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04:47查看AI文稿AI文稿在许昌想考公务员有哪些冷门专业？上一期跟大家分享了分享在许昌今年省公务员考试招聘的热门专业，好多朋友发私信说，你少宝，你说那些专业俺学的不是，俺是不是都不能报考了？能， 那些是常见，还有一些不常见，实际上一些不常见的专业在考公务员时候还是好考的。原因很简单嘛，怕人少，竞争没有那么激烈。那说吧，今天给大家分享六个冷门的冷屁的考公务员的专业。 首先第一个就是统计学跟数学，哎，你看学好数理化走遍天下都不怕，即使我们没有成为一个数学家，我们能回来考公务员啊。那咱许昌今年哪些单位在招了？主要就是审计局、统计局，发改委。 嗯，他们进去之后干的工作还是数据分析，数据整理，统计这一块还是他的专业。 第二一个冷僻的，就是也不算冷僻吧，在省考里边算冷僻的就是公安跟这个行政。咱都知道，学这个专业的一般都是进校的孩子， 哎，你看他们如果是毕业的时候可以参加公安联考是吧？走招警便捷招警那个通道， 如果那个通道发挥实力或者说不满意的话，还可以回来考工，而且干的还是他的本专业，而且还是一个警察，还是治安呐，刑侦呐，记侦呐这方面。 第三一个冷僻的就是叫农林一木，包括水利这一块，你看这就是很少见了，农林、农业、水产水利序幕。 整体来说，学这个专业人就不就不多，因为他是一个艰苦专业吗？但是每年呃，咱全河南省 呃有就有些单位就拿些农业局、水利局，包括这个自然资源自然资源局， 嗯，包括还有啥树木站等等，这些单位都招聘这些人员，而且他们干的还是他们本专业的工作，基层侧重基层农业啊，水利管理这个水产管理等等方面。 呃，咱雁陵去年我没有记错的话，去年就招了一个林业的。花木大乡嘛，省考招了这样一个岗位 好。第四一个冷僻的就是我们管他叫新工科，机械类啊，电器类啊，包括自动化类啊，你看这个专业也是进可攻退可守啊， 学习好的话可以去社会上自主就业，不想去社会上就业的话，那我们同样可以回来考工。 那咱学长今年他还单位在招了，主要就是工信局。嗯，市场监督局，包括应急管理局，他们去了之后干的工作还是设备的管理啊，安全生产这一块也是他本专业的工作 好。第五大类就是马哲，马克思主义理论跟哲学。哎，这个就深奥了， 咱学长今年拿下单位再招了，那就是党校啊，社会宣传部，包括这个同站部，他们进去之后呢， 还是从事本专业的工作，理论研究啊，思想政治工作呀，这方面好。以上这六个专业就是咱学长今年省公务员考试冷门的专业，实际上有些时候像这冷门专业， 他的难度是要远远低于那些热门专业的。比如说你学了一个计算机，学了一个法学，学了一个韩语言文学。那你去参加省考的时候是很多岗位在招，但同时也有很多跟你一样的孩子在报考， 一个岗位招一个人，那三五百人去报名现在是个很正常的现象，但是你看这些冷门专业，你比如说像马哲，像农林语木，他招一个岗位可能符合报名条件的也就是二三十个人， 你看这个竞争压力是不是一下就变小了？好，以上是咱学长今年生物公园招聘考试冷门的专业一共是六个， 如果有家长想让孩子未来走这条路，有什么问题不明白的老规矩，点赞、收藏、转发，把你的问题打在评论区！
116许昌郑少博老师
07:30查看AI文稿AI文稿大家晚上好，昨天我们讲了压轴题第十五题，今天我们讲二模的这个综合与探讨，我们先看题目，四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，然后紧接着做了两个垂直，问你 a、 e、 c、 f 的 形状，我们观察一下，这一看就像是个矩形对不对？矩形的话，我们只需要证明它三个角是直角，就可以证明它是一个矩形。那具体怎么证呢？ 因为这个它是菱形，所以说它是肯定是平行吗？ a、 d 平行于 bc， 那 么这个这个角 d， a、 e 是 不是和它就为同旁内角，同旁内角互补，那这个角为九十度，那这个角也为九十度，那现在我们有三个角为九十度的话，是不是证明出来它是矩形了？我们来看第二问，首先 a、 b、 e 逆时针旋转得到 a、 h， e， a、 h， g 对 不对？然后点 e、 b 分 别对应的是 g 和 h， 紧接着他说 a、 h 经过点 c， 也就是目前这个情况的时候，他问你 c、 h 和 md 的 关系， c、 h， 我 们找到它 md， 你 会发现目测一下它俩好像是相等的，但具体怎么相等呢？我们来证明一下。首先就是你这个三角形，你这样子移过来， 你会发现这个 ab 和这个 ah， 根据旋转性质，它们是不是相等的？同时因为菱形 ab 是 不是等于 ad 啊？那也就是说这个 a、 h 和这个 ad 它们两个是相等的。紧接着，呃，因为菱形的缘故， ad 是 不是也等于 cd 啊？它四个边是不是都相等？那么这个角 d、 a、 c 是 不是也等于这个角 a、 c、 d 呢？对不对？等边对等角。然后紧接着我们再找一个角，你会发现这个角 d 是 不是等于角 b 啊？菱形对不对？然后那这个角 b 它是不是旋转？旋转旋转到这个 h 了？也就是说现在我们有一组对角， 一组边外带上这个对，这个对角对不对？你会发现它这是一个 a s a 全等的一个三角形，也就是我红红笔圈起来的这个 a h m 和这个蓝笔圈起来 d， a c 它们是全等的对不对？全等之后我们能不能证明出来 a c 和这个 am 他 们俩是相等的，同时我们知道 a h 和 ad 是 相等的对不对？我写在这里了，那么我让下减上行不行？也就是 a h 减去这个 ac 和这个 ad 减去 am， 他 俩应该相等的。最后得出来 c h 和 md 是 这样的。我们重点来看第三题，就是第二问，当 g h 和 cd 垂直的时候， 我们大家注意这个 a h g 在 移动的时候，首先 h g 和 cd， 这是第一种垂直的情况，大家可以观察一下。紧接着我们继续旋转。 好，现在是第二种情况， h g 是 不是跟 cd 又旋转出来了？呃，他们现在又垂直了。只要我们能在脑子里想象到这两个场景的话，接下来 如果你能想象出来这两种场景的话，那么接下来计算会变得很简单，我们先把数值标上吧， a b 等于五， b e 等于四，那么根据勾股定律， a e 这个菱形的高是不是就等于三啊？ 我们先看它，最后求的是 amn q， amn q， 你 发现它是个不规则的四边形对不对？我们大家没有学过这种不规则的四边形的面积吧？所以说我们要分类讨论先，首先先画出来草图，再根据旋转性质、锐角三角函数和相似计算出来这里面每一个线段的数值。 然后因为这个三四边形它是不规则的，所以说我们要用三角形的和差来计算，也就是说我们之前经常算的那个求阴影部分的面积就是不规则的图形，对吧？我们先看第一种情况，首先， 嗯，如果选到这个情况的话，大家会发现这个阴影部分的面积其实就是这个大三角形 a h g， 减去这个小三角形 a m g 和这个三小三角形 q h n， 对 不对？ 在这里了，那也就是我们要算哪些值呢？首先你要算出来这个大三角形的底和高，这个我们不用算，为什么呢？因为这个大三角形是不是这样子移过来的呀？那这个高就是四，这个底就是高就是三，底就是四，对吧？那这个 g h 我 们 g m 我 们得算，然后这个 n h 我 们得算， q n 我 们得算，也就是我们要算这三条线。 紧接着我们先看，首先这个高 a e， 它等于这个 a a g， 然后因为这个菱形它的高都是一样的，那你这样做一个高，它是不是应该等于这个 a e 都是三，对不对？然后这个 g n 是 不是它也作为这个菱形的高，那这个 g n 是 不也等于三呀？所以说我们得出来 g n 是 等于三的， g n 等于三， 这个 g h 总共是多少来着？我们是不是 b e 那 个啥旋转过来的，也就是说这个总共是四，那这个 g n 是 三，那我们能不能得出来 n h 其实是一啊？得出来一个底了。紧接着你要知道这个 三角形在这个三角，在这个三角形 a b e 里面，这个 b 它的三角函数，它那的对边比上里面是不是三比四呀？ 那你看这个 h 是 不是和角 b 是 相等的，也就是它的对边比上邻边也是三比四，对不对？我们刚刚算出来这个 n h 是 不是也能表达出来了？ q n 比上 n h 等于四分之三，那么 q n 是 不是就是四分之三？乘，这个 n h 也就乘一，也就是四分之三。 紧接着我们算另一条线，我们是不是该算 g m 了？呃，我们观察一下这个三角形在这个这条线是不是和这个角 d 是 相等的， 那这个角 d 是 不是和角 b 相等的？也就是说我这个 g a m 这个角算还是？我也是知道的，他的贪利特是不是也是对边？这个对边比上邻边是三比四，对不对？那这个 ag 我 们本来知道它是多少呀？它是三， 那么也就是说这个在这写 g m 比上 ag 等于四分之三，那么这个 ag 我 们知道是三，那这个 g m 是 不是就是四分之三乘三啊？也就是四分之九。 到到目前为止，我们现在知道了我们需要的所有的线段，那直接列式子吧，那就二分之一，这个四乘上这个三，再减去这个二分之一。四分之九乘上这个三，再减去这个二分之一乘上四分之三。一乘上四分之三。 那我最后得出来答案，四分之九。那第二、第二种情况的话，和第一种情况是比较相像的，就是这个，大家注意这个大三角形，然后减去这个小三角形的面积，对不对？减去这个 h a m 这个小三角形的面积，嗯，那我们同样也需要算出来这个 h m 的 长度，也要算出来这个 a g 的 长度， 对吧？那 n h 长度，我们首先先算出来了 n h 长度，其实就是这个 h g 加上这个高，对不对？也就是四加三，也就是七，这个 q n， 我 们看一下 q n q n 是 不是这个对边比上邻边，也就是也是三比三，那么这个长度我们知道是七，那这个长度就是四分之三乘七就是四分之二十一， 那这个 ag ag 我 们不用求 ag 是 不是旋转过来的，所以说这个 ag 还是三 m h m h， 我 们知道这个角，它是不是这个角？ amg 是 不是也等于角 b 啊？那它是不是也是这个角？ 不好意思啊，这是内错角 amag， 它是等于角 b 的， 也是对边角里面等于三比四。好，那么我们知道这个 ag 不是 三吗？所以说这个是不是 就应该是四分之九？这个总共长度是四四，减去四分之九，是不是最后得出来答案是四分之七啊？那最后我们直接列式子就行了，这个大三角形的面积减去这个小三角形的面积，最后就剩下来的。
61小王教数学
01:13:23查看AI文稿AI文稿同学们好，今天呢，咱们就重点讲一讲刚刚考完的二模数学解答题。本次二模式题呢，整体比一模要简单不少，难度比较适中。小题呢，大多都是基础题，上手比较快，压轴题虽然有区分度，但是绝对不是偏难怪的题。 解答题虽然预算量稍微大一点，但考的都是咱们反复强调，反复练习的核心考点。那相信只要大家把基础掌握扎实，预算的时候仔细认真啊，步骤书写规范，那得分率也一定会比较高。 这其实呢，就是咱们高三最后冲刺的一个好信号。嗯，我相信只要大家呢沉得住气，一步一个脚印啊，查漏补缺，把基础夯扎实，把高考真题研究透彻，那我们每一位同学在接下来的高考中，一定会啊，考到考出满意的成绩。 接下来呢，我就对本次的解答题进行逐个的去讲解。好，接下来呢，我们看一下解答题的第一个，我们先读一下题， 已知锐角三角形，哎，这是一个锐角三角形，所以我们做题的时候一定要注意细节。然后三角形 a， b， c 中边 b 呢是二，然后我们满足的等式呢是二 b 口塞 a 加上二分之 a 等于 c。 好， 那我们第一问呢，是要解决角 b 的 大小关系， 那这个边 b 是 二，边 b 是 二，然后我们给的等式呢是二倍口算 a 加上二分之一 a 等于 c。 我 们知道，在解直角三角形的时候，要么你用正弦定力，要么你用余弦定力啊，这个地方呢，其实用余弦定力应该是不太好处理的， 那用不了余弦定力，我们就用正弦定力，在用正弦定力的时候，我们注意它必须得是其次的，什么叫其次呢？就左右两边呢，你含 a 含这个边长，它的次方数都是一次一次，那这边它没有边， 所以你在利用正弦定的时候就要啊，就要注意一下，那我们知道在这个地方呢，已知条件中， b 是 二，我们能不能把这个二给它转化成边 b 呢？ 一旦我把二转化成边 b 以后，我这个式子就非常明了了，就可以实现边角互换，那么因此这个式子呢，它就可以写成是三以 b， 口三以 a 加上二分之一的三以 a， 然后等于三以 c， 那 这里这时候我们利用这个两角合一差的正弦，那么三以 c 呢？我们知道它等于什么呢？它等于三以 a 加 b， 对 吧？那么 a 加 b 展开的时候， a 加 b 展开的时候，我们会出现一个三 a， 口三 a 加上口三 a 和三 a 这个式子，那么跟左边呢，可以相互抵消掉 啊，其实第一位呢，相对来说是比较简单的啊，是比较简单的，那么这个啊，这个抵消掉以后，我们剩了这两个形式。 好，我们知道三 a 呢，肯定不会为零啊，正弦正弦值肯定是大于零的，所以我们直接得到了口三 b 等于二分之一。 我们知道呢，在三角形中， b 的 范围是零到派，那因此这个 b b 呢，直接就是一个三分之派六十度。好，所以第一问是很顺利的解决了， 那接下来我们再来看看第二问，第二问是一个取值范围问题，我们一定要啊，考虑到锐角三角形的问题，那么对于这个式子而言呢，我们看我们的目标哈，我们目标呢，是啊， a， c 分 之 a 方加上 c 方，对吧？那么他拆分完以后是 c 分 之 a 加上 a 分 之 c， 好， 这是我们的目标。我们思考这样的问题，如果我能够把 c 分 之 a， 这个值啊，我设出来， 我试啊， t 等于 c 分 之 a， 如果我能把我 c 分 之 a 射出来以后，能把 c 的 范围求出来，我们的目标呢？我们的目标式子其实就是一个对勾函数，那它 范围就非常清晰明了了。那因此我接下来的目标呢，就是去解决 a 和 c 它们两个的啊，曲值范围问题， 曲值范围问题，那如何来解决呢？还是用到了正弦定，那么边之笔就是正弦之之笔， 我们知道角 b 呢，就等于 side b 加 c 啊， b 加 c， 然后我们把这个式子解决了，那么最后的目目标就非常清晰了，那么 b 加 c 呢？用两角和的正弦给它拆开是吧？那就是三以 b 啊，三以 c 乘以啊，口三以三分之派 啊，加上口三以 c 乘以三以三分之派， 好，这里面呢，都转化成 c 的 一个范围， c 的 一个范围 啊，所以目标的 a 除以 c， 它最后的化简结果呢，就是应该是一个二分之一，加上多少呢？加上二分之根号三乘以 太平洋 c， 那 么这里面实现了边角互换，就我们在给定的题目中，如果出现锐角或者是钝角的话，那一定要想到边角互换，因为你在解决这个问题的时候，你没有办法去体现这个锐角。 然后我们看这里面呢，是一个含参的，是太平洋 c 分 之一，那我此时就是在锐角三角形啊， 在锐角三角形中，我的 c 角的范围应该如何来求呢？我 c 肯定是大于零，小于二分之派，那同时我们还要保证一个 b 角，是吧？啊， b 角是给的，不是保证 b 角，是保证 a 角， 是保证 a 角，那么 a 如何保证呢？我们知道 a 加 c 呢，等于多少？ a 加 c 等于三分之二派， 所以啊，这个 a 他 也是零到九十度，所以是三分之二派，减去 c 大 于零，小于二分之派，才能保证每一个角都是锐角。因此解的结果呢， c 是 大于啊六分之派，然后小于二分之派。 那么在啊， c 的 范围确定好以后，我们看到 tangent c 的 范围就出来了，它是三分之根号三到正无穷。那，因此这里面的 tangent c 分 之一， 碳的 c 分 之一，它所属的范围就是零到根号三，那进而算出 a 除以 c 整体的范围啊，零带进去啊，零带进去，这是碳的 c 分 之一，去近于零，然后就是二分之一，然后最大值是二分之根号三，那就是二。 那因此呢，我们此时把 a 分 之 c 这个问题解决了，那我们的目标呢？啊，我们的目标可以看成是一个啊， 这个，我们刚才设的 t 等于 c 分 之 a， 对 不对？然后我们的目标呢，其实它就可以等于什么呢？等于 t 啊，等于 t 加上 t 分 之一。哎，这是一个非常典型的对勾函数，对吧？对勾函数，那我们求出对勾函数的值域就行了。 好，这是一个对勾函数，我们发现呢， t 在 一的地方取得了最小值，这个二分之一和二，对于这个对勾函数来说啊，它刚好的值相同，相同啊，所以 t 加上啊 t 分 之一，它所属的范围应该是一个二到 啊二带进去，是吧？二加二分之一就是二分之五。好，那因此本题的答案就是二到二分之五，也就说是啊 a 方啊，加上啊 c 方 和 a， c 的 范围就出来了，就是二到二分之五啊。那同时呢，我们等号成立的条件呢？是当 t 等于几啊？ t 等于一，也就是说 a 除以 c 等于一， 实际上是一个什么三角形，等边三角形。最后是啊，因为有一个六十度，所以又 a 等于 c， 所以 是一个正三角形。 好，那么本期呢？第一问，实际上是啊，大家是很容易拿到分的。那么第二问呢，实际上是一个切换，就是我们看到这个复杂的这个式子，我们要给它转化，转化成 a 分 之 c， 也就是边之间的关系，这个的话，实际上是一个简化形式 啊，你看到 a 分 之 c 或者是 c 分 之一以后啊，你去求出这个范围，那最后 这个这个转化成函数化了，转化成函数化了。那其实呢，我认为同学们在考场上呢，有的同学他能想到把它拆分出来，拆分出来是 c 分 之一加 a 分 之 c， 有 的同学呢，可能想不到，那如果我们想不到这种 做法啊，我们想不到求 a 分 之 c， c 分 之一的范围，那该如何处理呢？那我们接下来讨论第二种方法，用第二种方法来做 好。那么这里面呢，在第一问中呢，我们说角臂呢，是一个啊三分之派，角臂是个三分之派。我们啊再给大家讲一种方法，就是，呃，我们思考这样的问题， 他这个问题呢，实际上就是已知边和对角的问题，然后去求取值范围，那这个范围相对来说呢啊，通过边角互换，你看 a 方 c 方，他就比较麻烦了。 已知边和该边的对角，我们首先想到的是余弦定力啊，是余弦定力，我们看到余弦定力呢，其实它能出现我们目标中的 a 方， c 方，对吧？好，我先把尺子划剪， 这个地方呢，是啊，等于 a c。 哎，我们发现 a c 和 a 乘 c 之间的关系如下，那因此我就在想，我的目标呢啊，我的目标是不是也可以去替换，也就是说它能不能简化一下呢？ 这个地方是 c 方啊，这个地方是 c 方，好，也就说 a 方加 c 方，然后除以 a c， 所以呢，他就等于多少四加 ac 除以 ac。 哎，那这个地方其实就很好办了， 对吧？那我的目标通过余弦定律间接的去化简以后呀，我的函数，哦，我的函数是比较简单的，那实际上我可以转化成求 a 乘以 c 的 曲值范围 啊，那其实就是我们通常所讲的经典例题啊，已知边和对角求周长面积取值范围的问题，对吧？这是我们在基础年级在学习的时候，经常会老师会强调的这个这个这个问题啊，经典经典题型。 那接下来我们看 a c 的 话，那我这里面已知啊，已知角 b 和边 b， 我 就是外接圆的半径，其实是可以求出来的，二二 r 三 a， 是 吧？然后这个平方啊，三 b。 好， 所以我们看，那么 b 除以三 b 啊， b 除以三 b， 它等于二 r， 对 不对？那就是二除以二分之根号三， 所以应该是一个根号三分之四，根号三分之四，那么就是 r r 外接圆以后要用到的，是吧？那因此这个式子的它就写成是多少呢？它就写成是一个啊，三分之十六啊，乘以三 a 啊，这个地方写错了，应该是三以 c， 三以 c 啊，我的目标是 a c 嘛，是吧？然后我这里面再写了三以 c， 那最后的话，我就给它转化成啊，同一个角，比如说 a 角呢，我就转化成三 e 啊， c 加上三分之派啊，它们两个是相等的，是吧？ 啊，因为这里面是三 e 啊，等于三 e b 加 c。 好， 那么转化成这样的一个形式以后啊，转化成这个形式以后，我们要学会用我们的啊集 这个计划合插合插画机，那我们知道呢，就是啊， sin alpha 对 不对？然后乘以 sin beta， 它等于什么呢？它等于二分之一的啊， cosine alpha 减 beta 减去口塞 r 加悲叹啊，这个你心里边得有这个余弦，是吧？啊，头没有了，然后剩两尾巴除以二，所以最后的这个式子呢，就直接就写成是三分之十六啊，乘以二分之一， 然后再去乘两角，两角这个差，那就是口塞以二 c 加三分之派， 好，那这样的话，其实我的 a c 范围出来以后，我的目标是不是也出来了？那最后我们上一这个步骤中呢，我们说过啊， c 的 范围，那么 c 的 范围呢？它，是啊，它是六分之派，对不对？因为锐角嘛， 到二分之派啊，所以我们看一下这个二 c 啊，加上三分之派，它的一个范围是多少呢？ 他一个范围？是啊，三分之二派，然后到哪里啊？这个是二 c 啊，就是三分之四派，对不对？好，所以我们看这个，这个式子啊，这个式子就最后就是啊，三分之十六啊，乘以二分之一 啊，再乘的这个是这个就变成了多少就变成了，是啊，二分之一减去口算二 c 加上三分之派，对不对？然后那你现在的话啊，那你具体来说，后面就是运算的过程了，其实就是，那你 啊，口算以二 c 哈，他加上啊三分之派，他的范围，因为你这个角是三分之二派到三分之四派，那我不妨呢，去去画出余弦函数的一个图像，对吧？ 好，大概在这个位置，所以它的范围呢，应该是一个啊，负一到二分之一的一个范围，负二分之一啊，所以我们去进而去算出整体的范围。 好，这样算，算出整体的范围，那么这个整体的范围啊， a c 的 乘积最后算出来的范围呢，应该属于，是啊，三分之八到四啊，三分之八到四，也就是说你把这个负一带到这个位置，然后是负一带到这个位置是多少呢？是 二分之三，二分之三，对吧？因为二分之一啊，加上二分之三，所以说得到这个值啊，得到这个值，就两个值，分别带入进去就可以，这个地方没有任何难度。那接下来我们再来看我们的目标啊， 此时我们的目标呢，就是啊， a 方加 c 方，然后去除以 a c 的 时候啊，等于这个四除以 a c 加一，那它所属的范围，那就是二到多少呢？二到二分之五。 好，这个地方啊，这个地方有点小问题，有点小问题，你看这个负一啊，这个负一带进去的时候在这是负一，是吧？我们给大家算一下啊，三分之十六乘以二分之一，再乘以二分之三，实际上是一个四啊，这个是 b 区间，对吧？ 然后左边负二分之一带进去的时候，他就是一个开区间，然后我们最后在求的时候四带进去是二，我们是一个，因为这个是单调递减嘛，对不对？所以我们四带进去的时候是二，然后三分之八带进去，二分之五是开区间。好，那这个题就解决了， 那啊，我写的这个过程相对来说是比较简单的，当然你要想到了啊，即划横等式对不对？想想到的是这个和差画机的这个公式，那他就很简单，如果你想不到的话，他就比较麻烦。所以就是你在做题的时候，你的思维如果是 思考的多一点，那你预算就少一点，如果你思考的少，那预算的多啊，整个来说，十五题是实际上是非常基础的问题，那基础这基础的知识点中呢？更考察大家的这个啊基本功。好，我们再来回头看一下 啊，我们第一种方法呢，是啊思这个方法比较简单，但是呢就是你前期的处理要 要能想到啊， a 分 之 c 和 c 分 之一的去替这个换元，换元成函数的问题。那么第二种方法呢，可能是比较常规的，就是我们想到余弦定里去转化，那么在转化的过程中发现其实就是求 a c 乘积的问题， 那么进而用这个三角和差的一个应用 啊，是我们容易平，在一这个复习的过程中容易忽略的，或者说公式记不清楚啊，不太会用啊，这是我们应该是学习的这个学习巩固的这个部分啊。好，这是 第十五题，那接下来第十六题，第十六题整个来说，我认为是送分题啊，是送分题。那么第一问呢，他说 a 等于一的时候啊，这是导数出到这个位置， 大家其实做的时候一定要这个不要问，不要这个害怕，是吧？就是啊，我每次我导数都做不对，那他出到十六题肯定要拿下的，是吧？ a 等于一的时候啊， a 等于一的时候，这个就是简单的切线问题啊， f x， 它就等于这个 e x 加 x 方减一，对吧。然后呢，我在零处啊，看清楚这是某点处的切点喽， f 圈 x， 我 先给他求导， 然后我求出 f 撇零就行了，是吧？那么此时切线的斜率就是就是一，既然这个点是切点， 我的 f 零呢，我带进去算一下是多少是零，所以呢，切点就是零零，切线斜率就是一，所以切线方程就是 y 等于 x， 这是第一问，没有任何问题。那第二问的时候， a 等于零的时候，去证明这个不等式，那也就是想要证的是一 x 减一，小于等于负二加上四除以二减 x。 嗯，最开始我做这个题的时候，我就没有做处理啊，没有做处理我就直接你看啊， e x， 我 给它挪到一边，那就是加上四除以 x 减二，然后再怎么样，再这个加个一，然后是小等零的，就直接这样处理了。 哎，后来我就发现，就是我求导的时候，你看 e s 你 是甩不掉的，然后这边总有分式在，对我产生了很大的这个求解，产生了很大的障碍啊，所以我在处理的过程中就发现其实走不下去了。 那因此咱们思考这样的问题就是，你既然讨厌分式啊，你就不妨给他通分一下。我们知道这里面的 x 呢数啊，是零到一，那么 x 减二，它的范围呢？应该是负二到负一，是一个整体式复制，所以我就都成了一个 x 减二 啊，不等式的两边都成了一个 s 减二，那 s 减二是负值，所以我不等号的方向是发生了改变啊，是发生了改变，大于等于零。那最后呢，我其实想要求的就是这个式子啊，这个式子加上 x 加二，大于等于零和成立了。 好，那么我可以先设一个函数啊，我在做题的时候就是不要嫌这个麻烦，是吧？我就先设一个函数啊，我设 h x， 哈，它等于什么呢？它就等于 x 减二 这个式子啊，我其实接下来的话，我就证明， x 在 零到一上的时候，那么 h x 大 于等于零横乘以啊，那所以我第一步还是先求导，对 h x 进行求导，那么这个求导注意一下啊， f x 乘以 e x， 它的导函数啊，这个要注意，就实际上就是 f x， 然后加上 f 撇 x 对 不对？然后乘以 e x， 那 所以它一步求导的话，就是 s 减二，再加上它的求导就是一。 好，那此时呢，我发现啊，我现在还解决不了问题啊，解决不了问题啊，就是这个地方呢， 这个地方呢，就是有负有正，所以我没有办法去判断异界导函数的正负，所以我接下来再次求导 啊，再次求导。那么再次求导的话，我就发现，哎，这个求导完以后，你看，是啊， x 减一，再加上这个，它的导函数一 啊，乘以 x， 后面没有了，哎，这个就非常好处理了啊。而我们发现，当 x 属于啊，零到一的时候，它的二界导函数呢，是恒大于等于零的，所以呢，它的一界导函数啊，它在 零到一上怎么样呢？单调递增，那一界导函数的最小值 是几啊？零带进去，是吧？这是一阶导函数，零带进去的时候是几好，我们看一下这个零，零带进去的时候是零，哎，这就很好了，是吧？应该最小是零， 所以我能说明啊，它的一阶导函数呢，是恒大等于零的，那么原函数它就在啊，零到一上，单调递增，那 h x 的 最小值 啊，就是 h 零，对不对？然后我带入到元函数中， h 零等于几？看清楚零，是吧？负二，所以是零。那因此呢，我能够证明 h x 大 于等于零，也就是啊，这个式子大于等于零成立。那这个问题呢，实际上就是证明 啊，比较好证明。第一个是切线方程啊，其实相对来说呀，你看我们这个一模的时候，它其实是比较难的， 二模的企业实际上送分的是比较多的，就该难，他也有难，有难题，但是更多的大部分实际上是比较考察同学们基础的，这个基础的知识啊，是好解决的。这个分我觉得是很容易拿下这十五分啊。 好，这是导数的问题，不是说很难。嗯， 好，接下来呢，我们来看一下第十七题。十七题呢，实际上是一个概率统计问题，它主要的核心考点是二项分布。我们先读下题啊，然后就是这个公司呢，他要举行一个知识竞赛，那么在知识竞赛中呢，题目中有 ab 两类题 啊， a 题呢，正确回答的概率呢是二分之一，然后 b 类是三分之一，那么回答一个 a 类题，我就可以得三十分。 好，那接下来呢，我们看一下问题回答正确与否呢？他，是啊，相互独立，也就是说实际上是不受影响的啊，不受影响的。那接下来呢，我们看第一问，他说某职工呢，他回答 他这个回答了三个啊，甲是回答了三个 a 类题，然后求甲得分 x 的 分布列以及它的方差 啊，那这个该怎么算呢？我们看这三个题呢，他回答正确与否是相互独立的。所以说，实际上对甲来说，他如果说啊，是啊，甲回答问题的正确的个数啊，正确的个数是啊，随机变量 y 的 话啊，正确个数 是随机变量 y 的 话，那你看 y 是 不等能取到零，然后一二三，那么此时的这个回答正确的问题个数，它服从的是二项分布啊，然后你总共是三个问题，每个问题回答正确是二分之一。 好，那我们再来看一下，这个回答正确的个数与他的得分之间有什么样的关系呢？我们看 x 呢，他实际上是每回答正确啊的话，我就得二十分，所以 x 与 y 的 关系就是 x 等于二 y， 那 我为什么要找这个关系呢？一会我好找概率，同时呢，我也好求这个 交叉。呃，我们知道这个 y 的 概率，如果啊，他回答的正确的个数是 k， 那 我就是从三个题中去挑啊， k 让他是正确的啊，让他是正确的，然后剩下的那个二三减 k 呢，应该是不正确的， 那因此呢，我可以算出啊，屁啊， y 等于几啊？ y 等于零，那也就是说相当于是我得分是多少？得分是零分啊，然后 y 等于几啊？ y 等于一个奇的话，那我的得分其实就是啊二十分， 然后就是啊， y 等于二，我的得分是啊，四十分，对吧？然后我的 y 等于 啊等等于三，回答正确三个题，我的得分呢，就是啊六十，那这样的话，我的概率其实是相同的啊，相同的， 然后我们零个题的话，那就是 c 三零啊，没有一个题正确啊，所有的题都是错误的，所以算出来是八分之一，然后对一个题，我就 c 三，一挑一个题让他。对啊，然后我剩下的两个题呢，是不对的，所以就是八分之三。 我有 y 等于二，就是两个题正确，那就是二分之一的啊，平方再乘以三分之一， 然后回答不正确呢，就是啊，这个是两个题正确，那还是八分之三，那我最后是三个题都对，那就是二分之一的啊，三次方，最后是八分之一。好，那这样的话，我就得到了我的 分布列，分布列，那我光算出来是不行的啊，分布列的标准形式，我们来看一下啊，它是需要我们列列出表格，然后最后把你的概率算进去的啊，这个形式啊，要答题规范。 好，那接下来呢，我们再来看一下，我们还要求方差，那这里面呢，我们刚才给大家列的公式就比较有用了啊，你看， 那么这里面呢， x 跟 y 它是有关系的，我们既然 y 服从的是二项分布，所以我们的意外啊，就是啊，我们要要记住这个公式就是 n p 对 不对？然后我们的 d y 呢，就是什么呢？就是 啊， n p 乘以一减 p 啊，这个地方注意，所以我们应该是先算出意外啊，先算出 d y 对 不对 啊？ d y 的 话，我们算算一下啊， d y 的 话，那我们就套用公式，就是三乘以二分之一，然后再乘二分之 一，所以总共是四分之三，因为他们 x 变量和 y 变量存在背乘关系，所以他们的方差呢？是啊，是这个二十的平方，所以 d x 我 们就可以算出来是应该是二十的平方，再去乘以 d y 啊，再去乘以 d y 啊，所以算出来的话应该是多少呢？啊，这个地方啊，就是要要算一下啊， 好，好， 那这是，就是你，你，你要把这个公式记得非常清楚啊，否则的话，你考场上要去算这个方差的话，它就它就数比较大，就比较难算，你还要每一个都算，呃，时常是浪费时间的，那我们记住公式的话，那就可以啊，一步到位了是不是？ 好，这个注意一下，这个是啊，三百啊，三百，好， 这是第一问啊，考察的是二项分布啊，这个分布列，然后还有期望方差，以及你设的这个随机变量。你设完以后啊，因为 y 变量它是服从二项分布的，所以它的 e x 啊，它的 y 和 d y 是 非常好算的，那根据啊，变量之间的这个关系，我们进而去算出 d x 就 好处理一点好，这是啊，这是第一个第一问啊，这是第一问。好，接下来我们再来看第二问 好，第二问，他说的是什么意思呢？他说啊，甲乙每人呢选两个 a 类题和一个 b 类题进行作答，那么甲的得分高于乙的得分。好，我们思考这样的问题，就是我们现在其实我们先算出一个人啊，先算出一个人的得分情况，然后我们再去区分 啊，比如说我设这个随机的变量啊，是可以。是啊，刚才其实假得分的这个 x 已经出来了哈，但是它不一样，所以我们要重新设一个随机变量 啊，这个设成 z 吧，设成 z 啊，就是一个人他得多少分呢？对不对啊？我们现在看，就是你现在选的是两个 a 啊，两个 a， 然后呢是一个 b， 那 我们先来预测一下，你的结果中会是哪些得分呢？比如说有没有可能得了零分呀？ 对吧？有没有可能得了零分？那还有，那这个时候呢？其实我们在算零分的时候，这是第一种情况，得了零分，那么它屁应该是 z 等于零的话，应该怎么算？就是 他每个题都不对了，所以就是二分之一的啊，平方再去乘以啊，三分之二啊，这个 a 类题也不对， b 类题也不对，所以应该这个题应该算出来是六分之一哈，这是第一种情况，第二种情况就是啊，他对了一个啊，他对了一个，那对一个，这个还 那到底是 a 对 还是 b 对， 这个不清楚，所以我们是对了一个 a， 对 吧？剩下都错了，然后或者是一个 b， 那 它这样的话得分也是不一样，对一个 a 的 话是二十分，对一个 b 的 话是三十分，所以我们得到了一个结果，就是啊， z 等于二十分，它 是的概率是多少？然后是 z 等于三十分的概率。好，我们来思考这样的问题，如果是得二十分的话，那也就说两个 a 中他恰有一个 a 是 对的，所以我们应该是 c 二一 啊，因为两个 a， 你 不清楚是第一个还是第二个，对不对？所以那我们是二分之一。 c 二分之一，然后是二分之一的一次方，然后另外一个是不对啊，因为它是二分之一， 然后呢？ b 那 个题肯定也是不对了，所以乘以三分之二。那如果是得了三十分，肯定是 b 那 个啊，这个 a 的 话，对一个是二十分， b 是 对应一个是三十分， 那如果是得了三十分，肯定是 b 那 个题它是对的，是吧？那所以就是三分之一了，然后 a 类题呢？它两个题都不对了 啊，所以这样的话，我们算出来应该这个结果呢，应该是多少？应该是一个三分之一，然后这个结果呢？应该是个啊，十二分之一。好，这是算对一个的情况。 那么接下来呢，我们还有可能就是对两个啊，对两个。第三种情况，对两个的话，那可能是两个 a， 对 吧？然后也可能是一个 a， 然后一个 b。 好，那这个时候两个 a 都对的话，那我们此时的得分呢？应该是一个四十分啊，应该是四十分。如果是刚好对一个 a 对 一个 b 的 话，我们得分应该是六十分，那这个时候我们去算概率，两个 a 都对的话，是二分之一的平方，然后那 b 是 错的，就是三分之二 啊，三分之二。然后呢，如果是一个 a 一 b 的 话，不清楚，所以我们要乘 c 二一 啊，乘以二分之一啊，再去乘以二分之一，然后 b 也对了，那就是啊， b 也对了，就是三分之一，所以我们这个算出来，答案应该是六分之一，然后这个算出来答案应该是一个，也是一个六分之一啊，也是一个六分之一。 好，那这是第三种情况，对，两个情况，那么第四种情况就是对了三个啊，对了三个， 那对了三个的话，就是两个 a 对 了，然后再加一个 b， 对 了，是不是？那此时呢，我的得分啊， z 它就等于多少了？四十加三十，应该是七十，所以每一个题都对了，那就是二分之一的平方，再乘以三分之一啊，再乘以三分之一，所以是十二分之一，是十二分之一。 好，但是呢，我们本题说的是啊，我现在呢，就是把啊得分情况全部给它罗列出来了啊，那接下来呢，我来算一下甲得分呢高于乙得分的概率， 那我记这个事件为事件啊，为事件 c 吧，那这个 pc 应该怎么算啊？ pc 的 算法实际上是情况是比较多的啊，我们把每一种情况相加，我们思考这样的问题啊，就是甲，他的得分呢？甲的得分啊，甲的得分，我们设成是 z 甲，好吧，然后 这个乙的得分呢，我们设成 z 乙，那么这个甲乙他们得零分，二十分，三十分，都是跟这个我刚才列的是一样的 啊，我们思考这样的问题，就是甲的得分哈，如果说甲的得分呢，他是零分，那肯定不会高，所以甲的话，至少他得等于几啊？至少他得等于二十分，对吧？ z 甲，那还是一样的概率，就是三分之一，此时的乙呢？ 啊，只能是零分，所以是 p z 乙他此时呢就是零分，这两个概率相乘，这是一种情况啊，一种情况，我们继续往后加。 那么如果说甲呀，他得分呢？啊，甲的得分是多少呢？甲的得分是三十分哈，那此时呢，我觉得乙他的得分呢，就应该是多少呢？乙的得分应该是小于等于二十 啊，怎么叫小于等于二十？就是啊，这两个相加对不对？然后再来算啊，那如果说啊，甲的得分呢？ 啊，甲的得分是四十分啊，是四十分，那么此时呢，乙的得分呢？他就该怎么样呢？小于等于三十，那小于等于三十，概率该怎么算？那就是零二十，三十，这三个数相加 啊，再继续加。就是啊，如果假设得分是多少？是六十分，那此时的乙的得分啊，乙的得分，他就得小于等于四十。如果说啊，甲的得分呢， 他等于七十分了，对不对？那么乙的得分呢，他怎么去算啊？他就小于等于六十就可以了。那么小于等于二十，小于等于三十，小于等于四十，就是前面的一个累加啊，我们把这些数具体的带进去，就可以算出，最后啊，甲 的得分高，以你的得分的概率啊，这个就是带进去算就可以了，因为我把每一个数，每一个得分都分析完以后，实际上套进去就可以了。好，这个题实际上也是啊，送分题啊，也是送分题，不是说很难，就是你得一个一个去分析，但是基本功啊，运算量还是比较大的 啊，但，但是啊，相对于圆锥曲线啊，导数那些题，我觉得这种题其实是啊，给咱们送分的，咱们这个一定要把握好机会啊，这是这个概率统计的问题。 好，接下来呢，我们来讲解一下十八题啊，十八题是个立体几何，其实本次出的立体几何并不是说很难，那么它主要考察的是面面垂直的问题啊，以及这个线面夹角问题 啊。首先我们看一下题，这个是一个四棱锥，然后底面是一个直角梯形， s a 呢，是跟底面是垂直的啊，其实有垂直的话，后面我们间隙就好不见了。然后接下来就是 a d 和 bc 啊，是平行， abc 是 九十度，也就说这个是九十度，这个也是九十度， 然后 s a 呢，它是整体是一， bc 也是一， ab 是 一，然后 ab 是 二分之一， 好，然后 e 呢，是它的终点，我们看 f 在 线段 bc 上 d 问让你证明的 sbc， sbc 这个这个平面和 sab 平面是垂直的，那这里面其实面面垂直的话，我们就找线面垂直 啊，找哪个线呢？你看 sab 哈跟这个 s abc， 那 这里面呢，我们其实是啊找啊，我们的思路是找的是 bc， 它与谁垂直啊？它与平面 平面 s a， b 啊垂直，如果一个平面经过另外一个平面的垂线啊，垂线，那么得到了是 面面垂直，那如何来证明 bc 和这个平面垂直呢？我们有两条，第一个，你看 bc， 它已经垂直于 ab 了，是吧？啊，得到了第一个条件，我们先看思路啊， bc 它是垂直于 ab 的， 那么第二条呢，是因为 s a 跟底面是垂直的啊，跟底面垂直， 那所以我们能够获得啊， s a 跟 bc 是 垂直的啊，所以我们得到两个啊，线线，得到了两个线线垂直啊，进而证明线面垂直。那如何来书写呢？我们看第一个啊，我们先说啊，因为哈，因为这个 s a， 它垂直于平面 啊，它垂直于平面 a、 b， c， d 啊，然后呢？ bc 呢？又是面内的一个线， 包含于平面 a， b， c， d 啊，所以 s a 垂直于 bc 啊，我们列条件的时候可以再再列一遍啊， s， a 垂直于 bc， 对 吧？然后呢？呃，这个 bc 呢？还跟谁垂直？还跟 ab 垂直，然后 bc 呢？交 ab 啊，于 b 点，是不是？然后 bc 啊，包含于平面， 包含平面 s， a、 b， 然后 ab 呢？也是包含于平面 s， a、 b。 好， 那么这五个条件啊，五个条件，我们能得到 bc， 怎么样？垂直于啊？平面 abc， 平面 s， a、 b。 好， 那 bc 呢？又因又因为 bc 呢？它是包含于平面 啊，平面 s、 b、 c， 是 吧？所以我们就得到了平面啊，得到了面面垂直。 好，这是一个完整的过程。好，我们先正一个线面垂直啊，先正线面垂直， 好，先利用了线面垂直的性质，线面垂直的性质，得到了一个线线垂直，然后我们再用两个线线啊垂直，得到线面垂直，最后我们用用的是面面垂直的判定，这是第一问啊，这是第一问 啊，其实是比较简单的，那接下来我们看第二问，就是他挣的是 ceo 三点贡献，然后他说四点供求， 四点攻球啊，那我们思考这样的问题，其实一点呢，它是一个确定的点，确定的点啊，那在找一点的时候实际上是比较好找。那我们这里面啊，第二、第二问的话，我们一定要间隙啊，间隙也是有分的 啊，间隙也是有分的，我们就以 ab 啊为 s 轴正方向，然后 a、 d， 对 吧？啊，右手螺旋法则要注意清楚。 好，那接下来接完系以后，我们需要的点呢？就是我关注的是 e 点，是吧？那么我的 e 点啊，坐标呢？是零零二分之一，二分之一。好，那如何去求 e a、 b c 的 外接球呢？ 那如何来解决问题？我们知道啊，这个地方其实可以，我们以前呢专门做过一个专题啊，就是有一条棱跟底面垂直的棱锥或者棱处，他都是啊，汉堡模型，那我们汉堡模型的做题步骤呢？是过底面外心做底面的垂线， 底面的外心是一个 abc， 是 一个直角三角形，所以我取的是 m 点，我过 m 点啊，我过 m 点做底面的垂线， 然后我连接这个点，这个点是 m 片吧，那此时呢，我们的球心位置呀，球心位置就应该是在 m 啊， m 片的这个终点位置。终点位置啊，为什么？ 为什么？这就是我们的球心，我们的球心已经找到了啊，因为此时呢，它能够保证到上和下的距离是相等的， 那所以 o 点的位置啊， o 点的位置我们找的是啊，此时这个，嗯， a c 点的话，我们是刚才说这个长度是一，所以是一一 零，所以过底面外心做一个垂线，过底面外心做一个垂线，那 o 点的坐标呢？就是多少？ o 点坐标就是二分之一，二分之一。中点嘛，然后我们刚才说是取 a e 的 中点， a 的 中点啊，那就是 a e 高度是二分之一，所以我们此时这个球心的位置就是四分之一。好，那接着接下来呢，我们只就只需要验证啊，只只需要保证看 o c 的 距离是吧？它等于 o e 的 距离，那一定是相等的，是吧？全等了吗？ 好，我们现在球心的位置是找到了，我们接下来去证明就可以了，是吧？那现在呢？我们看证明三点共线，那我们看 e o 向量啊， e 点的坐标已经出来，它是一个二分之一，然后二分之一是不是负四分之一， 然后我们看 e c 向量啊， e c 向量 c 点的坐标其实也是啊，很清楚的，是幺幺零，对吧？ 然后我们 e c 向量呢，我们发现是二分之一，二分之一负四分之一。好，那因此我们看 e o 向量呢，它其实是平行于 e c 向量的，对不对啊？平行，然后又有一个公共点，所以我们能得到 e o c 是 三点共线的 啊，这个题也是送分的啊，这前两问都是送分的，甚至第三问也是送分的啊，基本功扎实，我们就能把这个分拿到手啊，是非常轻松的。这是第二问，这个球呢，考察的不是说很难， 接下来我们看第三问啊，第三问呢，他说我们现在已经知道这个这个四点共球了，是吧？球心的位置 o， 我 们刚才已经找到了，是二分之一，然后是四分之一， 我们间隙还是跟刚才一样，只是说位置不够了，我们好，然后接下来我们再去处理。现在呢，我们说 f 是 在线段 b c 上啊，那我设这个点呢，假如说是一个 n 点，可以吧？是一个 n 点，好呢？ o 点在大概在这个位置吧 啊，答案在这个位置。好，那我们思考这样的问题，就是我们看线与面所成角的正弦值。好，你看啊，线面所成角的正弦值， 是不是这个角是 r 法，那它跟线与法相加，角的与弦值之间是不是一个互补的关系 啊？互余的关系，所以线与面的加角的正弦值就等于线与法向量加角余弦值的绝对值。好，那我们设平面啊，我们设平面 s、 b、 d， 它的法向量是 n 的 话，那我们的口塞 o f 向量与法向量加角的余弦值的绝对值是不是就等于这六分之一？ 好，那把这个线面夹角跟线段向上夹角要这个弄清楚啊，弄清楚，正弦值就是线段向上加角与弦值的绝对值。好，那弄清楚以后，我们接下来的工作就非常清晰明了，就是 o f 这个向量你要表示出来，我们刚才说了， o 点的坐标呢，是二分之一， 二分之一和四分之一 f 点的啊，这个因为我们设的是长度是 n 嘛，所以 f 点的坐标呢，我就可以表示出来是一 n 零，所以 o f 向量就可以出来， y f 向量就可以出来了。然后我再来看啊，再来看，那这个地方就是二分之一，然后 n 减二分之一，然后是负四分之一，然后接下来呢，我去求平面的法向量，我设这个法向量是 x、 y 和 z， 那 这里面呢，我需要求出啊， s 点的坐标呢，就是零零一是吧？啊， b 点的坐标呢，就是幺零零，然后 呃地点的坐标呢，就是零二分之一，零啊，我去求这个法向量，我 s b 向量啊， s b 向量它就是幺零负一，然后啊，随便随便哪一个都可以啊，然后就是 s、 d 吧， 它的向量呢，就等于是零二分之一和负一。那么我们知道呢，就是这个法向量跟平面中的任意向量啊，它都是什么关系？是垂直关系啊，这些我们要写出来，对吧？ 然后我们去找关系，那因此就是 x 减 z 等于零，然后我们一会用负值法，二分之一， y 减 z 等于零，我们负值的时候令 x 等于 z 等于一，那 y 就 等于二，所以这个法向量就出来了，是多少呢？是幺二幺。 好，法向量出来以后，我们再去求这个余弦值的绝对值，是不就可以解决问题了？好，我们来看一下啊，那这个法向量出来以后，然后就是啊，他这个 o f 向量也出来了，那我们的口算也往这个地方擦掉，在这个地方去写， 我列个式子算了啊，就是那 o f 啊，口三，你看 o f 向量对不对？它去乘以法向量啊的绝对值，是吧？那就等于什么呢？就等于啊，绝对值哈，然后是横乘，横哈，加上二 n 啊，减一， 二减一，然后再减去四分之一，好，除以他们的魔，除以他们的魔，那就是根号，这个 n 的 魔就是根号六，然后再乘以根号下啊，四分之一是吧，加上 n 减二分之一的平方，再加上十六分之一 啊，这个值的绝对值等于六分之一，然后进而去算出啊，算出 n 的 值，那么这里面其实他的这个基本功啊，预算量是比较大的啊，预算量是比较大的，就是这个数也不太好算啊，不太好算 啊，最后算出来的结果呢？ n 是 多少呢？ n 是 有两个值啊，一个是四分之一啊，这个数确实比较大。预算量 啊，预算量是非常大，你看九十二分之四十五是吧？啊，这个算台确实是会艰难的啊，我们算的时候可以进行一个平方啊，他这个值不是等于六分之一吗？然后还有个根号六，所以尽可能的去平方运算 好这个题呢。嗯，第二问呢，我认为其实大家不是说不会，而是会，但是 可能运算上会容易出错啊，这个题的扣分的原因可能就是在这一步，但是我们一定要注意过程，我们把过程的分啊，过程写清楚了，最后一问，如果算不出来的话，那其实也只是说扣一下结果的分啊，结果的分 好，这是你算出来的两个值呢，如果是小一的数，那都是可以的啊，这是第十八题啊，所以说平时咱们应该是多去训练，这样的话，在考场上能够啊，熟练的去算啊，熟练的去算 好，接下来呢，我们来看一下十九题这个压轴题，嗯，这个压轴题呢，是关于抛线的问题。呃，其实对大家来说，抛线的预算量呢，要比椭圆双曲线的预算量要小很多啊，所以说实际上也是给大家提供了一个得分的机会 啊。那这里面呢，我们对抛线的性质呀，还有一些他处理问题的方式方法，一定要熟练掌握 哦。那首先呢，我我认为这个第一问呢，实际上对大家来说可能稍稍微有一点啊，有一点小难度啊，如果我们把第一问解决了，实际上第二问啊，第二问也是非常好证明的，第三问是有难度的啊， 那么接下来我们看第一问，就是它是一个焦点，在 s 轴上的一个抛物线，然后 h 点呢，是准线上的一个点是吧？ d 点呢？是屁，零过焦点啊，过焦点，实际上 m n 就是 一个焦点弦， m n 的 焦点弦，然后当他说这个 h m n 的 面积是最小的时候， 那这里面呢，我们可以啊列出三角形的面积公式， h m n 等于什么呢？就是 p， 是 吧？然后乘以千锤高叉， y 一 减 y 二， 那这里面呢，其实我们可以猜一猜，就是啊，什么时候 y 一 减 y 二，它这个达到的最小，实际上就是垂直。因为我们知道过焦点弦中啊垂这个啊，通径是最短的啊，所以此时呢，我们知道 m n 它是多少呢？ m n 它是啊，就是是一个这个二 p 啊，是一个 r p 啊，因为什么呢？因为你 f 点的纵坐标呢，是一个 f， 是 一个二分之 p， 那 对应的话，我的 y 就是 p 哈，对应的我 y 就是 个 p， 那 因此 m 通径最短的话，垂直是 r p， 那 所以啊，我们其实可以猜猜这个结论，二分之一 p 去乘以这个二 p， 然后它等于几？它等于四，所以 p 是 二啊，当然这是我们猜出来的，就是如果我们真的是啊，不会算的话，我们猜当然是有分的，对不对？只是说没有过程分。那这个题如何从我们刚才是啊给大家猜出来了 啊，通径的位置，垂直的位置面积最小，然后我们得到了这个标准方程，那如何去准确的去做啊？如何去赢得这个过程分？ 那因为我们知道这个是 y 方，等于二 p x 焦点在 s 轴上，所以你的 m n 在 这个设方程的时候要反射方程啊， s 等于 m y， 然后加上二分之 p， 对 不对？ 然后呢，他与啊，他与抛线进行一个连力，与抛线进行连力，那这里面因为我们要求的是铅垂高叉， y 一 减 y 二，所以我们要反射方程，那得到了一个伟大定律，就是外方减去二 p 啊， m y， 然后再减去一个 p 方 啊，这里面我们得到啊，一定要写出来啊， y 一 加 y 二，他是一个二 pm， 然后 y 一 乘 y 二 啊，它是一个负 p 方，所以进而得到啊， y 一 减 y 二，它的一个式子，是吧？那就是根号下啊，四 p 方 m 方，然后加上四 p 方。 好，所以我们看一下，那现在三角形 h m n， 它的一个面积公式就非常清晰明了了，对吧？然后你把这里面的四 p 方给它提出来，就是二 p， 然后乘以根号下 m 方加一 啊，就是屁方乘以根号下 m 方加一。那因此我们思考这样的问题，就是想要面积最小，那你 m 方，那你 m 取的最小值就是 m 等于零， m 等于零，刚好就是啊，它的斜率呢？不存在，就是垂直啊，此时 m n 啊，它与 x 轴垂直， 就是我刚才啊猜测的部分。那此时呢，我们看屁方呢，它就等于四，进而去得到 p 等于二， p 等于二。哎，这个地方要注意一下。 好，这是第一问的证明啊。第一问我觉得也是非常重要的啊，就是因为你第一问要是求不对啊，或者是求错的话，那后面基本上没有任何的得分点了，没有任何的过程分，那第一问呢，这个是五分啊，这个是五分啊，你要有过程，如果你只是刚才猜出来的话，那可能就是啊，两分， 猜出来就是两分。好，这是第一问的证明。那么第二问，我们来看一下，他说的是什么意思呢？就是说啊，他是他设的是直线， md 是 吧？ d 点啊，那我们刚才说 f 点是， 我们这里面是 f， p 是 几啊？ p 是 二， f 是 一零，对吧？然后 d 的 话就是二零， d 的 话就是二零，然后他说 md 和 nd 呢，与双曲线交于另外的交点是 ab， m 的 倾斜角是 r 法啊， ab 的 倾斜角是贝塔，那现在我们啊，他们的斜率存在的时候，记为 k 一 k 二，那么我们求这两个斜率的比值啊，斜率的比值。好，接下来我换一个 ppt 啊，换一页， 好，那也就说第一我们先出来就是外方等于四 x， 好， 那么如何来求证这两个斜率呢？也就说 m n 的 斜率是吧？ m n 的 斜率和 ab 的 斜率之间的关系。 我们这样吧，我们先设 m n 的 方程是 x 一 和 y 一， 然后 n 的 方程是 n 的 点的坐标是 x 二 y 二 啊，我们现在的这个方程呢，是非常清晰明了的啊，其实我们刚才呢，也可以回来啊，刚才也可以回来，我们去抄一些数字啊，抄一些数字，那这个伟大定律就就是比较简单了。伟大定律就比较简单了，因为我们这里面其实是应该是一个外方，对吧？我们刚才说这个 屁是求出来的，所以它是减去一个，嗯，减去一个多少？我们看一下这个是四 y， 对 不对？然后我们减去十四等于零，得到这个伟大定律啊， 好，看一下对不对啊？对的，没有问题的。 好，那么，呃，我们看直线方程呢，我们设成 f 点的话，就是 m n 直线嘛， m n 直线啊，它设的方程呢，就是 s 等于啊， s 等于 m y， 对 吧？ m y， 然后就是加一啊，加一好得到这个伟大定律 啊，是比较确定的。好，现在呢，我们丝毫这样的问题，我们该如何列啊？性质条件呢？我们现在的 y 一 和 y 二之间是有关系的啊， y 一 加 y 二啊，它就是一个四 m， 对 不对？然后 y 一 乘以 y 二呢，它就是一个负四 啊，是一个确定的数值。好，我们看如何去求斜率啊？当然，我反射方程以后，它的斜率啊， k 一 呢，实际上是多少呢？就是 m 分 之一了，对吧？ 好，关键呢，我们要算这个，嗯，算，就是它 ab 的 斜率，对吧？那这个地方该怎么处理啊？这个地方该怎么处理？那我试这个地方是啊， x 三吧， y 三啊，然后这个地方是 x 四和 y 四。 好，我们思考这样的问题，就是说，我先看啊，我 md， 这个直线方程啊，我能不能表示出来啊？这个 d 呢，我们刚才说是一个二零，对吧？那它的直线方程就是啊，外一除以 x 一 减二，乘以 x 减二，对吧？ 好，那么他呢？与谁连立啊？与这个又又与谁连立了？与这个方，这个抛线方程啊，那就是外方等于四 x 进行一个连立，得到 x 一 和 x 三之间的关系。 好，那我们反解一下，这个地方呢，就是在抛线与直线连线的时候，一定要削的是 x， 保留的是 y， 这样好处理，那么这里面的 x 呢，它就等于什么呢？它就等于 y 乘以啊，乘以 x 一， 减二除以 y 一， 对吧， 然后呢，呃，再加个二啊，我们把它带到这里面，就是外方啊，它等于啊四啊， y 乘以 x 一， 减二除以外一，然后再加上八，对不对？所以得到的方程就是外方啊，减去四倍的 x 一 减二除以外一，然后是，嗯，然后是 y， 对 不对？ 然后再减个八等于零，那因为我们知道这是 md 啊，这是 md， md， 这个直线其实也就相当于是 m a 了，对不对？ m a 直线与抛线的一个连力，那它连力的话，得到的是 m a 这两个直线方程，那么韦达定律体现的是 x 一 x 三， y 和 y 之间的关系，所以通过这个式子呢，我们发现一个很重要的信息，就是 y 一 和 y 三，它的比例，这个乘积呢，是一个定值式负八。 好，那同样的道理啊，同样道理，我们再去切换啊，就是你这个 n d 啊，对不对？你的 n d 直线方程应该怎么列呢？其实还是一样的，就是 y 二，是吧，除以 x 二减二，然后再乘以 s 减二， 它与谁连利呢？它与 y 方等于四， x 连利，那么其实按照这个道理，就是因为它变换的话，只是变换的这个点，所以它得到的伟大定律应应应该是一样的啊，我们这里面可以去啊，稍微偷个懒是吧？ 减八等于零，那所以它得到了一个啊，因为它是 n d 啊， n d 的 话，它与抛物线连立的话，得到的是啊，相当于是 y 二啊，与 y 四之间的关系。那因此我还依旧得到了一个定值，就是啊， y 二乘以 y 四，它等于几呢？它也是一个负八。 好，那现在我们思考这样的问题，就是我现在啊，我现在要求什么了呢？我现在要求 ab 的 直线的这个，这个，这个 ab 直线的斜率了，对不对？那我们看一下我的斜率应该怎么去体现啊？啊？就是这个 ab 就是 k 二了， 那我是 y 四啊，减去 y 三除以啊， x 啊四，减去 x 三，对不对？ 那我们看一下这个地方啊，这个地方其实我们是在做抛线问题的时候，我们要善于利用抛线的问题，抛线方程来解决问题，那这里面的话，它其实就是一个 y 四，对不对啊？ y 四减 y 三， 然后那 x 四呢？它就变成多少了？ x 四，它就变成了啊，四分之啊四分之啊 y 四方啊，减去四分之啊 y 三方，那进而呢就得到了一个四除以啊， y 四加 y 三 啊， y 四加 y 三，好，那这是这个问题啊，这是这个问题，我们其实此时呢，我们得到了 k 二，得到了 k 二， 好，得到 k 二，那接下来我们再来思考， k 一 是多少呢？ k 一 刚才说是 m 分 之一，对不对？ k 一 是 m 分 之一，好，那因此因此啊，这个 m 啊，这个是，这个是不清楚的，是吧？好，那接下来该怎么处理呢？ 好，我们来看一下啊，在这个地方呢，呃，我们得到了 k 二的这个，嗯，式子啊，得到了 k 二的式子， 那接下来就就是我们如何来解决？其实我们刚才已经得到获得了一个很重要的信息啊，很重要的信息就是这个外一外二和外三外四的关系。哈，那这里面呢，我把前面这个给它，给它擦掉吧，要不然没地方写啊。 好，那得到这样的一个关系的话，我们其实我们的 k 二其实就是 y 三加 y 四分之四，那我们看，通过这个式子，我们看到了 y 三等于什么呢？就是负八去除以 y 一 啊， y 四等于什么呢？就是负八去除以了 y 二， 所以我们看 y 三啊，加上 y 四，它等于什么呢？它等于负八，乘以它俩的导数和对不对啊？是 y 一 分之一 啊，是外一分之一，对吧？然后加上外二分之一，那所以它就变成了负八啊，乘的是什么呢啊？我们看乘的是什么？乘的是 外一啊，加外二分啊，这个地方乘的不对啊，乘的不对，应该是通分，我们看应该是啊，外一乘外二分之外一，加外二， 对不对？好，所以啊，我们得到了啊，我们再带到这里面，对不对啊？带，这是 y 三加 y 四，所以我们最后得到了 k 二，也就是 ab 的 斜率呢？啊，是四除以啊， y 三加 y 四，那就是负八啊，乘以 y 一 加 y 二分之 y 一 乘以 y 二，也就是说呢，我们都我们用啊， x y 一 和 y 二啊， y 一 和 y 二来表示了 y 三和 y 四， 那这样的话，我们就建立了关系，其实所有的问题的啊，纠结点就在于这个地方了，我们回到刚才的伟大定律上啊， y 一 乘 y 二是一个负四， 然后呢， y 加 y 是 一个四 m， 那 所以这里面其实就等于多少了，就等于二 m 分 之一。 好，这是 k 二，那我们刚才知道 k 一， 我们在设 k 一 就是 m n 直线方程的时候，我们是反射方程，所以它是 m 分 之一。那因此我们要证明的啊， k 一 除以 k 二的时候啊， k 一 除以 k 二的时候，刚好就是二。 好，那这里面呢，我们再来去理一理思路啊，这个过程应该是比较长，我这个版面就不够用了，那我们再给大家理理思路啊。第一个就是说 m n 直线方程，它是一个啊，过定点的直线啊，是过的是一零，所以我反我 反射方程，然后与抛线进行一个连力，得到了一个伟大定律，得到了一个伟大定律。好，这是第一步， 那么第二步就是我 md 哈， md 与抛线交于 a， 我 n d 呢，与抛线交于 b， 那 我就分别设出 md 啊，因为它有点两个点点斜式， 然后我与抛线连理，我发现呢，我发现这个 y 啊， y 一 呢和 y 三，它的成极为定值，那此时呢，我就用 y 一 和 y 二 啊，用 y 一 和 y 二来表示 y 三 y 四，那这样的话，我就找到 y 三 y 四之间的关系，那其实也是一个目标导向法啊，目标导向法，就是因为我刚开始呢，我在求这个 ab 的 这个这个斜率的时候啊，我在这里面啊，进行了一个运算，就是 啊外这个这个这个斜率公式，对吧？斜率公式，那我在处理斜率公式的时候，一定要善于利用啊，抛物线的一个方程，把 s 四 s 三给他啊，给他解决，给他替换掉，得到了这个非常关键的信息啊，非常关键信息就是我的目标呢，就是 y 三 y 四分之四， 那我刚才已经建立了 y 一 y 二与 y 三 y 四之间的等量关系，那 y 三加 y 四，它就可以用啊，关于 y 一 y 二的两根之合，两根之极来替换 啊，进而得到了 k 二，那么 k 二和 k e 之间啊，存在这样的一个关系，那么这个题呢，就很好地去解决了啊，所以注意抛物线的问题，第一个，斜率的化解。第二个，有直线与抛物线连立的时候，你不要害怕连立啊，不要害怕连立啊，这是第二问，我证明出来了， 好，接下来我们看第三问啊，第三问， 好，接下来呢，我们来看一下这个第三问啊，第三问呢，就是我们把刚才就第二问的结论，我们给它放过来啊，给它放过来，就是啊，因为它过的是 f 点是一零，所以说啊，我们设的这个 m 方程呢， 是啊，这个反射方程，那这个反射方程呢？我们注意啊，它的这个 k 一 呢，实际上就是 m 分 之一啊，这个要注意一下，然后与这个抛线连理得到的这个伟大定律是这个形式。 然后刚才呢，我们知道 y 一 和 y 三啊， y 二和 y 四它们之间的成级是一个定值，我们这个是证明出来的。那现在呢，我们来看一下第三问，就是它考量的是 r 法减倍它的最大值 啊，我们知道阿尔法减贝塔想要是最大的话啊，那其实它的 tangent 值其实就应该是最大的，对不对？那我们可以通过啊，两角差的正切来替换，那就是 tangent 阿尔法减去 tangent 贝塔 除以啊，一加 tanthan 阿尔法乘以 tanthan 贝塔。那么这里面呢，我们假设因为 k 一 和 k 二，它们两个都是同号的数，都是同号的数啊，所以我们这里面呢，就是啊，假设它们都是正值，对吧？ tanthan 阿尔法和 tanthan 的 贝塔 都是正值啊，因为是因为是对称关系啊，因为是对称关系。那接下来呢，我们看啊，贪心他 r 法减贪心他贝塔，我们知道呢，就是 k 一 呢，是 m 的 斜率， k 一 是 m 的 斜率，也就是贪心他 r 法啊， k 一 呢，它其实等于贪心他 r 法，对不对？然后 k 二呢，其实等于贪心他 啊，贪心他贝塔。所以我们这里面呢，就是写成，是啊，写成是 k 一， 那就是二 k 二啊，减去 k 二， 然后去除以啊一加上它俩的乘积，就是二 k 二的平方，那最后呢，就转化成 k 二除以一加二倍的 k 二方，那这个地方呢，它在转化的时候呢，就都除以 k 二 啊，我们刚才假设就是 k 二，它是大于零的，大于零的，那么接下来呢，我们这里面呢，是出现了一个对勾函数，出现了一个对勾函数啊， 都分子分母都同时除以 k 二，那想要这个碳的值最大，那肯定得是正值，是吧？然后我们看分母呢，是一是一个均值不等式，大于等于，那它导数分之一就小于等于啊， 二倍根号下，它俩相乘，实际上就是二倍根号二，所以这个碳金碳值的最大值就是二倍根号二分之一。那么当前仅当啊，当前仅当的话，就是啊 k 二分之一，对不对啊？它等于什么呢？它等于二倍的 k 二， 所以我们看到 k 二呢，它是一个啊，它是一个二分之根号二，那么 k 二是二分之根号二，那么 k 一 就是根号二， k 一 就是根号二。也就说前面的话，呃， 就是这是一个根号二，这是一个根号二。 k 二就是 k a b 的 斜率啊，是不是 k a b 的 斜率就是二分之根号？我们的最值已经出来了。 嗯，但是我们要求的直线方程，你现在只是求了一个斜率，还不行，还不行，那我们把这个 k 一 啊啊 k 一， 实际上就刚才的这个 m 分 之一，那这里面回来的话， m 就 等于多少了，就等于二分之根号二了，我们把这个， 我们把这个 m 呢，再给它替换到这个伟大定律中啊，伟大定律中，那实际上就相当于是啊，外方，你看清楚啊，外方这里面是多少呢？外方减去，嗯，减去二倍根号二外， 然后再减四，等于零了啊，所以这里面的，你看这个 y 一 啊加 y 二，它其实非常清楚，就是二倍根号二，然后 y 一 乘以 y 二，它就是一个负四。好，那同学们再思考一个问题，我现在我的目标是求 a b， 嗯，然后我知道 y 一 y 二之间的关系，我是不是也要知道 y 三 y 四之间的关系， 那这个时候呢，我们可以啊，我们 ab 的 直线方程也可以反射出来，对不对？反射出来，那它就是 x， 等于，因为 ab 的 斜率呢，我们刚才算出来是二二分之根号二，那它的斜，这个，呃，反这个斜率的导数就是根号二 y， 然后再加个 n， 我们给它设出来，然后呢，此时我与啊，这个还是跟这个啊抛物线进行一个连立，那么连立的结果，我们看到是外方减去啊四倍根号而外，然后减去四 n， 然后等于零。那这个时候呢，我们得到的尾答定理啊，实际上就是 ab 与谁呀？与抛物线 y 方等于四 x 连理的结果，那他得到的尾答定理就是 y 三 y 四之间的 关系， y 三 y 四之间的关系。好，那我们得到 y 三乘以 y 四啊，通过这个尾答定理是得到了负四 n， 好，我们刚才呢，在第一二问的时候，我们其实有得到了这个两个很重要的信息啊，对不对？ 那我们看一下，通过这两个信息我们知道啊，原来的那个式子中啊， y 三，它乘 y 四，实际上是一个定值，对吧？它是多少呢？它是啊，六十四，然后去除以 y 一 乘以 y 二， 对吧？那我们 y 一 乘二是负四，所以它应该是负的啊，十六，那 y 三 y 四通过啊，第二问的一个间接求法已经求出来，是一个非常确定的数值了，那因此我们看我的 n 就 出来了呀，对不对？我的 n 就是 四，它两个是相等关系， n 是 四，那 a b 之间方程就出来了啊，所以它就是 s 等于根号二， y 加四，那最后的方程就是减去根号二， y 减四等于零。好，那这个题就 第三问就讲完了。那么第三问的话，我认为它的出发点啊，其实就是抛线的运算还是比较多的，它的出发点在哪里？或者说它切入点啊，应该从哪些地方切入？第一个就是它的这个 r 减倍，它最大，那既然它给到了这个斜率，我 啊，两个之间斜率之间的关系，我就有一个变量来表示，那么通过啊，函数化，通过函数化，两两角差的正切值，通过函数化，我去获得它，当它取得最 啊，当他取得这个最大值的时候，对不对？当他取得最大值的时候，我的 k 一 和 k 二分别等于多少？就是均值不等适中啊，当前仅当的条件 啊，这里面实际上就是 a 加 b 啊，然后大于等于二倍更好。 ab 它的乘积为定值，是吧？然后算出 k 一 和 k 二，那么 k 一 k 二出来以后，就是光有 ab 的 斜率啊，还不行啊，你还得去求，那怎么去求？其实还是间接的通过 mn 啊，通过 m， 那 么我们刚才已经知道 y 三和 y 四之间的这个乘积为定值，所以呢，我们不妨啊，把 a b 的 直线方程给它设出来，那么设出来与 啊抛线连力的时候，我们得到了伟大定律，这里面其实是含参的，那 y 三和 y 四的乘积可以用负四 n 表示，它又是一个横道的定值，那 n 直接就出来了啊，它其实打破了我们以往说点斜是点斜，我们要求一个点啊，这个问题 实际上此时是也是不用的啊，也是不用的，当然了，我们这里面其实也是能够获得一些信息啊啊，你 m 过了定点，那实际上 ab 也是过定点的对不对？ ab 过的定点应该是四零， 那这个问题呢，我我觉得他可以啊，再设置什么样的问题呢？就是说我们可以设置啊，当这个这个最大的时候，他过 过哪个点对不对啊？这样的话去这个过 s 轴上哪点？我觉得这个是啊，可能会更好一点，那大家做题的话，可能会这个方向性会更加明确啊啊，整个来说，所有的解答题中啊，就十九题这个压轴题确实压得住啊， 特别是最后一问，甚至说第一问啊，给不少不少同学带来这个一定的这个门槛，进入这个门槛以后，这个计算量也很大，所以说整个在考场上发挥的话，就不是说很很好了啊，这个这个，所以我们平时还是应该多去练习啊。
2155高中数学 季老师
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
11.9万亮亮巧解数学
05:31查看AI文稿AI文稿一模的时候学生就考了四百零几分，这二模上周四周五刚考完，分数现在还没出来了，家长可慌了，昨天下午过来问我，问孩子要不要复读，说预计孩子二模就能考个四百二三十分，也不知道他这个预计是从哪来的。 但是咱都知道二模三模他跟最终高考的成绩是很相近的，他具备一定的参考意义。那如果咱的孩子未来就能考个四百出头，四百一十分，二十分、三十分，那么未来要不要复读了？ 少波，我昨天给他的建议是意义不是很大，而我帮他分析了一下原因，大家听一听我分析的对不对？复读一年，唯一的目的就是明年考更高的分，走更好的学校。咱先不去探讨明年孩子到底能考多少分，能走什么样的学校， 家长需要先考虑考虑怎样孩子身体抗压能力跟心理抗压能力。我们这几年见过好多高三复读的学生在复读这一年呢，他的心理压力巨大。其实包括有些家长心理压力也很大，孩子焦虑睡不着，这觉 吃不下去饭，身体都出现了很多反应，最后要去吃药调理，甚至去看心理科的医生。 那这样孩子明年到底能不能正常发挥，或者说超常发挥，这都是很大一个疑问。所以家长在选择这条路之前，一定要先想想咱的小孩，身体看能力，心理看能力，如果他不具备的话，我们一定要慎重考虑， 不要去逼孩子。那其次就是提分了，复读一年，最起码每年得搞个一本吧，就算搞不了一本，那也得是二本里边的八家学校吧， 一百多分的差距啊，那从四百多到五百多，这一百多分咱家长说起来简单，上嘴唇缝下嘴唇，但是对于有些孩子来说， 他确确实实很难，孩子也不容易。最后就是复读中间的不确定性，这复读这一年去哪复读呀？是回迁学校复读还是去一个新的学校，还是去外地？去外地的话，家长要不要陪读了？ 再一个，他复读这一年，他遇见什么样的老师，什么样的班主任，遇见什么样的同学，会发生什么样的事？这里边实际上有好多不确定性， 这几年我们实际上遇到过很多负面的例子，今天就不一一跟大家讲了。所以复读这个方案是有很大不确定性的。 那如果咱的孩子不甘心，家长又愿意供应，孩子又愿意学，那稍不，我给大家一个确定性的方案，就是全日制专升本 三年，专科加两年，本科五年，你回去复读一年一年，高四加四年本科也是五年，时间上是一样的，但是全日专升本他要比复读一年的确定性要强太多。普通高考考六门， 但是咱有了孩子，他就是不适合这个选拔制度，你让他再费年劲，他也不一定能多考多少分。但是全日制人本未来三年之后考两门 英语加专业课，理工类的考高数，文史类的考语文，经管类的考管理，医学类的考医学基础等等，每个专业都有他相对一门专业课，而且这个专业课使他在学校整整学了三年。现在问题来了， 他三年搞两门功课，跟复读一年搞六门功课，到底哪个更难，哪个更简单？ 所以我一直说，如果咱的孩子想未来专升本，只要他愿意，三年搞两门，他肯定都能考上。三年搞两门，可不是说三年就学了两门功课，那三年肯定功课多了。三年搞两门的意思是，他在这三年里边，把主要的时间精力放在未来专升本考试这两门上。 至于说其他的功课，你放心吧，你的孩子只要能上大专，他隔着眼才能拿了个毕业证。 他各个门的功课你放心吧，他有办法能考过，拿毕业证肯定没有问题的。重点是他主要的时间精力，从大一入学的时候都要很清楚是要搞专升本三年两门，那你说他难还是不难？ 那有稍微了解一点，家长就会问了，咱河南省专升本不是这两年逐年在降低吗？ 是啊，但咱非要报河南省的大专吗？咱不能换一个其他省的吗？你看，这又是一个信息差来。呃，想了解这一部分的， 点赞、关注、收藏、评论区里扣个六六六，让我看有多少人想了解。所以现在这个时间节点，不用焦虑，不用想着啥复读不复读， 让孩子开开心心，轻轻松松的去备考就行了。最终成绩出来之后，咱给他他一个科学的规划，让他选对学校， 选对专业，选对省份，选对学校校风好，有利于三年之内他好好备考，好好复习，选对专业，未来本科毕业之后就业门路更广，选对省份，他不必再像河南一样 是上个大学这么难。其他有一些省份专升本是比河南要简单很多了。
111许昌郑少博老师
01:17查看AI文稿AI文稿我们今天昨天的按摩可结束了，昨天晚上接我家儿子的时候，我家儿子接到了就开始就好好大叫就妈。这次数学考的 肯定满分。不行了，他讲数学二十二次，第三次古怪的难，就那一次他都写了四十分钟，还不知道对错。所以我就在讲这个二模怎么比一模还难，你不就在打击孩子的信心吗？我也不知道我们家今天是为什么是这样安排的。哈， 听讲其他的区域也难，什么包河的、瑶海的二模比一模也难，孩子到最后需要的是信心，你这样打击对吗？ 这种这种感觉好像不按常理在出牌。一般是一模难，二模稍微难一点，然后三模就不难了，但到现在二模比一模还难。 你要这次考的不知道怎么样啊，反正我们家已经考结束了。呃，具体的结果应该是在五一过后，然后再通知我们家长，就是告知每个人 考什么名次，大概多少分，我们到时候才知道结果。希望期待我们家保持跟上一次差不多的水平就 ok 了。
48吴影
