高考数学第二题复数

第二题是负数给了一个负数，是一个除法的形式。对于这种除法的负数运算，我们往往上下同乘以分母的共饿负数，也就是说，他的分母本来是二加二 i， 我们给它乘以二减二矮，给下面构造平方差上面也乘以二减二矮。分母展开是四减四矮方，上面是二减二矮减二矮加二矮方。 i 方呢，是等于负一的，所以下面就是四加四等于八，上面二和负二约掉，剩下负四 i， 于是等于负二分之一 i， z 上面画 下一杠叫 z 的共厄， z 的共厄和 z 实不相等，虚不互为相反数。 这个负数十部为零，虚部是负二分之一。所以 z 的共颚就等于二分之一 i， 于是 z 减 z 的共颚等于负二分之一， i 减去二分之一， i 等于负 i。 选 a。

大家好，今天呢，我们专门来讲一讲复数的三角表示。复数的三角表示呢，在教材上确实是画了星号的，这部分考试时候不做要求， 但是考试不做要求，你真的就不用了解吗？就像很多初高衔接的知识，初中老师不讲是因为中考的时候不考，但是到了高中呢，又要用，所以说这些东西还是要讲一下的，对大家到了大学帮助很大， 尤其是学复变函数的时候。我们来看一下啊，复数的几何意义。从一个新的角度来理解复数，这个复数几何意义的话，想必大家已经非常非常的熟悉了， 他的话表示什么意思呢？负数啊，可以跟平面向量结合在一起，平面向量不就是一条有相线段吗？是不是？然后他起点咱们都规定是坐标原点，终点的话，他这个坐标分别是 a 和 b， a 是 什么？ a 就是这样一个 z 等于 a 加 b i 的负数的十部，这个 b 呢就是虚部，就这样一个意思。那么如何引出它的三角表示呢？我们更清楚的可以看出来啊，首先负数跟这个有相线端是一对应的， 然后呢，这个有项线段跟项链又是一一对应的，那么项链我们需要关注什么？或者说这条有项线段我们关注什么？ 一个是关注向量的大小，其实也就是向量的模吧，这个模的话，我们用小儿来表示，模的话，这个小儿肯定是大于零的，这个不用多说，或者说大于等于零，对吧？ 那么方向是什么呢？方向怎么表示？我们以 x 轴的非负半轴作为参照，其实就是任意角一样的吗？任意角哦，这个 seat 就表示 他的方向了，当这样一个 r 向量的大小和这样一个 cet 向量的方向大小，方向完全确定了，所以说其实复数完全可以改变一下他，不见得非得用这个十步虚步 a b 来表示， 它完全可以用 r say 来表示，其中 r 就代表模长或者说大小， say 表示什么？就表示方向。具体含义，这个 say 指的就是从 x 的非副版轴这样一个任意角了。那好看出来了吧，所以说嘛，咱们可以这样来表示， r 乘口三， 清楚吧？然后呢？ i r 然后三，为什么？因为 a 的话，根据三角函数， a 就等于 r 乘口三呀， b 就等于 r 乘三呀。这样一带，这个红色部分实际上就是 是复数的三角表示，后边这些大家一看就清楚了。那好了，具体来说是这样的，咱们说一下名字就可以哈。好，所有的复数 z 等于 a 加 bi 都可以表示成这样一个三角的形式。复数的三角形式， 其中 r 叫做什么？表示大小或者说就是负数的模呀，他的话当然等于根号下 a 方加 b 方了，这个是没有什么问题的啊，是可以互相转换的。 那么红色这种形式怎么说呢？就叫做复数的三角表达，是简称为三角形式呗，是不是？ say 是什么？ say 它是用来表示复数的，或者有向线段的这样一个方向的， 它是以 x 轴的非负半轴作为实边，然后呢，以射线所在的位置呢，作为中边，然后 叫做，这样的话就叫做，谁叫做这个复数的？ cat 原来叫做辅角啊， r 叫做魔， say 叫做辅角，就这个名字，然后呢，这种形式就是三角表达式或者三角形式， 那么普通的形式就是我们之前课本上见的形式，你学的形式是什么呢？就叫复数的代数表达式，或者成为复数的代数形式都可以啊，这个你记住名字就可以了。那好了， 有什么用这种形式？三角形式用来表示乘除法的时候是特别方便的。我们先来做一道题，这个是课本上的原题啊，那么他说的是画出以下复数对应的向量啊，先画出来，然后写出他的三角形式。 首先第一个画出来是非常简单的，对吧？这个实步呢，就是二分之一，这个虚步呢就是二分之根号三。那这个 c 也可以求出来吧，因为这个摊着的 ct 呢，它是等于这个二分之根号三，再比上二分之一就是等于根号三呗，这个一算，哦，原来这个辅角 ct 是等于多少度？六十度的，咱们写上三分之派，清楚了吧？原来是这么来写的， 那么它的长度呢？或者说它的膜呢？那就是根号下二分之一的平方，再加上二分之根号三的平方， 等于一呗。所以说 r 有了 set， 有了这个复数不就表达出来了吗？这个 a、 r、 g 是什么意思呢？它是一个运算符，它其实就是表示这个复数的辅角的意思，它是取辅角的意思啊，这个你不用多介意，反正就这样写出来了，清楚了吧。 那么这个一减 i 怎么表示呢？也很简单，首先它的实步是一，然后它的虚步呢？是负一负一长 i 嘛，这个虚步就是负一了， 那么这个角的话，你可以写成负的四分之派，当然了，你也可以写成什么，也可以写成四分之七派，这其实都是一回事，负的四分之派和四分之七派两个任意角，他的中边其实是同一条射线，所以这个都可以啊。 好，那么它的长度根号二不用多说了吧，然后呢，它这个副角也写出来了，那么最终的话，咱们就写成长度 r 吧，再乘口散四分之气派，再加 i 啊，三四分之七派就行。这两个四分之七派这个位置的话，完全可以写成负的四分之派，这个没有什么问题的啊， 但是一般情况下，我们统一都写这个 cat 在什么范围内啊？一般情况下啊，我们都写这个零到二排之间，这样就不会产生奇异了啊，行了吧，都行。那么接下来 复数三角形式下的乘除运算。乘除运算看好了啊，三角形式下用来算这个乘法和除法是特别方便的。首先是这个乘法看了有两个复数，第一个复数 他的魔少而一，第二个复数他的魔少。二，第一个复数他的辅角呢，是 say 一，然后第二个复数呢，他的辅角是 say 二。那么我想说的是，两个复数相乘，他的心的魔是等于什么？哦，这个 z 如果等于 z 一乘 z 二的话，那么新的这样一个复数，它的成绩肯定也是个复数嘛。哦，它俩什么关系？新的复数模其实就等于原来两个复数模的乘积啊，清楚了吧，积的模等于各个复数模的乘积。然后呢，这个辅角，这， 这个就是新的 ct 呀，这个就是新的 ct， 我清楚了，也就是说最后得出来成绩，它的辅角呢，是等于原来两个负数辅角之和的，原来是这么来算的啊，那么好了，怎么证明？很好证明，首先你这个 r 一 r 二 肯定是要乘到一块的，这个没什么问题。然后呢，根据多项式乘多项式的这样一个法则，咱们可以画一下，那么有同学就要问了，老师，后半部分我知道怎么画，前半部分怎么有个负号？原因很简单啊，你这个负号其实相当于 i 方三 seat 一， 再乘三 say 二，你这个 i 方不就是等于负一吗？所以说负号就出来了，清楚了吧。那么根据三角恒能变换，这个显然是扣三 say 一减去 say 二，根据三角恒能变换， 这个显然是三 ct 一加上 ct 二啊，前头的话是多少？前头的话刚才说错了啊，应该是 ct 一加上 ct 二，你说是不是最后结果就出来了呀，这不就结了吗？所以现在大家应该也看出来了啊， 新的模长等于原来两个复数模长乘积新的辅角等于原来两个辅角之和。原来是这么回事啊，那么画图理解的话，就这样来理解， 这个 o z 一这条有项线段，表示的是 z 一这个负数，那么这个 o z 二这条有项线段呢？表示的就是 z 二这个负数了。 那么怎么理解几何意义呢？几何意义就是这样的，相当于将原来 oz 一在原来基础上再多赚了多少，再多赚了 ctr， 这是逆时针正方向旋转的 ct 二八，然后呢，他这个膜呢？他这个膜要变成原来的 r 倍才可以哦，新的膜长他是等于 r 一乘 r 二的，然后新的浮角是 ct 一加 ctr， 这就是乘法的负数，乘法的几合一在三角形之下，这个很简单吧。 那好了，我们继续来看啊。除法呢？除法更简单了，一样的两个复数相乘，首先他俩的笔值先写出来吧，这就是新的摩长，新的摩长等于原来两个复数的摩长之比。好，就是这样， 那么后半部分的话怎么画？这个就告诉你了，你自己来啊。具体来说的话，我可以提醒一下你，分子分母同乘一个共厄就行了嘛，也就是说分子分母同乘，口三 say 二，再减去 i 成 三 c 他二就行了。最后的话肯定的会画出来这个形式的，清楚了吧，根据三角横洞变换，详细的我就不多说了啊，他的几何意义很简单，新的磨长等于什么哦，两个复数相处相当于，首先将 o z 一绕着点 o 按顺时针，顺时针就是反方向减去 c 的 r 啊，你看是不是这就是新的 这样一个模长，然后呢，这个角度就是相减以后得出来的结果，原来是这么回事啊，然后再把 z 一的模变成原来的不是 r 倍了，是 r 分之一倍，他除了一下 r， 然后得到了新的相量， 那么新的项链 o z 就表示表示的复数就是这个商 z 一比 z 二的这样一个结果了，这就是除法的几合一清楚了吧。三角形式下进行乘法运算，除法运 算是非常方便的，那我们索性啊，就用刚刚学完的知识来做一下这道题，这道题的话怎么办呢？首先我们可以换一下位置吧，其实这个角一的话很简单，因为下边都是正方形嘛，这个角一一看就是四十五度来，这是角一， 哎，这个是角二吧，然后这个角是角三吧，反正角一、角二、角三都是不一样的。那这样 我知道了，来，这个就是第一个复数啊，这个有象限的，中间这个的话， 这是第二个复数，然后第三个有象相当呢，表示 z 三。第三个。那都很好写啊，我们先写成代数形式啊，因为代数形式你比较更加熟悉一些，它的话十步虚步都是一，那就是一，一加上一位答案。这个 z 二呢？那 z 二的话，十步 是二，加上一倍的 i 啊，这个 z 三第三个呢，它是等于三，加上一倍的 i， 那怎么办？三个角加起来显然是乘法运算，你要减的话，这就除法运算，但现在是加，那就乘法运算，那就 z 一乘 z 二乘 z 三吧，这个没什么问题，对吧？ 他的话变成什么了？就变成了一加二乘二，加二，再乘三，再加上二，能算出来吗？迟早都能算出来的，咱们先算前两个吧，对吧？算出来以后的话，应该是 这个算一下是多少啊？是一，再加上三爱的，然后再乘三，加一倍的爱，咱们算一下最后结果是多少啊？最后结果咱们算出来等于十二啊，你要注意我要写成什么 结果了。看好了啊，首先这个 z 一他要写成三角形是多少？首先他的模长是等于根号二的，然后啊，他呢，这个是三，应该知道我的意思吧。好，我就写了他这个 c 就是角一，然后 z 二，它的模长是多少？它的模长显然是根号五啊，然后它的辅角就是角二，然后 z 三呢？ z 三的话，它的模长显然是根号十，用勾股定理算一下嘛，它的这样一个辅角就是角三。 那现在看好了，他的话应该清楚了吧，摩长乘摩长，再乘摩长，那就是 r 一，乘 r 二，再乘 r 三，这就是新的摩长啊。其实然后呢，他这个角度呢？他的角度好说呀，里头的话就变成了， 嗯，先写口三啊，口三角一，加角二，加角三，然后再写这个是多少？三角一，加角二，再加上角三。来吧，咱们看好了，右边这个十，十是什么？十就是那个， 清楚了吧，原来新的模长二一二二二三，这就是十啊，原来是这么回事啊。然后继续来看这个爱，这个爱的话，其实你画一下 图，你自然就知道这个 i 他就是一个虚入单位啊。首先他的跟 x 轴正半轴的夹角是九十度的，这就是 i， 对吧？然后他怎么去写呢？那你就这样写呗，口散多少度？告诉我。口散九十度呗，二分之派，然后再加上 i 成散九十度， 二分之派，这样你左右两边一对比，不就对比出来了呀。所以最后角一加角二加角三，根据复数三角表示的这样一个意义，他就等于二分之派，你说是不是这个道理啊？圈里头必须是对应好的，所以最后加起来就是二分之派了，你说简单不简单？ 好，我们继续往后看啊。其实呢，我还想拓展一下，在高等数学里头，复变函数人家有更加简单的形式，用欧拉公式，欧拉定理推出来的一个形式啊。 那欧拉表示法的话，这 e i c 它其实完全可以等价，于是完全等价的符号啊，等于号，再加上 i 乘它，所以啊，所有的复数都可以表示什么？ r 表示模长吧， c 表示角度，或者说表示方 方向吧，那所以说就表示成这个形式了，清楚了吧，这个呢，就是欧拉表示，复数的欧拉表示，那么他有什么好处呢？乘除法就不用多说了，非常简单，你看是不是乘法一样的吧。 首先两个磨长相乘，得到了新的磨长。其次啊，两个角度相加，得到了新的角度，一样的，跟三角表示，最后得出来的那样一个几和一完全一样，所以可以用这种形式。那么除法呢？除法也一样，除法的话，你看 新的磨长等于原来两个磨长之比吧，那么新的辅角等于原来两个辅角相减吧，这跟原来三角表示下的这样一个复数形式也是完全一样的。几和一啊，形式都一样，所以没有问题的啊，原来这么简单，那么再继续共饿也 也简单呀。大家都知道这个共饿的话是什么意思，比如说 a 加 b i， 我要取一个共饿了，共饿就指的是一种负数的运算吗？十步是相等的， 但是虚步是相反的，这个就是共呃。画在图里就更简单了，你看这两个线段表示两个复数，那么红色的当然是 a 加 b i 了，那么它的共呃呢？ 他的共饿当然就是 a 减 b i 了，你看他的共饿就变成了负 b 了吧，他的这样一个虚步没问题，实不相同，虚不相反。那现在请问 这两个有象限段，它的模长是不是都是 r 啊？对啊，因为这两个有象限段是关于 x 轴对称的，但是它的两个角度呢？哦，清楚了，一个是 c 的， 另外一个方向相反，那就是负 say 了啊，所以是 r 乘 e i 负 say， 我们把符号写到最前头，就是这样一种结果了。那么有同学就要问了，老师你讲这么多，那么欧拉形式有什么好处呢？大有好处，比如说，我们来讲一下今年刚刚考完九省联考的一个多选题。我都说了是多选啊， 这个欧拉表示或者三角表示本质是一样的，它主要用在乘除运算，或者说摩长运算，或者涉及到什么呢？或者涉及到这种 类似的共饿运算的时候，是非常方便的。那么 c 就不多说， c 肯定是对的啊，加减乘除的公饿等于公饿的加减乘除。 c 咱就不多说了，你看 a， 我可以马上排除掉。比如说我们 z 写成什么形式，写成这种 e i c 特的形式没问题吧？ 那左边对于 a 选项来说哈，我们左边的话就变成了 r 方 e i c 的再乘 e i c， 它怎么样啊？同底竖屏相乘，底数变，直数相加嘛，所以变就变成了什么？变成了 e i 二倍的 set。 哦，原来是这么回事啊，左边反正他还是一个复数，因为这 set 呢，具体不知道是多少。右边呢？右边的话就简单了哈，右边的话他就取了一个膜吧。好， 它的话，显然这个 z 的模，它是等于 r 的，右边就是 r 的平方啊，这俩显然是不能够划等于号的，能清楚我的意思吧，所以说 a 就错了，咱们又不知道 c 的是多少，对吧？好了，目前呢， a 是错的， b 呢？来看了， b 怎么办？ z 不用多说了，刚才说了，咱们可以写上这种 r 乘 e i c， 它的形式， r 代表模成 c， 它代表方向嘛，然后这个 z 模，这个 z 八吧，它的工作就变成了 e i 负 c 它吧。好，那这俩做一下比值哈，左边我们看得什么结果？ 左边的话，那作比值的话就是二比二，这个一咱们就不写了，比出来是一，然后他是 e i c 的， e i 负 c 的，那最后的话，同底数米相乘，底数不变，指数相减，那应该是 e i c 的，再减去负的 i c 的，那负负得正嘛，所以最后得出来的是 i 二倍的 c 的，这个没问题，前头其实他这个模长是等于一的啊，好比出来是一嘛，那右边得出来是什么呢？咱们先来看，然后他的话，咱们刚才 a 选项已经说过了，你这样一个模的平方，其实就是二的 平方，摩就是 r 嘛，右边看做一下比值啊，他俩一比，最后得出来是不是也是 e i 二 c， 你看是不是？所以说 b 选项不就是对的呀，你看是不是错？对对，那 d 选项呢？也是跟摩长或者乘除法有关的。这也简单，我们继承两个 d 选项了。看好了，首先我们分子里头这个 z， 我们继承什么呢？继承 r 一，它的模长是 r 一，它的辅角就是 c 的一了。 那么分母里头这样一个复数的话，我们就计成什么？计成这个 r， 它的模长是 r， 然后 它的这个辅角呢，就写成 c 的二。首先我们看左边啊，左边的话不用多说，什么左边 r 一 r， 然后啊，这个是 e i c 的一减去 c 二是这样一个形式，那好，后边不就消掉了吗？左边实际上最终比出来就是等于他的，就是他没问题吧？然后呢，就得出来二一比二模长都行哈。那右边呢？右边一看啊， 你告诉我他的模长是谁？嗨，这个 z 的模长不就是 r 一吗？然后呢，这个 w 或者是 omega， 他的模长是多少？那不就是 r 吗？你说左右两边相等不相等？相等啊，所以 d 也是对的。所以这道多选题答案就是 b c d 了。 你说三角表示好用不好用复数的三角表示，或者说欧拉表示，他本质一样啊，非常好用。在涉及到乘除法。我再说一下什么时候用涉及到复数的乘法除法，还有涉及到一些共厄表， 是或者说涉及到一些什么跟模长有关的这样一些复数的问题的时候，是真的非常好用的。大家应该学会了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见！

选择第二题考察负数，现在给了一个分式，上面有一个一加 i 的三次方。负数部分我们规定 i 为虚数单位，并且 i 方等于负一， 于是这个 i 的三次方就可以写成 i 方乘以 i， 也就是负 i。 所以原来的式子其实可以变成一减 i， 这是分子。 再看分母二加 i 和二减 i， 他们两个呢，是平方叉等于二的平方，也就是四 减去 i 方，再次把 i 方等于负一带入进去，这里就是四减负一，也就是四加一，所以等于五。此时我们会发现 上下都有一个五，那就可以约掉，所以就剩下了一千 i。 于是应该选择 c 项复数的加减乘除运算，乘的话跟多项式的乘法是一样，运算的 除法类似于分母有理化，那基本上这些运算当中都会涉及到爱方，我们记住这个虚数单位，它的平方等于负一。