高考数学2022乙卷答案
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17:54查看AI文稿AI文稿这节课我们来看二零二二年全国 e 卷理科第九题，已知求 o 的半径为一，四棱锥的顶点为 o， 也就是说四棱锥的顶点位于求 o 的球心处，底面的四个顶点均位于求 o 的球面上， 则当该四轮追的体积最大时高为多少。 这是一个非常经典的立体几何中的最值问题。对于立体几何中的 最值问题，我们求解的思路是函数思想，就是说把四棱锥的体积表示成一个函，一个变量的函数。比如说 我们把这个四棱锥的体积写成关于变量 t 的一个函数，再去求这个函数的最值。 这里边主要需要完成两步，第一步， 将四龙锥的体积表示成一个函数，一个变量的函数。第二步，去 求这个函数的最值。好，我们来看，我们知道四龙锥的体积，他就等于三分之一底面积乘以高， 因为在这个四棱锥中，只有顶点 o 是一个定点， 其他的底面上的四个顶点位置是不确定的，是动的。因此这个四棱锥的高 h 和它的底面面积 s， 它是两个变量。而我们知道， 在利用函数思想求解最值问题的时候，我们需要通过换元或者消元，把多个自变量化为一个自变量。 我们可以通过换元或者是消元把这个函数转化为一元函数，也就是说他只有一个自变量， 再去求他的最值。这里边我们就需要我们去分析 底面面积 s 与高 h 之间的关系。 好，我们来看，我们知道用一个平面去截球面，截到的截面是一个圆， 那么我们用 a、 b、 c、 d 这个底面，四龙锥的底面所在的平面去截这个球面，我们截到的一个截面圆，我们将它记作圆 o e 撇儿。 我们由球体的性质我们可以知道，球心 o 和圆心 o e 撇的连线 和这个洁面是垂直的，也就是说 o o e 片和原 o e 片是垂直的，我们再连接 b o e 片， 那么 b o o e 撇儿和 b o e 撇儿肯定是垂直的，而这个 b o e 撇儿就是这个洁面圆的半径，我们将其记作 r。 那么在直角三角形 o o e 撇 b 中， 我们由勾股定理可以得到 h 的平方 加 r 的平方等于 o b 的平方， o b 是球的半径，那么 o b 的平方就是一。这样我们就给出来了 四棱锥的高 h 和四棱锥的底面四边形的外接源的半径 r 之间的一个关系是， 我们可以看出来 h 越大， r 越小，反之 h 越小 r 越大。 这里边我们主要来分析底面四边形的面积 s 的 大小。 我们可以看出来底面四边形 s 的大小受到两个因素的影响， 第一个是底面四边形外接源半径 r 的影响，第二个是这个四边形的形状的影响。 显然，当四边形的形状确定的时候， 它的外接源 r 越大，那么它的面积就越大。 相应的，如果说外接源的半径 r 一定的时候， 它不同的形状对应着不同的面积的大小。这个时候我们就需要分析当底面四边形的外接源的半径 r 一定时， 那么它的面积的最大值是多少。这里边我们给大家两种分析思路。第一种我们连接 a o e 片， b o 一撇儿、 c o 一撇儿和 d o 一撇儿，我们可以把这个四边 形分成四个小的三角形， 这四个小的三角形都是等腰三角形，并且腰都是这个圆的半径 r。 我们可以根据三角形的面积公式， s 等于二分之一， a b 乘以 say in c， 我们可以得出来 四边形的面积就是二分之一 r 平方乘以这四个顶角的三引直的和。我们把这四个顶角 分别记住 set 一、 set 二、 set 三和 set 四，则这里边就是 set in set 一加 set in set 二加 set in set 三 加 saying cta 四。因为此时我们约定外接源的半径 r 是一定的， 那么它的面积的大小就受到这四个顶角的影响。 我们根据三角函数的有界性知道 saying 值的最大值是一。显然，当且仅当这四个顶角 都取到九十度的时候，四个三引值都取到一的时候，面积最大最大是二 r 平方。好，我们来画一下 面积最大的时候这个四边形的形状，因为四个顶角都要是九十度， 画出来应该是这样的，过圆心 o e 片做两条垂直的直径， 这个时候四边形的面积最大最大值为 r r 平方，显然这个时候四边形是一个内接正方形。 这里边我们还可以给出大家第二种分析方法。 我们说对角线 a、 c 和 b、 d 的交点是 f， 那么两个对角线就把整个四边形分成了四部分。 我们为了便于计算，我们把 a f 记作 a， b f 记作 b， c f 记作 c， d， f 记作 d， 把这一组角记做 set， 那么另外一组角就是派件 set。 而我们又知道 say in 派减 set 就等于 say in set， 那么这个四边形的面积可以写成二分之一， a， b set in set 加 b， c set in set 加 c， d set in set， 再加 a， d set in set， 整理一下就是二分之一 a 加 c 乘以 b 加 d 倍的 saying set， 而 a 加 c 其实就是 a c， b 加 d 就是 b， d 再乘以 say sit。 大家注意看， a， c 和 b d 作为圆的弦，它的最大值就是直径， 而 saying c 塔的最大值是一，当 c 塔等于九十度的时候，所以说他最后的最大值也是二。阿尔方 画出来的图形跟刚才画的一样，也就是对角线为两个垂直的直径。 好，我们通过分析得出来了，当四边形的外接源的半径一定的时候，四边形面积的最大值 指是 r r 方，那么我们就可以得出来， v 小于等于三分之一 r r 方 h。 这个式子里面仍旧有两个变量 r 和 h， 而我们刚才已经得到了 h 与 r 的关系式。 我们可以把阿尔方换成一减 h 方，那就是三分之二倍的一减 h 方倍的 h， 整理一下就是负的三分之二倍的 h。 立方加三分之二倍的 h， 我们把它记成 f h， 其中 h 的范围是零到一。好，这样我们就得到了一个关于变量 h 的一个函数， 下面我们只需要求出这个函数的最大值就可以了。 对于三次函数的最值问题，我们可以通过求导判断导函数的正负，判断原函数的单调性，再求他的最值。大家看 它的导是负二 h 平方加三分之二，我们通分一下就是三分之 负二倍的三 h 方减一。显然这是一个开口朝下的一个二次函数， 因为 h 的范围是零到一，我们只需要关注右边的这个零点。当导函数等于零的时候， h 的值是三分之跟三。 所以说当 h 在零到三分之跟三之间的时候， 导函数值是正的，圆函数递增。 h 在三分之根三到一这一个区间的时候， 导函数值是负的，元函数值是元函数，是递减的。所以说当 h 等于三分之根三时， 这个时候它的体积取到最大值就是负的三分之二倍的 三分之跟三的立方加三分之二，乘以三分之跟三。我们来简单算一下， 三分之跟三的立方是二十七分之三倍的跟三，这三预约就是负的二十七分之 二倍的跟三，而这边是九分之二倍的跟三，也就是二十七分之六倍的跟三。整理一下就是二十七分之四倍的跟三。 这样我们就求出来了起四棱锥体积的最大值。当然了，人家问的是四棱锥体积取最大值时的高的值应该是三分之跟三。 好，我们对这道题目做一个简单的小结。第一点， 无论是例题几何，还是解析几何中的最值问题，我们求解的方法 都用的是函数思想，把要求最值的这个几何量表示为一个变量的函数，再求这个函数的最值。 第二点，我们在写函数解析式的时候，往往会出现多个字，变量，这个时候我们需要根据其中的已知条件， 通过换元或者消元，把自变量转化为一个， 也就是说把多元函数转化为一元函数，再去求最值。第三个，我们转化完了 之后，是一个三次函数，三次函数的最值问题，我们可以通过求导，研究导函数的正负圆函数的单调性， 再去求这个函数的最值。好，这道题目我们就讲到这里。
122朱老师讲高中数学
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12:35查看AI文稿AI文稿我们来看一下二二年一卷的第十八题，说明你 abcd 中 ad 垂直于 cd， a、 d 等于 c、 d， 嗯，这两个相等，这又垂直，所以他俩合起来是什么意思呢？合起来就是 a、 d、 c 为等腰直角三角形， 然后 a、 d、 b 等于 b， d， c， a， d， b 等于 b， d、 c， 然后一为 a、 c 的终点，证明 b、 d 垂直于平面 a、 c、 d。 让我们证明两个平面，我们先把这两个平面给特殊化，把它给专门给它拎出来，用不同的颜色的笔把它拎出来。 这个 a、 c、 d 在哪里呢？ a、 c、 d 就在这里，然后 b、 e、 d 在这里，然后在其中一个平面中找一条可移的线去垂直另外一个平面。我经过观察就是 ac 哈，比较可以，是不是 ac 比较可以， 为什么呢？因为已经有个三线合一了， ac 垂立 b 一也是很明显的，我们只要再证明 ac 垂立 b 一就可以了。我们要证明 ac 垂立 b 一，就要说明什么呢？就要说明 bc 等于 ab， 所以我们接下来证明 bc 等于 ab 即可啊。那接下来我们看一下怎么证明啊？ 因为 a、 d 他等于 dc 啊，等于 dc， 这个 e 呢，为 ac 的终点，三线合一， 所以我们就可以得到 ac 垂直于 d、 e 这边垂直一根线呢？我们再 找一根线啊，再找根线，又因为啊，又因为 db 呢，它等于 db 等于 db， 角 adb， 它等于角 bdc， 所以三角形 a、 d、 b 他全等于三角形 b、 d、 c 啊， b， d、 c， 所以这个 a、 b 呢，实际上就等于 b、 c。 又因为以为 ac 的终点啊，终点说三线合一就可以用了， 所以这个 ae 呢，他就是垂直于 be， ae 垂直 be， 又因为 啊，这个 a、 e 写上 a、 c 更好一点， a c 垂直 b e， 又因为 b e 消 d e， 它等于一点，所以这个 a c， 它就垂直于这个平面 bde， 然后这是线面垂直的判定定理，是垂直两个线条线就垂直这个平面，那面面垂直的判定定理，就是说只要有一根线去垂另外一个平面，这个线在在在 这线一垂直于面二线一在面一里面，两个面就垂直啊。 ac， 它包含与这个平面 adc 中，所以平面 adc 就垂直于平面 b、 d、 e 这第一问就证明出来了，接下来我们来看一下第二问。好，我们来看一下第二问。第二问是 a、 b 等于 b、 d 等于二这个条件我们先把它给标出来， a b 等于 b、 d， 这等于二， 然后这个 abc 也是二，叫 acb 等于六十度，这个是六十度，那么这个 ac 也是二，这是一，这是一啊，是一， 然后这这又是个等腰直角三角形，那这边这边就是根号二，这是根号二， 那这个呢？是一啊，第一也是一，这全部都可以写出来了。 f 在 bd 上， f 在 bd 上 三角形。 a、 f、 c 面积最小的时候， a、 f、 c 的面积是什么时候最小？因为这个 a、 c 是垂直于这个平面 ac 垂直平面 bde， 所以 ac 它就垂直于这个 ef， 所以 ef 叫叫 fec 是直角三角形 fac 直角三角形要求 cf 的最小值，实际上就是求 ef 的最小值， 这是从 ef 的最小的，那 ef 的最小的是什么呢？就是一点到这个到这个 bd 的距离是最小的，就是 ef 垂直于 bd 的时候是最小。 此时我们可以采用等面计划，求出这个 c 点到这个 adb 的高就可以了。 好的，那接下来我们看一下这个解析的过程啊。解析的过程，首先第一步我们交代所有的边长啊，所有的边长，因为 a、 b， 他等于 b， d 是等于二，由一可知， 这个 bc 他也是等于二。又因为角 acb 等于六十度，所以三角形 abc 为正三角形， 所以这个 a、 c， 他也等于二，也等于二。又一又有一只， 这个 a、 d、 c 为等腰直角三角形， 直角三角形，这个一致就知道了哈，直角三角形，所以这个 a、 d， 他就等于这个 d、 c 等于根号二，这个 d、 e 呢？等于 一啊，等于一。算了之后呢，我们接下来分析啊，因为因为什么呢？ ac 是垂直于这个平面 bde， 这个 ef 呢，是包含于这个平面 b、 d， e， 所以这个 a、 c， 他就垂直于 e、 f， 把这个 e、 f 画一下画出来， 所以 s 三角形 三角形 a、 f、 c， 他就等于两倍的 s， 三角形 f， e、 c， 因为什么呢？因为这个就是这样的哈，他实际上是这样的一个东西， 这是 e， 这是 f 啊，这是 a， 这是 c， 这个是终点吗？所以这个三角形的面积是等于这个面积的两倍啊，这个意思，那他就等于什么呢？他就等于两倍的，两倍的什么呢？这个 ef 乘以这个 e、 c， e、 c 就是一，这除以二，就是等于 e、 f， 这是三角形 affc 的面积的 ef， 所以说我们只要求助 ef 的最小值就可以了。 ef 的最小值在三角形 形三角形 b、 e、 d 中，因为这个 d、 e 呢，它是等于一，这个一 b 呢，是等于根号三， d、 b 呢？等于二，所以这个 d、 e 的平方加上 e、 b 的平方，它就等于 d、 b 的平方， 所以这个 d、 e， 他就垂直于 b， e 啊。由等面你可知，二分之一的 d， e 乘以 e、 b， 他就等于二分之一的 b， d 乘以 e、 f 的最小值。所以这个 e、 f 的最小值就是高吗？就是高，最小。你看 e、 f 是这样的话，就是更大一点啊。 这个 e、 f 的最小值等于什么？可以算出来，这个 d， e 是一，这个 e、 b 是更好。三、 一乘一，根号三，比例是二，二分之根号三，所以 ef 就等于二分之根号三。四十 cf， 他就等于根号下 ef 的平方加上 c 一的平方，等于二分之根号七。然后接下来我们再用一个等体积转化就可以了， 因为这个 d、 e 呢，它是垂直于 eb， d， e 呢，它又垂直于 a、 c， 所以 d， e 呢？就垂直于这个平面。 a， b， c， v， d， a， b， c， 它就等于 v， c， a， d， b 记三分之一 s， 三角形 a， b， c 再乘以 d， e 等于三分之一 s， 三角形 a， d， b 乘以这个勾 h， 那这个要说一下啊，说一下， 我们设 c 到 a， d， b 的 高为 h， 就这样，然后这个 abc 这个面积是可以求出来啊，然后 adb 也可以求出来，然后第一眼就知道了，这高就算出来了。那我们求一下啊，求一下 s， 三角形 a， b， c， 他就等于二分之一，乘以二，乘以二，再乘以 c， 引三分之拍等于多少呢？等于根号三 跟老三。然后再看一下这个 adb， 哈， adb 可以把它拿出来，这个是放在超过纸上写哈，这个是 b， 这个是 a， 这个是 d， 这个是二，这个是二，这是根号二。做一个垂线下来，这是二分之根号二 四，减去二分之一，那就二分之七就是二分之可好？十四啊，你告十四。所以 s 三角形 a、 d、 b， 那时间就等于二分之一 乘以根号二，再乘以二分之根号十四等于多少呢？ 等于二分之根号七。所以，所以这个 h 他就等于时间就等于二分之根号七。上面是个根号三，等于七分之二倍的根号二十一。 所以，所以这个 cf 与与 a、 d、 b 数乘加 see， 他的正弦直 c 塔等于什么呢？等于 h b 上 c、 f 等于七分之二倍的根号二十一。比上 c、 f， c、 f 等于多少呢？ 在这里，二分之根号七，二分之根号七 等于七分之四倍的根号三，九分之四倍的根号三就可以了啊，这就是这个，用等体积来求到一个是正贴。呃，正闲值啊，正闲值。当然这个题目也可以采用空间项链间隙法，比较简单啊。这个我就不说了。
232解完这题就睡觉💤
06:06查看AI文稿AI文稿大家好，我是高中数学罗老师。在今年的高考数学真题中，出现了一个严重的命题失误，那就是一道选择题出现了两个正确答案。 那么这道题目出自哪里？为什么会有两个正确答案呢？今天我们就来看一下。 这是二零二二年全国已卷理科选择题的第十一题。已知双曲线 c 的两个焦点为 f 一 f 二，以 c 的十轴为直径的圆，即为 d。 过 f 一做 d 的切线与双曲线 c 交于 mn 两点，且扣三叫 f 一 nf 二等于五分之三。问双曲线 c 的离心率为多少？第一种情况 如图所示，过 f 一的直线交双曲线 c， 左右两支分别于 mn 两点，此时我们设切点为 p， 如图所示，连接 o p， 则 o p 垂直于 m n， 过点 f 二做 m n 的垂线交 m n 与点 q。 在直角三角形 f 一 o p 中， 线段 o p 的长度等于 a， 线段 o f 一的长度等于 c。 根据勾股定理，我们可以解得，线段 f 一 p 的长度就等于 b。 因为点 o 为线段 f 一 f 二的终点， o p 平行于 f 二 q， 所以 o p 是三角形 f 一 f 二 q 的中位线。由此我们可以得到， 线段 f 二 q 的长度就等于二 a， 线段 f 一 q 的长度就等于二 b。 在 r t 三角形 f r q n 中 后三角 f 二 nq 就等于五分之三，线段 f 二 q 的长度等于二 a。 由此我们可以解得，线段 qn 的长度就等于二分之三 a， 线段 nf 二的长度就等于二分之五 a， 所以线段 nf 一的长度就等于线段 nq 的长度。加上线， 线段 feq 的长度就等于二分之三 a 再加二 b， 因为点 n 是双曲线右直上一个点。根据双曲线的定义可知， 线段 nf 一的长度减去线段 nf 二的长度应该等于二 a， 也就意味着二分之三 a 加二 b 减去二分之五 a 等于二 a， 我们可以解得二 b 就等于三 a。 此时我们可以令 a 等于二 b 等于三，我们可以解得 c 就等于根号十三。这种情况下，离心率 e 就等于 cba 等于二分之根号十三。 刚才罗老师提到这道题有两个正确选项，那为什么还会有另外一种情况呢？我们来看一下图，如图所示，若过点 fe 的直线与双曲线的左支相交于 mn 两点，此时我们设 该直线与原地相切，点为点 p 连接 op， 则 op 垂直于直线 mn。 同时过点 f 二 做直线 mn 的垂线交直线 mn 与点 q 公里。在直角三角形 f 一 op 中，线段 op 的长度就等于 a， 线段 of 一的长度就等于 c。 我们可以解得线段 f ep 的长度就等于 b。 因为点 o 为线段 f 一 f 二的终点 o p 平行于 f 二 q， 所以线段 o p 为三角形 f 一 f 二 q 的中位线。由此我们可以解得 线段 f 一 q 的长度就等于二 b， 线段 f 二 q 的长度就等于二 a。 直角三角形 nf 二 q 中 houssini 叫 f 二 n q 就等于五分之三，线段 f 二 q 的长度就等于二 a。 由此我们可以解得线段 qn 的长度就等于二分之三 a。 线段 nf 二的长度就等于二分之五 a， 所以线段 nf 一的长度就等于线段 nq 的长度减去线段 feq 的长度就等于二分之三 a 再减去二 b。 因为点 n 为双曲线左支上一个点由双曲线图向上点的性质，可支 线段 nf 二的长度减去线段 nf 一的长度应该等于定制二 a， 也就意味着二分之五 a 减去小括号二分之三 a 减去二 b， 整体应该等于二 a 化减以后，我们可以得到 a 就等于二 b， 此时我们令 b 等于一， a 就等于二， c 就等于根号五。这种情况下，双曲线 c 的离心率为 e 就等于 cba 等于二分之根号五。所以这道题目的答案有 a 和 c 两个选项。
260高考数学罗老师
20:08查看AI文稿AI文稿我们来看一下第二零二二年全国引卷第二十一题。已知函数 f x 等于 low in x 加上一，加上 a 乘以 x， 再乘一的负 x， 当于等于一的时候，求 f x 在零 f 零处的切线，求切线的话就是第一个找切点， 第二个是找斜率，第三个点斜。好的，咱们来看一下这个解题过程。第一问， a 等于一的时候，首先我们看一下它变成了什么样子， f x 它就变成了 low in x 加上一， 再加上 x 乘以一的负 x， 然后 f 零，它就等于零，是缺点就知道了，缺点就是零零。 f 撇 x 等于 x 加上一分之一，再加上前倒后不倒，那就是一的负 x， 再加上 x 乘以一的负 x 再乘以负一， f 撇零等于什么呢？就等于一加一等于二，所以 k 就等于二， 所以这个切线就知道了。切线，那就是 y 等于二 x， 这就是第一问。接下来我们来看一下第二问。第二问， fx 在区间负一到零和零到正无穷，各有一个零点，求 a 的取值范围，怎么先求导啊？ f 撇 x 等于 x 加上一分之一，加上一的 x， 上面是 a 倍的一减 x， 整理一下，那就是一的 x 乘以 x 加上一，上面是一的 x， 再加上 a 倍的一减 x 平方。 咱们来分析一下啊，分析一下，这个呢，是正的，这个是正的啊正的。然后是分子啊，子分一分子就可以了， 这个一的 x 是正的，一的 x 是正的，这 x 属于负，一到零的时候负，一到零的时候一减 x 平方也是正的， 所以 a 的正负就可以，就可以那个影响他的分子的正负啊。正负情况。所以我们分 a 大一点零和 a 小一点两种情况。那第一种情况，当 这个 a 是大于等于零的时候，大于零的时候，就是 x 属于负一到零的时候， f 撇 x， 它必然是大于零的。因分子是正的嘛，所以 f x 在 负一到零上为单调递增，那这时候 f x 它就小于这个 f 零，这个 f 零呢？是刚好等于零，刚好等于零。 其实这个地方刚刚开始都要知道哈，这个 f 零等于零嘛，在这里，所以此时此时 f x 在负一到零上无解 不满足，提议咱们来接着看 第二种情况，这个当这个 a 小于零的时候，小于零的时候，因为 x 它趋近于负一的时候，这个 f x 它趋近于负。无穷大， 就又有 f 零等于零。若 若 f x 等于零，在 x 属于负一到零上， 有为一解，则必有 f 撇零是小于等于零呢？如果换成图形去理解啊，就是这样这样的，这个是负一，这个是零，负一就在这样的， 也就是说在这个地方的斜率是小于等于零的啊，小于等于零，那我们看一下它 f p x 哈， f p x， 它的 f p x 在这里，在这里。 那我们知道这个分母啊，是不是正的啊？我们只需要分分析分子就可以了啊，分子，我们可以令， 令什么呢？令 h x h x 它 它就等于一的 x 加上 a 乘以一减去 x 平方等于这么多，那 g g h e 啊 h 零，它就等于什么呢？等于一加上 a 是小于等于零的， 因为 h h x 就是 l p x 一部分呢，小一点零记 这个 a 小于等于负一。然后呢，我们分两种情况进行分析。第一种情况，当这个 a 它等于负一的时候，我们来看一下这个 h x 变成了什么，这时候 h x 他就变成了一的 x， 加上 x 平方，再减个一。我们知道这个东西呢，在领导周围学校是正的哈，领导周围学校是正的。 所以说我们看一下零到五角字母的人，然后就 f x 在零到中午向递增啊，我们研究就零到五九上的这个，这个这个区间里面的。 当 x 属于零到正无穷的时候， h 撇 x 等于一的 x 加上二 x， 这是大于零，所以 h x 在 零到正无穷上为单调递增，那么 h x 它就大于 h 零等于零等于零。所以计 啊，即 f 撇 x 大于零 f x， 因为 h x 就是 f 撇 x 的一部分，那其他部分是正的，所以 f 撇 x 大于零， f x 在零到正无穷上为增， 此时 f x 就大于 f 零等于零。所以当 x 属于零到正无穷的时候， f x 等于零。无解 五减，不符合提议哈，不符合提议。然后接下来我们来看一下第二种情况，当 这个 a 小于负一的时候，小于负一的时候， 我们分两个区间去考虑啊。这个，当 x 属于负一到零，我们先说明这个区间啊，负一到零的时候， 这个因为 h x， 我们先把 h x 给圈出来，就这样，这，哎， h x 不是这样的，就这个把它圈出来。 h 撇 x， 咱们来看一下等于什么哈，等于一的 x 减去二 a x r a x， 呃，为了方便它，我直接记得请二级档不再过多函数了。 h 二撇 x 就等于一的 x 减去 二 a， 这时候大于零哈，说明 h 撇 x 是递增的，知道一个增减趋势再说，再求一下那个两边的临界值啊， h 撇负一，它等于什么呢？等于一分之一 加上二 a， 这是小于零的。 h 平零，它就等于正一，这是大于零的。所以说我们可以把 h 平 x 这个草图呢画出来，但是这个草图非常重要啊，重要，这个呢， 利用画的图像，他就不会迷路了。画出来这个呢，是 h p r x 的图像就长这样，那么这个时候我们就可以写一个存在 x 零属于属于负一， a 到零，使得 h 撇 x 零等于零。接下来你就写下单调性就可以了。这边有一个 x 零啊，这边有个 x 零，写下单调性。当 x 属于负一到 x 零的时候， 它的导函数是小于零，原函数是递减。 x 属于 x 零到零，它的导函数是大于零，原函数是递增。 咱们再把那个零戒指写一下哈，这个 h 负一等于什么呢？等于一分之一，这个是大于零的，这个 h h 零呢？等于一加上 a 是小于零的，小于零呢？然后呢，咱们把图形接着画到右边去哈，这个你可以在这个卷子上不画，但是呢，你在草稿纸上要把它画出来， 这个画 h x 的图像， h x 图像，这个负负一呢，我们写在这里啊，然后 h 负一是正的哈，是正的，然后先减啊，先减。 剪到哪里呢？剪到 x 零这个地方，然后这个地方 h 零这个地方是负的啊，负的在这里， 这图像就是这样的，那这个地方的一个点哈，这个点呢，我们称它为叫 s x 一，哈 x 一。 所以这个时候我们就可以写一下存在 x 一属于负一到 x 零，使得 h x 一等于零，然后接下来就写单调性啊，写下单调性，当 x 属于 属于负一到 x 一的时候， h x 是大于零呢？ g f 撇 x 是大于零的， f x 是递增的，当 x 属于这个 x 一到零， h h x 是小于零的， g f 撇 x 小于零， f x 是递减的，递减的。然后再写一下哈，因为这个 x 它趋近于负一的时候， x 区间于负一的时候， f x 它趋近于负无穷， f 零呢，又等于零，所以它的图像就大致是这个的， 这是 h x 哈，然后这就是 f x 它的图像，这个负一呢？画出来，负一在这里，负一到 x 一， x 一在这里啊，一在这里，先递增啊，先递增，然后呢，增到这个地方之后又减到这个零，减到这个零。所以， 所以啊，此时存占 x 二属于负一到 x 一，使得 f x 二等于零，所以， 所以当 x 属于负一到零的时候，由 f x 等于零，由唯一的结 x 二，也就是这个点啊，这个地方，这是 x 二，就这 啊，这是就是 x 属于负一到零。那接下来咱们来看一下， x 属于零到正无穷的时候，零到正无穷的时候， 因为 h 二撇 x， 它就等于一的 x 减二， a 是大于零呢， h 撇 x 为帧啊，为帧， 所以 h 撇 x， 它就大于。 h 撇零等于什么呢？ h 比零等于多少？这个 h p x 我要画出来哈，在这里， h p x 日比零呢，就等于一啊，这个是等于一，是大于零的，所以 h x 在零到正无穷上 为单调递增啊，单调递增，那 h x 呢，它就大于 h 零啊，这个我们来看一下啊，这个 h 零是 增，是正 f h 零，它等于啥呢？ h 零等于一，加上 a 是小于零的，然后呢，这个 h 一，我们来看一下，等于 e 加 a 减， a 是大于零的啊，就是说，也就是说我们知道啊，在零的正骨球上，它是什么样的呢？是这样的一个东西啊，这样的一个东西啊，划出来 h x 应该是这样的， 这个地方是一，所以咱们就可以写一下哈，那就存在 x 三属于什么呢？属于零到一，使得 h x 三是等于零的，然后完了之后，就立马说一下它的单调性啊，单调性，当 当 x 属于 零到 x 三的时候， h x 小于零， g f 撇 x 小于零，因为 h x 是 f x 一部分啊，那另外几部分都是正的，这小于零 f x 就是递减，这个当 x 属于 x 三到正无穷的时候， h x 大于零， g f 撇 x 大于零， f x 递增啊，递增， 这个地方是 x 三 x 三，那我们就画一下啊，假如 x 三的这里就是先减后撑，我们先写下断断电值哈， f 零 u f 零等于零啊， f 零等于零，那它必然是什么样的呢？必然是这样的，在这个地方等于零哈， 往下面减，减到 x 三这个地方，这个争就是，然后证明 x 三倒车无穷，有一个 x 四这个点啊，是这样的，所以这样，所以此时啊，此时 f x 三，它就小于 f 零等于零，就 f x 三是小一点的。那接下来我要找一个大于零的点，等于找一个大于零的点，这个大于零的点是这样的哈，就是 x 等于一的负 a， 再减个一， 这个 f 一得负 a 减去一，它就等于什么呢？等于 lowing， 一得负 a 减去一，再加个一，再加上这个 f x。 来给你们看一下啊， 这是 e 的负 a， 再减个一，除以 e 的 e 的负 a， 再减个一，就这样。好，这边还有个 a。 接下来我说一下这个点是怎么找到的啊？这个点是怎么找到的？等一会我出一个视频啊，专门详详细细的介绍一下。现在我们就大致的说一下啊，大致的说一下这个是怎么找到的呢？是这样的， 首先啊，首先我们在这个地方已经有一个小一点的点了，小一点的点就来个三，然后我们找一个，再找一个点，就是说我们要把这个函数图像啊，给他放小一点，放小一点，我们找到这个 x 五，找到这个 x 五放小一点，也就是说那原来的函数 是什么样的呢？原来的函数是 f x， 它就等于这个呃， low in x 加上一，再加上 x， 就是 a， a 乘以 x 再乘以一的， 嗯，负 x 就这样的，那实际上就是这样的哈。 lowing x 加上一，再加上 a 乘以 x 除以一的 x， 这样呢，那我们的目的是干嘛呢？我们的目的把那个蓝色这个函数啊放小一点啊，放小一点，所以就是大于 大于这个楼引 x 加上一，再加上这个 a， 你看 x 除以除以一的 x， 我如果把这个东西放小了，那整体就放大了，这个整体就放大了，前面填个符号就变小了， 所以说就可以把它放成这个 x， 所以呢，那这时候就变成了个 loin x 加上一，再加上 a， 他就是让他等于零啊，让等于零，我们就可以得到这个 x 呢，实际上就等于一的辅 a 脂肪再减个一，那这个时候呢，如果 x 取这个他他他这个原来原来的值啊，必然是正的啊，原来必是因为原来的值，原来的图像在这，我们放小这个图像的上方， 上方，所以说我们就可以找到了这个点了啊，找到这个点，找到这个点之后呢，就得到这样的一个东西，这样东西得进行放缩呀，要大于 low in 一的负 a。 算了，这个是写着红色的啊，解析写着红色的，这边是分析啊，分析不要体现在卷子上这个东西。 这这这个等于什么呢？这个就等于负 a 啊，这个是负 a 加上 a 乘以啊，看 a 乘以什么？这个是一的负 a， 再减个一啊，这应该就是大于了哈，大于了，然后咱们就把分母给放小了，一的负 a 再减个一， 分母放小了，整体实际上对前面填个缝嘛，实际上也就是放小了，然后这边是一嘛，所以他就等于负 a， 加上 a 刚好等于零啊，所以，所以这个 x 五实际上就是一的负 a， 脂肪减一， 所以存在 x 四，它属于什么呢？属于 x 三到什么呢？到一的负 a 减去一，这个地方死得 f x 四等于零啊， f x 等于零，所以当 x 属于零到正无穷的时候，存在唯一的四手减， 唯一的是缩减， 然后就中上所述哈，中上所述， a 小于负一的时候，他们两个区间各存在 v 的速度线就可以了。好，这就是第二十一题吧，二十一。
390解完这题就睡觉💤
07:44查看AI文稿AI文稿一卷第二十题啊，这是一个超级变态这项链巨大无比的一个圆队曲线题啊，如果你平时圆队曲线练的比较少， 计算能力比较弱，肌的同学啊，根本没戏。好吧，那我们看这道题啊，题目叙述比较简单啊，就是说一个椭圆啊，没告诉我们焦点在哪里啊，然后他过两个点啊，然后求一的方程 啊，这个的话呢，我们是一个基本功好吧，就是你可以设置一个方程啊，是 mx 方哈，加上一个 ny 方啊，由于不知道你的焦点是在 i 轴还是外轴，就这样是最稳妥，对吧？ 然后将这个 a 和 b 的话呢，带入进去啊，比如说 a 带进去的话呢，你看啊，你会得到说四 n 等于一啊，然后这个 b 带进去啊，就是四分之九 m 啊，再加上一个 n 等于一个一，这个时候你可以求他 n 的值和 m 的值啊，然后因此可以写出来这个椭圆的方程，我们发现这个椭圆的方程的话，他焦点是在这 这个歪头上的啊，外放下面这个字要大一点啊，主要是看第二问啊，第二问的描述的话是在这个椭圆当中啊，你看他有点屁啊，这个屁的坐标什么情况？他中指标跟 a 是一样的啊，所以他是在椭圆外这么一个点啊，然后的话呢，他说是过 m 做一条直线啊，就是教这个椭圆与 mn 两点啊，这样做啊， 那么我们做出来之后也不知道谁是 mccn 呢，那他也没有说，那应该应该都是可以的，对吧？然后他说，呃，做完之后的话，什么情况呢？就是说又过 m 做一个平行于癌轴的一条直线啊，跟这个什么呢？跟直线 ab 会有一个焦点，是这个 t mt 等于 th， 那这不就意思是说这终点的意思吗？对吧？就这么一个情况，他们正的是啥？你看正的是说，哎，这个 hn 的话呢，经过一个定点啊，就这么个意思，这是我们这个图哈，大概画出来就这种感觉啊，有同事画这个图怎么这么难画啊，你只要有尺子，基本上就能画成 这种情况，好吧，这是把提议先树立好啊。嗯，那我我们怎么去这个想怎么去操作这件事情呢？你看全程他是这个直线，是由这个过批点这个决定的，对吧？我们肯定是说，哎，你看 mn 点坐标弄出来吧，哎，你直线肯定射出来两粒吧，对吧？然后的话呢，你看有 m 我们可以就可以知道 t， 有 t， 可以知道 h， 这样 h 点坐标可以用这个 m 点坐标来表示，哎，这样的话，你可以把这个 h n 这条直线写出来，来看他是不是过这个哪个定点啊？这是我们的一个思路，对吧？当然这个思路想的简单，但是你再去实际计算的时候，气散量会比较大， 但这个的话呢，又没有其他的一些特别好的一个想法啊，这是一个最直白的想法啊，唯一我们可能就是能够简化运算的啊，就是说这个定点能不能提前知道，是吧？怎么提前知道呢？哎，作重定点问题啊，我们得找一些特殊位置， 对吧？比如这条直线，你看你在做的时候，待会你要设直线方程的时候，哎，你是要问自己一下，他有没有斜率啊？因为我们可能要设 k 码，他有没有可能没有斜率呢？你看如果是这样子的话，这个 m， 这个是 n 的话， 哎，好像也是可以的啊，没有奖对不对？所以这就是特殊位置啊，哎，你把这个特殊位置写出来，然后我们再去找这个这个定点，看能不能找到。好吧，我们来先画一下这个图哈，我们也不知道谁是 m 谁是 n 的哈，假设上面就是 m 啊，下面就是 n 的话啊，随便标一下啊，这样的话你可以把这个 m n 点做，不要取出来， ab 直线也要取出来哈， 这是我们写出来这些啊，这样你可以选 t 啊，然后由于这个 t 的话呢，是 mh 终点，所以你可以去写出来这个 h 啊，我们可以把 h 点这边写出来之后，然后就可以写这个 hn 的一个直线了，这个的话大家自行写一下啊，当然他需要这个计算量啊，但是他是一个固定的一些运转啊，但是有个问题就是说你只知道这一一个固定的位置，一条直线他过两 定点呢啊，当然你可以去猜，但是这个东西的话呢，可能要靠灵感，对吧，或者说也不是很好猜，所以怎么办的呢？所以的话呢，我们可以这样子啊，你可以再找个特殊的位置啊，这个就是刚才我们提到什么呢？就是你 mn 是这样子的，你可不可以反过来，你看我写了个若 m 是这样子的，也有可能性是这个是 能和 m 这样反一下，反一下之后你看这个就变了呀，对不对？你 m 的话做一个这个水平的线给他去相交，你看啊，我们这个呃 h 点的位置什么就变了啊，你又会有另另外一条直线那么两条直线的交点是不是一定就是一个重点啊。我们这个定点呢， 这样就比较靠谱，比我们猜到靠谱对吧。那么这个的话大家自行去算一算啊。我就直接写了啊就来到这条直线的话是这样一个情况就正常直线胶带是这样看哎，很明显是零豆花嘛，对吧。所以我们这个两直线的焦点即为这个定点啊，也是零豆花哎这样就找到了呀，明白吧。找到一个定 点之后就为我们指明了方向啊，你看本来在黑暗中探索的现在已经看到了黎明看到了这个导向但是真正的恐怖才刚刚开始。好吧，来我们来正式较量一下这道题哈，我们假设他有斜立的时候就是这样一个图了哈那么我们这样的话呢这个直线射出来啊，点斜视啊然后的话呢接下来就正常连立啊， 呃两天我们写点歪哈就得到这样一个式子啊，这是个常规的运算啊，然后自然而然写这个伟大定理两分之和两分之几呗，对吧。呃写完之后干嘛呢写完之后不知道干嘛了哈。到这就那就先停啊，你看你要干嘛。我们这道题啊我们其实为了是写那个一绳子直线方程对吧。 所以的话呢我们是需要知道说 m 的坐标哈，比如说他是 x 一 y 一哈，然后这个 n 的坐标是 x 二 v 二啊，然后这样的话你通过 m 的坐标啊我们就可以知道这个梯点的坐标吗他的这个纵坐标的话跟他是一样的是 vr 一对吧？那我们他的横坐标的话，带进那个 ab 这个方程啊，会得到是二分之三倍的外一，再加上一个 二啊，这样的话呢，你把这个梯点的坐标成个两倍啊，就终点乘个两倍，减掉 m 的坐标，可以得到这个 h 的坐标啊。呃， h 的坐标的话是三万一，再加上一个这个六啊， 再减 x 一，然后再他的动作标是 y 一啊，之后我们去写这个 h n 的方程哈，这个你看非常的麻烦啊，你斜立的话，比如他俩是动作非常减肥，红色非常减啊，比较麻烦，但是也没有办法然后点些事啊， 因为这两个坐标你看都是一个什么呃，以 s e， x r 和 yuy 啊来呈现出来的，所以大家看到说这就是我们的这个直线 hn 的一个方程啊，简直是非常恶心啊 啊，化解也没法化解，你看这怎么弄对吧？啊，那么你不要忘了我们要证明他什么哎，证明他过一个定点，而且这个定点是谁是零豆花呀，所以怎么样？哎，我们的话你不是说哎一种化这个把他化解哎，然后再正出来他过这个点，另外的话验证哎，带进去如果他成立的话是不是 就可以啊？这道题我们要用代理性这种方法啊，所以我们将这个零分带入啊，带入的化解了，看是不是成立了，对吧？那你把这个分部乘过来哈，然后这边右边撑开，我们进行整理啊，整理的结果是 这样一个式子啊，非常非常复杂啊，其中这个地方两根之和哎，这里的话你看还要有 vi 一加 v 二啊，我们可以转换成 s e x， 然后的话呢？呃，这里是 y 一乘 v 二啊，然后这个地方还有这个东西啊，呃，我们把这些东西都要换掉，换成 k 啊，你看他肯定会等于零就行了啊，被剩下一句印算啊，我们把这些东西就挨个处理处理好吧，这个已经处理过了，处理他和他还有他啊。 呃。我们其中把这个 y 一加 y 二啊换成这个哈，然后 y 一乘 y 二，你看都换掉哈，都换成 x s 二，这样一乘开是肯定是可以转的对吧啊？然后化解就可以得到说关于 k 的一个事实，或者说都换了，刚才我们不是削了 y 吗？你你也可以再削一次 x 也一样啊，计算量基本上差不多啊，这是我们化 之后的一个这个结果哈，这解决了他俩哈，那么接下来的话我们还要解决谁呢？哎还有一个是这个东西是吧？解决他的话我们需要去把这个 y 二 y 一啊都换成 x 二二，然后 x 一啊，就利用这个直线方程了， 然后把这个展开就可以了，展开的话你合并一下啊，然后就可以得到这样一个式子，然后再把这个两根之几，两根之和带进去啊，就得到全是 k 的一个式子啊，那么接下来的话只需要把刚才的你看这个带入，这个带入，这几个都带入啊，进去的话点它是不是零，这就可以了。好吧， 呃，那我们把这些东西代入的这个过程哈，就大家自行代入化解一下就可以了。剩下的就是纯粹的话呢，是非常鲁莽的一些计算啊，就没什么技术含量了，但是你要写啊，因为这个很容易涉嫌伪证，好吧，所以我们带进去之后发现这个东西是什么？是一个成立的哈。成立是啥意思呢？ 成语说明的话，这个 hn 的话呢？是哎，经过这个点谁啊？已经都发了，就是我们经过验证之后啊，所以我们大家去想一想。综上的话，你看我们 每种情况的话，这个直线是不是都会经过这个零豆花啊？这就整道题啊。啊？这个想法的话呢，还算是比较简单的，但是计算量的话呢，是巨大无比，有点变态啊。所以平时的话呢，你要练就这种变态的计算能力啊，才能稳妥拿下啊。
1906孟见数学
