天津高考数学题解析

解三角形之边角转化技巧五，大家好，今天咱们来分析咱们解三角形过程中边角互化的第五个技巧，第五个技巧也就是咱们预正切切划弦， 再变成整式预正切切化弦。当然这个技巧咱们在前面上学期学三角函数部分的公式的一些化简的时候也是有技巧的。那咱们来看这道例题。首先已知条件，咱们可以直接看到这儿，前面这一直都是角 a、 b、 c 对 的边就是分别是 a、 b、 c， 那 么这个条件之后需要咱们去求 cosine b， 那在这个式子里，咱们能明显地看到这儿是有一个正切，它是它 b， 所以 咱们二话不说，咱们直接遇到正切切划弦，所以这个就可以变成 a 乘上散 b， 除以 cos b， 那么到这一步之后，当然这是咱们切化弦了。其余的前面的技巧咱们还是一样适用的，因为这个题里边他既有边又有角的一个式子，所以咱们还是首选边化为角，那么边化为角，那现在咱们看角 b b 边，咱们可以写为三倍的散 b， 散 a 就 等于散 a sin b， 再除以一个 cosine b， 当然 cosine b， 咱们可以两边同时乘它 cosine a， cosine b 就 等于 cosine a， cosine b。 在三角形里面，咱们都知道三 a 和三 b 是 不会得零的，所以三 a 三 a 可以 消，三 b 三 b 也可以消，从而咱们就得到三倍的 cosine b， 得的是一，所以 cosine b， 那 么就是三分之一，所以咱们这道题就迎刃而解了。所以这是咱们的第五个技巧，遇到正切，咱们切划弦。

今天我们来对二零二五年天津高考卷进行的数学进行一个题目分析。首先我们看第一题，读第一题的时候，我们首先锁定了全集集合，还有补集，然后呢，这三个集合呢，它都为 有限级，然后呢再通过算并级补级，这就是第道题的这个题目分析。然后我们看第二道题， x 属于所有实数，则 x 等于零，是 c， 二 x 等于零， c 二 x 等于零的时候，二 x 等于 k 派，所以说 x 等于二分之 k 派， k 属于 z。 然后呢，我们看题目，它是求就是充分必要的，那我们设 x， 零是条件 a， 然后呢？ 呃， crs 等零零条件 b， 然后如果，如果 a 的 条件下 b 成立，那么，那么那么的话 a 就是 b 的 充分条件，然后以此类推来做这道题。然后我们来看第三道题，第三道题我们进行题目分析，然后它就是看图像，然后来求解析式。 首先我们来可以看出来这个图像它是关于外轴对称的，所以说它是偶函数，它是偶函数，我们这种题一般是用排除法来做，它是偶函数，就可以排除 a b 选项。其次呢，就是它在负一和一处不取值， 所以说它就是 x， 它不等于正负一。然后再一个，嗯， x 大 于一， x 小 于负一，以及 x 在 负一和一之间都是有相对的函数的， 然后我们可以通过代入特殊值呀等等，然后来排除，或者就是怎么去做，然后来选出来这个第三道题的答案。然后 我们来看 c、 d 选项的区别， c、 d 选项呢，它都是偶函数，但是 c、 d 选项呢，分母一个是一减 s 方，一个是 x 方减一，也就是说这个 x 它取 c 选项， x 它取大一的数的时候，一减 x 方就是小于零的，这是和 d 选项不同的一个区别。 然后我们看第四题。第四题 mn 为两条直线，奥法贝塔为两个平面，然后看 ab 选 abcd 的 选项，然后 a 选项， 我们可以看出 a 选项是靠线面平行的一个性质，也就说 m 平行于 a， 然后 n 属于这个 a， 那 么 m 平行于 n， 那 么我们知道这个线面平行的话，就是，嗯，这个 m 这条直线，它平行于 a， 那 么嗯，过 m 做一个平面交阿尔法平面，然后为 l， 如果此时 m 平行于 r， 那 么 m 就 平行 n， 然后我们看 b 选项， m 垂直于 alpha， m 垂直于 beta， 那 么 alpha 就 垂直于 beta， 这个显然是错误的， m 垂直于 m， 同时垂直 alpha， beta， alpha 和 beta， 显然它是平行的。然后我们来看，然后我们来看 c 选项， l 平行于 alpha， 那 么我们可以知道，通过 m 做一个平面交 alpha 与 l， 那 么 m 平行于 l， m 又垂直于 beta， 所以 说 l 垂直于 beta， 所以 说可以得到 alpha 垂直 beta， 我 们看 d 选项， m 属于 alpha， 然后呢？ alpha 垂直于 beta， 那 么 m 就 垂直于 beta 吗？这个在面面垂直里边，这个 m 需要是 alpha 和 beta 的 一个交线，我们可以看第五题。第五题 a b 选项涉及正态分布，向 new 的 话， x 等于 new， 就是 这个图像的对称轴，然后 c 它 c 它越小，这个图像越陡峭， c 它越大，这个图像就是越胖。然后 c d 选项，嗯， 相关系数的绝对值， c 选项越接近一，相关性越强，越接近零，相关性越弱。然后第六题的话，我们通过读题， 然后我们可以提取 a n 等于 s， n 减 s， n 减一，然后 n 大 于等于二的情况下，并且 a 一 等于 s 一， 它求的是 a 音绝对值的前十二项和，然后注意把 a 音求出来之后就是求前十二项和的时候，避免直接代入 s， 嗯，因为就是可能 a n 可能是负数，也可能是正数。然后我们来看第七题， 第七题， f x 等于零点三 x 方，减根号 x， 零点三 x 方，它是一个递减函数，根号 x 是 一个递增函数，那么这道题只有一个零点。 通过取不同的值，然后使这个 s 在 这两个，在嗯，这两个这个区间的范围内，嗯，存在零点。然后第八题的话， 通过对称轴和对称中心绝对值的差的绝对值的四倍，等于这个周期，然后我们可以算出来周期周期，然后嗯，进而可以算出来这个 omega 的 值，然后通过这个递增的这个范围，我们也可以求出来这个斐的值，求出来这个 f s。 然后第九题呢，我们通过分析题目左右焦点分别为 f 一， f 二，然后它又以 f 二为焦点的抛物线，所以说我们可以得出来二分之 p 等于 c， 然后通过题目这个双曲线， p f 一 点， p f 二绝对值等于二 a， 然后它求若 p f 一 绝对值加 p， f 二绝对值等于三 f 一 f 二绝对值是 等距离的，绝对值等于二 c， 然后它有求离心率， e 等于 c， 比上 a， 注意这个双曲线的离心率是大于一的，就是这九道题的题目分析。

河东区的二模数学考试考完了，大家普遍反应有点难，有点怪，这个事学生反应的对不对呢？我亲自做了一下，同时也让我们和平的学生实际的操作了一下，的确，河东的学生说的还是比较准的，从专业角度来说呢，我给大家做个点评啊。 这次河东的考题，总体感觉后三道大题是一个简单题，前面的小题倒设计了很多障碍，你比如说像选择题，从第六题开始，有些学生就做的还是不顺，像第六题考个双曲线，他考的是什么考点大家不知道呢，是点叉法， 这种方法其实在学生上高二年级的时候，各个学校都讲，还都把它当成一个简单的考点叉法。这种方法其实在学生上高二年级的时候，各个学校不怎么考点叉法， 这十来年的都不带考的。这次河东的二毛忽然间考了一个高二年级的点叉法，导致有很多学生不会做，就觉得很困难。甚至据说啊，听有些个河东的老师在讲，他说有的学生做第六题时不知道用点叉法，结果就把它当成一个大题去做， 直线跟双引线连立写的那一堆啊，最后十分钟耗没了，也没写出来。有的家长很会问，这种考法会在高考里考吗？我只能告诉您，在二零二三年的时候，那个例题几何小题曾经就考过，高二的那种考法就是等体积法。 那么现在呢，河东区把高二年级的考法设计在了圆锥曲线双曲线上，到咱们二零二六年的天津高考，说不定还真有可能会这么干， 所以大家还是会的，然后等到第七题呢，考个平面向量，这个呢，考生脑子里一心想，平面向量不就是肌底间隙这道题啊，你拿肌底间隙啊，大面上能劣势，但是算着算着，忽然间你又被掐了，掐哪了呢？这个第七题考了一个，在二零一九年之前就废弃掉一个考点 叫什么呢？叫做宪性规划。宪性规划这东西现在目前在咱们考官上是没有的，但是这道题把宪性规划思想搬出来，有些考生受不了，因为平时做题都没见过， 甚至可以说，这三年高中咱们的学生们都不知道宪性规划是啥，都没听说过这东西，也没做过这样的题。哎，这次河东的二模就考这个，好多河东孩子不会，和平和西的学生照样也不会。 你说看完答案难吗？不难，看完答案他能理解，但就是自己想不到，这很正常，家长因为他平时不怎么练这个东西。 那么等到第八题，又出了一个明数理数学兴趣小组，有同学一看这个明数理就害怕，为啥呢？因为河东区的一模， 当时出这个明数理数学小组，是把一道数学题和物理题就是那滑动变走器那道题揉在一起的。当时大家对明数理数学兴趣小组就是又爱又恨。 这次二模又出了明数理数学小组，所以有的同学一看这名字就有抵触情绪，再加上第六题，第七题，他就感觉更加抵触了。他读完题之后，他发现，哎呀，这道题考的是啥呢？是考的提升价格的百分比，然后问你哪个题价方案最多？你要说单纯的考试的考点， 这道题无非是高一年级上学期的内容，按理说挺简单的吧，但是有一些学生像 和平的学生给我讲，老师，我做这种题啊，呃，你要是把那个百分之 m， 百分之 m 给我换成数字，我会做。你要是弄成百分之 m 这种抽象的，我的感觉很挠头，想不通。就是有一些同学这个抽象能力不达标，所以做这题也挺费劲 的。所以您看啊，现在六七八这三道选择题，就会使得咱们中等生感觉不那么容易了。第九题有时候读完之后发现不会行了。 周党学生四道选择题都是模棱两可，做的好纠结，您说一共九道选择，他有后四道都做的不顺， 他什么心态？是不是有点崩了，就有点不想考了？就这种感觉，但是我不得不考，于是开始做填空题， 题目题的第一题也就第十题还好说，正常辅助做到第二个二项式定理的时候，那里面带着根号。有同学就开始毛躁了，因为前方浪费太多时间了，前方心态已经崩了，然后做到这个第十一题草草了事。有的人还可能算错了， 做到第十二题，一看谁跑五线，根源不难啊，这好做啊。结果到最后一步，居然有人给算错了，有人算的数老么老么复杂了， 什么原因？他把直径那个数字当半径使了，就他大脑转不过那弯来了，这脑子已经被前方四个选择给搞迟钝了，结果倒成这个答案他写错了。其实就错那一个环节，就是那个把半径用直径的数给带了，就错这一点，导致后边完了这五分又没得， 然后紧跟着到这个第十三题这样的概率题。按理说这概率题也不难吧，但是这个河东这道概率题，刚刚好好就把各个中学里面讲排列组合的软肋给考出来了。什么？ 组合数相乘一定是没有排序吗？有的考生甚至你问些老师，你问他组合数相乘是不是一定没有排序。 有的老师说，当然了，组合数怎么没有排序呢？组合数它只是不记顺序，情况这句话就说错了，组合数相乘在某些情况之下也是记顺序的。 有些老师学生都搞不懂这东西，导致这个十三题他做的很模棱两可，很纠结。有的人就因为这一瞬间脑子没想明白，排序还没排序，他不知道，他没答案，他也不知道，结果一堆答案错了， 这十三题错了，等到第十四题就更坑了。十四题考的这个题啊，和去年的核心一模的选择题，最后一题是高度相仿， 考到啥呢？就是问那个四点共面的这个问题怎么拿向量表达。有的人早把这个事情忘掉了，甚至根本就没做过去年核心一模的选择的最后一题，导致这个题也不会做。当然主要是第二空不会做啊，第一个空还好说，第二空他做不出来。 除此之外，后面的大题，我们感觉最后三个大题是比较简单，比较容易做。前面两个大题考的考点虽然跟咱们正式天津高考没啥区别，但是学生做起来依然不顺。比如说像第一道大题解三角形 那个第三问求那第一茬，你不能只盯着那小三角形，你得看那大三角形，他第三问得用上，第二问的所求的结论呢？ 有的孩子受前面题的影响，脑子已经犯蒙了，他只盯着那个小三角形，结果吭哧吭哧吭哧老半天，他也算出来了，但是耗费时间太长了， 所以有的人做这十六题就感觉那么不顺呢，你想十六题他就不顺，他坐后边的话，他心里肯定害怕，他觉得我记得怎么回事，是不是我状态不好，是不是哪算错了，是不是哪没意识到，他就会这种感觉会涌上心头， 那就会让他带着这种害怕感去做后面几。一到第十七题，有一些头脑图像思维，或者叫做空间思维不太好的孩子，看着这个图想建个坐标系，感觉那个困难呢。 有的同学就告诉老师，这个图啊，你看啊，他命题间摆放的位置不好，他要给我拧过来，我做的就倍顺，他不拧过来，让我自己在脑子里给他拧过来，他就特别费劲，他写坐标就特别费劲。 有相当于孩子是因为这个原因。十七题，这个空间下面这个题做的也不太好，或者做的比较拧巴，倍纠结，也不知道自己做的对不对，然后就感觉有恐慌感上来了。 前面十七个题已经把你的大脑耗费的精疲力尽，到后面做十八、十九、二十。虽然说这些题的难度不大，比咱们天津高考正式考题要简单多了，但是咱们同学已经被累趴下了，所以有的人十八、十九、二十，恐怕也没多少时间在考场上做了。 总体来讲，河东区的二模的这个题，我不能说他本身考知识多难，但是他一定起到了一个作用，就是卡住学生的得分，他想不让你得分，他在很大程度上就能卡住你。所以河东二模的这套卷子把学生的分往下拽的这个作用起的是非常大。 对于咱们非河东区的所有的考生吧，如果说你想让自己的大脑得到一定程度的润滑，让自己的这个思维敏感度变高，我是非常建议你领一下咱们河东区二模这套试卷和答案。

小尚同学这期视频讲解，现在我们讲解二零二五年听题卷数学第十八题。已知椭圆的左焦点为 f， 右顶点为 a， p 为直线 x 等于 a。 上一点 假设 p 在 这，且直线 p f 的 斜率为三分之一， 那么也就是 p a 以上 fa 就 等于三分之一。 三角形 p f a 的 面积为二分之三，也就是二分之一乘以 fa 乘以 fa 就 等于二分之三。离心率为二分之一，也就是 a 比 a 等于二分之一。 第一问求椭圆的方程，我们根据这两个式子可以知道，二分之一乘以 f a 就是 a 加 c， 再乘以 p， a 就是 三分之一 f a 三分之一倍的 a 加 c 等于二分之三。 化简可以得到， a 加 c 就 等于三。又因为 c 比 a 等于二分之一， 所以 a 就 等于二， c 就 等于一。就因为 a 的 平方等于 b 的 平方加 c 的 平方，所以 b 就 等于根三。因此椭圆的方程为 x 的 平方比四加 y 的 平方比上三就等于一。 现在来看，第二问过点 p 的 直线与椭圆有唯一交点 b e 于点 a， 这是点 b。 求证 p f 平分角 afb， 也就是这两个角相等。那么要证 p f 平分角 afb， 也就是证明 tan 的 角 bfa 就 等于 tan 的 二倍的角 pfa。 因为 penning 的 角 p f a 就 等于三分之一，所以 tanning 的 二倍角 p f a 就 等于二倍的 tanning 的 角 p f a 比上一减去 tanning 的 平方角 p f a， 它就等于二。乘以三分之一，比上一减去 三分之一的平方就等于四分之三。所以要证 p f 平分角 a f b， 也就是证明它硬的角 b f a 等于四分之三， 也就是证明直线 b f 的 斜率 k 等于四分之三。我们现在知道点 f 的 坐标是负一零，所以现在需要将点 b 的 坐标给求出来。 我们要求点 b 的 坐标，还需要先将点 p 的 坐标给求出来。因为 a f 它的长是三，所以 p a 的 长是一，因此点 p 的 坐标是二。一 设值线 b p 的 方程为 y 减等于 k 倍的 x 减二，与椭圆方程 x 的 平方比四，加 y 的 平方比三就等于一。进行连理整理可以得到 四 k 的 平方加三，乘以 x 的 平方减去八 k 乘以二 k 减一， x 加上八倍的二 k 的 平方减二， k 减一，等于零。因为直线 p b 与椭圆只有一个交点，所以判别式得它就等于零。 也就是六十四 k 的 平方乘以二 k 减一，椭圆的平方减去三十二乘以 四 k 的 平方加三，再乘以二 k 的 平方减二， k 减一就等于零。我们可以解得 k 等于负二分之一， 因此 x b 就 等于八 k 乘以二 k 减一，比上二倍的四 k 的 平方加三，它就等于一。 我们再将 x b 等于一，代入 y 减一，等于二分之一倍的 x 减二中可以得到 y， b 就 等于二分之三，因此点 b 的 坐标是一二分之三。 又因为 f 的 坐标是负一零，因此直线 b f 的 斜率为二分之三，减零以上一加上一就等于四分之三。 所以 tan 的 角 b f a 就 等于 tan 的 二倍的角 p f a， 因此角 b f a 等于二倍的角 p f a， 所以 p f 平分角 afb。

好，各位同学，大家好，我是你们高中生老师学生兵，今天呢是我们睡前系列的第一百五十七天，我们看和平二摸的这个概率题啊，这个概率小题还是挺简单的，他说现在有八个实验产品，其中三个不合格，五个合格，若每次抽一个，直到三个全部测出为止， 则最后一个不合格的这个产品在第四次测试中被发现， 也就是最后一个在第四次，那前两个就已经发现了，那么连续三个就停止。所以如果有第四次证明前面两前面这三次啊，一定是两个不合格和一个合格， 那你想两个不合格就是 c 三二，一个合格就是 c 五一，他们这三个就会有三种排，就是会排列一下，对吧？那么就是 a 三三， 那这就完事了，所以说一共是三乘五乘三乘二九十， 最后在最后一只正好被发现啊，在第四次被发现的条件下，那这就是 a， 第二次是合格的这个概率，因为我们前面不说过吗？它里面有一个合格的，这个合格的呀，这个 a 三三就是他们的这个排列。然后呢，他现在只要他在第二次， 那么条件概率 p b a p a b 比上 p a， 而这个 p a 和 p a b 它们的分母都是一样的，所以我们就可以理解为是它们情况的之比啊，它们可能性之比。 呃，那它们这个情况之比的话，这就是九十，而上面呢？ a b 同时发生，第四次被发现， 第二次是合格的，那你会发现现在三个位置，第二次肯定是合格，那这两个不合格就是两个位置，就是 c 三二， c 五一 a 二二，那就是三乘五，乘二底下是九十。 呃，那上面就是三十啊？底下九十，那答案是三分之一，这么水是吧？好，这是我们这道题。

天津和平区高三二模数学试卷新鲜出炉，今天咱们不搞学霸视角，不聊偏难怪题，就站在中等生的角度，聊聊这套卷子到底藏了哪些题型好，哪些题是送分，哪些题是拉分关键。首先说整体，这套卷百分之百对标天津高考，百分之七十的题都是基础占中等题。 对中等生来说，只要基础不飘，一百多分完全有机会冲。他最妙的地方是把区分度藏得很温柔，不搞那种看一眼就放弃了压轴题，而是把难题拆成了挑一挑就够得到的小台阶，特别适合中等生查漏补缺。 先看两道基础但反套路的题，这是学生最容易丢分的地方。第四题，函数题，很多同学看到周期对称，单调性就头大。 其实这题的亮点是不用画图直接搬家转化，把 f 四点五换成 f， 零点五， f 三换成 f， 一 瞬间就变成了比较零到二的单调性，直接秒出答案。这就是学生要练的转化思维，不是硬算，而是把陌生题变熟悉。 再看十一题二项式定律，很多同学总觉得这种题要背复杂公式，其实他考它就是基本功， 通向公式套进去。注意 x 乘根号 x 是 x， 二分之三，方令指数为零，算出二点六常数项直接出来。他在提醒大家，别总想着刷难题，把这些技术题练到零。十五，性价比往往比 亚洲题性价比高多了。接下来看解答题的必答分命题，第十六题解三要素和第十九题数列是天津考考的固定题型，也是中等数的得分关键。 先看十六题，这题的亮点是每一位都给你留了后路。第一位求坛的 b， 哪怕你正弦距离没背熟，只要能把 b 等于 c 加三分之派展开算出坛的 c 就 能拿出步骤分。第二位给了 b 等于三，只要直接套公式就能算面积。 第三位，就算前两位算错，只要你会 cos 二 a 加四分之派的展开式，也能拿步骤分中等生。记住，这种题，步骤写全比结果更重要。 再看十九题初列这题的递推公式，很多同学看着就怕，其实他的第一位用累加法就能直接解决。把递推式两边除以 n 乘 n 减一，就能得到 n 分 之 a， n 减去 n 减一分之 a， n 减一，累加起来直接出通项。 后面两位的分组求和不等式，证明哪怕你不会全做，把通解公式写出来，把 s n 的 表达式列出来，也能得一半的不等分。 再看看中等生的拉分主战场。十八题椭圆题，这题很多同学直接放弃，但其实他的门槛很低，前两位完全可以拿完。 第一位求椭圆方程，已知左焦点 f 负二度零点 a 负二根号二在椭圆上直接代入，就能算出 a 方和 b 方，五分直接代入 第二问，看着复杂，其实只要你会设切线方程，连的判别式等于零，再用点斜式写出 p f 的 方程和过圆点的平行线连的，就能算出 q 点坐标，最后用斜长公式求 p q， 哪怕你最后算错了，把连的过程判别式步骤写出来，也能拿八到十分。别空着墙太多了。 说句实在的，这套卷对于中等人来说，不是用来打击的，而是用来找信心、找漏洞的。 只要你关注的不是最后两道压轴题没有做出来，而是前面的基础题有没有粗心纠分，中档题有没有思路卡顿，需要我把这套卷学生必答题清单和易错点整理出来吗？评论区扣一我直接发给你。

解三角形之边角转化技巧二，大家好，今天咱们接着来分析咱们边角互化的答题技巧与方法。 咱们说边角互化啊，咱们之前一个视频中讲到了，咱们都是拿到一个题之后，首选边化角，就可以进一步去用咱们的一些定律，一些公式。 另外一个技巧，也就是说咱们前一个视频中讲到的三个角变成两个角或者是一个角的目前讲到的这两个技巧，咱们今天来看一个这道例题，而且这道例题啊又有什么需要咱们注意的地方？ 那么道例题首先给了已知这个式子，给的是一个分式，但这个分式里边还是既有边又有角啊，依旧贯彻咱们前面讲的原则，所以呢，这个 a 可以 写成二 r 散 a， c 呢？咱写成二 r 散 c， 那 么这道题进一步就变成散 a 比上扣散 c 等于散 c 比上扣散 a， 那 么这一步之后，咱们都知道我肯定要交叉成了，所以那么也就是散 a 扣散 a 就 等于散 c 扣散 c。 到这一步之后，咱们来看看，首先呢咱们利用咱们第一个原则，把边画成角，然后运用咱们的公式，到这一步之后，咱们看看需不需要用咱们讲的第二个原则，也就是三个角变为两个角或者一个角，那么目前来看这个里边只有两 个角角 a 和角 c， 所以 咱们不涉及到三个角的问题，那么这个咱们技巧又可以不。那么接下来咱们分析到这之后，如果说咱们这个三角恒等变换掌握的不错，肯定能想到这是二分之一的三二 a， 那么右边呢是二分之一的 a 二 c， 好， 那么到了这一步之后，二分之一咱们肯定可以约，所以从而得到 sin 二 a 等于 sin 二 c。 那 么再接下来，哎，就是咱们的易错点来了，在三角形中出现这个条件之后，很多同学可能就直接写二 a 等于二 c， 但是在这就丢结了，俺们说在三角形里边，俺们说 abc 这些角的范围呢，全都是零到派，那么根据三角形的角，三角形相等之后， 如果这道题稍微变一下，变成三 a 等于三 c， 那 咱们立马得出角 a 等于角 c， 没问题啊，对，三角形里的角，咱们说，呃， 那么你的散值相等是可以跟角等转化，也可以跟边等转化的啊，那么本质上就是它可以从正弦定里去推出来。那么现在为什么到二 a 这就推不出这个二 a 等于二 c 了呢？什么都知道，咱们现在画一个散的公式啊，散正弦函数的图像，那么正弦函数的图像呢？咱们说在零的二派是长这样的， 那所以你看看咱们对应的三元值相等的话，它们这两个除了可以相等之外，另外咱们还得注意，或者是二 a 加上二 c 也可以相加得派啊，就是这两个 r 与这个对称轴对称， 也就是你比如说六分之派，那么和六分之五派的散元值就是一样的，三分之派和三分之二派的散元值就是一样的。所以在这来说，咱们要注意这个易错点，出现三二 a 等于三二 c， 那 么咱们是有两种情况的啊，和出现三 a 等于三 c 是 不一样的， 那么这两种情况咱们就一一分析出来，前面这种情况是 a 等于 c， 这是没问题的，但是后边这种情况，那么也就是 a 加 c 就 得 二分之派了。所以这道题的正确答案啊，咱们要么是 a 等于 c， 那 它就是一个等腰，那么 a 加 c 的 二分之派的时候，那也就是说角 b 就是 九十度，所以它就是一个直角三角形。所以这道题的正确答案，咱们是选四 d， 而不是直接选择 a， 而不是直接选择 a， 这是咱们在解三角形中的一个非常易错的点。注意 sin 二 a 等于 sin 二 c 跟 sin a 等于 sin c 的 区别。

小尚同学真题视频讲解现在我们讲解二零二五年天津卷数学第十四题。三角形 a、 b、 c 中 a、 b、 c、 d 为 ab 中点 向量 c、 e。 等于三分之一向量 c、 d， 这是 e。 向量 ab 等于向量 a， 向量 a、 c。 等于向量 b， 则向量 a、 e 等于多少？ 向量 a、 e 就 等于向量 a、 c。 加向量 c、 e 就 等于向量 a、 c。 加三分之一向量 c、 d。 就 等于向量 a、 c。 加上三分之一 乘以向量 ad。 减向量 a、 c。 就 等于三分之一向量 a、 d。 加上三分之二向量 a、 c。 就等于六分之一向量 ab 加上三分之二向量 ac， 就 等于六分之一向量 a 加上三分之二向量 b。 若向量 a、 e 的 模等于五， a、 e 垂直于 c、 b， 则向量 a、 e 乘以向量 c、 d 等于多少？我们知道向量 c、 d 就 等于 向量 a、 d。 减去向量 a、 c。 就 等于二分之一向量 ab。 减去向量 a、 c 就 等于二分之一向量 a 减去向量 b， 所以 向量 a、 e 乘以向量 c、 d。 就 等于六分之一向量 a 加上三分之二向量 b 乘以二分之一向量 a， 减去向量 b， 它就等于十二分之一 向量 a 的 平方减。八倍的向量 b 的 平方加上二倍的向量 a， 乘以向量 b。 现在我们要求向量 a、 e 乘以向量 c、 d 的 值，也就是求这个代数的值。 因为向量 a、 e 的 模等于五，所以六分之一向量 a 加上三分之二向量 b 或者的平方就等于二十五。整理可以得到 九百。就等于向量 a 的 平方加上十六倍的向量 b 的 平方加上八倍的向量 a， 乘以向量 b。 我 们记这个方程为一， 又应为向量 a、 e 垂直于向量 c、 b， 也就是向量 a， e 乘以向量 c， b 就 等于零。记 六分之一向量 a 加上三分之二向量 b 乘以向量 c、 d 就 等于零。 向量 c、 d 就 等于向量 a 减去向量 b。 所以 六分之一向量 a 加上三分之二向量 b 乘以向量 a， 减向量 b 就 等于零。 进行整理可以得到这个式子，为向量 a 的 平方减去四倍的向量 d 的 平方，加上三倍的向量 a 乘以向量 b 等于零。我们记这个方程为二。 由刚才的一式以及这个二式，它俩连立可以得到两千七百就等于八十相当 b 的 平方减去五倍的相当 a 的 平方。整理可以得到十六倍的相当 b 的 平方， 减去向量 a 的 平方就等于五百四十。根据这个二式，我们可以得到向量 a 乘以向量 b 就 等于四，向量 b 的 平方 减去向量 a 的 平方。比上三，我们刚才得到了向量 a， e 乘以向量 c、 d 就 等于十二分之一倍的向量 a 的 平方减去 八倍的向量 b 的 平方，加上二倍的向量 a 乘以向量 b。 那 么将这个式子代进去，我们可以得到它就等于十二分之一倍的 向量 a 的 平方减去八倍的向量 b 的 平方。加上三分之二倍的 四，乘以向量 b 的 平方减去向量 a 的 平方。然后你可以得到它就等于 三十六分之一倍的相当 a 的 平方，减去十六倍的相当 b 的 平方。又因为十六倍的相当 b 的 平方加相当 a 的 平方等于五百四十， 所以这个式子就等于三十六分之一乘以负五百四十，就等于负十五。

小尚同学跟题视频讲解。现在我们讲解二零二五年天津卷数学第十七题。 如图，正方体 abcd a 一 b 一 c 一 d 一 的楞长为四 ef 分 别为 a 一 b 一 c 一 b 一 的终点 点 g 在 楞 c c e 上，且 c g 等于三倍的 c e、 g。 第一问，求证 g、 f 垂直于平面 e、 b、 f。 因为这个几何体是正方体，垂直关系比较明显，所以我们可以直接建立空间直角坐标系进行求解。我们以 d 为坐标原点， d， a 为 x 轴， d， c 为 y 轴， d， d 一 为 z 轴，定义空间值幺坐标系。因为 c g 等于三倍的 c e、 g， 所以 点 g 的 坐标是零四三 点， f 的 坐标是二四四 点， e 的 坐标是二零四点， b 的 坐标是四四零。因此向量 g、 f 就 等于二零一，向量 e、 f 就等于负二零四 u g f， 这个向量乘以向量 e、 f 等于零。向量 g、 f 乘以向量 e、 f 等于零。所以 g、 f 垂直于 e f， 且 g、 f 垂直于 b f。 因为 e、 f 交 b f 等于 f， e f、 b、 f 均包含以平面 e、 b、 f， 所以 g、 f 垂直于平面 e、 b、 f。 我 们现在来看第二问，求平面 e、 b、 f 与平面 e、 b、 g 夹角的余弦值。我们需要先将这两个平面的法向量给求出来。 根据第一问，我们知道平面 e、 b、 f， 它的法向量就是向量 g、 f。 现在我们来求平面 e、 b、 g 的 法向量。设平面 e、 b、 g 的 法向量为向量 n 就 等于 x y z， 那么向量 n 乘以向量 e、 g 就 等于零。向量 n 乘以向量 b， g 等于零。 又因为向量 e、 g， 它的坐标是负二四负一。向量 b、 g， 它的坐标是负四零三，所以负二 x 加四， y 减 z 等于零，负四 x 加三， z 等于零。 我们取 x 等于六，可以得到 y 等于五， z 等于八，因此向量 n 它就等于六五八。 因为向量 g、 f 与向量 n 夹角的余弦值就等于向量 g、 f 乘以向量 n， 比上向量 g、 f 的 模，乘以向量 n 的 模，就等于 根五，乘以五倍的根五分之十二加零加八就等于五分之四。因此平面 e、 b、 f 与平面 e、 b、 g 加角的余弦值为五分之四。 我们现在来看第三楞，求三楞锥 d、 b、 e、 f 的 体积。 我们需要将点 d 到平面 b、 e、 f 的 距离给求出来。因为平面 b、 e、 f 它的一个法向量是 g、 f， 所以点 d 到平面 b、 f 的 距离 d 就 等于向量 g、 f 乘以向量 d、 e 的 绝对值。比上向量 g、 f 的 模， 我们知道向量 g、 f 就 等于二零 g， 向量 d、 e 就 等于二零四，因此 d 就 等于 四加零加四的绝对值比上根五就等于五分之八倍的根五。 现在我们再来求三角形 b、 e、 f 的 面积。三角形 b、 e、 f 是 直角三角形，其中 e、 f 垂直于 b、 f， 又因为 e、 f 等于四， b、 f 就 等于根号下四个平方，加二的平方就等于二倍的根与。 所以三角形 b、 e、 f 的 面积，它是就等于二分之一。乘以四，乘以二倍的根五，就等于四倍的根五。 因此三角锥 b、 b、 e、 f 的 体积 v 就 等于三分之一。 乘以 d 乘以 s 就 等于三分之一。乘以五分之八倍的根五，再乘以四倍的根五，就等于三分之三十二。

然后咱们来看这个题，那么这个题呢？ x 二，它等于？ 首先呢，咱们看啊，这个题它这个 k 变量挺多的吧？这又 k 又 i 的， 咱们看啊，它这给了个 s 二，对吧？说明它要干什么？它要 k 等于二，对不对？那 k 又在哪呢？ k 又在这，对不对？ 和在这？所以的话，你就是像我这样，你每次做这种集合题啊， c n e 题，你想，你先题目，你给什么？你就去把这个 k 一 路一路找下去，把，定下来，对吧？所以的话，就现在这个变成加到二 i 二了，对不对？加到 i 二了， 所以的话呢，它这个 s 二，现在这个，这个，这个集合应该是什么呀？ x， 呃，这样吧， x 等于二的 i 零加上二的 i 一 加上 i 的 二 i， 对 吧？ i i 二，对吧？所以的话，就相当于你这是一个，呃，二阶制中三位嘛，某个三位对不对？就可以了吧？所以的话呢，你只需要怎么样在 n 个位中 去挑上爱零、爱一、爱二，这三位，是不是可以了？因为你这爱零，你这爱零爱一爱二的话，它可以怎么挑啊？你可以是一二三，也可以是三七八，也可以是三 n 减一， n 加一，对吧？这都对应那些位啊？比如说二三四方 n 减一， n 加一，对吧？那么就是三类位上，一，这两位上是一，其他都是零嘛，对不对？对啊，就是为什么我说这是从这三位中随便在这个，在 n 位，在 n 加一中随便挑嘛，对吧？ 这一共有多少情况？这应该是 c n 加一三种，对吧？当然咱们不必说这种情况啊，这应该是 c n 加一三种，对吧？当然咱们不必说这种，在随便挑的过程中，哪哪种是最小的？ 那不就是最最顶，最顶这个顶到底，这两个，这三个一连着排不就行了，对不对？因为你稍微再往后走一个位，那就是大了，对不对？所以的话，这应该是什么呀？ x r 的 话，应该等于二的 这个这个零次方加二的一次方加二的二次吧，是不可以了， 好吧，这是它的最小啊，下一个 s 一， 你看 s 一 证明 k 等一，对吧， k 等一带进来，有时候这 i 一 嘛，对不对？加到 i 一 就停了，因为就要就要这俩，对吧？这的话，这个 s 一 它应该等于，这回呢，我不写 x 啊，这个是二的 i 零加上二的 i 一， 对吧？就这两个元素，就说现在它是由一个 i 零 i 一 往这里随便挑两位，对吧？ 那随便挑两位，你看他说 a 等于二十一次方加二十三次方，它属于 s 一， 这肯定对，对吧？因为这是挑两位中的某种情况嘛，对吧？那 咱们呢，还有一个 b， 就是 b 的 二零次方加二的 i 一 次方，它呢，它俩加起来还要属于 s 一， 这什么意思呢？就说你这个 b 在 这二减值中随便挑两位，把它俩加在一起，它还是一个两位二减值，比如说， 这样吧，它的二减值是什么呀？零一二三，对不对？这个啊，你可以在这里面挑谁啊？比如说零一二三的话，你再挑一个，让它俩加起， 然后成为一个全新的一个，这个零一二三一往后零到 n 的 某两位上，是不是可以啊？ 所以的话，你这个怎么挑呢？我可以这么挑，对不对？因为我加完之后还想是两位二进制，那肯定得进位嘛，对不对？那肯定得进位啊， 所以的话，那我怎么挑啊？我在这加个一，可不可以？他在这加一就进位了，相当于现在变成一，对吧？所以说你还得现在再加个一，你再加个一呢，你加在哪呢？你可以 怎么样？加在这是不是可以啊？加在这是不是加在这是变成这个一零一零一了，对吧？ 它可以怎么加呢？你比如说，呃，加在这再加在这是不是也可以啊？就是你加在这的话，就是它进位变成一，然后它再进位变成你就是一零零零一，对吧？这是不也可以啊？ 你说你要在这加个一就变零了，就变一，要在这再加个一，那就变成零零一了，就这只有一个，就只有一个，一个位呢？一个位肯定不行，对吧？所以的话呢，咱们就得 只能是在这加个一，然后再在这里再加个一，对吧。比如说此时的话，这个 e 的 就找到了吧？它是一个一一零零零，然后还有一个一零一零，对吧？这两这两个，所以的话它是什么呀？这个上面这是什么？二的 四字旁，加二的三字旁，对吧？下面这个呢？二的三字旁，加二的一一字旁，对吧？那最后出来这个这个结果呢，咱们可以其实把这结果写上吧， 就是一个， 呃，首先你的二四次方加二三次方，就是这加个一，这边零，进位这边一，然后再加个一的话，这边进位一零零零一零一三个零， 对吧？这种情况还有种是什么呢？一二三四，你在这加了个一，这进位变成一，然后你在这加一变，进位就是一零一零零， 对吧？就是你这个，另外加完之后这个结果就是咱们的 b 的 这个结果，懂吧？ 所以的话这个 b 的 话就是这两个啊。 来，咱们再说。第三问， 那好了，现在他说这个是 s k 和这个奇和曲交集，叫 y k， 然后他说这里面的元素个数。 首先来说这个集合取交集的话，我肯定看不懂，对吧？那我肯定怎么样？我先去列些例子，对不对？比如说我现在让 k 等于一，现在呢？这就是一个， 怎么样？变成 s 一 了吧？ s 一 应该就是它，对不对？还是随机去取两位，对吧？随机取两位， 所以的话你这个几何要和二的，你注意这里面有 k， 对 不对？你这里面不 k 等于一了吗？对吧？你看这是 n 和 n 加一，对不对？ 二的 n 加一啊，左开右闭， 呃，这个 k 的 话，注意它属于属于的是正整数啊，它不能取零，好吧？所以的话，呃，就是这个即可取交集，那这什么意思呢？对不对？我呢看右边，这肯定是一个二阶制，对吧？那只不过就是一位的二阶制，对不对？ 嗯，它一直到什么？它一直到这个 n 加一， n， 这个是全是零，对吧？然后这个是全是零，就是说 它的这个范围内要在这，对吧？也就是说你的这个从一开始往后你这样取一大截一都可以，对不对？就在这个属于这个集合，对吧？然后你看，那这个也是随机抽取的概念，那我应该怎么办呢？ 我刚说了，这是只要是两位就可以了，对吧？它是个两位二进制是不可以了。你想 这个从这个一开始，我往后随便去选一个一，不就是在这个区间里吗？对不对？也不超过这个二零 n 加一次方吧？所以的话呢，我在这随便去选个一， 那这不就是一个从多少啊？这应该是，呃， n 减，这是 n 位吧？这，这是 n 位啊， n 减一 n n c n 一， 是不是可以了？所以的话，你在这些前 n 前零到 n 减一这些位上选一个一，就是 c n 一 种情况，对不对？那这些情况，这些情况，它都是这个可以满足这个在这个圈里的吧，对吧？那所以的话，你的这一个 这个这个元素它的个数呢？你就说就是 c n 一 种嘛？因为你就得随便取个一，它都算元素一个，对不对？所以此时呢，就是它的这个这个 b m 啊，这是，这是 b n 啊，那 p 此时 b n， 它就得一个 c n 一， 再比如说 k 零二呢？此时 s 二，它就等于这回是三位了，对吧？ 它交在二的 n 次方到二的 n 加一次方，也就说现在这个， 呃，这不是二，这不是 n 加一了，因为这是 c k 改变，对吧？也是 k 等于二了，此时的话就是这个是 n 加一，这是个 n 加二，对吧？ n 加一， n 加二。那么此时的话呢，你需要再重置一下， 这个是一个这个这个 n 加一 n， 然后这是 n 加二，这是 n 加一，对吧？你就想 我还是一样，我在这随便挑这么多个一，随便挑一，我都是满足这个在这个区间内的，且不超过二，再加一次方，对吧？那我说我在这要一个三位上都是一的，那我只需要怎么样在这里后面去干嘛？选两位是不可以了？ 所以的话，那你在这个零到 n 位上就是一个 c n 加一上面选二是不是可以了？所以此时的话，它这个 b n 呢？就是 c n 加一二，嗯，好吧， 好，那这样的话呢，咱们这个一直往后，其实就是这个，每次在它的这个后面这些位上选几个嘛，对吧？ 因为它这个已经有一位是定住了，那后面两位就随便在这边取嘛，对吧？所以的话，你在当这个 k 等于 k 的 时候，你这个 x a， 它应该是等于什么呀？就是二的 i 零加上二的 i 一， 一直到二的 i k， 对 吧？这一共有 k 加一位，当然其中有一位已经定死了，对不对？所以你只需要怎么在这个， 哎，在这个 这些位，哎，我这个 啊，行，这是一个和谁取交集啊这是？呃，和这个 n， 就是 现在是 n 等于 k 了，对吧？ n 等于 k， 现在就是， 呃，不是 k， k， 这个 k 等于 k 了，现在就是二的 k 加一次方减一，那就是二的 k 加 n 减一，又没有地方了， 稍等啊，这是往后， 好，然后的话，咱们这个 v 呢？变成什么了这是？呃， k 加 n 减一，这是 k 加 n 减二，对吧？然后呢？这是一个 a 加 n， 然后呢？ k 加 n 减一，对吧？那当然这还是一啊，所以还是一样，我在这后面随去随便去选一，我还是不超过它，对不对？所以的话，我就想，那我这一位已经定住，这是一了，那我后面这一个什么后面这 k 位应该从这中选，对不对？ 选 k 位，比如说现在这是 c a 加 n 减一 k 就 可以了，对吧？ 这，此时的话，这个 b n 呢？就是 z k 加 n 减一 k 就 好了吧？那所以的话，咱们 b n 就 找到了， 这个 b n 的 话给它带过来啊， 那 b n 找到了，咱们后面就只剩一个求和的事了，对吧？这求和的话，呃，咱们看啊，咱们比如说叫它到叫个 s k 吧， s k 方便点， s k 呢？现在就是什么呀？ c m 加 k 减一， a 二 m 减一次方，对吧？但这是 k a 加一啊， 哎，我写习惯了这个，这应该是 m m， 那所以的话，现在变量呢？就是只有 m 在 变， k 不 变啊？ k 不要变， k 现在是常数，所以的话，你现在只有 m 在 变，就是它俩这是在加一加一这样的一个变化，对吧？所以的话，咱们稍微利一下它的情况啊，就是二零次方开始就是 c k k， 对 吧？然后加上二的一次方分值， c k 加一， k 一 直往后加二的 k 字旁分支， c k 加 k a， 对 吧？ 那么这个求和怎么求呢？这看着就好像没法求和的样子，对吧？那咱们怎么办？咱们一般见到这种组合数，大连大连加的一个式子，咱们肯定去想，那我能不能再写一项，对吧？再写一项， 或者说我尝试去测这个倒序相加，但是的话，这个题貌似倒序相加不太好，对不对？因为它俩这个并不是一个相等的关系，对吧？所以的话，我只能尝试怎么样再写一项，对不对？ 所以的话，现在这个 s k 加一呢？应该就什么呀？你的所有的这个 k， 对 吧？所有的这个 k 去加一，所以它就变成了 k 加一， k 加一，二的零次方加上二的一次方， c k 加二， k 加一，对吧？往后一直到二的 k 加二的吧， 然后 k 加一就可以了。那你想了，那我再写一项，我和前一项有什么关系呢？ 呃，这个的话呢，咱们用到一个组合和等式啊，如果这个都不知道的话，咱们这个题是比较难写的，咱们呢，我说一下啊，这个组合和等式是什么呢？ 它就是这个，我写在这吧， c n 加一 k 等上一个 c n k 加上 c n k 点一，当然此时的话，你不能让这个 n 加一超过 k， 对 吧？可以写上啊， 这是什么呀？就是说你的左边这个式子，它就说这个等式为什么成立呢？对吧？咱们去想它的组合意义啊， 当然你要硬背的话也可以，但是我更建议你记组合 e， 组合 e 呢，是咱们正这个组合和等式的一个非常重要的一个思想啊，咱要不你就只能去把它全部拆开，然后验证是不是相等。 讲啊，你左边这是什么意思呀？ n 加一个人选 a k 个，对吧？ 右边呢？就想你想啊， n 加一中选 k 个人，那我可以怎么想？比如说，我就想，我比如说我选到 a 了，选到 a 这个人了，我再选剩下的 k 减一个人，是不是可以啊？我再加上我不选 a， 然后再选 k 减 a k 个人， 是不是可以啊？因为就相当于我对 a 做了一个分类讨论嘛，我要么选它，要么不选它，那它俩加在一起不就全部情况吗？对不对就就啥情况了。那所以的话，你看 你 n 加一的话，选 k 人就是 c， n 加一 k， 你 选你选过 a 了， a 现在已经选中了，再选剩下的这个 k 减一个人，也就说现在 这个总共 n 加一个人，现在已经 a 被选走了，所以说现在应该剩下 n 个人，对吧？应该就是什么 c n k 减一吧，他说不选 a 呢？还是 n 加一，不选， 那就还是剩 n 个人可以选，对不对？那就是 n c n k 嘛，对吧？它俩加在一起不就是这个恒等式吗？ 好吧，那它这个恒等式呢？呃，当然是这个最常用的啊，咱们其实要是学过竞赛呢，这应该是一个最基本的一个恒等式要掌握的一个东西啊，非常常用， 那你看它的意义什么呢？就是它可以想它可以帮助你把你的这个下面下面这个数减一，然后再向上面这个数也减一，对吧？减一，那所以的话，我在这个时候我尝试 我把它用这个和等式拆一下，是不是可以啊？当然这个拆不了啊，这拆不了了，因为这是 k k 加一，和 k 加一是相等了，那咱可以拆它，对不对？可以拆它啊， 拍它，你可以变成什么呀？拍它你就可以想，我是不是可以得到一个 c k 加一 k， 然后加上一个 c k 加一， k 加一，我的这个和这个好像啊，对不对？非常像，对吧？所以的话，那我就想了，那万一它俩有关系呢？对不对？所以的话二零四方， 这个呢？ c k 加一， c k 加一，然后二的一次方？对啊，再看一遍，把下面这个数减了一，上面这个数呢，一个减一，一个不减一，好吧，那就是 c k 加一 k 加上 c k 加一 k 加一，对吧，然后往后往后遇到这个二的 k 加一次方， c 二 k 加一 k 加上 c 二 k 加一 k 加一，对吧。所以的话呢，咱们这个 这个一个求和，你看它和上面 s n 有 什么关系呢？你发现哦，这个是相等的，对不对？这一块是完全相等的， 那后面都相等吗？也都相等，也都相等啊，对不对？因为你看啊，我要再写它的前一项，这就是一个二的 k 次方分之，这是一个，呃，我想这是一个 c 二 k a 加一，加上 c 二 k k， 对 吧？ 那你看啊，我这个里面，呃，这个是二 k c 二 k k， 对 吧？ c 二 k k， 这个也是 c 二 k k， 那 也就是说我的每一个这个 就是拆，能拆出来，这里面能拆出来一个，上面这个式子对的话， 我就可以重新改造一下了，当然这个第一项是没法拆，对不对？但是你想 c k 加一和 c k k 不 一样了，对不对？你可以把直接写成 c k k 啊，对的话，那你就把把它拆成两部分，一个呢是上面的 s k 二的 k 字方 得二 k k， 对 吧？然后 你又剩下这一半部分，你看这是什么呀？二的一次方分之， c k 加一， k 加一，加上二的二次方， c k 加二， k 加一，一直往后， 你的这个剩最后到哪到哪停了，应该是到二的 k 加一的四方， c 二 k 加一， k 加上 c 二 k 加一， k 加一，对吧？那你看，你的这个前面已经是 s k 了，对吧？这已经是 s k 了， 这个地方我也想找一个和 s k 有 关系的地方，对吧？那这样的话能凑一个这个地推嘛？那这个地方和 s k 有 什么关系呢？哎，你发现哦， k 加一和这个 k 加二， k 加一和这个很像哦，那我是不是可以把它理解成这就是 s k 加一啊？ 那但是问题是它现在指数不一样了， r 对 应的是二的一次方，那它原来是二零次方，那我应该怎么办？ 也就说这个地方是什么呀？就是二分之一背的 s k 加一呗，就它乘过二分之一了，它才得这个，对吧？所以的话，你的这块你也想了哦，那我是不是想写成一个二分之一 s k 加一的情况呢？但是问题是你的这个地方很臃肿啊，这个地方怎么办呢？ 你的这个，呃，就是它要是乘二分之一的话，你这里不应该得有二的 k 加二次方吗？你这没有啊，对不对？那怎么办？ 我在这补一个不就完了吗？对不对？我在这补一个二的 k 加二，然后 c 二 k 加二， k 加一，不就完了吗？对吧？所以的话，这是我补的，那我当然我也要再给它减一遍了，对吧？ c 二 k 加二， k 加一，所以你看， 呃，我每次都要在这里面要 k 加一的，对吧？每次都要要 k 加一的，所以的话，我的这个，呃，这块地方都这，这个应该是把它抽出来，然后当成 s k 加一的部分，对不对？所以说它要留下来，对吧？它要留下来， 所以的话现在应该剩什么呀？现在就是，呃，这个抽出来，这个抽出来，然后留下他和他，对吧？的话，那就是怎么样？加上一个二的 k 加一次方， c 二 k 加一， k 点上一个二的 k 加二次方， c 二 k 加二， k 加一， 对吧？那所以的话，你现在这个整体式式的啥呀？这是？ c k 加一等于 s k 加上二分之一， s k 加一，再加上这个地方，这地方好臃肿啊，我要是它没了，那岂不就是这一个非常简单的一个地推式了吗？我要有它的话，那这个也根本没法写，对吧？ 那是不是万一这里是零呢，对不对？我在这一看啊，那咱们把这个地方封起来， 咱们看这个地方它可以通过分，对吧？二的 k 加二次方，然后，呃，这是二 c 二 k 加一 k 减上 c 二 k 加一，二， 你看这个地方的话，它，呃，这地方上面要想像，要想变成零，我得让分子等于零，对吧？那这地方分子等于零的话，我们怎么写呢？因这它的这个就是它的底不一样啊，一个是二 k 加二，一个二 k 加一，这怎么办？ 那咱们刚学过一个式，咱，咱们是不是可以把这个底减一啊？对不对？可以换成桶底啊，对吧？所以的话，那我这个时候是不是可以把它换成桶底啊？ 对的话，这是二倍的 c 二 k 加一 k 减上，我把后面换成二 k 加一，是不是可以啊？这是 c 二 k 加一，一个是 k， 一个是 c 二 k 加一，一加一，对吧？ 那你看这是同底了，你看这个小于一个可以小于，对吧？你看这俩能相等吗？这俩当然相等了，对不对？因为二 k 减一啊，对吧？二 k 加一，对吧？二 k 加一中，它的 k 和 k 加一是不是相等的， 对吧？那所以说这就是零吧，所以此时的话， 这个地方得零呢？比如说这个式子呢，非常的简洁，就剩个这个，最后剩一个什么呀？二分之一 s k 加一等于 s k， 那 么 s k 加一呢？等于二倍的 s k， 现在呢？你这个算个 s 一 不就完了吗？对吧？ s 一 等于什么呀？ s 一 在这，你看啊，在这的话，这个这个算个第一项就可以了，对吧？这是一个 一，所以的话，这是一个 s k 应该等于什么呀？二的减一次方是不就完事了？好吧，这是这个题啊， 对的话，那这个组合乘法式呢？如果你不知道的话，可以现在呢掌握一下。这个在竞赛中强击中还是比较常用。 好，那么这个题咱们就过了，好吧， 哎，这里面又一个行。嗯，好。然后的话， 呃，下面这个写还是一样，对吧？但它这个式子给的就比较丑啊，给的不像刚刚那么简洁。它这意思什么呀？它这意思还是这个 a 等于二的 a， 一 加二的 a， 二加到二的 am， 对 吧？还是一个二阶式，对不对？还是一个随机抽取的过程，对吧？ 随机抽取就抽位嘛，对吧？那然后呢？他说这个，当这个 m 等于 g 的 时候，就规定了一个。

解三角形之边角转化技巧四，大家好，今天咱们接着来分析边角互化当中的第四个技巧，那么第四个技巧是什么呢？也就是咱们如果说出现半角这个半角，比如说二分之 a， 二分之 b， 二分之 c 出现半角，则用对角公式降逆升角， 只要出现半角在三角形里边，那咱们必用二倍角公式去进行降逆生角的这个技巧。咱们现在来看这道题，首先前面还是角 abc 对 的 a 边， b 边 c 边，那么现在知道的这个条件在这里， 这个式子，当然它是一个既有边又有角的式子，又有角，而且右边是边，那角只有这有这个角。所以首先那咱们根据咱们现在的第四个原则，咱们立马得出来，遇到 cos 方二分之 a， 根据咱们的降密乘角的公式，那它就可以写成二分之一加 cosine 二分之 a 的 二倍，也就是得 a， 那 么 cosine 方二分之 a， 咱们能写成这个，所以这个式子咱们就变成了二 c 乘上二分之一加 cosine a 等于 b 加 c， 进一步整理二异消，所以也就是 c 乘上一加 cosine a 等于 b 加 c， 那 么到这儿之后，降逆升角完了之后，咱们这个角已经变成角 a 了，那么现在这个式子变成了一个有边有角的一个式子，咱们还是咱们的原则首选 那个边画角，咱们来看左边的 c 边，咱们可以写成二 r 三 c， 两边都有二 r， 所以 一会就可以消掉了，这就变成三 c 乘上一加 cosine a 等于 cosine b， 加上 cosine c， 根据咱们的边角转化的原则，就画到这一步，进一步整理，咱们看看出现了什么形式。 cosine a 等于三 b， 再加上三 c， 那 么到这一步之后，咱们来看三 c 可以 消掉，所以现在剩的这个式子里有三 c 扣三 a， 还有一个三 b， 那 么这时候又可以套用咱们前边讲的第二个原则了。什么原则？就是这个式子里面有角 a， 角 c 和角 b 都有，那这时候咱们必然涉及到要消角，三个角或者一个角，那么消谁呢？消的时候的技巧在这儿有角 c 和角 a， 它俩 不管是什么三角函数值是做了乘积的，所以它们两个不好消，好消的就是孤零零的这个角 b， 所以 这时候咱们又借助咱们这个角之间的关系，散引 b 给它写成散 a 加 c， 从而得到这个式子 a， 那 所以而咱们的散引 a 加 c， 又可以写成散引 a。 cosine c 加上 cosine a 半 c， 那么到这一步之后咱们就能够看出来了， c 扣三 a， 左右两边都有，所以可以消掉，所以其实就是三 a 扣三 c 得零，而在三角形里面，三 a 是 不会得零的，所以只能扣三 c 得零，那推出角 c 就是 咱们的 二分之派，从而推出这个答案就是直角三角形。通过这道题，咱们需要掌握第四个技巧，出现半角，咱们该怎么去处理？

上同学专题视频讲解，现在我们讲解二零二五年听清卷数学第六题。 已知硕列 a n 的 前 n 项和 s， n 等于负 n 的 平方加八 n， 则 a n 的 绝对值，这个硕列的前十二项和为多少？我们现在先将 a n 给求出来。 当 n 等于一时， a 一 就等于 s 一 就等于负一加八就等于七。 当 n 大 于等于二十， a n 就 等于 s， n 减 s， n 减一，就等于负 n 的 平方加八， n 减去负的 n 减一，加上八倍的 n 减一， 整理可以得到，它就等于负二。 n 加九，当 n 等于一时，我们带进去可以得到，它就等于七，所以 a 一 等于七。满足这个式子，那么 a n 它就等于负二。 n 加九，我们令 a n 大 于零， 也就是负二。 n 加九大于零，负九大于二， n， 也即是 n 小 于二分之九。 当 n 小 于等于四十， a n 是 大于零的。当 n 大 于四十， a n 是 小于零的，所以我们可以得到 a n 的 绝对值就等于 负二。 n 加九，这是 n 小 于等于四十的情况。 二 n 减九，这是 n 大 于等于五十的情况。我们现在再来求 a n 绝对值的前十二项和。 我们知道，当 n 小 于等于四时， a 一 的绝对值、 a 二的绝对值、 a 三的绝对值、 a 四的绝对值，这四项构成等差挛。当 n 大 于等于五时， 就是 a 五的绝对值，一直到 a 十二的绝对值，这八项也构成等差数列。那么我们现在来求这个前十二项和。它就等于二分之四倍的 a 一 的绝对值，加上 a 四的 绝对值，加上 a 十二的绝对值， 它也就等于二分之四倍的七加上一，再加上二分之八倍的 一，加上十五，结果就等于八十，所以选 c。

好，各位同学，大家好，我是你们高中数学老师徐荣斌。今天呢，是我们睡前系列的第一百五十三天，我们看一道只对比大小的题目，帮助大家回忆回忆啊，高考真不难，大家最后这几天呢，放平心态，每天睡前啊听一听，有助于睡眠，我们也不讲特别难的题目， 那么昨天，哎，前天我们给大家去看了，对吧？对于这个近几年的这个椭圆导数数列，我们都在这几期啊，大家都可以去看一看，你就把近三年的这三道大题，哎， 近几年的这几这几道大题给他搞会就可以了啊。椭圆就是一百零七天到啊，一百零一天到，一百零七，这是数的，这是导数啊，当然有一些导数呢，嗯，基本我们只讲解个前两问，对吧，我觉得足够啊，当然好像有个别的题讲解了三问。 好，那我们就看今天的题目。嗯，首先我们要把这个 a 找到，那这个 a 怎么找？先给它化简一下，就是 o， a 的 负一次幂等于二分之一，把这符号扔到前面，就是负的， o， a 等于二分之一， a 就 等于什么？这个 慢点画吧，怕有同学看不懂，对吧？就是 on， a 等于负二分之一， a 就 等于 e 的 负二分之一次幂，然后再看二 b， 二 b 的 话，对数相减就等于真数相除，就是 on 十一比十就是 on 一 点一， 然后再看 c c 的 话，我觉得可以不用化解，对吧？就这样呗。那我们看先和零一去比，对吧，我们讲过的套路，之前讲过的，先和零一去比，那它呢？ e 的 零次幂比它小，那就比一小，而这个指数都是大于零的，所以大于零，这就是我的 a， 然后再看 b， 凹陷一点一大于凹陷一，也就是它比零大，对吧？比零大，后面和一去比呢？那就和凹陷一去比。 e 是 二点七，那就比它小，所以说比一小， 也就是说我的 a 是 零到一， b 也是零到一。再看 c 呢？这个按二分之一和按一去比，二分之一比一小，那就小于零，所以 c 是 负的。那这个题你发现 c 是 最小的呗， 那要不 b， 要不四 d， 然后你再看 a 和 b， a 和 b， 我 们说过，如果它们都在零到一，怎么去比？扩展中间量和这个二分之一去比，那么先看 a， e 的 二分之一啊， e 的 负二分之一次幂和二分之一去比，那你发现 e 的 负二分之一就是 e 分 之一开根号，那就是根号。 e 分 之一和二分之一去比。小学你就学过， 分子相同，分母大的反而小，而二是根号 c， 那 么四比二点七大，分母大的反而小。所以说我这个 a 是 大于二分之一，那我连想都不用想，这个 b 肯定小于二分之一， 所以说 a 大 于 b 大 于 c， 那 这个 b 我 们怎么看呢？我们曾经说过，说过什么一个对数想要和任意常数去比，就给它后面乘上一个奥一， 对吧。乘上一个 log， 以 a 为底的 a， 那 就是 one 一， 然后再把二分之一给它放到这，那就变成了什么 one。 根号一， 那么我只需要比较它俩的大小就可以。那一点一和根号下一谁大谁小呢？这个事大家能不能分清啊？ 十一乘十一不就是一百二十一吗？所以说它就是什么根号一点二一吗？而这是根号二点七，那它小呀？所以说 b 小 于二分之一，那这个题就结束，大家选二 b。

小尚同学专题视频讲解现在我们讲解二零二五年天津卷数学第十五题。若 ab 属于 r， 对 任意 x 属于二到二均有这个不等式成立，则二 a 加 b 的 最小值为多少门？设 t 就 等于二， a 加 b， 那么要求二 a 加 b 的 最小值，也就是求 t 的 最小值。我们设 f x 等于二， a 加 b 乘以 x 的 平方，加上 b， x 减 a 减一， 那么 f x 小 于等于零，横乘以是在 x 属于负二到二上， 我们将 t 等于二， a 加 b 带进去， f x 就 等于 t， x 的 平方加上 t 减二， a 乘以 x 减 a 减一。 我们现在要求 t 的 最小值，需要将这个式子中的 a 给消掉，也就是令负二 a x 减 a 等于零， 那么 x 就 等于负二分之一，所以 f 负二分之一，也就是四分之 t 减二，分之 t 减二， a 减 a 减一，也就等于 负四分之。 t 减一小于等于零，我们可以解得 t 大 于等于负四， 我们现在来判断这个等号是否成立。当 t 等于负四的时候，二 a 加 b 就 等于负四，则 b 就 等于负四减二 a， 那 么 f x 此时就等于负四 x 的 平方加上负四减二， a 乘以 x 减 a 减一，我们知道 f x 小 于等于零， 是横成列的。在这个 x 属于负二到二上，我们现在令 f x 等于负的 m， x 加 n 股值的平方，其中 m 大 于零， 那么将它继续展开，就等于负的 m 的 平方， x 的 平方减二， m n x 减 n 的 平方。 我们对比系数可以知道，负 m 的 平方就等于负四，负二， m n 就 等于负四减二， a 负 n 的 平方就等于负 a 减一，我们可以解得 m 就 等于二， n 就 等于一， a 就 等于零。 此时可以得到 b 就 等于负四。那么这时候 f x， 它就等于负的二， x 加一或这个平方满足 x 属于负二到二十， f x 小 于等于零，所以二 a 加 b 的 最小值为负四。

小尚同学专题视频讲解现在我们讲解二零二五年天津卷数学第十九题。 a， n 是 等差数列， b， n 是 等比数列， a 一 等于 b 一 等于二， a 二等于 b 二加一， a 三等于 b 三。第一问，求 a n、 b n 的 推项公式。 我们假设 a n， 它的公差为 b， b， n 的 根比为 q， 那 么 a 二就等于二加 d 就 等于 b， 二加一，也就是二。 q 加一， a 三等于 b 三，也就是二加 二， d 就 等于二 q 的 平方。我们将 这个式子进化简，可以得到 d 等于二， q 减一，那么将 d 等于二， q 减一，代入这个式子，我们可以得到二加上四， q 减二等于二， q 的 平方 就等于四 q， 那 么 q 平方等于二， q， q 等于二，或者是 q 等于零，又因为 q 不 能等于零，所以 q 等于二，因此 d 就 等于二。乘二减一就等于三。所以 a n 的 通项公式为， 二加上三倍的 n 减一就等于三， n 减一， d， n 的 通项公式为 d， n 就 等于二。乘以二的 n 减一次方，也就等于二的 n 次方。 现在来看，第二问，对任意的 n 属于 n， 先有 t， n 等于它写 i 等于零一。 第一小问求证，对任意的 t 属于 t， n 均有 t 小 于 a， n 加一， b， n 加一，那么它就指的 t 的 最大值是小于 a， n 加一，乘以 b， n 加一等。我们现在来算 t 的 最大值。若 t 取得最大值， 则 p 一 p 二，一直到 p n， 它都等于一，也就是 t 的 最大值就等于 i 从一到 n， a， i 乘以 b， i 也就等于 i 从一到 n， 三， i 减一，乘以二的 i 次方。我们令 s 等于 t 的 最大值， 那么 s 它就等于二乘以二的一次方，加上以乘以二的平方，一直加到三 n 减一乘以二的 n 次方。 将这个式子均乘以二，可以得到二。 s 等于二乘以二的平方，加上五乘以二的 n 加一次方。 另一式减去二式，我们可以得到，物 s 就 等于四加上三乘以二的平方， 一直加到三乘以二的 n 次方，再减去三 n 减一，乘以二的 n 加一之方。 我们知道，从二的平方一直到二的 n 次方，他们中一共有 n 减一项。所以利用整体缩列的前一项和公式可以得到，不就等于四加上三乘以一减二分之 四乘以一减二的 n 减一次方，再减去三 n 减一乘以二的 n 加一次方。对这个结果进行整理可以得到，它就等于 四减三， n 乘以二的 n 加一次方减八。因此， s 也就等于 t 的 最大值，它就等于三 n 减四乘以二的 n 加一次方加八。 我们现在再来算。 an 加一乘以 b， n 加一。 an 加一，乘以 b， n 加一，就等于 三倍的 n 加一，减一，或者乘以二的 n 加一次方。整理可以得到，它就等于三， n 加二或者乘以二的 n 加一次方。我们令 a， n 加一乘以 b， n 加一，减去 t 的 最大值，它就等于六乘以二的 n 加一次方，减八。 又因为 n 是 大于等于一，所以这个式子大于等于六乘以二的 d 加一次方减八，就等于十六，它是大于零的。所以 t 的 最大值 是小于 a， n 加一乘以 d， n 加一的。因此，对任意的 t 属于 t， n 均有 t 小 于 a， n 加一， d， n 加一。 现在来看第二小问，求 t n 中所有元素之和。我们知道 t n 中的元素为 t， 就 等于 i 乘以一到 n p， i 乘以 a， i 乘以 b i， 它就等于 p e a e b e 一 直加到 p n a n b n。 我们现在来确定 a i b i 在 所有和式中出现的次数。我们设 i 等于 k， 那 么对 a k b k， 假设这一项要在所有和式中出现，那么 p k 必须等于一。 但是对除这一项的其他 n 减一项， p i 是 可以选零，也可以选一。所以其他 n 减一项中每一项都有两个选择，所以 n 减一项。共有二的 n 减一次方中选择。 所以每个 a i b i 项在所有元素的和式中出现的次数均为二的 n 减一次方。 那么 t n 中所有元素之和为二的 n 减一次方乘以 a 一 b 一 加上 a 二 b 二 一直加到 a n b n 也就等于二的 n 减一次方乘以 s， 就 等于二的 n 减一次方。乘以二的 n 加一次方。再加上发 整理可以得到，它就等于三 n 减四或者乘以四的 n 次方，加上二的 n 加二次方。

耗时六小时，精准天津椭圆全题型加近十五年真题解析，高考椭圆直接拿捏视频很长，一定要坚持看完真题免费分享在粉丝群里！天津市高考真题椭圆分六大类，面积面积长度、坐标三角斜边乘三角等于坐标圆圆新半径。两个垂直特殊图形边角关系与相似 向量向量坐标斜率斜率坐标。对天津卷而言，椭圆与数列正如计算与思路之一体两面。在天津椭圆真题中，从未涉及到技巧 或强思维性的步骤，如极点极线、仿设定理、蒙日元、阿士元闭合定理、角分线交半径等。更常见的则是连力求坐标、维达求坐标低碳面积斜率长度公式点斜式三线合一，中位线相似。各步法 勾股定律横成立直域。做天津椭圆真题，只需要按照从结论出发，画思维导图，找个点坐标列方程求解四步法，虽然不一定能拿满分，但至少思路清晰，上手迅速。 如天津市常考的模型面积关系抵或高的关系相似，转化成坐标关系、参数关系解多元一字方成组。基础稍弱的同学，在奇形怪状的模拟题面前，不如先练会真题的套路，细读这近十六年高考真题思路，创新质量解析思路，个人评判，记得点赞关注哦！

小尚同学专题视频讲解现在我们讲解二零二五年天津卷数学第八题。 f x 在 负十二分之五 pi 到十二分之 pi 上单调递增， 且 x 等于十二分之 pi 为 f x 的 图像的一条对称轴。我们现在先将这个图像大致画图， 假设这是负十二分之五 pi， 这是十二分之 pi。 因为 f x 在 负十二分之五排到十二分之 pi 上单调递增，减十二分之 pi 减。负十二分之五 pi 就 等于二分之 pi， 十二分之 pi 加二分之 pi 就 等于十二分之七 pi， 这是十二分之七 pi。 所以 f x 在 十二分之 pi 到十二分之七 pi 上单调递减。 又因为三分之派零是 f x 图像的一个对称中心，且三分之派是大于十二分之派，小于十二分之七派零，所以三分之派零是在这个地方， 也就是 x 等于十二分之派与三分之派零是相邻的对称轴和对称中心。因此四分之一 t 就 等于三分之派，减去十二分之派 也就等于四分之派，所以 t 就 等于派。 现在要求的是当 x 属于零到二分之 pi 时， f x 的 最小值。 我们先将 f x 的 解析式给求出来，由 t 等于 pi， 我 们可以得到二 pi 比上 omega 就 等于 pi， 那 么 omega 就 等于二， 也就是 f x 就 等于 z。 二 x 加 f。 又因为 x 等于十二分之 pi 为 f x 图像的一条对称轴，且 f x 在 不十二分之五 pi 到十二分之 pi 上单调递增，所以 f 十二分之 pi 就等于一，也就是 c 六分之派加派就等于一，那么外加六分之派就等于二分之派加二 k 派 解得外等于三分之派加上二 k 派。又因为外大于负派小于派，所以外就等于三分之派。 因此我们可以得到 f x， 它的解析式是 c 二 x 加上三分之派。 那么当 x 属于零到二分之派时，二 x 加上三分之派就属于三分之派的三分之四派。我们将 c x 的 图像给画出来， 这是 x 等于三分之派， 这时 x 等于三分之四派。因此 f x 在 零到二分之派上的最小值是 c， 三分之四派就等于负二分之根。三选 a。

小尚同学专题视频讲解现在我们讲解二零二五年天津卷数学第十六题。 在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c 的 对边分别为， a、 b、 c。 已知 a、 b 的 c、 n、 b 扣 c n a c 减二， b 等于一， a 又等于根七。第一问，求 a 的 值， 我们利用正弦定理可以得到 c 零 a 乘以 c 零 b 就 等于根三倍的 c 零 b cos 零 a。 因为 b 属于零到派，所以 c 零 b 不 等于零。消去 c 零 b， 那 么可以得到判定的 a 等于根三。 又因为 a 属于零到派，所以 a 就 等于三分之派。现在来看第二晚求 c 的 值，因为 a 减二， b 等于一， a 等于根七， cosine a 就 等于二分之一。所以例音于弦定里，我们可以得到 a 的 平方就等于 b 的 平方加 c 的 平方减二 b c cosine a 以及七就等于 b 的 平方加上一加二， b， 股指的平方减二， b 乘以一加二， b 再乘以二分之一。 对这个式的进行化简，可以得到 b 的 平方加 b 减二就等于零， 那么 b 就 等于一，或者 b 等于负二。又因为 b 大 于零，所以 b 等于一，那么 c 就 等于 d 加二， b 就 等于三。 我们现在来看第三问，求 seeing a 加二， b 的 值，那么我们需要先将 seeing b 以及 cosine b 的 值给求出来。因为 seeing a 就 等于二分之根三， a 就 等于根七， b 就 等于一。所以利用正弦定律，我们可以得到根七比上二分之根三就等于 b 比上 c 赢 b， 那 么可以得到 c 赢 b 就 等于 十四分之根号下二十一。因为 b 等于小于 c 等于三，所以角 b 是 锐角， 因此我们可以得到 cosine d 就 等于根号下一减， c 平方 d 就 等于十四分之五倍的根七。 那么 c 零二 b 就 等于二倍的 c 零 b 乘以 cosine d 就 等于十四分之五倍的根三。 cosine 二 b 就 等于二倍的 cosine 平方 b 减一就等于十四分之十一。所以 c 影 a 加二 b 就 等于 c 影 a。 cosine 二 b 加上 cosine a， c 影二 b 就等于二分之根三。乘以十四分之十一，加上二分之一乘以十四分之五倍的根三，可以得到它就等于七分之四倍的根三。