高考数学2025文科

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  为什么第一问和第三问都是.?-2025年数学新高考一卷19 #数学啊数学 #热点60秒 #今日份学习 #逻辑鬼才 #日更

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  第一问，通过求导给出目标数值。第二问，用区间长度保证合适的余弦值一定出现。第三问，再用五倍关系把两个区间接起来。三问到这里就连成了一条完整的推理链。

  152不知道
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  从90分到148分“文科数学战神”，越被质疑越努力 #高考 #学霸秘籍 #学习 #2025开学季

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  从九十分一个非常普通的学生的成绩，到接近满分的文科生，数学战神，你觉得你恨数学吗？不恨，没数学考不到证，没数学考不到高考。其实其他科考的都一般嘛，但是就数学能比别人高了二十分左右，这样的就 直接拉开，又爱又恨，只能说那个时候没有过想放弃，或者说，哎，算了，一百二也行那种阶段吧，因为从一百二再往上冲十很难的。 对，当时因为我们班同学确实都比较厉害，一直在跟全班同学比，其实还是挺困难的，就包括老师当时也开玩笑说，你咋考进我们班，考进我们学校的。我当时给我同桌讲题，然后也有一个朋友旁边调侃说一个敢讲一个敢听， 当然都是非常好的朋友，都是调侃，都是玩笑话，其实还是反映一个困难的。那其实越是这样的困难，或者越是这样的话语，还是越能激励我进步的去提升，证明给他们看，就是我这个数学只要努力还是可以提上来的，我还是没那么笨，还是可以勤能捕捉的。所以你觉得你是内驱型的人？ 我觉得内区外区都有吧。从小我父母觉得代沟最大的理想就是让我认识到学习是给自己学的嘛，包括做作业不是为了应付老师，而是给自己提升，给自己巩固，包括做那些刷题，那些练习册不是父母和老师塞给我才做，自己去针对性补强的一个过程，所以还是 四驱比较大，但是这个外在因素也比较大，因为就是我们班确实都比较优秀，同学们啊，每天朝夕相处，然后处于这样的一个环境中，所以也是外在激励了我，内在可能是能让我起到一百二的这样的一个程度。然后外在就是同学、学校和家长的这样的一个激励和鼓励， 能让我有信心有这个意愿达到一个一百三、一百四，甚至一百五这样的一个更高水平的一个成绩。

  1974学霸来了
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  高考数学：2025全国卷真题，双曲线的计算！#高中数学 #高考数学 #高三必看 #双曲线

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  啊，各位同学好，今天继续给大家分享一道二零二五年全国卷一的第三道选择题。考场是双曲线的一个基本的性质， 题目给出对应的双曲线的虚轴长是实轴长的根号其倍。在双曲线当中，虚轴跟实轴分别是指的哪一个长度？我们如果以交点在 a 和实轴分别是指的哪一个长度？我们如果以交点在 a 和实轴上为例的话，画一个双曲线。啊， 我说的这是真实存在的一条轴，我们叫的十轴，我们记 a 一 a 二，它的长度就是十轴长 等于二 a， 它虚轴长是指的是我们在 y 轴上虚拟构造了一个轴 b 一 b 二，我们把它叫做虚轴长，记为二 b， 所以 的话，我们有条件很容易得到。 虚轴是二 b， 它等于十轴的根号七倍，能以二 a 乘以根号七，稍微划等一下， b 就 等于根号七 a， 这里就得到一个 b 和 a 的 一个式子，要求离心率，我们说求离心率就是求 a 分 之， c 是 求的一个比值。求比值的时候， 我们如果能够知道 a 和 c 的 具体的值固然更好，但有的时候不知道它的距值也没有关系。你把 a 跟 c 用相同的字母表示，最终它一笔就消掉了。所以的话，对于选择题的话，其实非常简单， 因为现在只有一个方程在外加我们的引含的方程的话，是在双曲线当中， c 是 最大的， c 方等于 a 方加 b 方， 整个只有两个方程，它解不出来唯一的 a b c， 所以 我们这里用方法一均负值法来的这一块，一般情况我们负小值为一，这明显 a 小 一些，所以我们令 a 等于很容易求出来 b 等于对应的根号七 c 的 话就很容易用个五定例，类似于个五平方关系六 可以得到 c 除以角 c 的 话是 a 方加 b 方就等于根号八啊，根号八就是二倍的根号，所以 a 分 之 c 就直接是等于二倍的根号二，所以这个题选择的是 d 选项。当然我们也可以来消元，要求 a 分 之 c 还跟并没有关系。我们先对一进一平方啊，就是 b 的 平方等于七 a 方，然后把它带入二四，我们就很容易得到 c 方等于 a 方加 b 方，把 y 消掉， 我们也可以得到 c 方等于八 a 方，然后两边同时开根号，那就是很容易得到 c 比 a 等于二倍的根号。好，就是我们这一道基础的相连的题目，大家有问题的话可以打在评论区。

  45雷老师讲数学
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  2025年福建高考文科696分！泉州五中优秀考生林凡皓分享学习秘籍。#泉州高考 #2025高考

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  语文一百三十七，数学，一百三十六，英语，一百四十五，历史，八十四，化学，九十五，政治，九十九。 我觉得政治就是要多背吧，多背，然后背熟了，然后他的题型其实比较固定，然后把一些呃答题的一些模板，然后把它记熟。选择题的话就是要细心一些，就是他题目可能可能有一些比较细节的点。数学我觉得就是 平时要多做题，然后呃老师上课讲的一些题目呢？要注意总总结，然后总结一些题目的做题的方法，然后他的思想这些啊，然后最重要就是要有一个熟练度，就是你在掌握一道题之后，你要去做一些跟这个题类似的题 目，然后去提高你熟练度，这样才能在考试里呃在更短的时间内完成前面比较中等或者简单的题目，然后留的更多的，留给更多的时间去做后面比较创新比较困难的一些题目。我是觉得最重要的就是心态，心态要保持 良好的心态，我觉得考试就是一个考细节，就是比谁的出错率更低，就是谁能把失误控制在最小的范围内，所以就是在考试时候要细心吧。

  11.9万泉州晚报
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  2025新高考I卷数学完整解析 很多同学高考数学分数提不上去，往往不是题完全不会，而是一上来就硬算、方法选错，导致“时间花了，分还丢了”。
  这套 2025新高考I卷数学全解析 视频，最值得看的地方不是答案，而是每道题第一步的“考场关键观察点”！
  #高考数学 #2025新高考一卷数学 #新高考一卷 #真题解析
  

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  这个二零二五新高考爱卷的完整解析视频，最值得看的地方不是答案，而是每道题第一步该怎么想。很多同学数学题不上去，不是题完全不会，而是一上来就硬算方法选错时间花了分还丢了。 前面的单选看着基础，其实在考观察中间的多选最容易漏选，第十八题和第十九题更是第一步错，后面全白算。这套讲解我带你看哪些题必须稳拿，哪些地方最容易丢分，以及考场上怎么用更快更稳的方法做。 我是杨老师，专讲高考数学提分，关注我，带你把这套卷真正讲透。咱们来看第一题，题目说一加五 i 的 整体再乘以 i， 它的虚部为多少？选项 a， 负一选项 b， 零选项 c， 一 选项 d 六。 这是一道复数基本运算题，核心定位是先做乘法，再看结果中 i 前面的系数。关键观察点是，题目问的是虚部，不是整个含有 i 的 项。复数写成实部加虚部乘 i 的 形式时，虚部指的是 i 前面的那个实数系数。 现在计算，一加五， i 的 整体乘以 i 就 等于一乘以 i， 再加上五 i 乘以 i， 也就是 i 加五 i 的 平方。因为 i 的 平方等于负一，所以五 i 的 平方等于负五，于是结果就是负五加 i， 这个负数的实部是负五， i 前面的系数是一，所以虚部是一，所以本题答案选 c。 一、 方法总结一下，负数乘到 i 时，一定要把 i 的 平方换成负一。最后判断虚部时，只看 i 前面的系数，不要把 i 本身也算进去。 咱们来看第二题，题目说已知集合大写 u 是 所有小于九的正整数集合，大写 a 等于由一、三、五组成的集合。求大写 a 在 全集大写 u 中的补集里元素的个数。选项 a、 零选项 b， 三选项 c， 五选项 d 八。 这道题的关键观察点是，小于九的正整数不包括九，只包括一到八。另外，补集不是数集合大写 a 里有几个元素，而是数全集大写 u 里面不属于大写 a 的 元素有几个。为什么这样做呢？因为补集一定要在指定的全集里面看， 这里全集大写 u 是 一、二、三、四、五、六、七、八，一共有八个元素。集合大写 a 是 一、三、五，一共有三个元素。 现在要求大写 a 在 全集大写 u 中的补集，也就是从一、二、三、四、五、六、七、八里面把一、三、五去掉，剩下的是二、四、六、七、八，一共有五个元素，所以补集里元素的个数是八减三等于五。 本题答案选 c。 五。方法总结一下，做集合补集题第一步，先看清全集是什么，尤其注意不超过和小于这类边界词。第二部，数出全集元素个数。第三部，去掉集合大写 a 里的元素，剩下的就是补集。这里全集有八个元素，大写 a 有 三个元素，所以补集有五个元素。咱们来看第三题， 已知双曲线大写 c 的 虚周长是十周长的根号七倍，求双曲线大写 c 的 离心率。选项 a， 根号二。选项 b， 二选项 c， 根号七。选项 d， 二倍根号二。 这道题的关键观察点是，题目说的是虚周长和十周长的关系。双曲线里十周长是二倍 a， 虚周长是二倍 b， 所以 意思就是二倍 b 等于根号七倍的二倍 a， 因此 b 等于根号七倍的 a。 这里容易错在两点，第一，不要把轴长直接和 a、 b 混淆，但因为两边都有二倍，所以最后比例仍然是 b b， a 等于根号七。第二，双曲线中焦距参数 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方不是相减， 现在代入计算，因为 b 等于根号七倍的 a， 所以 b 的 平方等于七倍 a 的 平方。又因为双曲线满足 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方，所以 c 的 平方等于 a 的 平方加七倍 a 的 平方，也就是八倍 a 的 平方，于是 c 等于根号八倍的 a， 也就是二倍根号二倍的 a。 离心率 e 等于 c 除以 a， 所以 e 等于二倍根号二。本题答案选 d。 二倍根号二。方法总结一下，遇到双曲线离心率，先把题目中的轴长关系转成 a 和 b 的 关系，再用双曲线的基本关系 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方，最后用离心率 e 等于 c 除以 a 来求。 咱们来看第四题已知点，小括号 a 逗号零小括号，其中 a 大 于零是函数 y 等于两倍正切小括号 x 减三分之派。小括号的图像的一个对称中心。求 a 的 最小值。选项 a、 六分之派，选项 b， 三分之派选项 c， 二分之派选项 d、 三分之四派。 这道题的关键观察点是正切函数的对称中心由括号里面的整体角决定，前面的系数二只是纵向拉伸，不改变对称中心的位置。易错点是把正切函数的渐近线位置当成对称中心。 对于函数 y 等于正切 u， 它的对称中心满足 u 等于 k 被派，其中 k 是 整数，这里 u 就是 x 减三分之派。所以要让点小括号 a 逗号零小括号成为对称中心，就需要 a 减三分之派等于 k 被派， 于是 a 等于三分之派加 k 背派。因为题目要求 a 大 于零，并且求 a 的 最小值取 k 等于零时， a 等于三分之派，取 k 等于负一时， a 等于负三分之二派已经小于零，不符合条件，所以 a 的 最小正值就是三分之派。 因此本题答案选 b 三分之派。方法总结是，遇到正切型函数的对称中心，先看括号内整体角，让整体角等于 k 背派，再结合题目对横坐标的范围要求，选出满足条件的最小值。 咱们来看第五题。题目说已知函数 f 括号 x 括号是定义在实数集上且周期为二的偶函数。当二小于等于 x 小 于等于三时， f 括号 x 括号等于五减二 x 求 f 括号负四分之三括号。 选项 a， 负二分之一，选项 b， 负四分之一选项 c， 四分之一选项 d 二分之一。本题考察偶函数和周期函数的综合使用，核心是把负四分之三这个自变量转化到已知表达式所在的区间二到三里面去。 关键观察点是，题目只告诉了二到三这个区间上的函数表达式，所以不能直接把负四十三带入五减二 x。 易错点是利用周期平移时，四分之三加二等于四分之十一，不是十一分之四。 因为 f 括号 x 括号是偶函数，所以 f 括号负四分之三括号等于 f 括号四分之三括号。这样先把负数自变量变成正数自变量，又因为函数的周期是二，所以自变量加二，函数值不变，于是 f 括号四分之三括号等于 f 括号四分之三加二括号，也就是 f 括号四分之十一，括号 现在四分之十一等于二点七五，落在二到三之间，可以使用题目给出的表达式。于是 f 括号四分之一，括号等于五减二乘以四分之十一，二乘以四分之一等于二分之十一，五等于二分之十，所以五减二分之十一等于负二分之一。 因此 f 括号负四分之三，括号等于负二分之一。本题答案选 a。 负二分之一。方法总结一下，遇到这类题，先看已知解析式在哪个区间成立，再利用偶函数把负自变量变成正自变量，利用周期把自变量平移到已知区间，最后再代入计算。 这里的关键一步是，四分之三加二等于四分之十一，落在二到三之间，所以答案是负二分之一。咱们来看第六题。 题目说帆船比赛中试风，风速对应的向量是真风，风速对应的向量与船型风风速对应的向量之合，其中船型风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。 途中给出部分风力等级，清风是一点六到三点三，微风是三点四到五点四，核风是五点五到七点九，净风是八点零到十点七。 根据给出的式风风速向量和船速向量，判断该时刻的真风选项 a、 轻风选项 b、 微风选项 c、 和风选项 d。 静风。 这道题的关键观察点是，船型风风速向量不是船速向量本身，而是和船速向量大小相等，方向相反，易错点就在这里。不能直接把式风向量和船速向量相减来当做真风。 式风风速向量是左括号，负三负一、右括号。传速向量是左括号、一三右括号。题目给出的关系是，式风等于真风加传行风。 又因为传行风和传速方向相反，所以传行风等于传速的相反向量，也就是说式风等于真风减传速，因此真风就等于式风加传速。 现在计算真风向量，左括号、负三负一，右括号加左括号一三右括号，得到左括号、负二二右括号。接下来求真风风速的大小， 左括号、负二二右括号的长度等于根号下负二的平方，加二的平方也就是根号下八等于二倍，根号二约等于二点八三，二点八三落在一点六到三点三之间，所以该时刻的真风属于清风。 本题答案选 a。 清风。方法上要抓住两个关系，第一是风等于真风加船形风。第二船形风是船速的相反向量，所以真风等于是风加船速。 算出真风向量左括号、负二二右括号后，再求它的长度二倍，根号二约为二点八三，对照风力等级表属于清风。 咱们来看第七题，题目说已知圆 x 的 平方加上 y 加二的整体的平方等于 r 的 平方，其中 r 大 于零， 圆上到直线， y 等于根号三倍， x 加二的距离为一的点有且仅有两个，求 r 的 取值范围。选项 a， 零到一选项 b， 一 到三选项 c， 三到正无穷。选项 d， 零到正无穷。 这道题的关键观察点是，到一条直线，距离等于一的点不在原直线上，而是在这条直线两侧距离都为一的两条平行线上。所以题目问圆上满足条件的点有几个？本质上是在问这个圆和这两条平行线一共交出几个点。 先看圆 x 的 平方加上 y 加二的整体的平方等于 r 的 平方，所以圆心是零负二，半径是 r。 再把直线 y 等于根号三倍 x 加二，改写成根号三倍 x 减 y 加二等于零。与它距离为一的两条平行线，可以理解为在原直线两侧平移一段距离。现在我们只需要看圆心到这两条平行线的距离。 圆直线到圆心零负二的距离等于根号三乘零减负二，再加二的绝对值除以根号下三加一，也就是四除以二等于二。 因为两条目标平行线到圆直线的距离都是一，所以它们到圆心的距离分别是二减一和二加一，也就是一和三。 接下来判断交点个数圆和一条直线的位置关系，只看圆心到直线的距离 d 和半径 r。 若 r 小 于 d， 没有交点。若 r 等于 d 相切有一个交点。若 r 大 于 d， 相交有两个交点。 现在两条平行线到圆心的距离分别是一和三。要让圆上满足距离为一的点有且仅有两个，就必须总交点数正好是两个。 如果 r 小 于一，两条线都不相交零个点。如果 r 等于一近的那条线相切只有一个点。如果一小于 r 小 于三，近的那条线与圆相交有两个点，远的那条线还没有碰到圆，所以正好两个点。如果 r 等于三近的那条线，两个点，远的那条线相切一个点，一共三个点。 如果 r 大 于三，两条线都相交，一共四个点，所以符合条件的是一小于 r 小 于三。本题答案选 b 一 到三。方法总结一下，遇到到直线距离为定值的点，先把它转化为两条平行线，再求圆心到这两条平行线的距离，最后用半径和距离比较，判断相交相切还是相邻。 本题两条平行线到圆心的距离分别是一和三，要恰好两个点，只能让圆只穿过近的那条线，不能碰到远的那条线。因此 r 的 范围是一小于 r 小 于 r。 三。 咱们来看第八题。题目说已知二加以二为底， x 的 对数等于三加以三为底， y 的 对数等于五，加以五为底， z 的 对数。判断 x、 y、 z 的 大小关系不可能是哪一个 选项 a， x 大 于 y 大 于 z。 选项 b， x 大 于 z 大 于 y。 选项 c， y 大 于 x 大 于 z。 选项 d， y 大 于 z 大 于 x。 这题的关键观察点是 x、 y、 z 不是 固定数，而是随着这个公共值一起变化。易错点是只看底数二、三、五的大小，就直接判断谁大谁小。 这里真正要比较的是三个指数函数在不同 t 值下的相对位置，设这个公共值为 t， 也就是说，二加以二为底， x 的 对数等于 t。 三加以三为底， y 的 对数等于 t。 五加以五为底， z 的 对数等于 t 等于 t 减二，所以 x 等于二的 t 减二次方。以三为底， y 的 对数等于 t 减三，所以 y 等于三的 t 减五，所以 z 等于五的 t 减五次方。 接下来比较三条曲线的交叉顺序，先看 x 和 y， x 等于 y 时，就是二的 t 减二次方，等于三的 t 减三次方，两边取自然对数得到 t 大 约等于四点七一。也就是说，在 t 小 于四点七一时， x 大 于 y。 在 t 大 于四点七一时， y 大 于 x。 再看 x 和 z， x 等于 z， 就是 二的 t 减二次方，等于五的 t 减五次方，两边取自然对数得到 t 大 约等于七点二七。也就是说，在 t 小 于七点二七时， x 大 于 z。 在 t 大 于七点二七时， z 大 于 x。 再看 y 和 z， y 等于 z， 就是 三的 t 减三次方，等于五的 t 减五次方，两边取自然对数得到 t 大 约等于九点三一。也就是说，在 t 小 于九点三一时， z 大 于 y。 现在看选项 b 要出现 x 大 于 z 大 于 y， 需要同时满足 x 大 于 z 以及 z 大 于 y。 可是 x 大 于 z， 要求 t 小 于七点二七， z 大 于 y， 又要求 t 大 于九点三一。一个 t 不 可能同时小于七点二七，又大于九点三一，所以选项 b 这种顺序不可能出现。 为了排除其他选项，也顺便验证一下，取 t 等于零， x 等于四分之一， y 等于二十七分之一， z 等于三千一百二十五分之一，所以 x 大 于 y 大 于 z， 选项 a 可以 出现。 取 t 等于六， x 等于十六， y 等于二十七， z 等于五，所以 y 大 于 x 大 于 z， 选项 c 可以 出现。取 t 等于八， x 等于六十四， y 等于二百四十三， z 等于一百二十五，所以 y 大 于 z 大 于 x， 选项 d 可以 出现。因此，不可能出现的大小关系是选项 b x 大 于 z 大 于 y。 这题的方法总结是，遇到多个带对数的式子相等，先设公共值为 t， 把 x、 y、 z 分 别表示成关于 t 的 指数式，然后不要只凭底数大小猜结论，而是比较两两相等的临界点。 这里三个临界点依次大约是四点七一、七点二七、九点三一，所以顺序只会按这些临界点逐段变化。选项 b 要求的两个条件在 t 的 范围上互相冲突，因此不可能出现。咱们来看第九题。题目说在正三棱柱 a、 b、 c 到 a 一、 b 一、 c 一 中， d 是 bc 的 终点，判断哪些说法正确。 这道题考的是正三棱柱里的垂直和平行关系。大家注意，正三棱柱有两个关键信息，第一，底面 a、 b、 c 是 正三角形。第二，再楞 a、 a 一、 b、 b 一、 c、 c 一 都垂直于底面。 先看底面，因为 a、 b、 c 是 正三角形， d 是 bc 的 中点，所以 a、 d 是 底边 bc 上的高，也就是说 a、 d 垂直于 bc。 再看空间关系 b、 e、 c、 e 和 bc 是 平行的，所以 b、 e、 c、 e 也垂直于 ad。 同时 a、 a 一 是正三棱柱的蔡棱，垂直于底面 a、 b、 c、 b 一 方向平行于底面里的 bc， 所以 b 一、 c 一 也垂直于 a、 a 一。 你看这里 b 一、 c 一 同时垂直于平面 a、 a、 e、 d 里的两条相交直线分别是 a、 d 和 a、 a、 e， 因此 b 一、 c 一 垂直于平面。 a、 a、 e、 d 选项 b 正确。再看 c、 c 一、 c、 c 一 和 a、 a、 e、 d。 选项 b 正确。再看 c、 c 一、 c、 c 一 和 a、 a、 e、 d。 选项 b 正确。在平面 a、 a、 e、 d 内， 并且 c 点不在直线 a、 d 上，所以 c、 c 一 不在这个平面内，这样 c、 c 一 就平行于平面 a、 a、 e、 d 选项 d 正确。选项 a 说 a、 d 垂直于 a、 e、 c。 这里不能只看 a、 d 垂直于 bc 就 直接推到 a、 e、 c、 a、 e、 c 是 一条斜着穿过空间的线，它既有竖直方向，也有底面方向，不能和 a、 d 构成垂直关系，所以 a 错。 选项， c 说 a、 d 平行于 a 一 b 一 a 一 b 一 平行于底面的 ab， 而 a、 d 是 底面正三角形，从 a 到 bc 中点的高，它不平行于 ab， 所以 c 错。 所以这一题正确。选项是 b 和 d。 方法上咱们抓两个点就够了。第一，正三角形里中线也是高，所以 a、 d 垂直于 b、 c。 第二，正三棱柱的侧棱垂直于底面。用这两个条件就能判断出 b 一 c 一 平行于这个平面。 咱们继续看第十题。已知抛物线 c 方程是 y 的 平方等于六 x， 交点是 f 过 f 的 一条直线交。抛物线于 ab， 两点过 a 做直线 x 等于负二分之三的垂线垂足为 d 过 f， 且与直线 ab 垂直的直线交这条准线与点 e。 问，哪些说法正确？大家注意，这题的核心不是硬算坐标，而是交点弦。准线和抛物线定义， 先看抛物线 y 的 平方等于六 x， 标准形式是 y 的 平方等于四 p x， 所以 四 p 等于六 p 等于二分之三，因此焦点 f 是 二分之三，零准线就是 x 等于负二分之三。 a 点在抛物线上， d 是 a 到准线的垂足，所以 a、 d 的 长度就是 a 到准线的距离。根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以 a、 d 等于 af。 选项， a 正确。接着看焦点弦 ab 过交点的弦最短的时候是垂直于对称轴的通径，这里通径长是四 p， 也就是六。所以不管这条过交点的直线怎么转， a、 b 的 长度都大于等于六，选项 c 正确。再看 b 和 d， 需要判断 a、 e 的 关系，咱们设交点弦 a、 b 与 x 轴的夹角为西塔， 过 f 做 ab 的 垂线交准线于 e， 因为交点到准线的水平距离是三，而这段垂线方向的水平分量和正弦希塔有关，所以 f 一 的长度等于三除以正弦希塔的绝对值。 沿着交点弦方向去算， a、 f 和 b、 f 分 别可以表示成三除以一减于弦希塔，以及三除以一加于弦希塔。 于是 a、 e 和 b、 e 都在两个直角三角形里，直角点都是 f。 把 a、 e 的 平方看成 a， f 的 平方，把 b、 e 的 平方看成 b， f 的 平方加 f e 的 平方。这一步很关键，代入之后， a、 e 乘以 b， e 等于十八除以正弦西塔的绝对值的三次方。 因为正弦西塔的绝对值最大是一，所以这个乘积一定大于等于十八，选项 d 正确。最后看选项 b， 说 a、 e 等于 ab， 咱们用一个最简单的情况检验，取 ab 是 数值的交点弦，也就是直线 x 等于二分之三，此时 ab 的 长度等于六， e 点在准线上，又在过 f 的 水平线上，所以 e 是 负二分之三零 a 到 e 的 距离是三倍，根号下二不等于六，所以选项 b 错， 所以本题正确选项是 a、 c、 d。 这题的方法总结一下，遇到抛物线，先从 y 的 平方等于四 p， x 里读出 p， 再立刻写交点和准线， 涉及点到交点，点到准线，优先用抛物线定义涉及过交点的弦。记住，交点弦最短是通径，长度是四 p。 最后这种带垂线交准线的乘积问题可以设交点弦倾斜角，用正弦关系控制距离。关键结论就是 a、 e 乘以 b， e 大 于等于十八。 咱们继续看第十一题。题目说三角形 a、 b、 c 的 面积为四分之一，并且二倍角 a、 b、 c 的 余弦再加二倍的角 c 的 正弦等于二。 同时角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦再乘角 c 的 正弦等于四分之一。问，下面哪些说法正确？ a、 角 c 的 正弦等于角 a， 正弦的平方加角 b， 正弦的平方 b、 ab 等于根号下二 c 角 a 的 正弦加角 b 的 正弦等于二分之根号下六 d、 a、 c 的 平方加 bc 的 平方等于三。这道题的关键不是上来就算边长，而是先判断角 c。 它考的是二倍角于弦和插画机直角、三角形面积以及正弦于弦和边长的关系。 咱们先看条件，二倍角 a 的 于弦加二倍角 b 的 正弦等于二。 前两项用和差画积二倍角 a 的 余弦加二倍角 b 的 余弦等于二。乘角 a 加角 b 的 余弦。降藏角 a 减角 b 的 余弦。因为角 a、 加角 b 的 等于一百八十度减角 c， 所以 角 a、 加角 b 的 余弦等于负的角 c 的 余弦。 于是原式变成负二倍的角 c 的 余弦乘角 a 减角 b 的 余弦再加二倍的角 c 的 正弦等于二。 两边同时除以二，就得到角 c 的 余弦乘角 a 减角 b 的 余弦等于角 c 的 正弦减一。大家注意，这一步很关键， 右边是角 c 的 正弦减一，在三角形里，角 c 的 正弦最大就是一，所以右边不大于零。再看另一个条件，角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦乘角 c 的 正弦等于四分之一，大于零。 角 c 的 正弦本来就大于零，所以角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦大于零。三角形里， a 和 b 不 可能同时是钝角，因此 a 和 b 都是锐角。 如果角 c 是 锐角，那么角 c 的 余弦大于零，角 a 减角 b 的 余弦也大于零。左边就是正数，可右边角 c 的 正弦减一是负数。矛盾。 如果角 c 是 钝角，那么角 c 的 余弦小于零。又因为角 a 减角 b 的 绝对值小于角 a 加角 b， 也就是一百八十度减角 c， 所以 角 a 减角 b 的 余弦会大于负的角 c 的 余弦。 可是由刚才的等式，角 a 减角 b 的 余弦等于一，减角 c 的 正弦除以负的角 c 的 余弦，它会小于负的角 c 的 余弦。前后也矛盾，所以角 c 既不是锐角，也不是钝角，只能是直角，也就是角 c 等于九十度，角 c 的 正弦等于一。 这样 a 选项就好判断了。直角三角形里，角 a 和角 b 互余，所以角 b 的 正弦等于角 a 的 余弦，于是角 a 正弦的平方加角 b， 正弦的平方就等于角 a 正弦的平方加角 a， 余弦的平方等于一，正好等于角 c 的 正弦，所以 a 正确。 呃，下面看边长设 b c 等于 a， a、 c 等于 b， ab 等于 c， 因为角 c 是 直角，面积等于二分之一，乘 a 乘 b。 题目给面积四分之一，所以二分之一乘 a 乘 b 等于四分之一，也就是 a 乘 b 等于二分之一。 再用乘积条件，角 c 的 正弦等于一，所以角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦等于四分之一。在这个直角三角形里，角 a 的 余弦等于 b 除以 c， 角 b 的 余弦等于 a 除以 c， 所以 它们的乘积等于 a。 乘 b 除以 c 的 平方，也就是二分之一。除以 c 的 平方等于四分之一， 所以 c 的 平方等于二， c 等于根号下二，也就是 a， b 等于根号下二， b 正确。哎！接着看 c 选项，角 a 的 正弦等于 a 除以 c， 角 b 的 正弦等于 b 除以 c， 所以 角 a 的 正弦加角 b 的 正弦等于 a 加 b 的 正弦的平方等于 a 加 b 的 平方除以 c 的 平方，也就是 a 的 平方加 b 的 平方加二倍 a， b 再除以 c 的 平方， 因为这是直角三角形， a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方等于二。刚才又有 ab 等于二分之一，所以二倍 ab 等于一分子就是二加一等于三，分母是二， 所以这个平方等于二分之三。哎，角 a 的 正弦加角 b 的 正弦是正数，因此它等于根号下二分之三，也就是二分之根号下六，所以 c 正确。哎！最后看 d， a， c 的 平方加 bc 的 平方，就是 b 的 平方加 a 的 平方，由勾股定律，它等于 ab 的 平方，也就是二，不是三，所以 d 错。 所以本题正确选项是 abc。 这道题最核心的一步是先通过二倍角余弦的和差化积，把条件转成角 c 的 余弦，乘角 a 减角 b 的 余弦等于角 c 的 正弦减一， 再结合乘积为正，判断 ab 都是锐角，最后排除角 c 是 锐角和钝角，锁定角 c 是 九十度角 c 一 旦确定为直角后面的面积，余弦乘积正弦和都可以用直角三角形的边长关系顺着算出来。 咱们来看第十二题。题目是若直线 y 等于二， x 加五，是去线 y 等于 e 的 x， 次方加 x 加 a 的 一条切线求 a。 这是一道填空题，最后只填一个数。关键观察点是，切线不只是斜率相同，还要在切点处和取线取到同一个函数值，不能只算斜率就停下。 先看斜率条件，曲线 y 等于 e 的 x， 次方加 x 加 a， 它的导数是 e 的 x 次方加一。导数表示曲线在对应点处的切线斜率。题目给出的直线是 y 等于二， x 加五，所以它的斜率是二。既然这条直线是曲线的一条切线，那么在切点处，曲线的导数值必须等于二， 于是有 e 的 x 次方加一等于二，所以 e 的 x 次方等于一。因为 e 的 零次方等于一，所以切点的横坐标 x 等于零。接下来检查切点处的函数值， 把 x 等于零，带入曲线，曲线的 y 值是 e 的 零，次方加零加 a， 也就是一加 a， 把 x 等于零，带入直线 y 等于二， x 加五，直线的 y 值是五。同一个切点处曲线和直线的 y 值必须相等，所以一加 a 等于五，得到 a 等于四。 所以本题答案是四。方法上遇到某条直线是某条曲线的切线，要同时用两个条件，第一，切线斜率等于切点处导数。第二，切点处直线值等于曲线值。本题先由斜率二确定切点横坐标为零，再带入曲线和直线比较函数值，最后得到 a 等于四。 填空题这里要特别注意，答案只填四，并且要确认斜率条件和切点重合条件都已经满足。咱们来看第十三题。题目说若一个等比数列的各项均为正数，且前四项的和等于四，前八项的和等于六十八，求这个数列的公比。 这题的关键观察点是，前八项可以分成前四项和后四项，而等比数列中第五项到第四项乘以公比的四次方。 易错点是解出公比的四次方等于十六以后，不能把负二也当成最终答案。因为题目明确说各项均为正数，设这个等比数列的公比为 q， 因为各项均为正数，所以相邻两项的比值也是正数，也就是 q 大 于零。前四项的和等于四。 第五项、第六项、第七项、第八项分别是第一项、第二项、第三项、第四项乘以 q 的 四次方，所以后四项的和等于前四项的和乘以 q 的 四次方。因此前八项的和等于前四项的和乘以一加 q 的 四次方。代入题目条件，六，十八等于四乘以一加 q 的 四次方。 两边同时除以四，得到十七等于一加 q 的 四次方，所以 q 的 四次方等于十六。因为 q 大 于零，满足 q 的 四次方等于十六的正数只有二，所以公比 q 等于二。 本题答案是二。方法上要抓住前八项和与前四项和之间的倍数关系，后四项是前四项整体乘以公比的四次方，所以前八项和等于前四项和乘以一加公比的四次方。最后一定要检查条件，各项均为正数，推出公比大于零，因此负二不能作为答案。 咱们来看第十四题。题目说有五个相同的球，分别标有数字一、二、三、四、五，从中有放回的随机取三次，每次取一个球，即大写 x 为这五个球中至少被取出一次的球的个数，求大写 x 的 数学期望。 这道题的关键观察点是，大写 x 数的不是三次取到的数字之合，也不是每次取球的编号，而是五个球里面有多少个不同的球被取到过。因为是有放回的取，所以每一次取球互不影响。每个固定球在每一次中被取到的概率都是五分之一。 我们用指示变量来做对第挨个球设挨下标挨，表示这个球是否至少被取出一次。如果第挨个球至少被取出一次，那么挨下标挨等于一。如果他一次也没有被取到，那么挨下标挨等于零。 对的，这样做的原因是，大写 x 可以 拆成五个，求各自是否出现过的结果之合。也就是说，大写 x 等于挨下标一加挨下标二加挨下标三加挨下标四加挨下标五。求大写 x 的 数学期望就可以转化为分别求每个指示变量的期望再相加。 现在看某一个固定的球，比如标号为一的球，每取一次没有取到它的概率是五分之四。因为一共取三次，而且有放回，所以三次都没有取到它的概率是五分之四的三次方，也就是六十四除以一百二十五 呀。因此，这个固定球至少被取出一次的概率是一。减去六十四除以一百二十五等于六十一。除以一百二十五， 指示变量的期望就等于它取一的概率。所以每一个 i 下标 i 的 数学期望都是六十一除以一百二十五。由期望的限性性，大写 x 的 数学期望等于五乘以六十一，除以一百二十五，等于六十一，除以二十五。 这里再检查一下条件，因为题目明确是有放回随机取三次，所以可以把某个固定球三次都没有被取到的概率写成五分之四的三次方，如果误当成无放回计算就会变掉。另外，大写 x 最多只能是三，因为只取三次，但他的期望可以是六十一除以二十五。这个数在一到三之间，结果范围也是合理的。 本题答案是六十一除以二十五。方法上遇到至少被取出一次的个数。这类问题不必先列出所有不同取法，也不必求完整分布，可以把总个数拆成每个对象是否出现过的指示变量之合，再用期望限行性相加。 关键计算是先算反面事件，也就是某个固定球一次都没有被取到概率为五分之四的三次方，再用一减它，得到至少出现一次的概率。 咱们来看第十五题，这道题研究某疾病和超声波检查结果之间有没有关系。随机调查了一千人，患该疾病的有二百人，其中检查结果正常二十人，不正常一百八十人，未患该疾病的有八百人，其中检查结果正常七百八十人，不正常二十人。 按检查结果来看，正常合计八百人，不正常合计二百人。第一问要求估计检查结果不正常者患病的概率。第二问要求用小概率值阿尔法等于零点零零一的独立性检验，判断检查结果是否与患病有关。这道题的核心就是两个知识点，一个是用频率估计概率，另一个是二乘二列联表的卡方独立性检验。 先看第一问，题目说 p 是 超声波检查结果不正常者患该疾病的概率。既然要估计这个概率，咱们就用样本里对应的频率来估计。 大家注意，分母不是总人数一千人，而是检查结果不正常的人数。因为条件已经限定了，检查结果不正常者检查结果不正常的人一共有二百人，这里面患该疾病的人是一百八十人。所以 p 的 估计值等于一百八十除以二百， 一百八十除以二百等于十八除以二十，也就是十分之九等于零点九。所以第一问答案是 p 的 估计值为零点九。 再看第二问，这一问要判断超声波检查结果和病变之间有没有关系。做独立性检验的时候，咱们先假设它们相互独立，然后计算塔方统计量，再和阿尔法等于零点零零一对应的临界值比较。 咱把列联表里的四个格子对应好，第一行看成患该疾病，第二行看成未患该疾病。第一列看成检查结果正常，第二列看成检查结果不正常。这样， a 等于二十， b 等于一百八十， c 等于七百八十， d 等于二十。总人数 n 等于一千， 卡方统计量等于 n 乘以 a、 d 减 bc 的 平方，再除以 a 加 b， c 加 d 加 d。 这四项的乘积先算关键的交叉差。 a、 d 等于二十乘二十等于四百， bc 等于一百八十乘七百八十。先算十八乘七百八十等于一万四千零四十，所以一百八十乘七百八十等于十四万零四百。所以 a、 d 减 bc 等于四百，减十四万零四百等于负十四万，这里后面要平方，所以负号平方之后不影响结果。负十四万的平方就是一百九十六亿 分子等于一千，乘以一百九十六亿。再看分母， a 加 b 等于二十，加一百八十等于二百。 c 加 d 等于七百八十，加二十等于八百。 a 加 c 等于二十，加七百八十等于八百。 b 加 d 等于一百八十加二十等于二百。所以分母是二百乘八百乘八百乘二百。 把这些数带入计算，卡方统计量等于七百六十五点六二五。接下来比较临界值，题目给出，当概率为零点零零一时， k 等于十点八二八，现在七百六十五点六二五大于十点八二八，已经远远超过临界值。 这说明，在小概率值阿尔法等于零点零零一的独立性检验下，咱们要拒绝超声波检查结果与患该疾病相互独立这个假设， 所以可以认为超声波检查结果与患该疾病有关。这道题答案汇总一下。第一问，检查结果不正常者共有二百人，其中患该疾病者一百八十人，所以 p 的 估计值等于一百八十，除以二百等于零点九。 第二问，卡方统计量等于七百六十五点六二五，因为七百六十五点六二五大于阿尔法等于零点零零一十的临界值十点八二八，所以拒绝独立性假设，认为超声波检查结果与患该疾病有关。 方法上，大家记住两点，求条件概率的估计值，先找清楚条件对应的总人数，再找其中满足目标事件的人数做独立性检验，一定先把四个格子的 a、 b、 c、 d 对 准，再算卡方统计量。最后和题目给出的临界值比较， 咱们继续看第十六题。题目说已知数列 a 下标 n 中第一项 a 下标一等于三，并且 a 下标 n 加一除以 n 等于 a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再加上分母是 n 乘括号， n 加一括号分子是一的分式。 第一问，证明数列 n 乘 a 下标 n 是 等差数列。第二问给定正整数 m， 设函数 f， x 等于 a 下标一乘 x 加 a 下标二乘 x 的 平方一直加到 a 下标 m 乘 x 的 m 次方 求 f 撇在负二处的值。这道题的核心是把地推式改写成 n 乘 a 下标 n 的 形式。第一问看地推，第二问求导以后正好会用到第一问。 先看第一问，咱们为什么要两边同成分母？因为题目要证明的是 n 乘 a 下标 n， 这个数列是等差数列，所以我们要想办法让地推式里出现 n 乘 a 下标 n 以及 n 加一乘 a 下标 n 加一， 原式是 a 下标 n 加一除以 n 等于 a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再加上分母是 n 乘括号， n 加一括号分子是一 两边同时乘 n 乘括号， n 加一括号。左边 a 下标 n 加一除以 n 再乘 n 乘括号， n 加一括号，剩下 n 加一乘 a 下标 n 加一。右边第一项 a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再乘 n 乘括号， n 加一括号，剩下 n 乘 a 下标 n。 右边第二项分母是 n 乘括号， n 加一括号分子是一，再乘 n 乘括号， n 加一括号，结果就是一，所以得到 n 加一乘 a 下标 n 加一，等于 n 乘 a， 下标 n 再加一。 这一步很关键。现在令 b 下标 n 等于 n 乘 a 下标 n， 那 么左边 n 加一，乘 a 下标 n 加一，就是 b 下标 n 加一，右边 n 乘 a 下标 n， 就是 b 下标 n， 于是有 b 下标 n 加一，等于 b 下标 n 再加一。 也就是说竖列 b 下标 n， 每往后一项都比前一项多一，所以它是等差。竖列公差是一。再看首项 b 下标一等于一，乘 a 下标一等于三， 因此 n 乘 a 下标 n 是 首项为三，公差为一的等差竖列。顺便可以写出通项 n 乘 a 下标 n 等于三加括号 n 减一，括号乘一，也就是 n 加二。所以 a 下标 n 等于分子是 n 加二，分母是 n。 再看第二问这一问，先不要急着把 a 下标 n 一个一个带进去，因为求导以后，每一项 a 下标 n 乘 x 的 n 次方会变成 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 减一次方。你看，这里正好出现第一问里的 n 乘 a 下标 n， 所以 f 撇 x 等于从 n 等于一到 m， 把 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 减一次方加起来。由第一问 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 加二， 所以 f 撇 x 等于从 n 等于一到 m， 把 n 加二乘 x 的 n 减一次方加起来。把 x 等于负二，代入得到 f 撇在负二处，等于从 n 等于一到 m， 把 n 加二乘负二的 n 减一次方加起来。 接下来为什么要拆开？因为 n 加二里面有一个带 n 的 部分，还有一个长数部分。拆开以后，一个是加权等比求和，一个是普通等比求和，设大写 a 等于一加负，二加负，二加负二的 m 减一次方， 这是首项为一，公比为负二共 m 项的等比数列求和。所以大写 a 等于分子是一，减去负二的 m 次方，分母是三。 再设大写 b 等于一乘负二的零次方，加二乘负二的一次方，加三乘负二的平方，一直加到 m 乘负二的 m 减一次方，也就是带 n 的 那一部分求大写 b 的 时候，咱们用错位相减大写 b 等于一加二乘负二加三乘负二的平方，一直加到 m 乘负二的 m 减一次方。 负二乘大写 b 等于一乘负二加二乘负二的平方，加三乘负二的三次方，一直加到 m 乘负二的 m 次方。现在用大写 b 减去负二乘大写 b， 左边是三乘大写 b， 右边一项一项对其看， 第一项留下一个一，中间从负二的一次方到负二的 m 减一次方，每一项的系数都剩下一。最后负二乘大写 b 里多出来一个 m 乘负二的 m 次方，减的时候要减掉， 所以三乘大写 b 等于大写 a 减 m 乘负二的 m 次方，于是大写 b 等于大写 a 减 m 乘负二的 m 次方，再除以三， 把大写 a 带进去。大写 b 等于分子是一，减去括号，三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，分母是九。 原来的 f 撇在负二处，就是大写 b 加二倍大写 a， 二倍大写 a 等于分子是六，减去六乘负二的 m 次方，分母是九，所以 f 撇在负二处，等于分子是一，减去括号。三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，分母是九，再加上分子是六，减去六乘负二的 m 次方，分母是九。 分子合起来常数部分是一加六等于七，含有负二的 m 次方的部分是减去括号三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，再减去六乘负二的 m 次方，也就是减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方。 所以 f 撇在负二处等于分子是七，减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方，分母是九。 答案汇总一下，第一问，令 b 下标 n 等于 n 乘 a 下标 n， 可以 得到 b 下标 n 加一等于 b 下标 n 再加一。所以 n 乘 a 下标 n 是 首项为三公差为一的等差数列。进一步有， n 乘 a 下标 n 等于 n 加二， a 下标 n 等于分子 n 加二分母 n。 第二问， f 撇在负二处，等于分子是七，减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方分母是九。这题的方法要抓住两点，第一递推式，先乘掉分母，把它变成 n 乘 a 下标 n 的 相邻关系。第二求导后会自然出现 n 乘 a 下标 n。 这正是第一问的作用。 咱们继续看第十七题。题目说在四棱锥 p 到 a、 b、 c、 d 中， p、 a 垂直于底面 a、 b、 c、 d， a、 b 垂直于 ad。 第一问证明平面 p， a、 b 垂直于平面 p、 a、 d。 第二问给出 p a 等于 ab 等于根号下二， bc 等于二， a、 d 等于一，加根号下三。并且点 p、 b、 c、 d 都在求 o 的 球面上，要求先证明点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内，在求直线 a、 c 与 p、 o 所成角的余弦值。 这道题前半部分考空间垂直关系，后半部分用空间直角坐标系找球心，再用向量夹角公式求角。 先看第一问，咱们要证明两个平面垂直，常用办法是在一个平面里找到一条直线，证明它垂直另一个平面。这里要证明平面 p、 a、 d 垂直于平面 p a、 d。 大家注意， a、 d 本来就在平面 p a、 d 里面，所以咱们可以尝试证明 a、 d 垂直于平面 p a、 b、 c、 d。 为什么选 a、 d 呢？因为题目直接给了 a、 b、 c、 d， 又给了 pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d 内，那么 pi 垂直于 a、 d。 现在你看 pa 和 ab 都在平面 p a、 b 内，而且它们交于点 a， 我 们已经有了 a、 d 垂直于 pa， 也有 a、 d 垂直于 ab。 一 条直线如果垂直于一个平面内，两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面，所以 a、 d 垂直于平面 p a、 b。 又因为 a、 d 在 平面 p a、 d 内，一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，所以平面 p a、 d 垂直于平面 p a、 b。 第一问正完 再看第二问。这里有长度，有垂直，有平行，还要找球心和夹角。最直接的方法是建立空间直角坐标系。 为什么可以这么建呢？因为 p、 a 垂直于底面， ab 垂直于 ad， 等于说在 a 点附近有三条两两垂直的方向。咱们就以 a 为圆点，把 ad 所在直线作为 x 轴，把 ab 所在直线作为 y 轴，把 ap 所在直线作为 z 轴，方向取和图示一致。这样 a 的 坐标是零零零。 因为 ab 等于根号下二，所以 b 的 坐标是零，根号下二，零。因为 pa 等于根号下二，所以 p 的 坐标是零零，根号下二。 又因为 bc 平行于 a、 d， 且 bc 等于二，所以 c 是 从 b 沿 x 轴方向走，二，坐标是二，根号下二零。因为 a、 d 等于一，加根号下三，所以 d 的 坐标是一，加根号下三。零零 设球心， o 的 坐标是 x、 y、 z， 由于 p、 b、 c、 d 都在球面上，所以 o 到这四个点的距离相等。咱们先用 o、 b 等于 o、 c。 这样做的好处是， b 和 c 的 y 坐标、 z 坐标一样，只差 x 坐标算起来最干净。 o、 b 的 平方等于 x 的 平方，加上 y 减根号下二的平方，加上 z 的 平方。 o、 c 的 平方等于 x 减二的平方，加上 y 减根号下二的平方，加上 z 的 平方。两边相等后，后面两项完全相同，可以同时去掉剩下 x 的 平方等于 x 减二的平方。 展开右边得到 x 的 平方等于 x 的 平方。减四， x 加四，所以负四， x 加四等于零， x 等于一。 接着用 o、 c 等于 o、 d， 因为现在已经知道 x 等于一，带进去 o、 c 的 平方等于一减二的平方，加上 y 减根号下二的平方，加上 z 的 平方，也就是一加 y 减根号下二的平方加 z 的 平方。 o、 d 的 平方等于一减一减根号下三的平方。加 y 的 平方，加上 z 的 平方，也就是负根号下三的平方。加 y 的 平方加 z 的 平方，所以是三加 y 的 平方，加 z 的 平方， 两边相等，得到一加 y 减根号下二的平方，加 z 的 平方等于三加 y 的 平方加 z 的 平方 两边去掉 z 的 平方，再展开 y 减根号下二的平方，得到一加 y 的 平方，减二倍。根号下二乘 y 加二等于三加 y 的 平方。左边的一加二是三，所以三加 y 的 平方减二倍。根号下二乘 y 等于三加 y 的 平方， 两边同时去掉三和 y 的 平方，得到负二倍。根号下二乘 y 等于零，所以 y 等于零。最后用 o、 p 等于 o、 b 代入， x 等于一， y 等于零， o、 p 的 平方等于一的平方，加零的平方加 z 减根号下二的平方，也就是一加 z 减根号下二的平方。 o、 b 的 平方等于一的平方，加零减根号下二的平方加 z 的 平方，也就是一加二加 z 的 平方等于三加 z 的 平方。 两边相等，得到一加 z， 减根号下二的平方等于三加 z 的 平方。展开左边得到一加 z 的 平方，减二倍。根号下二乘 z 加二等于三加 z 的 平方， 左边的一加二也是三，所以三加 z 的 平方减二倍。根号下二乘 z 等于三加 z 的 平方。两边同时去掉三和 z 的 平方，得到负二倍，根号下二乘 z 等于零，所以 z 等于零。 因此球心 o 的 坐标是一零零，它的 z 坐标是零，说明它就在底面 a、 b、 c、 d 所在的平面内。第一小问正反 在求直线 ac 与 po 所成角的余弦值，两条直线所成角可以转化为它们方向向量夹角的锐角。向量 ac 等于 c 的 坐标减 a 的 坐标，所以向量 ac 是 二根号下二，零。向量 po 等于 o 的 坐标减 p 的 坐标，所以向量 po 是 一零。负根号下二。 先算点击向量 ac 点成像量 po 等于二乘以加根号下二乘零加零乘负，根号下二。结果是二 加角取锐角，所以用点积的绝对值还是二。再算两个向量的长度，向量 a、 c 的 长度等于根号下二的平方，加根号下二的平方加零的平方，也就是根号下四加二等于根号下六。向量 p、 o 的 长度等于根号下一的平方，加零的平方加负根号下二的平方，也就是根号下一加二等于根号下三。 所以直线 ac 与 p o 所成角的余弦值等于二，除以根号下六，乘根号下三分母是根号下十八，也就是三倍。根号下二，二除以三倍。根号下二，化简后等于根号下二，除以三。最后汇总一下，第一问，关键是抓住 a、 d， 因为 a、 d 同时垂直于 pa 和 ab， 而 pa 与 ab 是 平面 p a、 b 内的两条相交直线，所以 a、 d 垂直于平面 p a、 b。 进而推出平面 p a、 b 垂直于平面 p a、 d。 第二问，建立以 a 为圆点的空间直角坐标系，得到 a 是 零零零， b 是 零，根号下二零， p 是 零零。根号下二， c 是 二，根号下二零， d 是 一，加根号下三零零。 设 o 是 x， y、 z 利用 o， b 等于 oc， oc 等于 o， d， o、 p 等于 o， b 依次求出， x 等于一， y 等于零， z 等于零，所以 o 在 底面平面 abcd 内。 最后向量 a、 c 是 二根号下二零。向量 p、 o 是 一，零，负根号下二，点击绝对值是二。两个向量长度分别是根号下六和根号下三。所以直线 a、 c 与 p o 所成角的余弦值是根号下二除以三。 咱们继续看第十八题。题目说，已知椭圆 c、 x 的 平方除以 a 的 平方加 y 的 平方除以 b 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零， 椭圆的离心率为三分之二倍。根号下二，下顶点为 a， 右顶点为 b， 线段 a、 b 的 长度为根号下一。十、第一问，求椭圆 c 的 方程。第二问，已知动点 p 不 在 y 轴上，点二在射线 a p 上，并且满足 a， p 的 长度乘以 a 二的长度等于三。 第一小问，设 p 的 坐标为 m n， 求二的坐标用 m n 表示。第二小问，设 o 为坐标原点 q 是 椭圆 c 上的动点直线 o 二的斜率是直线 o p 的 斜率的三倍，求 p q 的 长度的最大值。 这道题的核心一个是椭圆基本量，一个是用向量参数表示点，最后把斜率条件转化成 p 的 轨迹，再做最值。 先看第一问，咱们为什么先找顶点坐标？因为椭圆已经是标准方程，长轴在 x 轴上，所以下顶点和右顶点可以直接写出来。下顶点 a 是 零负 b， 右顶点 b 是 a 零 线段。 ab 的 长度是根号下一十，所以 ab 的 平方就是 a。 零横向差是 a， 横向差是 b， 所以 ab 的 平方等于 a 的 平方。因此得到第一个关系， a 的 平方加 b 的 平方等于十。 再看离心率，椭圆的离心率等于 c 除以 a， 而 c 的 平方等于 a 的 平方减 b 的 平方。 题目给离心率是三分之二倍。根号下二，也就是二。乘根号下二除以三，所以 c 除以 a 等于二，乘根号下二除以三。两边平方得到 c 的 平方除以 a 的 平方等于九分之八， 也就是 a 的 平方减 b 的 平方再除以 a 的 平方等于九分之八。这一步很关键，它等价于一。减 b 的 平方除以 a 的 平方等于九分之八，所以 b 的 平方除以 a 的 平方等于九分之一。也就是说， b 的 平方等于 a 的 平方除以九。 把它带入刚才的 a 的 平方加 b 的 平方等于十。得到 a 的 平方加 a 的 平方除以九。等于十，也就是九分之十个。 a 的 平方等于十，所以 a 的 平方等于九，于是 b 的 平方等于一。所以椭圆 c 的 方程就是 x 的 平方除以九加 y 的 平方等于一。 接着看第二问，由第一问可知下顶点 a 是 零负一。先做第一小问，题目说二在射线 a p 上，这说明二可以用 a 到 p 的 方向来表示。咱们设二等于 a 加 lambda 倍的 p 减 a， 其中 lambda 大 于等于零， p 的 坐标是 m n， a 的 坐标是零负一，所以向量 a p 是 m， n 加一 a p 长度的平方就是 m 的 平方加 n 加一的平方。为了书写方便，设 s 等于 m 的 平方加 n 加一的平方。 因为二等于 a 加 lama 倍 ap， 所以 a 二的长度等于 lama 倍 ap 的 长度。题目给 ap 的 长度乘以 a， 二的长度等于三，也就是 ap 的 长度乘以 lama 倍。 ap 的 长度等于三， 所以 lambd 乘以 ap 长度的平方等于三，也就是 lambd 乘以 s 等于三，因此 lambd 等于三，除以 s 把 lambd 带回去。二的横坐标等于零加三除以 s 乘以 m， 也就是三。 m 除以 m 的 平方，加 n 加一的平方， 二的纵坐标等于负一加三除以 s 乘以 n 加一，也就是负一加三倍。 n 加一除以 m 的 平方，加 n 加一的平方，所以二的坐标是三。 m 除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。逗号负一加三倍。 n 加一除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。 再看第二小问，因为 p 不 在 y 轴上，所以 m 不 等于零。直线 o， p 的 斜率可以写成 n 除以 m， 直线 o 二的斜率需要用刚才二的坐标来算。二的横坐标是三 m 除以 s， 二的纵坐标是负一加三倍， n 加一除以 s， 所以 直线 o 二的斜率等于负一加三倍， n 加一除以 s， 再除以三 m。 题目说直线 o 二的斜率是直线 o p 的 斜率的三倍，所以负 s 加三倍， n 加一再除以三， m 等于三， n 除以 m。 因为 m 不 等于零，咱们两边同时乘以三 m， 得到负 s 加三倍， n 加一等于九 n 把右边移过来，得到负 s 加三倍， n 加三减九， n 等于零，也就是负 s 减六， n 加三等于零， 所以 s 加六， n 减三等于零。再把 s 换回 m 的 平方，加 n 加一的平方，得到 m 的 平方加 n 加一的平方加六， n 减三等于零。把 n 加一的平方展开，是 n 的 平方加二， n 加一， 所以得到 m 的 平方加 n 加一加六， n 减三等于零。配方 n 的 平方加八， n 等于 n 加四的平方减十六。 所以方程变成 m 的 平方加 n 加四的平方减十八等于零，也就是 m 的 平方加 n 加四的平方等于十八。 这说明 p 在 一个圆上，圆心 s 是 零，负四，半径是根号下一，十八，也就是三倍。根号下二。现在要求 p， q 的 最大值。 大家注意， q 在 椭圆上动， p 在 这个圆上动。对固定的 q 来看，圆上离 q 最远的点一定在从 q 指向圆心反方向的那条直线上。所以对固定的 q p， q 的 最大值等于 s， q 的 长度加圆的半径，圆的半径是三倍。根号下二。 接下来只要让 s q 的 长度最大，设 q 的 坐标为 x， y， 因为 q 在 椭圆上，所以 x 的 平方除以九加 y 的 平方等于一。 因此 x 的 平方等于九倍一减 y 的 平方， s 是 零。负四，所以 sq 的 平方等于 x 的 平方。加 y 加四的平方。把 x 的 平方带进去，得到 sq 的 平方等于九倍一减 y 的 平方。加 y 加四的平方。展开一下， 九倍一减 y 的 平方是九减九 y 的 平方。 y 加四的平方是 y 的 平方。加八， y 加十六，相加得到二十五加八， y 减八， y 的 平方。 为了看最大值，咱们配方二十五加八， y 减八， y 的 平方等于二十七减八倍， y 减二分之一的平方。因为平方向最小是零，所以当 y 等于二分之一时， s q 的 平方最大，最大是二十七，所以 s q 的 最大值是根号下二十七，也就是三倍，根号下二加三 倍，根号下三。并且 y 等于二分之一在椭圆上可以取到的，因此 p q 的 最大值等于三倍，括号，根号下二，加根号下三。 最后汇总一下，第一问，椭圆 c 的 方程是 x 的 平方，除以九加 y 的 平方等于一。第二问第一小问二的坐标是三， m 除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。逗号负一加三倍， n 加一除以 m 的 平方加 n 加一的平方。 第二问，第二小问， p q 的 长度最大值是三倍，括号，根号下二，加根号下三。这道题的方法线很清楚，第一步，用顶点距离和离心率求 a 的 平方， b 的 平方。 第二步，因为二在射线 a p 上，所以用参数 l d 表示二。第三步，把斜率条件代入，得到 p 的 轨迹是圆，最后把动点 p 到定点， q 的 最大距离转化成圆心到 q 的 距离加半径，再在椭圆上求 s q 的 最大值。关键是每一步都先把几何条件翻译成坐标关系，后面的计算就顺了， 咱们继续看第十九题。第一问要在几何条件翻译成坐标关系，后面的计算就顺了，咱们继续看第一问，要在零到四分之派这个 b 区间上求五倍余弦 x 减五 x 的 最大值。 第二问是一个余弦函数的存在性证明。第三问要给五倍余弦 x 减余弦五 x 加上一个平移量 f， 再让它对所有实数 x 都小于等于 b， 求 b 的 最小值。 大家注意，这道题的核心不是单纯算三角函数，而是把五倍角公式、区间长度以及最大值的下界和渠道连在一起用。先看第一问， 咱们为什么要还原？因为式子里同时有余弦 x 和余弦五 x， 而五倍角公式可以把余弦五 x 全部写成余弦 x 的 多项式。这样，问题就从三角函数最大值变成一个一元函数在 b 区间上的最大值，令 t 等于余弦 x。 当 x 从零到四分之派变化时，余弦 x 从一降到二分之根号下二，所以 t 属于 b 区间，二分之根号下二到一。 五倍角公式是，余弦五 x 等于十六倍余弦 x 的 五次方，减二十倍余弦 x 的 三次方加五倍余弦 x， 所以 五倍余弦 x 减余弦五 x 就 等于五 t 减去括号里十六 t 的 五次方，减二十 t 的 三次方加五 t， 把括号打开，五 t 和负五 t 抵消，剩下二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。咱们设 g t 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。 接下来求到 g 撇 t 等于六十 t 的 平方，减八十 t 的 四次方。提取二十 t 的 平方，得到二十 t 的 平方，乘以三减四 t 的 平方。 在这个区间里， t 是 正数，所以导数为零。只需要看三减四， t 的 平方等于零，于是 t 的 平方等于四分之三， t 等于二分之根号下三。这个点在二分之根号下二到一之间，所以要比较三个值，左端点，临界点，右端点。 当 t 等于二分之根号下二时 gt。 等于三倍根号下二，当 t 等于一时， gt。 等于二十减十六，也就是四。当 t 等于二分之根号下三时，二十 t 的 三次方减十六， t 的 五次方等于三倍根号下三。三个数比较，三倍根号下三最大，所以第一问的最大值是三倍根号下三， 再看第二问。这一问要证明给定 theta 在 零到派之间， a 是 任意实数，一定能在 a 减 theta 到 a 加 theta 这个区间里找到一个 y， 使得余弦 y 小 于等于余弦 theta。 咱们先想为什么要从反面证明，因为存在一个 y 不好直接找，但它的反面很清楚，如果找不到这样的 y， 那 就是整个区间里的每一个 y 都满足于弦 y 大 于于弦 theta。 关键是要看余弦 y 大 于余弦 c 叉的点都在哪里。因为 c 叉在零到派之间，在每一个周期里，余弦 y 大 于余弦 c 叉，恰好发生在 y 属于二 k 派减 c 叉到二 k 派加 c 叉的开区间里， 这里 k 是 整数。也就是说，所有让余弦 y 大 于余弦 c 叉的点分布在一段一段开区间中，每一段的长度都是二 c 叉， 现在反射不存在 y 属于 a 减 c 到 a 加 c， 使得余弦 y 小 于等于余弦 c。 那 就说明对于 b 区间 a 减 c 到 a 加 c 里的所有 y 都有余弦 y 大 于余弦 c， 所以 这个 b 区间必须完全落在某一个开区间二 k 派减 c 到二 k 派加 c 派加 c 里面。 大家注意，这一步很关键，因为 b 区间 a 减 c 到 a 加 c 派加 c， 它的长度也是二 c， 它 一个长度为二 cta 的 b 区间不可能完全包含在一个同样长度为二 cta 的 开区间里面，要完全放进去外面的开区间长度必须更大才行，这就产生矛盾，所以反射不成立，于是一定存在 y 属于 a 减 cta 到 a 加 cta， 使得余弦 y 小 于等于余弦 cta。 最后看第三问，题目说设 b 是 实数，如果存在某个 f， 使得五倍余弦 x 减余弦括号五 x 加 f。 对 所有实数 x 都小于等于 b， 求 b 的 最小值。咱们先证明 b 不 能小于三倍。根号下三。 为什么要用第二问？因为第三问里面有余弦括号五 x 加 f。 第二问刚好可以控制一个形容余弦 y 的 量，而且 y 可以 落在 f 附近的一个区间里， 任取一个 f。 在 第二问中，令 a 等于 f， c 等于六分之五派。因为六分之五派在零到派之间，所以可以使用第二问。于是存在 y 属于 f 减六分之五派到 f 加六分之五派，使得余弦 y 小 于等于余弦六分之五派，而余弦六分之五派等于负二分之根号下三。所以余弦 y 小 于等于负二分之根号下三。 接下来把 y 和五 x 加 f 对 上，令 x 等于 y 减 f， 再除以五。因为 y 在 f 减六分之五派到 f 加六分之五派之间，所以 y 减 f 在 负六分之五派到六分之五派之间， 再除以五，得到 x 属于负六分之派到六分之派。在这个区间里，余弦 x 大 于等于二分之根号下三。并且按照 x 的 定义，五 x 加 f 等于五倍余弦，括号五 x 减余弦 y。 刚才已经知道，余弦 x 大 于等于二分之根号下三，余弦 y 小 于等于负二分之根号下三。因此，五倍余弦 x 减余弦 y 大 于等于五，乘二分之根号下三，再加二分之根号下三， 这个值等于三倍根号下三。这说明什么？无论 f 怎么取，总能找到一个 x， 让这个表达式至少达到三倍根号下三。所以，如果他要对所有实数 x 都小于等于 b， 那 b 必须大于等于三倍根号下三。 下面还要证明三倍根号下三真的能做到取 f 等于零。这时表达式变成五倍余弦 x 减余弦五 x 令 t 等于余弦 x。 因为 x 是 任意实数，所以 t 属于 b 区间负一到一， 仍然用五倍角公式。五倍余弦 x 减余弦五， x 等于二十 t 的 三次方减十六 t 的 五次方。当 t 小 于等于零时，二十 t 的 三次方减十六 t 的 五次方，可以写成四 t 的 三次方乘以五减四 t 的 平方， 这里 t 的 三次方小于等于零，而五减四 t 的 平方大于等于一，所以整个乘积小于等于零，当然就小于等于三倍根号下三。 当 t 属于零到一时，咱们看函数 g， t 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方，它的导数是二十 t 的 平方，乘以三减四， t 的 平方，导数为零时， t 等于二分之根号下三。 端点和这个临界点比较，最大值还是三倍根号下三。所以对所有实数 x 都有五倍余弦， x 减余弦五 x 小 于等于三倍根号下三。这说明当 f 等于零时， b 取三倍根号下三就可以满足条件。 前面证明 b 不 能更小，这里证明 b 等于三倍根号下三可以取到。所以第三问中 b 的 最小值是三倍根号下三。 咱们把答案汇总一下，第一问，五倍余弦 x 减余弦五 x 在 b 区间零到四分之派上的最大值是三倍根号下三。 第二问，利用余弦 y 大 于余弦 theta， 对 应的开区间长度是二 theta， 而题目给出的 b 区间长度也是二 theta 反射整个 b 区间都落在同长度开区间里，会产生矛盾，所以一定存在所需的 y。 第三问，先用第二问证明任何费下表达式的全区上界至少要达到三倍根号下三，再取非等于零。用第一问同样的换元和求导方法证明三倍根号下三确实可以作为统一上界，因此 b 的 最小值是三倍根号下三。 这道题最关键的两步，一个是把余弦五 x 用五倍角公式变成关于余弦 x 的 多项式。另一个是第三问里用第二问制造出合适的 y， 再令五 x 加 f 等于 y， 前者负责算最大值，后者负责证明这个最大值就是不可突破的下界。

  218杨老师数学精讲
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  2025年高考数学1卷单选题 #高中数学基础 #高中数学 #高考数学真题

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  好，我们来看一下二五年高考数学一卷的这个，呃，选择题。呃，首先来看第一题，这个的虚部，虚部就给它化解， i 加五， i 翻， i 翻等于负一，那就是负五加 i， 虚部就是 i 前面的系数了。 这个是实部，这是虚部，他要问的是虚部一定要看清楚题目，虚部呢？就是一了。第二题， c u a c u a 就是 a 的 补集，就是在 u 里，但跟 a 不 相交， 在 u u 是 八个元素， a 是 三个元素，那么它的元素补集的元素是多少？五个元素了。 第三题，嗯，三曲线的虚轴长，虚轴是 b 为实轴的根号七倍，那么三曲线的离心率，三曲线离心率等于多少？ 是不是等于 a 分 之 c， c 等于多少？ a 方加 b 方 开根号除以 a， 那 就带进去了。他说是虚周长为十轴长的根号七倍 a 乘以根号七，十轴长的根号七倍，等于虚周长等于 b 了，那带进去，根号 a 发 加上七 a 方除以个 a 根号八了二倍根号啊。好，继续看第四题。 点， a 是 贪镜它 x 的 一个，贪镜它这个 x 的 一个对称点，那么我们知道贪镜它 x 这个图像 探进的 x 图像其实是，呃，这样一个东西， 这样一个东西，这样一个东西，对吧？ 它是这样一个渐近的吗？渐近的一个线就是在二分之 k 派的时候是对称的吗？它既关于这个对称，它也在这里，也是对称，这里都是它的对称中心，既在零点对称，也在这个渐近线对称。所以参径的大 x 贪镜台 a 大 x， 它的对称中心就是二分之 k 派，那么这个对称中心大 x 等于小 x 减三分之派嘛，那么它的对称中心就是三分之派加上二分之 k 派嘛。 那求 a 的 最小值， a 又是大于零的，那最小值加 k 等于零是取倒了， 就是三分之派啊。这个题很简单，对称中心嘛，你直接看就好了。三分之派能不能满足？把分三分之派带进去，正好看见他零，他是在零点的时候也是对称的了，再接近线也是对称的，那他就是最小的呀。你二分之派带进去 啊，你把这个带进去反而更大了，是不是越来越大？直接，其实都不用列什么式子，直接看就能看出来。 第五题， f x 是 偶函数，周期为二，偶函数周期为二， 其实马上就得到了。 f x 等于 f x 加二嘛，对吧？然后偶函数是 f x 等于 f 负 x， 它现在要求什么？ f 负四分之三， f 负四分之三是因为它是偶函数嘛，它其实就是 f 四分之三， 它现在二到三的表达是告诉你了。那么要求 f 四分之三，那 f 四分之三又等于什么的？我们知道它是周期函数嘞，是不是？ f 二加四分之三，对吧？二加四分之三嘛，就可以代入这个表达式了。因为它是二到三之间嘛，它等于五减去二乘一个二加四分之三， 对吧？那就等于五减四啊，减去二分之三，对吧？就等于负二分之一了，不要算错就好了，就是五减四，减去二分之三，一减二分之三，负二分之一 二分之一。第六题，帆船比赛中，运动员可以借助这个测出这个东西。这都是废话。到这里都是废话。 好，那是风，风速对应的向量是真风风速对应向量与船型风速，那就是是风 是风项链，是真风项链 对与唇形风束 唇形 对应的项链和其中唇形项链对应的项链。唇形和唇束这个方向相反了，大小相等了，对吧？ 那这个图里给了这个传数吗？这里有了呀，那么这个传形是多少？就是这样了，大小相等，方向相反吗？ 那么这个红的就是传形了。好，图一给了这么一个表。 好，已知这个这个图这个东西和这个图二，那么折折针缝为，那求这个针缝。 正风有这个式子啊，是风减去船形，是风在这里减去船形就是正风，那就这个东西了，是吧？ 那求这个东西，他说这个中风是多少？那风速的大小和向量大小又相等的，那风速这里正好是二。二，那这个模是多少？二被根号二了，二乘一点四了，二点八，正好是这个清风嘛。 读题花点时间，我们把关键信息找到就好了。 好，第七题，圆，这么个圆，圆心是 这个零，负二，半径是 r， 这个直线是根号三 x 减去 y 加二等于零， 他说这个语言上的点，语言上点到它距离为一的点，而且仅有两个。 好，那么算一下这个圆心到这个直线的距离，那假如你看啊，画个小的十一坨，假如这个直线是这样的。好，假如圆心到直线的距离，先求一下，因为圆上，比如说圆上这个点到它为一，我求先求一下这个距离， 零乘以根号三是零，这个是负二吧，负二乘以负一是二， 再加个二根号，它的平方是三，加负一的平方就等于二了，就是圆心到这个直线的距离是二，对吧？然后 半，然后这个，呃，圆上的点到它距离为假，我假如最边的点到它距离为一， 那么这个圆，假如这个半径是一，那么圆上的点到这个直线的距离是不是只有一个点？就这么一个点吗？对吧？就这一个点。好，那假如这个圆缩小一点， 也就是这个半径比一小了，那这个圆上的点到它还有没有一了？都没有一了，这里就没，不存在点了，所以不能缩小，所以这个半径是一定是大于一的。 半径是一定大于一的，那假如这个圆稍微大一点， 因为半径大一点的话，这个半径大于一的话，这个半径大于。假如半径大一点，点一点一，那么这里到这里只有零点九了，对吧？那么边边到他肯定是有两个点了，而且尤其只有这两个点，对吧？ 那说明大一点可以了，那大一点可以。哎，这个半径是要大于一的，那零到一肯定不对了， 这个可以保留三到这五圈。我明明知道大于一大于，只要我这个圆大一点点，我都能找到两个点，所以他都不包含这个大于一的，他也更加不包含了，就直接选 b 就 好了，不要再去画了。 就是，我知道一正好是临界条件嘛，对吧？一临界条件只有一个点嘛，我稍微大一点，这两个点就出来了，所以肯定是大于一的嘛。 好，第八题，第八题是实数，这个满足这个条件，求这三个的关系的大小。 那么面对这种连等式啊， 我们先把它先写下五，加上五 z， 假设它等于 t 好 不好，对吧？那就减一下，那么 x 等于多少？二的负 t 反了， 二的负 t 二减 t 啊，不对不对， 这个二移过去就 t 减二，二的 t 减二了。因为洛哥 e 为底， b 的 c 次反就。 呃， a 的 a 的 平方就等于 c 嘛，所以直接二为底， t 减二， y 等于三， t 减三， z 等于五， t 减五嘛， 对吧？好，这个题的话，他要比较这三个关系是不可能的事，不可能就是不可能出现哪种情况，他其实就是三条曲线了， 就是就是这么三条曲线，我们看看这三条曲线的一个位置关系就好了。其实这个题目也好解的。嗯，因为 t 是 属于 r 的 嘛， 因为 log 可以， log 函数在 y 这个方向可以随便取的嘛。那么我们当这个 d t 小 于零的时候， 那二的负二分之一，三的负三分之一，五的负五分之一，有没有发现啊？ 就是 t 等于零的时候啊，他这个越来越小，就是就是这个分母啊，就是这个五的负五，没有分之一 五的负五的话，呃，就是五的五分之一嘛。那么五的五肯定大于三得三，大于二得二了， 你无论 t 怎么取，我只要 t 是 小于零的负数，我晚过去，我这个五五大于三大于二，然后我这个 m 还要大， m 也大了，对吧？ 我不仅这个下底数大于一，我这个 m 也大于我，如果 t 是 小于零的话，这个 m 也是。呃， 因为我们要取倒数的嘛，我们这个 m 是 不是也越来越大了？就是分母会越来越大，分母越大，这个分子越分，分数值就越小了，那么它始终会出现一个什么情况， x 要大于 y 大 于 z， 对 吧？就是在提取负数的时候， 或者是取零的时候，对吧？ 对吧？那么 t 到正无穷的时候呢？那么比如说你 t 在 一一的情况下，一其实它还是这个密式，就是就是密 m 还是小于零的，我们找一个 m 大 于零的数，比如说 t 等于二大于零的数， t 等于二呢？但 x 已经变成了一个大于一的数了，大于等于一的数了， y 呢？还是个分数，还是个小于一的数？ z 呢？还是个小于一的数，对吧？ 那么由此我们可以看出这这个函数是什么个特点？就是 x 呢，心很大很大很大很大很大 很大很大。在这个大于大于零的大于 t 等于二的时候，大于二的时候，它还是很大很大很大很大好，当 t 等于正无穷的时候， t 等于正无穷么？减二减三减五是不是都可以忽略的？那我肯定指数嘛，肯定是五五这个最大了，我们肯定 z 最大了。好， 那那么我们就知道这个 z 函数啊，它心很小很小很小，好到一个点，突然开始指数型增长，那么三也是一样，马马上超过二，变成指数型增长。好，那么已知这个 a 肯定是，呃，存 a 肯定是存在的， a 是 对的了， b x 大 于 z， x 大 于 z， 就是 二的这个增长呀，已经大于五了，那么它还要大于三， 那怎么可能呢？就是二这个增长，他是先先，虽然很慢，但是后面突然冲上去了，当你这个二，因为在前面，我还是当这个 t 比较小的时候啊，我还是二说了算的嘞，对吧？我二说了算，二既然比五大， 那肯定也比三大，这没问，这没问题，那么五会比三大吗？就是当这个二还是最大的时候， 那三三肯定是大于五的，对吧？因为三的增长，嗯，在这个二还是领先的时候，他肯定后面，后面还在领先，然后直到某一个值的时候才会变大。 所以这个 b 其实是错的。先先代定一下，那么 c 的 话是 y， y 是 三，三比二大，然后比五大，这个有可能的，因为三后面慢慢追上来了，好到三和二的这个临界值的时候，好，这个二 三慢慢去，慢慢追上来了，追上二了。当三追上二的时候，这个五你其实还是在慢慢爬升的过程呢，这个五还是在最小的过程，那除非他他在某一点突然爆发的时候才是最大的，所以三大于二大于五是有可能的。好看，那个 d、 d 呢？是三大于五大于二，这个也有可能啊，因为五追下来的时候，那么三也可也有可能大于五的呀， 因为二的二到后期这个已经开始乏力了，就是二慢慢爬，慢慢爬，他开始乏力了。那么三，因为一开始是这个二在表演嘛？一开始是二在表演， 一开始是二的，二的天下，好，二的天下，呃，然后慢慢被三追赶， 被三追，然后再慢慢被五追，对吧？那么它一定会出现一种情况，当这个三追上了二的时候，但是五还没有追上二，那么这种情况也就是 y 和 x， z 也就是我们 c 选项吗？那么还有一种情况呢，那么三慢慢追上来了， 好，五也追上来了，因为我三还还是一段领先的了。你二强，三强再五强了，我二强的话，呃，我，我三强的话，这个是 y 选项吗？我三强的话，我三很强了，这个时候已经三已经超过二了。 好，那你五也追上来了，因为五也在慢慢追啊。好，五也超越二了，现在是二是最末位了，然后但是这一整段还是三在领先，三在领跑，对吧？在这种情况下， d 也是有可能的，唯独这个 b 是 不可能的。 b 的 话就是 x 是 二。好，二还处在领先的位置呢，他说他这个五已经追上来了， 然后三五追的比三还快。那是不可能的，因为我二二先领先一段，三再领先一段，然后五再超越式的领先。那你现在还是二在领先，五已经追上来了，五已经追到三了，那我这个三这个领先真的被你忽略了， 你当二还在领先的时候，下一个一定是三领先，所以二肯定大于三要大于五， x 大 于 y 大 于 z 是 有可能的，所以维度不可能就是这个 b， 这个能理解吧？这样算去，这样计算，呃，会快一点。你当然你取特值也可以，你找，你找找，某个值你去取， 不断的去试，这个题也能试出来，但你这样思维的话，还是以我这种思维会快一点把这个题解出来。

  80有解数学
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  从数学68分到上岸清华，25高考山东文科最高分逆袭的笔记方法 #学霸秘籍 #高考 #2025开学季 #学习

  9513学霸来了
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  江西数学满分学霸，解读文科各科核心方法 #高考 #学习 #学霸秘籍#2025开学季

  39.1万学霸Talk
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  文科生数学考个90分很难吗？ 在很多同学和家长眼里数学好难，难于上青天，认为文科生天生数学就是不行。#高三家长必看 #江西高考 #2025高考 #升学规划 #江西高考分数线

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  在很多同学和家长眼里，数学好难啊，难于上青天，认为文科生天生数学就是不行。但是我从事教学工作十几年，很负责任的跟你说，只要你孩子不是智商问题，只要他还是个正常的高中生，数学从四十分到九十分的路径是完全标准化的。 为什么你孩子数学会一直在四五十分徘徊？因为他一直在做低效努力。今天文老师教两个核心策略，今天晚上回家，你就让孩子这样去做 第一件事情，死磕选填区的四十分。高考数学前十二道选择加四道填空，一共八十分，这是黄金分。很多四五十分的孩子啊，这里就能丢个三四十分， 这简直是漏财。从今天起，让孩子每天必须做一套选填限时训练，规定四十分钟做完，正确率必须达到百分之百。 记住，选错了超过三个就没有资格充九十。第二件事就是打造自己专属的模型库，记住，不是题海库，像三角函数呀，数列呀，立体几何呀，概率统计，这四道大题是送财童子，题型非常固定，考来考去就那几个模型， 所以不要让孩子盲目刷题。这四类题的近五年高考真题拿出来，归纳母题模型，把解析步骤像背课文一样背下来， 只要这四个大题不扣大分，加上选填的八十分、九十分，这就到手了。至于最后那几道解析几何和导数， 对于文科生来说，得之我幸，失之我命。写出第一问公式，拿个三四分，任务完成。 家长们，数学是文科生的生命线，不要用蛮力去撞墙，要用巧劲去开锁。要知道同是中分段的文科生，能在数学上和竞争对手拉开四五十分是个什么概念吗？ 那是从双非二本到二幺幺一本层级上的飞跃。我是只讲文科的文老师，关注我，迎高考。

  28文老师·江西升学
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  2025高考数学，出题人在最后给万千考生留下一个浪漫彩蛋，难怪大家出考场脸蛋红彤彤的#高考数学 #2025高考 #导数

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  二零二五高考数学出题人在最后给万千考生留下一个浪漫彩蛋，难怪大家出考场脸蛋红通通的。

  29.7万高校之星（橱窗提分版）
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  2025年高考数学新高考1卷我只能考130 #数学 #高中 #高考 #高中数学 #高考数学

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  这套试卷我只能考一百三十分啊！很多同学都喜欢来问同一个问题，老师，如果你去考二零二五年的高考数学的一卷，你能不能考一百四呢？不好意思，这一次只能考一百三啊，我们来看一下啊！负数指数题、集合指数题、离心率指数题、三角函数指数题，函数的周期性啊。指数题，这个题是一个计算题。指数题，好，这个题是我们的直线和圆 指数题，这个题是我们的抛物线指数题，这个题是解三角形，中档题， 好。导函数基础题，数列基础题，这个是数学希望基础题。十五题，这个题是我们的独立性检验基础题。十六题，这个题是我们的这个数列基础题，这个题是我们的这个立体几何常规中档题啊。 十八题，这个题是我们的椭圆，这个题是一个难题。这一套试卷最难的一个题是最后这个题，三角函数是一个新定义的高难题啊。

  202强哥数学非常厉害
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  高考数学概率大题，5分钟拿下！ 这道改编自2025年全国二卷的概率统计大题，看着像复杂的递推数列，其实只要把具体数字代进去，把状态拆解清楚，它就是个纸老虎！杨老师带你通过具体局数写出概率表达式，再利用对称性巧妙解决分式方程。遇到复杂的概率差值比值，先提取公因式化简，再利用对称性秒杀，千万不要硬算。快来一起学习，评论区还有同类思考题等你来挑战！
  #高考数学#概率统计#数学解题技巧#高中数学#冲刺高考

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  如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路 这是一道改编自二零二五年全国二卷第十九题的概率统计压轴题，想在高考冲刺阶段拔高分数，这类地推不等式与概率结合的题目，咱们最好在考场上快速拿下。 这题最容易踩坑的地方就是很多同学搞不懂打完几个球后领先两分到底对应什么具体比分一上来就列错算式。咱们先来完整读题， 甲乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得一分，负者得零分，甲赢得每个球的概率为 p， 以赢得每个球的概率为 q， 其中 p 大 于二分之一且小于一， p 加 q 等于一，且各球的胜负相互独立 对正整数 k 大 于等于二，即 p 下标 k 为打完 k 个球后，甲比乙至少多得两分的概率， q 下标 k 为乙比甲至少多得两分的概率。 第一问，用 p 表示 p 下标三和 p 下标四。第二问，若分子是 p 下标四，减去 p 下标三，分母是 q 下标四减去 q 下标三，这个分式的值等于九，求 p 的 值。 这题咱们的大方向很明确，先通过列局法把前几局的具体比分情况找出来，算出具体的概率，再利用题目隐藏的对称性去化解第二问的比例式。最后解方程， 咱们先来看第一问，要求用 p 表示 p 下标三和 p 下标四。很多同学在这里会犯错，觉得至少多得两分，情况很复杂，其实咱们静下心来，把具体的局数拆开看就很简单。其实咱们静下心来把具体的局数拆开看就很简单了。先来算 p 下标三，也就是打完三个球后，假比乙至少多得两分的概率。 大家想想，一共就打三个球，总分是三分，甲要比乙至少多两分，比分只能是几比几，只能是三比零，对吧？如果是二比一，甲只多了一分，不够两分。所以打完三个球，甲领先至少两分的唯一情况就是甲连赢三局， 接下来怎么算概率呢？因为假赢每一局的概率都是屁，而且各局独立，所以连赢三局的概率就是屁乘以屁，再乘以屁，也就是屁的三次方。这样咱们就得到了屁下标三等于屁的三次方。 接下来算屁下标四，也就是打完四个球后，甲比乙至少多得两分，四个球总分是四分，甲要领先至少两分，比分可以是几比几呢？有两种情况，一种是甲四比零零封乙，另一种是甲三比一战胜乙，如果是二比二平局，那就没有领先了。 咱们把这两种情况的概率分别算出来。第一种情况，甲四比零赢，概率很简单，就是四个屁相乘等于屁的四次方。 第二种情况，甲三比一赢。这里有个非常重要的技巧，很多同学会漏掉，千万别忘了乘组合数。四局里面甲赢了三局，到底是哪三局呢？咱们需要从四局里面挑三局，也就是组合数 c 四三， 甲赢三局，概率是 p 的 三次方，乙赢一局，概率是 q， 所以 这种情况的概率是组合数 c 四三乘以 p 的 三次方乘以 q。 c 四三等于四，也就是四倍的 p 的 三次方乘以 q。 因为题目要求全用 p 来表示，咱们要把 q 换掉。已知 p 加 q 等于一，所以 q 就 等于一减去 p。 咱们把一减去 p 带进去，就变成了四倍的 p 的 三次方，乘以括号一减去 p。 现在咱们把这两种情况的概率加起来， p 下标四就等于 p 的 四次方，加上四倍的 p 的 三次方，乘以括号一减去 p。 这步很关键，咱们不能把式子扔在这里，必须把它化简。大家跟着我一起拆括号后面的四倍的 p 的 三次方乘以一，就是四倍的 p 的 三次方。 四倍的 p 的 三次方乘以负 p， 就是 减去四倍的 p 的 四次方。现在式子变成了 p 的 四次方，加上四倍的 p 的 三次方，减去四倍的 p 的 四次方。咱们来合并同类项最前面的一个 p 的 四次方，减去最后的四倍的 p 的 四次方，等于负的三倍的 p 的 四次方。 所以最后化简得到 p 下标四等于四倍的 p 的 三次方，减去三倍的 p 的 四次方。第一问，咱们就完美拿下了。 接下来咱们看第二问，题目给了一个等式，分子是 p 下标四减去 p 下标三，分母是 q 下标四减去 q 下标三，他俩的商等于九，要求 p 的 值。 既然等式左边有四个量，咱们就先把它们算出来。刚才第一问，咱们已经求出了 p 下标三和 p 下标四，咱们先算算分子，也就是 p 下标四减去 p 下标三，看看等于什么。 把刚才的结果带进去，就是括号四倍的 p 的 三次方减去三倍的 p 的 四次方，再减去 p 的 三次方。合并同类项，四倍的 p 的 三次方，减去一个 p 的 三次方，还剩三个 p 的 三次方。所以分子化简后就是三倍的 p 的 三次方，减去三倍的 p 的 四次方。 接下来我们要提取共因式，把三倍的 p 的 三次方提出来，括号里就剩下了一减去 p。 注意这里一减去 p 是 什么？因为题目已知 p 加 q 等于一，所以一减去 p 其实就是 q 啊，所以分子最后可以写成三倍的 p 的 三次方乘以 q。 好，分子搞定了，咱们再来看分母，分母是 q 下标四，减去 q 下标三。这里咱们不需要再像第一问那样傻乎乎的重新算一遍乙的概率了。大家观察一下，甲和乙的条件是完全对称的，甲赢的概率是 p， 乙赢的概率是 q， 那 么乙领先甲的情况计算过程一模一样，只需要把 p 和 q 互换位置就可以了。 所以根据对称性，咱们直接把刚才分子的结果里 p 和 q 换个位置。分子是三倍的 p 的 三次方乘以 q， 那 么分母就应该是三倍的 q 的 三次方乘以 p。 你 看，利用对称性，咱们直接省去了一大段计算过程，这就是考场上抢分和避坑的关键。 现在咱们把分子和分母都带入题目，给了等式，等式左边就变成了分子是三倍的 p 的 三次方乘以 p。 咱们来约分化简。分子分母都有常数三，直接约掉。 分子有一个 q， 分 母有 q 的 三次方，上下约掉一个 q， 分 母还剩 q 的 平方。分子有 p 的 三次方，分母有一个 p， 上下约掉一个 p， 分 子还剩 p 的 平方。 经过这么一约分等式，左边就变得非常清爽了，只剩下分子是 p 的 平方，分母是 q 的 平方，也就是 p 的 平方除以 q 的 平方。 题目告诉我们，这个比值等于九，也就是说 p 除以 q 的 整体平方等于九。那么 p 除以 q 等于几呢？因为概率 p 和 q 都是正数，所以它们的商肯定也是正数，咱们直接开平方得到 p 除以 q 等于三，也就是说 p 等于三倍的 q。 最后一步，咱们别忘了题目最开始给的隐藏条件， p 加 q 等于一， 咱们把 p 等于三倍的 q 带入这个条件，就变成了三倍的 q， 加上 q 等于一，也就是四倍的 q 等于一，算出来 q 等于四分之一。 既然 q 是 四分之一，那 p 就 等于一，减去四分之一，结果就是四分之三。算完之后，咱们再回头看一眼题目条件，题目要求 p 大 于二分之一且小于一，咱们算出来的四分之三刚好在这个范围内，说明我们的答案没问题， 这道题的最终答案 p 的 值就是四分之三。咱们来总结一下，这道题真正考验大家的不是多么高深的概率公式，而是你能不能准确的把文字描述翻译成具体的比分情况。 遇到这种比赛积分问题，记住一个判断标准，总局数一定，分差确定，那就直接每举具体的比分，而且千万别漏掉组合数。另外，在处理复杂的概率比值时，一定要善于利用题目中的对称性去化简，这能大大提高计算速度。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 最后留一道同类思考题给大家。甲乙两人进行射击比赛，每次射击甲击中目标的概率为三分之一，两人射击相互独立，如果打完五次之后 记假击中次数比已击中次数至少多三次的概率为大写屁。请问这个大写屁应该怎么用组合数和概率算出来呢？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。

  167杨老师通关数学
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  07:52

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  如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是一道改编自二零二五年全国二卷第十九题的概率统计压轴题。很多同学一看到这种比赛得分的地推字母，心里就发怵，想冲一百分以上这类题，咱们必须在五分钟内稳稳拿下他真正考的不是复杂的数列地推，而是要你读懂每一局比分背后的二项分布。 题目是这样的，甲乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得一分，负者得零分，甲赢得每个球的概率为 p， 乙赢得每个球的概率为 q， 其中 p 大 于二分之一且小于一， p 加 q 等于一，且各球的胜负相互独立 对正。整数 k 大 于等于二，即 p 下标 k 为打完 k 个球后，甲比乙至少多得两分的概率。 q 下标 k 为乙比甲至少多得两分的概率。 第一问，用 p 表示 p 下标三和 p 下标四。第二问，若 p 下标四减去 p 下标三的叉，除以 q 下标四减去 q 下标三的叉等于九，求 p 的 值。咱们先别被这么多字母吓到。 第一问，咱们就老老实实把打三个球和打四个球的所有可能比分列出来。第二问，再利用对称性直接约分，答案自然就出来了。 先来看第一问，题目让咱们用 p 表示 p 下标三和 p 下标四，这里到底是在找什么情况？题目说， p 下标 k 是 打完 k 个球后假比乙至少多得两分的概率。 那当 k 等于三的时候，也就是一共打了三个球，打三个球假比乙至少多得两分，这可能吗？咱们来盘点一下比分， 甲如果赢两球，乙赢一球，甲比乙多几分，二减一等于一分，这不够两分，对吧？所以甲必须赢下全部三个球，乙赢零个球，这时候三减零等于三分，满足至少多得两分的条件。 那甲连赢三个球的概率怎么算？因为每一球是独立的，甲赢一球的概率是屁，连赢三球，就是三个屁相乘，也就是屁的三次方。 所以咱们就得到了第一个结果，屁下标三就等于屁的三次方，你看是不是很简单？接下来咱们看屁下标四， 也就是一共打了四个球，甲要比乙至少多得两分。这里咱们再来列据比分，四个球，甲如果赢三个球，乙赢一个球，三减一等于两分，刚好满足条件。如果甲赢四个球，乙赢零个球，四减零等于四分，也满足条件。 那如果假赢两个球，已赢两个球呢？二减二等于零，这就不行了。所以打完四个球，只有两种情况符合要求，一是假赢三球，已赢一球。二是假赢四球，已赢零球。很多同学在这里会犯错，直接把概率写成 p 的 三次方乘以 q， 加上 p 的 四次方， 这漏了什么？漏了组合数，甲赢三球，乙赢一球，到底是哪三个球赢了，可能是前三个，也可能是后三个，所以必须乘以一个组合数，也就是从四个球里挑三个球让甲赢。所以第一种情况的概率是，组合数 c 四三乘以 p 的 三次方，再乘以 q 的 一次方。 组合数 c 四三等于四，所以这一项就是四乘以 p 的 三次方乘以 q。 第二种情况，甲赢四球，概率就是 p 的 四次方， 把这两项加起来， p 下标四就等于四乘以 p 的 三次方，乘以 q 加上 p 的 四次方。题目要求只用 p 来表示，那咱们就把 q 换掉，因为 p 加 q 等于一，所以 q 就 等于一减 p。 咱们把一减 p 带进去，就变成了四乘以 p 的 三次方乘以括号，一减 p 再加上 p 的 四次方。 咱们把括号展开，四乘以 p 的 三次方。乘以一就是四倍的 p 的 三次方。四乘以 p 的 三次方。乘以负 p 就是 负的四倍的 p 的 四次方。 加上后面那个 p 的 四次方，合并同类项，负四加一等于负三。所以最终结果就是四倍的 p 的 三次方减去三倍的 p 的 四次方。这样咱们第一问就完美解决了。 接下来咱们看第二问，题目给了一个等式，分子是 p 下标四减去 p 下标三，分母是 q 下标四减去 q 下标三，这个分式等于九，让咱们求 p 的 值。 咱们刚才已经把 p 下标三和 p 下标四算出来了，那分子就好办了，咱们直接相减， p 下标四减去 p 的 三次方，减去三倍的 p 的 四次方，再减去 p 的 三次方。 合并一下同类项，四倍的 p 的 三次方，减去一倍的 p 的 三次方。还剩三倍的 p 的 三次方， 所以分子就化简成了三倍的 p 的 三次方，减去三倍的 p 的 四次方。这里有个非常重要的技巧，咱们不要就把它放在这，要提取公音式。咱们把三倍的 p 的 三次方提出来，括号里就剩下一减 p， 你 看一减 p 是 什么？就是 q 下， 所以分子最终化简为三倍的 p 的 三次方乘以 q， 这一步很关键，它能让后面的计算大幅度简化。那分母怎么办？分母是 q 下标次减去 q 下标三，你需要重新去算一遍已赢球的概率吗？完全不需要。咱们利用对称性， 题目里甲和乙的地位是完全对称的，只是把胜率从 p 换成了 q。 所以 咱们直接把分子结果里的 p 和 q 互换位置，就能得到分母的结果。分子是三倍的 p 的 三次方乘以 q， 那 分母自然就是三倍的 q 的 三次方乘以 p。 现在咱们把分子和分母带回题目给的分式里，分子除以分母，也就是三倍的 p 的 三次方乘以 q 除以三倍的 q 的 三次方乘以 p 等于九。 咱们来看看这个式子怎么约分。常数三和三约掉了，分子有一个 q， 分 母有 q 的 三次方，约掉一个 q， 分 母还剩 q 的 平方。 分母有一个 p， 分 子有 p 的 三次方，约掉一个 p， 分 子还剩 p 的 平方。所以整个分式约分之后，就变成了分子是 p 的 平方，分母是 q 的 平方，也就是 p 除以 q 的 整体平方等于九。 既然平方等于九，那 p 除以 q 等于几呢？等于三或者负三，但是注意这里概率， p 和 q 都是大于零的正数，所以负数直接排除。咱们得到 p 除以 q 等于三，也就是说 p 等于三倍的 q。 咱们又知道 p 加 q 等于一，也就是 q 等于一减 p， 把这个带进去，就得到 p 等于三，乘以括号一减 p 展开就是 p 等于三。减去三倍的 p， 把负三倍的屁移向到左边，加上屁就是四倍的屁，四倍的屁等于三，所以屁就等于四分之三，这道题咱们就彻底拿下了， 最终我们求出屁的值等于四分之三。咱们来总结一下这道题，这种带参数的概率递推题看着吓人，其实就是纸老虎。核心方法就是两步，第一步，把抽象的文字翻译成具体的比分，结合二项分布写出表达式， 千万别忘了乘组合数。第二步，遇到对称的式子，一定要先因式分解再消除，利用对称性直接秒杀。记住一句话，概率递推不要怕列局比分找分布，对称相处必有路。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。甲每次投中的概率为 p， 乙每次投中的概率为 q， p 加 q 等于一。 打完三个回合后，即甲比乙恰好多中两球的概率为大写 p， 乙比甲恰好多中两球的概率为大写 q。 如果大写 p 等于四倍的大写 q， 那 么 p 的 值是多少呢？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！

  69杨老师数学精讲
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  01:02

  2025年高考数学北京卷我只能考130 #数学 #高中 #高考 #初中 #初中数学

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  这套试卷我只能考一百三啊！很多同学都喜欢来问我同一个问题，老师，如果你去考二零二五年的高考数学的北京，这套试卷你能考多少分？能不能考一百四呢？不好意思，我只能考一百三啊！我们来看一下集合基础题、复数基础题、离心率基础题。 好，数略基础题、不等式基础题。好，这个题是我们的这个，这个题是一个抽象函数，抽象函数基础题。第八题，这个题是我们的一个计算题基础题。这个题的向量中档题， 抛物线技术题，然后二项式技术题、三项函数技术题。好，这个题是我们的这个什么？这个题是我们的这个立体几何的一个创新题。中档题啊，十五题，这个题是我们的这个函数啊，函数，这是一个难题。难题。十六题，解算型技术题。十七题，这个题是我们的立体几何中档题。十八题，这个题是概率统计中档题。 十九题，这个题是我们的圆锥曲线难题。二十题，这个题是我们的导函数，是一个难题。二十一题，这个题是我们的这个题，实际上它是一个我们的这个什么？呃，新定义的一个题啊，新定义的题，并且是集合的新定义，是一个高难题啊，高难题。

  68强哥数学非常厉害
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  06:25

  高考数学概率大题，5分钟拿下！ 这道改编自2025年全国二卷的概率统计大题，看着像复杂的递推数列，其实只要把具体数字代进去，把状态拆解清楚，它就是个纸老虎！杨老师带你通过具体局数写出概率表达式，再利用对称性巧妙解决分式方程。遇到复杂的概率差值比值，先提取公因式化简，再利用对称性秒杀，千万不要硬算。快来一起学习，评论区还有同类思考题等你来挑战！
  #高考数学#概率统计#数学解题技巧#高中数学#冲刺高考

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