全国甲卷数学填空
填空的第十六题，在三角形 abc 中点 d 在 bc 边上角， adb 等于一百二十度，现在这个角是一百二十度，那么它的补角角 adc 就应该是六十度。 a、 d 等于二， c、 d 等于二倍的 b、 d。 然后问我们 a、 c、 b、 a、 b 取得最小值的时候， b、 d 等于多少？ 求谁射谁，我们可以射 b、 d 为 x， 那么 c、 d 就是二 x。 这样我们会发现原来的大三角形 a、 b、 c 被分为了两个小三角形，并且这两个小三角形现在都相当于是织到了两边 以夹角。我们设的这条边可以认为是已知，那这个时候就适合用余弦定理来表示 acab。 根据余弦定理， ac 的平方应该等于 da 方加 dc 方减二乘， da 乘 dc， 再乘以扣三角 adc， 也就是扣三、六十度。 把他们带入，可以得到四加四， x 方减二乘二乘二， x 乘二分之一， 整理一下就是四， x 方减四， x 加四。同理，在另一个三角形 a、 a、 b、 d 当中，用余弦定理也可以表示出 a、 b 方，它等于 d， a 方加 d， b 方减二乘 d， a 乘 d， b 再乘 q。 三角 a、 d、 b， 那么就等于四加 x 方减二乘二乘 x 乘以扣三。一百二十度，也就是负二分之一化减，就等于 x 方加二， x 加四。 那么要求 acbab 什么时候取到最小，就可以看他们的平方比值什么时候最小。 ac 方比 ab 方等于四， x 方减四， x 加四， bx 方 加二， x 加四。我们看到现在出现了一个分式，并且是一个其次式，也就是上下最高次项次数是相同的。 其次是一个重要的处理方式，就是分离常数，也就是保持分母不变，在分子上去凑出分母表示的形式， 那么我们就可以保持分母 x 方加二， x 加四不变，在分子上也写一个 x 方加二， x 加四， 但这个时候呢，他和原来肯定是不相等的。首先我们从最高次开始，本来是四倍的 x 方， 现在是一倍的 x 方，所以我们可以给这个整体乘以四，这样就保证了四 x 方已经有了， 但是原来是减四 x， 我们现在呢，四乘二是加八 x， 所以需要减去十二 x 才会和原来相等。 原来长竖向是四，我们现在是十六，所以还需要再减去十二， 这样变成这个形式了以后，我们把它拆分开，变成他分之他，也就是长数四减去他分之他，那么就完成了分离。长数后面是 x 方加 二， x 加四分之十二倍的 x 加一。分离常数以后，原来的其次是现在变成了非。其次，上面是一次，下面是二次，这个时候我们又要以低次为准去凑了， 保持上面不动。然后底下呢，可以凑出完全平方等于四减，上面是十二倍的 x 加一，底下是 x 加一的平方再加三。 到这之后，我们就会发现，这里上下都只剩 x 加一这个整体的形式了，可以上下同除以 x 加一，就变成了四减十二，比 上 x 加一加 x 加一分之三，这样在分母上就出现了基本不等式，他们俩相加是大于等于二倍他们两个的乘积的， 那么由于他在分母上，所以取倒数之后会变成小于等于，而前面呢，又有一个负号乘以负一以后又变成了大于等于， 所以他应该大于等于四减十二除以二倍根号， x 加一乘 x 加一分之三， 那么根号里面就是三二倍根，三分之十二就是一个长数，所以这个时候 a c 方比 a b 方就取到了最小值。那么用了基本不等式，我们就要注意取等条件，当且紧当参与基本不等式的两部分相等的时候， x 加一等于 x 加一分之三，也就是 x 等于跟三减一的时候， 等号能够成立，那这个时候他们的比值才会取到了最小值，而这个时候的 x 也就是 b d 他的长度，所以答案应该是跟三减一。
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