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大家好,今天我们来看一下这个二一年新高考全国一卷的二十一题,那么这一道题呢,是一道圆锥曲线的题目,那么题目我就不念了啊,反正大家都可以找得到这个题目, 那我们直接来做, ok, 第一问,让我们来求 c 的方程,那很明显,根据 m f 一减 m f 二等于二,我们就知道这个 c, 他应该是这个双曲线的一个右值,好,那我们就来求一下他三个参数, ok, a 很明显二 a 等于二, a 等于一, b 方等于 c 方减 a 方。那我们先来算一下 c 方 c 方呢?它就因为 c 等于 刚十七,对方呢, c 方就等于十七, ok, 那 b 方就等于十六,所以呢,这个双曲线的方程,它应该就是 x 方减十六分之 y 方 等于一啊,对啊,我们这里说这是双曲线的右之,那么也就是说他是有一个选择范围的,那 x 要大于等于一, ok, 那这就是我们的第一问。那么第二问,我们来看, 他让我们来求这个直线 a b 斜率与直线 p q 斜率之和,并且给了我们一个条件, t a 乘 t b 等于 t b 乘 t q。 那看到这个形式,我们就想可不可以连立这个直线和这个双曲线,然后呢,得到一个关于 x 或者 y 的一个方程,对吧?那我们就跟这 伟大定理来求出这个 k 一加 k 二应该要具备的条件,那我们现在就来试一下,比如说我设 a, 它的坐标是 x e y e b, 它的坐标是 x r y r。 好,那么我们连力直线于曲线, 那么我们这个直线呢?我们就设这个 t, 他是二分之一 n, 那么直线根据点结式,对吗?那我再设 ab, 这条直线的写率是 k 一, ok, 那我们就根据点斜式的方程,我们就可以得到 y 减 n 等于 k 一, x 减二分之一, x 方减十六, y 方等于一。 ok, 那我们就得到了这样一个方程组,对吧? 好,那我们来想一下怎么样处理它?首先第一道式子,我们可以把它展开了写,对吧?那 y 它就等于 k e x 加 n 减二分之 k 一,那这是 y, 我们给它带进去,这个同时我再让它等号两边同时乘十六。 ok, 好,那我们把它带进去,那它就是十六, x 方减 y 方,这里我直接写带进去的值啊。 k e x 加 n 减二分之 k 一的平方,再减十六等于零, ok, 那我们把它展开十六, x 方减 k 一方 x 方 减 n 方减四分之 k, e 方减 r n, k e x 加 n, k e 加 k 一方 x 等于零。 ok, 那我们现在已经把它展开了,那我们 现在下一步就是来化剪它,化剪它干嘛呢?它,其实我们要做的就是把它变成一个以这个 x 为主元的一个一元二次方程,对吧?好,那我们现在就来做这件事情啊。首先我们来看带 x 方的就这两项 x, 那就是这两项,那剩下的全都是常数项啊。这里弄写了一个减十六, 那剩下的全都是尝试下,那我们就可以直接开始整理了。 ok, 好,那我们就得到了这样一个式子,好,那接下来的一步其实就是用尾压定理,对吧?那我们已经设了 a 是 x 一 y 一, b 是 x 二 y 二, 那么 x 一和 x 二其实就是这个方程的两个十根,对吧?好,那我们用尾巴定理给他做一下, x 一加 x 二呢, 就是等于 k 一方减十六分之, k 一方减二 n k 一, 那么 x 一乘 x 二呢?这里啊, x 一乘 x 二,本来是这个分成,后面的这个长竖向,对吧?那我这里让他们上下同时变成一个负号也没问题吧?那就是这样, 好,那我们就得到这样的式子, ok, 那我们现在来看一下 t a 乘 t b, 它等于什么?那么 t a 乘 t b, 那根据两点间的距离公式, t 与 a 的距离是不是 就是根号下 y 减 n 方加 x 减二分之一方, 一减二分之一方, ok, 那我们来看一下,就是这个式子,我们要怎么处理它呢?那我们来看回点斜式的这个方程,对吧?那既然 y 减 n 在这里, 他其实就是 k 一倍的 x 一减二分之一,对吧?那他在平方,那就是 k 的平方,再乘以后面这一项,所以整一个,我们最后就可以给他 改成这样,就是根号向一加 k 一方,再乘以 x 减二分之一, x 一减二分之一,好,那么 t b 呢?也是一样的道理,对吧?只不过这里改成 x 二,所以整个式子我们最后就可以写成这样, 那就是因为有两个根号,下一加 k 方,那就是一加 k 方 k 方 x 一减二分之一, x 二减二分之一,那么呢,我们打开这个式子,然后根据伟大定理化解一下,我们就会得到 等于 k 一方减十六,那么这里是 n 方加十二, 然后这个是 e 加 k 房,好,那现在我们已经得到了 t h t b, 它是等于这个东西的。对, 好,同理,我设 pq 分别是 x 三, y 三, x y 四,并且他们的斜率为,并且他这条直线的斜率为 k 二,那我们就可以得到这么一个式子, k 一方减十六, n 方加十二,一加 k 方 k 方,等于,因为我们的推理过程都是完全一样的嘛,只不过把这里换了一下,那就是 k 二 k 二方减十六, n 方加十二, 从一加 k 二方。好,那这两个是只是相等的啊,那因为这个 n n 加十二,他们是香港的,所以我把他给约掉了。 ok, 那剩下的这个柿子呢?我再给他化解一下, 那就得到 k 一方等于 k 二方。好,因为我们这里已经知道了 k 一是不等于 k 二的,对吧?所以我们最后就可以知道 k 一和 k 二会相反数,那么也就是说 k 一加 k 二 等于零。好,那我们整个整道题都已经解出来啊,那我们来看一下这个第二问的思路,他是什么? 首先呢,我们来看到他这样有一个这样的形式,那我们就可以想到用止血能力,然后伟大定理,对吧?伟大定理得到一个关于他斜率应该满足的值,然后因为呢,这个推导过程他是具有普遍性的,所以呢,我们 同样无法炮制,可以算出,呃,这个 pq 这条直线它的斜率应该满足了一个值,最后得到一个关于 k 一 k 二的一个呃,一个式子,那么呢,我们得到这个式子之后,我们就推导出这个东西, 从这个东西呢,因为我们已经知道了 k 是不等于 k 二的,所以呢,我们就可以得到 k 加 k 二等于零,也就是我们已经把它写绿之后给放出来了,我这个图画的很不标准啊。好,那么这道题我就讲到这里啊,下课。