新课标一卷导数

已经二零二三年了，笼罩三年的疫情，疫苗已经扫除，你的素质有没有提升，好好琢磨一下啊，那么今天这道题可以全方位的很好的帮助你塑造自己啊。这道题是二零二二年的新课标啊，我们导出压轴题 啊，他讲的是这样的啊，就是函数是这么一个函数，当 a 等于一时候，第一问是讨论单调性啊，这一问我们就简单说一下啊，那么 a 等于一的时候的话呢， fx 是等于一个一的 x 四方加上一个 x 方减去 x， 他的导数的话呢，求出来啊， 一来四方加上一个这个二 s 减去一啊。呃，然后呢，讨论单调性的话呢，要要看这个东西的一个正负啊，那么，呃，先要找他的这个零零点，看他什么时候等于零哈。这个的话呢，其实也可以去猜的到，对吧。哎。这个东西的话呢，他，呃你让他等于零吗？我们可以得到这个 x 的话呢，会得到一个 零呃。然后紧接的话，你看这个函数像是个增函数啊啊，这个你要说明一下啊，或者你再求一下导数啊，因为这个地方是增函数，这个地方也是增函数啊，所以的话呢，实际上来讲，那么他增函数的话呢，你这个，呃导函数的话就这么一个图像啊，大概画一下导函数图像啊， 他就这么这么一个感觉是零啊，所以你看你在这个负无穷到零的时候啊，他导函数是一个负数了，导函数负数的话，元函数是减函数啊，零到正无穷的话呢，我们说他是一个正数啊，导函数是正是正数啊，元函数是个增函数啊啊，这是第一问啊啊，那我们再看一下这个第二问， 第二问的话呢，这个题他是研究，是研究 s 大一点零的时候啊，然后这个大一点他，那么我们把这个 f s 的话呢写出来啊，是一的 s 方加上一个这个 a x 方啊，减去 x 大于等于这个二分之一的 s 的三次方加上一个一啊，好了，那到这的话呢，怎么去做啊？啊？这种题的话呢，那么我们说有 两种这个做法，对吧？呃，一种就是说韩餐讨论啊，就是说你把这个东西移过来，它构成一个，比如说移过来减去它，减去它大于等于零啊，构成一个整体的函数，你按这个函数的最小值小于等于零啊，大于等于零，这就可以了啊，这个的话呢，由于有这个字母 a 哈，所以你可能需要去讨论 啊，然后这是一种方式啊，那么另外一种方式就是三遍分离，对吧？这是我们常见两种方式，那么具体说用哪一种呢？ 啊？我们讲这个东西是没有办法评判说我爱我在这个时候就判断说用哪一种可以，或者是用用哪一种更简单，你要去尝试，对吧？比如说你要移过来的话呢，讨论的时候哈，他会比较费劲，不好做的 啊，非常好做啊，所以我们这道题的话呢，实际上是三面分离，但是三面分离也是非常非常痛苦的一件事情啊，为什么呢？你来分分试试哈，先就是 a f 方大于等于的话，这个地方是二 n g e x 三次方，再加 s， 再加一减掉这个 e x 方啊，那么这个时候的话，你看你要去拆面分离的话也是非常麻烦的哈，因为你这个函数本身就很麻烦，又有三次又有这个指数，你把这个 x 方除过来又是更麻烦的事情。 那么有同学看到这个地方可能就开始退缩了啊，所以很多同学在这个地方就开始被这个吓的大小便失禁啊，就已经这个吓退掉了啊，就做不下去了，对吧？那么就开始又回头去讨论，那讨论其实也没有什么进展啊，也不好做，所以这道题的话呢，他难在这个地方哈，就是你可能呃需要 再进一步的这么一个勇气和决心好吧，所以这个地方我们就要除过去哈，除过去就你试一试哈，他虽然说麻烦，但是也有可能导致不麻烦的啊，这是这么一个情况，所以我们去除过去啊，除过去的时候你要看是不是零吗？这个地方还是有可能是零的，所以你要单独再讨论一下啊，就当来等于零的时候的话呢，先讨论掉 这个是零大于等于零，这是成立的吗？对吧？啊，那我们说当 s 大于零的时候啊，这个时候的话呢，再把这个 s 方的话呢除过去啊，它是个正数除的时候的话呢，你可以这样子。好，我们可以 啊，用整体这一坨去除以 s 方也可以每一项去除啊，比如说我每一项去除的话呢，这个一除完剩了二分之一 x 啊， x 除完剩了 s 分之一啊，一除的话呢，是一除二分之 x 方，再减去后面的话是一的 x 方除 x 方，这都可以哈，这样的话呢，这个函数那么显然我们呃要 a 大于等于这个右边这一坨，那么求右边的这个最大值就可以了，对吧？所以右边这个的话呢，我们假设说是 g x， 那么求他的这个最大值，然后的话你要对这个 g x 的话进行这个求导啊， 我们求一求哈啊，你像我这样去写的话就是其他就是加减法，对吧？如果像刚才这个你这样写就是个除法啊，各有优虑啊。那么这个地方的话求弯倒，这个地方是二分之一啊，然后后面这个地方是负的 平方分之一哈，这个地方求导其实就是 s 的负二次方嘛，他是负二乘以 s 的负三次方，对不对？所以的话他其实负二除以 s 的三次方啊，不会的话你慢一点啊。那么这个地方求导啊，这是一个除法啊，一的 x 方求完导，是他自己乘以 x 方减去一的 x 方不动乘以分母的这个导数，再除以这个分母的平方， 这么一个情况啊，你整理一下哈，整理一下前面是不是要通风一下，我们先通风一下啊，这个是二的 s 三次方啊，上面的话呢，就是这个。呃。 x 的三次方， 再减去的话，这个地方是二 x 啊，我们再减去的话，这个地方是一个这个四。呃然后后面的话呢，你看约掉一些，剩的是 x 的三次方哈。呃然后的话呢，是 x 减二啊，再乘以这个一的 x 方，就这么一个情况，那到这显示是要通分一下吧，对吧？啊？那你给他通分一下，分母的话是二的 x 三次方，前面的话是 x 方减去二 x 再减去四 四哈。呃，再减去后面是两倍的 s 减二啊，还要乘个两倍啊，通分，这是一的 s 次方，好吧，到这的话可能就很复杂了，就研究这分子了吗？那这分子怎么研究呢？ 会有点费劲是吧？啊，这个地方没什么好弄的哈，那主要是这个地方，这个地方就是你看能不能英式分解了，是不是应该这么去考虑三次的哈，所以你要会三次英式分解啊，三次英式分解的话呢，这是一个基本素质啊，你要是说素质过低呢，就不行了。所以这个地方我们也再说一下啊，关于他啊，他实际上的英式分解是用的这个英式定理， 对吧？就要猜根吗？就是说 i 等于几的时候，这个式子会是零，那猜根，我们说猜哪些范围呢？啊？我们说正负一，正负二，正负三就可以了，只能猜这六个啊。啊，这样的话呢，你带进去啊，你一猜是二等于二，他是零，你把二等于二带进去啊，八减四，再减四 啊，如 s 等于二，它是零的话，猜到一个根说明的话，它会有个因式是 s 减二，这叫因式定理哈。啊，那么就会有一个 二减二，所以其实在分的时候，你去拼命的去凑这个二减二啊，所以我们这个单独写到嘴边来哈，对于这个 s 三次方，再减去这个二， s 再减去四啊，去凑这个 s 的这个点二，从最高词开始啊，你把这个最高词写成这样子， s 平方乘以 s， 他减二，你直接给他减二， 这样的话呢，展开之后是减二， s 方多减了一个，所以再加个二， s 方啊，减二， s 再减四，然后到这的话呢，你再去给他去写啊，这个时候的话呢，后面这个地方我们可以去 也提出来一个二，他也会有一个这个 s 减，他提出来一个二，这不是 x 方减这个 x 减二嘛，后面的话呢，还会有一个是 x 平方，呃，再乘一个 x 加一啊， 就是这么一个情况好吧，所以的话呢，这个地方就是变成了 s 减二，提出来 s 方加上一个这个二， s 加二，哎，就这么一个情况，所以的话呢，你看好了哈，我这个地方就就 就这一坨，把这个代替了，好，就不再抄一遍了啊，然后跟后面这个东西是不是可以提出来一个公因式删减啊？刚好有关系啊，看到没有啊，这是他设计的这个题的这么一个特殊情况，如果不是有这个公因式，这个题是非常麻烦的啊。 然后到这，哎，我们提出来是这么一个情况，然后再处于这个分母，然后现在的话呢，你看这个东西依次的非常好好研究哈，他就是大于二， 呃，这这他等于零的时候是二等于二嘛，那就看这个东西了，是吧？所以的话，你看现在的这个情况哈，这个题是比较费劲一点的哈，我们需要的话呢，是对这一坨进行研究，这一坨的话呢，你现在肉眼还是更观察不出来了吧，是吧？所以的话呢，我们假设这一坨是等于 h x 的， 好吧，再去研究它哈，这是在导数当中是稀松平常的哈。啊，这个研究一下局部的函数啊，有些时候是这个整体的这个二阶导，那么这个的话是局部这个函数，所以我们 hps 求一下导数啊， 那么是二 s 加二减去一个二倍的一的 s 方这个东西的话呢，提个二出来是 s 加一，减去一的 s 次方，哎，你会发现一件事情啊，那么什么样的事情呢？就是我们 这个东西是一个常用不等式啊，你必须得知道，常用不等式啊，就是一的 s 方大一点， s 加一的哈，这个是非常好证明的，这个你才知道，这也是基本素质的要求。好吧，那所以的话，这个地方小一点点啊，当然的话，我们在考场当中肯定这个东西把，你把这个稍微证明一下就可以了， 好吧，所以它是小一点零的，也就是说你的导数是小一点零的，那你说明的话呢， h s 怎么样？是不是一个减函数啊？你既然 h s 减函数的话， s 是大于零的吗？它是这样一个头像， 所以的话呢，这个 h s 的话呢，会有一个这个最大值，他就会小一些啊，小于是零哦，你把 h 零加进去吗？这是零，零，这是一，呃，刚好也是一个零，所以的话呢，其实就是说这坨是一个什么呀？是一个永远是个负数，那我们 整体的话呢，符号这分母是个正数，主要取决于这个喽，是吧？所以整体这个函数来讲的话呢啊，你交代一下，那我们说当 s 这个小于二的时候，这个地方也是个负的，整体他就是一个正的啊，那先增 s 大于二，他是他是一个这个减的， 所以来讲的话呢，我们这个图像是这样子的哈，就是整体这是一个 g s 图像哈，然后的话，这个地方是二等于二的时候，他取的这个极大值，所以这个我们就不再啰嗦了，这个过程省略了。好吧，所以的话呢，我们这个时候你可以得到说 g s 的话呢，有个最大值 就是这个积二啊，积二的话这个大家可以带你算一下，四分之的话呢，是七减去一个一方，所以其实 a 的范围的话呢，那么就大于等于这个东西，所以最终的范围这个我们就求出来了啊。所以这种题我们再综合看一下的话呢，他考到些什么东西呢？其实非常考你的勇气的，比如说你猜面分离之后，这个函数形象是来讲 比较复杂的，是吧啊？尤其是说如果你把这个 f 方这样弄，大家其实看起来还更复杂一点点啊。但是的话，我们讲说这个啊，分类讨论来讲啊，基本上也是没有什么出路的啊，所以的话呢，采用了这个三面分离啊。