一元线性回归模型高考题
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20:39查看AI文稿AI文稿同学们好，我是来自北京师范大学附属中学的唐乔老师。本节课我们一起学习一元现行回归模型的第一课是， 首先我们来看三则新闻播报，一、一九九九到二零零八年，俄罗斯 gdp 增长率与国际石油价格的相关系数为零点八六。 二零零九到二零一四年，该系数达到零点九八二。瑞士洛桑国际管理学院对企业国际竞争力的研究也显示，公司文化与企业管理竞争力的相关系数在几个因子中是最高的。三、 分析表明，一九九零年至二零一一年，我国财政收入与企业注册资本之间的关系呈高度线性相关，其相关系数高达零点九八七，而斜率竟为零点一四八， 你能猜出其中相关系数的含义吗？这里的斜律指的又是什么呢？ 学完医院线性回归模型之后，你就会对他们有一个比较完整的了解。下面我们来看这个问题字型选择标准将下列变量之间的关系分为两类，并分别阐述每一类中变量关系的特点， 一、圆的面积啊四、与半径 r 之间的关系二十六岁学生的体重 w 与身高而且之间的关系 三、商品销售量 q 与销售价格 p 之间的关系四、匀速运动的物体，其运动的路程 r 四、与时间 t 之间的关系五、科技创新能力外与人才培养近亲繁殖率 x 之间的关系 六、学习成绩 f 与平均学习时间 t 之间的关系我们可以把一四分为一类，剩下的为另一类。一中 r 四等于派 r 方 r 确定了 s， 也就确定了 四中。我们可以设速度为 v， 那么 r 四就等于 v t t。 确定了 r 四，也就确定了。一与四都具有我们学过的函数 关系，其中一个边量确定了，另一个边量也就唯一确定了。 二中身高确定了，体重并不能确定。身高越高体重可能会越重，但是体重还可能会受遗传因素、饮食等等影响。 三种销售价格越低，购买的人可能会越多，销售量可能会越大，但是销售量可能还会受到季节等因素的影响。 五中人才培养近亲繁殖率 x 越大，科技创新能力外可能会越小，但是 x 确定的时候，科技创新能力并不能确定。 六中行军学习时间替越长，学习成绩可能会越好，但是学习时间相同的时候，学习成绩并不一定相同。 二、三、五、六中的两个变量都不具有明确的函数关系，这些两个变量之间有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，他们之间的关系带有一定的随机性，统计学上称为相关关系。 下面我们来看例一，已知某班级学生数学成绩与物理成绩的对应表如下， 第一行是数学成绩，第二行是对应的物理成绩，第三行是数学成绩，第 四行是对应的物理成绩。那么这个班级学生的数学成绩与物理成绩之间存在相关关系吗？ 从上表中，我们想要直接看出数学成绩与物理成绩之间是否有相关关系是有一定困难的。我们可以在保持成绩配对方式不变的前提下，按照数学成绩从小到大的方式排列。 可以看出数学成绩增加时，物理成绩大体上也增加。为了更加直观的看出数学成绩与物理成绩之间的关系， 我们可以在平面直角坐标系中以数学成绩为横坐标，物理成绩为重坐标，把这些成对数据用 点表示出来，这样做出来的由点组成的统计图称为散点图。 而且我们可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明数学成绩增加时，物理成绩大体上也增加。 并且在允许一定误差的前提下，我们可以用依次函数来近似的刻画数学成绩与物理成绩之间的关系。 像这样，如果两个变量之间的关系可以近似的用依次函数来刻画，则称这两个变量线性相关。此时，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关。如 如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关。下面我们来做这个练习。如果将下列两个变量之间的关系看成线性相关，则哪些是正相关，哪些是负相关？ 一、十六岁学生的体重与身高之间的关系。 身高越高，体重可能会越重，所以是正相关。二、商品销售量与销售价格之间的关系。 销售价格越高，销售量可能会越低，是互相关。三、创新能力与人才培养近亲繁 值率之间的关系。繁殖率越高，创新能力可能会越弱，是富相关。四、学习成绩与平均学习时间之间的关系。平均学习时间越长，学习成绩可能会越好，是正相关。 接下来我们来看例二，某地区从某一年开始进行环境污染整治，得到了如下数据， 这里面第一行是年份，第二行是污染指数。做出这些成对数据的散点图，直观的判断污染指数外与 x 是否现行相关。如果是进一步判断是正相关还是负相关，我们做出散点图， 可以看出这些散点大致落在一条直线附近，所以视线性相关， 而且 x 增大时，外大体上减少，所以是负相关。那么你能找出近似描述外与 x 之间关系的一词，函数表达是吗？ 为了找出一次函数表达式，我们可以先做出一条直线，使得这些散点大致落在直线附近。比如通过点一六和七三确定的直线外等于负零点五， x 加六点五就满足条件。 那么请同学们思考一下，类似这样的直线有多少条呢？我们发现 有很多条直线都可以使得这些散点落在直线附近。那么刚才所找的外等于负零点五， x 加六点五是最好的直线吗？衡量标准是什么呢？ 我们可以计算一下由这条直线得到的预测值和实际值之间的误差。 当 x 等于一时，由这条直线得到的预测值就是负零点五， x 加六点五，也就是六。 当 x 等于二十，由这条直线得到的预测值是负零点五乘以二加六点五，也就是五点五。类似的，我们可以计算出剩下的预测值，那么误差 实际上就是实际值减去预测值。当 x 等于一时，误差就是六点一减六，零点一。当 x 等于二十，误差是五点二减五点五，负零点三。类似的，我们可以计算出剩下的值。 我们还可以在图中直观的来看一下误差。我们做出以年份为横坐标，预测值为纵坐标的点， 那么误差的绝对值实际上就是蓝色的点与对应的黄色的点之间的距离。比如当 x 等于三十， 误差的绝对值就是这段距离，实际上就是散点与直线的纵向距离。 显然我们希望这些散点在整体上与直线最接近，也就是说纵向距离越小越好，即误差的绝对值之和越小越好， 但是含着绝对值不好计算。所以在统计学中，我们规定最好的直线是使得误差平方和最小的直线。 可以证明这道题中使得误差平方和最小的直线是外估等于负零点四七五 x 加六点三。我们可以在图中做出这条直线， 我们把这条使的误差平方和最小的直线，它的方程称为外观与 acc 的回 规直线方程。那么回归直线方程是如何通过计算得到的呢？ 也就是说，设变量 x 与 y 的 n 对成对，数据为 x i y i i 等于一二三，一直到 n 求出 y。 关于 x 的回归直线方程，外估等 b 估 x 加 a 股， 实际上我们需要求出其中的待定系数 b 股和 a 股，使得误差平方和最小。 下面我们把误差的平方和表示出来。对于每一个已知的数据， x i 都可以由回归直线方程得到它的预测值 b 公 x i 加 a 股，我们把它记做外艾股， 那么误差的平方和就是实际值。减去预测值的差的平方和，也就是 c 个码爱从一到 n， 外爱减外爱孤的差的平方， 也就等于 c 个码 i 从一到 n， y， i 减 b 估， xi 减 a 估的差的平方。 现在我们需要寻找 b 姑和 a 姑，使得这个柿子的值最小。同学们仔细观察一下这个柿子， 他可以看作是关于 b 股的二残数，也可以看作是关于 a 股的二残数。因此我们可以利用二残数在对称轴处取得最值的方法，求出使的这个柿子最小的 b 股和 a 股的值。 感兴趣的同学课后可以推倒一下。我们把这种使的误差平方和最小的求回归直线方程的方法称为最小二乘法，其中的二乘指的就是平方或者说二次方。 我们根据最小二乘法可以得到 b 估等于 c 个码 i 从一到 n， x， i 减 x 八的差的平方。分支 c 个码爱从一到 n， x， i 减 x 八乘以 y 减 y 八。 这个式子可以变形为 c 个码 i 从一到 n， x， i 的平方减去 n 倍的 x 八的平方。分支 c 个码爱从一到 n， x， i， y 减 n 倍 a 的 x 八乘以 y 八， a 估等于 y 八减 b 估 x 八。其中 x 八等于 n 分之一， c 个码 i 从一到 n， x i， 其实它就是变量 x 的平均值。外拔等于 n 分之一， c 个码爱从一到 n， y， 也就是变量 y 的平均值。 我们把其中的辟谷称为回归系数，它实际上就是直线的斜率。 下面我们来看这个练习验证。例二中外关于 x 的回归直线方程为，外估等于负零点四七五， x 加六点三。根据回归系数的计算公式，我们需要计算出 x 八外八以及每个 x 减 x 八，每个外减外八，还有每个 x 减 x 八呈上对应的外减外八，以及每个 x 减 x 八的差的平方。我们先来计算每个 x 减 x 八， 第一个 x 减 x 八就是一减四等于负三，第二个 x 减 x 八就是二减四等于负二，类似的，我们可以计算出剩下的值。 下面我们来计算每个外减外八。第一个外减外八就是六点一减四点四、一点七，第二个外减外八就是五点二减四点四、零点八，类似的，我们可以计算出剩下的值。 接下来我们来算每个 x 减 x 八与外减外拔的成绩，第一个成绩就是负三乘一点七等于负五点一，第二个成绩就是负二乘零点八等于负一点六，类似的，我们可以计算出剩下的成绩。 这一行的核实际上就是 c 个码 i 从一到七， x， i 减 x 八乘以外， i 减 y 八等于负十三点三，它就是辟谷的分子。 我们再来计算每个 x 减 x 八的差的平方，第一个 x 减 x 八的差的平方就是负三的平方，也就是九。第二个 x 减 x 八的差的平方 就是负二的平方，也就是四。类似的，我们可以计算出剩下的值。这一行的核实际上就是 c 个码爱从一到七， xi 减 x 八的差的平方等于二十八，它就是辟谷的分母。 因此我们可以得到辟谷等于二十八分之负十三点三等于负零点四、七五。 然后我们把 b 估的值带入 a 估的计算公式，可以得到 a 估等于六点三。 这里面 b 估实际上就是直线的斜率， a 估就是直线的长竖向。因此我们验证了外观月 x 的回归直线方程确实是外估等于负零点四七五， x 加六点三。 下面我们来总结一下求回归直线方程的步骤。第一步，计算 x 八外八。 第二步，列表求和计算 c 个码 i 从一到 n， x， i 减 x 八乘上 y 减外把，以及 c 个码爱从一到 n， x 爱减 x 八的差的平方。 第三步，带入 b 股和 a 股的计算公式，计算出 b 股和 a 股。第四步，直接写出回归直线方程，外股等于 b 股， x 加 a 股。 下面我们继续看这个练习的。追问一，你能估计出该地区第八年的污染指数吗？当 x 等于八时，有回归直线方程，我们可以得到外估 等于负零点四七五乘以八加六点三，也就等于二点五。所以我们可以估计该地区第八年的污染指数为二点五。 我们发现利用回归直线方程可以进行预测。追问二，第八年的污染指数一定是二点五吗？答案是不一定， 因为污染指数可能还会受除年份外的其他因素的影响。不过我们可以利用回归直线方程预测出该地区一八年的污染指数在二点五左右。 下面我们来总结本节课学习的内容。第一部分内容是相关关系，两个臂量之间 具有一定的关系，但是还没有确切到可以由其中一个变量去精确的决定另一个变量的程度。这个时候我们称这两个变量具有相关关系。 如果两个变量的关系可以近似的用依次函数来刻画，则称这两个变量线性相关。 如果其中一个变量增加时，另一个变量大体上也增加，则称这两个变量正相关。如果其中一个变量增加时，另一个变量大体上减少，则称两个变量负相关。 我们第二部分内容是回归直线方程。我们证明了给定两个变量外语 x 的成对数据之后，回归直线方程外， a 股等 b 股 x 加 a 股总是存在的。而且我们根据最小二乘法，也就是使得误差平方和最小的方法得到了 b 股和 a 股的计算公式。利用回归直线方程，我们可以进行预测。 那么回归直线方程中回归一词是怎么来的呢？我们一起来看一下。 回归是由英国著名生物学家兼统计学家高尔顿提出。一八八九年，他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高， 但这些孩子的平均身高并没有他们的父母的平均身高高。身材较矮的父母，他们的孩子也较矮， 但这些孩子的平均身高却比他们的父母的平均身高高。高尔顿把这种后代身高向总体平均值靠近的趋势称为回归现象。 后来人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析，这就是回归一词的由来。 本节课的作业是人教社必版课本第一百一十一页练习 a 第二题和第一百一十二页练习 b 第六题。本节课到此结束，谢谢同学们的观看。
503家有高中生V
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10:32查看AI文稿AI文稿这个视频我们来做一下习题，八点二，复习巩固的三道题目。第一题，如果散点，图中所有的散点都落在一条斜略位非零的直线上，那么请回答下列问题。那么解释变量和响应变量的关系是什么？ 那如果这些散点呢？都在这条直线上，那我们这个解释变量和响应变量关系呢？就是一个线性函数关系啊，线性函数关系，因为我们残叉平方和呢啊，残叉 残插平方和的公式是这样的，是等于从一到 n 求和外埃减去个外埃的预测值， 然后的平方，那么既然都在这条直线上，那他的差值是零，那么所以说整体求和那也是个零啊，零，那么他就是。呃，那么这个解释变量和响应变量啊，这个 x 和 y， 那么他们之间的关系就是线性 函数关系啊，线性函数关系，这是第一问，那么第二问，第二问，这个阿方，这是决定系数，那阿方是他的公式是什么呢？他是等于一减去一个， 这个是残叉平方和啊，这是个分式啊，残叉平方和，上面是外挨减去外挨的拔平方，然后下面呢是挨 从一到 n， y， i 减去一个 y 的均值的平方啊，那上上面这个分子呢？这个分是分子，是一个残渣平方核，而残渣平方核是零，那么所以说它就等于一啊， r 的方是等于一的，这是第一题，我们看第二题，第二题呢 啊，一个车间为了规定工时呃，定额需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了十次实验，那么收集的数据是这样的，我们画出三点图 啊，画出三点图，这个我们做一个做标系，然后画出三三点图就可以了啊，一会我们是通过软件可以把它图画出来啊，还有就是我们建立加工时间，关于零件呃，数的一元线性回归模型啊，他的 依然先行。回归模型呢，是 y 把，是等于 b 把 x 加上 a 把呢，他的步骤啊，这个步骤我们除了用软件啊，把它求出来以后还可以，嗯，这样，第一步，先把 x 均值和 y 的均值先把它求出来啊，这个 x 呢？ x 我们是零件数，我们设为啊，这个零件的加工时间呢，设为 y 啊，这是个 y 啊，这个零件数呢？设为 x 啊， 那那这个是第一步呢，先把它均值求出来，那么均值呢？那我们就是等于 n 分之一啊，什么 i 从一到，这是从一到十呗，这是啊，那么这是从到 n， 然后我， 我们除以这个是外挨啊，外挨，然后这是均值。第二呢，是我们把这两个均值都求出来以后，然后我们再求这个 b， 把他的最小，这个 b 的最小二乘估计，那么他是这样的一个公式， 我们按照这个公式是可以把它求出来的啊， 按照这个公式我们把它求出来，那么求出来呢？下面分模式，哎，一到 n， 然后 xi 减去个他的平方 啊，这是 b， 我们求出 b 的最小而成估计以后第二第三呢，我们再求 a 的最小而成估计，那就是用 y 的均值减去一个 b 把 啊，然后乘以 x 的均值，然后第四呢，我们 ab 都求出来了呢，那这个线性呃，回归魔性也就建立了，他就是这样啊，也经验啊，回归方程也就出来了，那就是 y 等于 bx 加上 a 啊， 那可以导出来，这是我们用自己去计算，可以啊，我们通常啊，我们有软件可以，可以通过软件啊，比如说 e、 excel 也可以啊，我我我用这个 ggb 这个软件呢，我把它的 这个回归的模型把它建立起来啊，还有这个三点图，我也通过这个软件来画出来。我们来看一下这个软件， 这是我把数据，这个数据已经放，已经把它录进去了啊，然后我点这个双电量回归分析啊，我们就可以得出来，这是他的散点图 啊，这三点图下面的，这就是他的回归模型啊，回归模型，然后我们就我把这个三点三点图切换一下 啊，第一步，画着三点图，三点图，那我们要就通过软件，然后把这三点图把它画出来啊，画出来。然后第二步呢，是建立这个 一元线性回归模型，除了我们这种用手算来算的话，还可以通过软件啊，通过软件，这个我们导出来的是这个回归模型，线性的啊，线性的，我们选择线性就可以导出他的回归模型，是这样的 啊，这是他的回归渐渐回归模型，是这样，这样的，我们算出来啊，他这个 b 把呢就是零点六六八五，而这个 a 把呢就是五十四点九三三三啊，那，那这是 第二步，第二问已经解出来了。第三问，关于这个加工，加工这个零件的个数与加工时间，你能得出 什么样的结论？那就是那这是线性的啊，线性的，也就是是你这个零件数，零件数每增加一个，难道加工时间呢？啊？这是零件数 x 啊，零件数每增加一个，你的加工时间就会平均啊，就会 平均增加零点六六八五啊，这就是导出这样的结论啊，每增加一个，然后他就会 这个加工时间就会平均增加零点六六八五。啊，不写了啊，就是我，我说的这个第三问， 这是第二题，我们看第三题啊，看下第三题，那第三题是根据啊，这个这个八点一第二二节的立二中某城市居民年收入，嗯，与 a 商 品销售额的数据，建立这个一线一元线性回归模型，要建立这个模型，然后如果这座城市居民的年收入达到四十亿， 达到四十亿元，那么估计他的销售额，那我先建立模型呗。那我们可以把上面这个居民的，嗯， 居民年收入啊，居民年收入，我们把它设为，嗯，这是 x 啊，这是设为 x， 然后这个是设为 y 啊，设为 y， 那那我们先把它返点图， 三点图先，先看一下啊，他是不是，呃，能不能用软件来走一下啊？先画出的三点图啊，看他是不是复合着 线性回归啊，然后我们在通过软件把它的经验回归方程把它求出来。 这个数据我已经输到这里了，我们按这个双电量回归分析，哎，这个就是他的三点图，他是 是这些散点呢，是分布在这条直线的附近的，附近附近的，然后我们得出来的线性，嗯，回归这个模型呢，也就是经验回归方程呢，是这样的，我们把它切一下， 那我们就可以得到啊，通过软件可以得到你，那当然你自己自自己计算，计算量比较大啊，记自己计算也可以计算出来啊，通过，通过计算器啊，我们刚才刚才第二题，我们通过这就是通过这个这个些步骤把它计算出来啊，计算出来 那嗯，我这这是通过软件把它求出来了啊，求出来他就是这个，那 第三第二问呢？第二问，那如果这座城市的居民年收入达到四十亿，那四十亿，这个居民年收入四十亿，也就是 x 等于四十的时候 啊，这个是他的经验回归方程啊，四十的时候估计 a 商品的销售额是多少？那就我就把这个 x 四十带进去，那么就可以得出来，得出来是那么他的销售额呢？就得出来。第第二问啊，也就是销售额呢，就是一点四四七乘以四十，然后减去个十五点八四 啊，那我们可以近四二十三呢啊啊，写到二七也可以，我们最后大概就导出来，是约等于啊，等于四十二点零三七万元啊，我们就导出来这样一个销售额，这是第三题完毕。
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00:38查看AI文稿AI文稿八点二亿元线性回归模型，本节重点理解回归方程来源，学会计算回归方程。 注意 y 指示预测值存在误差，观测值与预测值的差值叫残差。 回归方程的推导过程简单了解即可。一与 a 公式熟记一元线性回归方程必过均指点决定系数，也可以比较你和程度，系数越大，你和效果越好。下期再见。
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