二零二五年高考数学一卷整体延续重基础、强思维、考应用的趋势，看起来题目不偏不怪，但真正拉开差距的是你能不能快速识别题型，抓住核心条件，用最短路径解题。 咱们来看第一题。题目说，一加五， i 的 整体再乘以 i， 它的虚部为多少？选项 a、 负一选项 b、 零选项 c， 一 选项 d 六、这是一道复数基本运算题，核心定位是先做乘法，再看结果中 i 前面的系数。 关键观察点是，题目问的是虚部，不是整个含有 i 的 项。负数写成实部加虚部乘 i 的 形式时，虚部指的是 i 前面的那个实数系数。 现在计算，一加五， i 的 整体乘以 i 就 等于一乘以 i， 再加上五， i 乘以 i， 也就是 i 加五 i 的 平方。因为 i 的 平方等于负一，所以 i 的 平方等于负五，于是结果就是负五加 i， 这个负数的实部是负五， i 前面的系数是一，所以虚部是一，所以本题答案选 c。 一、 方法总结一下，负数乘到 i 时，一定要把 i 的 平方换成负一。最后判断虚部时，只看 i 前面的系数，不要把 i 本身也算进去。 咱们来看第二题。题目说，已知集合大写 u 是 所有小于九的正整数集合大写 a 等于由一、三、五组成的集合，求大写 a 在 全集大写 u 中的补集里，元素的个数选项 a， 零选项 b、 三选项 c， 五选项 d 八、 这道题的关键观察点是，小于九的正整数不包括九，只包括一到八。另外，补集不是数集合大写 a 里有几个元素，而是数全集大写 u 里面不属于大写 a 的 元素有几个？为什么这样做呢？因为补集一定要在指定的全集里面看。 这里全集大写 u 是 一、二、三、四、五、六、七、八，一共有八个元素集合大写 a 是 一、三、五，一共有三个元素。 现在要求大写 a 在 全集大写 u 中的补集，也就是从一、二、三、四、五、六、七、八里面把一、三、五去掉，剩下的是二、四、六、七、八，一共有五个元素，所以补集里元素的个数是八减三等于五。 本题答案选 c。 五、方法总结一下，做集合补集题第一步，先看清全集是什么，尤其注意不超过和小于这类边界词。第二部，数出全集元素个数。第三部，去掉集合大写 a 里的元素，剩下的就是补集。这里全集有八个元素，大写 a 有 三个元素，所以补集有五个元素。咱们来看第三题。 已知双曲线大写 c 的 虚周长是十周长的根号七倍，求双曲线大写 c 的 离心率。选项 a， 根号二。选项 b， 二选项 c， 根号七。选项 d， 二倍根号二。 这道题的关键观察点是，题目说的是虚周长和十周长的关系。双曲线里实周长是二倍 a， 虚周长是二倍 b， 所以 意思就是二倍 b 等于根号七倍的二倍 a， 因此 b 等于根号七倍的 a。 这里容易错在两点，第一，不要把轴长直接和 a、 b 混淆，但因为两边都有二倍，所以最后比例仍然是 b 比 a 等于根号七。第二，双曲线中焦距参数 c 的 平方等于 a 的 平方，加 b 的 平方不是相减。 现在代入计算，因为 b 等于根号七倍的 a， 所以 b 的 平方等于七倍 a 的 平方。又因为双曲线满足 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方，所以 c 的 平方等于 a 的 平方加七倍 a 的 平方，也就是八倍 a 的 平方，于是 c 等于根号八倍的 a， 也就是二倍根号。二倍的 a 离心率 e 等于 c 除以 a， 所以 e 等于二倍根号二。本题答案选 d 二倍根号二。方法总结一下，遇到双曲线离心率，先把题目中的轴长关系转成 a 和 b 的 关系，再用双曲线的基本关系 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方，最后用离心率 e 等于 c 除以 a 来求。 咱们来看第四题已知点，小括号 a 逗号零小括号，其中 a 大 于零是函数， y 等于两倍正切小括号 x 减三分之派。小括号的图像的一个对称中心，求 a 的 最小值选项 a 六分之派，选项 b、 三分之派选项 c、 二分之派选项 d 三分之四派。 这道题的关键观察点是，正切函数的对称中心由括号里面的整体角决定，前面的系数二只是纵向拉伸，不改变对称中心的位置。易错点是把正切函数的渐近线位置当成对称中心。 对于函数 y 等于正切 u， 它的对称中心满足 u 等于 k 被派，其中 k 是 整数，这里 u 就是 x 减三分之派。所以要让点小括号 a 逗号零小括号成为对称中心，就需要 a 减三分之派等于 k 被派， 于是 a 等于三分之派加 k 背派。因为题目要求 a 大 于零，并且求 a 的 最小值，取 k 等于零时， a 等于三分之派，取 k 等于负一时， a 等于负三分之二派已经小于零，不符合条件，所以 a 的 最小正值就是三分之派， 因此本题答案选 b。 三分之派。方法总结是，遇到正切型函数的对称中心，先看括号内整体角，让整体角等于 k 背派。方法总结是，遇到正切型函数的对称中心，先看括号内整体角等于 k 背派，再结合题目对横坐标的范围要求，选出满足条件的最小值。 咱们来看第五题。题目说已知函数 f 括号 x 括号是定义在实数级上且周期为二的偶函数。 当二小于等于 x 小 于等于三时， f 括号， x 括号等于五减二 x， 求 f 括号负四分之三括号。选项 a， 负二分之一。 选项 b， 负四分之一选项 c， 四分之一选项 d， 二分之一。本题考察偶函数和周期函数的综合使用，核心是把负四分之三这个自变量转化到已知表达式所在的区间二到三里面去。 关键观察点是，题目只告诉了二到三这个区间上的函数表达式，所以不能直接把负四十三带入五减二 x。 易错点是利用周期平移时，四分之三加二等于四分之十一，不是十一分之四。因为 f 括号 x 括号是偶函数，所以 f 括号负四分之三括号等于 f 括号四分之三括号。这样先把负数自变量变成正数自变量， 又因为函数的周期是二，所以自变量加二，函数值不变，于是 f 括号四分之三括号等于 f 括号四分之三加二括号，也就是 f 括号四分之十一括号。 现在四分之十一等于二点七五落在二到三之间，可以使用题目给出的表达式，于是 f 括号四分之一，括号等于五减二乘以四分之十一，二乘以四分之十一等于二分之十一，五等于二分之十，所以五减二分之十一等于负二分之一。 因此 f 括号负四分之三，括号等于负二分之一。本题答案选 a， 负二分之一。方法总结一下，遇到这类题，先看已知解析式在哪个区间成立，再利用偶函数把负自变量变成正自变量，利用周期把自变量平移到已知区间，最后再代入计算。 这里的关键一步是四分之三加二等于四分之十一，落在二到三之间，所以答案是负二分之一。咱们来看第六题。 题目说帆船比赛中试风，风速对应的向量是真风，风速对应的向量与船型风风速对应的向量之合，其中船型风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。 图中给出部分风力等级，清风是一点六到三点三，微风是三点四到五点四，核风是五点五到七点九，净风是八点零到十点七。 根据给出的式风风速向量和船速向量，判断该时刻的真风选项 a、 轻风选项 b、 微风选项 c、 和风选项 d。 静风。 这道题的关键观察点是，船型风风速向量不是船速向量本身，而是和船速向量大小相等方向相反。 易错点就在这里，不能直接把式风向量和传速向量相减来当做真风。式风风速向量是左括号，负三负一，右括号，传速向量是左括号一三右括号。题目给出的关系是，式风等于真风加传行风， 又因为传行风和传速方向相反，所以传行风等于传速的相反向量，也就是说式风等于真风减传速， 因此真风就等于示风加传速。现在计算真风向量，左括号、负三负一，右括号加左括号一三右括号，得到左括号，负二二右括号。接下来求真风风速的大小， 左括号负二二右括号的长度等于根号下负二的平方，加二的平方也就是根号下八等于二倍。根号二约等于二点八三，二点八三落在一点六到三点三之间，所以该时刻的真风属于清风。 本题答案选 a。 清风。方法上要抓住两个关系，第一是风等于真风加船形风。第二船形风是船速的相反向量，所以真风等于是风加船速。 算出真风向量，左括号负二二右括号后，再求它的长度二倍，根号二约为二点八三，对照风力等级表属于清风。 咱们来看第七题，题目说已知圆 x 的 平方加上 y 加二的整体的平方等于 r 的 平方，其中 r 大 于零， 原上到直线 y 等于根号三倍， x 加二的距离为一的点有且仅有两个，求 r 的 取值范围。选项 a， 零到一选项 b， 一 到三选项 c， 三到正无穷。选项 d， 零到正无穷。 这道题的关键观察点是，到一条直线距离等于一的点不在原直线上，而是在这条直线两侧距离都为一的两条平行线上。所以题目问原上满足条件的点有几个，本质上是在问这个原和这两条平行线一共交出几个点。 先看圆 x 的 平方加上 y 加二的整体的平方等于 r 的 平方，所以圆心是零负二，半径是 r。 再把直线 y 等于根号三倍 x 加二，改写成根号三倍 x 减 y 加二等于零。 与它距离为一的两条平行线，可以理解为在圆直线两侧平移一段距离。现在我们只需要看圆心到这两条平行线的距离。圆直线到圆心零负二的距离等于根号三乘零减负二，再加二的绝对值除以根号下三加一，也就是四除以二等于二。 因为两条目标平行线到圆直线的距离都是一，所以它们到圆心的距离分别是二减一和二加一，也就是一和三。 接下来判断交点个数圆和一条直线的位置关系，只看圆心到直线的距离 d 和半径 r。 若 r 小 于 d， 没有交点。若 r 等于 d， 相切有一个交点。若 r 大 于 d， 相交有两个交点。 现在两条平行线到圆心的距离分别是一和三。要让圆上满足距离为一的点，有且仅有两个，就必须总交点数正好是两个。 如果 r 小 于一，两条线都不相交零个点。如果 r 等于一近的那条线相切只有一个点。如果一小于 r 小 于三，近的那条线与圆相交有两个点，远的那条线还没有碰到圆，所以正好两个点。如果 r 等于三近的那条线两个点，远的那条线相切一个点，一共三个点。 如果 r 大 于三，两条线都相交一共四个点，所以符合条件的是一小于 r 小 于三。本题答案选 b 一 到三。方法总结一下，遇到到直线距离为定值的点，先把它转化为两条平行线，再求圆心到这两条平行线的距离，最后用半径和距离比较判断相交、相切还是相离。 本题两条平行线到圆心的距离分别是一和三，要恰好两个点，只能让圆只穿过近的那条线，不能碰到远的那条线。因此 r 的 范围是一小于 r 小 于 r。 三。 咱们来看第八题。题目说已知二加以二为底， x 的 对数等于三加以三为底， y 的 对数等于五。加以五为底， z 的 对数。判断 x、 y、 z 的 大小关系不可能是哪一个 选项 a， x 大 于 y 大 于 z。 选项 b， x 大 于 z 大 于 y。 选项 c， y 大 于 x 大 于 z。 选项 d， y 大 于 z 大 于 x。 这题的关键观察点是 x、 y、 z 不是 固定数，而是随着这个公共值一起变化。易错点是只看底数二、三、五的大小，就直接判断谁大谁小。 这里真正要比较的是三个指数函数在不同 t 值下的相对位置，设这个公共值为 t， 也就是说，二加以二为底， x 的 对数等于 t。 三加以三为底， y 的 对数等于 t。 五加以五 为底， z 的 对数等于 t 减二，所以 x 等于二的 t 减二次方。以三为底， y 的 对数等于 t 减三，所以 y 等于三的 t 减三次方。以五为底， z 的 对数等于 t 减五，所以 z 等于五的 t 减五次方。 接下来比较三条曲线的交叉顺序，先看 x 和 y， x 等于 y 时，就是二的 t 减二次方，等于三的 t 减三次方。两边取自然对数得到 t 大 约等于四点七一。也就是说，在 t 小 于四点七一时， x 大 于 y。 在 t 大 于四点七一时， y 大 于 x。 再看 x 和 z， x 等于 z 时，就是二的 t 减二次方等于五的 t 减五次方，两边取自然对数得到 t 大 约等于七点二七。也就是说，在 t 小 于七点二七时， x 大 于 z。 在 t 大 于七点二七时， z 大 于 x。 再看 y 和 z， y 等于 z， 就是 三的 t 减三次方，等于五的 t 减五次方，两边取自然对数得到 t 大 约等于九点三一。也就是说，在 t 小 于九点三一时， z 大 于 y。 现在看选项 b 要出现 x 大 于 z 大 于 y， 需要同时满足 x 大 于 z 以及 z 大 于 y。 可是 x 大 于 z， 要求 t 小 于七点二七， z 大 于 y， 又要求 t 大 于九点三一。一个 t 不 可能同时小于七点二七，又大于九点三一，所以选项 b 这种顺序不可能出现。 为了排除其他选项，也顺便验证一下，取 t 等于零， x 等于四分之一， y 等于二十七分之一， z 等于三千一百二十五分之一，所以 x 大 于 y 大 于 z， 选项 a 可以 出现。 取 t 等于六， x 等于十六， y 等于二十七， z 等于五，所以 y 大 于 x 大 于 z， 选项 c 可以 出现。取 t 等于八， x 等于六十四， y 等于二百四十三， z 等于一百二十五，所以 y 大 于 z 大 于 x， 选项 d 可以 出现。因此不可能出现的大小关系是，选项 b x 大 于 z 大 于 y。 这题的方法总结是，遇到多个带对数的式子相等，先设公共值为 t， 把 x、 y、 z 分 别表示成关于 t 的 指数式， 然后不要只凭底数大小猜结论，而是比较两两相等的临界点。这里三个临界点依次大约是四点七一、七点二七、九点三一，所以顺序只会按这些临界点逐段变化。选项 b 要求的两个条件在 t 的 范围上互相冲突，因此不可能出现。 咱们来看第九题。题目说在正三棱柱 a、 b、 c 到 a 一、 b 一、 c 一 中， d 是 bc 的 中点，判断哪些说法正确？ 这道题考的是正三棱柱里的垂直和平行关系。大家注意，正三棱柱有两个关键信息，第一，底面 a、 b、 c 是 正三角形。第二，再楞 a、 a 一 b、 b 一、 c、 c 一 都垂直于底面。先看底面， 因为 a、 b、 c 是 正三角形， d 是 bc 的 中点，所以 a、 d 是 底边 bc 上的高，也就是说 a、 d 垂直于 bc。 再看空间关系 b、 e、 c、 e 和 bc 是 平行的，所以 b、 e、 c、 e 也垂直于 ad。 同时， a、 a 一 是正三棱柱的蔡棱，垂直于底面 a、 b、 c、 b、 e、 c、 e 方向平行于底面里的 b、 c。 所以 b、 e、 c、 e 也垂直于 a、 a、 e。 你 看这里 b、 e、 c、 e 同时垂直于平面 a、 a、 e、 d 里的两条相交直线分别是 a、 d 和 a a、 e， 因此 b、 e、 c、 e 垂直于平面 a、 a、 e、 d。 选项 b 正确。 再看 c、 c 一 c、 c 一 和 a、 a 一 是同一组蔡楞，所以 c、 c 一 平行于 a、 a 一， 而 a、 a 一 在平面 a、 a、 e、 d 内，并且 c 点不在直线 a、 d 上，所以 c、 c 一 不在这个平面内，这样 c、 c 一 就平行于平面。 a、 a、 e、 d。 选项 d 正确。选项 a 说 a、 d 垂直于 a、 e、 c。 这里不能只看 a、 d 垂直于 bc 就 直接推到 a、 e、 c、 a、 e、 c 是 一条斜着穿过空间的线，它既有竖直方向，也有底面方向，不能和 a、 d 构成垂直关系，所以 a 错。 选项 c 说 a、 d 平行于 a 一 b 一 a 一 b 一 平行于底面的 ab， 而 ab 是 底面正三角形从 a 到 bc 终点的高，它不平行于 ab， 所以 c 错。 所以这一题正确。选项是 b 和 d。 方法上咱们抓两个点就够了。第一，正三角形里中线也是高，所以 a、 d 垂直于 bc。 第二，正三棱柱的侧棱垂直于底面。用这两个条件就能判断出 b 一 c 一 垂直于平面 a、 a、 e、 d。 再判断 c、 c 一 平行于这个平面， 咱们继续看第十题。已知抛物线 c 方程是 y 的 平方等于六 x， 交点是 f 过 f 的 一条直线，交抛物线于 ab， 两点过 a 做直线 x 等于负二分之三的垂线垂足为 d 过 f， 且与直线 ab 垂直的直线交这条准线与点 e。 问，哪些说法正确？大家注意，这题的核心不是硬算坐标，而是交点弦。准线和抛物线定义 先看抛物线 y 的 平方等于六 x， 标准形式是 y 的 平方等于四 p x， 所以 四 p 等于六， p 等于二分之三，因此焦点 f 是 二分之三，零准线就是 x 等于负二分之三。 a 点在抛物线上， d 是 a 到准线的垂足，所以 a、 d 的 长度就是 a 到准线的距离。根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以 a、 d 等于 af。 选项 a 正确。接着看焦点弦 ab 过交点的弦最短的时候是垂直于对称轴的通径，这里通径长是四 p， 也就是六。所以不管这条过交点的直线怎么转， a、 b 的 长度都大于等于六。选项 c 正确。再看 b 和 d， 需要判断 a、 e 的 关系，咱们设交点弦 a、 b 与 x 轴的夹角为西塔， 过 f 做 ab 的 垂线，交准线于 e， 因为交点到准线的水平距离是三，而这段垂线方向的水平分量和正弦希塔有关，所以 f 一 的长度等于三除以正弦希塔的绝对值。 沿着交点弦方向去算， a f 和 b f 分 别可以表示成三除以一减于弦希塔以及三除以一加于弦希塔。 于是 a e 和 b e 都在两个直角三角形里，直角点都是 f。 把 a e 的 平方看成 a f 的 平方，把 b e 的 平方看成 b f 的 平方加 f e 的 平方。这一步很关键，代入之后， a e 乘以 b e 等于十八除以正弦西塔的绝对值的三次方。 因为正弦西塔的绝对值最大是一，所以这个乘积一定大于等于十八。选项 d 正确。最后看选项 b 说 a e 等于 ab， 咱们用一个最简单的情况检验取 ab 是 数值的交点弦，也就是直线 x 等于二分之三，此时 ab 的 长度等于六， e 点在准线上，又在过 f 的 水平线上，所以 e 是 负二分之三。零 a 到 e 的 距离是三倍，根号下二不等于六，所以选项 b 错， 所以本题正确选项是 a、 c、 d。 这题的方法总结一下，遇到抛物线，先从 y 的 平方等于四 p， x 里读出 p， 再立刻写交点和准线，涉及点到交点，点到准线，优先用抛物线定义涉及过交点的弦，记住，交点弦最短是通径，长度是四 p。 最后，这种带垂线交准线的乘积问题，可以设交点弦倾斜角，用正弦关系控制距离。关键结论就是 a e 乘以 b e 大 于等于十八。 咱们继续看第十一题。题目说三角形 a、 b、 c 的 面积为四分之一，并且二倍角 a 的 余弦加二倍角 b 的 余弦再加二倍的角 c 的 正弦等于二。同时角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦再乘角 c 的 正弦等于四分之一。 问，下面哪些说法正确？ a、 角 c 的 正弦等于角 a， 正弦的平方加角 b， 正弦的平方 b、 a、 b 等于根号下二 c 角 a 的 正弦加角 b 的 正弦等于二分之。根号下六 d、 a、 c 的 平方加 bc 的 平方等于三。 这道题的关键不是上来就算边长，而是先判断角 c。 它考的是二倍角与弦和差画积、直角、三角形面积以及正弦与弦和边长的关系。 咱们先看条件，二倍角 a 的 余弦加二倍，角 b 的 余弦再加二倍的角 c 的 正弦等于二。 前两项用和差画积二倍角 a 的 余弦加二倍，角 b 的 余弦等于二。乘角 a、 加角 b 的 余弦降层角 a 减角 b 的 余弦。因为角 a、 加角 b 的 余弦等于负的，角 c 的 余弦， 于是原式变成负二倍的角 c 的 余弦乘角 a、 减角 b 的 余弦再加二倍的角 c 的 正弦等于二。 两边同时除以二，就得到角 c 的 余弦乘角 a、 减角 b 的 余弦等于角 c 的 正弦减一。大家注意，这一步很关键， 右边是角 c 的 正弦减一。在三角形里，角 c 的 正弦最大就是一，所以右边不大于零。再看另一个条件，角 a 的 余弦乘角 b 的 正弦等于四分之一，大于零。 角 c 的 正弦本来就大于零，所以角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦大于零。三角形里， a 和 b 不 可能同时是钝角，因此 a 和 b 都是锐角。如果角 c 是 锐角，那么角 c 的 余弦大于零，角 a 减角 b 的 余弦也大于零。左边就是正数， 可右边角 c 的 正弦减一是负数。矛盾。如果角 c 是 钝角，那么角 c 的 余弦小于零。又因为角 a 减角 b 的 绝对值小于角 a 加角 b， 也就是一百八十度减角 c， 所以 角 a 减角 b 的 余弦会大于负的角 c 的 余弦。 可是由刚才的等式，角 a 减角 b 的 余弦等于一，减角 c 的 正弦除以负的角 c 的 余弦，它会小于负的角 c 的 余弦。前后也矛盾，所以角 c 既不是锐角，也不是钝角，只能是直角，也就是角 c 等于九十度，角 c 的 正弦等于一。 这样 a 选项就好判断了。直角三角形里，角 a 和角 b 互余，所以角 b 的 正弦等于角 a 的 余弦，于是角 a 正弦的平方加角 b， 正弦的平方就等于角 a 正弦的平方加角 a， 余弦的平方等于一， 正好等于角 c 的 正弦，所以 a 正确。呃，下面看边长设 b c 等于 a， a c 等于 b， a b 等于 c， 因为角 c 是 直角，面积等于二分之一，乘 a 乘 b。 题目给面积四分之一，所以二分之一乘 a 乘 b 等于四分之一，也就是 a 乘 b 等于二分之一。 再用乘积条件，角 c 的 正弦等于一，所以角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦等于四分之一。在这个直角三角形里，角 a 的 余弦等于 b 除以 c， 角 b 的 余弦等于 a 除以 c， 所以 它们的乘积等于 a 乘 b 除以 c 的 平方，也就是二分之一除以 c 的 平方等于四分之一， 所以 c 的 平方等于二， c 等于根号下二，也就是 a， b 等于根号下二， b 正确。哎！接着看 c 选项，角 a 的 正弦等于 a 除以 c， 角 b 的 正弦等于 b 除以 c， 所以 角 a 的 正弦加角 b 的 正弦等于 a， 加 b 的 正弦的平方等于 a 加 b 的 平方除以 c 的 平方，也就是 a 的 平方加 b 的 平方加二倍 a， b 再除以 c 的 平方， 因为这是直角三角形， a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方等于二。刚才又有 ab 等于二分之一，所以二倍 ab 等于一分子，就是二加一等于三，分母是二， 所以这个平方等于二分之三。哎，角 a 的 正弦加角， b 的 正弦是正数，因此它等于根号下二分之三，也就是二分之根号下六，所以 c 正确。哎！最后看 d， a， c 的 平方加 bc 的 平方就是 b 的 平方加 a 的 平方，由勾股定律，它等于 ab 的 平方，也就是二，不是三，所以 d 错， 所以本题正确。选项是 abc。 这道题最核心的一步是，先通过二倍角余弦的和差化积，把条件转成角， c 的 余弦乘角， a 减角， b 的 余弦等于角， c 的 正弦减一， 再结合乘积为正，判断 ab 都是锐角，最后排除角 c 是 锐角和钝角，锁定角 c 是 九十度角 c 一 旦确定为直角，后面的面积余弦乘积正弦和都可以用直角三角形的边长关系顺着算出来。 咱们来看第十二题。题目是，若直线 y 等于二， x 加五是去线 y 等于 e 的 x， 次方加 x 加 a 的 一条切线求 a。 这是一道填空题，最后只填一个数。关键观察点是切线不只是斜率相同，还要在切点处和取线取到同一个函数值，不能只算斜率就停下。 先看斜率条件，曲线 y 等于 e 的 x， 次方加 x 加 a， 它的导数是 e 的 x 次方加一。导数表示曲线在对应点处的切线斜率。题目给出的直线是 y 等于二， x 加五，所以它的斜率是二。既然这条直线是曲线的一条切线，那么在切点处，曲线的导数值必须等于二， 于是有 e 的 x 次方加一等于二，所以 e 的 x 次方等于一。因为 e 的 零次方等于一，所以切点的横坐标 x 等于零。接下来检查切点处的函数值，把 x 等于零带入曲线，曲线的 y 值是 e 的 零，次方加零加 a， 也就是一加 a。 把 x 等于零，带入直线， y 等于二， x 加五，直线的 y 值是五。同一个切点处，曲线和直线的 y 值必须相等，所以一加 a 等于五，得到 a 等于四。 所以本题答案是四。方法上遇到某条直线是某条曲线的切线，要同时用两个条件，第一，切线斜率等于切点处导数。第二，切点处直线值等于曲线值。本题先由斜率二确定切点横坐标为零，再带入曲线和直线比较函数值，最后得到 a 等于四。 填空题这里要特别注意，答案只填四，并且要确认斜率条件和切点重合条件都已经满足。咱们来看第十三题。题目说，若一个等比数列的各项均为正数，且前四项的和等于四，前八项的和等于六十八，求这个数列的公比。 这题的关键观察点是，前八项可以分成前四项和后四项，而等比数列中第五项到第四项乘以公比的四次方。 易错点是，解出公比的四次方等于十六以后，不能把负二也当成最终答案。因为题目明确说各项均为正数， 设这个等比数列的公比为 q， 因为各项均为正数，所以相邻两项的比值也是正数，也就是 q 大 于零。前四项的和等于四。 第五项、第六项、第七项、第八项分别是第一项、第二项、第三项、第四项乘以 q 的 四次方，所以后四项的和等于前四项的和乘以 q 的 四次方。因此前八项的和等于前四项的和乘以一加 q 的 四次方。代入题目条件六，十八等于四乘以一加 q 的 四次方。 两边同时除以四，得到十七等于一加 q 的 四次方，所以 q 的 四次方等于十六。因为 q 大 于零，满足 q 的 四次方等于十六的正数只有二，所以公比 q 等于二。 本题答案是二。方法上要抓住前八项和与前四项和之间的倍数关系，后四项是前四项整体乘以公比的四次方，所以前八项和等于前四项和乘以一加公比的四次方。最后一定要检查条件，各项均为正数，推出公比大于零，因此负二不能作为答案。 咱们来看第十四题，题目说有五个相同的球，分别标有数字一、二、三、四、五，从中有放回的随机取三次，每次取一个球，即大写 x， 为这五个球中至少被取出一次的球的个数，求大写 x 的 数学期望。 这道题的关键观察点是，大写 x 数的不是三次取到的数字之合，也不是每次取球的编号，而是五个球里面有多少个不同的球被取到过。因为是有放回的取，所以每一次取球互不影响。每个固定球在每一次中被取到的概率都是五分之一。 我们用指示变量来做对，第挨个球设挨下标挨，表示这个球是否至少被取出一次。如果第挨个球至少被取出一次，那么挨下标挨等于一。如果他一次也没有被取到，那么挨下标挨等于零。 对的，这样做的原因是大写 x 可以 拆成五个球各自是否出现过的结果之合。也就是说，大写 x 等于挨下标一加挨下标二加挨下标三加挨下标四加挨下标五。求大写 x 的 数学期望，就可以转化为分别求每个指示变量的期望再相加。 现在看某一个固定的球，比如标号为一的球，每取一次没有取到它的概率是五分之四。因为一共取三次，而且有放回，所以三次都没有取到它的概率是五分之四的三次方，也就是六十四除以一百二十五 呀。因此，这个固定球至少被取出一次的概率是一。减去六十四除以一百二十五，等于六十一，除以一百二十五。 指数变量的期望就等于它取一的概率。所以每一个 i 下标 i 的 数学期望都是六十一除以一百二十五。由期望的限性性，大写 x 的 数学期望等于五乘以六十一除以一百二十五，等于六十一除以二十五。 这里再检查一下条件，因为题目明确是有放回随机取三次，所以可以把某个固定球三次都没有被取到的概率写成五分之四的三次方，如果误当成无放回计算就会变掉。另外，大写 x 最多只能是三，因为只取三次，但他的期望可以是六十一除以二十五，这个数在一到三之间，结果范围也是合理的。 本题答案是六十一除以二十五，方法上遇到至少被取出一次的个数。这类问题不必先列出所有不同取法，也不必求完整分布，可以把总个数拆成每个对象是否出现过的指示变量之合，再用期望现行性相加。 关键计算是先算反面事件，也就是某个固定球一次都没有被取到概率为五分之四的三次方，再用一减它，得到至少出现一次的概率。 咱们来看第十五题，这道题研究某疾病和超声波检查结果之间有没有关系。随机调查了一千人，患该疾病的有二百人，其中检查结果正常二十人，不正常一百八十人。未患该疾病的有八百人，其中检查结果正常七百八十人，不正常二十人。按检查结果来看，正常合计八百人，不正常合计二百人。 第一问要求估计检查结果不正常者患病的概率。第二问要求用小概率值阿尔法等于零点零零一的独立性检验，判断检查结果是否与患病有关。这道题的核心就是两个知识点，一个是用频率估计概率，另一个是二乘二列联表的卡方独立性检验。 先看第一问，题目说 p 是 超声波检查结果不正常者患该疾病的概率。既然要估计这个概率，咱们就用样本里对应的频率来估计。 大家注意，分母不是总人数一千人，而是检查结果不正常的人数。因为条件已经限定了，检查结果不正常者，检查结果不正常的人一共有二百人，这里面患该疾病的人是一百八十人。所以 p 的 估计值等于一百八十除以二百， 一百八十除以二百等于十八除以二十，也就是十分之九等于零点九。所以第一问答案是 p 的 估计值为零点九。 再看第二问，这一问要判断超声波检查结果和病变之间有没有关系。做独立性检验的时候，咱们先假设它们相互独立，然后计算查方统计量，再和阿尔法等于零点零零一对应的临界值比较。咱 把列联表里的四个格子对应好，第一行看成患该疾病，第二行看成未患该疾病。第一列看成检查结果正常，第二列看成检查结果不正常。这样， a 等于二十， b 等于一百八十， c 等于七百八十， d 等于二十。总人数 n 等于一千。 卡方统计量等于 n 乘以 a、 d 减 b， c 的 平方，再除以 a 加 b， c 加 d， a 加 c， b 加 d， 这四项的乘积先算关键的交叉差。 a、 d 等于二十乘二十等于四百， bc 等于一百八十乘七百八十。先算十八乘七百八十等于一万四千零四十，所以一百八十乘七百八十等于十四万零四百。 所以 a、 d 减 b、 c 等于四百减十四万零四百等于负十四万，这里后面要平方，所以负号平方之后不影响结果。负十四万的平方就是一百九十六亿 分子等于一千乘以一百九十六亿。再看分母， a 加 b 等于二十，加一百八十等于二百， c 加 d 等于二十，加七百八十等于八百， b 加 d 等于一百八十加二十等于二百，所以分母是二百乘八百乘八百乘二百， 把这些数带入计算，卡方统计量等于七百六十五点六二五。接下来比较临界值。题目给出，当概率为零点零零一时， k 等于十点八二八，现在七百六十五点六二五大于十点八二八，已经远远超过临界值。 这说明在小概率值阿尔法等于零点零零一的独立性检验下，咱们要拒绝超声波检查结果与患该疾病相互独立这个假设， 所以可以认为超声波检查结果与患该疾病有关。这道题答案汇总一下。第一问，检查结果不正常者共有二百人，其中患该疾病者一百八十人，所以 p 的 估计值等于一百八十，除以二百等于零点九。 第二问，卡方统计量等于七百六十五点六二五，因为七百六十五点六二五大于阿尔法等于零点零零一十的临界值十点八二八，所以拒绝独立性假设，认为超声波检查结果与患该疾病有关。 方法上，大家记住两点，求条件概率的估计值，先找清楚条件对应的总人数，再找其中满足目标事件的人数做独立性检验。一定先把四个格子的 a、 b、 c、 d 对 准，再算卡方统计量。最后和题目给出的临界值比较， 咱们继续看第十六题。题目说，已知数列 a 下标 n 中第一项 a 下标一等于三，并且 a 下标 n 加一除以 n 等于 a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再加上分母式 n 乘括号， n 加一，括号分子是一的分式。 第一问证明数列 n 乘 a 下标 n 是 等差数列。第二问给定正整数 m， 设函数 f， x 等于 a， 下标一乘 x 加 a 下标二乘 x 的 平方一直加到 a 下标 m 乘 x 的 m 次方， 求 f 撇在负二处的值。这道题的核心是把地推式改写成 n 乘 a 下标 n 的 形式。第一问看地推，第二问求导，以后正好会用到第一问。 先看第一问，咱们为什么要两边同成分母？因为题目要证明的是 n 乘 a 下标 n， 这个数列是等差数列，所以我们要想办法让地推式里出现 n 乘 a 下标 n， 以及 n 加一乘 a 下标 n 加一。 原式是 a 下标 n 加一除以 n 等于 a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再加上分母是 n 乘括号， n 加一括号分子是一， 两边同时乘 n 乘括号， n 加一括号。左边 a 下标 n 加一除以 n 再乘 n 乘括号， n 加一括号，剩下 n 加一乘 a 下标 n 加一。右边第一项， a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再乘 n 乘括号， n 加一括号，剩下 n 乘 a 下标 n。 右边第二项分母是 n 乘括号， n 加一，括号分子是一再乘 n 乘括号， n 加一，括号，结果就是一， 所以得到 n 加一乘 a 下标 n 加一等于 n 乘 a， 下标 n 再加一。这一步很关键，现在令 b 下标 n 等于 n 乘 a 下标 n， 那 么左边 n 加一乘 a， 下标 n 加一，就是 b 下标 n 加一。右边 n 乘 a， 下标 n， 就是 b 下标 n。 于是有 b 下标 n 加一等于 b 下标 n 再加一，也就是说竖列 b 下标 n， 每往后一项都比前一项多一，所以它是等差。竖列公差是一。再看首项 b 下标一等于一，乘 a 下标一等于三。 因此 n 乘 a 下标 n， 是 首项为三，公差为一的等差竖列。顺便可以写出通向 n 乘 a 下标 n 等于三，加括号 n 括号乘一，也就是 n 加二，所以 a 下标 n 等于分子是 n 加二，分母是 n。 再看第二问这一问，先不要急着把 a 下标 n 一个一个带进去，因为求导以后，每一项 a 下标 n 乘 x 的 n 次方会变成 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 减一次方。你看，这里正好出现第一问里的 n 乘 a 下标 n， 所以 f 撇 x 等于从 n 等于一到 m， 把 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 减一次方加起来。由第一问， n 乘 a 下标 n 等于 n 加二， 所以 f 撇 x 等于从 n 等于一到 m， 把 n 加二乘 x 的 n 减一次方加起来。把 x 等于负二，代入得到 f 撇在负二处，等于从 n 等于一到 m， 把 n 加二乘负二的 n 减一次方加起来。 接下来为什么要拆开？因为 n 加二里面有一个带 n 的 部分，还有一个常数部分。拆开以后，一个是加权等比求和，一直加到负二的 m 减一次方。 这是首项为一，公比为负二共 m 项的等比数列求和。所以大写 a 等于分子是一，减去负二的 m 次方，分母是三， 再设大写 b 等于一乘负二的零次方，加二乘负二的一次方，加三乘负二的平方，一直加到 m 乘负二的 m 减一次方，也就是带 n 的 那一部分求大写 b 的 时候，咱们用错位相减。大写 b 等于一加二乘负二加三乘负二的平方，一直加到 m 乘负二的 m 减一次方。 负二乘大写 b 等于一乘负二加二乘负二的平方加三乘负二的三次方，一直加到 m 乘负二的 m 次方。现在用大写 b 减去负二乘大写 b。 左边是三乘大写 b， 右边一项一项对其看， 第一项留下一个一，中间从负二的一次方到负二的 m 减一次方，每一项的系数都剩下一。最后负二乘大写 b 里多出来一个 m 乘负二的 m 次方，减的时候要减掉，所以三乘大写 b 等于大写 a 减 m 乘负二的 m 次方，于是大写 b 等于大写 a 减 m 乘负二的 m 次方，再除以三， 把大写 a 带进去。大写 b 等于分子是一，减去括号三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，分母是九。 原来的 f 撇儿在负二处就是大写 b 加二倍大写 a， 二倍大写 a 等于分子是六，减去六乘负二的 m 次方，分母是九。所以 f 撇儿在负二处等于分子是一，减去括号三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，分母是九，再加上分子是六，减去六乘负二的 m 次方，分母是九。 分子合起来，常数部分是一加六等于七。含有负二的 m 次方的部分是减去括号三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，再减去六乘负二的 m 次方，也就是减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方。 所以 f 撇在负二处等于分子是七，减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方分母是九。 答案汇总一下，第一问，令 b 下标 n 等于 n 乘 a 下标 n， 可以 得到 b 下标 n 加一等于 b 下标 n 再加一。所以 n 乘 a 下标 n 是 首项为三，公差为一的等差数列。进一步有， n 乘 a 下标 n 等于 n 加二， a 下标 n 等于分子 n 加二分母 n。 第二问， f 撇在负二处，等于分子是七，减去括号三乘 m 加七，括号乘负二的 m 次方分母是九。这题的方法要抓住两点，第一，递推式先乘掉分母，把它变成 n 乘 a 下标 n 的 相邻关系。第二求导后会自然出现 n 乘 a 下标 n。 这正是第一问的作用。 咱们继续看第十七题。题目说在四棱锥 p 到 a、 b、 c、 d 中， p、 a 垂直于底面 a、 b、 c、 d， a、 b 垂直于 ad。 第一问，证明平面 p， a、 b 垂直于平面 p a、 d。 第二问，给出 pa 等于 ab 等于根号下二， bc 等于二， a、 d 等于一，加根号下三。并且点 p、 b、 c、 d 都在求 o 的 球面上，要求先证明点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内在求直线 a、 c 与 p、 o 所成角的余弦值。 这道题前半部分考空间垂直关系，后半部分用空间直角坐标系找球心，再用向量夹角公式求角。 先看第一问，咱们要证明两个平面垂直，常用办法是在一个平面里找到一条直线，证明它垂直另一个平面。这里要证明平面 p， a、 b 垂直于平面 p a、 d。 大家注意， a、 d 本来就在平面 p a、 d 里面，所以咱们可以尝试证明 a、 d 垂直于平面 p、 a、 b。 为什么选 a、 d 呢？因为题目直接给了 a、 b 垂直于 a、 d， 又给了 pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d。 既然 a、 d 在 底面 a、 b、 c、 d 内，那么 pa 垂直于 a、 d。 现在你看， pa 和 ab 都在平面 pa 内，而且它们交于点 a， 我 们已经有了 a、 d 垂直于 pa， 也有 a、 d 垂直于 a、 b。 一条直线如果垂直于一个平面内，两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面，所以 a、 d 垂直于平面 p a、 d。 又因为 a、 d 在 平面 p、 a、 d 内，一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，所以平面 p、 a、 d 垂直于平面 p、 a、 b。 第一问，正完， 再看第二问。这里有长度，有垂直，有平行，还要找球心和夹角。最直接的方法是建立空间直角坐标系。 为什么可以这么见呢？因为 pa 垂直于底面， ab 垂直于 ad， 等于说在 a 点附近有三条两两垂直的方向。咱们就以 a 为圆点，把 ad 所在直线作为 x 轴，把 ab 所在直线作为 y 轴，把 ap 所在直线作为 z 轴。方向取和图式一致。 这样 a 的 坐标是零零零，因为 ab 等于根号下二零。因为 pa 等于根号下二，所以 p 的 坐标是零零，根号下二。 又因为 bc 平行于 a、 d， 且 bc 等于二，所以 c 是 从 b 沿 x 轴方向走，二坐标是二，根号下二零。因为 a、 d 等于一加根号下三，所以 d 的 坐标是一加根号下三，零零。 设球心 o 的 坐标是 x、 y、 z。 由于 p、 b、 c、 d 都在球面上，所以 o 到这四个点的距离相等。咱们先用 o、 b 等于 o、 c。 这样做的好处是， b 和 c 的 y 坐标、 z 坐标一样，只差 x 坐标算起来最干净。 o、 b 的 平方等于 x 的 平方，加上 y 减根号下二的平方加上 z 的 平方。 o c 的 平方等于 x 减二的平方，加上 y 减根号下二的平方，加上 z 的 平方。两边相等后，后面两项完全相同，可以同时去掉剩下 x 的 平方等于 x 减二的平方。 展开右边得到 x 的 平方等于 x 的 平方。减四， x 加四，所以负四 x 加四等于零， x 等于一， 接着用 o c 等于 o d， 因为现在已经知道 x 等于一，带进去 o c 的 平方等于一减二的平方，加上 y 减根号下二的平方加上 z 的 平方，也就是一加 y 减根号下二的平方加 z 的 平方。 o d 的 平方等于一减一减根号下三的平方加 y 的 平方加上 z 的 平方，也就是负根号下三的平方加 y 的 平方加 z 的 平方，所以是三加 y 的 平方，加 z 的 平方， 两边相等，得到一加 y 减根号下二的平方加 z 的 平方等于三加 y 的 平方加 z 的 平方， 两边去掉 z 的 平方，再展开 y 减根号下二的平方，得到一加 y 的 平方，减二倍。根号下二乘 y 加二等于三加 y 的 平方。左边的一加二是三，所以三加 y 的 平方减二倍。根号下二乘 y 等于三加 y 的 平方， 两边同时去掉三和 y 的 平方，得到负二倍。根号下二乘 y 等于零，所以 y 等于零。最后用 o p 等于 o b 代入 x 等于一， y 等于零， o p 的 平方等于一的平方加零的平方加 z 减根号下二的平方，也就是一加 z 减根号下二的平方。 o b 的 平方等于一的平方。加零减根号下二的平方加 z 的 平方，也就是一加二加 z 的 平方等于三加 z 的 平方， 两边相等，得到一加 z 减。根号下二的平方等于三加 z 的 平方。展开左边得到一加 z 的 平方，减二倍。根号下二乘 z 加二等于三加 z 的 平方， 左边的一加二也是三，所以三加 z 的 平方减二倍。根号下二乘 z 等于三加 z 的 平方，两边同时去掉三和 z 的 平方，得到负二倍。根号下二乘 z 等于零，所以 z 等于零。 因此球心 o 的 坐标是一零零，它的 z 坐标是零，说明它就在底面 abcd 所在的平面内。第一小问正完 在求直线 a、 c 与 po 所成角的余弦值。两条直线所成角可以转化为它们方向向量夹角的锐角。向量 a、 c 等于 c 的 坐标，减 a 的 坐标，所以向量 a、 c 是 二。根号下二，零。向量 po 等于 o 的 坐标减 p 的 坐标，所以向量 po 是 一零负。根号下二， 先算点击向量 a、 c 点成像量 p、 o 等于二乘一加根号下二乘零加零乘负。根号下二。结果是二加角取锐角，所以用点击的绝对值还是二。再算两个向量的长度，向量 a、 c 的 长度等于根号下二的平方加根号下二的平方加零的平方，也就是根号 下一的平方加负。根号下二的平方，也就是根号下一加二等于根号下三。 所以直线 ac 与 p、 o 所成角的余弦值等于二，除以根号下六乘根号下三，分母是根号下十八，也就是三倍。根号下二，二除以三倍。根号下二，化简后等于根号下二除以三。最后汇总一下第一问，关键是抓住 a、 d， 因为 a、 d 同时垂直于 pa 和 ab， 而 pa 与 ab 是 平面 p， a、 b 是 平面 p a、 b 内的两条相交直线，所以 a、 d 垂直于平面 p a、 b， 进而推出平面 p a、 b 垂直于平面 p a、 d。 第二问，建立以 a 为圆点的空间直角坐标系，得到 a 是 零零零， b 是 零根号，下二零， p 是 零零根号下二， c 是 二根号，下二零， d 是 一，加根号下三零零。 设 o 是 x， y， z 利用 o， b 等于 oc， oc 等于 o d， o， p 等于 o， b 依次求出， x 等于一， y 等于零， z 等于零，所以 o 在 底面平面 abcd 内。 最后向量 a， c 是 二根号，下二零向量 p o 是 一零，负根号下二，点击绝对值是二。两个向量长度分别是根号下六和根号下三。所以直线 a、 c 与 p o 所成角的余弦值是根号下二，除以三。 咱们继续看第十八题。题目说已知椭圆 c、 x 的 平方除以 a 的 平方加 y 的 平方除以 b 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零， 椭圆的离心率为三分之二倍。根号下二，下顶点为 a， 右顶点为 b， 线段 a、 b 的 长度为根号。下一十第一问，求椭圆 c 的 方程。第二问，已知动点 p 不 在 y 轴上，点二在射线 a、 p 上，并且满足 a， p 的 长度乘以 a 二的长度等于三。 第一小问，设 p 的 坐标为 m n， 求二的坐标用 m n 表示。第二小问，设 o 为坐标原点 q 是 椭圆 c 上的动点直线 o 二的斜率是直线 o， p 的 斜率的三倍，求 p q 的 长度的最大值。 这道题的核心一个是椭圆基本量，一个是用向量参数表示点，最后把斜率条件转化成 p 的 轨迹，再做最值。 先看第一问，咱们为什么先找顶点坐标？因为椭圆已经是标准方程，长轴在 x 轴上，所以下顶点和右顶点可以直接写出来。下顶点 a 是 零负 b， 右顶点 b 是 a 零线段 ab 的 长度是根号下一十，所以 ab 的 平方就是十。 从零负 b 到 a， 零横向差是 a， 纵向差是 b， 所以 ab 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方。因此得到第一个关系， a 的 平方加 b 的 平方等于十。再看离心率，椭圆的离心率等于 c 除以 a， 而 c 的 平方等于 a 的 平方减 b 的 平方。 题目给离心率是三分之二倍。根号下二，也就是二乘根号下二除以三，所以 c 除以 a 等于二。乘根号下二除以三。 两边平方得到 c 的 平方除以 a 的 平方等于九分之八，也就是 a 的 平方减 b 的 平方，再除以 a 的 平方等于九分之八。这一步很关键，它等价于一。减 b 的 平方除以 a 的 平方等于九分之八，所以 b 的 平方除以 a 的 平方等于九分之一。 也就是说 b 的 平方等于 a 的 平方除以九。把它代入刚才的 a 的 平方加 b 的 平方等于十。得到 a 的 平方加 a 的 平方除以九等于十，也就是九分之十个 a 的 平方等于十，所以 a 的 平方等于九。于是 b 的 平方等于一。 所以椭圆 c 的 方程就是 x 的 平方除以九，加 y 的 平方等于一。接着看第二问，由第一问可知，下顶点 a 是 零负一。先做第一小问，题目说二在射线 ap 上，这说明二可以用 a 到 p 的 方向来表示。 咱们设二等于 a 加 lambda 的 p 减 a， 其中 lambda 大 于等于零。 p 的 坐标是 m n， a 的 坐标是零负一，所以向量 a p 是 m， n 加一 a p 长度的平方就是 m 的 平方加 n 加一的平方。 为了书写方便，设 s 等于 m 的 平方加 n 加一的平方。因为二等于 a 加 lama 倍 ap， 所以 a 二的长度等于 lama 倍 ap 的 长度。题目给 ap 的 长度乘以 a， 二的长度等于三，也就是 ap 的 长度乘以 lama 倍。 ap 的 长度等于三， 所以 lambor 乘以 ap 长度的平方等于三，也就是 lambor 乘以 s 等于三，因此 lambor 等于三除以 s， 把 lambor 带回去。二的横坐标等于零加三除以 s 乘以 m， 也就是三 m 除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。 二的纵坐标等于负一加三除以 s 乘以 n 加一，也就是负一加三倍。 n 加一除以 m 的 平方，加 n 加一的平方，所以二的坐标是三 m 除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。逗号，负一加三倍， n 加一除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。 再看第二小问，因为 p 不 在 y 轴上，所以 m 不 等于零。直线 o p 的 斜率可以写成 n 除以 m。 直线 o 二的斜率需要用刚才二的坐标来算。二的横坐标是三 m 除以 s， 二的纵坐标是负一加三倍， n 加一除以 s， 所以 直线 o 二的斜率等于负一加三倍， n 加一除以 s， 再除以三 m。 题目说直线 o 二的斜率是直线 o p 的 斜率的三倍，所以负 s 加三倍， n 加一再除以三， m 等于三， n 除以 m， 因为 m 不 等于零，咱们两边同时乘以三， m 得到负， s 加三倍， n 加一等于九， n 把右边移过来，得到负， s 加三倍， n 加三减九， n 等于零， 也就是负 s 减六， n 加三等于零，所以 s 加六， n 减三等于零。再把 s 换回 m 的 平方加 n 加一的平方，得到 m 的 平方加 n 加一的平方加六， n 减三等于零。把 n 加一的平方展开，是 n 的 平方加二， n 加一， 所以得到 m 的 平方加 n 的 平方加二， n 加一加六， n 减三等于零。合并同类项就是 m 的 平方加 n 的 平方加八， n 减二等于零。配方 n 的 平方加八， n 等于 n 加四的平方减十六。 所以方程变成 m 的 平方加 n 加四的平方减十八等于零，也就是 m 的 平方加 n 加四的平方等于十八。 这说明 p 在 一个圆上，圆心 s 是 零，负四，半径是根号下一，十八，也就是三倍，根号下二。现在要求 p q 的 最大值， 大家注意， q 在 椭圆上动， p 在 这个圆上动。对固定的 q 来看，圆上离 q 最远的点一定在从 q 指向圆心反方向的那条直线上。所以对固定的 q， p， q 的 最大值等于 s， q 的 长度加圆的半径，圆的半径是三倍。根号下二。 接下来只要让 s q 的 长度最大，设 q 的 坐标为 x， y， 因为 q 在 椭圆上，所以 x 的 平方除以九加 y 的 平方等于一， 因此 x 的 平方等于九倍一，减 y 的 平方 s 是 零负四，所以 s q 的 平方等于 x 的 平方加 y 加四的平方。把 x 的 平方带进去，得到 s， q 的 平方等于九倍一，减 y 的 平方加 y 加四的平方。展开一下， 九倍一减 y 的 平方是九减九 y 的 平方。 y 加四的平方是 y 的 平方。加八， y 加十六，相加得到二十五加八， y 减八， y 的 平方。 为了看最大值，咱们配方二十五加八， y 减八， y 的 平方等于二十七减八倍， y 减二分之一的平方。因为平方向最小是零，所以当 y 等于二分之一时， sq 的 最大最大是二十七，所以 sq 的 最大值是根号下二十七，也就是三倍，根号下三。 并且 y 等于二分之一，在椭圆上可以取到，所以这个最大值是真能取到的。因此 p q 的 最大值等于三倍，根号下二加三倍，根号下三，也就是三倍括号，根号下二加根号下三。 最后汇总一下，第一问，椭圆 c 的 方程是 x 的 平方除以九加 y 的 平方等于一。第二问第一小问二的坐标是三 m 除以 m 的 平方加 n 加一的平方。 第二问第二，小问 p q 的 长度最大值是三倍，括号根号下二，加根号下三。这道题的方法线很清楚，第一步，用顶点距离和离心率求 a 的 平方 b 的 平方。第二步，因为二在射线 a p 上，所以用参数 l d 表示二。 第三步，把斜率条件代入得到 p 的 轨迹是圆，最后把动点 p 到定点， q 的 最大距离转化成圆心到 q 的 距离加半径，再在椭圆上求 s q 的 最大值。关键是每一步都先把几何条件翻译成坐标关系，后面的计算就顺了。 咱们继续看第十九题。第一问，要在零到四分之派这个 b 区间上求五倍余弦 x 减余弦五 x 的 最大值。 第二问是一个余弦函数的存在性证明。第三问要给五倍余弦 x 减余弦五 x 加上一个平移量 f， 再让他对所有实数 x 都小于等于 b， 求 b 的 最小值。大家注意，这道题的核心不是单纯算三角函数，而是把五倍角公式、区间长度以及最大值的下界和渠道连在一起用。先看第一问， 咱们为什么要还原？因为式子里同时有余弦 x 和余弦五 x， 而五倍角公式可以把余弦五 x 全部写成余弦 x 的 多项式。这样问题就从三角函数最大值变成一个一元函数在 b 区间上的最大值，令 t 等于余弦 x。 当 x 从零到四分之派变化时，余弦 x 从一降到二分之根号下二，所以 t 属于 b 区间，二分之根号下二到一。 五倍角公式是，余弦五 x 等于十六倍余弦 x 的 五次方，减二十倍余弦 x 的 三次方，加五倍余弦 x。 所以 五倍余弦 x 减余弦五 x 就 等于五 t。 减去括号里十六 t 的 五次方，减二十 t 的 三次方，加五 t。 把括号打开，五 t 和负五 t 抵消，剩下二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。咱们设 gt 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。接下来求导 g 撇 t 等于六十 t 的 平方，减八十 t 的 四次方。 提取二十 t 的 平方，得到二十 t 的 平方，乘以三减四 t 的 平方。在这个区间里， t 是 正数，所以导数为零，只需要看三减四。 t 的 平方等于零， 于是 t 的 平方等于四分之三， t 等于二分之根号下三，这个点在二分之根号下二到一之间。所以要比较三个值，左端点，临界点，右端点。当 t 等于二分之，根号下二时 gt。 等于三倍，根号下二， 当 t 等于一时 gt。 等于二十减十六，也就是四。当 t 等于二分之根号下三时，二十。 t 的 三次方减十六， t 的 五次方等于三倍，根号下三， 三个数比较，三倍根号下三最大，所以第一问的最大值是三倍根号下三，再看第二问。这一问要证明给定 theta 在 零到派之间， a 是 任意实数，一定能在 a 减 theta 到 a 加 theta 这个区间里找到一个 y， 使得余弦 y 小 于等于余弦 theta。 咱们先想为什么要从反面证明，因为存在一个 y 不好直接找，但他的反面很清楚，如果找不到这样的 y， 那 就是整个区间里的每一个 y 都满足于弦 y 大 于于弦 c 叉。关键是要看于弦 y 大 于于弦 c 叉的点都在哪里。 因为 theta 在 零到派之间，在每一个周期里，余弦 y 大 于余弦 theta 恰好发生在 y 属于二 k 派减 theta 到二 k 派加 theta 的 开区间里，这里 k 是 整数，也就是说，所有让余弦 y 大 于余弦 theta 的 点分布在一段一段开区间中，每一段的长度都是二。 theta 现在反射不存在 y 属于 a 减 theta 到 a 加 theta， 使得余弦 y 小 于等于余弦 theta， 那 就说明对于 b 区间， a 减 theta 到 a 加 theta 里的所有 y 都有余弦 y 大 于余弦 theta， 所以 这个 b 区间必须完全落在某一个开区间二 k pi 减 theta 到二 k pi 加 theta 里面。 大家注意，这一步很关键，因为 b 区间 a 减 c 到 a 加 c 的 长度是二 c， 而那个开区间二 k 派减 c 到二 k 派加 c 的 长度也是二 c。 一个长度为二 c 的 b 区间不可能完全包含在一个同样长度为二 c 的 开区间里面，要完全放进去外面的开区间长度必须更大才行，这就产生矛盾， 所以反射不成立，于是一定存在 y 属于 a 减 c 叉到 a 加 c 叉，使得余弦 y 小 于等于余弦 c 叉。 最后看第三问，题目说设 b 是 实数，如果存在某个 f， 使得五倍余弦 x 减余弦括号五 x 加 f， 对 所有实数 x 都小于等于 b， 求 b 的 最小值。咱们先证明 b 不 能小于三倍，根号下三。 为什么要用第二问？因为第三问里面有余弦括号五 x 加 f。 第二问刚好可以控制一个形容余弦 y 的 量，而且 y 可以 落在 f 附近的一个区间里， 任取一个 f。 在 第二问中，令 a 等于 f， c 等于六分之五派。因为六分之五派在零到派之间，所以可以使用第二问。于是存在 y 属于 f 减六分之五派到 f 加六分之五派，使得余弦 y 小 于等于余弦六分之五派，而余弦六分之五派等于负二分之根号下三。所以余弦 y 小 于等于负二分之根号下三。 接下来把 y 和五 x 加 f 对 上，令 x 等于 y 减 f， 再除以五。因为 y 在 f 减六分之五派到 f 加六分之五派之间，所以 y 减 f 在 负六分之五派到六分之五派之间，再除以五，得到 x 属于负六分之派到六分之派。 在这个区间里，余弦 x 大 于等于二分之根号下三。并且按照 x 的 定义，五 x 加 f 等于五倍余弦，括号五 x 减余弦 y。 刚才已经知道，余弦 x 大 于等于二分之根号下三，余弦 y 小 于等于负二分之根号下三。因此，五倍余弦 x 减余弦 y 大 于等于五，乘二分之根号下三，再加二分之根号下三，这个值等于三倍根号下三。这说明什么？无论 f 怎么取，总能找到一个 x， 让这个表达式至少达到三倍根号下三。 所以，如果他要对所有实数 x 都小于等于 b， 那 b 必须大于等于三倍根号下三。下面还要证明三倍根号下三真的能做到 取 f 等于零。这时表达式变成五倍余弦 x 减余弦五 x， 令 t 等于余弦 x。 因为 x 是 任意实数，所以 t 属于 b 区间负一到一， 仍然用五倍角公式。五倍余弦 x 减余弦五， x 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。当 t 小 于等于零时，二十 t 的 三次方减十六 t 的 五次方，可以写成四 t 的 三次方乘以五减四 t 的 平方。 这里 t 的 三次方小于等于零，而五减四 t 的 平方大于等于一，所以整个乘积小于等于零，当然就小于等于三倍根号下三。 当 t 属于零到一时，咱们看函数 g， t 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。它的导数是二十 t 的 平方乘以三减四， t 的 平方，导数为零时， t 等于二分之根号下三。 端点和这个临界点比较，最大值还是三倍根号下三。所以对所有实数 x 都有五倍于弦， x 减于弦五， x 小 于等于三倍根号下三，这说明当 f 等于零时， b 取三倍根号下三就可以满足条件。 前面证明 b 不 能更小，这里证明 b 等于三倍根号下三可以取到。所以第三问中 b 的 最小值是三倍根号下三。 咱们把答案汇总一下，第一问，五倍于弦 x 减于弦五， x 在 b 区间零到四分之派上的最大值是三倍根号下三。 第二问，利用余弦 y 大 于余弦 theta， 对 应的开区间长度是二 theta， 而题目给出的 b 区间长度也是二 theta 反射整个 b 区间都落在同长度开区间里，会产生矛盾，所以一定存在所需的 y。 第三问先用第二问证明任何费下表达式的全体上界至少要达到三倍根号下三，再取非等于零。用第一问同样的换元和求导方法证明三倍根号下三，因此 b 的 最小值是三倍根号下三。 这道题最关键的两步，一个是把余弦五 x 用五倍角公式变成关于余弦 x 的 多项式。另一个是第三问里用第二问制造出合适的 y， 再令五 x。
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59:13查看AI文稿AI文稿二零二五年高考数学最大的特点就是稳中有变，基础题给分明显，中档题考方法，压轴题则更看重分析能力和计算控制。 咱们来看第一题，题目说一加五， i 的 整体再乘以 i， 它的虚部为多少？选项 a， 负一选项 b， 零选项 c， 一 选项 d 六。这是一道复数基本运算题，核心定位是先做乘法，再看结果中 i 前面的系数。 关键观察点是，题目问的是虚部，不是整个含有 i 的 项。复数写成实部加虚部乘 i 的 形式时，虚部指的是 i 前面的那个实数系数。 现在计算一加五， i 的 整体乘以 i 就 等于一乘以 i， 再加上五， i 乘以 i， 也就是 i 加五 i 的 平方。因为 i 的 平方等于负一，所以 i 的 平方等于负五，于是结果就是负五加 i， 这个负数的实部是负五， i 前面的系数是一，所以虚部是一。所以本题答案选 c。 一、 方法总结一下，负数乘到 i 时，一定要把 i 的 平方换成负一。最后判断虚部时，只看 i 前面的系数，不要把 i 本身也算进去。 咱们来看第二题，题目说已知集合大写 u 是 所有小于九的正整数集合大写 a 等于由一、三、五组成的集合，求大写 a。 在 全集大写 u 中的补集里，元素的个数选项 a， 零选项 b， 三选项 c， 五选项 d 八。 这道题的关键观察点是，小于九的正整数不包括九，只包括一到八。另外，补集不是数集合大写 a 里有几个元素，而是数全集大写 u 里面不属于大写 a 的 元素有几个。为什么这样做呢？因为补集一定要在指定的全集里面看， 这里全集大写 u 是 一、二、三、四、五、六、七、八，一共有八个元素。集合大写 a 是 一、三、五，一共有三个元素。 现在要求大写 a 在 全集大写 u 中的补集，也就是从一、二、三、四、五、六、七、八里面把一、三、五去掉，剩下的是二、四、六、七、八，一共有五个元素，所以补集里元素的个数是八减三等于五。 本题答案选 c。 五方法总结一下，做集合补集题第一步，先看清全集是什么，尤其注意不超过和小于这类边界词。第二部，数出全集元素个数。第三部，去掉集合大写 a 里的元素，剩下的就是补集。这里全集有八个元素，大写 a 有 三个元素，所以补集有五个元素。咱们来看第三题。 已知双曲线大写 c 的 虚周长是十周长的根号七倍，求双曲线大写 c 的 离心率。选项 a， 根号二。选项 b， 二选项 c， 根号七。选项 d， 二倍根号二。 这道题的关键观察点是，题目说的是虚周长和十周长的关系。双曲线里十周长是二倍 a， 虚周长是二倍 b， 所以 意思就是二倍 b 等于根号七倍的二倍 a， 因此 b 等于根号七倍的 a。 这里容易错在两点，第一，不要把轴长直接和 a、 b 混淆，但因为两边都有二倍，所以最后比例仍然是 b b， a 等于根号七。第二，双曲线中焦距参数 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方不是相减。 现在代入计算，因为 b 等于根号七倍的 a， 所以 b 的 平方等于七倍 a 的 平方。又因为双曲线满足 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方，所以 c 的 平方等于 a 的 平方加七倍 a 的 平方，也就是八倍 a 的 平方，于是 c 等于根号。八倍的 a， 也就是二倍根号。二倍的 a 离心率， e 等于 c 除以 a， 所以 e 等于二倍根号二。本题答案选 d 二倍根号二。方法总结一下，遇到双曲线离心率，先把题目中的轴长关系转成 a 和 b 的 关系，再用双曲线的基本关系 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方，最后用离心率 e 等于 c 除以 a 来求。 咱们来看第四题已知点，小括号 a 逗号零小括号，其中 a 大 于零是函数， y 等于两倍正切小括号 x 减三分之派。小括号的图像的一个对称中心，求 a 的 最小值。选项 a， 六分之派，选项 b， 三分之派。选项 c， 二分之派选项 d 三分之四派。 这道题的关键观察点是，正切函数的对称中心由括号里面的整体角决定，前面的系数二只是纵向拉伸，不改变对称中心的位置。易错点是把正切函数的渐近线位置当成对称中心。 对于函数 y 等于正切 u， 它的对称中心满足 u 等于 k 被派，其中 k 是 整数，这里 u 就是 x 减三分之派。所以要让点小括号 a 逗号零小括号成为对称中心，就需要 a 减三分之派等于 k 被派， 于是 a 等于三分之派加 k 背派。因为题目要求 a 大 于零，并且求 a 的 最小值，取 k 等于零时， a 等于三分之派，取 k 等于负一时， a 等于负三分之二派已经小于零，不符合条件，所以 a 的 最小正值就是三分之派。 因此本题答案选 b。 三分之派。方法总结是，遇到正切型函数的对称中心，先看括号内整体角，让整体角等于 k 背派，再结合题目对横坐标的范围要求，选出满足条件的最小值。 咱们来看第五题。题目说已知函数 f 括号 x 括号是定义在实数集上且周期为二的偶函数。当二小于等于 x 小 于等于三时， f 括号 x 括号等于五减二 x， 求 f 括号负四分之三括号。 选项 a， 负二分之一选项 b， 负四分之一选项 c， 四分之一选项 d， 二分之一。本题考察偶函数和周期函数的综合使用，核心是把负四分之三这个自变量转化到已知表达式所在的区间二到三里面去。 关键观察点是，题目只告诉了二到三这个区间上的函数表达式，所以不能直接把负四十三带入五减二 x。 易错点是利用周期平移时，四分之三加二等于四分之十一，不是十一分之四。因为 f 括号 x 括号是偶函数，所以 f 括号负四分之三括号等于 f 括号四分之三括号。这样先把负数自变量变成正数自变量， 又因为函数的周期是二，所以自变量加二，函数值不变，于是 f 括号四分之三括号等于 f 括号四分之三加二括号，也就是 f 括号四分之十一括号。 现在四分之十一等于二点七，五落在二到三之间，可以使用题目给出的表达式。于是 f 括号四分之十一括号等于五减二乘以四分之十一，二乘以四分之一等于二分之十一，五等于二分之十，所以五减二分之十一等于负二分之一。 因此 f 括号负四分之三，括号等于负二分之一。本题答案选 a。 负二分之一。方法总结一下，遇到这类题，先看已知解析式在哪个区间成立，再利用偶函数把负自变量变成正自变量，利用周期把自变量平移到已知区间，最后再代入计算。 这里的关键一步是四分之三加二等于四分之十一，落在二到三之间，所以答案是负二分之一。咱们来看第六题。 题目说帆船比赛中，试风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船型风风速对应的向量之合。其中船型风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。 途中给出部分风力等级，轻风是一点六到三点三，微风是三点四到五点四，核风是五点五到七点九，近风是八点零到十点七。根据给出的试风风速向量和船速向量，判断该时刻的真风 选项 a、 清风选项 b、 微风选项 c、 和风选项 d， 静风。这道题的关键观察点是，船型风风速向量不是船速向量本身，而是和船速向量大小相等方向相反。 易错点就在这里，不能直接把式风向量和传速向量相减来当做真风。式风风速向量是左括号，负三负一右括号，传速向量是左括号，一三右括号。题目给出的关系是，式风等于真风加传行风， 又因为传行风和传速方向相反，所以传行风等于传速的相反向量，也就是说式风等于传速的相反向量，也就是说式风等于式风加传速。 现在计算真风向量，左括号、负三负一，右括号加左括号一三右括号，得到左括号，负二二右括号。接下来求真风风速的大小。 左括号、负二二右括号的长度等于根号下负二的平方，加二的平方，也就是根号下八等于二倍。根号二约等于二点八三，二点八三落在一点六到三点三之间，所以该时刻的真风属于清风。 本题答案选 a。 清风方法上要抓住两个关系，第一是风等于真风加船形风。第二船形风是船速的相反向量，所以真风等于是风加船速。 算出真风向量左括号负二二右括号后，再求它的长度，二倍，根号二约为二点八三，对照风力等级表属于清风。 咱们来看第七题。题目说已知圆 x 的 平方加上 y 加二的整体的平方等于 r 的 平方，其中 r 大 于零， 圆上到直线 y 等于根号三倍， x 加二的距离为一的点有且仅有两个，求 r 的 取值范围。选项 a， 零到一选项 b， 一 到三选项 c， 三到正无穷。选项 d， 零到正无穷。 这道题的关键观察点是，到一条直线距离等于一的点不在圆直线上，而是在这条直线两侧距离都为一的两条平行线上。所以题目问圆上满足条件的点有几个，本质上是在问这个圆和这两条平行线一共交出几个点。 先看圆 x 的 平方加上 y 加二的整体的平方等于 r 的 平方，所以圆心是零，负二半径是 r。 再把直线 y 等于根号三倍 x 加二改写成根号三倍 x 减 y 加二等于零， 与它距离为一的两条平行线，可以理解为在圆直线两侧平移一段距离。现在我们只需要看圆心到这两条平行线的距离。圆直线到圆心零负二的距离等于根号三乘零减负二再加二的绝对值除以根号下三加一，也就是四除以二等于二。 因为两条目标平行线到圆直线的距离都是一，所以它们到圆心的距离分别是二减一和二加一，也就是一和三。 接下来判断交点个数圆和一条直线的位置关系，只看圆心到直线的距离 d 和半径 r。 若 r 小 于 d， 没有交点。若 r 等于 d， 相切有一个交点。若 r 大 于 d， 相交有两个交点。 现在两条平行线到圆心的距离分别是一和三，要让圆上满足距离为一的点，有且仅有两个点。如果 r 等于一，近的那条线相切只有一个点。 如果一小于 r 小 于三，近的那条线与圆相交有两个点，远的那条线还没有碰到圆，所以正好两个点。如果 r 等于三，近的那条线两个点，远的那条线相切一个点，一共三个点。如果 r 大 于三，两条线都相交，一共四个点，所以符合条件的是一小于 r 小 于三。 本题答案选 b。 一 到三。方法总结一下，遇到到直线距离为定值的点，先把它转化为两条平行线，再求圆心到这两条平行线的距离，最后用半径和距离比较，判断相交、相切还是相离。 本题两条平行线到圆心的距离分别是一和三，要恰好两个点，只能让圆只穿过近的那条线，不能碰到远的那条线。因此 r 的 范围是一小于 r 小 于三。 咱们来看第八题。题目说已知二加以二为底， x 的 对数等于三加以三为底， y 的 对数等于五。加以五为底， z 的 对数。判断 x、 y、 z 的 大小关系不可能是哪一个 选项 a， x 大 于 y 大 于 z。 选项 b， x 大 于 z 大 于 y 选项 c， y 大 于 x 大 于 z 选项 d， y 大 于 z 大 于 x。 这题的关键观察点是 x、 y、 z 不是 固定数，而是随着这个公共值一起变化。易错点是只看底数二、三、五的大小，就直接判断谁大谁小。 这里真正要比较的是三个指数函数在不同 t 值下的相对位置，设这个公共值为 t， 也就是说，二加以二为底， x 的 对数等于 t， 三加以三为底， y 的 对数等于 t。 五加以五为底， z 的 对数等于 t 等于 t 减二，所以 x 等于二的 t 减二次方。以三为底， y 的 对数等于 t 减三，所以 y 等于三的 t 减五，所以 z 等于五的 t 减五次方。 接下来比较三条曲线的交叉顺序，先看 x 和 y， x 等于 y 时，就是二的 t 减二次方，等于三的 t 减三次方，两边取自然对数得到 t 大 约等于四点七一。也就是说，在 t 小 于四点七一时， x 大 于 y。 在 t 大 于四点七一时， y 大 于 x。 再看 x 和 z， x 等于 z， 就是 二的 t 减二次方，等于五的 t 减五次方，两边取自然对数得到 t， 大 约等于七点二七。也就是说，在 t 小 于七点二七时， x 大 于 z。 在 t 大 于七点二七时， z 大 于 x。 再看 y 和 z， y 等于 z， 就是 三的 t 减三次方，等于五的 t 减五次方，两边取自然对数得到 t 大 于 z， 在 t 大 于九点三一时， z 大 于 y。 现在看选项 b 要出现 x 大 于 z 大 于 y， 需要同时满足 x 大 于 z 以及 z 大 于 y。 可是 x 大 于 z， 要求 t 小 于七点二七， z 大 于 y， 又要求 t 大 于九点三一。一个 t 不 可能同时小于七点二七，又大于九点三一，所以选项 b 这种顺序不可能出现。 为了排除其他选项，也顺便验证一下，取 t 等于零， x 等于四分之一， y 等于二十七分之一， z 等于三千一百二十五分之一，所以 x 大 于 y 大 于 z， 选项 a 可以 出现。取 t 等于六， x 等于十六， y 等于二十七， z 等于五，所以 y 大 于 x 大 于 z 大 于 z， 选项 c 可以 出现。 取 t 等于八， x 等于六十四， y 等于二百四十三， z 等于一百二十五，所以 y 大 于 z 大 于 z 大 于 x， 选项 d 可以 出现。因此不可能出现的大小关系是，选项 b x 大 于 z 大 于 z 大 于 z 大 于 y。 这题的方法总结是，遇到多个带对数的式子相等，先设公共值为 t， 把 x、 y、 z 分 别表示成关于 t 的 指数式，然后不要只凭底数大小猜结论，而是比较两两相等的临界点。 这里三个临界点依次大约是四点七一、七点二七、九点三一，所以顺序只会按这些临界点逐段变化。选项 b 要求的两个条件在 t 的 范围上互相冲突，因此不可能出现。咱们来看第九题，题目说在正三棱柱 a、 b、 c 到 a 一， b 一 c 一 中， d 是 bc 的 终点，判断哪些说法正确。 这道题考的是正三棱柱里的垂直和平行关系。大家注意，正三棱柱有两个关键信息，第一，底面 a、 b、 c 是 正三角形。第二，再楞 a、 a 一 b、 b 一 c、 c 一 都垂直于底面。 先看底面，因为 a、 b、 c 是 正三角形， d 是 bc 的 终点，所以 a、 d 是 底边 bc 上的高，也就是说 a、 d 垂直于 bc。 再看空间关系 b、 e、 c、 e 和 bc 是 平行的，所以 b、 e、 c、 e 也垂直于 a、 d。 同时， a、 a 一 是正三棱柱的蔡棱，垂直于底面 a、 b、 c、 b、 e、 c 一 方向平行于底面里的 bc， 所以 b、 e、 c 一 也垂直于 a、 a 一。 你看这里 b、 e、 c 一 同时垂直于平面 a、 a、 e、 d 里的两条相交直线分别是 a、 d 和 a、 a、 e。 因此 b、 e、 c 一 垂直于平面。 a、 a、 e、 d。 选项 b 正确。 再看 c、 c 一。 c、 c 一 和 a、 a 一 是同一组蔡楞，所以 c、 c 一 平行于 a、 a 一， 而 a、 a 一 在平面 a、 a、 e、 d 内，并且 c 点不在直线 a、 d 上，所以 c、 c 一 不在这个平面内，这样 c、 c 一 就平行于平面。 a、 a、 e、 d。 选项 d。 正确。选项 a 说 ad 垂直于 a、 e、 c。 这里不能只看 a、 d 垂直于 bc 就 直接推到 a、 e、 c、 a、 e、 c 是 一条斜着穿过空间的线，它既有竖直方向，也有底面方向，不能和 a、 d 构成垂直关系，所以 a 错。 选项 c 说 a、 d 平行于 a 一 b 一 a 一 b 一 平行于底面的 ab， 而 ab 是 底面正三角形从 a 到 bc 终点的高，它不平行于 ab， 所以 c 错。 所以这题正确。选项是 b 和 d。 方法上咱们抓两个点就够了。第一，正三角形里中线也是高，所以 a、 d 垂直于 bc。 第二，正三棱柱的侧棱垂直于底面。用这两个条件就能判断出 b 一 c 一 垂直于平面 a、 a、 e、 d。 再判断 c、 c 一 平行于这个平面。 咱们继续看第十题。已知抛物线 c 方程是 y 的 平方等于六 x 交点是 f 过 f 的 一条直线交抛物线于 ab， 两点过 a 做直线， x 等于负二分之三的垂线垂足为 d 过 f， 且与直线 ab 垂直的直线交这条准线与点 e。 问，哪些说法正确？大家注意，这题的核心不是硬算坐标，而是交点弦准线和抛物线定义 先看抛物线 y 的 平方等于六 x 标准形式是 y 的 平方等于四 p x， 所以 四 p 等于六， p 等于二分之三，因此焦点 f 是 二分之三，零准线就是 x 等于负二分之三。 a 点在抛物线上， d 是 a 到准线的垂足，所以 a、 d 的 长度就是 a 到准线的距离。根据抛物线定义，抛物线上任意一点到交点的距离等于它到准线的距离，所以 a、 d 等于 af。 选项 a 正确。接着看交点弦 ab， 过交点的弦最短的时候是垂直于对称轴的通径，这里通径长是四 p， 也就是六。所以不管这条过交点的直线怎么转， ab 的 长度都大于等于六。选项 c 正确。 再看 b 和 d， 需要判断 a、 e 的 关系，咱们设交点弦 a、 b 与 x 轴的夹角为西塔，过 f 做 a、 b 的 垂线交，准线于 e， 因为交点到准线的水平距离是三，而这段垂线方向的水平分量和正弦西塔有关，所以 f 一 的长度等于三。除以正弦西塔的绝对值， 沿着交点弦方向去算 a、 f 和 b、 f 分 别可以表示成三除以一减余弦西塔以及三除以一加余弦西塔。 于是 a、 e 和 b、 e 都在两个直角三角形里，直角点都是 f。 把 a、 e 的 平方看成 a、 f 的 平方，把 b、 e 的 平方看成 b、 f 的 平方加 f、 e 的 平方。这一步很关键。代入之后， a、 e 乘以 b、 e 等于十八除以正弦西塔的绝对值的三次方。 因为正弦西塔的绝对值最大是一，所以这个乘积一定大于等于十八。选项 d 正确。最后看选项 b 说 a、 e 等于 ab， 咱们用一个最简单的情况检验，取 ab 是 数值的交点弦，也就是直线 x 等于二分之三，此时 ab 的 长度等于六， e 点在准线上，又在过 f 的 水平线上，所以 e 是 负二分之三零 a 到 e 的 距离是三倍，根号下二不等于六，所以选项 b 错， 所以本题正确。选项是 a、 c、 d。 这题的方法总结一下，遇到抛物线，先从 y 的 平方等于四 p， x 里读出 p， 再立刻写交点和准线，涉及点到交点，点到准线，优先用抛物线定义涉及过交点的弦，记住交点弦最短是通径，长度是四 p。 最后，这种带垂线交准线的乘积问题，可以设交点弦倾斜角，用正弦关系控制距离。关键结论就是 a、 e 乘以 b， e 大 于等于十八。 咱们继续看第十一题。题目说三角形 a、 b、 c 的 面积为四分之一，并且二倍角 a 的 余弦加二倍角 b 的 余弦再加二倍的角， c 的 正弦等于二。同时角 a 的 余弦乘角， b 的 余弦再乘角 c 的 正弦等于四分之一。 问，下面哪些说法正确？ a 角 c 的 正弦等于角 a， 正弦的平方加角 b， 正弦的平方 b、 a、 b 等于根号下二 c， 角 a 的 正弦加角 b 的 正弦等于二分之根号下六 b、 a、 c 的 平方加 bc 的 平方等于三。这道题的关键不是上来就算边长，而是先判断角 c。 它考的是二倍角于弦和插画机直角、三角形面积以及正弦与弦和边长的关系。 咱们先看条件，二倍角 a 的 余弦加二倍，角 b 的 余弦再加二倍的角 c 的 正弦等于二。 前两项用和差化机，二倍角 a 的 余弦加二倍，角 b 的 余弦等于二。乘角 a 加角 b 的 余弦降层角 a 减角 b 的 余弦。因为角 a 加角 b 的 余弦等于负的，角 c 的 余弦， 于是原式变成负二倍的角 c 的 余弦乘角 a 减角 b 的 余弦再加二倍的角 c 的 正弦等于二。 两边同时除以二，就得到角 c 的 余弦乘角 a 减角 b 的 余弦等于角 c 的 正弦减一。大家注意，这一步很关键， 右边是角 c 的 正弦减一。在三角形里，角 c 的 正弦最大就是一，所以右边不大于零。再看另一个条件，角 a 的 余弦乘角 b 的 正弦等于四分之一大于零。 角 c 的 正弦本来就大于零，所以角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦大于零。三角形里， a 和 b 不 可能同时是钝角，因此 a 和 b 都是锐角。如果角 c 是 锐角，那么角 c 的 余弦大于零，角 a 减角 b 的 余弦也大于零。左边就是正弦， 可右边角 c 的 正弦减一是负数矛盾。如果角 c 是 钝角，那么角 c 的 余弦小于零。又因为角 a 减角 b 的 绝对值小于角 a 加角 b， 也就是一百八十度减角 c， 所以 角 a 减角 b 的 余弦会大于负的角 c 的 余弦。 可是由刚才的等式，角 a 减角 b 的 余弦等于一，减角 c 的 正弦除以负的角 c 的 余弦，它会小于负的角 c 的 余弦。前后也矛盾，所以角 c 既不是锐角，也不是钝角，只能是直角，也就是角 c 等于九十度，角 c 的 正弦等于一。 这样 a 选项就好判断了。直角三角形里，角 a 和角 b 互余，所以角 b 的 正弦等于角 a 的 余弦，于是角 a 正弦的平方加角 b 正弦的平方就等于角 a 正弦的平方加角 a 余弦的平方等于一， 正好等于角 c 的 正弦，所以 a 正确。呃，下面看边长设 bc 等于 aac 等于 b， ab 等于 c， 因为角 c 是 直角，面积等于二分之一。乘 a 乘 b。 题目给面积四分之一，所以二分之一乘 a 乘 b 等于四分之一，也就是 a 乘 b 等于二分之一。再用乘积条件，角 c 的 正弦等于一，所以角 a 的 余弦乘角 b 的 余弦等于四分之一。 在这个直角三角形里，角 a 的 余弦等于 b 除以 c， 角 b 的 余弦等于 a 除以 c， 所以 它们的乘积等于 a 乘 b 除以 c 的 平方，也就是二分之一。除以 c 的 平方等于四分之一， 所以 c 的 平方等于二， c 等于根号下二，也就是 a b 等于根号下二。 b 正确。哎，接着看 c 选项。角 a 的 正弦等于 a 除以 c， 角 b 的 正弦等于 b 除以 c， 所以 角 a 的 正弦加角 b 的 正弦等于 a 加 b 的 正弦的平方等于 a 加 b 的 平方除以 c 的 平方，也就是 a 的 平方加 b 的 平方加二倍 a， b 再除以 c 的 平方， 因为这是直角三角形。 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方等于二。刚才又有 ab 等于二分之一，所以二倍 ab 等于一分子就是二加一等于三，分母是二， 所以这个平方等于二分之三。哎。角 a 的 正弦加角， b 的 正弦是正数，因此它等于根号下二分之三，也就是二分之根号下六，所以 c 正确。哎。最后看 d， a， c 的 平方加 bc 的 平方就是 b 的 平方加 a 的 平方，由勾股定律，它等于 ab 的 平方，也就是二，不是三，所以 d 错。 所以本题正确选项是 abc。 这道题最核心的一步是先通过二倍角余弦的和差化积，把条件转成角 c 的 余弦乘角， a 减角， b 的 余弦等于角， c 的 正弦减一， 再结合乘积为正，判断 ab 都是锐角，最后排除角， c 是 锐角和钝角，锁定角 c 是 九十度角 c 一 旦确定为直角，后面的面积余弦乘积，正弦和都可以用直角三角形的边长关系顺着算出来。 咱们来看第十二题，题目是若直线 y 等于二， x 加五，是去线 y 等于 e 的 x， 次方加 x 加 a 的 一条切线求 a。 这是一道填空题，最后只填一个数。关键观察点是，切线不只是斜率相同，还要在切点处和取线取到同一个函数值，不能只算斜率就停下。 先看斜率条件曲线 y 等于 e 的 x， 次方加 x 加 a， 它的导数是 e 的 x， 次方加一。导数表示曲线在对应点处的切线斜率。题目给出的直线是 y 等于二， x 加五，所以它的斜率是二。既然这条直线是曲线的一条切线，那么在切点处，曲线的导数值必须等于二， 于是有 e 的 x 次方加一等于二，所以 e 的 x 次方等于一。因为 e 的 零次方等于一，所以切点的横坐标 x 等于零。接下来检查切点处的函数值， 把 x 等于零，带入曲线，曲线的 y 值是 e 的 零次方加零加 a， 也就是一加 a， 把 x 等于零带入直线， y 等于二， x 加五，直线的 y 值是五。同一个切点处曲线和直线的 y 值必须相等，所以一加 a 等于五，得到 a 等于四。 所以本题答案是四。方法上遇到某条直线是某条曲线的切线，要同时用两个条件，第一，切线斜率等于切点处导数。第二，切点处直线值等于曲线值。本题先由斜率二确定切点横坐标为零，再带入曲线和直线比较函数值，最后得到 a 等于四。 填空题，这里要特别注意，答案只填四，并且要确认斜率条件和切点重合条件都已经满足。咱们来看第十三题。题目说若一个等比数列的各项均为正数，且前四项的和等于四，前八项的和等于六十八，求这个数列的公比。 这题的关键观察点是，前八项可以分成前四项和后四项，而等比数列中第五项到第四项乘以公比的四次方。 易错点是解出公比的四次方等于十六以后不能把负二也当成最终答案。因为题目明确说各项均为正数， 设这个等比数列的公比为 q， 因为各项均为正数，所以相邻两项的比值也是正数，也就是 q 大 于零。前四项的和等于四。 第五项、第六项、第七项、第八项。分别是第一项、第二项、第三项、第四项乘以 q 的 四次方，所以后四项的和等于前四项的和乘以 q 的 四次方。因此前八项的和等于前四项的和乘以一加 q 的 四次方。代入题目条件，六，十八等于四乘以一加 q 的 四次方。 两边同时除以四，得到十七等于一加 q 的 四次方，所以 q 的 四次方等于十六。因为 q 大 于零，满足 q 的 四次方等于十六的正数只有二，所以公比 q 等于二。 本题答案是二。方法上要抓住前八项和与前四项和之间的倍数关系，后四项是前四项整体乘以公比的四次方，所以前八项和等于前四项和乘以一加公比的四次方。最后一定要检查条件，各项均为正数，推出公比大于零，因此负二不能作为答案。 咱们来看第十四题，题目说有五个相同的球，分别标有数字一、二、三、四、五，从中有放回的随机取三次，每次取一个球，即大写 x， 为这五个球中至少被取出一次的球的个数。求大写 x 的 数学期望。 这道题的关键观察点是，大写 x 数的不是三次取到的数字之合，也不是每次取球的编号，而是五个球里面有多少个不同的球被取到过。因为是有放回的取，所以每一次取球互不影响。每个固定球在每一次中被取到的概率都是五分之一。 我们用指示变量来做对第挨个球设挨下标挨，表示这个球是否至少被取出一次。如果第挨个球至少被取出一次，那么挨下标挨等于一。如果他一次也没有被取到，那么挨下标挨等于零。 对的，这样做的原因是大写 x 可以 拆成五个，求各自是否出现过的结果之合。也就是说，大写 x 等于挨下标一加挨下标二加挨下标三加挨下标四加挨下标五。求大写 x 的 数学期望就可以转化为分别求每个指示变量的期望再相加。 现在看某一个固定的球，比如标号为一的球，每取一次没有取到它的概率是五分之四。因为一共取三次，而且有放回，所以三次都没有取到它的概率是五分之四的三次方，也就是六十四除以一百二十五 呀。因此，这个固定球至少被取出一次的概率是一。减去六十四除以一百二十五等于六十一。除以一百二十五， 指示变量的期望就等于它取一的概率。所以每一个 i 下标 i 的 数学期望都是六十一除以一百二十五。由期望的限性性，大写 x 的 数学期望等于五乘以六十一除以一百二十五等于六十一除以二十五。 这里再检查一下条件，因为题目明确是有放回随机取三次，所以可以把某个固定球三次都没有被取到的概率写成五分之四的三次方，如果误当成无放回计算，就会变掉。另外，大写 x 最多只能是三，因为只取三次，但他的期望可以是六十一除以二十五。这个数在一到三之间，结果范围也是合理的。 本题答案是六十一除以二十五。方法上遇到至少被取出一次的个数。这类问题不必先列出所有不同取法，也不必求完整分布，可以把总个数拆成每个对象是否出现过的指示变量之合，再用期望限行性相加。 关键计算是先算反面事件，也就是某个固定球一次都没有被取到概率为五分之四的三次方，再用一减它，得到至少出现一次的概率。 咱们来看第十五题，这道题研究某疾病和超声波检查结果之间有没有关系。随机调查了一千人，患该疾病的有二百人，其中检查结果正常二十人，不正常一百八十人。未患该疾病的有八百人，其中检查结果正常七百八十人，不正常二十人。 按检查结果来看，正常合计八百人，不正常合计二百人。第一问要求估计检查结果不正常者患病的概率。第二问要求用小概率值阿尔法等于零点零零一的独立性检验，判断检查结果是否与患病有关。这道题的核心就是两个知识点，一个是用频率估计概率，另一个是二乘二列联表的卡方独立性检验。 先看第一问，题目说 p 是 超声波检查结果不正常者患该疾病的概率。既然要估计这个概率，咱们就用样本里对应的频率来估计。 大家注意，分母不是总人数一千人，而是检查结果不正常的人数。因为条件已经限定了，检查结果不正常者检查结果不正常的人一共有二百人，这里面患该疾病的人是一百八十人。所以 p 的 估计值等于一百八十除以二百， 一百八十除以二百等于十八除以二十，也就是十分之九等于零点九。所以第一问答案是 p 的 估计值为零点九。 再看第二问，这一问要判断超声波检查结果和病变之间有没有关系。做独立性检验的时候，咱们先假设它们相互独立，然后计算塔方统计量，再和阿尔法等于零点零零一对应的临界值比较。 咱把列联表里的四个格子对应好，第一行看成患该疾病，第二行看成未患该疾病。第一列看成检查结果正常，第二列看成检查结果不正常。这样， a 等于二十， b 等于一百八十， c 等于七百八十， d 等于二十。总人数 n 等于一千 卡方统计量等于 n 乘以 a、 d 减 b， c 的 平方，再除以 a 加 b， c 加 d 加 d。 这四项的乘积先算关键的交叉叉。 a、 d 等于二十乘二十等于四百， bc 等于一百八十乘七百八十。先算十八乘七百八十等于一万四千零四十。所以一百八十乘七百八十等于十四万零四百。所以 a、 d 减 bc 等于四百，减十四万零四百等于负十四万。这里后面要平方，所以负号平方之后不影响结果。负十四万的平方就是一百九十六亿， 分子等于一千，乘以一百九十六亿。再看分母， a 加 b 等于二十，加一百八十等于二百， c 加 d 等于七百八十加二十等于八百， a 加 c 等于二十，加七百八十等于八百， b 加 d 等于一百八十，加二十等于二百。所以分母是二百乘八百乘八百乘二百。 把这些数代入计算，卡方统计量等于七百六十五点六二五。接下来比较临界值。题目给出，当概率为零点零零一时， k 等于十点八二八，现在七百六十五点六二五大于十点八二八已经远远超过临界值。 这说明在小概率值阿尔法等于零点零零一的独立性检验下，咱们要拒绝超声波检查结果与患该疾病相互独立这个假设， 所以可以认为超声波检查结果与患该疾病有关。这道题答案汇总一下。第一问，检查结果不正常者共有二百人，其中患该疾病者一百八十人，所以 p 的 估计值等于一百八十除以二百等于零点九。 第二问，卡方统计量等于七百六十五点六二五，因为七百六十五点六二五大于阿尔法等于零点零零一十的临界值十点八二八，所以拒绝独立性假设，认为超声波检查结果与患该疾病有关。 方法上，大家记住两点，求条件概率的估计值，先找清楚条件对应的总人数，再找其中满足目标事件的人数做独立性检验。一定先把四个格子的 a、 b、 c、 d 对 准，再算卡方统计量。最后和题目给出的临界值比较， 咱们继续看第十六题。题目说，已知数列 a 下标 n 中第一项 a 下标一等于三，并且 a 下标 n 加一除以 n 等于 a 下标 n 除以括号， n 加一括号，再加上分母式 n 乘括号 n 加一括号分子是一的分式。 第一问，证明数列 n 乘 a 下标 n 是 等差数列。第二问，给定正整数 m， 设函数 f， x 等于 a， 下标一乘 x 加 a 下标二乘 x 的 平方一直加到 a 下标 m 乘 x 的 m 次方， 求 f 撇在负二处的值。这道题的核心是把地推式改写成 n 乘 a 下标 n 的 形式。第一问看地推，第二问求倒，以后正好会用到第一问。 先看第一问，咱们为什么要两边同成分母？因为题目要证明的是 n 乘 a 下标 n 这个数列是等差数列，所以我们要想办法让地推式里出现 n 乘 a 下标 n， 以及 n 加一乘 a 下标 n 加一。 原式是 a 下标 n 加一，除以 n 等于 a 下标 n 除以括号， n 加一，括号，再加上分母是 n 乘括号， n 加一，括号分子是一， 两边同时乘 n 乘括号， n 加一括号。左边 a 下标 n 加一除以 n 再乘 n 乘括号， n 加一括号，剩下 n 加一乘 a 下标 n 加一。右边第一项 a 下标 n 除以括号， n 加一，括号，再乘 n 乘括号， n 加一括号，剩下 n 乘 a 下标 n。 右边第二项分母是 n 乘括号， n 加一，括号分子是一。再乘 n 乘括号， n 加一，括号，结果就是一。 所以得到 n 加一乘 a 下标 n 加一，等于 n 乘 a 下标 n 再加一。这一步很关键，现在令 b 下标 n 等于 n 乘 a 下标 n， 那 么左边 n 加一，乘 a 下标 n 加一，就是 b 下标 n 加一，右边 n 乘 a 下标 n， 就是 b 下标 n。 于是有 b 下标 n 加一，等于 b 下标 n 再加一。也就是说，竖列 b 下标 n， 每往后一项都比前一项多一，所以它是等差竖列，公差是一。再看首项 b 下标一等于一，乘 a 下标一等于三。 因此 n 乘 a 下标 n 是 首项为三，公差为一的等差竖列，顺便可以写出通项， n 乘 a， 下标 n 等于三加括号 n 减一，括号乘一，也就是 n 加二，所以 a 下标 n 等于分子是 n 加二，分母是 n。 再看第二问这一问，先不要急着把 a 下标 n 一个一个带进去，因为求导以后，每一项 a 下标 n 乘 x 的 n 次方，会变成 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 减一次方。你看，这里正好出现第一问里的 n 乘 a 下标 n， 所以 f 撇 x 等于从 n 等于一到 m， 把 n 乘 a 下标 n 乘 x 的 n 减一次方加起来。由第一问， n 乘 a， 下标 n 等于 n 加二， 所以 f 撇 x 等于从 n 等于一到 m， 把 n 加二乘 x 的 n 减一次方加起来，把 x 等于负二，代入得到 f 撇在负二处，等于从 n 等于一到 m， 把 n 加二乘负二的 n 减一次方加起来。 接下来为什么要拆开？因为 n 加二里面有一个带 n 的 部分，还有一个长数部分。拆开以后，一个是加权等比求和，一个是普通等比求和。设大写 a 等于一加负二加负二的 m 减一次方。 这是首项为一，公比为负二共 m 项的等比数列求和。所以大写 a 等于分子是一减去负二的 m 次方，分母是三。 再设大写 b 等于一乘负二的零次方，加二乘负二的一次方，加三乘负二的平方，一直加到 m 乘负二的 m 减一次方，也就是带 n 的 那一部分。求大写 b 的 时候，咱们用错位相减大写 b 等于一加二乘负二加三乘负二的平方，一直加到 m 乘负二的 m 减一次方， 负二乘大写 b 等于一乘负二加二乘负二的平方，加三乘负二的三次方，一直加到 m 乘负二的 m 次方。现在用大写 b 减去负二乘大写 b， 左边是三乘大写 b， 右边一项一项对其看， 第一项留下一个一，中间从负二的一次方到负二的 m 减一次方，每一项的系数都剩下一。最后负二乘大写 b 里多出来一个 m 乘负二的 m 次方，减的时候要减掉， 所以三乘大写 b 等于大写 a 减 m 乘负二的 m 次方，于是大写 b 等于大写 a 减 m 乘负二的 m 次方，再除以三， 把大写 a 带进去。大写 b 等于分子是一，减去括号三乘 m 加一括号乘负二的 m 次方，分母是九。原来的 f 撇在负二处，就是大写 b 加二倍大写 a 二倍。大写 a 等于分子是六，减去六乘负二的 m 次方，分母是九。所以 f 撇在负二处，等于分子是一，减去括号三乘 m 加一，括号乘负二的 m 次方，分母是九，再加上分子是六，减去六乘负二的 m 次方，分母是九。分子合起来，常数部分是一加六等于七 含有负二的 m 次方，再减去六乘负二的 m 次方，也就是减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方。 所以 f 撇在负二处，等于分子是七，减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m 次方，分母是九。 答案汇总一下第一问令， b 下标 n 等于 n 乘 a 下标 n， 可以 得到 b 下标 n 加一等于 b 下标 n 再加一。所以 n 乘 a 下标 n 是 首项为三、公差为一的等差数列。进一步有， n 乘 a 下标 n 等于 n 加二， a 下标 n 等于分子 n 加二分母 n。 第二问， f 撇在负二处，等于分子是七，减去括号三乘 m 加七括号乘负二的 m， 次方分母是九。这题的方法要抓住两点，第一，递推式，先乘掉分母，把它变成 n 乘 a 下标 n 的 相邻关系。第二求导后会自然出现 n 乘 a 下标 n。 这正是第一问的作用。 咱们继续看第十七题。题目说在四棱锥 p 到 a、 b、 c、 d 中， p、 a 垂直于底面 a、 b、 c、 d， a、 b 垂直于 ad。 第一问证明平面 p， a、 b 垂直于平面 p a、 d。 第二问给出 p a 等于 ab 等于根号下二， bc 等于二， ad 等于一，加根号下三。并且点 p、 b、 c、 d 都在求 o 的 球面上，要求先证明点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内，在求直线 a、 c 与 p、 o 所成角的余弦值。 这道题前半部分考空间垂直关系，后半部分用空间直角坐标系找球心，再用向量夹角公式求角。 先看第一问，咱们要证明两个平面垂直。常用办法是在一个平面里找到一条直线，证明它垂直另一个平面。这里要证明平面 p， a、 d 垂直于平面 p a、 d。 大家注意， a、 d 本来就在平面 p， a、 d 里面，所以咱们可以尝试证明 a、 d 垂直于平面 p， a、 b、 c、 d。 为什么选 a、 d 呢？因为题目直接给了 a、 b， c、 d， 又给了 pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d 内，那么 pi 垂直于 a、 d。 现在你看 pa 和 ab 都在平面 p、 a、 b 内，而且它们交于点 a。 我 们已经有了 a、 d 垂直于 pa， 也有 a、 d 垂直于 ab。 一 条直线如果垂直于一个平面内，两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面，所以 a、 d 垂直于平面。 p、 a、 b。 又因为 a、 d 在 平面， p a、 d 内，一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，所以平面 p、 a、 d 垂直于平面。 p、 a、 b。 第一问，正完 再看第二问。这里有长度，有垂直，有平行，还要找球心和夹角。最直接的方法是建立空间直角坐标系。 为什么可以这么建呢？因为 p、 a 垂直于底面， a、 b 垂直于 a、 d 等于说在 a 点附近有三条两两垂直的方向，咱们就以 a 为圆点，把 a、 d 所在直线作为 x 轴，把 a、 b 所在直线作为 y 轴，把 a、 p 所在直线作为 z 轴。方向取和图示一致， 这样 a 的 坐标是零零零。因为 ab 等于根号下二，所以 b 的 坐标是零，根号下二，零。因为 pa 等于根号下二，所以 p 的 坐标是零零，根号下二。 又因为 bc 平行于 a、 d， 且 bc 等于二，所以 c 是 从 b 沿 x 轴方向走，二坐标是二，根号下二，零。因为 a、 d 等于一，加根号下三，所以 d 的 坐标是一加根号下三，零零。 设球心 o 的 坐标是 x、 y、 z。 由于 p、 b、 c、 d 都在球面上，所以 o 到这四个点的距离相等。咱们先用 o、 b 等于 oc。 这样做的好处是， b 和 c 的 y 坐标、 z 坐标一样，只差 x 坐标算起来最干净。 o、 b 的 平方等于 x 的 平方，加上 y 减根号下二的平方加上 z 的 平方， o、 c 的 平方等于 x 减二的平方，加上 y 减根号下二的平方加上 z 的 平方。两边相等后，后面两项完全相同，可以同时去掉剩下 x 的 平方等于 x 减二的平方。 展开右边得到 x 的 平方等于 x 的 平方。减四， x 加四，所以负四， x 加四等于零， x 等于一。 接着用 o c 等于 o d， 因为现在已经知道 x 等于一，带进去 o c 的 平方等于一减二的平方，加上 y 减根号下二的平方，加上 z 的 平方，也就是一加 y 减根号下二的平方加 z 的 平方。 o d 的 平方等于一减一减根号下三的平方。加 y 的 平方。加上 z 的 平方，也就是负根号下三的平方。加 y 的 平方加 z 的 平方，所以是三加 y 的 平方，加 z 的 平方， 两边相等，得到一加 y 减根号下二的平方，加 z 的 平方等于三加 y 的 平方，加 z 的 平方。再展开 y 减根号下二的平方，得到一加 y 的 平方，减二倍。根号下二乘 y 加二等于三加 y 的 平方。 左边的一加二是三，所以三加 y 的 平方减二倍。根号下二乘 y 等于三加 y 的 平方，两边同时去掉三和 y 的 平方，得到负二倍。根号下二乘 y 等于零，所以 y 等于零。 最后用 o p 等于 o b 代入， x 等于一， y 等于零， o p 的 平方等于一的平方。加零的平方。加 z 减根号下二的平方，也就是一加 z 减根号下二的平方。 o b 的 平方等于一的平方。加零减根号下二的平方，加 z 的 平方，也就是一加二加 z 的 平方。减 二倍。根号下二乘 z 加 z 的 平方。两边相等，得到一加 z 的 平方，减二倍。根号下二乘 z 加 z 的 平方。 左边的一加二也是三，所以三加 z 的 平方减二倍。根号下二乘 z 等于三加 z 的 平方，两边同时去掉三和 z 的 平方，得到负二倍。根号下二乘 z 等于零，所以 z 等于零。因此球心 o 的 坐标是一零零，它的 z 坐标是零，说明它就在底面 abcd 所在的平面内。第一小问，正完 在求直线 a、 c 与 po 所成角的余弦值。两条直线所成角可以转化为它们方向向量夹角的锐角。向量 a、 c 等于 c 的 坐标减 a 的 坐标，所以向量 a、 c 是 二根号下二零。向量 po 等于 o 的 坐标减 p 的 坐标，所以向量 po 是 一零负根号下二。 先算点击向量 a、 c 点成像量 p、 o 等于二乘一加根号下二乘零加零乘负，根号下二。结果是二加角取锐角，所以用点击的绝对值还是二。再算两个向量的长度，向量 a、 c 的 长度等于根号下二的平方加根号下二的平方。加零的平方，也就是根号下一 的平方加负根号下二的平方，也就是根号下一。加二等于根号下三。 所以直线 ac 与 p、 o 所成角的余弦值等于二，除以根号下六乘根号下三。分母是根号下十八，也就是三倍。根号下二，二除以三倍。根号下二。化简后等于根号下二，除以三。最后汇总一下，第一问，关键是抓住 a、 d。 因为 a、 d 同时垂直于 pa 和 ab， 而 pa 与 ab 是 平面 p、 a、 b 内的两条相交直线，所以 a、 d 垂直于平面 p a、 b。 进而推出平面 p a、 b 垂直于平面 p a、 d。 第二问，建立以 a 为圆点的空间直角坐标系，得到 a 是 零零零， b 是 零根号下二，零， p 是 零零根号下二， c 是 二根号下二，零 d 是 一加根号，下三，零零。 设 o 是 x， y， z 利用 o， b 等于 oc， oc 等于 o， d， o、 p 等于 o， b 依次求出， x 等于一， y 等于零， z 等于零，所以 o 在 底面平面 abcd 内。 最后向量 a、 c 是 二，根号下二，零向量 p， o 是 一，零负根号下二，点击绝对值是二。两个向量长度分别是根号下六和根号下三，所以直线 a、 c 与 p o 所成角的余弦值是根号下二除以三。 咱们继续看第十八题。题目说，已知椭圆 c、 x 的 平方除以 a 的 平方加 y 的 平方除以 b 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零， 椭圆的离心率为三分之二倍。根号下二，下顶点为 a， 右顶点为 b， 线段 a、 b 的 长度为根号。下一十，第一问，求椭圆 c 的 方程。第二问，已知动点 p 不 在 y 轴上，点二在射线 a p 上，并且满足 a， p 的 长度乘以 a 二的长度等于三。 第一小问，设 p 的 坐标为 m n， 求二的坐标用 m n 表示。第二小问，设 o 为坐标原点 q 是 椭圆 c 上的动点，直线 o 二的斜率是直线 o， p 的 斜率的三倍，求 p q 的 长度的最大值。 这道题的核心一个是椭圆基本量，一个是用向量参数表示点，最后把斜率条件转化成 p 的 轨迹，再做最值。 先看第一问，咱们为什么先找顶点坐标？因为椭圆已经是标准方程，长轴在 x 轴上，所以下顶点和右顶点可以直接写出来。下顶点 a 是 零，负 b， 右顶点 b 是 a， 零 线段 ab 的 长度是根号下一十，所以 ab 的 平方就是 a。 零横向差是 a， 横向差是 b， 所以 ab 的 平方等于 a 的 平方。因此得到第一个关系， a 的 平方加 b 的 平方等于十。 再看离心率，椭圆的离心率等于 c 除以 a， 而 c 的 平方等于 a 的 平方减 b 的 平方。题目给离心率是三分之二倍。根号下二，也就是二乘根号下二除以三，所以 c 除以 a 等于二，乘根号下二除以三。 两边平方得到 c 的 平方除以 a 的 平方等于九分之八，也就是 a 的 平方减 b 的 平方，再除以 a 的 平方等于九分之八。这一步很关键，它等价于一减 b 的 平方除以 a 的 平方等于九分之八，所以 b 的 平方除以 a 的 平方等于九分之一。 也就是说 b 的 平方等于 a 的 平方除以九。把它代入刚才的 a 的 平方加 b 的 平方等于十。得到 a 的 平方加 a 的 平方除以九等于十，也就是九分之十个 a 的 平方等于十，所以 a 的 平方等于九，于是 b 的 平方等于一。 所以椭圆 c 的 方程就是 x 的 平方除以九，加 y 的 平方等于一。接着看第二问，由第一问可知下顶点 a 是 零负一。先做第一小问， 题目，说二在射线 a p 上，这说明二可以用 a 到 p 的 方向来表示。咱们设二等于 a 加 number 倍的 p 减 a， 其中 number 大 于等于零， p 的 坐标是 m n， a 的 坐标是零负一，所以向量 a p 是 m， n 加一 a p 长度的平方就是 m 的 平方加 n 加一的平方。为了书写方便，设 s 等于 m 的 平方加 n 加一的平方。 因为二等于 a 加 luma 倍 ap， 所以 a 二的长度等于 luma 倍 ap 的 长度。题目给 ap 的 长度乘以 a， 二的长度等于三，也就是 ap 的 长度乘以 luma 倍， ap 的 长度等于三， 所以 luma 乘以 ap 长度的平方等于三，也就是 luma 乘以 s 等于三。因此 luma 等于三除以 s， 把 luma 带回去，二的横坐标等于零。加三除以 s 乘以 s， 把 luma 带回去，二的横坐标等于零。加三除以 m 的 平方，加 n 加一的平方， 二的纵坐标等于负一加三除以 s 乘以 n 加一，也就是负一加三倍。 n 加一除以 m 的 平方，加 n 加一的平方，所以二的坐标是三 m 除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。逗号，负一加三倍， n 加一除以 m 的 平方，加 n 加一的平方。 再看第二小问，因为 p 不 在 y 轴上，所以 m 不 等于零。直线 o p 的 斜率可以写成 n 除以 m。 直线 o 二的斜率需要用刚才二的坐标来算。二的横坐标是三 m 除以 s， 二的纵坐标是负一加三倍， n 加一除以 s， 所以 直线 o 二的斜率等于负一加三倍， n 加一除以 s， 再除以三 m。 题目说直线 o 二的斜率是直线 o p 的 斜率的三倍，所以负 s 加三倍， n 加一再除以三 m 等于三， n 除以 m， 因为 m 不 等于零，咱们两边同时乘以三 m 得到负 s 加三倍， n 加一等于九 n 把右边移过来得到负 s 加三倍， n 加三减九， n 等于零，也就是负 s 减六， n 加三等于零， 所以 s 加六， n 减三等于零。再把 s 换回 m 的 平方。加 n 加一的平方，得到 m 的 平方。加 n 加一的平方加六， n 减三等于零。把 n 加一的平方展开，是 n 的 平方加二， n 加一， 所以得到 m 的 平方。加 n 加一，加六， n 减三，等于零。配方 n 的 平方加八， n 等于 n 加四的平方减十六， 所以方程变成 m 的 平方加 n 加四的平方减十八。等于零，也就是 m 的 平方加 n 加四的平方等于十八。 这说明 p 在 一个圆上，圆心 s 是 零负四，半径是根号下一十八，也就是三倍。根号下二。现在要求 p q 的 最大值，大家注意， q 在 椭圆上动， p 在 这个圆上动。对固定的 q 来看，圆上离 q 最远的点一定在从 q 指向圆心反方向的那条直线上。 所以对固定的 q， p， q 的 最大值等于 s， q 的 长度加圆的半径，圆的半径是三倍。根号下二。 接下来只要让 s q 的 长度最大，设 q 的 坐标为 x， y， 因为 q 在 椭圆上，所以 x 的 平方除以九加 y 的 平方等于一， 因此 x 的 平方等于九倍一，减 y 的 平方， s 是 零负四，所以 sq 的 平方等于 x 的 平方。加 y 加四的平方。把 x 的 平方带进去，得到 sq 的 平方等于九倍一，减 y 的 平方。加 y 加四的平方。展开一下， 九倍一减 y 的 平方是九减九， y 的 平方。 y 加四的平方是 y 的 平方加八， y 加十六，相加得到二十五加八， y 减八， y 的 平方。 为了看最大值，咱们配方二十五加八， y 减八， y 的 平方等于二十七，减八倍， y 减二分之一的平方。因为平方向最小是零，所以当 y 等于二分之一时， s q 的 平方最大，最大是二十七，所以 s q 的 最大值是根号下二十七，也就是三倍根号下二加三 倍，根号下三。并且 y 等于二分之一在椭圆上可以取到的，因此 p q 的 最大值等于三倍。括号根号下二，加根号下三。 最后汇总一下，第一问，椭圆 c 的 方程是 x 的 平方除以九加 y 的 平方等于一。第二问，第一小问二的坐标是三 m 除以 m 的 平方加 n 加一的平方。逗号负一加三倍 n 加一除以 m 的 平方加 n 加一的平方。 第二问，第二小问 p q 的 长度最大值是三倍，括号根号下二，加根号下三。这道题的方法线很清楚，第一步，用顶点距离和离心率求 a 的 平方 b 的 平方。 第二步，因为二在射线 a p 上，所以用参数 l、 d 表示二。第三步，把斜率条件代入得到 p 的 轨迹是圆，最后把动点 p 到定点 q 的 最大距离转化成圆心到 q 的 距离加半径，再在椭圆上求 s q 的 最大值。关键是每一步都先把几何条件翻译成坐标关系，后面的计算就顺了， 咱们继续看第十九题。第一问，要在几何条件翻译成坐标关系，后面的计算就顺了，咱们继续看第一问，要在零到四分之派这个 b 区间上求五倍余弦 x 减五 x 的 最大值。 第二问，是一个余弦函数的存在性证明。第三问，要给五倍余弦 x 减余弦五 x 加上一个平移量 f， 再让它对所有实数 x 都小于等于 b， 求 b 的 最小值。 大家注意，这道题的核心不是单纯算三角函数，而是把五倍角公式、区间长度以及最大值的下界和渠道连在一起用。先看第一问， 咱们为什么要还原？因为式子里同时有余弦 x 和余弦五 x， 而五倍角公式可以把余弦五 x 全部写成余弦 x 的 多项式。这样问题就从三角函数最大值变成一个一元函数在 b 区间上的最大值，令 t 等于余弦 x， 当 x 从零到四分之派变化时，余弦 x 从一降到二分之根号下二，所以 t 属于 b 区间。二分之根号下二到一。五倍角公式是，余弦五 x 等于十六倍余弦 x 的 五次方减二十倍余弦 x 的 三次方加五倍余弦 x， 所以五倍余弦 x 减余弦五 x 就 等于五 t。 减去括号里十六 t 的 五次方，减二十 t 的 三次方加五 t。 把括号打开，五 t 和负五 t 抵消，剩下二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。咱们设 gt。 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。 接下来求导 g 撇 t 等于六十 t 的 平方，减八十 t 的 四次方。提取二十 t 的 平方，得到二十 t 的 平方，乘以三减四 t 的 平方。 在这个区间里， t 是 正数，所以导数为零，只需要看三减四， t 的 平方等于零，于是 t 的 平方等于四分之三， t 等于二分之根号下三。这个点在二分之根号下二到一之间，所以要比较三个值，左端点，临界点，右端点。 当 t 等于二分之根号下二时， gt。 等于三倍根号下二，当 t 等于一时 gt。 等于二十减十六，也就是四。当 t 等于二分之根号下三时，二十 t 的 三次方减十六， t 的 五次方等于三倍根号下三。 三个数比较，三倍根号下三最大，所以第一问的最大值是三倍，根号下三，再看第二问。这一问要证明给定 theta 在 零到派之间， a 是 任意实数，一定能在 a 减 theta 到 a 加 theta 这个区间里找到一个 y， 使得余弦 y 小 于等于余弦 theta。 咱们先想为什么要从反面证明，因为存在一个 y 不好直接找，但它的反面很清楚，如果找不到这样的 y， 那 就是整个区间里的每一个 y 都满足于弦 y 大 于于弦 c 叉。 关键是要看于弦 y 大 于于弦 c 叉的点都在哪里。因为 c 叉在零到派之间，在每一个周期里，于弦 y 大 于于弦 c 叉，恰好发生在 y 属于二 k 派减 c 叉到二 k 派加 c 叉的开区间里， 这里 k 是 整数。也就是说，所有让余弦 y 大 于余弦 theta 的 点分布在一段一段开区间中，每一段的长度都是二 theta。 现在反射不存在 y 属于 a 减 theta 到 a 加 theta， 使得余弦 y 小 于等于余弦 theta， 那 就说明，对于 b 区间 a 减 theta 到 a 加 theta 里的所有 y 都有余弦 y 大 于余弦 theta， 所以 这个 b 区间必须完全落在某一个开区间二 k 派减 theta 到二 k 派加 theta 里面。 大家注意，这一步很关键，因为 b 区间 a 减 c 到 a 加 c， 它的长度是二 c， 而那个开区间二 k 派减 c 到二 k 派加 c 的 长度也是二 c， 它 一个长度为二 c 的 b 区间不可能完全包含在一个同样长度为二 c 的 开区间里面，要完全放进去外面的开区间长度必须更大才行，这就产生矛盾，所以反射不成立，于是一定存在 y 属于 a 减 c， 它到 a 加 c， 它使得余弦 y 小 于等于余弦 c， 它。 最后看第三问，题目说设 b 是 实数，如果存在某个 f， 使得五倍余弦 x 减余弦，括号五 x 加 f， 对 所有实数 x 都小于等于 b， 求 b 的 最小值。咱们先证明 b 不 能小于三倍根号下三。 为什么要用第二问？因为第三问里面有余弦括号五 x 加 f。 第二问刚好可以控制一个形容余弦 y 的 量，而且 y 可以 落在 f 附近的一个区间里， 任取一个 f。 在 第二问中，令 a 等于 f， c 等于六分之五派。因为六分之五派在零到派之间，所以可以使用第二问。于是存在 y 属于 f 减六分之五派到 f 加六分之五派，使得余弦 y 小 于等于余弦六分之五派，而余弦六分之五派等于负二分之根号下三。所以余弦 y 小 于等于负二分之根号下三。 接下来把 y 和五 x 加 f 对 上，令 x 等于 y 减 f， 再除以五。因为 y 在 f 减六分之五派到 f 加六分之五派之间，所以 y 减 f 在 负六分之五派到六分之五派之间， 再除以五，得到 x 属于负六分之派到六分之派。在这个区间里，余弦 x 大 于等于二分之根号下三。并且按照 x 的 定义，五 x 加 f 等于五倍余弦，括号五 x 等于五倍余弦 x 减余弦 y。 刚才已经知道余弦 x 大 于等于二分之根号下三。余弦 y 小 于等于负二分之根号下三。因此五倍余弦 x 减余弦 y 大 于等于五乘二分之根号下三，再加二分之根号下三， 这个值等于三倍根号下三，这说明什么？无论 f 怎么取，总能找到一个 x， 让这个表达式至少达到三倍根号下三。所以，如果他要对所有实数 x 都小于等于 b， 那 b 必须大于等于三倍根号下三。 下面还要证明三倍根号下三真的能做到取 f 等于零，这时表达式变成五倍余弦 x 减余弦五 x 令 t 等于余弦 x。 因为 x 是 任意实数，所以 t 属于 b 区间负一到一， 仍然用五倍角公式，五倍余弦 x 减余弦五， x 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方。当 t 小 于等于零时，二十 t 的 三次方减十六 t 的 五次方，可以写成四 t 的 三次方乘以五减四 t 的 平方。 这里 t 的 三次方小于等于零，而五减四 t 的 平方大于等于一，所以整个乘积小于等于零，当然就小于等于三倍根号下三。 当 t 属于零到一时，咱们看函数 g， t 等于二十 t 的 三次方，减十六 t 的 五次方，它的导数是二十 t 的 平方，乘以三减四， t 的 平方导数为零时， t 等于二分之根号下三。 端点和这个临界点比较，最大值还是三倍根号下三。所以对所有实数 x 都有五倍于弦， x 减于弦五， x 小 于等于三倍根号下三。这说明当 f 等于零时， b 取三倍根号下三就可以满足条件。 前面证明 b 不 能更小，这里证明 b 等于三倍根号下三可以取到。所以第三问中 b 的 最小值是三倍根号下三。 咱们把答案汇总一下。第一问，五倍于弦 x 减于弦五， x 在 b 区间零到四分之派上的最大值是三倍根号下三。 第二问利用余弦 y 大 于余弦 theta， 对 应的开区间长度是二 theta， 而题目给出的 b 区间长度也是二 theta 反射整个 b 区间都落在同长度开区间里，会产生矛盾，所以一定存在所需的 y。 第三问先用第二问证明任何费下表达式的全体上界至少要达到三倍根号下三，再取非等于零。用第一问同样的换元和求导方法证明三倍根号下三，因此 b 的 最小值是三倍根号下三。 这道题最关键的两步，一个是把余弦五 x 用五倍角公式变成关于余弦 x 的 多项式。另一个是第三问里用第二问制造出合适的 y， 再令五 x。
29杨老师数学冲刺
07:19查看AI文稿AI文稿今天我们来剖析二零二五年新一卷，了解命题角度和方法，轻松拿捏。高考好，各位同学，我们今天来讲这个，呃，解答题的剖析。 解答题的剖析呢，其实啊，也比较的简单，怎么个简单法呢？十五题是考的比较简单的， 他考的什么呢？他考的是一个概率统计，概率统计呢，他第一道呢，我们大家一定要啊，第一题没什么好说的 啊，这是第二题，第二题他考了个独立性检验，大家记住，独立性检验一定要零假设， 一定要零假设，这个一定会有一分的。在高考里面他一定会有一分的啊，不写就扣分，哎，你说，哎，你回回来说，哎，老师，我这个我全做对，我答案也是对，为什么没有满分呢？ 零假设，你设了没有啊，这是有一分的。高考是注重什么？注重你的步骤的啊，答案在这里都是其次的，答案是其次的啊， 一定要零假设好。这道题目还要告诉我们，这本书就要自信一点，卡方，你再大，你算的是对的就没有关系， 你算的如果错的你大了，肯定你害怕起来。哎，我怎么怎么咋怎么这么大呀，是不是我算错了， 如果你再算两遍，还是这么大，相信自己，一定要自信一点。同学们，在高考考场上面， 大家一定要有一种啊，自信啊， 我就是这个考场里最强的一个人啊，自信，一定要自信。好，我们就来看十六题，十六题呢，他其实就是一个，就一个字，新，没有新的东西。什么呢，只是样子新，新样子 考的还是我们老生常谈的问题。老生常谈问题啊，这个题目一看就用错位相减法，是不是啊？错位相减法，那 就是这样啊，没什么东西了。再来，记住这个等差数列的话，我们看，哎，如果他 a 大 于等于二，我们要验证 a 一 是不是满足这个等等差数列。 如果是 n 大 于等于一的话，就不用啊，就不用了，记住这些东西就可以了。十七题， 我送给大家一句话，间隙代替大脑 坐标代替思考啊，什么意思呢？哎，就是说我这样子了，我综合法我算不出来，我想不出来， 那我直接解析你第一道题解析行不行？可以，完全没有问题，完全没有问题的。第二题，如果我不会什么球边上，哎呀，怎么大题都考这个外接球啊，我解析 什么球半径相等，立方成组啊，也是可以的。 那当然，我我第一题还是建议大家用综合法，因为立体几何他考察的就两种方法，综合法，坐标法没了啊，第一题用综合法，第二题用间隙法，两种方法都用啊，当然你如果真的在考虑什么，我真的想不出来了，我很害怕 啊，时间不够了，时间不够了怎么办，怎么办啊？坐标法啊，我跟大家说过，只要你把坐标线现出来了，坐标线现出来了吗？ 点写出来了，剩下的就是代数的问题了，没有其他问题，只要你代数不算错，此题就是满分给你啊，就是满分给你。好，十八题， 十八题，这个十八题也非常的简单啊，只是呢，哎，很多同学不知道这句话什么意思，他的轨迹到底是什么东西啊？轨迹啊，还要一定要有一定的猜的思想啊，猜去猜，他大胆一点想，哎，他要考最直， 他是圆啊，他的轨迹是圆是圆的话他要求最直一定要联想什么联想到圆心啊，跟圆心连起来啊。 这个方程我就不讲了，肯定会考啊不是不是不是，肯定会考，就是如果考圆的选项的话，第一题一般都是求这个圆的选项的方程啊，然后这个二呢？ 第一小位啊，还是比较简单的，只是算出来可能怪怪的，同学们可能觉得，哎呦，好害怕好害怕，是不是算错了？这个怎么这么怪啊。自信 永远都是一句话，自信，自信啊，同学们自信一点，十九题，十九题真的很难，真的很难， 但是第一题不难，第一题不难。第一题的话要指的什么？合叉化记啊，合叉化记大家一定要去背，这个是非常必须要背的啊。 第二题的话啊，剩下都是一些高分同学的题啊，高分同学题 可以用什么反证法去证，反证法去证啊。第三题太难了，我们就不讲，我不要他了啊，你如果只是一百一，我想考一百一的话，十十九题我都不想看他 十六题我就看他第一题就可以了，我四分写完我，我走人了，我不要了，我考一百一，我不要你这十三分不要，我都有一百一，但是你前面要作对啊，是不是啊？ 我不要不要不要，我十六题我不要了，我就拿个四分，你十七分我不要我就十，我就拿四分啊，你多一分不要给我，少一分我不同意啊，就是这样， 好到这里呢，我们这个整个的二零二六届 高考冲刺就到此结束了啊，希望我们 再见啊，今天我们就讲到这里了啊？二零二六届就到这里了。
03:59查看AI文稿AI文稿二零二六年青岛中考数学的命题方向已经定了，那么网上呢，也传啊，今年是市南和李沧参与命题，那么韦老师就结合这个李沧和市南参与命题，再加上 青岛各区一模二模三模式卷，给大家总结一下今年青岛中考到底会怎么样。那么我们先说结论哈，今年 青岛中考数学肯定会比二零二五年难度更大。我们先来说一下密题规则哈，就是哪怕真的是像是男和李昌的老师参与出卷，也不会整张卷子都像是男和李昌那个样啊， 因为他可能也就出那么一些题。然后试卷呢，还是由统一的专家组哈，来进行一个筛选整编呢。所以的话，你一定不要只参考一个区， 青岛各区，市南、市北、崂山、李沧及末各大重点学校的模考卷，才是真正的青岛中考的风向标，你要全部弄完才行的。 那韦老师再来说一下今年试卷结构啊，应该是不会变了，满分肯定是二十五分啊，一共呢，我猜是二十五个题， 二十五个题是这一次一模二模、三模大家普遍的一个出题量，那么二十五题呢，就是动点了，那么二十四个题啊，就是二次函数，二十三题，也就是我们的探究，这三道压轴题肯定是不变的。那我们再来用一个题号来给大家出一个压题的重点，二十三题。韦老师就压 三类，一类呢数理探究，一类呢？几何探究，还有一类函数探究啊，难点呢是在第三小问，所以参考是北和清大附二模，那也就是数理探究，理仓和崂山的一模，那就是 几何的探究，还有往年的，比如说二零二四年的青岛中考数学卷啊，是函数探究，我们函数探究也练的比较多了，二十四题呢，是二次函数的一个应用题啊， 奥，函数应用题呢，每一年呢，都是利润图像，利润图像这样子哈，挑着对吧？一年利润，一年图像，今年按说是应该轮到利润，但也有可能会像是男那样子，利润和图像混合出题， 但是无论怎么样啊，如果你这一个动点探究和利润你还不会的，你也不会分类的，以及各个压轴题，不会的，把韦老师这一本清早中考数学宝典刷完， 刷完二十道同类的利润和图像，二十道同类的动点，还有十四道探究，那么你应该会形成一样的一个解析思路，这三个专题的话，还有韦老师的一个讲解，那么二十五题动点题肯定就是分水岭了，韦老师就觉得他会考什么呢？ 菱形折叠，对称，双洞点，三点共线最值，我觉得肯定是必考的，重中之重，这一块大家要练，所以想要冲刺一百一十五分，想要冲刺满分的，一定要去专项训练这些题型啊，这些类别。那么最后再说青岛中考，既然哈已经是 十天以后，马上就要面临这个事了，那这十天你要干什么呢？抓紧的把各个区的一模、二模三模的试卷去写完，因为今年各区出卷的水平都特别高，出卷的难度都特别的均匀， 所以像现在，如果你都还不知道类别，还不知道难度，也不知道考法考纲的，去做专题卷综合评判一下，以及你自己的知识点薄弱，漏洞在哪里啊？这是很重要的，因为今年青岛中考一定是这样子，计算量继续加大，计算量变大， 文字信息变长。你要有从文字信息里面画，找出图像，找出关键词的一个能力。还有比如说会考到什么绊脚模型啊，四点共圆模型啊，三垂直摄影定律等等。 你要有建立模型，找到模型，记忆模型的能力，不是靠死刷题，不是靠着背知识点就能行的。所以需要刚韦老师说的各区的一模、二模、三模真题卷和解析的 给韦老师留言。二五八刷完这十五套啊模拟卷再去准备考试，事半功倍！
270青岛初中英语CC老师
05:53查看AI文稿AI文稿好的真题以及今年是南是北的一模二模的出题方向，我给大家画了最后的十道题，压了十道题全作对，你肯定能成幺一百一十五分以上上名校，那我会八道的话，你可以从幺零八过幺零八会五道题你也能保底九十五分，各位听好了， 一档是那么稳，九十五分，基础五道题就五类题，一道也不能错，错一道各位要麻烦。那么第一道是输入运算加，不能失数， 那么参考二零二五年青岛中考的第十七题，还有市北的一模的十七题，主要考负指数，各位，负指数这个符号表示相反数的意思。各位哈，辈分关系绝对值和不等数的求整数解，各位要注意，绝对值符号不要出错， 不懂事主整数解要注意。能不能直接取等号，三点五个工人可取吗？各位。那么第二道题是分式化简求值，比如说是二零二五年的第十七题第二个问号，各位，这个因此分解之后才能约分，那么才能对后化简之后才能代入，比如说这个 a 等于根号二减一 啊，各位必须保证是化成对减值之后再代入，否则直接代入的话可能会得零分，非常麻烦，各位要注意这个细节，要注意规范。第三类是统计加概率， 那么去年第十八题市南区的二模呢？这个统计题，那么要补全频数分布表，各位要注意表格上面加数字，要加数字那个条形统计图状哈，这个条上加加了个数字哈， 各位，中位数要先排序，再找这个位置。还有呢，这个，这个方差的概念，计算的概念，方差加减乘除法是怎么变的？来，各位，以前视频有讲过。各位，第四道题是解直角，三角形 以及应用题，这是考的大力题，中考第二十题，去年的是不是一模的解二十题，那么考的这个羊角虎角坡度，各位，什么是坡度？坡度是胎位值吗？各位，是胎位值吗？各位要注意。再一个， 一般是测高弧线怎么做？水平数值，各位对不对？截取好。第五道题是圆的切线证明加计算，各位，是南区一模一二十一题，还有要连半径正垂直垂径定律加天然长定律。各位要注意一些隐藏条件，圆里边两大隐藏条件，第一是 半径相等照等腰，第二直径对的圆周角是九十度。各位，走弧线的方向要注意。各位，初中里边的弧线第一方向什么 做垂直垂直，如果有的话要特殊去找去找。各位，这是第一类，你能保过九十五分，好，那么如果说我们保一百零八分，冲一百零八分，中档三道题必须会。第六题， 特殊的四边形的证明，怎么个证法？各位，那么这一个什么就是我们的纯粹基本功，四边形里边是我们的升升级升高的基本功。综合题，前空压轴题包括这个证明题，二二题，二三题全都看四边形啊，那平行四边形 a， b， c， d 中， e 是 ab 的 中点要中三角形的全等 判定矩形和菱形，各位，判定方法，平行四十四种，菱形三种，矩形三种。各位都具有什么？一个概念，要要非常非常熟练，非常非常熟练，要四大维度，各位，要非常熟练，不能有浪费分的时间，各位自己再去看一下，尽量去一摸二摸的那个证明题。 好，各位，那个圆吧，应该不出大题，但占比也不会小。这题，这道题是反比例函数，一次函数的综合题。各位，那么这本题目第二十二题，那么求解析式连例解交点用 k 的 几何意义。求面底要害式 三角形面底公式。那么二分之一 k 的 绝对值注意什么？注意一，有没有二分之一矩形三角形的面底。第二是 k 的 绝对值，要注意哈，要注意。那么第八类是分式方程和不定式应用应用题。各位，二零二五年中考的第二十三题是南区一摸那么多是工程或方案的最值问题，那么要点是什么？分式方程必须检验 方案。题里边这个 x 去整数，是不是去整数？要注意这个符合不符合生活常识和场景，特别注意这个词语。各位 好，各位，这八道题如果会，那么你基本上能冲一百一百零八分，发挥不好的话也一百零四五，各位要注意这个基本功。近三大类是，如果我要冲过幺幺五，冲过幺幺三，各位怎么办？压轴两题必须得分，怎么得法？第九题，二次函数的应用题。倒数第二题，计算量大不大？ 比如说是二零二五年中考的第二十四题，参考抛物线利润和建筑问题。要求解析式对值，自然当范围。那么要点什么？求对值，看顶点，但必须验证 x 的 值范围。那么在经营月内， 那个对折在哪里？尤其分类的时候，非常麻烦，特别注意。好，那么这个什么压轴题的一二分是属于基础分，不属于难度分，必须拿分。那么第三问，会不会做，实际上也是有可循。那么步步抢分，各位，步步抢分辅助线怎么做？ 我前面有常说的论数，那么几十道题是几何类的动点，或者是类比研究。各位，二零二五年中考题是几何类的动点，求面底函数这三角形的存在性， 要点什么？第一问，用相似求 t， 必须拿分。相似求 t， 或者你可以理解成它叫函数直接拿 t 啊。各位，那么分类讨论这个存在性必须要全覆盖， 先框定这个 t 的 取的范围。最后一问，就算不会，你也要给我写上这个 f t 的 形式，做一条辅助线。各位，等不了，要拿个分吧。各位 各位同学们，最后一周就不要再刷新卷了。各位，那么要把前面的这个错题给我消化消化。二零二五年的中考真题卷拿出来仔细的给我研究一下，对比一下，市南区的一模二模，市北区的一模、二模。把些经典题给我看一下，哪几个点你会丢分？那么这十道题实际上代表你的实力基本功， 那么怎样过九十五，怎样保一百零八分，怎样冲幺幺五？各位好，大家一定要努力努力。大家好，我是崔老师，中考咱们考场见，加油！各位好，加油！
380倾城高客
00:28查看AI文稿AI文稿高考数学真的那么难吗？让我为你格式化拆解高考数学题！
18阿尔法和贝塔
03:28查看AI文稿AI文稿同学，你有没有发现你刷了大量的题，但是呢，刷完就忘，这是为什么？因为你没有 get 到这道题目的本质，你没有真正的了解出题人的思维 bug。 出题人一定是非常聪明的，他在涉及到题目的时候，一定是花了大量的心思和时间的，所以每道题目都像一个 g m 一 样，它有一个隐藏的 bug， 能够直击这道题的要害。我们拿二零二五年天津这道题目来举例，你看咱们这个解法是不是就是出题人他的思维角度。 这道题目呢，它要求的是二 a 加 b 的 一个最小值，当我们构造出这样的一个比值等于二的时候呢，再代入 x 值，就能够得到二 a 加 b 它的一个范围。 在与此同时呢，我们能够选择相应的 a 和 b 值去验证是不是能够同时取到这道题目就可以了。如果这道题求的不是最小值，而是最大值呢？你能不能够将这道题目进行求解完毕呢？接下来我们来说这道题的本质原理， 我们在这里引入一个新的变量 t， 使其等于二 a 加 b， 这样的话呢，整个表达式呢，就变成了这样的一个形式，我们只需要求解 t 的 一个范围就可以了。 那 t 是 什么呢？我们将其变成两个函数，我们会发现，右侧这个函数呢，实际上是一个过定点的直线，左侧这个函数呢，实际上是过两个定点，零零和负一零的抛物线结合，如图所示，你会发现啊，这个定点啊，刚好它就在哪里啊， 负的二分之一斗一，也就是说它在了这个抛物线的对称轴上，那么通过改变 t 呢，也就改变了抛物线的一个开口以及它的弯曲程度，什么时候 t 取最小呢？ 显然开口向下，而且抛线此时达到了弯曲最大程度，又是顶点刚好在哪里啊？在这个负二分之一到一处的时候，所以一个竖形结合也就知道了 t 什么时候取得最小，什么时候 二 a 加 b， 它取得最大值呢？首先 t 一定是大于零的，而且它的大于零呢，就决定了抛物线的开口是向上的，向上的话， ok， 它过依旧过那两个定点负一，零 和零零。然后呢，这个抛物线呢，会在 x 等于负二和 x 等于二处，在这个 x 的 范围内产生两个边界的点， 这两个边界的点和这个定点负二分之一逗一，他们三点共线的时候，此时呢就达到了一个最大的一个状态，否则再大的话，那就越过了这个界限，导致这道题目是不能够成立的。 所以当你这么去算三点共线好了，此时 t 的 一个最大值呢，就求解完毕了。 好吧，所以这才是真真正正本题的一个本质啊。那当你了解好这个之后，我相信以下如此多的一个变式，你都能够非常的游刃而有余， 而且同学们要告诉你，本题真正的一个题源在哪里呢？在这里，它实际上是一个北大的自主招生的一道题目。 好了，同学你可以自己去截图，然后再深入的学习一下。好了，这道题目呢，就讲到这里，同学们关注老师学习更多。
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52阿尔法和贝塔
00:29查看AI文稿AI文稿高考数学真的那么难吗？让我为你格式化拆解高考数学题！
38阿尔法和贝塔
