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也以此讲纪念最后的甲卷数学压轴题。manim动画by——天使猫猫酱
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注1：二阶导非负是必要条件的具体证明为，令0<x<m时二阶导为负，则此区间的导数为负，函数值也为负
注2：准确地说，油门强度=加速度=二阶导。挂着倒挡踩油门则代表二阶导为负。
注3：2025年没有甲卷了，所以这道题是甲卷的最后一道压轴题了！
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2024年新一卷数学压轴详解：【24高考数学压轴精确结果——命题人可能都没找到的构造】
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2024年新二卷数学压轴详解：【水硕妹妹也想挑战下讲高考数学题!|会动的数学[天使猫猫酱]】
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本视频为2024年甲卷数学压轴详解。
#数学 #高中 #高考 #二次元 #cos](https://p9-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/c40d820a6d7fc12e7f0661ad8a65bfef~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2107548000&x-signature=VutjUKtqpweV%2BdgmSH3baWvH%2BXw%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20261017065308F117732ED829DD0091E7)
02:474069天使猫猫酱
15:00查看AI文稿AI文稿好，我们一起来看一下第二十题。射抛线， cy 的平方等于二 pxp 大于零的焦点为 f， 且点低的坐标为批斗零过 f 的直线交西于 m n 两个点。当直线 m d 垂直 x 轴时候， mf 等于等于三，要求 c 的方程。我们把图做一下，顺便把题目的条件给翻了一下， 开口朝右的抛线， f 为焦点，而且呢，第一点为 p 到零， 此时呢， m d 垂直走，那 m 脸在这里，这是垂直的。好，我们说，呃，我们说了，有抛线的话，就一定要把它的准线也带出来啊，我们说准线，你教你，我们标的有一个 fvp。 好，那此时呢，他告诉我们的条件， mf 等于三，这条是三，那我们知道呢，抛线上的点到焦点的距离和他的准线的距离永远相等，即这条，这是 mp， 垂足为 mp， 即我们的 mm 一撇是等于 mf 等于三的，对吧？我们的，我们又知道了，这是一个是垂直啊，也就是说 md 是垂直于 x 轴的。那所以我们的 dm m e p f e p， 它会构成一个举行，那此时 m m m e p 会等于我们的 f e p d， 我们标注原点，那此时 m e p d 又等于 f e p o， 再加上我们的 o d， 对吧？ f e p o， 我们说是准线到准线到这个距离，这个距离应该是二分之一 p， 那就是二分之一 p， 再加上 odod， 第一点就行，坐标已经给了，他的坐标就是 p 到零，那所以说 od 就是二， lot 直接就是 p， 他等于多少啊？等于三，这个好，我们解救方程来解一下，应该得到屁就等于二。 好，那所以呢，我们的 c 的方程就为 y 的平方等于四 x。 好，第一文搞定。好，我们接着看第二文啊。设直线 md 与 nd 与 c 的另一个交点分别为 ab， 然后呢， gmnab 的倾斜角分别为阿法和贝塔，要求当阿法减贝塔取得最大值时，求直线 ab 的方程啊，那此时 md 呢？ 未必在垂直的走，对吧？那我们要重新做一个图来分析一下， 这是 f 点，这是 n 点，这是我们的 m 点，那第一点在这里，那此时我们看啊，那此时 md 与 x 与抛出另一个焦点为 a， 这边呢，是 n， d 与抛线的另一个焦点，为什么为 b？ 这点为 b？ 要求 ab 的 ab 的方程，而且呢，这个几级角阿法，这个几级角贝塔，而且阿法减贝塔取的最大值是 ab 的方程。 好，那我们看啊，那我们明显的我们知道的是什么？开 mn 它是等于什么？它是等于填紧阿法的 k 呢？ ab 它是等于什么？填紧贝塔，对吧？当然阿法和贝塔不等于九十度的情况下才有。这样啊，也是说 mn 九邪率， ab 有邪率情况下才是这样子的。 你的情况啊，那如果是什么，那其实他要求的是阿法减贝塔的最值，那我们就很容易想到什么，那要求天晴的两角的差才能把这两个条件给用上去，那就天晴的阿法减去天的贝塔，它就等于什么？天晴阿法减去天晴 a 塔除以两个香肠，一加上两个香肠，那么就是如果有斜溜就可以把房里带了，对吧？那直接就是 kmn 减去 kab 除以一减一加上 kmn 乘上 k， a， b， a， b 这个字。好，那前提是这个有斜率的情况下啊，那如果没有斜率呢？没有斜率，我们单独讨论一下吧。那此时什么？只要我们的什么？我们知道天晴只是个单调的函数，但是递增的一个函数，对吧？当然在一定的区间内啊， 当然例中的函数。那此时我们天津阿法减贝塔，如果他取得最大，那是不是阿法减贝塔有可能取得最大值呢？ 那本题我们就不将天津呃阿法和贝塔的最大值转成了天津的最大值。天津阿法减贝塔的最大值，即求这个市值的最值， 整个这个是最值。好，那我们就单独分析一下如果他无学历的情形，如果无学历的话，也就是说，那此时我们的 mn 呢？他是垂直的， 这是我们的 m， 这是我们的 n， 这是 d 点，那我们做一个，这个是 a 点，这个是 b 点。好，我们有对唱性可知，那此时这里是垂直，这边也得吹什么垂直，因为什么？图像是关了 x 对唱的对吧？ 好，那此时如果阿法等于什么？九十度，那此时贝塔也得等于多少？九十度，那此时阿法减贝塔应该等于零了。 好，那我们再看看无旋律的情形啊。无旋律的情形，那我们是要想办。呃，有旋律的情形，然后有旋律的情形呢？我们也想办法把这个 kmnkab 给表示出来， 摇出来，才能够求出整个这个天津阿法，也就是这个式子的锥子。好，那我们把过程好好书写一下，我们把它擦掉啊。 嗯，把这个分析过程我们先擦掉了啊， 第一位也擦掉了，第一位的过程我们也擦掉了。戴板带书写的攻击不够啊。 嗯，好， 好，我们来详细写的是书写过程啊，要问的书写过程好， mn 无邪律， 这是阿法，等于九十度，由对由对称性合织， 我们直接写就可以了啊，因为前面分析过， 呃，这是杯塔，也等于什么九十度，那这是阿法减杯塔就应该等于零。好，第二种，若什么？若 mn 有邪率， 那此时我们把它旋律设为什么有旋律设为什么设为 k？ 这位可以，那此时我们知道 f 点的坐标应该是一到零，因为前面我们得到它的方程是 y 等于四， y 方等于四 x 这个，那 f 应该是四到零。好，那我们就可以把 m n 的直线射出来了。 m 的直线方程， m 的方程就应该为过一个定点啊， y 减去 y 零， y 零是零， y 减零等于 k 乘上 x 减去 f 选的注行坐标一的这个直线。 好，然后呢，我们接下来还得把什么？还得把这四个点 mnab 是不是得射出来啊？把 mnab 射出来。好，那此时我们射什么？那怎么射这个比较好，比较好呢？如果啊，我们写上面如果我们把 m 点的坐标啊，假设我这样 m 点的坐标设为 x 一， 那我是不是要这个点 m 点是在抛线上头的，那是，我是想办法把这个 y 给求出来，那只是 y 方就等于什么 wifi 等于四倍的 x 一，那我要解这个 wifi 的时候，那 y 我就开方了啊，开方是出现正负 四 x 一。哎呀，那麻烦大了，如果我射 x 不太好办，对吧？如果把它杭州标用 x 表示，那重坐标就不太好表示了。这有个正负，这里有点麻烦，那我们最好怎么射呢？我们射 y 吧。这样啊， 也就是说我们的 m 点的坐标，我们不可以把它设套为 y e， 它为 y e 的话，那此时 x 是不是很容易表示了？ x 就等于什么？它是食堂坐标，那就 y e 的平方等于 四倍的 x 一，那 x 一就等于什么？呃，四分之 y 一方，好，那所以说它得了它的横度标就应该是四分之 y 一的平方。好，同理，我们一样可以把 n 点的坐标弄出来啊。 n 的坐标，那应该就是 y 二吧，那这个上前头就是四分之 y 二的平方 好，再把 a 点 a 点设为 x 三吧，那就是 y 三了，不是 x 三啊， y 三，那同理，它就是四分之 y 三的平方， b 点呢？为 y 四，这个点为四分之 y 四的平方。好， 那我们是不是得连力了，想办法是吗？连力了啊，那就连力哪个呢？直线 y 等于 kx 减一， 然后呢？ y 的平方等于四 x， 好，此时我们削什么？因为我们这些点做标，刚才说了是用什么？用 y 表示更方便，用 y 表示。那所以说我们这里可以肯定要削 x， 留 y 留 y 啊，那就是削去。 想要去 y h x， 得来这个自己整理啊，我们整理一下就得到。什么？四 k 分之四， k 分之什么？ y 发，再减去 y。 哎，我没有发啊，减去 y 再减 k 等于零。 好，那么回答，那就是 y 一加 y 二，管他有没有用啊，先写出来，先 yy 二等于负的 a 分之 b， 那就等于 k 分之四，好，那 y a 乘 y 二等于什么？ a 分之 cm， c 等于负四。哎，这是个刚好这个长数了。好，那我们此时接着往后啊，那此时我们的我们是不是还得把 md 给弄出来？ md 的弄出来才能确定 a 点的坐标啊，是吧？这个 m 点和地点去确定了一个 a 点，那是把 md 的方程弄出来，那在 m 点坐标，我们一射出来这里，那地点坐标呢？地点坐标是 p 豆零也是地点坐标是 我们补到这里啊，地点坐标应该是二到零。好，那么两点四直接直接得到 md 的方程啊，两点四吧，那就是 y 减 y 减第一坐标，第一点中坐标，然后呢，横坐标 x 减去第一点的横坐标，直接等于 y 一减零 这两个，这两个点 y 减 y 这边，那就是四分之 y 一方减去二的，这个好，带入哪里？带入 c 消去什么一样消去 x 好整理得 啊，这个整理我们就去整理啊，整理出来了肯定就上九八五了，整理不出来的也能上二幺幺啊。那我看啊，整理应该得这个二 y 一，然后呢，二 y 一的方减八，再乘上 y 再减八，等于零。 好，一样回答，这是回答 y， 注意啊，这是回答，这个点是 y， 这个点是这个点是 y e， 这个点是 c 点。什么？他的焦点是 m 和 m 和 a 啊，那所以说此时他的回答应该是 y 一加 y 三这两个点，它的焦点是这两个点啊，这两个点 y 加 y 三，那就等于 负的 a 分之 b， 那就是什么？我们整理玩具的二 y 一方减八，上头是二 y 一好， y 一乘 y 三就等于负八。哎，那这里有关系哎， 对吧？这两个有关系啊，那所以我们把它比掉吗？得到 y 二和 y 三这个关系，是不是？那也是说 y 三就立马就等于二倍的 y 什么 y 二了，哎，所以有这个好，发现一个东西，发现一个好东西 好，那我们接下来还得把 n d 啊，同样 n d 用两点四，把 n d 的方程也表示出来， y 减去地点的重坐标零啊，好， x 减去地点的行坐标二等 等于什么？等于我们的恩典的恩典是恩典的重坐标 y 二减去地点的重坐标。比上什么 dn 点的横坐标四分之 y 二方减去 d 点的横坐标二好，那 nd 的方程出来了，一样带入， 那就是消去，一样消去 x 啊，好，消去 x， 那我们什么？那我们就会整理出 y 的平方等于二， y 二分之二， y 二方减八， 再乘个 y 减去八等于零，我们减这个整理的这个好，再回答了 y， 那此时注意啊，此时 y 一 y 二嘛，不要太随意啊。那此时 点的坐标是什么？是 y 二，然后呢？ b 点的坐标是 y 四，那所有此时应该有 y， 它的两个根应该是 y 二，加上 y 四等于负的 a 分之 b， 那我们单元区应该得到二 y 二的平方减八分之二， y 二，好。还有一个 y 二乘 y 四 好， y 乘 y 四，他得到了负八好，那此时一样会得到什么？ y 四等于什么？这个跟哪个呢？跟第一，跟第一个，这个是指， 这个是我们可以一比一下，马上把消，把 y 二给消掉了，那此时会得到 y， 所以我们的 y 四就等于二倍的 y 二好，那此时我们要把什么？要把 k， 要把这个 k 给表示出来一下了，这个 k， 它直接就等于什么？ kab 表示一下吧， kab 就等于 好， kab 呢？那就等于什么？ a 点的横坐标相减， a 点的什么？重坐标相减，这个 y 三减 y 四 减去 y 四，再比上横坐标相减，横坐标相减呢？那应该是四分之 y 三方减去四分之 y 四方。 好，把这个表示让我们看看。那此时他应该我们整理一下，下头可以用平方插功式，对吧？变成 y 三减 y 四。括号乘上什么括号？ yy 三加 y 四。好，那我们一整理完，刚好就得到四分之 y 三加上 y 四。
79莫默有文
01:13查看AI文稿AI文稿今天我们开始进入二零二三年全国假卷文科的讲解，这个文科呢，跟二零二三全国假卷的理科有三道选择题是重复的，分别是第六题、第九题和第十二题。 那么这三道呢，分别对应理科的第三题、第八题和第十题。那么重复的我们就不再讲了，大家可以翻看理科的视频。第一题仍然是考察集合，给了一个全集优，是一二三四五 集合， m 集合， n 是这两个集合，求的是集合 n 与 m 补集的并集。那么首先我们先求后面 m 的补集，就是在全集优中去掉 m， 也就是说在这 五个数当中去掉一和四，所以就剩下了二三五。接下来再对他们两个去并集，并集就是把这两个集合的元素全都合在一起，重复的只算一次。 那么二五和二三五取完并即以后，应该仍然是啊二三五，所以选择 a 项。
123袁来有数(高中数学)
08:17查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天我们来讲一下二零二三年全国假卷的第二十题，圆锥曲线压轴题。那么这道题当时刚高考完的时候呢，我就看到有人在网上发这道题，那么我一看到这道题呢，我就立马拿来做了一遍。 首先这个第一问呢，很简单，只需要用一个弦长公式就可以做出来了，那么这个第二问呢，可以用常规方法， 我最开始就是用的常规方法来做的啊，也可以做，那么这个标准答案好像给的是这个极速标，急用极速标来做啊，其实也可以啊，极速标稍微要简单一点。 那么我们讲呢，我们就讲这个常规方法。我们先来看第一问，他要求的是 p 的值，先看题，他说直线与抛物线交于 a b 两点，而且呢， a b 这条弦长是等于四倍根号下十五的，那么读到这里，我们想到的第一思路就是把直线的方程和抛物线的方程连立，从而得到一个一元二次方程，对吧？从而通过伟达定理 以及弦长公式把 a b 表示出来，使得它等于四倍根号下十五，那么这样一个等式里面只有 p 这一个位置量，从而把 p 解出来，对吧？这个就是它的一个常规思路。所以说低问解， 我们首先要连立直线和抛物线的方程，对吧？连立 x 减二， y 加一等于零和 y 方等于二， p x 得到，那么我们应该消 x 还是消 y 呢？很显然消 i x 要方便一点，对吧？你把 x 表示出来啊，然后带在这个 po 线的方程里面就可以得到，直接得到一个一元二次方程。那如果，呃，这个如果是销 y 的话，那么你 这个叫把 y 用 x 表示出来，对吧？那把 y 用 x 表示出来之后呢？你带在这个抛物线的方程里面去，你会发现这里有一个平方，对吧？你要进行平方的运算，所以说稍微要复杂一点啊。如果我们直接把 x 用 y 表示出来，也就是 x 等于二 y 减一，把它直接带到这个方程里面去的话，你会发现这里的 x 啊，它没有平方，所以说直接带进去，然后一下下就可以得到一个一元二次方程啊，所以说这样要简单一点，我们直接消 x 就行，那么带进去你会 发现它是等于 y 方减去四 p y， 然后再加上二 p， 对吧？等于零，然后就建立了一个关于 y 的一元二次方程，那么现在我们就要来写出 这个两根之和和两根之极，对吧？首先要把这个 a b 两点把它射出来，我们射 a 为 x 一和 y 一， b 为 x 二和 y 二，对吧？那么 y 一加 y 二，注意这里是一个关于 y 的一元二次方程，所以说这里应该是 y 一加 y 二，对吧？ y 一加 y 二就等于负的 a 分之 b 就等于四 p， 对吧？那么 y 一乘以 y 二，就等于 a 分之 c 就等于二 p， 对吧？那么现在我们就可以来表 表示嫌长了，对吧？根据嫌长公式，它是等于什么呢？啊？这个嫌长公式要注意有两个，有两个啊，哪两个呢？就是说如果我们这里连例方程之后，得到的是一个关于 x 的一元二次方程， 那么它对应的弦长公式就应该是根号下 k 方加一乘以根号下 x 一加 x 二的平方减去四倍的 x 一 x 二， 对吧？如果，但是呢，如果你这里连列方程之后得到的是一个关于 y 的原二字方程，那么它的形成公式和这里的形成公式就不一样了啊，哪里不一样了？这里是 k 分之一的平方加一， 然后再乘以根号下 y 一加 y 二的平方减去四倍的 y 一 y 二啊，这里一定要注意，这个是关于 x 的一元二次方程，这个是关于 y 的一元二次方程啊， 这个是他们两个的一个协商公式，这里不要搞混了，有很多同学他只知道这样一个这个协商公式，然后当他遇到关于 y 的一元二次方程的时候呢，他还用这个 公式啊，他想着可能就是，哎，把这里的 x 一加 x 二， x 一乘以 x， 分别换成 y 一加 y 二， y 一乘以 y 二，就行了吗？对吧？前面的就不管了，对吧？ 那肯定是错误的啊，肯定不行的啊，根据推出来呢，实际上它是这个，它的显示公式应该是 这个，就是它是关于 y 的运二次方程的时候呢，它的协商公式应该是这个啊，所以说一定要把这两个协商公式把它记住啊，什么时候该用哪一个啊？一定要把它用对了啊，一定要把它用对了，那么这里它是一个关于 y 的运二次方程，所以说我们应该用的是 第二个，第二个，对吧？那用第二个，我们把这个具体的式子带进去，应该等于根号下 k 分之一的平方，也就是 k 分分之一，对吧？那要带 k 分分之一，我们首先要把这个斜率 k 把它算出来啊，已知这条直线，我们要求它的斜率， 他的旋律怎么求呢？有两种方法，一种是看到这样的一条直线，他是一般是，对吧？ a， x 加 b， y 加 c， 等于零的形式，对吧？那么根据公式，它的斜率其实就等于负的 b 分之 a， 对吧？在这里也就等于负的负二， 负二分之一等于二分之一，对吧？可以这样来求他的斜率。那还可以怎么来求他的斜率呢？我们可以把这个 这个直线的方程变一下形变成什么呢？我们把这个二 y 移到一边去，然后再除以一个二，对吧？ y 就等于二分之一， x 加上二分之一，那么就可以得到它的斜率，其实就等于 二分之一，对吧？ x 前面的数其实就是二分之一，对吧？也就是斜率。所以说这两种方法都可以求斜率啊。如果是遇到这样形式的一个直线，那么它的斜率就是这个， 对吧？就是 x 前面的数，如果遇到这样形式的一个直线呢？它的斜率其实就等于负的 b 分之 a， 对吧？这个公式你可以直接把它记住，也非常简单，也非常简单。那么我们现在就来啊，写它的一个写成公式，我们把这里都擦了，都擦了， 那么它的一个形成公式就是等于根号下 k 方分之一加一，对吧？那么 k 刚刚我们已经算出来了，是等于二分之一的，那么二分之一的平方分之一，也就是 四分之一分之一，也就是四，对吧？四再加上一个一，那就是根号五，对吧？根号五，那再乘以一个 y 一加 y 二的平方，也就是四 p 的平方，也就是十六 p 的平方，对吧？ 然后再减去四倍的 y 一百二，也就是八 p， 对吧？另，这个是指等于四倍根号下十五，然后呢，两边同时平方，你可以得到一个关于 p 的 一元二次方程，对吧？从而解除。 p 是等于二的啊， p 是等于二的，那么这个这个具体怎么算？你自己下去算了啊。很简单，只需要把它两边同时平方，然后得到一个关于 p 的一元二次方程，然后分解因式，就可以把这个 p 的值 求出来啊。那么有一个值要舍去，因为 p 是大于零的嘛，对吧？所以说这个就是第一问。求出来 p 是等于二，那么对应的它的抛物线的方程其实就是 y 方等于 c x， 对吧？那么这个就是第一问。
83数学熊🐻
01:36查看AI文稿AI文稿第十二题， f x 是定义在 r 上的积函数，所以我们有 f 负 x 等于负 f x， 于是在结合这个条件， f 一加 x 等于 f 负 x， 就可以得到 f 一加 x 等于负 fx， 那么要求的 f 三分之五就可以写成 f 三分之五等于 f 一加三分之二，这样的话相当于把这里的 x 换成了三分之二去带入， 那么根据这样一个等式，他就应该等于负的 f 三分之二，现在呢，我们再把三分之二也写 乘一加 x 的形式，他就是啊 f 一加负三分之一， 而前面还有一个符号，不要忘记负的 f， 他。然后再根据这样一个等式， f 一加负三分之一，就是把 x 换成了负三分之一，那么 f 一加负三分之一应该等于负的 f 负三分之一， 而这个时候前面还有个负号，所以负负得正实际上就等于 f 负三分之一，那么根据这个条件，他是等于三分之一的，所以选 c。
690袁来有数(高中数学)
