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第十二题给了 abc 三个数,而且他们长得比较奇怪,让我们比较他们的大小关系,比较大小,如果没有特别好的思路的话,我们推荐可以对他们做差。 比如说我们先看 b 和 c, 让 b 减 c 就应该等于浪,一点零二减去根号下一点零四再加一,那么只需要判断他的正负,就可以比较出来 b 与 c 的大小关系。 但是这个的正负怎么判断呢?由于前面是浪,后面带了个根号,这是属于不同类型的,我们可以考虑构造函数去解决。我们构造一个 fx 等于烂, x 加一,减去根号下二, x 加一,再加一。为什么要够 造成这样一个形式呢?因为一点零二和一点零四他们没有明显的倍数关系,但是这个一点零二呢,可以写成一加零点零二, 一点零四可以写成一加零点零四,零点零四是两个零点零二,所以如果把这个零点零二看成这里的 x 的话,零点零四就是二 x, 于是构造这样一个 fx 是可行的,把零点零二带入进这里的 x, 也就是说 b 减 c 等于 f, 零点零二。 fx 呢,是一个比较复杂的函数,我们可以对他进行求导。 fx 的倒等于 x 加一分之一,减去后面这个根号呢?他是一个负和函数,他的倒应该是二 倍的。根号下二, x 加一分之二,那么化简以后就是根号下二, x 加一分之一, 对这两个分式进行通分,那么分母就应该是 x 加一乘以根号下二, x 加一,分子上是根号下二, x 加一,加 减 x 加一的和。由于二 x 加一大于零, x 大于负二分之一,那么 x 加一也是大于零的,所以说分母肯定是大于零的了, 只需要判断分子的正负就可以了。我们注意到,这个二 x 加一距离 x 加一的完全平方有点近,因为 x 加一的平方是等于 x 方加二 x 加一的,这里面有二 x 加一,所以可以往 x 加一的完全平 方这个方向去考虑。实际上,当 x 大于等于零的时候, x 加一等于根号下 x 加一的完全平方,也就是根号下 x 方加二, x 加一。 由于 x 方大于等于零,所以这个东西呢,是大于等于根号下二 x 加一的。 那么也就是说,根号下二 x 加一减 x 加一,应该是小于等于零的。 x 大于等于零的时候,倒函数小于等于零,这说明 fx 在零到正无穷左开右臂区间上是单调递减的, 那么既然单调递减,假设这里是零,零点零二在零的右边, f 零点零二就会小于 f 零, 所以 f 零点零二小于 f 零,而 f 零呢?把 x 等于零带入进去浪一就是零啊,后面是根号下二乘零加一就是根号一, 那么就减一再加一,最后的结果等于零,所以呢, f 零等于零,那么 f 零点零二就小于零了,那么 b 减 c 就小于零,所以 b 小于 c, 这样我们就完成了一半了。比较出了 b 和 c 的大小关系,下个视频继续看 a 和他们的大小。

第八题,在区间零到一与一到二中各随机取一个数,求的是两数之和大于四分之七的概率,这是一个几何钙型问题。 我们可以假设在零到一这个区间内取得数是 x, 在一到二这个区间内取得数是 y, 画一个平面直角坐标系,那么 x 介于零到一之间就是这样一个范围, y 介于一到二之间这个范围, 他们两个的公共部分就是中间的这个正方形,这就是我们取点的总的区域。现在又要求两数之和大于四分之七,那就是 x 加外大于四分之七,我们可以先画出来 x 加外等于四分之七这条直线,他应该过点 零豆,四分之七和四分之七豆零,画出来就是这样一条直线。而我们要的点是 x 加外大于四分之七的,那就应该取这条直线的上方,这条直线上方落在刚才的正方形区域的部分,就是这样一部分直 直线。 x 加外等于四分之七,与外轴的交点是零豆,四分之七与外等于一,这条直线的交点是四分之三豆一, 于是这个阴影部分的面积呢,就等于正方形的面积减去左下角这个三角形的面积,这个三角形是一个直角三角形,它的底边长是四分之三,高 是四分之七,减掉一也是四分之三,于是这个三角形的面积是二分之一乘以四分之三 的平方,我们用正方形的面积一剪掉它,这就是阴影部分的面积。根据几何概形求概率的方法,这个概率 p 就应该等于阴影部分。满足全部三个条件的这个面积除以总面积,就是这个正方形的面积, 也就是除以一算出来这个概率等于三十二分之二十三,所以我们选择 b 项。

第六题,考察排列组合。将五个人分给四个项目,每名志愿者只分配到一个项目,每个项目至少分配一名志愿者,这是典型的先分组再排列的类型。 把五名志愿者分成四组,那么应该是两人一人一人一人,首先五人中选出两人就是 c 五二,剩下三个呢?因为每个人一个组,所以自然就分开了,不需要再选。 分成四组以后,对他们进行全排列,也就是 a 四四,让他们两个相乘等于十,乘以二十四是二百四十,选择 c 想。



第五题说在正方体当中, p 为 b 一第一的终点就是在这个对角线的中点位置。问的是直线 p b 与直线 ad 一所乘的角,这是两条意面直线所乘的角。对于两条意面直线所乘的角,我们在解决的时候经常用的一种方法是平移,就是把他们俩平移到同一焦点的位置,然后找到他们所乘的角为哪一个。 这两条直线当中, pb 是不太好平移的,我们可以选择平移 a d 一。我们知道平移就是平行移动, 如果把 ab 一平移到点 p 的位置,可以连接 ab 一,取 ab 一的终点为 q, 连接 pq, 那么 pq 其实就是这个三节 角型 ab 一第一的中位线,所以它是平行于 a 第一的,那么直线 a 第一与 pb 所乘的角,其实就是 pq 与 pb 所乘的角,也就是角 qpb。 要想求这个角,我们可以再连接一下 qb。 假设我们要求的这个角为 c 塔,我们设这个正方体的棱长为二,那么面对角线 ad 一就是二倍,跟二作为中位线, pq 等于他的一半,也就是跟二。由于 q 是对角线的终点,那么 bq 也等于对角线的一半,也是跟二。 同样的, pb 一的长度为跟二 b 一 b 的长度为二。三角形 pbb 一是一个直角三角形,这里是直角,那么根据勾股定理可以求出来斜边 pp 的长度,他等于根号下 pb 一的平方加上 bb 一的平方,也就是跟六。这样我们发现这个三角形其实是一个等腰三角形,我们过点 q 向 pb 做垂线,那么这个垂足应该落在 pb 的终点上, 所以这一段的长度应该等于二分之跟六。现在我们就可以在这个小的直角三角形当中去求角 c 他的三角函数值。由于 c, 他的零边等于二分之跟六,斜边是跟二,所以我们可以求扣三。 c 他 他等于零边比斜边,也就是二分之跟六,除以跟二等于二分之跟三。而由于 c, 他呢,他是一个锐角,所以说这个 c 他应该等于六分之派。我们选择第一项。

今天我们开始全国乙卷的讲解,这个全国乙卷呢,就是原来全国一卷和全国二卷的合并。我们看第一题考察的是负数,涉及到了负数 z 以及他的共颚,我们可以设负数 z 等于 a 加 bi, 那么 z 的共颚就应该等于 a 减 bi, 于是 z 加 z 的共鳄就等于二 a, z 减 z 的共鳄等于二倍的 b i 把他们两个带入进去,也 也就是二乘以二, a 加上三乘以二, b, i 等于四, a 加上六, b, i 等 等于他所给的四加六 i, 于是我们可以得到 a 等于 b 等于一,把他们两个带回,这个 z 应该是一加 i, 所以我们选择 c 项。

第十题,这个 fx 是一个高次的函数,并且已经分解因式分解好了,那么对于这样的函数呢,我们可以利用穿跟法画一下他的示意图 们知道利用穿跟法去画图的时候,要注意两点,第一点就是最高次向的系数正负, 如果系数为正,我们就从右上方开始穿跟,画系数为负的话,从右下方穿跟。第二个要注意的就是 穿偶不穿,就是说如果这个音式他的次数是基次的,那就要穿过 x 轴,如果他的次数是偶次的,就不穿过轴。 由于最高次向的系数为 a, 我们就要分类讨论。第一种情况是,当 a 大于零时, a 大于零,就要从右上 开始穿跟了,那么他的走势大概就是这个样子的。但是要注意,第一呢, x 等于 a, 要是极大支点,所以这个地方对应的应该是 x 等于 a。 第二呢, x 减 a 啊,他的次数是偶次的,所以这个地方不应该穿过去, 所以说实际上画出来他的示意图应该是这个样子的,这个地方是一个极大支点,不能穿过,他是 x 等于 a, 右边这个呢,是 x 等于 b, 由于 a 是大于零的,所以零在他的左边,那么这个时候我们会发现 a 是小于 b 的。第二种情况就是当 a 小于零的时候,小于零的时候从右下角穿跟。由于 s 等于 a 是极大支点,所以 a 在这个位置,又因为呢击穿偶不穿,所以这个地方不能穿过去,他应该是这个 样子的,左边的零点是 b, 右边的零点是 a, 零在他们的右边,这个时候 a 是大于 b 的。那这样的话,两种情况,既有 a 大于 b, 也有 a 小于 b, 所以 a 和 b 选项都不对,那 么只能去判断 ab 与 a 方的关系了。当 a 小于 b 的时候,我们可以给他两边同乘以 a, 由于 a 大于零,同乘以 a 不等号,不改变方向,所以得到 a 方小于 ab。 第二种情况,当 a 小于零的时候,我们也给这个不等式,两边同乘以 a, a 小于零,同乘以 a 不等号,改变方向,这个时候 a 方变成小于 a、 b。 也就说这两种无论哪一种都能得到 a 方是小于 a、 b 的,于是我们选择 d 项。当然,这只是作为一个小题,一种简便的做法,下个视频我们将会讲一下他的通法。