2025重庆b卷数学填空压轴题
二零二五年最新的中考卷毕老师都已经拿到了，那么今天开始我就给大家进行中考试卷分析。但是各位家长，毕老师先说在前面， 中考的试卷分析并不是完全讲题，而是通过一个题的分析与拆解，我要告诉你们最新的中考动向在哪里？这个中考动向对于未来我们孩子到底该怎么学，学到什么样一个程度？新中考的变化又该如何应对？这些问题才是中考分析的重中之重。 比如说今天毕老师给大家带来的二零二五年重庆市的中考题。哎，那么这道题毕老师要给大家先指出来第一个点是什么？大家看上去他是个填空题，实际上这道题就是咱们老中考中的什么啊？解答题。 那么这种命题趋势叫做解答题选填话，那会有什么问题啊？ 各位家长你可想而知啊！原来他如果是一个大的解答压轴题的话，作为一个圆综合，孩子们要做多长时间？ 要做十到十五分钟哦，那我现在把它变成一个填空题了，我应该在多长时间内做完？我应该在三分钟以内做完。把一个十五分钟的题变成一个三分钟就得做完的题，这里面对学生的要求可就变高了。 有的家长就要说了，老师这道题给孩子多一点时间又能怎么样呢？那我要提醒你们一个事了，这道题还只是重庆这张中考数学试卷中填空题的倒数第二道，显然还有个倒数第一道比他还难，需要花更多的时间， 而且这还是填空压轴题哦，后面是不是还有一堆解答压轴题呢，所以如果你慢吞吞的，你达不到三分钟之内把它做对，那就意味着 你可能连整张卷子都答不完。这就是大多数同学这张数学试卷明明出的很简单了，但是拿不了高分的原因。所以速度问题不是一个可选项，是一个必须要解决的问题。 那么想解决到这个速度，接下来的文章可就多了。首先大家要面临第一个挑战，我们中考题 他是很多章节知识点综合在一起的，那么哪个知识点才是这个题的根本？能够一步到位的解决问题，这个知识点就会变重要了。比如说 直角、三角形的相似，大家千万不要用相似去解，要用三角函数去解，那么第二个点更为要命。第二个点是什么哦？就是知识的 扩展。什么意思？大家，如果是一个大的解答题，咱需要写过程，你的过程里面有一个知识点，超纲老师给不给你分， 不会给你分的，对吗？但是我现在已经选填话了，选填话你用超纲的知识，大家给不给分，绝对是要给分的，而这些超纲的知识往往能带来速度上的大幅提升。 那么哪个章节板块超纲的知识最多呢？哎，就是咱们重庆选的这道题，圆和相似这两个板块是超纲知识最多的。比如说什么叫做摄影定律，什么叫做圆密定律，每用一个定律至少少走十步的弯路，这样速度的提升是一个巨大的领先优势， 所以要求孩子们平时多拓展。那么紧接着第三个更为要命，就是有关于我们的计算，大家其实计算也有很多技巧和方法的，毕老师给大家举个例子， 说，我们学勾股定力的时候，如果我这个边长是二倍的根号十三，而这个边长是十三，我想求这个直角边等于多长，大家该怎么办呢？ 哎，很多孩子是这么算的，说老师，这个边长是 x 的 话，它的平方呢，就等于十三的平方减去二倍，根号十三的平方是这么老老实实算吧，算完以后再开放一下对吗？那我只能告诉你， 你的勾股定律压根也没学全，连一半都没学到，因为勾股定律的计算是非常重要的东西，毕老师在给毕家军讲课的时候，我会教他们这样一个技巧，就是你们小学学的提取公音式。 啥意思？说我这个数为什么不好算？是不是因为数太大，太复杂对吗？那我就把它化简一下。怎么化简啊？啊？你是根号十三的二倍，那你呢？你就是根号十三的根号十三倍 啊！假如说我这边就是根号十三，这边就是二，那么这个边好不好求啊？太好求了吧，你简直能口算，根号十三的平方是十三，减去二的平方四，还剩九九开个方，那这边不就是三吗？那他是谁的三倍啊？ 啊，我这个个边都扩大了，根号十三，他就是根号十三的三倍，直接口算，当你会这种口算的时候，你的做题速度就能够大幅提升了。所以真正的学霸，大家比普娃们多知道多少东西，大家有一点点感觉了吗？ 如果有一点感觉，那么这期视频大家都没白看。那接下来毕老师就要细数一下这个解答题选填话到底该怎么破解， 一起来看吧。说我 ab 是 一个圆的直径，然后呢， c 点在这个圆上， ok 哦，这块还是垂直的，然后我做了一个这样的菱形，紧接着一顿连连，完了以后各种相交啊，告诉我们一些数据， 说呀，这个边长得五，这个边长得十二啊，问我们 f d 这小段得多长，并且让我们求 e h 这段得多长？首先啊，这道题的第一个想问，实在太简单了，大家基本上都会啊，表老师给大家梳理一下， 说，我这是一个直角三角形啊，你是五，你是十二。所以第一个知识点，勾股定律，确切说叫做勾股数，那就是五十二， 十三啊，勾股数你要是不扎实，这道题别人能口算，你就口算不了了。好，既然这个边长得十三，那这个边等于几啊？啊？第二个知识点，根据菱形， 菱形各个边都相等啊，你得十三，我也得十三呢，你这是十三，那么我这一小段是不是就等于八呀？好，那紧接着这小段的八，我要求 f d， 我 是不是只要知道 g f 就 行了， g f 怎么办呢？哎，第三个 圆中啊，我们是有一个叫垂径定律的，说你已知条件，你不是告诉我直径了吗？那么垂直于弦的直径必平分这条弦啊，这边是五，这边也是五，其实啊， 垂径定律啊，往本质上学就是他的对称性，把这个五对称过来，这边还是五，那整个是八，这是五，这小段就得几，就得三。所以这道题呢，第一想问，大家就轻松拿下了。接下来就是这道题真正有区分度的分水岭了，这条边怎么求？ 很多孩子是一点思路都没有，那毕老师要给大家说了，这个题的突破点就在哪，就在于菱形，说我菱形有什么特点？所有的四边形的特点，我们都按照边角对角线对称性来解决， 那菱形也不例外，菱形四条边都相等，两组对角也相等，那还有一个结论是什么呢？哦，就是菱形的对角线，我会互相垂直平分， 那我都知道互相垂直平分了，大家，你看，你想要这样的一个红边，他是不是就在我这样的一个直角三角形中啊？哎，那我只要能把这两条边给解决了，是不是这个问题就搞定了， 那么这条边怎么求啊？哎，很多同学就开始硬算了啊，怎么硬算呢？老师，你看 你整个这条边是不是他的二倍啊？那整个这条边呢？我给他横着竖着做个垂线 可以吧？啊，然后你是十二平移过来，这边就是十二，我是五平移上去，这就是五菱形的边长，这边还得十三，所以五加上十三，这就是十八，这就是十二，对吗？哎，那我勾股定力一下，把这就算出来了吧。但是大家不要忘了， 即使你用勾股定力硬算了，你也要用一下毕老师的技巧。什么技巧？ 十二跟这个十八，咱们的最大公约数是几？是六吧？说白了你就是两个六啊，我这呢三个六啊，那这边是二倍，这边是三倍，这个边是多少啊？勾股定律，根号十三倍，所以我整个这个边长 六倍，刚好十三，那这个边长就是三倍，根号十三，第一个加速，你听懂了吗？好，那这个家伙是三倍，根号十三。哎呀，底下这小段有同学就卡死喽！各位， 你要知道，所有的这个线段长其实都是由它的终点决定的，它的终点长在哪，你就知道它该用什么知识了，比如说毕老师提醒大家一下，这个终点 h 长在哪？ 长在圆上吧，所以我就一定要用圆中的条件，能听懂吗？啊，那确切说我长在圆周上啊，啊，然后我这个还是直径啊，那我怎么用啊？我就把它俩连上，直径所对，圆周角 就等于九十度，对吗？哎，所以我要想求这小段，那各位，那我，那我只要把这个读出来就行了啊，然后把它剪掉是不是就可以了？ ok， 而这一段咱知道不？太知道了， 这是十三，这是三倍，根号十三啊，那他不就是根号十三的根号十三倍吗？那我这是根号十三的三倍啊，啊，我这就应该是根号十三的二倍吧啊，这小段就知道了，那我只要知道整个这个就行，对吗？那整个这个又该怎么知道啊？哎，你看一看，我这都圆，各种数据都有， 那我是不是能把圆的直径求出来，然后我再想办法把它求出来，最后就能把这个解决了，对吗？啊？但是大家，我说这里面的每一个思路都很简单，很多家长和同学听到这，其实头都已经大了，根本转不过来了， 那我要提醒大家，原因在哪？这就是普通同学大数据处理的时候没有相应的计算能力，哎，也别怪孩子啊，这样的计算量就是很大，因为你用错了知识点了。 大家发现一个秘密没？就是我这在算的时候，怎么老是用二倍、三倍，根号十三倍啊， 是不是老出现这个东西，原因是什么呀？哈，原因就是因为这些三角形都是相似的呀，那相似的三角形对应边当然应该成比例了。哦，那既然是相似的，你一开始就用相似啊， 这样的话，你不就是极大的化简计算了吗？比如说这个边长，咱怎么求来了？是不是横竖去钩定里硬算啊？你这叫硬算啊，一点都不巧妙啊。哎，那巧算应该怎么算呢？哎，这回毕老师给大家来一遍。好嘞，各位，那接下来毕老师给大家来一遍。 你看啊，我们真正高手的分析是这样说，我就是想求这个边依然装在这个直角三角形里，这没问题， 那我想求这个边的时候，我也给他装在直角三角形里。这个直角三角形，我先问问自己，我知道了什么？首先作为一个菱形，边长都相等，你得十三，我也得十三，这个我是不是知道了 啊，并且我还是九十度的，这个我是不是知道了？那我想解一个三角形，也就是求这里面所有的边，所有的角，我只需知道三个条件，你现在已经有俩了吧，再来一个不就齐活了吗？对吧，那么那一个条件在哪呢？各位缠，这里面有一堆垂直吧， 多个垂直，那就会有同于角相等。啥意思？我假设这个角叫阿尔法 啊，那么这个角是不是就是九十减二法？嘿，又因为底下是垂直菱形，上下两边是平行的，所以这边也是九度吧。啊，他是九度，那这是九十减二法，这个角是不是就是阿尔法呀？ 哦，这看明白了哈，一个阿尔法就来了，那接下来毕老师提醒大家一下，你这是阿尔法，这是九十度，这小三角形是不是跟我相似啊？这是阿尔法，这是九十度，这大三角形是不还跟我相似啊？那到这大家就会有一堆相似了，所以同学就用相似去解，不要 直角三角形相似。毕老师说了，就要用什么三角函数最快，所以我第一步，我找到所有的阿尔法相等，你看，你这是阿尔法啊，那么这个角就是九十减二法吧。对，顶角相等，这是九十减二法。哎，那我这个角是不是依然是 阿尔法呀？大家能听明白吧？哦，或者这边直接内错角相等过来，反正我能导出来这么多阿尔法，那当我知道了这么多阿尔法的时候，我只要找到一个好解的三角形就可以了。这个好解的三角形是谁呢？李老师给大家涂上蓝色， 不就是这一条边吗？你看呢，在这个直角三角形中，这条边得八，咱刚刚求过了吧， 这条边得十二，已知条件给的吧。所以我有一个阿尔法，他的对边现在是八。这么长，他的邻边现在是十二。这么长啊，那么按照比值来算，这是不是就是两倍的四，这就是三倍的四，所以这边就应该是根号 十三倍的，他平方加他平方就得十三吗？对吗？哦，所以我此时这个斜边，整个这个斜边啊， 也就是咱们的 a d 就 应该等于多少啊？啊，你是扩大四倍，你扩大四倍，你也扩大四倍不就完了吗？四倍根号十三，你整个是四倍根号十三。所以我这个小不点就是二倍根号十三，以为菱形对角线 互相平分，毕老师说清楚了吗？不仅如此，大家，我这也是阿尔法吧，对边是两倍，邻边应该是几倍三倍吧。哈，你是两倍的，是二倍，刚好十三，所以我三倍的，那当然就是三倍刚好十三了，大家，简直就跟口算是一个效果， 我说清楚了吗？那接下来我们想解 m h 这一段， m 已经是终点，我都知道了，那 h 点是不是圆上的点？圆上的点怎么呢？怎么用？用圆的知识吧。哎，那我就把它这连上直径所对圆周角得九十度， 没问题吧？那这个九度一旦画出来，各位亲同学啊，说我这是阿尔法，是不是又装在直角三角形里了？ 你想知道这个边长得几？这是三倍的吧？临边啊，这是两倍的吧，这是刚好十三倍的吧。其实你知道这个三角形中任意一个边长不就结束了吗？那么哪个边长最有用，最好求圆中中必考的。 对，就是圆的半径和直径，我这货是不是圆的直径，我只要把圆的直径给算出来就行了吧。那这个圆的直径又该怎么算呢？那百分之九十九的同学都是这么算的，嗯， 说老师我求直径就是先求半径呗。啊，半径，这是 r 的 话，这不就是 r 吗？那么整个是十二，这小段不就是十二减 r 吗？对吧？所以 r 的 平方， 斜边的平方等于什么呢？哎，直角边十二减 r 的 平方啊，然后这块怎么样呢？再加上五的平方，是这个道理吧，而且这个大家 真的要想巧算的话，把这个一项过来，平方差公式不要用完全平方公式，那个更麻烦。好，那收这个能把二解出来，但是这个方法太破了，今天毕老师教大家一招 叫做摄影定律，说我一个直角三角形斜边上的高，已经知道了，对吗？那么根据咱们的三角形相似对应边乘比例，我们能够证明出来， 这个边长的平方等于左右两段乘积，这边的平方等于这一段乘以整个。当然，你要是跟毕老师学过正版的摄影定律，根本不用背啊，这个结论我会给你解释清楚什么叫摄影的时候，你直接就能看出来答案好吗？哦，那这个东西在我这题中怎么用呢？ 这就好办了，说，我把这连上直径所对圆珠角是不是得九十啊？啊，那这个边长得十三，这个边长得十二，十三的平方等于十二乘以整个。 各位，这个 d 直径直接就出来了啊，十三的平方等于十二乘以 d， 那 d 不 就等于十三的平方除以十二吗？我还用你这么费劲吗？ 各位，简直不要太爽。好，那接下来既然我们知道 d 等于这个了，那 d 就是 a、 b、 h 中的 ab 啊， ab 是 根号十三份的吧，是斜边对吗？根号十三份的得这么多，一份得多少？它除以根号十三，哎，又考计算技巧了啊， 说十三的平方除以根号十三，可以约掉一个根号十三啊，那就是十二分之十三倍的根号十三。那么这个算出来谁啊？就是一倍的长，对吗？一倍的长得这么多。哦，那我这是阿尔法的邻边，邻边是几倍的 三倍了吧，所以我还要乘一个三三跟十二约一下，哎，就剩四，所以这个家伙四分之十三倍的刚好十三，减去这个家伙二倍的刚好十三，也就是四分之八吧。四分之十三减四分之八，还剩多少？还剩四分之五倍， 根号十三。最绝的又来了，还是这一招，再用一遍，你是四分之根号十三的五倍， 我呢？通分上去，我就是四分之十二，对吗？换句话说，我就是四分之，刚好十三的十二倍哦，你是五倍，你是十二倍，所以这条边多少倍 哦？五十二，十三，勾股数这条边就是十三倍。那最终答案，四分之十三倍，刚好十三，就可以快速解决了。那么最终这道题答案也就出来了，四分之十三倍，刚好十三。但是各位家长 可想而知，毕老师讲，都讲了这么半天，你们家孩子在考场上要算要算多久？ 而且但凡有一个知识点，他没用我最简的方式进行计算，是不是五分钟就出去了？而且更为复杂的是，你的计算量越大，你计算的错误率就越高，反而那些巧算的才能一对到底。 那么说，这道题是不是因为中考卷出题老师出的太恶心了呢？各位家长，根本就不是，而是这些顶级的出题老师，他们才知道数学最应该学的是什么。 大家看上去毕老师用的这个比例是一个巧劲，其实他恰恰是三角形相似和三角函数的本质。 所以一个题学完以后，我倒推你，让你理解这个东西的本质，这是数学里面的第一要务，因为掌握了本质，大家平时期中期末考试的举一反三你们就会了。 最后，各位家长，无论您是想深入的了解中考动向，帮孩子把握未来中考命题趋势，亦或是就想单纯的获得最新的中考卷给孩子自己做练习？都可以下方评论区和私信联系老毕。
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02:25查看AI文稿AI文稿这是二零二五年重庆中考压轴题的最后一问，虽然难度不太大，但是复杂性特别高。如图，给了一个顶角为一百二十度的等腰三角形 a b c， a， b 和 a c 相等，都是八点 d。 在 b c 边上将 a d 绕 a 点，逆时针旋转六十度，得到 a e。 当 c e 最小的时候，这个时候需要暂停分析一下题目，因为题目后面的步骤都是在 c e 最小的基础上设立的，显然绿色的是个等边三角形。如图，做两条垂线，那么白色三角形全等。由于这是三六九， 那么 a c 就是 这条线段的两倍，说明这个点的位置既是中点，又同时垂直，所以 e 点在 a c 的 中垂线上运动。很明显，当 e 点为 a c 中点时， c e 最小。 继续看题目，此时在直线 a b 上取一点 p， 将三角形 a p e 沿着 p e 这样翻折一下，得到了三角形 q p e。 当 b q 最大的时候，这里还是需要停一下，看 b q 什么时候最大。 由于翻折， a e 和 q e 相等都是 a c 的 一半，也就是四。你可以通过三边关系轻松得到 b q 最大值就是 b e 加上 q e， 也就是这个时候，此时你也可以把 b e 算出来。过 b 点做 c a 的 垂线，成色是个三六九，最后在大白三角形中算出 b e 等于四倍根号。七、 题目还没读完，继续看。将刚才的 b e 绕 b 点，也逆时针旋转六十度，得到 b m， 那 就是说这个成色也是个等边三角形。 然后做 m n 垂直 c a 交 c a 的 延长线于点 n。 最后让我们求这个蓝色三角形的面积是多少，那么我们只需要计算出它的底和高就可以了。目测这两条边如果作为底貌似不太友好，那就以 m n 为底， 高的话，只需要做一条垂线，那么 n t 就是 蓝色三角形的高了。由于成绿都是等边三角形，那么这两个白色三角形手拉手全等，而且蓝角是一百五十度，所以 a m 和 b d 相等，口算为四倍，根号三，而且这个黄色的是个三六九直角三角形， 那么 m n 和 a n 就 都知道了。 a e 和 e q 等于四很早就知道了，那 e t 又怎么算呢？你看这两个白色三角形相似，相似比刚好是 b e 比上 e q， 也就是根号七比一。 当你一开始在大白里计算 b e 的 长度时，线段 e k 你 就已经知道了，它是等于八的，再通过刚才的相似比 e t 的 长就是八除以根号七了。自此蓝色三角形的底与高就都知道了，然后你就搞定了。
149数形大大大
05:50查看AI文稿AI文稿好，我们一起看一下这道二零二五年重庆中考数学的填空压轴题，这道题并不是填空题的最后一题，而是填空题的倒数第二题，计算量也是非常之大。好，我们一起看一下。如图，它告诉我们 ab 是 直径， 点 c 呢，是在圆 o 上连接 ac， 以 ac 为边做了一个菱形，所以 ac 等于 cd 等于 d， e 等于 a， e 菱形四条边都是相等的。然后呢，它告诉我们 cd 与圆 o 交于点 f， a， b 垂直于 c， d， a、 b 垂直于 c、 d， 对 吧？这个地方 c、 f 是 它的一条线，所以这里我们有垂径定律，我们一会就可以得到 c， g 是 等于 g、 f 的， 然后题目告诉我们 a， g 等于十二， 然后 c， g 等于五，因为垂径定律嘛， c， g 等于五，所以 g， f 也等于五，这条是十二，然后这里又是直角三角形，所以我们可以秒出 a， c 等于十三，菱形的边长等于十三。 第一个问题，他问我们 d、 f 等于多少啊？结合我们刚的垂心定力以及菱形的边长，所以我们可以得到 f、 d 应该是等于三的。第一问，解决第二个问题，他让我们求一下 e、 h 的 长度是多少，那么 e、 h 的 话呢，我们就应该在这幅图当中，应该也是用勾股定律去解决的。来看一下正确的思路是怎么样的。 首先第一步哈，他在这个地方连接 c， b， 连接 c、 b 之后，因为 ab 是 直径，所以这个地方会有一个九十度，那么在左边这幅图当中，左边这幅 a、 c、 b 九十度，然后呢，这里做出来，这是 g， 在 这里面我们可以得到三角形 a、 c、 b， 它是相似于三角形 a、 c、 g 的， 所以我们可以推出 ac 比上 ab， 等于 ag 比上 ac， 然后我们可以将数据带进去， ac 是 十三， ab 是 未知， ag 是 十二， ac 是 十三。所以我们就可以解得咱们的 ab， 也就是咱们的直径是等于 十二分之幺六九的，十三乘十三除以十二。好，这是第一个内容，那第二个内容在哪呢？第二个内容我们需要连接一下 b、 h 还是跟刚刚一样，因为 ab 是 直径，所以呢， ab 这个地方也是一个九十度，所以你还能找到相似吗？在这里，三角形 ab、 h 跟三角形 a 距 d 对不对？他们有个公共角，并且都有一个九十度，所以呢，我们从这个三角形相似可以得到三角形 a、 e 好， 这是 g、 d、 g 相似于三角形 a、 b、 h 好， 所以我们可以得到边的比值是一样的，这个 a、 g 比上 a、 h 等于 a、 d 比上 a、 b 好。 我们代入一下数据， a、 g 刚刚求了是十二， a、 h 呢，是未知的，是我们需要求的。然后这个 a、 b 是 等于刚刚算了十二分之幺六九，这个 a、 d 的 长度是多少，我们也不知道，对吧？然后 a、 d 的 长度的话呢，它需要通过三角形 a、 g、 d 去求。你可以看到刚刚这幅图，我们第一问求出了 d、 f 等于三，这条是一个直角三角形，所以这里套一个勾股定律，我们就可以解得 a、 d 的 长度， 他就应该得等于二比三，那就是根号十三，根号十三，那就是四倍根号十三，所以 a、 d 的 长度解出来了是四倍，根号十三。然后套到这个比例当中，我们就可以解到 a、 h 就 得等于幺六九除以 四分四倍，根号十三。好，这个地方呢，我们可以先不着急啊，也也可以化简一下，因为十六幺幺六九是十三的平方，十三的平方拿一个十三出来跟这个根号十三进行约分，那就是四分之十三倍，根号十三。好，所以我们解决了 a h 的 长度，解决完 a h 的 长度之后呢，我们又要 做一个新的东西。好，我们就应该过点 h， 再往这里做一个垂直， 然后我们就可以通过三角形。呃，先将这个点设作点 m 吧，然后呢，你就可以看到哈，三角形 a， g， d， h 这两个三角形是相似的，因为 a m 平行于 g d， a l 平行于 g d， 所以呢，它们会有一个内错角相等，然后两个直角三角形，对吧？所以我们就可以得到三角形 a， g， d， 它是相似于三角形的 a m h。 好， 那这里有什么用呢？啊？也是一样的，我们来写一下边的比例， a m 比上咱们的 g d， 就 会等于 a h 比上咱们的 a d。 好，来写一下长度啊， am 是 未知的，是我们需要求的 g d 的 长度呢，是等于八的 a h 的 长度呢，是，我们刚刚求了是四分之十三倍，根号十三，然后 ad 的 长度刚刚求了是四倍，根号十三。然后我们就可以去解得咱们的 am 长度就应该得等于 根号十三约了，然后八根四约四分之二十，就可以求出 am 长度是二分之十三。好，所以这个题到这就可以超捷径了啊， am 的 长度算出来等于二分之十三，我们刚得到菱形的长度呢，是十三，说明这个点 m 是 不是应该就是中点， 对吧？因为我们刚做的辅助线呢，又是 h m 垂直于 a e， 然后现在点 m 又是中点，所以在三角形 a e h 中啊，它这个地方是符合了咱们的三线合一， 三线合一现在高跟中线是同一条线，所以我们就可以推出它是一个等腰三角形，也就是咱们的 e h 应该等于咱们的 a h。 a h 刚刚已经算过了，就是咱们的四分之十三分十三倍，根号十三，所以答案就是四分之十三倍，根号十三。好，刚刚在这个地方算了，所以。
46张老师👨🏫
39:25查看AI文稿AI文稿好的，同学们，我们一起来看一下重庆市二零二五年中考数学真题倒数第二道题，函数压轴题。来，我们一起来看一下这道题的难度如何。首先看一下题目， 他说这个函数与 x 轴交于 ab 两点，然后与 y 轴交于 c 点，对称轴是 x 等于二分之五。那第一问要求这个抛物线的表达式，那我们来看一下，我们把这几个点标出来，这个点是六和零， 那么这根对称轴是 x 等于二分之五。那我们看一下啊，根据这个抛物线，它是关于这个对称轴对称的，那么 b 点到这个对称轴的距离是不是就等于 a 点到这个对称轴的距离啊？对称轴是二点五，它和 b 相隔三点五个距离，所以说 a 这样算出来， a 的 位置是不是就是负一和负一和零， 对吧？那么把 a 点的位置算出来之后， b 点的位置知道。哎，我们把这个， 我们把这个，呃，什么东西呢？我调一下这个啊，我把这个 a 点， a 点是负一和零，然后 b 点是零和六，把它把这两个点带入到这个呃抛物线里面去，是不是就可以解除？解解除这个 b 等于多少？ c 等于多少啊？那么这是一个方法，这是一个方法，还有一个方法，就是 什么呢？因为我们这个一元二次函数啊，就是这个二次函数，它和我们的这个一元二次方程是对应的。这个抛物线，这个抛物线与 x 轴有两个交点，那对应的是不是就是这个 x 平方加 b， x 加 c 等于零啊？这个一元二次方程和。呃，有两个根呐？ 啊？是不是有两个根，一个根是负一，另外一个根是六，那这个，那这个方程是不是就可以改写成这样，改写成哪样呢？他的，因为他的两个根，一个是负一，另外一个是正六，是不就可以写成写成多少了？ 就是 x， x 加一乘以 x 减六等于零，是不这样？ 那你看一下这个方程的它的两个根是不是恰好就是负一和正六啊？然后我们再把这个这个方程展开，它是不是就直接等于 x 的 平方， 然后减六， x 加一个 x 是 不是就是减五， x 然后减六等于零？哎，那，那这三个方程是不是应该是一样的？所以说我们就直接得到了 y 等于 x 平方减五， x 减六，那么这个是方法一啊，这个 是啊，这个是方法二啊，两种都可以啊，两种都可以，看大家喜欢哪一种啊？那么我个人是偏向于下一种啊，因为下一种做快的话，其实你可以口算出来的。 好，那我们就得到了这个抛物线的表达。是啊，就是 y 等于 x 平方减五， x 减六。好，我们一起来看一下这个第二问 啊。前面是第一问啊，第二问，他说这个 p 点是抛物线上的一个动点啊， p 点是一个动点，连接 o p 与 bc 的 交点于 q 就是 o p 和 b， c 的 交点是交在 q 这里的，然后 d 和 e 是 抛物线对称轴上的对点啊， d 和 e 也是动点，然后他告诉了 d， e 的 距离是四，现在连接这几个点啊，他问的是什么东西呢？就是当这个 p q p q， 大家看一下 p q 除以 o q 的 时候啊，是最大的时候，然后求 p 的 坐标，然后以及 b d 加 p， e 的 最小值，那我们来看一下这个第二问怎么做啊？第二问我们先， 哎，看完题目之后呢，你会发现这个 p 点它是一个动点，然后因为 p 点在动，所以说这个 q 点它也是一个动点，然后呢 d、 e 也是个动点，那么这样看来，是不是就有四个动点呢？ 那我现在想要求这个 p q 除以 o q 取得最大的值的时候，那能不能把这个 p q 的 距离算出来，然后 o q 的 距离也算出来，用上面除以下面就行了呢？嗯，这样应该是不行的哈，因为它们这个 p q 都在动啊，都在动，那我们要算它的最大值的时候，那怎么办呢？就是直接算，算不出来，那是不是就需要转化一下呀？嗯，根据 第一问的条件，哎，我们知道了这个函数的表达式是 x 平方减五， x 减六，那我是不是可以把这个 p 点设它的横坐标设为 x， 横坐标设为 x 的 话，重坐标是不是就是 x 平方减五 x 减六啊？对吧？因为这样设的话，就只有 x 一个未知数，对不对？然后接下来我们看一下该如何转化。嗯，这个 p q 除以 o q， 因为都在，都在动嘛，都在动，所以说你无法确定它的具体值是多少，那我转化的时候就是这个转化的时候，该怎么转化呢？ 那你看一下，我们观察一下，观察一下这个 o q p q， 特别是这个 o q， o q， 它是不是在三角形 o c q 里面呢？ 它比上这个这个 p q， 比上这个 o q， 这个 o q 竟然是在一个三角形内，那我是不是可以把这个 p q 也放在一个三角形内啊，而且通过第一问，我们知道这个 c 点的坐标应该是多少啊？是不是就是零和负六啊？因为它是这个抛物线和这个 y 轴的交点。 好了，那你看一下这个 o c 的 距离是不是就已经确定了是六？那我现现在想要求这个 p q 除以 o q， 求它的最大值，我转换一下，就是把它放在两个三角形里面试一下。那怎么办呢？我就过这个 p 点 过 p 点像这个，呃，像这个 x 轴做垂线，假如说这个它交于这个 b p， 这个 b c 是 f 点， 那大家看一下，看一下我左图上画的这个点呢？看得清楚吧？哎，因为我是做的这个，做的这个 p f， 它是垂直于 x 轴的， 那我们是显然就可以得到。得到什么东西呢？得到这个 p f， 它是不是平行于这个 a c 的 呀？对吧？ p f 是 平行于 a c 的， 然后这个 q 点又是三角形 a c q 啊，不是 o c q 和这个 p f q 的 这个公共点，那我们是不是就可以得到？得到什么东西呢？得到这个三角形 a c q 三角啊，不是，是这个 o c q， 我 写错了。 o c q， 三角形 o c q 是 不是和这个三角形，哪个三角形的啊？ p f q 是 不是相似啊？就是三角形 a o c o c q 和这个 p f q 这两个三角形相似 没问题吧？啊？应该是相似的啊，相似的话，那大家看一下，我们就可以通过相似笔来进行一个转化，这个 p q， 这个 p q 除以这个 o q， 是 不就可以转化成什么东西呢？ p q 除以这个 o q， 是 不就可以转化成 p f 除以这个 o c 啊？哎，这里为什么要转化成 p f 除以 o c 呢？因为 o c 它是一个定值啊， o c 等于多少？ o o c 是 不是等于六？那这个式子是不是就变成了六分之一乘以这个 p f 啊？对不对？ 那我现在要求这个 p q 除以 o q 的 最大值，是不是就转化成了？求 求 p f 的 最大值啊，对吧？那 p f 的 最大值怎么求了？那大家看一下这个 f 点， f 点是 p 点向 x 轴做的一个垂线，那 f 点和这个 p 点的横坐标是不是一模一样的？都是 x， 对 吧？ 那 f 点的纵坐标，哎，我们来看一下哈， 大家观察一下这个 f 点，它是不是在 b c 这条直线上啊？ 直线上好， b c， 我 们可以 b c 这条线，我是不是可以把它看成一个一次函数啊？那我是不是就可以把这个 b c 的 这个函数解析式算出来？那你看一下， b c 是 一个一次函数，它过六和零，还有零和负六， 那是不是很容易得到？这个 bc 的 这个解析式就是 x 减六啊？啊，大家可以把这两个点带进去验证一下啊 啊？六和零带进去是不是？六是不是刚好等于零？零带进去是不是刚好等于负六？那所以如果说 bc 的 这个解析式是不是就求出来了？那因为又因为这个 f 点是不是在 bc 上？那 f 点的横坐标是不是在 bc 上？那它的纵坐标是不是就是 x 减六啊？ 对不对啊？没错吧，我现在要要求这个 p f， 因为这个 p q 它除以这个 o q， 是 不是现在就转化成了六分之一的 p f， 对 吧？这个 p f 它在同一条直线上，而且它们的这个 x 横坐标相等，那它的长度是不是就有 这个纵坐标大的减去这个纵作撇纵坐标小的呀？是不就是有六分之一乘以这个 x 减六，就是 f 点上面这个点减去下面这个点的 纵坐标，是不是 x 减六？减是减的下面这个整体啊？一定要打括号，是不是就是减 x 平方加五， x 加六呀？对不对？那我们来化简一下，是不是就等于六分之一乘以？ 哎，来看一下里面是不是就是负 x 的 平方，然后 x 加五， x 是 不是就是加六， x 减六加六是不是抵消掉了？那是不是就等于多少了？ 嗯，负的六分之一 x 平方加上 x， 对 不对？好， 那我要求这个 p q 除以 o q 的 最大值，是不是就相当于求这个负六分之一 x 平方加 x 这个东西的最大值啊？好，那大家看一下这个函数它是不是一个开口向下的二次函数？ 开口向下的二次函数在哪里取得最大值啊？是不是就是在它的对称轴处？来，我们写一下对称轴的这个公式，是不是？那就是负的，我们算一下 二 a， a 是 不是负六分之一，二 a 是 不是就是负的三分之一，然后 b 是 一来负负负号和负号约掉了，是不是就得到 x 等于三呢？ 对不对？哎，那就是说当 x 等于三的时候， x 等于三的时候，这个 p q 除以这个 o q， 它可以取得最大值，对吧？ 我们看一下这个题目，他要求我们把这个最大值算出来没有？哎，大家看一下这个题目啊，他是没有要求我们算这个最大值的啊，感兴趣的同学也可以把这个最大值算出来，那我们这里就选择了不算。 那既然 x 等于三的时候， p q 除以 o q 取得了最大值，那现在 p 点的坐标是不是就可以算出来了？ p 点的坐标是不是就是三？把它带进去三的平方九九减六等于三啊？再减十五是不是就是三和负十二啊，对吧？ 三和负十二，然后 f 点的位置是不是三和负三啊？没错吧？啊， 这个 p 点的坐标我们现在解决了，然后我们现在要算的是什么呢？就是这个 b d。 好， 我把它写在左边来了啊，我们现在要求的就是这个 b d 加上 p e 的 p e 的 最小值啊，就是这个整体的最小值啊， 我们要求两个线段加起来的最小值。这个模型在哪里学过啊？是不是八年级有一个板块就是叫什么东西呢？将军与野马啊，大家还有印象吧，对吧？是不是在那个模块里面，我们就学过两个线段加两个线段最小值是怎么做的呀？ 啊，我给大家回忆一下，我写在这个最左边的哈，最左边的，大家看到这个最左边啊，就是八年级有个教材，上面是不是有有个人骑着马，还有个蒙古包 啊？假如说这里是 a 点啊，这里是 b 点，好，我们把这个题目简化一下，把这个将军引马的问题，假如说我画的这条横线是一条路，在这个路上要建一个 p 点，要建一个 p 点，使这个 a p 到 a p 和 b p 的 距离最短。 a p 和 b p 的 距离加起来和最短是怎么做的？是不是就过以这个路为对称轴做 a 点的对称点？好， a 一 撇，然后连接 a 一 撇和这个 b， 那 这个， 那这个 a 一 撇 b， 这条直线和我们这个路的交点是不是就是 p 啊， p 的 位置啊？就是它，就是，不就是利用了两条直线之间， 两条啊，几个点之间这个直线段最短啊，这个本质对不对？那我们这里也是一样，我们要求这个 b d 加这个 p e 的 最小值，是不是也可以进行转换？那大家看一下， 大家看一下啊，这个图，这个 b 点，它是不是关于这个和这个 a 点，关于这个对称轴对称呢？那这个 b d 我 是不是就可以把它转化成 a d 啊？ 对不对？那这个图形是不是就转化成了 a d 加 pe 的 最小值了？没问题吧？好， a d 加 pe， 哎，但是这里又出现了几个问题啊，又出现了几个问题，那就是什么呢？我把这个 a d 连接一下， 这个 a d 连接一下之后呢，你会发现 a d 和 p e 它根本就没有在同一条直线上啊，对不对？那怎么办呢？哎，别慌别慌，题目还告诉了一个条件是什么呢？这个就是这个 d e， 它是等于四的 d e 等于四，我想要把这个 p e、 a d 转化在同一条直线上，那我可以怎么办呢？哎，相信大家已经想到它就是我把这个 p 点向上， 哎，向上平移四个单位长度，假如说它平移到 p 一 撇这个位置来了啊， p 一 撇这个位置来了，那 p 一 撇的坐标是多少呢？ 大家看图， p 一 点现在的位置是不是三和负十二，它向上平移四个单位长度的话，那 p 一 撇的坐标是不是就是三和三和负八呀？对不对啊？没问题，是不是它就是三和负八，然后我再连接这个， 我再连接这个 d p 一 撇， d p 一 撇，大家自己看我左边画的这个图啊， 哎，那大家看一下，从这个图上，因为这个，因为什么东西呢？这个 d e， d e 它是不是等于四？然后我刚才平移把这个，把这个点，就是这个 p 点向上挪了四个单位长度，所以说这个 p p 一 撇，它是不是也等于四个单位长度啊？对吧？ 然后这个 p p 一 撇，它是不是在这个 p f 这条直线上？同时呢？是不是就是不是得到了这个 d e 啊？等于 p p 一 撇，同时呢？ d e 是 不是还平行？ p p 一 撇？哎，没错吧？啊， 两条直线相等且平行的四边形啊，就是说有一条对边平行且相等的四边形，是什么四边形呢？啊？没错，就是平行四边形啊，所以说我们就得到了四边形啊，四边形， 四边形谁了？ d e p p e 是 一个平行四边形，是不是它是一个平行四边形？那既然它是一个平行四边形的话， 那这个 p e 我 写在这里啊，空空里面，这个 p e 它是不是就等于多少了？ p e， d 呀？是不是？ p e， d 没问题吧？好，没问题，我们继续。 哎，那我们之前的这个是不是就可以转化成了下来的这个 a d 加 p e 的 最小值，是不是我现现在就可以写成 a d 加上这个，加上这个 p e， p e， d 啊？是不是就是这个 d p e， 对吧？ p e， d 和 d p e 是 相等的，那，那你看一下 a d 加上 d p e， 这我是不是就把两条线段现在就可以转化成了？你看下 a d 加上这个 d p e， 它们之间的最短距离，是不是就它们的最短距离，是不是就等于这个 a p e 啊？ 是不是就等于这个 a p 一 的距离，对不对？就说当这个地点刚好在 a p 一 这条直线上的时候，那么 a d 加上 d p 一 是不是就是最短？是的哈，没错，那么我们现在就可以算一下了。 我知道 a 点的坐标，知道 p 一 的坐标是不是 a 点的坐标是不是负一和零， p e 的 p 撇的坐标是不是三和负八，对吧？知道这两个点的坐标，我要求这两个点之间的距离，怎么求？是不是根据勾股定律，对吧？根据勾股定律的话啊，是不是就是，呃，怎么样？四个平方加上 八的平方啊，对不对？那就等于多少了？十六加上六十四，是不是就是根号八十？根号八十是不是就等于十六乘以五，是不是就是四倍的根号五啊？ 对，好，就等于四倍的根号五。那我们是不是就把这个啊， b d 加 p e 的 最小值给求出来了？多少啊？是不是就是四倍的根号五啊？好，看一下这个第二问，第二问， 第二问。总的来说呢，第一个要求，这个 p q 除以 o q 的 最大值的时候，是不是把它转化一下啊？通过我们九年级学的这个相似啊，来转化一下，然后后面这个 p 点的坐标是不是也固定下来了？ 哎，然后这个 b d 加 p e 的 最小值是不是也能求出来的呀？对吧？啊，这个考的知识点还是比较全面啊，那我们再看一下这个第三问吧。 第三问啊，我们来一个一个解决啊。他说在 p q 除以 o q 取得最大值的条件下，这个条件下是哪个条件下？是不是 p 的 坐标是三和负十二？ 哎，对哈，哎，这个抛物线是不是我们已经求出来，它是 y 等于 x 平方减五， x 减六啊？ 啊？减五 x 减六，对吧？他说沿着 b c， 大家看图看图， b c 是 哪个方向？ b c 是 不是这个方向，是不是朝这个方向啊？平移二倍根号二个单位长度得到 y 一 漂， 大家想一下，这个二倍根号二个单位长度是怎么平移出来的？好，我给大家画个图，大家就演示一下，是不是我们在九年级的这个教材上只学了向上平移，向下平移，向左平移，向右平移，没有说， 哎，向着斜着方向平移，对吧？那我们怎么去算呢？那大大，大家思考一下，这个二倍根号二是不是 很特殊啊？他是不是刚好是根号？他是不是刚好是二的根号二倍啊？哎，大家看一下，看到我画的这个图啊，如果我向左先平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，那你看一下，从假如说从原来这个点到现在这个点， 那大家看一下，是不是刚好就是二倍根号二个单位长度啊？哎，对不对啊？对的啊，就是 相当于是一个等腰直角三角形，对不对啊？等腰直角三角形啊，对吧？那这个 y 一 撇，那这个 y 一 撇，它是怎么来的呢？是不是就是相当于这个由这个 y 先向左平移 两个单位长度，再向下平移两个单位长度？好，我们 y 它是等于多少了？ x 的 平方减五， x 减六，那我们先把它配方， 它配方是不是就是 x 减二分之五的平方，然后减 六减六，这里是不是加上了一个四分之二十五，是不是还要减去一个四分之二十五？他就等于 x 减二分之五的平方，减去四分之后多少？ 是不是四十九啊？啊？没，没问题吧？啊？六十四分之二十四啊，没问题啊，那 y 一 撇是多少呢？ y 一 撇， y 一 撇，是不是由 y 先向左平移两个单位长度？来，大家 练一下口诀，左加右减好，左加右减好，这个基础上平移两个单位长度是不是左加呀？是不是加二的平方啊？然后减去四分之四十九，再向下平移多少？两个单位长度是不是再减二， 对不对？再减二。那我们来整理一下，他是不是就等于 x 减多少啊？ 大家看一下，减二分之五加二，是不是就是减去二分之一的平方，再减去四分之二十四分之八，是不是四分之五十七，对不对？然后我们把这个展开，是不是就等于 x 的 平方减 x 加四分之一，减，是不是就是减四分之五十七？是不是减四分之五十六？是不是减十十四啊？ 对吧？好，那我们是不是就得到了 y 一 撇的这个函数解析式，是不是就是 x 平方减 x 再减十四啊？好， 他说 n 是 y 一 撇上的一个动点，那 n 的 坐标是不是不知道？那不行，把 n 的 坐标设出来吧，那 n 假如说它就等于 a 横坐标，是不是就是 a 的 平方？减 a 再减，再减十四， 对不对？哎，我这里没有设 x 啊，因为我在第二问的时候设了设了 x， 我， 我就把这个 x 改成了 a 啊，改成 am 都可以哈啊，自己喜欢用哪个用哪个，然后我们来看一下这个图啊， 我在这里画一个，画一个图啊，我就不翻，翻上去了，我们先把原来这个图画一下 啊，这个图，因为在平板上这个图不是很好画，这个水平有限啊，大家大家看一下啊， 好，假如说这是原来这个图吧，这是，这是 y 啊，这是 y， y 到 y 一 撇，它是不是先向左平移两个单位长度，然后再向下平移两个单位长度？那假如说 y 一 撇， y 一 撇，大概就是， 啊，大概就是这样吧，看得清楚吧啊，应该看得清楚啊，好，这里这个点是 a 点，这个点是 b 点。 好， p 点， p 点的坐标是不是还是三和负十二？假如说 p 点在这里吧， p 点三和负十二啊， p 点在这里。好，或者我先不写这个 p， 等的这个，我先不写 p， 等这个坐标吧。 好， p 点。然后他说说什么 m 点是 p 点的对应点，那 m 点大概是不是就是在这个位置？ 好， m 点大概就是在这个位置看得清楚吧。好，那我们是继续把剩下的这个点给它标出来，这个，这个是 o 点 啊， o 点 p 点好，是不是还要然后呢？他告诉了一个什么东西啊？他说 啊，他说这个，说，说什么东西呢？他说这个角 n a b 是 不是等于角 o p m 减四十五度啊，对吧？那 n 在 哪里呢？ n 我 是不是不知道？假如说 n 就 在， n 就 在这里吧。 好，假如说 n， n 在 这里， n 在 这里。好，我们先把这几个连起来啊，第一个是 n a b， 好，我先把这个 n a b 连接起来， n a b， 嗯，角 n a b 是 不是就在这里？大家看到了吧？我画的这个 n a b， 然后 o p m 是 不是还要连接 o 和 p 啊？ 好， o 和 p 还要连接 p 和 m 啊？ p 和 m 没问题吧？哎，大家看一下哈， 现在这个 n a b， 找到 n a b 这个角，它是不是等于 o p m 减去四十五度啊？ 哎，四十五度在哪里出现了？哪里出现了呢？大家有没有印象？就是我这个上面，这里，这里，我画的这个图就是二倍根号二，这里这个图， 这个二倍根号二，是不是他？我们刚才他是怎么平移的？他是不是相当于一个等腰直角三角形呢？那这个角是多少度？ 就是我画的这个角，大家看见没有？是不是刚好就等于四十五度？因为他是个等腰直角三角形，对不对？哎，那这一点， 这一点是不是就相当于是 p 点？这一点相当于是什么？ m 点，是不是这样啊？没错哈，没错，就是这样哈。这，那么这个角是不是相当于四十五度？那现在 p 点是？不知道了，我就过 p 点，我是不是就可以过 p 点向这个 x 轴，向这个 y 轴做垂线呢？ 好， p 点做垂线是不这样？那假如说这个垂足的地方是 r 吧？假如说这个垂足的地方是 r， 那 大家看一下我画的这个点，我画的这个角，我画的这个角是不是就是四十五度？ 是不这样，大家看看到我画到哪里了吗？好，就是这个 r p m 这个角是不是就是四十五度， 对吧？它是怎么来的？就是因为我们刚才根据这个平移，根据这个平移把它推出来的呀？先向左再向下，是不是平移相同的长度，是不是？那这个夹角就是四十五度，对吧？那大家看一下 这个 o p m o p m 减去这个四十五度，是不是刚好就等于角 o p r 啊？ 是不是刚好就等于这个角 o p r 没问题吧？是不是？那我是不是就得到了这个角 n a b 角 n a b， 它是和这个角 o p r 是 相等的，对不对？ 对吧？这个 n 点我们是不是刚才把它的坐标给设出来了？是 a 和 a 的 平方减 a 减十四，对吧？ 那我现在知道这两个角相等，我怎么把这个 a 求出来了啊？我怎么把这个 a 求出来？其实这里哈就要用到一点，这个可以用到说可以用到一个三角函数的， 三角函数的里面一点点东西啊，就是这两个角相等，这两个角相等，那他们的这个正切值是不是也相等啊？ 好，他是，是不是？他们两个角的这个正切值是不是也相等？ o p r， 对 吧？那这个两个角的正切值怎么求呢？我先过这个 n 点向这个 x 轴做垂线，好过 n 点向 x 轴做垂线， 这个不是垂直的，我重新画一下 做垂线，假如说是，假如说这个点是 k 点吧？那那这个你看一下哈，它们的这个正切值相等的话， p 点是不是？我知道它的坐标是三和负十二，对不对？那这个，那这个角我们先看这个，先看一下这个 o p r 这个角 啊， o p r 这个角找到没有？ o p r 这个角，那它的正正切值，它的正切是不是就它的探径 t c 正切值是不是就等于对边比邻边？那对边是不是就是 o r o r 的 长度？ o r 的 长度是多少啊？是不是十二？就是 p 点的纵坐标？ o r 的 长度是不是 p 点的纵坐标就是十二？然后 它的零边，零边是不是 p r p r 的 长度是不是就是 p 点的横坐标？是不是就是三？对不对？那，那这个 这个角 n a b 的 正切值怎么求呢？大家找到 n a b 这个角，它的正切值是不是也是对边比零边对边是不是就是 n k 的 长度？ n k 的 长度是不是就是这个 n 点的纵坐标啊？对吧？因为我现在把 n 点画在了这个 x 轴的下方，我把 n 点画在了 x 轴的下方，那这个 a 的 平方 什么东西呢？ a 的 平方减 a 减十四，是不是就是一个？是不是就是一个负数啊？对吧？哎，我们现在是要求它的这个探间 t c 的， 那是不是？我要是就是它的， 它是距离吧？它是这个 n k 比上 a k 的 这个距离，距离是不是一个正数啊？是不是？但是这个 a 平方减 a 减十次是个负数，那是不是还需要打上一个相反的符号啊？然后 a k 的 长度是多少了？ ok， 是 不是？ a？ 是 不是 a， 对 吧？ a k 的 这个坐标， a 点的坐标是不是负一？那 a k 的 距离是不是就是 a 减负一？ a 减负一是不是就等于 a 加一啊？ 对不对？那我是不是就把这个，呃，他们的这个等量关系是给写出来的呀？那你看一下左边左边这个分子上是不是有个符号，我直接把这个符号甩到右边去，甩到右边去，那是不是就相当于左边这个 a 的 平方减 a 减十四，除以 a 加一，是不是就等于负四啊？ 对不对？好，我们来算一下，那 a 的 平方减 a 减十四，是不是就等于 负多少了？负四 a 减四，是不是这样？好，我们把它整理一下，是不是就是 a 的 平方， a 的 平方减多少？呃，负四 a 移过来是不是加四？ a 四， a 减 a， 是 不是就是加三 a， 然后减十等于零了？大家看一下，这个是不是可以因式分解，它是不是可以等于多少？ x 加五哦？ a 加五， a 加五乘以多少？ a 减二等于零，是不是？它是不是可以因式分解啊？ a 加五乘以 a 减二，那我们是不是就可以得到两个根，一个根 a 等于负五，一个根 a 等于多少？ a 等于 a 等于根二，那大家看一下，那大家看一下我画的这种关系啊？ 啊？这个，这个 n 点，这个 n 点在哪里啊？ n 点是不是在这个下方啊？ 那这个 a 右下方，那这个 a 等于负五，这个是不是要把它排除啊？ a 等于负五，这个是不是要排除？那 a 等于二的时候， a 等于二的时候，我们把它带到 n 点这个坐标里面去，是不是就得到得到了 n 点的坐标？是二啊？二得四，四减二，二，二减十四，是不是就等于负十二啊？那是不是就得到了 n 点的其中一个坐标 啊？就是二和负十二。那还有一种情况啊，就说这个 n 点， n 点在哪里？ n 点在 x 轴的上方， n 点在 x 轴的上方，那假如说 n 点在这个地方吧， n 点在这个地方，那 n 点在 x 轴的上方，它这个分析方法是不是和 x 它在 x 轴下方一样？那现在， 那，那大家看一下，是不是那现在这个 a 的 平方减 a 减十四，就是一个什么正数了，对不对？那它再除以 a 加一，是不是就等于四了呀？对吧？是不是直接就等于四啊？那我们来看一下， 还是来看一下，解一下，是不是 a 的 平方减 a 减十四，是不是就等于四 a 加四啊？四， a 加四的话，我们把它移过来， a 的 平方 减 a 减四， a 是 不是就减五？ a 减五， a 等于等于十八，那我们配方吧，我们通过配方法，通过配方法的话，是不是就可以得到 a 减二分之五的平方就等于多少了？ 左边还要加一个四分之二十五，是不是？十八加上四分之二十五，那就等于四分之多少了啊？十八乘以四等于多少啊？ 呃，四八三十二，一四得四是不是？七十二、七十二，七十二加上二十五是不是就等于九十七？好，那这个我写到左边来了，我写到左边来了。这个 a 减二分之五是不就等于 二分之根号九十七？或者是 a 减二分之五就等于负的二分之根号九十七，那 a 一 是不是就等于多少了？二分之 五加根号九十七，对吧？ a 二就等于多少了？ 二分之二，我写，我等一下，有点不好写啊。二分之 五减根号九十七。那大家看一下，看一下这个图 a 是 一个什么数啊？ a 是 不是肯定是一个正数啊？正数是不是就要把这个 a 二给去掉？好， 我们把这个 a a 等于二分之五加根号九十七代入一下，是不是 n 点的坐标就是二分之五加根号九十七来纵坐标，纵坐标是不是带到这个 a 的 平方？ a 的 平方纵坐标是不是带到这个 a 的 平方减 a 再减十四这个里面去啊？那这个纵坐标大家自己算一下，自己算一下， 就是把这个就是把这个东西带到这个 a 的 平方减 a 减十四里面去算一下，然后再把这个结果写到这里就可以了 啊，这个有点难得算哈，我就不去算了，反正大致就是这么算的啊。啊，那么这个就是啊，这道题呢，就是二零二五年重庆市中考啊，倒数第二道函数压轴题啊， 我也是简单看了一下，就是说，呃，还是用了花了一点功夫啊，花了一点功夫啊，才把这道题给做出来， 才把这道题做出来。那么其中啊，啊有有的东西啊，是大家肯定会的，那么 啊，大家肯定会的，如果大家不会的话，大家可以借鉴一下，就是参考一下我的这个思路和方法啊，我的这个思路和方法，然后呢？ 啊，其中可能有些东西啊，讲错了，或者是讲的不恰当，那么大家理性的看待啊，理性的看待，因为我本身这个水平也不是很高啊，也不是很高 啊，做这些题其实都是能力比较有限，哎，所以说如果讲的不好的地方，大家啊，理性的看待，理性的看待。好的，那么这个就是这道题啊，大家结合自己的情况看一下吧，看一下， ok， 好， 我们到此结束。
458李大诗✨
10:44查看AI文稿AI文稿好，我们今天一起看一下这个二零二五年重庆中考数学的填空题。最后一个题 难度也是挺大的，这是一道新定义的题目，他说咱们规定了一个四位数字， m 等于 a、 b、 c、 d， 如果满足 a 加 b 等于 c 加 d 等于十，那么就称这个数字为实权数。比如说数字一九二八，一加九等于二加八等于十，所以它是实权数。按照这样的一个规定，那么最小的实权数是多少？那我们就可以发现啊，这个数字它是一个四位数的， a、 b、 c、 d， 然后这两个凑起来是十，这两个凑起来是十，然后这样的一个四位数，那么如果想让它最小千位上，是不是应该最小千位上不可能是零，只能是一，所以这个百位上就是九。然后这里就会出现问题了，这个 c 呢？它是一还是二，就取决于你对你对这个题目的理解。这个题目有没有说 a 是 不可以等于 c 的， 题目并没有告诉咱们 a 不 等于 c， 所以 这里面 a 是 有可能等于 c 的， 所以这个十位上也可以填一，这个个位上填九。 所以这道题的答案是一九一九啊。当年应该有很多同学他在纠结哈，他就说 a、 b、 c、 d 四个字母，四个字母都是不一样的，所以他代表的数字应该也不相同，所以 a 不 能等于 c， 所以 就会有很多同学当年给出的答案是这个对不对？他就会觉得啊，一九二八。刚好给咱们举的例子是这个， 如果这样的话，那这个题目也太真实了，对不对？好，那我们再看第二个问题，第二个问题，他说一个实权数啊，把他的个千位与个位调换位置，百位与十位调换位置， 它原本是 a， b， c， d 的， 那调换之后是变成了 d， c， b， a， 哎，就刚好颠倒了一下好，然后把这两个，把这两个数字分别记作 m 跟 m 撇，然后又给了我们两个式子，一个是 m 减去 m 撇除以九百零九，一个是 m 加上 m 撇除以十一，然后又给了咱们 这个 f m 跟 g m 之间的一个关系，还有这个 ab 加 cd 除以十七，他说这两个东西都是整数啊，那可能看到这里就觉得很乱了，我们就按照题目给的顺序，我们一步一步往下走，就基本上就能够知道说他想让咱们干什么。来，先看一下哈。呃， 首先这里四个字母未知数太多了，所以我们可以减少一下咱们这个未知数的个数，因为我们能知道这两个数字它们相差是等于十的，所以我可以选择，哎，将第一个数字设成 x， 那 么第二个数字是不是十减 x， 我们将第三个数字设成 y， 第四个数字是不是应该是实践 y， 对 不对？然后在这个初一跟初二初一这个阶段学的一元一次方程，或者是二元一次方程里面，咱们都有学一个类型叫做 数字问题。这个是千位，他代表着每一个数字代表的都是一千，他是 x， 代表着有 x 个一千，所以就是一千 x。 这个是在百位代表着一百个十减 x 啊，十减 x 个一百，这个代表着 y 个十，这个代表着十减 y， 因为他在个位对不对？然后这个就是咱们想要求的 m， 然后这边呢，也是同样的道理，他换位置了，咱们表 a 跟 a 是 同样的一个东西嘛，对不对？所以 a 还是 x， b 呢？还是十减 x， c 呢？还是 y？ d 呢？还是十减 y， 然后现在的千位是不是就这个了？所以是不是就应该是一千乘以十减 y， 然后这个是百位加上一百 y， 这个是十位加上十个十减 x， 这个是个位，再加上一个 x， 这就是咱们的 m 点。所以呢，我们经过化简， 最终可以得到，这个 m 是 九百 x 加上九 y， 再加上一千零一十，这个 m 撇呢，我们就可以计算出来，它是等于负的九百 y， 再减去九 x， 再加上一万零一百。好，然后进入到题目的第二个流程， 他说 f m 等于 m 减去 m 撇除以一个九百零九，那我们就可以看看 m 减去 m 撇，那我们对应一下，每一个都对一下啊，九百 x 减去负九 x， 那 是不是就等于九百零九 x 呀？然后九 y 减去负的九百 y， 那 是不是就应该是也是九百零九 y 啊？ 然后一千零一十减去一万零一百，那就等于负的九千零九十，然后你就会发现它的分母是九百零九，哇，太爽了吧，对不对？可以直接约掉。所以这个式子最后结果是等于 x 加 y 减去十，这就是 f m， 然后再看一下这个 g m 等于什么 g m 呢？它是等于 m 加上 m 撇除以十一啊，那这个东西应该相加应该是十一的倍数，那我们再计算一下啊，他们加在一起九百 x 加上负九 x， 那 就是八百九十一 x， 然后九 y 减去九百 y， 那 就是减去八百九十一 y， 然后一千零一十，减去一万 啊，相加啊，再加上一万零一百，那加起来就是一一一零，然后除以十一啊，对不对？聪明的同学应该都能口算出来吧？八百九十一除以十一，那就等于八十一 x， 然后再减去八十一 y， 然后再加上一个幺零幺零，对不对？好。然后接着重头戏来了，他说四 f 四个 f m 加上 g m 加上十五，除以十三，他说这个东西是一个整数，那是不是就有点不想算了呀？对吧？好，坚持坚持啊，你看四个 f m， 那 就是啊，给他打个草稿，在这四倍 f m， 那 就等于四 x 加上四 y 减去四十，然后它们俩相加，加上十五，那我们就可以得到这个式子，就应该是八十五 x， 再减去 七十七 y， 七十七 y， 没错吧？然后再加上九百七十，然后去除页十三，除以十三。好，他说这个东西是整数，那意味着什么呢？意味着这个东西是咱们初一的 出出一下的二元一次方程里面的整数解问题，它如果说这个东西是整数，那我们就可以求这个 s 跟 y 也是整数，那么我们就可以把这个 s 跟 y 所有的可能都写下来，对，好。然后呢，对于这个式子，我们就可以把它进行一个分离，它最终写出来呢？是六 x 减六 y， 再加上七十五， 然后再加上十三分之七 x 加 y 加十啊，这一步就比较复杂了，就是你要用八十五除以十三，然后你就发现它等于等于六，最后还余下七，就把它的整数部分给它分离出来，这样子我们就可以让这个分数变成尽可能小的东西，一会对它进行进行分析也会比较简单， 对吧？你看六 x 减六 y 加七十五，这个东西包是整数的，对不对？一定是一个整数，那后面这一节呢？怎么样保证它一定是整数？在初一的方二元一次方程组那里有一个整数解的问题，这个东西处理起来是这样子的哈，因为 x 大 于等于一小于等于 九，所以我们可以推到七 x 大 于等于等于小于等于九十三，然后这个 y 呢，也是大于等于一小于等于等于九的，所以把这两个不等式加在一起，那七 x 加 y 就 等于等于八小于等于六十三，加九等于七十二，然后他是不是还要加个十， 对不对？加完十之后他是十三的倍数？好，那加十七 x 加上 y 加十，他是不是就应该大于等于十八小于等于八十二，对不对？好，等于八十二之后，那你就会发现啊，十三的倍数在这里面有哪些数字呢？在十八到八十二之间，十三的倍数是不是十三？不行，有一个二十六，有一个 三十九，有一个五十二，有一个六十五，有一个七十八，是不是就有五个了？好，我们现在分析到这哈，我们就可以发现，我们现在把它稍微给它挪个地方，我们来看一看， 我们现在是得到了七 x 加 y 加十，它有可能等于二十六、三十九、五十二、六十五跟七十八。 好，它有可能等于这些数字，那我们再看下一个条件，下一个条件告诉我们，这个 ab 加上 cd 除以十七是整数。哎，那这个 a d 怎么表示啊？ a， 刚刚咱们表示出来了，是不是就是 x， 所以 这个现在是一个两位数，那就是十 x 加上十减 x， 对 不对？那 c、 d 是 什么呢？ c、 d 是 不是就十 y 加上十减 y， 把它们加在一起，最后呢是 九 x 加九， y 加二十九， x 加九， y 加二十，然后除以十七。嗯， 这个式子啊，化简出来就是这样的。好，九 x 加九， y 加二十除以十七。好，现在这个东西也是一个整数，那就意味着九 x 加九， y 加二十，它就应该得是十七的倍数，对吧？那我们就来验证一下啊，那接着下一步就挺清脆的，就整数减问题我们就可以来猜了啊。如果左边这个式子它等于二十六的话 啊，那我把这个十全部移过去啊，十全部移过去，是不是就得到了七？ x 加 y， 他 就可能等于把十移过去，减二十六减十，那就是十六。三十九减十，他也有可能是二十九，然后五十二减十，他有可能是四十二，六十五减十，他有可能是五十五，然后七十八减十，他有可能是六十八。那你看看这种情况下， x 是 不是就可以等于一，那么 y 是 不是就等于九？如，又或者说 x 等于二， y 得等于 二，是不是？然后你就把这个一跟九带入到右边这个算式当中，看看它能不能让第二个数字也符合它。一个城市如果把一放进去，这就是九，把九放进去，这就八十一，九十一百一十是十七的倍数吗？不对，是不是？所以第一个 out， 然后 s 跟 y 如果都是二的话呢？二九十八，二九十八、三十六， 带到这个数字啊，二九十八，二九十八，三十六，三十六加二十五，十六，五十六也不是十七的倍数，所以他也不行。那接着你再看，如果等于二十九的话，那这个 s 等于多少？那有没有同学觉得说 s 等于一，然后 y 等于二十二的，这肯定是不行的， 这肯定是不行的，为什么？因为我们前面说了， s 跟 y 它代表的都是一个位置上的数字，所以他的范围只能是从一到九，明白吧？他也不能取零，如果他取零的话，说明他有一位数，上面是零，二是十，根本写不下，对不对？要是保持让这两个数字是一个个位数啊。所以这里面的话呢， x 得等于 四，四七，二十八，那么 y 就 等于一，又或者说 x 等于三，三七，二十一，二十一加八， y 等于八，然后你再把这两个放进去，四九三十六加九加二十等于六十五，六十五除以十七，明显不可以，对不对？然后再看啊，这个也不行了，那如果 x 等于三三九，二十七， 八九七十二加在一起，九十九，九十九加二十等于一百一十九，一百一十九除以七，哦，除以十七刚好等于七，那这个是不是就可以？这个可以的话， x 等于三，那就说明这个位置 a 就 等于三， b 就 等于七， 然后 y 等于 y 等于八，说明 c 就是 八，那么 d 就 得是二。所以这道题答案三七八二是不是？那我们是不是还要再检验一下万一哈，这个填空题它轨迹多端，有没有可能说有别的答案，对吧？答案有可能不止一个，那我们就看啊，如果这里是四十二的话，那么第一种可能， x 等于六 六七四十二，那么 y 是 不是等于零？这不是不行，那 x 只能等于多少？ x 等于五， y 等于七，然后你再带进去验算，然后最后发现它是不行的。五十五的话呢，来 x 是 不是得等于七七七四十九，那么 y 是 不是就得等于六，然后把它们带进去？嘿，发现它也不可以。最后一个六十八，那 x 是 不是就得等于 七九六十三，然后 y 是 不等于五，然后你再带进去，你就会发现，哦，他也不行，所以这么多种情况，最后算出来只有三七八这一个可以。这一道题的计算量呢，非常之大啊，我自己做也花了将近二十分钟，然后如果有小伙伴有更好的写法啊，欢迎在评论评论区里面告诉我。
22张老师👨🏫
06:14查看AI文稿AI文稿好，我们一起看一下二五年的重庆数学中考的选择压轴题，这道题呢，在当时应该是有很多同学他是看不懂题目的，你可以暂停一下，看看你能不能看懂这个题。好，那我们一起看一下，它告诉咱们，呃，整数 m 呢，它是等于 a 零加 a 一 x 加 a 二 x 方，一直加到 a n x 的 n 次方， 其中呢， a 零它是一个自然数，然后 n a 一 a 二，一直到 a n， 它都是正整数， 那么这个时候你就可以，咱们就应该就知道说哈，这个自然数跟正整数之间有什么区别？自然数啊，我们小学就学过了，他指的就是零一二三一直到无穷无尽，那正整数呢？一二三四五六七八九十，也是到无穷无尽，对不对？那自然数跟正整数他们的区别就在于一个有零，一个没有零， 明白吧？所以这里呢，我们要重点关注一下这个 a 零有可能为零的，其他的都不可能为零，都是正整数。并且他告诉咱们又一个条件， a 零加 a 一， 一直加到 a n， 它是等于四的，也就是说上面这一串数，这个多项式里面，它所有的系数之和是应该等于四的。所以这道题它的本质其实就是一个分配问题，就是我最多只有四，我把四去分配给他们， 然后他们又都得是正整数。好，我们先看第一个，他说满满所有整数 m 中，尤其仅有一个单项式，那很多同学就会就会说了啊，你看啊，第一个选项，那我可不可以把这个四分给 a 零， 那后面呢，是不是就都没了？那 a， 这个 a 零是 a， 零是四，那 a 一 是不是就得这个 a 一， 是不是就得是零？ a 二这个地方是不是就得是零，对不对？这样子才能够满足 a 零加 a 一 加 a 二，一直加到后面它，它的总和都是等于四的，对不对？那最后结果是不是就应该得等于四， 就等于 a 零等于四，对吧？那这个东西他肯定是不可以的。那很多同学他在这里觉得说他可以，那一会他这个第一个选项就觉得他是错的啊，因为算出来有两个，因为还有一个是什么呢？还有一个就是说当 a 零等于零的时候，那我们可以得到 m， 对 吧？等于零，加上我把这个四都给到这个 a 一， 那后面呢？是不是也只能分到零了，对不对？那零加四 s 等于四 s， 哎，这个毋庸置疑，这个肯定就是单项式，那上面那个四呢？是不是也是单项式？但是它为什么不行？那你看哈，在题目的前面，它其实已经告诉咱们了，这个 n 得是正整数， n 不 能等于零，对不对？那 a n 我 们加到的最后一项应该是 a n s 的 n 次方， 对吧？ n 不 能等于零，所以我们至少哈至少要加到 a 零加上 a 一 x 的 一次方，这种情况下 n 是 等于一的，最起码要这个形式才可以，所以这个不是，这个是， 那么我们就可以得到它的单项式，只有这么一个，因为如果你再分的话，它里面是不是就会出现 x 的 平方，就会就不是单项式了，就是多项式了，明白吧？好，这是第一个选项哈。那接着我们来看一下第二个，他说当 n 等于 三十，那 n 等于三的时候，我们是可以得到咱们这个 m 是 不是应该得等于 a 零，加上 a 一 x， 加上 a 二 x 的 平方，加上 a 三 x 的 三次方，对不对？然后呢？他说所有的整数 m 之和加在一起呢？是等于它上面这个东西啊，所以我们这个地方就是一个分配的问题了，我们可以用列表格的形式吗？ a 零可以等于多少？那其实就是把这个四去给他们分下去。如果 a 零是零的话， 那么 a 一 是不有可能是分一一二是不有可能是零？二一一零一二一，对不对？ 然后 a 零是不是有可能它不是零？ a 零如果是一的话，那四要分解是四个数字，那是不是就四就只能一人分一个，对不对？四个都像是，那我们可以写出来， m 有 可能等于零，加上 e x， 加上 e x 方，加上二 x 的 三次方，加上二 x， 加上 e x 方，加上呃呃， e x 的 三次方，对不对？好，这样子 加上 e x 加上，对吧？然后它说所有的整数加在一起，那我们就可以接着看了，所以它的总和 加下来就是等于一，这总和加在一起是有五个 x 的， 这个加在一起是有五 x 的 平方的，这个加在一起呢，是有五 x 的 三次方了，所以我们会发现它的总和并不是他说的这样的，所以他是错误的，明白了吧？好，好，那咱们再看第三个， 他说满足条件的所有二次三项式当中，对吧？他有三项，最高次是二次。所以我们现在是不是能得到这个 n 应该等于多少？是不是应该得等于二，对吧？咱们这个 m 这个式子是不是应该得等于 a 零加上 a 一 x， 加上 a 二 x 的 平方，这是不是才是三项 二次三项式？然后这个地方他不为零，如果他为零的话，是不是就变成了二次二项式，对吧？好，然后这个东西不为零，那我们是不是可以写一下，他不为零，他是不是有可能是一啊？一分下去，那这个是不是就二？这个是不是就一，这个是一，这个分分成一， 这个是不是就得分到两个，然后他不是一了，他是二的话呢？那后面两个是不是只能是这样子？那他有没有可能分三？如果给他三，那是不是不是势必后面两个其中有一个是零，他就不是三项了，明白了吧？所以这里面不能有零，就是把四分给他们三个，所以我们可以得到咱们这个 m， 咱们这个 m 要么就等于这个，要么等于这个，要么等于这个。然后他告诉咱们，当 x 取任意实数时，其实一定是非负数，那非负数的话，我们是不是就可以看一下这个比特对不对？首先这三个，这三个图它都是开口朝上的一个抛物线， 对吧？那么他只要不能是负的，非负的，就说明人家的 dta 这种情况下与 s 中没有交点，这种情况下 dta 小 于零，对不对？那他跟他相交可以吗？非负的话是不是可以相等可以为零，对不对？这种情况下 dta 是 等于零的，对吧？ dta 大 于零的话就有交点了，就可以了。你看 这个样子， div 大 于零，底下是有负的，所以它是不行的，明白吧？那所以我们从这一个条件就可以判断出它的意思，其实就是告诉咱们在这三个式子当中有哪些它的 div 是 小于等于零的。 那我们可以看第一个，第一个我们甚至都可以不用哈，因为我们直接用完全平方式给它和起来就可以了，这个东西是不是就很大于等于零？所以第一个是 ok 的。 第二个呢？ div 那 b 方减去四 a c， 那 一减 八是不是等于负七？是不是小于零？所以第二个是不是也行？第三个一减八是不是也等于负七？是不是小于零？所以第三个也可以，所以他说一定非负非负数的整数 m 一 共有三个，所以它是正确的，第一个跟第三个是正确的，所以这道题选 dog。
80张老师👨🏫
35:03查看AI文稿AI文稿好，小伙伴们大家好啊，我是胖叔，从今天开始呢，胖叔会跟马哥合作去录制二五年的中考数学压轴题，那么首先出炉的是重庆中考的数学压轴，胖叔今天讲的是二十五题，是一道函数几何的综合题。 那么在正式看题以前呢，咱们先来梳理一下这道题需要掌握的一些核心方法， 那么这里面呢，总共四个核心方法，前两个是关于题目的第二问的，哎，题目的第一问求解析式，太简单了，咱们直接就不讲了，前两个方法要点是关于第二问的后两个方法要点关于第三问。咱们先看一和二。 首先第一个呢就是转化比例，咱们经常会在坐标系中函数几何综合题目中呢，看到题目需要我们去处理两条线段的还是斜线， 那咱们知道坐标系里面斜线其实就是不好去搞的啊，不好搞的，那么咱们这时候通常要用到一个想法，叫做什么呢？叫做画斜为直，斜线不好处理，我要把它画成横竖线啊，这里的直指的是横竖线， 横竖线段的坐标线里面能用坐标很容易的表示，所以咱们转化成横竖线问题就简单了。那现在问题来了，这个比例怎么画横竖线呢？哎，那就要结合咱们其他的几何知识了，我们想一想，什么情况下能进行比例的转化呀？ 我们学过的哪个知识里面，是不是咱们学过的相似里面能够进行比例的转化？那我所以现在的想法就是构造一个相似吗？那没有现成的相似，我构造一个相似，那构造相似的话，我们最常用的 相似是啥呢？其实就是 a 字和八字，所以接下来想法就是咱们构造 a 字八字相似就好了。 那么结合画斜位置，画斜位置需要有横竖线，我现在又要构造 a 字八，那我怎么构呢？那就很简单了，我们可以 做竖线，做竖线来得到 a 字和八字啊，那这里面做了两条竖线，他俩平行的，那其实得到的就是一个八字了。哎，那这时候呢，我要求圈 b 叉，圈 b 叉其实就等于谁了呢？就等于了这个图形中的小 a 和小 b 的 比， 小 a 小 b 都是竖线，哎，那所以呢，他处理起来就比这个斜线要简单的多了。好，这是第一个方法，要点画斜为止啊，其实就是斜着的比例不好用，我通过构造 a 八相似，把它画成横竖线的比例关系。 接下来第二个，第二个是一个求最值的意识啊，就是有时候我们可以看到一条定直线上有两个动点，而这两个动点之间呢，间隔了一个定长线段，哎，这个定长可以是任意值。我们举例子，甲方说他是一个二， 那看到这个二以后呢，题目通常会让我们求一个这样的东西啊，它让我们去求线段 a p 和线段 b q 和的最小值，圈加叉和的最小值。 那遇到这类型的问题呢，我们首先要有一个大致的期待，我要求两条线段和的最小值，那么什么样的情况，这个和最小是比较好求的？那你最基本的嘛， 两条线段是不是最好是首尾相连？首尾相连了以后呢，不管是用两点之间线段最短，还是更复杂一些的将军印码的思路去求，哎，他都是有办法可以去处理的啊。但是现在图中两条线段没挨住，那我就没法搞， 所以咱们的第一个想法就是，我得先让他俩挨在一起，那他俩咋挨在一起呢？注意到题目给的一个条件呢，就是 p q 等于二，哎，这里呢，隔了一个定长二，两个动点隔定长。 看到这种情况，你就要想到一个操作，叫做作平移， 做平移哎，我可以让圈儿线段沿着 p q 往过移，沿着 p q 往过移，然后呢，移到这个位置啊， a 变成了 a 撇儿， p 和 q 重合了啊，得到这个是圈儿线段 哎，那这时候你会发现，你求它俩合的最小值是不是就变成一个将军一马问题了，哎，就有办法去解决了，对吧？所以呢，隔定长做平移，这个意思哎，你要具备 然后呢，这个大体的想法有了以后呢啊，当然顺便我补充一下啊，平移的时候呢，他也不是绝对的，不是非得把圈移到这里，你相应的，你把叉移过来，叉移过来是不是也能起到两条线呢，首尾相连的作用，对吧？所以呢， 隔定长，平移的时候呢，两条线呢，你任意移一个都行啊，然后呢，只是做题的时候怎么好算，你就怎么移就行了。好了，这个说完了以后呢，咱们接下来补充一个小的要点，就是隔定长平移平移是知道的啊，但是呢，我们要注意一下这个图形的特点， 圈平移得到圈，那这时候这个图形中呢，一定会出现一个什么东西，一个什么特殊的图形 圈平移得到圈，他俩平行且相等，那这里呢，是不是一定会得到一个平行四边形啊？ 平行四边形有啥用呢？你会发现，因为定长是二，那所以上面 a a 撇也是二。哎，那 a 点呢？肯定题目会给你条件有它的位置，那知道了平移量以后呢， a 撇的位置你也就确定了，你才能进行接下来的计算。 这也是为什么啊，就这个平四啊，仅仅因为有这个平四，有这个二能得到 a 撇的长度，这也是为什么隔定长 才做平移，不是任意长度咱都做平移，一定是隔定长才做平移，因为只有隔定长平移完了这个 a a 撇知道 a 撇的位置才能确定，你才能进行接下来的计算，对吧？所以一定注意，平移完了得平四，利用平四可以确定平移后点的位置 好，然后呢，咱们把它写下来得平四 好了，那这就是隔定长平移的完整的操作思路了。看到隔定长，这是问题的标志，你就要想着去做平移，做平移呢，可以让两个分开的线段挨在一起，然后在计算的时候注意啥呢？注意一定要得这个平四，利用平四来确定平移后点的位置 好，这是隔定长的方法要点。那这两个讲完了，咱们就可以看一看这道中考题的第二问。然后首先呢，一些基本的点作不要表达，是我帮大家都已经求好了，标在了图上啊，标在了图上，大家可以自己先看一下这道题，看能否利用刚刚讲的方法把它解决啊。然后呢，尝试完了， 来看胖叔的讲解。好，那胖叔就开始了，咱们先梳理条件啊，题目告诉我们说有动点屁 是抛物线上的动点，然后呢，有动点 d 和 e 在 抛物线的对称轴上移动，然后移动的过程中呢，保持这有一个定长四啊，其实一看这个定长，你就要想到了隔定长对不对？ 而有了四以后呢？现在题目说啥呢？题目说，哎，有这么两段线段，一个是 p q， 一个是 o q。 题目让我们求这两段线段的比，你看，又看到了线段的比例，斜线的比例啊，想着干什么，画斜位置对不对好，它俩比例最大的时候，求屁的坐标，然后再求两条绿线和的最小值。 其实读题读到这样的，你如果对刚刚讲那些方法熟悉，你已经发现了，这道题就是两个问题的拼接，两个问题的拼接。这道题目中呢，咱们既要处理线段的比例最大值，然后呢，又要去求一个隔定长的线段和的最小值。 哎，那这种拼接的问题呢？哎，其实处理起来反而是容易的，你只要看清楚它是哪些问题，那咱们就一个一个去处理就行了， 哪个好处理，咱就先处理哪个。那这里很显然了，你想求和最小呢，你至少得先知道屁在哪吧。那所以咱们第一步肯定是先利用比例最大求屁的坐标， 然后再接下来呢，有了屁的坐标，知道了屁的位置，我就能利用平移去求两条绿线和的最小值了。好了，题目拆解成了两个子问题，咱们现在一个一个处理，首先第一个求这个比例的最大值， 求圈和差比例的最大值，还是那个逻辑，斜线的比例你就不好处理啊，斜线不好弄，那咱们要想着去化，写为直，要去转化，那比例怎么转化呢？你要够相似， 画斜为直，要用什么线构相似呀？用横竖线找 a 字和八字好，那现在怎么找呢？那我肯定不能随便上来胡就构造嘛，我得先观察一下已知条件，那很容易发现呢，这个叉旁边呢，正好有一条已知的竖线，已知的竖线是六， 那现在我怎么去勾相似？想一想，这有六了，哎，我是不是过了撇再做一条竖线就可以了？做完竖线以后呢，我就得到了红蓝两个三角形是相似的。哎，那这时候圈比叉就等于了 p f 比上六。所以接下来我是不是只要求出 p f 的 最大值问题就可以了啊？因为我要求的是比例的最大值，比例的最大值这边就是 p f 比六，所以我只要求出 p f 的 最大值问题就搞定了。 而 p f 的 最大值好了，你会发现就简单多了，这是咱们二次函数里面的常规操作。求一个铅垂线的最大怎么处理？设坐标， 然后呢，上减下，表示出 p f 的 长度，表示出 p f 的 长度以后呢，你会发现它其实就是一个关于 t 的 二次式，那我只要配方就可以求出它的最大值了。哎，那这个题呢，也没有让我们求最大啊，它只是让你求此时 t 的 坐标，也就是 t 的 值。所以呢，我们可以得到，当 t 等于三的时候，比例取最大， t 等于三，那么屁点坐标，我把屁带进来，屁带进来，坐标自然也就搞定了。好，那到这呢，咱们就完成了第一个子问题，比例最大时点屁的坐标搞定了。 好，搞定了以后啊，那么我们会发现呢，屁点坐标已经有了，屁点坐标的话，咱们大致去找一找它，它大概在这个位置啊，你会发现它跟题目给的是异同呢，首先是有比较大的偏差的， 然后其次呢，就是接下来呢，你再去在这个图形中求什么两条线段合的最小值的话，图太乱了， 图太乱的话就容易导致你出错，容易导致你画的画的看不清楚了，不知道该咋办。所以这里呢，要养成一个好的习惯，处理完一层问题以后，接下来咱们最好重新画一下图，再去解决问题二。 重新画图的话，你就画跟问题二有关的内容就可以了。那首先抛物线你得画出来， 抛物线画出来以后呢，点屁位置你要标好，然后接下来呢，他说 d e 在 这个对称轴上滑动，长度等于四，那我把 d e 两个动点呢，就随便一画啊，这种动点就很好画，你只要满足题任意画就可以了。画出来以后， b d p e 啊，求它俩合的最小值，那这重新画图出来以后，哎，一换就是很显然的隔定长平移的问题了啊，我这两个球和最小我没挨在一起，我要把它俩往一块移， 移的时候呢，可以圈往下移，也可以叉往上移，那这里移谁呢？理论上都可以，但是我建议大家最好是移叉，为啥呢？因为这个 p 点是 x 轴上的点，它是相对简单的， 你最好留着它，方便咱们后续的计算，简单的点要留着，帮助咱们简化后续的计算，所以咱们就平移 p e， 让 p e 沿着 d e 方向，也就是向上平移四个单位，哎，那这时候呢，你会发现 p p 撇也就等于四 p 撇的坐标就算出来了。算出来以后呢， 我现在呢，要求的问题就变成了，啥呀？我变成了有一个点 e， 它是在对称轴上动的。 然后我现在要求啥呢？我要求这个圈线段和这一段啊，这一段圈和这一段叉线段它俩合的最小值。那这是一个典型的什么问题？ 是不是就标准的将军印码问题了？那这个我就不细说了啊，咱们把流程走完就行了，将军印码就做对称，那，那显然 b 的 对称点就是 a， 我 直接对称到 a d， 那 所以直接连一个 a p 撇， a p 撇的长度呢？很好，求两个点坐标都知道两点间距离公式四倍根号五就搞定了。 好了，到这为止，整个第二问就彻底解决了。你发现这道题呢，其实就是若干个子问题的拼接。咱们一块回头看一看，我们经历了哪些问题。 首先第一个呢，是处理了一个斜线的比例关系，斜线的比例不好处理，咱们要通过构造相似化写位置，对吧？所以呢，你看到这有已知的竖线，那就再做一条竖线，把问题变成了求 p f 的 最大值， 而 p f 最大值就是第二个问题，铅垂线的最值啊，这个是二次函数的基本功，不再赘数了，配方求最值就 ok 了。 然后搞定这两个以后呢，接下来第三步啊，第三步呢，我们要去求一个隔定长的和最小，隔定长的和最小。哎，那这时候咱们就隔定长做平移，转化成将军印码问题，最后问题就结束了， 所以呢，拆解下来就是四个小点啊，画斜为直，够相似转化比例、铅垂线、求最直、隔定长、做平移以及将军印码啊，这四个要点，你看 哪块掌握的不到位，注意去加强。好第二问讲到这里，然后接下来开始第三问。第三问呢，还是先铺垫两个核心的方法。首先是沿斜线平移，沿斜线平移啊，什么叫沿斜线平移呢？比如说 我有时候会给你这样的一个条件啊，不是，我是出题老师啊，老师会告诉你，比如说这有一个点是一四， 这有一个点是一四，然后他说这个一四点呢，要沿着这个已知直线的方向向上平移根号二个单位啊，平移以后呢，比如说得到一个点屁，现在呢，他让你去求屁的坐标， 你发现这个平移呢，跟咱们平时遇到的不太一样，咱们平时的点平移呢，沿着水平数值方向平移，你都可以秒，但现在呢，给的是沿斜线平移，斜线呢就不好处理，所以怎么办呢？还是那个想法，斜着的咱们就想画斜位置， 画斜位置，那么这种平移问题的画斜位置就特别容易了，你就简单粗暴，直接干斜横竖线就可以了。 啥意思呢？哎，我要求这个斜着的平移啊，那我就直接做横竖线，找到它水平和竖直方向的平移，斜着平移根号其实就相当于水平移这么一段，数值移这么一段，我只要求出这两段长度问题就搞定了， 那长度等于多少呢？你会发现很简单，因为这个直线它跟坐标轴的夹角是一致的， 他跟坐标轴夹角是一致的，你会发现他跟这些横竖线段的夹角呢，也就一致了。所以这边呢，其实相当于有一个等腰直角三角形， 等腰直角三角形的斜边是根号二，那直角边就都等于一，哎，所以你会发现，从已知点到 p 相当于怎么平移的呢？ 相当于是向右平移了一个单位，又向上平移了一个单位，右一个上一个，哎，于是平移后的点坐标你就直接可以算出来了，它就是一个二，逗号五， 这个就是沿斜线平移的处理思路啊，就是化写为直的想法，方法也很简单粗暴，你直接做横竖线啊，利用这个直线和坐标轴的加角跟横竖线的加角，我就可以得到它水平数值的平移量了。 好，这是沿斜线平移啊，那么今天呢，其实沿斜线平移的话呢，咱们讲的是相对比较简单的一种情况是 k 等于正负一啊， 我这里叠个假啊，就是实际上他沿任意直线平移呢，最后都是能算的啊，但是呢，今天讲的这道题呢，他只涉及到了关于 k 等于正负一直线的平移，所以咱们今天就只讲到这个程度，大家先掌握这个，后面有机会了，况叔给大家再录一个沿任意直线平移的处理思路啊。 好，然后呢，这个沿斜线平移就说了啊，然后呢，接下来呢，呃，咱们举的例子是比较简单的啊，直接就是线这个直线上的两个点的平移。那么其实呢，有时候咱们还会遇到一种题呢，他会这么去描述啊，他会告诉你说 已知一个点 a， 比如说点 a 的 坐标是五一，然后他让这个五一呢，沿着 x y 等于 x 加三的方向啊，沿着 y 等于 x 加三的方向平移，得到了一个点 b， 这个点 a 呢，不是在直线上的，但是他会告诉你说，沿着这个直线斜着往上平移了多少个单位啊？随便说，比如说平移了一个，也是根号二个单位吧， 也是平移了根号二个单位。哎，那我遇到这种情况要怎么处理呢？其实跟刚刚是一样的，哎，你看啊，他沿着这个直线的方向平移，其实在告诉我们什么呢？其实就是在说 ab， 他 得跟这个直线是平行的 啊，从 a 到 b 这个线段得跟它平行，这才叫沿着直线这个方向去移。所以呢，你发现这条线它跟横竖线的夹角也是多少度呀？四十五度，所以呢，咱就直接开干， 简单粗暴的做横竖线，那么就得到了这里面角是四十五度啊，因为它沿着直线方向平移，所以它跟横竖线的夹角与直线和横竖线的夹角是一样的，所以，哎，这边也有一个等值，这是一，这是一， 哎还是啥呀？还是右一上一，所以 b 的 坐标就搞定了，就是六二，这是任意一个点沿着这个直线平移的一个计算方式。 好，那这是点的平移。说完了，那有的时候呢，题目还会告诉我们说，抛物线，抛物线啊，比如说现在有一个抛物线 y 等于 x 减二的平方加一啊，他告诉你，这个抛物线呢，也要沿着这个直线斜着往上平移，跟二个单位。哎，那抛物线沿着直线平移怎么处理？ 那咱们想吧，抛物线平移，你也不会看整个抛物线，你会研究抛物线上的特殊点？谁呀？哎，是不是就是研究抛物线上的顶点，这个顶点呢？他就是二一，那他相当于在说什么呢？相当于在说要让二一沿着这个斜线平移，根号二个单位 是不是也是跟刚一样的分析？其实就是往右移一个，往上移一个，往右移一个，往上移一个。哎，我就得到了平一后的顶点坐标。是谁啊？平一后的顶点坐标是三二， 有了平移后的顶点坐标，那么你这个新抛物线你自然也就能画出来了。所以抛物线沿斜线平移，其实也是看顶点横竖方向的平移，顶点横竖方向的平移，你搞定了新顶点算出来了，那新抛物线也就能画出来了。 好，这就是沿斜线平移的处理思路啊，咱们今天只谈 k 等于正负一，也就是与坐标轴夹角是四十五度的直线的平移。好了，这是第三问的第一个要点。好，然后接下来继续。还有一个就是三角函数的处理啊，三角函数的处理， 就咱们经常会在函数几何题中看到要三角函数啊，给你个三角函数，让你去求处于此类的。比如说咱们举个例子啊，有这么个抛物线，抛物线上有一个点 p， 现在题目告诉你 p a b， 这个角的正切值等于二， p a b 这个角的正切值等于二，现在让我们去求 p 的 坐标， 那我要求这个 p 的 坐标怎么处理呢？怎么去解决呢？你会发现这个正切值一定得用起来，但是正切值咱们初衷阶段只能在什么三角形里用呢？直角三角形。所以呢，上来的第一步一定是先做垂线， 那做垂线的时候还是那个想法啊，就坐标线里面，我是不喜欢斜线的，我一定希望他是横平竖直的线段，所以呢，这里这个特殊角做垂线应该怎么做呀？我要做垂线是不是肯定是过撇往 x 轴上做垂线？好，做完了以后你会发现这个正切值其实就是 对边比邻边 ph 和 a h 的 比，而他俩的比等于二的话，他俩都是横竖线。哎，那你会发现接下来思路就很简单了，我只要把这两段横竖线表示出来，带入解方程就完事了。 而表示这俩函数线，你会发现需要谁的坐标呀？我是不是需要有 a 的 坐标，需要有 p 的 坐标， a 的 坐标是可以解出来的， p 的 坐标是动点。不知道，所以怎么办？我是不是设一下 p 的 坐标，表示线段长解，关于坐标的方程就结束了， 这就是坐标线里面三角函数的处理，其实就是做垂线构造直角三角形。然后呢，得到横竖线的比例，设坐标表示线段列方程啊，都是一些基本的操作。 好了，这个技术要点咱们说完了，那么接下来咱们来看一下这个第三问。第三问，首先呢，还是大家自己先做一下啊，自己先做一下啊，带着刚刚的思路方法尝试一下，看看能够做到什么程度啊。然后呢，完了再来看旁授奖。然后咱就开始吧， 首先呢，他说在二的条件下，二的条件下的话呢，咱们屁点的位置你是知道的吗？你肯定先把它标出来， 标出来以后呢，他说要让抛物线沿着射线 bc 的 方向平移二倍根二个单位。射线 bc 啊，你发现它的 k 是 四十， k 是 正负一啊， k 正负一，所以这里面夹角四十五度。我知道了，哎，那这个平移的话，有了刚刚的铺垫，咱就会处理了。 然后接下来呢，他又说到了 m 是 p 的 对应点， n 是 新抛物线 y 撇上的动点。那你就会发现，这个题接下来肯定得先干啥呀， 肯定得先把这个平移处理掉，得到屁的对应点， m 得到平移后的画无限解析式。因为这些都跟你接下来的所求是有关的，所以这个题还是一个呃，拼接的题目啊，你先得搞定平移。 搞定平移完了以后呢，接下来呢，你才能画出图去处理这个角关系啊，还是一个拼接的问题，所以咱们就一个一个来先处理平移。 处理平移方法刚刚讲过了啊，其实现在就相当于是要让这个图呢，沿着斜线平移一个二倍根号二。 斜线平移二倍根号二的话，那我就看它水平数值的平移量。水平数值的平移量的话，那你因为这角是四十五度，所以这角也是四十五度，那很明显了， 它其实就相当于是向左移两个单位，再向下移两个单位，沿斜线平移。说白了就是这么回事，左移两个，下移两个，我就分析出来了，分析出来以后，那么心抛物线和 p 的 对应点 m， 咱就都能搞定了啊，都能搞定了啊，咱们来看啊，首先搞抛物线，抛物线的话，那你就得看顶点，看顶点的话，配个顶点式，配完顶点式以后，这个顶点的坐标有了二分之五，逗号负的四分之四十九，负的四分之四十九， 然后呢，他要沿着这个斜线平移，就是左移两个，下移两个，左移两个，下移两个，那平移后的顶点坐标就有了平移后的顶点坐标，左移两个是不是就是 二分之一啊？然后呢，他再往下移两个单位，就是负的四分之五十七，哎，所以平移后的这个顶点也就有了。平移后的顶点有了心抛物线自然就可以给他画出来了， 于是顶点有了新抛物线图画出来的，那解析式也就很好求了啊， a 是 不变的吗？ a 还是正一，顶点是，这个顶点是有了，看着复杂，但是你化简一下一般式其实还是比较简单的。哎，我这个平一后的抛物线就搞定了， 核心思路就是看清楚平移量以后先搞顶点，搞了顶点就有了图，有了解析式，然后呢，这个平移问题就处理完了，然后这是处理了 y 撇嘛， m 呢，就更简单了， m 其实就是 p， 左移两个，下移两个，那么它的坐标呢，直接就是一逗号负十四 好了。这是第一步处理平移，平移处理完了以后呢，接下来第二步，我们就要去处理这个角关系了。 处理角关系的话呢，这里面两个角啊，一个是 n a b， 一个是 o p m n 呢，是心抛物线上的一个动点啊，那现在这个点在哪呢？我也不知道这角多大，我都不好，不太好画这个视意图。那所以呢，咱们肯定先看后面这个角，后面这个角的话， o p m 都是已知点了，那咱们可以先把这个角画出来。画出来以后呢，我们发现呢，题目说了一个有特点的条件，是他减了一个四十五度，这个角，这个角他要减一个四十五度， 那我这个四十五度肯定不能凭空造吗？对吧？那大概就这个题目中会给咱们提供已有的四十五度。哎，那我们观察一下在哪呢？哎，是不是就刚刚这个直线呀，他跟坐标轴跟横竖线的夹角是四十五度。哎，那他跟咱们的这个 opm 有 什么关系呢？ 还记得吗？ pm 是 啥呀？ pm 是 p 沿着这个射线的方向平移得到的 m， 哎，那也就是说 pm 和它是啥关系？ pm 和 bc 这两条线其实是平行的关系，所以 pm 跟横竖线的夹角也是四十五度。好了，我现在想要它减去一个四十五度来，那你说怎么做？ 它跟横线竖线的夹角都是四十五度，我想让它减一个四十五度怎么办？做个横线吧， 做了横线，完了，下面这个角就是四十五度啊，下面这个角就是四十五度，那剪完了上面这个角，上面这个角就是它俩的差，所以呢，这个角是不是就等于了咱们的 n a b 啊？等于了 n a b， 所以 我就其实通过导角呢，找到了等于 n a b 的 角， 就是这个货，而这个货呢，你再进一步的去看一下，你会发现它可太可爱了。为啥呢？因为它呢 边是横平竖直的啊，一个边是横线，对边是一个竖线，横线呢，是横坐标三，竖线是纵坐标是个十二。那你会发现，这个角不光是找到了他的什么值，也就求出来了，他的正切值 对边十二零边三正切值，竖线比横线等于四，是不是也就知道了啊，那这就太可爱了，正切值三角函数都知道了，这个角的大小基本上就可以确定啊，那这时候呢， 我们要求的 n a b， 它等于这个角，那三角函数肯定也一样等于四。哎，那我就对这个角有谱了，它具体等于多大三角函数说了算。哎，我就知道， 知道以后呢，示意图也就好画了啊，咱们在这个抛光线大致画一个点啊，画一个点不用太准确啊，这个题你画太准确了，反而这边会很乱啊，你画个大概就可以了，画出来以后，其实就是这个角的正切值等于四。 那我现在的任务就变成什么了，要利用这个正切值去求 n 点的坐标。哎，那这是不是咱们刚刚铺垫的最后一个技能呀， 怎么去求呢？特殊角做垂线嘛，对不对？特殊角做垂线啊，做垂线，把这个正切值放到一个直角三角形里就好了 啊。好，放进去以后，哎，这一页写不下了，咱们换一页啊，我现在要处理这个正切值，其实就是 n h 比上 a h 啊，就是 n h 比上 a h， 那 现在呢，我们只要表示 n h， a h 的 长就可以了， 而表示他们的长的 a 点坐标。知道，那我是不是就再设一个 n 点的坐标， n 点的坐标，接下来利用坐标表示这两节线段的长度就完事了。 好，那接下来要表示表示的时候呢，有一些小细节希望大家要注意。首先啊，咱们要表示 n h， 然而表示 n h 的 话呢，从图上看啊， n 在 x 轴的下方，所以呢， n h 的 长度相当于这个纵坐标的相反数。但是啊，注意一下， 图是你自己画的，图是你自己画的，这只是个示意图。那么这种自己画的图呢，你就一定要考虑一下你的这个线段表达式，他要不要带啥呀？要不要带绝对值？ 哎，你要去看一看这个 n h， 这个 n 点是不是一定要在 x o 上方，一定在 x o 下方，或者它也可以去上方？那如果上下都可以的话，那这个长度的话，它就得带上绝对值，才能保证一定是正数。 好，那我们想一想，我要保证 n a h 的 正切值是四，那 n 点能不能去 上方？ n 点能不能去上方？抛物线是无限延伸的，是不是感觉 n 在 上方的时候呢，也可以保证这个角的正切值等于四呀？所以 n 是 上下都能去的， 所以表示 n h 长的时候呢，我们需要给纵坐标加上绝对值，写出来应该是 n 方减 n 减十四的绝对值。 好，所以注意上下不确定，带上绝对值好，再来。那我接下来还要表示 a h a h 呢，打眼看应该是 n 减负一， n 减负一就是 n 加一，那么 n 加一用不用带绝对值呢？ 原则其实就是看 n 和 a 的 左右位置关系，如果左右确定就不带，左右不确定就要带，那这里 n 和 a 的 左右关系确定不确定。 n 是 怎么来的？这个角来的？这个角来的，那我们会发现啥呢？这个角是个锐角，这个角也得是个锐角，它俩得相等，都是锐角。那既然 n a b 是 锐角，那我们想一想， n 点能跑到 a 的 左侧去吗？如果 n 点跑到 a 的 左侧了，这是 n， 那 你是不是得到了 n a b 直接是一个钝角了，就不合提议了嘛。 所以呢，这里面有个细节要注意， n 点肯定在 a 的 右边，这里 a h 的 长不用带，绝对值一定是 n 加一。好了， 这个事情一定要想明白啊，想明白了以后，方程就列出来了，而且呢，在这个过程中呢，咱们还得到了一个意外收获，就是我们其实通过分析呢，确定了 n 的 一个大致范围， n 要在 a 的 右边的话，那你 n 的 这个值， n 的 值肯定要比负一要怎么样？负一要大，所以呢， n 等于 n 大 于负一，你要记得把它备注在旁边，因为解方程完了，可能要干啥呀，可能要取舍，对吧，注意这些细节 好了，得到这个方程以后呢，绝对值方程呢，看似复杂，其实很好解，其实就是分成一正一负两种情况啊，我们把它 呃去分母乘到右边以后呢，可以得到一个方程是正的 n 方减 n 减十四，等于正的四倍的 n 加一。还有一个是正的等于负的啊，就是两种不同的方程，那都是一元二次方程啊，肯定会解 解出来呢，分别有四个答案啊，总共有四个答案。那这里面呢，因为 n 大 于负一，那你注意取舍的话，会发现 n 二 n 四就舍掉了啊，就舍掉了最终正确的 n 点横坐标就这俩，然后带入到 n 点的坐标表达式，那么整个 n 的 坐标就搞定了。好了， 这个题就彻底解决了，解决以后呢，咱们还是回过头来干了，看一看干了点什么事情啊。 这个题呢，其实处理了两也是两个子问题啊，第一个就是关于沿斜线平移的处理，沿斜线平移的话，咱们注意啊，沿斜线平移，核心想法就是要画斜为止啊，而且很简单粗暴， 你就强行做横竖线，强行做横竖线，画斜位置就可以了啊，斜着沿二倍根二个单位，其实就是沿横竖线各以二个单位，各以二个单位啊，这个看的是直线和横竖线的夹角，直线和横竖线的夹角， 然后呢，接下来问题二，问题二呢，处理了一个角关系啊，那在处理这个角关系的过程中呢，你会发现有一个要点，就是这个四十五度，这个四十五度啊，大家一定要有意识，题目给你的等式中有加减四十五度，那这个四十五度一定不会凭空出现， 题目中会给跟四十五度有关的角，所以咱们要去关注条件，那这个是比较明显的，这根线跟坐标轴跟横竖线的加角是四十五度哎，那所以呢， 与它平行的 pm 与坐标轴与横竖线的夹角也是四十五度啊，正是因为想到了这个四十五度，咱们才想到了这个关键的辅助线啊，做了这根横线， 所以呢，注意倒角的时候找已知的四十五度，题目要求有四十五度，你注意找已知的四十五度。 然后最后啊，最后就是咱们三角函数的处理了啊，你注意就是做垂线，找横竖线的比例，设坐标，得线段，列方程就完事了。好了，整个题就说完了啊，这道题呢，其实，呃，还是比较有难度的啊，然后呢，它里面呢，其实 主要的难点在于堆叠了太多的问题，你会发现他的每一问呢，都相当于是若干个小问题的结合，其实在正常的一个函数综合题里面呢，这里面的很多环节都可以单独出疑问的， 比如说处理这个平移求抛物线，他可以单独出疑问的，处理这个角关系也常常看到的是单独的疑问，但是他就是把这些问题直接堆到了一起， 导致这个题的后两问看起来都比较复杂啊。这个就需要大家有比较扎实的基本功，对于函数最值的一些基本的操作方法呢，比较熟悉。然后呢，你才能顺畅的去处理这种题目。好了，今天就讲到这里啊，拜拜。
637胖叔初中数学
08:37查看AI文稿AI文稿好，今天带大家看一下这个二零二五年重庆中考数学的最后一道题。最后一道题的最后一问，它告诉咱们，在三角形 a、 b、 c 当中啊，然后 b、 a、 c 的 度数是等于一百二十度，然后，然后呢，在 b、 c 边上有一个动点 d， 然后呢，连接 a、 d， 让让这个 a、 d 这条线绕着 a 点逆时针旋转六十度，然后来到了一个点 e， 绕完点 e 之后呢，再连接 b、 e， 再将 b、 e 绕着点 b 逆时针旋转六十度，来到点 m， 然后再去 反向延长这个，呃，延长这个 a、 c 这条线延长完了之后，过点 m 往这条线上做一个垂直 n， 做完垂直 n 之后呢，再继续在 a、 b 上面找一个动点 p 啊，注意这个 p 点，它是在直线 a、 b 上的，在直线 a、 b 上取一点 p， 取到 p 点之后呢，连接 p、 e， a、 e。 啊，还有这个这个地方啊，形成了一个三角形 a、 e。 形成三角形 a、 e 之后，它告诉咱们需要将这个三角形 a、 e 沿着 p e 往下翻折一下，来到了 q 点，这个时候问咱们，当 p q 取到最大值的时候，这个三角形 m、 n， q 的 面积等于多少？那很多同学看到这里已经题目都没看没没看懂哈，整个题我们需要分步骤来啊，一步一步，一步一步的把它里面的条件给捋清楚。首先呢，这个三角形 a、 b、 c 上面有一个点 d， 对 吧？点 d 是 动点，将 a、 d 逆时针旋转六十度，所以这个地方它其实用了一个刮斗原理。点 d 的 轨迹呢，是一条直线，所以点 e 的 轨迹也是一条直线，所以我们可以将点 d 的 起点跟终点找出来 点 abc， 点 d 的 起点是在这个地方的，所以绕着它这一条边去绕六十度，就相当于是来到了这里，这是点 e， 然后终点呢？点 d 是 走到点 c 这里的，然后再绕着它旋转六十度，因为这个地方是三十，所以这个地方六十，这里是九十，所以点 e 的 最终点是在这里的，然后连接起来。 好，连完之后呢，我们就会发现点 e 的 轨迹就是这条绿色的线段。然后我们是不是第二步需要将 b e 逆时针旋转 六十度，点 e 也是轨迹，也是直线，所以最终点 b， 点 e 绕着点 b 旋转出来的这个点 m 的 轨迹也会是直线， 所以我们也是找到它的起点跟中间两个极端折一个点在这，我绕着它转过去转六十度，所以它刚好跟 a 是 重合的。另一个呢，是将 b e 这一条线转六十度，所以你看这里是三十，它竖起来这里又是一个六十度，又是一个垂直，所以这里是六十的话，我连接 起点跟终点，这是点 m， 这点 m， 所以 我们就会知道，哎， m 它就落在这一条线上，那这条线这里呢，也会是一个垂直的。 好，那点 m 落在这里之后，它告诉咱们当点当这个 c e 取最小值的时候，哎，那你看图是不是就能够找到当点 e 最小的时候是在哪里啊？很明显，是不是应该落在这个地方？那点 m 落在最小的时候，是不是应该是在这个地方转，连接 b e 这样子转六十度？但是没必要这么麻烦啊， 因为刮动原理里面这个点 m 跟点 e 它是对应的，所以当点 e 取到终点的时候，点 m 其实也是取到了终点在这里，然后点 m 找出来之后，反向延长 c， a 过点 m 往这做一个垂直，这就是 n， 然后进入这个题目的第二阶段。 第二阶段好，现在知道点 e 是 在这了，点 a 是 在这了，所以 a 跟 e 它都固定不动了，那么 p 点它是一条直线，对吧？呃， p 点是在这条直线上动的，所以连接起来这个 a 点，它关于 p e 对 称下来就能得到一个 q 点，那这个时候当 p 点动起来的时候， q 点会落在哪里呢？首先你要先搞明白 这里，过点 a 往这个 b， c 边上做一个垂直，把这个点看作是 n 点，那么点 e 如果是中点的话，这是一个直角三角形中点里面呢？ a 点， n 点跟 c 点，它都是落在同一个圆里面的，所以我们就可以把这个圆画出来， 你画出这个圆之后呢？你看哈，像不像啊？ p 点是在外面的一点连接 p， e 连接 p e 这条线是不是相当于就是一条直径？因为点 e 是 圆心， p e 无论走到哪里，跟 e 相连，连起来的线就是直径，那么这一条直径点 a 是 落在圆上的一个点， 点 a 是 落在一个圆上的点，然后关于直径去对称，那你说对称点会落在哪里？你看啊，这是点 e 点 p， 无论在哪里点 p， 如果在这点 a 对 下来， q 点是不是在这点 p， 如果在这连起来点 a 对 下来，对称下来， q 点是不是应该在这？所以从这里我们可以推断出 q 点的轨迹，其实就是这么一个圆。 好，确定完 q 点的轨迹之后，就可以看到题目当中他说当这个点 b 沿，当这个 b q 是 最大的时候，那是不是只要连接 b e 反向延长就可以定出 q 点的位置， 然后咱们把图，把这个图画出来之后呢，我们可以看到这个阴影部分的面积啊，当 b q 最大的时候，也就是说当 q 点在 b e 延长线的时候，这个时候 b q 最大，然后这个三角形的面积，这个三角形的面积最直接的方法还是二分之一底层高，对不对？但是呢，我们只能知道这个地方它是垂直的，那这个三角形它是歪的，所以这里我们可以采用一个拉窗帘的模型， 两条平行线上 p 点，无论移动到哪里，三角形 a p b 的 面积都是不会变的好，所以呢，我们可以做一个点 q 往底下做垂直，让这个点成为 h 点，那么三角形 m n q 就 等于三角形 m n h， 所以 我们现在要解决的问题只有两个，就是 m n 等于多少，还有这个 n h 等于多少，然后就可以用面积公式了。那这两部分怎么去算呢啊？比较麻烦哈，我们需要先将 m a 连接起来， 再去连接 m e 啊，你会发现咱们的三角形 b e m 跟三角形的 a d e 它都是等边，所以这里有一个手拉手模型，这个三角形 跟这个三角形它就是全等的对不对？它既然是全等的，那你看啊，咱们三角形 a b c， 它就是一个一百二十三十三十一比一比根号三的这样的一个特殊三角形，所以我们能知道这条是八，底下一整条呢，就应该等于八倍根号三，那么 b d 就 应该等于四倍根号三， m a 是 四倍根号三，那接着在这个三角形里面， 这个绿色的三角形里面，这个地方又是一个三十度、六十度、九十度的一个直角三角形，所以这一条斜边是四倍根号三，所以 m n 就 解决了，就是两倍根号三， m n 就是 两倍根号三，那么咱们这个 na 啊，就应该等于四，呃，六，两倍根号三，乘根号三就等于六， a e 呢，就等于 二，二等于四，圆的半径是四，所以我们现在已经知道，这条就等于，嗯， n e 加上 e h 对 不对？然后这个 n e 等于十，所以只需要求一下这个 e h 等于多少。然后这个题终于哈进入了最后阶段，把这些都擦了， 这一个应该怎么求呢？呃，我们可以这个样子哈，他过这里做了一个垂直，所以我们可以过点 b 往这条线上也做一个垂直。那做完垂直连接啊，这个同一条线上的对不对？所以我们就会发现，在这个地方他有一个八字模型，两个三角形是相似的，所以我想要求这个 e h， 我 们就得先求一下这一段是多少 对不对？那这一段需要怎么去求呢？所以我们过点 e 往底下做一个垂直。刚说了 bc 呢，是等于 八倍根号三的，然后这个地方是三十度，这一条长度是半径是四，所以这条是二，这条是两倍根号三，说明这一段就是六倍根号三。这个红色的直角三角形当中啊，我们就会发现，咱们的 b e 就 得等于根号底下六倍根号三的平方，再加上一个二的平方，那就等于幺幺二根号，幺幺二，幺幺二，再去开的话呢，它就等于幺幺二，开出来的话呢，就等于四倍根号七， 所以我们解的 b、 e 等于四倍根号七，然后呢 e、 q 长度又是二，那我们就可以发现哈，这个八字模型，这个也没用了， 这是四倍根号七，这一条是半径是四，所以两个三角形的相似之比哈，就是根号七比一。那我们只需要去求出这一条的长度，是不是就可以把这一条的长度给搞定了？好，那这一条的长度的话呢，就可以 就可以这样子，因为这一条是四倍根号线，然后这一条其实咱们也是可以求的，因为它就是在往 a 就是 过点， b 往 a、 c 的 延长线上面做了一个垂直， 对吧？所以这条的长度它本质是这样子的，过这个点往这做垂直，因为这是三十度，这是九十度，所以这里就是六十度，所以这条你看啊，八倍根号 三，那这个就是一半，就是四倍根号三了，所以这条长度四倍根号三。然后两个造型的比值是根号七比一。所以我们怎么去算这一条长度呢？就直接啊用这个在这里啊，用一下勾股定律，这一条的长度就应该等于四倍根号七的平方，减去四倍根号三的平方，就得等于 等于八，这条等于八，然后这一条的长度就是可以直接用这个八除以根号七就得到了，那就等于七分之八倍根号七，那这一条终于出来了啊，七分之八倍根号七，好，那最后一步，那这个面积是不就手拿把掐，对吧？非常之轻松， 对吧？面积等于二分之一 m n 乘一个 n h， 那 就等于二分之一，乘以两倍根号三，乘一个十，加七分之八倍，根号七。嗯，根号三就等于十倍根号三，加上七分之八倍，根号二十一。这就是最后的答案，如果在考场里面你算出这个答案，你敢写进去吗？
153张老师👨🏫
20:28查看AI文稿AI文稿上个视频呢，我们讲了二零二五年重庆市中考数学的三道题目啊，都非常的精彩，大家可以去看一下我们上个视频的讲解。那么今天呢，我们来讲二零二五年重庆市中考数学的填空压轴题啊，你别看它就是一个填空题啊，但其实非常的复杂啊， 我本来呢是想讲两道题的，包括倒数第二题，但是呢，这个题目呢，太难了啊，用一个题目呢讲，感觉时间不够，也讲的不是很透彻，所以呢，我们放在下个视频单独来讲，还有最后一道压轴题，我们放在下下个视频来讲， 那么今天呢，我们就专门讲这个填空的压轴题，我们来看一下题目，他说我们规定一个四位数， m 等于 a， b、 c、 d 一 杠，如果满足 a 加 b 等于 c 加 d 等于十啊，然后我们就说呢，这个四位数叫十全数啊，这是一个新的定义， 他说例如这个四位数一九二八啊，这一加九等于二加八等于十，所以一九二八，他就是一个十全数啊，这个定义呢，就是告诉我们这个数是怎么运算的，他有什么样的一个规律。 他说如果按照这个规定的话，那么这个最小的十全数是多少？这个呢，不难，对吧？最小的十全数，那肯定千位上那个数字肯定得是一啊，因为每个数字就是 abcd 啊，每一个数字都是应该是从一到九， 那么千位上是一的话，应该就是最小了，对吧？好，千位上一的话，那么百位上就肯定是九了，因为一加九等于十嘛， 那么十位呢，十位也是从一到九里面选啊，你肯定是要选最小的那个，你肯定是选一的啊，所以这个 d 也是九，所以这个数呢，就是一九，一九啊，它是最小的，这个比较简单啊，那么第二本就比较难了啊，我们看啊， 他说一个十全数 m 等于 a、 b、 c、 d 一 杠啊，将其千位数字和个位数字调换位置啊，百位数字和十位数字调换位置，得到一个新的数，这个新的数，他没说是十全数啊，就说一个新的数字啊， m 一 撇 啊，然后呢， g， m， f m 等于九百零九分之 m 减 m 一 撇，你看这个数据都很奇怪这个数字，对吧？所以我我猜测， m 减 m 一 撇，肯定能够把九百零九给它约掉，你的目标肯定是朝这个方向去使 啊，去使劲，对吧？要不然这个九百零九，那你怎么运算啊？太复杂了。同样道理啊，这个 g m 等于十一分之 m 加上 m 一 撇，肯定也是 m 一 撇，加 m， 算完之后呢，能够和这个十一约掉，肯定是这样，要不然就无法算了啊。 他说若十三分之四倍的 f m 加上 g m 等于啊，加十五和这个十七分之 a、 b 这个数加上 c、 d， 这个数都是整数， 因为七十三十七，这很很讨厌，对吧？都是两个质数，都很复杂的两个质数， 所以这里面肯定有一些规律啊，那我们就尝试着先找一找啊。首先我们肯定得把这个 m 给他用 a、 b、 c、 d 算一下，哎呦喂，他现在就是用一个式子给你表达出来，就是 m 等于 a、 b、 c、 d， 那 么这样写肯定不行，对吧？我们得运算，那么运算的话，就得把每把它真实的数据大小给它表示出来， 那么 m 肯定等于多少啊？等于一千倍的 a 加上一百倍的 b 加上十倍的 c 加上 d， 对吧？这个没问题啊。那么 m a 撇呢？ m a 撇同样道理，它就是一千倍的 d 加上一百倍的，嗯， d 加 c 加上十倍的 b 加上 a， 对吧？好，那我们算一下啊。你要求 f m 肯定要把这个 m 减 m 一 撇给它算出来，那我们算一下， m 减 m， 一 撇就等于 一千倍的 a 减 d， 对 吧？ a 减 d 加上一百倍的 b 减 c 加上十倍的，好， c 减 c 减 b， 再加上 d 减 a， 十倍的 c 减 b 加上 d 减 a， 没有问题吧？好，那我给他化简一下啊，他，他就就什么啊？就是一千倍的 a 减 d， 这后面有个 d 减 a， 那 提个符号出来，那它就是九百九十九倍的 a 减 d， 对 不对？好，然后呢？这个 b 减 c 和 c 减 b， 嗯，我再提个符号出来，那后面就是负十嘛，就是一百减十等于九十，对吧？加上九十倍的 b 减 c 啊，这个没有问题吧？这个也没有九百零九啊，但是我看出来这个九九九和九是两个，一减是九零九，对吧？那我们就看一下这两个能不能给大家替换一下。 题目中一直告诉我们 a 加 b 等于 c 加 d 了，对不对？因为他告诉我们 m 是 一个式全数，那就是有 a 加 b 等于 c 等于十，那这样子的话， a 减 d 啊， a 减 d 是 不是等于 c 减 b？ 你看啊，那这样子的话，这个 b 减 c， 我 们就可以提个符号出来，就变成了 c 减 b， 对 吧？啊？九百九十九分之 a 减 d， 减去九十分之 c， c 减 b 啊，那不这个 c 减 b 就 等于 a 减 d 嘛，所以我们就可以，嗯，把它减一下，九百九十九减九十，等于九百零九倍的 a 减 d， 对 不对？好，你看啊，这是不是能够把九百零九给它约掉了？肯定是这样，要不然算太麻烦了啊。那么 f m 等于多少呢？ 等于 a 减 d。 好， f m 算出来了，接下来我们算 g m， 那 同样道理， g m， 我 觉得它化简完之后肯定没有十一了，肯定没有十一了，那我们就是先把这个呃 m 加上 m 一 撇算一下啊。 啊，两个一加，两个一加的话，就是一千倍的 a 加 d， 加上一百倍的 b 加上 c， 加上十倍的 b 加 c， 是 吧？再加上一个 a 加上 d。 啊，那么化解一下， 前面有个 a 加 d， 后面有个 a 加 d， 两个一加就是一千零一分之一千零一倍的 a 加 d， 对 吧？加上一百一十倍的 b 加上 c 啊，这个除以十肯定是可以除的啊，但是啊，先把它除了吧。啊，你看啊，那这样子的话，这个 g m g m 它是不是等于除以十一吗？一千零一除以十一等于多少？一千零，你不知道？你打个草稿吗？除以十一九九十九啊，一十一九十一，对吧？所以就等于九十一倍的 a 加上 d 啊，这后面是一百一十除以十一就等于十倍，加上十倍的 b 加上 c。 好， 接下来啊，你看啊，我们肯定要把这个数据变得越少越好，对吧？我们 f m 算出来，它就是 a 减 d 了 啊，那你我的想法就是把这个 b 加 c 啊，给它换成 a 减 d， 或者换成 a， a 和 d 可以换吧。啊，因为 b 等于多少？ b 就 等于十减 a 嘛。呃， c 呢？ c 就 等于十减去 d 嘛？所以这换也容易啊。你看啊，它就等于什么？九十一倍的， 九十一倍的 a 加上九十一倍的 d 加上十倍的，对吧？两个一加，对吧？就是二十减去 a 加上 d， 二十减 a 加 d 啊，有没有问题？也没有问题啊，所以它就等于多少呢？等于，这个是九十一倍的 a 啊，就是八十一倍的 a， 这是九十一倍的 d， 九十一倍的 d， 对 吧？再减去十倍的 d 等于八十一倍的 d 啊，加上个两百， 加上两百，对不对？这是 g m。 好， 那我们看一下，第一个，他说这个式子是个整数，那我们就算一下呗，好，换个颜色啊， 好，那就是四倍的 f m 加上 g m 加上十五，它等于多少？四倍的 f m 就是 四 a， 四 a 加上 a 啊，四 a 加上这个八十一，也就是等于八十五 a， 对 吧？这个就是八十一 d 减去四 d 加上七十七 d， 是不是？好，那么再加上一个两百两百加上十五，两百一十五， 两百一十五，所以就是他啊，除以一个十三，除以一个十三是整数。有人到这就蒙了，哎，他除以十三，整数该怎么算呢？ 我告诉你们啊，可以，我们可以把这个数变小。怎么变小？你看啊，两百一十五，我们可以写成什么呢？我们把它拆成一个十三的一个倍数的形式，再加上一个数啊，我们把这个数给缩小，你看啊，嗯，他可以写成什么呢？十三的话就是， 嗯，十，两百零八，是不是？ 十三的话我们算一下啊？两百一十五，两百一十五，除以十三， 十三，八十五，十六，八斤一七十八，逾期啊，那就是十六呗，那就是十三乘以十六，那就逾期，逾期的话二百一十五减七是二百零八。好，那我们写到二百零八，可以吧？ 你看啊，你看啊，二百一十五，他可以写成二百零八加上七，是不是？二百零八能不能背十三整除啊？可以，所以这个数能不能背十三整除，就看这个数能不能背十三整除，对不对？ 他是不可以背十三整除的，所以他不能背十三，但是我我我我如果，哎， 我，如果，你比如说我这个，呃，这个两百零八，我除以十三是等于十六吗？刚算了吧。所以这个因为，因为他，他 不能被十三整除，是因为什么呢？是因为这后面的余数七，他不能被十三整除。如果这个七啊能够被十三整除，那就是可以了，对不对？所以呢，我们可以把这个二百一十五啊给它画成一个小数七，画画这个比较小的数七，对吧？所以呢，我们就可以判断出来。什么呢？ 如果，哎，八十五 a 加上七十七 b 的 d， 再加上个七，二百零八嘛？二百零八加上 七啊，对，二百一十五，他能够被十，他能够被十三整除，那就可以了，对不对？好，那么同样道理，我就可以把前面这个再给他化解一下，这前面太大了，对不对？那八十五 a 可以 换成什么？ 十三乘以六乘六十八减七十八七十八，他就可以写成七十八倍的 a 加上八，加上七 a， 对 不对？右边也可以写成， 嗯，七十八倍的 a， 七十八倍 d 再减去 d 加上七，对不对？你看这样子的话，我七十八 a， 七十八 d 是 不是都能够被十三整除啊？ 嗯，七十八除以十三等于六嘛？三十八减一，六等于七，对的啊，所以我们只要判断什么，只要判断出来七， a 减 d 加上七，哎，判断这个数字他能够被七整除，那就 ok 了啊？被十三整除，那就 ok 了，就他能够被十三整除，那就可以了，那整个数据就能都能够被十三整除， 是不是？这第一个啊？那我们再继续往后算啊？第二个算什么呢？第二个我们要算这个，这个。 呃， a、 b 加上 c、 d， 这个数，它等于什么呢？等于十 a 加上 b 加上十 c 加上 d， 对 不对？那我要把它全部变成 a 和 d 的 吗？因为我要通过 a 和 d 来判断出来最后的结果啊，那我们就把它化简一下，那么就变成了 十 a 加上 a 和 d 嘛，那这个 b 呢？就变成了十减去 a， 对 吧？这个 c 呢？就变成了十减去 d， 哎，再加上 d， 对 不对？好，那我们就变成了什么呢？ a， 这个是十， a 减 a 等于九 a， 对吧？好，这个是。嗯，负十 d 加 d 负九 d， 这个是十加上一百，十加一百等于一百一， 对吧？所以这个数字啊，它除以十七啊，这个数字除以十七，对吧？ 是不是？所以说就判断这个数字能够它是个整数的话，你就需要判断上面这个数字能够被十七整除啊，那是不是同样道理啊？我们可以给他化化简一下，一百一可以写成，一百一可以写成， 嗯，一百一可以写成一百一除以十七六七四，十二减四，一百零八， 哎，那我算七吧，七七七四，十九减四，一百一十九负九，对吧？所以我可以写成哎十七，哎，九，不能这样写等号，我只要判断出来 不能写等号啊，我只要判断出来九， a 减九， d 减去九，哎，可以吧？我可以把这个一百一啊减九，再加上个一百一十九， 可不可以？而一百一十九能够被十七整除啊？他等于七，对不对？所以呢，我只要判断他能够被啊七，那个十七整除就可以了，而他化简等于多少啊？九倍的 a 减 d 再减一， 是不是？而 a 减 d 减一乘以九能够被十七整除的话，嗯，大概率是两种情况，一种呢，是 a 减 d 减十七减一，它是十七的倍数，因为九和十七它没有公约数嘛， 对吧？它是十七的倍数，那么十七倍数最小就是十七啊，最小就是十七，那么它 a 减 d 减一等于十七的话，那么 a 就 等于十八加 d 不 可能。为什么？因为 a 的 取的范围是一到九，他不可能取大于九的，所以这个不可能。那么还有种情况，什么呢？还有种情况就是他等于零 啊，他等于零，因为你说了，他只是个整数而已，他没说他能不能，能不能等于零啊？他如果等于零的话，那么也就说 a 等于多少？ a 等于 d 加一啊，这个是有可能的， 所以我们现在已经知道一个关系了，就是 a 等于 d 加 e， 那 么这样子的话，我们就可以带到这里面来了啊，就这个式子， 你看这个式子的话，你要让它能被十三整除，对不对？对不对？那你看啊，那就是， 嗯，七 a， 我 可以把它化解一下。七， a 减 d 减一，再加上八，我为什么要这样写呢？因为这个 a 就 等于 d 加一，那么负的，嗯，这里面，这里面这个东西是不是负 a 啊？ 所以它就变成什么啊？就变成了六 a 加上八，对不对？变成六 a 加八了，那么六 a 加八，意思就是说六 a 加八能够被十三整除，哎，那我们就算一下呗。啊，从一到九，我们一个个来试一下不就可以了吗？ 啊？那么一 a 它能够被十三整除，被十三整除， 是吧？那 a 去一行不行？一的话就是六加八，十四，十四除以十三不行， a 去二行不行？十二十二加八，二十也不行。 a 去三呢？三六十八十八加八，二十六，二十六恰好能够被十三整除，所以 a 等于三， 可以啊，四可不可以？四，二十四加上八，三十二不行，三十二不行啊，五呢？五呢？就是三十三十八不行，六呢？三十六加八，四十四也不行，七呢？ 七就是四十二加八，五十也不行，八呢？六八四十八加八，五十六，五十六也不行，对吧？九呢？六九五十四，五十四加上八，六十二， 六十二也不行，六十二也不行。对，所以 a 只能等于三， a 等于三的话，那么 b 等于几啊？ b 等于十减 a， 那 就等于七了，对吧？那么 d 呢？ d 等于几啊？ d 等于 a 加 d 呢？等于 a 减一，对不对？所以 d 等于二， 那么 c 呢？ c 等于十减 d 等于八，对吧？所以这个答案就是 m 值就是 abcd 嘛，就是三七八二。 你看这个题，虽然他是个填空题，但是他非常难啊，非常难，计算量是一点都不小啊，一点都不小，而且这个转化的思想，如果你不知道的话，其实很麻烦啊，很麻烦，所以这个题目呢，非常精彩， 非常精彩啊。大家可以去好好去分析一下啊，如果没算错的话，应该就是这个啊。好，那这个题目呢，我们就讲到这啊，如果你觉得还不错的话，可以分享给你的朋友，如果家长觉得还不错的话，可以分享给你的孩子。那我们下个视频就来讲一下。这个倒数第二题 也很精彩啊，他的计算也很巧妙。好，那我们就到这啊，我们下个视频，再见。拜拜。
28杨金木点灯
08:25查看AI文稿AI文稿为了带大家刷这个题呢，我特意找我重庆那边的一个老战友啊，这个李老师朋友圈其他不多啊，这个优秀的物理数学老师非常多，那么我们特地沟通了一下，去年呢，他有一个学生啊，这道题做出了前两问，那么总分已经达到了，呃，八十分啊，八十分往上， 呃，如果能在考场中临考时把这道题全部解出啊，那么你至少应该数学是一百四十五以上的水平 啊，这个那么能有这样的机会啊，这个重庆卷的压轴题啊，他的特点就是对这个数学能力的要求比较高，我经常试一道解，不能试，对吧？我们来看一下这道题的篇幅啊，非常的大啊，篇幅非常的大，那么 经常需要设一道解不等式啊，这个求导啊，构造函数啊，对吧，所以对你的数学功底要求非常多。那么这道题呢，我们通过呃前两问啊，带大家把这个呃碰撞过程中的一个比较呃好用的技巧啊，我们要回顾复习一下。 好了，我们首先从神梯开始，那么你看这个，先瞟验图，一个传送带，对吧，后边接了一个水平的轨道啊，有两个物体好了，那么这个如图所示啊，长度是得的。这个传送带啊，顺时针转 a 的 质量是小 m， 从左端静止释放， 还没有和传送的达到共速时，就从右端进入到光滑的水平面。好了，这句话呢，信息量就稍微大一点 啊，他离开传送带的时候呢，他没有达到共速，那么这句话的潜在的含义呢？就是说整个传送带啊，他走过的这一段距离的过程中，一直是在做匀加速直线运动，对吧？中间没有达到共速 好了，那么这样你要读懂这个这个条件的背后的含义，那么其中 n 到 o 的 这一节呢，是光滑的水平面好了，再往下上来之后呢，与向右运动的这个 b 发生了碰撞啊，碰撞时间极短。 这个碰撞时间极短的意思呢，就是说在完成碰撞的这个过程中，他们两个是没有发生位置的啊，就是一瞬间速度就发生了改变了，改变之后再去动，对吧？以新的速度再去运动好了。那么碰后呢，两个都是在向右运动， 从 o 点进入到这个水平面呢，就是粗糙的，嗯，好了，最后一句话， a 和传送带 ab 和 o 点右侧的这个地面，他的摩擦因素都是缪 好。那么我们同样先来看一下送分的第一问，嗯，求它在传送带上的加速度以及离开时的速度大小。好了，那么这一问呢，首先我们列一个牛二方程滑的摩擦力是和外力等于 m a， 那 么求出加速度是等于缪记 啊，前半部分结束，那么刚才我们分析了整个 a 到 n 的 过 m 到 n 的 过程中啊，它一直是匀加速啊，所以我们要求末速度，有了位移有加速度，对吧？我们直接带 v 一 方等于二 a x 好 了，把这个速度求出来， 那么得到他冲上来时，这个速度我们用 v 零表示啊，就等于一个根号叫二缪几得。好了，第一问啊，这个分稳稳的拿到，那么第二问呢，我们就要重点去这个研究过程分了，对吧？那么实际上第二问当中呢，我们来看，他说， 嗯，碰撞前的瞬间， b 的 速度大小是 a 的 一半啊，相当于把 b 的 速度也告诉了，对吧？碰前 a b 的 速度都有了，那么碰撞呢，是一个弹性碰撞好了，嗯，碰后呢， a b 在 粗糙水平面上停下时，相距是得， 这个得的意思呢？就是说你看，当 a b 各自停下之后，相隔的这个距离是得，那么这个得实际上就是它两个在这个粗糙水平面上的相对位置， 对吧？也就是他两个的位一之差啊，这个条件是让我们也可以转化呃，去拿一定的过程分。当然首先这里我们要处理碰撞的问题啊，这里是弹性碰撞，一动碰一动，那么实际上这个碰撞啊，我们过程分还是比较好拿的，对吧？至少我们可以列两个守恒的方程啊，这个方程一定要会起， 一个是动量守恒，那么出动量 m v 零加，我们这里设，你可以加一定的文字描述，设 b 的 质量是大 m 啊，然后它的动量呢，就是大 m 乘以二倍的倍点啊，也是向右的，所以都是正。那么碰后呢，我们设 a 的 速度是 v 一， b 的 速度是 v 二， 好了，那么第二个就是动能守恒啊，能量守恒啊，碰前的出动能，两个加起来等于碰后的总动能 好了，那么至少这两个方程是一定可以拿到过程分的，对吧？这个你一定要写，对吧？所以我们你看，我们在压轴题当中啊，出题的范围可能就是在这个电子感应，在在这个， 呃，叠加长啊，在那么不同的部分呢，他拿过程分，对吧？他，呃用到的核心的方程是不一样的，所以我们最后的这段时间呢，呃，你关键要关注我们各种题型情境，我们靠什么去拿它的过程分，对吧？有哪些方程是比较关键是必须要写，那你像处理碰撞的，无论是弹性碰撞还是 呃非弹性碰撞或者完全非，对吧？那么实际上就是两个方程，一个是能量，一个是能量守恒，一个是动量守恒啊，即便是完全非弹性碰撞，那么他也是能量守恒，对吧？只不过这个能量不不再局限在这个动能里面，可能会产生摩擦的，产生内能，对吧？增加改变成其他能量 好了。那么呃，这里呢，实际上我们对于这两个方程的处理啊，我们在上课的时候呢，可能可能都是背了一个他的呃解的答案，对吧？那个解的答案，当然我们很多同学啊，基本上只背的一动碰一静的，至于一动碰一动啊，这个 答案很长，对吧？当然可能有的老师也讲一些技巧，怎么记住他，但实际上这个里边，如果真的面对这种一动碰一动了啊，这个这个里边有一个很重要的结论，我们要把它记住，如果没有这个结论的话，我们这个题啊，你就再往下把 o 点后面的过程方式写完，你可能就止步于此了， 对吧？你如果说靠现场去解这两个方程，而且是在你没有任何之前啊解出来的这个基础之上啊，你是很难的。那么这里边有个重要的结论就是什么呢？就是在这个弹性碰撞的碰前和碰后啊，它的相对速度大小是一样的 啊，相对速度大小相等，当然这个东西也是通过我们解方程得出来啊，相对速度大小相等，那你看碰前的相对速度呢？就是两个都向右啊，所以做减法， a 的是 v 零， b 的是二分之 v 零，那碰后呢，两个也是向右，当然你碰撞完成了， 对吧？应该是在前面的 b 速度更大一点，所以应该是 v 二减 v 一， 哎，两个都是向右跑，所以两个方向啊，都是朝着向右的正方向。好了，那么有这个式子，我们把它叫做一式， 那接下来呢，我们研究这个 o 点后边的位置， o 点往后他是做一个呃，这个匀减速，对吧？直到最后速度减压到零停下来，那么这个过程呢，我们对两个物体都可以列一个这个啊，动能逆力方程，对吧？那么列完之后呢，我们找到他们所走过的这个位极的表达式啊，是这一坨。 好了，那么接下来我们把这个条件给它翻译一下，他说两个最后相隔的，也就是说相对位置， b 跑的肯定要这个呃，远一点，对吧？他在前面，那么嗯， x 二减 x 一 等于啊，就等于这一坨，两个相减，就是相当于把上面的这个表达式，把 ab 各自的位置带进去啊，那么最后等一个的 好了，那么这个式子我们可以把它整理一下，对吧？把这个二缪记给它乘过来，乘成一个得，而这个二缪记乘以得呢？你看，在刚才对 a 在 传送带上运动的时候，这个二缪记乘以得，它刚好就是 v 零的平方啊，所以我们又可以得到这样一个方程 啊，就是碰后碰后啊，他两个的速度的平方差是刚好等于得好了。那么有这个二式和这个一式啊，有二式一式我们实际上就可以把他两个的这个碰后速度给他解出来， 对吧？那么这个方程实际上比较好解了，第二个式子呢，他这里有一个平方差，那么我们就把它打开，对吧？打开之后呢和一式我们再做一个除法，那么里边这个你看这这里也是有一个叉值，那么里边叉的那一项就可以把它消掉， 对吧？好了，那这个方程我们就啊方程组就不详细讲，对吧？最后解出来呢？解的 v， 二是这么多 v， 一 是这么多啊，碰后速度就解出来，那碰后速度解完了之后呢啊，他最后要的是质量关系，对吧？要 b 的 质量是多少？那么我们再把这个碰后的两个速度给他带回到动量守恒的 这个方程中，那么带回到这个方程中，实际上我们就呃里边就只剩下小 m、 大 m 和 v 零这三个字母， 那么大 m 实际上每一项都有啊，不是这个 v 零每一项都有，所以每一项里边可以把 v 零删掉，最终我们就可以找到这个小 m 和大 m 的 关系啊，当然这个就是一个简单的代入，对吧？最后整理出来呢，这个大 m 就 等于三分之一倍的啊，小 m。
