新高考一卷数学分数分布
高考解答前三题都是送分题，这道题也不例外。第十七题考几何分布，没学过也能轻松做出来。看下第十七题考的是几何分布，没想到考几何分布啊！如果你说我没学过几何分布，能不能做出来，当然也非常轻松的做出来， 因为高考前三个题肯定是送分题吗？这就是对二零二七届的同学提了个醒，那你以后几何分布是不是应该学的比较简单，你不知道几何分布也能做出来？第三问考的是几何分布的无记忆性， 是大学概率里边讲的，不影响你做题。来，我们读下这道题啊。设整数 n 大 点二、某同学用一个球进行投篮练习，最多投 n 次，当前仅当投中一次时，或 n 次均未投中时停止练习。那你可能会说，什么叫几何分布呢？就是 它是一个离散型随机变量的分布律，就是第一次投中的时候，我们所需要的实验次数就说完了。第一次投中了，说明第一次没有投中。也就说假设第一次投中用了 k 次，那说明前 k 减一次， 当然就没有投中，这就叫几何分布啊。那么他说投中一次或者 n 次均未有投中时，则停止练习，这就很重要，他不是无限制不停的实验下去， 只要是 n 次他都没有投中的话，实验就结束了。该同学每次投中的概率为 p， 各次投中与否相互独立， x 为停止练习时，该同学投篮的次数第一位肯定是送分的啊，他说这个 n 得四的时候求 x 的 分不列，那我们得先写 x 的 所有可能取值。就说白了，你太厉害了， 第一次就投注了，很有可能，所以他所有的可能取值就有可能是一次，两次，三次，四次。然后呢，我们就应该是先算出他们概率来，如果你一次就投中的话，那当然投中的概率就是三分之一，如果你投两次才投中的话，这就说明第一次没有投中。 一定要理解啊，看见当前紧张，第一次投中，停止练习，就说白了，你第一次没有投中，那你不能停止，然后继续投，所以第二次投中的话，就说明第一次没有投中，这个概率就应该是九分之二，这个应该没问题。 那如果是 x 等于三的话，就说白了，你第一次没有投中概率是三分之二，第二次也没有投中第三次，哎，投中了，所以是二十七分之四。然后呢？ x 等于四的时候，他有两种方法，第一个用一减前面那些数，也就是一减三分之一，再减去九分之二，再减去 二十七分之四，等于个二十七分之八。第二种方法我想一步一步算，怎么办呢？也是可以的啊。你投篮需要了四次，说明什么？不是说你第四次投中了，说明你前三次都没投中，第四次 即使中还不中，他都需要投第四次来，因为第四次就结束了，没有往后了。 n 零四嘛，所以第二种方法的话，就是 x 零四，那这就说明前三次都没有中，他没有中啊，第一次没有中，第二次没有中，第三次都没有中，第四次他中他说明投中了，他不中， 他也结束了，因为最多投篮 n 次，那所以这道题的答案是三九二十七，二十三乘二十八，所以分布列就完了， x 的 分布列为什么什么自己列出出来？这是第一问。第二问，他说 k 小 等 n 减一，求 s 大 于 k 的 概率，那 x 表示什么呢？停止练习时所需要的投篮次数， 那又因为这个 k 小 于 n 减一，那这就说明它还没有到第 n 次，所以大家思考一下 x 大 于 k 这句话是什么意思？它投篮次数只要大于 k 次，说明前 k 次它都没有投中，所以它不得不投下一次， 因为它没有到 n， 没有到 n 的 话，它就不可能到 n 次，没有投中也得停止，它停止不了，能理解不？那所以 x 加 k， 说明前 k 次它都没有投中，没有投中的概率当然就是 e 减 p， k 次都没有投中。那这句话的意思就是说我们需要 去投 d， k 加一次，当然投篮次数是大于 k 啊，后面我不管了啊，最起码是这样的，只要前 k 次都没有投中，那么他需要去投 d， k 加一次就没问题了。所以这个答案太简单了。我们再来看第二问，他说的 k 加 m 小 等 n 减一，他说投篮次数大于 k 加 m， 说白了 还是没有到停止的那时候，这个地方最大最大是 n 减一嘛，所以他还可以再投一次。那么在这个的条件下，让我们证明几何分布的无记忆性， 就说白了，前面他投了 k 次的前提下，他再投 k 加 m 次，实际上就是 x 大 于 m 的 概率，他和前面 k 次没有关系。那你说我不知道几何概性的无记忆性无所谓嘛，就考条件概率套条件概率就可以了，你看 k 加 m， 然后呢？前提下 x 大 于 k 的 概率，然后呢上面取交集，那你想想，他投篮次数既大于 k 加 m 同时大于 k， 他 取交集的话，是不是正好是 x 大 于 k 加 m 比上一个 x 大 于 k， 那么这时候大于 k 的 概率说明前 k 次全都没投中，那 x 大 于 k 加 m 次说明什么呢？说明前 k 加 m 次都没有投中，所以他这么一算的话，正好是一减 p 的 m 次方，而一减 p 的 m 次方是不是正好等于 x 大 于 m？ 因为这样 k 点 m 就是 了，所以这个的概率正好就应该等于个 x 大 于 m， 所以 这道题就证明完了。通过这个证明，我们也理解了这叫几何分布的无记忆性。通过这道题，你也明白了一个什么道理呢？就是我在平常上课的时候一直在强调所有的二结论，不要死记硬背，你看看多少证明题， 你要会证明，你要知道这些东西怎么来的，所以这道题本质上考的就是条件概率，你只要读懂它的意思，非常简单。
粉丝8.5万获赞83.2万
相关视频
01:00:52查看AI文稿AI文稿大家好啊，我是必见玄鹤，今天来给大家做一下二零二六新高考一卷数学的全卷讲解，这样试卷整体的难度是非常大的，中档题和创新题非常的多， 但是很多中档题都有简易的方法，如果你不用这些简易的方法而去硬算的话，计算量会非常的大。 创新的题目呢，考察的数列配对，立体几何，圆柱面轨迹复杂的解析，几何概率的无记性以及抽象函数和新定义。接下来我们就来看看这张试卷。 第一题求样本数据的中位数，我们把它排好序四五六八十二，中位数就是这边的六，所以第一题选择 b 选项。 第二题，因为向量 a 和 b 不 共线，所以这边 x 就 应该等于二， y 就 应该等于负三，因此第二题选择 a 选项。第三题，三幺六分之七派应该等于负，三幺六分之派等于负，二分之五派等于负的 cosine 三分之二派等于二分之一。 tangent 的 四分之五派呢？它应该等于 tangent 的 四分之一等于一，所以这个集合就是负二分之一，二分之一和一，所以这个集合就是负二分之一和一。选择 c 选项。 第四题求这个函数在一五处的切线方程，我们直接对 y 求导，导函数应该是五，加上 x 分 之八，当 x 等于一的时候，导函数值是十三，因此切线方程的斜率是十三，只有 d 选项符合，所以第四题选择 d 选项。 第五题他说两个抛物线都过四八，这个点我们把四八代入到 c 一 和 c 二里面，可以求出 p 一 等于八， p 二等于一， 所以抛物线 c 一 的焦点就是四零，抛物线 c 二的焦点就是零。二分之一 f 一 f 二之间的距离，用勾股定律应该是四个平方加二分之一平方开根号等于二分之根号。六十五，选择 d 选项。 第六题，函数 e 的 x 四方加 a 分 之 x 加二的最大值是一，求 a 的 值。这道题啊，很多同学可能上来会硬算，他会求 f 撇 x 哎，等于这个东西等于这个东西之后，好像写不出它的极值点，那写不出它的极值点，那我们就设一个隐零点 这个东西，假设极值点是 x 零，那么 f 撇 x 零等于零，也就是这个东西等于零， a 等于这个东西，那么我们的极大值 f x 零应该是 x 零加二。比上这个式子，这边把我们的 a 用这个东西代替进来， 这个东西等于一，可以算出来 x 零等于零， x 零等于零，再带入到这个式子里面，那么 a 就 等于一。那如果你在考场上用这个方法的话，会浪费非常多的时间，因为这个计算量是不小的。 那这道题有没有更简单的方法呢？有的，有没有更简单的方法呢？我们发现 e x 次方是大于等于 x 加一的，这是一个常见的不等式。利用这个常见的不等式，我们可以对这个式子进行一个放松，它就应该小于等于 x 加一，加 a 分 之 x 加二。 而我们又发现，当 a 等于一的时候，这个式子啊，就等于 x 加二，比上 x 加二，它恰好等于一。哎， a 等于一的时候，就说明我们这个东西啊，小于等于一，并且取等的时候是 x 等于零的时候，取等完美符合我们的题目的条件呀。 所以这道题啊， a 等于一，恰好就符合，因此就选择 b 选项，利用这个放松式呢，一下子把答案看出来的。 不过还有些细节啊，就是用这个放松的时候，你要注意 x 加二是正的还是负的，哎，最后 x 等于零，他正好是一个正数，所以是没问题的。第七题，就是我说的那道非常创新的数列配对问题，他是这样的，已知一个数列 a、 n、 a、 n 有 十二项， 他的每项呢，分别是，一、三、三、五、五、七、九、十一、十三、十五、十七、十九这十二项。现在呢，我们将这十二个数，每组两个数分成六组， 分成这六组之后呢，每一组我们把其中的两个数相加，相加了之后，可以构成一个象数为六，公差为 d 的 等差数列。问你这个公差等于多少？ 首先我们能得到一个必要条件，因为他两两成组，然后又加起来了，形成一个新的数列，所以我们新的这个数列啊，他的六项之和，应该和我们最一开始这个数列的十二项之和是完全相等的。所以我们就设新的数列的首项是 b 一， 根据等差数列的求和公式， b 一 加到 b 六，就应该等于首项加上末项乘以项数除以二。 而这个东西呢，刚刚说了，它又等于 a 数列的前十二项和，所以等于一百零八，我们就得到一个必要条件，六， b 一 加上十五 d 是 等于一百零八的。 写到这啊，很多同学就束手无策了，他会想，哎，我还能得到什么关系，把这个 b 一 和 d 解出来吗？好像得不到了， 所以我们接下来就只有这一个式子，那这一个式子我们怎么去解这个 d 呢？哎，你想一想啊，我觉得这道题最好的方法是把选项带入到我们的这个必要条件里面， 为什么呀？因为假设啊，我们现在 d 等于四，就看 b 选项， d 等于四的时候，我们带入进去，就可以把 b 一 算出来，对不对？而 b 一 算出来之后，注意啊，它是由我们 a 数列里面的两个数加起来的， 所以我们可以带入进去，把 b 一 求出来，看看这个 b 一 能不能在 a 一 向量里面找到两项和它对应，如果能找到，就继续去看 b 二能不能找到，如果 b 一 都找不到，那这个选项肯定就是错的。 所以我们来看一下，假设我们的 d 等于四，带入进去 b 一 应该等于八，哎，这边 b 一 等于八， b 一 等于八了之后，我们就看哪两个数加起来等于八呀，哎，一和七加起来等于八，一和七加起来等于八，然后公差现在又是四，那他的下一项应该是十二，十二呢，可以是三和九， 继续下一项是十六十六，可以是哎三和这边的十三。以此类推，我们就成功的找到了这个等差数列。 所以这道题啊，是非常创新的，在考场上我觉得也会吓到很多很多的同学，比较考察你的思维，有点像一个不定方程啊。 第八题，他说全集 u 等于这样一个东西，这个集合呢，是点的集合，而这个点里面的 x i 属于负二，负一，一二在里面任意的去取，在空间中构成了六十四个点。为什么呀？ x 一 有四个曲值， x 三有四个曲值，四的三次方就是六十四个点， 现在啊， p 点是一一一，即样本空间欧米伽等于，这是什么意思啊？这是在全集里面抠掉了 p 这个点对不对？所以就相当于这个样本空间里面一共有六十三个点， 在六十三个点里面随便取一个点，哎，随便取一个点的概率应该是六十三分之一，定义随机变量 x， 这个 x 是 什么呢？对于每一个取出来的点，我们的 x a 等于等于他们的三个坐标之合。求 x 的 数学期望， 那数学期望，首先我们刚刚说了，六十三个点，每个点的概率是六十三分之一，所以数学期望应该是四个码六十三分之一乘以每个点的 x a， 其中这边的 a 是 我们样本空间欧米伽里面的六十三个点，随便取六十三分之一，我们提出来就是应该是这个东西，哎，这个东西你想到的什么呀？ 注意啊，题目是在全集里面一个大的六十四个点的集合里面扣掉的一个点，那我们这个式子能不能写成原本 a 属于全集里面的所有六十四个点的这个东西？再减掉我们的 x p 这个东西不就是我们的这个东西吗？而根据对称性，我们的全集 u 是 一个非常非常对称的点集系统，你在里面随便找一点，比如负一一二这个点在里面，在全集 u 里面， 那我们的一负一负二也在这个里面。而对这个东西，我们求这个 x， 再对这个多这个点，我们去求这个 x， 这两个点的 x 加起来应该等于零，为什么呀？负一加一等于零，一加负一等于零，二加负二也等于零消掉了。 因此，在原本六十四个空间里面，我们去计算这个值，根据对称性，它应该是等于零的。再算一下， x、 p、 p 等于一加一加一等于三， 那最后算一下，应该是六十三分之负三，也就是负二十一分之一。选择这边的 a 选项。第九题是一个简单的计算题， 负数 z 等于三加二，那么 z 的 共二就等于三减去二， a 选项是对的。 b 选项 z 的 模应该等于根号下三平方加二平方等于根号十三， b 选项是错的。 c 选项 z 的 平方，算一下，应该是三加二的平方等于九加十二，减去四等于五加十二， c 是 对的。 d 选项呢，就是分式负数的一个化简，它等于三加矮，分之六加二上下，同时乘以三减矮， 最后算出来等于二，二是实数啊，所以 d 选项也是对的，着急选择 a、 c、 d。 第十题是一个比较创新的题目，他说动点 c 到直线 ab 的 距离为二。哎，我们思考一下，在一个平面内，我们假设在这个平面内啊，我们这边有一个定点， 动点到定点的距离，如果为二，在一个平面内，他的轨迹应该是一个圆，对不对？现在啊，我们在空间中，空间中到这个一条直线的距离恒为二，那不就相当于把这个圆我们继续向下平移，向下平移就构成了一个圆柱面， 这个圆柱侧面上的任意一点，到我们中间这个轴的距离应该都是二， 没问题吧？因此，这个动点 c 的 轨迹啊，就是到 ab 距离为二的一个圆柱面，同样的动点 d 到 ab 的 距离为一，那么动点 d 也是一个圆柱面，我们画一下这个图，假设这边是 ab， 然后呢，我们画一个半径为二的圆，向下平移构成了一个圆柱面这个地方，这个圆柱面上就是我们动点 c 的 轨迹，同样的，我们在里面再画一个半径为一的小的这个圆柱，那这个圆柱的圆柱面上就是我们动点 d 的 轨迹。 好，现在我们 c 和 d 都知道它在哪动了。我们再看题目，他说二面角 c， a、 b， d 为六十度，哎， c， a、 b， d 为六十度，我们怎么去画呢？来看啊，我们先画出两个结面，这两个结面啊，构成了六十度， 怎么画呢？这个事情应该是不难去画的，我们现在这个小的圆珠里面啊，我们去取一个这个洁面，可以吧？这个洁面取出来之后呢，我们在这个点是 m， 然后连接 m a， 我 们画一个六十度，这边是 an， 这个角度是六十度，然后我们过这个 an 啊，向下一切切出了这个洁面， 那这两个结面它的二面角是不是就是六十度？既然这两个结面的二面角是六十度，我们的 c 点和 d 点又在两个圆柱的侧面上运动，那我们是不是可以规定 c 点就在 n n 撇这条线上运动， d 点呢，就在 mm 撇上运动，因为此时哎，我们随便写写一下 c 点在这，那我们 c、 a、 b 就是 这个画的这个结面啊， 然后我们的 d， a、 b 呢？ d， a、 b 就是 画的这个红色的这个界面啊，这两个界面一定是二面角六十度的，我们现在又确定了啊， c 点在这个上面，然后 d 点在这个上面，我们看选项就行了。 选项 a 说 c、 a、 d 大 于等于六十度，如果我们的 c 点在这， d 点在这，这个角就等于六十度，但是如果我们的 c 点在这， d 点在这，那这个 c、 a、 d 还等于六十度吗？它就不等于六十度了，它是比六十度要小的，所以 a 选项是错的， b 选项说 c、 d 大 于等于根号三， c、 d 大 于等于根号三，我们就去看看 c、 d 的 最小值是多少。哎， c 点在这上面运动， d 点在这上面运动，他们俩什么时候连线最短啊？最短肯定是我们。 c 点在这， d 点在这， 相当于和这边的 a、 b 是 垂直的时候，此时最短，我们就计算这个 m、 n， m、 n 怎么去算啊？哎，我们的 a、 m 长度等于一， a、 n 长度呢？等于二，然后这个角是一个六十度，划一下，就这个东西 一二六十度。哎，那这个边 m、 n 应该等于根号三，所以 c、 d 最小值是根号三，那 c、 d 确实大于等于根号三， b 选项是对的。 我们再看 c 选项， c 选项说当 ab 垂直于 cd 的 时候， cd 垂直于平面 abd， 当我们的 ab 垂直于 cd 的 时候，哎，我们的 b 选项不说了吗？ cd 如果在这的时候正好是垂直 ab 的， 所以我们就规定啊， c 点在这个地方， d 点在这个地方， 此时我们看看 c、 d 垂不垂直于这个面， a、 b、 d， a、 b、 d 面就是这个东西，这个面啊，垂直的吧。因为根据我们的 b 选项，我们的 m、 n 是 垂直于 am 的， 这个 m、 n 是 垂直于这个 a、 m 的， 既然这个垂直，那我们的 c、 d 就 垂直于 a、 b， m 撇 m 这个面，也就是 abd 这个面，所以 c 选项是对的。再看 d 选项，当 ab 垂直于平面 a、 c、 d 的 时候， ab 垂直于平面 a、 c、 d， 哎，我们还可以让 c 和 d 在 这啊， a、 c、 d 在 这， 此时他问，此时他问 ac 是 不是垂直于 ad？ 很 显然，很显然， ac 在 这， ad 在 这，它们俩夹角是六十度啊，所以不垂直，因此 d 选项是错的，所以第十题选择的是 bc。 这道题是有点创新的，要考虑的东西也非常的多，在考场上是有点难度的。 接下来我们来看多选择题最后一题，这道题比较难，他说有三个圆，这个圆心是负一零在这，然后半径是一，第二个圆呢，一零，半径也是一，第三个圆零根号三，半径也是一。给他画出来之后，你会发现这个长度是一，这个长度是刚好三， 所以这个长度是二，而这个长度二呢，正好等于他的半径加他的半径。所以我们的这三个圆啊，是彼此外切的。 现在有一条直线啊，与我们的三个圆均有两个焦点，哎，你任意去画一条直线，什么情况下才有两个焦点啊？ 画一画，你会发现大概是这样的一个情况，画在这的时候，我们第一个圆，两个焦点，第二个圆呢，两个焦点，第三个圆呢，也有两个焦点， 然后我们这条直线还可以再移动移动。比如我们这是一个临界情况，与上面两个圆是相切的，然后我们往上去一点点，哎，现在是不是每个圆都有两个焦点，然后继续都有两个焦点，都有两个焦点，移动，移动，移动。哎，到这到这 与最下面那个圆相切之后呢，也是他的最后一个临界情况，所以在这个范围内都是可以的。哎，那他的斜率是一定的吗？也不一定啊，我们还可以给这条直线稍微旋转一点点，旋转一点点之后呢，他仍然和我们的三个圆有两个交点。 当然啊，我们的直线一定在这个范围内吗？不一定啊，根据对称性，我们还能在这个范围内，还能在这个范围内，对吧？我们来看看选项。首先 a 选项 k 可以 取任意实数。哎，根据我们刚刚的分析，他就限定在这三个范围里面，那 k 肯定不能取任意的实数啊。 b 选项他说 s 一 等于 s 二等于 s 三， s 一、 s 二、 s 三分别是我们捷德的三个弦长， s 一、 s 二、 s 三，当这三个相等的时候，哎呦，共有三条，哎，你画一下图，发现他确实是三条相等的话，应该是非常对称的。这种情况，那再对称过去，我们还有 这边也是三个相等，这个，这个还有这个三个相等，同样的，再对称一下，还有这种情况，也是三个相等，所以一共有三条直线，满足 s 一 等于 s 二等于 s 三，所以 b 选项是对的。 c d 选项呢？ c d 选项就有点难度了，他说 满足 s 一 加 s 二加 s 三等于三的直线多余三条，这什么意思啊？首先我们来看看这个最特殊的情况，此时我们这个前弦角应该是六十度，然后这个长度就是一，这个长度也是一，这个长度也是一。我们 b 选项的三条直线，它都满足 s 一 加 s 二加 s 三等于三，但是 c 选项说它多余三条， 他的意思就是有可能我们这个直线啊，你再给他平移，平移平移，或者在旋转，旋转旋转，还有可能让他三个加起来等于三，那这个就需要我们去计算一下了。再看 d 选项， d 选项还是一样的，那 b 等于零的时候，其实就是我们 直线一定过这个圆点，然后在这边稍微旋转，旋转的情况，还是让你去求 s 一 加 s 二加 s 三，所以 c、 d 选项肯定是需要去计算的哎，但是我们需要 c 选项也去算一下， d 选项也去算一下吗？我们可以让 c、 d 选项一起去算，你看 d 选项有个限定条件， b 等于零的时候， 我们就去算 b 等于零的时候， s 一 加 s 二加 s 三，有没有可能等于三，看看算出来有几个解就行了。在算的时候呢，我们又可以同时去算一下它的最大值，那 d 选项也就出来了， 我们来看看吧。当我们的 b 等于零的时候，我们 y 等于 k x， 现在他让我们求这个 s 一 加 s 二加 s 三， 这三个弦长应该怎么求啊？弦长应该等于两倍的根号，下一减去 d 平方， d 是 我们圆心到这条直线的距离，圆心到直线的距离，哎，我们把三个圆心算出来，然后算一下三个距离，应该是这三个东西对不对？带入进去， s 一 加 s 二加 s 三，就应该是这个式子和 k 有 关 啊，那这个式子看着好麻烦啊，我们可不可以进行一个换元啊？完全可以的吧，我们可以把这边的根号下一加 k 方分之一，整体换元成一个 t， 那 么带入到原本式子里面，它就应该变成四 t， 加上两倍的根号下一减三 t 平方。这个式子，我们接下来就两件事情，第一件事情，令他等于三解出来，看 t 有 几个解，再看看 k 有 几个解， 这是 c 选项。 d 选项呢？就是看这个式子的最大值是多少。先看 c 选项，令它等于三解出来。哎，这个式子等于零，那 t 显然是有两解的，因为得尔塔大于零有两个解，而我们的 t 又等于这个式子，那我们的 k 就 有四个解， k 有 四个解，说明什么呀？ k 有 四个解，就说明我们 b 等于零的时候，就已经能找到四条直线满足 s 一 加 s 二加 s 三等于三了。既然已经找到四条，那我们的 c 选项一定是对的呀，多余三条。接下来我们看 d 选项， d 选项就是算这个式子的一个最大值。怎么算啊？ 第一个简单的方法就是求导，求导也不难去算，大家可以自己算一下。而这个式子呢，其实有个更简单的方法，就是科西不等式。科西不等式呢，我们配凑一下啊， 四 t 我 就给它写作根号三分之四乘一个根号三 t， 为什么这样写啊？因为我们的科西不等式告诉我们， a 一 b 一 加上 a 二 b 二括号的平方，它是小于等于 a 一 的平方加上 a 二的平方，再乘以 b 一 的平方加上 b 二的平方的。这样配凑之后，你看一看我们整体给这个式子平方之后啊，它就应该小于等于 我们根号三分之四的平方，加上这个二的平方，再加上我们刚刚配凑出来的根号三 t 的 平方加上这个东西的平方，哎，这个式子相加之后， t 方消掉了， 消掉之后这边只剩下一个一，这边是三分之二十八，所以这个平方就小于等于三分之二十八。开根号最大值就是三分之二。根号二十一，能不能取等啊？验算一下是可以取等的，所以 d 选项是对的，因此这道题选择的是 b c d。 第十二题，求这个双曲线的离心率。要注意，我们双曲线一般的方程是， a 一 方分之 x 方减去 b 方分之 y 方等于一， 那么这边对应下来， a 一 方就应该等于五分之一， b 方应该等于六分之一，那么 c 方就等于 a 一 方加 b 方等于三十分之十一。 离心率， e 等于 a 一 分之 c， 算一下等于六分之。根号六十六。然后填空题。第十三题是一个非常容易错的题目， 这道题它设计的比较有意思啊，它最后写出来有两种情况，但是这两种情况解出来的函数值都是一，所以它设置成了填空题，它是这样的，这个函数是偶函数，那么我们最终化解的形式肯定是什么？什么 cosine 的 形式，那 cosine 的 形式我们就 c 塔就只能等于二分之派或者二分之三派， 因为在零到二派之间，当 theta 等于二分之派的时候， f x 化简等于二， cos 小 于 a x， 此时我们的函数啊，在零的右边一点点是递减的趋势，递减的话就和我们的递增是不符的了， 所以我们的 theta 只能等于二分之三派，二分之三派 f x 就 等于这个式子。这个式子它又说在零到二分之派上单调递增，因此我们这个顶点啊， a 一 分之派就应该怎么样？大于等于二分之派， 所以算出来 a 小 于等于二，同时 a 不 能等于零，因为 a 等于零的时候，它是一个长函数，长函数是不行的。那再根据我们对称性， cosine a x， 它是等于 cosine 负 ax 的， 所以我们的 a 还可以取负一、负二，一和二。 然后最终啊，我们发现， a 等于一的时候，你的 f 三分之二 pi 等于这个东西，它等于一， a 等于二的时候呢？ f 三分之二， pi 等于这个东西，它还等于一。所以两种情况答案都是一，最后写下来就是一。 接下来我们来看填空题最后一题，这道题是难度非常大的存在的数列 a n 使得对于任意的 n 均有 a 一 加 a 二，一直加到 a 三 n 等于 n 方加 n， 这个是什么意思啊？哎，这边就是 a 三 n 这个数列的前三项和， 所以 s 三 n 等于 n 方加 n。 注意，我们这边 n 方加 n， 如果我们再给他写一项 s 三 n 减三等于这个式子， 两式相减，这边的 n 方就可以消掉了，对吧？这个相信在平时大家写作业的时候遇到的还是比较多的，只是平时遇到的时候呢，这边不是三 n， 这边是 n， 它变成三 n， 你 也还要有这样的反应，两式相减，我们就得到 a 三减二，加上 a 三减一，再加上 a 三 n， 它是等于二 n 的。 注意， n 大 于等于二， 然后再验算一下， n 等于一的时候， n 等于一的时候，带入到这个式子里面， a 一 加 a， 二加 a 三，它就等于二等于二，也符合这个式子啊，所以这个式子对于任意的 n 都是成立的。 这就告诉我们一点，这个数列里面相邻三项的和构成一个等差数列， a 一 加 a， 二加 a， 三等于二， a 四加 a， 五加 a， 六等于四， a 七， a 八， a 九加起来等于六。好，现在我们要选它的连续九项，它要是一个等比数列，那又怎样一个情况呢？有没有可能我们这连续的九项之间啊？ a i， a i 加一， a i 加二， 然后矮加三，矮加四，矮加五，然后矮加六，矮加七，矮加八，彼此之间啊，正好是我们这边的一二三四五六七八九，或者说往后延伸，或者是什么四五六七八九十十一十二，有可能吧。那我们先写一下这种情况，这种情况就是 最开始三项，然后中间三项，还有最后三项正好构成了等差数变好，这个三项加起来是二人加四。 那此时又因为题目说了，这九项是等比数列，对不对？等比数列，那么我们这三项加起来和这三项加起来，以及这三项加起来，它们这个三个东西应该也构成一个等比数列，对不对？所以我们就应该得到二 n 乘以二， n 加四等于 二， n 加二的平方等比中项。那这个式子我们算一下，哎，算出来之后发现，哎，这个东西等于这个东西加四，那显然是无解的，无解就说明我们这种情况是不行的。那这种情况不行，我们还能怎么样呢？还有可能是我们的九个数错开了一位，怎么错开啊？比如这样， a 二， a 三， a 四， a 五， a 六， a 七， a 八， a 九，然后再来个 a 十，这九项构成一个等比数列，那此时就应该是我们的 a 四 a 五 a 六和 a 七 a 八 a 九构成等差的关系。好，我们写下第二种情况，第二种情况错开的一位就是这样的， 还是刚刚的这边二人，二人加二人加四，但是我们选的九个数啊，错开了一位，这个不选，我们选到了这，那这种情况下，我们该怎么去把这个 q 算出来呢？还是一样的，我们这三项的和比上，这三项的和应该等于 q 的 三方， q 的 三方呢，就应该等于二人加四，比上二人加二，所以 q 三方等于这个东西化解一下，等于一加上 n 加一分之一。哎，我们题目要求 q 的 最大值， 现在这个式子只和 n 有 关了，对不对？而我们的 n 大 于等于一，所以这个式子就小于等于二分之三， 小于等于二分之三，你就要考虑了，有没有可能我们题目的答案， q 三方的最大值就是二分之三， q 的 最大值就是二分之三，开三次根号呢？有可能吗？有可能啊，你要带进去验算一下。怎么去验算？ 注意，此时我们 q 等于这个式子，然后呢， a 一 加 a， 二加 a 三等于二， a 四加 a 五加 a 六等于四，我们就算一下啊，你看 a 四加 a 五加 a 六，它应该等于 a 四乘以一加 q， 加上一加 q 方， 这个东西你可以拿这边的 q 带进去算出来吧， a 四是可以算出来的， a 四算出来之后， a 五也可以算出来， a 六也可以算出来， a 七 a 八， a 九 a 十全可以算出来， 算出来之后你会验算，会发现这种情况是完全没问题的，既然它没问题，然后这个 q 又是我算出来最大值，那最终的答案就是这个东西 二分之三开三次根号下。接下来我们来看解答题。第一题立体几何，这道立体几何啊，比较简单，他说值三等柱中 a， c、 b 等于九十度，哎，看到这个九十度，其实很多人第一反应就是啊，太好解析了。但是让这道题解析的话就有些复杂了，不用去解析的 题目说 a、 c 等于 bc， 那 等腰是要三角形吗？ d 和 e 分 别是中点， d 在 这， e 在 这。第一题让你证明 d， e 平行于平面， bc， c， e， b。 哎，这个很简单，你只要把这边的 c、 e、 b 连起来，那中点中点中位线， d， e 就 平行于这个， 那这个又在面上，所以 d， e 平行于面这个东西。第二题说设 c， c， e 等于二，那这边的侧能就都是二，侧能都是二。之后他说 d、 e 和我们这个面的夹角是四十五度，四十五度，然后这个又是一个垂线，所以我们直接过地点做 d h 垂直于 a、 c， 然后呢，把这个 e 和 s 连起来，你会发现彼此之间都是垂直的，既然都是垂直的，那我们这个角就是四十五度，所以这个三角形就是等腰直角三角形没问题吧？ 然后题目又问你，直线 d、 e 到我们这个平面的距离，第一条文证明的平行，那就是 e 点到这个平面的距离， e 点到这个平面的距离做一个垂直， 这个长度不就等于 a、 c 的 一半吗？ a， c 又等于我们的 bc， bc 又等于两倍的 dh， dh 又等于 e h， e h 呢？又等于二分之一的 c c 一 c c 一 是等于二的，所以它等于一，它等于一， bc 就 等于二， bc 等于二， ac 就 等于二， ac 等于二，这个距离就等于一。那这道题就写出来了，接下来我们来看看第十六题。解三角形。解三角形，你看啊， ab 等于三， bc 等于二，根号三， cosine b 等于三分之，根号三。哎，根据 cosine b， 然后又知道两边我们可以把它的另外一边求出来， cosine b 等于，这个式子我们代入 a， b， bc， 还有 cosine b， 可以 算出 ac 等于三， ac 等于三。三个边都出来了，那 cosine a 直接代入就等于三分之一。再看第二小问，第二小问，他说 d 点在 b a 延长线上，然后满足一系列条件，求 c、 e 的 长度。我们来看一下， 是这样的， abc， 我 们刚刚第一小问解出来，这个边是三，这个边是三，这个边是二，根号三， d 点呢？在 b a 的 延长线上或 d 点，他说做 d e 平行于 bc， 并且 a e 是 垂直于 ac 的， 然后让你求 c e 的 长度，这怎么去写啊？首先根据这个垂直你就知道了，这个角和这个角是互余的，互余的话，那就说明他们的 side 值应该等于这个 cosine 值， 所以这个三点值有了，算一下，他应该等于三分之一。接下来啊，又因为我们两直线平行，同旁内角互补，所以三点这个角就等于三点 b， 三点 b 呢，又等于根号下一减三分之，根号三的平方。因为 cos 三点 b 我 们早就算过了，所以这个三点角也有了， 三点有了，三点有了，这个对边根号六有了，所以我们可以把 a e 长度算出来，根据正弦定底算出来等于六， a e 有 了，哎，这个又是垂直的，这个又是三， 所以勾股定律 c e 就是 根号下三方加六方等于三，根号五，非常常规的一个解三角形题目。第十七题是一个比较简单的概率题。第一题让你求这个分布列，你看一看题目，他说进行投篮练习，当前仅当投中一次或者都没有投中的时候停止练习，那 x 等于一的时候，就是一次投中三分之一。概率 x 等于二的时候呢，就是第一次没中，第二次投中就这个东西， x 等于三呢，就是前两次没中，第三次投中是这个东西， x 等于四呢，你可以直接拿一减去，前面三个概率就二十七分之八，所以分布列是这个东西。第二题让你求这个 p， x 大 于 k， 哎， p x 大 于 k 实际上就代表着你前 k 次都没有命中，后面怎么样就不用去管了，所以直接就等于一减 p 的 k 次方，对不对？ 然后第二题让你去求这样一个条件概率，他说等于这个东西，这其实是我们概率里面的一个无记忆性，怎么去写啊？根据我们条件概率的公式，它就等于这个式子， x 大 于 k 加 m， 且 x 大 于 k， 那 不就是 x 大 于 k 加 m 吗？ x 大 于 k 加 m， 根据我们刚刚第一小问的公式，它就等于这个东西，比上这个东西 算下来是一减 p 的 m 四方，那不就是我们的 p x 大 于 m 吗？所以这道题不难，但是看到这边一堆又是 k 又是 m 这些变量啊，很多人在考场上可能有点怕这道题啊，被吓到了。接下来我们看一小问，四分之 x 方加三分之 y 方等于一。第二小问说， 设 o 点为坐标，原点过 f 且斜率大于零的动直线， a o 交我们的椭圆于两个点， p q q 点呢？在第三项线连接 po 交椭圆，另外一个点于 r 点。 第一问说 p q r 的 面积是 p f o 面积的三倍，求 l 的 方程。哎，这道题呢，我们发现 p o 等于二分之一的 p r， 然后这个角又是一个公共角，所以我们求这两个三角形的面积的时候啊，我们可以用这个公式， p q r 等于二分之一， p f 乘以 p o 乘以三点 p 啊，就这个乘以这个乘以三点 p 三倍的关系，也就是它比它等于三，而它比它的话，二分之一和二分之一消掉了，然后 pr 和 po 这个消掉之后，还剩一个二，算 p 消掉了，也就是二 p q 比 p f 等于三。 好二 p q 比 p f 等于三，也就是 p q 等于二分之三的 p f。 所以 我们只需要在这个弦上做文章就行了。接下来我们就设这条直线啊，是 x 等于 m， y 减一，和我们的椭圆连立起来，得到这个式子。维达定律呢，算出 y 一 加 y 二和 y 一 乘以 y 二。 现在 p q 比上 p f 应该等于什么呀？它就应该等于这个长度纵坐标相减，再比上这个长度 纵坐标减去零，所以应该是 y 一 减二，比上 y 一 等于二分之三，算一下，应该是一减 y 一 分之 y 二等于二分之三，也就是 y 一 分之 y 二等于负二分之一。哎，那现在 这个有了，然后 y 一 加 y 二有了， y 一 乘以 y 二有了，我们是不是就可以把 m 算出来的呀？怎么去算？哎，那这个地方你可以，你可以简单去算，就是 y 二等于负二分之一的 y 一， 然后直接带入到这两个式子里面去消圆，消圆之后就可以把这个 m 算出来了。当然你还可以更聪明一点， y 二分之 y 加上 y 一 分之 y 二，构造这样一个对称的式子，加起来就等于这个东西，这个东西呢，你可以把这边维拉定，你全都带入进去，那带入进去之后，就变成一个关于 m 的 方程， 它等于负二分之一减去二，就这个东西吗？算一下就可以把 m 等于五分之二，根号五算出来了，因此我们的直线方程是五分之二，根号五， y 减一等于 x。 再看第三小问，让你求 tanning 的 的最小值，就这个角的 tanning 的 的最小值。哎， 这个模型啊，不知道大家熟不熟悉，一个点差法的经典结论过，这个椭圆的圆心，我们做一条弦，然后呢椭圆上任意点 q 点连接他们两个，这个斜对 k 一， 这个斜对 k 二，那么 k 一 乘以 k 二就等于负四分之三， 这个结论相信大家都应该要知道。那有了这个结论，那这道题就非常的简单了，这个角可以看作是这条直线顺时针旋转了 c 塔角得到的这条直线，那彼此之间我们就可以用一个倒角公式。倒角公式是什么呀？现在有两条直线， 这个呢是 k 二，然后这个角是 c 塔二，这个是 k 一， 这个倾斜角是 c 塔一，那么中间的夹角， 天津的 c 塔一减去 c 塔二，也叫做倒角，它就应该等于 k 一 减 k 二比上一加上 k 一 乘以 k 二，其实很简单，就是利用我们两角差的正切公式就可以证明出来。 所以倒角公式我们天津的 c 塔直接可以用 k 一 k 二表示，而这边 k 一 和 k 二是有关系的，所以我们可以削圆削成四， k 一 加上 k 一 分之三，再看一看能不能取等 取等的时候呢？应该是这个东西完全是可以取等的，那最终答案就是四根号三。所以这道题啊，方法虽然非常的多，但是倒角公式用起来是非常简单的。最后这个第十九题啊，我单独的发过一个视频来讲，这个题目啊，相当的有难度，但是虽然难啊，他的第一小问和第二小问 也都是可以写出来的，就是中等水平的同学都是可以去拿分的。然后第三题的第一小问就是能力强一点的同学，也是有机会写出来的。但是这个第二小问的话，我觉得就是想都不用去想了，这个题目太复杂了。首先我们来读一下题干，题干说定义在实数域上的函数 f x 满足， 当 x 小 于零的时候， f x 等于二的 x 次方。他又说啊，集合 d x 零等于这样一个东西， 这个集合的元素是小 d， 小 d 是 属于我们的实数集的。然后要满足 f x 零加 d 要大于 f x 零。现在看这个东西啊，我们还不知道它到底是个啥，哎！我们带入到题目里面去看一看 第一小问，若当 x 大 于等于零， f x 等于一减 x 的 时候，让你求 d 负一，我们第一小题， x 小 于零的时候，它是二的 x 次方， x 大 于等于零的时候，是一减 x， 所以 我们的函数啊，是这个东西， 而 d 负一呢，我们把它带入到这个集合的公式里面啊，它就应该等于这个东西。哎， f 负一是一个确定的值呀，我们带入到这个函数里面， f 负一就等于二的负一次方，所以这个集合就是我们要去解这样一个方程， 这个方程解出来 d 的 范围就是这个集合的范围。那现在我们就要去看 d 减一，它究竟是在小于零的部分呢，还是在大于等于零的部分呢？所以要分类讨论， 简单分类讨论一下，当 d 减一小于零的时候， f d 减一就应该代入到二的 x 次方里面，也就是这个式子成立，那我们算出来 d 应该是大于零的，所以这种情况下， d 大 于零小于负一。 第二种情况，当我们的 d 减一在大于等于零这个范围上时，我们的 f d 减一就应该带入到一减 x 里面，所以是这个东西解出来，应该是 d 大 于等于一小于二分之三。所以综合两个情况，我们最终的答案， d 负一就应该等于零到二分之三。 第二小题说，若 f x 是 奇函数，注意了，奇函数小于零的时候，这个函数值又告诉你是二的 x 次方，那大于零的时候呢，就应该是，哎，这边算一下，应该是负的二的负 x 次方，这个是没问题的，但是你还要注意， x 等于零这个点我们还没有去算呢，那 g 函数它又是定义在这个实数域上的一个函数，那 x 等于零的时候，函数值应该是零，所以第二小问还是一样的，我们的函数是可以完整的具体的写出来的。 接下来他说 x 一 x 二乘起来不等于零，也就是说明 x 一 不等于零，并且 x 二也不等于零。 然后说 f x 一 小于等于 f x 二，让你证明集合 d x 一 包含了 d x 二。 根据这个条件啊，你就要去思考了，什么情况下 f x 一 小于等于 f x 二呢？我们这道题啊，先把函数图像画出来，应该是长这个样子的，这边是空心点，零呢，是实心点，然后负一又是一个空心点，然后这样的对称起来， 那 f x 一 小于等于 f x 二，就应该有三种情况。第一种情况， x 一 和 x 二，它都在我们的负半轴上，那此时就应该是 x 一， 在这，它小于等于我们的 x 二，然后小于零，这是第一种情况。第二种情况呢，是在这 在 x 的 正半轴上，那此时我们的 x 一 应该是小于等于 x 二，并且它们俩都要大于零。那还有一种情况就是我们的 f x 二这个东西啊，它就在我们函数的左边， f x 一 呢，在我们函数的右边，所以一正一负。第三种情况就应该是 x 二在这，然后呢， x 二小于零，零又小于 x 一， 这是第三种情况，所以我们分三种情况去讨论就行了。那第一种情况是这样的， x 一 小于等于 x 二小于零，此时我们就要去计算 d x 一 等于多少， d x 二等于多少，看看他们有没有这个包含的关系。 d x 一 等于什么呀？根据我们的定义，它应该是有关小 d 的 集合，小 d 满足 f x 一 加 d 大 于 f x 一。 哎，注意了， f x 一， 我们画一个图啊， x 一 现在在这， 那 f x 一 就是这个函数值，对吧？在这个点，这个函数值，那什么情况下，我们的 f 另一个函数值要大于这个 f x 一 呢？看一下图，一下子就看出来了，我们的 f x 一 加 d 应该在这个范围上啊， 只有在这个范围上，它的函数值才会大于 f x 一， 没问题吧？因此我们就能解出这个不等式。怎么解？应该是我们刚刚说的这个自变量， x 一 加 d 要在这个范围上，也就是 x 一 加 d 大 于 x 一， 小于零。哎，在这个地方 解一下，应该是 d 大 于零，小于负 x 一。 注意，因为我们这边 x 一 是负数，所以这边是一个负 x 一 是一个正数，那我们 d x 一 就解出来了呀，零到负 x 一， 那同样的，我们 x 二在这，那 d x 二应该就满足 f x 二加 d 要大于 f x 二，那还是一样的， x 二加 d 要大于 x 二，且小于零，解出来 d x 二是这个范围。哎，很容易发现， x 一 小于等于 x 二，那么负 x 一 就应该大于等于负 x 二， 所以我们就有 dx 二是包含于 dx 一 的，这就是第一种情况，那我们再看第二种情况，第二种情况是我们的 x 一 x 二都大于零，并且 x 一 小于 x 二。在这个图上， 我们再来算一下，此时 dx 一 啊，要满足 f x 一 加 d 大 于 f x 一， 我们来看，什么情况下，这个函数值要大于 f x 一 呢？此时 x 一 在这， f x 一 在这，那我们的这个函数值就应该在 这个地方，对不对？还有呢，零这一点也行啊，零这一点也比我们的 f x 一 大，还有呢，左边这边都行，所以有三个部分要给它并起来， 那这三个部分分别是我们的 x 一 加 d 大 于 x 一， 哎，这个部分。第二个部分呢，是 x 一 加 d 等于零这个点。第三个部分呢，是 x 一 加 d 小 于零。解一下应该得到 d x 一 等于零到正无穷并上负无穷到负 x 一。 注意这边是一个 b 区间，同理我们就能得到 d x 二应该是零到正无穷并上负无穷到负 x 二，哎，也是一个 b 区间，哎，同样的， 这个和这个完全一样，然后这个和这个也有一个包含的关系，所以 d x 二还是包含于 d x 一 的，这是第二种情况，那第三种情况就是一个在左边，一个在右边， 此时，哎，我们这个 x 二在这的时候，我们 d x 二根据这个第一种情况直接算出来，就这个东西啊，所以 d x 二直接就等于零到负 x 二。 那 x 一 现在在大于零的部分，根据我们的情况，二，它就是这个东西啊，所以我们的 d x 一 就等于这个东西，哎，很容易发现，零到负 x 二这个小的正区间，它肯定是包含于我们的零到正无穷的呀， 所以 dx 二一定是包含于 dx 一 的。综合这三种情况，我们就能证明出来，不管什么条件下，我们都有 dx 二包含于 dx 一， 所以第二题就证明出来了。 接下来我们来看第三小问，第三小问说，若 f x 满足，当 f x 小 于等于 f x 二的时候， dx 二包含于 dx 一， 哎，这个式子是不是和我们第二小问要证明的这个东西啊，非常非常的像啊，所以第三小问啊，有可能需要从第二小问给我们一些启发。哎，我们先继续看一看， 刚刚这个是条件一，我们再看条件二，条件二说，当 x 大 于零小于一的时候， f x 小 于等于 f 零，让你去证明 f 零大于等于一，哎，我们分析一下啊，让你去证明一个确定的点大于等于一，肯定要用到这边的条件一和条件二，对吧？ 但是条件一和条件二它都像一个性质一样，你其实并不好直接去利用它。然后题目呢，又只有 x 小 于零的时候， f x 等于二的 x 次方，这都是不太好去使用的条件。那这道题啊，就可以去考虑反证法，因为反证法能够给我们创造一些条件， 而这道题去反证之后呢，创造出的条件是非常好用的。你看啊，要你证明 f 零大于等于一，那我们就假设 f 零并不是大于等于一的，那 f 零就应该是小于一的。 f 零小于一，我们就得到一个具体的点的， 哎，一个具体的点 f 零是小于一的，而具体的点有了之后，我们就可以利用这边的条件一，你只要找到哎，这边 f 零放在这，你找到另一个点 f 什么什么 x 零，他比 f 零要大，那不就能利用这边的条件一了吗？ 然后我们的 f x 零，哎，你假设他又在我们的零到一之间，那不就能又利用这个条件二了吗？所以这道题啊，要考虑反正法。我们来看一下， 我们就假设 f 零是小于一的，哎，你看啊， f 零小于一，那他就应该在这个下面，有 可能在零到一之间，有可能在零这一点，有可能在零的下面，但是不论他在哪，我们都能在 x 小 于零的这个函数图像上找到一点 x 零小于零，使得 f x 零大于等于 f 零，这个能听懂吗？你看一看啊， 当我们的 f 零呢，他在这个区间上的时候， f 零在这，我们对应到这个函数图像上。哎，这一点假设是 x 一， 那我们把 x 一 向右取一点点，取到这个 x 零，那 f x 零不就大于等于 f 零了吗？那如果 f 零在这个点呢？那更显然了，我们这个函数图像上的所有点函数值都应该大于等于 f 零， 那 f 零如果在这个下面呢？还是一样的，我们总能找到这样的 x 零。好，那既然我们找到一个 f x 零大于等于 f 零了，那不就能用这边的条件一了吗？根据条件一，就应该有 dx 零是包含于 d 零的。 哎， d x 零包含于 d 零，我们能找到一些矛盾吗？那这个条件怎么利用呢？这个集合包含于 d 零这个集合，那所有属于这个集合的元素都应该属于这个集合， 那如果我们找到一个元素，它属于这个集合，但是并不属于这个集合，那不就找出矛盾了吗？能听懂吗？ 那我们就尝试往这个方向去证明，那怎么去证明呢？怎么去找这样一个元素呢？你看啊，我们找一个元素负二分之 x 零，为什么找负二分之 x 零啊？根据定义，我们这个集合啊，它应该要满足 f x 零加 d 要大于 f x 零，而此时我们的 d 取的是负二分之 x 零，带入进去之后，就应该是负二分之 x 零，因为 x 零减去二分之 x 零，等于二分之 x 零。 f 二分之 x 零，哎，其中这个二分之 x 零，它还是一个负的呀，在这，所以它的函数值还是大于我们的 f x 零的 x 零在这，二 x 零在这，这就说明我们负二分之 x 零这个元素是属于 dx 零这个集合的，那我们再看看这个元素属不属于这个集合呀？ 代入 f 零加 d， 哎， d 零这个集合要满足 f 零加 d 要大于 f 零，那 f 零加 d 此时就应该等于 f 负二分之 x 零，哎， f 负二分之 x 零。注意啊，这边我们的 x 零是自己去取 的，是我们自己取的，我们自己取的话，能不能赋予它一些范围啊？完全是可以的吧。我们能不能令这边的负二分之 x 零在零到一的范围上， 因为在零到一的范围上，就这个大概是这个部分。这个部分啊，它的 f x 零可以无限趋近于一，那也就一定能找到这样的 x 零，使得 f x 零大于等于 f 零，因为 f 零它是小于一的，而我们的 f x 零呢，无限取到这个一，所以一定能找到这样 x 零。 因此我们就限定啊，负二分之 x 零的范围是零到一，那此时根据我们的条件，二自变量在零到一上的时候，函数值要小于等于 f 零，哎，它就小于等于 f 零了，哎，这个东西小于等于 f 零，不就说明我们的 d 不是 我们大地零里面的 元素嘛。所以我们就找到了这样一个元素 d， 使得这个元素属于 d x 零，但是它并不属于我们的 d 零，那这就有矛盾了呀，所以矛盾产生了，我们的假设就不成立，因此 f 零是大于的一的。 这就是我们的第三小题的第一小问，哎，这个题目我觉得出的还是比较好的，那接下来我们来看第二小问啊，这个第二小问就太难了。 第二小题让你证明 f x 在 区间零到正无穷上单调递增，我们现在思考这个单调递增怎么去证明？ 哎，这道题可能很多人还会想用反证法，他会想，假设他并不单调递增，那就能找到两个点， x 一 小于 x 二，但是满足 f x 大 于等于 f x 二，然后去找矛盾，这样我估计也是能写的，但是你就没有好好的去用到这个集合。这个条件 你仔细看啊，单调递增是不是满足 f x 二大于 f x 一， 哎，对于任意的 x 二大于 x 一， 哎，函数值大于函数值，这和我们的这个集合 d 满足的条件非常非常的像啊， 是不是？所以你再仔细思考一下呀，这个东西怎么和我们的单调递增结合起来呢？只要对于我们任意的 d 大 于零，且 x 零大于零，如果都有这个设置是成立的话，那么就说明 f x 单调递增。 为什么呀？因为我们 x 零大于零就说明任何一个这个函数上大于零的点，然后呢，再给他加上一个大于零的一点点的值，他就会比原来的 f x 零要大，那这不就是单调递增的吗？所以我们就考虑去证明，对于任意的 x 零大于零， 任何 d 大 于零都在这个集合里面，也就是证明 x 零大于零的时候，零到正无穷是包含于这个集合的， 这个东西还是要好好的去思考一下的。好，接下来我们就去思考了，那我们肯定要得到 dx 零这个东西啊，要得到 dx 零这个东西，肯定就要用这边的第一个条件，要用这边第一个条件肯定就要去找这样的 x 一 和 x 二。 但是这道题有个最大的问题啊，就是零到正无穷这个范围啊，这个函数长什么样，你是完全不知道的。 这个时候我们就要想到我们刚刚写的第二小问了，因为第二小问我之前说了他的条件和解冻啊，就是这个东西。 然后第二小问还给了你一个确定的函数图像，记得吧，这个确定的函数图像，他的 x 大 于零的部分呢，是在这边 x 轴下方的，所以我们就去猜想啊，有没有可能 我们这道题有了这个条件之后， f x 在 大于零的时候呢，它的函数值也是小于等于零的，这是我们的一个猜想， 其实这个猜想还是不难去猜出来的，你要去思考为什么命题人要去设置这个第二小问，而且第二小问的结论和这个第三小问的条件一模一样，对不对？ 你想想我们刚刚证明这个第二小文的时候，严格分了这三种情况，对不对？然后这三种情况啊，都恰好有 dx 二包含于 dx 一， 是不是？而这三种情况之所以它都成立，就是因为 这个部分都是大于零的，这个部分都是小于零的。你把我们右边这个东西的图像啊，你稍微变一下，你把它变成，哎，这样这样这样，然后它有一部分是大于零的，那我告诉你， 你写下去就会有矛盾了，你还是按照第二小问这一套分析方法去分析，你就会分析出一些矛盾。所以啊，第三小问我们就要去猜想， f x 是 一直小于等于零的，在 x 大 于零的时候，那有了这个猜想之后呢，我们就先去证明这个猜想来看看啊。 要证明 x 大 于零的时候 f x， 那 怎么去证明呢？还是用一个反证法，假设存在一点 x 零大于零，使得 f x 零大于零，我们去找矛盾。 怎么找矛盾呢？这边肯定要用到性质一和性质二啊，看看怎么用吧，还是先用这个性质一，性质一还是比较好用的。 f x 零大于零，哎，那一定就说明我们存在一点 t 小 于零，哎，假设 t 无限接近于这边的 f t 无限接近于这个零，那一定能找到这样的 f t， 使得 f t 小 于等于 f x 零，对不对？哎，因为 x 零这边是一个正值，你把它对应过去，一定在这边的指数函数上是有一点和它对应的， 这样我们找到了这样一点 t， f t 小 于等于 f 零，那根据我们的条件一就能得到 d x 零是包含于 dt 的， 对于我们这个 dt 啊， dt 在 这，哎， t 点在这个地方，我们的 ft 加 d， t 加 d， 给它取到这个地方，那这个地方的函数值都会比 ft 的 函数值要大，所以当 d 属于零到负 t 的 时候， f t 加 d 是 大于 f t 的， 这就说明我们的零到负 t 是 包含于 dt 的， 这没问题吧？哎，就是这边的 d 都属于我们的集合 dt， 当然我们的 dt， 哎，可能还有其他的这个 f t 加 d 要大于 f t， 但是只有可能在这个右边了，因为右边的函数图像我们还不知道， 所以其他的区间啊，肯定都会比这个零到负 t 这个区间要大，大的话，只有可能在这个区间的右边，所以其他的区间啊，也都在这边的零到正无穷上， 这就说明什么呀？这就说明我们的 dt 一定是包含于零到正无穷这个大的范围的。好问题来了， dt 包含于零到正无穷，所以 d x 零也包含于零到正无穷，这是包含关系的传递性。 既然 dx 零包含于零闹正无穷，也就说明我们的任意一个负数小 d， 它都不在这个集合里面，对不对？既然它都不在这个集合里面，那就说明我们 d 只要小于零，那么 f x 零加上这个负数 d 就 应该怎么样？ 它不再是大于 f x 零了，不是了，不是，这个条件应该是小于等于 f x 零没问题吧？那我们就取一个负数，取哪个负数呢？我们可以取负 x 零， 因为取负 x 零之后，我们的 f x 零加上负 x 零，它就等于 f 零了。 f 零是我们第一小问研究过的呀， f 零它怎么样大于等于一？ 好， f 零。根据刚刚我说的，哎，这是一个负数，这个负数它不在我们这个集合里面，所以 f 零要小于等于 f x 零。既然 f 零小于等于 f x 零，又因为第一小问 f 零是大于等于一的，这就说明什么呀？这就说明我们的 f x 零是大于等于一的。 好， f x 零大于等于一，这又说明什么呀？你看条件二说了， 零到一的范围上的时候，我们的 f x 是 小于等于 f 零的，而刚刚条件二说什么呀？他说零到一上的时候， f x 是 小于等于 f 零的，但是我们现在 f x 是 大于等于 f 零的，这就说明我们的 x 零应该在哪？ 应该在一的右侧，是不是 x 零要大于等于一？因为大于零小于一的时候，它 f x 是 小于 f 零的，但是现在我们是大于等于的关系，这还说明什么呀？ 你看啊， x 零大于等于一，这还说明了什么呀？哎，这个有点绕啊。你看，我们假设存在 x 零大于零，使得 f x 零大于零，然后我们证明说 x 零是大于等于一的，这就说明零到一上的点都不可能满足 f x 大 于零，是不是？ 那这不就说明我们在零到一上的点都有 f x 小 于等于零吗？对吧？好，接下来我们继续去看。现在证明到一个非常强的条件啊， f x 零大于等于一，并且 x 零是大于等于一的。接下来我们还要继续去找矛盾，因为我们 是要去证明这件事情，哎，我们要找这样一个东西的矛盾，接下来还是找这个 x 零，这个点我们在左边再取 t 一 小于 t 二小于零，取这样两个点。 哎，根据我们现在函数性质， f x 零是大于等于一的，那肯定比这边的 f t 二和 f t 一 要大，所以 f t 一 小于 f x 零。哎，根据我们的条件，依旧有 dt 包含了 dt 二包含了 d x 零 还是一样的，我们一定要从这个地方去找矛盾。怎么去找呢？你肯定要利用这边的一个定义，说实话，这个地方可能就比较困难了，这个地方的证明方法还是比较多的，因为我们的 t 一 和 t 二都是自己取的，它的取值范围有很大的调整空间， 这边我就取这个 d t 二这个即可。你看 f t 二，我加上这个值， x 零减 t 二， 加上这个值之后呢？它等于 f x 零，对不对？ f x 零我们是非常明确的，它怎么样啊？它大于等于一，而且它有很多很多的性质，还大于等于 f 零， 因为这边的 t 二是我们任意去取的，我们完全可以去调整这边的 x 零减 t 二，使得这个 x 零减 t 二在这个集合里面。那我们根据定义这个东西算下来，等于 f x 零，它就应该大于 f t 二，这是定义对不对？ 根据这个定义，我们就能说明 x 零减 t 二是属于 d t 二的。既然 x 零减 t 二属于 d t 二， d t 二又包含于 d t 一， 所以 x 零减 t 二又包含于 d t 一， 那我们再把这个值带入到 d t 一 的定义里面，就能得到这个东西。 这个东西是大于 f t 一 的，而 f t 一 怎么样？ f t 一 一定大于零。哎，因为 f t 一 在这个地方 f t 一 大于零，也就说明我们这个东西是大于零的，哎，这个东西大于零，这边我给大家写作减去括号这个东西，因为 t 二减 t 一 是一个正数，没问题吧？ 好仔细看啊，我们 t 一 t 二是可以随便去取的，负无穷到零的值，它都可以随便取，所以我一定能取到 t 一 和 t 二，使得这个值落在零到一之间，对不对？零到一之间，问题就来了，一个函数值自变量在零到一之间，它要大于零， 但是我们刚刚又证明了一件事情，在零到一上的时候，我们的这个函数值应该是小于等于零的呀， 还记得刚刚说的这个事情吗？那这不就矛盾了吗？我们找出一点零到一之间的一点，使得它函数值大于零，但是我们又证明出来，零到一上的所有点，它函数值都不可能大于零。矛盾了呀，矛盾就说明什么，就说明我们的 假设不成立，假设不成立，也就说明了 x 大 于零的时候， f x 小 于等于零。哎，这就和我们的第二小问完美的结合了起来，难就难在这边的一些取点，还有如何去利用 这边的条件一和条件二。条件一还是很好去利用的，因为你随便去取几个点，你在左之上取一些点，然后右右边这个 x 零，你能证明出来他是大于一的，那很容易去利用这个条件。他是第二个条件啊，就比较难去利用的。 但是第二个条件利用的时候，你一定要去思考怎么样把我们取到的那些函数值里面的自变量落到零到一上呢？ 哎，我没有想到左边这两个点啊，我们是随便去取的，随便取那就有很大的操作空间，你去调整他们的值，让他们最终这个东西落在零到一之间就行了。哎，当然最大的难点还是这个条件实在是太难用了，非常的抽象，对吧？太抽象了。 好，现在我们证明出来 x 大 于零的时候， f x 一定是小于等于零的，那这件事情就很好说明了。来看啊， x 大 于零的时候， f x 小 于等于零还是一样的，我们取 x 零大于零的时候，我们再取一点 t 小 于零，与它随之对应，此时我们 x 零对应的函数值应该是一个小于等于零的数。哎，应该在这个地方， 那此时 ft 就 应该大于零，就应该大于 f x 零，对不对？因为 ft 是 一个正数啊，在这 f x 零呢，是一个非正数啊。在这好，根据这个条件，我们再利用刚刚的性质，一这个性质就能得到 dt， 包含于 dx 零 得到这个东西之后，你看啊，就应该有什么呀，我们来看 dt 啊，对于 dt 的 话，它里面的这个小 d 要满足 f t 加小 d 大 于 f t。 嗯，画一下图像啊，什么时候大于这个 f t 呢？现在我们知道 x 大 于零的时候，函数一定是一个非正数，那这不就说明 现在 ft 在 这，那只有可能 ft 加 d。 在 这个地方呀，所以可以解出来了， t 加 d 大 于 t 小 于零，所以 d 大 于零，小于负 t。 哎， d 大 于零，小于负 t， 而这边的 t 又是我们随便自己去取的一个东西啊，我们可以任意去取这个 t 啊，因为不管你的 t 取多少，只要它是一个负数，总有 ft 是 一个正数。 大于 f x 零，既然我们的 t 可以 取任意的负数，那这不就说明我们的 d 可以 取任意的正数吗？哎，我只要取一个 t 等于负无穷，那这不就是一个正无穷吗？ 正无穷不就说明我们找到这个 t， 那 正无穷不就说明我们的 d 可以 是任意的正数吗？既然 d 可以 是任意的正数，也就说明我们的零到正无穷，所有的正数都包含于这边的 d x 零吗？既然零到正无穷都包含于这个 d x 零，也就说明对于一个任意的正数 x 零， 我们随便给他加任意的一个正数，总有 f x 零加 d 大 于 f x 零，所以他一定是一个单调递增的函数。那这道题就证明出来了，说实话，这个题目真的太抽象太难了，这两个条件都不好去利用啊。第一个条件你要去找点， 你还不知道找哪些点，然后这个集合包含于的条件，我相信大家平时见的一定是非常非常少的。 这道题最大的难点就是这个条件和这个东西挂钩起来，然后你要去根据 x 零加 d 去取点，取到的点你还要给他落在零到一这个范围上，落到零到一这个范围上，你还要用反证法根据这个东西去推导矛盾， 我我觉得太难了，环环相扣太难了。好，今天就给大家讲到这里，希望大家能够学到东西，感谢大家的收看。
8684敝槛玄鹤
08:43查看AI文稿AI文稿今天我们录个视频来说一下，就是对于今年的新高考一卷数学，大家考多少分是合理的啊？先直接说结论，如果你不是重点高中好的班级的话，其实绝大多数同学的分数我认为今年会落在五十六分到九十二分之间。首先第一个分水岭，五十六分， 五十六分是整张试卷里面的简单题，分别是单选的前五题， 得个二十五分是不难的。然后多选的第一题，我直接拿试卷来看吧。首先是单选的前五道题，这些题呢就思路非常的直接，然后也没有任何的计算难度是试卷里面的简单题，这五道题拿二十五分，大家客观评价，如果你高中好好学的话，这五道题绝对不难，对吧？ 就算你稍微基础比较差，有的同学说啊，这五道题我不能够做全对，那我说你基础比较差，假如说第二道题，有的同学不确定好，我假设你只会做四道 b、 c、 d、 d， 这里面 a 选项是不是没有出现？如果后面四道题你全蒙 a 的 话，那整个单选也是对六道题的三十分好。有的同学再说我基础再差，第六道第五道题我也做不出来， 那我假如说你就做出三道题， b、 c、 d， 中位数集合，还有个牵线方程，这三道题都不会做，那，那没办法了， 这里面 a 选项是不是没有出现？后面五道题你全部 a 的 话，仍然是对五个单选，所以五个单选是最基本的一个要求啊，这样单选的话，最低的话就是二十五分，低于二十五分的话，你真的高中阶段没有好好学数学啊， 反思一下自己好多选第一道题复错很简单， a、 c、 d 这个得出来不难，对吧？然后按照我考前教的那个多选的蒙题方法，新高考一卷多选的蒙题方法，第一道题 a、 c、 d、 b 选项是不是没有出现？所以后面两道题我们全蒙 b 的 话， 这样第十题对三分，嗯，然后第十一题对两分，整个多选的话就是六加五十一分， 至此整个选择填空我们就是对了，二十五加十一，整个选择我们对了二十五加十一，三十六分，对吧？然后填空 第一题，这个双曲线的离心率，这个是简单的，你先把它给转化为标准形式，转化为标准形式以后， a 方和 b 方我们就知道了，然后知道 a 方和 b 方去求离心率的话，实际上套用这个公式会比较简单一点，对吧？直接套公式解决就行了。 好，这就是填空的第一题，也是一道简单题，这样三十六加五，整个选择填空四十一分是简单题，这个是大家必须要掌握。然后大题的话， 大题的话解立体几何的第一问，解三角形的第一问，以及圆锥曲线的第一问。这三道大题的第一问是非常简单的，你不能够十分。 这三道第一问都考察最基础的概念和最基本的一个公式。这三道大题的第一问必须要拿到。这三道大题第一问各自算五分吧，加起来就是十五分， 然后加到一块多少分？五十六分，所以整个的五十六分是整张试卷里面非常简单的题，如果说你低于五十六分太多的话，你高中说明你真的没有好好学啊，因为这五十六分是简单题啊，他不是说中等题，然后 无论是在我自己的，就无论是我对我自己的学员，还是我的朋友圈，包括考前最后一个月，我发了很多条视频，你们可以自己去翻一下，我已经强调了太多遍了， 就是选填让你们掌握哪些，大题让你们掌握哪些，而且我们说实话，这基本上跟我们讲的重点是差不多的，你包括大题让你们优先掌握剪三角形的第一问，立体几何的第一问，圆锥曲线的第一问，然后我说了，这第一问是整个大题里面最好拿分的，跟今年的考题完全一样，对吧？ 所以这些简单题如果你做错的话，那真的没什么好抱怨的啊。这五十六分是第一个分水岭，非常好拿分的，然后第二个分水岭就是九十二分啊， 这个九十二分呢，他是这样的，就是九十二分是什么层次呢？就如果你高中阶段 好好学的正常，好好学习的基础比较扎实的话，你能把整张试卷该拿的分都拿到，不丢分的话，这个分数就是九十二分附近。来看一下，首先就是单选 要拿六题左右啊，最低要拿六题左右三十分，这里面第六题和第七题你要能够做出来一题啊， 然后多选的话一样按照刚才的蒙题方法，十一分，填空的话你要能够做出来前两题十分，这样整个选填就是五十一分， 你既然对吧该是填空的第二道题的话，其实我在考前的划重点的视频里面我是强调过的， 就三角函数的第二节课，它是有六个题型的， 他专门考的就是我们的题型六三角函数的一个基友信啊，这个我认为只要你的高三数学老师是讲课经验比较丰富的，这样题型类都应该给你们基友信，大家都会讲的啊。 所以那你接触扎实的话，第二题的话，填空的第二题也不是多难，都是正常的一个中等题，你包括单选的第六道题以及单选的第七题。单选的第七题的难度不是特别大，主要是思维，如果你能想得通的话还好， 所以整个的单选加多选加填空，如果你真的能够不丢分的话，就是五十一分。然后大题的话，因为我们知道今年试卷的话，他前两道大题是比较简单的啊，比往年难度是要低的， 所以前两道大题如果你真的该不丢分的话，就是十三分加十五分，这两道大题是要拿满分的。然后 概率第三道大题的第一问你可以拿分，对吧？第一问的这个五分是可以拿的，第二问和第三问，那有的同学说啊，考场上我确实没想到，那可以可以理解，因为我们说实话， 考场上就在考场上那个环境下，你可能大家现在看答案可能感觉还好，但是如果在考场上那个环境下，那个概率的第二问确实是有点想不到的。都讲有点想不到吧，有点难思考， 因为考场环境大家受到前面题的影响，做到概率那一道题的时候失去已经不清楚了，所以这个如果说大家第二问做不对，我觉得是绝对可以理解的。 然后所以我们只要求拿个第一问的五分啊，然后圆锥曲线的话拿个第一问的五分，然后第二问。我们套一点步骤分， 考前还专门发了一个视频，就是圆锥曲线套步骤分，如果你按照那个步骤来拿的话，拿个三分左右是完全没问题的。所以整个大题的话就是拿个四十一分，然后加个选填的五十一分， 九十二分，加到一起九十二分，如果你能够拿到九十二分附近，就说明你整个试卷当中该拿的分基本上都拿到了啊。 如果超过九十二分到一百就是今年的试卷，如果你能够考到九十二分到一百二十五分之间，绝对就是一个中等生的一个水平了啊，就觉得那就是像你考到九十二分到一百二十五分之间，如果你不是那种学霸班的话，在普通班绝对是班级里的前几名了， 然后超过一百二十五分，学霸超过一百二十五分，你高中数学学的很好，客观评价就是对于今年的新高考一卷的难度而言。 ok， 这就是对今年新高考一卷啊，大家考多少分大概是合理的，就是绝大多数的学生的分数就是五十六分到九十二分之间啊， 就如果你不是重点高中好的班级的话，大部分人的分数会落在五十六分到九十二分之间，所以最后只要你的高考数学分数落在这个区间， 都不要沮丧啊，大部分的人的分数都会落在这个区间。今今天的这个视频我们就录到这里。
00:27查看AI文稿AI文稿新高考数学一卷简单题、中档题、难题的比例大概是一比一比一各占五十分左右。 二零二六年新高考数学一卷出的比较特殊，简单题特简单，难题特难，所以预计五十分以下的大概占百分之十五左右。考五十到七十分的大概占百分之三十左右。考七十到一百之间的大概占百分之四十左右。考一百分以上的大概占百分之十五左右。
43邓老师谈教育
05:34查看AI文稿AI文稿各位家长同学们好，今天呢，我们来梳理一下二零二六年新高考一卷对高一的考生考了哪些内容，然后呢，我们呢，马上要到暑假了，我们高一的同学升升高二的时候，接下来要做些什么？ 好，我们来看下今年的高考试卷啊。第一题，这是正在高一学生正在学的统计的一个最简单的内容，这里有五分。第二个，下面下降的内容也是高一下，就是这学期上的 五分，这个是上学期的一个集合，以及三角函数的一些数值的运算。五分 啊，第四题是高二上的，第五，第六，第七，第八，我们都都都不管。第九题，也是本学期上的六分。第十题，本学期上的六分，这个是高二上学期上的啊，就是马上要那个 应该在十月份就要上到的。这个五分是我们高一上学期上到的。高一上啊，好，这个是我们我们高一的同学现在正在上的十三分， 很简单的一道题，十六题也比较容易啊。十五分，这也是我们高一的同学在这学期上到的，应该是在四月份差不多上完的。解三角形。 十五题是我们高二，呃，高二的下学期，也就是高二的同学上完的，应该是在四月底上完的。 十八题是高二的上学期啊，应该在十月份左右上交的。同源的问题， 这道题严格的说也算高一的内容，因为整个十九题涉及到的函数都是呃，高一的函数问题，没有涉及到倒数啊，所以高一同学也是可以解决的，我们把它也算上高一了， 那么这样算下来，朋友们单选十五分，多选十二分， 然后填空五分，然后我们的大体第一题十三分，第二题十五分，然后加上十九题的是七分啊，是七分，这样就是一共 七十九分啊，一共七十九分，占到了半壁江山以上。那么我所要提醒的啊，提醒的家长同学们，就是 紧接着马上高二的课来了，因为这个分数是不是还挺多的啊？这七十九分看起来还挺多的，我们要不要把高一的知识点接着再巩固，接着再再弄，要占到好多知识啊，哎，其实是不用的， 你不要去把高一的知识再去再去，反复的去，去锤炼，因为我们的大部分的孩子，他是属于什么呢？学了一些东西，过一段时间他就会遗忘的啊。我们如果整个的暑假全部用在复习高一的知识， 那就意味着什么呢？那就意味着他在下学期搞高二的知识搞了半年，一年过后，他基本上这学期复习又基本上没复习，是一样的。所以， 所以我们一定要把重心放在哪里呢？放在高二上，放在我们这本书选择性必修一这本书上啊，放在选择性必修一这本书上，这本书上呢？最重要有这样一些内容，第一个就是，呃，空间向量， 第二个内容是解析几何， 也就是直线圆，椭圆拴曲线， 抛物线。好，这次呢，椭圆考到了，圆考到了，直线也考到了，对不对啊？所以这才是下学期的重点，也是我们高考的重点，也是下一节的分水岭，因为这一块它的 运算量非常大，运算量非常大，也就是在二零二一年的高考中，他整体的运算量会比之前的高考要小不少， 但是他的思维上的考察就比较多，但是在二七年一定也是这样吗？在二八年还是这种风格吗？因为他每年我们高考的风格，试卷的风格其实都在变化，我们不能以二六年就判断以后都是这样， 所以我们该该该踏实的去去准备你的运算能力就准备你的运算能力，该踏实怎么学就怎么学习，把县级段学好才是最重要的 好。以上呢，就是我对今年啊新高考一卷数学的这样一个对高一同学的这样一个 知识点，考的考的分数的一个总结，以及下学期这个暑假我们到底应该做什么啊？一定要坚定的去攻克选择性必修一。好的，我们就讲到这里。
28宣城储老师
14:41查看AI文稿AI文稿大家好啊，今天给大家分析一下我们二零二六年新高考全国一卷的这个数学试卷，主要是给后边的参加考试的同学一些数学方面的学习建议。 嗯，当然这个分析的话呢，它具有一定的这个主观性，并不是绝对的，这个大家理性看待一下。嗯，我们整个试卷的话呢，它就是分成可以分成三个梯度啊，一个是简单的，一个是中档的，一个是难的。 这个分数分布的话呢，我这个地方简单的就是做了一下这个统计。 呃，我们现在的基础题的话呢，就是简单题的话呢，他已经没有那么高了，他只有百分之五十，大概七十分的样子，他大概只有七十分了，也就是说你如果就是只拿这些很好拿的这些分数的话呢，你就只也就只有这个，就是你把他全拿了的话，也只有七十来分的样子。 中档题的话呢，他这个大概占到了百分之三十啊，难题大概是百分之二十的样子啊，我这个十八题的话呢，这个圆锥曲线的题的话呢，有的人他可能感觉会有点难度啊，他这个可能会把它划分到难题这一档，但是感觉他应该还没有到这个难题的这一部分。 嗯，关于我们的这个单选择题的话呢，这个第八题和第七题啊，我个人感觉的话，他应该还是不至于到这个压轴的这种难度，他应该也就是算这种中档的样子吧，但是还是有一定的这个难度的啊。 呃，有一个点我们可以说一下的，是这个，我们这个现在的考题的话，他还是比较注重这个基本知识的基本运用啊， 他也比较关注这个知识与知识的这个衔接运用，就是说我们的夸张节综合，这个早在前几年就新高考的话，他都比较注重啊，这个就是一个知识点里面放另外一个知识点来综合来考察。嗯，他也比较注重你们的这个预算能力啊，我们这段时间这些东西都有都有关注到的。 嗯，我们说一下这个基本知识的基本运用，因为这个说法的话呢，其实在很多很多年以前就是上古时代的话呢，呃，我们的这个老师的话，基本上都会跟我们去讲这个东西啊，就是我们那时候，就是我当学生的时候，我的老师也是这么跟我说的， 就是立足基本知识啊，以不变应万变啊，什么基础不牢啊，地动山摇之类的这种话。呃，这个地方就是我们这个数学方面的话呢，你这个地方我们可以通过一些题去感受一下啊，你比如说像我们现在考到的这个第三题， 第三题他考这个集合的这个交集吗？交集的话你就要知道什么是交集了，然后他集合元素的话，他里面涉及到了这个三角函数的这个诱导公式一些就是特殊值，你要把这些值算出来，你才能够解得出来这个题啊。你包括像我们的这个第五题啊，这个抛物线，你将点带进去，求这个 啊，参数 p， 然后你再将这个焦点给它求出来，这其实就是书上的基本知识嘛，然后的话用两点之间的距离去求一下这个，求解一下答案，然后就是运算 就把它算出来就行了，你包括像我们的这个第十二题和填空题的第一个啊，你先将这个方程转化出来，然后去用我们的公式去求这个离心率，这都是很简单的调用这些知识点， 嗯，十三题也是一样的，他都没有考察一些很超纲的知识点啊，他不会考察出超纲的知识点的，基本都是考察这些书上有的这些基本定义、基本方法，而且这些东西的话呢，他也不是很罕见的考法，他其实很常规的考法了，这都是 我们的这个考题的话呢，他不会给你玩一些花里胡哨的东西啊，但是的话呢，他这个我们以前也讲基本知识的基本运用，现在也是这么讲的。但是自从二零二一年以来，我们湖南这边实行这个新高考啊， 他比以前的话呢，他对这个学生的要求很明显是提高了不少啊，这个从他的这个高考试卷的话就能够发现的到 他的这个考察方式啊，他灵活一些了，他不不会像以前那样有一些很死板的题了啊，你像以前我们就是上古时代啊，有一些那个叫，就有那个求什么宪性规划呀， 还有一些那个极速标的那种题啊，一些比较死板的解析的那些东西，他现在他就没有那些东西了。 同样的呢，他其实我们就是考察的话呢，他像我们一些有时候在这个网络上，或者说听别人说啊，或者有些补课老师啊，会给你们去讲一些什么， 就是像秒杀呀，或者说像一些大学里面的这些内容，像什么诺必达呀，泰勒啊，还有一些像什么很就是这个名字很复杂的，叫什么帕德，必进之类的这样的东西。超纲的东西它其实根本不是它考察的一个范畴，但是如果你的这个目标很高的话呢，这个东西可以就是 给你去补充一下啊，但是对于我们绝大多数很多很多的人来讲，这个东西你可能你不搞啊，那没什么很多的影响啊， 你用到的可能性几乎为零吧，就是你如果你不知道这个东西的话，你在考场上边你用这种常规手法可能就是他也可以做的出来的啊，不用过度去迷信这一些超纲的内容，因为你整个高中的话呢，他这些东西这些知识点的话呢，就已经够你来学了啊。 下边的这个要说的点的话呢，我们有一些家长朋友可以关注一下啊。 呃，有些学生的话你也可以关注一下，就是如果你是下边说的这种情况的话呢，你很有可能就是只能拿这个基础部分的分，或者说你基础部分的分你也会拿不全的。 首先第一个的话呢，是你就是完全不学的，你像这个上课也不听了，作业也不做的，这种就不用多说了哈。还有一个就是你就是偶尔去学一下，还有就是平常的话呢，看心情写一下，你心情好的话写两个，心情不好的话你就不写。 再有一个的话呢，就是你上课比较认真，上课也会配合老师去做题，也会跟着老师去，嗯，动笔啊，思路也会跟着老师的来，但是课后的话呢，这个行动方面基本上没有。然后的话呢，不会去总结复习啊，就是课后基本上不动的这种，嗯， 也是属于这一类啊。然后还有一类的话呢，就是把时间就是大把大把的花在其他科目上，相对来说的话呢，在数学方面的话呢，方面的话呢，他花的时间比较少啊。 嗯，再有一个的话呢，就是这个学生本人他很想学，但是他这个心有余而力不足啊，上课听不懂，然后题目也写不动， 嗯，还有一个就是他一直在学啊，就是一直在跟着学，但是，嗯，就是自己平常也刷题啊，但是就是做的也不对，写的也不对，考的分也不高，这个天赋方面的话呢，就会差点意思的这一类。 就像上边说到的这一类同学的话呢，这个分数的话，很有可能就是，嗯基础分都拿不全啊。嗯，特别是有一类这里面说的有一个完全不学的，完全不学的，按照现在这种出题形式的话呢，他很有可能你就是可能二十分也拿不到啊，可能二十分都拿不到，他这个， 呃，就是很有可能会考一个非常低的分数，都是非常有可能的啊。当然了，像这个一百五十分的这个分数啊，五分一个单选择题，你运气好点的话，上个三十来分的话也 不是不可能，但是这个的话呢，就是只能说这个，嗯，比例比较小吧，运气成分太大了，这个就比较看病了。 最后我们再来给一个这个高一高二高三的这个学生一些学习方面的这个建议。 首先第一个的话呢，就是你尽可能早一点起步，多花时间去备考啊，我们现在这个高考命题的话呢，他考察的话还是挺全面的，出题也比较灵活。然后的话呢，他的这个知识点也比较多，而且他会比较喜欢这个跨章节去综合出题。 嗯，之所以讲这个的话呢，因为我们有时候听到有些学生会说，就是高一高二就是玩一下子啊，随便应付一下子，到高三再发力，跟着这个一轮复习，再好好学习。 嗯，这个的话呢，尽量不要这么做啊。首先的话呢，你可能的话呢，有点盲目自信，千万不要盲目自信，还有就是因为你可能并不清楚自己的这个底细啊，然后的话，你可能也不知道你面对的这个试卷的话呢，它是一个什么样的底细， 这个风险还是会比较大的啊。第二个的话呢，就是知识点的话，你要全面的去掌握，你不能够忘了这个，丢了那个啊，这个地方不记得了，那个地方不记得了。 呃，这个基本知识的话呢，你要注重他的这个灵活运用啊，他的这个出题方式的话，现在还是比较灵活的。还有你在平常的话呢，你要注重这个常见的，这个常见的考法，你要对他要有一定的这个认知啊，你心里对他要有底啊， 因为我们有时候发现这个学生的话呢，他就很自然的就说这个考试，这个哪个知识点不记得了，这考的这个公式又忘了，然后也不熟啊，这很明显都属于基本知识掌握的不够好啊。 嗯，再者第三个的话呢，就是你要坚持学习，持续学习，要稳健发力啊，你不要三天打鱼两天晒网， 就是比如说他今天不学啊，明天去学，或者说隔几天去学，或者说啊隔更久的时间再去学习，这种学习的态度都是或者说学习的方法都是不可取的啊。嗯，隔这么长时间的话呢，你的这个对于这个知识的这个印象的话，会慢慢的减淡的。 第四个还是得刷题，我们高中的话呢，这个知识点是很多的，考法也是很多的，你不刷题的话，这知识点你根本应该是掌握不了的，你这个也不会有什么印象的。那么多知识点你能记得住吗？运算能力你也起不来了。 呃，我们有时候看到有些言论啊，说不要刷题，或者说现在高考出题方式的话呢，这个就是对这个呃努力的孩子的一种否定啊。什么？其实不是这样的啊， 这都谬论，数学不刷题的话，你怎么进步啊？但是的话呢，这个刷题的话不要去盲目的去刷啊，就是我们有时候不是说什么给你一套试卷，你去做了之后你就会有提升啊，我们现在刷题的话呢，你千万要记住啊，你不能够这个机械重复的刷题，不要为了刷题而刷题啊， 你在这个做题的过程中啊，你应该好好的去感受你的这个知识点啊，你去看看他的这个出题方式啊，你好好回顾啊，回顾你的基本知识，基本概念，基本公式，你结合这个知识点啊，去好好的利用上你写的这些题啊，你去感受一下他的这个考法和运用啊。 呃，还有一个啊，我们有些比较聪明的学生啊，他就是喜欢拿着这个公式啊，就是对着公式去做题， 我们现在的出题方式的话，你不要妄想你就仅仅知道这个公式，你就能够做出来这个题的啊，他的这个题目的话呢，他都一般是包含好几个点的，就算是简单题，你比如说我们这个集合题啊，今年考的他就要需要用到这个三角函数的知识啊， 你不会三角函数的知识你不回的吗？然后你又记得这个三角函数，你这个公式的话，你能记得那么多吗？你难道你会背那个特殊值吗？你会背那个什么 cosine 六分之七派吗？ 我们第五个的话呢，就是你需要去多重复，多总结多改错啊，重复的话呢，就是你要需要去对一个知识点去反复去打磨他，当然你平常习题啊或者考试的话呢，这些知识点都会反复出现的。 多总结的话呢，就是你多去总结他出题方式，运用技巧啊，就是公式怎么变形的啊，嗯，他这样去变形的话有什么好处啊？ 再者这个改错的话呢，就是你可以就是去建立一个错题本啊，但是这个错题本不是把这个题目摘上去贴上去，这没什么用啊，你错题本建立之后，你应该就是适当的去复习一下，自己要去看一看。 还有一个就是你这个做题目的过程中如果错过一次两次，他是不可怕的啊，你的目的也并不是就是就是去就是错过一次两次啊，你就把它给掰正过来啊，你这个最后的这个考试的话，你如果能够改正过来你的错误的话，不就可以了吗？ 但是一个知识点你错的比较多的话，你应该但凡就是正常情况下来说的话，应该你都是可以改正的啊，应该知道自己的这个错错在哪的。 还有一个就是他的这个我们的很多题目啊，他的这个经典考法他总是会重复出现的啊，你这个多关注一下就没问题的。 第六个的话呢，就是你需要保持一个良好的心态啊，你就是有时候考的好的话呢，你也不要骄傲，你不要感觉自己很行啊。 呃，数学这个东西的话呢，他难题是层出不穷的啊，他这个只有你想不到的，没有他出不到的，然后你如果考的不好的话，你不要气馁，这个数学做题的话呢，这个跟很多方面的因素都有关系的啊 啊，你需要关注的就是不断的去强化自己，让自己不断的在学习，不断的在进步啊。数学方面的话呢，他这个碰见难题啊，他也是一个很正常的情况，难题很多的 啊，你看到的话呢，你也不要害怕，你做不出来也是非常正常的，但是你这样子就是听我这么说的话呢，你不要去想着啊，难题不做啊，往那边一丢，因为这个遇到难题不害怕，他并不等价于这个摆烂啊， 你可以好好利用一下这个题啊，你去整合一下，看里面用到哪些知识点，把零散的这些知识点用法给它整合起来，或许它对你有一定的这个作用呢，对不对？ 你自己取舍一下，这个地方有的时候比较花时间的话，你觉得不划算的话，你自己适当取舍一下可以了。 嗯，因为时间问题啊，我说的总结的可能也不到位啊，大家如果有这个高中数学方面的这个疑惑，可以就是 点点关注，然后后台给我留言，我看到的话会给大家去解答的。嗯，今天就说到这里啊，拜拜。
03:44查看AI文稿AI文稿来看一下二零二六年高考全国一卷的前四道选择题，一共二十分啊，看一下这二十分好得不。第一题，样本数据的中位数啊，中位数就是从小到大排序，你看四五六 八十二把。这五个数啊，按照从小到大排序，四五六八十二。最中间的这个数啊，它是基数格，最中间的数就是中位数，所以选二 b 五分。拿到第二题，已知平面向量 ab 不 共线，解二倍的向量 a， 加上外倍的向量 b， 等于 x 倍的向量 a 减三倍的向量 b， 则啊，又是道送分题啊，它们不共线啊，还有这个式子， 所以向量 a 前面的系数对应相等二就等于 x， 看了吗？二就等于 x， 向量 b 前面系数相等 y 就 等于谁负三 啊， x 等于二， y 等于负三， a 啊，十分拿到手。紧接着第三个已知集合 a 是 它，集合 b 是 它， a 交 b， 这是交几，就找共同的 啊。考了三个诱导公式， sin 六分之七派，可以写成 sin pi 加六分之派啊，因为 pi 是 六分之六， pi 加六分之派正好是六分之七派啊， pi pi 加阿尔法啊。 第一个诱导公式是考这啊，三元派加阿尔法就等于负的三元阿尔法，谁冲到阿尔法的位置。六分之派，所以就等于负的三元六分之派派是一百八，一百八除以六十三十三十度是二分之一，所以是负二分之一啊。 你看，这都有负二分之一，所以负二分之一可以入选啊，负二分之一可以入选。然后紧接着第二个诱导公式，扣在三分之五派， 嗯，可以写成谁可以写成 cosine 二派减三分之派，因为二派是三分之六派，三分之六减三分之派正好是三分之五派， 所以第二个诱导公式是 cosine 二派减阿尔法就等于谁 cosine 阿尔法，嗯，就等于 cosine 阿尔法，所以就是谁冲到阿尔法的位置。三分之派，所以就等于 cosine 三分之派。 扣在六十度是几？二分之一，二分之一，所以第二个答案就是二分之一。第三个，贪婪的四分之五派贪婪的四分之五派就可以写成贪婪的派是四分之派加四分之派就是四分之五啊，派就可以写成四分之四派啊， 所以就是贪婪的派加二反啊，这不解公式了啊。贪婪的派加二反就等于贪婪的二反，所以就等于贪婪的四分之派。贪婪的四十五度是几一，所以这是一啊。找共同的都有谁？负二分之一都有谁一，你看， 这就是负二分之一一 c 啊。又拿五分，最后一道题取现，再点一五处的切线方程，先求的凹 y 等于五 x 加八倍的绕 x 啊。倒数乘积，这种倒数就是先倒后不倒，加上后倒先不倒来，先倒五的倒数是零啊，后不倒零乘 x 加上啊，先不倒五不倒就是不用动啊。后边这个倒数 x 倒数是一， 所以就是五，然后加上，然后八倍的绕 x 先导长数的导数啊，一个具体说，导数就是零，所以零乘后不倒加上前不倒就是不用倒后绕 x 的 导数是 x 分 之一，所以就是啊 x 分 之八啊，五加 x 分 之八 啊。导数导数求出来了，再点一五处的切线方程，把这个一带入 x 啊，求切线斜率。 咱们看一下外道就是五，加上一带进去一分之八，是不是就得十三？斜率是十三啊，你看 abcd 哪个斜率是十三呀？只有一个四 d 啊，所以选四 d， 这五分也拿到手了，一共二十分。
5616小小教书匠
03:08查看AI文稿AI文稿关于二零二零年新高考数学一卷，网上充斥着各种各样的声音，好多人都在说新高考又要淘汰这样的学生，又要淘汰那样的学生，那我们一起来拆解一下二零二零年新高考数学一卷。我们评判一个题目简单与否的标准有两个，第一个是 这个题考察的知识点多不多，是考察了单一知识点，还是各个知识点融合在一起考察。第二个是这个题对知识点比较简单的直接应用，还是说需要进行各种各样的不太好想的变形运用。 首先看第一题是统计的知识点，考察的是中位数，这个题非常简单，初中生也能会做。第二题考察平面向量，也是非常基础的概念，直接拿分。第三题考察的是三角函数，具体的三角函数求值也非常简单的一个题目， 如果我们能够熟练运用单位圆和三角函数线的话，那这个题非常快能做出来。第四题考察导数，导数的求曲线的切线方程问题，非常简单。 第五题考察的是原值曲线，考察了两个抛物线，也是非常简单的概念，直接得分。第六题看起来比较复杂，如果我们按部就班的去算的话，计算量会比较大， 会浪费比较多的时间，也不一定能算的对。但是这个题的选项设置比较简单，因为他说最大值是一，那么我们只有带零的时候，他才有可能结果出来一，所以我们带零直接算就可以了。这个题用上一点点技巧也比较容易的能做出来， 但是假如说我们想不到这些技巧，那这个题我们不要。第七题考察受力，一看题干非常长，并且很复杂， 没有太多的时间深究，直接跳过。第八题，随机变量，一看也比较复杂，没有时间深究，跳过。第九题，考察复数，非常基础的运算，直接得分。第十题考察立体几何，难度不大，那么我们保守一点，得一半的分。 第十一题，直线和圆，看起来比较复杂，没有太多时间深究，直接跳过。第十二题考察双曲线的离心率，非常基础的概念，直接得分。第十三题考察三角函数，也比较简单，直接得分。第十四题考察数列，看起来非常复杂， 不深究，直接过。第十五题，第一个大题考察的是立体几何，也比较简单，也不需要间隙，直接做得分。第十六题考察解三角形， 也是比较基础的基本公式的运用，没有用到什么不好想的方法，直接得分。第十七题，考察概率，理想型随机变量。第一问比较简单， 第二问实际上细细分析下来也很简单，但是好多同学看不懂题，一看就容易被吓倒，那这个题我们只要第一问的分。第十八题考察圆锥曲线当中的椭圆，第一问非常简单，直接得分，第二问也是比较常规的，那假如说我们的计算能力不达标，我们第二问也不要了。 第十九题，前两问非常简单，就是考察函数的性质，根据函数的基有性和单调性来解不等式，但是这个题难在，可能很多同学读不懂题， 不知道他到底在说什么，那么假定我们的理解能力达不到，这个题我们就不要。我们最后来看一下，在我们掌握了非常基础的内容之后，我们能得多少分？
06:25查看AI文稿AI文稿这就是对二零二七届的同学提了个醒，那你以后几何分布是不是应该学的深一点？新一卷第十七题，几何分布冒冷，你可能没深度学过它，但这道题本身不难，今天显哥用这道真题教会你怎么快速应对此类考题。第十七题，他考的是几何分布 啊，没想到考几何分布啊！这道题他出在第三题上，第一次考他，所以他考的比较简单，你不知道几何分布也能做出来。第三问，考的是几何分布的无记忆性， 这是大学概率里边讲的。来，我们读一下这道题啊。他说设整数 n 大 于二，某同学用一个球进行投篮练习，最多投 n 次，当前仅当投中一次时，或 n 次均未投中时，停止练习。 那你可能会说，什么叫几何分布呢？它是一个离散型随机变量的分布律，说白了就是第一次投中的时候，我们所需要的实验次数。就说白了，第一次投中了，需要做了一次实验，那第二次投中了，说明第一次没有投中。 那也就说我假设啊，第一次投中用了 k 次，那说明前 k 减一次，那当然就没有投中，这就叫几何分布啊。那么他说投中一次或者 n 次均未有投中时，则停止练习，这就很重要，他不是无限制不停的实验下去， 只要是这 n 次他都没有投中的话，时间就结束了。停止练习，该同学每次投中的概率为 p， 各次投中与否相互独立， x 为停止练习时啊，该同学投篮的次数第一位肯定是送分的啊。那他说这个 n 得四的时候，那他说求 x 的 分不列啊，那我们得先写 x 的 所有可能取值 就说罢。那你太厉害了，你第一次就投中了，很有可能，所以他所有的可能取值就有可能是一次，两次，三次。 然后呢，我们就应该是先算出他们概率来，如果你一次就投中的话，那当然投中的概率就是三分之一，如果你投两次才投中的话，这就说明第一次没有投中，一定要理解啊，看见人家说的啊，当前紧张，第一次投中啊，停止练习 就说白了，你第一次没有投中，那你不能停止，然后继续投，那第二次投中的话，就说明第一次没有投中，第二次他才投中，这个概率就应该是九分之二， 这个应该没问题。那如果是 x 等于三的话是什么意思呢？就说白了，你第一次没有投中，没有投中的概率是三分之二，第二次也没有投中，第三次，哎，投中了，所以是二十七分之四。 然后呢， x 等于四的时候，他有两种方法，第一个用一减就可以了，最后答案是二十七分之八，对吧？这个的时候这个答案就出来了。 所以这道题你就应该想明白，这个题是非常简单，你只要读懂它的意思就可以了。用一减啊，如果你要写的明白一点，就是一减前面那些数，二十七分之八，可以说一减三分之一，再减去九分之二，再减去二十七分之四，等于个二十七分之八， 那这是第一种方法，第二种方法我想一步一步算，怎么办呢？也是可以的啊。第二种方法就是你投篮需要了四次，说明什么？不是说你第四次投中了，说明你前三次都没投中，第四次 即使中还不中，他都需要投第四次蓝，因为第四次就结束了，没有往后了。明白了， n 等于四吗？所以第二种方法的话，就是 x 等于四，那这就说明前三次都没有中，他没有中啊？第一次没有中，第二次没有中，第三次都没有中，第四次管他中不中了， 他中他说明投中了，他不中他也结束了，因为最多投篮 n 次那所以这道题的答案是三九二十七，二十三十八，所以分布列就完了， x 的 分布列， ok， 明白了，这叫几何？分部，分部列，为什么？什么？自己列出出来。好，这是第一问，来，我们看一下第二问， 那第二问的话，他怎么去说的呢？他说 k 小 于 n 减一，求 x 大 于 k 的 概率，那 k 小 于等于 n 减一是什么意思呢？就说白了啊，就说白了，就是我们他说这个 k 啊， k 小 于 n 减一， x 大 于 k， 那 x 是 表示什么呢？停止练习时所需要的投篮次数， 那又因为，哎，这个 k 小 于 n 减一，那这就说明他还没有到第 n 次那所以大家思考一下 x 大 于 k 这句话是什么意思？ 他投篮次数只要大于 k 次，说明前 k 次他都没有投中，好理解不？他全 k 次都没有投中才行，对不对？所以他不得不投下一次，因为他没有到 n 的 话，他就不可能到 n 次没有投中也得停止，他停止不了， 能理解不？那所以 x 打点 k， 说明就是前 k 次它都没有投中，没有投中的概率，当然就是一减屁， k 次都没有投中，那这句话的意思就是说我们需要 去投 d k 加一次，当然投篮次数是大于 k， 当然这个 k 也可以是 k 加二。明白了啊，后面我不管了啊，最起码是这样的，只要前 k 次都没有投中，那么他需要去投 d k 加一次就没问题了。所以这个答案太简单了啊，非常非常简单啊。那第二位是什么意思呢？第二位他说的 k 加 m 小 等 n 减一 啊。 k 加 m 小 减一，那所以 k 加 m， 他 是投篮次数大于 k 加 m， 说白了还是没有到停止的那时候， 对不对啊？没有到停止的那时候啊，但是这个地方最起码最大最大最大是 n 减一嘛，所以他还可以再投一次， 那么在这个的条件下，让我们证明他这句话本质上就是让我们证明几何分布的无记忆性。就说白了，前面他投了 k 次的前提下，他再投 k 加 m 次，实际上就是 x 大 于 m 的 概率， 他和前面 k 是 没有关系。那你说我不知道几何概型的不计一项无所谓嘛，毛毛雨嘛，就靠条件概率，条件概率绝对是重中之重，你套条件概率就可以了。你看 k 加 m， 然后呢？前提下 x 大 于 k 的 概率，然后呢？上面取交集。 那你想想，他投篮次数既大于 k 加 m 同时大于 k， 他 取交集的话，是不是正好是 x 大 于 k 加 m， 然后呢？比上一个 x 大 于 k？ 听懂了，那么这时候 x 大 于 k 的 概率是多少来？大于 k 的 概率，说明前 k 次全都没投中，这个没问题吧？那 x 大 于 k 加 m 次，说明什么呢？说明前 k 加 m 次都没有投中。 听明白了，所以他这么一算的话，正好是一减 p 的 m 次方，而一减 p 的 m 次方是不是正好等于 x 大 于 m？ 因为这样 k 等于 m 就是 了，所以这个的概率正好就应该等于个 x 大 于 m， 所以 这道题就证明完了。通过这个证明，我们也理解了这个几何分布的无奇异形。
2458数学赵礼显
00:21查看AI文稿AI文稿中等偏上水平的学生，今年新高考数学一卷大概可以考多少分？单选可以拿三十分，多选十分，填空十分，大题十五题十一分十六题十二分， 十七题五分，十八题八分，压轴题十九题四分，总分九十分左右。
403邓老师谈教育
07:26查看AI文稿AI文稿这就是对二零二七届的同学提了个醒，万万没想到，这道题第三问直接考大学内容。第三问考的是几何分布的无记忆性，这是大学概率里边讲的，但没学过几何分布，也不影响做题，全是送分逻辑。今天完整拆解这道投篮概率大题，下次遇到不再慌。好，来，我们看一下第十七题， 他考的是几何分布啊，没想到考几何分布啊，因为我们在讲模拟题的时候，确确实实出现过几何分布这道题，如果你说我没学过几何分布，能不能做出来，当然也非常轻松的做出来，因为高考前三个题肯定是省分题嘛。那这就是对二零二七届的同学提了个醒，那你以后几何分布是不是应该学的深一点？ 因为这道题他出在第三题上，第一次考他，所以他考的比较简单，你不知道几何分布也能做出来。第三问考的是几何分布的无记忆性， 这是大学概率里边讲的，不影响你做题。来，我们读一下这道题啊，他说设整数 n 大 点。二、某同学用一个球进行投篮练习，最多投 n 次，当前仅当投中一次时，或 n 次均未投中时停止练习。 那你可能会说，什么叫几何分布呢？就是它是一个离散型随机变量的分布列，就是说白了，就是第一次投中的时候，我们所需要的实验次数，就说白了，第一次投中了啊，需要做了一次实验，那第二次投中了，说明第一次没有投中， 那也就说我假设啊，第一次投中用了 k 次，那说明前 k 减一次，那当然就没有投中。听明白了，这就叫几何分布啊。那么他说投中一次或者 n 次均未有投中时，则停止练习，这就很重要，他不是无限制不停的实验下去，只要是 这 n 次他都没有投中的话，时间就结束了。停止练习，该同学每次投中的概率为 p， 各次投中与否相互独立， x 为停止练习时啊，该同学投篮的次数第一位肯定是送分的啊，那他说这个 n 得四的时候，那他说求 x 的 分不列啊，那我们得先写 x 的 所有可能取值， 就说白了，你太厉害了，你第一次就投中了，很有可能，所以他所有的可能取值就有可能是一次，两次，三次，四次。 然后呢，我们就应该是先算出他们概率来，如果你一次就投中的话，那当然投中的概率就是三分之一，如果你投两次才投中的话，这就说明第一次没有投中。一定要理解啊，看见人家说的啊，当前紧张，第一次投中啊。停止练习， 就说白了，你第一次没有投中，那你不能停止，然后继续投，那第二次投中的话，就说明第一次没有投中，第二次他才投中，这个概率就应该是九分之二， 这个应该没问题。那如果是 x 等于三的话，是什么意思呢？就说白了，你第一次没有投中，没有投中的概率是三分之二，第二次也没有投中，第三次，哎，投中了，所以是二十七分之四。 然后呢？ x 等于四的时候，他有两种方法，第一个用一减就可以了，最后答案是二十七分之八，对吧？这个的时候这个答案就出来了，明白了，所以这道题你就应该想明白，这个题是非常简单，你只要读懂它的意思就可以了，用一减啊，用一减 啊，如果你要写的明白一点，就是一减前面那些数，二十七分之八，也说一减三分之一，再减去九分之二，再减去二十七分之四，等于个二十七分之八。 好，没问题啊，那这是第一种方法。第二种方法我想一步一步算，怎么办呢？也是可以的啊，也是可以的。再次强调，什么叫几何分布？就是你 d k 次第一次恰好投中 啊，就说白了，你第一次投中的时候，你所需要的投篮次数，我们这种分布叫做几何分布。那第二种方法是什么呢？第二种方法就是你投篮需要了四次，说明什么？不是说你第四次投中了，说明你前三次都没投中，第四次 即使中还不中，他都需要投第四次蓝，因为第四次就结束了，没有往后了。明白了， n 等于四吗？所以第二种方法的话，就是 x 等于四。那这就说明前三次都没有中，他没有中啊，第一次没有中，第二次没有中，第三次都没有中，第四次管他中不中了， 他中他说明投中了，他不中，他也结束了，因为最多投篮 n 次。那所以这道题的答案是三九二十七，二十三乘二十八，所以分布列就完了， x 的 分布列。 ok， 明白了，这叫几何分部，分部列为什么什么？自己列出出来。好，这是第一问，来，我们看一下第二问。 那第二问的话，他怎么去说的呢？他说 k 小 于 n 减一，求 x 大 于 k 的 概率。那 k 小 于等于 n 减一是什么意思呢？就说白了啊，就说白了，就是我们他说这个 k 啊， k 小 于 n 减一， x 大 于 k， 那 x 是 表示什么呢？停止练习时所需要的投篮次数， 那又因为，哎，这个 k 小 于 n 减一，那这就说明他还没有到第 n 次那所以大家思考一下 x 大 于 k 这句话是什么意思？他投篮次数只要大于 k 次，说明前 k 次他都没有投中，好理解不？ 他全 k 次都没有投中才行，对不对？所以他不得不投下一次，因为他没有到 n 的 话，他就不可能到 n 次，没有投中也得停止，他停止不了， 能理解不？那所以 x 打点 k， 说明就是前 k 次它都没有投中，没有投中的概率，当然就是一减屁， k 次都没有投中。那这句话的意思就是说，我们需要 去投 d， k 加一次，当然投篮次数是大于 k， 当然这个 k 也可以是 k 加二。明白了啊，后面我不管了啊，最起码是这样的，只要前 k 次都没有投中，那么他需要去投 d， k 加一次就没问题了。所以这个答案太简单了啊，非常非常简单啊。我们再来看第二问， 那第二位是什么意思呢？第二位他说的 k 加 m 小 等 n 减一啊， k 加 m 小 等 n 减一，那所以 k 加 m， 他 是投篮次数大于 k 加 m， 说白了还是没有到停止的那时候， 对不对啊？没有到停止的那时候啊，但是这个地方最起码最大最大，最大是 n 减一嘛，所以他还可以再投一次。那么在这个的条件下，让我们证明他这句话本质上就是让我们证明几何分布的无记忆性。 就说白了，前面他投了 k 四的前提下，他再投 k 加 m 四，实际上就是 x 大 于 m 的 概率，他和前面 k 四没有关系。那你说我不知道几何概念的不记忆性，无所谓嘛，毛毛雨嘛， 就考条件概率，条件概率绝对是重中之重，你套条件概率就可以了。你看 k 加 m， 然后呢？前提下 x 大 于 k 的 概率，然后呢？上面取交集。那你想想，他投篮次数既大于 k 加 m 同时大于 k， 他 取交集的话，是不是正好是 x 大 于 k 加 m， 然后呢？比上一个 x 大 于 k？ 听懂了，那么这时候 x 大 于 k 的 概率是多少嘞？大于 k 的 概率，说明前 k 次全都没投中，这个没问题吧？那 x 大 于 k 加 m 次，说明什么呢？说明前 k 加 m 次都没有投中。 听明白了，所以他这么一算的话，正好是一减 p 的 m 次方，而一减 p 的 m 次方是不是正好等于 x 大 于 m？ 因为这样 k 点 m 就是 了，所以这个的概率正好就应该等于个 x 大 于 m， 所以 这道题就证明完了。通过这个证明，我们也理解了这个几何分布的无记性。通过这道题，你也明白了一个什么道理呢？就是我在平常上课的时候，一直在强调所有的二阶论不要实心背，你看看多少证明题， 你要会证明，你要知道这些东西怎么来的。所以这道题本质上考的就是条件概率，你只要读懂它的意思，非常简单。
3.2万步学赵礼显数学
01:41查看AI文稿AI文稿今年全国一卷的数学难度到底怎么样？普通的学生大概能考多少分？其实他们刚刚考完呢，我就已经拿到试卷，并且完整的做了一遍，但是我一直没有去发内容，就是怕制造焦虑，然后影响学生后面的心态。 那现在呢，大家都已经考完交卷了，我们就好好聊一聊，今年这套试卷到底是个什么水平。首先的话呢，这套试卷里面还是有基础分的啊，像选择题的一到五题，多选题的第九题，填空题的第十二题，还有十五十六，十七十八的第一问， 这些分呢，都是比较好拿的，全部都是实打实的基础分。嗯，大概是五十多分，再加上剩下的单选择题蒙对一个，然后多选择题蒙对四分，那么算下来呢，差不多就是六十五分，这就是整张试卷低基础分的底线了，剩下的八十五分，没有一分是白给的， 要是你基础本来就一般啊。然后呢，你想着像中考一样，在最后一个学期冲刺一下， 那可能六十五分就是你的上限了。很多中等生明明很努力，但是最后的分数呢，也就是八十分上下。其实这批孩子确实是最不亏的，努力了，但是努力的不够，因为他们只是努力把基础题啃透了。但是 高考试卷里面的基础分只有这么多，要是你平时知识点掌握的特别扎实，各类题型理解的很透彻，像由于曲线的相关转化呀，导数的各类专题啊，你都能够做到灵活运用。 那么这套试卷呢，你完全是可以考到一百二十分左右的，剩下的那点分数确实对个人的能力要求呢很高。
1355长沙数学培训唐老师
03:27查看AI文稿AI文稿前几天我们挑战了全国二卷的数学，评论区的很多朋友们说全网无人敢挑战数学一卷。那么今天数学一卷来了， 我们也想过那逝去的生活的每个片段，教我如何善解，我根本想不到我们最后只能对生活做到叛变。是因为你才让我 down， 因为你才让我 run， 因为你才让我变得更加强壮。 可为什么现在的你比我还懦弱，当初是因为你的坚强才让我没错过。当我拿到我的第一 抹力量，让我重新认识自己，就像是当初割破手挽着血丝天后突然觉得生活充满意义。 never forgotten i feel。
8427高中数学老师程哥
14:04查看AI文稿AI文稿本期我们来瑞评一下二零二六年新高考一卷到底出了个啥。那么用三句话就可以概括我们今天视频要给你讲的第一句话，这道卷子没有一道题能用二级结论的，你评论区找吧，就是哪道题能用二级结论，你硬掰哪道能用你给我说一个。第二句话 叫做简单题不需要用题型，难题你也用不上题型，反而就是好像真实能用题型的也就是百分之十五的分数，我还算了呢啊同学，大概是二十五六分啊，待会我也可以给大家数一下。而第三句话叫做 最后一道压轴题，全国的高中生跟高中老师你不用压，你压不中，我大学命题人就喜欢拿大学知识下放到高中，给大家拉齐平均线，考察你的 基本预算能力和证明方法。哎，这就是我对于新高考一卷的三句话总结，就这套卷子，和我们在考前预测的完全一样，就是全国一一个字新， 或者说出题出的莫名其妙。就说实话，看到这张卷子的时候 我就感觉发麻，每道题好像我都能算，但我好像又没有见过这么出题的。你看全国二卷，你就感觉很规整，全国一卷就是他在干什么啊，他在玩什么啊？就比如说出个向量题啊， 我都没见过这么出向量的啊，出了个集合题，考察三角函数一算啊啊，没见过这个考察一个切线，这题不应该放在天空吗？我从来没有见过哪一年出在选择题啊啊，第五题考察焦点之间距离，感觉 好像没有必要出成选择题呢啊，第六题还有点意思，当时我还觉得，哇靠，这个超越函数好难啊，然后一想， 有题必有解。行了，这就是我后台一同学啊，私信跟我说的原话，一看答案没有 e， 你 这个 s 直接令他等于零，这道题不就出来了吗？这题有什么可难的啊，一堆同学还说不会做，我只能说，高考命题人你还是失误了啊， 你这道题起码选项当中应该出一个带 e 的 呀，否则这道题一下不就秒了吗。第七题，做不上， 第八题，没看懂。说实话，拿到这张卷子的时候我就在想，哪一年高考卷子这么出题 啊。我说实话，看到这两道题的时候，我心态都是崩的啊，其中有一个我的学生说了啊，听了一遍二十一天自由计划，就因为这道题，他把一百二十八种选项好像全列出来了，然后最后他选择到了正确答案， 我真佩服这哥们啊。第八题，说实话，他这个集合 cop 一 瞬间我都没整明白，他原来是搞了一个补习把 p 点刨了，当时我都蒙了啊，负数题，我从来没见过，负数还能出成多选的是吧。啊，这第十一题啊，不会算 没见过啊，离心率，感觉这道题好像是北京卷，天津卷，上海卷，实在是没有什么可出了的，才出一个这么简单。离心率出这种作风，不知道为什么全国一卷出了 啊。第十三题，中规中矩。第十四题啊，不会太难啊，完全看不明白是吧。然后第十五题啊，正常的做间隙运算啊。第十六题啊，哎，也没有见过这么考的，那描述了一堆初中几何，但还算简单。第十七题，说实话， 这道题我在读题的时候我就觉得冒蒙，我原以为是一道特别难的题目，他写了这么长，哎，还让我证明什么，我当时如临大敌的看到这道题，我就觉得这道题是不是有什么坑等着我，肯定有很多难的地方， 然后最后我发现他就是好像一减 p 的 m 四方乘以一减什么 p 的 k 四方的时候，我就觉得， 哎呀，感觉命题人像在玩我，跟我开玩笑啊。第十八题中规中矩，说实在话，这个问题就是 k 一个未知数，然后给了你一个面积三倍这样一个方程解未知数就行了。 第二问，说白了就是一个未知数，一个单元函数分析，这小题就做完了，纯粹的运算题，需要大面积运算，可能要算个十五到二十分钟，如果快同学熟， 你能算个十分钟。而第十九题，很多人都会说这道题目叫做集合加函数，或者有些人说这是一道新定义题目，那么我直白的告诉所有我的学生，还有这些同学， 这实际上是一道大学知识题目的下放。这个大学的命题老油条，典型的学了很多 top 学数学分析跟泛函的内容，它实际上属于我们做测度时候常做的一类证明，叫做找 某些不等式的测度是个啥，他把这个样一种大学知识下放到高中，他实际在大三你才能学过，这就意味着什么呢？实际上全国的所有同学，你们都是在拉齐同一起跑线去做这道题。 很多人说有数学天赋的人才能把这道题做上，学习竞赛的人学习那些微积分大学的人才能把这道题做上。我可以明确的告诉你，那些竞赛生，他没有学到大三数学这道题他根本就没有任何感觉，他没见过，很陌生， 那些所谓的学了微积分同学，他也没有见过这样的证明。大家都是拉齐平均线做的，所以谁比谁强，拼的只有两件事情， 运算跟基本的证明方法。实际上是这两件事情，这道题运算没有那么多，所以拼的实际上是什么？ 一个人的数学素养，或者说数学的证明方法，也是我们常在课上给大家讲的。所谓地推、证明、反证法、美举、演绎、推理这一系列内容， 你需要通过猜，有题必有解。画图像，先把这个东西为什么是对的，先画出来，然后再使用基本的反证法，或者用那种测度论的那种想法去证明这道题。这道题目，命题人真正在给你传达什么信息呢？ 很多人肯定会觉得啊，数学嘛，吃天赋是吧？没有天赋你就学不明白数学，你就做不明白压轴题。 有些人也会头皮发蒙说，孟阳老师，这么难的压轴题，我未来还怎么准备啊？甚至说在平台当中，一大堆的根本不是数学老师的人讲，哎呀，这道题轻计算，重思维 啊，那你咋不看看前面十八题全是运算呢？那么我告诉你，这些解读都不对， 这个命题人真正在告诉你的是最后一道压轴题，全国的高中生跟高中老师，你们不用学了， 你们不用压了，你们压不中。我作为一个大学的命题人，我作为一个掌握了大学所有知识的人，我随便就可以拉出大学的某个定力引理，某个知识下放给你出成一道高中题目让你去做。 那我想问你啊，作为高中生，你就算学竞赛，你就算学了大学你能学过大三知吗？你学不了， 你不可能学过。所以所有同学都是在拉齐同一水平线去做的这道题，甚至高中老师都被这道题拉齐了水平线。因为高中老师也没学过测速盾，高中老师也不会这些泛函的东西，而他告诉我们要做的应对是什么？ 运算，这道题是搞不定了。那你是不是就是要证明数学基本的流程化的证明方法？ 地推证明怎么做？反正法怎么做，演绎推理怎么做？美举是啥？数学那种基本的证明思维，证明方法是啥？ 这些是不是这道题传达给你的？因为你们在知识都不可能知道的情况下，你能依凭的是什么？ 计算跟方法吗？你，所以你得学这个，你才能把压轴题做上。所以不要再问我孟岩老师，我想准备高考的最后一道压轴题。一句话就是高考命题人跟你说了，你就是准备不来， 就是看不出来这道题出的是啥，你就是不知道这个知识点就是考察你纯粹的证明方法。那么所以说，回到这套卷子，你会发现什么呢？二级结论全面失效啊，反而没有一道题目能用二级结论。 哪道题目都用二级结构啊？没看到啊，哪道题目用题型了？太简单的题。第一题，第二题，第三题你用题型吗？第四题你用题型，第五题你用题型。那么前五道题这么简单是吧？你用什么题型？第六题 啊，这一题好像题型是吧，说白了就是求零点分区兼判大小。你做过求导这一题出来了啊，或者你就像我的有 t b u g s 零这道题完事了。第七题，哪个人能压中这道题？所有说压中这道题的老师都是骗你压不中， 这就是一个复杂的，你需要做美举的题目，你不美举，说实在话，你看不清这道题的结果是什么样。第八题，你如果做排除，把那点扣掉，我告诉你可难。算了，还是一类美举题。 这两分说实话，高考考场十分扔了不要了，你拿不到手，可能完全拿不到手。下一题是不是很简单？你再来看第十一题， 什么玩意？复杂性质计算做了一个什么？圆圆圆能拿到吗？假设说这道题你一分没拿，六分扔了十六分啊，到选择题以前，十六分给了 十二十三，简单吗？简单，高二同学就会。第十四题是啥？给了做不上来啊？ a 一 加到 a 三啊，差分方程，数列方程一求，然后还得举一堆例子。这道题还是他喵的没举题， 还是需要你每举出来几种可能性，然后你才能算的出来，否则这道题压根就不行给了。一共是多少分？ 三个五分题加上一个六分题，二十一分给了送了没有啊？十三分，这个题简单，能做上吗？十五分的这道题目中规中矩对吧？ 这道题目还是题型当中从来都没有考察过题目很简单，但没见过这两道题。你可以说题型基本包打天下二十八分。那么从第十八题到十九题，这题第一问，我们还可以包打天下一下题型，第十九题呢？ 完全不行，这就意味着什么？整个题型能占的分就是十三加十五，这里我多算也就是五分。 你就算把第二问全算上，我把这十七分的题目全算上，十三加十七，三十分加上十五分，一共是四十五分。真实你考题型的分数啊，低于四十五分，这是三分之一，实际我们强算也就占到百分之十五到百分之二十， 这是客观情况，而其他题用不上提醒。然后我们再算一遍，大题你能拿多少分？离题几何没问题，解三道题还搜一贼啊！这道题感觉还是马马虎虎，能答一答，解析几何。假设说你扣十分， 倒数题正不胜，就能做上第一问，你再扣个十三四分，那么这一共是多少分？ 十分加上十三四分，大概是二十三四分，再算上我们前面的分数，一共是二十一分，那么整体扣掉完是四十多分，这就意味着啥？这张卷子你只要是一个认真学习的同学，你应该能拿到一百分， 这是我不吹牛的说，因为那些题不难，你不会算中位数吗？你不会算平面向量吗？你不会算集合啊，你不知道三十六分之七派怎么算？所以你只要是努力的学生，这套卷子基本上一百分是能拿到的，而剩下的五十分， 全拼大家的实力水平，也就是说，计算和证明方法强不强。这就是全国一卷的 考试形式，叫做题目新颖，但是其中前面题极度简单，有一百分是你可以稳定拿回来的，而剩下五十分， 如果你实在觉得不行，扔了吧，别学了。有些同学能拿回来一百分都已经是很完美了，那么如果你还想把那五十分往回拿一拿怎么办呢？一句话，证明方法学透吧！第七题、第八题都需要每举，每举都不会，你怎么学？ 你怎么练这道题？这道题目纯粹的运算，那你计算量强，你就能写上第十八题，计算量强，你就能写上第十九道题。反正法或者你会一些每举基本的证明能写上，否则你就写不上。 这就是全国一卷你应该复习的一个形式。我强调的是全国一卷，二卷。不是啊，上一期我们已经分析完了，全国二卷主要是计算，然后题目转计算，是整个这样的。所以说到几啊？同学 啊，该练运算的练运算，该练套路化，证明方法这种流程化，我们讲的这些通解，找未知数，找方程，每一举地推，证明什么？反正法的该练你还得练啊，别跟我在那打马虎眼说。哎呀，梦瑶老师啊，今年的高考数学卷是不是看天赋 啊？今年的高考数学卷是不是轻计算，重思维？你通过我的分析，你会发现什么呢？完全不是，命题人给我们的口子就是他在把大家拉齐同一平均线，你们都是一个水平，打回原形，看一看你现在能考多少分。
8584梦言通解数学
24:08查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是番茄学术，今天我们来讲解一下二零二六年的新高考一卷的数学的这些基础题。那哪些是基础的呢？首先我们来看一下啊， 整张卷子的话，前面一二三四五，我觉得这五题是肯定每个人都不能错的，当然第六题的话，你会画一下图也不会错，第七题第八题我们就不看了，然后第九题也是一定能拿到分的。第十题，第十一题的话可能有点难度。嗯， 然后十二题的第一问啊，十二题没有第一问，就是这个离心率，嗯，比较简单的这些，然后十五题，十五题，主要是第二问的话，要大家能想到，就如果很多人光学间隙的话，是求不出来的，因为间隙好像不知道怎么求，他是用那个， 他说我们就是自己找找图像，然后找他们之间的关系长度。嗯啊，第十六题第二问的话，也是要画个图的，所以就是这两个其实有点考验大家的那个， 嗯，那个就是对基础知识的掌握要比较扎实了，不然的话图都画不出来，那就做不了。对，这两个都是啊，这两个都是都是，第二问，都是要你自己去动手画图啊，画不出来就真做不了。对， 所以我觉得基础的部分就是他们的前疑问吧，因为后面的话你没做过，还真写不了。嗯，然后第十七题第一问， 然后十八题第一问，十九题写不了，嗯，看都看不懂很多人吧。好，那这样的话，大概就是五五五五四五二十，这边五分，然后这边五五六三十，然后这边是 这边是一个六分，然后其实这边第二问，那算了，不要吧，那大概就这些，三四五六十一，这六十一分还是比较好拿的。嗯， 好，那我们这这今天就讲这些比较基础的部分， ok 吗？等会稍等一下。第二第二问我也会提一下，因为前两个第二问其实写了一定题就可以做出来的。好的，那我们继续吧。 先来看第一个哈，中位数，中位数就是在中间的一个数哎，你会发现他就五个数，如果是中间这个数是四的话，你选项都没有，对不对？所以肯定要排序了。那第一问送分呢？对不对？你想选四他都不给你，所以肯定要从小到大排四五六八十二，中间就是六， 你看选错的机会都没有给你，谁错了，自己扇自己一下。嗯，这是第二个 哎，两个 a 向量加外个 b 向量等于 x， 跟 a 向量减三个 b 向量，那肯定是左边的 a 向量和右边的 a 向量一样多呀。左边的 b 向量和右边的 b 向量一样多呀。左右相等啊。跟跟负数那边十不等于十，不虚不等于虚，不一样的，知道吧？所以就是 x 等于二啊， y 等于负三啊，哈哈哈，送分算都不用算第三个，第三个主要是你要直，你要即便偶不变一下，知道吧？这边可以写成 派加上六分之派了，可以吗？就是六分之六派加上六分之派。嗯，这样的话鸡变哦，不变哦，不变，还是三引六分之派，然后呢？派加一点点，第三下线是负的，所以负三引六分之派，那就是负二分之一。嗯 啊，第二个口，三引派加上三分之二派， ok 吗？就是这边可以写成三分之三派加三分之二派，好，还是一样的哦，不变。 口三，嗯，三分之二派，然后符号看下线派加一点点负的，嗯，然后口三。以三分之二派的话，首先口三以三分之派，一二三三二一，他是二分之一，然后他是负的，负 就是他是二分之一，然后一二，然后三分之二派的话是跟他是相反数，是负二分之一，然后又填了个方，所以是二分之一，所以二分之一， 然后最后一个 tanger 四分之五派的话就是 tanger 派加上四分之派，它是一样的七变哦，不变哦，不变。 tanger 四分之派，然后派加一点点，第三下显得 tanger 是 正的， 所以就是正的 tanger。 四分之派，一二三三二一等于一一好， 其实难度不是特别大，但是你要三角函数性质，那既变偶不变，符号看相间也要知道。所以 a 加 b 的 话，负二分之一一负二分之一一选二， c 好五， x 加八零 x 再点一到五，一到五的切线方程点。知道了这些斜率呢？斜率的话求求导就行了，求导横坐标带进去，求导的话，五加上八乘 x 分 之一，然后再把一带进去，那是五加八等于十三 啊，等于十三啊。然后 y 减 y 零， y 零就是五等于 k 倍的，十三倍的 x 减一好，那十三 x 减十三加五好，那就是减八选 d 好 的抛物线和抛物线， c 一 和 c 二过均过四都好，八 四都好。怕，之前有讲过这种东西，就是你就是把这个点带进去，带进去呗， 带进去啊，把点带进去，四八八八六十四六十四等于二，四得八八乘 p 一 八八六十四喽，所以 p 一 等于八， p 一 等于八，所以它长这样子，然后呢，这个交点二分之 p 二分之 p 一 等于四， 原四得好，零好，另外一个也是一样的，四八带进去四的平方，四四十六等于二乘八乘 p 二， p 二呢，就等于一， p 二等于一，它长这样子，然后呢，二分之一这边就是二分之一， 两个交减之间距离就是这边距离。勾股定力呗。根号下四分之一，加上四四十六，好，那就是四分之一，加上十六乘四，就是，呃，化成这样，化减成这样，就是通分一下嘛。 呃，四六二十四，二一四的四五六六十四六十四，然后加一六十五六十五，开个根号二分之，根号六十五，选 d， 简单吗？做到这，现在这边的话，就是应该是一点难度都没有，哎，好，接下来第六题的话，第六题的话跟二二二四年的那个二卷的第六题是一模一样的， 就是类似嘛，类似嘛。嗯， x 加二除以就是都可以通过画图来做，最大值是一，它，它就小于等于一，然后它可以移向过来。哎，有的同学说，老师， 老师，这不是分式不等式吗？不移过去，嘿嘿，分式不等式写不了嘞，分式不等式写不了嘞，他不是二次函数，二是二次函数就能解，不是二次函数就解不了，知道吧？那为什么他能过去呢？是因为 a a 呀，选项里面全是正的，所以这里面肯定都是正的，正等的话，那可以移到右边去， ok 吗？ 就光这个题来说，因为还是要看一下选项的，知道吧。好，所以我们就要画这个图， x 加二，它要小于等于一的 x 加 a， x， 这是 x， y 等于 x 吗？这是 y 等于 x。 好， 再画一下， y 等于一的 x， 这是 y 等于 e 的 x， 可以 吗？好，然后 y 等于 x 加二，就往上挪两个单位，可以吗？然后我们最后要干嘛呀？ 最后要一的 x 加 a， 要大于等于它，那不能比它小，所以对它移一下它，那它就要往上。哎呀， 不好意思，你错了，那他就要往上移， ok 吗？这是一的 x， 他 要加 a 要大于等于他吗？那加 a 加多少呢？刚才这边是一啊，这边是一啊，这边是二， ok 吗？所以往上挪一个单位就行了。往上挪一个单位是不是正好大于等于啊，对不对？所以 a 就 等于一啊，所以 a 等于一选 b 啊。画图最简单了，可以吗？第七题，第八题看不懂就算了。这是第九题，几分钟啊？我们就拿了八分钟内，八分钟就拿了三十分。第九题 啊，共和复数，哈哈哈。嗯，闪耀魔根号下三的平方加二的平方不可能是五。错了，这，这的平方，平方就是三加二， i 的 方等于前平方加后平方，四 i 方加上两倍的前乘后， 呃，二倍的二六十二十二 a 方等于负一。好，所以就是五加十二选 c， 然后 d 呢？它说属于 r， 那 我就往里带呗。三加二 i 减 i， 那 就是三加 i 嘞。 分之 z 加三，那就是三加二 i 加三，那就是六加二 i， 六加二 i。 观察一下，三加 i， 六加二 i 上，上面能不能提出个二，提出个二就是三加 i 喽，可以吗？约掉等于二，二属于二，没问题啊， a c， d 啊。 好，第十题的话，哎呀，如果大家没有一点空间想象能力，然后画不了图的话，是真做不了。还有第十一题，那没办法，那我们就不做好双曲线，这边离心率，这个肯铁定教过了。这是，首先你先把它变成五分之一 x 方减去 六分之一，分之外方等于一啊，然后 a 方等于五分之一， b 方等于六分之一， c 方等于双曲线吗？ a 方加 b 方 ok 吗？ 那就是五分之一加上六分之一等于五六，三十分之，这边就是这边乘个六通分嘛，这边乘个五，那就最后就是三十分之六加五是一，然后要求离心率就是 a 分 之 c， 我 a 方分之 c 方就行啊。等于 a 方的话就是， 呃，五五二十五分之一分之，然后 c 方呢？ 三十分之，哎呀，呃，三十分之那个三十，哎呀，慢一点，慢一点，这就是 c 方呀，这就是 a 方呀。慢一点，慢一点，别着急啊。五分之一分之三十分之十一， ok 吗？然后除以一个数等于乘以它的倒数。 除以五分之一等于乘以五五，和这边约成六，然后开个根号，那就是六分之根号六十六。这这这数很又看着怪怪的吗？不怪吧，还好了还好了，这么容易算好了，十五题第一问要证明 第一，先看题，再去读条件 平行这个面，这个是不是一模一样的题？有过吧？在一就是在一十五课里面脑子都不用动脑的呀，肯定是正他两平行啊， 这个谁能错呀？ ok， 我 们来看，这肯定是中点，这个肯定是中点啊，然后平行且等于它一半，但是没有用到一半的条件，所以你说它平行就好了，在这里面它是中规线。好，那我们来看一下条件，在值三能住 a， b， c， a， b， c， e 中，然后 a， c， b 这边是九十度，然后 a、 c 等于 b， c， 然后 d， e 分 别是它两的中点，它两中点对不对？ 哼，那你第一个连 b， c， e， 因为在在在三角形 a， b， c， e 中 啊，它分别为中点，所以 d 一 平行， b， c 一 所以，然后。然后再写 b， c 一 属于平面。 b， c， c， e， b， e， d， e 不 属于平面。 哎，我就不写了，所以 d 一 平行平面。 b， c， c， e， b， e 这个题没写对，真对不起我了。 嗯，好的，那另外一个话我稍微讲一下，因为他，他说什么？ c， c， e， 他 说 c， c， e 等于二，对不对？然后呢？ d， e 与平面 a， a， c， c， e， a， e 所成的角是四十五度，哎，我做个垂线过去啊，这边你看哈。因为这边是垂直的， ok 吗？所以我这边取它中点，取它中点啊，连起来， 连起来 a， b， c， d， e， f 吧，取 a， c 终点。二，取 a， c 终点点 f 连起来之后啊，在这上面，然后他是中位线，所以他垂直， ok 吗？垂直，嗯，然后在这上面又垂直， ok 吗？ ok 吧？好，然后他说 他与这个面所成的角为四十五度，那就是这个角， ok 吗？就这个角， 把刚才那两个条件说完就好了。它就是这个角，说明这个角四十五度，说明这角四十五度， ok 吗？然后这边又是垂直的，所以这边也是四十五度，然后它是等腰直角三角形，等腰直角三角形，然后 c、 c 一 的话是二， 它是二的话它也是二，那它是一，它是一， ok 吗？先要求什么东西啊？要求 d 一 到这个的距离，到这个的距离是不是做根平行线过去啊？我要求这个的距离，可以吗？那怎么求嘞？那刚才已经知道了，这个边长这个边长这个边长这个边长，我们注意看一下，刚才还有一个条件没有用上，他说 a c 等于 b b c 喽，所以这边 这边为二，这边也为二，那这边不是一吗？那它的距离不就是一吗？所以就是一啊，可以吗？嗯， 简单，不就是我要求这个这个距离啊，我要求这个距离啊， ok 吗？嗯， 好了，然后你答案他到他的距离就是 f c 的 长度，然后就可以了，然后把刚才那些都写上去，那这个大家看一下答案详细步骤就好了，他也应该也是这么写的。嗯， 好，第十六题，第十六题更别说了，这个南昌一模一模一样的题。好，这边 a c 的 话就是 ab 的 话就是 c， bc 的 话就是 a， 然后口算 b， 然后它要求口算 a 嘛，那你首首先先口算 b， 它会等于减 b 的 话就是 a c 吧。对， a c 方，就是他没给你 a b、 c， 你 就一定不要用 a b c 啊，或者你就是开头你设 a， b 等于 c， b c 等于 a 啊， a c 等于 b。 哎，你这样就可以用了，那你设了就可以用了。减 b 方， a 方加 c 方除以二 a c， 然后减得就行了， ok 吗？ 解得。嗯，这个 b 等于。好，我们带一下数字， a， 呃，就是 a 方，就是四，四十六，呃，二二二得四，三四十二十二，加上 c 方三三得九，减去 b 方除以二倍的 a 的 话就是二根号三， c 的 话就是三，等于三分之根号三，首先三和三约掉，然后这边四根号三，然后四根号三乘过来，四乘根号三，乘根号三，就是三三四十二十二十二，跟这个约掉了等于零啊， b 方等于九， b 就 等于三， b 等于三 扣三， a 就 等于减 a 方， b 方加 c 方除以二， b， c 等于。 哎， b 方，哎呀，又一模一样的哈，哎呀呀， c 方就减去 a 方，好简单啊，这，这个谁错了？这个谁错了，真对不起我了啊。 b 一 的话是三， c 一 的话就是还是三 好，这样的话三三得九二九十八分之二，九十八，十八减十二，十八，减十二等于六三六十八，这边可以写成三六十八三分之一呀。嗯，好，接着第二个，这第二个主要你要把这个图画出来啊， 他要求什么？他要求 c e 的 长啊，大概讲一下吧，就是你首先你先画一个 abc ok 吗？而且 ab 和 ac 的 话要干嘛呀？要，要，要等腰呀，这边是等腰的呀， ok 吗？ 然后他说 d， 他 说 d 是 在 b a 的 延长线上随便画一点 d 了，然后他说 d e 平行 bc 啊，你就画一下了，可以吗？ ok， 你就画画一下它没平行嘛，然后再给这个 c 一 连起来嘛，然后他，他说 a 一， 他说 a 一 是垂直 ac 的， ok 吗？ 啊？ a 一， 哎， a 一 在哪哦？ a 一 是垂直 ac 的， 我说错了，在这呢，在这呢，不好意思。嗯，然后在这边连起来，然后他说 d 一 是根号六，求 c 一 啊，这个 c 一 怎么求呢？首先啊， 这个角和这个角是一模一样的，对不对？他是平行的同位角相等嘞，对不对？所以现在我们已知的就是这边，这边是根号六，嗯， 然后以及，呃，这个角不知道，但是这个刚我们刚这个角口在 a 就是 这个知道这个知道，其实就是这个知道， ok 吗？就这个角不就是塞，就是他两个角加起来是九十度，所以就是塞的他吗？ ok 吗？ 这个角是知道的，然后这个角也是知道的。然后这个边是不是能通过我来看来一下啊？就是 d a e 三 d a e 是 知道的。哎呀，三 d a e 是 知道的，然后三 d a d e 也是知道的。 刚说了吧，因为他俩是同位角了，那这个角也知道，然后因为他这边九十度，这边这边，所以他也知道。所以啊， a e 比上 sign， a d e 这用正弦定理吗？对边比上 sign， 还有这边对边比上 sign， d e 比上塞。哎， d a e 好 会相等吗？因为 d e 是 知道是根号六了，然后这两个也是能算出来的，这样 a e 就 求出来了， a e 求出来的话，然后这边勾股定你一下就行，主要是要画这个图。嗯， 简单还是挺简单的啊。嗯，如果能，就是刚才除了刚才那六十一分的话，能拿分的就是这这两个，这两个如果拿满的话就是相当于多了。呃，这边是十 十三加上十五吗？刚那相当于多拿十八分。嗯，所以基础差不多的同学能加上这十八分，六七七十九， 因为他是真的不算特别难。但是你要有这个思路，知道吧。啊，我们来看一下第十七题，那这个题的话就是考前不是正好讲了一个吗？但是稍微还是有一点点不一样。 那我之前分析的时候就是没没仔细做吗？但是现在重新做一下啊。好吧，分析思路是差不多的。嗯，然后他说什么东西啊？至最多是投 n 次，然后他说了 n 等于四，那就是最多投四次，当前仅当投中一次或均未投中时停止， ok 吗？ 当每次投中的概率都是屁，然后每次相互独立，那投中的概率是三分之一，那没投中的呢？是不是一减三分之一？是不是三分之二？所以未投中的概率你写一下。嗯，好，然后记 x 的 分啊。 x 是 停止时的投篮次数，那可以是什么 投？投中一次它可以停止， ok 吗？投中一次，那就投中一次呗。那 x 可取可取？可以是一次两次三次四次， ok 吗？ p x 等于一的时候就是第一次投中了呗。投中一次他就停止了， ok 吗？投中一次他就停止了。他说最多投四次，不是要你一共投四，就是要你投四次啊，最多投四次。嗯，投一次也行啊，不然他为为什么会问你停止时的投篮次数呢？是不是？所以题目要看清哦，可以吗？ 啊？那第一次他就投中的就是三分之一， ok 吗？ p 一， 然后 x 等于二呢？那说明第那二的话说，说明第一次没投中，第二次投中了嘛？投中一次要停止啊，可以吗？第一次没投中三分之二，第二次投中了三分之一，好， p x 等于三， x 等于三，说明什么？前两次都没投中，第三次投中了三分之一啊。 p x 等于四， 就前三次都没投中，第四次投中了三分之一。呃，三分之二三次方乘以三分之一，好，还有 均未投中他也停止啊，所以 x 等于四。他还有一种情况就是都没投中啊，三分之二括号四次方。所以这边坑在这啊。因为你按前面那个写，爽了之后很容易漏掉这个，这个条件知道吧？好了， 然后等出来就好了，应该也比较好。算吧。那我就不算了啊。好吧，好的，然后 x 的 分布列 x， p， 然后一二三四结束。我们来看，这边左焦点为负，所以由提一得。由提一得 啊，左焦点，你画一下椭圆嘛，左焦点，焦点，焦点 c 嘛，这边长度 它的坐标是负， c 啊，所以 c 等于一啊，然后离心率一等于 a 分 之， c 等于二分之一啊，再加上椭圆里面 a 方等于 b 方加 c 方呀， ok 吗？所以就可以求出来了。好 呃，交叉相乘一下，这边二 c 方加 c 方呀， ok 吗？然后 a 就 等于二啊， a 就 等于二啊。 因为要求方程嘛，所以我们就不要写 a 等于二了，说 a 方等于四就行了，可以吗？你直接解得好吧。然后就是四会等于 b 平方加上这个一， c 方等于一嘛，所以就是三嘛，所以 b 方等于三。这个是非常之简单喽，对不对？所以 c 的 方程为，嗯，四分之 x 方加上三分之 y 方等于一， ok 啊， 那简简单单我们就把这些基础分都拿到了，好吗？好了，那这期视频就到这，感谢大家收听，我们下期视频见，拜拜。
6770番茄学数
