南通高考押题卷
全国高考看江苏，江苏高考看南通，南通仍旧没人失望。刚考完的南通一模在难度、题型分布及创新度都控制的非常好，没有过于偏怪难题，可能是本届截止目前最适合作为二十六届新一卷高考的模拟卷了。选填小题方面， 三个压轴位刚好两个难点，八题算半个，十一题算半个，十四题也算半个。解答题前三题跟高考一样以送分题为主，但第十七题以开放形式侃一下基础不好的同学。最后两道压轴题出的很好。十八题一反解析几何套路题。十九题是导数与数列结合的经典题。第三问的列项考察在致敬二零零三年江苏数列压轴题。
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26:37查看AI文稿AI文稿一口气讲完高二期中十大题，看在八大题型，从构造函数、导出双变量，讲到排列组合、统计概率，听完我这节课，你就是年级第一。 欢迎大家来到高二下十大押题的课堂。上一期期末考试押题收获了一百万的攻卡，很多人说我压的很准，压到了原题， 所以我马上来出一出高二下期中考试十大压题。以我数学老师、阅卷人、出题人的心态来告诉你们，什么题一定会考，它的考点陷阱在哪？ 首先呢，我们来看到第一个题，型，元函数与导函数混合，它是会出构造函数类型题的，它的步骤是非常清晰的。第一句话不用看了，他说满足这样一个关系式，我们这就是体验，我们不妨把它写到一边， f 撇 x 减 f x， 他是大于零的。那么我们来看第一步，干模子东西嘞，我们要去看他与谁混合，他与谁混呐？他大哥是谁呀？对不对？那你看，咱们 f 撇 x， 他 前面接了，没有任何人，咱们 f x 前面也接了，没有任何人，没接人的情况下，他的大哥藏起来， e 的 x 方他藏起来了。 那么如果说，哈，我前面接的是 x， 那 么也就是说明咱们的原函数应该是跟 x 的 n 次方混合的，要记住这个点。其次，第二步干么子嘞，就是我们要去还原原函数的乘除号， 哎，我们现在在这，它是一个负号，回到原函数上应该是一个什么？应该是一个除号，而如果这里是一个正号的话，回到原函数应该是一个乘号的哈。在这只有一个例外，就是跟咱们 cosine x 混合时，这里的符号有一个区别，其他的没有区别的。 那么接下来我们就见证证奇迹了，我们真正的原函数是谁？应该是 f x， 再除上一个 e 的 x 方的。哎，你不信你就看一下， 我们这一个函数，如果说去求导了之后嘞，它就等于 e 的 二 x， 上面来是 f 撇 x， 再乘上 e 的 x， 再减去 f x， 再乘上 e 的 x， 它本人求导就是 e 的 x， 所以 上下同除 e 的 x， 所以 你就会发现他隐身了。唐老师，你太牛了，对不对？所以你会发现我这一坨，它大于零，也是分子大于零，那么分母也大于零，整体上它都大于零。那 么返回上一层，咱们 e 的 x 方分之 f x， 他 就应该是在 r 上干沫子嘞，他应该是在 r 上单调递增的，对不对？好，我们继续回到这道题目上来， 他问这坨东西啊，他大于二的解集为多少？首先我们左边他已经给你写成这个形式了，这道题是属于简单中的简单， 因为他在这一步的时候，他无需隐藏他的意图，左边就直接写成这个形式了，对不对？那我右边来，我写成什么样子嘞？这里是二，也就是咱们的 f 零嘛，对不对？其实 f 零，你下面再除上一个 e 的 零次方，这里是一嘛？所以说右边这个二，直接写成是 f 零，然后下面是 e 的 零次方， 那么我们又已经知道这一个函数在 r 上是单调递增的，所以我们只需要使得咱们的 x 大 于右边这一个括号里边的数零就可以了。 所以呢，选咱们的 b 选项，大家别着急记笔记，这一期押题的讲义我已经给大家总结好了，我还给大家额外整理了一套非常精华的期中考试卷，宝宝们及时下载打印。 我们来看到第二个题型，导数存在单调区间是么子意思嘞？入一个 f x， 它在区间上存在单调递增区间。来翻译一下同学们， 其实它说的是咱们 f 撇 x 到底怎么大于零，在这一段内部它是有解的，就是存在这样的 x， 使得它大于零就可以了。 那么我们接下来先来求到一下子，它就会等于 x 分 之一，加上二 a x 对 不对？那 那么这一坨它大于零，对于 x 属于二分之一到二，它是有解的，它是这个意思。那么此时来我们来分餐一下哈，二 a x 大 于负 x 分 之一，那么此时我们的 x 可不可以直接的给它除过去了？可以的，微摩兹嘞， 因为咱们 x 它是大于零的哈，这是有定义的，所以这时候我们除过去就是二 a 大 于零的哈，保持不动。 那么我们接下来去重点看一下右边这一坨，我要大于右边这一坨是一个存在性问题，那么只需要大于它的，谁来大于它的最小值就可以了。 而这个函数它是什么样的嘞？它是什么样的？它本来是这样的，但是我加了一个符号，它就应该是这样单调递增的，对不对？所以说它的最小值应该是在二分之一处取得，你看一下哈，也是负，然后呢，二分之一的平方分之一也带上去是负四的， 那么你会发现哈，我们在这，我这个是二 a 大 于负四的，对不对？但是你说我这里可不可以取到等来哎，你就去假设他可以取等哈，二 a， 他 如果是假设可以取等的情况下， 那么此时的话来我二 a 就 在这了，那你看我还是大于他的最小直播不大于了，因为咱们在这我这个空点，我在这一段上我是取不到的， 这说明咱们二 a 也是取不到负四这个点的，所以这时候就不能取这个等号哈，所以二 a 它就是大于负四的，所以 a 就 大于负二的，所以直接就把咱们的 b 选项选出来。 而在这必须要再跟大家讲一点哈，就是关于能不能取等，你都是去假设它可以取等，然后你再去验证对不对，就可以得到答案了。那我们就来看到很多人都会错的导数双变量型问题哈， 已知 f x 为这么多， g x 为这么多，若对任意的 x， 那 他就是一个横乘，逆行问题总存在，那他就是一个棱乘逆行的问题。然后来他说使得这一坨小于等于这坨，则 a 的 取之范围是多少？ 对于这种题目哈，他首先有一个很大的考点，这说到底是双变量还是单变量，哎，这道题一定是双变量，因为双变量指的是说咱们的变量命名方式他不同，比方说这里是 x 一 x 二，或者说其他题目 m 和 n 哈。但 是有很多同学他说 f x 和 g x 同时出现他这个双变量，错了，因为这里他都是同一个变量的，名称都是 x 的， 所以他是单变量哈， 那么这道题肯定是双变量。其次第二个，我们来解一下这个式子，左边 f x e， 它是一个横乘，以，所以呢，我只需要使得左边这一坨的最大值小于等于人家就好了，摆烂呗，对不对？ 那么我们接下来就变成了分别来求这两个式子哈。首先呢，我们来看一下，我们要去求 f x 的 最大值是多少，那么我们先去求导看一下，它就等于一的 x 方再减一个一的， 那么它是一个单调递增的函数，它的零点是在哪呢？是在零处取得，但是呢，我们的定义域是在一分之一到一上的， 所以说咱们取的是哪一段，是不是在一分之一到一上？这段它都是干嘛？它都是大于零的。所以返回上一层，咱们 f x 它一定是在咱们的一分之一到一上，都是单调递增的。 对， f x 的 最大值嘞，就是等于 f 一 的 f 一 嘞带进去一，一减一减一就是等于一减二的。好，第一步结束了，第二步来，咱们要去求 g x 的 最大值。同学们，如果你在这开始求它的最大值就慢了，为什么？因为 g x 它带一个什么？带一个 a 呀？它带一个参数， 所以说你在这，你去看它的最大值的时候，你是需要哎，我分成好几种情况讨论的，当 a 大 于零时， a 小 于零是怎么怎么的，你就会陷入分类讨论的一个求图困境哈， 但是既然你是我的学生，我就告诉你一个更加劲爆的点，怎么搞嘞？我们就直接保持它不动哈，左边右边呢就是 a 洛 x 减 x， 左边呢就是 e 减二的，所以这时候我们进行一个分离，参数，我们写成是 a 洛 x 大 于等于 e 点二，再加一个 x 的， 对不对？那么接下来干嘛嘞？我们看洛 x 能不能除过去哈，哎，你会发现，我们要去说明一下，如果说当咱们的 x 它是等于一时，因为 x 二在这嘛，它是一分之一到一的。 那么接下来嘞，咱们左边就是为零了，它是大于等于右边是一减二，再加一个一的，也就是一减一的，哎，它这是不成立的哈，就不行的。那么我们继续来看第二种情况哈，也是什么来，咱们的 x 它是小于一的情况下， 那么洛 x 它可能是小于零的，所以我除过需要编号的。所以嘞，咱们的 a， 它是小于等于咱们洛 x 分 之 x 加上一减二的。 所以这时候我真正要研究的是这一坨式子，我 a 要小于等于右边这一坨，而右边这一坨他是一个棱成立体问题，所以我只需要小于右边这一坨的什么呢？最大值就 ok 了。所以呢，这道题转变成了一个撤头收尾的什么题目嘞？我要小于等于人家的最大值性问题， 我就要去看这一个函数就 ok 了。我们假设说去另一个 h x， 它是等于零 x 分 之 x 加一减二的，而咱们的 x 哈，它是属于咱们的一分之一到一的左 b 右开区间的。 那么这时候我们来进行一个求导，看一下哈，就等于一个 l x 的 平方上面来是一的，然后再乘上一个 l x， 再减去一个 x 加 e 减二，然后再乘上一个 x 分 之一，也就是咱们的分母，求导哈，我们去化简，一下子就会得到。 好，那我们继续来看一下，咱们的分母来一定是大于零的，而分子来，哎，这一坨单调递增，而这一坨它是单调递减呢，它其实就是这样的一个反比例函数，对不对？那么我增减减，它就整体上一定是单调递增的， 所以咱们的分子是单调递增的。我们去另一下 w x， 如果说等于咱们的分子的话，我们去带两边的端点值嘛，你不要管这里个一取不取得到哈，带端点值，看一下 它就是为多少，是不是论一就是零零减一，减去一个一分之一减二的，也就是为多少嘞，就是为一减一的。所以你会发现呢，这一个值它都是小于零的，这是说明咱们的分子在右端点处，它也是小于零的，那么整体上它全都是小于零的。 分母大运的情况下，总体上整体都是小运的。那么我们返回上一层，咱们的 h x， 它应该在这一段上，它都是干嘛嘞？ 它是在这一段上单调递减的呀，对不对？它单调递减，所以说 h x， 它的最大值反而是 h 一 分之一呀，带进去， 所以来咱们最后答案就是 a 小 于等于负一分之一减一的平方了。你看，这道题就结束了，那么我们再来做一做排列组合的问题，来轻松一下哈。这道题来是分组分配里面的高级题目 哎，这道题说有五个同学参加三个社团，每名同学至少参加一个，每个社团至少有一名同学参加这个至少一出现，说明什么考点呢？说明是枚举法，说明是分类讨论的考点。 然后呢，他又说，如果五个人中小明和小王搞矛盾了，他们不能参加同一个社团，则不同的安排方式有多少种哈？ 首先 step one 要干嘛？一定要每局法分类讨论，分类讨论的是什么来？就是分组，我到底是怎么分组的？第一种分组情况呢？可能是一一三的， 哎，一个三个人抱一坨，然后呢？还剩下两个人自动分堆，然后呢？还有另外一种情况，就说一二二的哈，就是说我有两个两个人的，有一个一个人的，就没有其他任何情况了，这是一个分堆情况， 那么我们在这样不同的分堆情况下，我们再来看，呃，他这个限制条件应该怎么去用哈？首先在这样一个分组的情况下， 我们先去算，没有任何限制条件的情况下，那么我们是从五个里面挑三个人组成一堆，那我剩下两个人我就不用算了，他就自动分堆了，对不对？比方说我们选出来 a、 b、 c， 他 是为一堆的，那我剩下 d、 e， 他 就自动分堆了，我就不用去算他了，对不对？ 接下来我要干模子来，我要去减去限制条件。这我小明小黄啊，可能在这种情况下，我是参加了同一个社团的，我们两个人是抱堆的，所以小明和小黄他就是在这的，对不对？那么跟他俩结合的还有一个人， 我们现在还有三个人，我从三个人里面我抽一个给小明小黄不就 ok 了吗？我抽一个给他，好，我们三个人分在一块了，那么剩下两个人他就自动分堆了， 所以说这个限制条件呢，我给他减掉了之后就是符合题目要求的条件，好，这就是咱们的 分组结果。那么分组了之后再分配，分配，就是说把这三堆分给咱们的三个社团进行一个全排列，所以我再乘上一个 a 三三就 ok 了。那么我们再来看到第二种情况下哈，他是两个两个人，一个一个人， 所以这时候嘞，我们先 c 五二，再乘上 c 三二，这时候不得了，它是一个平均分组，所以你要去掉重复情况，再除上一个 a 二二就可以了。那我剩下这一个人，你乘上 c 一 一也没有关系，不成也没有关系，因为它就自动分堆了嘛， 所以这时候来就是不考虑任何的限制条件下的分组情况。那么现在我要考虑限制条件，就是说小明小黄啊，他可能在这，小明小黄，哎，我在这，那么我剩下三个人里边，我还要再抽两个人组成这一组就可以了， 所以呢，再减去 c 三二，所以我还剩一个人，他就自动分堆了，对不对？所以说这就是总体的咱们的一个分组情况，我再去乘上说，我再去分配，就是 a 三三三组进行一个全排列 后呢，把这两个东西加在一块，就等于最后答案是为一百一十四的选 b 选项。我们来看到比较简单的二项展开式哈，这里是多项式的乘积型题目，怎么做嘞？ 直接把前面给它展开，写成是一乘上一减 x 的 八次方，再加上 x 乘上一减 x 的 八次方，他问 x 方的系数为母子，那 那么我们可以先去看一下这一坨它展开了之后是什么？是不是 c 八 r 乘上一的八减二次方，再乘上负 x 的 二次方？同学们，这里的符号不要忘了，很多同学都会忘的哈， 所以我们再去给它化解一下，这里就为一了，所以是 c 八 r 再乘上一个负一的二次方，再乘上 x 的 二次方的。那 那么我们来看一下哈，在这一坨里边，我要出现 x 方的话，这里为一，那么后面只需要挑出来 x 方就可以了。所以第一坨式子是一乘上 x 方，所以是当咱们的 r 等于二十， 此时就有 c 八二，再乘上一个负一的二次方，再乘上一个 x 方的哈，也就是为二十八 x 方的。我们再来看第二种， 也就是这一种情况下，我前面有个 x， 我 要凑一个 x 方，那我后面只需要出来 x 的 一次方就可以了。也就是说，当咱们 r 等于一时，此时来我是 x 乘上这一坨式子， c 八一乘上负一，再乘上一个 x 的 一次方，也就是为负八 x 方的。所以最后这两个式子加在一块，也就是为二十 x 方，它的系数就是为二十的。我们来看到条件、概率和相互独立的题型哈，它一定会出多选题，但实则非常简单， a b 是 两个随机事件， p a p b， p a 并比。哎，我一看到 p a 并 b， 我 就知道计算量来了，它等于 p a 再加 p b， 再减去一个 p a b 啊，那么此时嘞，它就是等于三分之一加四分之一 减去 p a b 的， 而左边来是为二分之一的，马上可以推到俺们的 p a b， 它是等于十二分之一的。 ok， 结束了，我们心满意足去看 a b c d 选项， a 选项，它说 a b 相互独立。同学们， 相互独立是一种数学计算上的概念，也就是说，只要满足 p a b， 它是等于 p a 乘 p b 的 话，那么它就是相互独立的。 我们来看这坨柿子是十二分之一，而这坨是三分之一。哎，它确实刚好满足，所以它就是相互懂得 a 选项，对了， b 选项来，它说 a b 互斥。 互斥指的是不能同时发生，它是一种中文语义上的不能同时发生，它也可以表示成说咱们的 p a b， 我 们俩相交，我们俩同时发生的概率为零的。那你看，我是十二分之一，不是互斥哦，所以 b 选项错了，我们再来看 c 选项，哎，咱们此时 c 和 d 选项我都可以给大家好好掰成 白成，只要你能够算出来咱们的 a b， 他 是相互独立的话，就是说，哎，我发生了，我不关你什么事，你发不发生关我什么事呢？ 所以说我们俩是处在不同的宇宙里边的。那你看，我如果说 a 发生了，我 b 发不发生又跟 a 有 么子关系呢？没有任何的关系对不对？所以说条件概率在他面前就是一张白纸的。那我们来看，咱们的 c 选项是 p a a b 的， 那么此时它指的是在 b 发生的条件下， a 发生的概率。那么我 b 发生了关我 a 什么事呢？我们俩相互独立啊，所以它直接就等于咱们的 p a 的 p a 就是 为三分之一的，所以咱们的 c 选项对了。 然后我们再来看 d 选项，它是什么呢？它是在 a 发生的条件下，咱们 b 不 发生的概率又关我啥事啊？咱们俩是老死不相往来的。所以说这时候我们要写成什么来，它是 直接就等于 p b 的， 然后这时候它就等于一减 p b， 也就是为一减四分之一，也就是为四分之三的，所以 d 选项对了。所以这道题如果你还是在用老方法的，比方说咱们 p a、 b， 它就是等于 a， 给它倒腾一圈上去哈，变成分子分母的形式，上面是 p a、 b， 下面是一个 p b 的 话，你确实可以算，但是就慢了，就没有满足这个相互独立这个条件的化简形式。 我们来看到一道概率小题的多选哈。然后下列说法正确的是 a 选项，若 p a， 若 p b， 然后呢？ p a、 b， 则 ab 相互独立。 由这个式子，你可以把 p b 给它算出来，就等于一减三分之二，就是为三分之一的。我们刚才提到相互独立，指的是说两个的乘积等于 p a、 b 的， 而二分之一乘三分之一却是等于六分之一的。所以 a 选项就对了。 c 选项已知它服从一个二项分布，则 d x d x 是 有公式的，就是 n p 乘上一减 p 的， 也就是十一乘上三分之一，乘上三分之二的，它就是为九分之二。所以 b 也对了哈。 c、 d 选项来看一下 c 选项，他说第七十五百分位数，那大家一定要记住了，对于第几位百分位数应该怎么做呢？首先第一步你要记住了，对于第几位百分位数应该怎么做呢？你看这是不是一二 四五七十一十六十二十一的，你数一下，一二三四五六七八，确实刚好是八位数的哈。那么接下来第七十五百分位数指的是什么意思嘞？ 我用多少位数乘上百分之七十五算出来为多少嘞？是不是为六的？那么六他是一个整数，如果是整数的话，你就要去取下一位数第七位数，然后呢进行一个平均，然后第六位加第七位，就是为咱们的第七十五百分位数哈， 第六位是哪一个呢？是咱们的这一个呢？然后这是第七位，所以这两个加在一块再除二，他就是为多少的，是不是就是为咱们的十三点五的？ 对，咱们的 c 选项，哦豁，一定错了哈，那么 c 选项它还可以怎么考嘞？它说，哎，唐老师，现在是第 八十百分位数，宝贝们，那你看，咱们用八乘上百分之八十的话，它等于六点四了，它就补 不是整数了，干嘛嘞？我们就直接找到下一位，我们去找第七位的时候，这个数是多少，那么他的第八十百分位数就是多少哈，这是咱们 c 选项的考点。那么我们再来看一下 d 选项，他说他服从这样一个正态分布，若这一坨他怎么怎么的，他其实是一个面积型的问题哈， 咱们这一坨 milk 嘞，它表示的是咱们的对称轴，而咱们这个大于二嘞，我们就把这一坨给它画出来二，然后右边这一坨面积是为零点二的，而咱们负二到二呢，指的是咱们这一坨的面积为多少。其实非常简单，宝贝们， 因为哈，我们二和负二是关于咱们对称轴对称的，而咱们的对称轴两边的面积都是各为零点五的，所以说咱们这一段面积是为零点三，这段面积肯定也是为零点三，所以加在一块它的概率值就是为零点六的，所以低选项也对了。那么我们就来看到最后一道竖列放松的求和压轴题， 已知 a n 前 n 项和为 s n 这一坨式子为这么多第一问，要去证明它是一个等比竖列，非常的简单，我都要睡着了。 当 n 等于一十，四十，三倍 a 一 等于摩子来等于二倍 s 一 s 一。 就是说第一项和也是为咱们的 a 一 的，它再加上一个二，所以你就可以推得咱们的 a 一 是等于二的，其 第四到 n 大 于等于二十。为什么要这样写呀？唐老师，因为接下来我们要干嘛？我要去写三倍 a n 减一等于二倍 s n 减一，再加上二倍 n 减一，就是我们要用 n 减一去代换所有的 n。 为什么要这样做呀？我因为想要用一式去减二十， 左边呢就是三倍 a n 减一，右边呢就是二倍 s n 减一，再加上一个二的。 那么此时啊，同学们，这是前 n 项和这是前 n 减一项和它比，它就多了一项是 a n 的， 所以说这化简，它就是为二倍 a n 的， 所以这就是它的考点哈。所以我们继续化简一下，就会得到 a n， 它是等于三倍 a n 减一，再加一个二的。同 同学们，好简单呐，我都不用他告诉我，我左边边同时加一个一就可以啦，对不对？加一个一加三了，所以右边是三倍 a n 减一加一的，所以你就会发现这一坨等于三倍的这一坨。 那么咱们的 a n 加一，它就应该是一个等比数列。是以谁为首项啊？是以 a 一 加一为首项， a 一 在哪呢？在这二加一为三， 三为首项，谁为公比啊？是不是三为公比的等比数呢？所以嘞，咱们的 a n 加一，它就应该等于三乘三的 n 减一次方，也就是三的 n 次方， 所以此时咱们 a n 就 应该等于三的 n 次方减一的。那么这时候我们还需要去干嘛？我们要去验证，当 n 等于一时，此时它符合条件哈，把 a 一 带进来，你会发现刚好满足的。所以你就可以说咱们的 a n 的 通项公式就是为这么多的。 那么为什么我们要去验证当 n 等于一十嘞？因为我们在这是 n 大 于等于二十，我们去求出来的通向公式，所以你一定要是要去验证的哈。 所以说，咱们第一问 over 了，我们继续来看一下第二问，如何放松哈，设边为这么多，我不管它三七二十一，我直接该带进去哈， 这是 log 三带进去来，这是 a n 加一，不要看错了，所以它是三的 n 加一子方减一加一就没有了哈，所以呢，拿下来就变成了 n 加一的，所以 b n 它其实是等于 n 加一。而我后面要证明的是，这一坨东西加在一块，它是小一的， 所以我们不妨先把 b n 方分之一这一个通向给他拿出来研究，它就是 n 加一的平方分之一的。 对，这时候我们要对它进行放缩，这是我要算出来它小于某个数，那这时候呢，我每一个 b n 方分之一都小于某个数，加总在一块，它就小于一了，对不对？但是它究竟是小于哪个数嘞？我们来看一下哈， 咱们不妨哈，把分母给它写成是母子，写成是 n 加一，乘上 n 加一，那么你想我现在是不是要给它放大？放大只需要它的分子变小就可以了，只需要它的一个分子变小，哎，我把 n 加一，不妨就给它变成一个 n 呐， 变成一个 n， 另外一个 n 加一保持不动，而这头式子，它是可以列向相消的。写成什么来？写成是 n 分 之一减去 n 加一分之一的。 同学们，这道题已经结束了，现在呢，我们把每一项的给它加在一块 b 方分之一加上 b 二方分之一，再加加加，加到咱们的 b n 方分之一的。 这时候干嘛嘞？我就是小于这一坨，也就是什么一减去二分之一。好，我们再来写第二项，是不是二分之一减三分之一加加加到最后一项就是咱们的 n 分 之一减 n 加一分之一的。所以你看， 约约约约约约约，就只得到什么得到一减 n 加一分之一，他就绝对小于一了呀，对吧？因为我减去了个正数啊， 所以此时我们就已经证明成功了。但是既然我是北大堂姐妹哈，我肯定会给大家继续做一个升维的，哎，他还可能会怎么考啊？我继续压缩范围，比方说，我现在不是小于一了，我让你证明的是小于四分之三。同学们，咋搞啊？ 你想哈，我现在这个放缩方式还 ok 的， 我就不错，那么我还可以怎么去提高它的精度嘞？就是保留前几项不变，保留前面的小一点的项，我不动 不动。那比方说，你看，我在这，我就保留咱们的 b 一 方分之一保持不动，那么他本人是多少嘞？他本人就应该是咱们的 二分之一的平方，也就是为四分之一的，他本人是保持不动了，但是我后面每一项都给他放松，所以小于第一 项保持不动四分之一，而后面的每一项都应该是摩斯雷，都应该是一个二分之一减三分之一，再加上三分之一减四分之一，加加，加到最后一项是不是 n 分 之一减 n 加一分之一。那我们继续来约一下哈！ 约约约约！所以你看我这两项合在一块，这是为多少？就是为四分之三的再减去最后一项， n 加一分之一，所以这时候我减去一个正数，我就小于四分之三他本人了，所以你看我们也得正了。 关于数列放松，我不仅是放通向公式，我还可以通过保留前几项、前一项、前两项来提高他最后放松的精度。那么如果你听完我这节课，你绝对会在以下的压题期中考试卷中拿到满分。 听到这的宝贝福利来啦！我为你准备了超级精华的期中考试押题卷，听完我的课，再做这套试卷，你就可以逆袭全班第一了！我是北阿糖，我们下期再见！
2.4万北大糖的魔法数学
24:24查看AI文稿AI文稿一口气讲完高一期中十大题，包含八大题型，从平面向量、解三角形，讲到复数一题、几何外接球。听完我这节课，你就是年级第一。 上一次期末考试压题一共收获了一百万的观看，大家都说压的非常准，压到原题了，所以这一期我们继续来看高一下期中考试有哪些必考原题。我作为数学老师，我一定会出这几道题。 首先呢，我们来看到第一个题型，平面向量的限性表示在一个三角形当中，怎么怎么地不管它。我告诉大家一个非常抽象化的模型，咱们 a、 b、 c 放在这了，然后此时呢，在这取一个地点，然后这里的比例是 number， 这里是一减 number 呢？那 那么立刻可以写出来 a、 d 等于什么嘞？等于对边乘对边，再加上对边乘对边，也就是那么大倍的 a、 c， 再加上一减那么大倍的 a、 b 的， 哈，就是这样记的。 那你看这道题里边，他说 b、 d 啊，等于三倍 d、 c 的， 也就是说这里为一，这里是三，所以它的比例比应该是四分之三和四分之一的，对不对？宝贝，所以这时候咱们的 a、 d 啊，是不是对边乘对边 四分之三倍 a、 c， 再加上四分之一倍 a、 b 的？ 那选谁？是不是一上来就选 a 选项啊？大家别着急记笔记，这一期压题的讲义我已经给大家总结好了，我还给大家额外整理了一套非常精华的期中考试卷，宝宝们及时下载打印。 那么我们来看到平面向量的数量几哈，它很简单，但是容易出咱们的多选择题。已知平面向量 a 和 b， 则下列说法正确的是 a 选项 a 加 b 的 魔长。首先我们去计算， a 加 b 为模子东西，对应相相加一加三四二倍根号三。那么它求魔长，就是根号下这坨平方加这坨平方哈，算出来了，它就是为二倍根号七的，所以 a 对 了。然后我们再去看 b 选项 一，第二乘 b 减 a， 所以 我们先计算 b 减 a， 也就是对应项相减，也就是二零的，再第二乘，咱们的 b 也是三根号三。然后呢，我们对应项相乘再相加，也就是六加零，也就等于六的，所以 b 选项对了，我们再去看 c 选项。哎，他问假角 当老师，假角咋做嘞？ cosine c 塔，他是有公式的，等于 a 第二乘 b， 再除上 a 的 魔长，再乘上 b 的 魔长的。 我们去计算一下哈，上面点乘，这是对应相相乘，再相加一个是三加三。下面呢，根号下 a 的 魔长是根号下一方加根号，三方也是一加三， 再乘上根号下，这里是三方，就是九，再加一个三的。所以计算出来它是为多少呢？它是为一个二分之根号三的。那你想咱们的 c 它只能等于六分之派，那你看 c 选项，这肯定错了哈。 我们再来看一下 d 选项，他说 a 在 b 上的投影向量为多少，它是有公式的。同学们，投影向量指的是投影数量，再乘上 b 方向上的单位向量，它是两步走的。 那么首先我们去看怎么去求 a 在 b 上的投影数量呢？其实只用 a 点乘 b， 再除上 b 的 魔长就 ok 了。 然后第二步来，我们再去乘上在 b 方向上的单位向量，也就是 b 他 本人除上 b 的 魔长哈，这两者相乘就 ok 了， 这一个是多少嘞？其实就是在这的为六的，而咱们 b 的 魔长嘞，在这的就是二倍根号三的，再乘上一个，下面是二倍根号三，上面是 b 他 本人，所以搞在一块，下面就是十二分之六倍 b， 也就是二分之 b 的， 所以 d 选项肯定就是对的。 然后在这里必须给大家提一嘴，如果他不问的是投影向量，他问的是投影，或者说投影数量，他都是指的一个数字，那么其实他只是问的第一步的东西，这一坨算出来就是一个数字，就是咱们的投影数量。 我们再来看到第三个题型，解三角形，判断形状，在三角形中第一句话不用看了，而这一坨东西才是咱们的体眼。首先你要把这个 cosine 方给它画一下，画成模子，东西来由降面公式就是二分之一加 cosine a 的， 等于 b 加 c， 那 么此时哈这两个异约也就是 c 乘上一加 cosine a， 那 么由于弦定里 cosine a 呢？马上可以换哈， 换成什么嘞？下面是一个二 b c， 上面是 b 方加 c 方减 a 方的，等于右边的 b 加 c 的， 然后这时候左边打开就是 c 加上二 b 分 之 b 方加 c 方减 a 方 等于 b 加 c 的。 我左边把同乘二 b 也是二 b， c 加上 b 方加 c 方减 a 方，它就等于二 b 方加上二 b c 的。 好，我们一起来约一下，约约约，最后就得到一个什么呢？ a 方加 b 方等于 c 方，那它一定是一个什么呀？是一个直角三角形，所以 b 选项一下子就出来了哈。 而如果说题目在这问的它不是 cosine 方二分之 a 的 话，它是谁呢？它是 cosine 方二分之 a。 同学们一定要记住这个将面公式是多少，是不是二分之一减 cosine a 的 哈，所以这一条其实是非常容易出错的。 我们再来看到平行的判定哈，下列命题正确的是。首先我们来看 a 选项， a 平行于 b， b 又包含于平面 alpha 的。 我们先来看一下， b 是 在这的，你只需要去找特殊情况就可以了。哎，假设说咱们 a 呀，它就是在平面 alpha 上的，那此时我是包含于 alpha， 不是 平行于，所以 a 一定错了。我们再来看 b 选项，它说 a 呀，平行于 alpha， 而 b 嘞，它又是 o 含有 alpha 的， 咱们 a 必须平行于 b， 这条直线肯定错的哈，因为咱们的 a 啊，它可能是这个样子的，对不对？那么我跟咱们的平面还是一个平行关系，但是咱们跟这个直线之间，它就不是平行关系了， b 呢，一定是错的。我们再来看 c 哈， a 平行于 alpha， 而 a 又是平行于 b 的， 所以此时嘞，咱们的 b， 它是平行于 alpha 了。 你看这个，呃，这个特殊情况是什么？咱们的 b 呀，它就是在这个平面 alpha 上的，而咱们的 a 嘞，它是在这的，对不对？那么这时候它们俩是平行的，而 b 又是在这个平面上的，所以 c 肯定也是错的，那肯定就选 d 喽。我们再来看 d 选项哈，它就给的非常的长，一般 三短一长，选长的，对不对？咱们的 a 呢，它是不包含于 alpha 的， 而 b 呢，又是包含于 alpha 的， 所以这时候咱们的 a 肯定是平行于阿尔法平面的哈，所以 d 就 对了。我们来看到斜二侧画法，同学们，立体几何，没有几何考点的斜二侧画法，我是老师，我百分之七八十的概率会考的 已知水平放置的 abc， 它的平面直观图是这一个，它是边长为一的正三角形，他现在问咱们原来的图形的面积为多少？同学们，你要记住我现在这个斜二侧画出来的三角形，它是什么被压缩过的？ 所以说 s、 p、 r 它是等于多少倍的？原来的 s 的 嘞，它是有一个公式的，是四分之根号二的。考试一定会直接考公式的， 那么此时我们这个 s、 p、 r 为多少？它是边长为一的正三角形，而正三角形的边长公式，哈，假设它的边长为 a 的， 那么它的面积就是为多少，是不是为四分之根号三 倍的 a 方的？哈，这是一个公式，你也可以去计算一下，做一条高下来，这里是二分之 a， 那 么这一段是二分之根号三 a， 那 么这一段是 a 的。 所以二分之一乘上 a， 乘上二分之根号三 a， 它就是为四分之根号三倍 a 方的。哈，它是一个非常快的公式， 那么我们就知道左边就是四分之根号三倍 a 方，就是这个边长一嘛，等于四分之根号二倍 s 的。 所以约一下，咱们的 s 就 等于二分之根号六的选 a 的。 既然我是北大堂，我肯定要帮大家升维一下啊，我告诉你们习二侧画法它是怎么画出来的？首先第一个，你要去看，咱们如果说是平行于 x 轴的， 那么此时咱们线段的长度是不变的，而且仍然跟 x 轴之间是一个平行关系。而其次第二个，你要去看，咱们平行于 y 轴之间是一个平行关系的。首先 number one 咱们的长度是会缩减为原来的一半的。其次 number two 咱们的角度，咱们的跟 x 轴是在内夹角，咱们会由一个直角变为 四十五度的哈，这是它的两个变换方式。我们来看到复数的多选题哈，它虽然很简单，但它一定会考的设共和复数为这么多。然后下面命题正确的是 a 选项，若负数为这么多，则它在负平面上对应的点，而它的话就应该是三减四 i， 那 么就是三负四这个点，那它是在哪个象限呢？是不是正负 a 也就是在咱们的四象限，所以 a 就 对了。 b 选项它的周长为多少？是不是根号下两个系数的平方相加，三方加四方就是为五的？所以 b 也对了， c 选项若 z 等于一，哎，这个魔长等于一也就是为多少。你假设 z 嘛，它是为 a 加 b i 的， 那么魔长等于一，也就说明根号下 a 方加 b 方是等于一的，那只能说明 a 方加 b 方等于一啊，你 不能说明它等于正负 a 或者正负 e 啊，我没有说啊，所以 c 一定错了，而 d 选项来，若这头负数，它是一个纯虚数。宝贝们， 纯虚数有什么考点呢？就是咱们 a 加 b i 必须要保证 a 等于零， b 不 等于零，如果 b 都等于零了，我还有虚数吗？不存在了对不对？ 所以你看这道题，咱们必须要保证 m 方加三， m 减四等于零的同时， m 方减二， m 减二十四 等于零。所以你看，我们最后解出来来，其实是 m 只能等于一的，你看这里 m 等于负四，是因为它没有舍掉咱们的这里不等于零，这种情况哈，所以呢，咱们低选项肯定也错了，这道题选 a b， 但是我肯定还会给大家讲一个他会考的点哈，他可能会去说，哎，唐老师，咱们 a 加 b i 这个负数啊，是 a x 方加上 b x 加上 c 等于零的根，请问 abc 之间有母子关系， 那么这时候有两种说法，第一种说法就是把咱们的 a 加 b i 给它带进去，老实巴交的带喽，带了之后你就会得到 abc 之间的一个关系。 其次第二个，如果他告诉你 z 啊，他是一个根的话，那么他的共恶负数也是一个根，那你想共恶负数也是一个根，我两个根都得到的情况下，我用谁呀？回答定你对不对？那么这两个加在一块就是二， a 的， 它就等于负 a 分 之 b， 而这两个长在一块儿，也就是 a 加 b i 乘上 a 减 b i， 它就应该等于 a 方减 b 方， a 方也就是 a 方加 b 方，它就等于 a 分 之 c 啊，所以这种方式肯定是更快的。 我们再来看到例题集合，难倒很多同学意面直线所成角，非常的简单，宝贝们，第一步干嘛嘞？我，既然意面，我就移到同一面喽，我就移，移到同一起点，对不对？所以我们首先第一步移到同一起点， 其次第二步我们才是去构造一个三角形，然后呢，去看这个三角形的一个余弦定理。 那么我们回到这道题目里面来，它如图，在一个正方题当中，哎呀，正方题太好做了， m n 分 别为中点， m 在 这， n 在 这，那么此时 a e m 和 b n a e m 在 这哈看起来很远，然后 b n 在 这，那么你看这幅图里面，谁明显是更好移的呀？其实都好移哈， 但是呢，我会发现，咱们如果说把 d e m 给连起来的话，这时候这一条它就一定平行于它了。你们知道为嘛？不？就是因为非常简单的一个道理哈，你看，我把这也连起来了，我这条边和这条边它是平行且相等的，对不对？ 那么这一个四边形它就一定是平行四边形，那么在它是平行四边形的情况下，我这条边就平移跟它平行了。 所以说我们要想去算它和它之间的夹角，我们就只用去算它和它之间的夹角就可以了，对不对？所以说第一步完成了，一到同一起点。第二步，我们把这个三角形给它单拎出来看一下哈，把它拎出来哈，随便画， 无无所谓。话就这个样子的，那么此时嘞，咱们的 a 一定一为多少嘞？哎，我们不妨去假设这个正方体的边长为二的。为什么假设为二嘞？因为你会遇到很多中点，你如果说假设边长为一的话，中点就是二分之一啊，这些豆豆它就带分子、分子、分母了，它就很复杂哈， 所以这时候它是为二的。那么我们再来看我们这一条它是为多长嘞？哎，我们不妨去连接一下 a c， 那 么此时我们在这一个直角三角形里边，我们就可以把 a e m 给它算出来，这里为二，这里为二，这里为二，那么这一边就是为二，为根号二，那么 a m 就是 为根号二的。 所以在咱们的这个三角形里边，咱们的 a、 e、 m， 它这是为多少？是不是根号下二方加上根号二的平方也是二的，所以它是根号六的， ok 标注出来。而咱们 d、 e、 m 来，哎，你会发现哈，它也是一模一样算的，它也是非常好算的。在这一个三角形里边，这 这段为二，这里为根号二，那么这一段 dm 也是为根号六的，所以他也是为根号六。那么此时我们要算的是谁和谁的假角啊？我们要算的是这一个和这一个的假角，所以我们算的是这一个小的角，那么我们假设为 c 大 角，所以扩散以 c 大 来， 它就等于根号六方，再加根号六方再减二的平方，下面是二乘根号六乘根号六的上面就是十二 减四就是八，下面是二乘六。所以最后答案呢？是什么？同学们，是不是三分之二了？选 c 选项。我们来看到外接球的题型啊，同学们，这道题呢，非常有代表性，它是可以化解来做的。在一个正三能追当中， p a、 p b、 p c 两样垂直，且 p a 等于 p b 等于 p c 等于二。如果说你们是按照之前的方式来做的话，你就会慢非常多。宝贝们，因为你还要去算咱们 p 这一个三能锥，它的高度为多少，然后这个外界球的球心到底在哪？哈，它就慢很多。 但是如果你注意到一个条件什么呢？就是两两垂直，你就会发现，哦豁，可以补型来做所有的外接球，一定要先想能不能补型，补成谁呀？补成长方形或者正方， 因为长方体正方体，他的外接球半径非常好算，为嘛嘞？因为他的外接球的球心就是在体对角线的中心处， 这个中心啊，你每个顶点的距离都是一模一样的，对不对？那你看我们这道题里边，他说两两垂直，那你想我 p 点在哪了？同学，我在这啊，对不对？ 那你看我的 p a 在 这， p b 在 这， p c 在 这啊，对不对？那你看我是不是两两垂直啊？那它四个顶点都是在正方体的顶点处，那么我们正方体的外接球就是正三能追的外接球啊，对不对？ 你再来看我们 p a， 这里是二，这里是二，这里是二，那么我们此时直接去算，这个正方体的体对角线，也就是二 r， 也就是外接球半径的两倍嘛，啊，连起来， 然后呢，此时它就等于根号下二方加二方，加二方的，它就等于多少了？根号下三个四相加根号十二，也就是二倍根号三，所以 r 嘞，它是等于根号三的，那么我们最后求的是体积 v 等于三分之四倍 pi r 三方的算出来等于 四倍根号三派的。那这道题就结束了哈，但是呢，我一定会给大家再去讲一个点，就是补刑法，它不仅可以用两两垂直，还有一个也是考的非常多的，是什么嘞？咱们的对棱相等模型宝贝们， 这个其实考的非常多，就是他会告诉你啊，我在一个三棱锥当中，咱们 p a b c 当中，咱们 p a 呀，我等于 b c， 咱们呐，什么 a c 呀，等于什么 p b？ 哟，咱们的 p c 呀，又等于 ab 这个样子的哈，我可能写错了，但是 道理是这样的，那么此时他就会问你说，咱们外接球的体积为多少？同学们，这种题也非常好做 好，我现在画了一个不伦不类的长方体出来哈，你们思考，我对棱相等是模子，意思就是我如果说连接对面的对角线的话，你看这两条对角线是不是相等 的，对不对？我再连接这一条和这一条，这两条对面对角线它又是相等的，对不对？然后我再去连接，哎，再连接这一条和咱们的这一条，你会发现这两条对面的对角线它又是相等的， 那你看，可不就是这里的对棱相等的模型吗？所以说，如果你遇到这种对棱相等的三棱锥，它是肯定也可以放到长方体当中来求外接求的半径的哈，这是补乘法的两种方式。我们继续来看到解三角形必考答题非常的好啊哈， 在一个锐角三角形当中，锐角不是废话，它是一个限制条件，一定会在第二位用上的，我就是这么敏瑞，哈，然后这一句话是废话，然后这一句话我们继续来看，它肯定在第一位就会用上。若 a 等于这么多，然后呢？二 c 等于三 b 不 用看，我们也不用看，我们只用去解题目这个条件。 首先我们来看塞塞塞塞四个塞，它是其次的，都是一次，那么马上立刻用正弦定力角化边 有几哈，所以 b 乘 c， 再加上 a 方等于 b 方加 c 方的，马上可以得到咱们的 b， c 等于 b 方加 c 方减 a 方的，那么马上可以得到扩散。 a 就 等于什么呀？是不是等于 b 方加 c 方减 a 方 除上二 b c 的？ 而我上面这一坨式子就等于 b c， 所以 b c 除上二 b c 等于二分之一的。又因为咱们 a 呀，它是属于零到二分之派的，所以 a 只能等于三分之派。 那么现在我们继续来看它要求它的面积，对不对？我们现在来只有 a 的 长度，其实我们求它的面积的话，我们只需要二分之一，我肯定要用上 a 这个角塞 a， 再乘上一个 b c 呀，那么咱们的 b b c 咋求出来的？同学们，其实刚才已经告诉你了，在哪啊？是不是在这里的，对不对？ 这时候是不是有 b c， 它是等于 b 方加 c 方减 a 方， a 方，这是九嘛？而他又告诉你说二 c 等于三 b 的， 所以两个方程，两个未知数，马上可以解到， b 是 等于二的， c 是 等于三的，所以带回去二分之一乘二乘三乘上撒眼三分之八也是二分之根号三的，所以算出来等于二分之三倍，根号三。第一题送分题不用看了，我们来看一下第二问哈，他说若 a 呀等于三，求周长的取值范围。宝贝们注意了， 无论他问的是周长还是面积，还是说什么 b 加 c 除上 a 这样的比直行的曲值范围，它都是固定套路的。首先 step one 要干嘛嘞？就是我们要化成是角度， 就是我们要把边长啊，给它化成角度。其次，第二步，你要去寻找这个角度的定义域。第三步嘞，就是你要根据这个定义域 去写出来这一坨式子，它的值域，那你看值域出来，咱们的取值范围是不是也就出来了，对 不对？那么我们回到这道题里面来，它要求周长的取值范围，那么 c 是 不是等于 a 加 b 加 c 的？ 而 a 嘞，它是等于三的，再加 b 加 c， 而咱们 b 和 c， 我 们这一步要给它化成是什么？化成是角度，那么怎么化成角度嘞？那肯定是用正弦定理喽，对不对？ 为什么要用正弦定零？因为 a 除上三以 a 是 我们已知的一个东西，它等于 b 除上三以 b 再等于一个 c， 除上三点 c 的， 它等于多少嘞？是不是？ a 也就是三的，再除上三点 a， 也就是 二分之根号三的，拿上去也就是二倍根号三的，所以我们就会得到咱们的 b 呀，是等于二倍根号三三点 b， 然后呢，咱们的 c 等于二倍根号三，三点 c 的。 但是这时候同学们，你们会发现我有两个角，一个 b， 一个 c 的， 咋整啊？我一定要画成一个角，一个变量，我才好做题啊，我们假设我们就画一个 c 吧，那么这个 c 是 多少嘞？这个 c 啊，它是不是等于 pi 减 a 加 b 的， 对不对？那 那么你想我三眼 c， 也就是三眼派减 a 加 b， 它其实就是谁呀？有诱导公式就是三眼 a 加 b 呀，对不对？所以这个 a 呀，它是三分之派的，那么它这就是应该是三分之派加 b 的， 所以我把 b 和 c 都画成了单变量型的角度式。那么这时候呢，我们可以把这一坨式子再给它写一下三，加上一个二倍根号三，然后呢三眼 三分之派加 b 的， 那么此时我是不是可以继续去化解一下子啊？对吧？我们可以右边再提一个二倍根号三出来，然后三 a b， 然后呢这一坨再给它化解一下，三括加括塞， 那么这时候哈，我们来合并一下，这里呢，三 a b 加过去，它就应该是二分之三倍三 a b 的。 那么这时候我们可以干嘛嘞？从里面再提一个三倍三 a b 的， 那么这时候我们可以干嘛嘞？从里面再提一个三倍的一个啊？ psych， 欸，你会发现又不一样， call 塞欸，它又是一个塞括括塞的形式，这个括呢，就是为咱们的多少六分之派的塞，这里就是六分之派的，所以呢，它可以直接写成是塞眼 b 加上一个 多少是不是六分之派的，那么我们马上在第一步就画成了一个只有单变量的角度式。第二步，我们就是要去看 b 角，它的定义域是模子东西，那么就跟咱们刚才第一步慧眼如珠看到了锐角三角形有关了。首先我们知道咱们的 a 角，它是等于六分之派的，它一定是个锐角，对不对？ 其次嘞，咱们的 b， 它是在零到二二分之派之间的。最后嘞，咱们的 c c， 它是多少？是不是派减 a 加 b， 而也就是减六分之派，再减一个 b， 它就是为咱们的 c 的， 它也是在零到二分之派之间的。 对呢，可以推出来咱们 b 啊，它是在六分之派到咱们的二分之派之间的。 ok， 搞定了，我们再去看最后一步，求值域型问题，那么这坨式子怎么求值域嘞？我们就去看 b 加六分之派，它是不是属于三分之派到咱们的一个 三分之二派之间呐？所以此时咱们的撒眼这一大坨东西，它是属于模子东西嘞，它是不是属于二分之根号三到一的左开右闭区间，那么我在前面乘一个六的话， 他应该是属于一个多少？是不是三倍根号三到六的左开右 b？ 如果我再去加一个三嘞，他就应该是属于三倍根号三加三到九的左开右 b。 所以 最后答一定是这一坨东西。那么解三角形的曲值范围性问题很容易出成压轴题，而且步骤还贼清晰。 首先，第一步，你无论是周长还是面积还是 b 直行，你都要画成是单个角度的式子。 其次，第二步，你要去看这个角度他的定义域如何，题目一定会给限制条件，比方说锐角三角形对不对？ 然后其次，第三步就是针对这个定义域，针对这个式子，你再去求最后的值域，那么就可以得到最后答案。那么如果你听完我这节课，你就一定会做以下的期中考试押题卷。 听到这的宝贝福利来啦！我为你准备了超级精华的期中考试押题卷，听完我的课再做这套试卷，你就可以逆袭全班第一了！我是北大堂，我们下期再见！
2.4万北大糖的魔法数学
00:47查看AI文稿AI文稿江苏地区的高考生家长有没有啊？咱们中考呢，各个城市考各个城市的，但是到了高考的时候啊，整个江苏用的一张试卷是同一份试卷，无论你现在是高二的还是高三的，这一套江苏的高考智力试卷啊，都是可以用起来。 高二的他马上也要全部讲结束了，到了明年暑假，基本上又要开始进入第一轮的一个复习了。高三的呢，那更加是我们所有的科目都有， 你可以根据你孩子选择的科目。近十年江苏高考专题试卷啊，全部去过一下，看看我在哪一部分还有些问题。同时呢，他送了一个高考的通关手册，我专题试卷找出来的问题，我可以通过这个通关手册这里面的分类的一些专题，我再针对性的弥补一下。
05:57查看AI文稿AI文稿这份南通一模可称之为二十六届至今最贴近新高考一卷气质的模拟卷。他没有刻意堆砌偏题、怪题， 而是在常规中见深度，在创新中守本原。整卷难度梯度清晰，小题有巧思，大题有格局， 尤其擅长在看似套路的地方设置思维转折，是一份既能检测基础，又能区分思维的优质试卷。好题精讲。第七题，函数奇偶性判断反套路中档题考察本质不是单纯套公式，而是对函数图像平移对称性的深刻理解。 反套路在哪？通常这类题由 f 减 x 判断即可，但本题需先将 f x 变成为二分之三减四分之三 x 加二，发现它是由其函数减三、四乘加二平移得到的正确答案， f x 减二分之三才是其函数。高考方向，函数性质题正在从 机械判断转向结构分析。复习提示，不仅要记结论，更要理解函数图像平移、伸缩对称的代数与几何对应关系。第八题，球面交线长空间想象加几何证明考察本质，立体几何综合核心是证明面面垂直，将空间交线转化为平面圆弧。 关键步骤，需先正平面 s、 c、 d、 平面 s， a、 c 得到交线是求被平面 s、 c、 d 所截的圆的一部分，再利用 a 到平面 s、 c、 d 的 距离计算该圆的半径，最终得交线长为 pi。 二、高考方向，立体几何压轴小题常考求结面问题 融合证明与计算。复习提示，掌握找垂面的技巧，将空间不规则交线转化为平面几何问题。第十一题，新定义均增数列小题中最具思维量，考察本质，在新定义包装下深入考察等差等比数列的通向前 n 项和与单调性的关系。 精彩之处， c、 d 选项需严谨推理，一百选项易错需举反。例如， n 等于一摁满足均增，但本身递减。五百选项需要构造验证，考察对指数函数性质的敏感度。 高考风向，新定义题下沉到小题是趋势，正在理解转化，而非复杂计算。复习提示，面对新定义，先用具体数列等差等比长数列带入试探，帮助理解抽象条件。第十四题， 向量与解三角形最直形式下忍实则中档考察本质，利用正余弦定理将向量条件转化为边角关系，最终化归为关于角的其次式，求最直。破解关键由二、 a b a c e cos a b plus a c 平方得边的关系 由 c 纳平方等于 c p c c 用正弦定理化边，得到关于 c n cos 的 式子，最终用基本不等式或三角函数有界性求最值五分之四。高考方向解三角形综合题 核心式边角互化与统一变量复习提示，熟记正余弦定理的各种变形公式，看到平方条件，优先想到余弦定理。第十八题，轨迹与对称性拨乱反正的解析几何体考察本质，摒弃繁杂技巧，回归解析几何本源，用代数方法研究几何问题， 为何称它拨乱反正，没有几点极限区间系的秒杀技巧的用武之地，必须扎实设点列式化简计算。第三问，求等边三角形边长 本质是初中几何弦心距勾股定律与高中坐标法的结合，非常纯粹。高考风向解析几何正在回归，对运算功底和几何直观的考察。复习提示，夯实直线与曲线连力、 维达定律、弦长公式这套基本流程，同时不要忽视平面几何的基本性质。第十九题函数零点与数列不等式全卷精华， 致敬经典，考察本质以反函数为背景，实则考察函数与方程。函数单调性、数列单调性与放缩列向第二问的巧妙，通过 l n x 零加 x 零等于零，反解出 a 等于减 l n x 零 x 零，从而将零点 x 零视为参数 a 的 函数 g r。 讨论其单调性，既可以用导数，也可以构造函数 h x 等于 l n x。 斜杠 x， 转化思维层次丰富。第三万的传承明显借鉴了二零零三年江苏高考数列压轴题的精髓，通过地推式变形发现 ai 减 ai 加一至 ai 可列项，并利用之 ai 零一 即行放松，这是对数列求和与不等式证明能力的极高要求。高考风向压轴题偏爱函数与数列的跨界融合， 注重代数变形与放缩的理性。复习提示，对于 l n x 加 x 这类对数加线段模型要敏感于其零点特性。数列不等式证明多积累向量放缩与单调性放缩的案例。本卷刷题策略，目标一百到一百一十五分保基础， 中中档必须拿下第一负六九、十十二、十三十五十六题重点补齐负数运算，集合向量数列基础立体几何证明三角函数性质的漏洞。本卷的十七题条件选择 是这类分数的分水岭，务必掌握。目标一百一十五到一百三十分稳中档探压轴核心是突破第七八一一四十七十八一二题 提升函数性质分析、空间几何计算、新定阅读理解解三角形、综合多条件三角函数问题的能力。对于十九题，立征完成前两问，冲刺一百三十五，加分， 攻克思维压轴。此课第十一题 c、 d 选项，第十八题第三问，第十九题第三问，训练严谨的代数推理、复杂的多变量计算，以及经典的数列不等式放缩技巧研究如二零零三年江苏高考压轴题等经典老题， 提升思维耐力。这份南通异模卷告诉我们，优秀的高考模拟卷不必靠偏，难怪博眼球，它赢在对核心知识点的深刻把握，对通信通法的坚持以及对高考命题趋势的敏感洞察。尤其是第十九题，它让我们看到真正的压轴题， 其灵魂往往来自于数学内部深刻而经典的结构。如果你觉得这份反套路的试卷解析对你有启发，请务必点赞、收藏、转发给和你一起奋战的同学！关注我，带你拆解更多有风向标价值的各地名校好卷！
424力力老师爱学习
02:06查看AI文稿AI文稿先说结果，这次考分普遍会比较高，头部高中如空中、海中的分数，平均分可能会超过一百甚至一百 一。全卷十九题，真正的难题只有第十九题，而这张试卷是不是出的不好？恰恰相反，这张试卷出的利益很高。纵观本卷， 第六题、第十八题都是高二学习统计和圆锥曲线式的基本难题，但到了高三往往不再复习，所以很多学生蒙圈，他们会抱怨自己应该做对，应该能考到高中。但这其实就是二五年高考的趋势。 二五年高考的十八题就是一道高二的基本难题，但高三往往不做复习，看你基本功如何。 出卷人希望此卷神似高考，本人出卷只看形似高考，如上期视频的十一题，再总看本卷难题，八十一、十四，第八题是一道立体型的题， 不再是熟悉的间隙就能算出来的事情。第十一题是个书面题，其实是逻辑推理，不再靠刷题被套路进去， 而是你理解他的逻辑关系，其实容易做出。十四题是一个二零二零年前的江苏老高考常考的一个基本问题， 可以间接去解决，也可以通过向量换算。这些题对于基础好的学生都不是难事，但对于一位想刷题被套路的学生，就觉得学了一学期的数学都没考到。而这其实就是目前高考的第一次重思考，精计算，出题人也想模仿。高考 十九题是一个典型的大学数学系的考场，考察反函数定义，而不是像以前的难题在迷宫中折腾，通过繁杂计算完成解析。 但是这样数题有很大风险，就是试卷整体计算能力低，考生偏高，一线教师会抱怨无从复习。其实反过来看，准备高考没有捷径，只有把所有点都复习到位才能踏实。 邢老师根据这撕心膜整理了应对知识点的问题，有需要的家长私信我，记得关注再走哦！
34南通老钱讲数学
01:58查看AI文稿AI文稿高三备考数学一定要做！高考押题卷，一定要做！我们南通人出的高考押题卷！很多数学老师已经发现啊，新高考数学的命题风格越来越像当年我们江苏自主命题的试卷。 说到江苏数学卷，大家印象最深的一定是南师大附中的葛军校长，也就是大家口中的葛大爷，我们南通如东出来的数学大神， 一提到他呢，很多当年参加过江苏高考的学生都不寒而栗，至今都印象深刻，他出的题难哭了很多人。葛军校长呢，曾多次参与我们江苏高考数学的命题，又是苏教版高中数学教材的副主任编在内公认的数学弟。 我手上这套葛军老师亲自编辑的高考数学信心跃升卷，就是帮高三孩子精准把控二零二六年的高考数学的命题方向的。 我真心建议啊，马上要高考的高三同学们，还有高二同学们，一定要提前把这套押题卷做一遍学一遍！押题卷的题目呢，不仅含金量高，而且这套卷子最值钱的地方是，每一套卷子都由葛君老师本人视频讲解，带你深度理解高考数学题， 讲解特别的细心。另外呢，购买信心券还能有葛军老师团队的专属答疑群，给孩子们针对性的答疑解惑小黄车，赶紧提前预定下单， 葛军老师亲自帮你复盘命题思路，让你知道新高考为什么这么命题，并且带着孩子们抓考点书逻辑深度教你解析的思路，剖析高考的评分规则，让你真正意义上知道高考数学题的解析根源。 整整三十个小时的视频讲解，全是葛君老师亲自授课。想吃透新高考数学方向，全真模拟高考题，提升自己解题能力的，想精准备考，让高考数学更有信心的赶紧下单锁定名额！
23南通周老师
00:15查看AI文稿AI文稿南通六校的二轮模拟押题试卷已到了啊！语数外四十五套答案都是配备非常齐全的，可以看一下。
07:06查看AI文稿AI文稿哦，今天我们来看一道试卷啊，男同志，二零 l、 e、 d 结构三、学业质量检测这套卷子质量还是挺不错的。呸呸，挺不错的，好看。第一题， 选 a， 第二题， 选 c。 第三题，它说在三角形 a， b、 c 中 二十 a， d 等于两倍的 d， c 一 二 直接乘三下。第四题， b 二不充分，考烂了， 三十度的话就是根号三分之 一 a， b， b， c 等 于。呃，底线，这个是二分之一。第六题，呃，不看了不看了， 正态分布， 然后问什么， 也就是一百七十二加十四点 二百一百九哈，全第。第七题， 首先到定义是全啥，然后记上数， 粉色一下四分之三。第八题，画出四零锥， e， c 是 九十度， s 到 c、 d 的 距离为二， 为球心，五分之五为半径，角线差。
