斐波那契数列2025高考
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56:18查看AI文稿AI文稿哎，哈喽，各位同学，大家好，能听到我的声音吗？好久不见，好久不见啊，哎，我们今天呢给大家讲的一个非常重要的内容啊，你看这个帅小伙啊，帅不帅啊？啊，不是我，是他 啊，啊，飞博纳妾啊，很明显是一个人的名字，所以我们今天呢就给大家讲解飞博纳妾属列 啊，因为这个数列呢，是全国各地几乎所有的地方模考题都考过啊，所以呢，我们今天好好的给大家研究一下啊。当然 呃，在我们教材上，不论是人教 a 版还是人教 b 版，他都讲解了，所以呢，我基本上是把教材上的一些语言给大家搬出来了，给大家讲解一下啊，叫非拨纳器，为什么叫神奇呢？你们知道为什么叫神奇吗？啊，真绝了啊， 告诉大家为什么叫神奇，就是因为非蒙娜小数列在我们自然啊，自自然当中啊，太常见了啊，你比如像这个咱们教程上出现的这么一段话， 就是这个树枝啊，一年长出一个新枝来，他服从飞奔那些树立，你看我们这是教堂的原话，我们给大家读一下啊，真的特别神奇， 包括是什么呢？包括这个花瓣的花瓣树，这个你们知道吗？花瓣树基本上都是啊，什么三瓣啊，五瓣啊，八瓣呀，就是在我们日常生活当中，或者说自然当中非么那些树叶太常见了，给人的感觉就是 就是，好像是人安排好的似的。那你们知道你们牛哥到晚年的时候研究什么，知道了吧？你们牛哥晚年的时候，牛顿 晚年的时候就研究神学，包括爱因斯坦晚年的时候呢，他也有点啊，研究这个神，就是老感觉，自然生活当中很多东西都是 都是给人的感觉，就是人安排好的，刻意安排好的。其实今天的这个菲猫那些数列就是真的是特别神奇， 对吧？当然你也可以，是吧？你，你也可以高考的时候直接考哈佛也可以啊，哈尔滨佛学院直接研究神学也可以啊，直接过去研究自然科学这一个阶段。 你看我们教材上这句话说的什么呢？有趣的是，我们在自然界中发现了许多菲博纳奇术列，一会给大家说，什么叫菲博纳奇术列啊？例如一棵树在第一年长出一个新植，第一年长出了一个新植啊，就相当于他，然后第二年呢，就是一年之后变 老枝，老枝每年又长出一个新枝，你看他，然后呢，又长出一个新枝，这个地方又长出一个新枝，所以他在每一年所这个枝数，他正好是一个非莫纳邪属列绝不绝。你看一二三五八， 这是我们教程上的原话，只是我从网上找了一个图片，这是人教 a 版上的啊，然后呢，他还说了一句话， 更加有趣的是啊，这个刚才说到了向日葵，你们都吃过瓜子吧，你看看向日葵是什么呢？这，你看他这个，这个曲线，从这里啊，你看这里出来一个曲线，这里出来一个曲线，一正一反。这个曲线呢，从内往外逆时针的螺旋有十三条， 然后顺时针呢，螺旋呢，有二十一条，他这两个数正好是相邻的两个分末。那些数，你看 向日葵也是绝了不？当然更绝的是什么呢？更绝的是我们教材上说了一个曲线叫啊，非莫纳妾螺旋，什么叫非莫纳妾螺旋呢？我先让大家脑补一下，你说什么样的东西长得像这个样， 你先想一想在评论区打出来啊，什么样的像这个菲波纳气螺旋呢？头两天啊，刚刚到我们山东啊，有个什么东西，对吧？你们想一想，能够想到什么东西，在我们自然界当中太多太多了， 蜗牛很好，有点像啊，这不是蜗牛就是长得这个样吗？海螺可以，还有什么？ 还有什么？头两天刚刚到山东，前几天肯定是在什么杭州，浙江，台风太好了，你们太厉害了，你看看，这不就台风吗？台 台风形成的那个漩涡，它不就相当于飞摩纳器吗？哎，这个螺旋还有什么？你看这个蜗牛，你说在我们自然界当中太多太多了，所以呢，哎，真的是非常神奇，非常神秘， 哎，非常啊，当然也是我们考试的重点，几乎所有地方模拟题都会涉及到，所以我们今天给大家讲透。那么什么叫非莫纳器的螺旋呢？这个螺旋我给大家说一下啊，先说这个数列，这个数列是这样的啊， 第一个数是一，第二个数也是一，下一个数呢，是前两个数之和，你看二，再下一个数呢，也是前两个数之和。三，再下一个呢，也是前两个数之和，这是五。知道什么叫非蒙那些数列了吧，然后再下个数是什么呢？是八，他怎么 来的？我一会再给大家讲，我先把教材上的这个非不纳气的螺旋给大家解释一下，哎，在下一个数是几是十，三会写了，不 就是任何一个，任何一项都是前面两项之和，所以这个菲波纳切螺旋是怎么回事呢？他拿着第一个数，比如一，然后做一个小正方形，看到了吗？然后呢，再拿着第二个数也做一个小正方形， 听清楚了吗？然后呢，以这两个正方形，这个地方边长是二吧？再以他边长做一个正方形，以边长为二，做一个正方形， 然后呢，再以 a 三做一个正方形，就这样排列下来，你看清楚怎么排列的？这个螺旋是怎么螺旋出来的呢？它就是从第一个开始做一个扇形，做一个 四分之一圆，做一个四分之一圆，然后呢，再乘着做一个四分之一圆，再做一个四分之一圆，再做一个四分之一圆，再做四分之一圆。好，他这样螺旋出来了，这就是菲摩纳器螺旋。 当然这个呢，有一个超级重要的结论，这个结论呢是我们全国各地模考题几乎是必考的一个结论。这句话也是我们教材上的，我问你能看懂不？能听懂不？我教给你们去记忆， 哎，你看你能看懂不？就说白了，这个 f 一就相当于 a 一啊，非非啊，首字母就是第一项， a 一的平方加 a 二的平方，一直加到 a 呢平方等于他能记住不？ 你肯定是记不住吗？他长这么丑，这么难看，你能记住，你是人才了就对不对？所以呢，我给大家说一下，他这个怎么来的，你可以看看， 特别有规律。那你想一想， a 一的平方你能想到什么？ a 一的平方你能想到什么？ a 一的平方是不是第一个小正方形的面积？ a 二的平方是什么呢？第二个小正方形的面积， a 三的平方是什么呢？是第三个小正方形的面积， 好理解不？所以我们记住 an 嘛，我们喜欢用 an， 所以 a 一的平方加 a 二的平方加 a 三的平方一直加加加，加上一个 an 的平方，这就相当于这么多小正方形的面积。那我问大家一个问题，我们先找找规律， 第一个小正方形的面积加第二个小正方形的面积等于什么？是不是就等于个一加一等于二，这个二是不是正好等于个一乘以二，长乘宽一 乘以二，你可以看一看，是不是就应该等一个 a 二乘 a 三？那你看，如果三个小正方形的面积就是第一项的和第二项的平方和第三项的平方和，就相当于 a 方加 a， 二方加 a， 三方加在一起，是不是这个矩形的面积？ 那么是这个矩形的面积的话，是不是长乘宽一个是二，一个是三，所以加到 a 三的话，是不是就就应该等于个多少二乘三，二乘三，是不是就应该等于个 a 三乘以 a 四？所以这个地方答案就应该是 an 乘以个 an 加一， 他加在一起正好是那个矩形的面积。当然如果你听不懂，我一会给大家严谨的去证明一下我在说什么，你能听懂了吗？再说一遍，第一项就是 a 一的平方就是第一个小正方形的面积， a 二的平方呢，就是第二个正方形的面积， a 三的平方呢，就是第三个正方形的面积。我再给你加一个 a 四的平方呢，就是第四个正方形的面积，它俩加在一起，我们就加个四，加到四是不是这个矩形的面积， 这个矩形的面积，这个矩形的面积当然就是长乘宽，这是三，那么这个量是几呢？这个量就应该是五，所以加到 a 四的平方就应该是三乘五，三乘五不就是应该是 a 四乘 a 五吗？所以加到 n 的平方就应该等于 a， n 乘以 n 加一。当然我一会给大家证明，这是我们教材上出现的一个公式，听的模模糊也正常，因为我现在从头干，从头开始给大家讲什么叫非门大学术 飞锋大学数列，刚才也给大家说过了，我们自然界当中太多了，什么台风呀，什么哎，还有一个什么，哎，你看你的耳朵，你的耳朵长什么样？ 哎，高同学，你的耳朵那个是不是有点像菲波纳切螺旋？哎，你有耳朵吗？有，是吧？啊？看到了吗？你，那个，你看那个地方，是不是有点像菲波纳切螺旋，所以真的是特别神秘，真绝了， 好像我们一切都是别人安排好的似的，所以我也不知道，我也不知道这个自然科学，或者说我们这些东西是叫发明呢？还是叫发现， 绝了不，所以什么叫非门纳妾呢？非门纳妾，这个数学家，他一开始研究什么呢？研究兔子，兔子最大的一个特点就是特别能生，特别能生啊，哎，兔子， 所以我们又叫兔子树林，给大家从头给大家讲一讲这个概念，那个兔子有多能生呢？就是第一个月刚出生，是一个小兔子，然后第二个月呢啊，他就长大了，第三个月呢，他就能生小兔子了， 然后呢，我们就看这么多兔子，他到底变成多少了？所以我们教材是这么说的，第一个月我们有一对小兔子啊， 小兔子当然是不能生兔子的啊，然后呢，他第二个月就成熟了，第三个月呢，就能生兔子了，所以我们 看一看总共有多少个兔子，这就叫兔子数列，所以你听清楚。首先第一个月，这是一个月，然后呢，我们说这是小兔子，小兔子啊，下一 这个呢，就是成熟的兔子，当然第一个月的时候先有一对小兔子，我们这个量数目是一听清楚了，到第二个月的时候呢，这个兔子呢，就变成熟了，所以，哎，所以第二个月成熟的， 当然第一个月成熟度成熟是没有的啊，成熟的兔子的对数是没有的，一开始就一对小兔子，然后掉。第二个月的时候呢，这个小兔子呢啊，小兔子他就变成熟了，听清楚了吗？当然这个成熟的小兔子呢，就没有了， 知道我该怎么写了吧？各位同学，你看，再说一遍，第一个月我有一对小兔子，他是不能生小兔子的，然后呢，成熟的兔子是没有的，兔子呢，第二个月就成熟，他 长他一个月，第二个月就成熟了，所以到第二个月的时候，那个小兔子呢，就变成熟的兔子了，所以现在呢，就没有小兔子了啊，就是小学数学是吧？然后到第三个月的时候，我问你， 小兔子有几个，有几小兔子，是不是小兔子就应该有一对有一个了， 听清楚了吗？因为这个成熟的兔子他就生兔子了，小兔子有一个，那么成熟的兔子呢，他很明显还有一个 成熟的，还是成熟的吗？他生出来一对小兔子啊，生出来一个小兔子，所以 a 一呢，我们就记住，一看见了吗？兔子的总数 a 二呢，他也是一， a 三呢，他就变成二。大家可以看到四月的时候，下一个月，下一个月呢，这个小 兔子呢，又变成熟了，所以你告诉我成熟的兔子有有几对了，有了几个了？哎，两个，好理解不。那么现在呢，有成熟的兔子变成两个，那个这个成熟的兔子是不是又得生一个小兔子 啊？他就生了哈，对啊，你发现其实不用研究了，结论是什么？特别能生， 特别能生啊，特别能生，所以这时候呢，我们就第四个呢，就应该是三， 总共是数字就变成三了，在下一个月的话，五月份，五月份的话，大家想一想，那么成熟的兔子，他很明显还会生。兔子现在成熟呢，他有两两个，是吧？所以他生出来两个，对吧？每一个成熟的都会生，然后呢，这个呢，这个小小兔子 字变成几个了？变成了几啊？变成三个，因为原来有两个， 原来有两个，然后呢，这个小兔子又变成成熟的，所以 a 五就应该等于个几啊？等于个五，你会发现这个数列的地推关系式是什么呢？你看五的时候呢，是二加三， a 四的时候是一加二，所以我们就得到了一个地推关系，是 an 加二等于个 an 加一，加上一个 an。 好，我问大家一个问题，这个数列见过吗？连续三项， 这个地推关系是是这样的，当然首相是 a 一等于一， a 二呢，也是一。那我问大家一个问题啊，我们这次研究数学啊，啊，你这个来了一个突，来了一场病突，这 一窝都死光了。我们不研究啊，兔子不死吗？当然死了，我们不研究，我们这是做数学题，不是在这里讲兔子，更不是在这里搞计划生育，这个兔子特别的生，听懂了吗？所以我们在做数学题，这都是相对来说是比较理论的， 对不对？你说怎么兔子这么能生啊？你们小时候我不知道你们家里养过兔子吗？如果养兔子就知道兔子真的是特别能生的啊。对， 然后呢？我们得到这么一个地推关系，是 a 一等于一， a 二等于他，所以下面的问题来了，他的同样公式是什么？谁能告诉我哪一年考过？你在评论区打出来 连续三项的问题，求通向。好，那我再给大家推导一下啊，通向公式是什么？你想一想，哪一年考？ 考过，只是那一年考的特别简单，知道怎么来的吧。这个费末拿下数列 一九全国一，二零一九全国一。理科最后一道概率大题。最后一道概率大题的第一问就是连续三项，只是那个题非常的简单，能听清楚吧？那么这道题它的通向公式是什么呢？ 好，第一种方法，你们听说过特征跟方程不？只要是连续三项他都符合，都可以用特征跟方程求出他的通向公式来，学过吗？他的特征跟方程是什么呢？就是我令 a n， 另这个 n 等于一，然后呢？把 n 加一写成 x， 然后呢？ a n 加二写成 x 方，你看你能听懂吗？ 听不懂，我在讲第二种方法，他就应该等一个 x 加上一个一，这时候呢，他有两个根，如果他有两个不等的根，那么他的通向公式是什么样的？好，我再说一遍啊，这个地方呢？这个地方是大学学物，原来考试特别喜欢考这两年呢， 中间啊，沉寂了几年，我估计以后还是有可能考到的。再给大家说一遍啊，如果是连续三项的话， 这呢有一个特征跟方程。有一个结论，我们把 a n 加二写成 x 方，把 a n 加一写成 x， 把 a n 写成一，这叫二阶特征跟方程。 那么他这时候呢，根的个数呢？就有三种情况，他有两个不等的根，好理解吧，他如果有两个不等的 根的话，它的通向公式一定是 a 乘以 x 一的 n 次方，加上一个 b 乘以 x 二的 n 次方，那么这个 a b 怎么求呢？代入 a 一 a 二就可以了， 带入 a 一 a 二，就能求出 a b 来。听清楚。如果有两个相等的根，当然我们今天用不到。如果有两个相等的根， 假设我们记住 x 零，它的通向公式就应该长得这个样， a n 加 b， 它是有结论的。 哎， x 零的 n 次方，你可以记一下来。如果他无根无根呢？这个地方特别喜欢考考那种比较简单的弱智的题，无根说明他就有虚根，虚根呢，他就有周期性，所以这个 an 是一个周期数列。 比如我让你求 a 二零二二，我让求 a 二零二三，它是一个周期数列。 如果你这个点听不懂，或者说这条没有什么听懂，听不懂，你记一下来。这个地方呢，推导就不说了啊，特征跟方程，这叫当然，一会我再用通话一步一步给你推导一下，都是可以的。 明白，所以大家可以看它的特征跟方程是什么呢？我把它想成一，我把它想成 x， 这个地方就应该是 x 方，所以这样的话，我能就能求出两根来。 x 方减去个 x， 减去个一等于零，它的根正好是二， a 分之，负 b 加减，根号下他谁对这个数敏感？我不知道，你小学毕业了吗？为什么叫神奇的飞拨？那些数列绝了，二分之一 减跟五，或者说你先想到二分之跟五减一，二分之跟五减一，绝了，这个数好像是多少来？零点六一八，黄金分割。 黄金分割什么意思呢？就是这个飞波纳妾数列不停的往后写，相邻两相之比，相邻两相之比，就他比，他越来越趋近于零点六一八， 包括那个谁？蒙娜丽莎那个，那个头像是不是长得特别漂亮？是不是？你知道他为什么长得漂亮吗？ 因为蒙娜丽莎那个，那个地方，他正好也符合菲波纳七螺旋，他正好是零点六一八，真的是非常绝望。再说一遍，菲波纳七数列，如果你不停的往后写，这是五，下一个是八，然后呢？不停的往后写，相邻两相之 越来越接近于零点六一八，也就是二分之跟五减一，也就是黄金分割， 黄金分割能听清楚吧？所以这时候我们算出两根来，一个是他这两根是不相等的，所以他的通向公式就应该是这样的， a 乘以一个根，二分之一减根五的 n 次方， 然后再加上一个 b 乘以个多少呢？二分之一加跟五的 n 次方。那我怎么求这个 a b 呢？ 啊？卡吗？我这边没看出来卡呢，我怎么求出这个 a b 来呢？我带入两个数，带入 a 一， a 二，比如把 a 一带进去， a 一等于一，那也就说 a 乘以二分之一减跟五，加上一个 b 乘以个二分之 一加根五，等一个一，我再代入 a 等于二， a 乘以个二分之一减根五的平方。哎呦，确实计算量挺大的啊，有点烦躁。我说的是你等一个一，你能解出 ab 来不？ 这个 ab 就能解出来。我不想解了，因为我知道你特别喜欢算数啊，我猜的，听到了吗？我就不算了啊，我直接把答案给抄过来了。好，你觉得你能算出来吗？应该是很简单的这个计算啊，要不我给你算算？ 这计算很小的啊。看着这个的话，平方就应该是 a 乘以个四分之一加五是六，六减二跟五，三减跟五，然后二分之加上一个 b， 完全平方是四分之，约了一个二，三加跟五，然后 等于个一，然后呢，这两个式子相减，拿着这个式子减，上面那个式子就应该是跟五张减没了二分之三，个 a 减二分之一个 a， 正好是 a， 然后 b 呢，正好是 ba， 加 b 等于零，所以 a 和 b 是相反数，看出来了吧， a 和 b 是相反数，然后呢，这个数就应该是负 b 喽， 负 b 的话，所以就能这个地方就能算出 b 来多少个就应该是 b， 负 b 相减的话，正好是根五吧，根五， b 等于个一，所以 b 等于个一， b 跟五。 所以各位同学一定要好好的算数啊，计算不过完，数学一定学不好。好，我算的快吗？然后呢，这个 a 呢，就应该是负的，负的 b 跟五，所以非拨纳切数列的它的通向公式就应该等于个二分之一加跟五的 n 次方，然后呢，减去一个二分之一，减跟五的 n 次方，当然前面有个 跟五分之一，你发现他绝在什么地方呢？是不是分布那些数列？他每一项都是整数，但是呢，他的通向公式里边都有跟五，都有五里数，是不是又非常绝？ 你想一想，通向公式长这么丑，他算出来全是整数，你把 n 哪一带进去是整数一，把 n 哪二带进去算出来还是一？你把 n 哪三带进去算出来是二，你说，哎，真是，他这里边有五里数，最后算出来是整数，每一项都是整数好吧，当然，如 如果是你这个地方没有听懂这个地方，或者说你，你记下来就可以，学霸同学听懂的也是记住的啊，这叫特征跟方程，二阶特征跟方程。那你说，显哥，俺就想一步一步推倒，那我就给你一步一步推倒一下， 给大家一步一步推导一下啊，用我们目前的知识来说，怎么能够把它推导出来？当然计算量也是非常大的，我就给你解释一下意思，我就不想给大家算一遍了。 这个推导的过程也是二零一九年全国一考试的过程，只是那道题考的特别简单。我先呢给大家讲二零一九年啊，全国一这道题目。那道题怎么说的呢？我记得啊，大概是这个样子的，他也是连续三 三项，大概呢，是这个样子吧，忘了啊。然后呢，他让你证明，第一问 a n 加一减去个 a n， 他是一个等比数列，他考的特别简单。 但是呢，我为什么给你讲讲这个简单呢，让你找找感觉，他是怎么构造数列的，大家体会一下。这个地方是连续三项，有个 an， 有个 n 加一，有个 n 加二，我们构造数列只有一个目的，就是为了凑出相邻两项来， 你觉得应该把谁移过去才能抽出项链两项来？是不是我们应该把 n 加一移过去一个，是不是？如果我把 n 加一移过去一个的话，对不对啊？或者说这个工笔不太行，是吧？我给你 改个数就可以了。这个量是三，这个量是二啊，原体我忘了啊，这个量是三，这个量是二，我如果移过去一个的话，右边正好三倍的 n 加一，还剩两倍的 正好，我搞出来他俩是相类两项能看出来不？看不到是吧？啊？没注意， 明白了吧？现在是不是它俩正好是相邻两项？那所以这不就是等比数列了吗？ n 加一减去个 a n， 它是个等比数列， 他是这么考的，就是当年考的特别简单，就是你再傻也能够看出来移多少。移这么一个 a， n 加一移到左端去，正好凑出相邻两项，凑出相邻两项，这样的话，他正好是一个等比数列。听懂了，那我问大家一个问题，现在 你能够看出来他移多少不？这张是加，你能看出来移多少不？你当然看不出来了，你能看出来你就神人了。我看不出来啊，那看不出来怎么办？我们就可以用概念系数法呀，你看看我把这个 a n 加一移过去一点，移多少？不清楚， 我呢把它写成 x 倍的 a n 加一，但是呢，这个地方呢，我把它写成 a n 加一，加上一个 x 倍的 a n 为什么都是 x 呢？就是因为我想把它抽出项链拿下来， 这呢，相邻两项，把 n 变成 n 加一，正好是它，所以它正好是等比数列了。那这个 x y 是谁呢？你把这个括号打开，这就是通法，通法就真 非常复杂。我告诉你，你说这东西怎么那么难啊，哎，教材在这放着呢。人教 a 版五十七页第十六题让你证明非博纳学术类的通向公式就是他 人教 a 版，人教 b 版是是课本上立体人教 a 版是课后题，全都有，你都没看过。所以你把括号打开之后，这个式子和这个式子完全是一样的。所以我比较这个系数，你会发现这个外减 x 正好等于一， 这个 x y 正好也等一，我就能求出 x y 来。那求出 x y 来怎么求呢？ x 乘以 y， y 等于 x 加一等于个零等于一，所以 x 方加上一个 x 减一等于零，所以 x 就应该等于个二， a 分之负， b 加根号下五，另外一个 x 等于个二， a 分之负， b 减去根号下五。当然这个 y 呢？啊， y 是什么呢？ x 加一就应该是二分之一加根五， 另外一组它俩相加是 y 等于 x 加一，所以 y 等于个二分之一，减等于五。 然后你把它带进去，他就能构造出一个等比数列来。你比如带他 an 加二加上一个，我不给他算了啊，太麻烦了。带第一组二分之根五减一，给人的感觉好像算不太出来了， 肯定能算出来啊，所以这个量是 a n 加一啊，这张有个 a n 加一啊，这个数太恶心了，你能听懂我在说什么了吗？ 考试的时候，如果这个系数比较巧的话，它当然就可以了，二分之跟五减一 a n， 所以这个数列是等比数列，看到了，也就是说 n 加一加上一个二分之跟五减一 a n， 它是一个等比数列，我们就能求出它的通向公式。 明白，当然你了解一下就可以了。你可以看看这个一九年怎么考的，就是挪过去一个数， 只是考试的时候他不会考那么复杂，因为飞波那些数列确确实实这个数不是特别巧。好，我再让你看看他的通讲公式，你用这种方法做挺好，一下就能做出来，他需要用那么一个结论。 那么我们考试的时候到底怎么考呢？他不会说直接让你求他的通向公式吧，因为你会发现他的通向公式特别复杂，他 直接作为这个题目不太好，不太容易考察。那怎么办呢？他这样考，这就是考试题了。我们通过这道题来给大家讲解一下， 这些题干都不用读了。他说，意大利著名数学家费蒙纳妾在研究兔子生孩子的问题时，发现了这样一个一列数，你这个他有点挡住，无所谓啊， 都不用看了，一一二三五，从第三项起，每一项都等于他前面两个数的和，我们称为飞波那些数列，然后完了， ok， 所以你挡住了也无所谓，就看这四个选项对不对，对吧，超级重要。这道题他用到的求和方法基本上都是列项，所以我们给大家讲解一下。先看一下 a 选项， a， a 选项是最简单的，就说白了，你要会求某一项，他为什么不会让你求 a 二零二三呀？因为 a 二零二三太复杂了，空项公司刚才给大家讲了，他就让你求 a 六，你看，第一项是一，第二项是一，第三项是前两项之和二， 下一项呢是前两项之和三，再下一项呢是前两项之和是五，再下一项呢是八 a， 对不对？ 对不对啊？恭喜你蒙对一个选项，所以 a 六等于八，哎，这是对的。那么下面呢，我们再看 b 选项， b 选项呢？他让我求的是前 二零二二项的和等不等于他。那么如果二零二二项的和，那你告诉我，如果这个数列，你看，我给你写出来， a n 加二等于个 a n 加一加上一个 a n， 如果让你求一个竖列的前 n 下和， 那你可以看一看用什么方法求，这是必选项啊，我就说了，超级有名，超级重要。这种题，你看着 an 等于什么呢？ an 加二减去一个 an 加一，我把它写成了相邻两项之差， 所以求 a n 的前一项和，就说白了是 a 一加 a 二，一直加到，我给你推一个结论吧， 加到一个 a n， a 一等于什么呢？ a 一把 n 等于一带进去，是 a 三减去 a 二列向相消，现在懂了吧？你看啊，地推关系 是这样的，任何一项都等于前两项之和，所以我一个项 an 等于他相乘了，把它写成了相邻两项之差，所以 a 一加 a 二加到 an 这个数列，就应该是 sn 前向和。那么我们带这个地推关系是 a 一等于什么呢？ a 一等于一个 a 三减 a 二，看到了 a 二等于什么呢？把 n 等于二带进去，就应该等一个 a 四减 a 三，然后呢？ a 三是谁呢？就应该是 a 五减 a 四， 没错吧？然后呢，我一直加加加，加到一个 a n， 等一个 a n 加二，减去一个 a n 加一，能听清楚吧？所以我们列销销 消码，所以 a 三消掉了，然后呢？ a 四消掉了，然后呢？啊，前面剩一个负的嘛，后边肯定是剩一个正的，所以约掉了。所以这个题的答案就应该等一个 a n 加二，减去一个多少呢？减去个 a 二， 听懂了，等一个 a n 加二，减去一个 a 二。所以你告诉我这个题答案对不对？ 好， a 一等于个 a 三减二， a 二的话，就应该等于个 啊， a 四减 a 三，所以呢，它就应该等于个它。好，你看看能听懂不？快点看没问题吧？当然你 这个题他等于 a 加二减 a 二， a 二是一啊，所以这道题是不是这个选项不太对，前二零二二相合，当然，你这个地方还还可以把它写成什么呢？如果你不想写那么远，你还可以这样，你看着啊， a n 加一，他就应该等于个 a n 加上一个 a n 减一，这样对不对？ 各位同学，你写他也行，你写到 an， 写到 n 加一，写到 n 加二，都没有问题，只要是任何一项都等于前两项之和就可以了。所以我再给你推一遍，有的同学没听懂，我看啊，你这样写也可以，你看啊， sn， 如果你这样写，就有个问题，各位同学， 你这个式子能带一不？最少带一，不行，他出现了 a 零，所以前 a 项和是 a 一加 a 二。我给你讲两遍啊， 讲两遍，因为它非常的重要。后面也是一样的， a 一加 a 二，一直加到 a n， 这时候你带 a 一不行，所以 a 一就写 a 一，那你想一想，当 n n 几的时候是 a 二， a 二的话，是不是当 n 等于一也不行，所以 a 一加 a 二， 当 n 等于二的时候就 a 三，对吧？然后呢，你就能够找到一个地推关系，四相相邻也是写成之差啊。所以 a n 啊，写成什么？ a n， 他没错吧？ n 打点二，没错，没错啊，还用推吗？你听懂了吧？听懂了我就不推了，所以这个电话我就推出一个结论来， 没问题吧？对，就是写成支叉相邻两下 叉，然后呢，就正好是一个列项的形式。列项的形式啊，啊，有点卡是吧？ 等一等，等一等， 等一等， 现在能听懂吧？现在能听到吧？现在能听到吧？ 好了吗？好了是吧？好了好了，那就听好啊，我刚才给你讲的 b 选项，你能听懂不？这是一个结论，你给我记下来， 这是一个，这些个，这是一个结论，我就不再给你写一遍了。刚才那个啊，你给我记下来，通过这个地推观音寺， 你把它写成 a n， 等于个 a， n 加二减 n 加一，所以 a 一加 a 二加 a 三，一直这样写下去就可以了，所以这是个结论。我们再看 c 选项， c 选项呢，又是非常重要的，他说 a 一加 a 三加 a 五，一直加到 a 二零二一，也就是说所有基数项的和我们怎么求？当然我们地推关系式还是他。 那你告诉我，怎么能出现所有基础相的和呢？体会一下，所有基础相的和怎么求呢？ 还是一样的呗。需要注意的是，你看啊，我给你找这么一个关键词，你就绝了，非常灵活， a 一加 a 三加 a 五加 a 七，一直加到我们假设是 a n， 因为这个 n 是 基数，我把这个 a 一呢写成 a 二，你说对不对？ a 一和 a 二是不是都是一？所以我把这个 a 一写成 a 二，那你告诉我 a 二加 a 三是几？快点 a 二加 a 三是几？ a 二加 a 三是不是 a 四？ a 四加 a 五是几？ a 五， a 四加 a 五是 a 六， a 六加 a 七是几？ a 八， 对不对啊？所以看出来了吧？我把这个第一项，我把第一项写成 a 二，因为 a 一和 a 二本身就是一样的，所以 a 二加 a 三就应该是 a 四， a 四加 a 五呢，就应该 a 六。 a 六加 a 七，就应该是 a 八，一直加到 a n， 答案是多少，答案是多少？ a n 加一， 所以他对了不，他也是对的。这是 n 为基数的时候，现在懂了， n 为基数啊， n 为基 数，所以飞过那些数列基数相的和，他正好是 n 加一。那如果因为偶数呢？你再看清楚，他这个题没考。 a 二加 a 四加 a 六加 a 八，一直加到 an。 如果这个 n 是偶数， 这个盒是多少呢？总球呢？总球呢？你瞪大眼睛看清楚啊，你的眼睛本来就很大，我前边补个 a 一，我后边减个 a 一， 那是不是这个四字保持不变，他正好加了一个 a 一，减了一个 a 一，他正好还是偶数相的和，那这时候怎么办？ a 一加 a 二等于 a 三， a 三加 a 四等于 a 五， a 五加 a 六呢，等于 a 七， a 七加 a 八呢，等于 a 九， 所以这个地方就应该等个 a n 加一，所以这道题的答案就应该是 a n 加一，减去个 a 一，会了吗？所以非把那些数列前基数相合，就是 n 加一， 前偶数项和呢，他正好是 a 加一减 a 一，所以这个 c 选项是正确的， c 选项是正确的。如果他让求 a 二加 a， 是一直加到 a 二零二二，他后边还得减个一，简单不？所以这里边求和的方法都非常重要。好，这是 c 选项，我们再看 d 选项， d 选项呢？它让我求和是 n 的平方，我刚才讲了吗？我刚才讲了吗？这个 n 的平方，这是个结论。教材上的原画， a 一的平方加 a 二的平方一直加到 a n 的平方，等于它对还是不对？先问你对还是不对，这是正确的，这是 个结论。哎，这是个结论啊，也就是说你可以借助于这个小矩形的面积。我刚才给大家讲的啊， 就是 a 一的平方是第一个正方形的面积， a 二的平方是第二个正方形的面积，然后呢， a 三的平方是第三个正方形的面积，加在一起就是什么了？好，那我们给大家证明一下，证明一下啊，那么 a 一的平方加 a 二的平方 一直加到 a n 的平方，那么它怎么求和呢？我们先算 a 呢？平方，我们还是用列项，列项呢？稍微啊，就是这种题都是用列项。你看，我成了一个 a n， 我把这个 a n 写成什么呢？ 我把这个 a n 啊，我必须得写成相邻两项之差，所以我怎么写呢？我把这个 a n 其中一个 an 写成什么呢？写成 an 加一，减去一个 an 减一，大家看清楚了吗？你看 an 等于他 an 乘以 an， 所以我把括号打开，就应该等于个 a n 乘一个 a n 加一，减去一个 a n 减一，乘一个 a n， 我问大家一个问题，他俩是不是相邻两项， 现在懂了吧？他俩完全是相邻两项，所以 n 的平方求和是列相相销。这就是为什么我专门拿出这么一个专题来给大家讲解，因为求和最重要的方法就是列相相销，没有比他再重要的了， 所以这个求和的时候怎么办呢？由于这个数列啊，你把 n a 一带进去是没有意义的，所以 n 是大等于二的，也就是说它的前 好看的啊，带数了啊， a 方加上一个 a 二方一直加到 an 的平方， a 一的平方不能带，原因是把 a 哪一带进去没有意义， a 二的平方，把 a 哪个二代进去是 a 二乘以 a 三减去一个 a 一乘以个 a 二， a 三的平方是什么呢？ a 三的平方就应该是把 n 等于啊， n 等于啊，三代减去就应该是 a 三乘以个 a 四减去一个 a 二乘以个 a 三， 然后一直巴拉巴拉约掉了吗？中间都 a， n 乘一个 n 加一减去一个 a， n 减一乘一个 a n。 好，大家看怎么约掉的，怎么约掉的，看清楚啊。首先 a 三乘 a， a 二乘 a 三约掉了，然后呢， a 三 乘 a 是肯定约掉了，前面剩了个负的，你发现了吗？那是不是后面一定剩个正的，这个一定约了列箱箱箱箱码连续约的，但是呢，前面上面这个负的，又因为 a 一的平方，它就是 a 乘， a 二都是一，所以最终的答案就是 an 乘一个 an 加一。 我给大家整完了，你学会了没有？学会了没有，听清楚了吗？ 好，你体会一下。你看哪个选项？没听懂这四个选项，这三个选项都是结论，全都是结论， 全都是结论。好，我说明白了没有？所以呢，我再给大家总结一下。第一个，第一个公式是前 a 项核是什么？前 a 项核推导工程在这呢，推导工程在这呢？ ok， 然后呢，前一项核推导完之后呢？呃，再就是基数项的核是多少？推导过程在这呢？ 偶数项的课是多少？推倒过程在这呢，这都是结论。然后呢， a 一方 a 二方 a 三方 an 方，这个等于多少？等于 an 乘以 n 加一，这个结论在这呢，基本上就考这四个结论，当然还有可能一个比较难的结论，这个有点难了，我就不想给大家讲解了，我给你写出来， 有兴趣的同学自己去推一推。这个结论啊，我给大家写一写，好吧，就是什么呢？他有的时候考这个， a 一乘以 a 二加上一个 a 二乘以 a 三， 一直加到 a n 乘以个 a， n 加一，它问你它等于什么？那么它等于什么呢？这时候要分基偶， 也就说 n 为基数的时候， n 为基数的时候，这个答案是 n 加一的平方， n 为偶数的时候呢？啊，它等于什么呢？ a n 乘以个 a， n 加二。 就是很多模拟题考的特别难，他特别喜欢考这个选项，所以这几个题，这几个选项都是结论，你会这几个选项费用那些数列就学的非常明白了，当然有的题还会这样考，我看看你会做了不？比如这个曲线啊 啊，非莫纳切螺旋，他问你什么呢？这些扇形的面积之和是多少？比如在第一个非莫纳切螺旋，他与正方形所围成的这四分之一个圆，我们记住他的面积，我们记住 b 一。他的面积啊， 或者是 b 一方，它的面积我们记着 b 二方，它的面积，我们记着 b 三方，它的面积，我们记着 b 四方，一直到 b n 方。有的时候我还模拟题还这样考了，人家问你 b 一方加 b 二方，一直加到 b 一方是多少？有会的吗？ 有会的吗？我再说一遍，你可能没听懂，我看到模拟题有这样考的，就是非波纳切螺旋，这是教材上的一个图，他说这些扇形的面积和是多少， 这些扇形的面积之和是多少，所以第一个扇形的面积是 b 方，那所以它和 a 有什么关系？ 它和 n 有什么关系？大家可以看 b n 是什么？ b n 是不是四分之一个 派二方，他的半径正好是 a 一，能听懂不？也就说第一个扇形的面积是四分之一派二方，这个半径正好是 a 一， 第二个扇形的面积呢？半径正好是 a 二，第三个扇形呢？半径正好是 a 三，所以它是四分之一派 a 方， 听懂了吗？所以啊，我们假设他是平方吧，啊，上下的面积，所以 b 一方加 b 二方。模拟题考过，一直加到 b 一方， 它就应该等个四分之派。括弧 a 一方加上一个 a 二方，一直加到 a n 的平方，所以呢，它等个四分之派， a n 乘一个 a n 加一。好，能听懂了吧？好，你可以看一下这些东西，你看你都能听懂不？ 没问题，是吧？好，那我们今天给大家讲的非蒙娜些数列应该讲的非常明白，我们做一个简单的总结，第一个他的通向公式你要了解一下怎么推导的，你最好是要会的啊。然后第二个呢？他有这么多结论， 我通过这一道题，你就可以把这些结论全都记忆下来， ok 吧？这些结论呢？其实你说需要记忆吗？当然不需要记忆，你要是记忆的话，你根本记不住，根本记不住，能懂不？ 所以你看清楚我怎么推倒的，推一推就可以了，基本上都是列项，所以我给大家说一下啊非怎么写啊？非妈纳妾， 我给大家总结一下，切东西绝了，这字非摩纳切数列，它基本上从这几个地方考。第一个地推关系式是 a n 加二等于个 a， n 加一加上一个 a n， a 一等于个一， a 二等于个一， 这是地推关系。第二个呢，就是他的通向公式是什么？这个呢，你了解一下，你当然不用刻意的去记忆啊，怎么去构造数列的？就是 xy 连续三项构造一下，我们教材上是有的，不建议你死记硬背啊，教材上有 对吧？第三个就是它的前 n 项和是什么？这呢，有个结论就是 a 一加 a 二加 a 三，一直加到 a n， 对吧？这个呢，是有的，教材上有这个 结论。不是啊，这个教材没有你需要会推怎么推的？例也向阳销。第四个基数项的和是多少？ a 一加 a 三一直加 a 五一直加到多少啊？加到 a n 吧， n 是基数，然后第五个 a 二加 a 四加 a 六，一直加到多少？因为偶数的时候是什么？然后呢？第六个就应该是下面的 a， 一方加上一个 a， 二方一直加到一个 a， 三方加到一个 an 的平方等于多少？ 自己会推，不要背啊，不要推啊，不要背，自己推。然后第七个是什么呢？稍微有点难，我刚才告诉你那个结论了，但是呢，我们给你推倒有点麻烦啊，你自己想推倒的自己去推，一推就是 a 乘 a 二， a 二乘 a 三，我看很多模拟题也考过了， a n 乘以个 a n 加一，它等于什么呢？它需要分计偶， 他推倒的时候也是分机油。 ok， 你会这么多，足以足够了，足够了啊， ok， 我们今天就给大家讲的这一个小问题，你们看看还有什么没没听懂的好， 没听懂的你们可以问一下啊，回答一下你们的问题。都听懂了吗？都听懂了吗？ 再看一下面积，面积的话，就是相差一个四分之派。四分之派啊，看到了吧，这就是扇形的面积，都是四分之一个圆的面积。 对，你最好是去读一读，看一看我刚才给你讲的这些推导过程，都能接受吗？到时候呢，我把笔记发给主教老师，你们再问一问，有问题就提。今天就讲这一个问题，这一个问题就涉及到很多很多小细节， 特征根能再解释一下吗？好，特征根方程我建议你啊，你就直接记下来啊，我给大家写一写，因为这个特征根方程他不是特别好理解啊。给大家说一个，说啊，特征根方程你会这么几个就可以了。第一个 a n 加一等于个 p 倍的 a n 加上一个 q p 不等于教材的原话。这第一个啊，它叫一节特征根方程。一节特征根方程这时候是什么呢？把 a n 和 n 加一都改成 x， 这是高等数学里边儿讲的， 把 a n 和 n 加一改成 x， 就能算出 x 来，等于一个一减 p 分之 q， 然后呢？这时候呢？结论是什么呢？ a n 减去一个 x， 它构成一个等比， 构成一个等比数列，这叫一节特征根。方程它几乎是百分之百考的， 因为它是最简单的。当然我们考试的时候，做的时候，你就不用想特征跟方程了，对吧？就是 a n， 它不是等比数列，但是 a n 减去一个数，是等比数列。明白，这是第一个，第二个特征跟方程，我感觉会考啊， 就这个我感觉会考啊，我感觉会考啊，因为现在构造数列啊，是越来越重要了，就这种 形式，分式的形式，你这时候怎么办呢？把 a n 和 n 加一都改成 x， 这就是一个二次函数，看到了， 你把它乘过去之后，它是一个二次函数，那么它是一个二次函数，它的根呢？就有三种情况。第一，有两个不等的根， 这是需要记下来的啊。然后呢，如果有两个不等的根，那么他谁在上谁在下无所谓，他一定成等比数列，他一定是成等比数列的。如果这两有两个相等的根， 我在教材前全深挖，教材里边都讲了，教材上全都出现了，深挖一下都出现了，教材深挖全都讲解了，你们好好去听。有两个相等的根，我们记着什么呢？ x 零， 那么这时候 a n 减去 x 零分之一，它构造成一个等比数列。第三个就是如果无根，这时候考什么呢？ 如果无根的话，这是必考的了。二零一四年全国一文科十六题，这时候就有周期数列， an 为周期数列， 周期是几，你自己去找规律。然后第三个呢，就是我们今天讲的啊，就是二节特能音方程，就是这个样子的， an 加二等于个 p 倍的 an 加一加上一个 q， 你会这三个就够了，其他都不需要会。这时候呢，把它写成 x 方，把它写成 x， 把它写成 q， 这时候呢，它有两根。第一种情况，如果有两个不等的根，它的通讲公式一定是一个常 数，这个长数呢，是一个系数，需要带 a 一和 a 二去求一求。当然菲莫纳系数列就是这么推出来的。如果呢，是两个相等的根，我们记住 x 零，它的通选公式都是这样的， 对吧？然后这辆是 x 零的 n 次方，然后呢，如果是无根，它是有周期性的，这个也好， 没有根他就有虚根，虚根呢，他就会循环高等数学下册，然后微分方程，差分方程。那你要讲的就能就讲这些东西啊， 所以我建议需要余力的同学去研究一下这些东西，现在考试他都是有可能考到的，好吧。对，好好好， 没有问题，我就说那么多，给你们解答一下疑问，再看一下七七那个公式啊，七啊，就在这。呃，在哪呢？在这。 嗯，后面是吧？对，七，在这呢，就是相邻两项之际的核，你们自己想办法去推导一下。其实也不难啊，他就是一个中间都消掉了，肯定得消， 所以因为基数的时候是 n 加一的平方，因为偶数的时候是 an 乘以 n 加二。明白，所以呢，你被会这七个分布，那些数列绝对都都会了。 然后过完年之后，全国各地的模拟考试题几乎都会考这个，考这个点几乎啊，一个是因为模拟题呢，它并不代表一 代表高考啊。不一定啊，对，不好意思说错一句话啊，并不代表考试就是。呃，但是模拟题这个地方确确实实都会考的啊，都会考的。好，你今天就讲到这七条，你把这七条给我弄会就可以了。 好吧，我为什么给你写出这个结论来？就是不用记，不用使劲背，你自己去推导一下就可以了， ok 吧，你自己去推导一下，你看我怎么推的，刚才那就够了，你不用背啊，千万别背你比如 好，不用说了吧。啊，你听一听就可以了，对吧？第一个相邻两，把这个 a n 写成相邻两个之差，所以 a 一啊， a 一呢，就应该等于个 a 三减 a 二， a 二呢，就应该是 a 四减 a 三， 巴拉巴拉都约掉了，所以等于个 a 加二减 a 二，所以他是错误的吧，对不对？然后呢？呃， c 选项基数项的和把这个 a 一写上 a 二，那 a 二加 a 三， a 四， a 四加 a 五， a 六， a 七， a n 加一，就这么弱智， 这 c 选项就这么简单吗？所以 c 选项是正确的，对不对？ d 选项正确的。然后呢？ n 为偶数的时候，这个 n 为偶数的时候。我这样写有点不明白，我再给你串一遍啊。这个地方最好是重新写一行， 就是加一个数，减去一个数，这一步凑很很重要。就是 a 二加 a 四加 a 六，一直加到 a n， 他等于多加个 a 一，为什么加个 a 一呢？因为 a 一加 a 二正好等于 a 三正好，连锁反应全都抵消掉了。然后 后呢，这就是 c 选项， d 选项呢，就是那个矩形的面积特别好背，第一个矩形的面，第一个正方形的面积加第二个正方形的面积，就矩形的面积加，第三个正方形的面积是矩形的面积，所以它等于个 an 乘以个 n 加一， 对不对？然后呢，还有一个这个公式，刚才给大家说了，就是这个公式呢，不太好记忆啊，这个考难的，可能会这么考，那你就够了，会这么多就够了。好吧，好，你学会了吗？学会的同学 w， 所以大家喜欢学数学，我觉得挺好的，一定要对数学有兴趣，你看看这个数学多么的 多么的举啊。啊，其实在我们数学上很多很多这样的东西。就是啊，有的时候感觉到 不可思议，为什么？你看包括花段啊，那个花瓣的个数，刚才给大家说过了，很多花的花瓣的个数，他就是分不那些数 啊，都是什么三呀，五呀，八呀，对不对？十几啊，都是，都是这样的，明白吧？所以真的是特别神秘啊，特别神奇。 ok， 好呃，没有问题，我就讲那么多，今天就讲了一个小问题，你回去推导一下就够了啊，各位同学。 goodbye。
3431步学赵礼显数学
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