杭州二模2023数学马尔可夫链
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11:39查看AI文稿AI文稿好，接下来我们来讲一下马尔克夫恋问题，那么在二零二三年新高考一卷第二一一题概率大题中啊，正好考到了这个问题。那马尔克夫恋啊，他是高等数学中，然后概率论和数理统计中的一个概念， 马尔克夫是俄国的一个数学家，然后马尔克夫恋指的是什么呢？他指的是一个事件啊，在某种约束条件下的一个随机过程，然后我们需要对这个随机过程的结果啊进行模拟， 然后他跟我们高中学的东西有什么关系呢？那关于比较密切的是全概率公式，那跟全概率公式的关系是怎样的呢？ 那我们的全概率公式啊，他相当于是对这个随机过程进行的第一次模拟， 也就是说全格列公式求的是那个 第一次后发生的概率，然后那个马尔克夫恋呢，他指的是第 n 次后 发生的概率，所以这就是他们的区别。那么第 n 次后发生的概率怎么去求呢？如果你用全概率公式从第一次开始往后推，那显然是不科学的， 那么马尔克夫恋啊，他是站在一个后面的角度，也就是说我们是研究第 n 次和他的前一次之间的关系，从而得到一个地推公式，然后把这个地推公式啊称作马尔克夫列。 好，那我们先讲一个基础的问题啊，大家看，你们的第一德尔摩餐厅供应一千名学生用餐，然后每星期一有 ab 两种菜品，科学，然后这里面潜台词也就是只有 ab 两种菜可以选，然后调查资料显示，星期一选 a 菜的学生中，有百分之二十在下边 周一选 b 菜，那这里面我们画一个图，假设那个这个周一啊选，选了 a 菜，那他下一周继续选 a 菜的概率是多少呢？零点八，那意味着下一周选 b 菜的概率啊，就是零点二。 然后如果选了 b 菜的话，那下一周一选 a 菜的概率是多少呢？零点三，那意味着下一周选 b 菜的概率是多少？零点七，这就是我们之前讲的约束条件，也就是他会满足这个规则。 然后用 an 和 bn 分别表示在第 n 个星期一选 a 赛和 b 赛的学生数，然后写出 an 和 an 减音的关系，以及 bn 和 bn 减音的关系。 好，那这里面首先因为这个 an 和 bn 代表的是学生人数，学生人数是不会发生改变的，所以我们首先可以列第一个式子， an 加 bn 啊，是等于一千的。好，那接下来我们写 an a n 指的是第 n 个星期一选 a 赛的人数，那这个人是从从何而来呢？他应该是从上一周选了 a 赛和 b 赛的人中来的，那上一周选 a 赛的应该是 a n 减一个人， 然后上一周选 b 色的呢？是 bn 减一，因为上一周选 a 赛，这周还有可能选什么？选 a 赛，而且的概率应该是高达零点八。 那如果上一周选了 b 菜，那这周要如果选 a 菜的话，那应该是多少？零点三，这关系刚才我们连接过了，那接下来类比，这里可以写 b n 是不是？那这一周如果选的是 b 菜的话，那上一周 选 a 菜的应该是零点二，是不是？然后上一周选 b 菜的应该是零点七。好，那这样三个在一起减个完成组，你可以把 a 和 bn 减过来，那这个过程我们省略掉啊， an 等于零点五倍的 a， n 减一，加上一个三百， bn 等于零点五倍的 bn 减一，加上一个二百。当然这个式子如果你接着往下算的话，可以用数列的知识把这个 an 和 bn 的同样公式求出来。 好，那接下来我们来看这个二零二三年的高考题，当然这个高考题的话，原题有三小问，这题目我只节选了第二问啊，好，我们来看一下题目。 加一，两人投篮，然后其中一人投篮，然后规则如下，然后若命中此命中的话，此人继续投篮，然后如果没有命中的话，那对方投篮， 然后甲每次投篮命中率是零点六，乙每次投篮命中的命中率是零点八，然后由出签决定第一人投篮人选，然后第一次投篮是甲，乙的概率多是零点五，然后这里面第二问是求第二 二次投篮的人是假的概率。好，那这里我们可以说一下，那假设第二次是假的概率啊，是 p i， 那第二一次是甲，那第二减一次可能是甲，也有可能是什么？是乙，那第二减一次是甲的概率是不是 pr 减一，那么是乙的概率应该一减就到 pr 减一， 因为只有他们两个在玩吗？是不是？好，那如果第二减一次是假的话，那最终还是假，那说明假，这一次应该怎样？应该命中了，说明是乘以零点六的， 那如果上一次乙的话，那说明乙应该没有命中，那这样的话，第二次才能是假来投篮，那乙命中的选零零八，没有命中，应该是零零二。好，那这样的话我们可以整理一下，得到 p i 应该等于零点四倍 的 p r 减一，加上一个零点二，那这个根据树立的知识啊，最后就可以把 p r 的通行公式取过来，等于六分之一乘一个五分之二的二减一次方，加上一个三分之一。好，那么这就是那个今年的高考题啊，用那个马尔克夫练来解决。 好，那接下来我们来讲一下马尔克夫练在一些排列组合问题中的应用，那这里面的话，我们就只讲模型，不讲具体的题目了啊。好，那讲的第一个模型是马尔克夫练中的传球模型，那为了不会使问题很复杂，我们选那个四个人来进行传球， 然后四个人传球，然后问的是第 n 次传球后球回到甲的概率是多少？那就意味着是从甲开始传，从其实大家发现这个马尔克夫林啊，到底是谁 开始的话是无所谓的，我们只关注什么，就是那结果啊，因为第 n 次传球后，那个球回到假手上的概率。 好，那么这里面我们先求一下什么呢？先求一下回到甲手上的方法数，有多少种可能性啊？多少种可能性。那这里面我们也是把这个研究啊，第 n 减一次传球和第 n 次传球，那第 n 次传球回到甲 的话，那我们把它记做 a n 是不是？那前一次的话的球可能在甲，可能在乙，可能在丙，也有可能在丁，这四个人手上都有可能，是不是？那么其中在甲手上的概率应该那个方法数应该等于多少？ a n 减一， 先减一。好，那么在乙丙丁手上的方法说，我们可以在一起来看啊，比方说那上一次求，如果颠减一次，如果在乙上面的话，那下一次乙只能传给甲， 是不是？那在丙上面也只能传给甲，然后如果金上面呢，也只能传给甲，是不是？也就是说乙丙丁他们的方法数直接乘以一，是不是就得到这个 a n 啊？所以这样的话，我们可以得到什么呢？ 也就是乙丙丁三个人在一起的方法数应该正好是多少，是 a n， 但由此我们可以得到 an 减一，加上 an 应该等于 dn 减一次传球的时候所有的传球方法数， 那因为四个人传球，那其中一个人他只能传给另外的三个人，是不是？所以每一次传球啊，都有三种可能性，那 n 减一次传球呢，就有三的 n 减一次发种可能性，那么这样就得到一个绝对公式。 好，那从这个基础公式啊，接着往下去算，那你就可以求出 an 的同样公式。那如果你要求的是回到甲属上的概率，因为我们这里面的 an 指的是回到甲属 的方法数啊。如果是求概率的话，那您还要拿 an 除以一个三的 n 次方，也就除以总的方法数，这样求的是概率。那这题我们把它升华一下，也就是说我们把它推广到一般模型，也就是如果是 m 个人传了 n 次求，然后最后回到假选的概率。 呃，方法数，那这样的话，这个模型我们就可以选成什么呢？ an 减一，加上 an 等于 m 减一括号的 n 减一四方，然后根据这个公式啊，你可以去求 an 的通向公式。好，那么这就是 n 个人传球模型， 下一个是台阶模型，那台阶模型的话指的是什么意思呢？就是现在有一个 n 级的台阶， 那某人啊，要上这个台阶，是不是？那他一次可以上一步，一次也可以上两步，也就是一次可以上一级台阶，也可以上两级台阶，然后问的是 能上到第 an 第 n 级台阶的时候，他的方法数有多少种？他的方法有多少种？那么设第到达第 n 级台阶的时候啊，方法数有 an， 那他前一次的话应该是 an 减一，再前一次的话是 an 减二。好，那这个模型怎么去看呢？ 如果你在 an 减一这个位置，如果我想到达 an 的话，那下一次只能上一步，也就选择性只有一种，是不是？那如果我在 an 减二的话，那你选择是不是也只有一种？也就是意味着这个 an 啊，他从哪里来的？他从 an 减一和 an 减二而来，这个 an 减一是不是只能乘以一？ 可以吧， rn 减二呢，也只能乘以一，因为这个方法数已经固定好了，从 an 减一到 an 只差一级台阶，你只能选择一步，是不是？而从 an 减二到 an 差两级台阶，你也只能选择一次跨两级，所以方法数是确定的，所以 这样的话就可以得到这个模型呢？这个公式 a n 等于 an 减一加 an 减二，那这个这个公式的话，其实是满足那个费不拉七数列的是不是？那你要解这个数列的话，你需要知道它的第一项和第二项。 那在这个模型当中 a 一指的是什么呢？就是一级台阶，那一级台阶我肯定只能跨一步上去，所以 a 一方法数只有一种，然后 a 二的话，那我有两级台阶，那我就有两种选择，第一种我可以一次上一级，上两次， 那这是一种方法，是不是我可以直接一步跨两级上去？所以 ar 应该是等于二，那知道第一项和第二项，然后又知道这个 dj 公式，你就可以把这个同样公式给取关了。 好，那么这是第二个台阶模型。第三个是错牌模型啊，那这里面假设有 n 个人错牌，是不是？那 n 个人错牌的话，那方法数是多少？那我们先从第一开始推啊。 好，那如果只有一个人的话，那错牌是等于零的啊，因为一个人不会错的吧，不会错，然后如果两个人错牌的话，那两个人相互教花一样就可以了。那也只有一种方法数，那第 n 种的时候，我们设为 n 个错的，我们设为 a n， 那 a n 怎么就错牌呢？我们来画个示意图啊， 这是 n 个人，是不是？那我们先排第一个人，那第一个人他不能站在自己的位置，他应该站在后面的某一个位置，是不是？好，那你先得从后面呢，选一个位置给他，那后面应该有 n 减一个位置，是不是？好，那假设他坐到第 k 个位置了，可以吧？坐到这 k 个位置， 那他坐在 dk 的位置，那 dk 的位置，这个这个人啊，他也得出去，是不是？他也出去，他要不能坐自己的位置，自己的位置已经被占了，他要去别人的位置，那接下来他坐的位置啊，就有两种情况， 忘了。如果他正好坐在第一个人的位置，正好坐在第一个人的位置，那你发现那这两个人之间相互错牌了，那还剩下多少人啊？十八，剩下 n 减二个人，那这 n 减二个人直接怎样错牌就可以了，是不是也就是 an 减二？ 好，这是第一种情况，他是坐在就是正好坐在第一个人的位置上，那正好就剩下的 n 减二根错牌，那如果他没有坐在第一个人的位置，没有坐在第一个人的位置，那这个人他有多少种位置可以选呢？他是不是 n 减一个位置可以选，那就相当于是 n 减一个人进行错牌。好，那么这就是错牌问题的同样公式。 好，那根据这个通用那个地图公式的话，你也可以把他那个通用公式给取过来啊，那么一般常见的错白，我们记住前五个就可以了啊。好，那么这就是这就要讲的马尔克夫恋问题。好，就到这里。
138潜山路拾荒者
27:19查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是老林，我们今天来一起看一下高考模拟题中的马尔科夫恋问题。呃，我们的马尔科夫恋自从二零二三年新高考一卷出口之后，各大模拟题已经是比较泛滥了， 但是有的同学还是不大会处理这种问题，而且啊，比如说武汉酒调那种更啊更复杂点的马尔克夫恋的问题，我们怎么去处理？今天来一并说一下。首先，什么是马尔克夫恋啊？这个涉及到一个数据统计的概念啊， 那么我们呢？先啊，你可以先看一下我这里写的一个概念，能不能看懂啊啊，刚看这个肯定是看的不太明白了，我们直接以题目来说明一下什么是马尔克夫恋。好，我们直接看一下我们新根号一键那个二十一题啊，这里说是甲乙两人投篮，每次由其中 一人投篮。好，我们的规则就是标准的马尔克夫的一个过程啊，他说若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换为对方投篮，事实上就是在甲乙 两个人中互相传，互相传，是不是就是说互相互相转手啊啊，如果这一次脚握着 他投篮，命中了，那还是他投，如果他没命中，就交给对方投，那就是说我们第 n 次到底是谁投篮，要看前一次，要看前的 n 减一次 啊，谁命中了是不是？谁命中了就谁头嘛？是不是没命中就换个别其他人头？所以我们的假如第 n 次这个状态，到底是谁头？是跟前面那个状态是有关系的是不是？那我们再看一 马尔克夫恋这个概念，当前的状态去判断前一个状态或者后一个状态与该状态联系，从而得到地推式，这就是马尔克夫恋的一个东西。我们主要就找了个地推式啊， 就是说我们这里就说过程的每个状态转移只依赖前面的 n 个状态啊。注意，我们刚刚的这一个投篮，就是我们到底是谁投篮只依赖于前面的他前一次啊？他前一次的前一次会对他有影响吗？不会啊， 那么我们这里每一个状态依赖于前一个状态，这个过程就是一阶的马尔克夫形态，如果是前面的两个状态对这个状态有影响，那么就是二阶的吗？是不是？那我们一般来说就是什么？就是一阶的，当然也有可能有二阶的，等下我们继续说啊。好，我们来看一下这个题， 那这种题一般人怎么做呢？他的一般的步骤就是我们以什么以第 n 次为起点，以第 n 次为出发点， 你可以直接设第 n 次的概率为 p n 就是。哎，我们的啊，第 x， 我们就写成第 n 次吧，第 n 次是假头的概率为 p n， 然后以这一个 d n 次为起点，写出， 写出 p n 加一与 p n 的关系啊，我从第 n 次，然后看它的下一次是不是写出这个关系，然后第三个再写出我们的通向。 好，那我们来看一下这里，假如 d n 次是甲的话， d n 次是甲， d n 次投篮的是甲， 那么乙头狼肯定是一减偏吧，一减偏好，那我们看一下，那么 p n 加一呢？ d n 加一字如还是假 是什么关系？第 n 加一次还是假，那我们要分两个情况，是吧？那我们对 n 加一次有影响的就是 n 次嘛，第 n 次，如果第 n 次是假，如果就是偏的话，他要命中，他要命中 才继续是甲，是不是？如果第 n 次是乙的话，就是一减偏，他不命中才会传回甲，是不是？不命中是零点二吗？命中是零点八，这里有。 好，那我们的 pn 加一就这等于这两个之和，是不是？那我们就写出来，就是第二步已经写出来了，那么 pn 加一就等于零点六的 pn 加上零点二的一。减。去 撇啊，稍微化解一下，所以就是等于零点四的撇，加上零点二。好，我们第三个就是我们要写出啊，我们写出这个地推式之后，然后用什么标准的？标准的我们 啊，我们的数列里面， a n 加一等于 p 倍的 a n 加上 q 的这个类型够什么？够到一个等比数列是不是？那我们这里就是代替清楚，我们知道 a n 加 x 是什么？为 公比为 p 的等比数列，然后代定求出 x 就可以了。 等比数列啊，是吧？用是。 好，那我们在这里我们求一求，那这里我们就说 p n 加 x 是公比为零点四的 等比数列。好，那么 p n 加一加 x 就等于零点四的 p n 加 x。 好，我们继续把它画一下，那么 p n 加一就等于零点四， p n 减去一个什么零点六 x。 好，我们这里啊，这这一个和这个对比一下，所以零点六 x 等于什么啊？负零点六 x 等于零点二，所以得到我们 x 等于 不？三分之一，所以我们就得到了。得到什么？得到我们的 p n 减三分之一 是等比出来，那我们可以写出来吧， p n 减三分之一等于什么？等于 p 一减三分之一乘以。好，我们的公比是零点四啊，写成分数吧，五分之二的 n 减一次方， 然后把 p 一零点六代入，我们就可以求出 p n 的解析式，是不是 p n 解析式求出来了，代入第三问就做完了，那么其实关键就是什么？关键就是写出地推式。好，我们第三步就是什么 构造数列走通向 构造数列求同项二。 好，这是我们的基本的马尔克夫恋的一个菱形啊啊。大家知道这个之后，我们接着继续看一个例题，这是二零二三年惠州一毛这个题目。好，我们来看一下。 首先以我们刚刚的为例子啊，大家如果啊不熟悉，继续啊，暂停，迅速看一下题目啊，我们直接做第二题，直接做第二题，我们以 p n 为出发点 啊，他这里也就是举出这个例子。我们就是选餐的问题，我们第一天选择米饭套餐的概率为三分之一 啊，那其实就是 p 一吗？是不是？前一天选择米饭，而后一天继续选择米饭的概率就是四分之一，前一天选择面食，后天继续选择面食，是二分之一，如此往复，这就是什么？这就是我们后一天选什么，跟前一天是有关系的，是 不是？那我们首先第一天选择米饭套餐是 p n， 那我们 p n 加一呢？好，后一天选择米饭要跟前面有关系，那么前一天如果是 p n 的话，也就是前一天如果是米饭套餐，那我们继续选米饭的话就是， 那就是 p n 加一。那我们如果前一天是什么？前一天不是米饭套餐，不是米饭套餐，肯定一减 p n 是吧？前一天不是米饭套餐， 不是米饭套餐，那就是面食套餐。如果前一天是面食套餐，后面选择米饭和选择面食都是二分之一，所以我们乘以二分之一，是不是？所以这个就做完了， p n 加一就等于四分之一的 p n 加上二分之一的一减 p n 啊，是不是很顺， 非常简单是不是？所以我们这里就是负四分之一的 p n 加上二分之一，然后接着继续用一个啊， p n 加一加 x 等于负四分之一乘以 p n 加 x 来了我们啊，当然正题是正明啊，那正明就更简单，是不是啊？我们就可以求出 x 等于负二五分之二， ok， 这就是我们标准的我们一阶的 马尔克夫恋的一个一种题目，是不是很简单？你只要掌握套路，非常简单，是不是？那么我们这一阶的，但事实上有些同学，有些同学可能会遇到什么二阶的二阶，是吧？ 那我们如果其实遇到二节是是是个什么情况？其实就是遇到什么 p n 加一等于什么啊，等于什么 m 倍的 p n 加上 n 倍的偏减一啊，这样的，也就是说其实就是一个什么二阶地推了啊，二阶地推了，那我们出发点方法还是跟这一模一样，没有什么太大的一个 啊，太大一个变化， ok， 这就是我们一阶二阶啊，这种这种这种一个扩展的一个一种题型，大家看能明白能掌握，这种没有啊，这是我们一二两种题， ok， 我们再看一下啊，近期同学问的比较多，我们升级版的 啊，呃，跟刚刚那个二节升降不一样，我们刚刚是两个人玩球是吧？这次是三个人传球，三个人传球或者四个人传球，这种怎么办啊？这种我们首先以他为例子看一下武汉九钓这个题目啊，我们把它总结一下，至少这些题目我们都不会啊， 不会手足错啊。啊。这种传球是三个人传啊，三个人传，当球在假的手里的时候，若点数大于三大于三就是二分之一， 不大于三就是二分之一还是二分之一啊。你大于三我就传给乙，不大于三就保留啊，就甲露给自己了。然后当球在乙的手里时候大于四啊，大于四的概率是三分之一是不是不大于四就是三分之二大于四就传给甲，乙就传给甲， 不大于四呢？也就传个丙是吧。又传到丙头里了啊，如果到丙手里呢？大于三啊，你大于三不大于三还是二分零。我们写着。 那这种题呢，事实上还是一种啊。那我们现在这个情况刚开始这里我们刚开始我们的啊，新账号一卷或者惠州一模这题。 那其实只有两个选择是吧？有两个选择，我们一个是啊 pn， 一个是一减 pn， 那么这里有三个选择，那怎么办？那我们就不能用什么 pn 跟什么哎，一减 pn 来代替了。那我们只能用什么？再设一个吧，再设一个概率是不是我们呃 步骤一啊，我们步骤一啊，写在这吧，设多个概率。 这多个概率啊，当然多个概率都是要以 d n 次为出发点啊。那我们啊，比如甲就是 p n 啊，我们这是甲啊，写在前面吧， 甲就是 p n， 而乙呢？乙啊，我们就 q n 吧，而丙呢？丙 t n， 那么这里就有个关系， 我们其实刚刚刚刚做的是两个的时候，就没有说到关系，这里有个非常重要的关系是什么？ e n 加 q n 加 t n 等于一，是吧？刚刚只是啊，就相当于刚刚是二维的，现在变成三维了，是不是啊？设多个惯例，然后呢？然后 写出多个的一个地推式，写出 p q t 的地推式，按条件写就可以了，这个字儿可能写的大家看不清，是吧？ 啊？地推式，好，我们这里我们就挨个写一下啊，其实我们写地推式就是说啊 p n 加一跟啊 p n q n 加一跟 q 的关系，那我们来看一看。第一个，我们先看，如果我们先递 p n 加一吧，我们要递 n 加一次在甲手里，哎，我们传了个甲手里第一种，第一种呢，这里甲保留第二种，哎，是，这里乙传给甲，第三种，丙传给甲， ok， 我们写一下， 那么一开始求在甲手里传给甲的概率就是二分之一的 pn， 是不是他保留的概率？第二个，如果在乙手里啊，乙手里是 qn 嘛？乙手里是 qn， 乙传给甲的概率是三分之一， 是吧？这里有啊，啊，大于四就是五六吗？三分之一，是不是？然后第三种，如果它丙手里，丙手里是 t n 吗？丙手里是 t n t n， 呃，丙长个角还是 二分之一，是不是？然后我们看 q n 加一啊，我们现在看什么传给乙啊？传给乙，传给乙，哎，这里是传给乙，然后呢？乙自己不会传给乙，那这里又传给乙， ok， 那就是甲会传给乙，还有丙会传给乙，加就是二分之一的 p n， 然后顶也会传给二分之一的 t n， 哎，是不是很快写出来，然后我们看一下 t n 加一 啊，就比刚刚那线要复杂点，是不是？好，我们看传给丙的，谁会传给丙啊？谁会传给丙啊？我们这只发只发现这个只有乙会传给丙，而且是三分之二，所以是三分之二的。什么 三分之二了，已是 cuin 是吧？哎，这个这个，其实再加上我们刚刚这 这个解这个不等式啊，解这个等式就可以了啊，这个什么 t n 加 q n 加 t n 等于一，然后我们解一下就可以了啊，怎么解啊？ 啊，你看 pn 加 tn， 我们慢慢慢慢消啊，慢慢消啊。第二个里面你 pn 加 tn 就等于一减 qn， 所以是二分之一的，是吗？ 第一个二分之一，然后一减啊 q n 啊，事实上我们 q n 可以求出来，是不是？然后这里也是这里啊，三分之一 q n 放这，然后也是二分之一的一减 q n， 二分之一的烟 q， 然后我们接下来啊，二分之一，这里减去六分之一的 q n 啊，这里就是 p n 跟 p n 加一跟 q n 的关系啊， 是不是？那这里啊，到这我们用这两个数字写出来，这一个等于这个和啊，我们把写的旁边吧，啊，写乱了是吧？ p n 加一等于二分之一，减去六分之一 q n， 然后呢？ q n 加一等于二分之一， 括号一减 q n。 我们现在要求 p n 的一个关系啊，现在就有两个策略，你由下面一个先求出 q n， 是不是？然后再求 p n 是吧，这个你这个地推关系立马可以得到 q n 的一个关系式啊，或者呢，或者我们直接求 p n 吧，直接求 p n， 那这里我们带回去啊，所以我们把由第一个式子得到 q n 就等于 什么？呃，乘个六吧，乘个六，乘个六，那么就是三减去六倍的 p n 加一， 是不是三点 p， 然后啊，把这个带入下面就可以了。带入下面，所以这边就是啊，我们的 q n 加一呢，就等于三减去六倍的 p n 加二啊，所以啊，我们把这两个带入这个式子就可以了。 所以三减去六倍的 p n 加二，等于二分之一的一减去三，加上六倍的 p n 加一啊，这算一算，稍微复杂点啊，这 也就是六减十二倍的 p n 加二，等于负二加上六倍的 p n 加一啊，那么这样的一个题目，我们是让啊，就马上能做出来吧。 呃，一到一到一起啊，所以是四减去十二倍的 p n， 这不是四，是八啊。计算加上二等于六倍的 p n 加一， 所以我们把它留下吧，那就是 p n 加二，就等于 p n 加二，就等于负二分之一倍的 p n 加一， 加上这里十二分之八，五个四， 三分之二，是不是？呃，然后这个大家可以自己独立完成了，是吧？啊，当然，这里你想怎么解法，想怎么样解这个，解这个等式啊，都可以，但是我们肯定能够解出来是不是？那这个我就不继续往下解了， ok 啊，剩下的就是标准的一个构造数列的一个问题啊，大家可以自行尝试。好，我们接下来看下最后一个就是我们前期日的天域联盟的这个题目啊， 事实上还是同类的问题，但是，哎，我们感觉好像有四个一样啊，这是一个青蛙在这个池塘的边缘跳跃的一个问题，那这个我就标准的完全做一做，跟这个武汉酒的问题几乎是一样的啊。我们来看 看一看，这里也是第一步，设出每一个的数列，哎，那我们看一下，第 n 次在 a 的概率就是 p n， b 呢？哎，你看从 a 跳到 b 或者跳到 d 啊，是一样的吧，这个是，这个是对称的，那你他是 q n 的话，那他还是 q n 这个大小应该是 啊，没有什么疑问的吧。然后这个呢，肯定是 t n 是吧？啊，首先，那么第一步，第一步我们得到，那第一步设出概率，第一步可以得到什么？ p n 加上两倍的体温，加上 t n 等于一，是不是啊？你在 a， b， c， d 之和肯定是一。 然后第二步，写出什么？写出 p n 加一， q n 加一和 t n 加一。我们看一下，我们如果 p n 加一，就是说 d n 加一，四是 a 点的， d n 加一是 a 点，那就是 b 和 d 跳到 a 或者 c 跳到 a， b 和 d 跳到 a， 就是四分之一嘛，是吧，那就是四分之一的 q n 加上四分之一的 q n 加上二分之一。题啊，还好写吧。然后第二个，我们的 q n 加一， q n 加一， 那就是我们的 b 和 d。 这里假如啊，我们的 b， 这，哎，那么 a 和 c 都是四分之一，是吧？四分之一的撇加上四分之一的撇，再加上什么？再加上二分之一的 q n 啊，没有问题吧，不相邻是二分之一啊。大家啊，如果没有看清题目，迅速暂停，再看一看啊，非常推荐，把这种题自己做一做，然后再听一遍，会理解会更深入啊。题 n 加一了，我们就是说跳到十一点的，跳到十一点是吧？ b 和 d 都是四分之一，四分之一的 q n 加上四分之一的 q n， 然后 a 呢，就是二分之一二分之一的撇，然后同样的解着啊，解着四个等式啊， 解这四个等式解出来就是感觉，感觉看着难受，是吧？那首先首先我们看看解哪一个解哪个，我们就先把整理一下吧，先整理一下，这个就是什么？ 这就是我们的二分之一的 t o n 加上二分之一的 t n。 这个呢？ 啊，这个也整理不了啊，这个也整理不了，这个也是二分之一的 q n 加上二分之一的 p n。 好，我们整理哪一个？我们先整理这一个，因为四分之一提出来之后，四分之一提出来之后，你看四分之一啊， p n 加 t n， 再加上二分之一的 q n， 你看 p n 加 t n 是什么鬼？是不是一减二倍的 q n， 所以四分之一的一减二倍的 q n 再加上个二分之一的 q n， 哎，发现什么？发现二分之一的 q n 抵消掉了，所以等于四分之一，哎，我们得到一个非常关键的一个式子，就是说 q q n 永远等于四分之一，哎，所以 a 对的，也就说 q n 永远等于四分之一，哎，那我们就可以把式子简化一下，式子简化一下，那我们简化成啊，到这简化，那我们 p n 加 t n 就等于什么？等于二分之一，是不是 pn 加 tn 等于二分之一？好， pn 加 tn 等于二分之一，那我们代入，代入第二个数字，那就简单了嘛，那就 pn 加一等于二分之一的 啊， q n 加上什么？加上二分之一的一减去 撇，是不是？这是我们第二个式子，然后最下面这个式子，最下面这个式子， t n 加一等于二分之一的二分之一的 q n 加二分之一的 p n 啊，二啊，这里这里不用算了，这不算，这直接算出来是吧？因为 q n 是等于四分之一啊，这看丢了啊，这里 q n 是四分之一，所以就是八分之一加上什么加上二分之一减去二分之一的撇，所以我们就直接可以算出来了，所以 p n 加一就等于八分之三减去二分之一 p n 啊，由于这个题我们要算出，呃，这个 啊，我们得到 abcd， 哪个是对的？那我们必须把那个 pn 解析式要算出来，是吧？那这里我们就还是大连系数吧，我们 pn 加一加 x 吧， p n 加一加 x 就等于负二分之一的 p n 加 x 啊，这里我们稍微待定一下，这个算一算啊， 所以就是负二分之一 x 减 x 就等于什么等于八分之三啊？这里 再说一遍，我这里直接就是代替系数了，我们让 pn 加 x 一个等比数列，它的公比就是我们前面系数，所以我们就立马可以算出来， x 就等于，你看，负二分之三，所以四分之一啊， 所以我们这里啊，就是负四分之一，是吧？因为负二分之三，所以负四分之一。 ok， 那我们就知道 p n 减四分之一是等比数类，那我们 p n 减四分之一， p n 减四分之一是等比数类。 等于什么？ p 一减四分之一乘以什么？负二分之一的 n 减一四方，然后 p 一等于多少呢？ p 一等于多少 啊？ q n 等于 q e 等于四分之一， t e 呢？ t e 等于二分之一啊， p e， 那注意，那你说我们的 t e 是等于 二分之一啊，带入这里， p 一等于零是吧？啊，当然也可以知道你第一次在 a 点的概率是多少，肯定是零嘛，因为你如果一开始位于 o 点，呃，一开始位于 a 点，敲一次之后不可能还在 a 点吧，是不是所以 p 一等于零啊？ 跳跃一次的概率啊， p 一等于零好， p 一等于零，好，我们这里就得到 p n 就等于四分之一减去四分之一的 负二分之一， n 减一次方，而我们为了这里跟他统一起见，你把四分之一写作什么四分之一，你可以写作负二分之一的平方，那这里那么四分之一减去负二分之一平方，加上啊，乘以这个，那就是负二分之一的 n 加一次吧。哎，我们就写出偏了，是吧，让我们看下 c 选项，青青蛙跳动了一个基数字之后是，呃，概率小于四分零，那我们主要看一下他这是后面为正为负啊， n 为基啊， n 为基的话， 那么 n 加一就是偶数了吧，那么负二分之一的 n 加一次方，那肯定是大于零啊，大于零，所以 p n 就小于四分之一是吧，所以 c 也是对的是吧？啊，我们看 d 选项啊， d 选项有时候存在 存在啊， n 属于正整数，使得就说，那我们 c 点的概率跟 d 点概率相等啊， d 点概率就是四分之一，也就说存不存在一个整数使得 t n 等于四分之一，那我们这里 排球啊， t n， 而我们刚刚在这里啊，刚刚在这里就有啊。 t n 等于什么？二分之一减去。呃， p n 是吧？ t n 等于二分之一减去 p n 啊，我们这里 p n 也算出来了。呃，所以这一算就是什么？ 呃，一算我们这里就是四分之一，加上负二分之一的 n 加一次方还要等于四分之一，可能吗？这里肯定不能等于零呢。所以 不可能啊，不存在 n 啊，所以 d 是错的。 ok， 这个题我们就做完了，我希望通过这些题目你们把这啊，这三种吧，这三种马尔克夫恋的形形掌握清楚啊。啊，一种是 我们一阶的啊，就是一阶的啊。呃，第二种呢？第二种就是啊，多阶的。什么叫多阶呢？就是，呃，我们前我们一个状态被两个状态影响，其实就是我们的铜像公式里面存在什么？存在二阶的铜像， 二对二级的地推吧。然后第三种就是什么？这种三维的是吧？这种三维的啊，不要两个人传，两个传球变成三个人传球 和我们的可选可选择东西有三个啊，当然应，应该来说不可能有四个的，有四个这个，那太变态了是不是？ ok， 这就是今天的这一个马尔克夫恋的一个内容。
215老林解数
