2010高考数学
粉丝1.1万获赞9.3万
相关视频
10:13查看AI文稿AI文稿这是二零一零年安徽高考题，设 a 为实数，函数 f x 等于一的 x 四方减二， x 加二， a x 属于二，一求 f x 的 单调区间与极值二。求证，当 a 大 于 log， 二减一 且 x 大 于零时，一的 x 次方大于 x， 平方减二， a x 加一。 这道题就是高中导数概念的应用。我们要求函数的单调区间以极值，我们可以利用导数来判断它的极值点和单调区间。 先求 f x 的 导数等于一的 x 次方减二， 那么我们令这个导数等于零，我们就可以得到一的 x 次方等于二，那么 x 就 等于二，这是一个注点， 极值点有可能是极值点，我们来判断一下。判断它是不是极值点，我们可以画个图，就是画个简单的图，图标 x f x 的 导数，还有 f x， 它是增还是减，那么中间这个点呢？是 log， 那么这边呢？是负无穷到劳格二，这边是劳格二到正无穷，那么这一点的导数是零。用 x 零，劳格带进去，它的导数是零， 那么我们再来判断一下，小于 log 的 时候，它的导数是正还是负。看看，如果 x 小 于 log， 看到它的导数呢？因为等于 log 二的时候是二，而且它又是增函数，所以这边是负的，因为它是增函数，这边就是正的。负的表示什么呢？表示减函数， 这个 f x 是 减函数，因为导数是负的，就是减的，导数是正的，就是增函数。从减到真，那么 log 二呢？就是一个极小值，我们把 log 二带进去，我们可以算出它的极小值等于多少， 这是单调区间，单调区间就是在负无穷到劳根二是减函数，在劳根二到正无穷是增函数。奇值点就是对点，对点带进去就是 f 和根二 等于一的 log 二次方减两倍的 log 二加二 a， 这就是几十点，那么这个呢？就是二， 这是二减二倍的劳格二加二 a， 也可以把二提出来，先变成一减去劳格二加 a， 这是极值点， 这是单调区间和极值，这是极小值点，因为从从下降到上升，从下降到上升是。 那么第二问呢？是求证，当 a 大 于 log 减一且 x 大 于零的时候，则不等式成立。这也是导数应用的一个方面，就是证明不等式。我们可以这样证 令， g x 吧， g x 等于这两项减一的 x 四方减去，减去这一项就是 x 平方减二， a x 加一。 那我们考察这个函数，如果这个函数是增函数，而且在零点的值 啊，又是大于零的，或者等于零也可以，那么它 e 的 x 次方减去这个值就大于零，因为它是增函数嘛， 它是等于 e 的 x 次方减去 x 平方加二 a， x 减一。好，那么我们求一下它的导数等于多少？ 它的导数就是 e x 方，这里呢，减二 x 加二 a， 大家看一下，它的导数正好是 f x 一 模一样的等于 f x， 那 我们只要证明什么呢？证明 在 x 大 于零的时候，它是大于等于零就可以了，它大于零就可以了。 x 大 于零的是，当 x 大 于零时，它大于零就可以了。看看是不是 因为 x 大 于零， a 又大于这个。当 x 大 于零，还有一个 a 大 于 log 二减一，这两个都是成立的时候， f x 是 不是大于零？我们看一下， 我看一下 f x 的 导数是在 log 二，这一点是多少呢？它的值 它是等于零的时候，那么我们看看它最低点，这就是极值，极小值点，极小值点是 f log 二， f log 二是这个函数的极小值点，就是极小值点， 它是先减后增，就等于两倍的一减 log 二加 a， 因为 a 是 大于这个的， a 大 于 log 二减一，这个我们可以写成什么呢？ 这个可以写成两倍的 a 减去个二减一，因为 a 大 于它，所以是什么呢？它是大于零的， 也就极小之点大于零，那么我们就可以画个示图，它就是这里，它是这样的，如果这里是 log 二的话，它是在 x 轴的上方，也就是整个的 f x 都是大于零的时候， a 大 于 log 二减一的时候，它都是 f x 大 于零。 f x 大 于零什么意思呢？就是 g x 倒数大于零， g x 倒数大于零是什么意思呢？就是这个函数是增函数，这样的话，我们就证明了 g x 是 增函数。增函数我们现在考察，因为是 x 大 于零的时候，这个不等式成立。那么我们看看 g 零等于多少？ 积零呢？我们就要带进去，一得零，次方减零加零，减一就等于一减一等于零， 因为积零等于零，它又是增函数，那么我们可以画出一个积零的受力图，在零点等于零，它又是增函数。那么大于零点的时候，当 x 大 于零的时候，那么 g x 呢？就是大于零的。 g x 大 于零，就说明这个是这个大于零，这个大于零就是它 g x 大 于零，就是 g， 就是 e x 次方减去个 x 平方减二， a x 加一大于零，也就是 e x 方大于 x 平方减二， a x 加一。 这个证明这种不等式是导数应用的一个常用的呃解析方法。 只要是 x 等于零的时候， g x 等于零，而且它有增函数，那么 x 大 于零的时候，那么 g x 就是 大于零的增函数。 这边可能是这样过来，然后到具体怎样的话呢？因为它也是一直增加的，这只是矢图， 所以 g x 大 于零，当 x 大 于零的时候， g x 大 于零， e x 次方就大于 x 平方减二， x 加一。 像这样的应用，学生要求，要求学生熟练掌握，这是导数应用的常见题型，一定要非常熟练。
68轻松简单学数学
00:16查看AI文稿AI文稿二零一零年，切比学夫多项式第一次出现在福建高考题上，这道题的得分率比压轴题还低。在十五年后，切比学夫多项式再次出现在新高考压轴题上，给同学们再一次的爆镜。
829数理之家
03:15查看AI文稿AI文稿同学来看二零一零年四川卷的十一题，看已知条件，设 a 大 于 b 大 于零，都是正数，我们要求这个式子的最小值，乍一看是不是很难呢？ 那这个式子呢，我们一定要进行一些结构的变形和联想。我们看一看，这里 a 乘以 a 减 b， 因为 a 大 于 b 大 于零，所以 a 减 b 是 正的， a， a 减 b 都是正值。 这里如果展开会出现 a 方减 a 乘 b， 巧了，这里也有 a 方，也有 a 乘 b， 一 般呢，我们可能会呃把它变形出现，用基本不等式天地组合， 因为这个在分母上，也就是这个 d， 我 们一般不动。那我们来看看这里，所以说我们对这个原式要进行一个等价变形。原式首先是等价变形，这里有 a 方，如果我们进行一个等价的配凑， a 方减去 a 乘 b， 进行个等价配凑，减了一个还要加一个加回来，然后再来抄上咱们的 a 乘 b 分 之一，再来抄后面的这个式子， a a 减 b 分 之一。 同学们看，实际上也就是一个纸老虎，我们这么一配凑，是不是你已经看出来了这个结果了呢？我们看这里，在这个地方呢，我们可以提出一个 a 写成 a 乘以 a 减 b， 然后把它两个姊妹呢放在一起，天地组合出现， 再加上这两个放在一起， ab 加上 ab 分 之一。好，此时是不是已经符合了一正二定三相等。我们现在呢，就可以用基本不等式，大于等于这两项，就 x 加 y 大 于等于二倍的根号项， x 乘以 y， 这个即为定值是一， 再加上这两个大于等于二倍的根号下，他两个相乘又是一个一，所以说呢，这个最小值就是四。当然我们平时训练思维呢，那我们还要看这个等号能否取到呢？我们用了两次基本不等式，那么等号成立的条件当前仅当他两个相等，也就是 啊， a 乘以 a 减 b， 括号的平方是一，因为它们都是正值，也就是它是一，这个也是 a 乘 b 等于 a 乘 b 分 之一，也就是 ab 括号的平方等于一，因为 a 和 b 都是正值，所以说也就是 ab 是 一。 然后呢，是我们再来解这个方程组，得到 a 和 b 的 值，那这个方程组又如何去解 这里呢？我们看这两个结合，用消元的办法来解，那这里消元呢？是消谁好呢？是不是？嗯，这个 b 势单力薄，所以说我们来消这个 b， 那 也就是把 b 的 位置可以带成 a 分 之一，那就是 a， a 减去 b， b 带成 a 分 之一等于一，所以说我们就是 a 方减一，等于，也就 a 方等于二，那我们就能够得到这个 a 呢，就是根号二， 而 b 的 值呢，和 a 是 一个导数关系，根号二分之一，也就是二分之根号二。在这种情况下的时候呢，原式最小，也就是等号成立，取到了这个最小值是四。
30心迪高中数学
00:19查看AI文稿AI文稿二零一零年的江苏高考数学确定是格君老师出的？这节高考数学真的是我看到了，很多学生都是哭着走出考场，数学均分与上一年相比直接下降十五分，最后三道大题，十八十九二十题，这三题每一道题都可以作为其他年份的压轴题，简直是噩梦一般的高考题，太恐怖了。
1716数理之家
01:49查看AI文稿AI文稿葛大爷的题是毁天灭地的。这个嘛，确定哈？确定？天呐，老师教什么学课啊？高中数学，你有多喜欢你现在教的学课？我希望这个是我终身的职业。您之前是毕业于什么大学？什么专业啊？华中师范大学，数学与统计学专业。哦，辅秀英语。呃，有数学和英语的双学数学位粉硕都在这个学校组。那你的英语应该很强的。专思过了吗？呃，专吧。 我的天呐，这么神奇吗？记得当年高考是以多少分被录取的吗？数学是多少分？一百四十三，总分是六百五十多，当时那个分数大概能上一个，那个四十掏穿大线，三四十分的样子。数学一直是您最擅长的。 其实并不是，因为我个科都比较平均，高中的时候呢，五大学课基本都入选过竞赛。学生时代您算是学霸吗？算是学霸，尤其是在数学这方面。现在当老师多少年了？已经有八年多了，之前带过的学生成绩怎么样？都录取了哪些大学啊？清华北大的都有，川大就能 算过了？强大就没有算过了。喂，您带过的学生高考数学单科分数最高的有多少？一百四十九的。平时您会研究高考题吗？会，所有的高考题都做，而且不止一遍。您觉得哪个省的是最难的？江苏，山东，河南，江西也有一些题比较难。那今天我们向您发起 个挑战，你敢接受吗？没问题，我们现在准备了最近十年十四个省份的高考数学题，现在请您随机抽取，限时十五分钟完成压轴题测试。我们现在先来抽省份老师抽一下这个吧。这个嘛，确定哈？确定江苏的。哟。我的天呐，我们下面来抽年份 找个这个吧。这个吧。好，这个六一零年的江苏一零年葛军您听说过吗？听说过，毕业类很有名。你觉得葛大爷的题怎么样？葛大爷的题是毁天灭地的。那我告诉你，江苏幺零年的就是葛大爷的题。你现在心情怎么样啊？轻松加愉快。轻松加愉快， 我们计时开始。
15.5万Teach实验室
05:09查看AI文稿AI文稿这是二零一零年全国高考题，已知 alpha 为第三象限的角， cosine 两倍的 alpha 等于负五分之三，那么 tangent， 四分之 pi 加 alpha 等于多少？ 三角函数的高考题一般都是得分题，只要你三角函数的定义清楚的话，那么这样的题目是很简单的。 算法为第三项线的角 cos 二二法等于负的五分之三，等下求乘减四分之派加二二法的值。我们 解这类题的时候，我们可以把 alpha 看成是零到三百六十度之间的角就可以了。 alpha 是 第三象限的角，我们可以把它当成一个 零到三百六十度之间的角，可能它转了很多圈到这里，但是我们把它看成这样一个角，对计算结果是没有影响的，就是 alpha， 那 么我们再把这个角，这个锐角看成是 beta 的 话， 那么我们可以写成 alpha 等于 pi 加上个 beta 是 一百八十度，再加一个锐角，那么 alpha 就 等于二 pi 加上二 beta， 因为 beta 是 锐角， beta 是 小于二分之 pi 大 于零，那么二 beta 呢？小于 pi 大 于零 在零到派之间的角，而且是负值，所以它是落在第二项线的 cosine， 二 alpha 是 负值，也就是这个角是二 alpha， 当然可能转了很多圈到这里， 它的中间在第二项线。第二项线角 cosine alpha 等于负的五分之三的话，那么三 alpha 呢？就等于正的五分之四。这样的话，我们再来求乘减四分之 pi 加二 alpha 就 比较简单，乘减 四分之 pi 加上个 r alpha， 我 们可以写成三引四分之 pi 加上个 r alpha 除以勾三引四分之 pi 加 r alpha， 然后用两角合的三角函数公式展开来就可以了，等于三引四分之 pi cosine r alpha 加上格 cosine 四分之 pi cosine r alpha。 除以 cosine 四分之 pi， cosine r alpha 减去 cosine 四分之 pi cosine r alpha。 因为三 e 四分之 pi 和 cosine 四分之 pi 的 值相等，这约掉以后就是 cosine 二 alpha 不 等。五分之三加上 cosine 二 alpha， 五分之四。 这里是 cos 以二 f 的 五分之三减去三以二 f 五分之四就等于五分之一，除以负的五分之七就等于负的七分之一。 这道题要知道任意角三角函数的定义，任意角三角函数它的一些公式，我们可以把这个角看成是零到三百六十度的角 来确定它的符号跟任意角是一一致的。对点对于学习三角函数直观重要。如果你不知道 alpha 是 啊多少度，你就可以把它看成是一个零到三百六十度之间的角就可以了。然后再来解这个题，这些题目利用啊三角函数的诱导公式和两角和的三角函数公式弹开， 像这样的公式你不记得也没有关系，你可以自己去推导，要学会自己推导出来两角和两角差的三角函数公式。
21轻松简单学数学
05:10查看AI文稿AI文稿这是二零一零年湖南卷文科数学的概率统计解答题。这个视频我们将走进这道题的试题命题过程。 命题方指出，本题一开始准备用这道源于教材的题型考察考生， 但对于这道题密，题方认为，第一问中求平均分的内容主要在初中教材中，而如果改为求方差的话，对文科学生而言计算量又偏大，所以他们舍弃了此支路上的方案，开始研究与这条之路并不相似的另一条之路。 需要说明的是，所谓的相似也蕴涵着我们的主观。或许通过相同字数占比，可将视题之间的相似度量化，更加严格的区分视题修编过程和检选过程。 而对于这条支路上的原稿，命题方认为，第二本要求考生用列句法将十五种可能的基本事件全部列出来，这对文科考生来说可能有难度，毕竟当年高考没有要求文科考生对组合数有所认知。 考虑到文科考生的实际，他们选择修编式题，将式题第二本中总体所含的个体数由六个改为五个， 使得基本试卷的总数由十五减少为十。经过修改后，敌方决定采用本题作为当年高考文科数学湖南卷的概率统计解答题，从而形成了当年高考文科数学试卷中的第十七题。 对于本系列第二部分的试卷而言，由于后续需要制作出能体现命题过程框架的过程简图，所以需对各分之中的具体方案进行编号命名。 以这道题为例，本试卷中各方案的命名如下，由此，我们便能制作出当年高考文科数学湖南卷概率统计解答题的过程简图。 这个视频的视题简选过程只涉及到两条之路，可以说这已经算是很简单的视题简选过程了，毕竟在介绍本部分基本框架的简介视频中，过程剪图都有三条之路。 回过来看，结合实力，我们来看看本部分视频中试题命题过程的基本结构。首先，由这个第一部分中最常见的符号不难看出，这里属于试题修边。 那么试题简选过程包括哪些部分呢？首先，它包括由分制目标发展而来的各支路。我们将本题的分制目标与第二部分简介视频中对于分制目标的定义进行对应。这里的知识在本题中指的是概率统计的相关知识， 这里的题型在本题中指的是解答题，而本题并未围绕考生能力等其他方面提出共性考察目标。 我们把各分支产生的过程称之为分支过程，并且各之路发展而来的个方案是否能被选入到最终的高考试卷中，即命题方的检选结果也属于检选过程的一部分。 在只讲解试题修编过程的本系列第一部分的视频中，忠稿最终几乎都被采用进了高考试卷中。 而检选过程与修编过程最大的区别是，检选过程提到了在命题方的全能考虑下，哪些题目最终被舍弃，未能被选入最终的高考试卷中。 与第一部分的修编过程不同，本系列第二部分的视频中分支过程的分支数一旦多起来，我们很难将各方案同时展现给观众。考虑到视频观感，在第二部分的视频中，我们最多同时展现两条之路。 以含有六条之路的试题简选过程为例，我们在讲解完之路一后，将继续讲解之路二。 在讲解完支路二后，会把支路二的内容全部挪至视频的上方，在下方的空白处继续讲解支路三。以此类推，将支路四、 支路五、 支路六 依次讲解完毕后，在视频的末尾形成用命名编号代替方案内容的过程简读， 不同时展现所有之路，而是将视频框架以过程剪图的形式给到观众，也是因为剪选过程过于复杂，我们的无奈之举。 在视频的最后，给出二零一零年文科数学湖南卷概率统计解答题视题密制过程的参考文献，我们下个视频再见。
9高考求真
19:43查看AI文稿AI文稿告诉我三角函数这么难的题目你是怎么写出来的，只是看着复杂而已，那为什么我一遇到这些题目就毫无头绪，你是不是有什么秘诀 啊？娘娘你看一下接下来的视频，去了解一下这类问题的底层原理，以后你也会很轻松解这类问题了，以后有这类方法一定要互相通气，知道吗？下次一定。 今天呢我们要跟大家介绍的内容呢，是在三角函数当中令很多同学都比较头疼的一类问题，根据呢三角函数的一个性质来求 omega 的 一个取值范围， 这类问题呢，无论是在同步学习的时候，或者是在高考复习的时候，他呢都属于一个重难点的一个题型。那么今天我们将用两道题目帮你彻底的弄清楚这类问题，我们应该如何进行一个求解， 我们先看这里面的一个第一类，第一类的话，他的一个题型特征呢叫做起点已知。什么叫做起点已知呢？我们先不着急来解释，先通过一道题目简单的来感受一下。 例音呢是这样的，已知的函数 f x 呢，是等于一个三倍的 sine， omega x 减去一个六分之派， f x 呢，在区间零到二分之三派上是没有零点。让我们去求参数 omega 的 一个取值范围。 对于呢这类问题的一个求解，在我们的一个三角函数当中，你必须得掌握的一个思想呢，就是我们所说的一个整体思想。 什么叫做一个整体思想呢？相当于呢，我们在研究 y 的 一个 a 倍的 sin omega x 加 f 的 时候，我们是需要将括号内的一个 omega x 加 f 给它看做一个整体，先研究它的一个区域范围。那么你来看 这里面已经知道了， x 呢，它的一个取值范围呢是零到二分之三派。那么括号内的一个 omega x 减去一个六分之派，它的一个取值范围呢，就应该是负的六分之派到二分之三派， omega 再减去一个六分之派。到了这一步之后呢，我们就可以跟你来解释什么叫做一个起点已知。 现在呢这道题目是否我们就给它等价转换成研究到 y 的 一个三倍的一个三 t， 当这里的一个 t 呢？在属于上述的负的六分之派到二分之三派欧米伽再减去一个六分之派上，要保证它是没有零点的呗， 我们给他做了一个等价转换。那现在你有没有发现这里面 t 它所属的一个区间，在我们上线当中负的六分之派是否它是一个确定的一个点？ 这里面确定的一个点呢，就是我们所说的叫做起点已知。在遇到这类问题，它的一个解析思想是非常的一个简单，我们只要去根据呢相关的一个性质个数来定它终点的一个位置即可。什么意思呢？那你现在来看，我们只要去做出呢 y 的 一个 sin t， 它的一函数图像，这个呢是最简单的一个正弦函数，它的一函数图像。只不过呢，此时这里的横轴它是变成了一个 t 轴， y 呢是等于一个三倍的一个三幺 t， 它和我们这里面三幺 t 的 一个函数图像整体的一个走数呢是差不多的。那么现在你来看我们那个起点呢，现在是已知的负的六分之派，大约呢是在这样的一个位置， 那么现在要保证它在负的六分之派到二分之三派， omega 减去六分之派是没有零点。那你现在来讲一下，现在呢，我们用一个动态的一个逻辑来进行理解，我们要保证这样的一个区间呢，再往右 延长的一个过程当中，他要保证没有零点，那么既然保证的是没有零点的话，他必然我的钟点不会 经过这里的一个零度零呗。所以呢，我们只要保证此时呢他的一个函数图像呢，大约是这样的就可以了，我们那个钟点呢，是不能超过这里面的一个零点的一个位置， 以及呢，我们可以根据函数图像的一个走势，直接可以得到此时的一个二分之三 pi， omega 再减去一个六分之 pi， 它必然是怎么样呢？它必然是小于零的，对吧？当然的话，它得大于一个负的六分之 pi， 那 这样的话，我就可以得到此时 omega 它的一个取值范围，我们可以解的呢， omega 的 话，它呢应该是小于一个九分之一，然后呢它的一个前提条件 omega 是 大于零，这样的话我就可以得到在没有零点的时候 omega 它的一个取值范围。 如果你能了解这样的一个解析逻辑的话，那如果我将铁杆中没有零点给它换成有一个零点呢？那么你想一下，如果现在这里的一个 f x 在 给定的一个区间上还是这样的一个区间，它有一个零点的话，那现在是否保证我的一个中点的位置，你得经过这里面的一个零对零啊， 但是你经过零都零的话，你也不能太远，因为呢你太远，你想一下，如果呢，此时我的一个终点的一个位置，他经过了这里的一个派都零的话，那么他在给定区间上的一个零点个数就不止一个了，对吧？他呢是有两个零点，你想一下是不是讲一个道理， 所以呢，当我们这里面的一个 f x， 如果他有一个零点的时候，那么此时呢，我这里面中点的一个位置呢，你是只能在零到 pi 上，但是呢，你要去注意一下这里面区间开 b 的 一个问题，你想一下，他是能不能取到零呢？取不到零的 吧，题干当中所给我们的是一个开区间，所以呢，他必然是得大于零，那么他能不能取到这里的一个 pi 呢？是可以取到 pi 的， 你想一下，在我们的一个负的六分之 pi 到这里的一个 pi 的 位置当中， 他们左右两边都是一个空心点，那就证明他是可以取到这里面一个零点的，所以呢，我就可以得到此时呢他中点的一个位置，二分之三派，欧米伽呢，再减去一个六分之派，他呢应该是小于等于派，然后呢是得大于零的。 同样呢，我们也可以解的此时欧米伽他的一个取值范围，欧米伽的一个取值范围呢，应该是属于一个零到九分之七。 关于到这一块求解的一个过程呢，我就不再过多的一个赘述，那么同样的，如果现在我再给这里的一个零点个数再加满一下，从一个零点我给他变成两个零点呢？那么如果你能理解的话，这里面是否非常的一个简单，两个零点的一个时候，此时我要保证我的一个终点位置是否得在这里的一个派到二派当中啊？ 你想一下，在我们这样的一个函数图像当中，它是否包含的有两个零点，所以呢，两个零点的话，我也可以得到此时呢它中点的一个位置二分之三 pi， omega 呢？再减去一个六分之 pi， 它是否得小于等于个二 pi， 然后呢是大于一个 pi 点，我们也可以去解得此时 omega 它的一个取值范围。 所以呢，你甭管告诉我们有几个零点，我们都可以根据呢起点的一个位置来定终点的一个位置，当然呢，大多的一个题目，他的一个零点个数呢，不会超过三个啊，那现在如果给你去研究他一般化的一个结论呢？这个呢，我们就给你留一个思考。 那如果现在我们遇到这样的问题，题干中他如果将这里的一个零点给他换成这里面的一个对称轴或者是对称中心，我又该如何进行个求点呢？ 那么你想一下这类问题啊，当他的一个性质在发生切换的时候，我们那个研究逻辑有没有发生变化，完全没有 什么意思呢。你想一下，如果我将题干中这里的一个零点呢，我给他改成这里面的一个对称轴，那么其实还是同样的一个逻辑。如果你想一下，在我们这道题目当中，他现在呢，如果是有零条对称轴，有零条对称轴的话，和我们有没有零点，他的逻辑是一样的呀？ 我们一个起点呢？还是一个确定的一个点，如果他没有对称轴的话，证明我这里的一个第一个对称轴二分之派，我们那个中点是不能经过二分之派的，所以呢，我们还要保证我的一个中点的一个位置呢，是二分之三派，欧米伽减去一个六分之派，他呢是得小于或者是等于一个二分之派， 因为呢它是一个，它呢是一个开区间的，对吧？所以，所以呢取到一个二分之派是没有任何的一个关系，那同样呢，我再给它进行一个加码，如果呢有一条对称轴呢？一条对称轴的话，我要保证的是二分之派，欧米伽呢应该是二分之三派，欧米伽 上面的话也是二分之派，咱们改一下啊，再减去一个六分之派的话，此时呢它要怎么样？它是否得经过这里的一个二分之派，但是呢你不能取到下一个对称轴二分之三派， 所以呢我们要保证的是他呢应该是小于等于一个二分之三派，然后呢他应该是大于一个二分之派呗， 这个能接受吗？那么后面这里面的两条对称轴，三条对称轴呢？如果呢我将这里的一个对称轴换成一个对称中心呢？ 在我们这道题目当中，你得知道对称中心呢，其实和我这里面零点他们二人呢是等价的对称中心，他就是我们所说的与横轴的一个焦点，在这样的一个题型当中，他的一个对称中心和零点呢都是同样的一个地位， 这个呢就是我们所说的由三角函数的一个性质来求欧米伽的取值范围。第一类问题，较为简单的一个研究逻辑，只要呢我们能确定它终点的一个位置的话，再根据且这样的一个不等式组，就可以去求欧米伽的一个取值范围， 相对来说是比较简单的。那如果我将这里面的一个没有零点呢，再给它转换成其他的一个性质呢？这样的一个研究逻辑是，在我们的三角函数当中，无论是研究 omega 的 一个取值范围，或者是其他的一些值域问题，都是一个非常好的一个研究思想。 那么讲完了这里的一个第一类之后呢，我们来接着看这里的第二类，第二类的话，他呢就是一个起点位置，起点位置的话对应着我们的一个起点已知证明呢？现在我利用整体思想研究这道问题之后呢 a 他的一个起点呢是不确定的。例如下面的这道问题， 这是一个正弦，这是一个余弦型的一个函数， y 呢得有个二倍的 cosine。 omega x 减去一个四分之 pi 在 给定的一个区间上有且仅有一个零点，让我们去求 omega 的 一个取之范围， 那现在还是一个整体的一个思想，当括号内的一个整体，当括号内的一个整体，当这里面的一个 x 呢是属于一个四分之派，到这里的一个二分之派。那么括号内的一个整体 omega x 减去一个四分之派，它呢应该是属于一个四分之派， omega 呢再减去一个四分之派到这里的一个二分之派， omega 呢 二分之派， omega 呢？再减去一个四分之派。那你现在有没有发现和我前面的第一类问题，他们有所不同的是，此时的一个 omega x 减去一个四分之派括号内的一个整体，它的一个起点是含餐的一个起点。前面的这道问题，它的一个起点呢是一个既定的一个起点， 这个呢就是两道题目最重要的一个区别，也是呢，造成我这里面一个第二类问题，它的一个研究逻辑相对来说比较困难的一类问题。那么现在你来看，现在我已经没有办法去根据起点的一个位置来定终点的一个位置， 因为呢现在我起点的位置它是一个不确定的一个点，那你去定终点的一个位置就是毫无意义的，所以呢，现在我们要做的唯一的一件事呢，就是要去初步定 omega 的 一个范围，然后呢再进行分类讨论。 什么意思呢？这类问题呢，其实有一个非常重要的一个底层研究逻辑，你这里的一个区间呢，并不是所有的一个区间都能使得我有且仅有一个零点，他区间存在的一个前提条件本身呢就是有限制的， 什么意思呢？对于呢，这类问题你需要去思考的一个方向，一定要去记得我们是通过区间长度，区间长度的话，此时的一个区间长度 d 要注意一下，并不是现在我们所给我们的一个既定的一个区间，他的一个区间长度， 区间长度的话，不就是这里的一个上限，再减去这里的一个下限吗？此时的话他不就应该等于个四分之八吗？ 那现在你来想一下，无论是余弦函数也好，或者是这里的一个正弦函数也罢，他的一个图像的一个走势呢，其实是非常的一个类似，你来看，我现在随便来画这样的一个余弦函数的一个图像，包括呢正弦函数的图像也是同样的， 如果呢，在给的哪个区间上，他有且只有一个零点，那么现在你的一个区间，你想想，如果他很长的话，是否他的一个零点个数就不止有一个零点？ 所以呢，现在我要研究的是区间长度他的一个最大值。那么你现在你想一想，这个呢，假设是负的二分之派，这个呢是二分之派，这个呢是二分之三派。如果呢，此时我的一个区间长度很大的话，我们就随便画一下呗，这样的一个区间的话，他 有几个零点？是否不止一个零点？那么现在你想想，如果能在开区间的一个情况下，他尤其仅有一个零点，那么此时区间长度他的一个最大值呢？ 是否只能取到这里面一个周期的一个区间长度，这个呢是这类问题呢，相对来说最重要的一个理解维度， 你想想，如果我的一个零点个数就不再是一个呀， 所以呢，在开区间的一个情况下的话，如果呢，你只有一个零点，那么此时呢，你的一个区间长度必然是这样的一个情况，你不能再往我的一个左右增长，如果呢，再往左右增长的话，你这两端那个零点都是我们所需，都是呢，变成我们的一个零点，那么他的一个零点个数呢？就不仅有一个了， 能听明白吗？所以呢，现在呢，我就可以得到区间长度的一个最大值，再呢尤其只有一个零点的一个情况，他呢应该是小于等于 t 的， 那么是否就可以得到欧米伽的一个欧米伽分之二分之派？关于呢四分之派这样的一个不等关系啊，所以呢，是否我就可以先得到欧米伽的一个取值范围？我们可以呢先解得欧米伽的一个取值范围呢？它呢应该是小于，注意啊，这里面是一个可以取等号的啊，因为呢，题干当中所给的是一个开序键啊。 关于区间开闭的一个问题呢，在这个部分的一个题型是很多同学的一个痛点，我个人建议呢，如果你在解决这类的问题的时候，对于区间开闭呢，理解不是特别的一个透彻，自己呢，去验证一下就行了啊，不用去背一些比较难记的一个结论。 那现在是否我就可以解的 omega， 它的一个取值范围是否应该是小于等于个八大于一个零啊？注意一下，这个呢，并不是我们最终的一个 omega， 它的一个取值范围，这个呢，只不过呢是一个初步的一个范围，那下面的话，我就根据这样的一个范围来最终定 omega 的 一个 范围，我们需要去做的是一个分类讨论，分类讨论我们要怎么来进行个讨论呢？你要去注意一下。首先呢，我们得确定一下起点它的一个取值范围， 当这里的一个 omega， 当这里的一个 omega， 他的一个取值范围是属于一个零到八的时候，那么此时我这里的一个起点四分之派 omega， 再减去一个四分之派，他的一个取值范围应该是多少？ 我们将这里的一个 omega 呢属于零到八，给他带进去的话，就可以得到起点他的一个取值范围呢，应该是属于一个负的四分之派到这里面的一个四分之七派。 那现在就会遇到这样的一个问题，在我们的一个负的四分之派到四分之七派当中，他的一个零点是有的呀， 所以呢，现在我们如果去定起点的一个位置，是否我们要在零点的一个左侧来进行一个分类讨论，什么意思呢？你想一下，我的一个起点呢，假设在这一块和我的一个起点在这一块他所对应哪个终点位置，其实呢是不同的吧， 所以呢，现在我要去做的就是分类讨论。分类讨论的第一个点的话，因为呢，现在我们在负的二分之派到二分之派上， 他是没有零点的，所以呢，在这一段的话，你可以放心大胆的进行一个讨论，但是呢，你越过了一个二分之派之后，此时呢二分之派作为一个零点哦，那他的一个终点位置就可能会发生改变。所以呢，在这一块的话，我们要做的就是一个分类讨论。第一种情况的话， 负的四分之派小于个四分之派， omega 再减去一个四分之派小于个二分之派，相当于呢，现在我将这里面的一个起点位置呢给他定在这一块，那现在他要保证的是有且仅有一个零点，那么我中点的一个位置呢，中点的一个位置，你首先肯定是不能越过二分之三派吧， 因为呢越过二分之派之后，他就有两个零点，一个呢是二分之派，一个呢是二分之三派呗，所以呢，我就可以的到此时的终点的一个位置， 还是呢根据起点的一个位置去定点的一个位置，那现在这里的一个二分之，现在这里的一个中点二分之派 omega， 再减去一个四分之派的话，它呢是否就得小于等于二分之三派？同样的它呢是一个开取键，所以呢这里的一个二分之三派取 是没有没有任何的一个问题的，还是能保证他有一个零点就可以了，那么我们就可以得到终点的他的一个垂直范围应该是大于等于二分，应该是小于等于二分之三派，然后呢是大于一个二分之派，同样的话，我们可以解得此是 omega 它的一个垂直范围， omega 的 话，它呢应该小于等于二分之七，然后呢是大于二分之三。这里面会有一个小细节， 在我们分类讨论的时候，如果呢我们讨论的一个前面是一个不等式组的话，你一定要去初步的先将我 omega 的 一个范围给它算一下， 我们由这样的一个式子呢，是可以得到欧米伽它的一个范围，欧米伽呢应该是属于一个零到三的，相当于呢这里的一个零到三是我们讨论的一个前提条件，我们要结合这二者来最终得到欧米伽它的一个区域范围取的是一个交警， 那么最终的话我就可以得到，在第一种情况下， omega 呢它的一个取值范围呢是二分之三到这里面的一个三，这是第一种情况，如果呢你能了解这里面的一个第一种情况的话，那么第二种情况是否同样如此？是否我们要讨论的是这里的一个起点在二分之派到这里的一个二分之三派， 因为呢，我们要保证的是讨论的一个连续性的话，所以呢，我们要将这里的一个二分派，二分之派的话也要去讨论一下。第二种情况的话是四分之派， omega 呢，再减去一个四分之派，他呢应该是等于二分之派。后面是比较简单了， omega 呢，等于个三的一个时候呢，我们是可以得到他的一个二分之派，再减去一个四分之派，他的一个终点呢，是一个既定的一个终点，所以呢，此时的话，我们就可以得到 他的一个区间呢，就变成了一个二分之派到这里的一个四分之五派。那么在二分之派到四分之五派上，他是没有零点零， 所以呢，此时这样的一个情况呢，是不符合提议的。第三种情况的话，我们就要讨论的是此时的一个起点，四分之派， omega 再减去一个四分之派，他是否是得大于一个二分之派，然后呢是小于一个二分之三派。 同样的，我们要保证的是它在这样的一段区间上是有一个零点，那现在是否我终点的一个位置它就得怎么样？那不就得是小于一个二分之五派吗？当然可以取等号了，对吧？ 同样的话，我们就可以得到它的一个终点了。二分之派， omega 呢，再减去一个四分之派，它呢是小于 小于等于个二分之五派，然后呢是大于这里的一个二分之三派。那现在到了这一块之后，后面的一个讨论 你自己会自己会写了吗？相信呢，大家应该是可以办到的，对吧？还是按照我们同样的一个逻辑，当然在这一块的话，养成一个习惯去讨论它的一个前提条件的时候呢，尽量的将 omega 它的一个范围呢先给他计算出来。 在我们的一个第三种情况当中，我们可以解的呢， omega 它的一个取值范围呢应该是小于七，然后呢大于一个三，后面的话以此类推来进行一个讨论即可。 这个呢就是我们在这道问题当中起点未知的时候，我们应该怎么来进行个处理？关于呢这一块区间长度它的一个取值范围呢？其实如果我将这个题目变一下，如果那它变成有两个零点呢？ 如果有两个零点的一个情况下的话，有两个零点的一个情况下，此时的一个区间长度四分之派是没有任何的一个变化。你想一下，如果能有两个零点的话，此时他区间长度的一个最大值呢？最大值的话，是否是由原来的一个周期变成这里面的一个二分之三个周期？ 因为呢如果这两端你再往左或者是再往右扩大一点的话，那么他的一个区间里面所包含那个零点个数就不止两个了，所以呢，这里面他应该是小于等于个二分之三 t， 那 现在他的一个下限呢， 有两个零点的话，你得保证的是他的一个下限是得大于二分之 t 吧，只要呢你的一个端呢，稍微的往我们的一个区间里面的话，是有两个零点的呗， 所以呢他呢应该是大于个二分之 t， 那 么如果有三个零点，他的一个区间长度呢？这个呢你就可以自己去研究一下啊，同样的一个逻辑， 那么以上的话就是我们所说的在三角函数当中如何呢？根据呢他的一个相关性质，反推 omega 的 一个取值范围。对于呢这一类的一个起点未知的时候，很多时候呢，我们是要先初步的定 omega 的 一个取值范围，然后呢再分类讨论， 当然呢，在我们这一类问题当中，绝大多数我们遇到的都是一个起点已知它呢是一个非常简单的 gt 类型。
32高中数学豪斯老师
00:16查看AI文稿AI文稿后来没有考起复旦，因为我高考时候遇到了一个男人叫葛军。高考数学卷就是不是您命题的，您自己会做一遍，但我一般的都要拿来做一下，能考满分。那我真不可能。但有一个时间概念可以，还有一个你的心态。
1823观察者网![[高考数学]2010江苏高考压轴题，是怎么编写出来的？#高中数学 #高考数学 #江苏高考 #高等代数](https://p9-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/9fb1f944f567babe675a59336b35a9d4~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2109016800&x-signature=qtp7gX6i3sDA5XE8d7D%2Bf2LfOz4%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20261103065609E7BF6610D093B1F168BF)
08:37查看AI文稿AI文稿大家好，今天我来讲一下二零一零年江苏高考压轴题，他这个命题思路我也讲一下，是数学地葛军，葛大也参与命题的，所以他综合性呢，或者说难度可想而知了。 其实这道题的话，用到了一点点高等代数的有关内容，有关知识，如果你不知道这点知识的话，还是挺难做的。咱先来看一下用到了高等数学哪一哪一部分的知识啊？用到了这一部分，这个术语的定义，什么是术语呢？ 如果说 p 是一个集合，它是怎样的一个集合呢？是一个由负数组成的集合，然后它里头必须包含零和一。 如果说对于 p 中的任何两个数字，它的和差接商。就是说啊，比如说在这个集合 p 里头找了两个数字， x 一 x 二吧，有可能是负数啊，也有可能是这个实数，都有可能啊，然后这个 x 一 x 二呢？ x 一加 x 二，它还是在集合 p 里头， x 一乘 x 二， x 一除 x 二， x 一减 x 二，核查机商呢，都还是在这个集合 p 里头，也就是说对于这样的核查机商的运算呢？这个集合 p 啊，是封闭的，那这种情况下的话，我们就说 p 就成为一个数域了，这个就是数域的定义， 那么非常显然，这个是 q 是什么？ q 是有理数级， r 是实数级， c 是负数级，对于这三个级，可能它都是数域， 那么现在由定义可以知道任何一个包含零和一在内的数 gp。 如果说对于核查机商这样的运算，当然你这个除数或者说分母是不能等于零的啊。 如果你对于核查机上的运算都是封闭的，那么这种情况下，我们就把结合皮成为一个数域了，这个是数域的定义，一定要记住，非常关键的数域，任何一个数域， 他对于核查机商这四则运算都是封闭的，一定要记住。那么现在我们就正式来解一下这道江苏高考数学的亚洲题。这道题来看了啊， 他这个题干呢，非常简单，三边长都是有理数。那先来看低问吧。看低问之前的话，我先把这一条写上了啊，有理数，对核查机上的运算肯定是封闭的， 也就是说，如果 x 一 x 二是在有理数范围内，那么他的核查机商都还仍然是有理数，你知道这一点就可以了。那接下来第一问就特别简单了，由余弦定理对不对？那余弦定理的话，你看好了啊，口算 a 等于什么？等于二 b、 c 分之 b 方加 c 方再减 a 方，那就写啊，因为 a、 b、 c 它都是有理 笔数，这个没问题吧。所以说这个 b 方，然后 c 方还有 a 方，或者说 b 方加 c 方再减 a 方，然后包括这个二 b、 c 呢，它也都是有理数。可能我写到这的话，有朋友疑问了，老师他说和他计商，那这个乘方算吗？ 哎，有限次的乘方，这个不就是乘法吗？对吧？所以说呢，这个 b 方、 c 方、 a 方，还有这个二 b、 c， 实际都是有理数。 既然你都是有理数的话，那接下来非常简单。有理数对什么？对除法运算是封闭的呀？对，除法运算封闭的话，那不就是 b 方加 c 方减 a 方，一个有理数，再除另外一个有理数，他不还是有理数的意思吗？也就是说，口算 a 呢，他还是有理数。 看来这个第一问还是非常简单的，但是你必须知道高等代数的这一部分关于术语定义的有关知识。那继续来看第二题， 第二题难度就直接上来了，他说对于任意的正整数啊，这个正整数是从一开始数，对吧？一二三四一直往后数，那么口算 n 倍的角 a 呢，也是有底数， 这个你一定要注意了啊。对于这种自然数或者说正整数有关的问题，咱们首先应该想到的是从一推到二，推到三，这个肯定想的是数学归纳法呀，对吧？那数学归纳法的话，继续往下写，在写数学归纳法之前，咱们还是写上这一句话。 那好了，接下来怎么写这个过程呢？好说，这样来说啊，第一步，当 n 等于一的时候，最小的正等数肯定要验证一嘛。 n 等于一的时候，咱们第一步呢，已经验证过了。验证过什么了？有括号，一已经说明了，口算一倍的 a 呢，它就是有例数，所以这个就不用你再来验证了。那 n 等于二的时候呢？ n 等于二的时候，咱得推一下啦。这个是什么？用到了什么知识点啊？三角恒能变换的有关公式，二倍角的公式吧。那他的话是等于口算 a 的平方，二倍的口算 a 的平方减去一， 他肯定也是属于什么？他也是有理数，为什么？因为口算 a 是有理数了，你这个乘法运算，再加上加减乘除的运算，他都是还是在有理数的。有理数发明内的核查机商的运算都是封闭的，你知道就行。 那既然如此的话，还要继续往后推吧。第二步才是关键，才是精髓。对于数学归纳法来说，你接下来应该从几开始了？从这个二开始了啊， 当这个 n 等于 k， 记住了， k 是大于等于几的，是大于等于二的，那既然当这个 k 是大于等于二的时候呢？这种情况下，口算 k 倍的 a 和 口算 k 减一倍的 a， 他们俩呢，都是属于有理数的。这个呢，是第一步。那接下来要往下推了，你不能说只推到二吧，还得推到三四五，一直往下推则 继续。当 n 等于 k 加一的时候，你看接下来咱要算谁了？咱们关键的是要往下推出来，这个口算 k 加一倍的 a， 他也是一个有理数，怎么推？这个肯定就是三角恒动变换了，他的话好说，你把它看成 ka， 加上一倍的 a， 根据两角之和的余弦展开那个，那么这个我就直接写了。这个非常简单，等于口算 k 倍的 a， 再乘口三 a 减去三 n k b 的 a， 然后再干嘛再乘三 a？ 现在有问题了，问题在哪？口三 a， 你确实是一个又一个 说啊，不用验证了，咱已经说明了，这个跨议口三 n keep the a 呢？上一步也说明了是有理数，但是后边这个三太碍眼了，咱之前并没有验证过三究竟是不是有理数，所以怎么办？你想 如何能够把两个三的成绩转换成口算的形式？这不就是什么公式啊，计划和差的公式啊。同学们，还记得这个计划和差的公式吧？这个就是这样一个计划和差的公式，这个一定要记住。 那接下来再往后边写就简单了。我就直接写啊，他最终的话画成什么结果呢？会画成口三 k 倍的 a， 乘口三 a。 接下来利用一下这样一个计划和差的公式，最终会化成加上二分之一，因为他前头有个负号啊，负，负得正了，对吧？负，负得正了。那最终的话，就是口算 写了 k 加一倍的 a， 然后再减去二分之一。口三 k 减一倍的 a。 你注意了啊，等号左边是谁啊？等号左边本来就有一个口三 k 加一倍的 a 了，等号右边还有一个二分之一倍的口三 k 加一倍的 a。 我们整理一下这样一个方程， 最终经过整理之后的话，会得到这样一个结果，也就是谁呢？也就是 cosine k 加一位的 a， 他化成了什么结果？化成了二倍的啊，二倍的谁？二倍的口算 k 倍的 a， 然后还有谁？还有乘口算 a， 再减 口三 k 减一倍的 a 的形式。那接下来这种形式，请你告诉我，它是不是有理数啊？这个整体肯定是啊，刚才我们已经说过了，上一步已经假设这个口三 k b 的 a 是有理数，然后呢？口三 a 也 是有理数。然后你看口算 k 减一倍的 a 还是有理数吧，有理数的核查机商仍然是一个有理数。当然，你接下来写一下原因啊，我就不详细写了，他仍然是一个有理数，那么最终你不就写完了吗？也就是什么意思呢？最终我们下结论的时候提前写这么一句话，也就是说，当 n 等于 k 加一的时候，结论仍然是成立的。最终一定要写什么？写上综上所述这几几个字。综上所述怎么样？对于所有的 正整数范围内的这样的小 n， 他这个口算 n 倍的 a 啊，都是由这个数写上这句话就行了。所以这道题其实综合性还是很强的，至少你得知道一点点有关数域的有关知识，高等数学的有关知识还结合了什么？还结合了这样一个三角恒的变换语线定理这样的知识点。 最后的最后这个第二问，关键你还得知道什么？对于跟正等数或者自然数相关的这样的数学分析，数学证明的题目，咱们首先应该想到的是数学扩大法，所以这道题确实考察的点非常多，出的题还是非常好的。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！
290会放羊的教书匠
00:53查看AI文稿AI文稿一零江苏高考数学填空十三题啊。这题正常做得在三到四分钟以上，但是当你观察这两个柿子的时候就会发现，当 a 和 b 互换的时候，左边柿子是不变的，右边柿子 ab 互换，同样柿子还是原来那柿子。所以这是两个关于 a 和 b 极度对称的。对称是 根据对称性思想，当 a 等于 b 的时候，解出的值就是这题的答案。好。 a 等于 b， 算是一一啊。算进去扣上一 c 就是三分之一， 那么三 a c 就是三分之二倍跟二的摊地 c 二倍跟二对吧。啊，探地 c 出来了，接下来求摊地 a， 摊地 b， 那好求，只要求出二分之 c 的三角函数值不就行了吗？扣三亿 c 二倍的扣三，二分之 c 方减一对吧。三分之一带进去，扣三亿，二分之 c 方就等于三分之二，他就是跟三分之跟二， 因此跟二跟三，这当然就是一了。摊爹摊牛逼都是跟二带进去，一球得四解决。
2158数学高分老曹
08:18查看AI文稿AI文稿常规列项并不常规，考场遇到草稿一堆，今天就让主播一节课，带你学会数列必考内容，常规列项的逻辑大招，轻松拿捏数列压轴难题，让你知道什么叫降维打击。今天的这个重难点想讲的是什么呢？这个是个很明显的特征啊，叫什么呢？叫做列项， 这个也叫做常规列项。常规列项，那你说常规列项不是那个小分子一减，大分子也不是那种，其实归根结底还是有很特殊的列项，因为它是依次相乘嘛，依次相乘嘛？什么叫列项？首先我们从列项的最底层的逻辑讲起， 所谓的列项，你们一定要明白他的底层的逻辑是什么。就是我们说命题人他命这种题目的时候，他的常规的思路应该是怎么样子的？命题人在命制这种题目的时候，常规的思路一定不是顺着来的。你说我给你们一个最原始的式子，是吧？你要把它给裂开，不是 所有的命题人在命题的时候，他给我们的一定是怎么样？两个已经裂开的形式，就他自己在命题的时候，一定是两个已经命题就裂开的形式，对吧？那他说，哎，我直接问你两个裂开的形式，这种就太简单了，就没啥难度。 所以通常来说他会把他通，这是命题人想考的，但是他通常来说，他不会这样问，他会把他怎么样？通分通分成一个大家看起来都不愿意看到的形式， 对吧？通分成一个大家看起来都不愿意看到的形式，也就是说通分长这样，这就是出题人要出的， 所以你看，所以你看命题人考的跟出题人出的形式是不一样的，所以我们要做的一步是什么？通常说我们做题的那个人是干嘛的呢？就是把它变成我们 化简成我们出题人要做的那个形式，这就是做题。各位同学，你们有没有发现这是一个很重要的规律 们经常会跟他去强调，所谓的做题就解析，其实命就是命题的反操作，原理就在这，这个大家能够理解吧，所以他的逻辑一定是什么？一定是我们尝试着把这个式子拆开，看一下能不能变成我们最重要的那个形式。 那既然你看我们知道出题的形式，他一定是底面相乘，上面是相减，所以就是底面，他的分母 是积，可以吧？分母是积，一定是与零相相关的，可以吧？分子，分子是减，也一定是跟零相相关的，可以吧？也一定是跟零相相关的，也叫做零相减。所以也就是说这种问题，我们通常来说我们的列项的方法是什么？ 好，列项的方法，首先第一步把分母拆解为 n 加一项或者是 n 项， n 减一项，可以吧？先把分母拆解成两个，当我把分母拆解成这两个之后，那么接下来呢？分子其实就是我们的分子，就是就通分构造。乘 或除多余的长数项，可以吧？乘或是除多余的长数项啊，这是我会希望大家能够做到的这个点啊，这是我会希望大家能够做到这个点。举个例子， 就这个题目为零，这个看起来都觉得好难，是吧？它难的不是难在第一步，它难在第二步， a n 我 们可以得到是二 n 减一。好，那接下来这个形式是不是觉得特别恐怖？ 就我把 a n 等于二， n 减一，把它给带进去的时候，这式子居然是三减二， n 乘以二的 n 减一次方，除以什么呢？这是二 n 减一，括号乘以二， n 加一， 不得跑了吧？这道题目特别难啊，当然我们要做的话，一定要看清楚。首先什么叫零项？分母构造为零项，这是什么意思呢？ 首先分母构造为零项，你看这是二 n 减一吧，这是 n 减一，这是二 n 加一吧。哎，这是零项吧？哎，里面这两个是零项，没啥问题啊。这两个是零项，这没啥问题。那我们就要猜 分子，它又有一个二的 n 减一次方，分之一。分子，又有一个二的 n 减一次方，分之一二的 n 减一次方啊，分子有个二的 n 减一次方，那这个式子怎么去构造呢？那我们是不是可以大约去构造？因为这个在分布吗？ 倒过来是不是应该可以理解？他是在分子的形式出现，可以理解吧？ ok， 来这个式子，所以他怎么来的呢？这个二减 n 减一次方，你是不是可以理解？他就是一个小分子。 举个例子，就二的 n 减一次方，减去一个二的 n 加一次方，分之二的 n 次方，大概他是以这样的一个形式出题， 可以理解吧？就大概他想的就是因为这是，这是二的 n 减一次方，这是二的 n 减一次方。上面是二的 n 减一，二 n 加一，上面是二 n 的 二的 n 减一次方。 所以我们大概想的就是构造成零项。什么是零项？分母是二， n 减一，分母是二 n 加一，那上面是二的 n 减一次方，我也要构造成零项，零项，零项的话，我们可以得到，是不是应该是二的 n 减一次方和二的 n 次方？当你说我的零项不喜欢写他两个， 反正跟二的 n 次方有关。二的 n 次方和二的 n 加一次方，这两个可不可以也可以一样的，明白吗？就是无论你写哪两个，其实只需要构造菱向就可以了。第一步叫够菱向啊，这个够菱向的这一步大家能， 大家能不能听懂？永远要想象一下勾零项，它的零项应该怎么出好，第一步，你看勾零项，第二步，分子通分构造，整个通分构造，然后再乘以多余的项，比如说我把它给通分之后，你看这个是我希望命题人可能考的形式。我通分之后，不就变成二 n 减一， 乘以括号下的二 n 加一吗？大概可以得到是二 n 减一，乘以括号的二 n 加一，减去，这个应该是得到二的 n 次方乘以二 n 减一。 好，我们来看一下这个形式，如果按照题目的那个样子把它给列出来，可能需要些什么？你看把二的 n 减一次方，把它给提出来呗。按照它的形式得到二 n 加一，减去四倍的 n 加上二，括号除二， n 减一，乘以二， n 再加一， 那可以得到是二的 n 减一次方乘以负二 n 再加上三括号下的二 n 减一乘以二 n 再加一，对吧？ ok， 所以 这是三 n 减二，看到了没有？你看这不是一样三 n 减二。哦，三 n 减二有了，三减二， n 有 了， 然后呢？这个是二的 n 减一次方，二的 n 减一次方有了，然后呢？底下面是两个二 n 减一和二 n 减一，意味着这个相邻箱的拆解将是正确的啊，意味着这个相邻箱的拆解一定是正确的，可以吧，这是正确的一个拆解模式。这个猜想是 ok 的， 所以 b n， 我 们就可以写下来，应该是二 n 减一分之二的 n 减一次方，减去二 n 加一分之二的 n 次方。啊，这就是我们简单的一个列项的形式，我不知道各位同学能不能理解， 可以吧？ ok 啊，要把这种基本的列项的形式可以把它给记住，就是我们这个列项是怎么列的，它平常的构造就如果它不走正常的路径，我 要走一些比较麻烦的路径，那么它的构造的形式又应该是怎么去构的呢？那我希望各位同学可以把这个模块可以把它给记住，好吧，它的用法是怎么样子的？ 好的来，所以就这个列向基本列向的形式把它给记住，所以我要去求 s n， 就 很简单，就是 b 一 加 b 二，一直往后加，加到 b n， 写下来其实很简单，一带进去就一分之二的零次方，减去三分之二的一次方，把二带进去就三分之二的一次方，加上五分之二的平方一直往后加，加到二的 n 减一次方。分子 二 n 减一分之二的 n 减一次方，减去二 n 加一分之二的 n 次方。好，把该约的约掉，该约的约掉，该约的约掉，所以其实一定是可以得到是等于一减 二的 n 加一分之二 n， 可以 吧？ ok， 好 的来，这是我们今天学的一个很重要的点。
1.5万数学君
