全国甲卷数学2025第五题离心率
各位高考必考的离心率啊，今天用大白话给大家讲一下啊，一讲就明白了，这个离心率。有同学说，是不是偏离中心的概率啊？是概率吗？不对啊，这个意思是啥呢？ 偏离中心的程度，就说偏离中心的程度，其实就是这个离心率，什么意思呢？咱假设啊，一个圆圆的中心在这，对不对？ 你说这个轨迹他偏离中心吗？他是不是一点都没有偏离中心，就绕着这个中心转？所以他的离心率 e 就 等于零，就说百分之零的，也不说百分之零吧，就说没有一点点偏离中心好，那如果是椭圆呢？各位， 椭圆的话，这有个中心对不对？他明显偏离中心了，他偏离中心的程度就是用一来表示他有两个焦点，你看椭圆是有两个焦点的，对不对？ 那他偏离的中心的这个程度是多少呢？他就大于零了啊，他就大于零了，但是他小于一，为什么小于一？又跟大家解释一下这个偏离中心的程度，他有公式，一等于 a 分 之 c， a 是 谁啊？ a 就是 这个长度， 这个长度是 a， 那 c 的 长度呢？ c 的 长度就是中心到焦点的距离，这一段是 c， 这个道理呢？就是这一段，也就说 a 分 之 c， 它就是表离了偏离中心的这个程度，这个很长，这个很短，所以它是小于一的，大于零的。 这两个焦点如果无限往这边放大，各位，我们想象一下啊，这，这焦点啊，这个焦点拉长的时候，这个 c 是 不是变长了？那 c 比上 a 的 值是不是越来越大？最后这个 c 刚好 到这两个点上， c 和 a 相等的时候，各位， c 和 a 相等的时候，这个离心率就变成一了呀，就变成一了，百分之百的偏离。偏离中心，那会出现啥情况呢？ 当他的离心率变成一的时候，这个椭圆拉伸，拉伸啊，就是无限变平啊，就是拉伸拉伸，最后他就变成一个什么，变成一个抛物线了，就变成这个形状了， 他这个抛物线了，就说焦点跑这了，还有个焦点无限拉长，拉长到无限，他拉到长无限了，因为他永远偏离，就是为啥等于一百分之百的偏离他的中心呢？他已经没有中心了， 只剩下一个超级近的焦点，还有个超级超级无限远的一个焦点就变成抛物线了，所以抛物线的离心率他就是一好。那么问题来了，有同学说，那这个焦点如果再往后靠呢？再往这边靠呢？那离心率就大于一了，这个离心率就大于一了， 他不止百分之百的脱离中心，他还，他还倒反天杠了啊，就超过亿了，超过亿以后变成什么？变成双曲线了？各位，就说这个焦点，这个焦点跑着跑着跑到这边去了，这边的焦点都都都无限远的，那个焦点跑到这边去了， 形成两条线了，变成双曲线了。这个在这个宇宙里边啊，这个，这个航天就是是这里面应用非常广，比如说啊，这个太阳，你看 太阳在这，对不对？地球的轨迹是这样的，绕着太阳这样转来转去的，他就在一个椭圆，他的离心率是多少？他的离心率就小于一。 那有，如果有个外太空啊，突然来了一个星球，这个星球到啊，他这个运动轨迹，根据这个运动轨迹能算出来他这个离心率，也能算出来他这个曲线方程是，然后你就能估算他后面的这个运动轨迹是多少，他偏离这个太阳系啊？ 太偏离太阳系的程度是多少啊？这个，这个，这个啊，这都有高科技东西，大家简单了解一下啊？这个离心率啊，这就是偏离中心的这个程度呀，哥。
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01:59查看AI文稿AI文稿我们来看一下第七题，我也代表的离心运动的题。我们之前讲过离心运动的题，绝大多数的情况下都是减三角形。好，我们看下这里的三角形有个特征，第一角 p 等于九十度，另外 q 点是角平分线上的点，且 o q 平行于 p f 一， 说白了，也就是这里延长的话， o g 平行且等于二分之一的 p f 一 且 p g q g 撇是正方形，因为这里是四十五度的角平行。好，那你就满足 m 加 n 等于 i 以及 o g 等于 o q 加 q g， o g 等于 b 加上 q g 这一个 q g 是 不是等于 p g 也就等于 p 二分之一，也就等于二分之一的 p f 也等于二分之一的 n 等于整个 p f 幺的一半？好，写的时候我们先读出来 m、 a 分 别用小 a 表示， 为什么用求根小例表示啊？因为 a 方 m 方，因为 m 方加 a 方等于四极方呀，我们就能找出 a、 b、 c 中的等式关系，对吧？也就写成了 a 加 b 括号的平方，加上 a 减 b 括号的平方等于四极方， 然后再把这里的 b 平方再用 a 方和 c 方去替换一下就可以了。当然你也可以定义的值为特殊值，比方说令 c 的 一找出 a、 b 的 关系，其实也挺省事的好吧，好，所以最终答案就选 c 三分值正好六。好，我们再来复盘一下。第一，关于离心的问题，绝大多数情况下它都是减三角形， 让我们找出三角形的特征关系。第二，我们一定要找出 a、 b、 c 三者之间的等式关系，或者两者之间的等式关系都可以。我们建立了等式关系之后，我们忘记复制进行特殊式计算，这样我们的计算量也会少很多。
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00:24查看AI文稿AI文稿圆锥曲线离心率斜修，看到双曲线，就把系数当中大的那一个用做分母，两系数相加作为分子开方再化简，就得到了双曲线的离心率。看到椭圆， 先把系数当中大的那一个用做分母，两系数大的减小的作为分子开方再化简，就得到了椭圆的离心率。
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05:33查看AI文稿AI文稿咱们来看这道题，已知双曲线啊的左右焦点分别为 f 一 f 二啊，我这画了一个啊，它这个火画的有点偏啊， 因为什么？因为后面条件是啊，然后是 ab， 分 别是左值和右值上的点，若 f 一 ab 三点勾线， 他这个说法啊，有点有点意思啊，其实还是这样啊，一个直线啊，过 f 一 的直线与双曲线交于呢 ab， 两点分别在他的左值和右值上啊， 他应该是防止他所说的那个交于两点后，咱们想偏了啊，他所以说他这么样说的斜角这个 a f 一 f 二是三十度，这个是三十度啊， 然后是他有这么一个 f 二 a 等于 f 二 b 啊， f 二 a 等于 f 二 b， 我 就是为了画这个啊，画的更像一点，结果这个轴有点偏 啊，其实我也不知道怎么样，我要稍微移一移，其实就能好一些啊，图片结构参考，然后问你双曲线的离心率 啊，这么一个事啊，这么一个事，其实咱一开始很好写，因为 f 一 f 二指定是二 c 啊，然后因为咱有 a f 一 等于 b f a f 二等于 b f 二呀，所以咱肯定取个 ab 的 中点 m， 然后这么要一连，正好是个垂直啊，这有个直角三角形 m f 一 f 二正好这样 m f 二呢，就应该是个 c 啊， f 一 m 呢，正好是这个根号三 c 啊，知道几个边长啊。 然后咱们没办法了啊，咱们设 a f 一， 这一块是 x 啊，然后根据双曲线嘛，在 a f 二呢，指定上就是多少呢，二一加 x 嘛，根据定义是吧。 然后咱们这样的话，有它搁这个三角斜 a f 二 m 里头，咱只要它是 x 加二 a， 然后这是个 c， 咱们把 am 用勾股定，你表示出来啊， 用勾股定你给它表示出来，表示出来它以后再写 f e b， 它是 x 加二倍的 am， 是 吧？那个 am 啊，我直接给它加上了，在这就是 am b f 一 b 有 了以后的话，这不嘛， b 点还在双曲线上吗？所以我那个 b f 一 b f 一 去减那个 b f 二， 咱还得等于二 a， 是 吧？所以说咱就知道 b f 二是 b f 一 去减二 a b f 一 在这减二一，直接减吧。嗯，一一场趟。但是对于解几何来说，这个式子应该是并不算复杂。 然后再再继续啊，咱这 b f 二就果断得回去，等于 a f 二 a f 二在哪呢？在这 啊，二 a 加 x 等于这面这一长串啊，在 x， 咱可以先敲了它，并且把这个减二 a 移过来啊，稍微做整理，就是它 啊，就是它。然后继续啊，约个二再平方啊，然后再把这个打开啊，打开后你会发现那个 c 方正好没了，你是非常 非常好办，就是你一个配方法吧，你就可以解出来那个谁啊，解出来这个 x 啊， 这个东西很好配方的，这就是 x 加二 a 的 平方等于 c 方，加四 a 方，开个括号再减一下啊，大家不要负的嘛。所以说就是 x 等于它， 这 x 是 谁呢？别忘了是那个 af 一 啊，是 af 一， 然后咱就知道呢，咱得写个谁， f 一 m 是 吧？ f 一 m 呢，是 x 加 am x 啊， x 就是 那个 a f 一 嘛，加 a m， a m 在 前面有，是这一块，当然这一块其实你能看出来，因为下面有这个狮子嘛，所以 a m 实际上还等于谁呢？它还等于个 a 呀，是吧？ 嗯，是 a 吧。哦，是二 a， 约一下是个二 a 啊， a m 还是个二 a 呢，是吧？就是正好二 a 把它给对掉了。设这一块呢，是吧？ x 是 这一块正好加 a， m 是 加个二 a 设这个格号里头呢，等于它太好了，这样把房盖掀了。它 啊，写完他后别忘了这边应该是三 c 仿一，一就是二 c 仿。哎，这个都出来了，你不写的话你写两步，写的话口算都知道呢。一是格号二。好了，这道题非常的长啊，非常的长。 嗯，大概就是这样啊。好，就这样，他这个最后离心率是格号二算出来呢，再白那个白。
04:54查看AI文稿AI文稿各位战友们好，欢迎来到二零二六林老师军考每日题，今天要给大家讲解的是二三年的第七题，这道数学真题，这是一个双曲线的问题，那么我们来看一下，他说已知 f 一 f 二分别呢，是我们双曲线 的左右焦点，那么我们来画一个简单的图， 我们知道我们的双曲线，它的焦点呢是负 c 零，那么右边的焦点 f 二应当是 c 零，这是我们的性质，一定要记住。然后他说 过，点 f 一 且斜率为一的直线，交我们双曲线 c 的 右支于一个点 m， 我们知道斜率为一，是不是我们可以得出它的倾斜角呢？就是四十五度，然后交于我们的 m m， 在 我们双曲线的右侧。我们知道 根据定义，有 f 一 f 二就等于我们的 f 二， m 就 等于二 c， 那 么我们有在双曲线上一点呢？有我们的 f m 一 减去 m f 二，应当等于我们的二 a， 而我们的 m f 一 就等于我们的二 a， 加上 m f 二 就等于我们的二 a 加二 c， 也就是那么我们知道我们的 f 一 f 二呢，等于我们的 m f 二等于二 c， 那 么我们是不是就可以得到 我们的 m f 一 f 二呢？它是一个等腰三角形，是一个等腰三角形，也就是 f e m 等于 f 二 m， 这两条边呢，它是一个相等的，也就是这个角呢，它也是相等的，那么我们知道都是四十五度，那么这里是不是它就是一个垂直的关系， 是一个垂垂直的关系，那么我们是不是垂直，我们首先要想到我们的勾股定律，对吧？ 我们的勾股定律，那么就是 m f 一 的平方就等于 f 一 f 二，我们根据勾股定律把它写出来， 那么我们把我们的二 a 和 c 分 别代入，就由我们的二 a 加二， c 的 平方等于二， c 的 平方加上我们二 二 c 的 平方，那么我们进行一个化减，我们化减之后得到我们的 a 方加上二 a c 减 c 的 平方等于零， 那么我们两边同时除以 我们的 a 方，因为我们的离心率求我们的离心率，离心率是不是就等于 a 分 之 c， 那 么我们这个时候同时除以我们的 a 方，那么就得到了一加二倍的 a 分 之 c 减去 a 方分之 c 方等于零，那么是不是就是我们的一方减去二 e 减一就等于零。 那么我们解方程，我们知道双曲线，这个时候它可能会有两个解，我要知道我们双曲线离心率呢？ e 是 大于一的，那么我们解出来之后，我们 根据 e 大 于一，我们可以得到我们的 e 就 等于一加根号二，也就是我们的 b 选项，所以这道题选择 b 选项。好，这道题的讲解到此结束，感谢大家的收听。
00:43查看AI文稿AI文稿这道题简直是专门用来筛选大冤种的，解离心率，别死算，抓准关系，快速化简两步就能搞定送分题，可别做成了送命题。这个填空题当然就是比较简单，它的离心率是多少？当然我们要把它画成标准方程，这辆就是五分之一，这个地方是六分之一，这辆是一。 所以 a 方就应该等于个五分之一， b 方的话就应该等于个六分之一， c 方的话就应该等于个三十分之十一，通分五六三十。所以离心率就应该等于 a 分 之， c 等于根五分之，根号下十一。 然后呢，根号下五乘以根号下六，根号下五，约掉了。所以这道题的答案就应该等于个六分之，根号下六十六。
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00:14查看AI文稿AI文稿全国一卷十二题，离心率一等于 a 分 之 c， 就 等于根号下五的倒数分之五和六的倒数和除以五分之一等于乘以五，就等于根号下六分之十一。整理得到答案就为六百六十六。
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03:03查看AI文稿AI文稿是二五年高考的第五题，他呢考的是一个抽象函数。啥叫抽象函数呢？没解析式，没图像，还没有函数值的对应表格这种三无函数。呃，这个函数就属于是一个抽象函数， 他呢要关注周期和极有性，然后还有一个关注他一般来讲会分段，就是给你一段区间，告诉你这个区间内 函数解析式，但是他最后解的肯定和这个范围大不一样。你看他让你求 f 负四分之三，这个时候就要用偶函数奇偶性，也就是奇偶性和周期来解析。 那这个我们要想办法把负四分之三通过周期和就和这个偶函数，把它转换到二到三区间内。 怎么转换呢？他既然给你这个奇偶性了，你肯定要先用一下偶函数，讲的是啥呢？他讲的是 f x 等于 f 负 x， 他 给你你肯定是要用的。嗯，视频最后会给大家看一下，如果不用这个偶函数这个条件，他会怎么怎么样？ 那也就相当于是 f 负四分之三，先转换成 f 四分之三，加周期为二，它表示啥呢？那就相当于是 f x 等于 f x 加二， 那可以给四分之三加一下二， f 四分之三就相当于是 f 四分之三加二，这个算一下是四分之一，也可以说是二又四分之三。总之，他现在在二到三这个区间内边直接用解析式， f 负四分之三等于 f 四分之十一，也就是五减二乘四分之一， 这个后面算一下是减二分之一，前面有个五减出来，结果是负二分之一。好，那这道题就讲完了，他答案是负二分之一。接下来我们尝试一下，不用函数这题能解吗？ 只用周期为二，相当于只，我们只用到 x， x 等于 f， x 加二，那么 f 负四分之三先用一次， 负四分之三加二算一下是四分之五，再用一次 f 四分之五用一次，它变成了 四分之十三，但这个四分之十三他比三大，你没法解。所以说题目给的条件他一定都有用的，不然他这题基本上就没法解了。这个负四分之三这个数出的很巧妙。
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等于零的时候，但这个时候它 x 不是 给了你一个区间零到四分之 pi 吗？所以考虑到有这样的一个范围 啊， x 是 属于零到四分之派的，那么二 x 也就是在零到二分之派嘛，所以它等于零，只有可能是 x 等于零。哎，你找到了第一个注点啊，第二个就是 cosine 三 x 等于零的时候，那就老一套嘛，还是考虑到这个 x 的 范围，对吧，你照做。那么考虑到 x 是 属于零到四分之派， 那么这样的三 x 其实是零到四分之派，那么只有可能是三 x 是 二分之派的时候能成功，也就是 x 等于六分之派，这是第二个注点。 那么这个题做到这里，其实有的人就开始已经在考虑单调性了，就比如说这个六分之派啊，他左边是单增的，右边是单减的，然后就说这个地方就是他最大值其实有问题的，因为在 b 区间上，这个连续函数的最大值啊，一定存在，而且这样的一个最大值只会在注点和端点取到，但是你不要忘记去考虑那个端点啊，因为什么意思？ 比如说在一个 b 区间上，它的图像是这样的，对，你会看到极值点，这个是极大值点，这个是极小值点，但是当你去看他的最值点的时候，你会发现其实最大值点在这里，最小值点在这里， 所以注点啊，也就一阶导为零的点，未必是对值点，你一定是要考虑端点的。所以接下来你还有一步叫做由你要考虑两个端点，也就是 f 零，那 f 零你去算一算，其实是五减一等于四， ok， 那 按顺序第二个就是 f 六分之派，它你算出来会是二分之五倍的根号三，减去一个负的二分之根号三， ok， 你 算出来是三倍的根号三，这第二个当然还有一个短点，就四分之派，那个点你不要忘记去考虑，就是 f 四分之派是等于这个二分之五倍的根号二，减去负的二分之根号二， 是等于三倍的根号二。所以当你考虑了所有的注点和端点以后，你发现最大的这个是这个啊，于是你才可以说，哦，那这样的 f x 在 b 虚线零到四分之派上面，它的最大值也就是 f x maximum 是 等于三倍的根号三，所以看到没有，即便是第一问这个我们所谓的讲叫送分题，希望让绝大多数人得到分数的题目，它里面依旧会有合照、画机这样的技巧的考察。包括啊，像考虑最大值的时候，你不要忘记去看一看端点， ok， 那 么第一问，这样你就已经做出来了啊，挺高兴，然后你低头看了一眼第二问， 可能瞬间就情转多云，为什么？因为你看第二问这个形式，你觉得哇，这一看就是很复杂的题，所以有的人做到这一步，首先心态就崩了，然后后面他就没法做了。 我也一直跟我的学生讲，就是解题，它其实不是一个纯智力活动，它其实也是考验你的情绪状态，因为如果你心态崩了，你就没有以后了。但是如果你能沉着冷静的去分析啊，你还有机会，我没说一定做的出来，但是你沉着冷静去分析一个题目，它是你成功的必要条件。当然对于这样的一个问题来讲，它是复杂一点，但它真的难道不可做吗？其实也不是啊， 其实画画图就是出来的东西啊。那么怎么搞？我们可以看一下，他说给定 c 是 在零到派开区间上面啊，然后呢？ a 还是在负无穷到正无穷之间变， 他现在让你干嘛？证明存在 y 属于啊，这样一个区间，使得 cosine y 小 一点， cosine theta 啊，这个时候你是会觉得很恶心，为什么？首先第一个，这个问题里的变量特别多，它有三个变量，你就像一个那个小丑在玩三个球一样天上飞，对吧？你好像掌控不住的感觉，因为都在变。那么这个时候我们就要讲一点，对于复杂的题目，其实你往往要对它进行必要的化解，或者正推。什么意思？ 比如在这个问题里，你看 set 其实是在有限范围里头的 a， 你 觉得是在整个指数范围里面去取，但实际上 cosine 的 周期是最小，正周期是二派，那么其实在这个区间里面，前面加个二派，后面加个二派，其实对于你最后的这个不等式其实是没有变化的。换句话说，这个二派不可能加在 set 里 啊，因为 set 已经定了范围，其实加在 a 里面，你能看出来， a 虽然是在指数范围取，但是它有一个二派周期。于是啊，对于这个第二问啊，你总可以干嘛？不妨设 a 是 在零到二派的这样的范围，当然零和二派你只取一个就行了，这里我就零给他包上 b 区间，零到二派。 所以至此，对于这样的一个问题，你已经做了一步啊，必要的化解，你看挺好的， c 塔也是在有限的范围里，现在 a 也是在有限的范围里啊。然后就是你要证明的这个东西，其实证明这个东西也有点恶心，为什么你不适应？因为 它是一个存在性的一个证明，它证明存在啊，有这样的外，使得这个不等式能成立。那么一般对于存在性的这样的证明，其实你本质上啊，两种路，一种就是你正着来，就是你真的找到了这样的外在，可能的每种情况下，你把它找出来，那它当然存在。另一种就是你去考虑这个问题的反面，但在这个问题里啊，其实它没有你想象那么难，你每次都可以找到这样的外，但是啊，你怎么去画这个图呢？怎么开始了解这个问题呢？ 其实你会看到，你比如说 y 的 范围啊，你比如说这个不等式，在几何上都是有它相应的背景的，比方说像 cosine y 小 一点， cosine theta， 因为 theta 是 一个定范围的，你比如如果把它画出来，那么有一个单位圆，那么如果你的 theta 是 这个是 theta 角啊，那么这边就是负 theta， 所以 你会看到啊，如果有 cosine y 小 一点， cosine theta 这样的 y 会存在于什么样的区域上呢？这样的 y 的 中边一定是在这个区域里的，所以你看到没有，因为如果是在这个区域的中边，它的 cosine 一定是比 cosine theta 要大的 啊。于是它的几何解释其实就是，哦，你就证明存在这样的 y， 在 这个区域里就搞定了。那这句话其实就翻译过来了，那第二个，因为 y 水的这个区间，这个区间是由 a 和 c 塔共同组合而来的，但它也不是杂乱的组合，它其实是以 a 为中轴， c 塔为那个宽度去组合出一个区间。如果你希望去把 y 的 中边画出来，其实也是有的画的，你也去画这个是 a， 好， 那如果 c 塔是这么大的话，这个是 c 塔的话，那么其实这个中边就是 a 加 c 塔， 把它对应的这边就是 a 减 c 塔，所以这个区间的几何解释是什么？就是以 a 为中心， c 塔为宽度的这样的一个区域啊，它其实就是一个有宽度的这样的一个区间啊，它就这点东西 啊。然后你说那这些东西都化了，我怎么去证明存在这样的外，使得这个式子成立好像还是很难呀，即便我看到了这件事情没关系，对吧？我们其实可以从 a 最简单的情况去出发考虑，因为像我做了这一步化简以后，其实 a 是 在一个有限的范围内，比方说啊，呃，再画一个图，在这样的情况下 啊，你比如你的 c 已经在这里了，如果 a 是 它最简单的情况就零嘛，如果 a 是 零的话，其实很简单。为什么？因为 a 如果是零的话， a 加 c 就是 c， a 减 c 就是 负 c， 那 y 其实就是在 这样的一个区域里，那这种时候存不存在这样的 y 满足 cosine 这个 y 小 于等于 cosine c 呢？其实是满足的，因为这个时候是包括这个边界的，所以你的 y 直接取 c 就 可以了。那所以至少啊，最简单的一种情况，那你去分类讨论，你是可以做出来说存在这样的 y， 那 当然从解析和拿分的角度上来说，你写的这句话，其实你可能也拿到一部分分数嘛。于是你想到第一种情况， 那么 a 等于零的时候，其实你总存在这样的 y 啊，这样的 y 你 取成什么呢？ c， 它也就这样可以使得你的这个不等式成立，就是 cosine y 小 于等于 cosine c 啊，因为这种情况是平凡的。当然我说明一下，就这里的符号就是这个，其实是表示存在，对吧？因为存在在英文里面是这个 exist 呢 啊，是 e 打头的，你把这个 e 倒一倒，它其实就是这个存在的，当然因因为你这个任意也是一样，对吧？任意其实是这个 for any， 然后你把这个 a 倒一倒啊，这就任意的符号，所以这个做一个说明， s 点 t 点其实就是使得的意思啊，英文是 such that 啊，就是这样写会方便一点。那所以第一种情况你已经考虑清楚了，那就说这也不行啊，这个 a 其实还会动啊，那你接下来就让这个 a 动起来就行了。 你比如说这个 a 再大一点的时候啊，会不会出问题？比如说啊，这个 a 如果是在这里的话，可以吧？那按照刚才的这个说法，你是不是这个区间，它其实也是有一个几何解释啊？那么 a 加 c， 它就会在哪啊？ a 加 c， 它可能就会在这里啊，可能就会在这里，然后呢，这个 a 减 c， 它可能就会在这里，所以你说在这种状态下， 还存不存在这样的 y， 使得这个不等式能够满足呢？所以你看了看，根据上面的启发，你觉得其实也可以，为什么呢？因为现在以 a 为中心， c 塔为宽度的啊，这一个区域其实也是把这个 c 塔这个点啊，就是把 c 塔这个中边包进去的，你只要把 c 塔这个中边包进去， y 就 取 c 塔，那 cosine 以外就小于等于 cosine， c 塔就能成立，它就就这个逻辑，那么到什么地方才会出问题啊？ 就随着你这个 a 慢慢的大，是吧？然后你这个这个 c 塔，呃，你的 a 减 c 塔这条边它往上挪，它要是超过了这个 c 塔，那你这个 y 取 c 塔就没得取了，所以那种情况会出问题， 所以至此啊，这个问题分析到这里，你开始意识到 a 减 c 塔和 c 塔的关系直观重要，于是它使你想到要以这个为分类标准去分你后面的类，所以你第二类，你想到什么？就是当这个 a 减 c 塔它小于 c 塔的时候， 就这种时候当然说一嘴，你那个 a 其实也有一个天然的范围嘛，对吧？你的这个 a 其实是大于等于零的，因为等于零你已经讨论过了，所以你这个地方是 a 大 于零。那么在几何上其实你也看到了，在这种状态下，你的这个 c 塔是可以被 a 加 c 塔和 a 减 c 夹住的，所以这个时候你也很容易推出 c 塔是属于 这个 a 减 c 到 a 加 c 之间的。这个证明很容易。因为 c 为什么大于 a 减 c？ 因为这句话说了，那么 c 为什么小于 a 加 c？ 因为这句话说了，所以 c 已经在里面。那么这时候跟上面一样老一套嘛，那当然存在这样的 y， 为什么？因为你还是可以取这样的 y， 是 c 使得你的 cosine y 小 于等于 cosine c， 所以 做到这个地方其实你还蛮有信心的。这个题目好像已经做 出来一大半了，其实你也就画画图了吧，对吧？然后因为你发现了这个关键点， a 减 c 和 c 它的关系，你就关系你就第三类。那么当 a 减 c， 它 大于等于 theta 十，所以这种情况它是什么意思呢？就是说我比如画个图，在这里还是单位元，然后这里是 theta， 这是负 theta， 只不过这种时候你的 a 就 跑的比较远了，对不对？可能你的 a 就 跑到这里了，然后你的 a 减 theta 呢，也超出去了， a 减 theta 在 这，然后你的 a 加 theta 呢？可能会在这里。好，这个时候你还是要证明那样的 y 存在，所以有的人一看这个他就很高兴，他说，那我总取这个 y 是 a 加 theta 不 就可以了吗？啊？因为他不是在 前面的那个区域里面吗？对不对？但其实不然，因为如果你取那个大的这个中边啊， a 加 c 塔，你会知道天然的 a 加 c 塔是有机会超过这个负 c 塔，甚至超过二 pad 的， 这个点的 a 是 可以无限接近二 pad 的， c 塔也会无限接近于 pad， 那 它俩一家其实可以无限接近三 pad， 你 超出这个二 pad 这个中边妥妥的， 所以取 a 加 c 塔不保险。所以在这个时候，同志们，你注意啊，你总能够得到的一个结论其实是，你的 a 减 c 塔是超过你的 c 塔的，但是这个时候你总存在你的 y 可以等于 a 减 c， 它你这么取，就你取前面这个总不会出问题，因为 a 减 c， 它总不会超过它啊。这个地方其实你可以证明的就是 a 减 c 它，你会证明它的范围一定是在这个 c， 它到 这个是二派减 c 之间啊，你觉得这个难吗？很容易。为什么？因为 a 减 c， 它为什么大于等于 c？ 它这句话说了，那么 a 减 c， 它为什么小于二派减 c， 它因为 a 小 于等于二， a 小 于二派之前那个 a 的 不防射还记得吗？它里面说明了，所以这时候你总能取啊，总能取外是 a 减 c， 它使得题目要求的那个不等式可算以外小于等于 for instance。 所以 你看画画图，你找到了题眼，然后经过这一通分析，一二三类分清楚，最后你干嘛？综上这个问题你就挣出来了。所以这个就是第二问啊，你画画图找到了突破口啊，理解了它，其实你看计算量其实并不大，很舒服，但是思维量是不小， ok， 于是第二问，你画画图，你弄出来了，现在来到了第三问，那么一个压轴题出的难不难要看第三问，但是出的好不好，其实是看第一问和第二问，因为往往第一问和第二问会给出去做第三问的这样的一个阶梯。当然在这个题也一样，就简单来说就用的上，但是虽然用的上，你说那我怎么去想出第三问的这个思路，也使得他能用的上呢？这其实也也是一个问题， 所以我们可以来看一下。呃，首先第三问说，他说若存在这样的 x， 都有这样的一个东西，不等于 x， 其实就是一个很成立的一个东西，但他要求的是什么？ 求这样的 b 的 一个最小值。所以你你这样一分析，觉得，哎，也有点复杂，对吧？所以首先第一步还是那句话，要对问题进行必要的简化，或者说去正推，那他这里什么意思？就说给你一个 f 啊，然后呢，对任意的 s 这个东西都能横成力，这个横成力其实是说明在 f 给定某一个值的情况下， b 要大于等于左边这坨东西的最大值，那么每给一个 一个一堆最大值的集合，但他题目要的是什么？要的是 b 的 最小值，所以你这样的 b 一定是在左边这坨东西当给不同 f 的 时候形成的一堆最大值的最小值 就是你要找的这样的弊，这是一个啊，你对这个问题提一进行的理解，并且做了一步化解和正推，那你说那这么好像也没什么办法呀，是废话呀，因为我左边这个东西的最大值的最小值，我怎么去找，怎么去思考呀？所以这就是这个题出的好的另一个原因。这个题里面其实这些东西是有明显的物理背景啊。 换句话说，你比如题目原来给出那个函数啊，什么五倍 cosine x 和负的 cosine 五 x， 在 物理里面，你可以把它看成两个波的叠加啊，可以是声波，可以是机械波这样的东西，因为整个问题里啊，是没有这个损耗的，它是有能量守恒的概念，从而使得你能够想到什么时候左边这坨东西它的最大值的最小值啊，在什么样的 f 的 情况下可以取到啊？它是这样一个逻辑，但无论如何，首先我们先把波形画出来看看。 好，所以你把这两个函数的几何图像画出来，那这个比较大的这样一个波是 y 等于五倍的 cosine x， 它是确定的，那么这个比较小的这样的一个波，呃，是 y 等于负的 cosine x 加 f 啊，当然，因为有了这样的一个 f 的 存在，它其实可以左右平移的，这里画出来的刚好是 y 等于零，就出项等于零的情况，当然在外等于零的时候，它也刚好是第一问给出的这个函数 好，所以了解了这样一个问题的几何背景，那对于我们要求的东西有什么帮助呢？所以你看啊，他现在要求这个东西所有最大值里最小的一个。当你不仅有了几何的观点，你还有了一些物理的观点以后，你把它看成两个波的叠加，那你就会去想，对吧？那这个他叠加以后的这个波，哎，什么时候他会有这个所谓的最小的最大值？但是叠加以后的这个波可能会很奇怪，你比如说长这个样子 啊，可能是这种波，那怎么办？不管叠加以后他是一个这个多么丑的样子，他的叠加以后的这个最大值只取决于这个波的正负。而我们知道在物理上他正负的平方是和能量成正比的， 那如果他能量守恒的话，其实在叠加以后这个波形，你只要找到一个点去分析，对了，其实对于所有的点其实都是对的。换句话来说，你希望找到他叠加以后这两个波叠加以后所有最大值的最小值，也就是希望找到叠加以后所有的正负里面最小的那个正负，所有的能量里面最小的那个能量。 问题来了，两个波叠加什么时候能量最低啊？其实对吧？为什么我说第一问前两问对他有帮助？第一问给出的那个范围零的那个情况，其实已经给你启发了，为什么？因为在这种情况下，第一个大波的最高点在这，他刚好和这个小波的最低点 啊，是同一个位置，这就说明这两个波按照这种形式去叠加，他们得到的能量是最小的，因为一定是你一个波其中一个能量高的时候最高的时候和另一个波能量最低的时候一叠加，总能量最小，所以你要的其实刚好是这样的一个状态， 那于是第一问你已经做过一次了，你就很容易就会去猜，哎，那第一问求的那个最大值三倍根号三，那不就是他所有最大值里的最小的一个吗？于是像在这个问题里面，为什么我说他出的好，因为第一问 给了你猜的勇气，但其实更好的是第二问他给了你证明的底气，那么怎么来干？我们可以看一看。好，所以那先对于你想要研究的这个东西，先给一个记号，就令他为 g x。 那 么由第一问你做过的事情，你已经 知道，当 f 等于零的时候，其实 g x 和 f x 这个时候是同一个东西，那所以 g x maximum 是 等于 f x maximum 最大值相等都是三倍根号三啊。然后你就说根据刚才的这个物理背景的分析，对吧？这个波特叠加你就猜到了，说，哦，那这样的 b 的 最小值其实就是三倍根号三，你就做了先猜这样一个动作，然后 那当然你后面就紧跟的就是后正。你要证明的就是当 f 不是 零的时候，也就其他的情况啊，你的这个 g x 的 最大值总会大于等于三倍根号三，那这样的话，那个三倍根号三不就成为了 g x 所有最大值里的最小的那一个吗？所以你需要证这个东西，那么要证这个就是要证明什么呢？对于每一个 five 等于零存在这样的 x， 使得什么呢？使得你 g x 的 这个内容就是你要研究的这坨东西是大于等于三倍刚好三的，为什么？因为 b 是 大于等于这个东西的，它又要大于等于三倍刚好三，那 b 肯定就大于等于三倍刚好三，所以 b 的 最小值肯定就不会想过三倍刚好三它这个逻辑。那么你要证这个式子，其实就是要证什么呢？ 其实由第一问求那个最值的过程，你其实受到启发，因为当时那个也是三倍根号三啊。你去看那个，你会看到当时的那个三倍根号三，其实是变成二分之五倍的根号三，它减去一个负二分之根号三的，因为你要挣这个式子，其实你只要给出它一个充分条件就可以了，包括这个项位为零的这个点其实是个特殊点。你看到这两个数，其实你说它的一个充分条件是什么呢？是 五倍的 cosine x 大 于等于二分之五倍的括号三，并且后面的这一段负的 cosine x 加 f 大 于等于负的二倍 cosine 三。当然你再把这两个分别化简一下，你就会发现了，这个第一行其实就是 cosine x 要大于等于二倍 cosine 三，二倍 cosine 三，不是刚好就是你的那个 cosine 六分之派吗？那么第二行也一样化简一下 cosine 五 x 加 f， 它是要小于等于什么负二分之三的，那其实也就是小于等于 cosine 六分之五派， 那都写成这种括在内的形式，其实是为了你，后一步你会发现哦，既然要证明存在这样的 x， 那 我其实找一个范围嘛，那存在 x 属于负六分之派，到六分之派里面，你去考虑后面的这个事情还能成立，那这个事就证证明好了。那怎么来说明呢？其实这个时候第二问就会开始发挥作用。你看这里，当 x 是 属于负六分之派，到六分之派的时候，这个时候五 x 加 f 的 范围其实容易表达的，表达出来就是 f 减六分之五派， 然后 f 加六分之五派，这个之间。其实你看啊，到了这个时候你会发现这一坨东西不就是 f 减六分之五派，然后 f 加六分之五派，这个之间，其实你看啊，到了这个时候你看啊，到了这个时候你会发现这一坨东西不就是你第二问题里面的那个 a， 你的这个六分之五派不就是对应你第二问里面的那个 c 塔吗？所以由第二问你可以马上知道哦，一定存在这样的 y， 也就是一定存在这样的五 x 加 f， 使得 cosine 五 x 加 f 是 小于等于 cosine 六分之五派，那到这个地方你不就推出来了吗？不就连上了吗？所以这样你一路挣回去。这样的一个问题里面的第三问，为什么说这个题出的好？因为第一问和第二问是给第三问做铺垫的，第一问给了你先猜的勇气，第二问给了你后正的底。 所以这个题设计其实很精巧，包括他不仅考察了数学问题几何背景的理解，他还涉及到了物理背景，我觉得这个是特别好和特别新颖的一个点。呃，那么至此啊，三角函数也是第一次放在这样的压轴大题里面去出现，到目前为止，你这个什么竖列呀，圆锥曲线呀，这个 概率啊，包括三角什么东西都有可能放在这个压轴题里面，所以以后的这种压轴题可能就不设限了，它是要求你真正的有能力，有分析能力，有解决问题的能力，所以我想这可能是以后的一个方向。而这个题为什么出的好？它里面不仅考察了几何值观、物理值观，其实也渗透了在数学中非常重要的一种想法， 先猜后正。但是出题的人其实也很温柔，因为他前面给你垫了第一问和第二问，如果没有垫第一问，第二问只给你第三问，他可能真的就是一个竞赛题了，但是给你垫了前两问，而他也成为一个非常好的压轴题。
624陈珂讲数学
