如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路 这是一道改编自二零二二年全国乙卷理科第二十一题的导数大题，很多同学看到极致点偏移就直接放弃了，想冲刺一百三十分以上这道压轴题的关键问，必须拿下 这题真正值钱的地方不是硬算零点，而是怎么用比值代换，把两个变量变成一个变量。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 负 x 次方减去 a， 其中 a 为实数。 第一问，讨论函数 f x 的 零点个数。第二问，若 f x 有 两个不同的正零点， x 一 和 x 二，且 x 一 小于 x， 一 小于 x 一 小于一，咱们先来求导，画出函数图像，解决第一问，再用极值点偏移的经典套路比值代换法搞定第二问。 咱们先看第一问，求 f x 的 零点个数，其实就是求方程 x 乘以 e 的 负 x 次方，减去 a 等于零的解的个数。 我们把减 a 移到等号右边，这就变成了 x 乘以 e 的 负 x 次方等于 a。 这里有个非常重要的技巧，大家千万不要带着 a 去求导，我们令等号左边为一个新函数，记作 g， x 等于 x 乘以 e 的 负 x 次方。这样就把问题转化成了求 g x 的 图像和水平直线。 y 等于 a 有 几个焦点。 接下来我们对 g x 求导，根据乘法求导法则，前导后不导，加上前不导后导， x 的 导数是一乘以 e 的 负 x 次方，加上 x 乘以 e 的 负 x 次方的导数。注意这里 e 的 负 x 次方求导会多出一个符号，所以整理后得到 g x 的 导数等于一，减去 x 的 叉，再乘以 e 的 负 x 次方。 很多同学在这里会犯错，求完导不知道干嘛，我们要看导数的正负，因为 e 的 负 x 次方永远是大于零的，所以这个导数的正负完全取决于 e 减去 x 这个部分。 咱们令导数等于零，得到 x 等于一。当 x 小 于一时，一减去 x 大 于零。导数大于零，说明函数 g x 单调递增。 当 x 大 于一时，一减去 x 小 于零。导数小于零，说明函数 g x 单调递减。所以函数在 x 等于一的地方取得极大值。咱们把 x 等于一带进去算一下极大值， g 一 就等于一乘以一的负一次方，也就是一分之一。 这里大家一定要注意边界趋势，很多同学画图容易漏掉。当 x 趋于负无穷的时候， g x 是 趋于负无穷的，而当 x 趋于正无穷的时候， e 的 负 x 次方下降的比 x 增长快得多，所以 g x 是 无限趋近于零的，并且永远大于零。 现在咱们脑海里有了一幅草图，左边从富无穷上来到 x 等于一的时候，达到最高点一分之一，然后右边慢慢滑下去，无限贴近 x 轴。接下来咱们拿着水平直线 y 等于 a 去上下移动找焦点。当 a 大 于一分之一时，直线在山顶上方没有焦点，所以零点个数是零。 当 a 等于一分之一时，刚好在山顶相切，只有一个交点。当 a 小 于等于零时，直线在 x 轴或者 x 轴下方和左边那条陡峭的线只有一个交点，所以零点个数也是一只有当 a 大 于零且小于一分之一时，直线正好横穿过小山包，会有两个交点，这时候零点个数是二。 第一问到这里就完整做完了。接下来咱们看第二问。题目说有两个不同的正零点， x 一 和 x 二，且 x 一 小于 x 二。根据第一问的结论， a 必须大于零且小于一分之一，并且 x 一 在零到一之间， x 二大于一。 题目要证明 x 一 乘以 x 二小于一。这里有个非常重要的技巧，叫做比值代换。遇到这种极致点偏移问题，怎么把两个变量变成一个变量呢？因为 x 一 和 x 二是零点，所以他们满足 x 乘以 e 的 负 x 次方等于 a。 也就是说， x 一 乘以 e 的 负 x 一 次方等于 a， x 二乘以 e 的 负 x 二次方也等于 a。 两个式子相等，咱们得到 x 一 乘以 e 的 负 x 一 次方等于 x 二乘以 e 的 负 x 二次方。接下来我们要把两边整理一下，把 x 放到一边， e 放到另一边， 两边同时除以 x 二，再除以 e 的 负 x 二，右边变成了 e 的 负 x 二次方，除以 e 的 负 x 一 次方。 根据指数运算法则，底数相同消除等于指数相减，右边就变成了 e 的 x 一 减去 x 二的差次方。咱们为了方便令 t 等于 x 一 除以 x 二。因为 x 一 小于 x 二，并且都是正数，所以 t 是 大于零且小于一的。 那么上面的式子就变成了 t 等于 e 的 x 一 减去 x 二的差次方，两边同时取自然对数。左边是以 e 的 x 一 减去 x 二的差次方，两边就变成了 x 一 减去 x 二。 到这里，咱们手里有两个关于 x 一 和 x 二的等式了，一个是 x 一 除以 x 二等于 t， 另一个是 x 一 减去 x 二等于 l n t。 咱们把这两个式子连立起来，由第一个式子得到 x 一 等于 t 乘以 x 二，代入第二个式子变成 t 乘以 x 二减去 x 二等于 l n t。 提取共音式 x 二得到 x 二乘以 t 减去一的叉等于 l n t。 所以 x 二就等于 l n t 除以 t 减去一的叉。把 x 二带回去 x 一 就等于 t 乘以 l n， t 除以 t 减去一的叉。你看，通过比值代换，咱们成功地把 x 一 和 x 二都用一个变量 t 表示出来了。 题目要证明 x 一 乘以 x 二小于一，咱们把刚才求出来的 x 一 和 x 二乘起来， x 一 乘以 x 二就等于 t 乘以 l n t 的 平方，除以 t 减去一的差的平方。 我们要证明这个式子小于一，也就是要证明 t 乘以 l n t 的 平方小于 t 减去一的差的平方。因为 t 在 零到一之间，两边都是正的。咱们把式子两边同时开根号。 注意，这里很多同学会犯错，因为 t 小 于一，所以 l n， t 是 负的， t 减一也是负的。开根号后，我们要取绝对值，左边变成负的根号 t 乘以 l n t， 右边变成一减去 t， 也就是要证明负的根号 t 乘以 l n， t 小 于一减去 t， 两边同时除以根号 t 变成负的 l n， t 小 于一，减去 t 除以根号 t。 一 项整理一下，咱们构造一个新函数， h t 等于 l n t， 加上一减去 t 除以根号 t。 只要证明 h t 大 于零就可以了。 接下来咱们对 h t 求导，以 e 为底， t 的 导数是 t 分 之一，后面那部分一减去 t 除以根号 t， 可以 拆分成 t 的 负二分之一次方。减去 t 的 二分之一次方。求导得到负的二分之一乘以 t 的 负二分之三次方。减去二分之一乘以 t 的 负二分之一次方。咱们把导数通分整理一下， 公分母是二倍的 t 乘以根号 t， 分 子部分整理后正好配成一个完全平方，得到负的根号 t 减去一的差的平方。大家仔细看这个导数，因为 t 在 零到一之间分母大于零，分子是负的完全平方，所以导数 h 撇 t 永远是小于零的。 这说明什么？说明函数 h t 在 零到一这个区间上是单调递减的，既然是单调递减，那么 h t 的 值就一定大于它。在右端点 t 等于一时的值。 咱们把 t 等于一代入 h t 算一下，以 e 为底，一的对数等于零，一减一等于零，所以 h 等于零。因为 h t 大 于 h 一， 所以 h t 大 于零。一步步倒推回去，这就证明了 x 一 乘以 x 二小于一，第二问就圆满解决了。 最终咱们证明了 x 一 乘以 x 二小于一。这道题真正要防的是直接蛮干，遇到双变量的极致点偏移问题，看到乘积或者比值，马上想到构造比值 t， 把双变量转化为单变量函数，只要把 x 一 和 x 二用 t 表示出来，再构造新函数，求导问题就迎刃而解了。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 负 x 次方减去 a。 若函数有两个不同的正零点 x 一 和 x 二，且 x 一 小于 x 二，求 x 一 加上 x 二的取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
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05:26查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我就是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是一道改编自二零二一年全国乙卷理科第二十题的圆锥曲线大题，很多同学拿到手看着简单，结果却在这里丢了冤枉分。想冲高分，这题最好七分钟内拿下全部分数。这题最容易踩的坑就是算切线的时候，很多同学上来直接套公式而不去判断点的位置，那基本就掉进出题人的陷阱里了。 咱们先来看看题目，已知双曲线 c 的 方程是四分之 x 的 平方，减去五分之 y 的 平方等于一。第一问，求双曲线 c 的 离心率和渐近线方程。第二问，求过点 p 坐标是零逗号三且与双曲线 c 相切的直线方程。 咱们先快速把基本量搞定，拿下第一问，再通过设直线方程连立判别式稳扎稳打拿下第二问。先来看第一问， 咱们要求离心率和渐近线。首先得找出基本量 a 和 b。 观察双曲线的标准方程，分母对应的分别是 a 的 平方和 b 的 平方。所以我们可以直接看出 a 的 平方等于四，那么 a 就 等于二， b 的 平方等于五，那么 b 就 等于根号五。 接下来我们要做什么呢？我们要算交半距 c， 因为在双曲线里， c 的 平方等于 a 的 平方加上 b 的 平方。具体怎么做呢？就是把四和五加起来得到九。既然 c 的 平方等于九，那么 c 就 等于三。 得到了 c 和 a， 离心率就水到渠成了，离心率 e 的 公式是 c 除以 a， 把三和二带进去，得到了离心率等于二分之三。 接下来求渐近线方程，这里有个非常重要的技巧，怎么快速写出渐近线呢？直接把双曲线标准方程等号右边的一改成零，也就是四分之 x 的 平方减去五分之 y 的 平方等于零。 我们把负的五分之外的平方移到等号右边，就变成了五分之外的平方，等于四分之 x 的 平方。两边同时乘以五，得到 y 的 平方等于四分之五倍的 x 的 平方。最后两边同时开平方，得到了渐近线方程，也就是 y 等于正负二分之根号五 x。 第一问咱们就轻松拿下了， 接下来看第二问，求过点 p 零逗号三的切线方程。很多同学在这里会犯错，看到求切线，不管三七二十一，直接把点的坐标当成切点带入公式。大家注意，这里做切线题第一步绝对不是设方程，而是先判断点到底在不在曲线上。 我们把 x 等于零， y 等于三，带入双曲线方程，左边得到零，减去五分之九，显然不等于右边的一。这就说明点 p 是 在双曲线外面的。 既然点在外面，我们就老老实实设直线方程，这个点在 y 轴上，如果切线斜率不存在，那直线就是 y 轴，也就是 x 等于零，这条线和双曲线是不相切的，所以切线的斜率一定存在。那我们就设切线方程为， y 等于 k， x 加上三。 接下来我们要做什么呢？我们要把直线和双曲线连立，把 y 等于 k， x 加上三。接下来我们要做什么呢？我们要把直线和双曲线连立， 把 y 等于 k， x 加上三，代入到双曲线方程中。为了好算，咱们先把双曲线方程两边同时乘以二十去分母 左边，第一项变成了五倍的 x 的 平方，第二项变成了四倍的 y 的 平方，等号右边变成二十。现在把 y 替换掉，方程就变成了五倍的 x 的 平方，减去四倍的括号， k， x 加三的平方等于二十。这步很关键，咱们慢慢展开。 括号里 k， x 加三的平方展开是 k 的 平方，乘以 x 的 平方加上六， k， x 加上九，外面还要乘以负四。展开后就是减去四倍的 k 的 平方乘以 x 的 平方减去二十四， k， x 减去三十六。 我们把等号右边的二十也移到左边，减去二十等于零。接下来合并同类项，把含有 x 的 平方的项放在一起，提取共音式 x 的 平方，括号里面就是五，减去四倍的 k 的 平方，然后再减去二十四 k， x 减去三十六，再减去二十，就是减去五十六，最后等于零。 因为咱们求的是切线，所以这个一元二次方程必须有唯一解。首先二次项系数不能为零，也就是五，减去四倍的 k 的 平方不能等于零。然后判别式德尔塔必须等于零，德尔塔等于 b 的 平方减去四 a、 c。 具体算一下，负二十四 k 的 平方是五百七十六倍的 k 的 平方减去四，乘以括号五，减去四倍的 k 的 平方，再乘以负五十六， 负四乘以负五十六是正的二百二十四，二百二十四乘以五是一千一百二十二百二十四乘以负四倍的 k 的 平方是负的八百九十六倍的 k 的 平方。把五百七十六倍的 k 的 平方和负的八百九十六倍的 k 的 平方合并，得到负的三百二十倍的 k 的 平方。 所以德塔等于一千一百二十，减去三百二十倍的 k 的 平方，让它等于零。我们把三百二十倍的 k 的 平方移到等号右边，得到三百二十倍的 k 的 平方等于一千一百二十。两边同时除以三百二十 k 的 平方就等于三百二十分之一千一百二十，上下约分后等于三十二分之一百一十二，再用十六约分，最后得到二分之七。 既然 k 的 平方等于二分之七，那 k 就 等于正负根号下二分之七，也就是正负二分之根号十四。咱们回头看一眼，二次项系数五，减去四倍的二分之七等于负九不等于零。完全符合条件，把 k 带回咱们设的直线方程，就得到了最终的切线方程。 所以这道题第二问的最终答案是，切线方程为 y 等于正负二分之根号十四， x 加上三。大家记住一个口诀，取外一点，求切线，先判位置，再连立，判别式等于零是核心。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 最后留一道同类思考题给大家。已知椭圆 c 的 方程是三分之 x 的 平方，加上二分之外的平方等于一，求过点 p 坐标是零。逗号二、切与椭圆 c 相切的直线方程。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
08:26查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路 这是改编自二零二二年全国乙卷理科第二十一题的导数压轴题，很多同学会在第二问的即知识点偏移这里直接放弃想冲刺一百三十分以上的高分。这种题型的核心逻辑，咱们必须在五分钟内理清。 这题真正考的不是硬算，而是如何巧妙的把双变量转化成单变量。先来读题，已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 负 x 次方减去 a， 其中 a 为实数。 第一问，讨论函数 f x 的 零点个数。第二问，若 f x 有 两个不同的正零点， x 一 和 x 二，且 x 一 小于 x 二，证明 x 一 乘以 x 二小于一。咱们先通过求导，把第一问的函数图像走势摸清楚，再用比值换元法拿下第二问。 接下来咱们看第一问，找零点个数。找零点其实就是看函数图像和 x 轴有几个交点。那要知道图像怎么走，咱们第一步肯定是求导。注意，这里 f x 等于 x 乘以 e 的 负 x 次方减去 a。 前面是一个乘积的形式，求导要用乘积的导数公式，前导后不倒，加上前不倒后倒， x 的 导数是一乘以 e 的 负 x 次方，加上 x 乘以 e 的 负 x 次方的导数。注意， e 的 负 x 次方求导会多出一个符号，变成负的 e 的 负 x 次方。所以导函数 f 撇 x 就 等于 e 的 负 x 次方减去 x 乘以 e 的 负 x 次方。咱们把 e 的 负 x 次方提出来，括号里就剩下一减 x， 常数 a 求导就没了，得到了导函数等于括号一减 x 乘以 e 的 负 x 次方。这里有个非常重要的技巧， e 的 负 x 次方永远是大于零的，所以导函数的正负完全由前面的 e 减 x 来决定。咱们令导函数等于零，马上就能解出唯一的极值点 x 等于一。 接下来咱们在脑子里想一下图像的走势，当 x 小 于一的时候，一减 x 是 正的，导函数大于零，原函数单调递增。当 x 大 于一的时候，一减 x 是 负的，导函数小于零，原函数单调递减。所以在 x 等于一这里，函数取到最大值。 咱们把 x 等于一代入圆函数，算一下最大值是多少。一乘以一的负一次方，再减去 a， 也就是一分之一减去 a。 很多同学在这里会犯错，算出最大值，就直接说有两个零点，千万别急找零点，必须分类讨论最大值和零的关系。咱们分情况来看， 第一种情况，如果最大值一分之一减去 a 小 于零，也就是 a 大 于一分之一，那整个函数图像都在 x 轴下方，和 x 轴没有交点，零点个数就是零个。 第二种情况，如果最大值等于零，也就是 a 等于一分之一，那函数图像刚好和 x 轴相切于最高点，零点个数就是一个。 第三种情况最复杂，如果最大值大于零，也就是 a 小 于一分之一，这时候是不是一定有两个零点呢？咱们得看两端的极限，当 x 趋于负无穷的时候， x 是 负无穷大， e 的 负 x 次方是正无穷大，乘起来就是负无穷大。 所以只要 a 小 于一分之一，在负无穷到一这个区间，图像一定会穿过 x 轴，这里绝对有一个零点。那在一到正无穷这个区间呢？咱们要注意，当 x 趋于正无穷的时候， x 乘以 e 的 负 x 次方是趋于零的，所以整个函数值趋于负 a， 这个负 a 到底在 x 轴上方还是下方，就决定了有没有第二个零点。如果负 a 大 于等于零，也就是 a 小 于零，那函数在一到正无穷上就一直大于等于零，跌不破 x 轴， 这时候总共只有一个零点。如果负 a 小 于零，也就是 a 大 于零，再结合前面说的 a 小 于一分之一，咱们就得到了零小于 a 小 于一分之一，这时候函数在右边会跌破 x 轴，一到正无穷上也会有一个零点，总共就是两个零点。 接下来咱们看第二问题目，说有两个不同的正零点， x 一 和 x 二，且 x 一 小于 x 二。根据第一问的结论，咱们立刻就能确定 a 的 范围是大于零且小于 x 二，并且 x 一 在零到一之间， x 二大于一。 要证明 x 一 乘以 x 二小于一，这就是经典的极值点偏移问题。咱们前面说了，用比值换元法来对付它。既然 x 一 和 x 二是零点，咱们把它们分别代入圆函数等于零，得到 x 一 乘以 e 的 负 x 一 次方等于 a， x 二乘以 e 的 负 x 二次方也等于 a。 两个式子相等，咱们两边同时取以 e 为底的自然对数，把指数降下来，左边变成以 e 为底， x 一 的对数减去 x 一， 右边变成以 e 为底， x 二的对数减去 x 二。 这里有个非常重要的技巧，咱们把含有对数的项移到左边，把一次项移到右边，得到以 e 为底 x 一 的对数减去以 e 为底， x 二的对数等于 x 一， 减去 x 二。接下来，咱们构造比值，令 t 等于 x 一， 除以 x 二。因为零小于 x 一， 小于一小于 x 二，所以 t 的 范围是大于零且小于一。 咱们把 x 一 替换成 t 乘以 x 二，代入刚才等号两边的式子。左边对数相减，就是真数消除，刚好变成以 e 为底 t 的 对数，右边提取共因式 x 二变成 x 二，乘以括号 t 减一。这样咱们就把 x 二单独解出来了。 x 二等于分子是以 e 为底， t 的 对数分母是 t 减一。 同理，因为 x 一 等于 t 乘以 x 二，所以 x 一 就等于分子是 t 乘以以一为底， t 的 对数分母是 t 减一。你看，咱们成功地把双变量 x 一 和 x 二变成了单变量 t 的 表达式。现在要证明 x 一 乘以 x 二小于一。咱们把刚才求出来的两个式子乘起来， 分子相乘是 t 乘以以一为底， t 的 对数整体的完全平方。分母相乘是 t 减一的完全平方。我们要证明这个分式小于一，因为分母 t 减一的完全平方肯定是正的，咱们把它乘到不等号右边。 所以我们要证明的不等式就变成了 t 乘以以 e 为抵 t 的 对数，整体的完全平方小于 t 减一的完全平方。咱们把不等式两边同时除以 t， 因为 t 是 大于零的不等号，方向不变，左边剩下以 e 为抵 t 的 对数，整体的完全平方，右边变成 t 减一的完全平方除以 t。 大家注意观察右边把分母的 t 放进平方里面，就变成了根号 t 减去根号 t 分 之一的完全平方。所以我们要证明的式子变成了以 e 为底 t 的 对数，整体的完全平方小于根号 t， 减去根号 t 分 之一的完全平方。 因为 t 在 零到一之间，以 e 为底， t 的 对数是负的，所以左边开放出来是负的。以 e 为底 t 的 对数，右边根号 t 减去根号 t 分 之一也是负的，开放出来是负的。括号根号 t 减去根号 t 分 之一， 两边同时乘以负一不等号。方向改变，我们就得到了最终要证明的核心不等式。以 e 为底， t 的 对数大于根号 t， 减去根号 t 分 之一。 这步很关键，只要证明了这个关于单变量 t 的 不等式，原命题就得正了。咱们构造一个新函数， g t 等于以 e 为底 t 的 对数减去根号 t 加上根号 t 分 之一。目标是证明当 t 在 零到一之间时， g t 大 于零。老规矩求导， g t 的 导数等于 t 分 之一，减去二倍，根号 t 分 之一，减去二倍 t 倍根号 t 分 之一。咱们通分一下，找公分母二倍 t 倍根号 t。 分 子整理之后，变成了二倍，根号 t 减去 t， 再减去一。大家看这个分子提个符号出来，里面就是 t 减去二倍，根号 t 加上一，刚好是根号 t 减一的完全平方，所以导函数等于负的根号 t 减一的完全平方除以二倍 t 倍根号 t。 因为 t 在 零到一之间不等于一，所以分子永远是负的，分母永远是正的，整个导函数横小于零，这就说明函数 g t 在 零到一这个区间上是单调递减的，咱们要找下界，就看端点。 因为 g t 单调递减，所以当 t 小 于 e 时， g t 一定大于 g 一。 咱们把 e 代表进去算一下， g e 等于以 e 为抵一的对数，减去一加上一，结果刚好等于零，所以 g t 大 于零横乘以。 这就完美证明了以 e 为抵 t 的 对数大于根号 t， 减去根号 t 分 之一，一路反推回去，也就证明了 x 一 乘以 x 二小于一。 第一问的答案是，当 a 大 于一分之一时，没有零点。当 a 等于一分之一或 a 小 于等于零时，有一个零点。当 a 大 于零且小于一分之一时，有两个零点。 第二问，咱们也顺利挣完了这题真正值钱的地方就是把两个说不清道不明的零点通过比值换元，压缩成了一个单一变量 t。 大家记住这个口诀，双变单造比值，对数化简找极值，以后遇到极值点偏移，先写比值，再构造函数求导，答案自然就出来了。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 最后留一道同类思考题给大家。已知，函数 f x 等于以 e 为底， x 的 对数减去 a 乘以 x， 其中 a 大 于零。如果有两个不同的正零点， x 一 和 x 二，且 x 一 小于 x 二，你能证明 x 一 乘以 x 二大于 e 的 平方吗？这个证明过程的核心构造函数是什么？欢迎打在评论区。
07:32查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是二零二三年全国已捐理科第二十题的解析，几何大题，想冲一百三十分，这种圆锥曲线的定点问题必须彻底拿下。 这题最容易把大家算崩溃的地方就是。第二问，直线与椭圆连立后的定点问题，必须彻底拿下。这题最容易把大家算崩溃的突破口，计算量能砍掉一大半。 已知椭圆 c 的 方程是 y 的 平方，除以 a 的 平方，加上 x 的 平方除以 b 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零，离心率为三分之，根号五点 a， 负二代号零。在椭圆 c 上， 第一问求 c 的 方程，第二问过负二，逗号三的直线交 c 于 p 和 q 两点，直线 ap 和 a， q 与 y 轴交点分别为 m 和 n， 证明线段 m， n 的 中点为定点。咱们先通过基本公式把椭圆方程求出来，然后再用射线连力和整体代换的技巧，一口气锁定这个定点。 接下来咱们要做什么？为什么？先来解决第一问，求椭圆 c 的 方程。因为题目给出了离心率和一个点，咱们只要把这两个条件转化成 a 和 b 的 方程组就行了。具体怎么做，题目说，点 a 负二，逗号零。在椭圆上。咱们把 x 等于负二， y 等于零，代入椭圆方程。 左边第一项 y 的 平方除以 a 的 平方就变成零了。第二项变成负二的平方除以 b 的 平方等于右边的一，所以得到 b 的 平方等于四，那么 b 就 等于二。 再看离心率，题目说离心率等于三分之根号五，大家知道离心率 e 等于 c， 除以 a， 所以 c 除以 a 等于三分之根号五，两边同时平方得到 c 的 平方。除以 a 的 平方等于九分之五，也就是 c 的 平方等于九分之五乘以 a 的 平方。 这里有个非常重要的技巧，很多同学在这里会犯错，忘了这道题的椭圆交点是在 y 轴上的，你看题目方程， y 的 平方底下是 a 的 平方，所以 a 的 平方等于 b 的 平方加上 c 的 平方，而不是等于 b 的 平方减去 c 的 平方。咱们把 b 的 平方等于四，还有 c 的 平方等于九分之五乘以 a 的 平方，都带入到这个关系式里。 左边是 a 的 平方，右边就是四，加上九分之五乘以 a 的 平方，我们把右边的九分之五乘以 a 的 平方移到左边， a 的 平方减去九分之五乘以 a 的 平方，就剩下九分之四乘以 a 的 平方等于四，两边同时除以九分之四，得到了什么？得到了 a 的 平方等于九，那最后咱们把 a 的 平方等于九， b 的 平方等于四，放回圆方程就得到了椭圆， c 的 平方除以四等于一，第一问就轻松拿下了。 接下来咱们要做什么？为什么？第二问要求证明线段 m， n 的 中点是定点，咱们得先把 m 和 n 的 坐标表示出来，这就需要先设出直线 p、 q 的 方程，然后和椭圆连立。 具体怎么做，这里有个非常重要的技巧，因为直线过负。二、逗号三，很多同学习惯设成 y 等于 k， 乘上 x 加二，然后再加三，但这题直线斜率可能不存在，而且如果这么设，后面算 m 和 n 的 纵坐标会非常麻烦。 为了避开这个坑，咱们换个思路设 x 加二，等于 m， 乘上 y 减三。这样设不但包含了所有情况，而且直接和后面的坐标表达完美契合。咱们设 p 的 坐标是 x 一， 逗号 y 一， q 的 坐标是 x 二，逗号 y 二。先看点 m， 它是直线 ap 和 y 轴的交点， 直线 ap 过点 a， 负二，逗号零和点 p， 所以 它的方程可以写成 y 减零，等于 y 一 除以 x 一 加二，整体乘上 x 加二。 因为 m 在 y 轴上。咱们把 x 等于零代入得到了什么？得到了 m 的 纵坐标 y， m 等于两倍的 y 一 除以 x 一 加二。同理， n 的 纵坐标 y， n 等于两倍的 y 二除以 x 二加二。接下来咱们要做什么？为什么？为了找中点，咱们得求 y， m 加上 y n， 看看它是不是个常数， 具体怎么做，咱们把刚才设的直线方程 x 一 加二，等于 m 乘上 y n 减三，代入到 y m 和 y n 的 表达式里， y m 就 变成了两倍的 y 一 除以 m 乘上 y 一 减三， y， n 就 变成了两倍的 y 二除以 m 乘上 y 二减三。把它们加起来，提取共音式 m 分 之二。括号里就是 y 一 除以 y 一 减三，加上 y 二除以 y 二减三。咱们把括号里通分分子变成了两倍的 y 一 乘 y 二减去三倍的 y 一 加 y 二， 分母变成了 y 一 乘 y 二减去三倍的 y 一 加 y 二，再加上九，得到了这个式子。接下来自然就是要找 y 一 加 y 二，还有 y 一 乘 y 二了。接下来我们要做什么？为什么我们要把直线方程和椭圆方程连立，利用维达定律找出这两个式子， 具体怎么做？把直线方程 x 等于 m 乘上 y 减三再减二，代入到椭圆方程四倍的 y 的 平方，加上九倍的 x 的 平方等于三十六。里面展开的过程有点长，大家耐心点 把 x 替换掉，就是九倍的 m 乘上 y 减三再减二的完全平方。我们把括号里当成一个整体展开，得到了九倍的 m 的 平方，乘上 y 减三的平方，减去四倍的 m， 乘上 y 减三再加上四。然后再把它和前面的四倍的 y 的 平方合并 整理后得到四，加上九倍 m 的 平方。整体乘上 y 的 平方减去五十四倍 m 的 平方，加上三十六倍 m 的 平方，加上一百零八倍 m 等于零。 由维达定律我们就得到了 y 一 加 y 二等于五十四倍 m 的 平方，加上三十六倍 m 除以四，加上九倍 m 的 平方。 y 一 乘 y 二等于八十一倍 m 的 平方，加上一百零八倍 m 除以四，加上九倍 m 的 平方。接下来我们要做什么？为什么把这两个结果代入到刚才 y m 加上 y n 的 括号里？ 具体怎么做，咱们先算分子，两倍的 y 一 乘 y 二，减去三倍的 y 一 加 y 二，把分母忽略，只看上面的部分。两倍的八十一倍 m 的 平方，加上一百零八倍 m， 就是 一百六十二倍 m 的 平方。加上二百一十六倍 m， 也是一百六十二倍 m 的 平方，加上一百零八倍 m， 两者相减一百六十二倍 m 的 平方抵消了二百一十六倍 m， 减去一百零八倍 m， 就 剩下了一百零八倍 m。 再看分母， y 一 乘 y 二，减去三倍的 y 一 加 y 二，再加上九，前面那部分相减，变成了负的八十一倍 m 的 平方，再加上九倍的四，加上九倍 m 的 平方，也就是三十六加上八十一倍 m 的 平方， 负的八十一倍 m 的 平方和正的八十一倍 m 的 平方抵消了分母，就剩下了三十六，得到了什么？括号里的整个式子其实就是一百零八倍 m 除以三十六等于三倍的 m。 那 最后咱们把这个结果乘上外面的 m 分 之二， m 分 之二乘上三倍的 m， m 约掉了，结果等于六，也就是说 y m 加上 y n 等于六。因为终点的纵坐标是 y， m 加上 y n 除以二，所以终点的纵坐标就是三。而 m 和 n 都在 y 轴上，横坐标都是零，所以线段 m n 的 终点坐标就是零。逗号三，这是一个固定的点。证明完毕， 咱们来做个总结。这道题第一问，求椭圆方程，答案是 y 的 平方除以九，加上 x 的 平方除以四等于一。第二问，证明定点，最终定点坐标是零。逗号三。大家记住一个口诀，遇到圆锥曲线定点问题，先看直线过哪个定点，平移变量整体代换计算量就能少一半。 这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题。刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知椭圆 c 的 平方除以四，加上 y 的 平方除以三等于一， 过点一逗号零的直线交椭圆于 a 和 b 两点。直线 m， a 和 mb 与直线 x 等于四，交于 p 和 q 两点。其中点 m 是 负一逗号零。请问线段 p q 的 中点纵坐标是不是一个定值？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
31杨老师数学精讲
09:34查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二高三都可以， 我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！这是改编自二零二三年全国已捐理科第二十题的圆锥曲线大题，想在压轴题上多拿十几分，这题的第二问必须拿下。这题最容易踩坑的地方就是第二问，看到焦点就去无脑连力回答定理，算到最后直接崩溃。咱们先来读题， 已知椭圆 c 的 方程是 a 的 平方分之， y 的 平方加上 b 的 平方分之 x 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零，椭圆的离心率为三分之，根号五，且点 a 负四零在椭圆 c 的 方程。 第二问，求椭圆 c 交于 p 和 q 两点直线， ap 和 a、 q 分 别交于 m 和 n 两点，证明线段 mn 的 中点为定点。咱们先来秒杀第一问，再来看看第二问，到底怎么设直线，怎么找中点？ 先来看第一问，求椭圆方程。这里有个非常重要的细节，很多同学在这里会犯错，大家看椭圆方程， y 的 平方下面是 a 的 平方， x 的 平方下面是 b 的 平方，因为 a 大 于 b， 这说明什么？说明椭圆的长轴在 y 轴上，焦点也在 y 轴上，千万别习惯性的以为焦点都在 x 轴上。 题目说点 a 负四，零在椭圆上，你看这个点的纵坐标是零，所以咱们直接把 x 等于负四， y 等于零，代入椭圆方程零除以 a 的 平方还是零，加上 b 的 平方分之负四的平方，也就是 b 的 平方分之十六等于一。接下来我们要做什么？当然是解出 b 的 平方， 很明显， b 的 平方就等于十六，那 a 的 平方怎么求呢？题目还给了一个条件，离心率等于三分之根。号五，大家回忆一下离心率， e 等于 a， 分 之 c， 所以 a 分 之 c 等于三分之根号五，两边同时平方得到 a 的 平方，分之 c 的 平方等于九分之五。 这里有个非常重要的技巧，咱们不需要去单独求 c， 因为椭圆里有一个核心关系式， a 的 平方等于 b 的 平方，加上 c 的 平方，我们把 c 的 平方替换成 a 的 平方，减去 b 的 平方，所以上面的式子就变成了 a 的 平方分之括号 a 的 平方减去 b 的 平方等于九分之五。 把刚才算出来的 b 的 平方等于十六带进去，分子变成了 a 的 平方减十六。咱们把方程两边交叉相乘，九乘以括号 a 的 平方减十六，等于五，乘以 a 的 平方展开左边九倍的 a 的 平方减去一百四十四，等于五倍的 a 的 平方。 接下来我们移项，把五倍的 a 的 平方移到左边，九减五，剩下四，也就是四倍的 a 的 平方。把负的一百四十四移到右边，变成正的一百四十四。 所以四倍的 a 的 平方等于一百四十四。两边同时除以四，得到 a 的 平方等于三十六。到这里 a 的 平方和 b 的 平方都求出来了。所以第一问的结果，椭圆 c 的 方程就是三十六分之 y 的 平方加上十六分之 x 的 平方等于一。 接下来咱们看最值钱的。第二问，这题真正要防的是什么？是一上来就设 y 等于 k， x 加 m， 然后去和椭圆硬算，如果你一上来就硬算，基本就掉进出题人的坑里了。大家先观察一下题目给的定点 a 是 负四零，而直线经过的定点是负四六， 这两个点的横坐标都是负四。这个数字一出来，思路就开始清晰了。为了方便利用这个负四，咱们把直线的斜率设为 k。 因为直线过点负四六，所以直线方程可以写成 y 减六，等于 k 乘以括号 x 加四。那接下来我们要找 m 和 n 的 坐标， 直线 ap 过点 a 负四零和点 p， 我 们设点 p 的 坐标是 x 一 和 y 一， 那么直线 ap 的 斜率就是 y 一 减零，除以 x 一 减去负四，也就是 x 一 加四分之 y 一。 所以直线 ap 的 方程就是 y 等于 x 一 加四分之 y， 再乘以括号 x 加四。 题目说 ap 交 y 轴于点 m， 交 y 轴意味着什么？意味着 x 等于零。咱们把 x 等于零带入 ap 的 方程，算出来 m 的 纵坐标，我们叫它 y， m 就 等于 x 一 加四分之四倍的 y 一。 同理，设点 q 的 坐标是 x 二和 y 二，那点 n 的 纵坐标 y n 就 等于 x 二加四分之四倍的 y 二。我们要证明 m n 的 中点是定点，其实就是要算 y， m 加上 y n 是 不是一个定值。 咱们把这两个式子加起来，发现分母有 x 一 加四，还有 x 二加四，这怎么算？注意这里，刚才我们设的直线方程是 y 减六，等于 k 乘以括号 x 加四，所以 x 加四其实就等于 k 分 之 y 减六。 我们把这个关系代入到 y m 的 表达式里，分母变成了 k 分 之 y 一 减六，分子还是四倍的 y 一。 整理一下，把 k 翻上去， y m 就 等于 y 一 减六分之四， k 乘以 y 一。 同理， y n 就 等于 y 二减六分之四， k 乘以 y 二。你看，这样一替换式子里就只剩下 y 一 和 y 二了，这是不是大大简化了计算？ 接下来我们要把 y m 和 y n 加起来，提取共音式四 k 括号里面是 y 一 减六分之 y 加上 y 二减六分之 y 二。为了方便通分，这里有个非常巧妙的变形技巧，我们把分子上的 y 一 拆成 y 一 减六分之 y 二。为了方便通分，这里有个非常巧妙的变形技巧，我们把分子上的 y 一 拆成 y 一 减六分之六。 同理，后面那一项就变成一加上 y 二减六分之六。两个一加起来是二，所以 y m 加 y n 等于四， k 乘以大括号二加上 y 一 减六分之六，再加上 y 二减六分之六。 把后面两项的六提出来，里面通分，分母是括号 y 一 减六，乘以括号 y 二减六，分子是 y 二减六，加上 y 一 减六，也就是 y 一 加 y 二减十二。 这个式子看起来有点长，但它的核心就是，我们需要求出 y 一 加 y 二，以及 y 一 减六和 y 二减六的乘积。这怎么求？当然是连立直线和椭圆方程了。 为了计算更简单，咱们刚才已经发现核心是 y 减六，那咱们干脆换个圆，设 t 等于 y 减六，那直线的方程 x 加四等于 k 分 之 y 减六，就可以写成 x 等于 k 分 之 t 减去四。为了书写方便，我们设 k 分 之一为 m， 所以 x 就 等于 mt 减四。接下来我们要做什么？把 x 代入椭圆方程， 椭圆方程化简一下，两边同乘一百四十四，得到四倍的 y 的 平方，加上九倍的 x 的 平方等于一百四十四。把 y 等于 t 加六和 x 等于 m， t 减四带进去 得到四乘以括号 t 加六的平方加上九，乘以括号 m， t 减四的平方等于一百四十四。咱们来展开它。第一项展开是四倍的 t 的 平方加上四十八， t 加上一百四十四。 第二项展开是九倍的 m 的 平方，乘以 t 的 平方减去七十二 m， t 加上一百四十四。等号右边是一百四十四。接下来我们合并同类项， 两边的一百四十四可以消掉一个。把 t 的 平方的系数提出来是四，加上九倍的 m 的 平方。把 t 的 系数提出来是四十八，减去七十二 m， 长数项还剩下一个一百四十四。所以整理后得到括号四加九倍的 m 的 平方乘以 t， 再加上一百四十四等于零。 这个关于 t 的 一元二次方程的两个根就是 t 一 和 t 二，也就是 y 一 减六和 y 二减六。根据维达定律，两根之合， t 一 加 t 二等于负的 a 分 之 b， 也就是四加九倍的 m 的 平方分之七十二， m 减四十八。 两根之积 t 一 乘以 t 二等于 a 分 之 c， 也就是四加九倍的 m 的 平方分之一百四十四。回到刚才算 y， m 加 y n 的 式子，我们需要算的是 t 一 分之六加上 t 二分之六。 通分之后就是 t 一 乘以 t 二分之六倍的括号 t 一 加 t 二。咱们把维达定律的结果带进去，你会发现它们的分母都是四加九倍的 m 的 平方直接就约掉了， 所以它就等于一百四十四分之六乘以括号七十二， m 减四十八。咱们来约分，分子、分母同时除以六，分母变成二十四， 式子变成二十四分之七十二， m 减四十八。再把分子、分母同时除以二十四，七十二除以二十四是三，四十八除以二十四是二，所以整个式子就化简成了三 m 减去二。接下来咱们把这个结果带回到刚才 y m 加上 y n 的 括号里， 括号里原本是二，加上刚才算的一大坨，现在就变成了二，加上三 m 减去二。你看，神奇的事情发生了，这里的二和负二直接抵消了，括号里只剩下一个三 m。 别忘了，括号外面还有一个四 k， 所以 y m 加上 y n 就 等于四 k 乘以三 m， 也就是十二倍的 k 乘以 m。 大家还记得 m 是 怎么来的吗？前面为了方便我们设了 m 等于 k 分 之一，所以 k 乘以 m 正好等于一， 那么 y m 加上 y n 就 结结实实的等于十二。题目要证明的是 m n 的 中点为定点，既然 m 和 n 都在 y 轴上，横坐标都是零，那中点的横坐标肯定是零，纵坐标呢，就是 y， m 加上 y， n 除以二十二，除以二等于六， 所以线段 m 的 终点坐标就是零六，不管直线怎么变，这个终点死死的定在零六这个位置上，这就证明完毕了 这道题的最终答案。咱们汇总一下。第一问，椭圆方程是三十六分之 y 的 平方加上十六分之 x 的 平方等于一。第二问，证明出的终点定点坐标是零六。 这题真正值钱的地方不是算的多，而是懂得先观察定点的横坐标特征。看到直线过定点，交点连线也过定点，而且横坐标还一样。咱们先别急着设常规的 y 等于 k， x 加 m， 而是巧妙利用横坐标相同的特点换圆。 记住这个判断标准，遇到同横坐标定点，直接设 x 等于 m， y 加 n 的 形式，或者平移换圆，计算量能省一半。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知椭圆四分之 x 的 平方加上三分之 y 的 平方等于一 过点二、三的直线与椭圆交于 a 和 b 两点。直线 m， a 和 mb 分 别交 y 轴于 p 和 q 两点，其中点 m 的 坐标是二零。请问线段 p、 q 的 中点是不是一个定点？如果是定点，坐标是多少？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
49杨老师数学精讲
03:02查看AI文稿AI文稿高考全国以卷作文题，这水有点深了，从思想内核来说，不出我所料。从命题技巧来看呢，有点没想到，这回这水确实有点深了，再慢慢说啊，这个话题可不小，所以呢，视频短不了。 全国已卷设计到安徽、河南、山西、陕西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、青海、宁夏、新疆、内蒙等十二个地方的考生。我一直讲啊，高考作文题，不管具体材料怎么变，思想为何都不会变？ 青年的精神成长，青年的责任感、使命感，或者说青年的时代担当，这是每年高考作文题的思想配合，也是拉开区分度的试金石，年年应证，今年这个也不例外。我们看材料啊， 先给一个打了表格，里面都是一些具体的事实。然后呢，给出文字。文字呢，又分两部分，前面是说两次奥运会，展示了我们的跨越式发展，也见证了你从懵懂儿童向有为青年的跨越。后面换成了考证的角度，就是你的角度， 等于说，过去的十四年，你能感受到国家的强盛，现在你长大了，你将为民族复兴做贡献，你将与我们的祖国一起继续跨越。 这不正是呼唤青年的责任感、使命感，青年的时代担当精神吗？你把自己摆进去，让自己融入民族父亲的澎湃春潮，表达出你的感受和思考。只要你心中有这个感受，有这样的思考，那么你随口一吐，不敢说是半个盛唐， 起码是有模有样的好文章。但是人家规定吧，文章主题只能是跨越再跨越。你可千万要明白啊，这跨越再跨越不能只是说国家， 你必须把自己融进去，要不然你的文章大概率就会干巴巴的，没有血肉啊。但是我就怕你的笔下融不进去。因为你发现啊，那么大的一个表格里边那么多具体的事实都应该写进去啊。 于是你就写着写着八百字就够了，只能在文章最后空空洞洞喊两句口号。这样的文章可能会是大多数。我们想想啊，几百万考生涉及到的省份有的几十万，有的上百万，浮在表面的东西大家都能看得见， 敢取不敢舍的人是多数吗？只有少数人能够发现深刻之处，他们会在规定的主题之下，主要表达自己的责任感、使命感。这样的文章可就对了，可能会得高分。 这不仅是在考验考生的写作能力，更是考验青年人的眼界和胆识。所以我说，今年这个水有点深了。最后呢，考你个脑筋急转弯，一路江科湖海，马上就找不见了。这东西是什么呢？评论区说说看。
12.5万高中老王
01:35查看AI文稿AI文稿昨天高考数学一结束，家长群呢就炸锅了，群里一片哀嚎，有的学生哭着说要复读了，有的学生说只能上大专， 有的学生说今年高考数学难得离谱，从第四道选择题就开始卡，下面的题呢，不知道如何去做， 跟有的家长开玩笑，说全国数学已卷，让学生呢逐梦大专，让山区的孩子出不了大山，三十万考生，二十万要搬砖，还有十万永远要高三。 那今年的高考数学为什么那么难？各种创新提醒，改进提醒，让我们考生呢，防不胜防，连平时考试在六百五十分甚至六百六十分以 上的优秀学生，在亚洲题上啊，都没时间去做，也不会做前面做过的题呢，也不知道是对还是错，中等生呢，直接崩溃，连题都看不懂。高考数学的指挥棒可能会影响到中考数学的出题。 今年的高考数学大量的创新题型设计，增加试题开放性，鼓励学生运用创造性、发散性的思维分析问题和解决问题，培养学生的创新精神。 今年全国数学卷真的很难，即将中考的家长和同学们，你们准备好了吗？
4.2万问鼎铭校（魏老师）
14:41查看AI文稿AI文稿做一个二三年全国一卷的圆锥曲线的大题，告诉了我们椭圆它的离心率，那椭圆的离心率 e 等于 a 分 之 c， 对 吧？然后椭圆中呢， a、 b、 c 的 关系是 a 方等于 b 方加上 c 方，这都是我们要数积于心的。 说点 a 呢，负二零在这个椭圆 c 上，让我们求 c 的 方程，那你看第一位，他给了我们点这个 a 负二在 c 上，对吧？因为 a 点负二零 在 c 上，所以说代入得也就是四比上 b 方等于一，对吧？所以呢， b 方呢，就等于四，因为他又给了我们这个离心率， e 等于 a 分 之 c， 那 也就等于三分之根号五， 所以说呢， c 呢，是等于三分之根号五 a 的， 那 a 与 c 有 关系了， b 呢，我们还是已知的，那我们又想到椭圆中，因为椭圆中 a 方等于 b 方，加上 c 方，对吧？那我们给它代入，是不是就能求出 a 了，对吧？那这个代入 a 方，它就等于 b， b 方是 四，对吧？ b 方是四，加上 c 方，他的平方，那也就是九分之五 a 方，所以说我们能够截得 a 方呢，等于九，所以第一位双曲线我们能求出来了， x 方比九，加上 y 方比四等于一。 那第二问，又是过一个点的直线，对吧？交于 p q 两点，那我们上个视频讲过了，只要过点的直线交于 ab 两点，我们有一个固定的模板的步骤，对吧？第一步设这个直线，设直线方程，对吧？第二步是连力方程组。 然后第三步呢，让我们求得它大于零，因为它有交于两点，那肯定有两个根得它大于零。那第四步呢？是什么？是不是就是伟大定律 x 一 加 s 二， s 一 乘 s 二，那第五步呢？就具体问题具体分析了，那我们利用这个模板的步骤，我们来具体做一下， 我们看一下第二本，那他说过点负二三的直线，对吧？那我们可以先画一下这个椭圆，这个椭圆是这样的，然后点呢？负二三，那他是在这的，那如果说因为考虑到直线的问题，我们肯定要考虑他的直线存不存在，对吧？因为如果说他的 斜率不存在的话，他是这种垂直的，对吧？那他是这种垂直的话，他交于 p q 两点，那假如说这个点， 这个点是 p， 这个点呢？是 q， 然后这块是 a， 对 吧？是负二零，这是 a， 那 他说直线 a p a q 与 y 轴的交点，那 a p 与 a q， 他 与 y 轴是这个平行的，那不可能有交点，对吧？所以说他这个斜率呢，一定是存在的，所以说我们写一下，因为当过 负二三这个点过，他的直线斜率不存在时，那 a p a q 与 y 值无交点，对吧？所以说斜率呢，必存在，我们设这个斜率呢为 k p q 过点 p q， 这个 直线过点负二三的直线交 p q， 对 吧？交 p q 于两点，那假如说这是 p， 这是 q， 那 直线 p q 是 不是用点斜式方程我们能求出来，那就是 y 减三，等于 k 倍的 x 加二，然后我们再设这个两点，对吧？交于 p q 两点吗？ p 是 x 一 y 一 q 呢？是 x 二 y， 我 们可以用到上个视频讲的这个固定的这个模板。 那第二步我们是不是给他连立方程组啊？那我们一给他连立是 y 等于 k x 加二， k 加三，这个直线方程，对吧？然后与这个 椭圆，也就是 y 方比九，加上 x 方比四等于一，那我们把这个 y 给他往这里面代入，那也就是 k x 加上二 k 加三的平方比上九， 加上 x 方比四，等于一，对吧？然后我们给他通一下分，都乘一个三十六，那也就是 都乘一个三十六，也就是四倍的那 k， 把它开一下方，那 k 方 x 方，我们可以把它当个整体，对吧？那也就是加上二倍的它乘以它，那也就是二 k x 乘以二 k 加三。括号的平方 这块呢就比较细，加上一个九 x 方等于三十六，给它通一下粉，然后我们就给他计算就可以了。我们可以去一下这个括号， 把这个四都乘进去，那也就是四倍的 k 方 x 方加上四 k 方 x 加六 k x 加上四 k 方加十二 k 加九， 再加上九 x 方，等于三十六。然后我们把四给它乘进去，然后给它一合并同类项，我们能够得到四 k 方加九倍的 x 方，加上 十六 k x 加十六 k 方加四十八 k 呢，等于零。所以 四 k 方加九倍的 x 方，再加上提出一个八 k 乘以二 k 加三倍的 x， 再加上提个十六，那也就是 k 方加三 k 呢，等于零。这是不是整成一元二次方程了，对吧？一元二次方程，第二步我们做完了，连累完了，那第三步求得大于零，对吧？ 因为嘚他呢等于，那也就是 b 方减去四 a c， 那 他就等于六十四 k 方乘以二 k 加三的平方减去六十四乘以四 k 方加九 乘以 k 方加上三 k， 那 他就等于六十四 k 方乘以四 k 方加十二 k 加九，减去六十四乘以四 k 方加九乘以 k 方加上三 k， 然后我们再给他去一下括号，最后他的得的是一七二八 k， 让他大于零，所以说 k 呢？他是小于零的，对吧？那得他我们又求完了，是不是？接下来利用伟大定律求 s 一 加 s 二乘 s 一 乘 s 二了？ 那 x 一 加上 s 二，等于负的也分之 b， 也就是等于负的四 k 方加九分之 八 k 乘以二 k 加三，那 x 一 乘 x 二呢？也就等于 a 分 之 c， 它等于四 k 方加九分之十六倍的 k 方加上三 k， 那 s 一 加 s 二， s 一 乘 s 二，我们求完了，那利用这个固定的模板的解题步骤我们都求完了，对吧？那最后一步我们就是具体问题具体分析了，那他说这条直线与 p q， 对吧？这是 p q 交于 c 于 p q 两点，那直线 a 呢？ a 是 负二零， a 在 这 a p 与 a q， 那 a p 与外折的交点是不是延长线呢？这块是 m， 那 与 a q 连接 a q， 它的交点这块是 n， 对 吧？让我们证明线对 m n 的 中点是一个定点，那我们是否可以把 m 的 坐标和 n 的 坐标给它表示出来啊？ p 点呢？我们设的是 x 一 y 一， 对吧？然后 a 因为 a 点呢？还是负二零？那所以说 ap 直线的斜率我们是不是知道？那也就是纵坐标减纵坐标 比上红坐标减去红坐标等于它，对吧？那直线 ap 的 方程我们是不是用点斜式也能求出来啊？那也就是 y 减零，对吧？等于 k 位的，也就是 y 一 比上 x 一 加二乘以 x 一 x 加二，那 ap 的 直线 a p 直线我们求出来了，对吧？那 a p 与 y 轴交于点 m， 那 m 它的横坐标肯定是零，那我们可以利用 x 呢，等于零，那捷德呢？ y 它等于二， y 一 比上 x 一 加二，那所以 m 的 坐标我们能求出来了，那也就是零二。 y 一 比上 x 一 加二，那同理，我们是不是 根据这种方法，是不是也可以求出 n 点作表，那也是求，那也就是求 a q 的 斜率，对吧？那 k q 呢？我们可以求一下 k q， 它是不是就是 y 二比上 x 二加二啊？那直线 就是 a q， 对 吧？那直线 a q 的 方程我们是不是也能求出来？那也就是 y 等于 y 二比上 x 二加二，乘以一个 x 加二， 公里 n 点呢？它也是在这个 y 轴上，所以说我们也是令 x 等于零，那能求出 y， 对 吧？ y 就 等于二， y 二比上 x 二加二，所以说呢， n 点的坐标呢，我们也能求出来，那也就是零二。 y 二比上 x 二加二， 那它让我们求线段 m n 的 中点为定点，对吧？那 m n 的 中点是不是它们纵坐标相加的一半啊？那也就是它的中点，对吧？那所以写一下， m n 中点 是为纵坐标相加的一半，那也就是二。 y 一 比上 x 一 加二，加上二， y 二比上 x 二加二，再除以二，对吧？因为它的终点呢，是纵坐标相加除以一半，那我们给它代入一下 y 一， 是不是可以用 x 一 表去试出来，带入这个直线方程，对吧？ 那 y 一 是不是就等于 k 被的 x 一 加二，再加上这个三呢？所以说它就等于这个二和这个二约掉了吗？它就剩个 y 一 了，那在这里 y 一 就等于 k 倍的 x 一 加二，再加上三，对吧？比上底下 x 一 加二，那加上这个 y 二呢？就是 k 倍的 x 二加二，再加三，比上一个 x 二加二，然后接下来就是计算量就比较大了，这就比较简单了，我们只要细心就可以，我们给他 通一下分，那底下是 x 一 加二，乘以个 x 二加二，那上边呢？就是 k x 一 加上二 k 加三，对吧？给他去一下括号，那他乘一个 x 二加二，然后加上一个 k x 二加二， k 加三，他乘一个 x 一 加二， 那我们再给他去下括号，这个就是计算量比较大，那也就是他乘他，对吧？他乘他加上他乘他加上他乘他，就是去括号，那也就是 k x 一 x 二加上二 k x 一 加上二 k x 二， 对吧？然后到他了，对吧？加上四 k， 然后加他乘他加上他乘他，那也就是加上 三 x 二加六，加上到他了，对吧？他乘他加他乘他加他乘他加他乘他，那也就是 k x 一 x 二加二， k x 二加二， k x 一 加上四 k 加上三 x 一 加六， 底下那就是 x 一 x 二加上二倍的 x 一 加 x 二，都是去括号吗？然后加四，那它就等于 我们看一下，这是 k s 一 s 二，对吧？这也是 k s 一 s 二。因为伟大定律我们求的是 x 一 乘 x 二和 x 一 加 x 二吗？我就给他写成这种系数的形式，那， 那他俩就是二 k x 一 x 二，那这呢？二 k 倍的 x 一 加 x 二，对吧？这是三倍的 x 二 加上三倍 x 一， 对吧？那也就是加上二 k 加三倍的 x 一 加上 x 二，然后再加上剩下的就是八 k 加上 十二，对吧？这四 k 四 k， 那 也就是八 k 加上十二，我们能提出个四，那也就是四倍的二 k 加三，然后底下的还是 x 一 x 二加上二， x 一加上 x 二加四，然后我们是不是把这 s 一 加 s 二与 s 一 乘 s 二，我们给它带入到这个里面就可以了，对吧？那它就等于 那二 k 乘以 x 一 乘 s 二，对吧？在这呢，那也就是它乘一个二 k， 那 也变成了三十二 k 乘以个 k 方加上三 k， 比上 四 k 方加上九，减去。因为二 k 加三，乘以 s 一 加 s 二嘛， s 一 加三是负的，所以减去一个八 k 乘以 二 k 加三，对吧？再乘以一个四 k 加三就是四，再乘以一个四 k 加三， 比上四 k 方加九，加上四倍的二 k 加三，然后再除以一个，就还是把它 s 一 乘 s 二， s 一 加 s 二给它替换，那也就是四 k 方加九分之 十六倍的 k 方加三 k 减去四 k 方加九分之十六 k 倍的二 k 加三， 然后再加上四，然后这一步呢也就比较简单了，就是一个简单的计算，但是他的计算量呢，就是比较大。然后我们就是最后整理一下的，就是给他通分，他变成四 k 方加九倍的四 k 方加九，他也是四 k 方加九，那他这四 k 方四 k 方加九，和他们都约掉了，对吧？那也就是上面他减，他加他， 再除以一个它减它减它加它，对吧？那最后我们可以计算一下，它就剩下一个，上面就剩一百零八 d， 现在就剩一个三十六，然后它就等于三。所以说 m n 它的个中点是不是最后计算结果就是一个定点呢？那就是三，那我们证明是不是证明出来了这块呢？它就是计算量比较大，但都是比较简单的啊，就是一些去括号啊和分头列项和这块呢都是一样的，所以说大家仔细计算一下就可以了。 看这道题第二问，我们是不是又用到那个模板了？就是一条过过一点的直线与这个双与这个椭圆，就是与 圆锥曲线交于 ab 两点，然后我们就是设直线，然后连立方程组，让它的的大于零。用伟大定律求 s 一 加 s 二， s 一 乘 s 二，然后呢就具体问题具体分析，这个 具体问题呢是让我们求 m n 的 终点，那 m n 的 终点也就是 m 的 纵坐标加上 n 的 纵坐标，那我们就给他他俩的坐标写出来之后，然后让他们相加，再除以二。然后接下来就是大量的这个计算，大家都比较简单，这个计算的都是比较简单的，然后我们就求出来。
381小冰高中数学
00:56查看AI文稿AI文稿我压中的全国已卷高考作文，想离题很难，想写好更难。如果我在高考场上会这么写，标题就叫跨越时代与有容颜。 三个分论点直接从材料中提取，关键要看表格中给的对比信息。比赛成绩和群众体育对应中国体育事业的发展。科技亮点和交通支持对应中国制造的升级，国家经济的增长对应综合国力的强大。体育话题，你可以对比零八年流向退赛和二二年假中央措施金牌， 写我们从围巾排论到追求体育精神的自信与从容。中国制造，你可以对比零八年开幕式的人海战术和二二年开幕式的科技美学， 写十四年来从中国制造走向中国制造背后的科技强国、综合国力，那就更好写了。全面小康的实现、航天事业的发展，都可以。在开头和结尾要重点强调我们作为当代青年与国家发展的修漆与共。身在华夏，砥砺前行，见证跨越我们鱼有容颜。
3.4万北大旺仔
00:40查看AI文稿AI文稿呃，各位铁子们啊，咱都说是新高考依卷，正常比这个全国乙劵呢要难啊。全国乙劵呢，比全国假卷难，但是我都做完了之后，怎么感觉今年英语卷子最难的是这个全国假卷，其次是新高考依卷，然后最后呢是全国乙卷。 我个人感觉今年的这个全国假卷，这个难度应该是比其他卷子要稍微大一些的啊，经过一卷的南，主要南在这个单词上，逻辑思维上其实没有太多呃，弯弯绕的地方， 但是这个奖券啊，很多地方呢，他不光是单词的问题，还有呢，就是很多逻辑线索，你得找一找，尤其那个白银天空啊，我觉得里面还有很多题是非常有难度的啊，咱们同学可以拿这个奖券去练一下，看看你能得多少分。
1.3万翟老师英语
03:10查看AI文稿AI文稿二零二六高考二卷深度解读今年全国已卷高考作文短短几句话，道尽天地规律，古今兴衰。题目说，日月不失其体，江汉不失其源，穷而富通。很多人只读懂了坚守本心。真正的深层大道是物是原理，古今贯通， 天地万物恒有本体，恒有源头。日月行体不变，所以光明永续。江河源头不绝，所以奔涌不息。但水走千年，必有泥沙沉积。世道行久，必有积弊淤堵。守本源 不是死守旧态，真正的长久之道是消沉积、通淤堵，归正道，方能行远。把这个天道规律套在两汉四百年兴衰上，完全精准印证。一、西汉为什么盛？通道通畅，本源 清澈？汉初战乱，敌党就是利，百年沉积的旧壁垒全部清空，那是真正的不一时代。萧何是县衙小利，樊匡是市井屠夫，冠英是摆摊商贩，公孙宏是放牧农夫。魏青出身家奴，没有门地垄断，不靠家室躺赢。 普通人立功，读书时干就能跃级上升，朝堂人才大半出自寒门。土地散在百姓手中的大汉，守住了最核心的治国本源。 奋斗有路，上升有道，世道公平，稍有组织，便及时调整疏通变格。所以文景星汉武强，开创千古盛世。二、东汉为什么衰？积弊沉积，通到淤 堵，盛世日久，最大的问题不是外敌，不是天灾，是长期沉积的固化淤堵。豪强大族，世代积累财富 土地人脉，逐步垄断权力，茶举制彻底易化，不再选贤举能，变成世家互相联姻、互相保送的私器。汝南元氏、洪隆阳氏四世三公，世代掌 权，朝堂高官七成出自门阀世家，寒门青年，哪怕才华满腹，毕生苦读，也无路可进，无街可攀，权力固化，财富集中，阶层锁死。就像江河常年不疏，泥沙层层堆积，河道越来越窄， 火水越来越少。本源还在，但通道迂死，社会失去流动，失去新陈代谢，执守旧格局，不肯变通。书据看似江山依旧，内里早已枯竭 沉寂日久，淤堵至极，矛盾集中爆发，最终黄金风起，大旱崩塌。三、扣回高考作文终极哲理题目，真正的大智慧，两层通透。第一层，守本源，世道的本源是公平， 社会的本质是流动国家的根基是普通人奋斗有希望。第二层，穷而富通，万事久必有积弊，久必有组织。不变通则僵，不书俊则堵， 不除尘基则衰，勿是原理。古今贯通，消长年尘基之弊，书上下淤堵之局，反人间公平。正道天下方能，长治久安， 行稳致远。这就是今年高考二卷藏在文字背后，看透千年历史的顶级格局。缘不变，道可恒，迂不除路必穷固本疏通，回归公道，方是世间最长远的大道。
39归途笔谈
02:59查看AI文稿AI文稿你学了什么就考了什么，二零二三年，全国已就是他来了。同学们的呼声特别高，徐老师听到了，徐老师挑灯夜战了 一篇，题目不认识，啥意思哦，四个人物都是历史人物。第一道题还是找共同点，跟甲醛好像啊， 一共四个人，已经考了三个人，结果一个必然考第四个人。果真是出题形式跟假卷一样，但是题好多。 b 篇第一题好好看一下， b 篇比全国假卷好多，哼， c 篇一定是先抑后扬， c 篇比甲卷好做，舒服。第一篇第一段一定好好的看呀，竹纸立出来了，咱们的历史不光是有文字，关键的还是有物件，所以这篇文章一定在强调物件。今天第一道题不是很好做哦， 一侧十一口是个中考词汇，肯定不是声音这个词。你想大家都认识，这是地篇，怎么可能要出他的最基础的意思呢？地篇还这么做起来，感觉还是很难。 这阅读理解比甲片简单多了，明显看就是一套出题班子。但是这种题才是同学们最好做最舒服做的。看七选五选项就要预判位置是靠前还是靠后，原因还是方法。这七选五太好理解了，送分啊，同学们舒服。 有好几道瓦型填空需要琢磨琢磨再琢磨。两道短语题很不好做。五十八题老题了，出的真好。天呐，我选六个 a 没平！哈哈哈，我在 捋一捋， 文章是特别好懂，但是这个选项有几道题是真让你纠结呀，这玩型才是好玩型，这是我目前感觉做的最好的一套题了。你学了什么？你考了什么？ 语法填空出的很好，同学们学了什么就考了什么。最后一道题啊，北京的官友的伎俩，把真正的动词放在句子抄后面，咱们全国一卷也这么出，而且考了非伪动词的完成式， ig 的完成式还未应当有出题层次感的改错题 没做假卷的改错，因为那个试卷的版本呀，里头错误很多，以卷的改错就找出九出来。三十五分钟过去了，徐老师对一下答案， 同学们玩心真的没有平，哎，我想着是不是要错一道了，那个选项真的好几个，太纠结了。 但是我错了一道阅读理解，而且是必篇的。他说的是对一个这种风景摄影师最关键的是什么？我觉得是一种冒险精神。答案给的是时间管理员。 这个阅读是两分一个啊，跑调，听力和作文满分是八十五分。徐老师所有的阅读理解是八十三分，还不错，因为这个题很容易掉坑。全国语卷是我做到里头最好的一份试卷，同学们学了什么就考了什么， nice。
2.2万海淀英语许老师
02:25查看AI文稿AI文稿二零一六年，全国以卷适用地区为九个省份，湖北、福建、河南、湖南、山西、安徽、广东、江西。河北。理科本科分数线，第一名河南。四百四十七， 第二名安徽。四百四十六，第三名江西。四百四十五。二零一七年，全国已券适用地区，同二零一六年，理科本科分数线，第一名湖南。四百二十四，第二名江西。四百二十二，第三名，安徽。四百一十三。 二零一八年，山东正式加入全国艺卷大家庭。理科本科分数线，第一名，湖南。四百五十，第二名江西。四百四十七，第三名，山东。四百三十五。二零一九年，全国艺卷适用地区，同二零一八年，理科本科分数线，第一名江西。四百四十九，第二名湖南。四百四十八，第三名，山 东。四百四十三。二零二零年，山东退出全国一卷大家庭。全国一卷适用地区为，湖北、福建、河南、湖南、山西、安徽、广东、江西。河北。理科本科分数线，第一名湖南。四百六十四，第二名江西。四百六十三，第三名，山西。四百四十九。二零二一年，湖北、 福建、湖南、广东、河北退出全国以卷大家庭，同时有部分地区加入。该年，全国以卷适用地区为十二个省份， 河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西。理科本科分数线，第一名江西。四百四十三，第二名安徽。四百一十五，第三名，山西。四百一十 二零二二年，全国以卷适用地区，同二零二一年，理科本科分数线，第一名，江西。四百四十四，第二名安徽。四百 三十五，第三名，山西。四百一十七，二零二三年，安徽、山西、黑龙江、吉林退出全国一卷大家庭。全国一卷适用地区为河南、江西、陕西、甘肃、内蒙古、青海、宁夏、新疆。 理科本科分数线第一名江西四百四十五，第二名河南四百零九，第三名宁夏三百四十二零一六年至二零二三年八年期间，全国已卷大家庭总计十八个省份，其中江西理科本科分数线从未退出过前三甲 四字，第一、三次第二、一次、第三。明年，江西将退出全国以卷大家庭，踏入新高考，仅以此视频纪念江西的最后一次全国以卷，也希望明年江西学子能再创辉煌。
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00:18查看AI文稿AI文稿哥们，考过全国影院吗？哥们？哥们，全国影院啊，陕西地区考的啊？哥们，不是全国假卷，也不是新高考卷成功让我从今年的瑞全人变成了明年的位高补习人，恍惚什么感觉知道吗？哥们，都开破了一些，研究过雪花吗？哥们，自创过成语吗？哥们，打过笔账吗？哥们，借三角形会吗？哥们，远处局限导出写完了吗？哥们，普通一本吗？哥们？
39.5万小黄没三分（有三分版）
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