甲卷数学17题

我们看十七题的第二问，求这个数列的前项和 tn。 在第一问当中，我们已经求出了数列 an 的通项是 n 减一， 那么这里的 an 加一应该就等于 n， 所以这个新数列它的通向公式就是二的 n 次方分之 n 要求他的前向和，我们会发现他是一个等差乘等比， 因为它可以看成 n 乘以二分之一的 n 次方，这里的 n 就是一个等差数列。二分之一的 n 次方是一个等比数列。 那为什么不看成等差除以等比呢？因为如果看成除的话，那么这个等比数列它的公比应该是二，而看成乘是 n 乘二分之一的 n 次 方，公比是二分之一。由于这种数列求和呢，有一个固定做法叫做错位相减，他要求的就是等差乘等比，而等比数列的这个公比到后面我们会是用到的， 所以认为是乘积的形式。这样的话，我们把 tn 写出来，他等于第一项是二的一次方分之一，加上第二项二的二次方分之二，一直加加到最后一项，就应该是二的 n 次方分之 n。 那么为了方便写下一个等式呢，我们在他的前面再多写一项，这个最后一项呢，是第 n 项，所以他的前一项应该是第 n 减一项，把 n 全都换成 n 减一，那就是二的 n 减一次方 分值 n 减一。我们把这个式子编号为一式，然后给这个一式两边同乘以二分之一，所乘的这个二分之一呢，其实就是刚才我们所说那个等比数列它的公比， 所以错位相减，它适用于等差乘等比这样的通向公式的求和，而他的做法其实是成功比，然后再错位。相减的那两边同乘以二分之一，左边就是二分之一填， 然后右边这个给他乘以二分之一，分子上没有动，分母上是二的一次方，乘二的一次方变成了二的二次方。二的二次方分之一呢，他的分母跟上面一式的第二 像分母相同，所以为了对应呢，我们往后错一个位来写它，那就是二的二次方分之一，那么第二项也乘二分之一，就会变成二的三次方分之二， 以此类推。倒数第二项乘以二分之一，分母就变成了二的 n 次方，和这个二的 n 次方分之 n 对齐，就是二的 n 次方分之 n 减一， 最后一项也乘以二分之一呢，变成二的 n 加一次方分之 n。 这个式子我们编号为二式， 接下来用一式减二式，左边两个相减呢，就是二分之一 tn， 右边会发现这里的第一项减的是空，所以会剩下他本 深二的一次方分之一，再加上第二项和下面相减，他们俩分母相同，分子二减一等于一，所以还剩下二的二次方分之一。 依次类推，二的三次方分之一，一直加到最后这一项减去，下面这一项应该是二的 n 次方分之一， 而二式当中的最后一项没有人减它，我们可以看成是零减它，于是就是负的二的 n 加一次方分之 n， 这样得到它之后呢，我们对它进行化减，会发现前面这一堆是一个等比数列， 他的手相是二分之一，公比呢，也是二分之一，因为这两相之间是乘二分之一的 关系，于是根据等比数列的求和公式，他的和就应该等于一减 q 就是一减二分之一分之首项，二分之一减去末项乘以工比，那就是二的 n 次方分之一乘二分之一。 这里我们所说的这个末项，是上面这个等笔数列的最后一项，不包括后面减的这个东西，所以把后面减的呢再抄下来，减去二的 n 加一次方分成 n， 这样底下呢，一减二分之一是个二分之一，会发现分子上这两个都有二分之一，所以二分之一呢可以抵消掉，于是整个呢，就只剩下了一个一减二的 n 次方分之一，那么等于一减二的 n 次方分之一，再 减二的 n 加一次方分之 n。 后面这两项呢，比较相近，我们可以对他通分。这里通分的时候要注意，最好先把负号提出来再通分，因为有的同学在通分的时候呢，没有考虑他们两个都是负号的情况， 直接通成了二的 n， 加一次方分之二减 n， 这是不对的。正确的做法是先提出这个符号来，变成一减二的 n 次方分之一加二的 n， 加一次方分之 n， 这里符号提出去，中间其实是加， 然后对它通分，那就是一减二的 n 加一次方做分母，那么这个上面呢，就会变成二，后面是个 n， 所以上面是二加。 嗯，画到这里呢，就可以认为是最简形式了，但是还没有结束，因为这里求的呢，其实是二分之一的 tn， 而不是 tn， 要想得到 tn 呢，还要两边同乘以二， 那么这个时候左边乘以二就是 t n， 右边乘以二，这里变成了二，二减去 后面乘以二呢？相当于给分母约掉一个二，所以变成二的 n 次方分之二加 n， 这样就得到了最后的结果。整个第二问比较常规，考的就是错位相减法，适用于等差成等比的形式。