全国卷数学最后一题
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11:11查看AI文稿AI文稿下面是见证历史的时刻，我们一起来挑战一下今年高考数学最后一道亚洲大题。那么这个距离等于这个距离，这呢其实就是一个得了关系，如果假设这一点的坐标是 x y， 他到 x 轴的距离就是纵坐标的绝对值，那这个呢，就是两点之间的距离，他的平方 加上他的平方。好，然后左两边同时平方再化解，我们就可以推出来 y 等于 x 方加上四分之一啊，这就是第一问，非常的简单，接下来看一下第二问。那么首先我把第一问得到的这个曲线的图像 给他画出来，他长这个样子，接下来题目说有一个句型，三个点点在这个二次函数不向上，对吧？那么他画出来大致应该长这个模样。 好，这是一个句型，然后确定一下点的坐标 好，点 a， 我假设他是 a， 然后纵坐标就是 a 方加上四分之一坨的道理，我们把点 b， 点 c， 他们的坐标全部都写出来，然后从图像上我可以看到，那这三个横坐标的大小是 a 小于 b 小于 c 的， a 小于 b 小于 c， 好点的坐标有了。接下来我就可以去写直线的斜率，首先来看一下 ab， 这条直线的好，等于 b 方减， a 方除以 b 减 a， 上面 平方差。公式简单画一下，我们就得到了 b 加 a。 好，同样的道理，我可以把 k， b， c 求出来，那么他呢？是等于一个 c 加 b， 然后这边变量太多了。减少变量是高中数学一个非常重要的逻辑思维，所以在这里了，我们给他消一些变量。怎么消？假设他是一个小 m， 他是一个小 n， 好，把这两个射出来之后注意一些条件。那么从图上我们可以看到我的 a a b 这条直线，它的斜率呢，是降于零的， 所以我们让 m 小于零。那么同时 m 和 n 由于它是矩形的两条边，所以它们是互相垂直的，乘积等于负一。其次我们不妨设啊， m 的绝对值 小于等于 n 的绝对值。那么这道题你如果设 m 的绝对值大于等于 n 的绝对值，也能做，结果是完全一样的，这个是不影响的。好，接下来来看一下 题目，现在让我们去求这个矩形的周草，也就是 c 要大于三倍，根号三，对吧？那我的二分之 c 是不是大于二分之他，而 二分之 c 是谁呢？好，二分之 c 其实就等于 ab 的长度，再加上一个 bc 的长度，那么接下来我们把这两个长度都给他表示出来， ab 的长度等于根号下 好，他们横坐标之差的平方加上纵坐标之差的平方，这个地方注意简单的用平方差给他展开一下啊，那就是一个 b 加 a 乘以一个 b a， 然后各自在平方好。然后呢，我们把这个平方给他提出来，就得到了 b 减 a 乘以一个根号下一加上 m 方好出一，我这个 m 呢是 b 加 a， 直接给他替换掉 好。然后呢，同样的道理啊，同理这个就不展开了，我们可以把 bc 的长度也写出来，那么 bc 等于 c 减去 b 倍的根号下一加少 n 否？ 好，接下来我要求的这个二分之 c 就是这两个长度的和 等于这个，再加上这个。好，那其实这道题最难的地方就在这儿，那么接下来应该怎么去办啊？ 大家注意，那么我把 m 和 n 这个地方设出来之后，这里其实有一个隐藏的条件，会用下边去给他减去上边，那么就得到了 c 减 a 等于 n 减 m， 那么这个是一个隐含的条件，这个呢有助于我们去化解，去减少我的变量。那么如何去构造一个 c 减 a 处呢？来，在这个地方， 好，我把 b 减 a 给他画一下，哼，大家想一下， b 减 a 输等于 b 减 c， 再加上一个 c 减 a， 那么这是一个还能变形， 由于后边有个 c 减 b， 那么前边应该构造一个 c 减 b 出了，所以它可以变形成。这个 好，注意，这一步呢是一个横等变形，就是这样个长度的和等于他，然后在这我们就可以去提取一些相同的了，比如说他们的系数是完全一样的，那么这个结果就等于 c 减 a 倍的根号。下一加 m 方 好，然后呢再加上一个 c 减 b 倍的，这边呢是一加 n 方，减去一个一加 m 方。 那么注意我们的先决条件，我设的是 m 绝对值小于等于 n 的绝对值。对啦，那其实这个是不是就是大于等于零的？什么时候取等号，那就是他要完全相等的时候，也就是 n 等于 m 的时候输失区等号。好，那既然后边这个是大于等于零的，而 c 减 b 是大于零的，因为我在设的时候，我的 b 呢是小于 c 的， 所以整体后边这一项啊，他呢就是大于等于零的，那既然他是等大于等于零的，那我这两个长度的和是不是就是大于等于前边这一项 c 减 a 倍的更好，下一加上 m 方 好，那么注意 c 减 a 是啥呀？现在我们刚才这个隐含条件就开始发力了， c 减 a 是 n 减 m， 而我的 n 和 m 他们的乘积等于负一，所以 n 是不等于负一比 m 好，那么 n 减去 m 就可以完全用 m 来表示。 好，那这个结果给他化解一下，他等于这个 好，现在 m 根号里边有，根号外边也有，我把所有根号外边 m 全部给他放到根号里边，我们就得到了这个 好。到这你是不是就会了？现在注意，我把根号里边的这一堆给他另成一个函数 fm， 让他等于根号里边的这个。 我们现在是不是应该去求他的最小值，因为最终的结果是这两个长度对他要大于某个值，所以来求他的最小值。怎么来求？那自然会想到求导， 注意我定义的取值范围，我设的 m 是小于零的。好，接下来我给他求导好，我们在这边求导过程就不给大家最输了，我们直接把结果来写一下好，然后呢，提取工艺式， 这是求导的结果，那么大家注意，在这个结果里边，他是大于零的，他是大于零的，到函数的正负完全取决于这项，所以我单独把这项给他拎出来，就是他 ok， 然后呢，他给他，给他化解一下，我们就得到了这个 好，得到了它。那么它呢，是有三个零点， 一个是零，一个是负的二分之根号，一个是正的二分之根号。可以接下来用到了一个非常古老而且有用的方法，叫做竖轴标根法， 这个方法在老师之前的课程提到过啊，那么很多学校的老师把它叫做穿针引线法，你是不是听过呢？从竖轴的右上方开始击穿而不穿啊，那么注意我们都是击，对吧？所以都可以穿 好，然后看一下他的正负，负的正的，负的正的，对吧？那注意我们这个先决条件，我的 m 是小于零的，所以从这开始看 到函数在这地方负的，所以原函数单调递减这地方单调递增，那么在 m 等于负的二分之根号二这地方，是不是取到了一个绩效值， 所以我的 fm 他就大于等于 f 负的二分之根号二。好，把负的二分之根号二带到 fm 这个的表达式里边，直接算出来等于四分之二十七， 那么我们需要注意啊，你的 f m 是根号里边的，现在要求他的最小值是不要把灯号带上， 所以他俩的长度之和要大于等于根号， fm 也就是多少呢？二分之三倍根号三。好，这地方我们需要去判断一下什么时候区的，当我的 m 等于负的二分之根号二等于这个的时候，是不是应该取取等号，那么这个等号能不能取需要验算一下。 m 等于他的时候，我们需要把 n 来算一下，那么 n 是不是等于负一，除以 m 这个等于根号二，那么此时我的 m 是不等于 n 的。 跟大家想一下，我们前面在判断的时候说，他如果想要取等号， m 和是不是应该相等，但是现在 m 和不相等这个地方毛豆了啊，那说明 能不能取等，哎，不能取等啊，不能取等，那只能大于了，所以他加上他是不是要大于二分之三？枚勾号三压他加上他是整个矩形周长一半，对吧？到我们的 c 呢，是不是等于二倍的他加糖 啊？那这个呢是大于三倍根号三。好，这呢就是今年高考数学卷最后一道题的最终答案啊，我们来看一下是不是这个结果。 好，周长数要大于三倍根号三，跟我们要求的这个结果完全一样。那么今天的分享就到这里，大家再见。
1256北京初高中数学李老师
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07:54查看AI文稿AI文稿呃今年高考一卷第二十二题其实还算是温和的哈但只不过是被前面折磨的已经筋疲力尽了啊也没有什么时间体力了啊。所以你在做这个题的时候可能第一问还有点时间做一做啊其实整个两问的话如果你有足够的时间去想一想啊 他这个没有往年难的。好吧那你看先看第一问啊第一问他你看是一个指数减去一个一次啊第二问的话一次减去一个这个对数有相同的最小值求而已你把这个最小值求一求呗那么就正常求导求最小值好吧求完导那我们会让他等于零么。这个时候的话 x 可以解出来啊。 在球品发现这个 saa 是正是负很关键啊如果他正是弄 a 是负他就不能这么写是吧所以你可能要讨论一下就如果说 a 小一等于零十的话呢你看呃我们 fs 的话你看是等于一个一的 s 次方减去一个 ax 啊这个其实你稍微分析一下这增函数啊你 a 小一点零这是一个负 ax 就是也是个增函数啊什么时候取的 最小呢当 s 取上一副无穷的时候对不对那显然他就没有最小值了我们要舍去了啊。因此的话就去做这个 a 大人的时候他结算是 low 啊这个头像大家可以轻微的画一画啊。我就不太写了他是个先减后增的情况他有个最小值啊这个就是 s 等于 low 这个极小值点。好吧你把他这个算一算啊 我们算出来的话就是这样一个结果啊然后接下来解决这个 gs 差不多啊，也不难。 gs 头像你也可以大概画一个啊，根据这个情况你要你要说明一下，就是他也是先减后增的情况，其实这是二等于 a 分之一啊，他极小支点是这个，呃， a 分之一，那么这样的话两个最小值都求分了啊，那你肯定这两个东西他提上说是相等的，你让他相等对吧？ 他这关键这个东西其实还不是很好解啊，我们稍微变形一下，你这个的话显还不是很好解，解不出来哈。超越方程吗？那怎么办？你又要解他啊，必须得解他吧，对吧？只能怎么猜？猜谁哈想一啊，一啊，或者说一的平方啊，一分之一啊 这种二一就是往这方面去猜啊，一猜的话呢，这个 a 等于一啊，但是的话就是 a 等于一的时候他成了有没有其他还没有其他根啊，这个其实是还要再证明的啊，就这个就比较啰嗦哈，其实你猜还好啊，我们怎么去证明呢？我们其实可以把这个再写一下，你看论文一是等于 a 减一除以 a 加一的哈， 这样的话呢，你看这个函数啊，其实就是一个，就他这个式子换成这个函数这个对应的函数的话应该如果你证明他单调函数，那不就只有一个根了吗？所以我们假设一个函数是他，然后的话你怎么办呢？你证明他是个增函数哈，当然你求导啊，这些什什么这个过程我就不在写他是个增函数， 增函数的话发现他等于零的时候那肯定只有一根吗？哎，那就证明出来是这个了，注意一下这个过程的一个叙述，我们接下来看第二问哈，第二问是在这个 a 等于一的情况下啊，这两个函数是确定的哈，然后的话，他说是有一条直线 y 等于 b 啊，水平的跟他俩，然后你看共有三个不同的交 啊，然后的话呢，我们说，呃，这三个焦点的横坐标啊，然后是成等差数列，我们先把图大概画一下，结合图的话呢，来给我们提示这个思路啊。 呃，这是我们大概画一下哈，就是你根据前面第一问的话呢，像 f s 有个极小指点，二等于零哈，像 gs 极小指点是二等于一，他们有个最小指点，而且求出来这个最小值是一哈，就大概这个情况，那这样的话，你看 y 等于 b 有三个焦点，那不就这样吗？你看就是这个 b 相当于只能等于他们两个的这个焦点必须过这个地方哈， 但是要注意这个图像哈，就我们左边的话，你看，由于，呃，像这个 gs 定义是大于零的哈，所以你看这边的话就不会跟他有焦点了，但是这边有没有可能有焦点的，比如说这样子的呢，就要提防一下这种，是吧，所以你要证明一下，说在 s 大于一的时候，这个永远比他大啊， 所以的话呢，我们可以在这个 s 大一时的话呢，我们去假设说，哎，这样还是相减啊，假设是 usb 的话， 等于这个 fx 减掉这个 gx 啊，这个结果是这个，你要证明他根据图你看是大于零，对吧？所以你就在求导哦，求导的结果，这个是一的 s 次方减去二啊，再加 x 分之一啊，然后的话，你证明他可能是个，你看是增函数吧，哎，这里面是不是大于零就可以啊？他是不是大于零呢？ s 大于一，这一坨是大于零的啊，这一坨呢， 这头增含水，这头的其实最小的就是，当然等于一的是一减二，他已经带领了哈，而这个也是带领的，所以不就可以了吗？ 啊？怎么去写过程啊？大于这个一的 s 次方减二吗？你把那个 s 分之一的不好弄吗？合到一起是不好弄，那这个结尾就大于等于一减二啊，一减二的话，本身就是大于零的哎，所以 ups 大于零，所以我们这个 us 的话呢，在其实一到正无穷上的话呢，是一个这个增函数啊， 所以我们说这个 us 的话呢，其实就是什么大于这个优一优一的话呢，是一减二大于零啊， 所以也就是说 fx 的话呢，是大于 gx， 就是赛 x 相当于。什么意思啊？就是在他大于一的时候啊，他永远比他高，就没有其他焦点了，所以这样的话，我们假设他们的焦点啊，如果这个地方是一个叫 s 零啊，然后 y 零的话哈， 这样的话，你看你的币一定会等于这个歪零的啊，你把这个焦点给他射出来啊，然后这样的话，这个这过程不再写了，然后你看这个币一定会等于这个歪零，好吧，这样的话就会存在啊，有三个焦点啊，接下来我们要说明，这是三个焦点的红坐标啊，有一个是 s 零啊，我们把这两个焦点标出来是 xs 啊，现在要证明是他们要成这个等差数列， 也就是 s 一加 x， 其实等于两倍 s 零就可以了。先把条件这个罗列一下，好吧，我们把这个先写一写啊，你看他们是焦点吗？啊，这样的话，这个东西等于五二零啊，右边这个也等于五二零啊，这相等，然后你挪一下的话，你看他俩的合适。这个刚才我们不是说要证明啥，你是不是要证明这个 s 一加 s 二等于两倍的 s 零， 这两个相加等于他，你大胆猜测一下，你看他俩是不是其中可能一个是 s， 一个是 s 二就完了，对吧？这是一个想法哈，你看如果你这里有意识的话呢，待会可能会简单一些些，我们看这个 s s 二怎么跟他扯上联系啊？就他们的这个动作标都相等啊， 比如说的话呢，你看这个东西他等于五二零，对吧？带进这个纸啊，这个五二零的话，你就注意啊，你就不要再用这个了啊，我们用这个啊，他会等于这个 s 零，减掉这个 slows 零，我们接下来怎么去求这个 s 一非常关键啊， 既然你有两种思路啊，一种就是你先猜，根据我刚才说那个啊，比如说这个 s 一，你会猜他等于谁？他可能等于浪啊， s 零咯， 你可能就做出来了。还有一种呢，看到这个地方我们可以同购啊，同购化，就是这个地方，你看你可以 s 零可以写成啥？可以写成一的 lone s 零啊，再减去这个 lone s 零，这样的话就相当于什么感觉？你看这是一样的结构啊，大，是吧？那么我们这个东西它要等于 v 零的话，是两 焦点啊，一个就红字标写 s 一啊，就这个时候，另外一个就是就是，就根据这个式子的话，你会发现这个我们先把焦点这个写清楚啊，就是他们香蕉啊，这样的话，他们我们先把这个焦点这个写清楚啊，就这个地方啊，就是他这个，你看五二零等于他五二零也等于后面这个，这样的话你可以得到这个结果， 这个结果的话你可以这个稍微的注意一下，因为我们是要证明说 x 一加 x 等于两倍 s 零吗？啊？这等于 s 一加 x 二，这是我们要证明，你看这俩相加等于他，你大胆猜测一下，你看这里面是不是其中一个是 s 一，其中另外一个是 x 二啊？ 接下来我们再去写这个 x 一的啊，一 x 一减去 x 一这个东西等于 y 零啊， y 零又等于谁？等于上面这两个啊？那你肯定用后面这个哈， 接下来就是要解这个 s 一了哈， s 一怎么去解呢啊？一个是根据刚才的猜测啊，你看你猜测 s 一，哎，是不是等于这个 lowsb， 或者说你把这个东西怎么办？同构化就行，你看它可以写成谁呢？哎一的 lowsb 再减六 x， 那这样的话，所以我们可以得到 x 一是不是就等于这个 low s 零啊？这意思是说我们让它等于五二零啊，实际上来讲是有两个焦点的啊，一个已经是 s 零了，另外一个根据这个情况就是 low s 零， low s 零只能放这了，对吧？所以这个 s 一会等到这个 low s 零啊，那我们接下来再去写这个 x 二的话， x 二的话就是 x 二减掉这个 low x 二啊，他等于这个五二零， 五二零的话呢，我们写的是来利用一下这个一的 s 零，再减去 s 零，同样我们可以同购，或者根据猜测啊， x 二，你可以猜测它等于他或者把它同购，这样你需要把这个后面的话呢，你看 s 零写成，写呢，写成是乱的一的 s 零， 这样他这个意思就是说这个东西等于 y 零的时候，他有两个焦点啊，你看一个已经是 s 零了，另外一个呢？另外一个根据这个式子是不是一的 s 零，一的 s 零，哎，那就是 x 二了，所以说这个 x 二的话呢，会等于这个一的 s 零。次方，这样的话大家看，所以 x 一加 x 二的话，你看就等于这个 lows 零， 再加上一个，我们什么加上一个一的 s 零啊？此方，哎，那我们给你刚才这个吗？你看那不就等于二 s 零了吗？ 哎，所以我们说他们仨是不是就成了个等差数位了，对吧？哎，这样的话我们把这题就做出来了啊，这道题其实还好，如果有足够的时间的话啊，但是的话就是过程的书写，包括第一问当中，包括第二问当中，我们前面要这个说明一下它的存在啊，一个币啊，能够使它有三个焦点啊，过程要写好，要不然扣分还是挺多的啊。
648孟见数学
09:18查看AI文稿AI文稿我们来看一下二零二三年全国高考数学甲卷最后一道压轴大题，来挑战一下。这是函数的解析式， rx 减去 cx 除以 cosy nx 的立方，它的定义域是零到二分之派。 第一问，小二等于八，直接代入得到 fx 的解析式。现在题目让我们求他的单调性。既然要求单调性，我们需要求一下函数的倒数。 求函数倒数的过程有一些复杂，在做的时候千万不要出错，其中比较容易出错的地方是对分母 cause on x 的立方求导。 cause on nx 的立方可以把它看作复合函数，它求导分两步， 第一步，先对外函数求导三倍的 cos i n x 的平方，再对内函数 co c n x 求导，也就是负的 c x， 把得到的导函数进行通分化减，得到了这个结果。接下来我们来分析一下函数的导函数，观察一下这个结果。分子四倍的扣三 nx 的平方加三一定是大于零的， 分母 cos inx 的四次方，它也是大于零的，所以导函数的正负完全取决于两倍的 靠 c n x 的平方减一。当这个结果大于零的时候，我们可以算出来 cos r n x 大于二分之根号二。 在求 x 的取值范围的时候，一定要注意定义域是 x 大于零，小于二分之派。这两个条件结合起来就可以求出，当二扣 cnx 方减一大于零的时候， x 的取值范围是大于零，小于四分之派， x 在这个范围内得到导函数是大于零的， 此时函数单调递增。同样的道理，我们可以求出，当 x 大于四分之派，小于二分之派时， fpx 小于零， fx 单调递减。第一问我们就做完了。看一下第二问。注意，第一问的条件是以弱的形式给出的，那么这个条件在第二问是不能用的。 看一下第二问， f x 小于 c 二 x 横成立。这种问题属于比较常规的问题，一般我们可以通过构造函数来求解。把 c 二 x 移到不等号的左边， 构造一个新的函数， g x 等于 f x 减去 c 二 x， 这个函数的定义域还是零到二分之派。所以现在 f x 小于 c 二 x 横成立，就等价于 g x 小于零横成立。 所以我们的目标就是去求一下 g x 的最大值。如何去求 g x 的最大值？我们再次想到了求导，所以求一下 g x 的导航 函数，得到这个结果。观察一下它的导函数，这里出现了一个 call c n x 的平方，这里也出现了一个 call c n x 的平方，分母有一个 cosine x 的四次方。 所以自然而然我们会想到换圆令 t 等于 cause in x 的平方。注意，换圆一定要确定心圆的取值范围。 x 大于零小于二分之派，所以 t 大于零小于一，换圆之后得到 g p a t 就等于二加二减四， t 加 t 分之二，减去 t 方分之三。不要忘了，我们的目标是求 g x 的最大值， 想求他的最大值，我们就需要确定 g p a t 的正负。怎么确定 g p a t 的正负呢？我想到了对 g p a t 再次求导， 这是 gpat。 对他求导之前，我们不妨把这个导数看做一个新的函数， 比如说 zucti， 就是 g x 的导函数。接下来对 zucti 进行求导，这是 zucti 求导之后的结果，把它通分化解，得到这个结果。 我们来分析一下这个结果。因为 t 是大于零小于一的，所以 t 的立方一定是大于零的。当 t 大于零小于一的时候，不难判断，二 t 方加上二， t 加三，他也是大于零的。与此同时， t 减一是小于零的，但是前面还有一个符号，所以这个结果一定是大于零的。 zack t， 它的导函数大于零，所以我们得到 zack t 是单调递增的， 那他的最大值就是当 t 等于一的时候取到，但是不能取等， 所以 zack t 小于 zack e， zack e 是 zack t 这个函数的最大值，把一带进去，得到二减三， 得到这个结果。接下来要分类讨论，分成两种情况。第一种情况，当二小于等于三的时候， zack t 其实就是 g p x， 它小于二减三， 因为二小于等于三，所以二减三是小于等于零的，那么我们就可以得到 g x 在零到二分之派上单调递减，因为 g p x 是小于等于零的，所以 g x 在 x 等于零的时候 取到最大值。因为函数是单减的， g x 的解析式也有了，把零往里边一带置于零刚好等于零，所以我们得到 g x 小于零， 在整个定义域上是横成立的，所以在这种情况之下，也就是啊小于等于三的时候， f x 小于 c， 二 x 横成立，符合题意。看一下第二种情况，当啊大于三的时候，这是这篇 t 当二大于三的时候，我们刚才已经证明了，这撇 t 在零到一上是单调递增的。由于函数单调递增，当 t 等于一的时候，取到最大值，不能取等， 所以最大只小于 g p 一，而 g p 一是二减三， 因为二大于三，所以二减三大于零，所以 g 撇一大于零，最小值比 g 撇零大，而 g 撇零。我们把零带到 g p a t 的解析式里边， 发现当 x 趋向于零的时候， g p a t， 它是趋向于负无穷的。我们根据这个可以得到一个示意图，观察一下， g p a 大于零， g p a 零趋向于富无穷，那么他们之间一定存在一个 t， 零，使得 g p a t 等于零，这就是 g t 导函数的示意图。根据导函数的示意图，我们可以画出来 g t 它的增减图。 可以发现，当 t 小于 t 零的时候，导函数小于零，所以 g t 单调递减， t 大于 t， 导函数大于零， g t 单调递增， 这是 g t 的增减图。我们在换圆的时候，令 t 等于 cosin x 的平方，所以 g x 其实是 g t 和 t 等于 cosy n x 平方的复合函数。复合函数的单调性同增易减， 因为 t 等于 cos n x 的平方。当 x 大于零小于二分之派的时候，这个函数是单调递减的，所以 g t 的单调性和 g x 的单调性 刚好是相反的，这是 g x 的单调性。当 x 大于零小于二分之派的时候， 他是先单调递增，再单调递减。当 x 等于零的时候，至于零是一个最小值，把它带到 gx 的解析式里边，刚好是零，所以这些红色图像， 它的函数值都可能比零大，而我们要证明的是 gx 小于零横成立，所以这种情况显然是不符合提议的。那么最终的答案就是刚才的第一种情况， 小奥最终的取值范围是小于等于三。今天的分享就到这里，同学们再见！
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