2025年普通高等学校招生考试模拟试题数学
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53:25查看AI文稿AI文稿一定可以的，这四五分是一定都可以拿到的，只要有基本的小学计算能力就够了，剩下就套啊，就是换种思路，这五十分内容是当文科来学的，就是背，就是背就完了。第一个考的是虚数问题， 一般来说这种题就是第一题跟第二题，当你在题目中只要看到 i 这个问题，它考的就是虚数。那虚数有哪些内容？一共三个部分，第一个是概念在边上写，特意留那么大位置给大家写东西。 什么叫虚数？虚数就是 z 等于 a 加 b i， z 等于 a 加 b i z 称之为虚数， a 叫实部，名词都写一下， 这个叫虚数， a 叫实部， b 叫虚部。好，这是它的概念。第二个部分是计算，计算是符合我们的初中的字母运算。这第一个 那就是 abc， 那 种就含 abc 的 式子，什么加减乘除，这个应该会吧，对吧？然后第二个要隐身的就是 i 的 平方等于负一， 它这也不是个 i 吗？对吧？就是 i 的 平方等于负一， i 的 三次方是不等于 i 乘 i 的 平方，三个 i 相乘吗？那其中 i 方等于几负一吗？没有不等于负 i 啊，那个不要去死记，可以这么推啊。以这道题为例，一加五 i 乘以个 i 讲基本点， a 加 b 乘 c 是 不等于 a 乘 c 加 b 乘 c， 这个应该没问题吧？乘法的分配率， 所以一样的，它可以写成一乘 i 加五个 i 乘个 i 吧，能理解吗？一乘 i 五 i 乘，没问题吧？这里好，所以它可以写成 i 加五个 i 的 平方出来了， i 方 i 方等于几负一，非常好，所以等于 i 减，而 i 减 i 减五。好，他问的是什么？虚部？什么叫虚部？ i 前面的数字吧， i 前面是几一哈，所以选 c 选项，这五分容易拿吗？两个部分背一下。 这个复数部分啊，一定要拿到分啊，这五分要到手啊，十分之一那种。搞定，接着我们再看第二题。好，下面看第二题啊，第二题就我们前面讲的集合问题。集合问题来，我后面每张卷子都会把所有概念来一遍啊，一定要记得抄。先说红色部分集合， 这是凝练的东西。第一个概念，一组数可以这么来理解，它就有一组数框在一起，那么它的性质 有三个，确定性、无序性跟互异性。其中关键的就是什么互异性， 什么叫互异性？没有两个相同的数，一个集合里头不能出现两个相同的数，如幺幺，他就不能是集合，他就不能是集合。一个集合里头不能出现两个相同的数。确定性这个没办法，就是不好考，所以不用管它，集合里的数全是确定的。 然后无序性这个东西也不好考，它意思就一，二跟二，一是一个意思。好，第三个要涉及的也是它的关键，就是计算。 计算主要是交并补， 譬如 a 跟 b 相交，它指的是 a， b 的 公共部分，相交的部分， a 和 b 并在一起，指的是所有的补集，叫 c u， cba 吧， cua 吧， 这个全部范围叫 u， 这是 a 补集，就是 u 中除 a 的 部分。 好，再来一遍，集合就是一组数组成一个集合，我们一般用这种大括号把它表达起来，那么集合有确定性、无序性跟互异性，但是我们主要考的是互异性，就没有相同的数， 然后主要是考集合的计算，相交公共部分啊，并集所有部分补集，譬如 c u a u 中把 a 给去掉， 譬如这个班，我的补集是什么？是剩下的，你们对吧？子集啊，这个数，这个集合的所有元素在这里面，那就称之为子集。比如说高三一班是三中的一个班，那高三一班就属于就是三中的一个子集吧。 以这道题为例，全集小于九的正整数，思考一下有哪些？ 八七六五四三二一吧。小于九，对，所以它实际上要写成集合的话，后面就写了一二三四五六七八。考场上的时候注意，我们是有很充足的时间来做这些题，所以全列出来 慢慢列。然后 a 集合是一三五这个符号啊，打印的问题啊，叫 c u a c 位什么意思？ u 中排除 a 的 部分吧。嗯，那是不是把一三五给去掉就行？ 把一三五去掉，问元素有几个就是有几个人嘛，一二三四选 c 选项，这五分到手，简不简单？好，第三题我们课上没讲，但是 他简单来双曲线，只要看到这个词啊。双曲线，第一个是图像， 双曲线，图像长这样，两个弯弯，他有几个性质啊，或者几个名词？我们先说一下以及他的方程嘛。图像跟方程我都写一下方程， 就我们初中是不是学过一条直线可以写成 y 等于 x 加 b 吧，那一个双曲线它也可以写成 y 等于多少 x， y 跟 x 的 关系， x o y 将人图像方程可能复杂点，但不要担心， x 方除以一个 a 方，减去 y 方除以一个 b 方等于一。我们要分别来看 abc 代表什么意思，其实这个也是只要背了就有，这里面有两个轴。 先说一下，第一个叫十轴，这条长度叫十轴啊，这个点的坐标是 a， 这个点的坐标是负 a， 这个称之为十轴， 当然它还有个 b 叫虚轴，这个点是 b， 这个点是负 b， 称之为虚轴。虚轴是干嘛用的？不用管，它是求渐近线用，但我们只要知道它是什么就行，不在图上，所以叫虚轴 好。双曲线上的特点，这个点叫 f 一， 这个点叫 f 二，其中 f 一 f 二称之为焦点， 然后 f 二是 c 零， f 一 是负 c 零，就它的坐标哈，意思是这个长度是 c， 这个长度也是 c， 这是两个焦点。先把这些基本的 它的名词或者这些点坐标位置记一下。嗯，有，我等会就说它的原原理。先把这个记一下，我们再说简单点的东西，我们说画圆，圆也是圆锥曲线的一种，这个双曲线， 椭圆、抛物线以及圆这四个东西称之为圆锥曲线。为什么叫圆锥曲线呢？它是个圆锥上面啪切出来的东西，所以叫圆锥曲线。它有一些特点，我们以圆为例，圆最简单，到一个点的距离等于定长， 或者我们画圆怎么画？定一个圆心，拿根绳子绷直转这么一圈，是不是圆？这个点叫定点，叫圆心，那个绳长就叫半径吧。 那么在双曲线里面也有两个，它是有两个定点来画它的双曲线的点哈的几何特点是到两个交点的距离相等啊，不是相减的值。相等 什么意思？就是 m f 一 减去 m f 二等于二 a， 这就是十轴长轴的意思， 这条线减这条线等于一个定值，不管哪个点相减，等于定值，这是它的几何意义。圆的是到一个点的距离，是一个固定的长度， 双曲线是某个点到另外两个定点的距离之差是个常数。椭圆是到两个定点，距离之和是个常数。这个先这么记啊，等我们将椭圆的时候，这个会更加清晰一些，这他基本概念，不着急。 红灯管怎么用的？其实这应该按到道理用不上，这是它的基本概念。好，下面我们来记这个图，等下回头自己画吧。我说要用的东西好， 二 a 叫长轴，一个叫实轴是二 a， 虚轴是二 b 啊，交点距就交点间的距离是二 c， 它们有个特点叫 c 方等于 a 方加 b 方， 然后离心率。这都是名词啊，离离离字怎么写来着？离心率 e 等于 a 分 之 c。 其实这道题来说，只要知道这些东西，对一个双曲线来说，它的方程是， a 方分之 x 方，减去 b 方分之 y 方等于一 十轴，称之为二 a， 虚轴称之为二 b， 焦点距是二 c， 然后焦点距跟 ab 有 个 c 方等于 a 方加 b 方，离心率是一分之一，等于 a 分 之 c。 好， 回到这道题来看，他说什么？虚轴是实轴的根号七倍， 我们按照要求写，虚轴是谁？二 b 等于根号七个二 a。 第二个方程是 我把这个写下，这个是一定会用到的。 c 方等于 a 方加 b 方， c 方等于 a 方加 b 方，问 e 等于几？ e 是 a 分 之。好，你看一下，这上面是它的基本概念，对吧？我们背下来 虚轴二 b 为实轴，二 a 的 根号起背第一个方程，第二个式子题我们已经背了，第三个式子要求看通过这边能不能把这三个式子写出来，可以吧？ 然后接着就是求 e 的 余记，就是求 e 的 余记， 哪地方有问题？可以说第一个就是把题目翻译出来的，第二个是被的，第三个是被 哪个？ m， m 是 上面一个点，这个不要管，那它的几何意义，你这道题的时候都用不到，这些全都用不到，我们等后面会列个表给大家，我做做一个那个什么表，那个圆锥形的表，稍微复杂点，圆锥形都不在我们第二节课讲，我们在第二节课再说。这个是简单的，所以我现在再讲 上面会用到这种几何关系的，其实至少这次没有用到，对吧？我们只说基本概念要背的东西，我只要知道它的方程，什么叫实轴，什么叫虚轴，什么叫焦点，以及它们三个的关系和离心率等于几，这个是一定要背的， 通过能背的东西能解决。题目是在我们第一节课讲，稍微复杂点的，我们都不在这里讲，好吧，好。接着剩下的就是计算了，图像不画，你们就把下面这个方程实轴、虚轴、离心率写出来就行。 你觉得怎么计算简单？我觉得至少要有谁？ c 方吧。所以我给他开个平方，这是前面计算步骤，然后开始来求解解算算， 我要算的是 e， 我 不如先求个 e 方是不等于 a 方分之 c 方啊，就把这个式子两边平方一下，那 c 方等于多少呢？等于 a 方加 b 方吧， 这个带进去， c 方等于 a 方加 b 方，没问题吧？ 然后这个我肯定要化简一下的，第一个式子要化简一下 b 等于多少根号其 a 吧。两边把这个二一约哈，这个二约掉， b 等于根号其 a， 所以我就把 b 等于根号七 a 怎么样换掉？在这个式子里头，只有 a， 它就等于 a 的 平方加上根号七个 a 的 平方，再除一个 a 的 平方，别的不用管，照抄。每步做一件事情啊。第一件事情，因为这里有 c 方， 所以我不如两边直接平方一下，得到第二件事情，把 c 的 平方换成 a 和 b， 这叫带入消元，因为我们在解题的时候思路是 不同的，字母越少越好，对吧？这里面有 c， 有 a， 我 不如把 c 换成 a 和 b， 然后再把什么 d 换成 a， 那 这个式子就只有 a， 第一步带进去，第二步，把它带进去，换出来， 然后展开。等于 a 的 平方加上七个 a 的 平方，除以一个 a 方等于八个 a 的 平方，除以 a 的 平方，所以等于八。好，我们最后得到的结果是， e 的 平方等于八。隧道 e 就 等于根号八，根号八是等于两个根号二的 原因是根号八可以写成四乘二，等于根号四乘根号二。来，拿个这个去，等于两个根号啊。答案选 d 和这个地方计算不清楚的，后面计算不清楚，客户问哈，我们一点点来，这次十五分了。第四题涉及到三角函数的所有的对称中心以及对称轴的问题。 y 等于三，引小狗，嗯，来记一下，它的对称轴 是小狗等于二分之派加二 k 派，其中 k 属于 z， k 是 整数。 譬如我问你三 e 小 狗的对称轴是几，就是小狗等于二分之派加上二 k 派，譬如说 k 取零，那小狗等于二分之派， k 取一，小狗等于二分之派，加二派就是二分之五派， 二分之一加两个，加个二等于二，然后他的我等。以这道题为例哈，因为现在写的是小狗，用起来会很简单。然后对称中心是小狗等于二 k 派， y 等于 cosine 小 狗 对称轴，小狗等于二 k 派， k 属于 z 对 称中心，小狗等于二分之派加二 k 派。 sorry， 写错了，不是二 k 牌，是 k 牌。把这个 r 去掉 y 点贪心狗，它只有中心，它只有对称中心。小狗等于二分之 k 牌， k 除以 c。 先把这个记一下，这脚背了就可以直接用了。 不讲原因，讲原因的话它就太复杂。就是我们就当文科学背，背出来就可以。原因其实我在前面都已经讲过了，我之前讲过三角函数，可能大家都已经忘了就行， 或者听不懂。哎，那干脆听不懂就直接背对吧，把这个东西记下来。记下来之后你再看，我们再看这道题啊，它为什么对称中心为多少？对不对？第一个关键点出来了一个，它是 tangent 的对称中心。来找找找在哪是不？这个 panting 小 狗的对称中心是小狗等于二分之 k 派，现在你看这里面谁是小狗？ 这整个东西是小狗吧，对不对？哎，就是这个小狗要等于二分之 k 派。意思就是 x 减三分之派要等于二分之 k 派， 也就是 x 等于三分之 pi 加二分之 k。 好， 这就是它，所有对称中心， 它有好，它有无数个对称中心，但是它要求什么？对称中心的什么值？最小值吧，大于零的最小值啊。 x 这个就 a 就是 x， a 对 的，是 x 的 位置来看， k 去 k 是 整数啊。 如果 k 等于零的话， x 等于几？是不等于三分之派 对是吧？ k 等于一的话，是不是 x 等于三分之派加二分之派等于六分之五派？这个计算就不用管了，总之这个是不是要大一点啊？这个也可以，六分之五派也是它的对称中心， 然后还有什么 k 取二， k 取三， k 取四，依次下去，当然还有 k 去负一的话，是 x 等于三分之派，减二分之派怎么算它哈派反正就是个符号，也是个数字，是不是派乘一个，三分之一减二分之一， 三分之一减二分之一总会算吧。负六分之一排，当然它往这边也可以无限延伸。现在问算出来这几个结果里面哪个是正的，又是最小的，是不是它？ 它是正的右边，所以大家选 c 选项。好，我再来整体过一遍。首先红色部分背一下，三引的话，求对称轴是 这个后面这一坨东西的，有二分之派加 k 派，这东西已经记下来了哈，抄下来，然后拿到题目，看到求 tanning 的 中心，在这里， 贪婪的中心是贪婪的小狗，小狗是后面整个贪婪的部分，就是它要等于二分之 k 派，小狗等于二分之 k 派，这是我们背下来的对吧？放在这里， 那这个小狗是多少呢？题目中只把小狗复杂了一下，变成 x 减三分之派，所以换掉 x 减三分之派等于二分之 k 派。 把它挪过去方程解方程应该都会啊，挪过去的话，负的变成什么正的吧。一项变号，所以 x 等于三分之 pi 加二分之 k 这个 pi， 这个 pi 哈是个数，大家应该都背过三点一四一五九二六，对吧？ 但是它具体是多少我们不用管，只要它是数就行。其中 k 是 变化， k 可以 取零一二三四，什么负一负二、负三负四都可以。 我们这里求出来是所有的对称中心，所有的对称中心，但他只要找一个，找哪个正的最小的那个，那 k 取几的时候能取到正的最小那个呢？我就分别把 k 取零一二三，或者说负一负二负三带进去 零带进去正的，一带进去正的，那越往后越大了，越加越多，然后再找往后负一的时候算出来是负的。 假设哈，你 k 去负一中算出来是个什么？六分之派，假设算出来是六分之派，那结果就应该选六分之派吧，说白就把它全列出来，找到最小的正数就行， 因为，嗯，随便练，但你不也不能练的太离谱了，你隔得太远的话，那是不是就练的太多了？你肯定要靠近大于零，他要心里要求是大于零且最小的值。 我特意写写个括号，后面小狗你前面，管它是谁都无所谓，包括什么，加一些东西，只要它。这个意思就是只要有三亿这个小狗啊，它最顺手就是小狗等于多少。 ok， 别都不用看它，那些东西都误导性 至此。多少分？二十分了吧。啊，这二十分要到手，其实再加上多选题，当单元题就可以拿上十分，这就三十分。 乘法一梳理我们已经讲过了，回顾一下，等差两个公式，要背的一个叫通项， 嗯， ok， a， n 等于 a 一 加上 n 减一个 d， 其中 a 一 叫什么？叫做首项？也就第一个，第一个树立的第一个是谁？首项递交公差， 递交公差就是打比方哈， 一三五七九，它就是 a 一 等于一， d 等于二的一个等差数列，能看懂吧？哎，公差就相差多少，每一次每一个差值是一样的，这叫等差数列， a 就是 手相， d 就是 公差。 第二个要讲的叫前 n 项和，就是把前面的 n 项加起来等于几？ s， n 等于首项加末项乘以个项数，除以个二。 以这一三五七九为例，譬如说一加三加五加七加九，它是等于二十五的 二十五，这是直接相加一加三四嘛，九加七加九二十五嘛，这口算的。但是我们用公式应该怎么算？应该用一加九乘以个几项，五项再除个二， 首项加上末项，一共有一二三四五乘个五，再除个二，这是它的公式。这个一定要背，背了就有分 等差的。 好，先把等差记一下。那这道题考试等比，所以我每道题啊，只要涉及到一个内容，我会把它所有的内容全部来一遍，比如下下下一套卷子，又有一个等差等比，呃，我就等差处理和等比，我会把等差等比公式都写下，那多抄两遍就记住 好。题目中如果说是等比的话， 譬如它的通项公式是 a， n 等于首项，乘一个 q 的 n 减一次方 a 一 还是首项啊，这个 q 叫公比 公比。我来举个例子，譬如说二六三六一十八，一十八，乘一个三等于几三八二十四，五十四，这就是个等比数列 啊。这就等比数，它的首项为几，首项为二，公比为三，因为这里乘过去是乘三、三六一十八、十八。乘三等于五四，它就是个首项为二，公比为三的等比数里。 然后另外要记得叫前 n 项和，就把前面几个加在一起， s n 等于首项乘一个一减公比的 n 次方，除个一减公比。好，四个式子背一下，抄一下，等我再来拿这道题应用一下。 a 一 乘一个一减 q 的 n 次方，乘一个 q， q 公比是 q， 这个是公式， 你看嘛，这是 a 一 吧。第二项是不是乘了一个三，第三项是不是乘了两个三？第四项是不是乘了三个三？二乘三，二乘一个三，二乘两个三，二乘三个三，对吧？ 但不知道也不要紧，不知道也不要紧，我们直接套公式就行了。 好，以这道题为例，它给了一个什么东西等比竖列，所以我们要看下面两个公式，下面两个是个等比竖列的公式，对吧？ 第一句话叫什么？前四项和等于四，管它那么多，直接写 a 一 乘以个一减 q 等于四， 这有问题吗？等比数的前项和是这个首项乘以一减 q 的 n 次方啊。我们再来看第二个式子，前八项和， 那不就是 a 乘个一减 q 的 八次方，除以一个一减 q 吗？等于六十八。如果你能把这两个式子写出来，那说明高中的内容已经写完了，剩下的是初中的计算。 要说这个算不来的话，那就只能慢慢来，慢慢算。算不来吧，他要求的什么东西？公比吧，要求公比，我就得把 a 一 给消掉。我说下，一般来说，他都是用除法 一跟二，拿一和二相除，该怎么算呢？我写慢一点，一除以二的话，是 a 一 乘个一减 q 的 四次方，除个一减 q 再除以 a 一 乘个一减 q 的 八次方。除以个一减 q 等于六十八分之四。这里能看懂这个也没问题吧？嗯，不是一个分乘以除以一个分六，不着急就拿它除它跟等于它除它。 ok 啊，相处一下，然后接着我们来约嘛， 分子分母都是谁？ e 减 q 吧，约掉两个 a， 一 约掉是不是可以啊？ 约掉了就简单对对应位置的可以相互约掉，所以它就可以写成一减 q 的 四次方。除以一减 q 的 八次方等于 六十四。六十八除以个四等于一十七，哈，一十七分之一。说下除法里面对应位置的分式里面对应位置的可以相约哈，然后接着就涉及到一个分式相除，那这些都是计算技巧，计算技巧的话我们课后可以再问了。 a 分 之 b 等于 c 分 之 d 可以 写成 bc 等于 a d， 这叫什么？交叉相乘吧，交叉相乘， 所以同样的它可以写成十七乘个一减 q 的 四次方等于一减 q 的 八次方。 再展开可以写成十七减去十七个 q 的 四次方等于一减 q 的 八次方。 一项 q 的 八次方减去十七个 q 的 四次方，减加十六等于。这没办法了，他这个基本的计算还是要会算加减乘除大体的。第一题的第一问非常的简单啊，你每道题都是非常简单 啊啊啊，这个不需要学，数学也能做。你看下第一题，别看这个表格什么乱七八糟东西，他就是给了个表，对吧？我们看第一问是什么？第一问问的是不正常患者患病的概率 p 是 多少？ 他是道语文题，相当于问在不正常的人里面有病的占百分之多少就行了。 首先我们看一下不正常有多少人看这表哈，两百两百个人是不正常的吧，其中得病的有多少？一百八十人吧，所以概率就是两百分之一百吧，这五分应该能拿到手吧。 p 等于两百分之幺八零，所以等于。 不要管估计值的问题。我说我正好说下原理，什么叫估计值？咳咳，好，先写一下吧，我先把它写一下。嗯，算出来应该是等于多少？十分之九，十分之九。 他这一问问的是读懂来不正常的患者 患有疾病的概率，那你就要在不正常的患者人里面找其中得病的有一百八，所以是两百分之一百八。但后面有句话，有人有人读起来可能就那个不知道什么意思。 呃，我把它原理讲一下，就是概率这个东西，它是上帝才知道的，对吧？正常情况下我们都是不知道概率是多少。打比方丢硬币，丢硬币，我们是因为 已经作为一个上帝视角知道正面跟反面朝上的概率都是二分之八，但假如有件事情你不知道概率是多少，假设丢硬币啊，你不知道正面朝上概率是二分之一，该怎么办？我就在那自己丢， 譬如丢个十次有八次正面朝上，我是不可以认为正面朝上概率为十分之八。可以，所以我估计正面朝上概率就是十分之八没有问题。这个东西叫什么？一个叫频率，我们刚刚求那个东西叫频率， 频率的概率他可以不一样，但是只要我做的实验足够多，实验次数足够多，这个频率会慢慢的接近于概率。譬如我丢一百万次，我丢一百万次，然后这篇常识概率大概五十万，多一点点或者少一点点都有可能。 真有人做这个事情，他们就拿这个写了一篇论文来讲啊，丢这面的概率应该是接近于二分之一。 他这也是一样的，虽然我不知道真实的情况真实的概率是多少，但是我可以通过两百人来估算，不正常人中得病的概率为 十分之九啊。这第一问，这五分应该好拿吧，只要读懂了题就可以写出来。 ok， 好， 下面看第二题。第一问， pass， 它难算，主要是难算，它其实概念上不难，我们在下几个再说十七题来记东西了， 十七题立体几何。第二问，一定是见坐标系，那我们在下节课再讲如何见坐标系，如何找点，如何找那个。但第一问是可以做的好，拿出笔来记啊。 立体几何里面主要找的是线面面线线的关系。一个来说，我下面讲详细点，比如说 l 一 与 l 二 正平行。我们在上节课时候是不是讲过一般用什么中位线或平行四边形吧。中位线， 什么叫中位线啊？一个三角形里头找两个中点，这两个是中点， 把这个中点这么一连，这条线就称之为中位线。 中位线是平行于它所对应的线的，这两条两条线是平行的，线线平行。这么整好 线线先不说吧，线线主要是平面问题啊，其实只要学初中几何就行了，我们主要讲的线面和面面吧。 l 与 alpha， 第一个 l 平行于 alpha， 它需要通过什么来证明呢？我先画个图吧， 这个是平面 alpha， 这是一条直线 l， 然后这条是直线 l 撇。 你要做的是两件事，三件事情，第一个证明 l 平行 l 撇，第二个说 l 在 平面外， 第三句话说 l 撇在平面内。其中这两句话叫套化，就是我们考试时候直接写就行了，不需要去正，只要做的是第一件事正，两条直线平行，那就可以得到直线与平面平行， 然后直线与平面垂直，这个是 l 一， 另外一个是 l 二，它垂直，证明是 这条直线垂直于平面里面，两条相交直线就可以证明线面垂直，所以假这个点是 o 点哈。第一件事情是正 l 垂直于 l 一， 以及 l 垂直于 l 二，这证明过程是平面几何问题，而且一般都会比较给的比较明显。 好，然后第二件事情是 l 一 交 l 二等于一个点。第三件事情是 l 一 在平面中， l 二也在平面中， 这样写的话会简单点，大家哪个符号不清楚，可以说 l 垂直于 好，先把这两个记一下，线面关系，一条直线平行于一个平面，只要平行平面里头某一条线就行， 这是平行的证明，垂直的话要垂直于平面里，两条相交，直线才能垂直。 你把这个记好了，回头考试的时候就按照这个一二三写出来就行。不是零，是点 o， 我 换个换个写法吧。一个点 o 啊，那我换这里写个 m 点吧。好吧，那等于 m， 他 不是零啊，是，这是交集啊，就两个交于一个点，他的意思就是表示两个直线会相交，而且交点是 ok。 好，接着平面与平面，哈，平面与平面， alpha 一 与 alpha 二，如果 alpha 一 垂直于 alpha 二的话， 譬如说这样两个面它垂直关系就是你把书这样翻开，翻开一个直角，就两面垂直，那我只要证明一条线 l 垂，这是 r 一， 这是 r 二，只要正 l 垂直于 r 二就行了。 然后第二个要写的是 l 在 r 一 内，则得到 r 一， 垂直于 r 二。其中核心点，你要正，这条线垂直于它是要通过这个东西得到 线面垂直啊，是通过线线垂直，两个线线垂直，然后得到，然后通过线面垂直得到面面垂直。 这道题用的就这个，它要正的，你自己看嘛，它要正的是不是两个平面垂直啊？你大脑搜索的时候就马上想到面面垂直有这个东西，然后要正的是线面垂直， 这要记好啊，等会你看一下，做起来会很简单，就是只要背下来之后，按这个条件一二三写下来就整完了。 好，面面平行先不讲，因为它比较复杂，它内容确实太多，它要正的东西有点多，有点，我们就以这个为例，等遇到面面平行再说吧。下面就是看题想事情，现在我们看到问的是什么面面垂直？ 回到这里来，想在哪里？在这里，我要这两个平面垂直，就要这某一个平面里的一条线垂直于另外一个平面吧，嗯， 对不对？然后我们来里面找吧。先看图，先看图，这里面也是要解决第一问就可以了， p a b 这个面和 p a d 要正，红的跟蓝的垂直。你自己先看这个图，感觉一下，应该是这哪条线垂直于哪一面。 哎，高号图都都都会画的很标准的。那你 p a 垂直 abc， 你 正的是什么？正的是这条线和下面这个面垂直，你要正的是红的跟蓝的垂直，是不是？就是说 a d 是 不是垂直这个红的面？看一下像吗？或者说 a b 垂直这个蓝的面吧。 你要真的是线面垂直，好，那么下面来看一下听众给了什么条件哈，然后把它直角标一标。第一个说的是 pa 垂直于 a， b， c， d， 就是这条线 a， b， c d 的 底面，这条线是垂直整个底面的，那也就是说 pa 会垂直于这个跟这个垂直于整个底面来这个直角，这个直角有没有问题？这是第一句话给我们的， 一条线垂直于一个面，比如说这条线垂直于地面，那它是不是垂直地面上任何一条线呢？你管哪条线都垂直？然后第二个告诉我们的是这个平行不管它了， ab 垂直于 ad， 好， 第三个直角着了， 所以我们的证明过程先是正，我刚说的是 ab 垂直于蓝的吧，或者 ad 垂直于红的，都可以。第一步走， 最好还是写因为，所以，因为 pa 垂直于平面 abcd， 所以 pa 垂直于 ad， 又因为 ab 垂直于 ad。 这题目中给的，这是题目中给的，这是它推出来的，所以直接写 a d 垂直于平面 p a b， 又因为 a d 在 平面 p a d 中属于平面 p a d， 所以 a d 垂直于平面 p a d 五分到手， 先把这个记一下，先把这个记一下，等会我再说一下，现在已经三十三十五分了吧，好像平面 p a， d， a， d 在 平面 p a， d 中缺 d 写的跟 o 一 样的，所以平面， 哎，我这为什么写 a d 垂直平面啊？对，平面 p a d 垂直于平面， p a b。 好，我们来理解一下。看这道题，这两个平面垂直。搜索到这里面，面垂直要正的是什么线？面垂直吧，只要正这条直线，一条直线垂直另外一个面就行。 画到图里面，感觉这条线好像垂直这个面，或者说 a b 垂直这个面都可以正，按照条件里面给的 竖着这条线垂直整个底面，所以 pa 垂直于 ab， pa 垂直于 ad。 选一个，我选的是 pa 垂直于 ad， pa 跟 ad 垂直这个直角， 然后题目又给了后面给了 ab 跟 ad 垂直这个直角，就这两个直角，现在我们以求出来是，所以这条线会垂直于整个面，所以这两个面垂直 啊，按照要求来写就行。反正后面每次新卷子到这个地方，我又会把所有内容再来一遍啊，直到大家记住为止。好，接下来再来最后一个，最后一个哈，你会发现每道题的第一问都很简单。车十六题其实也简单，只是难算了，他要用到一个列向向销， 要有一定的计算功底。十八题，十八题已经倒数第二题了，但是就算是倒数第二题，它第一问依然很简单，以及最后题的第一问它也简单，但最后题第一问它涉及到三角函数里面比较深的东西。那就不管了， 我们看十八题啊，来记东西。上面是不是学过一个椭圆啊，一个双曲线吧。现在要讲的是椭圆，这里面涉及到图像的问题，因为他写了什么上顶点，什么左顶点下顶点，所以我们要把图先画出来， 画个椭圆，我一般椭圆都这么画的。来记下所有的点的坐标，左边左右两个点分别是 a， 负 a， 上下两个点分别是 b、 负 b 这椭圆坐标，然后它有两个焦点， f 一 f 二， 分别是负 c 跟 c 啊，这是它坐标形式，然后接着是方程， 椭圆的方程是 x 方除以一个 a 方，加上 y 方除以一个 b 方等于一。还记得双曲线的方程吗？ x 方除以 a 方减去 y 方除以 b 方等于一，它就一个加号，一个减号， 然后关系是 abc 的 关系啊， a 方等于 c 方加 b 方 啊，这是关系。我们在上面讲那个双曲线的时候，是 c 方等于 a 方加 b 方，这个一定不要记，混吧，一个是 c 大 一些，一个是 a 大 一些，这也是 a 方等于 c 方加 b 方加 c 方吧。 abc 写习惯点， b 方加 c 方 好，然后接着还有个离心率是 e 等于 a 分 之 c 好， 然后接着还有个离心率是 e 等于 a 分 之 c 好， 然后接着还有个离心率是 e 等于 a 分 之 c 啊，对吧？ 长轴这面就不是叫实虚轴了，你看再回一下我们双曲线，双曲线是 a， a 方分之 x 方，减去 b 方分之 y 方，等于一双曲线里面叫实轴跟虚轴，实轴是二 a， 虚轴是二 b。 椭圆里面长轴是二 a， 短轴是二 b， 这叫长轴跟短轴 那名词不一样，然后 abc 有 什么关系？那个 f e f 也叫焦点，还是一样的。 abc 的 关系是 a 方等于 b 方加 c 方。双曲线里面是 c 方等于 a 方加 b 方。对比一下， 离心率都是 a 分 之 c， 两个的离心率都是 a 分 之 c。 我 后面会列个表格，把这些东西整理在一个表格里头，大家可以回头对应看一下。 嗯，但这个是要背的，那这块背完之后，第一问就搞定了，就算是到了第二题了，第一问也能做出来。好，按照要求来吧。以这道题为例，在边上画个图，考时候也画一个，画个草图在边上， 它其中说离心率，第一句话是 e 等于三分之两倍根号二吧。这第一句话也就是 a 分 之 c 等于三分之两倍，根号二啊。再看第二句话，上顶点为 a， 就 这个顶点叫 a， 叫下顶点左边右边右顶点为 b， 这个顶点为 b， 然后告诉我们 ab 的 长度等于多少，等于根号十。 ok， 是 不按照要求写完了，问标准方程，什么叫标准方程？这个就叫标准方程。那它意思是什么？把 a 和 b 算出来， ok， 稍微设计一点点几何，但不读。我们来看一下。现在已经把题翻译完了，要找 a， b 等于几怎么办？ 刚刚已经找坐标哈。这个点是几？ a 吧，这个点是 b 吧，要负 b。 我 们可以把这个直角三角形拿出来， 先来这是几。第一个这样三角形搞出来之后，这个边长是 a， 这个边长是 b， 这个边长是根号式。这里能看懂吗？ 一个边长是 a， 一个边上 b， 一个边上是根号式。好，第二句话别急，我们还有一个什么东西，隐藏的条件跟关系是不是这个要抄出来的？它肯定要用到 a 方等于 b 方加 c 方， a 方等于 b 方加 c 方。第三个是 a 分 之 c 等于三分之二倍根号二。好，至此结束。剩下就是计算，我们要找 a、 b、 c 分 别是多少？ 看椭圆，只要背这几个东西，要把它图记一记，基本关系准。那直角三角形大家总会做了斜边，直角边的平方等于斜边的平方吧， a 方加 b 方等于 c 方啊，所以这里得到 a 方加 b 方等于十。 勾股定律啊，两个直角边的平方和等于斜边的平方，求解吧。 你看这里面都是谁？ a 方 b 方 c 方，那你下面要算的时候是把它改成 a 方分之 c 方等于九分之八呀，等于九分之八。然后 c 是 最没用的，因为我们目的是要求什么，求 a 跟 b 吧， 一定要知道我们求的目的是什么。题目中要求的是方程，方程就是求 a 和 b 是 多少啊？ a 以及 b。 现在这里相当于给了三个式子，剩下的是纯计算问题，这是背的关系，这叫背的 abc 三个。你像双曲线里面我也写了个关系，是 c 方等于 a 方加 b 方吧。看一下 这 c 方等于 a 方加 b， 双曲线椭圆椭圆，它是有点区别的，所以不要记混了，这两个很容易记混， 你非要知道它的关系，也不是不能解释，我可以解释一下，譬如说以这条线 算了，不解释背就行，等后面再解释，涉及到这种问题时候再说，现只要背就完了，当文科学啊算吧。 首先这边可以写出 c 方等于九分之八个 a 方啊，所以 a 方加 b 这个式子，这这个式子带过来，得到 a 方等于 b 方，加上九分之八个 a 方，对不对？把 c 方换掉 移项得到它移过去啊，一减九分之八。九分之一个 a 方等于 b 方，所以得到 a 方等于九个 b 方这第二个式子，然后把 a 方等于九，九个 b 方，再带回 a 方加 b 方等于十里面，所以得到九个 b 方加 b 方等于十，即 b 方等于一， a 方等于九。 所以圆的标准方程可以写成 x 方除以个九，加上 y 方除以一，等于一五分到手，自己整理一下。 哎，来这部分人计算了，那么算你们得慢慢算，学学会去怎么解方程。解方程的思路就是代入销源，代入销源一代少，一个一代少，直到只剩最后一个未知量的时候就行了。 哎，这样四十分能拿到手吗？应该是可以的吧，就目标是大家通过我们背的东西能把这几个式子念出来，你们有足量的时间，如果只做这四十分，有大量的时间去慢慢算这些东西。 一场考试两个小时，对吧？我们到现在大概只做了个一二三四五六七八九九道题有，但是要借的东西就更多。 你得知道椭圆的性质，其实我可以给大家讲一下椭圆怎么画的 圆，大家都知道怎么画一个点，拿根线画一圈，椭圆是墙上钉两个点，就这个 f e f， 它的焦点就跟圆心是一样的，钉住两个点，然后拿一根绳子，而这根绳子是比较软的，比较软的绳子，然后你把这个绳子绷直， 然后这么画一圈，就是个椭圆。所以椭圆的特点是什么？它的几何性质啊？是椭圆上的点到任意两点的距离之隔等于定值，就两条绿色的长度相加等于定值， 而这两条绿色的线之隔等于几呢？就等于二 a。 所以 当你这个点跑到最顶上去的时候， 这个边上是 a， 这个边上是 c。 勾股定律可以得到 a 方等于 b 方加 c 方。
9512博乐tutor
00:21查看AI文稿AI文稿作为简单题的解三角板块，今年放在一卷数学多选压轴的位置上，也是见证了无数毒狗的陨落。
2980数理化加油站
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02:51查看AI文稿AI文稿如果你是高一下学期的学生，马上就要上高二了，那我们来看下全国一届你可以做出哪些题目 好，首先第一题我们已经学过了，所以说这道题应该是可以做的。呃，还有一个呢，就是这个第二题也毋庸置疑是可以做的，是上学期学的集合，第三节做不了，第四题也是可以做的。 然后这个第五题嘛，第五题好像也是也是可以做的。 第六题他考了一个项链。项链，我看一下这道题啊， 这道题其实也是可以做的，不就是项链一个加点存储嘛。所以说这道题应该做一下也没问题。这个题目， 呃，其实你，哎做不了。呃，这个题目是可以做的。然后这个题目也是可以做的。 这个题目和浩做不了，这个题目也是可以做的。 这个题也可以做这个统计，是吧？这个统计的话我看一下啊。 那你算这个卡分和独立性检验？卡方和独立检验好像不是上学期学的。虽说我们这题也写不了这个等差数列，等比数列就更不用说了。这个题目也是可以写的。这个第十七题应该写一下也没问题，就是这个第十七题可以做的。 这个椭圆这个方程就不能写了。这个题目，嗯，怎么说呢，这个题目这些也不能写。 嗯，对，因为它设到这个涉及到这个导数。嗯，让我计算一下。 那这里五分，十分，十五分，二十分， 二十五分，三十分，三十五分，呃，三十六分，呃，四十二分，四十，呃，四十七分，然后四十七加上十七分，哦，四十七加上 十九分，十二分。所以说起码你现在写你六十二分，拿六十二分应该也没问题，其实。
13半点.
04:58查看AI文稿AI文稿接下来我们来看一下二五年天津专升本的数学真题。首先来看选择题部分吧，第一小题，当 x 趋向于零的时候，与三 x 互为等价无穷小的式。 然后我们首先就来看一下 abcd 这四个选项，做一个等价无穷小替换，看哪一个替换后的结果是三 x 吧。这个 lo 一 加 x， 它是不是就等价于 x， 然后这个 c 和 d 选项也是等价于 x 吧。然后我们再来看一下 e 的 三 x 四方减一这个 b 选项， 当这个框趋向于零的时候，这个 e 的 框是不是 e 的 框？次方减 e 也就等于框了。当 x 趋向于零的时候，三 x 也趋向于零，三 x 就 相当于一个框了，所以它就等价于三 x 选 d 选项。第二小题，求抽象函数定义的， 也是求抽象函数定义的。先要知道两个条件，那就是括号的范围是一样的。 第二个就是定义域，指示 x 的 范围。 我们首先来看这个括号的范围是零到四，那么这个括号的范围是不是也是零到四呀？那就是二， x 再大于等于零，小于等于四，那我们求定义域，那是不是就要把 x 给表示出来？那就两边同时除以一个二，左边除以二还是零，右边除以二是二，所以是零到二 c 选项。 第三小题，求微分了，微分就是 dy 吧， dy 就 等于 y 撇乘上一个 d x 吧，这个 y 撇它就是 y 的 导呗。 y 撇就等于商的导是分母的平方， e 加 x 的 平方， 一加 x 的 平方，分之，分子的导乘以分母，分子的导是常数，求导数是零，再减去分母的导乘以分子，分母的导是一 y 撇是负的，一加 x 的 平方分之一， 然后把 x 等于一这一点带进去， 一加一二二的平方是四，前面还有一个符号就是负的四分之一 d x 选 d。 第四题，不定积分的，然后这个被积函数我们可以写成一个 x 分 之一乘以一个零 x， 这里少了一个 d x， 然后我们是不是可以用凑为分法，把这个 x 分 之一给拿到 d 后面去，变成 lo x 就 等于 lo x d lo x， 这是不是用到了逆函数的符号？函数的积分公式就等于二分之一 lo x 整体的平方再加 c。 第五题，求单点区间了，求单点区间首先就要求导，然后我们首先来看一下，这个函数是一个变上限积分函数，求导 y 撇就等于对这个函数求导， 上限是 x， 求导的结果是我们只需要把这个， 只需要把这个背记函数这个 t 换成上限 x 就 行了吧。就等于三 x 平方减四， x 加一，然后整理一下，做一个十字相乘一一，嗯，这个三可以分成一和三， 一一就是负一和负一，十字相乘，负一减负三是负四没问题，那就是 x 减一乘以一个三， x 减一小于零，小于零的话， 小于零的话就是取两边，那就是三分之一到一吧。 a 选项第六小题，空间解析，几何向量的已知 a 和 b 的 模都是一，那么向量 a 和向量 b 的 夹角是三分之派，下面这四个选项与这个向量 b 垂直的，是看到垂直了，我们要想 下面的每一个选项与这个向量 b 做一个点乘，点乘的结果是零的话，那么它俩就是垂直的，对吧？然后我们先看一下这个 a 选项，与 b 做一个点乘， 就等于向量 a 点，它的向量 b 加上二分之一倍的向量 b 的 平方，就等于向量 a 点乘上向量 b， 它是不是就等于 a 模乘以 b 模，再乘以向量 a 和向量 b 的 加角呀？于弦呀？ cosine 向量 a 向量 b 的 加角，那就是 一 a 模乘 d 模还是一再乘一个 cos， 它俩的夹角是三分之 pi 加上二分之一限量 b 的 平方，限量 b 的 平方是不是就相当于是限量 b 模的平方呀？ b 模是一了还是一乘以一就等于 cos 三分之 pi 是 二分之一加上二分之一等于一。又因为 咱们首先来看一下这个 a 选项，这里是一个加号，加号的话，这里就是二分之一加二分之一，那么要是把它变成减号了，那就是向量 e 减去二分之一的向量力吧，是不是这就变成了二分之一减去二分之一了，是不是就变成零了呀？所以我们直接选 d 就 行了， e 和 c 就 不用看了。好，这是选择题部分。
38野生发呆选手
09:03查看AI文稿AI文稿同学们大家好，那我们这个视频讲一下去年的这个二卷。那首先我们来看一下这个第一题，那很简单，那对应让我们求一个平均数，那不就是这几个数相加，再乘以个数吗？那对应这几个数相加， 那我们再除以一个五，那六十除以五是十二，那所以我们选 c， 我 们来看第二题，那第二题主要是考的一个负数，那类似于 z 等于 a 加 b i， 如果技术不好的同学呢？我们直接记记住 i 的 平方等于负一，知道这个就可以做这一题，那 z 减一分之 一，那我们该怎么做？那首先 z 是 不是等于一加 i， 我 们可以写成一加 i 减一分之一，那对应就等于 i 分 之一，对不对？那注意，那给大家举个例子，比如说我们根号二分之一，是不是可以要写成二分之根号二，那我们这个叫什么？我们这个叫做有理化， 那对应我如果遇到 i 分 之一，我们要实数化，把这个 i 变成一个数字吗？那怎么变？我们是不是刚刚讲了 i 的 方等于负一，那这里我们就分子分母同成一个 i， 对 不对？ 那我们的分母是不是变成 i 方，分子还是 i， 那 我们化简一下，负一分之 i， 那 是不是等于负 i？ 那 所以我们的第二题选 c， 来接着看我们的第三题，那已知集合 a， 那 集合 b， 那 集合 b， 这里不是集合的描述法吗？那已知表示的是 x 的 取值，那 x 的 三次，我们先来这边， x 的 三次方等于 x， 那 我们是可以得到 x 的 三次方减 x 等于零，那我们来解一下这个，那怎么解？那首先我们提一个 x， 那 变成 x 的 平方减一等于零， 那大家看一下我们还能不能继续分解？那对应是不是这里可以分解成 x 加一乘以 x 减一等于零，我用的哪个公式？ 平方差公式， a 方减 b 方，那等于我们的 a 加 b 乘 a 减 b， 那 对应我们这里，那哪个数相乘等于零呢？那对应是不是可能它为零，或者可能它为零，或者可能它为零，那从而我们可以解出 x 一 等于零， x 二等于负一，那 x 三是不是等于一？那所以我们可以得到，其实奇和 b， 那 也就是零负一，一对不对？那这里 a 交 b 取交集，那就是找相同的部分， 那大家看一下，那首先零是不是算一个？那对应一是不是算一个？那所以它们的交集是什么？零都好，一， 那对应我们的答案选 d。 那 接着我们看一下这个第四题，那已知不等式 x 减一分之 x 减四大于等于二的解集，那先给大家演示一下错误做法，那有同学我们拿到题目，直接 两边同乘 x 减一，那直接写了一个 x 减四大于等于两倍的 x 减一，对吧？然后再继续往下做，大家记住这个做法是错误的。那为什么给大家举个例子，大家就能明白？那 负三分之 x 大 于零，大家告诉我这个解出来是什么？是不是 x 小 于零对不对？那如果是三分之 x 大 于零，我们解出来是什么？是不是 x 大 于零？那大家思考一下这俩式子有啥区别？ 那其实是不是就是告诉大家，两边同乘一个负数的时候，我们要改变符号，两边同乘三乘正数的时候不需要改变符号， 那所以这一题我们不能两边通出。 x 减一，那是为什么？那因为我们并不知道这个它的大于零还是小于零，那如果是大于零，我们是不需要编号，那如果是小于零，我们是不需要编号，对不对？那所以我们该怎么做呢？在这里，那首先大家要知道这个式的 a 分 之 b 大 于零，我们可以得到什么？那大家想一下，我两个数相除大于零，那对应我们是不是相乘肯定也大于零？那其次我们这里是大于等于，那对应我们还要再加个条件，那对应是大于等于，并且我们的分式分母不能为零， 那对应我们这一题又发现一个问题，那我右边这边是二，那怎么办呢？那所以那我能不能把它变成零呢？那我把二移到左边，那是不是就可以变成零？来给大家写一下，我们写到这边， 那对应怎么变？那我们是不是可以写成 x 减一分之 x 减四减二，答案等于零， 那对应我们这个二，我们给它通分一下，是不是可以写成 x 减一分之两倍的 x 减一大一等于零，那继续化简，那写成 x 减一分之 x 减四减二 x， 那 对应再加上我们的这个二 大一等于零，那我们接着继续化简，是不是可以写成 x 减一分之负 x 减二，那对应大一等于零，那写到这以后， 那对应我们是不是就可以得到？那首先得到两个嘛？那一个是负 x 减二，乘以 x 减一大于等于零，那其次还有 x 减一不等于零，那大家把这个式子给解一下，它这边比较，把这边擦掉， 那对应我们可以得到这个 x， 对， 我们刚刚这边 x 减一不等于零，那我们来解一下，那这个式子怎么解？ 那是不是就是 x 加二乘以 x 减一小二等于零，那对应解出来，那这边是一个负二，这边是一个一，那所以负二小二等于 x， 小 二等于一，那这边是 x 不 等于一，那最后是不得到负二到一，那对应我们是左闭右开， 那所以我们选什么？那对应我们是不是选 c， 对 吧？那其实我们用排除法也可以做，那首先这种做法是错的，取出来肯定不是一个单项的，那其次分母不能为零，那 x 肯定不能为一，那所以也可以知道选 c。 那 第五题， 在三角形 a、 b、 c 中， bc 等于二， ac 等于一加根号三， ab 等于根号六，让我们求角 a 的 度数，那对应大家看到这个边和这个角，那想立马想到的是什么？那应该想到的是我们的余弦定力， 那我们来画一个图，那这是一个三角形 abc， 那 对应我们说 bc 等于二， ac 等于一加根号三，那 ab 等于根号六， 那对应我们来看一下，那大家记住那角 a， 那 我们先讲一下这个余弦定律， 角 a 对 应的边叫做 a， 那 对应我们角 b 对 应的边， 角 a 对 应的边，我们是 a。 角 b 对 应的边，我们叫做 b。 角 c 对 应边，我们叫做 c， 那 就拿这个 这题举例，那假如说我们想算口三 a 该怎么做，那就等于我们的二 b， c 分 之 b 方加 c 方减 a 方。大家记住这个余弦定的式子，那其实很简单，你看我这个 bc 是 不是两个邻边，这个 a 是 不是对边？那你只要记住一个，那其实口三 a b 你 也能记住，那对应也就是二 a c 分 之 a 方加 c 方减 b 方。 那我们来看我们这一题，知道这个式子以后，那最后这题目就很简单，我们要求这个 a， 那 对应是不是口三 a， 它就等于两个邻边二根号六，再乘以这个一加根号三， 那对应我们上面是根号六的平方，加上我们一加根号三的平方，再减去二的平方，那等于什么？那我们给他化简一下，那这边二根号六，一加根号三， 那对应这边六，那对应加这个一加二，根号三，那加三，再减去我们的四，给大家算一下，六减四，那二，那对应二再加一呢？其实这边可以得到是对应的六加二倍根号三， 那我们再进一步化简，那对应可以得到那分子分母其实可以抵消掉一个二吗？那这边还剩三，那三加根号三，那对应这边是根号六乘以一加根号三。 那其实写到这里大家有没有发现什么规律？我们如果分子是不是可以提个根号三出来，那对应是不是可以写成根号三加一，那对应根号六乘以一加根号三，那抵消抵消那根号六分之根号三等于什么？ 那对应我们根号六，是不是可以拆成这个根号二乘以根号三抵消抵消，那所以是根号二分之一，那从而等于二分之根号二。 大家想一下，三角形是在零到一百八，对不对？那对应口三等于二分之二的是多少度？那是不是四十五度？那所以我们选什么？那所以我们第五题选 a， 这个就是我们前五题。那前五题还是很基础的，大家可以看一下。 那我们明天的话，我们再讲解我们的这个五到八题。
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