2019高考数学概率压轴题

今天上午那小朋友让我讲这个，二零一九年，这道题是一二零一九年的啊，全国一卷最后一题 二十一题，那么一卷的让我讲一下这个题，那这道题呢是吓唬人呢，今年就是说他这个文字很多，凡是这种文字多的呢，就有吓唬人的味道。 嗯，我们说一下，首先其实前面这些啊，都没有太多的太多的作用，这个关键是在这个啊，每轮实验 哪个就是说甲治愈，甲治愈，然后乙呢？胃治愈，这个时候甲得一分，乙得负一分， 然后呢，如果已治愈就是假没治愈，已治愈，这个呢，就是乙得分，甲得负一分，乙得一分， 都治愈或者都未治愈啊，两种药得零分。这句话我觉得不用怎么翻译啊，就是说我们都可以求出来他，并且呢，他说单独的治愈力，当然这是一个独立变量啊，互不影响啊啊，分别为 l 和贝塔， 然后一轮实验啊，就这样，一轮实验得分就为 x， 假的得分，注意观察假的得分 x。 所以这第一个呢，就比较简单了啊，我们直接就在这里写好了， 那么假的得分是 x， 这个 x， 我们就关心一下假的可能取值就行了。你看这里啊，假有得一分的是吧，有得这个什么呢？哎，负一分的还有得零分的， 所以他三个曲直啊，负一零一，这个没什么难度是吧？哎，所以你写一下就行了，比如说等于负一的时候，负一的时候我们注意啊，什么情况呀？就是一 甲位置于那甲位一直不就是一减阿尔法，因为甲至于的是阿尔法以至于了啊，就成为白塔是吧。啊，你把这个写到这个空，我就不写了啊，写到这个空里， 然后接下来呢，你这 s n 零零呢，就是都治愈啊，当然就是阿尔法贝塔都未治愈，你给他加上一个一减，阿尔法乘以一 减肥它啊，所以呢，这个又搞定了啊，那么 p s 等于一啊一的话啊，它是说啊，甲治愈了，我们的是 alpha 一位置减肥了啊啊，往这里一带， 这个第一问就出来了，第一问，这个比较送分啊，那么第二问呢，他说的是刚开始实验的时候呢，都给四分，都给四分， 然后呢，这个 pi 代表的是甲累计得分啊，就是他一直得多少分？甲累计得分为 i 的时候， 认为假药比乙药更有效的一个概率。那这里后面呢，又 告诉我们， p 零是零， p 八等于一，然后 pi 等于这样一个式子，这一个是一个地推式了啊，这个 ik 从一到七，也就是说是 pp 一的时候，你看有 p 零，最小是 p 零， 然后最大呢，是 p 一 p 八是吧？啊， p 等于七的时候，七加一八，所以 p 零一直到 p 八这几个数啊，我们给这样一个数列， 那第二我们先不说，因为你考试的时候啊，第二你可以先不管，先把这个 证明这个东西是一个等比狩猎求出来，那你要证明他这个等比狩猎呢，你得写这个地推式啊，地推式肯定要先把 abc 带 abc 求出来是吧？ a 呢，我们知道是 ps 等于负一，那你就往这带就行了，负一往这里带是吧？阿法零点五，你发现这把阿法零 零点五背带零点八带进去，那你又是零点四了，就出来了，然后这这个 b 呢，是 i 等于零的时候，你同样道理，带啊，带这个应该都会带吧？啊，你就带这个零，零点五，对吧？零点五，这个， 因为这是零点五，零点五，所以你很能求出他是零点五啊，那后面这个就不用求了，反正你知道他加在一起呢，三种情况肯定等于一，后面是零点一啊，完其实就往下面的带出来了，这样的话你就知道这个地推式了啊，就会得到一个 pi 等于零点四倍的 p i 减一，加上一个零点五倍的 p i 加零点一， p i 加一就求成这个， 那么这个地推是我们要证明，注意啊，你看这个目标，证明他，证明他是一个等比数列， 那我们知道证明登本数列怎么证呢？不就是后一项除以前一项等于一个，这个后一项除以前一项，呃， 后一项啊，这个数列不是后一项吗？除以这个前一项 p i， 它前一项就是 p i 减一， 后一项除以前一项是个定值就行了。当然了，我们要注意这里啊，你就会出现撇减一了啊，他最小是这个 i 就可以取一了，哎，哎，取一是吧， 哎，这个，这个写错了吧，这个，这个应该 i 从零开始啊，零，因为这个 i h 零才相当于我们下面这个往前推 推向 ik 群，这样才行啊，所以这个应该是应该是写错了这个，因为我这个是从一个，呃，谁谁写的这个 late， latex， 那个什么玩意那个，那个文档里间接的啊，我估计他这个是个漏了一个，漏了一个，零应该挨从零到起啊，哎，你最小要要从零开始， 不然的话你不能包含人家这个地推式啊，地推式可以取到零到八，你来个一，你这个取不到零到八了，所以这是应该是超错了，那这样的话，我们把这个给换掉就行了，因为你要是定制啊，你把这个 pi 加一换掉就行了，所以我们这个呢，你换掉啊，你就 这个都乘个乘个十，就这个左右两边都乘个十，换掉啊，就很容易得到这个 p i 加一啊，他应该等于五倍的 p i， 然后减四， 四倍的这个 pi 减一，然后我们把这个式子啊，往这里带入，带入这里，这个东西带入这里，那就可以得到五倍的 pi 减四倍的 pi 减一，再减一个 pi， 图以 pi 减 pi 减一，显然这个式子你看就四倍的，显然我们就知道等于一个四， 那这就是后一项属于前项的一个长寿了，所以你就可以说了，这个证明就出来了啊，就是这个 pi 加一减去这个 pi， 哎，是公比为四的等比数列啊，那么这一位呢？第二这个 第二问的第一小问啊，这个分数就拿到了，我们再看这个批四，求批四，那你要求批四，这个也简单，为什么呢？你首先呢，看前面这个条件，告诉你批零等于零，批八等于一了啊，这里有个批零等于零，批八等于一， 那我们就接着写了啊，你你已知灯笔竖列啊，就就下面第二位了，是吧？求 p 四的啊。 第二，小问题是求批四，我们看怎么求这个批四，那你批零我们就不管了啊，上面那个我先不管吧， p 零等于零，然后 p 八呢，是等于一，所以这两个式子我们用来了啊，那这个我们 注意这个这个数列啊，因为这个数列是一个等比数列，所以我们把它通向先求出来。那么我们在写这个通向的时候呢？写 p 这个 i 啊，我往前写一下了啊，减去 p i 减一就行了。那么这个手相是什么呀？手相我们注意啊，这个是零，最小，那应该 p e 是吧？手相应该 p e 减去 p 零，这手相 p 一减 p 零，然后乘以四的。注意，这个次方的时候我们小心一点啊，从零注意开始到 a 减一是吧，所以这个应该是 d i 项，注意啊，从一到 i， 我们知道是 i 项，这不是一到 i 吗？你要看后面 都看后面，看前面都看前面，是吧，所以应该是 i 减一次方， i 减一次方，然后你再看这个， 这个 p 一减 p 零。因为 p 零是零吗？你往那一带，所以就是 p 一乘以四的。哎呀，你说你说，我现在不知道这个 p 一是啥啊，你管他是啥呢？ 好，继续求 p 四，由于这一个东西啊，这个东西注意啊，后一项减前一项不是一个常数，变成一个关于 i 的式子。 根据我们数列里面这个基础知识啊，应该想到这个采用的是累加法，什么时候用累加法？就是你后遗像 后一项减去前一项等于关于 n 的一个式子的时候啊，类似这种我们都用累加， 所以你这里就得把 p 八试一试一下了啊， p 八好了，我们带进去 p 八， p 八正常写应该是 p 零，是吧？加上一个 p 一减去 p 零，加上一个 p 二，减去一个 p 一， 然后你加加加加，加到最后这个 p 八减去一个 p 七， 那注意 p 零等于零，这个不管他了，那后面这一堆就是一个等比数列，是吧？等比数列啊，就是前八项的和，因为从一到八，所以我们直接就写了，那就是一减 q 是四 首项，首项我们知道这就是 p e 了，对不对？ p e， 因为 p e 减 p 零减去末项就是首项啊，这个小括号是吧？一呃 首项啊，然后一减 q 的 a n 次方啊，一减，然后我们知道一共八个嘛，所以是四的八次方，就这样一个东西，那这个东西呢，需要算一下，算一下就是三，这多少？三分之多少这个东西啊， 三分之四的八字王减一，然后 p 一，求出来啊，这个你不想算，等会再说吧，反正这个数字很大。那我们这个 p 四呢？你接着写 p 四啊，就就 同样道理啊，我们那个 p 零， p 零加这个 p 一减 p 零啊，然后加加加啊，我们的最后一个是 p 四减 p 三 啊，同样道理啊，这下面也是一减四是吧，上面也是 p 一，只不过这里呢，变成了一个一减四的四次方啊，所以我们刚才注意这个 p 八， p 八不是一吗？ 八十一啊，所以一，这里呢，就把皮求出来了，于是我们这个换一下啊，这个就是三分之四的四次方减一， 然后注意这个啊，这个我们知道是他 p 一是除啊，所以我们得乘过去是四的八次方减一分之三，你约分，约分，约分，是吧？哎，约到最 最后呢，就剩一个四的四次王，因为你知道四的八次王可以一式分解吗？一式分解的四的四次王加一，乘以四的四次王减一，所以四次王加一分之一。 好，我们到四的四次方就是十六的平方，十六的平方我们知道是二百五十六，所以呢，这是二百五十七分之一，二百五十七分之一，这个呢，你到目前为止呢，你就把这个批次也求出来了， 所以这道题呢，就剩下最后这一点了，就是根据 pc 的这个值来解释这种试验方案的合理性。 那么这道题呢，我是觉得就最后这个解释这个合理性啊。呃，很多学生不太理解啊，其实前面这些你管他理不理解都能做，是吧？ 那我们来看一下这个 p 四代表啥意思，它 p i 表示这个东西我我我复制一下吧，复制一下，我们往往下面的看一下， 我们刚才求了啊，求了这个 p 四是二百五十七分之一是吧？二百五十七分之一啊，我们解释合理性的，这个 p i 代表的是对假要累计得分为 i 的时候， 认为假药比乙药更有效的概率，这个啥意思？那你比如说累计得分怎么得的啊？ 他这样的，前面告诉我们了，有效无效，你把这个有效无效啊，这个东西呢，你这样想啊， 怎么想呢？你就，你就假设为假药和乙药进行比赛，就是两个选手比赛，然后刚开始呢都被输四分，就是自己呢手里头都有四个筹码， 刚开始手里面都有四个筹码，谁输谁给对方一个啊，就是谁赢谁把对赢对方一个筹码，然后平局，大家不输不赢，这样理解，是吧？ 所以你这样的话，你就知道这个 p 四代表啥意思了， p 四代表你刚开始，你想一下啊，你刚开始有四张牌，你玩到最后你还剩多少牌呢？还剩 四张牌。那你就说大家打个平手呗，是不是？但是打个平手你会发现是什么呢？这个时候还要认为假药比乙药更有效啊，当然我们这个先不说，先说批零啊，批零等于零的时候，对吧？批零等于零就是说你手里就一筹码，一个没了，全输光了， 那等于零，就认为假要比乙要更有效的概率为零了。注意，概率为零就是我们理解一下啊， p 零等于， 那概率为零的意思是什么？就是说你，你，你不可能发生啊，对不对？意思是假药比乙药有效，不可能发生概率为零， 那当然不可能发生了，你，你都输光了，你输了，是吧？所以说明你要有效。那批把等于一啥意思？就是你手里头有八个筹码了，把对方的全赢光了，是吧？对于假来说，把 把对方赢光了，那你当然就赢了呀，这是百分百赢的是吧？那么这个这个 p 吉他的，比如说我举个例子， p 七，你求出一个数， p 七代表啥意思？ p 七代表你现在手里头有七个筹码，对方手里头有一个筹码，是吧？ 啊？注意啊。呃，今天那个学生问，上午问我的时候，他就说啊，人家说是说多四肢的时候以才认为假药比乙药才认为这个药更有效，多四肢的时候 实际上一定要注意，人家这里说的是假药比乙药有效的概率。注意啊，概率， 我们讲的是概率，也就是说换句话说，比如说我举个例子，这个 p 七啊，假如说你得到了一个是零点，什么什么 八三二啊，什么东西，我随便写的，蒙的啊，那这个脾气代表啥意思？我们注意啊，他代表的是这个意思，就是说我现在手里头有几个筹码，有七个筹码，然后对方啊，比如说这个假假有七个筹码，然后对方他就有一个了。 那你想一下啊，我们现在不代表假一一定有效啊，假赢不代表假赢，也可能已赢，人家有一个筹码，可能一直赢，是吧？但是 因为我有七个筹码了，我想再赢一个，那肯定相对来说这个赢的概率比较大，对不对啊？你，你一个，你要赢，你得赢七个， 我们讲的这个是概率，他是一个可能性，你理解一下啊，这是一个可能性，也就是我现在已经有七个码了，我七个筹码了，我更可能呢，更快的就赢了，所以这个 可能性大一点。注意啊，我们讲的是可能性，千万不要认为这个 p 七代表假已经赢了啊，就是假药已经有效了。错啊， 只有批零代表以以药有效，批八代表假药有效。批七只是说他有效的可能性大，不是代表他有效，就是我们刚刚说了，这个代表已经输了啊，这个批八等于一代表已经赢了，那么批七他只说赢的可能性， 一定要把这个搞清楚啊。所以这样的话，你再解释这个 p 四的话就好解释了，因为 p 四意思是你现在有四啊，四个筹码是吧？ 四个这个筹码啊，那你你甲有四个筹码，那乙说明也有四个筹码，他俩都没输，没赢吗？乙也四个，那说明这俩平局啊，咱俩没法说明谁更有效，对不对啊？但， 但是呢，根据我们这个公司算出来的，他是两百五十七分之一，是不是这批四就是他有赢的可能性？是两百五十七分之一，本来大家是平局的，是吧，就是没什么赢，但是你 根据这个公式算的是这样，是吧？实际上呢，这个我们可以认为啊，他这个方案是合理的。为什么合理呢？虽然他不是零，但是由于两百五十七分之一，这个是非常小的值，是吧？很小的， 很小，虽然数据表明甲更有优势，是吧？他是，但是呢，他是一个错的数据，就是说你这个可能性很小，接近于零了，所以我们可以认为这个结果是忽略不计的， 所以你在答的时候你就可以解释这个 p 四是两百五十七分之一啊，两百五十七分之一呢啊，他 是一个非常非常小的数，虽然呢，这个情况下我们认为假药更有效，但是由于这个概率非常非常小啊，所以呢，这种方案就是就出现这种错误啊，这种错误的方案， 这个错误的这种可能性很低啊，可以忽略不计啊，所以可以认为这种方案是合理性的。注意啊，就是你这个结果是一个错误的结果，实际上应该甲乙在四的时候，甲乙 赢的可能性都应该啊，没什么区别的啊，因为是平局吗？是吧，你有四个，原来是四个，玩了一圈还都是四个，所以一定要注意啊，理论上讲他是一个 不能认为他有这个，这个假药比乙药更有效， 所以这样一个解释就行了。那这道题我觉得，嗯， 怎么说呢啊，这，这个是没啥这个难点啊，这个题倒不难。呃，如果这个题想出难点也行，想出难点也行，哎， 就是我们把这个谁啊？把中间这个地推式啊， 如果考试的时候没有中间这个地推式，对吧？直接让你证明这是一个等比数列，就这个地推式不给你，其他都给你，那么让你去写出这个地推式，这道题可能 就难点，所以我们稍微解释一下这个地题是怎么来的，他这样子啊，这个 pi 为什么是 a 倍的？ 这个 pi 减一加必备的 pi， 这是一个拓展了啊，大家对于高考这这个没什么用啊，高考，但是我们稍微说一下， pi 加一这个地推是怎么来的，他是这样的啊， 就是假设你目前得分啊，是 i 是吧？所以你的可能性 p i 是 p i， 这个 p i 怎么来的呢？你想想一下，下一场啊，下一场比赛， 那你下一场比赛呢？会有三个结果是吧？就我们刚才说的啊，你赢平局 局是吧？或者是这个输，也就是说你得分 i 的时候，他的啊概率，那你再必经一场比赛，他只有三个结果，赢，平或者输 是吧？他是最终最终这个赢的结果啊，那你赢的概率，我们注意啊，赢的概率，所以 p i， 你想下一场赢啊，那你就得赢一场是吧？啊，这个，这个如果是赢的话，那下一个概率就是 赢。赢是什么东西啊？赢是得一，得这个一分的啊，赢是得一分的，一分的就是这个 c 是吧？ c 你得一分，下一场对于下一场来说得分就是谁了，是不是挨加一了？所以你挨加 加一到赢的概率就是 c 乘以 i 加一了，这是分布的啊，就是说你这一场概率啊，这个概率是 p i， 然后呢，你赢一场赢一场不是 c 吗？可能行是吧。哎，所以呢，你乘以下一个 i 加一， 改成 i 加一，就是到 i 加一的可能性，然后你平局当然就是 p i 了啊，平局发生的可能性是谁呢 啊？平九文的发生可能性是 b， 所以 b 成 p i， 你输，输的肯定是 a， a 乘以 p i 减一，就是你 a， 下一场得到的结果就是 p i 减一， 所以呢，就会得到这样一个地推式，那么当然这是最难点。最难点呢，他把他这个给呃忽略， 把它给给给写出来了，如果不写出来，这道题是真的难题了啊，关键点就是这个地铁是人家给的，那你们就送分了啊，如果不给呢，这题就超难了。呃， 能能能，这个可能有点难理解啊。这个的确是，你就是想我 pi 我只是可能性啊， 也就是到 p 几的时候呢，你到 p 八的时候，实际上才表示你赢啊，才表示你赢，那你现在只是得分 p i， 那你下一场会发生几种可能呢？一二三三种可能啊，一种可能是，哎， c 就是你从 p i 到啊，下面一个是 c 的可能性，得一分，所以 c 乘以 p i 加一，因为你得一分了，你这个不得分，是 i 加一了吗？是不是？然后你，你注意得分到 i 加一是吧， 也就是说你 i 加一，得分 i 加一，再到这个 pi 啊，最终 p 八再到 p 八，就是啊，一直到往后推啊，他啊，他这个得分是他 他的这个概率啊，就是应该 p i 加一，得出二加一了吗？ i 加一到到赢的概率啊，是 p i 加一他这样的分布的啊，呃，就是这样的啊， 没什么东西了啊，说白了就是你得分 pi 是前面发生的事情分布啊，这乘法原理，然后呢，你得一分啊，把它把这个 pi 呢拆成几份啊？拆成三份了是吧？拆成三份就是下一场 你这一场赢啊，就举个这样例子吧，假如你这一场是赢四分是吧？那赢四分的概率你，当然你最终是不是网网吧这里啊？八分你，你四分，现在赢的概率，赢的概率就是你分为三个情况， 你下一个情况可以得分谁呢？五五赢也可以，四也可以三是吧？但是你这个五怎么来的呢？哎，你得发生就是再赢一分，赢一分发生的概率 你，你把这个 p 四到 p 八这个步骤分成两步，第一步你先到下一局，下一局就是谁呢啊？就是我们刚才说的这个 c 啊，就是说你赢一局，赢一局之后不就五分吗？五分再到八的概率，不知道能不能理解这个步骤啊？然后你四分到八，实际上你下一步 先发生，下一步到下一步 b， b 呢？这个，这个，这个再倒八，四倒八概率，然后这个 a 是这样的，不知道能不能理解这个啊，所以这个地推式稍微有点难，那么除了这个地推式之后呢？其他的 其他倒没什么难点啊，所以呢，我们这个题呢，就讲到这里。