我们看十七题的第二问,求这个数列的前项和 tn。 在第一问当中,我们已经求出了数列 an 的通项是 n 减一, 那么这里的 an 加一应该就等于 n, 所以这个新数列它的通向公式就是二的 n 次方分之 n 要求他的前向和,我们会发现他是一个等差乘等比, 因为它可以看成 n 乘以二分之一的 n 次方,这里的 n 就是一个等差数列。二分之一的 n 次方是一个等比数列。 那为什么不看成等差除以等比呢?因为如果看成除的话,那么这个等比数列它的公比应该是二,而看成乘是 n 乘二分之一的 n 次 方,公比是二分之一。由于这种数列求和呢,有一个固定做法叫做错位相减,他要求的就是等差乘等比,而等比数列的这个公比到后面我们会是用到的, 所以认为是乘积的形式。这样的话,我们把 tn 写出来,他等于第一项是二的一次方分之一,加上第二项二的二次方分之二,一直加加到最后一项,就应该是二的 n 次方分之 n。 那么为了方便写下一个等式呢,我们在他的前面再多写一项,这个最后一项呢,是第 n 项,所以他的前一项应该是第 n 减一项,把 n 全都换成 n 减一,那就是二的 n 减一次方 分值 n 减一。我们把这个式子编号为一式,然后给这个一式两边同乘以二分之一,所乘的这个二分之一呢,其实就是刚才我们所说那个等比数列它的公比, 所以错位相减,它适用于等差乘等比这样的通向公式的求和,而他的做法其实是成功比,然后再错位。相减的那两边同乘以二分之一,左边就是二分之一填, 然后右边这个给他乘以二分之一,分子上没有动,分母上是二的一次方,乘二的一次方变成了二的二次方。二的二次方分之一呢,他的分母跟上面一式的第二 像分母相同,所以为了对应呢,我们往后错一个位来写它,那就是二的二次方分之一,那么第二项也乘二分之一,就会变成二的三次方分之二, 以此类推。倒数第二项乘以二分之一,分母就变成了二的 n 次方,和这个二的 n 次方分之 n 对齐,就是二的 n 次方分之 n 减一, 最后一项也乘以二分之一呢,变成二的 n 加一次方分之 n。 这个式子我们编号为二式, 接下来用一式减二式,左边两个相减呢,就是二分之一 tn, 右边会发现这里的第一项减的是空,所以会剩下他本 深二的一次方分之一,再加上第二项和下面相减,他们俩分母相同,分子二减一等于一,所以还剩下二的二次方分之一。 依次类推,二的三次方分之一,一直加到最后这一项减去,下面这一项应该是二的 n 次方分之一, 而二式当中的最后一项没有人减它,我们可以看成是零减它,于是就是负的二的 n 加一次方分之 n, 这样得到它之后呢,我们对它进行化减,会发现前面这一堆是一个等比数列, 他的手相是二分之一,公比呢,也是二分之一,因为这两相之间是乘二分之一的 关系,于是根据等比数列的求和公式,他的和就应该等于一减 q 就是一减二分之一分之首项,二分之一减去末项乘以工比,那就是二的 n 次方分之一乘二分之一。 这里我们所说的这个末项,是上面这个等笔数列的最后一项,不包括后面减的这个东西,所以把后面减的呢再抄下来,减去二的 n 加一次方分成 n, 这样底下呢,一减二分之一是个二分之一,会发现分子上这两个都有二分之一,所以二分之一呢可以抵消掉,于是整个呢,就只剩下了一个一减二的 n 次方分之一,那么等于一减二的 n 次方分之一,再 减二的 n 加一次方分之 n。 后面这两项呢,比较相近,我们可以对他通分。这里通分的时候要注意,最好先把负号提出来再通分,因为有的同学在通分的时候呢,没有考虑他们两个都是负号的情况, 直接通成了二的 n, 加一次方分之二减 n, 这是不对的。正确的做法是先提出这个符号来,变成一减二的 n 次方分之一加二的 n, 加一次方分之 n, 这里符号提出去,中间其实是加, 然后对它通分,那就是一减二的 n 加一次方做分母,那么这个上面呢,就会变成二,后面是个 n, 所以上面是二加。 嗯,画到这里呢,就可以认为是最简形式了,但是还没有结束,因为这里求的呢,其实是二分之一的 tn, 而不是 tn, 要想得到 tn 呢,还要两边同乘以二, 那么这个时候左边乘以二就是 t n, 右边乘以二,这里变成了二,二减去 后面乘以二呢?相当于给分母约掉一个二,所以变成二的 n 次方分之二加 n, 这样就得到了最后的结果。整个第二问比较常规,考的就是错位相减法,适用于等差成等比的形式。
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我们看解答题十七题,数列给了 sn 与 an 的关系,让我们证明 an 是等差数列。 一般情况给了 s, n 与 a, n 的关系,或者 s, n 与 n 的关系, 我们都要利用 an 等于 sn 减 sn 减一,求出 an 的关系。而要得到 sn 减 sn 减一,需要给两式做差, 那么为了做差方便,我们可以给两边同乘以 n, 可以得到两倍的 sn 加 n 方等于二, n 乘 an 再加 n, 而我们要的下一个式子是 sn 减一, 就给这里的 n, 每一个都往前写一项,写出 n 减一的关系,是二倍的 sn 减一,加 n 减一的平方等于二倍的 n 减一, an 减一,加 n 减一。 由于这里下标出现了 n 减一,所以我们要注明 n 是大于等于二的。 我们把这两个式子分别编号为一式和二式,那么用一减二可以得到二倍 sn 减二倍, sn 减一,那就是二倍的 an 加上 n 方减 n 减一的平方,那就是二 n 减一,右边 这两个相减,我们暂时不整理。二 n 乘 an 减二倍的 n 减一,乘 an 减一,然后 n 减去, n 减一等于一。 得到这样一个等式以后,我们发现 an 是有同类项的,那可以把它移向到右边,合并得到二 n 减二倍的 an 减去二, n 减二,乘以 an 减一, 然后右边的这个一如果移向过去,就应该等于二 n 减二,这样大家就都有二 n 减二这样一个公因式了。如果二 n 减二不等于零的话,就可以两边同时 十约掉他。由于我们前面已经有 n 大于等于二,所以呢,二 n 减二肯定是不等于零的,于是两边约掉这个二, n 减二,就得到了 an 减, an 减一等于一, 那么根据等差数列的定义,这就是一个公差唯一的等差数列。


清华夫妇挑战今年高考数学题到底难不难?你当年高考数学考了多少分啊?我,没错,但是不知道哪里扣了我四分,考了一百四十六。这道题只有我一个人做出来,但还是被扣了四分。不,不懂,那你觉得今年的高考题难不难? 一般吧,那你给大家验证一下, ready go! 哎,现在这个脑子越来越没有之前那么好使了。大家都说今年计算量很大。是的,不过跟我们的年比还是有些差距,现在这完全小 k 反腐了。算一下这十七题, 这计算量确实挺大的啊。这只是第一步。我,我现在还不确定,能吗?反对,不过跟我们的年比还是有些差距。屋檐干净,脸有点疼。选择题一般是比较难的,现在我先看一下。第一, 你知 a 方加 b 方加 cc 方等于三。假设用方向函数, a 等于考乘以 r 法, c d 塔加考 c d 塔,这不就是小于等于根号六分就是考乘以 r 法就小于等于根号下六加三就等于根号,九就等于三。这个问题要证明, a 分之一加四分之一,这两个是不是有什么关系啊?一加二等于平方等于三等于平方。 之前有这个叫泰勒不等式是吧?对,现在有,我们当时是竞赛,采用竞赛用的方法都整上了,然后 a 加四, c 小于等于三的建筑,就是大于等于三的平方等于三等于三五得了,确实很难。