21年新高考一卷

大家好，今天我们来看一下这个二一年新高考全国一卷的二十一题，那么这一道题呢，是一道圆锥曲线的题目，那么题目我就不念了啊，反正大家都可以找得到这个题目， 那我们直接来做， ok， 第一问，让我们来求 c 的方程，那很明显，根据 m f 一减 m f 二等于二，我们就知道这个 c， 他应该是这个双曲线的一个右值，好，那我们就来求一下他三个参数， ok， a 很明显二 a 等于二， a 等于一， b 方等于 c 方减 a 方。那我们先来算一下 c 方 c 方呢？它就因为 c 等于 刚十七，对方呢， c 方就等于十七， ok， 那 b 方就等于十六，所以呢，这个双曲线的方程，它应该就是 x 方减十六分之 y 方 等于一啊，对啊，我们这里说这是双曲线的右之，那么也就是说他是有一个选择范围的，那 x 要大于等于一， ok， 那这就是我们的第一问。那么第二问，我们来看， 他让我们来求这个直线 a b 斜率与直线 p q 斜率之和，并且给了我们一个条件， t a 乘 t b 等于 t b 乘 t q。 那看到这个形式，我们就想可不可以连立这个直线和这个双曲线，然后呢，得到一个关于 x 或者 y 的一个方程，对吧？那我们就跟这 伟大定理来求出这个 k 一加 k 二应该要具备的条件，那我们现在就来试一下，比如说我设 a， 它的坐标是 x e y e b， 它的坐标是 x r y r。 好，那么我们连力直线于曲线， 那么我们这个直线呢？我们就设这个 t， 他是二分之一 n， 那么直线根据点结式，对吗？那我再设 ab， 这条直线的写率是 k 一， ok， 那我们就根据点斜式的方程，我们就可以得到 y 减 n 等于 k 一， x 减二分之一， x 方减十六， y 方等于一。 ok， 那我们就得到了这样一个方程组，对吧？ 好，那我们来想一下怎么样处理它？首先第一道式子，我们可以把它展开了写，对吧？那 y 它就等于 k e x 加 n 减二分之 k 一，那这是 y， 我们给它带进去，这个同时我再让它等号两边同时乘十六。 ok， 好，那我们把它带进去，那它就是十六， x 方减 y 方，这里我直接写带进去的值啊。 k e x 加 n 减二分之 k 一的平方，再减十六等于零， ok， 那我们把它展开十六， x 方减 k 一方 x 方 减 n 方减四分之 k， e 方减 r n， k e x 加 n， k e 加 k 一方 x 等于零。 ok， 那我们现在已经把它展开了，那我们 现在下一步就是来化剪它，化剪它干嘛呢？它，其实我们要做的就是把它变成一个以这个 x 为主元的一个一元二次方程，对吧？好，那我们现在就来做这件事情啊。首先我们来看带 x 方的就这两项 x， 那就是这两项，那剩下的全都是常数项啊。这里弄写了一个减十六， 那剩下的全都是尝试下，那我们就可以直接开始整理了。 ok， 好，那我们就得到了这样一个式子，好，那接下来的一步其实就是用尾压定理，对吧？那我们已经设了 a 是 x 一 y 一， b 是 x 二 y 二， 那么 x 一和 x 二其实就是这个方程的两个十根，对吧？好，那我们用尾巴定理给他做一下， x 一加 x 二呢， 就是等于 k 一方减十六分之， k 一方减二 n k 一， 那么 x 一乘 x 二呢？这里啊， x 一乘 x 二，本来是这个分成，后面的这个长竖向，对吧？那我这里让他们上下同时变成一个负号也没问题吧？那就是这样， 好，那我们就得到这样的式子， ok， 那我们现在来看一下 t a 乘 t b， 它等于什么？那么 t a 乘 t b， 那根据两点间的距离公式， t 与 a 的距离是不是 就是根号下 y 减 n 方加 x 减二分之一方， 一减二分之一方， ok， 那我们来看一下，就是这个式子，我们要怎么处理它呢？那我们来看回点斜式的这个方程，对吧？那既然 y 减 n 在这里， 他其实就是 k 一倍的 x 一减二分之一，对吧？那他在平方，那就是 k 的平方，再乘以后面这一项，所以整一个，我们最后就可以给他 改成这样，就是根号向一加 k 一方，再乘以 x 减二分之一， x 一减二分之一，好，那么 t b 呢？也是一样的道理，对吧？只不过这里改成 x 二，所以整个式子我们最后就可以写成这样， 那就是因为有两个根号，下一加 k 方，那就是一加 k 方 k 方 x 一减二分之一， x 二减二分之一，那么呢，我们打开这个式子，然后根据伟大定理化解一下，我们就会得到 等于 k 一方减十六，那么这里是 n 方加十二， 然后这个是 e 加 k 房，好，那现在我们已经得到了 t h t b， 它是等于这个东西的。对， 好，同理，我设 pq 分别是 x 三， y 三， x y 四，并且他们的斜率为，并且他这条直线的斜率为 k 二，那我们就可以得到这么一个式子， k 一方减十六， n 方加十二，一加 k 方 k 方，等于，因为我们的推理过程都是完全一样的嘛，只不过把这里换了一下，那就是 k 二 k 二方减十六， n 方加十二， 从一加 k 二方。好，那这两个是只是相等的啊，那因为这个 n n 加十二，他们是香港的，所以我把他给约掉了。 ok， 那剩下的这个柿子呢？我再给他化解一下， 那就得到 k 一方等于 k 二方。好，因为我们这里已经知道了 k 一是不等于 k 二的，对吧？所以我们最后就可以知道 k 一和 k 二会相反数，那么也就是说 k 一加 k 二 等于零。好，那我们整个整道题都已经解出来啊，那我们来看一下这个第二问的思路，他是什么？ 首先呢，我们来看到他这样有一个这样的形式，那我们就可以想到用止血能力，然后伟大定理，对吧？伟大定理得到一个关于他斜率应该满足的值，然后因为呢，这个推导过程他是具有普遍性的，所以呢，我们 同样无法炮制，可以算出，呃，这个 pq 这条直线它的斜率应该满足了一个值，最后得到一个关于 k 一 k 二的一个呃，一个式子，那么呢，我们得到这个式子之后，我们就推导出这个东西， 从这个东西呢，因为我们已经知道了 k 是不等于 k 二的，所以呢，我们就可以得到 k 加 k 二等于零，也就是我们已经把它写绿之后给放出来了，我这个图画的很不标准啊。好，那么这道题我就讲到这里啊，下课。