24年高考证

看一下这个十七题，他给了这个四棱锥，对吧？然后告诉了 p a 垂直于面 a、 b、 c、 d， 嗯， p a 呢？等于 p c， b、 c 给了， ab 给了。若 ad 垂直于 p b、 c， 让我们证明 ad 平行于面 p、 b、 c， 那 看，让我们证明线面 平行，对吧？那我们可以先正一个线线平行，这条线呢，肯定是这个面里的，那正完线线平行，是不是就可以得到这个？嗯，线面平行了呀？ 那我们看一下，他题干给了我们，因为他给的这个 pa， 对 吧？ pa 是 垂直于面 a、 b、 c、 d 的。 如果说一条线垂直于一个面，那这条直线就垂直这个面上的任意一条直线，对吧？所以我们就能得到 pa， 它是垂直于 ad 的， 然后因为这个题干给了我们 ad 垂直于 p b 吗？因为 ad 垂直于 p b， 对 吧？啊？所以我们能得到什么？一条直线，如果说垂直于平面上的两条 直线，那么这个直线和这个面垂直，所以说 a、 d 垂直于面 p a、 b， 一 条直线 垂直于一个面上两条直线，那我们就能推到这条这一条直线 垂直于这个面，这就是我们用到的它，对吧？那我们又知道线垂直面，那线就垂直于面上的任意一条直线，所以说 a、 d 也垂直于 a、 b， 对吧？然后又给了我们这个 a、 c 呢，等于二， bc 呢？等于一， ab 呢？等于根号三，那一二根号三，那是不是能我们能求出来这个 bc， bc 方加上 ab 方等于 ac 方啊？ bc 方加上 ab 方等于 ac 方，那是不是这块是一个直角啊？所以说我们能求出，能推断出 bc， 它是垂直于 ab 的， 对吧？ 你看 bc 垂直于 b， ad 垂直于 b， 那 是不是就是 ab 平行于 bc 了？这块呢，我们用到的就是，如果说两条直线 都与另一条直线垂直，那我们就能推断出这两条线 平行，所以说我们能求出 ad 平行与 bc， 那 线线平行，那是不是就能求出线面平行了？因为得强调一下，因为这个 ad 呢，它是不在这个面 p、 b、 c 以上的，所以线线平行，我们能推断出线面平行。 嗯，第一问呢，我们就正完了，那我们看第二问呢，它给了 a、 d 垂直于 dc， 又给了二面角的正弦值，那它的这个正弦值 sin 这个正弦值 sin 这个面的正弦值，它等于七分之根号四十二。那我们是不是能想到余弦值啊？ 那这个余弦值是不是就能等于一减去根号三的平方啊？它是不是，呃，余弦值就等于七分之根号七啊？只要我们在这个，嗯，四棱锥中或者是这个立体几何中我们出现了这个余弦值，我们想到的就是平面向量的数量积， 那我们看一下平面向量数量积公式， 平面向量的数量积公式呢？就是口塞。呃，两个向量，一个 m 向量 n 向量，这个就等于 m 向量乘以 n 向量比上 m 向量的绝对值乘以 n 向量的绝对值，这个 m n 向量代表啥呢？就是代表这两个面中的法向量。就比如说这个二面角 a、 c， p、 d， 它这两个就是代表 a、 c， p 的 法向量， 其实就是 m 向量和 c， p、 d， 就是 这个面和这个面的法向量 n 向量。就以后我们再遇到这种题的时候，看到这种的正弦值，我们想到的就是求余弦值，然后求余弦值呢，就是根据这两个向量的法向量，这两个法向量呢，就是分别是第一个面的法向量和第二个面的法向量，然后至于法向量呢，再怎么求呢？我下边再领你看一下。 呃，因为法向量它是不是就是相当于一个 syz 的 形式？所以说我们要建立三 v 直角坐标系，三 v 直角坐标系呢，我们以它为 x 轴， 以它为 y 轴，以它呢为 z 轴。那我们可以设一个地点，地点它是不是在这个，呃，这个 s 轴反方向啊，对吧？以这是坐标原点，那这块我们就设地点是 s t 零，可以，是吧？我们设 d 点的坐标是 s t 零，然后 s 呢？是小于零的，因为它这是正方向嘛，那它在那头它就是反方向的， 那我们看到 d 点是 s t 零，然后给了 t 杠，给了一个 a d 垂直于这个，呃， d c， 对 吧？那我们就给它向量表出来呗。我们设了 d 点是 s t 零，那 c 点呢？我们是不是也能表示出来它是零 二零，对吧？因为 a a c 等于二嘛，然后 p 点呢？我们知道，因为 p 点在这个 z 轴上，所以说它是零零二，然后 a 点呢，它是坐标原点是零零零，然后题干中给了我们，嗯， a d 垂直于 c d， 那 我们把这两个向量 给他表示出来，因为这个呃两，如果说两个向量垂直的话，他什么的数量积相乘是不是等于零啊？所以说我们把 a d 求出来，就是等于 d 减 a， 对 吧？ d 减 a 的 坐标，那就等于负 s 负 t 零，然后 c d 向量呢，他就等于，嗯 d 减 c， 对吧？就等于 s t 减二零，所以呢？因为他俩垂直吗？所以说他们的坐标相乘等于零，那就是负 s 方减去 t 倍的 t 减二等于零，能求出 s 方就等于 t 倍的二减 t， 然后这个 t 呢，它是呃大于零，小于二的。然后我们如果说想求这个，呃，因为 t 给了我们正弦值，我们得用到余弦值嘛？余弦值我们只求这个项链机嘛，对吧？那我们可以求一下啊，面 p a c 的 法项链， 面 p a c 的 法项链就是 呃，一零零，他是怎么来的呢？就是我们看一下，如果说如何求一个面的法向量，这个面呢是 p a c， 我 们给他 找出两条线，两条线段的向量就随便两条，就是比如说 pa， pcac 随便两条，那这个时候我们可以求 ap， 因为这有 a 有 p 吗？对吧？ ap 的 向量是等于零二零，这个知道，对吧？然后 ac 的 向量呢？我们也知道他是等于零二零，然后我们设他的法向量 是 m， 向量是 x y z， 我 们怎么求法向量呢？就是让 a p 向量乘以法向量等于零，再结合 a c 向量乘以法向量等于零，我们就能求出来法向量， 这个时候让它等于零，是不是？呃，零零啊，就是二 z 了，对吧？二 z 等于零，那我们能求出 z 等于零，然后这个呢也是零。二 y 等于零，然后我们能求出呢？ y 等于零，这个时候我们就因为法向量吗？他都得另 x 设，就是另一个数， x 或 y 或 z 等于一个值，这个值呢，我们通常都设为一，所以说 y 等于零， z 等于零，那他这个法向量就是一零零，法向量就这么求出来的，那我们再看一下面 p c、 d 的 法向量， 那就是 n 向量，它怎么求呢？我们还是用这种方法。呃， p c 在， 我们在 p c， d 中，在 p c、 d 中呢？我们找出找出两点，比如说 p c， p c 向量，它等于零，负二二， 嗯， p d 向量呢？它等于负 s 负 t 二。然后法向量 n 向量呢？还是设 x y z， 我 们再用上边儿这个方法再求一下向量，那是不是就是 p c 向量乘以 n 向量等于零， p d 向量乘以 n 向量等于零啊？ 那就是零，对吧？负二 y， 那 就是负二 y 加上二 z 等于零，那它这个就是负 s x 减 t， y 加二 z 等于零，对吧？然后我们还是给他另一个数，那我们另， 我们比如说给这个二 z 给他一代入，那是不是就变成负 x， 呃，减去二加 t 倍的 y 等于零了， 对吧？那我们另这个另 y， 因为上下都有 y 和都有 z， 对 吧？我们另 y 和 z 都行，我们另 y 等于 s， 如果说另 y 等于 s 呢？那这个 z， 因为 y 是 不是等于 z 啊？这个我们是不是能求出 y 等于 z 啊？那我们另 y 等于 s， 那 么 z 是 不是就等于 s？ 那 我们给它带入这个里面，是不是能求出 x x 就 等于二减 t， 所以 说 n 的 法向量就是二减 t 倍的 s s， 对 吧？那我们，嗯， n 向量， 嗯，它的反向量和它的反向量都求出来，那我们就用一下数量级公式，那就是 m 向量乘以 n 向量，它就等于 m 向量乘 n 向量，它乘它呗，就是二减 t 都乘零了，比上它的向量绝对值，就是根号下它方加它方，它方加它方加它方，就等于 嘴巴就得根号一吗？就没了。那就等于它方加它方加它方就是二减 t 扩回的平方加 s 方加 s 方加上二 s 方呗，那它就等于二减 t 比上根号下这一通分余分就是四 减 t 扩回的平方，它等于等于多少？括号是等于七分之根号七， 那么解得 t 给他十字相乘，那他就等于 t 就 等于二分之三了，对吧？那所以说，呃， d 的 向量我们是不是就能求出来了？是二分之根号三，二分之三零， 那 a、 d 向量是不是就是 d 减去一样，你也是二分之根号三，二分之三零，所以说 a、 d 的 绝对值就是根号下它方四分之三加上四分之九，加上零，等于二分之 根号十二十二就是二倍根号三，所以 d 就 等于根号三，就求完了，对吧？那这道题呢，我们就 嗯看一下。如果说想正一个线面平行，我们可以先正他线线平行，因为线线平行就能推导出现面平行，然后提干给了 p a 线垂直于面，如果说线垂直于面，能推出 线垂直面上任意 一条线，所以说 p a 能垂直于 a、 d， 又因为那题他给了 a、 d 等垂直于 p b 啊。如果说一条直线垂直于一个面上的两条直线，所以能说明这条直线垂直于这个面，因为线垂直于面，所以说线还是，对吧？垂直于面上任意一条直线能求出 a、 d 垂直于 a、 b， 对 吧？ a、 d 垂直于 ab， 然后又给了 a、 c b c， a、 d 的 关系，它是勾股定律嘛。所以说 b、 c 垂也垂直于这个 ab， bc 垂直于 ab， ad 垂直于 ab， 所以 ad 和 bc 是 平行的啊，线面平行呢，所以说线它是平行于 这个线所在的。这个面第一份我们就求完了，等第二份呢，我们就看到他给了正弦值，那我们肯定首先想到的是余弦值，对吧？余弦值我们就想到的平面向量数量积公式。 平面向量的数量积呢，就是用，嗯，一个平面的法向量，他两个法向量相乘，得到一个这公式。然后重要的就是这个法向量的求法，这需要咱们掌握，我们 把他一个面，比如说面 a， p、 c 吗？我们一个面中取出两条项链给他写出来，然后我们设这个法项链，让他这两个项链相成都等于零。然后我们另 赋予一个未知数一个值，那这两个另两个值就能求出来了，同理呢，这个也是，所以说这道题我们就求完了。嗯，主要公式呢就是既线线线平行，能推出线垂直面上任意一条线。 嗯，然后这个呢，就是证明这个呃法向量的求法，学会法向量的求法，这个呢就是学会平面向量数量积的公式。