高考数学最后一题无人做出
不对，有问题，嘿嘿，哈哈哈哈哈哈，请记住一只梦秀气。
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02:10查看AI文稿AI文稿王静老师，高考数学最后一道答题，我为什么永远都做不对啊？因为数学最后一道解答题现在呢，是给那些冲刺清北附教同学做的，如果你的数学现在没有达到一百三十五分以上，最后一道答题你去研究它意义不大。现在高考啊，尤其是新高考以后， 他的第一问你能做出来就已经非常不容易了。而他的第二问绝对不是单纯的一个计算量的提升，他对我们的数学思维和你对这道题的理解都是要求有非常深厚的基本功。 所以这一类问题的难度，我们普通同学是远远达不到的。但是我们也不用太过纠结，达不到是大家都达不到，不光你达不到，那甚至说实话，很多老师呢，在考场上不一定能做的出来。所以这个时候 我们的比拼就变成了同一个层次，同级别之间的一个较量了。我不需要通过做出最后一道题才能超过你，我只需要把前面的题目能够发挥好，那我就照样能取得一个不错的成绩。举个例子，二零二五年新高考一卷的最后一道题来讲，他的第一问用到了核差换季公式，这个公式 本上呢，其实是有的，但是他已经近十年没有再考过这个公式了。说实话，大部分的同学他连这个公式本身都记不住了，那和差化积公式，积化和差公式长 长啥样？就是我后面这个样子，你记得住吗？所以这种问题怎么办？大家不如想清楚，现在哪一个分数段是我最需要提升的，我把现在最容易提分的能拿到手就可以了。很明显，最后一道题绝对是属于最难拿分的，所以我建议大家呀，数学不到一百三十五分可以 不用去研究，那么如果你的数学在一百三十五到一百四之间，先争取搞定最后一道解答题的第一问， 如果能够在一百四以上，你再去考虑攻克整个最后一道数学的解答题。为什么是一百三十五分呢？因为我们高中数学啊，高考压轴题的最后一道题是十七分，大部分同学呢，能够拿下第一问的分大概呢是四五分就够了， 我们不如把精力呢先花在其他的题目上，如果你其他的题目都能拿到满分，那你也基本上能够考到一百三十五分以上了，这个时候我们再去考虑攻克压轴题。记得点赞关注哦！
847数学王·晶讲数学
00:29查看AI文稿AI文稿x 次方 x 大 于等于零集合定义 d x 零等于 d 属于实数满足 f x 零加 d 大 于 f x 零的集合。一先算 f 负一， f 负一等于二的负一次方等于二分之一。二解不等式 f 括号负一，加 d 括号大于二分之一分。两种情况讨论。
27:59查看AI文稿AI文稿都说今年高考数学难，前面简单如一加一，后面难题像造飞机，其实难题拆解到底全是必修一公式的组合应用。必修一是高中数学的地基，地基不稳，后面越学越吃力。通过今天的视频，前面你学会了， 我让你能够做出来今年高考数学一卷最后一题的压轴题。本期视频沈老师带你一口气通关高中数学必修一所有公式，把地基里面最关键的砖块稳稳拿捏。视频全程干货吃透这套公式大全，成绩提高二三十分，并且杀死比赛，为高考打下坚实地基。话不多说，我们开始， 我们先开始从一元二次不等式出发，对于方程， ax 方加 b， x 加 c 等于零根的判别式为，单调等于 b 方减四， a c 单调大于零的时候呢？方程有两个不相等的时，根单调等于零。方程有两个相等的时，根单调小于零，方程没有解。 当我们得大于零的时候，这个时候我们就可以用尾答定理，两个根的关系就可以找到。比如说 x 一 x 二是方程， a， x 方加 b， x 加 c 等于零的两根，那么 x 一 加 x 二呢，就等于负的 a 分 之 b， x 一 乘 x 二呢，就等于 a 分 之 c。 其次，再给大家拓充两个 x 一 减 x 二的平方，减去一个四倍的 x 一 x 二，我们再给他开个根， 这个时候它的结果就等于 a 方分之 b 方减去一个 a 分 之四 c， 我 们进行一个通分，再继续，那么它就等于 a 的 绝对值分之根号下得它。 这个公式在未来大家在学解析几何的时候非常常用，下面再给大家一个叫做 x 一 除以 x 二，加上一个 x 二除以 x 一， 这里面通分用一式和二式去推导即可，它的结果是 a， c 分 之 b 方减二，这个就是一元二次不等式。在高中对大家的要求，首先掌握判别式对于根的影响。第二个掌握，当我们的它大于零情况下，我们可以使用韦达定律， 伟大定律里面的结果，我们把它背下来，在未来解析几何当中有大的用途。第二个知识点叫做集合的运算，在我们看到一些集合的时候，我们一定要明确集合之间的所有的关系。第一种如图， p 级是 p 级的分子级，第三个 p q 级和重合说明 p q 相等，那么这里面我会发现 p 是 q 的 分子级。如图一所示， 我们一和三并在一块，他们所有的情况其实就是 p 是 q 的 子集，同理，我们二并上三的话，就是 q 是 p 的 子集， 那么以上就是所有集合的包含关系。第三幅图，这里面我们描述的 p q 集合之间就没有什么包含关系。那这个时候我们就可以加以一些运算，比如说我们 a 并 b， 那 么它就等于 b 并 a， 这个叫做交换率。 a 交 b 就 等于 b 交 a， 比如说交换之后它的结果不受影响。 第二个叫做结合率，结合率。我们在使用的时候， a 并 b， 在 并上 c， 它就等于 a 并上 b 并 c， 就是 先把 b 并 c 给它并好，并好之后再和 a 并，没有问题。同理，交集也是可以的， a 交 b 的 结果再交 c 和 b 交 c 的 结果再交 a， 它们的结果也是相等的，这个叫做结合率。那什么是分配率呢？ 当我们在算 a 交 b 并 c 的 时候，我们完全可以先找 a 交 b， 再找 a 交 c， 再把它们并在一块，没有问题。最后一个叫做德摩根定律，这个德摩根定律它描述的是 a 并 b， 它关于全集的补集 的结果可以等于 a 关于全集的补集， b 关于全集的补集，之后再把它们相交在一块，这个叫做德门根定律。那么这个有一种感觉，相当于我把这个括号打开之后，里面发生了一个变号， 这就是和补集相关的最麻烦的一件事情，叫德摩根定律。那么同理，我们在先算 a 交 b 之后，再来一个补集，那么等于先把它的补集算出来，再把另外一个补集算出来，再并在一块。以上就是集合这一块所有的公式运算。再来我们看命题的否定， 所谓的命题的否定，就是比如说我在考虑所有人的身高高于一百七十五厘米，这个时候他的否定是什么呢？那么他的否定就是有人的身高 小于等于一七五厘米，这就是我们生活当中否定。比如说你想否定我的时候，你是不是把所有人先改成有的人，再把后面的这个 高于改成小于或者低于或者是等于，这就是我想表达的逻辑。所以命题的否定，第一步我们要转换量词，第二步我们要做的事情叫做否定结论。换句话说，我们先把任意的给他变成存在，然后再把后面的结论给他否定掉。 从数学上来看，就比如说任意的 x x 大 于等于零，他的否定就是存在 x x 小 于零， 也就是转换量词否定结论。这就是上述非常抽象的事，我们经常会把这么一横一竖给它表述成否定， 包括下面这就是我想表达的命题的否定。下面课本的专题里面提到了一个概念，这个概念的糖水不等式。我们在解决糖水不等式的时候，本质上要理解这个概念。比如说我们先假设一个水， 这个是糖，也就是说他其实是一个溶质和整体的，这个 b 可以 理解为溶液好不好？他这个比例，我们如果再往里加糖，那他是变甜了还是 变淡了？很显然他应该是变甜了，因为往里加糖了，你这个溶液里面肯定还是要加糖的，对不对？所以他就变成一个小于。那这里面有几个限制，大家一定要注意啊。首先，你这个既然是溶液，那么 a 天然他必须要大于 b。 其次，你这点是正数，否则的话他会发生一些符号的改变。 在过去我们再往上加的时候对不对？你 c 肯定是要大于零的，你往里加糖对不对？如果是减，它就减糖了，所以说它有限制条件，在这个条件下，上述式子才成立， 这个叫做糖水不等式。再往下我们谈到了基本不等式，那么基本不等式是二分之， a 加 b 是 大于，等于根号下 ab。 其中重点的限制在于 ab 都要大于零， ab 等于零，当前仅当 a 等于 b 的 时候取等。 通过这个基本不等式，我们可以解决很多繁杂的问题。比如说有一天我碰见这么一个问题，我想求这个函数的最小值，但是前提我们要求 x 是 大于零，这时候我们直接对这个式子用基本不等式就可以了。 这里面我们把 x 分 之一看成 a， 二 x 看成 b， 所以 就会有 x 分 之一加上一个二 x 大 于等于等于二倍根号下 x 分 之一乘上一个二 x， 那 么结果就是等于二倍根号二，这就是基本不等式最基本的应用。 其次第二个问题叫做基本不等式链，那基本不等式链它的结构第一个位置，这个叫调和均值，其实调和均值我们经常会这么写，相当于我把 a、 b 除一下，反正 a、 b 是 大于零的，它又不等于零，那同除没有问题，它小于等于根号 a， b 小于等于二分之 a 加 b 小 于等于根号下二分之 a 方加 b 方。这个有非常出名的，它叫做调己算平，调己算平，大家可以怎么背？叫做调己算平、调和均值几何均值算数均值平方平均值。 他们这个式子当前紧张 a 等于 b 的 时候，这四项全部是相等的，这叫基本不等式，以及不等式量它的一个拓展。下面我们谈指数运算，指数运算在我们在运算当中我们注意一件事情，叫做遇见分数开根号，遇见复数，我们的逻辑是取倒数， 那么他的底层逻辑是什么？比如说我们先看正数的分数指数密，就是我们认为开了 n 次根的这个位置 n， 他 其实就是这个分数， 这个 m 是 不成方，那他就是 m， 其实在高中来说他是没有区别的，就是 a 先开 n 次根，再做 m， 四方 和 a 先做 m 次方，再开 n 次 k， 他 们是相等，因为 a 是 正数。课本上明显要求 a 必须要大于零，你不会遇见负数，除非那种非常简单的，比如负九，比如说这个负二十七开三次根。那我们遇见负数是什么情况呢？举个例子，比如说三的负一次方，他就是三分之一， 也就是说我们遇见负数去倒数即可。这就是指数运算，也就是高中大家要求的掌握的分数指数密。 比如说这个位置，它其实可以拆解成叫做 a 的 负一次方。乘上一个 n 分 之 m， 那 它是不是又等于 a 分 之一？乘上一个 n 分 之 m， 它是不是又相当于 a 分 之一？我们给他开了 n 次根，再做上一个 m 次方，那它是不是结果和一开始这个式子是一致的？这就是沈老师想表达的意思。 下面一个专题，我们来看对数运算的公式。所谓的对数运算的公式，首先大家掌握一个对数的含义，掌握对数含义之后，当然对数运算这些石老师之前的视频是有说过的，比如说对数最基本的运算，如果还没上高中的同学，大家可以仔细的看一看这个问题。 比如说这里面 a 的 b 次方等于 n， 那 么我们就可以直接给他画成以 a 为底， n 的 对数是等于 b 的， 这个就是只对互化核心公式 指对恒等式，意思本身这就是个互逆运算，所以 a 的 以 a 为底， n 的 对数，它就等于 n， 那 同理，以 a 为底， a 的 b 次方，它也等于 b， 这个就是它的一个互逆运算的体现。接下来看加法，加法的意思是对数相加，这两个一坨对数相加，等于真数位置相乘，同理对数这两个位置，如果说我把两个对数相减，那么他就等于这两个位置真数消除， 这个公式叫做换过肩摔公式，给他起个名字非常形象，就像这个 n， 它能够直接摔到前面去，也就是我想表达的是 n 的 这个位置有种往前放的感觉，他可以拿出去考考大家，如果我这里带一个小 m， 这个怎么处理？这个时候告诉大家，这个小 m 拿出来，它是 m 分 之一， 这个位置的 n 拿出来它就是 n， 所以 它就变成这个样子，这个就是我想表达的意思，那你说这个怎么正？大家可以通过换底公式来证，这个不会，大家可以评论区留言，我给大家讲一下。那这里面怎么换呢？ 随便找一个你喜欢的数字，比如说我这个人喜欢派，我就可以这么换，这个数字随便选。他有个非常强的推论，就是换底公式的推论，我发现我这样换是可以的，那请问这个式子他换完是什么样子的？那很显然是不是以派为底 a 的 对数除以一个以派为底 b 的 对数， 那他俩什么关系？是不是相反数？这就是非常重要的推论，那么这个就是过肩摔公式的推论，希望大家牢牢背下来。 下一个我们开始复习密函数，所谓的密函数，大家记一句话叫三个代表重要思想，所谓的三个代表是指 y 等于 x 的 r 法次幂。当 r 大 于零的时候，我们分两种， 第一种可以画 y 等于 x 的 平方，第二种可以画 y 等于 x 的 二分之一次方，再细分一下， r 大 于一的时候画它， r 小 于零的时候画它， 这只是第一项线。简单来说，我们 get 不 到 x 的 负次方和 x 的 负次方有什么太大的区别。在第一项线，它大概都长成这个样子， 这两幅图大致走势都这样的，其实你了解单调性就可以。那么其余的项线怎么画呢？其余的项线大家根据奇偶性补全即可。这就是沈老师想表达的意思。比如说有一天你说老师我想画一个 y 等于 x 三次方，你教我怎么画？那第一项线大家照着 x 方去画，画成这个样子， 它是一个什么函数？它是一个接函数，所以它就是这样子。下面看指数函数，那所谓的指数函数呢？就比如说它的形式是 y 等于 a 的 x 次方，它最显著的特点就是 a 只能取两种情况，第一种 a 小 于一大于零。第二种 a 是 大于一的，不能取其他任何数字。 那么整体来说它就能分两种，第一种它的增速是非常快的，这样往上走。第二种它是往下减的， 那我们怎么具体区分那？很显然，当 a 大 于一的时候，它是个单调递增函数。我们画的时候，其实图像当中右侧的这蓝线都是单调递增，左侧这些红线都是单调递增。最终我们再说一句，这个就不像逆函数那么宽泛，我们一定要知道谁大谁小， 一句话叫做底大图高。但是这个逻辑我们只有第一项线是成立的，因为他们越过第二项线的时候，他就会跷跷板一样翘过来，这样翘过来，这就是石老师想表达的意思。同理，其实这一侧也是一样的，比如说这个线我们认为三分之一次方划过来， 那么如果画四分之一的时候，他就会这样子，哎，那这条线是三分之一，是不是第一象限的时候还是底数大图高？下面我们看一下对数函数，那所谓的对数函数，我们直接陈老师也给大家一句话， 这里面 y 等于以 a 为底， x 对 数， a 分 两种情况， a 大 于一的时候单单递增， a 小 于一大于零的时候单单递减。还是那句话， 这里面我们要怎么判别他们谁是谁？这个 a 大 于一就是增，这个就是减。在同一幅图像当中，大家可以记一句话叫做底大图靠右， 第一项线底大图靠右。比如说这里面我们画一条线，那么你会发现这幅图像是在这图像右侧，那就满足底大图靠右，同样他也满足跷跷板这过来，那么这一块 就下去，跷跷板会翘过来。你如果说看第四项线就看错了，对不对？同样道理，这里沈老师特意标注了一下，这个三分之一是这个线， 二分之一是这个线，他在第一项线的时候仍然满足底大图靠右，但是在第四项线他就不对了。所以这句话一定要在指在第一项线底大图右，你就可以判断一些单调性，结合谁高谁低的一个问题。函数的单调性， 那么所谓的函数的单调性是指，当我的 x 二永远比 x 一 大的时候，任意一个 x 二和 x 一， 这个 d 其实就是定域的意思， 或者说定域内的一个区间都可以，但一般来说就是定域。当 x 一 小于 x 二的时候，我们就都有 f x 小 于 f x， 这个时候它就是单调递增。当 x 一 小于 x 二的时候，都有 f x 大 于 f x 二，这个时候就是单调递减。那我们要怎么去证明它呢？ 其实就是按照定义来叫任意的，这个叫任取，第二个作差，第三个 定号。以上三条是我认为最关键的，那等价形式是什么意思啊？就是说比如我们看到这个数字，大家可以拿来分的好呢？ x 一 大于 x 二的时候，那么 f x 一 很显然它也大于 f x 二， 这是不就是一个单调递增定义？有同学说，老师，那我 x 一 万一小于 x 二，是不还有一种情况， f x 一 它也小于 f x 二，这是不还是单调递增的一种情况？ 所以这是单调递增的等价形式，这个是单调递减的等价形式。以上就是我们关于单调性的公式。下一步讲一个叫做组合函数的单调性，所以组合的函数单调性就是我们把一些函数 给它组合在一块，我们怎么看它的单调性？这里面我们可以把增函数想象成一个正数，正数加正数是不还是正数？负数加负数是不还是负数？ 正数减负数是不是就是正数？负数减正数是不是就是负数？这是不是很好理解？那么这个就是组合函数的函数。比如说你一个增函数加增函数，它就是增函数，减函数加减函数，它就是减函数。 但是有一种情况就是增乘增，一定是增吗？这个不绝对，一定要考虑它是否会变号，我们一定要保证这个函数都是横正的情况下，那么增乘增它就是增 横负的时候，增乘增减变成减正，负一会正一会负的，没法判断，这个就是我们的组合函数的单带性，有些单带性没有必要求导，尤其是高二高三的同学们，大家注意，一定直接观看就可以。 那什么叫复合函数单调性呢？同增异减，长成这样的函数叫做复合函数。内层增的时候，外层如果减，那么它就是一个减函数。这个沈老师在之前的视频当中有重点提到，大家可以仔细观看一下，这里我简单提一提，这里面要注意细节，所谓的单调性，指的是 x 的 范围，千万别搞成中间变成 t 的 范围， 这个过程是要运算的，有点难。当你们的内层是增的，外层是增的，它就是增的， 内层是减的，外层是减的，他最后也是走的同增异减。说了这么多，我们来看一下我们今年的新高考一二压轴题难不难？难，学完必修一，这些东西够不够用？够用， 因为他已经把里面的基础概念都展示的非常清楚，这里明显考的就是集合和指数，函数和奇偶性的一些特点。这里奇偶性沈老师没放在公式里面，因为沈老师认为他是一个性质，不太算公式。这里给大家简单谈一下， f 负 x 如果等于 f x， 这个就是一个偶函数，前提是要定义域是对称的，定义域一定是长成这样的，比如说 m 逗号， 负 m 都好， m 这样对称的，它不能是一个，比如说不相等的数，比如说负三到四，它就一定不是偶函数，或者它也一定不是奇函数，因为它定义不是对称，那反之， 如果是 f 负 x 等于负 f x， 那 么它就一定是个奇函数这块的概念。如果大家确实的一定要翻看我之前的视频，看完之后你们再享受这道高考题，再享受一下。那我们开始首先面对这个第一问，我们先把这个原函数的图像画一下， 当 x 小 于零的时候，它给的 f x 是 二的 x 密，那么它应该长成这个样子，左侧无限贴近 x 轴， 在 x 等于零处，它应该等于一，它的定域为 r。 我 们再看一下，大于等于零的时候，那么 f x 是 一减 x， 也就是说他的表述形式是这样往下降的一个内容。第一问肯定是让我们先了解一下他到底想干什么，我们先看一下什么是 d， 复一，先读一下原来这个式子，这个式子其实他是一个集合，这个集合他描述的是一个 d， 就是 说你这个集合里面代表元素是 d， 换句话说他是一个函数，这个函数完全可以写成这样的，一个 d 输入的是一个 x 零，我们把 x 零输入之后，他给出的结果是一个 d， 换句话说 x 零就是字变量， d 就是 那个函数，就是音变量，就是函数。那我们怎么样去描述这个问题呢？当 x 零变成负一的时候，我们来怎么理解这个问题呢？沈老师把大家写好了， 当 s 零等于负一的时候，他的自变量就变成了负一，负一加上一个数还比负一要大，那么这个就是他取负一时的 d 的 值，就是我这个函数的意义。就我这个函数， 那我们简单来说就是我给你个 x 零，你给我输出一个 d， 这是不是就是函数？同学们，他这个函数的表达是他没有用解析式写出来，他用了个集合的形式给写出来而已。那换句话说，我们把负一往里面验证一下， 比如说负一如果在这，那我们 d 可以 是多少， d 可以 是多少，它永远满足 f， 负一加 d 大 于 f， 很 显然 它最终可以加到这个位置， d 的 范围就应该有这么多。那我们来算一下这个节点，当 x 等于负一的时候，它落在指数上，那这个位置是负的二分之一，而这个高度情况下，底面的这个坐标应该是二分之一， 所以我们发现 d 是 不就出来了？我给你个负一，你的 d 的 范围是多少？是不是最小要加个零？零还不能取，最多要加多少？最多是不要加二分之三， 听懂了吗？这题秒杀掉。第一问就这么简单。我们来看第二问，这题第二问也不难，我给大家还是先讲一下它的原理，其实你证明我们已经有图像了，还是要稍微说一点符号语言，但是逻辑就这么简单。 你说老师我画个图，他会不会扣我分呢？我觉得不太会，因为他这种属于新定义，你只要能讲清楚里面的原理，这是个数学符号语言表达能力，这个能力大家只要说你初中毕业，你就有这个能力，所以这个我认为是不难的，那我还是以思路为主。我们来看第二位小老师。单独列页， 我们把里边的几个条件输，重新书写一下， dx 零还是这个输入 x 零，得到一个 d 的 一个函数近习的有效条件，沈老师帮大家总结到这里了，数学题目大家注意有一种非常核心的数学思维，就是说你把公式符号拿出来，汉字一般来说没有太大的意义，但是你说老师他是基函数这个事，你必须得把它写出来。但是这些符号语言我觉得翻译起来是非常关键的， 书写和翻译两个过程大家都要会。既然他是一个基函数小于零的时候有了是不整个函数的图像我就有了。 这里小老师单独定一个点，这里面他定义是 r， 他 是奇函数，所以零这个位置一定是有取值的。这个细节大家注意一下，一会可能会影响大家的结果。第一种情况，当我们的这个 x 一 和 x 二都负的时候， 他是什么意思？其实大家理解一下，他就是说 f s 二比这个 f s 一 高的时候，我举个例子，你这种情况下，你比如 x 二在这 x 一 在这的时候， 它现在的 f s 二确实比 f s 高，你如果不加以分类讨论的话，这个集合之间的关系是看不出来的，那最终他想表达的是什么意思？就是你这个带 x 二的这个 d 的 范围和带 x 一 的这个 d 的 范围，因为我说它是函数，你把 x 一 往里带，这个变量输入进去，它会得到一个 d 的 范围， 这个你带进去，它会得到另外一个 d 的 范围，这个 d 的 范围一定是这个 d 的 范的一个子集，听懂了吗？ 他想表达的就是这个意思，那我把这个负的情况给大家说清楚，那么当我这俩是负的时候，你说老师你怎么知道要正负的分类讨论？因为说实话，你不知道正负，他这个 f x 二和 f x 一 的大小你定不出来，因为你这个比他大，其实很取决于这个函数的单调性的。 我们知道这个函数在这是单调递增，这是单调递增，叫分段单调递增，不是整体单调递增。如果是整体单调递增，这个题就太简单了，大家听懂了吗？所以会产生这样一个分类，我假设他俩都是负的，那么这个时候 x 二在这， x 一 在这，没问题，这这条件我就能理解他俩谁大谁小了。 那我问一下大家，如果按照这个定义式来看，我输入的是 x 二，这个 d 可取的值是什么？我是不是要输入一个 d 之后，它最终要比这个原来的这个 x 二输入进去它要高啊？那很显然，这个 d 它是不是只能取得这一段？听懂了，那所以我 认为 d x 二它的范围，这不一眼就能看出来吗？那哪怕说大家能想到这一步，能做出这么一个分类以上，所以 d x 二它应该是属于零到 x 二的角 对准，注意啊，这个 s 二是个负数对不对？它只能取这么宽对不对？你比它稍微大一点，可不可以？可以，所以从零开始，零不可以取，那 x 二到这个位置了，这个位置还不能取，因为你取它这个函数就跳下去了，所以这是 d x 二的范围。但实际上呢，你已经知道 x 二是个负数了，这块我们写成这个负 x 二，其实也是 ok 的。 那第二个 d x 一 呢？这很显然， d x 一 是属于多少？它是不是应该是属于零到负 x 一？ 如果你刚才听懂了，那它是不是 d 要加上一个数字 d， 然后使这个比原来这个函数值它要高一些，它不只能加这么多吗？好了，那因此我也清楚了这两个范围来是谁的自己 如果大家想不清楚，大家可以加上绝对值，加上绝对值就非常清晰。这个 x 二啊，它这个范围是不是很短很小？那所以我们书写一下，因为 x 二它明显是要大于 x 一 的横负的，所以 x 二的绝对值很显然小于 x 一 的绝对值。 清晰不清晰？听没听懂？简不简单？这第一问我感觉起到这一分保底对不对？两分有可能拿下，我们继续。第二种情况就是我的 s 一 s 二同正的时候，这个时候就有难度了，为什么呢？因为我们看一下 f s 二大于 f 一， 所以 x 二它应该在这， 那么 x 一 是不是应该是在这的？这个时候我问你， f x 二，它的这个 x 二在右边，如果加上一个 d 之后还比原来大， 是不是输入一个 x 二之后还比原来大，那 d 应该取什么呢？他是不是只能往右取吗？那我们先写一下 d s 二肯定就是输出这个 d 啊，还可以取到什么？是不是零到正无穷？你往右走是不都 ok 的？ 那我问一下，可不可以往左呢？有的时候不行，往左他不是下去吗？但万一你家的足够大，他跳到这上面来了，甚至他跳到这个零点上来了，是不是也是可以的？那所以我们这里面还有一个范围，你要一口气稍微的往左一点，往左多少？ 往左 x 二这段距离起步，你还可以更往左，那你无限往左也是可以，因为你无限往左，每一个点位都要比这个点位要高嘛？对，负无穷， 这是非常往左的情况，他是不是比这个点高，那还可以。什么？我们最极限就到这往这往左走了多少？往左走了？ x 二的距离，这个时候大家可以写负的， x 的 绝对也可以写负 x 二就可以了。明白我的意思， 这个负 s 二可不可以取？可以取，为什么？因为他到这的时候，他正好到这个零点了，这就是极函数。这个坑的地方属于 r。 手握手， f 零等于零，是不是很经典？老师课堂上反复强调的一个内容， 那同理 dx， 大家能不能自己书写一下？那自然而然呢？这就是零到中无穷了。往右走没毛病，往右走可以，那并上一个什么？我们再往左走，往左走是负 x 一， 是不是也是对称的这么一个式子？所以你第一个写好了，第二个完全可以手写， 这里面我们想好之后，他俩什么范围，谁说谁大谁小，他这个负 x 二肯定是不是负的，就像你们可以这俩是一样的，不用对比了，对不对？你负 x 二在哪里？大概在这个位置上。举个例子，那负 x 二， 那你负 x 一 在哪？那负 x 一 是不大概在这个位置？这个相当于这个范围和这个范围，是不是他是他的子期，所以 d x 二是 d x 一 的一个子期。 就这么简单来第三种情况，其实第二种情况是最难的，这个大家听懂第三种情况就可以书写了。来，我们再写一遍，那么 f s 一， f s 二 e 号的情况下， f s 二更大一些，我们发现那一定是 x 二是小于零的， x 一 是大于零。 那有的同学说，老师，那你为什么不取等于零？他这个里面不是给咱限制掉了吗？就不考虑这个了，要不然还很麻烦的。一个点对比起来情况太多了，是不是给你降低难度了？ x 二，比如说在这， 那么 x 一 在这，你如果第一题第二题听懂，这题你自己秒做出来，都不用思考来告诉我 d x 二等于什么。 那么 d x 二它是不是一定从零开始起，一直到这么一段对不对？它是不是可以把它打？那这里面一个 s 二是负数，所以描述这个问题的时候可以写负 x 二，听懂意思。那么再写 d x 一， d x 一 又是什么呢？ d x 一 如果加上一个 d 比它自身大，是靠右一点就可以了，所以零到正无穷， 注意下细节啊，这个位置不让取，右侧不让取。为什么不让取？你取到你不掉下来了吗？那左边的这个零他可不可以取，也不可以取，因为你要往右走，你往右走，所以完事，所以 d x 二他确实是 d x 一 的一个字迹。以上就是沈老师给大家想表述的这么一道压轴题目的一个思路，你说老师这个思路我或者说能拿满分吗？只要你这些开 b 区间写的严谨，其实像我们新高考这些新定义， 像我平时说在用数学符号语言给他适当的表示出来就够了，因为本身考的他就是几何之间的关系。那这里陈老师就给大家说这么多，关注陈老师带你通过本质看透数学。
522本质数学沈老师
23:34查看AI文稿AI文稿二零二六年压轴题，普通人怎么做？今天我不是来讲题，我是来作为一个普通人，遇到像这样一种难题，我们如何一步一步把它推导出来？这是一道所谓的新定义题目，当我们看到新定义的时候，往往是 反复的去阅读这个定义，一直读到你对这个定义不觉得陌生为止。然后我们就可以去看第一小问， 就好像我们在学习新知的时候那样，当你学了一个新的概念，新的定义，往往是通过例题或者练习来加深理解啊。这道题也是这样设置第一小文的目的就是帮助我们理解这个定义。我们由题干来得到函数的图像， 然后就会发现 d 负一啊，我们套的这个定义的公式， d 负一就是元素是小 d， 然后 f 负一加 d 大 于 f 负一，那么观察图像就会发现， 当且仅当 x 大 于负一小于二分之一时，这个 f x 大 于 f 负一，从而就得到了这个小 d 的 取值范围，从而也就写出了 d 负一的啊这个区间。那通过这个第一问我们就可以理解啊， 什么是集合 dx 零？它实质上就是给定一个自变量 x 零，然后你去看这个自变量向哪个方向增加， 以及增加多少能使得这个函数值变大。对于第一问，也就是说给定自变量等于负一，那么自变量向右增长，并且增长的幅度不超过二分之三的时候，函数值是变大的。 通过第一问的理解，我们就对这个定义有了一个初步的理解，然后就开始做第二问。 第二问给定了这个函数 f x 是 奇函数， f x 一 小于 f x 二，且并且两个数呢？两个自变量的乘积不为零，也就是两个自变量都不是零。那由奇函数我们可以得到函数 f x 的 图像就长这个样子。 那么就必然要讨论啊， x 一 x 二在哪个区间呢？ e 涉及到分类讨论，那我们就要想到分类讨论要点就是不从不漏啊，逐个来分析， 我们来看哪一个情况更好。分析一下，肯定是在左边这个区间上啊，已经给了你解析式，也就是说 x 一 小于 x 二小于零的时候，那么 dx 一 是什么呢？ dx 一， 那给定自变量是 x 一， 那么它向右增长能够使函数值增大，向左则不能向右增长是有一个上限的，你说 不能大于，不能大于等于负的 x 一， 我们可以直接写出来 d x 一 等于零到负 x 一 这样一个区间，那这个是确定的，因为右半段的函数解析式已经确定了，这边一定小于零。 好，然后 d x 二我们可以同样的写出来，它等于区间零到负的 x 二开区间， 不妨画出来这样的坐标轴啊。我们来比较一下两个集合，就可以清晰地发现， dx 二这个集合包含于 dx 一 这个集合 啊，这是一种情况。第二种情况呢，你可以考虑这个 x 一 x 二也在同一个单调区间上，只不过是在右边这个单调区间， 即 x 一 大于零，小于 x 二。那么这个时候我们来看 dx 一 它等于什么？它可以啊，给定自变量 x 一， 它向右增长， 可以使函数变大，你是零到正无穷，向左增长也向左就是减少啊，变到了这边同样是大于零的， 这些这一段函数图像啊，都比 f x 一 大，所以我们可以得到这样的一个区间 啊，同理，得到 d x 二是这样一个区间啊，我们也画出来啊，用坐标轴画出来两个几何的表示，很明显 d x 二包含于 d x 一。 那么第三种情况就是这两个自变量不在同一个单调区间里，那为了使 f x 一 小于等于 f x 二，而必然有 x 一 大于零，而 x 二 小于零，也就出现这种情况啊。我们同样由刚才的一二两个分论讨论，可以得到 d x 一 的表达式， d x 二的表达式也很明显， dx 二包含于 dx 一。 这个时候你反思一下我有没有分类讨论完整 啊，发现没有其他情况，也就是原命题得正了，这两问都不是很难。第一问是很简单的啊，像课本例题一样。第二问呢，就是我们要学以直用了，通过一个分类讨论的方式，考察了我们这个思维的严谨性， 那我们来看第三问。第三问就啊发生了质变，这个在 x 大 于等于零时的解析式就完全不知道了，就变成了抽象的函数了啊，只给的两个约束条件。我们来看一下。第一问要我们证明 f 零大于等于一， f 零大于等于一， 正好在 x 小 于零的时候啊，这个极限这个位置，它就是一。那现在让我们证明 f 零大于等于一啊， 思考一下如何证明，发现没有地方下手，那我们就想到正南则反嘛，正南则反，也就是我们可以先假设这个 f 零它小于一， f 零小于一的话，就会出现像如图这种情况啊， 我们思考当 f 零大于等于一的时候，这个左半段所有的函数值都比 f 零要小，那现在如果我们假设 f 零小于一了，那么就会在左半段就是存在 x 零属于负无穷到零，使得什么？使得 f x 零就大于 f 零了？ 那大于的话，正好我们有一个约束条件可以使用，由条件一就可以得到啊， dx 零包含于 d 零， 哎，从这个地方我们就可以分析哈是否存在，就是我们需要假设它小于一，然后找出矛盾吗？是否存在矛盾？是否存在矛盾？如果存在矛盾，那我们就假设错误， 来看一下 dx 零这个集合里没有负元素，包含区间零到负 x 零这样一个连续的一个区间，那么 d 零 d 零的话，它可以有负元素，但是对于这种包含关系的话并不矛盾。但是我们来注意到这样一个条件，就是 x 大 于零小于一的时候，这个 f x 小 于 f 零，也就是说如果我们用竖轴表示 d 零的话， 从零到一这个位置啊，这段区间是不在 d 零的，来我们来看是否存在矛盾。 dx 零是这样，它包含这样一段区间， d 零呢？从零向右一直到一这段区间不在这个集合里， 哎，这样是不是就不能够使得 d x 零这个集合是 d 零的这个字集，所以这就存在矛盾了啊，只不过表述这个矛盾的哈，严谨的写法，存在 d 满足这个 d 大 于零小于负 x 零与一的最小值，使得这个 d 它 属于 dx 零，且它不属于 d 零 g 与这个集合间的包含关系存在矛盾，所以假设错误，所以 f 零大于零一，当然也可以这样写哈，把这个表达式，这个表达式这样写，就说存在 d 属于 零逗一的开区间与零逗负 x 零这个开区间的交集，使得什么？使得 d 也是属于 d x 零，且 d 不 属于 d 零 啊，同样是存在矛盾，这样就正反了。发现这一道题目哈用到的反正法，如果想到反正法就是正难则反。有同学要说，这个课本上好像没有出现反正法。反正法最早出现于初中课本， 在我们高中的课本里边提到了正南则反的这个解决问题的思想。我们独立性检验这一节中，这个菱假设也类似于反正法的这个应用。好，我们来看最后一问。最后一问我认为是 最难的啊，这个是真的无双杀招。这个题干中好像没有办法使用求导， 那没有办法求导，就只能去找函数单调递增的定义，那这是定义，这是在我们 b 修一中出现的，任意的 x 一 x 二属于区间 i， 当 x 一 小于 x 二时，都有 f x 一 小于 f x 二，则称 f x 在 区间 i 上单调递增。联系题干，我们来看 f x 一 小于 f x 二，这区间，这个条件里哪里出现了这种情况？哎，一个是这里， 一个是大体干，运用哪一个条件可以产生出对单调性的描述呢？仔细看这个位置，如果我们令这一个整体为 x 二，这个 x 零就是 x 一， 那么 x 二 f x 二大于 f x 一 啊，又令这个 d 大 于零，那这个不就是 x 二大于 x 一 吗？ 所以连意义题干我们可以这样写啊， f x 在 零到正无穷上单调递增的重要条件是什么？对于任意的 x 零 属于零，到正无穷，任意的 d 属于零，到正无穷都有 f x 零加 d 大 于 f x 零，也就是这个 d 属于集合 d x 零也可以写作。对于任意的 x 零属于零，到正无穷都有 零到正无穷，这个区间包含于 dx 零，这是一个非常非常关键的一个转化啊，这是一个伟大的转化。如果你想不到这一点，那这道题根本没法做 啊！想到了这一点，给自己鼓鼓掌，光想到他，接下来如何做啊？接下来我们来看从哪里找一个突破口，可以让我们产生出类似于这样的表述，从而证明单调性。 题干中给了一个嗯，比较好找的一个条件，就这个条件，嗯，我感觉非常强大，我们来把它作为突破口试一试啊。在 x 大 于零小于一的这个区间上， f x 小 于 f 零，那小于 f 零的话， 那这个 f x 是 大于零，小于一，还是说就小于零呢？ 嗯，分类讨论一下。分类讨论一下，这个地方我们还不知道，所以只能分类讨论。先假设， 先假设存在 x 二属于零到一，这个开区间，使得 f x 二大于零，那么 f x 二大于零这个函数左半段依然存在一个 x 一 属于零到负无穷到零，使得 f x 一 要小于等于 f x 二， 那既然 f x 一 小于等于 f x 二，我们就可以由条件易得 d x 二包含于 d x 一。 好了，我们来看一下有没有矛盾，有没有矛盾啊？ d x 一 给定自变量， x 一 往哪边走能够使函数值增大？往右走可不可以？往左走？不可以，它没有负元素，那给定自变量啊，为 x 二， 向哪边走使能够使函数增大？往右走能不能增大我不知道，但是往左走一定有啊，一定有增大的，这边比它大啊，这个零 x 等于零的时候一定比它大。所以这就有矛盾啊。一有矛盾，你就说 d x 二中 有负数，有负元素， dx 一 中没有负数，没有负元素，这就，哎，有矛盾了。所以，哎，假设错误，也就是说我们刚才这个图画错了。 嗯，我们分类讨论的也把这个就可以 pass 掉，就必然在零到一这个开局键上，就是这个图， f x 一定是小于零的 啊。那我们这样的时候再取啊，再取一遍这个 x 一， 取任意， x 一 属于零到无穷。再取一个任意的 x 二， 属于负无穷，到零，则必有谁大谁小。 f x 一 小于 f x 二，那么集合的关系，集合的关系， d x 二包含有 e x 一， 那 d x 二， d x 二我们可以写出来了吧？ d x 二，尝试一下， d x 二给定自变量， x 二向哪边走能使函数值增大？向右走？向左走，一定不可以向右走 零到负 x 二，这么一个区间一定在 d x 二中向右走，再远一点，会不会可以使函数值增大？我们不知道，不知道，那就不能写等号，写包含余， 这个区间，包含于 d x 二，包含于 d x 一。 写完之后你再想啊，怎么能，怎么能说明这个 d x 一 啊？这个集合它包含着，包含着什么呢？包含着这个零到中无穷呢？ 再来看这个 x 二，是个任意的复数，任意，那我就可以令 x 二趋近于谁，趋近富无穷， 那它趋近于负无穷，这个负 x 二就趋近于正无穷，那这个集合这个区间就趋向于零到正无穷， 那我们就可以说零到众无穷这个区间，它包含于 dx 一。 严谨的来说啊，严谨的书写表达应该是这样的，对于任意的 d 属于零到众无穷，都有 d 属于 dx 一， 所以我们就证明了，在零到一这个开区间上， 这个开局线上，我们 f x 是 单调递增的，在零到一这个开局线上， f x 是 单调递增的， 那同样的方法我们也可以得到啊，就跟刚才同样的方法，在这个负无穷到零上，你任意给我一个区间，只要说这个 f x 是 小于等于零的，那这个 i 这个区间都是 f x 的 单调递增区间。 但是我们还是不能想当然，就是你不能想当然的认为就是在正义到正无穷这个区间上 都是小于零的，有可能他有大于零的这个这个区间。所以还是要分类讨论啊，还是要分类讨论， 我们就先假设存在那么一个正的正的区间哈，存在一个正的正的点，就是假设存在 x 三属于零到中午时的 f x 三大于零， 那还是要跟上边一样的做法，我们在左半段，我们找一个 x 二啊，存在 x 二属于负无穷到零，使得谁大谁小。 f x 二小于等于 f x 三，然后由条件一得 d x 三包含于 d x 二， 再来看能不能往下推。首先看有没有矛盾点哈，这个 dx 二中不存在，不存在什么？不存在负元素，这个 dx 三中啊，不好说， 它不存在复元素，那它也不能够存在复元素，它不能存在复元素，也就是说在 x 三的右侧负无穷到 x 三这个区间上，所有的函数值都要小于 f x 三 啊，我们这个 f x 三甚至要大于等于 f 零。 也就是说啊，我们还可以得到一个结论，就是说在一到正无穷上啊，甚至在零到正无穷上，不存在单调递减区间。不存在单调递减区间，因为在这个区间上没有任何数值的，它比 f x 三大， 那不存在单调递减区间，并不能说你就单调递增了。嗯，还有可能有存在不变的，恒定不变的这么一个区间， 所以接下来你要正不存在不变的这种区间啊，具，具体这么正是可以正的，但是这个正法啊，和我们接下来这个呃，正法是同样的，所以我们就不再说明了，不再说了 啊，我们 pass 掉这个这个方法，这个方法也可以做啊，但是它方法和这边这一样，所以我们先 pass 掉，我们改为这样的啊， 这个也比较难想。但是什么呢？我们不是在找一个 x 二 x 三，这样他两个来比较，我们是什么呢？就是在左半段找两个自变量，一个 x 一， 一个 x 二， 就存在 x 一 小于 x 二小于零，使得 f x 一 小于 f x 二小于等于 f x 三，也就得到了这个集合之间的包含关系。然后我们分析啊，分析谁分析这两个集合？ 就 dx 三，其实没什么可分析的，你帮不了我们什么，但是 dx 一 和 dx 二它有些可分析的哈。来看 dx 一 给定自变量 x 一 啊，自变量向哪边增长，能够使函数值变大？肯定是向右 向右增长多少？那画出竖轴零到负 x 一， 然后， 然后关键点来了啊，这个在零到一这个区间上啊，在零到一这个区间上，函数值是，函数值是小于零的呀，也就是说负 x 一 到负 x 一 加一这个区间上，这个区间是一定不在 d x 一 上的，一定不在 啊，一定不在，因为它比函数 f x 一 小嘛。然后呢，这个点就是 x 三对应的这个点哈， x 三对应的这个点是负 x 一 加 x 三，哎，这个值它在这个 dx 一 区间上， 然后我们同理的这个 d x 二也可以这样写啊，画竖轴零到负 x 二这个区间包含于 d x 二，然后负 x 二加一啊，负 x 二到负 x 二加一这个区间一定不在 dx 二内。然后呢，这个点负 x 二加 x 三，负 x 二加 x 三，就从这里这里到这里这段哈，这是，这是 d， 它一定在这个集合 dx 二中。那你说有没有矛盾点？ 有没有？假如这个点在这个区间里， 是不是就存在了矛盾？什么矛盾呢？就是一个点，它在 d x 二里，却不在 d x 一 里，我们还要说 d x 二包含于 d x 一， 这不就存在矛盾吗？ 哎，所以这就是我们的发现。 g， 你 看，这个点是负的， x 二加 x 三，它大于负 x 一， 小于负 x 一 加一，我们解出来就是 x 一 大于 x 二减 x 三小于 x 二减三加一。那么一个区间啊，这边肯定是负的哈， 因为 x 三肯定是大于一的，这边也是负的啊，所以存在这么一个 x 一， 使得使得这个这个这个值，它在属于 dx 二，这个几何却不属于 dx 一， 这个几何就与这个包含关系矛盾，所以假设错误，所以啊，就不存在，不存在一个 x 在零到中无穷上使得 f x 大 于零，也就是任意的 x 属于零到中无穷都有 f x 小 于等于零，那我们根据刚才这个证明，就可以得到 f x 在 零到中无穷上横单调递增 啊。这一问，我觉着有两个非常难想的位置啊，有两个非常难想的地方，一个呢就是这个转化， 这个转化如果你能做出来是得益于什么呢？得益于你对这个函数单调递增的定义非常非常的了解，非常非常的理解， 那才能转化的出来，并且呢要用能够严谨的用数学语言表达出来，用这个集合 d 的 这种语言表述出来。第二个难点呢，就是说我在这里要找两个 啊，在左半段中要找两个 x 一 x 二，找两个，然后去找出来这个矛盾点， 这两个都非常难像。好的，那么这个题就做完了，我们来看一下时间，那么这么长的时间你能不能在 考场上答出来，我觉得是非常小概率。
18湖上青山好
06:25
21:19查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来讲一讲高中数学最难的一道题啊，函数零点问题。那么这道题为什么难呢？因为整个区的同学没有任何一个同学做出来得满分的。那么我们来看这道题，填空压轴啊，小压轴。 那么这道题的话，他说函数分成两部分呗，一个是含参数的 a 是 参数的二次函数的形式，另外一个呢，是含参数的正弦型函数，也就是三角函数的形式。 那么还好他幸亏给 a 大 于零了，要不然这道题更做不出来了。那么他说的是这样一个函数在零到五 b 区间上有四个零点，问参数 a 的 取值范围是多少？ 那么这个函数肯定是要分成两部分的。首先 h 这样一个正弦函数写出来， g x 这样一个二次函数呢？也写出来。 那么你究竟是要从正弦函数来分类呢？还是这样一个 g x 二次函数来分类？肯定是二次函数啊，因为二次函数你从初中就开始学了，对它更加熟悉，我们从二次函数作为这样一个入手点出发点去做。那么首先开口是向上的，为什么？因为 a 大 于零， 所以说开口向上。那么其次判别式，咱们看看它的根的情况，其实也就是这个函数跟 x 轴交点的情况， 那么它呢，写出来之后， b 方减 c， c 就是 它了，那么十六减十二 a 方，然后再减去十六 a， 那 么我们呢，把这个负四提出来，看得什么样子啊？那会三 a 方 还有一个四 a 还有一个负四，那括号里头能不能因式分解呢？咱只看括号里头三 a 乘 a 没问题。然后这个负四的话，我们写成什么？写成二乘二，负二乘正二，然后负二乘正二，对不对呢？ 六倍的 a 减去 a， 所以 因式分解之后，你知道因式分解以后怎么来了吧？他得的就是三， a 减二，然后 a 加二，其实 a 加二，你不用多管，他 负四这个地方呢，它肯定是个负数，然后 a 加二呢，它肯定是个正数，因为 a 本身就大于零了，所以判别式的正负，也就是这个抛物线，它的零点，它跟 x 轴交点的个数呢？跟这个判别式是有直接关系的。 所以我们肯定是要分 a 等于三分之二， a 大 于三分之二，然后 a 小 于三分之二，那总体来说肯定要是分这三类情况的。那行吧，我们就来看第一种情况， 当 a 大 于三分之二的时候，很显然此时判别是小于零， g x， 它呢是无解的。 那么既然 g x 等于零，无解就代表 g x 它没有零点了，它对零点个数的贡献没有任何贡献。那就表明如果要满足提议的话，你得要求什么？得要求 h x 这个函数在零到五这样一个 b 区间上，正好有四个零点， 那么如何满足他在零到五上恰好有四个零点呢？其实好说，你呢，看一看 t 的 范围， a 派 x 减去四分之三派，他的范围其实是很容易得出来的，因为 x 的 范围是多少是零到五，那你把零带入呗，所以 t 最小的范围就这个整体的范围，那就是负的四分之三派。 那么最大的呢？那当然就是 a 派再乘五，咱们写成五 a 派，然后再减去四分之三派，其实很好画了他这个图，你说长什么样子？那正弦型函数吗？是不是？那于是呢？就得这个样子。但是具体来说，你要有四个零点的话，注意 这个是关于 x 的 图像，然后当 x 等于零的时候，你看当 x 等于零的时候，三负的四分之三派吧，这个地方你看一下是等于多少？应该是负的二分之根号二，反正是负数，对吧？这个地方，然后没问题啊，那你写成 t 呢？ 哎，我知道了， t 这样一个 b 区间，这样一个范围内，你得包含四个零点，从四分之三负的四分之三派开始，你得有零派、 二派，三派，三派必须在这个 b 虚线范围内啊，所以说不就有了吗？五 a 派减去四分之三派，他这样一个 b 虚线的上限，他的最大值，他得大于等于三派，然后呢？小于他。 所以如果这个横轴变成了什么，变成了关于 t 的 这样一个图像的话，那这就是，哎，零 派、二派、三派，懂了吧？四派不能在这个范围内恰好有四个满足要求的零点，这就符合要求了呀。那么根据这样一个不等式，你还求不出 a 的 范围来，那么 a 的 范围就是四分之三到二十分之十九之间，那么画出图来很正常啊， 这个就是抛物线，开口线上的抛物线，你发现一个零点也没有，下面这个图像呢，那就是 h x 这样一个正弦函数，你看， 一个，两个，三个，四个，果然是满足要求的。好，这是第一种情况，那第二种情况就更简单了，我们刚刚讨论的是 a 大 于三分之二的时候，那么接下来讨论一下 a 等于三分之二的时候呗， 那这种情况的话，你让 g x 等于零，其实可以求出什么来？求出唯一的解来判别是正好等于零了吗？那此时 g 三就等于零，那么看一下 t 的 范围啊，就是那样一个上限吗？ 它的上限是负的，四分之三派到哪？此时 a 的 值是等于三分之二的啊，到十二分之三十一之间， 我们可以明显的发现，其实把图画出来，你马上就知道怎么回事了。三吧，你看到这个上限，比如说横轴，你要标 t 的 话，他这个值对应的肯定是 t 等于零，这个是 t 等于派， 这个是 t 等于二派，然后呢，十二分之三十一派，这就是 t 所对应的 十二分之三十一派。所以另外它有几个零点只符合要求的在一到五，这个在零到五这样一个必须圈的范围内，只有三个满足要求的零点，对吧？三加一， g x 有 一个零点，然后呢， h x 有 三个零点，三加一不正好是有四个零点吗？而且它们之间是都互不重复的，所以你看一共几个？一个？两个，三个，四个，四个。好，符合要求没问题。 那么继续来看，接下来这种情况是最难的，最难最难的啊。那年的话，应该有同学写完了这个三分之二，但是啊，另外两个特殊的带根号的值没有求出来，这个很正常， 一开始的参考答案上也没有带根号的那个值的，是在做题的过程中。哎，很多同学有一些同学想到了，或者有一些老师想到了，才改正确的这个答案啊，那么我们来看看吧，他的两个零点，首先根据求根公式，这个二次函数两个零点肯定可以求出来， 那那么接下来的话，咱们可以知道， g 零不用说啊，他肯定是大于零的。那么 g 三，为什么想到 g 三呢？因为刚刚咱们刚刚讨论的这种情况，他有一个唯一解， x 等于三还是挺特殊的，对不对？所以咱们研究一下 g 三，因为你讨论的前提是 a 小 于三分之二吧，那你把四提出来之后，这不就是三 a 减二，天呐，所以此时三 a 减二就怎么样， 他就小于零，这不就负数吗？好， g 三是负数，所以如果我们画 g 的 草图的话，其实完全能看出来 没问题吧？好，这就是 x 一， 对啊，然后呢，这个就是三，反正呢， x 一 是在零到三之间的，至于 x 二，你有可能比三大啊，不，不是有可能，他一定比三大啊，一定比三大，但是究竟是比五小呢？ 还是比五大呢？还是恰好等于五，这个就都有可能了。所以咱们接下来主要得求这个 g 五，它这个值，那么现在看了 g 五啊，看好， 那么现在看 g 五的话，算出来就是二十八， a 减去十六，如果当 a 你 看好了，只不是，是不是只用讨论它的正负，当它等于零的时候，二十八分之十六，这不就是七分之四的意思啊。那我们重新画一下这个图像。好，注意了，我画的是开口向上抛物线的这个图像，这个是零， 这个是三，这个地方恰好等于五。那现在请你看一下它这个 x 一 和 x 二正好等于五，你这样一个开口向上的抛物线二次函数，它已经贡献了其中的两个零点了。 那么接下来我们很容易想到二加二等于四，你还得要求 h x， 咱们先想想能不能有恰好只有两个零点，咱们试试啊， 试一试，不可能的。为什么？因为咱们可以求出来，它正好是有三个零点的。 h x 等于零。有三个零点，为什么？怎么得出来的？你画它的草图不就行了吗？来了啊，我把 h x 变成自变量 t 这样一个值， 你看这个范围内有零有派有二派吧？有三派吗？没有三派了，这零 pi 二 pi 没有别的值了，所以没问题了吧？一个，两个，三个， h x 贡献了几个解？贡献了三个零点或者三个解吧。 h x 贡献了三个零点， 然后 g x 呢？它是有两个零点，两个加三个，这加起来五个，是不是超标了呀？所以这种情况也不符合要求， 而且呢，你可以代一代这个 h 几啊，你可以代一下此时他这两个，他的结，也就是他算出来啊，两个零点分别是 二和谁呢？ x 等于二和 x 等于五，这个很好算，那么你算完之后，看了 这个 h 二和 h 五，它可都不等于零啊，所以是不重复的。二加上三， g x 贡献的这两个零点和 h x 贡献的这三个零点加起来一共五个零点。五个零点不符合要求，因为我们题目中是要求恰好有四个零点，五个不就超过了吗？超了一个不行， 但是至少我们想明白 a 等于七分之四，为什么要讨论七分之四这个点了，是因为我们只需要考虑 g 五的正负对不对，正负的边界值不就是 g 五等于零，得出来的 a 等于七分之四吗？那行了，接下来你看这个图就行啊，右下角这个图没问题的啊。 行吧，一个、两个、三个、四个、五个。不行，咱们的要求是四个。行了，接下来我们讨论七分之四到三分之二之间。 刚刚不是讨论的 a 等于七分之四吗？七分之四到，因为你讨论大，前提就是零到三分之二，七分之四到三分之二之间的情况的时候呢， g 五是大于零的。为啥 g 五大于零？ 这个咱们多啰嗦一句，这 g 五大于零的原因很简单，二十八减去十六，你把四提出来，这不就是七 a 减四，当 a 大 于七分之四的时候，七 a 减四是大于零的呀。 所以如果你要画 g x 的 草图就非常好画，这个 x 一 不用多说了，它就是在零到三之间的，那么 g 呢？哎，它这个五这个地方对应的。哦，我知道了， x 二、 x 一 都在 什么范围内啊？它都是在零到五这样一个范围内的。那么接下来你要注意这两个减呢？都是在什么？这两个零点都是在二到五之间的，你可以判断一下 g 二，其实这个地方 g 二它其实也是大于零的。 能多说什么？那好，既然都在二到五之间，就零到五之间已经贡献了两个零点了，那么接下来我们再让 h x 贡献两个零点吗？不行，原因很简单，在这儿呢，你这个 看 h x， 这个 h x， 咱们看一下，你别忘了它的形式啊， a 派 x 减去四分之三派 它这个，呃，内层函数就是 t 等于 a 派 x 减去四分之三派 t。 关于 x 是 一次函数， 是直线嘛，所以 x 和 t 是 一对应的。那所以就很简单了，有几个 x 不 就有几个 t 嘛。所以在这个范围内，三 t y 等于三 t， 你 还不会分析啊？它这个零点只能有三 t， 当 t 等于零的时候没问题， 当它等于派的时候没问题。但是啊，如果你讨论只有两个解的话，这个二派可就不在里头了啊。所以它这个上限五， a 派减去四分之三，派是包含派，但是不包含二派的，于是我们解出来 a 的 范围是它。 行吧，这不用说了，这跟你讨论的前提就矛盾了，你讨论的前提是大于七分之四，结果你最终得出来的范围是小于七分之四，这个七分之四比二十分之十一，他是要大的啊，所以没问题。这个时候矛盾了，那 a 就是 空姐，没有符合要求的 a 舍掉了。 行，那画图的话就是这种情况。你看，此时我们的三就是 h x， 他 有几个符合要求的解啊？有三个，有三个零点，那么 g x 呢？这个抛物线呢？有两个， 加起来几个？五个，五个怎么样？五个又超过了咱们的要求是零到派，这个零到五这个范围内有四个，结果现在是五个，那么再来看吧， 再来看哪种情况？你再来看，有可能他是有三个。可能。有同学要说了，老师， g x 有 两个零点，现在你 h x 贡献了三个零点，二加三等于五，来吧，二加三等于五，你再减去一不就等于四了？有同学说，那个一啥意思啊？重根， 知道什么叫重跟吗？就是 g x 它怎么样？ g x 那 个零点和 h x 其中有一个零点重合了。对，很多同学是没有考虑到这种情况啊，包括出题人自己都没有考虑到的，要不然怎么会在考场上改这个参考答案呢？ 那好了，接下来我们就验证呗，其实验证起来也并不是很复杂呀，你只需要让谁， 你只需要让这玩意儿分别等于零，分别等于派，然后分别等于多少？分别等于二派，那其实也就是它这个上限，它是包含二派，但是不包含三派的，得出来 a 的 范围，行了吧？它的两个解咱们已经表示出来了，这个抛物线 只不过长得很复杂，都含有根号。那么现在你就看，当它等于几的时候，当 k 等于零的时候，等于零的时候，等于一倍的派的时候，等于二倍的派的时候，我们可以得出来它的范围是等于多少的，是等于它的， 也就是说得出来 x 等于几， x 等于四，一分之三，四一分之七，四一分之十一。好，什么意思啊？ g x 的 两个零点分别是我们刚刚写出来的非常复杂的谁？ x 一 和 x 二， 那 h x 的 三个零点分别是四 a 分 之三，四分之七，四 a 分 之十一，那么必须是有重根的情况，要么 x 一 跟其中一个重了，要么 x 二跟其中的一个重了，必须出现重根的情况，要不然这个两个加上三个，这五个可就超标了。 重根最难讨论，也最难计算，比如我们让 x 二分别跟谁啊？让 g x 比较大的那样，一个零点跟谁联系一下， 跟 h x 的 这三个零点连立一下，分别计算，自己来计算吧。比如说等于四 a 分 之十一的时候，它等于四 a 分 之十一 得出来，天呐，这个符合要求，因为我们讨论的大前提就是七分之四到三分之二符合要求，当然要了，另外两个无解嘛，根号是大于等于零的，根号是大于等于零的，但是左边都是负数，负数怎么可能等于根号呢？所以无解没问题， 那接下来就得看谁呀？当 x 二重合的时，刚才是 x 二重合的时候，那么现在看看 x 一 重合的时候，你看 x 一 有可能等于它，有可能它有可能等于它，只有这种情况，只有当 x 一 等于四， a 分 之七的时候，哎，符合要求，所以也可能算出个十二分之 二百根号加二百五，十三减八，是不是？所以这两个看清楚了，一个是十二分之根号，他减八，一个是十二分之根号加二九减八，这两个都是 代表什么？代表有重根的情况出现了。二加三减一嘛，正好是四个零点，所以这两个根也必须包含在内。是不是这样？那么经过之前的讨论， 哎，还有谁？你别忘记了，你别光讨论大于七分之四，你还得讨论小于七分之四的时候吧，对吧？还没讨论完呢。行吧，那继续吧。此时的 g 五也无需多言了。为什么？因为 g 五它是等于二十八， a 减十六，然后呢，你把四提出来， 七 a 减四。对啊，你小于七分之四了， a 小 于七分之四，它当然小于零了，所以我们 g x 贡献的符合要求的零点呢？其实只有这么多，这是它 x 一， 然后呢，这个 g 五 这是小于它，没问题啊。然后呢， x 二这就不要了啊，因为我们的零点只要零到五这个范围内的超过五的就不要了，所以它只贡献了一个零点，这个零点的话也很容易区分，因为你 g x 有 解析式吗？ g x 不 就是它呀，你算一下 g 一 可以吧，然后再算一下 g 二，也没问题吧？它俩相乘以后得的是负数啊，在 a 的 这样一个范围内，所以我们可以得出更精确的 x 一 的范围来，它呢，是在一到二之间的。行，你记住这样一个范围， 那么继续来看还有什么？好了，接下来你就要求 h x 必须贡献三个零点了吧。一加三嘛， g x 贡献了一个零点，那 h x 就 要贡献三个零点，也就是在这个范围内，你这个三 t， 你 必须得有零派 二派吧，二派是在这样一个区间范围内的，三派不在，那，于是得出来 a 的 这样一个范围， 那 a 的 这样一个范围，结合你讨论的大前提，这两个得同时成立吧。于是得出来 a 的 范围就是二十分之十一，小于等于 a 小 于七分之四，于是同学说了，老师，这个就是这种情况的最后结果。也不是还有一个情况，万一出现了重根呢？万一是一个， 再加上几个，一个再加上 h x 的 三个，那一加三，呃，怎么样？如果再减去一个呢？万一出现虫根呢？所以你还得排除掉虫根的情况，这个虫根很好排除了。 怎么排除啊？因为我们 h x 的 三个零点明明都可以写出来了嘛，这个四 a 分 之七，四 a 分 之十一呢？ 他都是怎么样的？都是大于二的，你就不用讨论了是不是？然后他的这个零点 x 一， 你就看能不能跟四 a 分 之三重合了，只有他俩可能重合，但是当他俩重合的时候，你求出来 a 等于这么一个玩意，他很容易得出来他是小于二十分之十一点。为什么？哎呀，这东西小于谁啊？这东西小于十二分之根号下一九六啊。 哎，对，一九六不就是十四的平方吗？十四减八。哦，这是十二分之小于二分之一啊，那小于二分之一当然小于二十分之十一了，所以符合要求吗？不符合要求，懂了吧？你小于二十分之十一，当然不符合要求了， 所以此时它 h x 的 三个零点和 g x 唯一符合要求的零点不重合的三加一正好等于四，在零到五这个范围内，有四个零点符合提益。 那于是咱们画一下图，你只管感受一下，就是图中这种情况，你看它贡献了几个？一个，两个，三个，这是 h x 的 贡献了三个零点，你看 g x 贡献了两个，没问题吧？那么现在咱们就可以说了， a 的 范围就是二十分之十一到七分之四左臂右开，四分之三到二十分之九左臂右开，然后再并上这三个特殊的值。三分之二有同学写对了，但是这两个确实没有同学写对啊。 那么其实这道题纵观它的思路并不是特别特别的复杂，你要知道从哪讨论，必须是从 g x 讨论才是最简单的。 那么讨论的步骤就是通过判别式，咱们先宏观的怎么样？通过判别式的正负先宏观的得出来， a 大 于三分之二怎么样？ a 等于三分之二怎么样？然后呢？ a 在 三分之二 和零之间的时候又怎么样？最后一种情况确实最难讨论，然后呢，再根据什么玩意啊？然后再根据 g 五的正负，然后咱们可以得出来， a 等于七分之四是一种情况，然后七分之四 到三分之二是一种情况，然后呢，零到七分之四又是另外一种情况。而且最难讨论的还不是说跟的个数，是很有可能出现了重跟的情况，你得讨论有没有出现重跟，根据重跟可以把剩下的两种情况求出来。 所以这道题应该学会了吧，如果在考场上给你这道题，那么你花多久能够做出来呢？分享课堂知识，感受数学之美！我是范老师，咱们下节课再见！
1708会放羊的教书匠
00:18查看AI文稿AI文稿最后一题你都写完了吗？好，最后一题没有写，因为不会。我们老师告诉我们的是尽自己的能力所做事，知道吧？你觉得？我觉得我的能力就到最后的第二道大题就差不多了，你有什么想？根据你的数学评论，老师说希望善待每一个高三学生。数学确实很难。
2.7万三沙卫视
01:03查看AI文稿AI文稿你说刚好数学最后的答题为什么总是这么难？你问我，我除了会写解，我还会什么呀？高考数学的最后一道答题就是用来难度，尖字声是长青北还是 上重点大学的？他的难就难在不确定上。你练过海量题目，背过所有的公式，但是还有百分之九十九的概率得不了满分。高考数学压轴题分为两种情况，一就是题目看不懂，只会写解字，跟你一样 无从下手。就像零八年的江西卷吧，压轴题平均分零点三一分，全省三十万人没有一个人做。对啊，最高分九分，一个人八分，两个人，看完答案，你连抄的欲望都没有，那可答案占了整整一夜呀！ 二用的就是高等数学的思想，看起来题不难，但实则大有乾坤啊，绝大多数同学都卡在这一个点上，算不出来。比如数列大题中，许多同学都知道 棒做法，但是棒做法里面有极限的思想，其实绝大多数高中生没有练过呀。不要辜负高考压轴题的高难度，就是故意射箭。
68.7万吴九日思维课堂
01:43查看AI文稿AI文稿呃，哈喽，大家好，二零二六年高考数学最后一道题，你家孩子做出来了吗？呃，大家别骂孩子笨哈。呃，这道题呢，根本不是给普通的学生准备的。今天呢，我们就聊一聊这道让无数考生崩溃的第十九道题，到底难在哪？ 首先，他的知识点超纲，普通高中课本里根本没有数论呃，组合数学的深度内容，但是呀，这个题全用上了， 只有学过竞赛的孩子才懂这些冷门的思路。其次就是他的步骤太复杂，光是第一问就要五六个跳转步骤啊，计算量还大，考试最后半个小时你根本不够用。最后，思维方式反常规，需要跳跃性的逻辑推导， 普通学生就算刷再多的题，也很难想到切入点。大家可以看一下这个答案哈，光答案呢，就有两页的纸。 再给大家说一下扎心的数据，清北每年全国录取比例大概是万分之三，一万个学生里能有三个考上，但是能完整的做出这道题的学生比例可能只有万分之一，比考上清北还难。 那这说明什么呢？这个题就是专门留给竞赛生的，用来筛选最顶尖的那批学生，那普通学生你就算花再多的时间也很难得到分数。所以家长们不要焦虑，孩子做不出来很正常， 高考的关键是把该拿的分拿到，前面的基础题和中档题才是拿分的重点，没必要在这种超纲题上死磕。呃，那你家孩子高考数学最后一道题做了多少呢？评论区来告诉我啊，大家可以关注我。随后呢，会持续更新关于高考的一些内容。
24紫清观教育
