全国甲卷数学2025第五题离心率
同学们好，我们来看一下今天的这道题啊，说在平面直角坐标系当中呢，双曲线的中点在原点，交点在 x 轴啊，交点距是焦距长是四倍杠三，那到这里为止呢，相当于是交代了二 c 等于四倍杠三啊，小 c 就 等于二倍杠三。 呃，双曲线和抛线 y 方等于 x 交于 ab 两点，那我们来画一下槽图，看一下这个情况。 双曲线，这是抛物线，这是双曲线啊，这里有一个焦点，这里有一个焦点，两个焦点呢？关于这个 x 轴互相对称。好，我们看一下后面怎么说，后面说 o a、 b 也是一个正三角形，问什么呢？问的是离心率，那离心率 e 等于 a 分 之 c。 目前呢，我们是已经知道了这个小 c 就 缺一个小 a， 所以 说我们如果说能够把小 a 或者小 b 求出来的话，这个问题也就解决了啊，那我们就想办法看能不能把它的方程求出来。那前面的信息当中， 主要就是围绕这个 o、 a、 b 来的嘛，那因为点 a 点 b， 它既是抛线上的点，也是双曲线的点，我们可以设它坐标，比如说是这个外零方，逗号外零，那这样子的话，你看啊， 哎，这里既然是一个正三角形，所以说这个角就是多少度，三十度就等于外零，比上外零方 就等于三分之二三啊。那由此呢，我们就可以求出来，这个 y 零是等于二三的，相当于说就知道了点 a 的 坐标是三二三， 所以说你看我们是不是就可以把点子坐标带入这个双曲线的一个方程当中？那双点的方程，假如说我们设它是 a 方分之 x 平方减去 b 方分成外方。那我们知道小 c 是 等于二倍杠三的，所以说 c 方就等于十二，那 b 方呢？我们就写成 十二减 a 方分之外方等于一。好，我们再把这个点子坐标带入进去，接下来就是一个纯粹的计算了啊。 嗯， a 方分之九减去十二，减 a 方分之三等于一。那我们假如说 a 方等于 t 的 话，啊，方便我们写，我们也计算部分写到左边来啊。嗯，那通分一下， t 乘以十二减 t， 然后九乘以十二，一零八减九， t 方减三。啊，减九 t 减三， t 等于一，那所以就是十二 t 减 t 方等于幺零八减十二， t 减十二 t。 呃，那我们再整理下，那就得到了一个关于 t 方的一个一二次方程，减二十四， t 加幺零八 等于零，看一下能不能易分解。一百零八，二十四，二乘以十二不行，四，六不行。嗯， 哦，不对，这里是和的一个形式，这里是乘积。呃，二，嗯，不行那， 哎，六乘以十八是等于一百零八的六八四十八，一百零八，然后他俩的和是二十四，那这样子的话，我们就可以解出来， t 等于 a 方等于什么呢？等于六 或者十八。那 a 方嘛，肯定要比 c 方要小，所以说 a 方就等于 a 方就等于六，那所以说离心率。哎，我们也就出来了，刚好六分之 二倍杠三，对吧？那他就等于杠二。所以说这个题呢，我们就选 a 选项啊，整体的这个题干的信息呃，比较少，我们就围绕这个信息去往下翻译就可以了。
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04:21查看AI文稿AI文稿各位同学，我们来看这道题，已知椭圆直线 l 过坐标原点交椭圆于 p q 两点点 p 呢？点 a 是 x 正半轴上一点，其横坐标是 p 的 两倍像，这里告诉了坐标，那我肯定要设坐标， 然后他说， q a 交椭圆于 b 点，而直线 p p 恰好是以 p q 为直径圆的切线，那相切直径，那这肯定垂直，对不对？好了，他说了坐标，那么这题我们就设坐标来，我们假设我把 p 点坐标 设出来， x 一 y 一， 对吧，那么 q 点呢？肯定是负 x 一 负 y 一， 对吧？ a 点是 r， x 一 到零 b 点呢？我就设 x r y r。 好， 在这里大家看哈。首先题目给了吧， p q 和 p b 垂直，那行，我们假设 k p q 乘以呸 k p b 吧，这是等于负一的垂直，对吧？好，我们先来算一下， k p q 就是 y 一 减去负 y 一， x 一 减去负 x 一， 哎，刚好就是 y 一 比上 x 一， 对不对？这个 k p b 呢？没什么说的，就是 y r 减 y e x r 减 x e， 是 不是这样的？好了，放在这里，接下来我们看这个 q b 或者说 q a， 它是同条直线吧，就说 k q b 是 等于 k q a 的， 对吧？来，我们把 k q b 先写出来， k q b 呢？就是 y r 减去负 y 一 吧， x r 减去负 x 一 a 就是 y r 加 y 一， x r 加上 x c， 这是 k q b。 那么 k q a 呢？好，就是零八减去负 y 一 二 x 二二 x 一 减去负 x 一， 诶，等于三分之一 y 一 x 一， 诶，刚好是多少啊？刚好是 k p q 吧， k p q 对 不对？这是 k p q 三分之一 k p q 对 不对？所以我们最终是要用这个吧，所以 k p q 是 等于三倍的 k q a 来把它带入进去，那么最终我们会得到这个式子吧，把这个带入，比如说得到 k q a 乘以 k p b 等于负三分之一，对不对？好了， k q a 呢？大家看 k q a， 我 们 k q a 和 q b 相等的，对吧？是不是我们直接用这个来算，可以吧，就是 y r 加 y e， x r 加上 x e k p b 呢？ y r 减 y 一， x r 减 x 一。 好，这个结果是不是等于负三 d？ 其实大家看到这个结果就就知道结果结论了，为什么考察点差法，是不是点差法，对不对？像 p 点坐标，我们带到椭圆里面去， 是这个，然后 b 点呢？ x 二方 a 二方 a 方哈好， y 二方 b 方等于一，我们通过作差之后，那么这个结论呢？这个结果希望大家记住哈，就是 y 一 加 y 二八 x 加上 x r 乘以呢？ y 一 减 y r， x 减 x r 好， 这个结果刚好等于负 b 方 a 方，大家看是不是这样的对不对？这个点差法结论一定要记住。好了，所以 结果就是 a 方 b 方等于三分之一，好，我们要求离心率吧。那么 e 不 就是根号，什么 a 方分之 c 方来，也就是 a 方减 b 方， a 方就等于根号一减去 a 方， b 方等于根号三分之二，也就是三分之根号六。 好，这题呢，主要是考察点差法，点差法呢，一般出现两种考法，第一种就是弦中点，那么第二种就是我们这题这种形式，所以大家要悟一把技术。
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04:06查看AI文稿AI文稿老师老师，距离高考只有最后三十一天了，看到离心率问题我真的燃尽了，怎么办呀？没事的没事的，宝子，刷到我就证明你还有救！距离二零二六四月高考还有最后三十一天，今天我们学的就是 point subtraction method。 来来来，我们来一起看一下这道第十四题。十四题告诉我们，椭圆和椭圆交第一项线于两个点 a b， 并且 ab 的 斜率为负四分之一，求离心率。那么遇到这种题目，告诉我们曲线方程，并且告诉我们交点以及斜率，让我们求离心率这种题目，哎，点差法就是一种很不错的选择。点差法，点差法，什么叫点差法呢？点设点， 也就是我要去设点 a、 点 b， 分 别为 x 一 的话 y 一， x 二的话 y 二。又因为我们说过的 点在曲线上。这五个字非常重要，有两个用法，第一个用法满足定义，第二个用法满足方程。那显然这里不是定义，因为题目已经告诉我们方程了，所以这里是点在曲线上带入方程。得到 a 方分之 x， 一 方加 b， 一 方分之 y， 一 方等于一。 a 方分之 x， 二方加 b， 一 方分之 y， 二方等于一。 这是点差呢？差就是作差，也就是得到的两个式子去作差，一式减去二式，得到 a 方分之 x， 一 方减 x， 二方加上 b， 一 方分之 y， 一 方减 y， 二方等于零。 又因为分子都是平行交叉公式，所以得到 a 方分之 x 一 加 x 二乘上的 x 一 减 x 二加上 b 一 方分之 y 加 y 二乘上的 y 一 减 y 二等于零。有些人同学做到这一步就做不下去了，那么反问题目，题目，题目还告诉我们什么已知信息， a b 直线的斜率为负四分之一 k a b 怎么表示？不就是 y 一 减去 y 二除上的 x 一 减 x 二等于负四分之一吗？那根据上面这个式子，已经有 y 一 减二了，但是它下面没有 x 一 减 x 二，所以想到等式，两边同时除上的 x 一 减去 x 二， 得到 a 方分之 x 一 加 y 二乘上的 y 一 减二除以 x 一 减 x 二，也就是负四分之一等于零。 好，这个式子先保留做到这，我们现在看题目，我们说了点，在曲线上是满足方程的，那么方程我们刚刚带入的是椭圆方程，是不是还有个方程啊？ 是不是曲线 c 二也不方程，对吧？所以可得 y 一 加 y 二呢？其就等于 x 一 加 x 一 分之一加上 x 二加上 x 一。 x 二分之一。整理一下，等于 x 一 加 x 二加上的 x 一 x 二分之 x 一 加 x 一 加 x 二。 那 y 减二呢？同样道理，就等于 x 一 加 x 一 分之一减去的 x 二减去的 x 二分之一，就等于 x 一 减 x 二加上的 x 一 乘 x 二分之 x 二减 x 一。 那我们再利用一下斜率等式，左边已经有 y 减二了，再同时除以 x 一 减 x 二，得到左边是负四分之一，等于右边一减去的 x 一 乘以 x 二分之一。 所以这个式子能把 x 一 乘 x 二解出来，解得 x 一 乘 x 二等于五分之四。好，得到的 x 一 乘 x 的 乘积带到上面 y 一 加 y 的 式子，得到了 y 一 加 y 二，就等于四分之九倍的 x 一 加 x 二。 接下来我们把这个等量关系带到上面这个式子当中，所以就得到 a 方分之 x 一 加 x 二加上 b 方分之 a， 四分之九倍的 x 一 加 x 二乘上的负四分之一等于零。又因为点都在第一象限，所以 x 一 加 x 二一定大于零。约调，所以得到 a 方分之一减去十六， b 方分之九等于零， 所以得到 a 方分之 b 方等于十六分之九。那离心率一方就等于一。减去的 a 方分之 b 方就等于十六分之七。离心率 e 呢，就等于四分之根号七。 以后遇到这种题目呢，题目告诉你曲线方程，并且告诉你焦点以及斜率的，最后让你求离心率。哎，点差法就是一种很不错的选择，宝宝你学会了吗？
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10:18查看AI文稿AI文稿好，同学们看一下二五年全国一校高考真题，给了一个椭圆，对吧？然后告诉我们离心率 b 等于分之 c， 然后下顶点，右顶点，告诉我们给了他俩的距离的，刚好是让我们求 c 的 方程，那也就是求 a 和 b， 对 吧？ 因为他给了我们这个下顶点为 a， 所以 说 a 的 坐标是不是就是零？负 b 的 坐标为右顶点，那就是 a 零， 那因为 ab 呢，等于根号十，那我们是不是就能得到他俩间距离公式啊？对吧？ 那他俩间距离公式就等于 a 方加上 b 方，那等于根号十。那我们又知道，在这个椭圆中， a 方呢，等于 b 方加上 c 方，然后又给了我们离心率 e 等于 a 分 之， c 等于三分之二倍，根号二，那我们是不是给它连立方程组，我们是不是就能求出来 abc 呀？那 a 方能求出的九， 呃， b 方呢？等于一， c 方等于八，所以说椭圆 c 的 方程我们就能求出来了。所以说椭圆 c 的 方程为 x 方 b 九加上 y 方等于一。 那第一问我们求完了，我们看一下第二问的第一小问，嗯，已知动点 p 不 在 y 轴上， r 呢，在射线 a， p 上，给了我们 p 点，坐标是 m n， 那 p 点不在 y 轴上，说明什么？ m 是 不可能等于零的，对吧？如果 m 等于零，那它是在 y 上的点，然后给了我们一个关系式，让我们求 r 的 坐标，那一个椭圆， 哦，动点 p 不 在 y 轴上，对吧？这是 a 点， r 呢？比它在射线 ap 上，那这个是射线 ap， 然后点 r 呢？ 在射线以 p 上，假如说 r 点在这，然后我们知道 p 点的坐标是 m n， 那 我们求 r 点坐标，我们可以设 r 为 x 零 y 零，因为点 p 不 在 y 轴上，所以我们能够知道 m 呢是不等于零的，然后它给了我们 a p 的 距离和 a r 的 距离，是吧？那我们把 a p 的 距离和 a r 的 距离给它表示一下，求一下 a p 的 斜率， k a p 呢？它是等于是 零负一，对吧？然后 p 点呢？是这个 m n， 那 k e p 的 斜率是不是等于 n 加一分之除以 m， 我 们给他这个方程，是不是也能写出了 k e p 方程？是不是 y 零加一比上 x 零就等于斜率啊？ n 加一比上 m， 对 吧？ 来表示一下 ar 乘 a p， 因为 a p 乘以 ar， 它的距离相乘等于三，所以我们给他代入 a p a 点零一负一 p d m 两点积距离公式，对吧？等于 m 方 加上 n 加一各位的平方，再乘以刚好下 a r， a 是 零负一， r 是 s 零 y 零，那是 s 零方加上 y 零加一的平方，它呢是等于三，所以我们把它和它一连立，对吧？它呢就相当于 y 零加一，因为这是 y 零加一的平方吗？那我给他平方一下，他是不是等于 n 加一的平方比上 m 的 平方乘以 x 零的平方，那我把这个 y 零加一的平方给他带入， 那我们就能得到。所以根号下 m 方加上 n 加一的平方，再乘以根号下 x 零平方加上它，是不是就是 m 方 分之 x 零方乘以 n 加一括号的平方啊？它等于三，那也就是 m 方加上 n 加一括号的平方， 他给他写成 m 方分之 m 方 x 方，因为这样想通下分吗？不是乘以 m 方分之，把这个 m 方 x 零的平方给他提出来，那他是不是剩一个 m 方加上，这是 n 加一括号的平方了，对吧？这是根号下等于三， 那所以把他呢？给他提出来，是不是就是 m 分 之 x 零啊？因为 m 方分之 x 零方开根号吗？ m 分 之 x 零，那他就剩一个 m 方 加上 n 加一的平方，再乘以 m 方加上 n 加一的平方，根号下，对吧？那他就剩下了一个 m 方加上 n 加一的平方了，那他呢？就等于三，所以他是不是就是， 嗯，给他相乘就是 x 零 m， 对 吧？他变成了一加上 m 方分之 n 加一的平方等于三，所以我们是不是就能求出 x 零和 y 零了？那 x 零呢？就等于 三 m 比上 m 方加上 n 加一的平方，这就是一个计算量比较大，也没有难度。这是 s 零，那 y 零呢？就等于 n 加二减 m 方减 n 方比上 m 方加上 n 加一的平方， 那 s 零 y 求出来了。所以说我们 r 点的坐标是不是就他俩呀？ m 方加上 n 加一的平方分之三， m 号 m 方加上 n 加一的平方， 分之 n 加二减 m 方减 n 方。那第二问的第一小问我们求完了，我们看一下第二问的第二小问， o v 坐标原点 q 是 q 是 c 上的动点啊。直线 o r 的 斜率为 o p 斜率的三倍，让我们求 p q 的 最大值，已知条件 o r 的 斜率是 o r 的 三倍，那我们给他表示出来，是不是可以？那 k o r 的 斜率 o 是 原点 r 是 我们刚才求出来的，它，对吧？那 o r 的 斜率就是它，它减去零比上它减去零，对吧？那就是它，它除以它， 那 y 的 斜率就是相当于 y 零比上 s 零，我们给它代入，它就等于 n 加二减 m 方减 n 方比上 m 方加上 n 加一的平方除以 s 零就乘以 s 零分之一呗。那就是乘以三 m 分 之 m 方加上 n 加一的平，对吧？就是它除以它， 那他给他约一下，分呢？他就等于三 m 分 之 n 加二减 m 方减 n 方。 那 k o r 我 们求出来了，那我们 k o p 呢？ p 点是不是 m n 呢？那 k o p 是 不是就等于 n 比上 m， 因为 k o r 等于三倍的 k o p， 那 我们给它代入，所以 k o 二是它，对吧？三 m 分 之 n 加二减 m 方减 n 方，等于三倍的 o p 等于 m 分 之三 n， 对 吧？那它就等于三 m 分 之九 n 呗。那就是相当于它等于它了，对吧？ 那所以 m 方加 n 方加八， n 减二等于零，所以 m 方加上 n 分 解下， n 加四的平方就等于十八，对吧？这个时候 m 呢？不等于零， 那它等于十八，那你看它是不是一个圆的方程啊？所以点 p 是 不是就是在以零负四 为圆心？是，这个圆心为 n 为圆心，三倍，根号二，对吧？它开十八 k 根号为半径的圆上。 那所以那 p q 它的最大值是不是就是点 q 到圆心的距离 再加半径了？所以我们设 q 点呢？为 x q y q 那 点到圆心的距离呢？那 q 点是 x q y q， 对 吧？ q 点呢？还在这个椭圆上。那所以 s q 的 平方比上九加上 y q 的 平方等于一，对吧？那也就是 x q 的 平方加上九倍的 y q 的 平方等于九。所以点到圆心，点 q 到圆心，距离是不是 q n 呢？ 那 q n 的 平方呢？它等于是 x q 的 平方，加上 y q 加四，互为的平方，对吧？因为圆心是零，负四嘛，就两点间距离公式。 那 x q 的 平方呢？我们给他写成九减九倍的 y q 平方，加上，给他开开平方，那就是 y q 的 平方加上八， y q 加上十六，那他就等于负八， y q 的 平方加八， y q 加上二十五，那我们给他因式分解，提出个负八，他写成 y q 减二分之一的平方加二十七，那他 因为他是平方吗？他的最小值肯定是零，对吧？那零加二十七就二十七，那他的最大值肯定是因为他只能呃，平方吗？只能是正数，正数乘以一个负数，对吧？那相当于二十七，减去一个数，与二十七相比，那他肯定是小于等于二十七的。当 y q 等于二分之一十取等号，对吧？那所以 p q 它的最大值就等于 q n， 它的最大值加上半径啊，对吧？那 q n 的 最大值是不是它的平方是二十七？那 q n 最大值是根号二十七，那加上它的半径，它的半径是不是 二？以三倍根号二了，那他就是加上三倍根号，那根号二积加三倍根号二，那给他，他是三乘九的三倍根号三，加三倍根号二，那他等于三倍的根号三。加上根号二，那他的最大值我们求完了。
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05:00查看AI文稿AI文稿hello， 同学们好，我们来看一下我们今天的一个打卡题目，这块呢，我们主要去考察了一下我们的这个离心率哈，那我们来看椭圆和双曲线。第一个，我们的这个椭圆的离心率，它的比值是 cba， 离心率一般都是我们的这个 cba 啊，都是 cba， 那 么它的范围有所不同。第一个，我们的椭圆是零到一，然后双曲线呢，是一到正无穷， 几何意义也不同，椭圆的离心率主要是为了去刻画我们的椭圆，它的一个扁平程度以及双曲线的话，我们是刻画的是我们的一个张口大小，那公式和变形的话，大家要记清楚。这个地方主要是结合了什么呀？就是那个 abc 之间的一个关系哈， abc 之间的一个关系。好，那复习完了，我们来看一下我们今天的一个打卡题目。首先第一道题，他说已知椭圆 啊，告诉我们了，然后完了之后呢，说这个左右焦点分别是 m f 一， f 二，左顶点是为 a。 这个题需要我们画一下图吧，我来画一下图， 画完图之后呢，我们来看这个地方是 y 轴，然后这是 x 轴，这是 y 轴，左顶点为 a， a 点，然后点 p 在 c 上，然后说这个 f 一 f 二出来了，是吧？这个时候说呢，我们的这个 p f 一 呢，和 f 二我们之间的一个距离啊，有一个等量关系，是不是？我们来看一看， 我们随便连一下，他说这个什么呀？叫，呃，这个 p f 一 和二倍的，我们来写一下，他说这个 我先写到这部分啊， p f 一 它等于二倍的 af 一， p f 一 等于二倍的 af 一， 可是 af 一 我们知道呀，它应该是等于多少的呀？ a 减 c 吧，对吧？它等于 a 减 c， 那 么我们的定义还能知道我们的 p f 一 加椭圆的定义 p f 二，它是不应该等于二 a， 所以说我现在的这个 p f 二呢？等于多少呢？是不等于二 c， p f 二只得到了我们等于二 c， 那 么这个时候我们就发现呢， m 负一 f 二也是等于二 c 的， 然后等于 p f 二两边相等，并且呢，它告诉我们什么呀？这还有一个角度，这是不是六十度 这题上的一个条件哈，这两个条件得出来了这么多内容完了之后呢，我们证明出来了，三角形 p f 一， f 二为等边三角形， 它为等边三角形，那么我们能得到什么呢？离心率是不可以直接求出来了，对吧？离心率直接得到是等于多少啊？这个地方利用了一个特殊角的一个求离心率的方法，是不是直接等于 sin f 一 p f 二，因为各个角度我们都知道嘛，所以说直接用角度来去求 p f 一 f 二，加上 sin p f 二 f 一， 然后得到的就是一个 sin 六十度分之一，然后得到我们的二分之一， 对吧？因为它上面是这个我们的 sin 六十度，然后加二倍的一个 sin 六十度，然后是 sin 六十度分之一哈，所以说我们的这个正确答案呢，就是我们的 d 选项哈， 嗯，然后这个题就是我们得到了一个 d 选项。好，然后我们再来看一下我们的这个第二题，那看第二题的时候，我把这块给先给他圈一下， 这会需要擦掉了啊，需要擦掉了，然后注意要截图的同学注意保存一下啊。好好，我们来看一下我们的第二道题，第二道题他说这个也是需要去画图的，是吧？我们一起来画一张图， 双曲线， 这是我们的双曲线，然后有渐近线， ok， 然后这个是我们的一个双曲线，它的一个近近线以及两只右焦点 f 过这个过，它做近近线的一条垂线， 做完之后说呀，这做完之后，然后这个是垂线垂直为 a， 说 afo 是 二倍的它，所以说这个角度不就是三十度吗？这是六十度啊，刚好画的这个有点不太符合，但大家理解就可以了。那这个时候告诉我们离心率是多少呢？那我们来看，我们知道它是等于多少呀？ 是不是我们的 a 分 之 b x 呀，对吧？所以说那这个时候攀进它这个三十度是不就等于我们的 bba 呀？ bba 等于三分之根号三吧，它等于三分之根号三，之后我们的 e 是 不是就等于一加上 a 分 之 b 括号的平方，然后再开根号就是我们的 a 分 之 c 了呗， 对吧？那我们最终得到的是一加上三分之根号三括号的平方。计算完了之后，我们正确答案是三分之二倍根号三啊，三分之二倍根号三。所以说这道题我们正确的答案呢，是我们的 b 选项。好，这是今天的有关离心率的一个打卡哈，希望大家继续坚持住，我们圆锥曲线这块要多多去进行计算了啊。好，拜拜，如果说有问题的话。
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05:19查看AI文稿AI文稿好，我们今天速通一下二五年全国一二的选择。第一题，一乘以 i 的 虚部，那就是 c 啊。第二题，集合 u， x 是 小于九的正整数一到八喽， a 是 一三五，那么 a 的 补集的元素个数八减三等于五，选 c。 第三题，双曲线， c 的 虚周长是实周长的，刚好七位，直接复制进去，让 b 等于刚好七， a 等于一，那么 c 就 等于二倍根号二， 所以利率就是二百万，二比一选 b。 第四题，函数，它的图像一个对审中心，求 a 的 最小值。我们知道对审中心要么等于零，要么不存在，所以我们看 b 是 一定对的， b 是 一定对的，那么 a 对 不对呢？六分之三减肯定不是零，或者对审中心选 b。 我们看第五题， f x 是 定义域，周期为二的偶函数，二到三的时候符合这个，那么负四分之三等于多少？由于周期是二，我们第一反应的话，先给他加上二 f 四分之五， 但是你发现四分之五的话不在这个区间内，所以你再加上二就会超出去。那咱们换一个方式，既然是偶函数，负四分之三，正四分之三，再加上二，就等于四分之十一， 四分之十一显然是小于四分之十二的，在这个区间内直接往里带就可以了。四分之十一，这是二分之十一，五减二分之十一等于负二分之一选 a。 第六题，题干很长，但是我们只要抓住关键信息即可，从这可以看， 针锋对应的风量与船行风速对应的向量之合。 ok， 那 么底下这个图给的是什么呢？也是船在风速对应的风量，船速对应的向量，那就相当于它两个相加，也就是 这个加上这个，哎，想相加的话，直接从始到终就可以了，最后到这负二二，那负二二的话，它的周长就是二倍根号二，二倍根号二，我们对应一下它的长度， 二乘以一点四一四啊，也就是在这，所以选清风，选 a。 好，接下来我们看第七题，这是一个圆根直线，哎，我圆根直线，所有的题都会离不开一个东西，叫点到直线距离，我们先算一下圆心到直线的距离，这是零，负二 到达这个直线距离往里带零带进去二减负二是四，比上底下根号三方加一方开根号二等于二， 圆心到直线距离是二，那么距离为一的点有且仅有两个，则二的取值范围，那由于底下这四个选项呢，我们给它区分一下，那代入一个二二，如果正确 b、 d 对 二，如果错误， a、 c 对 二的话呢呢，这个就是四， 由于点到直线的距离就是二，那么也就是说直线跟它相切相切的话呢，距离为一的点肯定是只有两个，那二是正确的。选 b、 d， 那 区分一下，我们再带个四进去吧，比如说二方等于十六，那如果圆心到直线的距离为 一的话啊，等于二的话，那这块又是二，那也就是说这边跟这边都会有两个点，也就是三个点，它就不符合了，所以我们就选 b 啊。 第八题，我们先做一个简单的化简， log 二 x 等于一，加上 log 三 y 等于三，加上 log 五 z， 哎，这不就相当于三个函数的 这个值相等，但是它们的定域，那也就是说自变量是怎样的大小排列关系，那么画图像就可以了，那咱们就画这三个图像，为了好看呢，咱们画的稍微夸张一些，比如说 log 二 x， 咱们画一个相对直一点的这种感觉， 然后呢 log 加上 log 三 y， 它过一一点，过一点，我们换一个颜色笔，比如说蓝色笔，一一点这样子，哎， 这样子感觉，然后呢三加 log 五 z， 那 z 的 话，我们再换一个黑色笔，更重一些啊，过一三，一三大概在这儿吧，画一个黑色线。 好，那么左边这边有没有交点呢？是没有的，因为二的话是更贴近这边的，然后五的话呢，更贴近 y 轴，这个是基础知识的问题哈。好，我们就根据这种情况，把 y 相等的情况下，它们三个的大小比较。那么先看这里喽， 这种情况，黑小于蓝小于红，也就是 z 小 于 y 小 于 z， a 是 对的，这是不能选。然后我们再看过一个焦点，这里黑小于红小于蓝，那么五小于二小于 三，也就是说 z 小 于 x 小 于 y 啊， c 是 对的，也不能选。那么再过一个焦点，在这里， 红小于黑小于蓝，红是二，也就是 x 小 于 z 小 于 y， 哎， d 是 ok 的， 那么再往下，再往下，最小的是二，那也不是 y， 所以 选 b 搞定。
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01:59查看AI文稿AI文稿我们来看这道二零二五年全国一卷的填空题，一共五分，若直线 y 等于二， x 加五是曲线 y 等于 e 的 x 的 方，加 x 加 a 的 切线，则 a 的 值啊，直线是曲线的切线，说明什么？说明这个曲线在切点处的导数值等于直 线的斜率，那直线是 y 等于 k， x 加 b 的 形式，直线的斜率就是二。 那我们看一下这个曲线在切点处的导数值，咱们可以设切点啊，设切点为啊， x 零外零在切点处的导数值，那就是外导 x 等于 x 零的 啊，那就把 x 换成 x 零啊， e 的 x 四零的导数就是 e 的 x 四零啊，然后加上 x 零的导数啊，就是一啊，常数 a 的 导数就是零啊，所以啊，它导数值啊，有了，是 e 的 x 四零加一 啊，然后等于直线的斜率二，所以 e 的 多少次方的一啊？零次方，所以 x 零是零 啊， x 零是零，把 x 零是零带进去啊，咱们看一下外零是多少？ e 的 啊， 零次方啊， e 的 零次方是一加上零加 a 啊，那就是一加 a， 正坐标就是一加 a， 横坐标是 x 零的情况下啊，正坐标就是一加 a 啊，这个切点坐标求出来了啊，切点坐标求出来了，那这个直线啊，这个切点肯定还在直线上，所以咱们带进去啊，把零和一加一带进去，二乘零加五等于一加 a 啊，那就是五等于一加 a， a 就 等四，这道题就出来了啊。
7280小小教书匠
13:23查看AI文稿AI文稿我们来看一下二零二五年全国二卷的这道椭圆的题，一共十五分。他说已知椭圆 a 方分之 x 方加 b 方分之外方等于 e， a 大 于 b 大 于零，离心率是二分之根号二，长周长是四。第一个求椭圆的方程，求椭圆的方程其实就是求 a 方和 b 方啊，离心率是 二分之，根号二， e 等于 a， 分 之 c， 这是离心率的公式，等于二分之根号二啊。紧接着长周长是四，长周长是二， a 二， a 是 四，那 a 就是 二啊， a 就是 二，所以你看啊，那 c 是 几， c 就是 根号二， a 是 二的情况下， c 就是 根号二。因为离心率是二分之，根号二 啊。又因为 a 等于二，所以 c 就 等于根号二。那么椭圆 a 最大， a 方等于 b 方加 c 方， a 方等于 b 方加 c 方， a 方是四， c 方是二，那 b 方就是二 啊， b 方就是，所以 d 问就出来了， b 方是二， a 方是四啊， a 方是四，所以椭圆的方程就是四分之， x 方加二分之外方等于一， d 问就写对了。 然后第二问是计算量比较复杂啊，咱们先看一下，他说经过点负二一的直线 l 交 c 于 ab 两点啊， o 为坐标原点，若 aob oab 的 面积是根号二。求一下这个 ab 的 长度。咱们首先把椭圆先画出来啊， 首先它是一个啊，焦点在 x 轴上的一个椭圆啊，焦点在 x 轴上的一个椭圆，画一下， 这样扁着的啊，焦点在 x 轴上，那这啊就是负 a 零啊，这是顶点坐标，这就是 a 零， 这是零， b， 这是零，负 b 啊，同样的一个性质，所以咱们看一下啊，他说过零负二啊，咱们知道刚才求出来了这个 b 啊， b 方是二， b 就是 根号二，所以这是零负根号二 啊，这个位置 a 方是四， a 就是 二二零，对吧？这是零根号二，这是负二零，哎，把这个点坐标可以给它标一标，然后紧接着啊，他说这个过零负二，那零负二在哪呢？这是零负根号二，根号二是一点四，对吧？还得在底下点在这 过。这个点啊，的直线与 c 啊， c 就是 椭圆，与椭圆交于 a、 b 两点，是不是？哎，与椭圆交于 a、 b 两点， o， a b 的 面积是平方二。如果这条直线如果是这么画，哎，就跟 y 轴重合了，那就没有 o a b 了，是不是？哎， a b 还有这个 a b， o 就 在一条线上了，所以不能这么画啊，经过它垂直于 x 轴，因为这个点是圆点，不能这么画。然后呢？如果这么画的情况下啊，如果，如果这样画的情况下，嗯，哎，与椭圆就没有交点了，与椭圆没有交点， 所以也不行，所以与 ab 交，交于 ab 两点啊，你就可以说由 t 一 只啊，就这么画交于 ab 两点， 对吧？有题，一直这个图像就就是这样的啊，不能这么经过啊，因为这么经过没法组成三角形，是吧？也不能这么经过，这么经过，根本就没与椭圆交于 a、 b 两点，所以这个图形画出来之后啊，图形画出来之后，把它解析式写一下， 它经过零负根号二，所以就设这个直线 l 啊，设这个直线 l 的 方程是 y 等于 k， x 加 b 的 形式，经过零负二，零就是 x， 负二就是 y， 所以 b 啊， x 的 零， y 的 负二带进去， b 就是 负二，所以是 y 等于 k x 减二啊，这是直线方程， 那直线方程啊，写出来了，然后紧接着这个椭圆的方程，咱们也有四分之 x 方加啊，二分之外方等于一。直线方程与椭圆方程可以连立啊，直线方程与椭圆方程可以连立啊，然后求出啊， ab 的 长度， 你看 o a、 b， 要问咱们这个 o a、 b 的 面积，可以先求出 a、 b 的 长度啊，那连立之后呢？把这个 y 等于 k x 减二带进去啊，计算量有点大。 y 等于 k， x 减二带进去，那就带那这是 四 x 方加上二分之 k， x 减二的平方等于一啊，而 y 就 换成 k x 减二，然后紧接着都乘四，那就是 x 方加二倍的 k， x 减二的平方等于四 啊，然后紧接着再画减 x 方，加上二倍的，他按照完全平方给它展开啊， a 减 b 的 平方，那就是 a 方减二。 ab 二乘 k x 乘二，那就是四， k x 加 b 方加四等于四，然后紧接着就是 x 方加二倍的 k， x 的 平方，再减去八， k x 加八减四等于零 啊，紧接着，那就是啊， k 方 x 方啊，那这咱们就给它写成 k x 的 平方，那就是 k 方 x 方啊， k 方 x 方。然后紧接着咱们可以把这个 x 方给它提出来，那就是这是一，这是 k， 这是二 k 方，所以是一加二 k 方 啊，一加二 k 方，嗯，再提那个 x 方，再减去八， k x 加四得零 啊。然后啊，因为咱们必须要求得它啊，得它大于零，它才有两个焦点啊，就是直线与椭圆有两个焦点，就是这个得它必须要大于零啊，就是有两个两个十五根的啊， 所以要求一下，嘚它，验证一下嘚它等于 b 方减四 a， c 等于 b 是 负八 k， b 方是四，六十四 k 方减四， a 是 它一加二 k 方， c 是 四哎， a 就是 x 方前面。然后紧接着 那就是六十四 k 方，减四减八 k 方啊，这是一个整体啊。 这样吧，把这四先乘进去，那就是减去四乘一是四，四乘二 k 方是八 k 方啊， 然后紧接着再乘四啊，再乘四，那就是六十四 k 方啊，六十四 k 方，减四乘四减十六减，然后再减去八 k 方乘四，那就是减去三十二 k 方。哦，是对着呢，然后紧接着是三十二 k 方减十六 啊，有两个焦点，得大于零啊，得的是大于零的，所以你看，正好是大于零的，所以三十二可以放就大于，十六可以放就大于啊，十六比三十二，就是二分之一啊，可以放大于二分之一，所以你从这就可以知道，这个啊，得它算一下，大于零， 大于零的情况下啊，正好是有两个焦点啊，两个焦点。然后紧接着算啊，就可以算这个 a b 的 长度了啊，算一下这个 a b 的 长度，它是有公式的，这是时间长啊。 x 一 加 x 二的平方，减四倍的 x 一 x 二啊，这上前面再乘以一个根号，下一加 k 方啊，放行，然后就是根号下一加 k 方乘以 x 一 加 x 二啊，就是两根之合，这从这开始啊， x 一 加 x 二 负 a 分 之 b 等于负的， a 是 一加二 k 方， b 是 负八 k， 然后负负违章了，所以是一加二 k 方分之八 k， x 一 乘 x 二是 a 分 之 c 是 一加二 k 方分之四啊，一加二 k 方分之四。 所以啊，再紧接着代入一下就可以了，那就根号下 x 一 加 x 二，那就是一加二 k 方 分之八 k 的 平方，减去四倍的啊。 s 一 s 二，那就是一加二 k 方分之四啊，一加二 k 方分之四，然后紧接着， 然后给他画紧，我拿一张空白纸给他画紧，然后咱们可以先观察一下他啊，他一个整体， 那就是等于根号下一加 k 方，乘以首先他啊给他平方之后是六十四 k 方，让分母一加二 k 方，再给他平方 啊，这平方就是上边平方，下边平方，再减去四四一十六十六，比上一加二 k 方啊，一加二 k 方， 那么 ab 嗯的长度就化简到这了。再看一下三角形的面积公式啊，三角形的面积是二，那 ab 啊，乘以它的高高，就是从 o 往 ab 做垂直， 那这个 o 点到这条直线的一个距离哦， o 是 零零到直线啊， y 等于 k x 减二的距离啊，算一下 o 到 ab 的 距离啊，写这 o 到 ab 的 距离，那这这条直线咱们就写成 k x 减 y 减二的零啊，因为是把 y 移过来啊， k x 减 y 减二的零 点到直线的距离公式啊，首先把这个直线右边推成零，之后把零零分别带入 x 和 y 啊，距离就是用 d 来表示，绝对值和根号是固定的，根号底下就添这个 x 前面系数的平方，加上 y 前面系数的平方， 上面就把这个零零带进去，那就剩负二了啊，那就剩负二了，所以是这是二，底下是根号加 k 方加一啊，负一的平方就是一 啊，所以是二分之一啊，这三角形的面积就是二分之一，底就是 ab 的 长度高就是它 o 到 ab 的 距离啊，这就是它，这个就是底， ab 为底，他这这是高， 这就是根号下 k 方加一分之二， ab 就是 这一大堆。一加 k 方乘以根号下乘以根号下一加二 k 方分之 平方分之六十四 k 方减去一加二 k 方分之十六，再乘它啊，再乘它，然后呢？它俩 啊，他俩可以进行约分，然后二分之一乘二就是一啊，所以他他们都没了，那就剩下中间这这个 m 加二 k 方的平方分之六十四 k 方减 m 加二 k 方分之十六等于面积是根号二啊，题目中给了啊，面积是根号二， 然后紧接着可以令一加二 k 方等于 t 啊，所以就变成了 t 方分之那 k 方啊， k 方，那就是 t 减一除以二啊，那就是六十四乘以 t 减一除以二， 再减去啊。 t 分 之十六等于根号二， t 分 之十六等于根号二， 然后紧接着这上面就是六十四乘二，可以这个约分，这是三十二分是三十二，变成 t 减一分之 t 方减去 t 分 之十六啊，根号里边和根号里边相等啊，得二， 然后紧接着都乘以一个 t 方，对吧？都乘一个体方，那就是三十二 t 减三十二减去十六 t 等于二 t 方。 紧接着化减二 t 方减去三十二减十六 t 等于十六 t 再移过来，那就是负十六， t 减三十二得零 啊，那就是 t 减八 t 加十六得零啊。 t 可以 算一下啊，那就是 t 减四的平方，完全平方公式， t 方减二， t 乘四，那减八 t 加十六得零，那 t 就是 四， t 就是 四，那么一加二 k 方就是 t， 那 就是一加二 k 方 就是四，二 k 方就是三， k 方就是三，除以二。好，二分之三， k 方就是二分之三。已经算出来了啊。然后再算一下，这道题让求的是 ab 的 长度， ab 的 长度咱们已经表示出来了。在这 啊，把 k 等于这个二分之三再往里带， k 方等于二分之三再往里带， k 方等于二分之三再往里带，这是二分之三的平啊。二分之三，一加二分之三，那就是二分之五，那这是根号减二分之五再乘 啊。看一下，这啊，这是二分之三乘二十三，一加三十四四的平方是十六。哎，这上面下边是十六，上面二分之三乘六十四啊，六十四乘二分之三，约分三十二乘三啊，是九十六。 九十六除以十六啊，那就是六。在这左边是六，右边配方是二分之三乘二是三，一加三是四，十六除以四是四，这就是根号。二分之五乘以根号二，那就是根号五，那最后就是根号五。
2497小小教书匠
02:35查看AI文稿AI文稿我们看一下这道二零二五年全国一卷高考的数学题，他说设数列， a n 满足 a， e 等于三， a n 加一，比 a， n 等于 a， n 比上 n 加一，加上一，比上 n 倍的 n 加一 d。 问，证明 n 倍的 a， n 为等差数列，所以要根据他的定义证明啊， 等差数列就是一个整数， d 就是 等差数列的公差 啊。从第二项起，后一项减前一项为同一个数啊，它就是等差数列。所以要证明 n 倍的 a， n 为等差数列，就要证明它的后一项啊，后一项是 n 加一倍的 a， n 加一，减去，它 等于一个常数啊，他就是等差数列了，他就是等差数列了啊。所以咱们看一下怎么证明啊。研究这个式子，咱们可以进行啊，去分母化简啊，找最简公。分母其实就是 n 乘以 n 加一，所以每一项 都乘 n 乘 n 加一等于 a， n 比上 n 加一，这也乘以 n， n 加一，加上 n 倍的 n 加一分之一也乘以 n， n 加一啊， 都乘以它，这个等号就成立。所以你看啊，它俩约分了，所以这边就剩 a， n 加一啊， n 加一倍的 a， n 加一，这约分还剩 n 倍的 a， n 加上，这约分还剩一 啊。到这咱们其实就可以观察出来了，后一项是 n 加一， a n 加一，前一项是 n 倍的 a， n 等于一，你看后一项减前一项正好为同一个常数啊，这个常数就是等差数里的公差。那首项是谁啊？ n a 一 首项 就是 n 的 一的时候，就手相 n 的 一的时候。对，就是一乘 a 一 啊， n 都换成一啊， a 一 是三，所以一乘 a 一 就是三啊。答题， n 倍的 a n 是 以 啊，三维手相啊，三维手相，一维公差等等差数理啊，这道题就做出来了。
6131小小教书匠
02:15查看AI文稿AI文稿第五题 f、 e、 f 是双曲线 c 的两个焦点。我们先画一个图，然后说点 p 是双曲线上的一个点 角， f 一 p f 二等于六十度，那就是说这个角是六十度。又告诉我们 p f 一等于三倍的 pf 二。 那么有了这个关系，我们可以设 p f 二的长度为 m， 那 p f 一的长度就是三 m。 知道这两条边，然后他们的夹角是六十度。可以利用鱼弦定理求出来 f 一 f 二的长度。 那么 f 一 f 二的平方等于 p f 一的平方加 p f 二的平方，减去二乘 p f 一乘 p f 二，把他们都带入，就是 m 方，加上三 m 括号的平方，就是九 m 方。再减去二乘三， m 乘 m， 计算一下，等于七 m 方。于是 f 一 f 二的长度就是跟七 m。 那么求的是离心率。离心率我们用 e 来表示，等于 a 分之 c。 那现在呢？ f 一 f 二的长度其实就是焦距二 c， 他等于跟七 m。 那根据双曲线的定义， p f 一和 p f 二，他们两个做差，就是二 a。 所以说呢， p f 一减 p f 二 等于三 m， 减去 m， 也就是二 m 等于二 a。 这样的话，这个 a 分之 c， 也就等于二 a 分之二。 c。 二 a 是二 m， 二 c 是跟七 m 上下的两个 m 约掉，可以得到离心率，就是二分之跟七。选 a。
359袁来有数(高中数学)
01:11查看AI文稿AI文稿本卷覆盖集合负数、向量数列、圆锥曲线、立体几何、概率函数、导数等高考核心考点，难度适中。侧重基础与综合应用， 单选侧重基础运算，如集合交集负数、虚部向量、垂直条件等。差数列通向双曲线、离心率、三棱锥外接球条件概率分段函数零点为难点， 多选考察概率统计性质。抛物线与圆综合函数极值与零点填空涉及正态分布三角函数，其有性函数横成立。解答题以解三角形、立体几何、概率分布、椭圆综合倒数压轴为主，考察逻辑推理与计算能力。 解题需注意公式准确运用树形结合与分类讨论圆锥曲线与导数题要规范步骤，简化运算，确保基础题不丢分，难题争步骤分。需要答案解析评论九八五。
07:41查看AI文稿AI文稿希望这个系列能帮助平常成绩不太好的同学能在基础分上有所突破。今天依然是双曲线，给大家选择了六道高考真题啊，依然是基础题型。 先看第一个，已知双曲线的虚周长是十轴，长的根号七倍，则 c 的 离心率是多少？根据题我们可以知道，虚轴是十轴的根号七倍，那就是二 b， 应该是等于二倍的根号七 a， 也就是 b 等于根号七 a， 又因为 c 的 平方是等于 a 的 平方加 b 的 平方的，所以我们可以得到 c 的 平方，它就等于 a 的 平方加上根号七 a 的 平方，它是等于 八 a 方，于是我们可以得到 c 是 等于二倍的根号二 a， 于是它的离心率 e 就是 等于二倍的根号二 选 d。 这样的话，第一道题就搞定了。接下来我们再看第二道题，已知两点啊，这个 c 呢，在这个双曲线上，则三角形 a、 b、 c 的 面积。这个图我给大家简单的画了一下， ab 竟然是三角形的面积，我们要把这个边也给它找出来， 这样的话注意审题。我在画图的时候呢，画的是它的标准方程，但是这个里边的 x 和 y 分 别有取值范围，于是我们发现这个取值范围其实只对应了这一段， 也就是说这个 c， 其实这个点啊 c 点是在这一段上标红的这一段上，那么也就是说，而这个三角形的面积呢，就是 三角形 a、 b， c 的 面积，它其实是等于二分之一的 a， b 乘以一个 d， a， b 是 个定值，这个 d 是 谁呢？也就是这个 c 点到 a、 b 所在的直线的距离。 那么因为我们看这个 ab 啊，它的直线已知两点了，那么 ab 这条直线我们也可以确定出来，这个 ab 就是 y 等于 x 加一，根据两点间的这个两点的坐标。知道了啊，我们确定它的这个直线的方程还是比较容易的，那么我们发现这个双曲线的渐近线是 y 等于 x， 正负 x 啊，其中一个就是这个，就是正负 x， 我 们只取一个就可以了，那就是 y 等于 x。 那 么接下来现在要确定这个三角形的面积的最大值和最小值的问题，有没有最大值或有没有最小值，那么就取决于 d 了。 那也就是说在这个标红的这一段上的点到 ab 的 距离有没有最大距离或有没有最小距离。根据图我们就会发现最大距离在这里就是这个这个点 一定是在这里取得的，所以它有最大值。现在我们可以确定了，最大值是一定有的，但最小值呢？我们知道这个 a b 所在的直线和渐近线是平行的关系， x 一 和 这两条直线是平行的关系，那也就是说随着这个 c 点，它是逐渐在靠近这个渐近线，但永远不会相交，所以它有最大值，但是没有最小值，所以这道题选 a， 其实最大值我们可以求来这个题稍微变化一下，就是问你这个三角形的最大值是多少，那么就是点在 这个顶点的时候。好了，我们再看下一道题，已知双曲线的两个交点分别为零四和零负四，根据这个我们可以知道这两个交点他们的 c 是 等于四， 并且焦点是在外轴上。再根据点在这个双曲线上，我们可以直接设出它的方程是 a 方分之外方减去 b 方分之 x 方，它是等于一的。 这个时候 a 是 大于零， b 也是大于零的。把点代入，把负六和四这个点代入，我们就可以得到十六比上 a 的 平方减去三，十六比上 b 的 平方等于一。再根据它的 焦点是焦距、半焦距 c 是 等于四的，我们可以得到 c 的 平方是等于 a 的 平方，加上 b 的 平方，它应该等于十六。 解这个方程组，我们就可以得到 a 的 平方是等于四， b 的 平方是等于十二， 于是 a 等于二， b 等于二倍的根号三。这样的话，离心率 c 就 等于 a 分 之 c， 离心率 e 等于 a， 分 之 c 就 等于二。 答案，选 c。 接下来我们再看下一道题，已知点三，零到双曲线的一条渐近线的距离为多少？现在根据已知条件，我们可以知道， a 是 等于四， b 是 等于三，并且交点在 x 轴上。所以这个双曲线的渐近线方程啊，是 y 等于四分之三 x， 整理一下就是三 x 减四， y 等于零。然后我们再有点到线的距离公式， 点是三零这个点，然后根据点到线的距离公式可以得出， d 是 等于，底下是根号下三的平方加四的平方，上面是三乘三，减去四乘以零， 最后得的是五分之九。接下来有的同学选 a 啊，有的同学就会说了，那你这个间间方程有两个，为什么选这个同学，他如果变成负的时候，也就这个地方变成正值， 而我们知道这个点啊，它的外值是零，所以无论这个外，前面的这个符号啊，是取正还是取负都不影响它的距离，所以其实这个点到这两个渐近线的距离是相等的，因为它这个点啊就是在 x 轴上。好了，这道题就这样，下一道题 已知啊， f 一 f 二是这个双曲线的两个交点， p 为双曲线上的一个点，并且角 f 一， p f 二等于六十度， p f 一 等于三倍的 p f 二，则 c， 这个离心率是多少？现在根据已知条件，我们发现要求离心率我们要得到的是一个比值，就是 a 分 之 c， 它的比值。那现在已知条件里边并没有一个具体的，就是这些线段的长度都没有具体的数字，我们自己先设一个，那如果 p f 二， 它要是等于 m 的 话，那 p f 一 它就应该等于三 m。 现在我们还知道角 f 一 p f 二是等于三 m， 现在我们还知道角 f 一， 它就应该等于三 m， 现在我们还知道角 f 一， 它就应该等于六十度，那么看它眼不眼熟两条邻边 和它的夹角，那么这样的话，第三条边也是我们要得到的。 f 一 f 二可以根据余弦定理得到，它就应该等于根号下 两边的平方之和就是 m 的 平方，加上九 m 的 平方，再减去二倍的三 m， 再乘以个 m， 再乘以 cosine。 六十度解得它的值应该是根号七 m， 这样的话，所以它的离心率 e， 它就等于 a 分 之 c， 也就是等于二 a 分 之二 c， 这个二 c 就是 f 一 f 二二 a 就是 它们两个之间的 g 的 角差的绝对值，它就应该是等于二 m 分 之根号七， m 等于二分之根号七，这道题也选 a， 我 们再看下一道题啊，已知双曲线过点根号二，根号三，离心率为二，那么根据这个点是在这个上面的，那么我们就可以得到 a 方分之二 减去 b 方分之三是等于一的。再根据 e 是 等于 a， 分 之 c 也就等于 a 分 之。根号下 a 方加 b 方，它是等于二的， 于是我们可以得到 a 方加 b 方是等于四， a 方于是 b 方等于三， a 方 和这个一组合， b 方等于三， a 方把 b 方等于三， a 方带入到这个，我们就可以解得， a 的 平方等于一， b 的 平方等于三。所以它的标准方程就是 x 的 平方减三分之外方等于一，答案选 b。 好了，同学们，今天给大家分享这六道题，就这样啊，希望同学们利用好接下来的十几天。呃，在基础知识方面能有所突破。好了，今天就这样，拜拜。
195高中有数
08:02查看AI文稿AI文稿好，我们今天接着再看一道二零二五年全国二卷的第十六道题，他说给你了一个椭圆的方程，离心率等于二分之二，告诉你了，长周长为四，然后让你求第一位，让你求椭圆的方程。首先我们画一个椭圆， 我们要知道这个椭圆的长周长已经给你了，首先我二 a 是 等于四的，那我 a 就是 等于二的离心率等于一，比 e 等于什么？ c 比 a， 那 首先我 a 已经告诉你了， a 等于二了，那我 c 就 等于多少？ c 是 不是就直接等于根号二，对吧？我把它带进去之后，我应该等于二倍根号二，我 a 等于二，那我 c 直接就等于什么？根号二吧， 那我 b 方是不是等于什么？ a 方减去 c 方等于二，那我这道题的 b 是 不是就等于根号二？那这道题椭圆方程是不是 x 平方比上四，加上 y 方比上二等于一？这是我们知道椭圆的第一问，对吧？ 好，然后我们接下来接着看这个第二本。第一本我们已经把椭圆方程求出来了，那第二本让你求这个 ab 嫌长，首先读一下题，有个椭圆，对吧？然后有一条直线过这个零到二， 这个点交于椭圆 ab 两点，然后 o 为坐标原点所得的一个三角形面积，这个面积为多少啊？为刚好二， 对吧？这个面积为杠二。那首先我们要想，如果求弦长，我们就要得到点的坐标，那与，嗯，第一步你想得到点的坐标之后， 那我应该怎么得到点的坐标？我就肯定得连力进行方程组吧，因为我这个直线 l 与这个椭圆 c 是 不交于两点，那我进行连力之后就会得到什么一元二次方程呗， 这个是我们今天的一个套路题，一元二次方程完事了，必须要伟大定律，你就怎么的你都得伟大定律，你蒙也得蒙伟大定律，对吧？ 然后完事了吗？没完事啊，这样我才这样，我就得到了 a 和 b 之间的关系吧，是不是坐标之间的关系？因为有 x 一 和 x 二、 y 二这些东西，对吧？那这个时候让你求前长， 那我弦长 a b 怎么修？我是不得用这个面积去修，对吧？我这个面积去修完之后，我就得用到这个直线的，什么我也得用到这个直线的斜率吧，对吧？那我点 o 到这个直线的距离，是不是可以利用 三角形面积公式是不是二分之一底就是 ab 再乘上什么一个高啊？这个时候等于根号二，我们利用这个等式是不是就可以把 ab 的 弦长求出来了？那好，我们来看一下这道题具体应该怎么做。首先按照我们第一步思路去干嘛？ 标坐标，那就得设点，一般都是直接设点，对吧？设 a 点为 x c， 逗上 y 一， b 点为 x 二，逗上什么 y 二，然后之后呢？对吧？连立方程组呗。把这个直线整出来，那首先这个直线 他得考虑这个直线的斜率存不存在。解析几何最重要的一点，大题最重要一点就要考虑这个直线的斜率， 直线斜率到底存不存在？首先我们可以知道这个一定过零的负二，那这个直线必须要存在的，如果不存在的情况下，他是不是就与 y 轴平行了，对吧？ 嗯，你看他不存在，是不垂直，这平行了，那不会得到一个三角形，所以有这道题的 条件就可以知道这个斜率必须是存在的，所以我们不需要考虑斜率不存在情况，但是有的题不是，有的题必须要考虑斜率不存在 的问题，所以那这道题就可以直接设这个直线的方程。 y 直线的方程，为什么 y 等于 k x 减二，那就连利呗，对吧？坐标关系怎么办？连利，那连利的话就是 y 等于 k， x 减二， 比上什么 x 平方， x 平方比四，加上 y 方比上二等于一进行一连利，那我消 y 就 可以得到什么 二 k 方加一倍的 x 平方减去八 k， x 加四等于零。那这个时候我们是不是就要求弦长及点 o 到 ab 之间的距离？ 我们已是是不是已经把点设出来了？那 x 加上 x 二两根之合，对吧？那是不就等于八 k 比上什么二 k 方加一， x 一 乘 x 二呢？是不就等于二 k 的 平方加一分之四，对吧？这个已经知道了， 那我 ab 的 弦长应该怎么办？ ab 的 弦长是不是有弦上公式？弦上公式是啥？是不是一加上 k 方分之括号 x 一 减去 x 二啊， 对吧？然后我们进行代入，是不等于根号下一加上 k 方，对吧？乘上根号下的多少？ x 一 加上 x 二块平方减去四倍的 x x 二，这是我们我们的先乘公式，这个是必须要背下来的，对吧？我们把它代入就可以得到一加上 k 方乘上 根号直接去掉，直接咱就直接画个减，那就是二 k 方加一分之多少四倍的根号下二 k 方减一， 这个时候我们就要知道了，那我这个点 o 点到这个直线的距离是不为 d， 对 吧？是不可以为 d？ 那 d 的 坐标是不是就等于负二的绝对值？比上什么根号下 k 方加一， 对吧？等于的是什么高？下 k 方加一分之二，那我是不是要得到弦长？那我弦长就要想到谁，我就得想到斜率，那我斜率是多少，我是不是就得求出来？所以我得利用这个面积之间的关系去把斜率求出来，才能进而得到什么得到弦长的问题，对吧？ 那这道题我们直接利用三角形面积公式 s 三角形是不就等于二分之一？乘上 ab 的 斜长，乘上一个 d， 它是不就等于 二分之一？乘上一加上 k 方乘上二 k 方加一分之多少？四倍的根号下二 k 方减一，再乘上一个什么 k 方加一分之二， 对吧？然后通分呗，通分化解，就等于什么二 k 方加一分之多少？四倍的根号下二 k 方减一等于啥？根号二呗，对吧？这个时候我们进行整理的话，把根号消掉去，应该是四 k 的 四次方，加上十二 k， 应该是减， 这个地方应该是减去十二 k 方加九应该是等于零的，这个时候我们能解出来 k 方是等于多少二分之三的，对吧？ k 方等于二分之三，那我是不是就可以直接把 k 方进行代入啊？那我弦长 a b 是 不是就等于啥呀？根号下一加上 k 方，对吧？根号画大了， 把这根号缩小点，是不是一加上 k 方乘上谁呀？乘上弦长在哪呢？是不是在这呢？对吧？把这个 k 一 带入，是不是乘上二 k 方加一分之啥呀？四倍的根号下二 k 方减一， 这个时候我们化简就可以得到根号下一加上二分之三乘上，二乘上二分二，二乘上二分之三 加一。比分之四倍的根号下二乘上二分之三减一，对吧？这个时候我们就可以得到这道题等于根号五，所以 ab 的 弦长是等于多少的根号五的？
49高中数学旺仔老师
