河南一模
粉丝5643获赞11.8万
相关视频
17:58查看AI文稿AI文稿好，大家好。嗯，这是郑州一模的这个卷纸啊，如果没有做过的话，可以把体暂停先看一下。好吧，那做过的我们来一起来研究一下这道题。 这个是个矩形 a， b， c， d， 然后呢说这个 a c b 呢，是一个六十度啊，对吧？那是一个三十、六十、九十的三角形嘛？点 p 呢？是对角线上一点，把 a p 绕点 p， 然后呢逆时针旋转到这个位置，那就说明这俩线段是不是相等的呀？啊，相等，而且底角是一个三十的话，它就是个一百二的等腰嘛。 然后呢说这个点 q 呢，在射线 ab 上当 p q 的 垂直平分线啊， p q 的 垂直平分线经过矩形一边的中点的时候， 对吧？然后让我们求 a p 的 长，那么来研究一下这个图啊，我们先不说这个经过终点，因为经过终点的话其实是很好找的嘛，它可以经过这个终点，它也可以经过这个终点，也可以经过这个终点，是吧？那这个图的话也好画， 我们来分析一下这个题里边他具备的一些基本特征，对吧？基本特征和基本的一些方法。那我们知道这是一个一百二等腰的话，这是一个三十度吗？对吧？这是一个三十度，那这个地方他是不是也是一个三十度？有角的题的话，不妨去多研究研究，好吧， 然后的话，这个地方是一个垂直平分线啊，垂直平分线，我们知道垂直平分线点是不是到线段两端点的距离是相等的呀？所以这个地方啊，你去连接这个 pm， 你 会发现它这个地方这两条边是不是应该也是相等 的，是吧？那这两个边是相等的话，那你这个是不是也是一个三十度？所以这个地方是不是一个九十度？ 所以说我们这个题啊，你要研究到这的话，图就特别好画了，就说你把这个 m n 平移到哪之后，找到这个 m， 然后做垂直，其实就是 p 了，然后呢，你可以把这个图再给他补齐，对吧？那到这这个地方之后呢？我们知道 这是一个六十度啊，这是六十，那这是一个三十的话，这个地方是不是也是一个三十？也就是说这个地方啊，他也是一个一百二的等腰三角形， 那当然了，这个地方他是不是也是个一百二等腰三角形？也就是在这个题里边啊，这个一百二的等腰三角形无处不在，特别的多，对吧？特别的多。好了，那我们来看这个题的一个，呃，一个一个几种情况，好吧，我们来看一下这个题的几种情况啊？这个图呢，我就不画了，我画现成了，大家跟着我一起看一下就行了。 第一种情况，当他经过上边这个点的时候啊，怎么去求了？你会发现这个题我们说了这是一个一百二等幺，这是一个一百二等幺，这也是一个一百二等幺。同时呢，你会发现这个地方他是不是也是一个 这个一百二的等幺啊？对吧？这个题一百二的等幺特别多，那这个计算的话，因为这个题给的是八，所以这个是不是就是四倍根号三，那这个的话也是一个四倍根号三， 对吧？那这是一个四倍根号三。之后，其实我们就可以求出这个边长了一百二的等幺吗？这个也是个一百二等幺，一比一比根号三，所以这个长度的话，是不是就是十二，对吧？那这个 pc 的 话，它就是十二吗？那这是八的话， ac 是 十六， 是不是十六？所以十六减十二，这个长度它就是四，它是四的话， 它是四的话，我们要去求这个，呃，我们要去求这个 ap 的 一个长度， 对吧？此时这个可不是 p 啊，此时这个不是 p， 这个是这个焦点了啊， p 在 这个位置，所以此时这个是四的话，我们知道我们要求这个 ap， 因为我们知道这也是个一百二等幺嘛，这个地方是个垂直嘛，所以三线合一的话，第一个 ap 我 们是不是就求出来了，对吧？它就是一个二 啊，他就是一个二，这是第一个答案，好吧？啊？其实算的话挺好算的，这是第一个答案。然后我们来看第二种情况，当他经过下边这个终点的时候，那这种情况更简单了，因为这个是八的话，下边是一个八倍根二三吗？所以这个边他是不是就是一个四倍根二三，是吧？ 那这个 a q 的 长，它就是一个四倍根号三，那四倍根号三的话，四倍根号三的话，根据这个地方它是一个一百二的等幺， 对吧？其实我们要求的 ap 就是 这个一百二等幺的这个斜边的一半嘛，所以根据一比一比根号三的话，那我们知道这个四倍根号三再乘一个根号三，所以这段长度是不是就是十二？所以呢？我们知道这个 ap 啊，这个 a p 一 半是不是就是六？所以这个就是第二个答案啊？这个答案，第二个答案，这个 a p 啊， p 在 这的时候，这个 a p 就是 六了，一个二，一个六。然后呢还有一种情况， 就是当它经过这个点的时候啊，当它经过这个点的时候，我们去把图去补齐啊，这个咋补齐的图了？我刚才也跟大家说了，你做出来这个点这条线之后， 你过点 m 去做垂线，他就是 p 了啊，因为我们刚才分析过了吗？对吧？你去做垂线这个地方他就是 p 了，然后呢你再把这个图是不是给他补齐就可以了啊？然后呢这个地方你再过这个边做个垂直并延长就可以了，这就是做图的一个顺序， 然后的话这个体这个 ap 怎么算呢？其实还是一样的啊，当他经过这个终点的时候，我们知道这是一个四， 这是一个四，此时呢这个地方他也是一个一百二的等腰啊，他也是个一百二等腰，所以这个长度就是四了，那这个长度是四之后，我们知道这个长度他是一个十六嘛，所以整个的长是不是就是二十？ 那我们知道这个地方是一个一百二的等腰的话，就是 ap 他 所在的这个底边，他是个一百二的等腰，这个地方还是个垂直的话，是不是就一半了？二十除以二就十了， 所以这个铁答案呢，就是二六十二或六或十，好吧，这就是这个铁。然后后边这个是我计算的过程啊，我第一次算的时候是这个地方做垂直了，这个是中微线，这是四，这也是四，对吧？这也是个四， 那这个地方也是一半的话，就是八减四，这也是个四吗？所以四除以二是一个二啊。然后这种情况的话就比较简单了，因为这个地方是个垂直的话，可以直接算，因为这是四倍根号三的话，这是一半二倍根号三，所以乘以根号三直接就是六了。最后这个题的话，我就是按照刚才这个做法去做的。好吧， 这是这个填空题的一个十五题啊。然后呢，看这个最后的大体 答案了，我们没这个答案没出来之前啊，我们是做了一下的，所以后来这个答案出来之后呢，跟答案的做法不太一样啊，我们一起来分享一下这个，这个除了答案的做法以外，这个做法 这个题还是挺有难度的。好吧，方法呢也比较多啊，方法也比较多。这个题呢，是新定义了一个和谐三角形，一个边是另外一个边的二倍嘛，对吧？那和谐三角形 a、 b、 c 中， b、 c 是 等于二倍的 ab 的 b、 d 呢是一个角平分线啊，又考到了角平分线 啊。其实我们知道这个最近两年的中考二十四年和二十五年这个压轴题，其实都用到了这个角平分线的一个考法，所以今年的话，一模二模其实考的角平分线还挺多的啊，大家对这个角平分线一定要足够去熟。好吧， 那这个角平分线你如果知道的东西多的话，这个题挺简单的啊。然后 b、 d 是 角平分线， a、 e 呢是一个中线，中线的话，我们知道这两个线段是相等的嘛。然后呢，又说这个 bc 是 等于二倍的 ab 的， 所以这三段都是相等的。然后呢，让你猜想 b、 d 和 这个 a、 e 的 一个位置关系，那明显就是一个垂直嘛，怎么去正呢？那这两个边相等，等腰加角平分线，是不是三线合一，所以直接就是九十度了啊？所以直接就是九十度了， 这个理由就不用说了嘛，等腰加角平分线，所以垂线啊，或者你不会用三线合一的，你就正全等第二个。在一的条件下，如果 b、 c 是 二十六，那我们知道这个地方他是不是就是一个十三啊？啊？这个地方就是一个十三， 然后呢这个长度它也是一个十三，然后呢告诉我们 a e 是 一个十，那十的话，这个三线合一，那这是不是同时它也是一个中线， 所以呢，这两个边是五，然后呢我们就可以得到五十二十三了啊？其实到这个地方是挺简单的，关键是往下呢，就进入一个特别难的一个步骤了，对吧？求 b、 d 的 一个长， 求比例一个长，那我们知道求长度的话，就是勾股和相似，是常用的一个方法啊，是常用的一个方法，所以这个题啊，他提到了这个， 他提到了这个角平分线啊，我们就就是结合之前那个开封一模最后一个压轴的最后疑问的话，他是不是考到了这个角平分线，三角形的角平分线分线的成比例啊？你说你这个地方是个一比二的话，这个地方也是个一比二，但是那个题是直接写出答案，这个题是需要写过程的， 如果说你利用这个比例是一个一比二直接去用的话，那考试过程那扣不扣你分我就不知道了。好吧，那这个是一个一比二的话，怎么去用这个？就是我们怎么样想去用这个三角形角分线这个这个关系呢？我简单给大家推一推，好吧？ 之前呢是有做题的话，是做到过这个东西的，你比如这是一个三角形的一个角分线，然后画一个普通一点的，好吧？ 换一个普通一点，你比如这是一个三角形的角分线，那我们怎么去正这个角分线的一个定律呢？怎么去正这个 a b 比上 a、 c 是 等于 b、 d 比上 c、 d 的 呢？ 对吧？那我们说初二的时候，我们用那个方法就有点笨了，利用这个左右面积的比例，就是利用左边这个面积比右边这个面积，那我们在这个啊，做辅助线啊，或者这个证明过程太长了。然后到初三我们学了相似之后，就有一个相似的方法， 那个方法是利用什么呢？就是利用平行的相似，再加上角平分线，可以得到一个等腰，对吧？所以我们这个地方怎么去做呢？我们过哪边去做平行线都可以啊？比如说我们过点 b 去做 a、 c 的 平行线，对吧？过点 b 去做 a、 c 的 平行线，交 a、 d 的 延长线于一点， 也就是这个地方呢，我们是一个平行的一个关系，所以呢，你这个地方角二是不是就等于角三？那角一等角三，所以 ab 是 不是就等于这个 b e 了呀？对吧？那这个时候这个是不是就可以比了？因为这是个平行关系嘛，所以我们说这个 b e 比上 a、 c 就 等于这是不是八字形，八字形的一个相似嘛？是不是就等于 b、 d 比上 c、 e？ 所以呢，我们知道这个 b e 是 等于 ab 的， 把这个 b e 换成 ab 是不就可以了？这就是三角形角分线的一个性质的一个啊，你想用的话一个比较快的一个方法，所以这个题呢，我们就可以借助这个方法，对吧？借助这个方法去做一下，因为这个地方是一个角分线， 对吧？因为这个地方是个角平分线，刚才我们求出来这是一个五十二十三嘛，对吧？这也是个五，然后呢，这也是个十三，这也是个十三。所以呢，我们借助刚才那个方法，我能不能利用这个角平分线，我去做个平行线呢？我们过点 a 去做 b、 c 的 平行线，然后呢交 b、 d 的 延长线与点， 可以吧？然后呢这个地方呢，我们换一个字母吧，比如说用 m， 哎，这个时候呢，你会发现我做平行了，角二是等于这个角三的，所以这个 am 就 等于 ab 等于十三， 对吧？哎，就等于这个等于十三，再加上这个 am 是 等于 ab 的， 这是个一比二的关系吗？对吧？这个题不是先告诉我们是个一比二的关系了吗？所以我们是不是就可以求出这个 dm， 它是比上这个 b d 是 不是应该等于 am， 比上 bc 是 不是等于一比二，对吧？那这个题告诉我们比例关系了吗？它是不是等于一个一比二的一个关系啊？ 那得到这个一比二的关系的话，就简单了嘛。然后你会看这个地方，我们这个地方本来就是个垂直角，平分线加平行的等腰之后等腰又加垂直，所以这个地方是不是又来了一个三线合一啊？所以这个地方的话，这个 b f 是 等于 这个 m f 的，是等于十二的，所以呢，我们是不是就可以求出这个 b m 它是等于二十四的呀？ 它等于二十四之后，那我们又求出来这个 d m 和 b d 的 一个比例关系是一比二，所以是不是就可以直接求 b d 了？ 也就是说我们把 b m 平均就是分成了三份。一比二嘛，分成了三份啊？分成三份，那我们这个 b d 是 两份，所以三分之二直接乘以二十四是不就可以了？ 所以呢，我们就求出这个 b d 十六了。然后呢，用着同样的一个方法，我们就可以来做第三题了啊，同样的一个方法，我们就可以做第三题了。好，我们来看一下第三题， 他还是这个这个图了，还是说 bc 等于二 b 的 ab， 又告诉你 ab 等于二 b 的 这个 bm， 那这个地方其实是不是就是一个相似的一个关系啊？因为两个一比二嘛， ab 等于 bc， 然后呢，这个这个 bc 等于二倍的 abab 等于二倍的 bm， 所以 这个地方就有一个 abm 拇指相似， abm 是 相似于三角形 cba 的， 所以呢，这个角， 对吧？这个角他是不是等于这个角的？然后呢，这个题又告诉你，下边这是一个角分线，是不是一个贝塔，这俩角也是相等的，对吧？然后这个地方又告诉你，这也是一个角平分线，所以这是一个 c 塔。 所以你会发现这个题相当于是说把内角给他分成了三份，而且每一份的话就是分成了六份，每一份是不是还是相等的？就是两两相等吗？所以这个时候明显这个 阿尔法加贝塔加塞塔是不是就是一个九十度了？所以呢，我们就能得到这个地方，它就是一个九十度，因为这个阿尔法，这个塞塔，这个贝塔嘛， 就是加起来是一百八，那各取一个的话，不就九十度了吗？所以呢跟第二题呢，它又衔接起来了，对吧？第二题又衔接起来，所以角分线加垂直，那一模一样的做法，所以我延长 a o， 那 延长 a o 的 话，这个地方我们还用 e， 好 吧？那此时的话，这两个边是不是也是相等的呀？啊？也是相等的，所以这个题下边说这个点 o 到三个边的距离的话，那这个地方是个小 a 的 话呢？这个地方是不是也是个小 a？ 那 这个是个小 b， 这是个小 c， 对吧？那我们借助上一问的一个做题思路啊，我们接着去借助上一个做题思路，我们还是过点 a 去做 bc 的 平行线，然后呢交这条线与点， 那你做这个辅助线的话，同时起到两个作用啊，同时起到两个作用，一个作用就是这个地方又来了一个三线合一，所以这个是 b 的 话，这个是不是也是 b？ 其次的话，你这个地方是个中点，这个地方是个中点，那此时这个时候就是个中微线，包括这是一个平行的话，是不是还有一个一比二的一个相似啊？ 是吧？那这个时候我们来看啊，这个时候最后就找 abc 的 关系，你会发现这个 a 这两段都是 a， 这个是 b 的 话，这个也是 b， 这个是一个 c， 你 会发现这个 abc 是 一点出三线了，就是你能不能想到 这个点它是一个中点，这个点是一个中点的话，此时它就是一个中微线了，对吧？其实在第一个题里面啊，这个地方它也是个中微线， 也就是这个地方它其实也是一个中微线，而且呢这个地方也是个直角，只不过在第一题里没考到，所以在第二题里啊，就是这个地方可能不太好想，就是连接 c、 b 之后， 中点中点中微线，所以平行，所以这个角是等于这个角等于九十度的，那这是 a 的 话，这是不就是二 a， 所以 到这之后呢，你会发现我们这个 abc 是 不是放在了一个三角形里边啊？ 都在这样一个直角三角形里边，所以呢，我们就找到了这样一个关系，也就是二 a 扩起来的平方去加上一个 b 方，是等于 c 方的。 这就是我们这个题啊，我们在思考的时候用到了一个方法，就是角分线的一个啊，一个定律，但是呢，我们没有直接用，我们是用他的正法，对吧？我们通过他的一个证明方法，把辅助线做出来，再结合这个题 去做出来的，如果没听太明白的话，可以再听一遍。好吧，那这个题的答案的话，我们来看一下答案的一个做法，这个答案的做法的话，就是里边用的知识点肯定都差不多嘛， 他的这个做法，这个地方是做了一个平行线啊，他是做了一个平行线过点一做一继续平行，这个地方相当于就是利用这个 这个地方相当于是利用这是一个中点。然后呢构造平行线了吗？是吧？构造平行线，所以他是这么做的，因为这个构造平行线的话，这个地方和这个地方就是个一比二，而我们知道这个地方 和这个地方，你这是一个中点的话，这是平行，他是不是应该也是个中点？所以这是一份，这就是两份，这是两份的话，这个是不是就是一个四份啊？他就是通过一比四啊？是不是这么去做出来的，对吧？他是通过这样一个方式去做出来的，然后第二问的话，这个方法他是， 他是就是直接延长之后，直接延长之后之后挣出来这样一个垂直关系之后，然后是在这个地方去做垂直了啊？这个地方做垂直的核心本质是什么呢？其实就是利用这个中点，他在这个地方做平行，这个地方是不是一个八字型的一个全等呀？ 对吧？他是利用这个中点这样一个做法，我们那个题是利用中点这个中微线的一个做法，这个题呢是利用一个中点的这个背长中线的一个做法，对吧？他是一个背长中线的一个做法，其实都是我们中点的一个考察方向了。所以呢最后就得到这样一个关系，那我们这个题呢就分享到这里。
06:28查看AI文稿AI文稿咱们刚好趁着这一会那个学生还没上课，咱们聊一下这次郑州一模，刚好我刚刚也看到了一个洛阳一模的卷子啊，这一次郑州一模他那个学生主要不会的点其实不是十五题和二十三题，其实十五题和二十三题这一次难度只能算是正常 问题，主要就是在二十二题。也有我家长都看完这一次考试之后就比较焦虑，他说今年河南中考他有没有什么变化？我最近又分析了几道卷子，包括刚刚看到了一个洛阳一模的卷子。 我可以很明确跟大家讲啊，今年河南中考变化最大的不是前面这些基础题，前十题的话变化量都不会特别大， 主要的变化可能还是第十题。第十题我们之前一直都是在考物理类应用，今年我觉得很有可能会考动点问题，结合这个函数图像， 也就是说动点分析或者说函数分析。主要我觉得第那个选择题主要的变化点就在这个第十题上面，后面从十一题到十五题，这些变都不会有太大变化。第十五题依旧考察我们几何的，考察我们分类讨论的数学思想， 后面大题一直到二十三题，除了二十二题，我觉得其他题都不会有太大的变化。另外一块可能如果说要是变圆，他会结合我们三角函数出一个大题， 我觉得三角函数是一定会出的。你像咱们这一次郑州模拟出的就非常不合理。去年在中考前面就一些老师在在说今年有可能不考三角函数， 这个观点我是非常不认同的，因为我们高中他和初中接轨的知识点其实并不多，三角函数就算其中一章，其实三角函数对于初中来讲并不难，他你们上了高中就知道了，高中的三角函数要比初中难了不知道多少倍。所以说三角函数这一个考点他一定不会删去， 他可能会换成另外一种形式，结合四边形结合这个圆去考，但是他一定不会说直接给他删掉。 ok， 其实咱们河南卷总体上而言不是特别难，他除了十五题和二十三题之外，其他题目不会特别难。他这些前面这些题主要是考察我们的，第一个是计算，第二个简单的这些数学知识点你会不会用？好吧？ 行，咱们这个视频主要还是说我们二十二题，咱们从这个郑州一模，包括他们刚考完的这个洛阳一模其实都能看出来。咱们现在二十二题他的主要的重心就是考察我们函数分析。在去年的时候，在考前我有讲，我在隔壁小某书有发过， 我说今年物理类应用的考察的这个概率非常小，大概率是要考察函数分析。果不其然，去年中考二十二题考察函数分析，我觉得河南中考去年的难度还是比较偏简单的，今年河南中考难度他一定会加大，十五题 和二十三题这个难度他已经没有什么提高的空间了。当然了，去年十五题其实相对而言还是比较简单的。所以说他能提高的点，第一个就是我们选择题的第十题变成含动点结合函数图像之后，他的难度会提高一个等级。第二个点就是把我们二十二题 难度再稍微拔高一点。为什么？因为我们这一次郑州的这一个二十二题，他考察我们的函数分析，他并不是一个简单的函数分析，他是考察了一个主元变换，这个主元变换在初中出现的是个试卷，河南我就在省实验一套卷子里面见过，其他的学校里面从来都没有涉及过。 因为这个主元变换他主要是用到了我们高中你学那个 e r 式方程以及 e r 那 个不等式的时候，学那一块的时候，他会用到这个主元变换，他含参你原本自变量是 x， 但是通过这个主元变换之后，这个变量就变成了这个参数，这一块占初中用的非常少。 另外一块就是我们洛阳这一次考的这一套，这道题他考察了一个焦点问题，其实我更倾向于今年考察焦点问题，但是这个转变变化我觉得考可考性也是比较高的。好吧？为什么？因为在我刚打印出来， 我们在，我们在二零二一年的时候，我们就是在考察这种焦点问题。其实他 咱们初中的数学知识点也就这么多，他考来考去也就这么多知识点，这几年考这几个知识点，那几年考那几个知识点，对不对？对，来回变化。所以说我觉得二零二一年的中考卷子非常有参考性，这个问题大部分老师都没有提到，所以说一定要引起重视。 好吧？另外为什么我要提到九元变换这一点？这个东西它本身在高中非常常见。另外一块就是中考 高考化、高考考研化、考研竞赛化，这就是我们数学的一个出题方向，因为现在这些题型被我们这些老师研究的越来越透彻，所以说他要想展开这个区分度，他就得把这个难度成绩一级一级往上拔。 所以说你追求高分的这些同学，一定不要只满足我们初中的这些解题方法，你学有余力，你可以提前去接触一下我们这个高中的一二十不等式啦，参数类啦，函数思想。 我们在初中虽然学了函数，但是我觉得其实跟函数没什么关系，大部分都是你像我们学一次函数和反比例函数的时候，他主要还是给你一个方程，让你往里面一代考察代数，再了不起一点就是考察一个几何。 我觉得这种跟函数，你到高中之后，你真正意义上开始接触到这个函数分析之后，你才会发现初中学的这些函数太简单了，你到大学之后又会觉得高中学的太简单了，好吧，没有问题， 所以说我们现在总结一下第十题，一定要重视我们的动点结合函数图像第二十二题，一定要重视我们二零二一年的这种触及触及方向是这个焦点的问题。结合函数分析另外一块就是我们郑州这一块出的主元变换， ok， 好 吧，中等生，到目前为止咱们还是稳定基础，你就不要去想那么多了，你现在一百一十分以下，你就一百甚至一百一十五分以下，就没必要再继续看了，咱们就继续稳扎稳打把，函数这一块就是它的基础性质啦，常见题型，动轴动区间问题，先把这类问题搞清楚， 尖子生，你可以趁着最后这一段时间，如果说有时间你就提前去了解一下我们这个函数思想，好吧？ ok， 这个视频放在这，咱们就看今年他的考试， ok。
583爱爬山的数学老师
00:30
00:55
00:33查看AI文稿AI文稿咱们的省实验不愧是顶尖的学校，昨天刚给自己考了考省实验一模物理的题，六十七分，实验题扣了三分， 出题的质量非常的高，基本上没有什么偏题怪题，而且关键的是整体的难度和中考是非常的接近的，特别适合初三的学生，现在进行查漏补缺。 整张试卷还是电学考察的比较多，而且刚好匹配现在一轮复习的进度。省实验全科试卷张老师已经给大家整理好了，留下一模发给你。
731张志高｜内黄中高考提升
04:43查看AI文稿AI文稿有粉丝朋友留言，想让老师讲一下焦作一波这个填空压轴题。下面我们看一下这个题。 如图，在三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度， ac 等于 bc 等于三倍的根号二，点 d 是 平面内一点 ad 等于二，以 ad 为边做等边。三角形 a， d、 e 连接 b， e， f 是 b、 e 的 中点， 连接 df， c、 e。 当 df 分 别取到最大值和最小值时， c、 e 的 长分别为多少？ 这里边这个点 d 是 个动点，因为 a、 d 等于二，所以呢，点 d 在 以 a 为圆心，以二为半径这个圆上运动。三角形 a、 d、 e 是 个等边三角形，所以呢，点 d 在 这个圆上运动的时候，点 e 也在这个圆上运动。 f 是 b 的 中点，所以呢，点 f 随着点 d 和点 e 的 移动也在运动。在运，在这个运动的过程中，我们要注意这个点 f， 它运动的轨迹。我取 ab 的 中点 o， 我 连接下 o、 f。 咱看三角形 b， e， a 这个三角形 a、 b、 e 的 中位线 o、 f 平行且等于 a、 e 的 一半， 所以呢，这个 o、 f， 它等于一点 f 永远在以 o 为圆心，以一为半径这个圆上运动。 但是现在这个我们即使知道点 f 的 运动轨迹，也很难确定这个 df 什么时间取得最大值，什么时间取得最小值。 在这种处理这种动态几何的问题过程中，我们一定要注意哪些东西是变化的，哪些东西是不变的，一定要抓住不变的东西。这里边我取 a、 e 的 终点 g， 我 连接 d， g 连接 g、 f， 无论 d、 e 如何运动，这个 d、 g 的 长它是不动的，它等于根号三，永远等于根号三。 再一个 o、 f 平行且等于 a、 e 的 一半，也就是 o f 和 a g 平行且相等，这个 g， f 它也是不动的，它永远等于 o， a， 它是平行且等于 o a。 这时我们发现一个三角形， d， g， f， 在 这个三角形里边，这个 d， f 永远小于 df 加 g f 大 于它俩的差。 那么这时 df 什么时间去最大值，什么时间去最小值就好处理了。当 df 三点在同一条直线上时， 在同一条直线上，且记在 df 中间的时候，这时 df 是 最大，等于 df 加上 fg。 那这时求一下 c， e 的 长，要求 c， e 的 长。这时注意 d， g， d， f 或 d g， f 和 a e 是 垂直的，和 a e 是 垂直的。那这时呢，这个 a， o， f， g 这个四边形是个矩形，假如 e， a， c 应该是 四十五度。这时呢，我过点 e 做 e， h 垂直于 a， c 有 a， e 等于二。所以呢，这个 e， a、 h 是 个等腰直角三角形， a， e 等于二， e， h 等于 a， h 等于根号二， 那所以这个 c、 h 它就等于根号二，也就是三倍的根号减去根号，等于二倍的根号二啊。 c， h 是 二倍的根号二，知道 e， h， c， h 了，所以这时 c、 e 的 长有勾股定律，我们可以求出是根号十。 这是当 df 取得最大值时， c、 e 的 长。当 点 d 位于 g、 f 中间的时候， d、 g、 f 三点在同一条直线上，也就位于这个位置的时候，这时这个 g、 d、 f 是 取得最小值，它是最小，它最小时。这时我过点 e 做 e， i 垂直于 ac， 将 c a 的 延长线与点 i， 那这时呢？还是 a， e 等于二，那 a， i 等于 e， i 都等于根号二， c i， 它就等于三倍的根号加上一个根号二，也就是四倍的根号二。四倍的根号二的平方也就是三十二， 三十二加上这个根号的平方也就是三十四啊，所以呢，这时 c e 的 长就是根号三十四，所以呢， c e 的 长是根号十和根号三十四。好。
348李老师数学
04:04查看AI文稿AI文稿来看一下洛阳一摸这个填空压轴题。在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行于 b、 c、 a、 b 等于 a、 d 角 b 等于角， c 等于六十度。在四边形 a、 b、 c、 d 内部有一点 e， 使得三角形 a、 b、 e 与 a、 d、 e 均为直角三角形， 则 b、 e 比上 d、 e 等于多少？咱先看一下这个四边形 a、 b、 c、 d 有 一组对边平行， a、 d 平行于 b、 c 有 角， b 等于角 c。 同一底上的两个角相等，所以呢，它是个等腰梯形，并且是特殊的等腰梯形。上底 a、 d 等于腰 ab 要在四边形内部找一点 e， 使 a、 b、 e 和 a、 d、 e 均为直角三角形，也就是这个腰长和上底是直角三角形的一条边。 那么我们就要有条理的去分析这个直角三角形这个点 e 它的位置。首先我们看假如说这个 ab 和 ad 均是在两个直角三角的斜边的话，那么 这两个这个点也应该在这两个圆的交点处，这两个圆有一个交点，这个点我标为 e， 这时我只要一连接 a、 e 和 b、 e、 d、 e 就 构成两个直角三角形 a、 b、 e 和 a、 d、 e， 这时那有 ab 等于 ad、 b、 e、 d 三点在同一条直线上啊，等号三角三线合一，这个 b、 e 和 d、 e 它是相等的，这时它两个的比值是一，这是第一个值。 第二种情况咱再分析一下啊，以 a、 d、 a、 b 为边的直角三角，以 a、 d 为边，除了 a、 b、 a、 d 是 斜边以外呢，还有可能 a、 d 是 直角边，以 a、 d 为直角边的点 e 都在这两条直线上。 再一个，以 ab 为直角边的直角三角形的点 e 一定在这两条直线上。咱看刚才咱画这几条直线 和这个两个圆，它的公共点一共有几个，也就是点 e 的 位置。首先以 a、 d 为斜边，也就这个圆和以 a、 b 为直角边，以 ab 为直角边。 这个地方有一个焦点，也就这两个点，我分别记为点一、二和一三。其他的地方，这个地方还有一个焦点，这个焦点在 b、 c 上，所以呢，不属于咱考虑的范围。下面咱分别看一下这两个位置 b、 e 与 d、 e 的 比值。 首先在点一、二的时候，我连接 d、 e 二和 b、 e 二，这是三角形 a、 e、 d， 它的角 d、 a、 e 是 一百二，减去九十，这个角是三十度。我设 d、 e 二等于一， 则 a、 d 肯定是二。三角所对的直角边等于斜边的一半。 a、 e 是 根号三，那 a、 d 是 二，那 ab 也是二， ab 是 二， a、 e 是 根号三。所以呢， b、 e 的 差就是根号七，这时它两个的比值也就是根号七。 第三种情况，咱看这种情况。第三种情况就是在 e 三这个位置的时候， a、 d、 e 照样是含有三度角的直角三角形。我设这时我设 d、 e 三 为一，说这段是一，那 a、 e 三，他就是二，这个 a、 d 是 根号三， a、 d 是 根号三， ab 也是根号三， ab 是 根号三， a、 e 三是二，有二有根号三，斜边的长就是根号七。 所以呢，这是 b、 e 比上 d、 e 的 值，仍然是根号七。这里边一共是三个点，两个值好。
91李老师数学
02:01查看AI文稿AI文稿驻马店、信阳、南阳、三门峡、漯河的高三党们，这次五式联考的数学卷你们做哭了吗？别慌，今天博主带大家极速复盘这套神仙试卷，尤其是最后一道折叠题，简直是高考风向标！不懂这个模型模考绝对吃大亏！赶紧点赞收藏，我们马上开讲！第一点， 选填有坑，基础不牢，地动山摇。这次选择题第六题直接搬出了古代数学家僧一行的鬼影算法，考三角函数实际应用。第七题，等差数列结合，基本不等式求最值，看着简单计算量去暗藏玄机。填空题第十三题的概率统计， 稍微不留神就会掉进次品率的陷阱。记住，新高考越来越喜欢这种披着文化外衣的计算题，审题必须慢准狠！ 第二点，大题重逻辑，立体几何回归本质。第十七题，立体几何没有复杂的间隙套路，反而考察线面垂直的正弦和二面角的正弦值。很多同学习惯无脑间隙，结果算到怀疑人生。其实这道题用几何法找垂心两步就能秒杀，这就是在提醒大家， 回归课本定义，别只会死算！第三点，压轴题王炸折叠问题变双曲线！最精彩的来了！第十九题，圆规画圆再折叠，这不就是经典的折纸定义圆锥曲线吗？ 题目让你把圆周上的点折到圆外，定点轨迹，直接就是一个双曲线。第一问送分，第二问直接上重心，内心面积范围，综合性极强。这道题如果没看出 m c m d 等于二 a 这个核心定义，后面根本没法动比。这类动态定义题型绝对是二零二六年高考的超级热点，必须吃透！总的来说，这套卷子重思维，轻套路，强计算，它不是在考你会背多少公式， 而是在考你面对新情境时的拆解能力。还没做完或者做错的同学，别气馁，现在暴露问题就是赚到了。想要这份试卷的解析版，评论区扣六百六十六分，或者直接点个关注后台私信我，免费发给你。
2205力力老师爱学习
28:26查看AI文稿AI文稿好，今天呢，我们来评讲一下我们刚刚考过的一模考试的一个数学试卷，嗯，那本视频呢，主要是从单选和多选择题啊，给大家去讲解 啊。首先呢，我们来看啊，看第一个题，第一个题呢就是一个集合问题，但是这个题呢，实际上是一个易错问题，是一个易错问题啊，通过这些题呢，我们去给大家复习这些相应的知识点 啊。那首先呢，我们看其集合 a， 集合 a， 它 x 属于 n， 那 么这里面第一个易错点就是这个 n 啊，同学们做的时间长了，他就忘记了， n 呢是自然数，它包含零啊，包含零一二三四这些正整数。那所以我们在解这个不等式的时候，一定要注意一下，就是它是含零的，那我们首先呢对这个式进行一个因式分解，进行一个因式分解， 然后我们看这里面配啊，十字相乘法的话是一负一，然后一三，因此呢它一式分解以后呢，写成这样的一个形式，然后我们画的是啊，这个二函数，相应的二函数，那对应的方程的根呢，是负一和三，然后开口朝下。 那因此我们解集大于零的话，对于集合 a 来说啊，它这个地方就是 x 大 于负一，然后小于三，那么因为呢 x 它又得是什么呢？自然数，所以对于集合 a 来说，它等价于零一和二。 好，这是集合 a 中的注意事项，就是 n， 可能时间长了容易忽略零。第二个是对数型函数的一个解不等式， 那么我们看就是你在解对数函数对数不等式的时候，一定要注意，真数怎么样呢？是大于零的，这也是一个第二个易错点。 那么这个呢，我们可以转化成是以二为底 x 小 于二呢，它可以转化成是以二为底四的对数，那因此这个对数不等式的话，它的解集就是小于等于四。同时咱们不要忽略了零 啊，因此集合 b 呢，他看成是一个 s 集合的话，他应该是零到四啊，零到四，左开右闭，那对应的话，我们再去求交集啊，最后再去求交集的话，他就很好求了。那最后的交集应该是什么呢？应该是一个整数 啊，同时呢，他不包含零，所以应该是一和二，那么正确答案选的是 c， 我们在做这个，呃，第一题集合问题的时候一定要注意，比如说第一种啊，易错的是分式形啊，分母不能为啊，为零啊。第二个呢，是对数形啊，对数形，我们强调的是啊，真数大于零。 第三个呢，你要区分是 z 整数级啊，自然数级和啊正整数 n 星啊。第四个呢，你要分清楚是求的是交集并集还是补集还是补集啊。第五个呢，你要注意清楚，是求的是元素个数啊， 是元素个数还是子集个数啊，还是真子集个数啊，这是第五个。那么第六个呢，我们强调的是什么呢？强调的就是啊， 呃，强调这是子集，那我能想到的易错点啊，就这些。还有一个很重要的就是你的竖线前面是元素还是点啊？这些都是我们在做集合中问题所容易出现的，所容易出现的易错点。 好，接下来我们看一下第二个题。第二个题呢，是他考察的是百分位数，他考察的是百分位数啊，这个百分位数我们应该怎么做呢啊？ 我们通过观察，其实在题干已知信息中啊，他是从小到大已经给大家排过了。那我们的百分位数在做题的过程中啊，第一个一定是从小到大 啊去排列，从小到大去排列，然后第三个，第三个是屁分位数。第二个是啊，就是屁分位数，应该怎么求？我们先数一数，题干信息中有几个数字，我们 n 乘以屁，如果是一个整数 啊，如果是一个整数，比如说啊，比如说它等于 k 了啊，整数，那我们就取，我们就取 ak d k 的 数和 d k 加一个数的 平均数。好。第二个，如果 n p， 它为什么呢？它为小数，它为小数部分啊，也就比如说我们取的是大概是七点五，对不对？那我就取下一个 a 八 数作为这个 p 分 为数的一个求值。那因此我们看一下，对上面数字来说，我们从小观察到他是从确实是从小到大排的，那这一步我们就可以不用去处理了，那么我们依次标上一二 三四五六七八啊，我们按照刚才老师教给大家的这个百分位数的求法，我们来去实施，然后我发现 n 是 几， n 是 八，然后他又求的是百分之七十分位数，那么 n p， 也就是啊，八去乘以零点七五 啊，相当于八乘以四分之三啊，八乘以四分之三，那它应该是一个六，那我们发现呢，它是一个整数了，那因此此时的话，我就取第六个数和第七个数的平均数啊， n p 为整数，就取这个整数和下一个整数的平均数。如果是一个小数，那我就取比它大一，比它大的一个最小的整数就可以了。所以我们就选取第六个和第七个的平均数，也就是二二三，然后加上二五二，然后除以二， 算出来的话，应该是啊，四七五除以二，那最后是二三七点五啊，二三七点五 啊，这个地方他应该是二三七点五，你看这个是标错了啊，这个是标错了， 好，是标错了，答案应该选的是啊，二三七点五。好，这是第二个题，那我们在一楼复习的，在在这个二楼复习阶段，就是我们如何做到查漏补缺啊？如何做到啊？查漏补缺，那就是说我们啊， 我们如何有效的去复习？就是我们看到一个题，我们错的时候，我们一定要去啊，去了解，去啊，反复的去复习啊，去复习我们的这个知识盲区啊，知识盲区，那下次出到别的你也会啊，比如说我们下次出到了小数点，那你也是 会求这个百分位数的，这种问题是不容不允许丢分的啊。然后我们看第三题，那么第三题呢？实际上他考察的是比较复杂的这个问题啊，那我如何去下手？首先我们看到这个周期派，还有他的一个指令哈， 啊，我们去用排除法去做一下，那首先我们看一下，就是说它的这个，呃，既然它的周期是派，我们去验证一下，那周期是派的话，我是不是横有 f x， 它就等于 f x 加派 啊？那我去验证验证，如果它是 x 加派的话，它是 x 加派的话，那么与原来的啊，与原来的这个函数究竟是否是相等的关系啊？那么口算 x 加派对不对？好，这里面呢，实际上就是大家 还有还有个注意细节，就是说在做题的时候，其实他后面是一个乘法啊，是口三 x 乘以后面这个框里面的绝对值函数，然后去乘以括号啊，那就是三 x 加派， 然后再减去啊，三 x 加派，那实际上呢啊，他这个题放在第三题的位置啊，很容易吓到同学们啊，那我觉得他第一个知识点呢，应该是考察大家的，是 啊，诱导公式的一个应用，诱导公式的应用，那比如说我 f s 加派啊， f s 加派，它等于什么呢？它等于这个是负口三 x 对 不对？然后我去乘啊，中括号里面是负的 三 x， 那 绝对值里面对它是没有影响的啊，绝对值里面对它是没有影响的，那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面是没有影响的。那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面，其实是负的，但是有加了一个绝对值 啊，所以最后的 f x 啊，它加个 pi， 它加 pi 应该等于什么呢？应该这个有符号， 这里面也有符号，所以负负为正了，就是口三 x， 它乘以啊，三 x 怎么样？加上三 x 的 啊，绝对值啊，这是这样的一个函数，那我们很明显发现啊，就是这个函数，它其实跟原来的这个负负号是不对的，所以说它的周期不会派，那因此我们在 cd 之间去选 啊， cd 之间去选，也就说它的周期一定是二派，那我们每个函数它周期啊，这个口三 x， 它的周期是二派啊，绝对值是派，那综合完以后，它周期就是二派啊， 我们也可以去验证啊，这是啊，第一层面去通过周期去算。第二是值域，那在算值域的时候，我们就不得不去考虑绝对值函数的这个， 呃，如何去拆分啊？它的本质呢？就是一个绝对值的一个拆分，我们知道 x 的 绝对值，那分两种情况，它大于等于零的时候，就是它的本身， 如果它小于零的话，就是它的相反数。那因此对于 sin x 来说，我们先画出啊 sin x 的 整体的一个图像啊，整体的图像，那么整体的图像它是这样的一个趋势啊，它这样的一个趋势，这边是 pi， 这边是二 pi， 那 因此对于 sin x 的 绝对值来说啊，我，我整体来去啊去处理啊，这部分。 好，我们来看一下，那他就分两部分啊，第一个是啊，当 x 我 就先研究一个周期就行了，因为我的周期是二派啊，大于等于零，然后小于等于派的时候， 它的这个三是不是等于它本身，所以减完以后是一个零。如果是大于派啊，大于派，然后小于等于二派的时候，那它会多少呢？它是一个负值，所以我们看它实际上就是三 x 呀，然后加上，因为你提个符号，负负为正，加上三 x， 那他所以就是一个二倍的三 x。 好， 那么接下来呢，我们来看一下，就这个地方呢啊，这个地方，我写到这个步骤以后呢，就是我对这个括号里面呢进行一个处理。 那接下来呢，我再结合口三 x， 所以 原来的函数，整体来说他也是一个分段函数，那么零乘任何数是零，所以在啊零到派上啊，他这个是零，然后呃，在派到二派上，他是一个这样的一个 呃，这样的一个二倍的三 x， 所以 二倍的三 x， 原来 s 相乘的话，实际上就是二倍的三 x 乘以口三 x， 那 么这里面的它的范围呢？就是派到几？派到二派啊？ 派到二派，那么这个地方呢？我们啊，刚才呢，我们是考察了诱导公式啊，考察了诱导公式， 然后这个呢，又考察了绝对值函数，同时又考察了一个背角公式，所以它的啊，综合性是比较强的啊，综合性比较强的，从前面题已经开始啊，这个考察大家知识点是比较多的，那这个的话，我直接就换成是三 e 二 x sin x， 那 么整个来说，我们去画出 sin 二 x 图像， sin x 图像，那么 sin 二 x 图像，它的周期呢？是派啊，它的周期是派，然后这个是派，对不对？ 这个是呃，相当于是呃周期呢？为什么是派呢？是二派，除以它的系数是 二，所以周期是派，我们先画出呀，三 e 二 x， 它的完整的图像啊，完整的图像啊，大概是这样的一个趋势，对不对？然后我们再去 啊，再去描述这个是二派了，对不对？好，现在呢，我们去综合的去看一看啊，原来我们这个本期中所想要的零到派，我们现在去看综合了零到派上啊，它是零，所以我们整合完以后的 f s 函数，零到派上是零， 然后呢，派到二派是三 e 二 x， 那 么三 x 的 图像是这样去画的啊，是这样去画的， 所以说整个来说呢，我们最后的啊，这个这个值域呢，应该属于什么呢？应该属于负一到一啊，所以本题的答案选的是 c 啊，本题的答案选的是 c 啊，我们看到这种复杂的问题，一定要从题干去下手啊，不要害怕， 那我们第一层呢，我们再复盘下，第一层呢，我们通过周期去筛选啊，那如果派是周期呢？是不是横有 f x 跟 f x 加派相等，那发现它不等啊，发现它不等，那这样的话，我们的周期肯定就是二派了， 肯定就是二派了。然后接下来呢，我们去求它的值域，我们在求值域的时候可以分两段啊，可以分两段，就是我们先研究三 x 减去它的绝对值 啊，我们该如何去处理，那去绝对值就考虑三 x 什么时候为正啊，零到派上是正的，减完以后是零，然后派到二派呢，它是负的，负负为正，所以是二倍的三 x， 那 这个时候呢，我们不能单独的看二倍三 x 的的之余和口算的之余，我们要联合在一起，是吧？啊，获得了，在这个函数呢，他在派到二派上啊，实际上是一个这样的一个图像，是一个三，是个三二 x 图像啊，所以说呢，我们的最大值是一，最小值是负，一好就获得了。 那么在领导派上呢，他的这个值实际上是恒为零的啊，好，这是我们考察的知识点，诱导公式呀，去绝对值呀，书型结合呀啊，这些思想得用上。 好，接下来呢，我们看下第四题，那么第四题呢，是考察的是向量啊，什么是投影？什么是投影？向量？我们先呢啊，对知识进行一个复习，比如说投影是什么意思呢啊？比如说这是啊， b 向量啊，这是 a 向量， 那么投影啊，我们先解释投影该怎么求，然后什么是投影，什么是投影向量啊？概念不能模糊是吧？我们 a 向量在 b 向量的投影，实际上就是影子嘛，对不对？影子的大小只是说在向量中呢，它有正向投影呢，它是有正有负有零的。 好，那么如何来求这个投影啊？其实就是投影呢，就是 a 的 模哈，乘以口塞 c 塔，但是直接去求，那如何来间接求呢？我们是 a 向量，点去 b 向量，然后除以 b 向量的模。哎，这是投影的概念。 第二个呢是投影像量啊，投影像量，我们注意啊，我们注意，投影像量呢，就是我们刚才这个投影啊，它是一个数啊，它是一个数，它有正有负有零啊，正投影负，投影零， 那么投影像量呢？它最终呢是一个向量的形式呈现的啊，那就是这个向量就是它的投影向量。我们刚才算啊， a 向量乘以口算 c 塔，实际上算投影的数量， 投影的大小，投影的正负，对不对？然后我们再乘以 b 方向上的单位向量，就获得了 a 在 b 方向上的投影向量， 也就是说前面是一个数值，后面是一个单位向量，组合成相乘以后就是投影向量，那么进而我们得到一个公式啊，我们把这个放过来，就是 a 向量啊，点成 b 向量， 去除以 b 的 模，然后再乘以 b 方向上的单位向量，组成了投影向量。 好，我们在理解清楚呀，理解清楚这些啊，相关量以后呢，我们再去解决问题。那我现在我的目标是非常清晰明了的 啊，我的目标呢，就是求 a 向量在 b 向的投影向量，我就拿 a 向量点成 b 向量，除以 b 的 模， 然后再乘以 b 方向上的单位向量。那么这里面呢，我们要解决的是，我们要解决的是 a 与 b 的 数量级，从哪里解决？就从这个式子， 我们知道向量的啊，模方就是向量方，对不对？所以我们把这个 a 向量减 b 向量啊，向量方就是魔方，它就等于五， 通过这个式子，我们能够获取啊，能够获取出什么呢？ a 与 b 的 向量的数量级啊， 好，这是解决问题的关键切入点啊，切入点第一步好，那么因此我们看 a 模是一，然后减去二倍的向量， a 点成向量 b 加上 b 的 模， b 模呢，我们知道啊，它的运算呢，就是根号下 x 方加 y 方，就是根号二，那所以这个地方就是一个五 啊，进而得到 a 向量啊，点乘 b 向量，它等于几呢？它等于负一啊，所以我们的目标带过来啊，我们的目标带过来就可以是负一， b 向量的模呢，是根号二，然后这里面 b 的 模式，这是根号二， 那么 b 向量这里面呢，你就用点乘坐标来表示啊，它其实就是一个负二分之一的 b 向量。那如果说题目中是啊，以 b 向量的形式来展现，我这个答案就对的，但是呢，它已坐标，所以我再把 b 向量的坐标带进去，那就得到负二分之一， 负二分之一，所以本题的答案选的是 a 啊，这个相对来说是比较简单的，就是我们在做题的时候呢啊，要搞清楚，要搞清楚啊，它是一个数，它是可正可负可为零 啊。第二个是投影向量，投影向量最后一定是以向量的形式来展现啊，它可以是啊， b 向量前面加一个 lm 的 数字，对不对？也可以是一个点乘坐标。好，这是考察的是基本量。 好，那么接下来呢，我们来看一下第五题，其实这个，呃，这个一模考试的题呢，相对来说 难度还是还是比较大的，就每个题呢，他考察的点是比较多的，然后知识也是非常零碎的，就是任何考察考察你任何知识点，你必须得是非常熟练才能解决问题。那么这个就是你看到题啊，你就要知道出题人他想考察的是什么， 他想考察的是二项式定律啊，二项式定律，通过二项式定律来找余数来找余数的问题。好，我们知道啊，他说今天呢，是三月十九号，是星期四，问，再过这么多天是星期几， 那我们知道他的，呃，这个我们知道一周是七天，所以以期为一个他的周期 啊，那我就看，比如说啊，我看七的余数，比如说我是这个我，我假如说再过，再过十天，对不对？都究竟是星期几，那我十呢？是不是七加三啊？我一个周期过去以后余了三，那我就往后再数啊，五 啊，六日，那就是星期天。是这样的，所以我们实际上就是他的核心问题啊，他的核心问题就是找二的八十次方这个数呀，啊，他除以七以后的余数啊，我们就是找余数的。 好，那么我们知道二的二的一次方，二的二次方，二的三次方，二的四次方中，这个二的三次方是比较特殊的，它是八，那么八跟七是比较接近的，所以我就想办法凑出一个八， 那这里面呢，我们知道二的三次方才是八啊，是不行的，对不对？他凑不出来一个三，不能整除，那我们就在想啊，八十，我除以三以后会是等，会是多少呢？我们看二三得六，然后是二十 啊，三六一十八，然后余个二，对不对？所以我们是啊，八十呢，它可以等于什么呢？等于三乘以二十六，再加个减，再加个二， 哎，是不是这样的，那这样的话，我就能凑，凑出三，三呢？凑出八呀，八是七加一，因为我自始至终呢，想要找的是七的除七以后的余数，那因此我们啊，二的八十次方啊， 它等于什么？它等于二的啊，三乘以二十六，再加上二，那因此就换成是四去乘以二的三次方的二十六次方，哎，那就是变成四乘以 八，八的话，就是七加一的二十六次方。那么我们本题呢，主要想拆解的二项式是它，想拆解二项式它，我们这里面也要复习一下二项式的定律，是不是二项式的展开式呀？ 啊的 n 次方，那么首项呢？是 c n 零啊，看清楚，是 a 的 n 次方，加上 c n 一 a 的 n 减一， b 的 一次方 啊，一直加加到通项 d r 加一项，它是多少？它是 c n r， 然后 a 的 n 减二， b 的 二次方，一直加加最后一项是 c n n， 然后 b 的 n 次方啊，二项式的展开式，二项式的展开式，它是按照 好，他是按照什么呢？ a 的 升密排列， a 的 降密排列， b 的 升密排列。那因此呢，我们看一下啊，对于这个，呃，先看研究七加一的二十六次方来说啊，他应该是 c 二十六 零，然后是七的多少次方啊？二十六次方，然后再加上 c 二十六一，然后七的二十五次方啊，一直加加到啊， c 二十五， c 二十六，二十五次方呢，就是七，再加上 c 二十六的 二十六次方是一，那因此就是对于这个七加一的二十六次方的运算呀，我们这个地方啊，他其实啊，被七除以后呀，被七除以后，余的是一， 但是整个来说他的余数不是一，他前面还有一个四，对不对？还有一个四啊，还有一个四 啊，所以说啊，所以说啊，他的最后二的八十次方啊，他除完七以后啊，余的数应该是几啊？余数应该 是啊，因为前面都能被七整除，所以余的是四，余的是四。好，余的是四。那我再往后数四天，星期五，星期六，星期天，然后就到第四天是星期一，所以本期答案选的是 a 啊，本题答案选的是 a。 好，那么在这里面呢，大家要注意一个问题，是什么样的问题呢？就是我们看到这个题我就知道他考察的是二项式定律，利用二项式定律求余数的问题，求余数的问题，但是呢，他并不是说直接就可以去拆分了 啊，因为我们是按星期周期是七，所以肯定是在二项式定律的这个展开式中，肯定是有七的，肯定是有七的，那我们这里面的二怎么样才能换成七？那么离七近的是八 啊，这个地方的话就是说八十啊，它的转化啊，八十，它的转化是三乘二十六，再加几啊，再加个二， 哎，这个也是有问题的，这个转化可能大同学会陷入迷区啊，会陷入迷区，或者有的同学我看到这个题，我说二的三次方啊，八跟七接近嘛，然后是三分之八十啊，那这样的话它是展不开的，它是展不开的 啊，它得换成二的三次方，然后是二十六，是吧？二十六，然后再加几啊， 再再加个这个三分之几啊，三分之啊，三分之二。哎，这个地方是需要大家注意的啊，也是一个难点和呃就是不好突破啊，所以大家做做做的过程中肯定是很难受的，这这个这个过程，所以他更多的是考察大家的思维能力啊。 好，接下来我们看一下这个第六题，其实第六题呢，相对来说是比较简单的，就是我们看那么多啊，我们看了这个这么多，就是说它这个地方啊，它这个地方就是啊， 这个天顶距 c 塔的正切值。哎，这个关系我们要我们要看清楚啊，这关系一旦弄清楚的话，我们就好算了啊，比如说他说的这个实际上就是一个呃，实际的模型，就是这是 c 塔对不对？ sat 呢？是等于 l 影长嘛？你假如说太阳光啊，从这直射下去，那么这个是啊，这个是它的影子对不对？然后这个是实际上的一个高，那这样的话，我们看 tan 的 sat 啊，它就等于这个 l 除以高了， 一旦你这个这个数学模型构建好了以后，你再去解决问题就好了。你看他说第一次的话啊，他的这个是 r 法对不对？这个隐藏啊和表高的是二倍，那所以我认为呢，他想给大家传达信息，就是他的 r 法，他就是二， 然后呢，他又已知到贪镜塔 r 法减去贝塔等于二分之一，然后去求贪镜塔贝塔的值，那这个模型一一旦转化的话，他就很好处理。我认为突破口就是在于这个关系，你把这个关系用直角三角形 啊去给他构建成以后实践考察。问题就是两角和一差的正切值，那么贝塔角啊，贝塔角，我们已知的是贪镜塔 r 法，还有就是 啊，这个 r 法减贝塔，那么贝塔角该怎么去求呢？就是 r 法减去 r 法减贝塔啊，原来的数据你就不要拆了。那所以啊，贪心他贝塔，我们的目标啊，就是贪心他这两个角的正切值的这个差值，对不对 啊？直接就是相当于是啊给值求值了，对吧？ 好，这是一个数学文化的一个应用啊，数学文化的应用 啊，他的这个数学文化实际上就是转化成我们的正切的定义了啊，正切的定义你去啊，给他画出这个直角三角形，问题就很好解决了，然后再用两脚叉的正切就可以解决。那这里面呢，是不允许出现啊，不允许出现公式的一个误用的啊 啊，正切值他们的差除以一加上啊， tan 它 r 法和 tan 它 r 法减倍它啊，所以算出来以后应该是一个二减二分之一，然后除以一加上一加上几一加一啊，所以就是四分之三 分数三，所以答案选的是啊，答案选的是 b， 答案选的 b。 这个其实呢，相对前面那几个题来说还是比较容易的啊，就是考察了一个正切的这个和以查和查公式。
4534高中数学 季老师
04:37查看AI文稿AI文稿有粉丝朋友留言，想让老师讲一下洛阳一摸这个压轴题。下面我们看一下这道题。在矩形 a、 b， c， d 中，点 m， n 分 别是 a、 d， b， c 边上的动点，且 a， m 等于 c， n 连接 m n。 将矩形 a， b， c， d 沿 m n 折叠点 c、 d 分 别落在点 c 片、 d 片处。直线 m， d 片与直线 bc 相交于点 p。 如图一，点 p 在 线段 c， b 上时，与角 p m， n 相等的角有哪两个？ 由于角 p m n 是 角 d m n 折叠过去的，所以呢？角 d m n 与角 p m n 相等。由于 a， d 和 bc 是 平行的。二直线平行，内错角相等，所以角 p n m 它等于角 d m n。 所以与角 p m n 相等的角有角 b m n 和角 p n m 这两个角。 第二，如图二，当点 p 在 线段 c， b 的 延长线上时，连接 a， c 交 m n 于点 o 连接 o p。 求证 o p 垂直于 m n。 由于 am 和这个 c n 永远是平行且相等，所以这个三角形 a m o 和 n c o 这两个三角永远是全等的啊，有一个边相等，内错角对顶角。呃，咱很容易整全等他俩全等了，全等三角呢？对应边相等，咱可以得 o m 等于 o n。 由于角 p m n 和角 p n m 相等，所以这个 p m n 是 个等腰三角形 o 是 m n 的 终点，所以呢，三项合一。嗯， p o 它就垂直于 m n。 第二，问得正，下面我们看一下第三问。 ab 等于六， bc 等于八。当 m n 等于二倍的根号十时，请直接写出 b p 的 长。 这里面就这个 m n 是 这两个边上的动点。当 m n 等于二倍的根号十的时候，让咱求 b p 的 长。这时我过点 m 做 m h 垂直于 bc， 一 做垂直有 m h 等于 ab 等于六， m n 等于二倍的根号十有勾股定律，咱可以求出这个 n h 的 长等于二。 求出 n h 之后，有 p m 等于 p n 可以 得这个 p h， 它是比 pm 小 二 m h 它是等于六。在这个直角三角形 m p h 里边，我设 p h 等于 x， 则 m p 它就等于 x 加二。 有勾股定律，可得六的平方，加上 x 的 平方，它就等于 x 加二的平方。解这个方程可以得 x 等于八，也就 p h 等于八。 求出 p h 等于八。以后咱看啊，要求 b h 的 长， b p 的 长， b p 的 长，咱只要能求出 b h 的 长就行了。这个 b h 等于 am 等于 c n b h 加上 c n 就 等于八。减去这个 n h， n h 减去二，也就等于六，那一段等于三，所以 p h 它就等于八，减三也就等于五。 这是第一种情况，咱就求出来了。由于前面大体干里边说 md 片与直线 bc 相交于点 p 是 直线，那当这种情况是，也就是这个直线 d 撇 m 与这个直线 bc 还有可能交于另一侧这个点 p 处。这是刚才那个里边的条件，几乎都有，也就是说 mp 和这个 np 相等。 mp h 这个直角三角形里边，和刚才一样，咱可以求出 n h 等于二，也就是 hp， 它照样等于八，它比 mp 小 二， m p 等于八， b h 啊， hp 等于八， b h 它等于二，加上三等于五。所以呢， b p 的 长就是八，加上五等于十三。好。
81李老师数学
03:29查看AI文稿AI文稿明天下午的郑州市中招一模英语考试到底会考点什么？温馨提示，哪怕你不是郑州市的，这条视频也一定要看完，因为只要你是河南的，六月份中考考的也是这些内容，看完这条视频，让你再多拿十分， 因为看到有几个同学给我发的，老师，求求你，明天该英语考试了，你给我们压压题吧，脸也没洗，头也没洗，牙也没刷，睡衣都没换，赶紧来给你们录制这条视频，跟着我的思路来一遍，你就会觉得豁然开朗许多，肯定是对你明天下午的考试有帮助的哈， 我们就直接开始啦！第一，阅读题目中会出现的高频词有哪些？我放到这了，有需要的同学可以截图保存一下，如果你连这些单词都不认识，你怎么能读懂题目呢？怎么能审好题呢？第二，阅读和玩行中会出现的高频词， 这个就比较多，我已经整理好了六百八十八个读书，把它全部背完，考试前快去检测一下你还有哪些单词不认识。第三五，全对话的套话有哪些我也已经在咱们的主页公开群分享过了，同学们快去找，快去背！ 最后，也是最重要的，雨偏天空，跟着我的思路，我来告诉你哪些是必考的。第一，名词变复数名词变复数的规则变化和不规则变化，你记住了吗？ 现在暂停屏幕，我复述出来，还有背不出来的，赶紧去背呀，明天就该考试了。第二，代词的表格会默了吗？会用了吗？ 不会的话快点截图拿去默写啊，明天不考这个表格我吃！第三，形容词和副词的比较级和最高级。首先你要知道的是，一般情况下比较级加 e r， 最高级加 e s t。 其次，我觉得会在这里面挑几个考， 快点去给他背下来吧。除了这个，还有一个必考的考点是什么？快想想，没错，就是前几天我直播的时候给同学们讲过的行明动复，猜猜明天这个考点会考几个呢？ 接下来这个词可能会出两道题来考你，也就是动词。首先看到语篇填空中给到的十个词里面有动词，你就偷着乐吧。第一步，先去想他做谓语还是分谓语比较简单，做谓语三步走，第一，时态 八大时态有哪些？第二，语态主动还是被动？第三，也是最重要的单三，只要按照这三步走，你的动词题不可能出错。再送你们一根悟空，旁边一定会考到的一个是什么冠词，赶紧再去复习一遍，以及会出现一些连词 固定搭配的话，听天由命吧。还有一个很重要的从句的引导词，当你发现一句话里面有两个以上体现时态的谓语动词，并且没有看到其他的连接词或者是引导词，别犹豫， 如果你的基础非常不好，直接填 that， 你 会有百分之八十的概率蒙对这道题，如果你的基础稍微好一些， 咱们就保险一点，认认真真分析一下这句话，看看它到底是名词型从句，定语从句还是状语从句。大概率是定语从句，判断出是定语从句，直接填 that。 但是如果说这个定语从句中间有一个逗号， 让你在逗号后去填这个空，去填 which 或者是其他关系词，反正不是 that 就是 which 啦。以及除此以外还会有两个句型可能考到，第一， z r b 句型第二， it is 加形容词加 for somebody to do something。 发现这样的句式结构直接填进去就好了。 这么一说十五道题根本都不够分的，我刚刚提到的所有内容都会在明天的考试中出现的，哪个还不会快点去背。
1815依依
00:22查看AI文稿AI文稿郑州二模出的太垃圾了。嗯，怎么能出这么难，一共就一次考试，让大家了解了解这个 自己的真实水平呢。你你搞的跟在那炫技搞的出这考完大家都蒙了，又得不到正反馈，又没有办法去做参参照去报志愿，出这么难干嘛呢？
1.0万梁景
02:01查看AI文稿AI文稿所有初三家长啊，大家一定要注意了啊，初三最重要的一场考试马上就要来了，全体九年级的同学们啊，二十七号二十八号，一模考试正式开考，你们都准备好了没有？ 一模啊，是中考前含金量最高的一次，时代硬币更是啊，咱们今年唯一一次中考前全市一张卷的大型考试啊，参考价值特别高。对后续要中招，资源情报更是只管重要， 他的考试难度，题型分布，考场流程，全都是和正式中考高度接轨啊！大概啊，五一假期过后，一抹成绩就会公布， 每个孩子啊，都会清晰的知道咱们的年级排名，咱们家长啊，也政策靠着这份排名啊来规划孩子，咱们到底将来是走通道还是走分？一抹不只是用来排名，更重要的是啊，把咱们孩子啊，查漏补缺，找知识不落地啊！沥青，接下来咱们最后的冲刺复习方向在哪？距离中考啊，越来越近， 现在啊，抓紧时间复习，完全还来得及啊！成绩八九的同学，咱们助攻把高提醒专引啊，中难题大量去刷题，专攻啊，高频考题，基础不好的同学啊，咱就别抓那些怪题难题了，踏踏实实啊，咱们抓基础很着题啊，简单题啊，中档题的分数稳稳拿捏， 都是咱们最大的胜利啊！最近啊，很多初三驾照啊，都在跟我聊中考啊，在最后阶段如何打个球，其实我特别有感触啊，明明初一初二，咱们有充足的时间去查漏补，去打好基础，偏偏啊，都拖到初三，拖到灾户了，着急上火，花大家钱去补课。 尊敬各位家长啊，教育咱们一定要趁早，初一初二咱把基础打牢，别等到初三啊，功课扎堆了，时间紧张了，到那时候啊，真是有心无力，很多知识点你来不及补。所以啊，教育咱们一定要趁早，咱们所有人啊，都要重视，在自己模拟考试考的好的，咱们不要骄傲，姊妹从现在到中考，继续冲刺突破， 争取啊再上一个台阶，发挥不理想的啊，咱们千万别气馁，沉下心来啊，鼓起各科呢啊，基础知识点稳固提升。真心祝愿啊，每一位九年级的学子都能在期末考试中发挥出自己真正的实力水平，不负九年寒窗苦读，不留青春遗憾，全力以赴迎战中考！加油！
176奔驰人生
14:56查看AI文稿AI文稿啊，大家好，今天呢我们分享一下这个今年新乡一模啊，这道题啊，也算是他们几个学校联考的，我们看一下这个实物题啊，这个题的话，呃，相信大家也看到很多老师的做法，那我们也分享一个做法，我们这个做法用的是一个割补法的一个做法啊，就是 啊，就是我们求应用部分面积最常用的一种方法，这个方法呢也是挺简单的，就是计算的话，大家的计算跟得上的话也是很快的啊，我们看一下这道题， 这个 a c b 是 个九十度啊，然后呢这个地方告诉我们 c d 是 ab 的 垂直平分线啊，那垂直平分线的话，我们知道这两个这个等腰再加这个直角的话，就是一个等腰直角三角形了吗？啊，这个图其实在串的话我们比较常见， 然后这个 am 十二，然后呢这个 ab 是 八倍根号二，也就是这是四倍根号二了啊，那这也是四倍根号二， 那我们知道这两个三角形，它其实是一个全等的三角形，对吧？它其实是一个全等三角形啊，正法的话很简单，我们就不正了啊，也就是这个地方呢，它也是个二，那这个地方呢就是一个六，对吧？那这个地方也是个六嘛，这个八倍根号二，一比一比根号二的话，这个等腰的边长就是八了，对不对？ 然后呢他说这个也就是图上给我们这些点啊，他都是一个定点，然后呢说这个点屁呢，他是直线 m d 上，而且 d p 等于二分之一。 m d 其实在这的分类讨论特别特别简单啊，这个分类讨论是特别简单的，就是 d p 等于二分之一 m d 的 话，因为你这个在这条线上吗？所以你这个 d p 是 有两种情况的，他可以在这，他是不是也可以在这啊？ 就是两种情况， d 的 左边和 d 的 右边嘛，所以这两种情况都是比较好找的。然后主要是计算，比如说第一种情况，如果说这个点 p 在 这个位置的时候，对吧？如果这个点 p 在 这个位置的时候，让我们去求这个 pnb 的 面积， 对吧？让我们去求这个面积，我们好的老师的思路呢，就是这个三角形呢，有一个边六，他已经是底了，然后呢只要我去求高就可以了，那我们换个思路，就是这个题，我看到这的话，我优先想到是一个割补法，比如说 这个面积跟下边这个绿色的面积，他俩补一下的话，是不是就补成了这个四边形的面积？那这个四边形的面积我从中间再重新分割一下，是不是就变成左右的面积了？你会发现剩下的三个面积都是比较好求的啊，都是比较好求的，我们可以去求一下。 首先就是这个六啊，这个 p、 b、 n、 d 这个三角形，它这个高了，它这个高比较好求，就是右边这个等腰直角三角形嘛？等腰直角三角形斜边上高了，所以这个高了的话，它就是一个四，对吧？就是一个四，在这我就算了，先不擦掉吧，这个是个四，如果画线太多的话，大家可能看不清楚了， 就是这个面积，我们可以先求出来 s 三角形 b、 n、 d 的 面积，它是一个二分之一乘以六，再乘以四 是十二，对吧？然后的话就是剩下的这个几个面积啊？剩下几个面积的话，你会发现这是底，那我需要求这个高， 对吧？我需要求这个高，这个三角形的话，这个底和高呢，都需要求，那这还是比较简单的，因为这有一个二，这有一个四倍根号二，这还有个四十五度角嘛，两边一角，这也算是一个小模型吧。那这个时候我们是可以把这个三角形的所有边长都求出来的，所以呢，我们是可以把这个三角形的所有边呢，也是根号二， 那这个边呢，就是三倍根号二。那根据勾定里，我们可以求出这个 md， 它是等于二倍根号五的， 那所以这个 pd 啊，这个 pd 是 不是就是一半了呀？它就是根号五，它就是根号五。而这个 d n 啊，这个 d n， 那 我们知道根据全等的话，这个 d n 是 等于 md 的 啊， d n 是 等于 md 的， 也就是等于二倍根号五，所以这个面积我们是不是也可以表示出来了，也就是 p d n 的 面积啊，这个 p d n 的 面积，它就等于二分之一的根号五，乘以二倍的根号五， 所以呢就是个五啊。然后呢还差一个面积，就是这个 p b d 的 面积，那这个面积的话，我们知道这个底是四倍根号要求高，那因为这个点 p 是 m d 的 中点，所以这个地方是个中微线嘛，所以这个这个高也简单，是吧？所以呢，这个 p d b 这个面积呢，就等于二分之一乘以四倍根号二，再乘以它的高，这个高的话，是等于这个根号二的一半了，也就是二分之根号二， 所以呢这个二二得四和四约掉了，二二得二，根号二，乘根号得二，所以呢我们就求出来是不是这几个面积来求这个面积之后呢，我们就可以去求这个题啊，我们就可以去求这个题的答案了，也就是我们要求的这个面积， 对吧？他要求的面积等于左边这个面积加右边这个面积啊，左边这个面积加右边这个面积就是 p d n 加上 b d n 就是 十二加五，然后呢再减去下边这个面积二， 是不是就可以了？所以这个答案呢，就是十五了，对吧？那还有另外一种情况，另外一种情况其实也用到的是这三个面积啊，我们只不过这个时候呢，需要把图给它画一下，那这个时候呢，我给它画到一个图里啊，就是当 p d 在 这个位置的时候，也就是此时呢点 p 是 在这个位置， 那此时这个 p m b 就是 这个了啊，就这个了， 它所在的三角形呢？我们所在的四边形呢，我们还用的是这个四边形的割补法，就是 p n b， 它是右边的，所以呢等于 这个左边加上左边就是整个的面积了，我们再重新分割一下，就是上边加下边减左边上面的这个面积是十二，对吧？加上下面这个面积，你会发现底还是四倍根号二这个高啊，下面这个三角形的高，就是这个高， 就是这个高，其实跟这个高是一样的啊，因为这俩三角形是全等吗？因为这俩边是相等的，所以是全等的，其实还是这个面积啊，跟这个面积的大小是一样的，也就是十二加二，然后呢就是上加下，再减去左左，就是 p、 d、 n 的 面积，就是五， 对吧？所以呢这个十四减五就是九，所以这个题的答案呢，就是十五和九了，就是十五和九，这个题用各补法其实也挺简单的啊，也挺简单的，大家可以看一下我这个做法啊， 可以看一下我这个做法，就是我把这里边求出来之后，你会发现这两个不同的方法，它用出来的这三个面积其实都是一样的，只不过加和减不一样啊，也是割补法，最后用的加减是不一样的，这是这个食物体。 然后我们来看一下这个二十三题，这个二十三题呢，也是初二阶段，我们课本上经常会做到一个题，只不过我们那个时候做这个题的时候，我们这个，我们这个题是把这个补成了标准的正方形，把补成了标准的正方形， 所以这个题呢，在别的卷纸上也考过啊，类似的，主要我们讲一下第三问啊，前两问的话会相对来说是比较简单的，第一问的话，我们就挣一个 这个全等啊，这个全等，只不过这个题告诉我们的是这个啊，一线三垂直也是可以的啊，因为这是一个旋转九十度吗？所以这个题用一线三垂直也也简单，就是除了这个题上给我们这个方法，我们可以用一线三垂直在这做垂直也是可以的啊，所以这个 a q e 呢，它其实就是一百三十五度， 因为你这坐相等了 b q 等于 b e 嘛，所以再加这个直角等腰直角，这是四十五呢，这就是一百三十五，对吧？那这就是一个一百三十五，那第二个题呢？让你找出与 d、 c、 f 相等的角啊，你可以用第一题的方法，我这还截取相等 来正全等是不就可以了呀？截取相等来正全等，你截取这两段相等，根据正方形的边上相等，我们可以得到这两个边相等，对吧？再加上旋转的这两个边相等， 还可以正出来这个角是等于这个角的啊？用同角的与角相等吗？角一加这个角九十，这个角加这个角是九十，用边角边正全等啊，正全等之后呢，我们就可以 正出来它的角的关系了，也就是正出来这个角等于这个角是等于一百三十五的，一百三十五再减九十，所以这就是四十五。一百八减去一百三十五，这也是四十五，所以呢，我们就得出来这两个角相等了。当然了，这个题我们也可以用一线三垂直啊，一线三垂直那个 顶层原创膜考了最后一道题，好像跟这个题是一样的考法，一样的考法。这个题我们用一线三垂直也挺简单的，就是 a、 e 等于这个，对吧？然后呢，我做一线三垂直，我就可以挣出来谁呢？我就可以挣出来这个边， b、 e 是 等于这个边的，然后呢，还有一个边呢，就是这个边 a、 b 这个边，它是等于这个边的，对吧？它是等于这个边的，而我们知道这个 bc 呢，它是跟 ab 相等的，所以两个等线弹减去之后呢，我们同样可以得到 b、 e 是 等于这个边的，所以这俩边相等呢，我们就可以求出这是四十五， 求出这是四十五。九十度一减，这也是四十五，所以这个方法也是可以的。那我们主要是讲一下第三问，讲一下第三问， 他说过点 f 做 f g 平行 a e 是 吧？交 c d 于点 g， 若 c e 等于二啊， c e 等于二，跟刚才那个十五题那个考法是一样的， c 在 这，那 c e 等于二，它可以在左边等于二，也可以在右边等于二嘛？然后呢，让你求这个 a g 的 长， 那这个呢，也有很多老师去讲，就是讲用什么方法，用间隙法啊，用这个用平面直角坐标系去做的，那也有画图直接去正的啊。我们来这个题讲一下，这个题怎么样做是比较简单的，只不过我们是倒推出来的啊， 所以这个题啊，如果是在考试的考场上，如果说你做图做的够精确的话，其实可以快速求出两个答案的。我来给大家看一下我做这个图， 然后大家来看一下我做这个图。首先呢，就是我们这个体的啊，这个体的两种情况，就是当点 e 在 这的时候，对吧？我们做这个 f， 找到这个 f 点，那我们知道点 f 是 永远在这个角平面线上的吗？对吧？ 做出来这个点 f 之后呢，我们再做 f g 平行 a e 啊，做 f g 平行 a e， 这个时候呢，交这个点与点 g， 如果你做图标准的话，其实你肉眼看这个图形很像一个 正方形，包括第二种情况也是一样，就是我画红色的线的这种情况啊，就是当 a e 在 这个位置的时候，对吧？这是一个一线三垂直过点 e 去做它的平行线，其实就是做垂直了吗？交这个点与点，然后再连接，你会发现这个也很像一个正方形。那这个题呢，如果你考试 时间有限的情况下，你做图比较准确，哎，你一看它是两个正方形，所以我这个题啊，我去求这个， 我去求这个 a g， 对 吧？我就可以求正方形的其他边长了，比如说我就可以求这个边长，我就可以这个边长，求这俩边长呢？直接就可以口算，对吧？当 c e 是 二的时候，那我们知道这个长度是个八，这是个六六八十。第一个答案直接出来了，当这边 c e 是 二的时候，那六减二，这是四， 所以四和六勾股定律，我们求着这是二倍根二十三，所以 a g 的 两个答案立马就出来了，对吧？但是做完题之后呢，我们就要去 深挖一下这个题，为什么这个平行做出来之后，这两个图形就正好是正方形呢？那我们去来研究一下这个题啊，别的老师也有去正这个正方形的方法，大家来看我怎么去正这个正方形的，也就是说这个点记 这个地方做垂直之后，这个点记他为什么一定就是个正方形？大家看一下我这个正法啊，我这个正法是这么去正的， 那我们来深究一下这个题，就是这么去深究的，怎么去深究呢？其实呢，我们知道这是一个等腰直角，这是一个九十度，对吧？然后呢我们第一问正出来这个地方， 我们第一问正出来这个地方，它是一个四十五度角，再加上这条线呢，它其实也是个四十五度角，这个地方你会发现也是个九十。两个九十的话，我们知道圆里边直径所对的圆周角是不是九十啊？ 或者说同股所在的圆珠角相等，这个地方就可以得到一个共圆，也就是 a、 e、 c、 f， 它们是共圆的， 它们都在以 a、 f 为直径的圆上，对吧？它们都在以 a、 f 为直径的圆上。那我做出来这个共圆之后，我们把这个圆做出来之后，这个圆 它跟 c、 d， 这是不是有个交点啊？它跟这有个交点，对吧？那此时这个点呢？我去连接 a 和连接 f， 那他为什么就一定这个地方是个垂直了呢？也就这个底，这个点为啥就一定是 g 呢？那么简单去证明一下就可以了，公务员去证就可以了。大家看我标这个这个地方呢，这个角一，它是一个四十五度角，根据同股所对，那这个角二，它也是一个四十五度角。 而这个角三呢，他本身是这个 a、 e、 f 的 这个等腰直角三角形的这个底角他也是个四十五，所以他一定是九十度啊，他一定是九十度， 它一定是九十度，那就符合我们这个体的条件了呀。那就是 g、 f 是 不是平行 a、 e 的 呀？所以这一定是九十度的话，那这个点记，这个这个圆跟这个线的交点，它一定就是点记了，对吧？那你连接一下此时呢，这个正正方形是不是就特别简单了呀？ 特别简单了，因为这是这是一个等腰直角嘛，那你这个地方它是不是也是等于这个角等于四十五度的啊？这个也是个四十五度嘛，相当于上面这也是个等腰直角，所以此时呢，这个 a、 e、 f、 g， 它一定是一个正方形， 所以呢我们就得到这样一个信息，就是这个点 e， 你 不管在哪动，此时你这个图形，这个圆做出来之后，这个点一定是点 g， 那 这个图形一定是个正方形啊，所以我们这个体呢，就可以快速去求出这个 a g 的 两个长度了啊，就是我这写的，对吧？ a e、 c、 f， 它是永远是共圆的，只不过这个圆的大小在变啊，永远是共圆的 啊，那这个时候呢，这个圆跟这个 c、 d 的 交点，它正好就是点击了啊，为啥呢？我们刚才上面已经正过了，那这个时候呢，这个四边形 a， e、 f、 g 一定是一个正方形，所以呢，我们要求 a g 呢，我们就可以求 a e， 求 a e 呢，其实就是两个勾定力是不就搞定了呀？一个是这个六八十的一个勾定力， 然后呢一个就是这个勾定，两个勾定力我们就搞定了，对吧？两个勾定力就搞定了，所以这个题啊，就是 学有余力的话，我们可以去研究一下这个共圆或者引圆的一个情况。做这个题是很简单的，也就是在这个题里边，你这个 e 随便去动，然后呢你你把它这个做出来，这个 a、 e、 f 还有这个圆跟 c、 d 的 焦点，它一定是点积这个方，这个四边形一定是个正方形 啊，它是个正方形呢，这个题就简单了啊，这个简单了，当然这是我们考试完去深究的，在考场上你把它画出来，看着很像的话，你就去做啊，就去做，那这个题的两个答案呢，也是很容易就出来了啊，那么今天的分享呢？
00:44查看AI文稿AI文稿本次推荐的试卷为原计划河南三月份全省模考，即原二零二六年河南高考适应性演练试卷取消后改为三月二十三到二十四日济源省实验、河大附中等小范围联考。此试卷由河南省教育考试院组织命题，试卷质量及命题难度较为接近高考。 本次考试分数线为，物理组特控线五百三十五点五分，一本线四百五十五分，本科线四百零五分，历史组特控线五百二十八分，一本线四百七十七分，本科线四百一十二分。 分数线及分差与二零二五年高考相当。现试卷已解密，可评论模拟练习。点击关注，河南高考全程陪跑！
7649豫考事
18:42查看AI文稿AI文稿好，今天呢，我们分享一下开封一模的这个啊，压轴体啊，这个实物体的话特别简单，但是呢我们 能不能想点方法，就是计算稍微简单一点的话，如果用常规方法的话，可能会计算麻烦一点啊，这个这种考法的话，在我们河南省中考以前的某一年是考到过的啊，所以呢，我们看这道题的一个做法， 这个题呢，首先啊，说了这个三角形定义了一个勾股三角形，三比四比五的，这个比较简单，对吧？然后呢在这个矩形中，他们告诉了我们这个边啊，这个长宽是八和六 点 e 呢，是在这个 a b 上的，他说把三角形 a、 b、 e 折叠，其实这个题啊，这个题十五题和二十三题两道题考的都是折叠，所以呢，我们能不能在折叠这个题上去研究点花出来呢，对吧？得到这个三角形，然后呢过点 f 去做垂直， 如果说 f b g 是 勾股三角形，让你求 b e 的 b e 的 这个值。这个题啊，常规的做法啊，就是我们知道这个折过来是一个斜直角嘛，所以常规的做法，我们是 构造这个一线三垂直去做，对吧？构造这个一线三垂直去做，分两种情况，也就是这个边是六的话，这个三角形。勾股三角形的话，有两种情况，要么这个边比这个边是一个三份比四份， 要么呢是一个四份比三份啊，两种情况，这个讨论呢，倒是挺简单的，对吧？这个讨论倒是挺简单的，就是计算有点麻烦， 因为你想啊，就是这个边是六的话，那我们那我们随便挑一种情况看一下，如果说这是三份，这是四份的话，对吧？这是五份的话，你会发现这两个边计算出来是不是都是分数啊？特别麻烦，对吧？那这个这个一份是五分之六，所以这个呢就是五分之三乘以六，就是五分之十八， 那这个呢就是五分之四乘以六，就是五分之二十四，然后呢你可以求出来这个边，对吧？拿六减去五分之十八，是不是就求出这个边了？然后呢这个， 然后求出这个边之后，我们要求这个 b e 的 话，我们知道要勾股定律嘛，所以我们要求这个是不是要求这个 e f 呀？对吧？我们要求这个 e f， 这个时候呢，我们要求这段长度是不是勾股定律啊？是不是勾股定律？所以在这的话计算特别麻烦，那我们能不能换一个思路呢？对吧？我们知道这个折叠里边有一种考法叫做角平分线加平行的等腰，所以呢我们能不能利用这个 这个折痕这条线它穿过了这个平行线，我们去建立一个等腰三角形来，是可以的啊，是可以的，所以呢我们去 找到这个内错角，那就是这个角，所以呢这个角和这个角是相等的，那我们根据这两个角相等去给它构造一个等腰三角形，也就是延长 e f 交这个 bc 于点 m， 那 这个时候这条线是不是就是一个等腰三角形啊？也就是说这个 e m 呢是等于 bm 的 啊？这个时候呢就计算起来就比较简单了，因为这个题啊，我延长之后这个地方他也是一个直角了，对不对？所以这个地方是一个摄影定律图，那这个时候我们去口算的话，就比较简单了，我们来算一下，好吧， 假如说是第一种情况啊，假如说是第一种情况，第一种情况呢？我们知道这个，这个 f g， 对 吧？比上这个 b g， 然后呢比上这个 b f， 如果这三个边的比是三比四比五的话啊，那这个时候我是不是就可以进行计算了呀？那这是三份、四份五份的话，你想啊，我去根据这个等腰三角形去求的话，你看这个角 相当于我们就知道这个角的比例是不是就是三比四比五了。那同样的道理，那这个角所在的这个大的直角三角形中，是不是也是一个三比四比五？也就是说 f m 比上 f b 比上 b m 也是一个三比四比五，所以这种情况下，我们就可以去求这个 f m 了， 是不是就可以口算了呀？因为这个六它占的是四份嘛，所以六除以四就是一份的话，就是二分之三啊，一份就是二分之三，所以这个 f m 是 三份的话，那就是二分之九，是吧？就是二分之九。同时呢，这个 b m 呢， 它是一个五分，是不是就是二分之十五呀？那又因为这个 bm 它是等于 e m 的，是吧？所以呢，我们能不能求出来 e f 的 长？ 你看这种情况求 e f 是 不是就很快了呀？它就等于二分之十五，减去这个二分之九，然后等于二分之六，是不是等于三？那 e f 等于三了，我们这个时候再去求这个 b e 呢？就特别简单了，三六一比二比根号五，三比根号五，对吧？ 那这是第一种情况，第二种情况呢，就是把这个三比四比五给它换一下，对吧？也就是说此时的这个 f g 比上 bg， 然后呢比上这个 b f， 它就不是三比四比五了，正好反一下，那就变成四比三比五 啊。这个时候还是同样的方法，计算也特别简单，我们还是一样算这个 b m， 因为这个 b f 还是这个 还是六吗？所以这个 f m 也就是这个这个角啊，这个角所对的边，他这是不是变成四分了？所以在这个大的直角三角形中， f m 这个边此时呢他也占的是一个四分，那此时 b f 占的是不是就是一个三分啊？那占的三分的话，所以一分是不是就是二， 是吧？那一份就是二嘛，那所以这个 f m 占四份是不是就是八？所以这个 b m 是 不是就等于这个 e m 就 等于五份嘛？就是十， 是不是十？所以这个这是用分数去做啊。然后呢，这个 e f 也很简单，是不是就求出来了，也就是十减去，这个十减去八就是二，是吧？那这个时候呢，我们再去求这个 b e 的 话的平方加上六的平方， 对啊，这个二的平方加上六的平方，那这个放松一下，就是一比三嘛，一比三比二十，所以呢就是二倍跟二十了， 那这个就是二倍跟二十。所以呢这个题啊，就是，呃，换一种解题思路，就是利用这个角平分线加平行去得等腰的话，这个地方去计算起来的话，可能会快一点啊，这个呢，就是我们十物体的这个解法。 好，我们来看一下二十三题，同样也是一道折叠题啊，同样也是个折叠题，第一问和第一问的话，整体来说比较简单，我们可以快速去过一下题啊，这个点 d 呢？是 点 d 是 bc 边上的一个洞点啊，点 d 是 一个洞点，然后呢折叠，那我们知道折叠的话是有对应边，当你不知道考啥的时候，你可以多标一标啊。折叠的对应边，对应角是不是都是相等的呀？包括这个角也是等于这个角的，包括这两个角是不是都是相等的？然后呢，这个 说过点 p 去做 p q 平行，平行对于我们说有什么用呢？无非就是同位角内错角呗，或者说相似啊，常见的 a 字八字相似去用。那第一题他说 d 恰好为 d p 的 中点的时候，那我们知道这是不是又加了一个线段相等，哎，其实这个地方已经给你指明了，那到这呢，我们可以得到一个 新的线段相等，就是这个线段是等于这个线段的，然后呢，同时这个平行啊，这个平行我们是可以得到一个角相等的，就是这个地方和我们刚才标的这个角它是一个同位角，所以呢，我们就此时就得到这两角相等了，对吧？那我们看接下来他问我什么了，问我这个 p q p q 跟 e f 和 f c 啥关系？你发现这个 e f 和 f c 它是这样一个连着的一个关系，所以它俩是一个相加的关系嘛，对吧？所以这个 e f 和这个 p q 有 啥关系呢？从肉眼看是相等的， 是吧？其实这个问法再加上前边我们这个分析，其实你能发现这个地方是不是就整个全等就可以了呀？也就是说这个 d p 这个等线段，它所在的这个三角形，还有另外一个等线段，就是这个 d e 所在的这个三角形啊，这两个三角形是不是正个全等就可以了？正法的话特别简单，因为我们刚才得到这两个角相等，所以他们的补角是相等的啊，这两个补角是不是相等的，对吧？哎，这两个角我们大一点的点吧， 这两个补角相等，再加上边相等，再加一个公共角，那是不是就全等了呀？角边角角边角全等，所以呢， p q 是 等于 ec 的， 那所以 p q 是 不是就等于 e f 加 f c 啊？那这个啊，第一问，这个空比较简单啊，主要是。第二问，这个计算 p f 是 等于三的，然后呢， f q 是 等于五的，让你去求这个 a b 的 值。 这个考法跟我们中考有一年的考法是一模一样的，就是这个地方的考法跟我们中考有一年的考法是考什么的？是一个角平分线， 然后呢，他说在这截一个相等，在这又截一个相等，然后呢，连接这和连接这，让你去正这里边的一个全等关系的，因为这里边你能看到三角形全是全等的， 所以你如果对这个图够熟的话，那这个题其实也特别简单了，对吧？那我们知道这个三角形啊，就是这个三角形和这个三角形，它也是全等的，你接着第一步的全等去正就可以了啊，全等去正，那这个时候呢，我们可以知道这个角是等于这个角的， 对吧？那当然了，想去正这俩角相等也可以，这俩对零角也相等，这俩三角形的角特别多，去找个边就可以了。那第一问全等之后呢，我们是可以得到这个边，是等于这个边的，然后呢再减去这两个等边是可以减，可以得到这两个等边相等的， 所以这两个三角形全等全等之后呢，所以这个边也是三了，所以这个边是不是就是五了呀？那这个时候我再让求 ab 的 值 啊，只能直接求就直接求，不能直接求就设未知数啊，设未知数设 x， 那 我知道这个变 a e 是 不是也是 x， 那 设完 x 之后列等量关系，要么勾股，要么相似， 那在这个题里边，我们这个平行这个三五这个地方，你这是一个平行线，跟这个 ab 的 关系是不是一个 a 字形的相似啊？所以这个地方三去比上这个 x 就 等于五，去比上他这个 a c 的 一个整长，是不是就是一个八加 x， 所以呢，我们就求出 x 等于十二了啊？这个这个第二题的话，哎，也没有很难，其实他这个主要的考察这个这一块区域的这个考法啊，跟我们中考的这个考法是一模一样的，你可以去回头去做一做这个题啊， 也是我们近五年的一个中考亚洲题了。然后呢我们来看一下这个比较难的一个第三问啊，比较难的第三问的话，呃，你会发现可能也有些老师讲了一些，讲了一些做法，讲了一些做法，然后呢就是 包括去做辅助线啊，那这个体呢，我们从这个体意去出发，先简单去分析一下啊，就是点 p 在 b c 的 延长线上时，然后呢我们去做这个，呃， a g 是 平行这的，其实这个地方一平行啊，再结合这个体干的条件，你都应该知道这是一个平行四边形了，对吧？这是一个平行四边形， 它是有等量关系的，然后呢，这个 p q 比上 q n 是 一个一比 n 的 关系， 然后呢这个地方告诉我们一个 d p 是 等于这个二倍的 b d 的， 那么第一问知道这个 b d 呢？是等于这条线的，所以你会发现这个这个二 b 的 比例关系，我们是可以转换一下的，对吧？我们是可以转换的，就是这个 d e 比上这个 d p， 这个 d e 是 比上 dp， 它是一个一比二的关系，也就是通过这个比例关系，我们可以得到这样一个关系，也就是这个地方是个一比二，那这个地方是个一比二的话，你会发现这里边是有相似的啊。当然了，我们上去的话，你可以去研究研究角，那我们知道这个角是等于这个角的， 是吧？那这个角是一个内错角，是等于这个角的，所以这个阿尔法的角，这个补角贝塔和这个补角贝塔也是相等的，所以这个地方立马就出现了一个，就是你这个一比二可以立马就用上的一个相似，就是这个地方， 这是一个倒 a 字型相似啊，所以这个一比二的话，我们就可以去用了。怎么去用了？你会发现这个 p q 这个地方它给了我们一个啊数据，所以这个地方我们这个一比二就可以转换成什么了，这个一比二就可以再次去转换了，是不是可以转换成这个 c e 比上 p q？ 对啊，他也是一个一比二的过关系。哎，那这个时候这条线就跟这条线串起来了，是吧？串起来了，那我们知道这个线 n 加一这条线，那这边的话他也是 n 加一，那根据这个折叠对应关系的话，这也是个 n 加一， 是吧？到这了其实你会发现我已经得到了一些很多线段之间的一个关系了，但是你想要往下再进一步的话，可能就稍微有点难了。 那，那这个时候呢，我们就去讲一下这个题，就是稍微简单一点的方法，但是呢可能要用到一些 呃，体外的一些知识点，当然这个知识点也不是什么。呃，好多人不知道知识点，这个知识点在前面的考题过程中也出现过，包括我们二 二五年的这个中考十五题，其中的有一种考法啊，其中有一种考法就是这两个角相等的时候，其实就用到这个考法，那个三角形好像是一个三四五的三角形吧。啊？这个时候我们需要求下面这两个边，其实就用到一个三角形，角分线分 分，这个线段是成比例的，也就是角分线的一个性质啊。这个时候呢，我们知道这个边，对吧？这个边和这个边它是一个乘比例的一个边，也是这个 x 比上四减 x， 它是等于这个三比五的， 就是这种考法。那用到这个线段的话呢，这个题就特别简单了啊，这个题就特别简单了，所以呢，我们来看一下这个题我们到这之后怎么去用， 那？因为这个地方有个一比二的关系，所以你这如果设的是一的话，这要用二分之一太麻烦，所以呢，我们不妨换一个设法，好吧，我们换一个设法，我们把这个边给他变大两倍。如果我设这个边是不是应该是二 n， 那 所以这条线是不是应该是二 n 加二， 那这个边是不是应该也是二 n 加二，是吧？那这个边也是个二 n 加二，也就是这个 a e 是 等于 a b 的，是等于这个 p g 的， 等于二 n 加二，对吧？那这是这样一个关系，那这个时候呢，我们根据这个地方啊，这个是个一比二，这个 c e 比上 p q 是 个一比二的关系，所以这个长度它是不是就是一了呀？ 因为这个题最后是让你用 n 来表示嘛，所以我们可以默认这个 n 就是 一个已知数字，所以这是个一比二。那最后呢，我们要求的这个东西啊，就是 p f， 你 会发现这个地方我们要求的是 p f 比上 f g， 那 你知道这个地方啊，其实是一个 a 字形的一个对应边了吗？ 是一个对应边， f p 比上 f g 是 对应边，那它是可以进行转换的，也是 p f 比 f g 可以 转换成 c p 去比上 ag， 对 吧？同时也是不是也可以转换成 f c 去比上 fa， 是 吧？那这个都是可以转换的，那这个时候呢，我们来看下边呢，我们怎么去操作这个啊？这个关系，好吧， 这个这个时候呢，我们去研究其他的关系的话，你会发现好像还挺难研究的。这个时候你如果知道这个知识点的话，就稍微简单一点，就是这个地方折叠前后的这个对应角相等，你会发现这个地方呢，我们就可以用角分线成比例了，哎，就是这个地方， 这是一个角分线，三角形的一个角分线嘛，对吧？那这个时候呢，我们不妨去设个 x 啊，不妨去设个 x， 因为这里边啊， b d 和 dp 是 有关系的，是个一比二的关系嘛，所以这也是个一比二关系。所以我们设 b d 是 x 的 话，那这个 dp 它是不是就是二 x 啊？这个 d p 就是 二 x， 那 这个时候，根据这个角分线分线段成比例，也就是这个 x 这个边，它去比上这个 c d 这个边的话，是等于二 n 加二，去比上这个二 n 加二，再加一，就是二 n 加三。 所以呢，这个地方，我们能不能通过这个比例关系去把 c d 给它表示出来，因为 c d 表示出来，你就可以表示出这个 c p 了嘛，所以这个 c d 啊，我们就可以给它表示出来了，是吧？也就是对角线相乘嘛，二 n 加三括起来的，乘以 x， 然后呢再除以这个二 n 加二， 是吧？那 c d 求出来之后，我们就可以求 c p 了啊， c p 是 不是就等于 d p 减 c d 啊？那这个 d p 是 二 x 嘛，对吧？二 x 就 可以减去这个 c d 了， 减去这个二 n 加二，分之二 n 加三扩起来的这个 x， 然后呢，我们就可以简单的去通分一下，对吧？二 n 加二扩起来这个分之，你会发现上边的话是一个二 x， 再乘以这个二 n 加二， 然后呢去减去这个二 n 加三扩起来的这个 x， 是吧？然后呢我们就可以往后边去化简了。我写到这个白的地方，那这个时候呢，分母就是二 n 加二， 然后呢，这个分子的话，其实也很好算，你会发现它是不是都有 x 啊？你可以提提个 x 嘛，对吧？我们可以提个 x， 那 左边的话剩一个四 n 加四啊，四 n 加四，再减去这个二 n， 再减去三的话，就是一个二 n 加一，二 n 加一括起来 x， 对吧？所以我们求出来这个 c p 之后，是不是就可以求答案了呀？是吧？就可以求答案了，这个 c p 呢，它就是一个二 n 加二分之二 n 加一括起来的这个 x， 然后呢除以这个 a g， a g 是 谁？ a g 不 就是这个 b p 了吗？是不是就是除以三 x 除以三 x， 所以呢乘以三 x 分 之一 啊？这个时候呢，我们 x 呢，是不是就可以约掉了？所以呢，下边呢就是六 n 加六分之二 n 加一。 好了啊，这个题呢，我们就通过这样一个不需要做辅助线的方式去去做出来。但是呢啊，我们说你想要去做这种压轴中的压轴题，那你就得去学一些课本上没有的一些知识点， 或者说不太常用的一些知识点。好吧，那我们今天这道题呢，我们就分享到这里了，感谢大家的观看。
