全国甲卷数学2025第五题离心率
各位高考必考的离心率啊，今天用大白话给大家讲一下啊，一讲就明白了，这个离心率。有同学说，是不是偏离中心的概率啊？是概率吗？不对啊，这个意思是啥呢？ 偏离中心的程度，就说偏离中心的程度，其实就是这个离心率，什么意思呢？咱假设啊，一个圆圆的中心在这，对不对？ 你说这个轨迹他偏离中心吗？他是不是一点都没有偏离中心，就绕着这个中心转？所以他的离心率 e 就 等于零，就说百分之零的，也不说百分之零吧，就说没有一点点偏离中心好，那如果是椭圆呢？各位， 椭圆的话，这有个中心对不对？他明显偏离中心了，他偏离中心的程度就是用一来表示他有两个焦点，你看椭圆是有两个焦点的，对不对？ 那他偏离的中心的这个程度是多少呢？他就大于零了啊，他就大于零了，但是他小于一，为什么小于一？又跟大家解释一下这个偏离中心的程度，他有公式，一等于 a 分 之 c， a 是 谁啊？ a 就是 这个长度， 这个长度是 a， 那 c 的 长度呢？ c 的 长度就是中心到焦点的距离，这一段是 c， 这个道理呢？就是这一段，也就说 a 分 之 c， 它就是表离了偏离中心的这个程度，这个很长，这个很短，所以它是小于一的，大于零的。 这两个焦点如果无限往这边放大，各位，我们想象一下啊，这，这焦点啊，这个焦点拉长的时候，这个 c 是 不是变长了？那 c 比上 a 的 值是不是越来越大？最后这个 c 刚好 到这两个点上， c 和 a 相等的时候，各位， c 和 a 相等的时候，这个离心率就变成一了呀，就变成一了，百分之百的偏离。偏离中心，那会出现啥情况呢？ 当他的离心率变成一的时候，这个椭圆拉伸，拉伸啊，就是无限变平啊，就是拉伸拉伸，最后他就变成一个什么，变成一个抛物线了，就变成这个形状了， 他这个抛物线了，就说焦点跑这了，还有个焦点无限拉长，拉长到无限，他拉到长无限了，因为他永远偏离，就是为啥等于一百分之百的偏离他的中心呢？他已经没有中心了， 只剩下一个超级近的焦点，还有个超级超级无限远的一个焦点就变成抛物线了，所以抛物线的离心率他就是一好。那么问题来了，有同学说，那这个焦点如果再往后靠呢？再往这边靠呢？那离心率就大于一了，这个离心率就大于一了， 他不止百分之百的脱离中心，他还，他还倒反天杠了啊，就超过亿了，超过亿以后变成什么？变成双曲线了？各位，就说这个焦点，这个焦点跑着跑着跑到这边去了，这边的焦点都都都无限远的，那个焦点跑到这边去了， 形成两条线了，变成双曲线了。这个在这个宇宙里边啊，这个，这个航天就是是这里面应用非常广，比如说啊，这个太阳，你看 太阳在这，对不对？地球的轨迹是这样的，绕着太阳这样转来转去的，他就在一个椭圆，他的离心率是多少？他的离心率就小于一。 那有，如果有个外太空啊，突然来了一个星球，这个星球到啊，他这个运动轨迹，根据这个运动轨迹能算出来他这个离心率，也能算出来他这个曲线方程是，然后你就能估算他后面的这个运动轨迹是多少，他偏离这个太阳系啊？ 太偏离太阳系的程度是多少啊？这个，这个，这个啊，这都有高科技东西，大家简单了解一下啊？这个离心率啊，这就是偏离中心的这个程度呀，哥。
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01:59查看AI文稿AI文稿我们来看一下第七题，我也代表的离心运动的题。我们之前讲过离心运动的题，绝大多数的情况下都是减三角形。好，我们看下这里的三角形有个特征，第一角 p 等于九十度，另外 q 点是角平分线上的点，且 o q 平行于 p f 一， 说白了，也就是这里延长的话， o g 平行且等于二分之一的 p f 一 且 p g q g 撇是正方形，因为这里是四十五度的角平行。好，那你就满足 m 加 n 等于 i 以及 o g 等于 o q 加 q g， o g 等于 b 加上 q g 这一个 q g 是 不是等于 p g 也就等于 p 二分之一，也就等于二分之一的 p f 也等于二分之一的 n 等于整个 p f 幺的一半？好，写的时候我们先读出来 m、 a 分 别用小 a 表示， 为什么用求根小例表示啊？因为 a 方 m 方，因为 m 方加 a 方等于四极方呀，我们就能找出 a、 b、 c 中的等式关系，对吧？也就写成了 a 加 b 括号的平方，加上 a 减 b 括号的平方等于四极方， 然后再把这里的 b 平方再用 a 方和 c 方去替换一下就可以了。当然你也可以定义的值为特殊值，比方说令 c 的 一找出 a、 b 的 关系，其实也挺省事的好吧，好，所以最终答案就选 c 三分值正好六。好，我们再来复盘一下。第一，关于离心的问题，绝大多数情况下它都是减三角形， 让我们找出三角形的特征关系。第二，我们一定要找出 a、 b、 c 三者之间的等式关系，或者两者之间的等式关系都可以。我们建立了等式关系之后，我们忘记复制进行特殊式计算，这样我们的计算量也会少很多。
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04:54查看AI文稿AI文稿各位战友们好，欢迎来到二零二六林老师军考每日题，今天要给大家讲解的是二三年的第七题，这道数学真题，这是一个双曲线的问题，那么我们来看一下，他说已知 f 一 f 二分别呢，是我们双曲线 的左右焦点，那么我们来画一个简单的图， 我们知道我们的双曲线，它的焦点呢是负 c 零，那么右边的焦点 f 二应当是 c 零，这是我们的性质，一定要记住。然后他说 过，点 f 一 且斜率为一的直线，交我们双曲线 c 的 右支于一个点 m， 我们知道斜率为一，是不是我们可以得出它的倾斜角呢？就是四十五度，然后交于我们的 m m， 在 我们双曲线的右侧。我们知道 根据定义，有 f 一 f 二就等于我们的 f 二， m 就 等于二 c， 那 么我们有在双曲线上一点呢？有我们的 f m 一 减去 m f 二，应当等于我们的二 a， 而我们的 m f 一 就等于我们的二 a， 加上 m f 二 就等于我们的二 a 加二 c， 也就是那么我们知道我们的 f 一 f 二呢，等于我们的 m f 二等于二 c， 那 么我们是不是就可以得到 我们的 m f 一 f 二呢？它是一个等腰三角形，是一个等腰三角形，也就是 f e m 等于 f 二 m， 这两条边呢，它是一个相等的，也就是这个角呢，它也是相等的，那么我们知道都是四十五度，那么这里是不是它就是一个垂直的关系， 是一个垂垂直的关系，那么我们是不是垂直，我们首先要想到我们的勾股定律，对吧？ 我们的勾股定律，那么就是 m f 一 的平方就等于 f 一 f 二，我们根据勾股定律把它写出来， 那么我们把我们的二 a 和 c 分 别代入，就由我们的二 a 加二， c 的 平方等于二， c 的 平方加上我们二 二 c 的 平方，那么我们进行一个化减，我们化减之后得到我们的 a 方加上二 a c 减 c 的 平方等于零， 那么我们两边同时除以 我们的 a 方，因为我们的离心率求我们的离心率，离心率是不是就等于 a 分 之 c， 那 么我们这个时候同时除以我们的 a 方，那么就得到了一加二倍的 a 分 之 c 减去 a 方分之 c 方等于零，那么是不是就是我们的一方减去二 e 减一就等于零。 那么我们解方程，我们知道双曲线，这个时候它可能会有两个解，我要知道我们双曲线离心率呢？ e 是 大于一的，那么我们解出来之后，我们 根据 e 大 于一，我们可以得到我们的 e 就 等于一加根号二，也就是我们的 b 选项，所以这道题选择 b 选项。好，这道题的讲解到此结束，感谢大家的收听。
00:43查看AI文稿AI文稿这道题简直是专门用来筛选大冤种的，解离心率，别死算，抓准关系，快速化简两步就能搞定送分题，可别做成了送命题。这个填空题当然就是比较简单，它的离心率是多少？当然我们要把它画成标准方程，这辆就是五分之一，这个地方是六分之一，这辆是一。 所以 a 方就应该等于个五分之一， b 方的话就应该等于个六分之一， c 方的话就应该等于个三十分之十一，通分五六三十。所以离心率就应该等于 a 分 之， c 等于根五分之，根号下十一。 然后呢，根号下五乘以根号下六，根号下五，约掉了。所以这道题的答案就应该等于个六分之，根号下六十六。
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00:14查看AI文稿AI文稿全国一卷十二题，离心率一等于 a 分 之 c， 就 等于根号下五的倒数分之五和六的倒数和除以五分之一等于乘以五，就等于根号下六分之十一。整理得到答案就为六百六十六。
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03:03查看AI文稿AI文稿是二五年高考的第五题，他呢考的是一个抽象函数。啥叫抽象函数呢？没解析式，没图像，还没有函数值的对应表格这种三无函数。呃，这个函数就属于是一个抽象函数， 他呢要关注周期和极有性，然后还有一个关注他一般来讲会分段，就是给你一段区间，告诉你这个区间内 函数解析式，但是他最后解的肯定和这个范围大不一样。你看他让你求 f 负四分之三，这个时候就要用偶函数奇偶性，也就是奇偶性和周期来解析。 那这个我们要想办法把负四分之三通过周期和就和这个偶函数，把它转换到二到三区间内。 怎么转换呢？他既然给你这个奇偶性了，你肯定要先用一下偶函数，讲的是啥呢？他讲的是 f x 等于 f 负 x， 他 给你你肯定是要用的。嗯，视频最后会给大家看一下，如果不用这个偶函数这个条件，他会怎么怎么样？ 那也就相当于是 f 负四分之三，先转换成 f 四分之三，加周期为二，它表示啥呢？那就相当于是 f x 等于 f x 加二， 那可以给四分之三加一下二， f 四分之三就相当于是 f 四分之三加二，这个算一下是四分之一，也可以说是二又四分之三。总之，他现在在二到三这个区间内边直接用解析式， f 负四分之三等于 f 四分之十一，也就是五减二乘四分之一， 这个后面算一下是减二分之一，前面有个五减出来，结果是负二分之一。好，那这道题就讲完了，他答案是负二分之一。接下来我们尝试一下，不用函数这题能解吗？ 只用周期为二，相当于只，我们只用到 x， x 等于 f， x 加二，那么 f 负四分之三先用一次， 负四分之三加二算一下是四分之五，再用一次 f 四分之五用一次，它变成了 四分之十三，但这个四分之十三他比三大，你没法解。所以说题目给的条件他一定都有用的，不然他这题基本上就没法解了。这个负四分之三这个数出的很巧妙。
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