一个符号，所以整个右边的式子的最大值就是负一。 既然 a 要大于等于右边这个整体的最大值，那 a 就 必须大于等于负一，所以 a 的 最小值就是负一。第一问咱们就顺利拿下了。 接下来咱们看第二问，要求证明这个函数是中心对称图形，还要找对称中心。看到这种题，咱们先别慌，先找突破口。这个函数的定义域是开区间零到四，中心点正好是二， 而且函数式里还有一个 x 减二的三次方，这个奇次幂也关于二对称，这就疯狂暗示咱们对称中心的横坐标很可能就是二，那纵坐标是多少呢？咱们把 x 等于二，代入圆函数算一下， f 二等于零，里面是二分之二，也就是一零一等于零，后面加上 a 乘以二，也就是二 a， 最后加上 b 乘以二减二的三次方也是零，所以 f 二的值就是二 a。 那 咱们现在就可以大胆猜测，对称中心就是点二，逗号二 a。 接下来我们要做的就是用严谨的代数步骤把这个猜想正出来。 怎么证呢？根据中心对称的定义，如果一个函数关于点 m， 逗号 n 对 称，那么对于定义域里的任意 x 都必须满足 f x 加上 f， 括号二 m 减 x 等于二 n。 套用到咱们这道题， m 是 二， n 是 二 a， 所以 我们只需要证明 f x 加上 f， 括号四减 x 等于四 a 就 可以了。咱们来具体算一下， f x 照抄下来是勒根里面四减 x 分 之 x 加上 a， x 加上 b， 乘以括号 x 减二的三次方。那 f 括号四减 x 是 多少呢？我们把原式里的 x 全部替换成四减 x， 第一项就变成了 n 里面分子是四减 x， 分 母是四减去括号四减 x， 也就是 x。 所以 第一项是 n 里面 x 分 之四减 x。 注意这里 n 里面 x 分 之四减 x， 其实就是圆函数里那个真数的倒数，根据对数的性质，倒数可以把负一次方提到前面，也就是等于负的 n 里面四 减 x 展开就是四 a 减去 a x， 第三项变成了 b 乘以括号四减 x 再减二，也就是二减 x 整体的三次方。 因为三次方是极次幂，我们可以把负号提出来，变成负的 b 乘以括号 x 减二的三次方。现在见证奇迹的时刻到了， 我们把 f x 和 f 括号四减 x 加起来，你会发现对数项一个是正的，一个是负的，刚好抵消三次项。一个是正的，一个是负的，也刚好抵消一次项 ax 和负 ax 抵消，最后只剩下一个孤零零的四 a。 也就是说， f x 加上 f 括号四减 x， 完美等于四 a 两边同时除以二，就得到二分之 f x 加上 f， 括号四减 x 等于二 a。 这就说明曲线上任意两个横坐标之和为四的点，它们的中点始终固定在坐标为二逗号二 a 的 这个点上。这就严格证明了曲线 y 等于 f x 是 中心对称图形，并且它的对称中心就是点二逗号二 a。 好，咱们来汇总一下答案。第一问 a 的 最小值是负一，第二问，证明过程。咱们刚才已经完整推导了对称中心是点二，逗号二 a。 总结一下这道题的核心技巧，求导，遇到复杂分式，一定要先用对数拆分法则降维，把除法变减法。遇到找对称中心，盯住定义域的中点和特殊项，构造 f x， 加上 f 括号二 m 减 x 等于二 n 的 代数模型，直接暴力相加就能破局。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知，函数 f x 等于自然对数， l n 括号里面是五减 x， 分 之 x 减一，再加上 a x， 其中 x 大 于一且小于五。请问这个函数的对称中心坐标是什么？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
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06:55查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是一道改编自二零二四年新高考一卷第十八题的导数大题。想在导数大题上冲高分，这题的前两问，咱们最好在十分钟内拿下。 这题最容易踩坑的地方就是求导之后的化简，以及怎么利用函数的对称性。咱们先来看题目，已知函数 f x 等于自然对数， l n 括号里面是四减 x， 分 之 x 加上 a x， 再加上 b 乘以括号 x 减二的三次方，其中 x 大 于零且小于四。 第一问，若 b 等于零且对任意 x 属于开区间，零到四横有 f 一 撇， x 大 于等于零，求 a 的 最小值。第二问，证明曲线 y 等于 f， x 是 中心对称图形，并求其对称中心。 这道题咱们的大方向很明确，第一问，先通过分离参数找下界。第二问，利用定义域中点构造代数恒等式来抓对称中心。 咱们先来看第一问，题目说 b 等于零，那函数式后面的三次项就没了， f x 就 变成了自然对数， l n 里面是四减 x， 分 之 x， 再加上 a x， 接下来我们要对它求导，因为题目条件是 f 一 撇 x 大 于等于零。很多同学在这里会犯错，直接对着对数里面的分式，用商的求导法则，算得那叫一个痛苦，极其容易算错。 这里有个非常重要的技巧，看到对数里面是相除的形式，咱们先别急着求导，先利用对数的性质，把除法拆成减法。你看 l n 里面是四减 x， 分 之 x 就 可以写成 l n x 减去 l n， 括号四减 x。 这样一来， f x 就 等于 l n x 减去 l n， 括号四减 x， 再加上 a x。 现在我们再来求导，这步很关键，大家仔细听， l n x 求导，直接就是 x 分 之一，后面减去 l n， 括号四减 x。 这里一定要注意，复合函数求导，外层对数求导得到四减 x 分 之一，内层四减 x， 求导是负一，前面还有一个减号负得正，所以就变成了加上四减 x 分 之一，最后加上 a x 的 导数，也就是加上 a， 这样我们就得到了导函数 f 一 撇， x 等于 x 分 之一，加上四减 x 分 之一加上 a。 题目要求这个导函数大于等于零。横成立，咱们把 a 留在左边，把另外两项移到不等式右边，就得到 a 大 于等于负的括号 x 分 之一，加上四减 x 分 之一。 这里到底是在找上界还是找下界？很明显， a 大 于等于某个式子，这个不等号限制的是最低值，是在找下界，所以 a 必须大于等于右边这个整体的最大值。那接下来我们要做的就是求右边这个式子的最大值。我们把右边括号里通分一下，分母是 x， 乘以括号四减 x， 分 子是四减 x 加上 x， 也就是四， 所以右边的式子就变成了负的分母是 x， 乘以括号四减 x， 分 子是四，我们要找它的最大值，就得看分母分母 x 乘以四减 x， 展开就是负 x 的 平方加上四 x， 这是一个开口向下的二次函数，配方一下就是负的括号 x 减二的平方，再加上四， 因为 x 范围是零到四，所以当 x 等于二的时候，分母取得最大值四，分母最大，整个分式的值就最小，也就是四分之四等于一。前面还有一个符号，所以整个右边的式子的最大值就是负一。 既然 a 要大于等于右边这个整体的最大值，那 a 就 必须大于等于负一，所以 a 的 最小值就是负一。第一问咱们就顺利拿下了。 接下来咱们看第二问，要求证明这个函数是中心对称图形，还要找对称中心。看到这种题，咱们先别慌，先找突破口。这个函数的定义域是开区间零到四，中心点正好是二， 而且函数式里还有一个 x 减二的三次方，这个奇次幂也关于二对称，这就疯狂暗示咱们对称中心的横坐标很可能就是二，那纵坐标是多少呢？咱们把 x 等于二，代入圆函数算一下， f 二等于零，里面是二分之二，也就是一零一等于零，后面加上 a 乘以二，也就是二 a， 最后加上 b 乘以二减二的三次方也是零，所以 f 二的值就是二 a。 那 咱们现在就可以大胆猜测，对称中心就是点二，逗号二 a。 接下来我们要做的就是用严谨的代数步骤把这个猜想正出来。 怎么证呢？根据中心对称的定义，如果一个函数关于点 m， 逗号 n 对 称，那么对于定义域里的任意 x 都必须满足 f x 加上 f， 括号二 m 减 x 等于二 n。 套用到咱们这道题， m 是 二， n 是 二 a， 所以 我们只需要证明 f x 加上 f， 括号四减 x 等于四 a 就 可以了。咱们来具体算一下， f x 照抄下来是勒根里面四减 x 分 之 x 加上 a， x 加上 b， 乘以括号 x 减二的三次方。那 f 括号四减 x 是 多少呢？我们把原式里的 x 全部替换成四减 x， 第一项就变成了 n 里面分子是四减 x， 分 母是四减去括号四减 x， 也就是 x。 所以 第一项是 n 里面 x 分 之四减 x。 注意这里 n 里面 x 分 之四减 x， 其实就是圆函数里那个真数的倒数，根据对数的性质，倒数可以把负一次方提到前面，也就是等于负的 n 里面四 减 x 展开就是四 a 减去 a x， 第三项变成了 b 乘以括号四减 x 再减二，也就是二减 x 整体的三次方。 因为三次方是极次幂，我们可以把负号提出来，变成负的 b 乘以括号 x 减二的三次方。现在见证奇迹的时刻到了， 我们把 f x 和 f 括号四减 x 加起来，你会发现对数项一个是正的，一个是负的，刚好抵消三次项。一个是正的，一个是负的，也刚好抵消一次项 ax 和负 ax 抵消，最后只剩下一个孤零零的四 a。 也就是说， f x 加上 f 括号四减 x， 完美等于四 a 两边同时除以二，就得到二分之 f x 加上 f， 括号四减 x 等于二 a。 这就说明曲线上任意两个横坐标之和为四的点，它们的中点始终固定在坐标为二逗号二 a 的 这个点上。这就严格证明了曲线 y 等于 f x 是 中心对称图形，并且它的对称中心就是点二逗号二 a。 好，咱们来汇总一下答案。第一问 a 的 最小值是负一，第二问，证明过程。咱们刚才已经完整推导了对称中心是点二，逗号二 a。 总结一下这道题的核心技巧，求导，遇到复杂分式，一定要先用对数拆分法则降维，把除法变减法。遇到找对称中心，盯住定义域的中点和特殊项，构造 f x， 加上 f 括号二 m 减 x 等于二 n 的 代数模型，直接暴力相加就能破局。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知，函数 f x 等于自然对数， l n 括号里面是五减 x， 分 之 x 减一，再加上 a x， 其中 x 大 于一且小于五。请问这个函数的对称中心坐标是什么？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
02:50查看AI文稿AI文稿今年的高考数学一出来，很多学生只说了四个字，难如登天。但真正难的不是题目突然变态，而是旧的刷题模式跟不上新的高考风格了。 为了验证这个判断，我刻意挑了十年前，也就是二零一六年的全国高考一卷，和今年二零二六年的全国高考一卷来做对比。看完之后，我的结论明确了，高考数学不是由简单变难了，而是筛选方式变了。 二零一六年的全国一卷，本质上筛的是训练有素的解析高手。它的题型都很传统，集合复数、数列、概率、立体几何、圆锥曲线、倒数、压轴、边界非常清楚。这种卷子当然也难，但它难在知识点掌握要全、 计算要稳，题型要熟，速度要快。你看到一道题，需要立马知道它属于哪个板块，只要你刷过同类型的题，就能立马调用对应的方法来答题。所以，十年前的高考数学题，更像是在问，你学过的东西记熟了吗？但今年的全国一卷，味道明显不一样了， 题量少了，思考密度反而变高了。他不是一路让你机械的计算，而是给你更多的时间，看你能不能真正读懂题目。 尤其是第十九题，不是直接给熟悉的模型，而是先定义一个集合 d， 再让你研究这个函数的性质。这也就是很多同学崩的原因，不是没刷题，而是刷的都是已知的题型。 过去的刷题模式是看到条件想套路，看到图形套模型，看到导数就求单调。但今年的题一上来就创造一个新的规则，只会套模板的同学，一上来就被卡住了，因为模板解决的事我见过， 而高考考的是我没见过，但我能不能读懂。十年前的难，是计算型、技巧型的难度， 而今年的难，是理解型、建模型的难度。这也符合现在 ai 时代的背景，计算、解锁、标准、步骤、常规套路正在变得越来越便宜。未来真正值钱的是面对没见过的问题， 能够读懂规则，建立模型，找到变量，把逻辑推下去。所以，传统的刷题不是不刷，而是不能只机械的刷题，否则面对新高考，一定是越来越吃力的。高考已经不满足于考熟题了，他开始考能不能读懂新定义， 翻译，陌生的表达自己，搭出推理路径。这才是今天数学难如登天的原因，旧的训练方式撞上了新的命题方向。一句话总结，十年前的高考，筛的是谁把学过的题型练得更熟。而现在的高考，筛的是谁能用学过的知识来理解未知的事物。 家长们一定要记住，未来的数学学习，第一要把基础概念吃透，第二要训练孩子读懂陌生的题干。第三要让孩子学会画图、找变量、建模型。刷题不是目的，理解结构才是目的。
42北大韬神讲数学
10:25查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是二零一六年全国一卷理科的第二十题，想冲一百三十分，这种圆锥曲线大题，必须稳稳拿下。 这题第一问，最容易陷入死算，很多人一上来就设未知数连立方程，其实只要搞懂平面几何的一个小性质，就能直接秒杀。咱们先来看题 圆 x 的 平方加 y 的 平方加二， x 减十五等于零。圆心为 a， 直线 l 过点 b 一 逗号零，且不与 x 轴重合，交源于 c， d 两点过 b 做 a， c 的 平行线交 a， d 于点 e。 第一问，证明 e a 的 长度加 e， b 的 长度为定值，并写出 e 的 轨迹方程。 第二问，设 e 的 轨迹为 c 一 直线 l 交 c 一 于 m， n 两点过 b， 且与 l 垂直的直线交圆 a 于 p， q 两点，求四边形 m p、 n q 面积的取值范围。咱们这道题的大方向很明确，第一问，用几何法找轨迹。第二问，设直线方程，把面积表示成关于斜率的函数，再求直域。 先来解决。第一问，我们要求 e a 加 e b 的 长度，这里有个非常重要的技巧，遇到 e a 加 e b 的 长度，这里有个非常重要的技巧，遇到 e a 加 e b 的 长度，这里有个非常重要的技巧，遇到圆点的动点问题，先别急着见细算，先观察图形性质。 我们把圆的方程化简一下，原来的方程是 x 的 平方加 y 的 平方加二， x 减十五等于零。我们把 x 的 平方加二， x 配方加上一，变成 x 加一整体的平方。 为了保持等式不变，右边也要加上一，再把左边的减十五移到右边，变成加十五，所以右边就是十六。这样我们就得到了圆的标准方程， x 加一整体的平方，加上 y 的 平方等于十六。从这里立刻就能看出圆的标准方程 x 加一整体的平方等于十六，从这里立刻就能看出圆的标准方程是负一，逗号零，半径是四。 接下来看题目给的平行条件。题目说 be 平行于 a、 c， 平行能带来什么？能带来相等的角。 因为 be 平行于 a、 c， 所以 角 e、 b、 d 等于角 a、 c、 d。 这步很关键，大家一定要在草稿纸上画个图，对应着看。 再看圆里的三角形 a、 c、 d。 因为 a 是 圆心， c 和 d 都在圆上，所以 a、 c 等于 ad， 都等于半径。四、既然 a、 c 等于 ad， 那 三角形 a、 c、 d 就是 个等腰三角形，底角就相等，也就是说角 a、 c、 d 等于角 a、 d、 c。 我 们把刚才的两个角相等结合起来，角 e、 b、 d 等于角 a、 c、 d， 而角 a、 c、 d 又等于角 a、 d、 c。 角 a、 d、 c 其实就是角 e、 d、 b。 所以 我们就得到了角 e、 b、 d 等于角 e、 d、 b。 这就意味着三角形 e、 b、 d 也是个等腰三角形，所以 e、 b 的 长度等于 e、 d 的 长度。 你看，这个性质一出来，题目瞬间就破局了。我们要算的是 e、 a 加 e、 b 的 长度，现在把 e、 b 换成 e、 d， 那 就变成了 e、 a 加 e、 d， 而 e 点刚好在 a、 d 这条线段上，所以 e、 a 加 e、 d 就 等于 a、 d 的 长度， a、 d 是 圆的半径啊，所以 e a 加 e、 b 就 等于四，这就证明了它是定值， 得到了定值，接下来求轨迹方程。 e、 a 点坐标是负一，逗号零， b 点坐标是一，逗号零。我们算一下， a、 b 的 长度刚好是二， 因为 e、 a 加 e b 等于四，大于 a、 b 的 长度二。根据椭圆的定义，动点 e 到两个定点 a 和 b 的 距离之合是一个大于两定点距离的常数，所以 e 的 轨迹就是一个以 a、 b 为焦点的椭圆。 因为定值是四，所以椭圆的长轴长二， a 等于四， a 就 等于二。两个焦点 a 和 b 的 坐标分别是负一逗号零和一逗号零，所以椭圆的中心就在坐标原点。焦距二， c 等于二， c 就 等于一。 接下来算 b 的 平方， b 的 平方等于 a 的 平方，减去 c 的 平方也就是四，减去一等于三。这样我们就得到了椭圆的标准方程，也就是四分之 x 的 平方加上三分之 y 的 平方等于一。 很多同学写到这里就直接进入第二问了，这里有个非常容易踩坑的地方，大家注意看题干括号里那句话，直线 l 不 与 x 轴重合，这意味着什么？意味着点 e 不 能在 x 轴上。所以咱们写完轨迹方程，必须在后面补上一个条件， y 不 等于零。如果不写这个，这道题的第一问是要扣，接下来咱们看第二问， 直线 l 过点 b， 一 逗号零，而且不和 x 轴重合，咱们该怎么设直线方程呢？很多同学习惯设 y 等于 k， 乘以括号 x 减一，但这样设有个大麻烦，你得单独讨论。斜率不存在的情况，为了避开这个坑，咱们直接设 x 等于 t 乘以 y 加上一。这就完美包含了所有不与 x 轴重合的直线。 我们把直线方程代入到刚才求出的椭圆方程里，椭圆方程变形一下，两边同乘十二，就是三倍的 x 的 平方加上四倍的 y 的 平方等于十二。把 x 换掉，就变成了三倍的括号。 t 乘以 y 加上一整体的平方，再加上四倍的 y 的 平方等于十二。 咱们把括号展开， t 乘以 y 加上一整体的平方，就是 t 的 平方乘以 y 的 平方加上二 t， y 再加上一。外面还要乘个三，所以变成了三倍的 t 的 平方乘以 y 的 平方加上六 t， y 再加上三，再加上后面的四倍的 y 的 平方等于十二。 接下来合并同类项，把含有 y 的 平方的项提出来，就是括号三倍的 t 的 平方加上四，乘以 y 的 平方。含有 y 的 单项就是六。 t， y 长竖项把右边的十二移到左边，三减去十二，就是负九。所以整理后的方程是括号三倍的 t 的 平方加上四，乘以 y 的 平方加上六 t， y 减去九等于零。 根据维达定律， y 一 加上 y 二等于负的分子是六。 t 除以分母是三倍的 t 的 平方加上四。 y 一 乘以 y 二等于分子是负九除以分母是三倍的 t 的 平方加上四。 我们要算弦长 m n 弦长公式大家一定要背熟， m n 的 长度等于根号下括号一加上 t 的 平方乘以根号下括号 y 一 加 y 二，整体的平方减去四倍的 y 一。 y 二 把维达定律带进去， y 一 加 y 二，整体的平方就是分子三十六倍的 t 的 平方，分母是括号三倍的 t 的 平方加上四，整体的平方 减去四倍的 y 一 y 二，因为 y 一 y 二是负的，负负得正就变成了加上分子是三十六，分母是三倍的 t 的 平方加上四。为了通分，我们把后面这个分式的分子分母同乘括号三倍的 t 的 平方加上四，分子就变成了三十六乘以括号三倍的 t 的 平方加上四。 前后两个分子加起来三十六倍的 t 的 平方加上一百零八倍的 t 的 平方加上一百四十四，等于一百四十四倍的 t 的 平方加上一百四十四。提取共因式一百四十四就是一百四十四乘以括号 t 的 平方加上一。开根号之后，分子就是十二乘以根号下 t 的 平方加上一，分母，就是三倍的 t 的 平方加上四。 最后别忘了前面还有一个根号下一加 t 的 平方乘进去，最终 m n 的 长度就等于分子是十二乘以括号 t 的 平方加上一，分母是三倍的 t 的 平方加上四。这一步计算量比较大，大家一定要在草稿纸上一步步写清楚。搞定了 m n， 接下来看 p q， 题目说直线 p q 过点 b， 而且和直线 l 垂直，因为直线 l 是 x 等于 t 乘以 y 加上一，所以 p q 的 方程可以直接写成 y 等于负， t 乘以括号 x 减去 t 等于零。 要求圆的弦长 p q， 咱们可千万别去连立方程，用圆心到直线的距离配合勾股定律才是最快的。 圆心 a 是 负一，逗号零，半径是四，圆心到直线 p q 的 距离低，等于把负一和零带入直线方程，分子是负 t 减去零，减去 t 的 绝对值，也就是负二 t 的 绝对值。分母是根号下 t 的 平方加上一，所以距离低就等于分子是二倍的 t 的 绝对值。分母是根号下 t 的 平方加上一。 根据勾股定律，半弦长的平方加上距离的平方等于半径的平方。所以 p q 的 长度等于二倍的根号下半径的平方减去 d 的 平方，半径的平方是十六， d 的 平方是分子四倍的 t 的 平方除以分母， t 的 平方加上一， 通分一下十六，减去这个分数等于分子是十六倍的 t 的 平方加上十六，再减去四倍的 t 的 平方，也就是十二倍的 t 的 平方加上十六。提取个公因式四开根号出来，和外面的二相乘，最后 p q 的 长度就等于四倍的。根号下分子是三倍的 t 的 平方加上四，分母是 t 的 平方加上一。 现在 m n 和 p q 的 长度都有了，因为它们互相垂直，所以四边形 mp 的 长度再乘以 p q 的 长度。咱们把刚才算出的两坨式子乘起来， 二分之一乘以十二，等于六六，再乘以 p q， 前面的四常数部分就是二十四。再看变量部分， m n 里的分子是 t 的 平方，加一，分母是三倍的 t 的 平方加四。 p q 里刚好有个根号下分子是三倍的 t 的 平方加四，分母是 t 的 平方加一，两者一乘，刚好消去了一部分，最后面积 s 就 等于二十四，乘以根号下分子是 t 的 平方，加上一分母是三倍的 t 的 平方加上四。 到了最关键的一步，怎么求这个式子的取值范围？这里有个非常重要的技巧，遇到这种分子，分母都有变量的分式，咱们用分离常数法， 我们看根号里面的式子，分子是 t 的 平方加一，分母是三倍的 t 的 平方加四，我们把分子乘以三，再除以三，变成三分之一乘以括号三倍的 t 的 平方加上三，然后把分子里的加三凑成分母的样子，写成加四减一， 这样式子就变成了三分之一乘以括号一减去，分子是一除以，分母是三倍的 t 的 平方加上四。接下来我们看范围，因为 t 的 平方大于等于零，所以三倍的 t 的 平方加上四大于等于四， 那么它的倒数也就是分子是一除以分母是三倍的 t 的 平方加四，就大于零且小于等于四分之一，用一减去它，范围就是大于等于四分之三且小于一，再乘以三分之一。最后开根号再乘以二十四， 四分之一，开根号是二分之一，乘二十四就是十二。三分之一，开根号是三分之，根号三乘二十四就是八倍的根号三。因为不能等于三分之一，所以面积 s 的 取值范围就是大于等于十二且小于八倍的根号三。 咱们来总结一下这道题的最终答案。四边形面积的取值范围是左臂右开区间十二到八倍的根号三。这题真正值钱的地方不是你算的多快，而是你第一问有没有用对弦长公式和分离长输法。 记住一句口诀，圆锥曲线算面积设而不求定维达垂直条件，用距离分式求值凑长数。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题。刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知，椭圆四分之 x 的 平方加上三分之 y 的 平方，等于一右焦点为 f， 过点 f 的 直线交椭圆于 ab， 两点线段 ab 的 垂直平分线交 x 轴于点 p。 求线段 p f 长度与线段 ab 长度的比值的取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
74杨老师通关数学
01:04查看AI文稿AI文稿这套试卷我只能考一百四啊！很多同学都喜欢来问我同一个问题，老师，如果你去考二零一六年的高考数学的新课标一卷的理科，你能考多少分？能不能考一百五呢？不好意思，我只能考一百四，我们来看一下啊！集合基础题，复数基础题。数列基础题。概率基础题，这个题是双曲线 基础题，这个题是三十图。基础题好，这个题是函数图像基础题好，这个题比较大小基础题，这个题是程序框图基础题好，这个题是我们的抛物线基础题，这个题是我们的正方题。基础题，这个题考的是我们的三角函数啊！中档题，十三题，这个题是我们的向量基础题，十四题，这个题是我们的这个二项式基础题。 十五题，这个题是我们的这个什么？数列基础题，十六题，这个题是我们的实际应用题。中档题啊，十七题，这个题是我们的解散型基础题。十八题，这个题是我们的立体几何。中档题。十九题，十九九题，这个题是概率统计。 中档题啊，理想型随机变量。二十题，这个题是我们的这个什么？呃，二十题，这个题是我们的导函数，也是一个难题啊！二十二题，这个题是指坐标与函数方程基础题。二十三题，这个题是我们的双绝对值基础题，基础题。
31强哥数学非常厉害
01:03查看AI文稿AI文稿这套试卷我只能考一百四啊，很多同学都喜欢来问我同一个问题，老师，如果你去考二零一六年的高考数学的新课标三卷的理科，你能考多少分？能不能考一百五呢？不好意思，我只能考一百四，我们来看一下啊，集合基础题、复数基础题、向量基础题，这个题的话，它就是一个实际应用题。基础题，这个题的话，它是一个我们的三角函数基础题啊，好， 这个题是我们的比较大小基础题，这个题是程序框图基础题，这个题是减。三角形基础题，这个题是三十图基础题，这个题是我们的三棱柱基础题，这个题的话，它是一个创新题啊。中档题，这个题是限行规划基础题。 十四题，这个题是我们的三角函数基础题，这个题是我们的。这个什么，这个题我们用导航来搞定基础题。十六题，这个题的话，它是我们的直线和圆。中档题啊， 十七题，这个题数列基础题。十八题，这个题是我们的。这个什么？限性回归直线中档题啊，好，十九题，这个题是立体几何中档题。二十题，这个题是抛物线。中档题啊。二十一题，这个题是我们的这个三角函数，这题是一个。嗯， 导函数啊，是一个难题。好，这个题是我们的这个什么？嗯，直角坐标与参数方程基础题，这个题是我们的不等式选角基础题。
52强哥数学非常厉害
01:10查看AI文稿AI文稿这套试卷我只能考一百四啊！很多同学都喜欢来问我同一个问题，老师，如果你去考二零一六年的高考数学的新课标二卷的理科，你能考多少分？能不能考一百五呢？不好意思，我只能考一百四啊，我们来看一下啊！复数基础题，这个题，集合基础题。向量基础题。直线和圆基 础题，这个题是我们的三角函数基础题，这个题是我们的。这个什么程序框图基础题。三角函数基础题。好，这个题是我们的这个什么， 这个题考的实际上是也是一个应用题基础题啊，这个题考的是我们的双曲线基础题，这个题考的是我们的函数图像啊。中档题，这个题考的是我们的解散型技术题，这个题考的是我们的例题几何平行垂直技术题。好，十五题，这个题是我们的推理技术题，这个题的话，他考的是我们的导函数啊。中档题。 十七题，这个题是我们的数量基础题。十八题，这个题是我们的。这个什么十八题，这个题是我们的概率啊。概率统计基础题。十九题，这个题是我们的。这个什么立体几何，这个题是一个中档题啊！二十题，这个题是我们的椭圆难题啊，难题，这个题，导函数也是一个难题。 好，二十二题，这个题是平面几何证明基础题。二十三题，这个题是我们的极坐标与参数方程基础题，这个题，双绝对值基础题。
33强哥数学非常厉害
05:48查看AI文稿AI文稿的考点了，向量贡献求参数公式？千万别记反了，高考直接会丢分的哈。今天咱们专门搞定平面向量平行贡献求参数，三道高考专题，带你一次性就学会哈！来，我们话不多说，直接开始呗。 嗯，在做 p 贡献还有垂直之前，我们先来回顾一下知识点贡献，向量贡献的时候说明是什么？ 如果两个向量给你，一个是一个是 a 等于 x y y 一， b 等于 x 二 y 二，那如果它共线的情况，也就是平行，平行也称为共线，是吧？ 那我们就能写成 a 等于 lama 背的 b。 但是老师今天在做题的时候，一定要告诉你一个更重要的点，也就是说可以推出为什么 a 等于拉姆达倍的 b？ 好， 那这里就变成数量级的时候， x 一 乘以 y 二，减掉 x 二乘以 y 一 等于零，特别特别重要哈。 好，那如果是平行垂直的时候怎么办？垂直的时候这个式子怎么变垂直？ 对， x 一 乘以 x 二，加上 y 一 乘以 y 二等于零。 好，记住我现在带你回顾的这些公式哈，那我们现在直接按照这个公式就把所有的知识点给拿下来吧。话不多说，直接开始做题。 已知向量 a 等于二的，我 b 等于拉姆达被 b， 若什么 a 平行于 b， 则拉姆达为多少？来呗，在哪个公式？平行共线的公式是吧？ 好，那就变成了一步一步来写， x 一 y 二减 x 二， y 一 等于零， x 一 哪个对二乘以多少？四减掉 五，拉姆达等于多少？零？负五，拉姆达等于负八，拉姆达等于多少？负的 五分之八，则拉姆达为负的五分之八。会了，没有同学们 好，还不熟是吧？来，我们直接开始。第二个题，也是一六年的全国高考命题，说已知向量 a 等于 m 负四， b 等于三，负二又是什么？又是给的贡献是吧？ 也就是平行的意思，则 m 为多少？好，怎么样？ x 一 乘以 y 二减 x 二， y 一 等于零。 来呗， x 一 m， y 二负二， m 减掉四，三乘三等于零，现在呢， 负二 m 等于十二 m 等于负六。对呀，就是负六呀，那答案就变成了负六会了没有？ 来吧，最后带你们做一个设 ab 不， 不平行，向量 ab 不 平行啊，这个题， 然后说向量这个和这个平行，则实数拉姆大为多少，怎么做？遇到这个的时候怎么做？他前面告诉你不平行，嗯，向量 a 和 b 不 平行，但是后面这个平行，那现在要怎么办？ 那是不是 number 向量 a 加上 b 怎么样？等于 k 倍的 a？ 呃，向量 a 加上二 b 是 吧？ k 怎么来的？请告诉我 k 怎么来的？ k 是 我们射出来的，就是它平行的时候，回到这平行的时候是不是多少倍？只是把这里的拉姆达换成了 k， 仅此而已，是不是？那现在怎么解呢？拆呗，是吧，把它该。嗯，好，右边化解 k 向量 a 加上二 k 向量 b， 先少了一个向量 b， 那 现在怎么办？ a 的 地方跟有含 a 的 跟 a 相等，含 b 的 跟 b 相等，是不是？来吧， 第一个呢， number 向量 a 等于多少 k？ a 向量 a 是 吧？然后呢，向量 b 等于二 k 向量 b， 现在呢？怎么画？ 那就相当于 lamba 就 等于 k。 那 第二个式子是不是就能把 k 求出来？一、等于我在。
51Zz知知老师
00:57查看AI文稿AI文稿这套试卷我只能考一百四啊！很多同学都喜欢来问我同一个问题，老师，如果你去考二零一六年的高考数学的新课标三卷的文科，你能考多少分？能不能考一百五呢？不好意思，我只能考一百四，我们来看一下啊，集合基础题啊，然后是复数基础题，向量基础题，这个题的话，他考的是这个什么应用实际用题基础题，概率基础题，三角函数基础题， 比较大小基础题，程序框图基础题，解三角形基础题，好，这个题是三十图基础题，这个题是我们的这个三能柱基础题，这个题考的是椭圆中档题啊，线性规划基础题，三角函数基础题，直线和圆基础题，这个题考的是函数的性质啊，中档题， 好，十七题，这个题是我们的数列基础题。十八题，这个题是我们的线性回归直线基础题，最多是算一个中档题啊。十九题，这个题是我们的这个什么立体几何基础题。 二十题，这个题是我们的跑无限中档题。二十一题是我们的导函数这个题是一个难题啊，难题。二十二题，这个题是平面几何正零基础题，这个题是我们的极坐标参数方程基础题，这个题是我们的不等式选讲基础题。
32强哥数学非常厉害
