高考数学知识点归纳最新完整版
警告，本视频耗时四百二十三小时，制作总时长三十九分钟，带你一口气通关高中数学所有数列板块，知识点，课题内容全覆盖，考点全会懂！认真看完考试直接提个二三十分，赶快转发给需要的他！数学想提分，找到沈老师进主页群领取相关学习物料 视频，点赞收藏，以防丢失。话不多说，我们直接一起来看数列相关的问题。大家好，我是硕老师，今天硕老师给大家带来所有高中的求 a n 的 所有方法，一口气大家速通所有求 a n 的 方案。第一种叫做累加法， 累乘法，构造法，设 k 构造法，还有指数构造法，还有倒数构造法。那么当大家学完这些构造法之后呢？所有数列的大体的第一问，大家都会有一个基本的思路，具体的解析方案， 大家要结合自己学过的方法来衍生出自己对题目的理解，这个是很关键的，所以我们一定要先把所有方法都学会。好话不多说，我们开始第一个方法叫做累加法。那么关于累加法，陈老师先给大家总结，累加法考题的形式是类似于这种 a n 加一等于 a n 加 f n 的 形式， 我们要做的事情就是通过这个式子递推公式，把 n 算出来。首先第一步，大家把 a n 加一和 a n 都放在左边，就变成这个样子，那么它等于 f n 之后我们就可以用累加法来实现了。那什么叫做累加法呢？大家可以通过这道定义沈老师给大家稍微总结一下。首先我们照抄一遍， 以此类推，左边的每个式子往后退一位，右边的每个式子往后退位，直到退到 a 二减 a 一， 那么这个时候我们发现左边变成了 a 二减 a 一， 而右侧我们只要把它加起来，左边加起来就可以得到结果，那我们来尝试一下， 那这样就是我求 a n 的 一个方法。我们发现现在这个方程里面它只有 a n 了，也不包含相邻两项了，那么是不是我的 a n 就 算出来了？没有问题，那右侧关键是右侧要怎么做？右侧的 f 一 加到 f n 减一，这个就是大家要处理的东西，它要把它变成可求和的形式，把它加起来就可以了， 这个就是我们累加法的一个底层逻辑。那么光看概念可能是不行的，我们还是要一起来看一下例题。首先例题给出大家已知多项， a n 满足， a 一 等于二分之一， a n 加一等于 a n 加 n 方 加 n 分 之一，这个时候让我们求 n， 还是类似的题目，我们的第一步先把它整个的给它抄几遍，我们先写第一项，写好第一项之后，我们开始把后面的每一个退退退，退到 a 二减 a 一。 这个时候其实我们不难发现右侧的竖列是没法求和的，这说明什么问题？说明我们在做累加法的时候，对右侧呢进行一定的处理，这个处理我不建议大家在求完之后再处理，而在一开始的时候我们就加以处理，比如说 n 方加 n 分 之一七十可以变成 n 乘 n 加一分之一，进而可以产生一个列项，列项之后他就可以求和了。我们这个方案如果直接去求和，他肯定是算不出来的，那我们不妨在 d n 加一减 an 的 时候就开始进行列项，那么完成了第一个的列项，其实我们后面照着抄就可以了。 也就是说我们在一开始的时候，不妨就尝试看他能不能求和，如果不能求和一定要像沈老师这样完成列项，那么这样写好之后，我们这个时候再相加求和，相加的时候，其实大家不用加第一项，从第二项开始加到最后一个就可以了，所以我们就有结果。 当我们得到这个结果的时候，我们还是要教大家一下怎么看这里面留下来什么，被削到了什么。左边肯定大家把 a n 把 a 二相加到一起， 就是说你左边的竖列其实从 a n 加到了 a 二，右边的这个减的这个东西，其实是从 a 一 减到了 a n 减一，也就是说我们在算的时候， 只要考虑多少项相加和多少项相减，这么一座差，是不就剩下 a n 减 a 一 了，大家能想清楚吗？右侧呢？其实也是同样的道理，我们发现由于我们是首列出来的，所以它是连续变换的，对于相加的项是从第一项加到了一 而相减的，像我们从二分之一这个减到了 n 分 之一，所以我们其实只要把相加的放在一块，相减的放在一块一看就看出来了，那么不难发现其实最终的结果就是一减 n 分 之一，因此我们别忘了把 a n 写好就可以了。 以上就是沈老师教大家的累加法的方法，下面我们继续第二个就是累乘法了，所谓的累乘法就是 我们再把这个竖列想要进行求 a n 的 过程，我们直接求是不行的，那我们就要怎么做？我们把这个 a n 加一和 a n 给它 拆开来，就是这个 a n 给它除过来，把它放在分母上，那这样我们在后面就可以相乘，把它消掉，类似于累加法一样就可以了，比如说我们先把它转成这样，逐步累成来求解，我给大家展示一下。 好，这个时候我们写好之后，发现左边相乘右边相乘其实就有结果了，那么左边相乘它们都会约掉，我们最终会发现它保留的就是 a n 除以 a 一。 现在大家不难发现，只要我们能把右侧的这一坨给它相乘，得到结果，那么 a n 就 出来了，这就是沈老师给大家总结的累乘法。我们一起来看一下例题。 从题干当中我们会发现，我们只需要把这个式子稍微整理一下，变成 a n 加一除以 n， 它就变成了 n 除以 n 加一，这个时候我们把里面的这个都带进去，其实就可以了， 那我们关键的一步还要累成下面的 n 减一个等式，那怎么累成？当然是从 a n 除以 n 减一开始，一直处，一直累成到 a 二除以 a 一 就结束了，我们来开始尝试一下， 写好之后，我们仍然保证左边成左边，左边成左边，还是沈老师教大家的技巧，大家把相乘的放在一块，相 除的放在一块就可以了，很容易就看出来了，这样我们就可以约掉左边，就变成了 a n 除以 a e 右边，大家不难发现其实他们多的少的，我用这种方案就是相乘的放在一块，相处的放在一块，他就很简单。好，所以得到结果最终的话，大家别忘了把 a n 给他写出来， 因为 a 一 等于三分之二，我们要用到 a 一， 这就是沈老师跟想跟大家表达的两种。其实累乘法和累加法的核心关键就是看左边怎么消掉，右边怎么消掉， 以及对它形式的一个记忆。再强调一遍，左边在加的时候，大家把相加的放在一块，相减的放在一块就可以快速的消掉。如果是成的，把相乘的放在一块，相处的放在一块，就可以快速的消掉。 ok， 这就是累乘法，大家学会了吧。继续第三种，这个我给大家起个名字叫做舍梯构造法。 那么什么叫做设梯构造法？大家其实它的名字也叫做待定系数法，它的形式主要处理这种现象的上一个阶和下一阶的这么一个疏离关系。简单来说，其实 a n 加 e 和 a n 的 关系，它是一个现象，就好像一个 你如果把 n 加一看成一个 y， 你 把 a n 看成 x， 它就是一个直线。这种情况下我们就可以用待定系数法来求解所谓的待定系数法。我们把原地推公式呢，先转换成 a n 加一减 t， 它呢就等于 一个某一个倍数的 a n 减 t， 然后我们就可以构造出一个等比数列，这里面谁是等比数列？明显是 a n 减 t 和 a n 减 t， 它们是等比数列的前后两项，那这样我们就会 可以去算这个等比数，因为等比数也是有公式的，也就是我们的构造法就是构造等差，构造等比。为什么？因为我们课本上只教过等差和等比好不好？那这类问题就是构造一个等比数列，我们再利用换元法把它 转好，再换回来就可以求解了。那么说的简单，沈老师还是从头到尾给大家看一道例题。首先我们看到这个式子 a n 加一等于二倍的这么一个形式，到底什么样的等比数列 就是第一步，第一步我们假想它如果能凑成等比数列，它一定长成这样子，接下来我们把它展开和原式做对比即可。这样子我们可以发现这个 t 和那个三它就是一个相等的关系，所以 t 它就等于三，因为它要和原式长得一模一样。 接下来我们确定 t 等于三之后，回代到一号方程当中，这样不难发现，其实谁是等比数列呢？我们已经确定了，那就是 a n 加三是等比数列其中的首项呢，大家注意这里的一个细节，首项一定是 a 一 加三公比我们刚才一开始研究的一个系数二， 这样 a n 我 们就写好了，那么这个数列写好之后，它还不是完整的 a n， 你 要把三减过来，把 a 带进去就可以了。这就是沈老师给大家总结的一个方法，叫做设 k 构造法或者设 t 构造法。立体好，大家听懂了吗？记住啊，如果出现 a n 加一和 a n 是 一个现象的关系，不满足累加和累乘，那么大家一定要想到这个方法。 最后一种方法叫做含脂构造法，所谓的含脂构造法就是它如果长成这个样子，我们其实 可以说它和上一个不一样的地方在于这个位置它是一个指数形式，当你发现这个指数形式，它好像就不能够设设梯构造了，那这个时候我们一般来说是同除 q 的 n 次方，然后它就会有结果了，或者同除 q 的 n 加一次方也可以，因为同除 q 的 n 加一次方一般就一步到位了。我们来整理一下 那解法，一般我们在两式两边同除 q 的 n 加一次方，然后就得到这样的一个式子。注意这块有个细节说，我们在变换的过程当中，在这个位置我们本来是 q 的 n 加一次方，我扔出来个 q， 这样的话，这个位置和这个位置它就是某一个竖列的前后两项。 我们不妨设这个比圆的这个式子为 b n， 那 是不是就变成这个样子？这个样子是不是就是我们刚才的立体了？换句话说，我们这个逻辑是先要构造成我们的这个式子，构造好之后，我们再用一个新的竖列 b n 来代替掉 a n 除以 q n， q 是 一个常数， a n 是 个数，那 b n 算出来了，是不是这个 a n 他 就有了？就是这么个道理，简单来说就是我们强行把它构造成上一种的形式，只构到的是上一个形式，对这个形式一个拓展。 话不多说，我们来尝试一下，那没得这种形式，我们同除这个二分之一的 n 加一次方，当然这里大家可以认为是同乘二的 n 加一次方也可以，好不好？同除他就可以了，我们来除一除， 那这样我这个数列除完之后，就变成了我们下面这个式子的样子。除完之后大家注意细节，这里面我们可以令谁为 b n， 其实就是这一坨 和这一坨，一项是下一项，一项是前一项，我们直接换就可以了。那么 b n 加一等于三分之二的 b n 再加整数一， 这个式子就是我们刚才要做的这个射 k 法，那同学们呢？直接两边射 k 待定一下算出来就可以了，也如他是刚才的立体，一个拓展只加了一步就是同除，大家学会了吗？ 那么这样我们就快速的求解 b n 就 可以了，这里沈老师不做注数了。如果这块有问题啊，大家在做题过程当中一些细节存在问题的话呢，可以进群来沈老师的粉丝群里，沈老师会有一些手写的过程，包括一些官方的解析送给大家，当然这些笔记 ppt 都可以送给大家。 ok， 那 这块沈老师就说这么多，往下继续 最后的话，有一个方法叫做倒数构造法，所谓的倒数构造法就是我们长成这样的一个形式，看起来很吓人，但实际上它的核心关键还是只有 a n 加一和 a n 这样的一个前后两项的这么一个关系， 那么有这样的关系，我们发现下面它也有，而且它呈现出一个倒三角的形式，就是说这个头小脚重的情况下，我们把它取个倒数， 取完倒数之后，他一定会变成我们刚才的那一种立体，就是沈老师给大家总结设梯勾倒法那种立体。那 你说老师那这个真的是这样吗？我们一起来尝试一下练习，比如说他长成这样子，那沈老师教大家了，我们上来干嘛？上来是不是就要上来先取倒数？我们来尝试一下两侧通取倒数之后，他立马就变成这样子，我们接下来要换圆，是不是？我们换谁？我们是不是直接可以去换成 这个式列为 b n， 这个竖列为 b n 减一，对不对？接着做题就可以了，是不是？但是陈老师告诉大家，由于这个题它的这个系数正好是一， 如果这换成二，大家不妨设题法就没问题。但是这里是一，这里是一，它明显是一个什么竖列？是一个等差竖列，也就是说有的题目大家要从最基础的模型开始，没有必要说死记硬背啊。这里面我们可以看到，其实 a n 分 之一是一个等差竖列，陈老师在这里就快速的给大家书写一下， 比如我取完倒数之后，他上来就是个等差数列，那我接下来把这个等差数列的公式书写一下，等差数列的公式就是首项加 a 一， 加上 n 减一倍的 d， 直接写秒杀就可以了。 也就是说我的这里面的 a n 分 之一等于 a 一 分之一，加上一个 n 减一，乘上一个公差 d， 公差怎么来的？我们刚才两个竖列的差值，它就是三，就 a n 分 之一减 a n 减一分之一，它就是三，所以公差就是三，手相一定要以 a n 分 之一为准，所以它的手相是 a e 好， 整理好之后就是 a n 分之一等于个三 n 减二，取个倒数，所以 a n 就 算出来， a n 就 等于三减二分之一。今天陈老师给大家速通的一口气学完的竖列的所有求通项的方法， 还有一些更难的，比如说二阶递推，所谓的二阶递推，说里面会有 a n 加一， a n 加二， a n 这种三项，三项就叫二阶递推。二阶递推可能有一些方法，比如说老师我用特征根法 还是用什么方案，那这种问题沈老师认为我们可以读取题干的信息，从题干读信息出发，而不在这些基础的方法内好不好？那沈老师今天就给大家做到这里，如果有什么需求，有任何问题可以随时来问我， 包括一些需要额外拓展方案都可以跟沈老师沟通。通过今天的课程和昨天的课程，我们两节课结合在一块，大家就可以完美的把所有数列大题的第一问完完整整的拿下。今天主要讲的内容是通过 sn 求 a n， 还有我们在遇见一长串模型的时候该怎么办？这是我今天想表达内容，当然还会有那种 sn 减 s n 减一之后出现 a n 的 关键式，我们再去用累加法、累乘法，这是我今天想要讲的内容。 首先我们在面对任意一个竖列的时候，当竖列的这个前向和我们通常用 s n 来表达，我们记作就是 s n， 它是相当于从 a 一 一直加到 a n， 这个时候我们表达式是 a n 等于 s 一， n 等于一的时候， s n 减 s， n 减一， n 大 于等于二的时候。好，这里为什么要写成分段形式呢？因为我们的 s n 减 s n 减一，大家可以发现一个问题， 就是在这里面 n 是 不允许带一的，因为你带入一中会出现一个问题，就是 s 一 减 s 零， s 零是不存在的一个东西，所以这里面务必大家要先算出 a n， 把 a n 算好之后，单独验证一下 a 一 a 一 的来源就是 s 一， 大家听懂了吧？沈老师给大家总结一下完整的过程。我们先利用 a 一 等于 s 一， 先算出 a 一， 然后把 n 换成 n 减一，换完之后我们就会有新的关系，两个是作差，我们就可以利用到核相关系，就是 a n 等于 s， n 减 s， n 减一，这个时候呢，一定注意，它 n 只能是大于等于二的时候，那 n 大 于等于二的时候，这个 a n 是 完全正确的。那么在 n 等于一的时候，我们单独检验一下，看你算出来的这个东西就是这个位置， 他是不是和你 n 等于一的时候的结果是否一致，如果他俩是一致的，那没问题，你就这么写就行了。如果他俩是不一样的，那这个时候我们一定要写成类似于这种分段形式，这就是我想表达的一个重点， 我们不妨来一起尝试一下。这个题呢，我一眼看过去，大概率可以猜到不是 c 就是 倒，为什么？因为 s n 等于 n 方减二， n 加二， 这是非常像等差数列的一个前项和。依据我的经验来看，等差数列的前项和应该是没有常数的二次函数，如果它带有常数的话，它大概率第一项是不满足要求的。这是沈老师的经验，但是我们还是娓娓道来，在 n i 等于二的时候，我们直接把 a n 等于 s， n 减 s， n 减一写一下，那么这里 s n 是 什么？ s n 就是 原来你给的式子， sn 减一，就是将里面的这个 n 给它换成 n 减一，然后整体代入，你就会得到计算结果。那么我们一定要单独验证一下，当我们 n 等于一的时候，我们发现这个式当中 n 一 应该是等于负一的，但实际上原式当中算出来的 s 一 呢？它应该是等于一减二加二等于一， 这又说明了我的 s 一 和 a 一 是不对劲的，但实际上这个 s 一 它就是 a 一， 到底谁对？我们告诉大家，其实原式当中算出来的对，因为下面这个式只有 n 的 大于等于二的时候才可以用，所以它是错的。那最终我们一定要写成一个分段的形式， 那 g 这个题的答案呢？应该选择 c 选项。接下来让大家看第二类问题，叫做异常串模型，这是沈老师给他起的名字。所谓的异常串模型，就是指我们在题目当中忽然看见这么长长的一串，那么我们要深刻的理解，其实这异常串的意思就是 n a n n 乘 a n 的， 它的前项和是等于二 n 减一的，所以我们不妨对它退一位，然后再相减。这里沈老师稍微书写一下， 就是说我们把它退位之后，这个数学当中省略号会发挥作用，它的 n 的 就会变成 n 减一，自然而然我们新写的这个式子，它应该比上一式子左边要少，一向右侧自然的 n 要变成 n 减一就可以了，这个时候两式子作差即可。 所以大家一定要意识到，石老师刚才想表达的意思就是这个 a 一 加上二倍的 a， 二加上三倍的 a 三，一直加到 n 倍的 a n， 它其实的含义其实是对它求和，而右侧的这个式子二 n 减一就是它的前向和， 如果大家听懂了，我们具体来尝试一下，看如何算出来我们具体的 a n， 因为上面这个式子和下面这个式子，大家只要做叉就可以了，只要做叉就可以得到 a n 的 一个关键式， 我们举一下，比如说我们看他这样的一个立体，这个时候陈老师会选择把它照抄一遍，这个时候自然而然的抄完之后一定要再抄一行，抄一行的意思就是 n 要退一位， 这个 n 退一位的时候大家还是要注意，因为我们毕竟用的是 s n 减 s n 减一，这里面 n 是 不允许带一的，所以陈老师很严谨的写了一步。 接下来我们一式和二式做差即可，做差就会得到我们末尾的这一项和右侧的一个函数关系，所谓的末尾的一项就是这一项会被保留下来，这项保留下来的右侧大家直接用代数做差就可以了，左边这一坨和这一坨就都会被消掉，左边的 从这到这和从这到它前面的这一项就会被消掉，你就会得到关于 a n 的 一个关于式了。 大家呢不妨往下写一写，我们发现那，所以就会得到这样的一个式子，两式作差，那 a n 就 算出来了。我们一定要验证一下，当我们的 a， e， n 等于一的时候，发现 a e 是 等于三的，原式当中也可以用于验证带入即可，所以 a n 是 等于三的 n 次方的。好，那么邵老师继续再来一道， 这是一个非常综合的题目，第一问考察的是等差数列的应用，大家不妨直接把 a、 e、 d 这些东西全部带入就可以利用等差数列的公式法把 a、 n 的 通向公式算出来。那这个呢，沈老师就不做过多的赘述，大家可以仔细的看一看有什么过程当中问题。这里面由于公差是大于零的，所以我们在算 d 的 时候是个二次方程，会解出两个解，这个解我们要舍掉，把负根舍掉，所以 a n 等于二， n 减一。 那么算好之后，我们重点看第二问，第二问，他把这些式子全部整理好之后，我发现我如果直接退位就可以得到结果。这里沈老师方便大家观看。我们令 b n 除以二的 n 次方等于 c n， 这样我发现左边的无非就是 c 一， 一直加到 c n， 我 们再退一位， n 大 于二的时候，就可以得到类似于这样的式子。接下来两个式组，它左边减左边，左边减左边，左边减完之后就会保留一个 c n， 右边打正常代数运算就可以了，因为它左边这一坨和这一坨它们是一样的。 那接下来我们开始作差，有一减二之后，我们可以算出 c n， c n 竟然是一个常数里，也就是 b n 除以二的 n 次方，它是等于二的。我们再次验证 n 等于一的时候，发现是没有问题的，所以 c n 它确确实实就等于二，那 b n 自然就等于二的 n 加一次方。如果我们想求 b n 的 前项和，也就是二的 n 加一次方的前项和，直接利用等比数列即可。这个和是 s， n 等于减 q， 分 之 a 一 乘一减 q 的 n 次方整理好代入即可。 那么以上就是沈老师想讲的第一种类型一，长串模型，接下来沈老师给大家介绍一下叫做得到地推类型。什么叫地推类型？当我们的条件往往是一个 a n 和关于 s n 的 式子，这个时候我 s n 减 s n 减一，它 结果是 a n 和 s n 的 一些关于式。但是这些关于式并不是能够直接得到 a n， 或者也不一定得到 s n， 这个关键点是我想保留谁都可以。我是想保留 a n， 我 就把这个 s n 减 s n 减一，换成 a n。 如果我想保留 s n， 那 我就把 a n 换成 s n 减 s n 减一，所以它会有两个方向，那我们先看方向一，我们正常来说，这类题求 a n 的 其实比较多，那求 a n， 我 们就相当于要对这个式子的位置 进行一个从左向右的代换，保留的是 a n， 消去这里面的 s n 和 s n 减一，然后我们再去求 a n 就 可以了。这就是沈老师给大家的总结。 那么我们该如何去尝试去做这些题目？那第一个就是我们看到这个题的形式，它一定长这样子，它会有一个 a n 和 s n 的 关系，我们不妨直接开干， n 大 于等于二的时候，我们还是把它退一位，就得到这样的一个式子。和原式一相减，我们就会得到 s n 减 s n 减一的位置，这个 s n 减 s n 减一的位置是非常重要的，在这个位置 这个位置直接可以换成 a n。 换好 a n 之后，我们的式子就变成了一个 a n 加一和 a n 的 方程，就是这里面就不会再出现 s n 了，是一个等比数列，我们就可以把它快速的秒掉了。 当然无论说大家怎么做，要验证 a 一 的，那所以 a n 等于三的 n 减一次方，大家利用公式 a n 等于 a 乘 q 的 n 减一次方就可以了。这个题明显公比，它就是三。 首项提纲当中往往会给这个就是沈老师想表达的第二种形式，递推型。还有一种第二种，我这个 d s n， 它其实是有用的，就最终我要求的是 s n， 并不是求 a n， 那 这个时候往往呢，大家需要逆向去用这个公式。沈老师给大家稍微书写一下， 在刚才做题的过程当中，我们是主动的配凑了右边来推出左边，现在往往是由左边来直接带入右边，这样你就是求 sn 的 一个方法。 如果是求 an 的 一个方法，那我们往往是退一位再相减，也叫做核象关系。所以很多比较新颖的题目呢，往往有的时候需要大家逆向思维把 an 往里面带，希望大家能理解。继续。沈老师还是给大家稍微总结一下，也就是我们的方向二， 如果题目是与这个 s n 有 关的题目，那么我们这个时候是要消掉 a n 的， 就是把 a n 等于 s n 减 s n 往里带，整理好之后再先求 s n， 之后后面再说。 那我们不妨看看下面的第二类型的例题。已知正项数列 a n 的 前项和为 s n， 且 a n 的 平方减去二倍的 s n 乘 a n 加一等于零，让我们求 s n 的 公式， 我们还是这样的，如果我们退位相减，发现是可以得到 a n 的， 但是没有必要，我们要求的是 s n， 那 所以我们直接把式子当中的 a n 剔掉就可以了。第一步呢，我们直接把这个方程里面的 a n 等于 s n 减， s n 减一。这个式子，我们一开始 a n 等于 s n 减一，就是我们默认大家要知道的特别相减的关系，接下来大家直接把它带入进去就可以了，带进去之后会得到这样的一个关于 s n 减， s n 减一的平方，减去二倍的 s n 乘上 s n 减一，再加一 展开就可以了，展开之后就会得到这样的一个关系式，这样的关系式大家不妨可以尝试做一下因子分解，因子分解之后我就可以得到 s n 的 这么一个关系式，但是其实从这里面来看也可以得到怎么得到，其实从这看的话， s n 方它就是一个什么数列，就是一个等差数列，从这个方向也是可以的。那继续 这里的沈老师就验证了一下， a e a e 是 没有问题的，所以 s n 的 平方是一个等差数列，那么 我们就可以利用 a 一 加上一个 n 减一倍的 d 把它写好，那所以 sn 方的图像格式写出来。当然这里面大家还是要验证一下， a 一 等于一件事情，那没问题，所以 sn 的 平方它就等于 n， 所以 sn 就 等于根号 n。 好， 这就是沈老师要讲的 第三类的这样的一个问题，正反两项。最后沈老师带大家来一个综合的练习题的一个演练。 以上这个方程给的相对来说比较复杂，它这里面有 t n t n。 注意啊， t n 是 一个比较新颖的概念，它是 s n 的 前项和，也就是说它是把 s n 一 项一项列出来， s 一 加 s 二，一直加到 s n 等于 t n。 换句话说，我们想先得到 s n 的 话呢，要对上面这个式子呢进行一个退位的相减， 因此我上来直接把下一位写好，把 n 换成 n 减一，两个式子直接做差，就会得到这样的一个方程。 注意，当我的这个二倍的 t n 碰见二倍的 t n 减一的时候，它就会自动地相作差，就会变成二倍的 s n， 所以 这个方程里面其实就剩下了 s n 和 s n 减一。整理好， 我们会得到 sn 等于二倍的 sn 减一加 n。 然后呢，注意啊，你的目标是求 a n， 所以 大家不用太纠结于 sn 是 怎么求的，当然你说老师这个 sn 能不能求呢？其实我负责任告诉大家，大家如果认真听完我的课的话，在上节课的这个视频当中会着重体现叫做构造法， 它是一个含 n 构造法，不难，但是没有必要，我们毕竟要求的是 a n 直接退位相减就可以了。但是这里呢，沈老师加了一位，因为我觉得退位的话好像不太好看，不过其实效果是一样的，那么这样的话，我就会得到 a n 加一等于二倍的 a n， 再加个一， 继续整理就可以。利用构造设 k 常数的构造这块也是沈老师上节课视频里面重点讲解的内容。那么二减一的话，就会得到 a n 加一等于二倍的 a n 加一。这个时候用设 k 构造或者叫设 t 构造，就可以凑出一个等比数列， a n 加一 就是一个等比数列，我们把 a n 加一的通项公式写好就可以了，那这里的话呢，我们就为了证这个等比数列，所以呢就没有再往后写了，但实际上我们往往还有第二问， 这个第二问呢就是以后大家碰见这种证明题，是一定务必要把 a n 给它老老实实算出来的。好，那石老师给大家稍微计算一下，这里面呢，石老师重点说一下，就是我们这一 陀，它是一个等比数列，所以你在写首项的时候，一定是这个长数是大的这个长数，所以写首项的时候呢，一定是 a 一 加一， 而不是这个 a 一。 那写好这样子之后呢，大家把 a 一 计算一下， a 一 的话，就可以通过上面这个方程来，因为 t 一 是 s 一， s 一 是 a 一， 所以它们这个位置 n 负一的时候，它上面里面全是 a 一， 所以这样的话呢，就结束了，我们把它整体的写好，这样就可以了。好，那这里呢，石老师就给大家说这么多， 所有的关于 sn 这类型的所有的考题，希望大家呢要整理好笔记，记好笔记。沈老师呢，有对应的粉丝群里面呢，会有很多关于例题的讲解的过程的视频， 今天就沈老师给大家带来错位相减法的相关问题，先总结，再给大家做例题。还有一个板块是数列的基有向的问题，这里面啊，错位相减法作为高中数列求和当中最重要的一个问题，在二零二五年的高考当中已经有所考察了， 很直白的考察的就是错位相减，今天石老师也会给大家再练一遍，所以无论你是高二还是高三，错位相减法必须会首先开始，我们先抛出一个问题啊，等比竖列的前向和的公式是怎么推导的？ 大家有想法吗？我们先把等比竖列的前向和的公式给大家稍微写一下， s n 等于 a 一 加到 a n， 那 么对于它是一个等比竖列的话，它就是 a 一 加 a 乘 q， a 二的话，就是 a 乘 q 的 n 减一次方喽。 a n 的 话，就 a 乘 q 的 n 减一次方，这是等比竖列的一个求和形式。 我们想对这个竖列求和的话，显然你不知道公式是不行的，当然你说老师我已经背过了，没关系，我们看一下课本上如何推导的。我们先把式子两边乘一个 q， 它就变成这样子，我们再把对着的位置， 什么叫对着的位置？就是这样子的一个对法，看到了吧，我发现如果这两个式子我减左边，减完就是这个，他俩想减右边就应该是他减去一个，他因为中间这个对着他都是一样的。发现了吧，这是不是叫做先乘上一个数，它就错开了？这就是沈老师想给大家表达的意思。 也就换句话说，大家想做错一项减的题目，应该是先乘上一个数字 q， 然后它就错开了，错开两边一减就完事了，那最终我就可以得到 s n， 那 么 s n 整理好就可以 了。下面的问题是这个式子，大家注意一下，如果等比竖列的 q 等于一的话，它的 s n 应该怎么算呢？大家可以想一下，如果 q 等于一的时候，每一项它都是 a e， 那 么这个时候我算 s n 的 时候，是不是就是 n 倍的 a e， 因为每一项它都是 a， 那 如果它不等于一的时候，你就要用的公式叫做 s n 等于一减 q 分 之 a 一 乘以减 q 的 次方。这里面不是本节课的重点，但是确确实实课本是由这个隐身出来的错位相减法。换句话说，为什么要考错位相减法？因为课本上有等比数列前项和的求解过程。那我们话不多说，我们看看例题， 好例题的第一问，沈老师就不做过多的赘述了。这个题其实摆在这里，我一眼看过去，他就应该是沈老师教的设题构造法，其中含 n 的 问题。那这个我就不做过多的赘述，感兴趣的大家可以翻翻沈老师过去的视频，包括进粉丝群，沈老师都有相关的笔记送给大家。 那第一问我们就速通一下就可以了，最后我们证完之后，就可以得到我们的 a n。 沈老师把这个第一问的结果给大家写一下， a n 等于什么呢？ a n 它是等于二的 n 次方加 n。 第一问不做过多的赘数的情况下，大家直接利用这个式子就可以了。这样我们整理好之后，我们发现 b n， 如果想求和的话，是不要求这个家伙的和， 那我们这里面有个技巧叫分组求和，你本身在求这个数列的时候，你不用太纠结，你可以把一一一一每次都求和，再把它求和就可以了。所以我们把它拆成两份，一份是 t n， 一 份是 n， 我 要算的先把这玩意算出来，然后再加个 n 就 完事了。因为 n 个一，它的和就是 n， 前面这个二的 n 次方分之 n， 这个是沈老师今天要给大家讲的错位相减法，那我们还是把这个东西先写。第一步沈老师给大家记个笔记，平时你在做错位相减的时候，第一步叫做列列，就是把这个式子给它列出来，每一项都写一写。第二步叫做乘乘，什么所有的错位相减法，它的形式是等差乘等比， 因为等差乘等比就用错位相减法，等差除等比也可以，因为等比的话，除的话无非就取个倒数，这个没有关系，我们把它乘上它的公比之后，就会得到两个式子，发现它就错开了这个箭头，肖老师给大家标一下，就这样最后一项就这样 剪完之后，这个没有跟它剪，这个没有跟它剪，两个式子剪好两边写开，剪完之后左边变成二分之一的 t， n 右边。大家注意中间 减完之后，它和那个等比数列那是不一样的，这里面会留下来的好不好？我可以负责任的告诉大家，每次错位相减，只要你拿一式减二式，或者是拿二式减一式，只要你减得明白，它中间都会有 n 减一个等比， 这个我可以让他背下来，中间就是 n 减一个，为什么？因为你想想，一过 n 个 n 个错开之后，是不左边错一个，右边错一个，但是它相当于在 s n 当中是不是就错了一个？那么这个时候它求和的时候，是不是 就应该是 n 减一个等比？所以这块我们直接利用这个求和公式就行了， e 减 q 分 之 a 乘上一个 e 减 q 的 n 次方，当然这里面用的时候把第一项给它放进来了，我实事求是的讲，把第一项放过来，有的题是刚刚好的，有的题是不行的，比如这个题刚刚好就能把这 n 减一个等比变成 n 个等比，那自然好算一些，对不对？这看大家心情了， 那最后我们把它求和最后的一步，这个式子是需要大家去做的，就比如你求和完事和这项要同分一下，整理成一个比较好看的式子，那最终结果沈老师就给大家算了。 最后一步，大家千万别忘了乘这个二，这个二分之一他要乘过来，因为你不乘过来，你算的不是二分之一 t n 吗？那结果不是不对吗？那我最后要算的 s n 就是 再把前面沈老师给大家讲的这个 n 给他加上就可以了。这就是沈老师给大家总结的该例题的过程。 我们遇见等差乘等比的时候，我们就用错位相减法做的过程当中，大家注意，我们先列一遍乘上一个公比，然后两个式相减，减完之后中间会出现 n 减一个等比数，列 出完等比数列之后，我们把等比数列求和，然后剩下的我们通分验证就可以了。那我们看一下二零二五年的高考真题，还是第一问，沈老师就不做过多的赘述了，这个其实是一个叫证明法，我们认为证明法跟刚才的逻辑是一样的，我们在这个式子当中出现这个位置就可以了， 你把这个式子当中出现这个东西，基本上你就能看出来了，就这么简单。还有两种证法啊，第一种叫做带入呃，证明法，这个我稍微说一下，大家可以自己尝试一下，如果说大家不想动脑子，那你可以这么干，你直接去减去一个 n， 乘上一个 a n， 大家把这个 a n 加一往这里面带，这就非常无脑，一下子就证出来了。 但是如果说你想体验那种操作感，那么大家可以怎么办？把这个方程当中凑出这个式子就可以了，好不好？那第一位沈老师还是不做过多赘述，就把这个题直接给大家搞好就会了。那这里沈老师还是依照一个配凑的形式，我去把它给凑出来的。 重点还是来到我们的第二问，第二问就是我的第一问，这个 a n 我 已经知道了，于是我就把这个 a n 整理好， f x 本身等于这个意思，那么它这个外撇二是什么意思呢？它要相当于对这个式子先求导， 求完导之后把负二往里带，就这么个意思好求导的运计算过程，这都是逆函数，逆函数求导法则大家知道吧？ x 的 这个 n 减一，导完之后变成 n 乘上一个 x， n 减一就这个， 所以它下面的每个数字都要对它求导。省略号你不用管了，中间你不用管了，求完导之后，我们稍作整理， 最后我们要把这个 a m 给它往里头带。你说我说 a m 是 什么？这个不是第一问，不是整出来这个了吗？对不对？这个 a n 它不是等于个 n 分 之 n 加二吗？那你 a m 是 不是就等于一个这个 m 分 之 m 加二啊？对不对？你这一带刚好和这个 m 约掉了， 比如最后一项，我们看来这个 a m 带进去是不是就变成了 m， 就是 加二，乘上一个 x 的 m 减一次方，那所以到最后就变成这样子了，每一项都写好啊， 每一项写好之后呢，我观察最后一项就够了，当你还没有把负二往里带，我们先把负二往里带，我把负二往里带之后，我发现它这个式子呢，就是我刚才说的错位相减， 你说老师你怎么看出来？你看最后一项就可以了，最后一项是不是一个等差数列？这是不是一个等比数列？虽然公比为负二，我也没说负二为公比的这个东西，他做不了错位相减，于是我就要开始操作了，那沈老师就把他先两边同乘个负二， 同乘负二之后，我们发现得到的这个式子和上述式子就应该是沈老师说的那个形式，他的每一项就可以进行一个错开。其中你如果拿我们拿一式减二式这个位置，就这个位置，没人跟他减 这个位置，没人跟他剪这个位置，没人跟他剪。左边，你该剪剪左边。你剪完之后是不是变成三倍的了？好了，中间是一些等比数列，我们纸不够了，我们再列一页，那这里面外撇负二。写好之后，我再抄一遍这个一式减二式， 一式减二式之后，直接中间是一个等比数列，直接求和。跟刚才沈老师说的一样，这一项和这一项没人减，他对不对？减完之后我就可以有结果了，他最终再撇负二，就算出来最后一步就是通分了。也还是那句话，千万别忘了，把你减完之后，你一式减二式的之后呢，结果给它 乘过来。别忘了这个就是沈老师给大家表述的这个高考题目，也就是说总结一句话，等差乘等比，大家就用错位相减就完事了。错位相减 第一步，列第二步，乘上一公比，第三步，相减第四步，我们把中间的 n 减一个等比数来求和，最后一步，我们把左边那个系数给它乘过去就可以了。 最后陈老师给大家再总结一个叫做分级偶像的形式的问题。什么叫做分级偶像的形式？陈老师先给大家总结一下，就是好多题目它都是一个，比如说给大家稍微的看，感受下这个形式 a n， 它容易长成这个样子。什么 a n 减一 n 为奇数，三倍的 a， n 减一 n 为偶数，这种形式的分段基有问题，分段基有问题的一个核心逻辑就是它本质上是基，喊基数和偶数之间的关系。 比如说你这个 n 往把 n 往里带， n 是 基数的时候，你会得到一个基偶象的关系， n 等于偶数带入的时候，你会得到一个偶数和基数的关系。什么意思啊？就比如说沈老师给大家举例子， n 是 基数的时候， n 减一是什么数？ n 减一是不是偶数？ 那你这块是不是就是一个基数？所以它俩的式子是不是连接着一个基和偶的关系？那这两项往里带，你摁上偶数这个位置是不是基数？那这个位置是偶数，是不是又是一个基偶的关系？这个基偶的关系是没有用的，或者是不够用的，我们要通过这个基偶关系拆开，拆成一个偶偶关系和一个基基关系，就这个意思。 好了，那话不多说，我们来具体尝试一下例题，就类似于长成这种形式的，看起来还是有一点点复杂。第二问我觉得比较简单，第二问，大家第一问算出来之后，第二问其实毫无压力。陈老师直接给大家看。第一问，陈老师拆的逻辑是这样的， 我建议大家平时在做这类题的时候，拆的时候，比如说对于上段这个 n 为基的时候，大家直接把这个 n， 把它变成一个二 n 加一，当你说老师我变成二， n 减一，行不行？行， 这样你就不会纠结了，因为如果你硬拆这块，拆完之后，你想想，你 a n 加一等于个三， a n 加三 n， 你 说老师我拆完了， 下面又写一个 a n 加一等于个负的 a n 减 n 减一，你说老师我又拆完了，这两个 n 是 不一样的，你上面这个 n 只接受基数，下面这个 n 只接受偶数，这是不是很乱？两个式子想一起用的时候用不了了。听懂我意思，所以上面这个 n 换成基数，一般都这么换啊，我给它换。好， 我这么换。左边这个，注意，相当于你把这个 n 给它换成了二 n 加一，而右侧这是个换元法， n 被你换成二， n 加一，所以，所以左侧这个 n 加一，它就变成了二 n 加二。 这比较关键啊，下面的这个式子的 n 它不是偶数吗？那这个偶数其实你就可以带这个二 n， 你 说老师我带 n， 你 二行不行？行啊，没关系，你想带谁带什么，那我带，带完之后就成这样子了，道理是一样的，前面这个二，你是个换元，你是把 n 给它换成了二 n， 所以 它这里面所有的 n 都得换，就完事了。 这里面沈老师其实是偷偷的耍了一点小心思，因为沈老师一开始就知道他要求的是 b n 是 等于 a 二 n， 所以 我故意构建出这种形式。比如说这个题，我假设他说 c n 等于 a 二 n 减一，那你该怎么做？ 我跟你说，我接下来要怎么做啊？我接下来的话，要把这个 b r n 的 通项公式求出来，那你这里面就消什么？就消这个 a r n 加一，我是不是就留下来这个东西和这个东西了？那自然而然这个 b n 它是等于个 a 二 n 的， 你这个 b n 加一，它是不是自然就等于个 a 二 n 加二 是不是就完事了？所以我想表达的意思是，因为我知道我要求的是偶数的关系，所以我特意让基数是一样的， 你说万一我想求基数的怎么办？其实你随便列，在你列好之后，只要你加入一个退位就可以了。比如说我把这个式子，比如说沈老师说，老师，这个题，我想求的这个是基数的，那你是不得消偶数的，那怎么办？你把这里面的这个 n 加个一，它就完事了。 看懂了吗？就是说你把这里面的 n 给他加个一，他是不是就变成了 a 二 n 加三和这个二 n 加二的一个关系？你这个时候你在消藕，是不是就完事了？大家能理解我的意思吗？就是说你想求基的时候你就消藕，想求藕的时候你就消基，这题想求藕，所以呢，沈老师把基数向给他消掉，就这么个意思， 那完事了，那我们最后再整理一下呗，我这一代入代入消元会吧，加减消元会吧， ok， 结束。那 b n 等于 a， 这里面肉眼可见它就是一个很简单很简单的 等比数列，对不对？代入就完事了。那 b， n 就是 等比数列，这题就做完了，后面他让你想算啥的话，我就不在这里给大家展示了，大家有需要笔记啥的就找陈老师来要好不好？我这里非常想讲这种类型题目。我刚才的这个细节已经给大家谈清楚了， 注意求的过程当中，把 n 换成二 n 和二 n， 加一看奇数还是偶数。完事尚老师今天的内容就给大家讲到这里，这是一个比较难的课程，大家有任何问题可以进群私聊我领取一些资料。好，就这样。
粉丝7.5万获赞36.2万
相关视频
36:03查看AI文稿AI文稿很多同学一看到直线语言方程连力头直接就大了，觉得又乱又难，但主播想说，直线语言这一章其实是高中数学里套路最固定，最好拿分的板块之一，只要大家把核心知识点吃透，这一章完全可以做到少丢分，甚至不丢分。本期视频主播就带大家把直线语言从头到尾讲明白。 好，同学们，今天我们开启直线语言这一章节的讲解。首先我们先看一下直线的概念，这里我们引入两个定义，一个是倾斜角，一个是斜率。那么我们关于倾斜角的意思就是你看这个字面意思也能看懂嘛，就是你这个倾斜的角度嘛，对不对？所以我们令这个 这个直线它跟 x 轴的夹角，就把它叫做是倾斜角这个 r 法，那么我们这个倾斜角它的范围是属于零到派的，左闭右开行。我们关于倾斜角的话，又有这个倾斜角，它的正切值就是我们的斜率， 也就说 k 等于贪婪的 r 法， k 等于贪婪 r 法。来看这个贪婪 r 法，那我们要想算这个 k 的 话，还有没有别的算法呢？ 其实你看啊，贪婪算法不就是正切值对边比上零边吗？对不对？那对边的话不就是这一条，这条你看是不是我引入一个点，再引入一个点，这两个点的 y 值的差呀？ y 二减 y 一 吧。那这里呢，是不就是两个点的 x 值的差，也就是 x 二减 y 除以 x 一 吧。所以我们的斜率 k 可以 写成是 d 二减 x 二减 x 一。 好，这一点应该还是比较好理解的。接下来我们看这个直线的五种方程，第一种点斜式，那这这五种同学们都要掌握啊，都要掌握 点斜式，我们通过它的名字去记点斜，点斜，有点有斜率，说明你这个字，你这个式子既要有点，要有斜率。什么叫什么叫点呢？ x 零 y 零，这不就是一个坐标点吗？斜率 k 不 就是斜率吗？所以我们点斜式会写成 y 减 y 零等于 k 倍的 x 减 x 零。 好，你这个 y 零和 x 零就是这样子啊，这个坐标它必须是在这条直线上的啊，比如说当你知道一个定点，又知道一个斜率的时候，你就可以说你就可以用这个点斜式来表达这个直线的方程。 好，然后这个方程它是不包含数值的情况的，因为你数值的话，不就是说斜率不存在了吗？同学们，知不知道为什么数值表示的是斜率不存在啊？ 因为你看你数值的话，你这个 x 如果你任意取两个点，是不是 x 二，减掉 x 一， 它等于零了呀？因为你数值表示的是你这条线上任意两个点，它的 x 值都相等吗？ 那 x 值都相等，你们两个点相减等于零，不就说明这里的分母等于零了吗？那我们一个分数里面分母可以为零吗？ 不能为零的啊，你为零了，就说明这个东西它不存在了。所以数值的情况，我们把它称作是斜率，不存在啊，同学们要经过这节课要掌握，斜率不存在指的是数值。 接下来看这个斜截式啊，有斜率，有截距，截距啊，有斜率，有截距，那那么我们什么叫截距呢？就是你截这个 x 轴啊，或者 y 轴的距离啊。在这里斜率我们指的是 k， 那 这 m 是 什么？ m 指的是你在 y 轴上的拮据。好吧，如果画一个图像，他长这样子，这一段我们说他是二，那这个 m 他 就等于二。如果是这样子的话，这一段他是负三，这一段是负三， 这一段是负三，那么我们这个 m 它就等于负三，能听懂吧？这个 m 指的是在 y 轴上的截距啊，截距截出来的一段距离。好，我们看两点式，那两点式的话，你就是两个点嘛，要有 x 一 y 一， 要有 x 二和 y 二。好，那我们就写成是一个 y 减 y 一， 然后右边肯定是同同理的 x 减 x 一， 那左边的分母就是 y 二减 y 一， 右边就是 x 二减 x 一。 好吧，这里我就只提供一个记的方法啊，具体的它是怎么来的，我就不再分析了。 为了帮助大家节省时间，然后我们来看一下这一个图像是什么意思。哎，我们这里好像没有强调啊。啊，就是说这个图像表示的是说这个斜截式啊，它也是不能够竖直的， 它也不能够竖直，为什么呢？因为斜截式，斜截式，你是不是一定要有洁具啊？要洁具啊，你这样子的话，你有洁具吗？你在 y 轴上都没有洁具啊，对不对？ 好啊，这样才是在 y 轴上有拮据啊。行，我们看两点四，两点四的话，你看我有两个点，一个是 x 二减 x 一， 这个是两点之间的横坐标的差值，这个是两点之间重坐标的差值，你会发现他们两个都做分母了，也就说他俩都不能为零吧。 如果他为零，我们刚强调的是数值的情况，也就说斜率不存在，如果他为零，那很明显就是水平的情况了，因为你想嘛，如果你想要两个点，他的纵坐标相减等于零，那肯定是他俩处在同一条横线上呀，对不对？必须是水平的啊，水平的 行，所以这一个两点式，它是既不包括水平，也不包括数值。好，我们看洁具式，洁具式的话就是很明显它只有这个洁具了，怎么叫洁具式呢？如果我们画出这样子的一个图啊， 你看它是不是在 x 轴和 y 轴上都有洁具啊？而我们这个 a 指的就是它在 x 轴上的洁具， b 指的就是它在 y 轴上的洁具。那么你既然说这个洁具式是，你必须要表示出 在 x 轴和 y 轴都有拮据的情况，那不就是说这个式子它也不适用于数值吗？ 它是不是没有拮据？在 y 轴上没有拮据也不适用于水平吧，它在 x 轴上没有拮据吧，对不对？因为你要想说它在 x 轴上没有拮据的话，你这个值不就是为零了吗？那不能为零啊，分母不能为零吗？ 好，它是不是也不能够过圆点呐？它过圆点的话，不就是说明它在 x 轴和在 y 轴的截距都为零吗？你分母还是不能为零啊？ 好，所以我画出来这三条线都是它不能够取的情况啊，它不包含的情况。然后我们看一般式，一般式的话就是最标准的一种写法了， 就是 a， x 加 b， y 加 c 等于零啊， x 加 b， y 加 c 等于零，这个是有什么用呢？等我们后面算一下一些跟斜率相关的东西，或者说点到直线的距离，这些东西会用到这个一般式。 好，到这里我们五种方程给它讲完了，然后我们来看直线与直线的位置关系。这里如果我们给定两条 l 一 和 l 二，我们说这两条直线它是平行的，那么这两条直线的方程也有了， 看一下是不是我写成一般式的形式，然后区别在哪？区别在于第一条式子的角标我都是拿一来代替的， 第二条式子的角标我拿的是二来代替。好吧，我这是为了表示出两个式子的不同，那么我们就会有，如果他俩平行啊，你可以写成是他俩的斜率相等，也可以写成是 a 一 b 二会等于 a 二 b 一， 这两个是可以相互转化的。同学们还记得吗？我在那个项链那节课是有讲的，因为你看啊，这个第一条式子我们拿到左边来，拿左边来，他的斜率 k 可以 等于什么？ 是不是可以等于负的 b 分 之 a 啊？哦，有个一啊，负的 b 分 之 a 啊， 对不对？我把它写详细点， a e x 加上 b e y 加 c e 等于零，你把这个先丢到右边去嘛。还有这个 c e 也丢过去，那就变成 b e y 会等于负的 a e x 减 c e。 斜率不就是看这个 x 前面的系数吗？ 你再把 b e 除下来嘛，对不对？那不就变成了 y 等于负的 a e 除以 b e 乘一个 x 嘛。然后后面这个不用管他了，他跟斜率没关系，所以斜率不就是这一个嘛。 好，这是这个斜率 k 一， 那 k 二同理嘛，他不就会也等于负的 b 二分之 a 二嘛。我说了，你平行的话，就斜率相等，这两个四子相等，也就是 a 一 b 一 会等于 a 二 b 二那个符号被我约了，然后你十字相乘， a e b 二会等于 a 二 b 一， 不就得到了这一条式子吗？ 对不对？然后你要注意啊，如果你要写成这种表达式的话，你必须要强调一下，或者说你再分析一下 b 一 和 c 二的乘积不等于 b 二乘 c 一， 能懂吗？必须要有这一条，因为如果说它们等于了，那你这两条直线它就重合了， 重合那就不是平行了，没有意义了。好吧，行啊，然后我们看这里垂直的话，也是同样的，我建议你以这个 去，主要是去记这一个啊，上面这个你能记就更好，主要去记这一个，然后上面这个再拿这个去推，好吧，这个就是如果两条直线它是垂直的话，那么他们的斜率乘积等于负一，然后化简就会得到上面这一个。 好，这里应该讲的是比较清楚的啊。行，我们看这个点到直线的距离，那点到直线距离，这是一个公式，必须要背的啊，必须要背的，我们令这个直线为 a x 加 b， y 加 c， 看是不是还是一般式啊，然后这个点是这个点， 那怎么去算呢？你要注意，我们永远都是分母为你原来这个 x 前面这个 a 的 平方加上 y 前面这个 b 的 平方，然后再开根号啊，分母永远都是根号下的 a 方加 b 方， 分子就是你把 x 零 y 零，就是你把你要求的这个点啊，带进这个方程里面去，带进去，懂吗？然后加上一个绝对值，因为你距离绝对是正的吗？对不对？好，这个分析完了，主要是帮帮助大家讲是怎么样去记啊？怎么样去记， 然后呢？这一个，这个同学们可以看一下我写这两个式子的特点。哎，我这里是不是只把 c 一 c 二做了区分？为什么我前面 a 和 b， a 和 b 不 写 a 一 b 一 a 二 b 二了？知不知道为什么可以暂停一下？先想一下啊，想想为什么？ 因为我都说了他们是平行了嘛，对不对？那他俩平行的话，那我直接拿这个来表示就可以了呀，对不对？因为本来就是平行的话，就有 b 一 分之 a 一 会等于 b 二分之 a 二嘛， 对不对？左边刚讲完嘛，所以我表示出它们 c 一 和 c 二的区别就可以了。好，然后选这个形式，你要注意它们两平行线间的距离呢，就是分母也是 a 方加 b 方，分子就是 c 一 减 c 二啊，其中的一个 c 减掉另一个 c， 然后加上一个局，对值。 好，都挺好记的啊，我觉得都挺好记的。行，我们再看下这个线关于点对称这种方法要怎么去理解？我们给定一条线啊，给线关于点对称。好，我们给这个点，这个插一下啊。哎呀， 好，这样子，给定一个点，这个点是我随便写的，零一怎么来的呢？因为你这个直线是知道的嘛。 好，我绿色圆圈圈起来的这两个东西是你已知的，其他都是我后面在添加的。看一下，这两个是你已知的已知条件。行，已知条件的话，我我这里就标出一个点嘛，我就令他为零和一嘛，对不对？因为你这个点随便你怎么写，只要这个点在这个线上就好了，当 s 等于零的时候， y 等于一嘛。 好，写出来之后想问你线关于点对称这条线他的方程是什么？这条线的所在直线的方程是什么？怎么办呀？你是不是先确定这个点呢？既然这两个点是关于这个点对称的，对不对？所以说你这个这个点是不就是这两个点的终点， 这是不终点，那我这个点坐标不就有了吗？中间的两倍再减掉它吗？这是终点坐标的 中点坐标的一些结论啊，中间的两倍减掉这个就会等于这个好，三乘二等于六六减零，还是六二乘二减一三，所以六三就是这个点关于这个点对称过去的点好，再来，我既然都说线关于点对称了，说明我这两条线他是不是一定是 平行的呀？同学们，所以你可以先得到它的斜率是 y 等于 x 加 b， 然后你再把这个六三套到这里面去，你就可以得到 b 是 几了。 好吧，再好好理解一下啊，这个线关于点对称再理解一下，然后我们看一下点关于线对称。点关于线对称的话呢？ 我们你看你肯定是要已知条件，是有一个点和有一条线吗？就也就是我们要已知这个点，同样的，我拿绿线标出来，这个和这个这两个圈起来的是已知条件点关于线对称说明 说明啊，过这个点来，我们把这个这个对称的这个点给他假设出来为 x 零 y 零假设完之后呢？我是不是可以算这个中点坐标， 对吧？他俩之合除以二不就中点坐标吗？所以就是 x 零加二除以二， y 零加七除以二，就是这个点坐标了吧？然后你得出来的刚才得出来的那两个值啊，是不是要满足这个方程？ 那你就把那个得出来的那个坐标再套到这个方程里面就好了。来看 x 零加二除以二加一，是不就会等于 y 零加七除以二呀？就说把这个中点坐标套到这个方程里面吗？这是一条式子吧，你想要解两个未知数，你肯定有两条式子吗？ 所以我们再看另外一条式子，这就是垂直的问题了，你这两个点都关于这条线对称了，那你两点的连线肯定关于这条线是垂直的呀，同学们看一下能不能理解。 肯定是垂直的啊，那我们不就会有 y 零减七比上 x 零减二，算出来这条线的斜率再乘以这个一两直线垂直，他们的斜率相乘是不等于负一啊， 所以我把两个斜率相乘等于负一写出来就可以了。然后就是计算量有点大啊，计算量有点大， 计算量有点大，行，然后我们这个就讲到这里，我们看一下圆的，圆的， 我们关于圆呢，会有，就是如果说我们定义动点 p 啊，这个 p， 它到一个定点 o 的 距离永远都等于一个定值，就是它的这两个点距离永远都是相等的啊，永远都是等于一个定值的，永远都等于一个定值，那么我这个 p 点的轨迹就是一个圆，好吧， 行。然后还有第二种说法是阿波尼斯，阿波罗尼斯圆啊，来看一下，就是你这个 p 啊， p 到两定点的距离之比等于一个定值那么大，什么意思呢？到两定点，所以 ab 这个两个点是不变不变的，两个点不会动的。然后你这个 pa 和 p b， pa 和 p b 它们的比值，它们的比值会等于一个，那么你就可以说这个 p 点它的轨迹也是一个圆，能懂吗？ p a 比上 p b 等于蓝，不打，那我们就可以说 p 点的轨迹也是一个圆。好，再来第三条，这个就是圆周角的定义了，如果说你这个 p 啊，他到这个 他到两定点，他到两定点，你看这个定点是 a， 这个定点是 b， 然后你这个 pa 和 pb 所形成的夹角，如果是九十度的话，永远都是九十度的话，是不可以说明你这个 p 点他的轨迹还是一个圆呢？因为你圆上任意，你看我这样子画一个 p 和这样子画一个 p， 这两个 p， 他 们的这个角度是不都是九十度呀？对不对？直径所对的圆周角是九十度吗？所以这是给它反过来啊。把这句话反过来， 如果说你这个 p 点到两个定点，然后所形成的夹角为九十度的话，你这个 p 它的轨迹依旧是圆。 好，圆周角。行，我们看一下这个关于圆的标准方程，我们会定义这个圆心为 x 零和 y 零，然后半径为 r， 这是假设出来的嘛。 那么圆的标准方程就可以写成 x， 减掉圆形的横坐标的差的平方，加上 y， 减掉圆形的重坐标的差的平方，会等于半径的平方。 好，大家看能不能看懂，这个用的比较多的啊，更推荐大家考试做题的时候以这种形式去解题，然后右边这个一般式方程，大家也可以再看一下， x 方加 y 方加上 d， x 加 y 加 f 等于零，其实就是 你这个也可以写成左边这个形式吗？对不对？你进行一个配方吗？ x 加上二分之 d， x 啊，不是二根 d， s 是 x 加上二分之 d 的 平方，然后再去加加加加加，把后面这些都凑成一个完全平方的形式，然后最后也会得出一个半径的平方等于几的，能听懂吧？ 好啊，主要是记这个，主要是记这一个，然后这个要知道，这个要知道。然后我们再看这个点与圆的位置关系，这个很简单了，如果说我们有一个 p 点， p 点到这个圆的位置关系，这个很简单了，如果说我们有一个 p 点到这个点与圆的距离为 d， 我们定义 p 到 o 的 距离为 d。 如果说你这个 d 啊，跟这个半径的关系，你这个 d 如果大于这个半径，那不就说明点在圆外吗？ 对不对？如果你这个 d 啊，它小于半径，那不就是点在圆内吗？那 d 等于半径不就是在圆上，对不对？它在圆上，这个我觉得还是很好理解的啊， 那同理，直线与圆的位置关系。左边这个图啊，同学们看左边这个图，直线与圆的位置关系。就是说如果说你这个点啊，到直线的距离，我们令它为 d， 你 这个 d 如果大于这个半径的话，说明直线跟圆它是怎么样 相离的吧，对不对？那如果是这个 d 啊，他小于这个半径 d 呢？啊？小于这个半径 r 呢？距离 d 小 于半径 r， 是 不是相交啊？那如果等于的话，是不是就相切啊？ 对不对？那这个也是很好去理解的啊，这跟这个是一样的，跟这是一样的。然后最后我们看一下最麻烦的一个是这个圆和圆的位置关系，其实也不麻烦， 我们一个个来看，先看第一个。呃，我们同样的是定义这个 d 啊， d 为圆，因为圆和圆的位置关系是不是要有两个圆呢？所以我们这里定义啊，两个圆心出来了，我们定义两个圆心之间的距离为 d， 两个圆心的距离为 d。 好， 同学们要记住啊。行，然后如果说你这个 d 它的距离是处于先大于零吗？这 d 首先它它先大于零，然后它小于两个圆的半径之差的绝对值， 那么你就可以说这两个圆他是内涵的，内涵的。那什么，怎么去翻译这句话呢？我给大家梳理一下，梳理一下，你看我这一条是不是这一条是不是这个大圆的半径啊？这一条是不小圆的半径，对不对？ 放大一点啊，这一条是大圆，这条是小圆。我们看一下，你大圆减掉小圆的半径等于什么？是不等于这一块蓝色的，再加上这一块他们之间相，他们之间的距离啊？两个圆之间的距离啊， 对不对？大半大圆半径减小圆半径是不等于这条蓝色的，再加上这一个空隙，而我们这个蓝色的不就是 d 吗？你又加上了一条空隙，所以我这个 d 肯定要小于这一段加这一段嘛，也就是说我的 d 要小于 r 一 减 r 二嘛， 对不对？同学们自己画个图再理解一下啊。那所以说这个就是内涵，内涵的情况，那内切呢？内切很容易啊， 两个圆都内切了，说明这一段，这一段距离是不小 r， 这一段距离是不大 r， 那 大 r 减掉小 r 肯定是这个距离嘛，肯定是这个两个圆形之间的距离嘛，为 d 嘛？所以我们就写成 d 等于 r 一 减 r 的 绝对值，然后不等于零。 好，我们看第三个香蕉，香蕉的话它是最特殊的，香蕉它是要小于这个两个半径之和，又要小于两个半径之差，这个我建议同学们单独去把它记下来啊， 只有这个是最特殊的，它既要小于之和，要小于之差。行，然后我们看一下怎么去理解你小于之和的话，那不就是我们看一下啊， 两个半径折合，首先这里这是不是一条半径，这是不是又一条半径，对吧？而你看一下我这一条再加上这一条是不是有加了重复的，我是不是加了两次这一个， 对不对？我这一条再加上，哎，我刚刚是不是图画的有点问题啊？重新再演示一遍啊。我这一条半径再加上这条半径，同学们看一下这一条加上这一条，是不是这中间这一个被加重复了呀？ 对吧？这一条和这一条的话，是不中间被加了两倍，而我这一条是不就是两圆心的距离为 d， 所以 r 一 加 r 二肯定是要大于这个 d 的 啊，大于这个 d 的， 因为它多加了一倍中间这个相交的距离嘛， 所以 d 要小于这一部分，那 d 肯定也大于这他们两个的差呀，对不对？那 d 也要大于这两个半径的差。 好，然后我们再看一下这个外切，外切的话，我觉得剩下两个大家都是看一下就能够懂的，你看这个外切在外面相切嘛，内切就是在里面相切嘛，对不对？你外面相切的话，两个原半径不就等于我的圆形距嘛， 你要是想相离的话，两个离得远远的，那你这个距离圆心距肯定是要小啊。对，肯定是要大于两个半径之和吗？你看我圆心距是不是肯定要大于两个半径之和呀？多了这一块吗？ 对不对？那这一个我觉得除了这个香蕉同学们要多去理解一下，他要小于之和大于之差，其他都是能够自己理解的。那香蕉如果还没听懂的话，可以再来问我啊，不管是在群里问或者说私信都可以。 好，然后我们看这个斜长公式，那斜长公式的话有两种求法，一种是垂进定里，垂进定里， 垂进定里，也就说你看我要想要求 a 和 b 这段斜长，那你就可以过点 o 做垂直于 a b 的 这两这一条直线嘛，那这个能不能算这个距离？肯定是可以的啊，点到直线的距离你还能不能算吗？ 套公式就行了，你这个知道半径又知道半径的平方，减掉这个的平方不就是嫌长了一半的平方吗？你自己开个根号再乘以二就好了嘛， 就把这第一条，第二个方法是连立啊，连立，你把这条 ab 所在直线的方程跟这个圆的方程连立起来， 那么你连累起来之后呢？就可以就可以去计算啊，你要计算，你看是不是要表示出来，这个是 x y 一， 这个是 x 二 y 二啊， 对不对？然后来看啊，然后你要求这一段的距离，这一段的距离怎么办？那不就是有两点间的距离吗？ x 二减 x 一， 或者说 x 一 减 x 二的差的平方加上 y 一 减 y 二的差的平方吗？对不对？两点间的距离公式同学们应该是知道的啊， 也是构造一个勾股定律， x 得 x 的 平方加上得 x y 的 平方。好，你算出来之后看，就像我这样子写成这个形式，然后再化简，就可以化简到下面这一步。那怎么化简出下面这一步的呢？来我们看一下右边， 按照这个书写形式，大家应该能看懂吧。然后我这个直线 l 直线方程是不是有的 y 等于 k x 加 m 嘛，对不对？所以你是不是可以把这个 y 写成 k x 一 加 m， y 写成 k， x 二加 m， 对 不对？然后我们写这个形式，再给把它们相减，然后你就可以得到一个 k 方程，一个 x 一 减 x 的 差的平方。行，写成这个形式呢，你会发现， 你会发现我们这个这个是不可以提出来啊，提公因子吧，我们提一下的话，它不就变成 x 减 x 二的差的平方，然后左边应该是 k 方加一嘛， k 方加一，然后这个平方不就可以开根号去掉了吗？去掉的话你要保证它是绝对值啊。然后左边又是根号下的 k 方加一，那么我们这个咸尝公式就讲到这里， 好，主要这个要记啊，下面这个方法，这个要记，这个我们在圆锥曲线，圆锥曲线那里也会多强调的。 好，然后我们还要再看一下这个题目，这题目我就不讲太多啊，我抽几道题讲一下，因为本来这一节他的题目就不是很多嘛，对不对？ 就十四十五道题嘛。那我要都讲了，就同学们先去练啊，其他的同学们去练，有问题的再发到群里或者问我，好吧， 我们先看第一题，第一题的话，嗯，告诉我们一个圆好到这个直线的距离为一的点，尤且仅有两个圆。上到直线的距离为一的点，尤且仅有两个，这种题怎么办？ 我们先画一下，我们先画一下。首先这个圆你是不可以确定一下他应该是零负二，对不对？这他的圆心吧？好，然后这个到直线，这个我们知道他过定点吗？过定点零二吧。然后斜率 k 等于根号三 行，其实这个我们把它画成一般式吧，把这个画成一般式，因为因为你看你要求这个到这个直线上的距离嘛，你待会如果说你要用到那个距离公式的话，不是要拿一般式来写吗？ a x 加 b， y 加 c 等于零嘛， 对不对？好，我们画为一般式，画为一般式的话，就这个式子应该是等于一个根号三， x 减 y 加二等于零。好，然后我们左边这个圆我们先随便画一个， 这样画出来，画出来之后我们知道中间这个是零负二，然后我们这个直线先不管他长什么样，我们先随便画一下，随便画一条直线， 先模拟一下题目给的条件，他想要说我原上到直线的距离为一的点，而且仅有两个，那看，如果说我这个时候 这段距离刚好为一。同学们，如果说我这个时候这段距离刚好一，那原上到这个直线的点等为二的点是不只有一个啊？ 哎，不对，不对，口误啊。那原上到这个直线距离为一的点是不是只有一个？这个时候就只有这一个点吧，对不对？如果说我这个时候把这条线往左边挪了一点点呢？你看， 那这样子的话，他是不是肯定会有两个点？原上肯定有两个点到这个直线距离是一的呀，对不对？这两个点吧。 好，所以说你要把这个线往左边挪的话，他就可以有两个点，那这个距离为一的时候，这个是个零界值啊，这里是零界值，那这个零界值是什么意思呢？ 同学们想一想，这个临界值不就说圆心到这条直线的距离是为 r 加一吗？ 对不对？圆心到这个距离是不是 r 加一啊？我这条红线是不是表示这一段圆心到直线距离为 r 加一？好，然后你要黑线，你看我往这个线往左移动的时候才能够满足提议，说明你这个距离要小一点还是大一点， 是不是要小一点啊？所以 d 是 不是要小 a， d 是 不是要小于 r 加 e 才满足条件， 对吧？好，你想它要小于 r 加 e 才满足条件，那它左边有没有范围啊？左边有没有范围限制？如果说，你看我把这个 d 往左边挪，挪到了这里， 如果说挪到了这里啊，你看我这里左右两条线，上下两条线啊？上下两条线是不是一定会存在有两个点，使得它们到这个直线距离为一的，对不对？是不是一定会存在这两个点到达距离为一？那还有没有别的情况呢？ 哎，同学们思考一下，除了这两个点外，有没有可能你这个点到他的距离也为一呢？如果说你在除了这两个点之外，还有一个点到他的距离也为一，那不就不符合题一了吗？对不对？所以说我们这一个距离为一的时候，换换个颜色， 这上面这个点到他距离为一的时候又是一个零界值吧。好，这个时候又是一个零界值，那什么意思呢？说明什么？说明我这个黑线是不是要在这个距离为一的基础上再往右边挪一点吧， 对不对？你只要没到达这个一就好了吗？是不是我在这一块没到达这个一不就可以了吗？没到达这一说明这一块这个点他就不成立，我就只有这上下两个点。上下两个点 好，也就说这条线要往右边移，那这条线满足什么呢？这个不是 d 吗？对不对？这个是 d， 这个是 r， 这个是一，说明你这个这一段距离应该是 r 减一吧。好，而你这个线要往右边走，说明 d 要大于 r 减一。 好，看一下能不能听懂啊？能不能听懂。所以我们这个题其实他不难啊，他不难，那办这个 r 能不能写啊？ 哦，要，我们求的就是 r 啊，那什么是知道？哦，这个 d 是 知道的， d 是 圆心零负二到这个直线的距离吗？好，我们写下公式。 d 应该是等于根号下的 a 方加 b 方，上面是把这个距离套进去，所以就等于根号下的 a 方是三， b 方是一，所以根号二，根号四，应该等于二。上面这个就把零负二套到这里面去嘛。那就是一个负二乘负一等于一个二加二的绝对值，四除以二等于二，所以二要小于 r 加一，大于 r 减一，那也就是 选哪一个呀？先看这个吧。先看这个，不就是 r 要小于一嘛，那也就是一到三选择 b 嘛， 选择 b， 行，然后我们看一下第二题，第二题这个全国甲卷的这道题目啊，他说已知直线是这样子的，然后上面我先插一下，然后他又给了一个圆，这个直线跟这个圆交于 ab 两点，求 ab 的 最小值。哎， 那我们先看一下这个直线能不能得到他的斜率或者定点吧，对不对？因为你要确定一条直线，你是不是要先找他的斜率或者定点，我们找一下。 斜率好像不好找，但是定点好像可以找吧。这个这个放在一起， a x 减 a 加上 b， y 加二， b 等于零。把 a 提出来， x 减一，加上， 把 b 提出来， y 加二等于零，说明他过的定点应该是一和负二啊，不是一和啊，是一负二， 对不对？是不是过这个定点？什么叫过定点呢？过定点的意思是，不管你这个 a 和这个 b 取什么值，你这条直线都会过这个点。 你看，我是不管 a 取什么值，当 x 等于一的时候，它都为零啊。当不管 b 什么取什么值，当 y 等于负二的时候，这一串都等于零啊，所以不受 ab 影响啊。它过定点一负二。好，然后再看这个，我们把它写成标准方程， x 加， 哦，没得加了 x 方，加上 y 加二的平方，然后你里面加了一个四，外面就要减四嘛，原本就减一了，减四减一，所以就等于减五，也就等于五嘛，一个项说明他应该是零负二，这是圆心 r 等于根号五。 好，我们写成这个形式，然后来看一下这个圆，我们先简单画一下。 好，这个是零负二，然后我看下这个一负二，你半径都是根号五的，你这个一负二很明显是在圆内吧， 对不对？是不是这样子画很丑啊？看一下，放大一点 好，这样子啊，依附在圆内，那就很明显了呀，对不对？你这个是 c， 你 这个点我们把它列为 p 吧，这个定点 p， 然后他说了，这个 ab 是 你这个直线跟这个圆的两个交点， 然后问你什么时候 ab 最小？肯定是考虑到，问最小就考虑到垂直呀，是不是 当你这个 c p 啊，当你这个 c p 啊，这个点，这个直线跟这个 ab 垂直的时候，肯定你这个 ab 是 最小的呀。你想一下，不然的话，你这样重新画一下，把它画一个斜着的， 看一下你这个红色的线，稍微斜一点，它是不都会比这条绿色的线要长啊， 对不对？只要问到最小，然后你图都画出来了，你肯定就考虑这个垂直啊。问到最小，先考虑垂直好，这个时候肯定是最短的，那最短的话，你要求 ab 怎么求呢？这是不是很明显垂径定力啊？ c 点和它 cp 这个长度是几 是是一吧，对吧？那这个半径又是根号五吗？那半径的平方减掉一的平方就等于四，所以这段应该是二，这段是二， ab 不 就是四吗？那答案就选择 c 了呀， 是不是好像也好像也不难吧。这两题都不难啊，然后第三题就更不用说了，你圆心到直线距离，直接背公式，直接背公式啊，然后再看一下。这一题。我先不讲啊，同学们，先做一下 这一题啊，这一题给他提一下。好吧，提一下，我简单提一下，你看他，你他这个方程对不对？这个，这个已经把长得很像一个圆的方程，然后他问你，但是他问你，是 x 减 y 的 最大值是几？那你考虑就把这个看成一个整体了呀， 对不对？你要求这个的最大值，但把它看成整体嘛。你假设它为 t 了，假设它为 t， x 减 y 等于 t， 然后你不就可以得到 x 等于 t 加 y 吗？ 那有什么意义啊？有什么意义？ x 等于 t 加 y， 你 就可以把这里面的 x 全部化成 t 加 y 的 形式。看啊，它就变成 t 加 y 的 平方，加上 y 方减四倍的 t 加 y 减二， y 减四，等于零。好，然后你再化简一下， 把它画成一个关于 y 的 画，画成一个关于 y 的 一元二次方程。然后既然说我为什么要关于 y 呢？因为你这个 y 它明确的这是个实数嘛，所以你这个 y 它肯定是存在的，所以把它画成关于 y 的 一元二次方程。 二次啊，一元二次方程，然后就可以得到德萨，他必须要大于等于零。好吧，德萨大于等于零，然后你就可以把这个答案给它解出来了。 就是运用一下判别式啊，判别式。行，然后我们这几题就先这样子，先这样子，那么有疑问的话就在群里再问我吧。好吧，有疑问在群里再问我。
312小飞龙-Math
21:27查看AI文稿AI文稿高中数学选择性必修二，不用翻书，不用整理啊！全网最全的选 b 二整本公式核心知识点大全，点赞收藏！这个视频我们一次性给大家梳理完，梳理导数变化率极致最值单调性所有必考公式二级结论，高频易做考点， 整本课本的精华浓缩成这一条视频，考前刷一遍直接搞定！选 b 二百分之八十以上的考题，高中数学题分，关注宋老师这一条就够了。 选择性必修二这本书其实难度非常高，因为我们学习的板块是数列还有倒数，它们俩几乎可以说是必考大体的，所以从分值上来说，应该都是二十分往上的板块，所以加起来可能会占到有个小三四十分了，所以它的公式那更是 重中之重。所以今天我们再来梳理一下第四本书选择性必修二的所有公式，那么上来就是数列。对于数列而言，其实数列我们有三架跑车，两条大腿， 三架跑车其实就是树列的所谓的定义，而这树列的定义里面，其实树列的定义给的方法有很多种，它主要的就应该是我们的通向公式，还有我们的地推公式，以及还有我们的求和公式。 所有的竖列如果我们想要把它搞清楚，就可以由这三个公式作为切入点去进入。那么什么叫两条大腿？两条大腿就是我们今天要去梳理的等差，还有等比。对于等差竖列而言，它的定义是后一项减，前一项永远等于一个定值。那它的通向呢？我们是使用累加的方法 去推出了它的通向公式，应该是 a n 等于 a 一， 再加上 n 减一倍的 d。 那 推广开来，其实不一定非得从第一项开始往后推的，也可以是加上 n 减 m 倍的 d 就 可以了。 所以这是等差数的所有的定义的内容。以它最基础的东西，从性质上来说，应该就有等差中项这个环节。如果这三个玩意儿成为一个等差数列，按这个顺序成为一个等差数列，那就意味着大 a 减小 a， 就 应该等于小 b 减小 a， 所以 移到一起来就应该是二倍的大 a 应该等于什么？是不是等于小 a 加小 b， 所以 得到结果就应该是大 a 等于二分之 a 加 b， 这个是等差中项的性质，所以大家也需要去了解。 除此之外，就是等差式的性质，等差数列的这样一性质，其实应该是 m 加 n 等于 p 加 q 的 时候， a m 加 a n 就 等于 a p 加 a q。 我 个人会比较喜欢把它推广到什么推广到我们这样的一个环节，就如果 m 一 加上 m 二，一加 m 三，一直加 加到我们的 m n， 或者加到我们的 m k， 会等于我们的 n 一 加加加加加加加到我们的 n k 四十，我们的 a m 一 加上 a m 二，再加上 a m 三一直加加到我们的 a m k， 就 会等于 a n 一 加上 a n 二，一直加加加加加到 a n k。 我 个人的逻辑是这样的，就只要是等差竖列，这是它的前提。首先你必须得是等差竖列， 紧接着你左右两边的项数又一样，比如说最开始这个性质，左边是两项，右边也是两项，而我现在两边都是 k 项，这个 k 可以 是任意的正整数了，项数相同的情况下， 左右两边的下标和如果也相同，那下标和就是 m 一 加 m 二加 m 三加 m k， 下标和也相同，它们加起来的东西就一定可以怎么样，是不是划等好？ 也就是说，比如我们的 a 一 加 a 三，再加上一个 a 十二，好吧，加一个 a 十二，那这是多少？好像不太对劲。加个 a 十四，那这其实三项下标和加起来是十八，所以就应该等于三倍的 a 六，一定如此， 因为这也是三项， a 六加 a 六加 a 六，就是三个六三六一十八，一加四加啊，一加三加十四，也是十八，所以就没有问题，他们一定是可以画等号，这就等差数的性质。那除此之外，就是我们的前 n 项和对于等差数的前 n 项和而言，我认为它的最基础的公式，我们从小学就已经会了，首项加末项，乘上一个项数， 再除以一个二啊，这就是所谓的它的前 n 项。那么打开之后，可以理解为是 n 倍的 a 一， 因为 a n 就 可以拆成 a 一， 再加上是 n 减一倍的 d， 它通向打开之后，就会变成 n 倍的 a， 加上二分之 n， 乘以 n 减一倍的 d， 这就是 s n。 那么对于 sn 而言，它除了这种形式以外，还可以再整理成二分之 d 倍的 n 方，再加上 a 一， 再减去二分之 d 倍的 n， 这是一个标准的 a n 方，再加上 b n 的 形式。所以稍有技巧一些题目，我们可以用它。这种二次函数 当然是没有 c 的， 就是过圆点的二次函数这种形式来解决问题。从图像上来观察我们最后的结果，这是非常关键的，也非常好用的这个逻辑。接下来再来看一下前 n 向和的性质。 前 n 向和的性质最经典的就是这个 sn s r n 减 s n s 三 n 减 s r n 也是等它出来的公差是 n 方 d。 除此之外应该还有什么？ s 基数应该等于项数再乘以什么是中间那一项，比如说 a 七 a 七或者 s 七， 比如说 s 七 s 七就是 a 一 到 a 七，那么其实 a 四就中间那一项就会等于七倍的 a 四。那么如果说是 s 偶，其实就牵偶数项和的话，就应该会等于二分之 n 倍的 a， 二分之 n， 再加上 a， 二分之 n 加一，就把中间两项加起来，再去 给它处理一下。这玩意其实用处不是特别大，但基数这个还有点用处，所以大家也可以稍微去理解一下。这是前 n 项和的性质，那么等比数列就是我们的第二条大腿。等比数列的第二条大腿的逻辑，它的定义很像，就像我们的后一项比上前一项会等于一个定值， 那么这就是所谓的等比数列的定义。我们其实是使用累乘这个方法啊，去得到了它的通向公式，那推广开来也是一样的，我们可以从 d m 向推到我们的 d， n 向也是一样，那么等比中项的逻辑也是一样。如果这三玩意成为一个等比中项的话，或者成为一个等比数列的话，那么 g b a 就 应该等于什么？什么 bb g， 所以 g 方就等于 ab， 等于正负根号下 ab。 这里体现出来一个非常细节的逻辑，就是 ab 必须要大于零，这个根号 ab 是 不是才有意义？ 所以其实你会发现，如果是第一项至第三项，或者至第三项至第五项，只要都是基数项，等比数列里面一定是，如果都是基数项，一定会同号的， 要不然都是负的，要不然都是正的，这样才能确保它们成起来会怎么样？是不是正数，那么中间那一项才能成为所谓的等比中项。如果它偶数项也应该是同号的，但是第一项和第三项和第四项，也就是基数项和偶数项之间到底同不同号，这个不知道，取决于它所谓的公比到底是大于零还是小于零。 但是各位一定要注意，等比数列和等差数列还有一个非常明显的区别，就是等比数列中没有什么是没有零，没有零，等比数列是千万不能出现零的，一旦出现了零，那么后一项比前一项就会非常糟糕，我 比上一个零，那很难比的。所以说这里的等比中项，我们可以推出这样的一些小的结论，来提醒各位一些选择题、变稀题的时候要注意这些东西。那么等比数列的性质也是一样，其实我就不多啰嗦了，还是一样可以推广到 m 一 到 n 一 到 n k， 只要左右两边依然是项数相同，下标和也相同，那么 a m 一 乘以 a m 二，注意已经等比了，所以用的是乘法， 刚刚等差中是加法，所以这变成乘法就是 a m 一 乘以 a m 二乘以 a m 三，直到 a m k 会等于 a n 一， 一直乘到 a n k， 只要 m 一 加到 m k 等于 n 一 加到 n k 就 行， 那么它的前项和相对比较麻烦一些，其实会有一个分类讨论的，如果说它是一个常数列，就是公比为一的话，其实它的前项和就非常简单，直接拿着项数去乘以 a 一 就行了， 反正就这么多个 a 一。 那如果说 q 不 等于就是不是一个常数列的话，那它的方式就会变成 a 一 乘上一减去公比的项数次方，再除以一减公比，也就是 a 一 再减去 a n， q 除以一减 q， 也就是 a 一 除以一减 q， 再减去 a 一 除以一减 q， 再乘上什么属于 q 的 n 次方。 所以从形式上来说，它应该是 a 减 a 倍的 q 的 n 次方的形式。所以这也可以在一些方法中，比如退位相减的时候提醒我们，这个竖列，它的前 n 项和，如果形式上长得不符合，它就一定不是等比竖列，如果符合这个形式，才能是等比竖列。所以这是我们所谓的等比竖列的前 n 项和。 那得利是在前项和的性质其实会更少一些，像什么基本上都没有，就只有这一个，就记这一个就行了，那就是 s n s r n 减 s n。 题目里如果出现什么 s 三 s 六， s 十二这样的东西， s 四 s 八 s 十六这样的东西， 你要反应过来它们之间是 n 二 n 的 关系，所以这个可以去处理好。那么接下来是我们的两个最重要的，可以说是问题。在题目中如果问到了，我们去求通项，我们经典的方法应该是什么？ 是不是应该是我们的累加法？累加法其实针对就应该是递推公式，长成 a n 加一减去 a n 等于 f n 的 形式就很相等差的感觉，只不过右边不是一个定值，而是一个 n。 当然这里面所有的 n 我 全部都省略了，所有的 n 全部都是 n， 属于 n。 新列里面不要啰嗦这些有的没的，你不要给我来个什么 a 负七没有，都是从 a 一 开始，那么 s 也是 s 一 s 三 s 十，这个 n 永远是正整数。所以累加法应该是适用于 a n 加一减去 a n 等于 f n 的 形式。 那么累乘法适用于的应该是 a n 加一除以 a n 等于 f n 的 形式。要学会这些方法，如果你感觉还很疑惑，翻自己的笔记，或者在评论区里面留下你的留言，我会帮助你来解决这些问题。 那接下来是构造法，构造法其实主要分为三类，如果说是 a n 加一等于屁倍的 a n 加 q， 那 我们就用的方法就是设 k 法，就两边同时加 k 就 完事构造等比。 如果是 a n 加一等于屁倍的 a n， 再加上 q 的 n 次方，那我们会先怎么样？先两边同时去除以一个 q 的 n 加一次方，就这样除除完过以后，就可以出现一些非常优秀的数列的性质，这也是经典的构造逻辑。还有一种逻辑就是渠道，如果地推公式里面出现了非常明显的头重脚轻， 叫头重脚轻，分子的项数太多，分母倒是非常的简单单纯，那我们可以去取道还有证明型的题目，题目里面吧唧给你来一道，说让你证明这玩意是一个长数列，是个等比数列，是个等差数列，吧啦吧啦一大堆的。那这种问题我们就可以去使用什么 正明显而正明显的逻辑，其实主要就是凑，你要凑出题目中这种形式，那当然还有更复杂的，比如说特征跟方程，还有什么珠网图的一些地推的逻辑，那么这些在本条视频里面我们就不再赘述了。以后一些比较高级或者说一些比较花哨的视频里面，我们再去介绍这些比较 花哨的方法。好吧，那么这个视频只在还是在磐石各位的基础，大家一定要把目标给大家分类清楚。那接下来是第二类大的问题，就是数列求和数列考察前几道题的时候的经典数列求和的方法。第一个就是错位相减，它所适用的场景应该是差比数列， 也就是等差乘以等比的情况下，不要多想错位相减，先同时乘以一个 q， 再去做一个减法，做完减法过以后，用求和公式去把它合起来，最终不要忘记去除，因为你乘完 q 去减的时候，得到的应该是一减 q 倍的 s n， 或者 q 减一倍的 s n， 你 最终要的是前项和，所以一定要干嘛 一定要去除以前面的系数一减 q 或者 q 减一，所以其实等差乘以等比的这种错位相减的题型就是乘减加除，也就是加减乘除， 各来一套，少一步都不行。那么第二个就是列项相消，最经典的类型就是比如像 n 乘以 n 加 k 分 之一这种模式，它就可以列成 n 分 之一，减去 n 加 k 分 之一，前面再配个。什么 是配个 k 分 之一？当然相对而言它还有非常多的形式，比如说根式型的列项相消，还有所谓的有指数的运算的，有 q 的 n 次方这样的东西的一些列项相消，那我们都会在课程里面给大家非常详细的去总结以及磨练，到 最后也就是分组求和。当题目里面出现了分奇偶像的时候，那么此时我们还是需要去进行一定的分组求和这样的一个思维的。说不定我单纯去求这个 a n 的 前项很难很难， 但是如果把它分成奇偶像，一奇加一偶，把两项合在一块来看分组求，那就可以去跟它做对，所以这件事情是非常有趣的。这是经典的求和的三类问题，当然求完和过以后，它永远小等于多少，或者永远大等于多少都是可以的， 所以这些问题本质上还是要求和，先把和求出来才能搞定好。接下来就进入到我们的第二个板块，就叫做导数，作为导数而言，其实它的定义其实是瞬时变化率，平时我们聊的都是要平均变化率，我们拿着大的宏观的 delta y 除以 delta x 到就叫做平均变化率。而如果此时我把这里的变量 x 就是 所谓的 x 的 所谓的变，或者说这个差值，这个差值也就这个变量 x， 也就是 x 和 x 二之间的这样的一个什么 是不是这样的一个变化的一个程度去给它趋近于零，这两点非常的贴近于在一个函数中 极其的贴近，那么此时它这个点就重合，那么变化率也就变成了该点处 x 零处的这样一个导数。 它的几何意义其实刚刚也已经体现出来了，如果你是平均变化率，其实应该是割线的斜率，因为你很宏观， x e x r 有 差异， y e y r 也有很大的差异，所以应该是个宏观的割线斜率。而如果说现在是一个已知 x 趋近于零的情况下，这个导函数代表其实应该是该点处切线的斜率。 所以当你想要去写一个切线方程的时候，注意是过 x 零都和外零，还是再 x 零都和外零， 这种情况下一定是在 x 零和外零在 x 零和外零处的这样的一个切线的方程，其实就应该是我们下面这个点斜式。 如果问的题目里面问的是过 x 零和外零处这种切线的话，那你需要做的事情应该是去设切点。一招先一定要先找切点，因为你现在过这个 x 零和外零， x 零外零并不是切点，所以你需要去设切点，比如说为 m n， 然后就列出关于 m n 的 一系列的切线的方程，以及它的 能够满足的等式，然后再去带到的切线方程里面，让它过这个 x 零 y 再去求解除关于这个切线的信息才可以。所以这两个题型就是切线里面的经典问题还有过，当然相对而言应该还有类题型，就是公切线问题，说这个东西是两个函数的公切线让你去求， 那么其实从逻辑上也是一样，你也要设切点，所以切线问题一定就是设切点。这个大家一招先一定可以吃遍这整座天，后面也会出视频给大家完整去讲解基本出的函数的导数公式，这些我就不想多说了，一定要背牢，甚至感兴趣同学还可以用我们的极性的思想去给他稍微的 证明，在所谓的以前的浙江卷或者一些地方卷里面，像这个和这个他都会告诉你，但在全国卷里面不会这样，全国卷里面教材上都有东西，他想考就考，爱考就考，能考就考，考了过以后大家也要能够记得住。所以这些应该是我们基本上来说的导出公式。学会了这些， 再加上我们的组合函数，也就四则运算，加减乘除的这种运算法则，你就可以在倒数中无而不立，当然还有个复合，那这是第二步。那么合叉法则其实就是分别求到再去加减，而乘法法则应该是雨露均沾，就是前倒后不倒，加上前不倒后倒，而除法法则其实叫一刀切原则。 我现在红色这把刀，从上切到下，先切到的就是 f x， 分 母不 care 了，就是 g x 的 平方，对正负一般也没有什么太多的影响，所以直接就是分母的平方。而我从上到下先切到的就是 f x， 所以 就先导 f x， 还没到 g x， 你 就先乖乖地搭在旁边，呈在旁边就行了。紧接着切到的应该是这个除号，所以挪到这里，当这个减号，再往下切，就切到 g x， 所以 再导这个 g 一 撇 x， 然后 f x 就 乖乖地呈在旁边即可。所以这个公式也忘不了， 除法的应用法则即可可以求出来。如果现在是高一的孩子在看这个视频，你可以试试看，带着刚刚的基本初等函数的求导公式来试试看 tangent x， 也就是 sine x， 除以 cosine x 的 导函数来试试看等于多少？好吧，那这是一个小问题，那么接下来就是我们的负函数求导，也叫列式法则， 非常形象。什么玩意？叫恋式法则？如果我把我的 g x 嵌在了 f x 的 内部，我就从外到内的一层层，像剥洋葱一般的去给它导完就完事了。就相当于我先去导我们的 y， u 就 y 关于 u 的 这个外层的 f 这个函数，再去导 u 关于 x， 也就是 g 这个函数， 也就是从外导内，先导外，再乘上内层的导函数即可。所以学会了所有的这些，你就可以得到所有函数的导函数。按道理来说应该是这个样子，虽然也有一些特例，但是大部分应该是都没有问题，或者说高中所要求的所有函数应该都没有问题。 本科阶段可能还有一些稍微更超越一点点的函数，我们还需要用一点点其他的技巧，但没有跳脱于这个框架之外。那么接下来就是我们的导数的应用了。导数对于函数而言，它其实虽然也是一个函数，但对原函数而言，最重要的一个作用就是 去研究单调性、极值，还有最值它与单调性的关系。其实可以这样来说，只要它在区间里面是可导的，那么 f e p x 大 于零就导函数，如果大于零的话，那么这个原函数在 a 到 b 上就是单调递增的， 那么小于零都要立减。如果这个导函数一直等于零，说明它在 a 到 b 上根本就没有波动，不增也不减，就是长函数。但是反过来，如果我知道一个 f x 在 a 到 b 上是单调递增的，其实我能推出来的是 f 一 撇 x 会怎么样？应该是大于等于零，你只要没有一直趴在零上就行。你导函数长这样，偶尔会粘一下零，比如这里是 a， 这里是 b， 这是 f 一 撇 x 的 草图。原函数其实还是在增的，一开始增的快，慢再增快， 再增的慢，再增的快，再增的慢，反正还一直在增。中间虽然有休息，但没关系，它只是暂时的休息了一下，但整体还是一直在增的，这没有问题。 所以，如果一个圆函数增，我只能推出 f e 撇 x， 应该是始终大于等于零，不能推出它永远大于零的。同样道理，如果减，只能推出它小于等于零，所以这是单调性。它们之间和导函数的关系，前者可以充分推出增和减， 后者只能推出大于等于零。这个较为宽泛的范围，不能绝对地得到永远大于零，恒大于零，接下来就是极值。极值的逻辑是这样的，它一定得要它在 x 零处成为一个真正的小谷底，或者小山丘，或者小坡顶， 那么这样的环节就必须要左减右增，或者左增右减。也就是说，在所谓的极值点的左右两边，你的单调性必须要发生转折，那就意味着我们的导函数必须要怎么样？是不是必须要发生变号？但是它的必要条件就这个点是极值的，必要条件是没毛病的，就必须要怎么样， 这个点的导函数一定要等于零。而接下来充分条件，我这里给到的各位的是第一判别法，你要去判断左右的单调性有没有发生变化，如果各位可以稍微拓展一下了。还有第二判别法，那就是所谓的二阶导，各位可以探索一下 所谓的即值点和我们的二阶导之间有着什么明确的关系，但这个在高中比较小众，会有一些同学觉得这个非常好用，就稍微提一下，后面也可以在评论区给大家进行分享。但是今天我们就只了解第一判别法，其实已经足够了，也是大家最最需要去了解的与即值的关系。那么即值呢？ 一个函数我研究完过以后，我知道这里是它的定义域， a 到 b 就 长这样，我知道它先减再增再减，那么如果它的定义域是 a 到 b 这样的一个 b 区间，这个点和这个点也都在，我可以算出来，像这个 x 一 处就是极小值点，这个 x 二处就是极 大值点。但是我能不能说 x r 数的函数值 f x r 就是 最大值呢？这不能这么讲，你一定要带着端点值在干嘛？是不是再去判断一下。同样道理，你能不能说 x c 这个极小值就真的是这个函数的最小值？其实也不行，你也应该需要带着所谓的什么 是不是端点值和它进行比较，在小里面找最小才真的是最小值，在大里面找最大的 才是最大值。那么带着这样的一些基础的公式，我们就可以去解决一些，比如说像什么横乘立问题，而横乘立问题我们经典的做法有哪些？第一 参变分离，第二必要条件探路，端点效应。第三应该就是一些极端的放缩的题目，这也需要技巧一些，指对放缩，一些三角函数的放缩，这些都是我们平时必须要去储备的这样的一些技巧，当然还有一些导数题就证明一些不等式，除了像这种参变分离极 极致的，朴素的这样的分类讨论以外，比如餐面分离，比如说分类讨论以外，我们还可以去学习的，就比如说像什么切割线放松这样的一些非常有趣的技巧，当然还有一些什么对数均值不等式，这样的 其实看起来很炫酷，但是学起来作用也相对有限，但是如果你的上限需要去拔高，就必须要去储备的这样的一些我认为是 提升能力的这样一些能力板块，那我们都可以在后续给大家在课程中进行一一的专题分享。好吧，对于必修二或者选择性必修二这本书而言，我相信各位应该已经知道了它的难度，只要是学过的同学都应该能够理解它的难度， 也不会忽视他的重要性，因为他的分值确实非常高，在高考中的分值是非常高的，所以我希望各位可以在基础非常扎实的基础之上再去提升自己的上限，一定不要好高骛远，一定要脚踏实地，一个台阶一个台阶的把自己 往上抬，这样你的分数才会一个台阶一个台阶稳定的往上提。关注宋老师，希望大家在我的视频中有所收获，对高中数学有着更清晰的一个框架的认知。 ok， 今天我们就聊到这里。
1802宋你一招解数学
00:08
04:59查看AI文稿AI文稿大部分数学一百二十分以下的高三生都被一轮复习给毁了，其实他们本可以在一轮复习就把数学突破到一百三到一百四，甚至冲击清北。我高考数学满分考入北大清华研究生毕业十七年高中数学教学经验， 帮助了上千名高中生数学突破一百三十，加每年两百多名学生圆梦清北。我敢跟你保证，只要你认真听完我接下来说的无痛提分攻略，你会发现数学是高中六科里最简单的一科，毕竟我拯救了太多准高三，让他们用一个暑假数学从六十多 飙到了一轮复习，数学还是过不了一百的。同学都有一个致命的学习错误， 总认为平时随便练练难题、中档题就能吸收思路，每天反复的翻答案，结果考试看啥都眼熟，但思路全碎片，只能看着自己的分数越来越低，内心越发的焦虑。如果你觉得是在照镜子，那轮复习绝对是你数学逆袭的最后一次机会。 而你需要做的就是在这个暑假，用我总结的模型梳理的母题模板，把当前分段不该丢分的题型练熟练透，学点技巧，再蒙对几个选择题答案，就可以在最短的时间获得最高的分数。如何在暑假给一轮复习开个好头？ 一定要对症下药，精准打击高考题型。网上铺天盖地的告诉你，一轮复习要全要照顾到高中数学的每一个知识点，错，大错特错。你以为高三时间很长，有三百六十五天， 但当我们把每天分给每一个科目，再分给每个需要复习的知识点，其实时间非常短，那怎么让数学在一轮复习中效果最大化？准不是准确的准， 而是精准的准，只做能拿分的事。真正高效的复习方法，一定是针对高考题型设计的。高考数学必考的一共就四百三十九个知识点，一百六十七个考点，八十个易错点， 五十七个难点。但现实却是，很多同学到高考结束都认不全四类数列题型和七种不等式，更别提他们之间的考察区别和难度差异。而网上大多数的教学视频只会给你讲那些又空又大的方法论，根本不适合基础差的学生，所以今天我会一次讲透彻。两步手把手带你逆袭！ 第一步，同频共振考点拆解每次考试之后，要把解析的关键点给积累下来，就比如看到什么题干特征，利用余弦定律加辅助线技巧，或者是看到三次函数对应的解法，要么是展开，要么是利用单调性和解性，像这样通过一道题目发散到一类题目，激发题目的共振，并且要及时总结各类题目的考法， 形成自己的做题思维。整理完一类题目之后，记得去找三个同类的题目练习，完全做对才能说明你是真的掌握。 我们总结了近十年高考的经典考法，发现数学的所有题型都是可以分成有限类，比如排列组合只有十五类题型，涂色问题、名额分配问题、小球分装问题、立体几何中的排列组合、信封错装溶质原理原排列、可重复元素的全排列等等等等。把每个题型的全部考法学会搞懂，你觉得还会在考场上划不开笔吗？ 此外，数学大题的考法，导数二十五类，立体几何二十八类，圆锥曲线二十三类，带你学一道，会一类，举一反三，而这就是你选数学网课的标准。以上所有考法的例题，我都帮你总结好了，只要你能用一个暑假把这些练完，等再开学，你的数学会直接起飞。第二步，个性化的复习规划。 一轮复习的内容很多，节奏很快，相当于用八个月的时间，把六个学科每科五六本书的内容全部学一遍。所以，高三一轮复习，拼的就是你们的时间使用效率，谁能够最大程度的吸收知识，跟住复习进度，谁就能够拥有完整的知识网络体系，从而在二轮、三轮让自己的分数再次飞升，最终金榜 提名。那么，如何通过一份科学的复习规划，把你的时间使用效率发挥到极致呢？你可以自力更生，拿出你近期考试的卷子，深度剖析分数结构，看看哪部分是粗心丢的，哪部分是公式和基础不牢丢的，哪部分是答题技巧丢的。再针对具体问题精准题。 但说实话，如果你总分不超过五百五十，那你自己做的规划大概率就是流水账，根本没法提分。把题型分类，也需要你刷大量真题，做详细的总结， 但百分之九十的同学的时间、精力，甚至知识水平，都不足以支撑他们完成这两件事。所以，我们清华教研团队从近十年的高考真题中梳理出来了一份题型框架和对应的母题清单，按模块整理三种颜色 区分难易程度，真正做到零门槛好上手。当你积累了各种原型题的变化规律，至少能让你翻译题干的能力翻三倍，读完题十五秒默写答案，下滑到置顶评论区直接领取。当然，课程里还有更系统 更详细的内容和做题方法，里面包含高考全考点的大招视频、高分模板、分层试卷，近几年高考的试题精讲，各地最新最全的模拟试卷，还有你学一小时，顶别人学三小时的学习计 划。因为最近刚把这届高三的同学送上考场，为了祝贺他们金榜必提名，我们决定给准高三的粉丝做个福利，点进我置顶评论区的链接，就能领一份免费的学前诊断和复习规划。相信我，这些都是我和清华学霸团队多年的高考一百四十走， 而他们的共同点就是牢牢把握住了一轮复习的开端，一个暑假实现黑马逆袭。最后要提醒大家一句，暑期翻行小名额有限，还能点开，就是还能报名，不管今天周几，每天都是周帅，希望我们的遇见是你变优秀的起点！
25北大周帅高考数学
04:58查看AI文稿AI文稿家有高中生的快准备起来吧！总结了高一到高三梳理化所有核心知识，他最大的亮点就是做了详细的手写笔记，每个专题都有思维导图，梳理知识框架，每个考点的定理公式都总结的一目了然，表格搭配手绘图解，不怕孩子看不懂， 易错，提醒和常用二级结论也整理好了，贴心的是扫码还能看录播视频，讲解你像常考的底数对指数图像的影响，底数对对数函数图像的影响， 正弦函数和余弦函数的图像和性质，抽象函数的周期等。每个考点都整理的清清楚楚，考试考什么，他就重点教孩子什么，真正教会孩子解题方法和答题技巧。 物理和化学也有，家里有高中生的，赶快给孩子准备起来吧！出生高不能心软，一定要狠抓数理化，要知道你永远也考不过一个跟着亲北学霸学数理化的孩子， 遇到不会的翻开就能理清思路。就是这套高中数理化手写笔记，每个知识点都用思维导图图式和知识表格的方式整理好了，非常的极简易懂。 全书采用手写字体排版，色彩分明，重点突出，像数学常考的函数基本性质，平面向量的运算等等。每个专题都先用一张思维导图梳理知识结构，然后对每个考点进行精讲，重点内容都做了特殊标记，学霸的思维过程一目了然，重难点也有，表格给孩子整理的清清楚楚， 在做选择填空时常用的二级结论都给咱们梳理好了，整个推导过程一目了然，非常容易理解。物理和化学都准备好了， 把这些常考知识点吃透了，等到开学，高中数理化就是孩子的优势学科，这套书高一到高三都能用，家长快给孩子准备起来吧！进入高中，再忙也要盯着孩子，每天吃透一个数学的公式定律，等到考试，他的成绩一定让你笑开花。 动作快的妈妈已经准备好了这本高中数学手写笔记，完全同步课本，包含了高中三年数学所有的核心考点，像常考的奔驰定律、等式性质与不等式性质，正余弦函数的图像和性质，每个知识点都用思维导图和表格的形式呈现，重难点一目了 然，物理和化学也一样，一套三本，让孩子高中数理化全面开花， 家有高中生的快准备起来吧！ 总结了高一到高三梳理化所有核心知识，它最大的亮点就是做了详细的手写笔记，每个专题都有思维导图梳理知识框架，每个考点的定理公式都总结的一目了然，表格搭配手绘图解，不怕孩子看不懂， 易错，提醒和常用二级结论也整理好了，贴心的是，扫码还能看录播视频，讲解你像常考的底数对指数函数图像的影响，底数对对数函数图像的影响，正弦函数和余弦函数的图像和性质，抽象函数的周期等，每个考点都整理的清清楚楚， 考试考什么，他就重点教孩子什么，真正教会孩子答题方法和答题技巧。物理和化学也有，家里有高中生的，赶快给孩子准备起来吧！出生高不能心软，一定要狠抓数理化，要知道你永远也考不过一个跟着亲北学霸学数理化的孩子， 遇到不会的，翻开就能理清思路。就是这套高中数理化手写笔记，每个知识点都用思维斗图图式和知识表格的方式整理好了，非常的极简易懂。 全书采用手写字体排版，色彩分明，重点突出，像数学常考的函数基本性质、平面向量的运算等等。每个专题都先用一张思维导图梳理知识结构，然后对每个考点进行精讲，重点内容都做了特殊标记，学霸的思维过程一目了然，重难点也有表格给孩子整理的清清楚楚， 在做选择填空时常用的二级结论都给咱们梳理好了，整个推导过程一目了然，非常容易理解。物理和化学都准备好了， 把这些常考知识点吃透了，等到开学，高中数理化就是孩子的优势学科，这套书高一到高三都能用，家长快给孩子准备起来吧！进入高中，再忙也要盯着孩子，每天吃透一个数学的公式定律，等到考试，他的成绩一定让你笑开花。 动作快的妈妈已经准备好了这本高中数学手写笔记，完全同步课本，包含了高中三年数学所有的核心考点，像常考的奔驰定律等式性质与不等式性质、正余弦函数的图像和性质，每个知识点都用思维导图和表格的形式呈现，重难点一目了然， 物理和化学也一样，一套三本，让孩子高中数理化全面开花！
2墨檐小集
479淮海国际
00:55查看AI文稿AI文稿快高考了，一定不要忘记过一遍，这些常考而且巨容易忽略的数学知识点，都是我带了这么多届毕业生总结出来的 一下。四分位百分之二十五，上四分位百分之七十五二、虚数负数不能比大小。三、负数的虚部不带挨。 四、 n 式自然数积里面包含零五单调区间不能用并积。六二面角公式不要加绝对值，要由图来判断正负。 七、数学期望既得约分。八、取值范围是集合或区间，不是大小号。九、残差是观测值。减预测值。十、百分位数记得先排序，小心题目乱序，加油！
3016数学陪跑丁老师
01:04查看AI文稿AI文稿抖音被拉黑后，还有办法看对方视频吗？好，现在这两个是正常的好友关系。拉黑之前是可以进入对方的主页的，就是可以看到他的作品，现在我们直接把他给拉黑，右上角三个点，然后这边有一个拉黑，确认拉黑 好，我们再重新返回，然后进入他的主页，拉黑过后对方的主页是这样的，那么还有什么办法能够看到他主页的视频呢？我们先返回进入抖音设置， 然后往下边翻最下边一项退出登录退出。 好，现在我们点击右上角的放大镜，搜索一下对方的昵称，当然如果是抖音号更好， 好，又能看到他的作品了，我们点击进去就是这么简单，有这方面困扰的朋友可以去试一下。
1.1万设置侠
